Q1)

RESPOSTA

TRELIÇA C/ SISTEMA TENSOR DE CABO

Obtidas as matrizes de rigidez dos elementos estruturais, deve-se remanejar tais

coeficientes para a matriz de rigidez da estrutura (graus de liberdade ordenados).

a) deslocamento vertical no ponto de aplicação da carga para o cabo desativado

200 kN

(A) (B)

(C). (D)

R1 R2

R3 U1

R4 U2

R5 R6

R1 R2 R3 U1

R1

R2

R3

U1

R1 R2 R4 U2

R1

R2

R4

U2

R4 U2 R3 U1

R4

U2

R3

U1

R3 U1 R5 R6

R3

U1

R5

R6

1010

0000

1010

0000

24740ACk

5,05,05,05,0

5,05,05,05,0

5,05,05,05,0

5,05,05,05,0

17494CBk

1010

0000

1010

0000

7854BDk

0000

0101

0000

0101

24740ABk

U1

33487

8747 8747

8747

U1

U2

200

U2

U1

U20

.U1 31x10 m 3

U28x10 m3

F K UU UU U= .

200 kN

(a)

31mm

8mm

b) deslocamento vertical no ponto de aplicação da carga para o cabo ajustado

perfeitamente entre os pontos BD e a tensão normal no cabo BD

U1

33487

16601 8747

8747

U1

U2

200

U2

U1

U20

.U1 14x10 m 3

U23,6x10 m3

F K UU UU U= .

200 kN

(b)

14mm

3,6mm

CA

BO

1010

0000

1010

0000

7854BDk

f k uBD BD BD .

0,014

0

f4

f3

f2

f1

.0

0

f4

f3

f2

f1

110

0

0

110110 kN

CA

BO

(B)

(D)

110 kN

BD BD

BD

f

A

110000 N

78,54 mm2

BD 1400 MPa

c) deslocamento vertical no ponto de aplicação da carga após a ativação do sistema

tensor do cabo com o deslocamento prescrito no apoio (D) igual a 10 mm e a tensão normal no cabo BD

U1

33487

16601 8747

8747

U1

U2

200

U2

U1

U20

.U1 8,5x10 m 3

U22,2x10 m3

F K UU UU U . K UUR R

.

200 kN

8,5mm

2,2mm

CA

BO

U17854

U2

0

00

0

10x103

R5 R5

.

(c )

10mm

1010

0000

1010

0000

7854BDk

f k uBD BD BD .

0,0085

0

f4

f3

f2

f1

.0

0,010

f4

f3

f2

f1

145,3

0

0

145,3145,3 kN

CA

BO

(B)

(D)

145,3 kN

BD BD

BD

f

A

145300 N

78,54 mm2

BD 1850 MPa

Deve-se observar que o deslocamento prescrito de 10 mm no apoio (D) reduziu o

deslocamento do nó (B) de 14 mm para 8,5 mm (variação de 5,5mm). O acionamento

do sistema tensor levou ao aumento da força normal no cabo de 110,0 kN para

145,3 kN (aumento de 35,3 kN). Por conta deste aumento de força normal, ocorrerá um

alongamento adicional no cabo:

mm5,454,78200000

200035300

CABO

BDBD

EA

LNL

que somado à variação de deslocamento de 5,5mm produz o deslocamento prescrito

no apoio (D) igual a 10 mm.

Como consideração final, deve-se tomar cuidado na operação de retesamento do cabo,

pois com deslocamento prescrito de 10 mm (sobre o comprimento de 2000mm) a tensão

normal passou de 1400 MPa para 1850 MPa, chegando muito próximo da sua tensão

de ruptura f R 2000 MPa. Portanto, deve-se verificar o risco de acidentes operacionais

com modelo de elementos finitos.

Q2)

RESPOSTA

REFORÇO DE ESTRUTURAS METÁLICAS

FORMULÁRIO

EQUAÇÃO DE COMPATIBILIDADE ENTRE DEFORMAÇÕES E DESLOCAMENTOS NODAIS

xy

y

x

BUε sendo:

233322322131

333231

232221

000

000

hhhhhh

hhh

hhh

B e

3

3

2

2

1

1

uy

ux

uy

ux

uy

ux

U

EXPRESSÃO SIMBÓLICA PARA MATRIZ INVERSA

)/(1)/(10

0)/(1)/(1

)/())()/(()()/(

1

1

11

dbdb

caca

dbbdbcacbdacac

dc

bc

ba-hh

sendo:

33

22

11

1

1

1

yx

yx

yx

h e

333231

232221

1312111

hhh

hhh

hhh

h obtidas a partir das coordenadas nodais.

