Manual de Matemtica e Realidade

UFCD1-Anlise e Organizao da

Informao e Probabilidade

Filipe Amaral

2012.2013

2

Contedo

1. INTRODUO ESTATSTICA ....................................................................................................... 5

1.1 O QUE UM NMERO RACIONAL? ............................................................................................................ 5

1.2 COMO CONVERTER UMA DZIMA NUMA FRACO? .................................................................................... 6

1.2.1 Exerccio ................................................................................................................................... 7 1.3 OPERAES COM NMEROS RACIONAIS .................................................................................................. 7

1.4 PERCENTAGENS ...................................................................................................................................... 8

1.5 COMO CALCULAR UMA PERCENTAGEM? ................................................................................................... 8

1.5.1 Exerccio ................................................................................................................................... 9

2. ORGANIZAO DE DADOS ESTATSTICOS ............................................................................... 10

2.1 FUNO REAL DE VARIVEL REAL E SUA REPRESENTAO GRFICA ...................................................... 10

2.1.1 Exerccio ................................................................................................................................. 11 2.2 TIPOS DE GRFICOS .............................................................................................................................. 11

2.2.1 Exerccio ................................................................................................................................. 13

3 ANLISE DE DADOS ESTATSTICOS .................................................................................................. 14

3.1 ESTATSTICA .......................................................................................................................................... 14

3.1.1 Exerccios ............................................................................................................................... 14 3.2 NOES BSICAS DE ESTATSTICA........................................................................................................ 15

3.3 APRESENTAO DOS DADOS ................................................................................................................. 16

3.3.1 Exerccio ................................................................................................................................. 17 3.3.2 Dados Agrupados por classes ........................................................................................... 17 3.3.3 Exerccio ................................................................................................................................. 19

3.4 MEDIDAS DE TENDNCIA CENTRAL ........................................................................................................ 19

3.4.1 Mdia ....................................................................................................................................... 19 3.4.2 Moda ........................................................................................................................................ 20 3.4.3 Mediana .................................................................................................................................. 20 3.4.4 Exerccios ............................................................................................................................... 21

3.5 FOLHA DE CLCULO EXCEL (MICROSOFT OFFICE) ............................................................................ 23

3.5.1 Proposta de trabalho de grupo .......................................................................................... 23

4. INTRODUO PROBABILIDADE................................................................................................ 25

4.1 INTRODUO ......................................................................................................................................... 25

4.2 CONJUNTO DE RESULTADOS OU ACONTECIMENTOS .............................................................................. 26

4.3 LEI DE LAPLACE ..................................................................................................................................... 27

4.3.1 Exerccios ............................................................................................................................... 28 4.4 ESQUEMAS DE CONTAGEM..................................................................................................................... 28

4.4.1 Exerccio ................................................................................................................................. 29 4.4.2 Exerccio ................................................................................................................................. 29

4.5 LEI DOS GRANDES NMEROS ................................................................................................................. 30

4.5.1 Exerccio ................................................................................................................................. 30 4.6 TCNICAS DE CONTAGEM ...................................................................................................................... 36

4.6.1 Princpio fundamental da Contagem ................................................................................. 36 4.6.2 Permutaes ou Arranjos Simples .................................................................................... 36 4.6.3 Exerccio ................................................................................................................................. 37

3

4.6.4 Arranjos Completos ............................................................................................................. 37 4.6.5 Exerccio ................................................................................................................................. 38 4.6.6 Combinaes ......................................................................................................................... 38 4.6.7 Exerccios Contagem ........................................................................................................... 39

4

Objectivos Gerais:

Pesquisar, registar, organizar e analisar informao recolhida de diversas fontes e em vrios

formatos.

Compreender e distinguir os conjuntos numricos: N, Z e Q. Compreender as operaes e

propriedades elementares nos conjuntos referidos.

Compreender e distinguir diferentes representaes de nmeros e diferentes sistemas

numricos para nmeros Racionais.

Compreender o conceito de percentagem como razo e determinar percentagens em

diferentes contextos.

Compreender e distinguir diferentes tipos de variveis estatsticas.

Caracterizar diferentes tipos de variveis estatsticas.

Desenvolver do conceito de Frequncia na Estatstica.

Distinguir e determinar diferentes tipos de Frequncias Estatsticas.

Construir e interpretar grficos e tabelas com informao estatstica.

Determinar e analisar medidas de tendncia central de uma distribuio numa amostra.

Determinar e analisar as medidas de disperso de uma distribuio numa amostra.

Compreender o significado estatstico de mdia aritmtica.

Relacionar as Frequncias estatsticas com as leis da probabilidade para num determinado

acontecimento aleatrio.

Caracterizar e calcular uma probabilidade simples e condicionada.

Desenvolver a capacidade de elaborar esquemas de contagem.

Desenvolver tcnicas de contagem: Arranjos e Combinaes.

Reconhecer o papel da estatstica e da probabilidade no mundo.

Desenvolver a capacidade de resolver problemas matemticos.

Desenvolver capacidades transversais na matemtica.

Aperfeioar e desenvolver a linguagem matemtica.

5

1. Introduo estatstica

Objectivos especficos Representao de um nmero racional.

Funo de uma varivel real e sua representao grfica.

Caracterizao de uma varivel estatstica.

1.1 O que um nmero racional?

Desde tempos remotos que o homem desenvolveu sistemas de numerao para fazer face ao

desenvolvimento da sua actividade.

Com o desenvolvimento das relaes comerciais, foi necessrio introduzir uma forma de

representao denominada posicional, isto , a escrita de um nmero no depende apenas dos

smbolos usados mas tambm da sua posio na escrita.

Desta forma foi possvel desenvolver mais rapidamente todo o tipo de tcnicas e propriedades dos

nmeros e das suas operaes simples como a soma ou a multiplicao.

A representao decimal foi a que melhor se adaptou a esta forma de representao e a que

usada hoje em dia.

De um modo simples um nmero decimal um nmero com vrgula.

Esta concepo de nmero decimal muito simplista e no correcta.

Por exemplo o nmero =3,141592654 um nmero com vrgula mas esta no uma

representao de um nmero racional.

Definio

Chama-se nmero racional a um nmero da forman

m, com m e n inteiros e 0n . O nmero

m diz-se o numerador e n o denominador, e a representao chama-se fraco e representa o

quociente dos respectivos nmeros. Ao conjunto formado por estes nmeros chama-se

conjunto dos nmeros racionais e representa-se por Q.

Note-se que um nmero inteiro tambm um nmero racional.

Um nmero racional pode ser representado de vrias formas, por exemplo na forma decimal usando

uma vrgula para separar a parte inteira da parte decimal ou na forma fraccionria vista

anteriormente.

Exemplo

1,5 um nmero representado na sua forma decimal ou dzima.

3

2 o mesmo nmero representado na sua forma fraccionria.

31,5

2

6

Considerem-se agora os seguintes nmeros racionais:3

1 e

7

4.

