UFES Cortes (cut-sets). UFES Teoria dos Grafos (INF 5037) Corte por arestas Em um grafo conexo G, um corte de arestas é um conjunto de arestas cuja remoção

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Cortes (cut-sets)

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Corte por arestas

• Em um grafo conexo G, um corte de arestas é um conjunto de arestas cuja remoção de G torna G desconexo, desde que nenhum subconjunto próprio desse conjunto também desconecte G


Corte por arestas

• rank de um grafo: r = n - (G)

• Subconjunto minimal de arestas de maneira a garantir a conexidade de cada componente do grafo

• corte de arestas: subconjunto minimal de arestas cuja remoção reduz o rank de um grafo de uma unidade.


Corte por arestas

• corte de arestas: subconjunto minimal de arestas cuja remoção acarreta uma partição no grafo.


Corte por Aresta (Bondy & Murty)

• Para subconjuntos S e S’ de V, denotamos por [S, S´] o conjunto de arestas com um extremo em S e outro em S´


Corte por Aresta (Bondy & Murty)

• Para subconjuntos S e S’ de V, denotamos por [S, S´] o conjunto de arestas com um extremo em S e outro em S´

• Seja C um subconjunto de E da forma [S, S´], onde S é um subconjunto não vazio e próprio de V e S´=V-S


Corte de arestas (bond)

• Se C é minimal, então C é um corte de arestas de G.

• Se G é conexo, então C é um subconjunto minimal de E tal que G-C é desconexo.


Propriedades

• Todo corte de arestas de um grafo conexo G deve conter pelo menos uma aresta de toda árvore geradora de G;

• Em um grafo conexo G, qualquer conjunto minimal de arestas contendo pelo menos uma aresta de qualquer árvore geradora de G é um corte de arestas;

• Todo ciclo possui um número par de arestas em comum com qualquer corte de arestas


Exemplo:

G


Exemplo:

G

b

a


Exemplo:

G

b

a Conjunto de arestasque desconecta o grafo!


Exemplo:

G

b

aMas não é minimal!!!


Exemplo:

G

b

aÉ um corte de arestas (bond)!!


Cotree

• Se H é um subgrafo de G, o complemento de H em G, denotado por H é o subgrafo G-E(H).

• Se G é conexo, e T é uma árvore geradora de G, então T é dita cotree de G


Teorema:

Seja T uma árvore geradora de um grafo conexo G e seja a uma aresta de T. Então:

a) a cotree T não contém corte de aresta de G;

b) T + a contem um único corte de arestas de G.


Prova

• Exercício!!!!!!!!!!


Corte de vértices

• Subconjunto minimal de vértices V´ V, cuja remoção de G o desconecta ou o transforma em um grafo nulo.

• G – V´: desconexo ou nulo e subconjunto próprio V´´ V´, G – V´´ é conexo e não nulo.


Conectividade e Separabilidade


Conectividade de arestas

• Em um grafo conexo G, o número de arestas do menor corte de arestas de G é definido como conectividade de arestas de G (K´ (G))

• K´ (G): número mínimo de arestas cuja remoção reduz o rank de G em uma unidade.

• K´(T) = ????, onde T é uma árvore.


Conectividade de vértices

• O número mínimo de vértices que desconecta o grafo G ou o reduz a um único vértice é definido como conectividade de vértices de G (K (G))

• K(T) = ????, onde T é uma árvore.

• Conectividade de vértices tem sentido apenas para grafos conexos com mais de três vértices e não completos.


Conectividade de vértices

• K´(G) = K(G) = 0, G desconexo

• K(G) n – 2, G Kn


Grafo separável

• Um grafo G é dito separável quando

K(G) = 1.

• Neste caso, G pode ser decomposto em subgrafos G1 e G2 tal que G1 e G2 tem apenas um vértice em comum.


Articulação

• Vértice cuja remoção desconecta o grafo.


Teorema

Seja G (V,E) um grafo conexo, |V| > 2. Então:

a) Um vértice v de V é articulação sss existem dois vértices x e y em G, x, y v, tais que todo caminho entre x e y passa por v;

b) Uma aresta {p,q} de E é ponte sss {p, q} for o único caminho entre p e q em G.


Exemplo

Suponha que são dadas n estações que devem ser conectadas por e linhas,

e ≥ n-1. Qual é a melhor maneira de conectá-las, de maneira a evitar sua

destruição devido à destruição de estações individuais e/ou linhas individuais?

Maior conectividade de vértices e arestas

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Exemplo

n = 8 e m = 16

K(G) = ?K'(G) = ?


Teorema

A conectividade de arestas de um grafo G não pode exceder o grau do vértice com o

menor grau de G


Prova

• Seja w o vértice de grau mínimo de G ()

• É possível desconectar G, removendo-se as arestas incidentes a w.

• ≥ K´(G)


Teorema

A conectividade de vértices de um grafo G não pode exceder a conectividade de

arestas de G


Questão

Sejam G = (V,E) um grafo e

E´ um corte de arestas de G.

É sempre possível encontrar

um corte de vértices V´

tal que |V´| |E´|?


G, K(G) K´(G)


Corolário

Todo corte de arestas em um grafo não separável com mais de dois vértices contém

pelo menos duas arestas

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Teorema

O valor máximo de K(G) de um grafo

G = (V,E), com n vértices e m arestas

(m ≥ n-1) é 2m/n

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