EQUAÇÃO CONSTITUTIVA (MATERIAL ELÁSTICO-LINEAR)

xy

y

x

εDσ sendo:

)/21(00

01

01

1 2

ED e

xy

y

x

ε

TENSÕES PRINCIPAIS (CÍRCULO DE MOHR)

2xy

2yxyx

122

( TENSÃO PRINCIPAL MÁXIMA )

2xy

2yxyx

222

( TENSÃO PRINCIPAL MÍNIMA )

TENSÃO EQUIVALENTE (CRITÉRIO DE RESISTÊNCIA DE VON MISES)

Y2221

21

Misesvon

A partir das coordenadas nodais do elemento analisado, pode-se obter a matriz B que relaciona

os deslocamentos nodais com as deformações do elemento.

120991,15691

118981,15691

118987,16701

1

1

1

33

22

11

yx

yx

yx

h

0050,00050,00000,0

0000,00098,00098,0

1940,596379,754439,15

120991,15691

118981,15691

118987,167011hh

0000,00050,00098,00050,00098,00000,0

0050,000050,000000,00

00000,000098,000098,0

B

As deformações são obtidas a partir dos deslocamentos nodais:

8509,2

3410,25

8721,2

3240,25

8314,2

3740,25

0000,00050,00098,00050,00098,00000,0

0050,000050,000000,00

00000,000098,000098,0

BUε

xy

y

x

6

6

6

10484

10106

10490

xy

y

x

ε

E, consequentemente, as tensões são obtidas a partir da matriz constitutiva D:

)/23,01(00

013,0

03,01

3,01

205

)/21(00

01

01

1 22

ED

8462,7800

02747,2255824,67

05824,672747,225

D

GPa

0382,0

0570,0

1175,0

10484

10106

10490

8462,7800

02747,2255824,67

05824,672747,225

6

6

6

εDσ

xy

y

x

MPa

2,38

0,57

5,117

xy

y

x

σ

As tensões principais são obtidas pelas expressões:

MPa1362,382

0,575,117

2

0,575,117

22

22

2xy

2yxyx

1

MPa6,382,382

0,575,117

2

0,575,117

22

22

2xy

2yxyx

2

A tensão equivalente (von Mises) pode ser comparada diretamente com o limite de resistência

ao escoamento, obtido em ensaio de tração uniaxial, para a verificação da segurança ao

escoamento. Assim:

MPa4,1216,386,38136136 22Misesvon

84,24,121

345CS

CS Misesvon

Misesvon

YY ff

A ligação PILAR-VIGA, analisada na região de maior solicitação, apresenta excelente

capacidade resistente aos esforços atuantes mais desfavoráveis, não havendo a

necessidade de reforço estrutural neste ligação.

Q3)

RESPOSTA

ESTABILIDADE GLOBAL DE EDIFÍCIOS

FORMULÁRIO

Segundo a NBR 6118:2014 item 15.5.2, p.104 (ABNT, 2014), o parâmetro de

instabilidade é dado pela expressão:

6,0/ eqccsktot IENH

onde Htot é a altura total da estrutura acima do nível do terreno, Nk é carregamento

vertical total de serviço, Ecs é o módulo de elasticidade secante do concreto e (Ic)eq representa o somatório das inércias equivalentes de todos elementos de contraventamento na direção considerada.

PILAR EQUIVALENTE

A ABNT (2014, item 15.5.2, p.104) define que no caso de estruturas em pórticos, a

inércia equivalente é definida a partir de um PILAR EQUIVALENTE de seção transversal

constante da seguinte forma:

“... calcular o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ação do

carregamento horizontal na direção considerada e calcular a rigidez de um pilar equivalente de

seção constante, engastado na base e livre no topo, de mesma altura, tal que, sob a ação do

mesmo carregamento, sofra o mesmo deslocamento no topo”.

x

3totxeq

eq

3totx

x3

)()(3 dE

HFI

IE

HFd

Figura 4 Pilar equivalente de seção tranversal constante e modelo de pórtico plano

TRECHO RÍGIDO

O processo de idealização do modelo de elementos finitos corresponde à escolha do

elemento finito mais adequado (apresenta bons resultados e formulação mais simples)

Fx = 100 kNFx = 100 kN dx

dx

para representação do comportamento da estrutura analisada. Segundo a ABNT (2014,

item 14.8.1, p.98):

“ A análise linear na maioria dos casos, deve ser realizada com o emprego de procedimento

numérico adequado, como, por exemplo, diferenças finitas, elementos finitos ou elementos de

contorno. Para a consideração de uma viga-parede ou um pilar-parede como componente de um

sistema estrutural, permite-se representá-lo por elemento linear, desde que se considere a

deformação por cisalhamento, e um ajuste de sua rigidez à flexão para o comportamento real”.