As suas representaes em dzima so as seguintes:

3

1= 0, 3333= 0,(3) o perodo 3;

7

4= 0,5714285714 = 0,(571428) o perodo 571428

Nestes exemplos, as dzimas so infinitas, existindo um nmero ou um conjunto de nmeros que se

repetem indefinidamente. No 1 caso o nmero 3 e no 2 o conjunto dos nmeros 571428. Ao nmero

ou conjunto de nmeros que se repete chama-se perodo e as dzimas dizem-se infinitas peridicas.

finitas

Dzimas

peridicas

infinitas

no peridicas

1.2 Como converter uma dzima numa fraco?

Para converter uma dzima numa fraco pode-se utilizar a seguinte tcnica:

Seja 1 2 3, ...a a a a uma representao decimal de um determinado nmero em 1 2 3, , ,....a a a que so

os dgitos desse nmero correspondente parte decimal.

A quantidade destes dgitos indica o valor da potncia de base 10 pela qual devemos dividir o nmero

se ele no tivesse parte decimal.

A fraco ser assim representada por:

1 2 3quantidade de dgitos

...

10

aa a a

Exemplo

Seja 1,23 um nmero racional representado na sua forma decimal. Para converter na sua forma

fraccionria contamos o nmero de dgitos direita da vrgula 2 dgitos: o 2 e o 3.

Ento a fraco ser dada por:

2

123 1231, 23

10 100

Seja 24,634 um nmero racional representado na sua forma decimal.

Ento a fraco ser dada por:

7

3

24634 2463424,634

10 1000

1.2.1 Exerccio

Converta as seguintes fraces em dzimas e vice-versa.

3,2 1, 23 0,12 3

10

1

10 31, 23

7

12 3,2

0, 2 25

6 1,002 5,221

1

4 2,01

2

5 721,0001

1.3 Operaes com nmeros racionais

Adio e subtraco

Estas duas operaes quando realizadas com nmeros decimais so muito semelhantes adio e

subtraco de nmeros naturais. Em termos de aplicao do algoritmo, basta ter em ateno a

posio da vrgula, tendo o cuidado de se colocar vrgula debaixo de vrgula, para que as diferentes

ordens fiquem em correspondncia.

Multiplicao

A multiplicao com nmeros decimais um pouco mais complexa que as anteriores j que neste

caso o produto pode no ser superior aos termos, como acontece sempre na multiplicao dos

nmeros naturais. Por exemplo: 0,5 0,1 0.05 .

Regra

O produto de um nmero com m casas decimais por outro com n casas decimais um nmero

com n+m casas decimais.

Diviso

Tal como a multiplicao, a operao de diviso com nmeros decimais possui algumas

caractersticas diferentes da diviso de inteiros. Por exemplo: 51,05,0

Regra

O quociente de um nmero com m casas decimais por outro com n casas decimais um

nmero com m-n casas decimais.

8

1.4 Percentagens

Uma percentagem uma representao de um nmero decimal com um denominador comum que

o nmero 100.

As percentagens so muito teis em estatstica, pois permitem, usando uma proporcionalidade

simples, causar um maior impacto visual do volume de dados obtidos por um

determinado estudo.

Por exemplo:

Qual a frase mais fcil de compreender em termos numricos?

a) 76% das vendas produzidas em comrcio se devem forma como

um vendedor aborda o potencial comprador.

b) Num estudo em que foram entrevistadas 973 pessoas e 740

responderam que a forma como um vendedor aborda o potencial

comprador preponderante para concretizar a venda.

Ambas as frases expressam a mesma razo mas mais imediata a

percepo da quantidade quando se olha para a percentagem.

1.5 Como calcular uma percentagem?

Exemplo

Como calcular o I.V.A. de 23% de uma venda de 345,00?

Podemos usar duas tcnicas que basicamente so o mesmo clculo:

Tcnica#1- As palavras de, da e do representam um produto ou multiplicao na

matemtica. Assim traduz-se a frase anterior da seguinte forma:

23% 345,00

O smbolo % representa a percentagem e desse modo o quociente ou diviso por 100.

Assim,

2323% 345,00 345,00 79,35

100

A resposta : O I.V.A. de 79,35.

Tecnica#2-Uma das formas mais usadas na resoluo de problemas envolvendo

proporcionalidade a regra de trs, segue-se um esquema do uso da regra:

9

Dinheiro IVA %

345,00 100

? ou x 23

Usando a tabela anterior faz-se uma igualdade com a multiplicao cruzada:

345,00 23100 345,00 23 79,35

100x x

1.5.1 Exerccio TAREFA#1

Resolve as seguintes questes:

1. Preenche a tabela com os valores correspondentes s respectivas percentagens, da

ficha de um produto vendido numa loja de materiais de construo:

Preo de venda de uma Serra Elctrica + 321,60

Cobrana de IVA (23%) +

Portes de envio cobrana (4,5%) +

Desconto para Clientes com Carto de

fidelidade (9,5%) -

Desconto Especial (32,5%) -

2. Qual o valor a cobrar pelo artigo levantado na loja e com desconto especial?

3. Na mesma loja foi vendido por 46,23 uma caixa de ferramentas. Sabendo que

inicialmente o valor com IVA era de 50,25 qual foi a percentagem de

desconto feito no artigo?

TAREFA#2

Resolve as seguintes questes:

1. Qual o valor a pagar por um artigo que custa 25 mas tem um desconto de 35%?

2. O nmero de utilizadores de Windows8 aumentou 15% no ltimo ms. O que

significa a afirmao anterior?

3. O preo da gasolina SC95 aumentou, desde o incio do ano 15%, sabendo que custava

1,50 qual o preo actual da gasolina SC95?

10

2. Organizao de dados estatsticos

Objectivos especficos

Tipos de amostragem estatstica.

Tcnicas de contagem.

Frequncias de um acontecimento estatstico.

Representao grfica de uma distribuio.

2.1 Funo real de varivel real e sua representao grfica

Um grfico um elemento visual simples, intuitivo e de fcil interpretao que agrupa um conjunto de

informao diversificado.

Ao lermos um jornal ou uma revista, podem-se encontrar com grande frequncia grficos, tabelas e

ilustraes que renem um conjunto varivel de informao.

Estes instrumentos so muito utilizados nos meios de comunicao porque este tipo de ilustrao

mais interessante, chamativo, agradvel e de fcil compreenso.

No contexto da actividade comercial os grficos desempenham, tambm um papel fundamental, j

que permitem modelar no espao e no tempo informao til e desenvolver a capacidade de anlise

das empresas, importante para a promoo e desenvolvimento de tcnicas de venda eficientes e

centradas em objectivos claros.

No s nos jornais ou revistas que encontramos grficos. Os grficos esto presentes nos exames

laboratoriais, nos rtulos de produtos alimentcios, nas informaes de composio qumica de

cosmticos, nas bulas de remdios, entre outros objectos e produtos.

Elementos bsicos de um grfico: Ttulo - Em geral na forma de frase curta e

chamativa, para despertar o interesse do leitor.

Subttulo ou texto explicativo O subttulo

facultativo num mapa embora seja essencial

para a compreenso do grfico. Fonte -

identificao do rgo ou instituio que fez a

pesquisa de dados. A fonte valida a pesquisa e

permite que o leitor possa confiar nas

informaes descritas pelo grfico.

Caracterizao de um grfico:

Normalmente um grfico possui dois eixos ortogonais

(perpendiculares) que representam as variveis. Cada

11

eixo associa-se um determinado conjunto de elementos que pode ser qualitativo ou quantitativo.

