UAULA20 Laplace

Sinais e SistemasAula 15

Professor: Rafael Antunes Nóbrega

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Continuação...• CAPÍTULO 1: Introdução:

– Sinais de tempo contínuo e de tempo discreto;– Energia e Potência de um sinal– Transformações de variáveis independentes;– Sinais periódicos– Sinais senoidais e exponenciais;– Funções impulso unitário e degrau unitário;– Sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto;– Propriedades básicas de sistemas;

• CAPÍTULO 2: Sistemas lineares invariantes no tempo:– Representações de sinais em termos de impulso;– Convolução.– Esquema de Interconexões– Propriedades de sistemas LIT– Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes– Funções de singularidade

• CAPÍTULO 3: Série de Fourier– Perspectiva histórica– Resposta dos sistemas LIT às exponenciais complexas– Representação de sinais periódicos de tempo contínuo– Convergência da série de Fourier– Propriedades da série de Fourier de tempo contínuo– Representação de sinais periódicos de tempo discreto– Propriedades da série de Fourier de tempo discreto– Série de Fourier e sistemas LIT– Filtragem– Exemplos filtros contínuos– Exemplos filtros discretos

• CAPÍTULO 4: A transformada de Fourier de tempo contínuo– Representações de sinais aperiódicos (tempo contínuo)– TF para sinais periódicos– Propriedades da TF de tempo contínuo– A propriedade da convolução– A propriedade da multiplicação– Sistemas caracterizados por equações diferenciais lineares com coeficientes constantes

• CAPÍTULO 5: A transformada de Fourier de tempo discreto– Representações de sinais aperiódicos (tempo discreto)– TF para sinais periódicos– Propriedades da TF de tempo discreto– A propriedade da convolução– A propriedade da multiplicação– Dualidade– Sistemas caracterizados por eq. Diferenças lineares com coef.s constantes

• CAPÍTULO 9: A transformada de Laplace

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visto

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A transformada de Laplace

Transformada de Laplace

• Para TL racionais, existe uma relação entre localização dos pólos e as possíveis RDCs;

• Veremos agora algumas propriedades específicas para diversas classes de sinais;

• Veremos que essas propriedades nos permite reconstruir a RDC a partir do conhecimento apenas da expressão algébrica de X(s) e certas características de x(t);

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A RDC para TL


• A RDC de X(s) consiste nos valores de s = σ+jw para os quais a TF de X(t)e-σt converge, levando a condição e convergência:

• A propriedade 1 então decorre do fato que a condição de convergência depende apenas de σ = Re{s}.

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A RDC para TL


• Como X(s) é infinito em um pólo, claramente a TL não converge em um pólo;

– LOGO: a RDC não pode conter valores de s que sejam pólos;

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A RDC para TL


Exemplificando temos:

As Figuras ao lado mostram um sinal finito x(t) multiplicado por uma exponencial decrescente e outra crescente;

A ponderação exponencial nunca é ilimitada, e consequentemente, é razoável que a integrabilidadede x(t) não seja destruída por essa ponderação exponencial.

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A RDC para TL


• Verificação da Propriedade 3

• Para σ > 0, o valor máximo de e-σt no intervalo em que x(t) é não nulo é e-σT1 , logo:

• Do mesmo modo, para σ < 0, temos:

– Em ambos os casos x(t)e-σt é absolutamente integrável e assim a RDC inclui o plano s inteiro.

maior valor possível

maior valor possível

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A RDC para TL

• Exemplo 9.6:

– Calcule a TL:

• E no caso onde x(t) é infinito em um dos lados?

• Em um sinal lateral direito é possível que não haja valor de s para o qual a TL convergirá;

• Um exemplo é o sinal x(t)=et2

u(t);

• Porém, supondo que a TL convirja para algum valor de σ, indicado por σ0, então:

• Ou, como o sinal é lateral direito:

• Se σ1 > σ0, então também é verdade que x(t)e-σ1t é absolutamente integrável, pois e-σ1t decai mais rápido que e-σ0t.

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A RDC para TL

• Resumindo...

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A RDC para TL


A RDC para TL

• Esta Propriedade ocorre de maneira análoga a Propriedade 4;

• Para um sinal lateral esquerdo, a RDC é chamada de semiplanoesquerdo pois se um ponto s está na RDC, então todos os pontos à esquerda de s estão na RDC.

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• Um sinal bilateral tem extensão infinita parat>0 e t<0;

• A RDC pode ser examinada escolhendo um tempo T0 e dividindo o sinal em dois;

• xR(t) e xL(t)

• L{xR(t)} consiste no semiplano Re{s}>σR;

• L{xL(t)} consiste no semiplano Re{s}<σL;

• A RDC = interseção desses dois semiplanos.

• Na Figura assume-se que σR<σL de modo que a sobreposição existe;

• Se isto não for verdade, a TL de x(t) não existe (embora individualmente para xR(t) e xL(t) exista);

Prop.4

Prop.5

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A RDC para TL

• Exemplo 9.7:

– Calcule a TL:

• Exemplo 9.7:

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A RDC para TL

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A RDC para TL

• Vimos que uma TL racional consiste em uma combinação linear de exponenciais e a RDC final tirada das parcelas individuas nessa combinação linear precisa ter essa propriedade;

• Como consequência da Prop.7, juntamente com as Props. 4 e 5, temos:

Vejamos o exemplo a seguir:

)(2)(3)( 2 tuetuetx tt EXEMPLO:

• Exemplo 9.8:

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A RDC para TL

• Exemplo 9.8:

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A RDC para TL

Propriedade da Convolução para a TL

– A RDC pode ser maior se ocorrer cancelamento de pólos e zeros no produto.

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A transformada inversa de Laplace

• Podemos partir da TF que surge com TL para achar a sua inversa através da TF inversa:

– Podemos multiplicar os dois lados por eσt:

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Próxima aula...

• Transformada z...

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Sistema Inverso


S S-1)(

1)(

sHsH i

1)()( sHsH i

x(t) y(t) x(t)

X(s) Y(s) X(s)

• No sistema inverso, os pólos viram zeros e vice-versa.

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