Figura 5 Idealização do elemento estrutural

em elemento finito linear

A ABTN (2014, item 14.6.2.1, p.87) cita ainda que para a caracterização da geometria:

“...os trechos de elementos lineares pertencentes à região comum ao cruzamento de dois

ou mais elementos podem ser considerados como rígidos (nós de dimensões finitas).”

Figura 6 Modelo de elementos de casca (3-D) e modelo

de pórtico plano (2-D) com trechos rígidos

Esta providência é devida à falta de coincidência do eixo do pilar com os eixos das vigas.

A ligação entre os elementos é restabelecida por meio do trecho rígido, que permite

representar corretamente o comprimento de flexão das vigas. As sub- estruturas planas

que podem ser consideradas são apresentadas nas Figuras 6 e 7.

Figura 7 Modelo de elementos de casca (3-D) e modelo de elementos de chapa

e subestrutura de pórtico plano (2-D) com trechos rígidos associada

80 80600 cm

280

(típico)

160 160600

TODOS OS ELEMENTOS

NÓS A e B

PILARES-PAREDE ELEMENTOS DE 1 a 7 E 29 a 35

VIGAS ELEMENTOS DE 15 a 21

TRECHOS RÍGIDOS ELEMENTOS DE 8 a 14 E 22 a 28

PILARES-PAREDE ELEMENTOS DE 1 a 7 E 29 a 35

VIGAS E TRECHOS RÍGIDOS ELEMENTOS DE 8 a 28

NÓ C

(a) (b)

Figura 9 Estrutura de contraventamento do edifício de concreto armado (a) modelo de pórtico

plano (2-D) com ligações rígidas (b) modelo de pórtico plano (2-D) com trechos rígidos

(a) (b)

Figura 10 Estrutura de contraventamento do edifício de concreto armado

(a) modelo de elementos de chapa (2-D) (b) modelo de elementos de casca (3-D)

O modelo de elementos de casca é o mais recomendado para a representação do

comportamento da estrutura de contraventamento, pois permite uma descrição

geométrica mais realista, não dando margem aos erros comuns de modelagem.

Observa-se que o modelo de pórtico plano sem trechos rígidos (Figura 9a) apresenta

os resultados mais próximos do modelo de elementos de casca. Trata-se de um contra-

exemplo pois, normalmente, a consideração de trechos rígidos permite uma

representação mais fiel do comportamento estrutural. Acredita-se que a planificação da

estrutura prejudicou a resposta do modelo de pórtico plano com trechos rígidos, pois a

estrutura é notoriamente tridimensional, sendo mais adequada a utilização de modelo

de pórtico espacial. Outro aspecto que deve ser destacado neste modelo é a inclusão

da energia de deformação por cisalhamento para os pilares-parede, o que torna a

análise mais realista.

1

0

.670051

1.3401

2.01015

2.68021

3.35026

4.02031

4.69036

5.36041

6.03046

MAR 15 2017

07:04:16

NODAL SOLUTION

STEP=1

SUB =1

TIME=1

UY (AVG)

RSYS=0

DMX =6.05575

SMX =6.03046

1

0

.518782

1.03756

1.55635

2.07513

2.59391

3.11269

3.63147

4.15025

4.66904

MAR 15 2017

07:05:34

NODAL SOLUTION

STEP=1

SUB =1

TIME=1

UY (AVG)

RSYS=0

DMX =4.70112

SMX =4.66904

Fx 100 kN

dx 3,48 mmdx 4,67 mm

Fx 100 kN

Fx 50 kN Fx 100 kN

dx 6,03 mm dx 4,67 mm

Observa-se ainda, que o modelo de elementos de chapa apresentou o maior

deslocamento horizontal, sendo o mais flexível dos modelos analisados. Esta

flexibilidade é decorrente da perda de inércia dos pilares-parede que passam de

paredes associadas (em forma de U) para uma lâmina simples, dividindo-se a estrutura

em dois pórticos independentes. Tal fato explica porque o modelo foi carregado com

metade da carga, conforme apresentado na Figura 10a.