Quando tratamos com dados numricos (quantitativos) necessrio ter em ateno as escalas de

construo usadas em cada eixo j que o espaamento deve fornecer ao leitor uma precisa e fivel

noo das relaes entre os conjuntos.

Um exemplo das diferenas provocadas na utilizao de diferentes escalas pode ser visto nos

seguintes grficos que retractam o mesmo conjunto de dados, mas que podem ou no dar a

impresso de maior ou menor crescimento do nmero total de linhas telefnicas no mesmo perodo

de tempo.

A utilizao de grficos na estatstica muito importante que permite manipular um volume grande de

dados atravs de uma forma visual de fcil interpretao e com algum rigor.

2.1.1 Exerccio Observa a imagem que se segue e responde s questes:

1. Indique as variveis que o grfico relaciona e caracterize-as.

2. Em que ms se registou o maior nmero de faltas dos alunos?

3. Em que ms ou meses se verificou um decrscimo do nmero de faltas dos alunos?

4. Indique os valores numricos de faltas que os alunos ao longo de todo ano.

5. Determine o nmero mdio de faltas por ms dadas, pelos alunos, ao longo do ano.

2.2 Tipos de Grficos

O tipo de grfico usado depende do tipo de dados que se pretende analisar, do tipo de informao

tratada, da quantidade de dados e da sua disperso num determinado intervalo. Os tipos de grficos

mais usados so:

Grfico de Barras.

Histograma.

12

Nos grficos de barras e histogramas os dados so representados por rectngulos verticais (colunas)

ou horizontais (barras) e so mais utilizados para variveis qualitativas ou dados numricos colhidos

de diversas populaes.

Grfico de Disperso ou pontos.

Grfico Poligonal ou de linhas.

Os grficos de linhas e disperso so utilizados para representar a variao duas grandezas

numricas. visualmente fcil compreender alguns aspectos imediatos da relao como por exemplo

o crescimento ou decrescimento das grandezas, pontos especficos, mximos, mnimos, os

momentos em que se uma das variveis se anula, entre outras.

Grfico Circular.

O grfico circular ou como o prprio nome indica um crculo dividido em sectores que representam,

normalmente uma variao em percentagem de uma determinada varivel representada por vrios

sectores.

Pictogramas.

Por vezes as barras so substitudas por pequenos smbolos ou desenhos denominando-se por

grficos pictricos ou pictogramas.

Exemplo

A tabela que se segue relaciona o conjunto de 26 alunos de uma determinada turma com as

suas respectivas alturas. Como se pode observar os dados pouco se repetem o que indica

uma grande disperso.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1,60 1,61 1,75 1,67 1,81 1,62 1,79 1,66 1,72 1,70 1,57 1,73 1,74

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

1,68 1,70 1,75 1,67 1,69 1,88 1,66 1,68 1,69 1,74 1,75 1,82 1,56

Neste caso deve-se agrupar os dados em intervalos, preferencialmente com a mesma

amplitude e com uma distribuio uniforme de modo a reflectir as concentraes da

disperso.

13

O grfico usado para tornar

os dados mais visuais o

grfico simples de barras,

que se encontra ao lado.

2.2.1 Exerccio

Observa o grfico

seguinte que se refere

ao volume de vendas

de chuteiras no

mercado nacional.

1. Em qual dos

meses do 1 semestre do ano de 2010 se vendeu maior nmero de chuteiras da NIKE em Portugal?

2. Determine a percentagem de chuteiras vendidas em Fevereiro relativamente ao 1 semestre do ano

de 2010?

3. Indique, justificando, uma razo provvel para o volume de vendas em Janeiro ser o maior do

Semestre.

A habilidade de ler e interpretar tabelas e grficos, exige um conhecimento bsico das regras

relacionadas com cada tipo de grfico, bem como um conjunto de conceitos e tpicos bsicos da

matemtica para que desse modo permita ultrapassar o senso comum e analisar criticamente um

conjunto de dados ou informaes.

A estatstica uma rea da matemtica que se relaciona com a capacidade de interpretar, analisar e

organizar dados recolhidos de diferentes fontes e formas sendo os grficos uma das formas mais

privilegiadas de apresentar essa anlise.

14

3 Anlise de dados estatsticos

Objectivos especficos Medidas de tendncia central: mdia, moda e mediana.

Medidas de disperso: amplitude, varincia e desvio padro.

Desenvolvimento de um estudo de mercado.

3.1 Estatstica

A estatstica um ramo da matemtica que estuda relaes entre vrias variveis num conjunto

limitado de dados e que, atravs de processos de anlise, permite inferir acerca das caractersticas

desses dados.

De um modo mais simples a Estatstica uma cincia que permite obter informao a partir de um

conjunto de dados.

Os dados so, geralmente, nmeros associados a uma determinada caracterstica ou contexto.

Exemplo

O nmero 1,92 no oferece qualquer informao a um observador, contudo se se disser que

1,92 metros a altura de uma determinada pessoa em Portugal, podemos imediatamente dizer

que essa pessoa alta relativamente mdia da generalidade dos portugueses.

O contexto em que o nmero foi inserido permitiu fazer um julgamento ou juzo de valor,

tornando esse nmero em informao.

A argumentao produzida pela anlise de informao estatstica cada vez mais utilizada,

quer ao nvel da informao ou ao nvel administrativo, mas ao empresarial que a estatstica

assume um papel fundamental.

Hoje em dia impensvel o lanamento de um produto no mercado sem que se faa um

estudo estatstico ao nvel do consumidor no sentido de conseguir potenciar o nvel de

sucesso e venda do produto. Toda a estratgia comercial desenvolvida a partir da

informao retirada de um estudo estatstico prvio desenvolvido atravs da recolha de

informao do pblico ou consumidores.

3.1.1 Exerccios Tarefa#1

Observa o quadro que se segue:

O quadro refere-se ao transporte de diferentes tipos de mercadorias em Portugal.

Responde s questes que se seguem:

15

1. Determina a quantidade de Produtos Petrolferos e Adubos transportados em Portugal no ano

1998.

2. Determina a quantidade total de comrcio transportado na Regio do Alentejo.

3. Indique em que zona do pas se verificou um maior trfego de produtos comerciais, em 1998.

Por que razo ter sido essa a zona de maior intensidade de trfego?

4. Calcula a percentagem de Madeira e Cortia transportada na Regio Norte.

5. Calcula a percentagem de Produtos Qumicos transportados na Regio Centro.

6. Calcula a percentagem de Animais vivos e Beterraba transportados da Regio do Alentejo.

Elabora um grfico da distribuio percentual relativo ao transporte de Oleaginosas em

Portugal.

3.2 Noes Bsicas de Estatstica

O objectivo da recolha de dados fazer inferncias sobre um conjunto de elementos em estudo.

Ao conjunto de todos os elementos que constituem o objecto do estudo chama-se populao. Por

razes de tempo, dinheiro ou outras, pode no ser possvel observar cada elemento da populao

sendo o nosso objectivo e desse modo recolhe-se um conjunto menor que se chama amostra.

