UFF - EEIMVR

Disciplina: Elementos de Máquinas

Lista de Exercícios

Prof. Jorge A. R. Duran

6 de Setembro de 2018

Conteúdo1 Problemas de Revisão 1

2 Fadiga de Estruturas e Materiais 5

3 Respostas 7

1 Problemas de Revisão1.1. O carrinho de mão mostrado na figura 1 está sendo utilizado para transportar

dois barris de 400N de força-peso cada um. Desprezando o peso do carrinho,plote a variação da força P (α)(0 ≤ α ≤ 30◦) necessária para manter o equilí-brio. Considere a = 500mm, b = 200mm, c = 600mm e d = 800mm. Paraα = 35◦ calcule a carga P e a reação em cada roda. Comente os resultados.

1.2. Considere que em θ = 0 a mola da figura 2 está no seu tamanho normal (semforça restitutiva).

(a) Obtenha uma expressão para o pesoW que garante o equilíbrio do sistemamola-polia. Utilize vetores cartesianos.

(b) Plote a variação deste peso W (θ) para 0 ≤ θ ≤ π2. Considere k =

0.9N/mm (constante de mola), R = 250mm e a = 400mm.

(c) Encontre o ângulo θ de giro da polia para um peso W = 30 N .

1.3. O torque de saída de uma caixa redutora com uma relação 10:1, quando testadacom uma velocidade e torque de entrada de 1000 rpm e 6 lb.in, respectivamentefoi de 50 lb.in. Calcule a eficiência η da caixa.

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Figura 1: Figura da Questão 1.1.

Figura 2: Figura da Questão 1.2.

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Figura 3: Figura da Questão 1.5.

1.4. O centro de massa de uma engrenagem planetária de um redutor planetáriogira a 20 rad/s e desloca-se a 40 fps. Modelando a engrenagem como umcilindro sólido pesando 10 lb e tendo um diâmetro de 6 in, calcule a energiacinética do componente.

1.5. Antes de encostar no bloco o parafuso de potência do grampo mostrado nafigura 3 gira com velocidade constante. O torque desenvolvido é de 20N.m.Calcule o trabalho realizado em cada giro do parafuso.

1.6. O módulo das forças nos cabos EG e EF é 800N e 1000N respectivamente.Todas as dimensões estão em polegadas (inches). Calcule:

(a) O vetor resultante FR das forças que os cabos exercem no ponto E.

(b) O vetor de momentos MA que esta força resultante provoca em A.

(c) A componente escalar de MA ao longo da linha AD.

1.7. Esboçe a distribuição de tensões em uma seção perpendicular ao eixo de umaviga nas seguintes situações:

(a) Tensões de Flexão σ = M.c/I = M/Z em uma viga simples que é 1)simétrica com relação ao eixo neutro e 2) não simétrica.

(b) Tensões de Torção τ = T.r/J em um membro de seção circular.

(c) Tensões cisalhantes do cortante τ = V.Q/I/b em uma viga simples de 1)seção retangular, 2) seção circular e 3) perfil I.

1.8. Um componente de máquina é carregado de tal forma que as tensões principaisno ponto crítico são: σ1 = 220MPa, σ2 = −112MPa, σ3 = 0.

(a) Desenhe o círculo de Mohr do ponto.

(b) Calcule o valor da máxima tensão cisalhante e da tensão cisalhante noplano octaédrico.

(c) Para σo = 280MPa mostre em um único gráfico σ/σo vs. τ/σo o pontode trabalho e a curva de falha por Mises.

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Figura 4: Figura da questão 1.6

(d) Comente os resultados.

1.9. Defina matematicamente o momento de inércia e o módulo de uma área.

(a) Mostre que o momento de inércia em relação a um eixo centroidal xparalelo à base b de um retângulo de altura h é Ix = b.h3/12.

(b) Mostre que o módulo da seção para o exemplo do item 1.9a é Sx = b.h2/6

1.10. O rotor de um motor elétrico pesa 10 lb e tem 4 in de diâmetro. Calcule otempo necessário para acelerar o rotor de 0 a 1800 rpm assumindo um torqueelétrico constante de 20 lb.in e zero carga externa neste período. Considereque o rotor é um cilindro homegêneo.

1.11. Calcule a potência requerida para movimentar um veículo em uma estradahorizontal a 120 km/h contra uma força resistiva horizontal de 2KN ao longoda linha de movimento e considerando uma eficiência geral de 85%.

1.12. O conjunto mostrado na figura 5 está constituído por uma alavanca rígida euma barra de torção de aço maciço (G = 80GPa) apoiada em mancais e em umflange. Este último está acoplado mediante parafusos à estrutura de reaçãoem C. A distância entre os centros dos parafusos é de 200mm. Não existequalquer deslocamento antes da aplicação da carga F . Todas as dimensõesestão em mm.

(a) Obtenha os diagramas de corpo livre (DCL) da alavanca, da barra detorção e dos parafusos.

(b) Para F = 1.5KN verifique a resistência estática da barra para σo =120MPa. Se necessário utilize o critério de Mises.

(c) Calcule o ângulo de torção θ na barra e os esforços nos parafusos F ′.

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Figura 5: Figura da Questão 1.12.

Figura 6: Figura da Questão 2.2.

2 Fadiga de Estruturas e Materiais2.1. Considere uma barra circular maciça sem entalhes de diâmetro d = 50mm e

que trabalha sob um torque cíclico que vai de zero a 20 kN.m. O material éum aço SAE 4142 com σo = 1584MPa, σu = 1757MPa, σ′f = 1937MPa eb = −.0762.

(a) Calcule o número de ciclos de torção até a falha por fadiga.

(b) Calcule o fator de segurança contra o escoamento por Mises.