Considerando-se o resultado do modelo de elementos de pórtico plano (Figura 9a), tem-

se:

4m92,1

eq)(

m)(31067,4)2(kN/m610283

)3(m360,19(kN)100

3

3toteq

)(

I

xdE

HxFI

Por outro lado, considerando-se o resultado do modelo de elementos de chapa

(Figura 10a), com dois pórticos independentes, tem-se:

4m49,1

eq)(

m)(31003,6)2(kN/m610283

)3(m360,19(kN)502

3

3tot

2eq

)(

I

xdE

HxFI

A NBR 6118 (ABNT, 2014, item 15.5.2, p.104) prescreve que uma estrutura pode ser

considerada de nós fixos, no caso de estruturas de contraventamento compostas por

pilares-parede associados, quando o parâmetro de instabilidade for menor que 0,6.

Deste modo os dois modelos de elementos de pórtico plano e o modelo de elementos

de casca atendem a verificação de estabilidade global:

Atende!60,057,0)(m92,12)kN/m(1028

7)kN/m(12)(m2347)m(80,27

426

22

y

Por outro lado, o modelo de elementos de chapa não atende esta verificação.

!tende60,065,0)(m49,12)kN/m(1028

7)kN/m(12)(m2347)m(80,27

426

22

y aNão

Tal fato demonstra a necessidade de ser feita uma escolha criteriosa quanto ao tipo de

elemento utilizado para a análise de estabilidade global, pois pode conduzir a uma falsa

interpretação comportamento estrutural, levando a tomadas de decisão incorretas e

inadequadas.

Q4)

RESPOSTA

TIPOS DE ELEMENTOS E LIMITES DAS TEORIAS

Figura 5 Escolha da formulação adequada de acordo com a geometria e carregamento

F

Limites das formulações quanto aoponto de aplicação da carga

(x) VIGA

(x) (x) (x)

CHAPA

SÓLIDO

CASCA

( ) VIGA

(x) (x) (x)

CHAPA

SÓLIDO

x

CASCA

( ) VIGA

( ) (x) (x)

CHAPA

SÓLIDO

xx

CASCA

( ) VIGA

( ) ( ) (x)

CHAPA

SÓLIDO

xxx CASCA

F

F

F

F

(x) VIGA

(x) (x) CASCA(x)

CHAPA

SÓLIDO

( ) VIGA

(x) (x) (x)

CHAPA

SÓLIDO

x

CASCA

( ) VIGA

( ) (x) (x)

CHAPA

SÓLIDO

xx

CASCA

( ) VIGA

( ) ( ) (x)

CHAPA

SÓLIDO

xxx CASCA

Limites das formulações quanto àcomplexidade geométrica

Figura 6 Modelo de elementos finitos sólidos, deslocamentos verticais uy e distribuições das

tensões normais x ao longo da altura, tensões de cisalhamento ao longo da altura xy e

largura xz na seçãon-n

Figura 7 Modelo de elementos finitos de casca e pseudossólido, deslocamentos

verticais uy e distribuições das tensões normais x ao longo da altura e tensões

de cisalhamento ao longo da altura xy na seçãon-n

Figura 8 Modelo de elementos finitos de chapa e pseudossólido, deslocamentos

verticais uy e distribuições das tensões normais x ao longo da altura e tensões

de cisalhamento ao longo da altura xy na seçãon-n

Tabela 1 Comparação dos resultados entre os modelos analítico e numérico

RESULTADO BEER & JOHNSTON [1]

MODELO CHAPA

MODELO CASCA

MODELO SÓLIDO

DESLOCAMENTO VERTICAL uy (mm)

1,415 /

1,440(*)

1,445

1,495

1,500

TENSÃO NORMAL

COMPRESSÃO x (MPa)

219,3

222,3

202,2

221,4

TENSÃO CISALHAMENTO

xz (MPa)

7,31

5,84

11,76

TENSÃO CISALHAMENTO

xy (MPa)

16,45

6,54

16,04

18,54

FONTE: Adaptado de (BEER, 2015).

(*) Considerando-se a energia de deformação por cisalhamento (vigas curtas) dada pela fórmula:

5GA

6P

3EI

Pu

3

y

.

Pode-se observar uma boa aderência, em torno de 10%, dos resultados numéricos com

os resultados analíticos fornecidos pela Teoria das Vigas. Exceto para as tensões de

cisalhamento xz, que foram obtidos resultados discrepantes devida à concentração de

tensões na ligação da flange-alma que não é capturada pelos modelos de analítico e de

casca. Em termos práticos, os valores do deslocamento e das tensões formecidos pela

Teoria das Vigas são satisfatórios.