Cada caracterstica comum dos indivduos da populao ou amostra que se pretende estudar e que

vai assumindo diferentes valores de indivduo para indivduo chama-se varivel.

As variveis (e os respectivos dados) podem ser divididas em dois tipos: qualitativas e

quantitativas.

16

Variveis qualitativas - representam a informao que identifica alguma qualidade, caracterstica ou

categoria, no susceptvel de medida, mas de classificao.

Por exemplo, a cores, texturas, diferentes gostos, entre outras.

Variveis quantitativas representam informao numrica de alguma caracterstica. Por exemplo:

Idade, Peso, entre outras.

As variveis quantitativas dividem-se em dois subgrupos: discreta se s pode tomar um n finito ou

infinito numervel de valores distintos. Por exemplo, n de habitantes de uma cidade, n de divises

de uma habitao, n de alunos inscritos numa disciplina, n de acidentes por dia numa determinada

via, etc. e contnua se pode tomar qualquer valor dentro de um intervalo de variao. Esto neste

caso o tempo de vida (horas) de uma pea, a durao de uma chamada telefnica, o caudal de um

rio num determinado instante, o peso e a altura de uma pessoa, etc.

3.3 Apresentao dos dados

Existem vrias formas de apresentar um conjunto de dados estatsticos embora se privilegiem duas:

As tabelas de Frequncias e os Grficos.

A tabela de frequncias uma organizao dos dados que pode ser utilizada tanto para dados

discretos como contnuos havendo no entanto diferenas a considerar.

Recolheu-se uma amostra de 165 palavras de um determinado texto. A varivel em causa o

nmero de letras que constituem cada uma

das palavras do texto

Na tabela que se segue os dados foram

inseridos da seguinte maneira: a 1 coluna

refere-se varivel e aos vrios valores que

pode tomar essa varivel, na 2 coluna foi

registado o nmero palavras com o respectivo

nmero de letras que aparece no texto, estes

dados chamam-se frequncias absolutas (ou

simplesmente frequncias).

Numa tabela de frequncias, alm das frequncias absolutas, tambm se podem apresentar as

frequncias relativas.

Dimenso da amostra o nmero de elementos que constituem a amostra.

N de letras freq. absolutas freq. relativas

4 5 0.03030303

5 71 0.43030303

6 43 0.26060606

7 26 0.15757576

8 5 0.03030303

9 6 0.03636364

10 9 0.05454545

17

Para alm das frequncias anteriores, que tratam os dados em forma absoluta comum acrescentar

frequncias acumuladas que consiste, para um determinado valor da varivel, na soma de todas as

frequncias dos valores anteriores da amostra.

A representao de uma amostra, atravs de uma tabela de frequncias uma das formas mais

comuns, j que organiza os dados de forma sistemtica, permitindo algumas observaes e anlises

rpidas.

3.3.1 Exerccio

Observa a quadro que se segue que

corresponde a uma amostra de um

inqurito acerca do nmero de SMS

enviadas por dia por uma pessoa:

1. Elabora uma tabela de frequncias

que rena os dados do quadro.

2. Determina as medidas de tendncia

central?

3. Determina as medidas de disperso.

4. Escolhendo uma pessoa aleatoriamente qual ser o nmero, mais provvel, de

mensagens que ela far habitualmente?

3.3.2 Dados Agrupados por classes

Observe a tabela que se segue e cujos valores representam o

tempo, em minutos, que em mdia um aluno demora a

responder a uma mensagem de telemvel.

Neste caso trata-se de um volume elevado de dados muito

dispersos pelo que necessrio proceder a um agrupamento

dos dados em vrios intervalos.

Como formar ento esses intervalos ou classes?

1. Determinar a amplitude da amostra.

AMP= mx mnX X

16 224 16 80 96 536 400 80 392 576 128 56 656 224 40 32 358 384

448 716 304 16 72 8

80 72 56 608 108 194 136 224 80 16 424 264

552 72 184 240 438 120 308 32 272 152 328 480 60 208 340 104 72 232

256 246 328 464 156 216 168 184 168 40 152 360 96 224 168 168 114 280

40 12 112 288 168 352 56 72 64 40 184 264 176 160 208 152

18

Diferena entre o valor mximo e o valor mnimo da amostra.

2. Dividir a amplitude por um nmero de Intervalos I (ou classes) de preferncia com a mesma

amplitude.

Para determinar a amplitude das classes considere-se a regra prtica de Sturges:

1nlogK 2

Exemplo Como proceder organizao por classes da tabela anterior? Determina-se a amplitude da amostra:

AMP= 716 8 708mx mnX X

88N

Determina-se ento o nmero de classes atravs da frmula de

Sturges:

2

2

log 1

log 88 1 6, 45+1=7,45 7 Classes

K N

K

Finalmente, dividindo a amplitude pelo nmero de classes:

708102 Amplitude das Classes

7

AMP

K

classe freq.absoluta freq.relativa [8,110[ 30 0,34

[110,212[ 22 0,25 [212,314[ 16 0,18 [314,416[ 9 0,10 [416,518[ 5 0,06 [518,620[ 4 0,05 [620,722] 2 0,02

3.3.3 Exerccio

Observa o talo de compras que se encontra ao lado 1. Completa a tabela de frequncias.

19

3.4 Medidas de

Tendncia

Central

Existem trs medidas de

tendncia central. Estas

medidas so um

indicador estatstico do

centro de uma determinada amostra ou populao em estudo.

O centro de uma amostra corresponde a um ponto em que existe uma distribuio, mais ou menos

equilibrada de uma amostra, tanto direita desse ponto como esquerda.

As medidas de tendncia central so: Mdia, Moda e Mediana.

3.4.1 Mdia

A Mdia uma medida que se associa, normalmente, mdia aritmtica e representa-se por x .

A Mdia , obrigatoriamente, um valor representativo de uma amostra ou populao.

Existem, basicamente, dois processos para determinar a mdia de uma amostra: O primeiro consiste

em somar o valor de todos os elementos da amostra e dividir pelo nmero total de elementos.

1 2 3 4 5, , , , ...ix x x x x x

ixxN

Este mtodo habitualmente usado quando a amostra contem um nmero pequeno de elementos, j

que se a amostra for numerosa o trabalho seria muito moroso e sujeito a possveis erros aritmticos.

Outro mtodo consiste em recorrer a uma tabela de frequncias, usando a frequncia absoluta para,

de forma mais rpida determinar a soma dos valores dos elementos.

Preos

Classes Freq. Absoluta Freq. Relativa

Freq. Relativa

Acumulada

20

Tomando a tabela anterior como referncia:

i ix FAxN

4 5 5 71 ...x

N

3.4.2 Moda

Moda: o valor (ou atributo) que ocorre com maior frequncia na distribuio, isto , o que possui a

maior frequncia absoluta. A moda associa-se o smbolo Mo .

No exemplo da tabela anterior 5Mo .

Definio

Existem casos em que a moda est associada a mais do que um valor da amostra, se forem

dois valores diz-se que a amostra bimodal.

Se existirem mais do que dois valores com a mesma frequncia diz-se que a amostra no tem

moda definida.

Se a moda for uma classe chama-se classe modal.