(c) Calcule o diâmetro necessário para um fator de segurança em vida XN deao menos 20 se o número de ciclos de torção (0 ≤ T ≤ 20N.m) esperadosem serviço é de 1× 105.

2.2. O parafuso mostrado na figura 6 é M20 × 2.5(At = 245 mm2) da classeSAE 9.8 (Sp = 650MPa, σe = 140MPa) (já corrigido pelo kf) e a relaçãokc/kp = 4. Os parafusos foram inicialmente apertados até 4/5 da carga deprova. Plote a variação dos esforços no parafuso e nos componentes em funçãode W2 e do tempo para 30 ≤ W2 ≤ 60KN . Verifique a resistência à fadiga doparafuso utilizando o critério de SWT para incluir os efeitos da tensão média.

2.3. A figura 7 mostra a curva de vida constante (Nf = 2 × 105ciclos) para ummaterial de engenharia em carregamento uniaxial de acordo com a modificação

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Figura 7: Figura da Questão 2.3.

proposta por Morrow à reta de Goodman σa/σar + σm/σ′f = 1. Os intercetos

da curva com os respectivos eixos, mostrados no gráfico, estão em MPa. Aslinhas de carga 1 e 2 tem inclinação de 1/3 e 3, respectivamente. Estas linhasrepresentam senoides de tensão uniaxial de igual σmax aplicadas no pontocrítico de um componente do mesmo material. As tensões são proporcionais a1/d3 onde d é uma dimensão característica do componente.

(a) Considerando que a função de carga média descrita pela linha da figura7 representa bem os dados S × N do material em R = −1, estime asconstantes que a curva σar = σ′f (2.Nf )

b teria.

(b) Obtenha a razão de carga R = σmin/σmax de cada carregamento.

(c) Esboce as curvas σ(t) de cada carregamento.

(d) Obtenha uma relação entre os mínimos valores de d que podem ser utili-zados em cada caso para evitar a falha por fadiga em 105 ciclos. Discutaos resultados.

2.4. Uma peça de aço Man-Ten (σ′f = 1089MPa, b = −0.115) deve resistir 104

ciclos de flexão pura que geram (já incluída a concentração das tensões) σa =200MPa e σm = 50MPa. Calcule o fator de segurança XS (em tensão) dapeça contra a falha por fadiga por Morrow (σ̃a/σar + σ̃m/σ

′f = 1).

2.5. Considere uma barra prismática (diâmetro constante), lisa (sem kt) e de seçãocircular maciça. Sobre ela age um torque variável 0 ≤ T ≤ Tmax = 10KN.m.O material da barra é alumínio 2024-T4 (σo = 303MPa, σ′f = 900MPa, b =−0.102). Calcule o diâmetro mínimo necessário pelos seguintes critérios:

(a) Escoamento com XS = 1.5.

(b) Fadiga em 107ciclos por SWT com XN = 100.

(c) Discuta a influência do torque médio Tmed no diâmetro calculado em 2.5b.

2.6. Considere a mesma peça da questão 2.4 agora solicitada por σa = 200MPa eσm = 0MPa e uma torção completamente alternada τar = 40MPa(R = −1)superposta e em fase com a flexão.

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Figura 8: Figura da Questão 2.7.

(a) Represente graficamente a variação temporal das direções principais.

(b) Para o FS calculado na questão 2.4, estime a vida de iniciação em fa-diga do presente problema (também por Morrow σ̃a/σar + σ̃m/σ

′f = 1) e

compare percentualmente com àquela de 104 ciclos.

2.7. A engrenagem motriz do conjunto mostrado na figura 8 é a número 2. Consi-dere um regime de trabalho estacionário (ideal) em que a potência transmitidaé constante é igual a 12KW e o eixo gira a 600 rpm.

(a) Obtenha o DCL de todos os componentes e projete o eixo para vidainfinita em fadiga (σe = 120MPa). Considere que o Kt = 1 na regiãocrítica do eixo.

(b) Calcule o FS em escoamento para a dimensão requerida por fadiga.

(c) Calcule as deflexões no eixo para o diâmetro calculado em 2.7a.

3 RespostasR 1.1 P = 75N,B = 363N , ver figura 9.

R 1.2b ver figura 10

1.2c θ = 1.054 rad.

R 1.3 η = 5/6 = 0.83

R 1.4 Ke =12[mv2 + I ω2] = 250.4 ft.lb.

R 1.5 W = 40π N.m.

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Figura 9: Resposta da questão 1.1.

Figura 10: Resposta da questão 1.2b.

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R 1.6a FRE = 1207

−8600−345200−19600

N

1.6b MA =

912, 7858, 089−1423, 6

N ·m

1.6c MAD = −132, 91 N ·m

R 1.8 τmax = 166MPa τh = 138MPa

R 1.10 t = 0.49 s

R 1.11 P = 78.4 kW

R 1.12b Falha porque τ = 286MPa > σo√3= 480√

3= 277MPa

1.12c θ = 0.32 rad, F ′ = 2.25KN

R 2.1a Nf = 2.84× 105 ciclos

2.1b Fs = 1.12

2.1c d = 53mm

R 2.2 Resiste à fadiga, FS = 1.67

R 2.3a σ′f = 1410MPa, b = −0.02

2.3b Linha de carga 1 R1 = 1/2, Linha de carga 2 R2 = −1/2

2.3d d2/d1 = 1.5. Comentário: O carregamento 2 é mais severo (exige umamaior dimensão d) o que demonstra que em fadiga a amplitude tem mais peso doque a média.

R 2.4 Fs = 1.66

R 2.5a do = 76mm

2.5b df = 76mm

2.5c O torque médio não tem infuência no cálculo do diâmetro por fadiga.

R 2.6b Nf = 9611 ciclos.

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