3.4.3 Mediana

Para a identificao da mediana consideram-se tambm dois processos distintos, de forma

semelhante mdia e pelas mesmas razes, isto , de acordo com a dimenso da amostra.

Se a amostra for formada por um conjunto pequeno de valores, a mediana ser o elemento de ordem

n que ocupa a posio central da amostra. Isto , divide a amostra em duas partes iguais. Desse

modo colocam-se todos os elementos da amostra ordenados em linha e vo-se eliminando um a um

do lado esquerdo e do lado direito da linha os elementos at se obter o elemento central.

Se o nmero de elementos for um nmero impar ento sobrar apenas um elemento no centro que

ser a mediana, se a amostra for um conjunto par de elementos ento a mediana ser a mdia

aritmtica dos dois valores que ficam no centro.

21

No segundo caso, para uma amostra com um nmero elevado de elementos recorre-se tabela de

frequncias.

Observando as frequncias relativas acumuladas da tabela anterior observa-se que, por exemplo, o

valor 4 da varivel est includo no intervalo de percentagem 0%,3% ou o valor 7 no intervalo

72%,88% . Assim se verifica que o intervalo onde est contida a percentagem 50% o que

corresponde ao valor 6.

3.4.4 Exerccios Tarefa#1

Observa a tabela de frequncias que se encontra em baixo referente ao mesmo inqurito da

questo anterior:

1. Completa a tabela de frequncias dada.

2. Determina as medidas de tendncia central.

3. Determina as medidas de disperso.

TAREFA#2

Observa os seguintes dados recolhidos do site www.maisfutebol.iol.pt:

0%,3%

72%,88%

22

Na imagem, em cima, podes observar os resultados obtidos na 8 jornada dos principais

campeonatos Europeus de futebol da presente poca 2010/2011

Golos Contagem Freq. Absoluta Freq.Relativa

0

1

2

3

4

5

6

7

Nota: Deves contar o nmero de golos que se marcaram em cada jogo.

1. Completa a tabela que se segue de acordo com a informao disponvel na figura

anterior.

2. Quantos golos se marcaram no total?

3. Quantos jogos se disputaram no total?

4. Determine as medidas de tendncia central desta distribuio.

TAREFA#3

23

Observa a quadro que se segue que corresponde a uma

amostra de um inqurito acerca do nmero de horas

que uma pessoa passa, habitualmente, a navegar na

internet.

1. Elabora uma tabela de frequncias que rena os

dados do quadro.

2. Determina as medidas de tendncia central.

3. Determina as medidas de disperso.

4. Escolhendo uma pessoa aleatoriamente qual ser

o nmero de horas, mais provvel, de horas que

ela passar habitualmente a navegar na net?

3.5 Folha de clculo EXCEL (Microsoft Office)

Para o desenvolvimento dos mtodos e tcnicas usadas em estatstica, vulgar recorrer ao uso de um

software que permita efectuar vrios clculos estatsticos de forma automtica para amostras grandes.

O EXCEL, para alm de ser o mais vulgar, o que normalmente se utiliza em algumas reas da Informtica

e TIC no contexto da matriz de formao da grande maioria dos cursos de Aprendizagem.

Assim propem-se o desenvolvimento de alguns trabalhos com os alunos, no sentido de aproveitar os seus

conhecimentos transversais e maximizar o potencial do software na disciplina de Matemtica e realidade.

No se vai elaborar um manual complementar de EXCEL, j que apenas uma pequena parte das

ferramentas do software que se vai utilizar e por esse motivo solicita-se que os formandos consultem, no

caso de dvidas os seguintes locais na internet:

http://office.microsoft.com/pt-br/support/

http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/materiais/0000012208.pdf

http://www.alea.pt/Html/statofic/html/dossier/html/meio_dossier13.html

3.5.1 Proposta de trabalho de grupo

TAREFA#1

Simulao de Jogo de Dados

24

25

4. Introduo Probabilidade

Objectivos especficos

Conceito intuitivo e matemtico de probabilidade.

Probabilidade como frequncia de um determinado

acontecimento.

Probabilidade simples.

Tcnicas de contagem: Permutaes, Arranjos e Combinaes

4.1 Introduo

A palavra probabilidade, ou provvel, usa-se em linguagem corrente quando queremos expressar a

possibilidade de ocorrer um determinado resultado ou fenmeno.

Por exemplo:

provvel que venha bom tempo

No tem boas probabilidades de ganhar o euro milhes.

No jogo de futebol F.C. Porto Estoril mais provvel que ganhe o F.C. Porto.

Em matemtica, quando falamos em probabilidades queremos referir-nos a um ramo da Matemtica

que estuda os fenmenos aleatrios.

Definio

Uma experincia diz-se aleatria se for impossvel prever o seu resultado, ainda que repetida

nas mesmas condies, diz-se determinista se for possvel prever o resultado em experincias

realizadas nas mesmas condies.

Exemplos

ALEATRIOS DETERMINISTAS

Jogar e ganhar o totoloto Atirar uma pedra ao ar e ver o que

acontece

Concorrer e ganhar um concurso Colocar dinheiro num banco e calcular o

juro produzido num certo tempo

Atirar uma moeda ao ar e registar a

face voltada para cima

Colocar dois produtos qumicos em

contacto e observar a reaco

Tirar uma carta de um baralho e

registar a carta sada

Deixar de regar uma planta e ver o que

acontece

26

4.2 Conjunto de resultados ou Acontecimentos

Suponhamos que se realiza a seguinte experincia:

Roda-se o rapa que est representado na figura e seguidamente anota-se o

nmero da face que fica encostada mesa. Os resultados possveis so 1, 2, 3,

4 e 5.

Definio

Ao conjunto S formado pelos elementos que constituem os resultados possveis de uma

experincia, chama-se espao amostral ou conjunto de resultados.

A qualquer subconjunto de S chamamos acontecimento.

Aos subconjuntos constitudos por um s elemento chamamos acontecimentos elementares.

Aos subconjuntos com mais do que um elemento chamamos acontecimentos compostos.

Um subconjunto constitudo por todos os elementos do conjunto chama-se acontecimento

certo e, finalmente, a um conjunto sem nenhum elemento chama-se acontecimento impossvel.

Na experincia anterior:

S 1,2,3,4,5 o espao amostral.

A 1 e B 5 so acontecimentos elementares.

C 1,2 e D 1,2,3,4,5 so acontecimentos compostos.

D 1,2,3,4,5 um acontecimento certo.

F chama-se acontecimento impossvel.

Exemplo

Considera a experincia do lanamento de um dado com as faces numeradas de 1 a 6.

1. Define o espao amostral.

2. Define e classifica os seguintes acontecimentos:

a) A:sair nmero par;

b) B:sair um nmero superior a 5;

c) C: sair um nmero menor que 7;

d) D: sair o nmero 7.

Resoluo:

1. O espao amostral o conjunto de formado pelos

possveis resultados da experincia por esse motivo S 1,2,3,4,5,6 .

27

2. A 2,4,6 , Acontecimento composto;

3. B 6 , Acontecimento elementar;

4. C 1,2,3,4,5,6 , Acontecimento certo;

5. B , Acontecimento impossvel.

4.3 Lei de Laplace

A probabilidade um conceito que embora possa ser abstracto, matematicamente determinado

com recurso a vrios mtodos.

O mtodo de determinao de uma probabilidade simples a lei de Laplace:

Definio

Considerando uma experincia aleatria, a probabilidade de um determinado acontecimento

A ocorrer nessa experincia expresso pela razo entre o nmero de casos favorveis ao

acontecimento e o nmero de casos possveis.

casos favorveisP(A)

casos possveis

Da definio de probabilidade podem se concluir as seguintes propriedades imediatas:

1. A probabilidade do acontecimento certo 1.

Neste caso o nmero de casos possveis igual ao nmero de casos favorveis

2. A probabilidade do acontecimento impossvel 0.

Tambm imediato que se no existem casos favorveis a probabilidade 0.

3. 0 P(acontecimento) 1 .

Exemplo

Suponha que num cesto de fruta colocam-se: 4 mas, 3 pras e 1 laranja.

Suponha que se retira, de forma aleatria, uma pea de fruta.

Usando a lei de Laplace a Probabilidade de ser:

a) Uma ma :

4 1P(sair uma ma)=

8 2

b) Uma pra:

3P(sair uma pra)=

8

c) Uma laranja:

28

1P(sair uma laranja)=

8

d) Uma ameixa:

0P(sair uma ameixa)=

8

4.3.1 Exerccios TAREFA#1

Um saco de M&M constituido por pequenas drageias de chocolate e

coloridas por 5 diferentes de cores: Laranja, Azul, Vermelho, Amarelo,

Verde e Castanho.

Suponha uma saqueta tem 30 drageias, com igual nmero de drageias

por cor.

Responda s seguites questes:

1) Indique um acontecimento elementar e um acontecimento certo.

2) Indique um acontecimento impossvel.

3) Determine a probabilidade de, ao retirar uma drageia eleatriamente, sair de cor laranja.

4) Determine a probabilidade de, ao retirar uma drageia eleatriamente, sair de cor Azul ou

Castanha.

5) Determine a probabilidade de, ao retirar uma drageia eleatriamente, no sair de cor

Vermelha.

6) Determine a probabilidade de, ao retirar uma drageia eleatriamente, sair de cor Preta.

4.4 Esquemas de contagem

A) Tabela de dupla entrada

Uma tabela de dupla entrada um esquema que permite ter uma melhor perspectiva sobre todos os

casos possveis de uma experincia composta por dois acontecimentos simultneos, como por

exemplo: o lanamento de dois dados, extraco de dois objectos ao mesmo tempo, etc.

Exemplo

Considere-se a seguinte experincia aleatria, lanam-se dois dados, ao mesmo tempo, numerados

de 1 a 6.

Observa a tabela que se segue:

29

A tabela representa todos os resultados possveis de obter com o lanamento dos dois dados.

Deste modo possvel visualizar, de uma forma simples, todo o conjunto das 36 possibilidades.

4.4.1 Exerccio

Considere a experincia do exemplo anterior e determine as seguintes probabilidades:

1) Qual a probabilidade de sair, pelo menos um 5.

2) Qual a probabilidade de sair um doble (os dois dados com o mesmo valor).

3) Qual a probabilidade de no sair nenhum nmero um.

B) Diagrama de rvore

O diagrama em rvore pode ser aplicado para qualquer uma experincia envolvendo dois ou mais

acontecimentos, como por exemplo: a extraco de 3 bolas, o lanamento de 3 moedas, etc.

Exemplo

Considere a seguinte experincia: Lanam-se uma

moeda, trs vezes consecutivas e regista-se o resultado.

Os acontecimentos elementares possveis podem ser

expressos usando um diagrama de rvore, na forma da

imagem que se encontra ao lado:

Observa-se que existem 8 casos possveis, sendo que FN

corresponde a face nacional e FC a face comum.

4.4.2 Exerccio

Considere a experincia descrita anteriormente.

Determine as seguintes probabilidades:

1) Sarem 2 vezes face comum.

2) Sair pelo menos uma face nacional.

3) No sair no segundo lanamento uma face nacional.

30

4.5 Lei dos grandes nmeros

Foi Jakob Bernoulli, matemtico suio, que em 1713 publicou um conjunto de resultados em que

demonstrou um dos conceitos mais bsicos da probabilidade. O resultado um teorema denominado

Teorema de Bernoulli, mas habitualmente chamado simplesmente de Lei dos grandes nmeros.

Teorema de Bernoulli ou Lei dos grandes nmeros

Considere-se uma experincia aleatria repitida n vezes com um conjunto de m resultados

possveis 1 2 3, , ,..., mA A A A , sejam 1 2 3, , ,..., mA A A AF F F F as frequncias relativas associadas a cada resultado possvel ento medida que n cresce e se torna arbitrariamente grande as

probabilidades 1 2 3, , ,..., mP A P A P A P A aproximam-se de 1 2 3, , ,..., mA A A AF F F F , sendo que no limite,

1 2 31 2 3

, , ,..., , , ,...,mm A A A A

P A P A P A P A F F F F

Com este teorema possvel confirmar o conceito intuitivo de probabilidade, mostrando de forma

experimental a Lei de Laplace.

4.5.1 Exerccio

TAREFA#1

O Casino da Pvoa quis verificar se os seus dados de jogo esto

viciados. A direco pediu ento ao Laboratrio de Calibrao do Porto

que analisasse a situao e que apresentasse um relatrio.

Os tcnicos do laboratrio efectuaram o seguinte estudo estatstico.

Comearam por seleccionar um dado e lanaram-no repetindo esta

experincia diversas vezes. No quadro que se segue encontra-se uma

amostra dos dados recolhidos.

31

1. Indica o espao de resultados () Possveis da experincia.

2. Indica um acontecimento Certo, um acontecimento Impossvel e um acontecimento

Possvel.

3. Constri a tabela de frequncias absolutas e relativas desta experincia.

4. Determina as Medidas de Tendncia Central.

5. Verifica se existe algum ou alguns valores do espao da amostra que possuam uma maior

probabilidade de sair.

6. Se o jogo do casino fosse o apostador escolhe um valor do dado e aposta, se sair esse

valor ganha 100 se no sair perde 10 em que nmero ou nmeros se deveria apostar

para aumentar a probabilidade de ganhar?

7. Poderemos dizer que os dados esto viciados? Explica o teu raciocnio.

TAREFA#2

A experincia que se segue demonstra, matematicamente,

uma relao muito importante sobre a certeza ou incerteza

de um determinado acontecimento.

Considere a seguinte experincia:

Seleccionamos 5 cartas diferentes mas todas do mesmo

naipe: s, Duque, Rei, Dama e Valete.

Retira-se, aleatoriamente, uma carta e regista-se no quadro

em baixo.

Repete-se a operao 80 vezes.

Cartas Contagem Freq. Absoluta Freq. Relativa

32

1. Este modelo aleatrio ou determinstico?

2. possvel obter neste jogo um sete de paus? Como achas que poderamos chamar a este

acontecimento?

3. Supe que queres fazer um jogo em que tu sejas, na maior parte das vezes, vencedor

contra um qualquer adversrio. Tendo em conta as condies (s tens as 5 cartas e a

tabela) que jogo propes?

Verifica com o teu colega do lado se o teu jogo funciona.

4. Podes afirmar, com base na tabela que existe uma carta que sai mais vezes?

5. Qual ser a probabilidade de sair um s, se eu escolher uma carta, aleatoriamente de um

conjunto igual ao da experincia? Explica o teu raciocnio.

TAREFA#3 ESCOLHA MLTIPLA

Para cada questo existe apenas uma resposta correcta, assinala-a.

1. Considera as experincias seguintes:

I - " Deixar cair um prego dentro de um vaso com gua "

II - " Jogar no totobola "

Qual das seguintes afirmaes est correcta:

As experincias I e II so deterministas. A experincia I determinista e a II aleatria.

A experincia I aleatria e a II determinista. Ambas so aleatrias.

2. Considera os seguintes acontecimentos:

A - " Sair sete no lanamento de um dado "

B - " O Benfica ganhar o prximo campeonato "

C - " Chover em Braga durante o ms de Janeiro "

Escolhe a opo correcta.

O acontecimento A impossvel e o C

pouco provvel.

O acontecimento B certo e o C muito

provvel.

Os acontecimentos A e C so ambos

impossveis.

O acontecimento B no certo e o C muito

provvel.

33

3. Num caf esto 20 pessoas. Sabendo que 8 so mulheres, indica a probabilidade de ao escolher uma

das pessoas ao acaso, escolhermos um homem?

60% 0,4

12 8

4. No lanamento de um dado viciado, a probabilidade de obtermos um n par o triplo da probabilidade

de obter um nmero mpar. A probabilidade de sair mpar ?

0,5 0,75

0,25 3

5. Lanou-se uma moeda e saiu cara. Se voltarmos a lanar a moeda:

mais provvel sair coroa. mais provvel sair cara.

to provvel sair cara como coroa. A probabilidade de sair cara 1.

6. Um doente que est prestes a ser operado sabe que a probabilidade de sucesso da operao 99 %.

Antes de ser operado perguntou ao mdico quantas operaes j tinha efectuado antes. Noventa e nove -

responderam o mdico - e foram todas bem sucedidas. O doente, muito abalado, decidiu que no queria

ser operado pois, segundo os seus clculos, a sua operao no teria sucesso.

Escolhe a opo correcta:

O doente tem razo, se as primeiras 99

correram bem a centsima tem que correr mal para

que a probabilidade de sucesso seja 99%.

O doente est errado, a probabilidade da sua

operao ser bem sucedida de 50%.

O doente est errado, a probabilidade da sua

operao ser bem sucedida 99%.

O doente est certo.

7. Uma equipa de futebol composta por 5 jogadores portugueses, 3 brasileiros, 2 angolanos e 1

espanhol. Escolhido um jogador ao acaso a probabilidade de ser:

Portugus 5. Europeu 0,(54)

Espanhol 1% Angolano 0,5.

8. Numa turma de 28 alunos, 9 s praticam natao, 12 praticam apenas futebol e os restantes praticam

as duas modalidades. Escolhido um aluno ao acaso, a probabilidade de:

Praticar natao 4/7. Praticar natao 9/28.

Praticar futebol 12/28. No praticar natao 19/28.

34

9. De um baralho com quarenta cartas foi retirada uma ao acaso.

A probabilidade de no sair rei nem s 8/40. A probabilidade de sair vermelha ou valete

14/40

A probabilidade de no sair paus 0,25. A probabilidade de sair preta ou rei 11/20.

10.Num saco esto bolas azuis e vermelhas, num total de 50 bolas. Sabendo que a probabilidade de tirar

bola azul 0,34 podemos concluir que o nmero de bolas vermelhas :

33. 16.

25. 17.

11. Num frasco temos 17 rebuados de limo, 5 de laranja e 10 de mentol. Retiram-se, sucessivamente e

sem reposio 3 rebuados. Sabendo que os dois primeiros so de limo, escolhe a opo correcta:

A probabilidade do terceiro ser de laranja

5/32.

A probabilidade do terceiro ser de limo

17/30

A probabilidade do terceiro ser de laranja

3/30.

A probabilidade do terceiro ser de limo 1/2.

12. Perguntou-se a 200 pessoas se viam telenovelas. Os resultados foram registados na tabela:

Sim No

Homens 50 30

Mulheres 100 20

Escolhida uma pessoa ao acaso:

P ( " ser homem " ) = 80 P ( " ser mulher ou ver telenovelas " ) = 17/20

P ( " no ser mulher " ) = 60% P ( " no ser mulher nem ver telenovelas " ) =

2/5

13. Numa turma de 25 alunos os alunos podem optar por participar em duas actividades - informtica ou

futebol -, 14 fazem parte do clube de informtica, 12 fazem parte da equipa de futebol e 2 no participam

em qualquer actividade. Podemos afirmar que:

O enunciado do problema est errado. A probabilidade de um aluno escolhido ao

acaso participar nas duas actividades 12%.

A probabilidade de um aluno no participar

em qualquer actividade 2/28.

A probabilidade de um aluno participar

apenas no clube de informtica 14/25.

35

14. Numa algibeira esto guardadas 2 moedas de 20 cntimos e duas moedas de 50 cntimos. Tira-se

uma moeda ao acaso, e de seguida, tira-se uma segunda moeda sem ter reposto a primeira. Podemos

afirmar que:

A probabilidade das duas moedas serem de

20 cntimos 1/6.

A probabilidade de terem valores diferentes

4/15.

A probabilidade de ambas serem de 50

cntimos 1/15.

A probabilidade de ambas serem de 20

cntimos 1/3.

15. Com 5 marcadores de cores diferentes quantas bandeiras tricolores diferentes podemos pintar

(supe que no podes deixar faixas em branco)?

15. 8.

60. 80.

16. No lanamento de um dado a probabilidade de:

Obter um nmero par 1/4. Obter um nmero superior a 6 1.

Obter um nmero primo 1/2. Obter soma divisvel por 4 2/15.

17. Lanam-se, simultaneamente um dado e duas moedas de dois euros. Podemos afirmar que:

A probabilidade de obter um 3 e duas caras

3/10.

A probabilidade de obter seis e duas coroas

1/24.

A probabilidade de obter um nmero par e

duas faces diferentes 1/12.

A probabilidade de obter um nmero par e

duas faces diferentes 5/12.

18. Um casal est a pensar ter 3 filhos. Supondo que a probabilidade de nascer rapaz igual

probabilidade de nascer rapariga, podemos afirmar que:

A probabilidade dos trs serem rapazes 1/2. A probabilidade de serem dois rapazes e uma

rapariga 30%

A probabilidade dos dois mais velhos serem

do mesmo sexo 1/4.

A probabilidade de no serem todos do

mesmo sexo 3/4

19. Uma carta enviada por correio azul tem uma probabilidade de 0,98 de chegar no dia seguinte ao seu

destinatrio. Uma empresa enviou 250 cartas por correio azul. Quantas se esperam que cheguem no dia

seguinte aos seus destinatrios?

250. 245.

98. 196.

36

4.6 Tcnicas de Contagem

O princpio fundamental da contagem consiste em encontrar uma forma de contar o numero de

formas ou possibilidades em escolher um elemento de um conjunto de possibilidades.

4.6.1 Princpio fundamental da Contagem

Seja A um determinado acontecimento que ocorre em n diferentes etapas 1 2 3, , ,..., nk k k k , em que 1k

corresponde primeira etapa , 2k corresponde segunda etapa e assim sucessivamente.

Ento o nmero T total de maneiras de ocorrer o acontecimento, composto pelas n etapas ser dado por:

1 2 3 ... nT k k k k

4.6.2 Permutaes ou Arranjos Simples

Suponha que 4 amigos: Rui, Ricardo, Rute e Raquel vo ao cinema e pretendem ficar juntos. De quantos

modos diferentes se podem sentar os amigos?

Este tipo de problema enquadra-se no tema da probabilidade, Tcnicas de Contagem e trata-se de

Permutaes ou Arranjos Simples, j que os amigos vo permutar entre si nos lugares disponveis.

Existem algumas estratgias simples para determinar o nmero de modos diferentes num contexto igual.

Note-se que o nmero de amigos exactamente igual ao nmero de lugares que pretendem ocupar.

4 ? ? ?

Na primeira cadeira pode-se sentar qualquer um dos amigos o que significa que temos exactamente 4

possibilidades. A partir deste momento para a segunda cadeira sobram 3 amigos, uma vez que um j se

encontra sentado. Assim para a segunda possibilidade sobram 3 amigos para cada uma das possibilidades

consideradas anteriormente, isto 4 3 ,

4 3 ? ?

Usando o mesmo raciocnio completa-se toda a configurao possvel.

4 3 2 1

O nmero de possibilidades corresponde exactamente a 4 3 2 1 24 , 24 maneiras diferentes.

De modo a simplificar a escrita o produto anterior identifica-se simplesmente por 4! e l-se quatro factorial.

Definio

37

Seja n N . O factorial de n , !n , determinado pelo produto

! 1 2 3 ... 1n n n n n

4.6.3 Exerccio Tarefa#1

Resolve os seguintes problemas 1. Num dia de vero o Joo est indeciso em relao roupa que vai vestir de entre o seguinte

vesturio: 3 T-Shirts, 2 Cales, 3 Pares de Sapatilhas, 2 Chapeus. Quantas combinaes so

possveis?

2. Um bar serve cocktails usando 5 tipos de bebidas alcolicas e 6 tipos de sumos de fruta

diferentes. Quantos tipos de cocktail diferentes so possveis fazer usando 2 bebidas alcolicas

e um sumo de fruta?

3. Uma pizzaria usa um servio do tipo faa a sua pizza favorita. Para isso os clientes dispem

de um conjunto de 13 ingredientes que podem utilizar a sua disposio escolhendo 4.Quantas

pizzas diferentes possvel obter?

4.6.4 Arranjos Completos

Suponha agora que se pretende determinar quantas combinaes existem para um cdigo de multibanco.

Este caso difere do anterior porque para cada possibilidade dispomos do mesmo nmero de possibilidades,

isto , 10 algarismos 0,1,2,3, 4,5,6,7,8,9 .

A estratgia semelhante anterior considerando o mesmo tipo de esquema:

10 ? ? ?

O primeiro dgito pode ser um qualquer do conjunto anterior por isso existe 10 possibilidades. No lugar

seguinte existiram, novamente 10 possibilidades, j que possvel repetir o mesmo nmero no cdigo.

10 10 ? ?

Usando o mesmo raciocnio completa-se toda a configurao possvel.

10 10 10 10

O nmero de possibilidades corresponde exactamente a 410 10 10 10 10 10000 , 10000 cdigos

diferentes.

38

Definio

Seja A N , em que A um subconjunto de n elementos. Seja p o nmero de espaos que se

pretendem preencher com todos os elementos possveis de A . Chama-se Arranjos Completos ao

nmero de possibilidades de preencher p espaos com n elementos e calcula-se da seguinte

forma:

'n ppA n

4.6.5 Exerccio

1. Quantas bandeiras diferentes so possveis formar com 12 cores, supondo que uma bandeira

que pode ter 3 riscas de cores diferentes?

2. Uma pizzaria usa um servio do tipo faa a sua pizza favorita. Para isso os clientes dispem

de um conjunto de 13 ingredientes que podem utilizar a sua disposio escolhendo 4 e

podendo repetir qualquer um quantas vezes se deseje. Quantas pizzas diferentes so possveis

obter?

4.6.6 Combinaes

Para compreender esta forma de contagem e distinguir das anteriores pense-se no boletim do totoloto. O

apostador escolhe uma chave e no sorteio vo saindo as bolas uma a uma at obter uma chave que pode

ou no ser a escolhida do apostador.

Neste caso a ordem de sada das bolas no interfere com a chave obtida, ao contrrio da anterior em que a

posio era importante.

Para acertar a chave correta o apostador escolhe uma chave de um conjunto de possveis combinaes

dos nmeros dados.

O problema pode ser formulado da seguinte forma: quantas combinaes de p nmeros existem em n

possveis?

!

! !n

p

nC

p n p

No caso do totoloto as chaves so de 6 nmeros de entre 49 possveis logo a soluo devolvida pela

seguinte frmula,

49

6

49! 49!

6! 49 6 ! 6!43!C

O resultado cerca de 14 milhes de chaves possveis e isto significa que embora seja possvel acertar no

totoloto e muito pouco provvel que acontea.

39

4.6.7 Exerccios Contagem

1) Com 26 letras do alfabeto, de A a Z, e os algarismos, de 0 a 9, quantas matrculas de

carros so, actualmente escritas com dois algarismos, duas letras e outros dois

algarismos.

2) Quantos nmeros com 4 algarismos se podem formar com os algarismos 1, 2,3, 4 ?

3) Dado o conjunto 0, 2, 4,6,8P determine quantos nmeros com algarismos

diferentes se podem formar sabendo que:

a) Tem 4 algarismos

b) So menores que 4000 e mltiplos de 5?

4) Um certo nmero de pessoas pode ser agrupado em 2 em 2 pessoas, no importando a

ordem das mesmas, resultando em 10 diferentes possibilidades de agrupamento.

Quantas pessoas fazem parte deste grupo?

5) De um total de 6 pratos de comida no vegetariana e 4 pratos de comida vegetariana,

pretende-se fazer um menu 5 pratos distintos

a. Qual o nmero mximo de menus distintos se poder fazer?

b. Qual o nmero mximo de menus com pelo menos dois pratos vegetarianos se

poder fazer?

6) Num restaurante h doces e salgados. Cada pessoa receber um recipiente com 3

doces, dos 8 tipos disponveis e apenas 2 salgados, dos 7 fabricados. Quantos so as

diferentes possibilidades de preenchimento do recipiente?

7) Oito pessoas vo acampar e levam quatro tendas. Em cada tenda podem dormir 2

pessoas. Quantas so as opes de distribuio das pessoas nas barracas?

8) Com 10 espcies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 6 diferentes tipos podem

ser feitas?

9) Quantos anagramas existem da palavra CURSO?

a. Quantas existem que comeam e acabam com as mesmas letras da palavra

CURSO?

b. Quantas existem que comeam por R?

c. Quantas palavras existem de modo a que as vogais estejam juntas?