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Um breve estudo sobre Dinamica dos FluidosComputacional

Lucia Catabriga

[email protected]

March 9, 2016

Lucia Catabriga (UFES) ANII e CC DI/PPGI/PPGEM March 9, 2016 1 / 17

Aspectos Gerais - Definicao

CFD - Computational Fluid Dynamics ou DFC - Dinamica dos FluidosComputacional:

Dinamica dos Fluidos Computacional e area da computacao cientıficaque estuda metodos computacionais para simulacao de fenomenos queenvolvem fluidos em movimento com ou sem troca de calor.Fluido em movimentos (gas e lıquido) sao regidos por equacoesdiferenciais parciais que representam leis de conservacao da massa,momento e energia.Dinamica de Fluidos Computacional e a arte de substituicao de taissistemas de equacoes diferenciais parciais por um conjunto de equacoesalgebricas que podem ser resolvidos usando computadores digitais.


Caracterısticas dos Fluidos

Propriedades Macroscopicas:

ρ densidadeµ viscosidadep pressaoT temperaturav velocidade

Classificacao do movimento defluidos:

viscoso ⇔ nao viscosocompressıvel ⇔ incompressıvelestacionario ⇔ transientelaminar ⇔ turbulentounifasico ⇔ multifasico

A confiabilidade de simulacoesem DFC e maior:

para escoamentos laminares(lentos) que turbulentos(rapidos).para escoamentos unifasicosque multifasicos.para sistemas quimicamenteinertes que escoamentosreativos.


Aspectos Geriais - Historia

Antiguidade: avancos concentrados emobras hidraulicas: arquedutos, canais,portos, balnearios

Arquimedes (287-212 AC): iniciou asareas de mecanica estatica,hidrostatica, e picnometria (medir adensidade e volumes de objetos).

Uma das invencoes de Arquimedes e oparafuso de agua, que pode ser usadopara elevador e transporte de agua

Caracterıstica: Experimental e MatematicaLucia Catabriga (UFES) ANII e CC DI/PPGI/PPGEM March 9, 2016 4 / 17


Leonardo da Vinci(1452-1519):

dentre suas diversas contribuicoesdedicou-se a observar fenomenosnaturais visıveis e descreve-los em suaspinturas, desenhos, etc...

Participou do planejamento esupervisao de obras de portos e canaisna Italia e Franca.

Contribuicao para a Mecanica dosFluidos foi o Tratado O movimento ea extensao da agua (Del moto emisura dell’acqua) de nove partes quedescreve o movimento de aguas,ondas, redemoinhos, jatos de agua,etc ...

Caracterıstica: Experimental e Matematica



Leonhard Euler (1707-1783):

Um dos fundadores da hidrodinamica.Deduziu as equacoes de Euler, quedescrevem a conservacao de massa

Claude Louis Marie Henri Navier(1785-1836) e George Gabriel Stokes(1819-1903):

Introduziram o transporte viscoso paraas equacoes de Euler, resultando nasequacao de Navier-Stokes, base dadinamica dos fluidos computacionalmoderna.


Aspectos Geriais - Equacoes de Navier-Stokes


Como funciona a DFC?

Equacoes Governantes

Discretizacao do domınio

Definicoes do metodonumerico de aproximacao

Solucao de Sistemas deEquacoes Algebricas

Implementacao

Analise dos resultados


Discretizacao do Domınio

definicao do tipo dediscretizacao (malhasestruturadas, naoestruturadas, dimensao dodomınio, tipo de metodo)

definicao de pontos dodomınio que saoconhecidos, que saoincognitas.

definicao de condicoes decontorno e condicoesiniciais


Solucao de Sistemas de Equacoes Algebricas

Ax = b

Como armazenar e resolver sistemas esparsos de grande porte de formaotimizada?


Analise dos Resultados

Campo de velocidadesem torno do dinossauro:

Magnitude da velocidadeno dinossauro:

Campo de pressao nodinossauro:


Equacoes Diferenciais Parciais - EDP

Classificacao Matematica:

ElıpticasParabolicasHiperbolicas

Classificacao Fısica:

Problemas de Equilıbrio ou estacionarias(nao evoluem com o tempo)Problemas de propagacao ou transientes (evoluem com o tempo)


Classificacao Matematica - Exemplo EDP de ordem 2

A∂2φ

∂x2+ B

∂2φ

∂x∂y+ C

∂2φ

∂y2+ D

∂φ

∂x+ E

∂φ

∂y+ Fφ = H

Elıptica se:

B2 − 4AC < 0 ⇒ ∂2φ

∂x2+∂2φ

∂y2= H Eq. de Poisson

Parabolica se:

B2 − 4AC = 0 ⇒ −α∂2φ

∂x2+∂φ

∂t= H Eq. Calor

Hiperbolica se:

B2 − 4AC > 0 ⇒ ∂2φ

∂x2− 1

α2

∂2φ

∂2t= H Eq. Ondas


EDP - Problemas de Equilıbrio

Propriedade de interesse (pressao, velocidade, temperatura, etc ...)nao se altera com o passar do tempo

Matematicamente representados por equacoes diferenciais elıpticas

O domınio de interesse e fechado

A solucao em qualquer ponto no interior do domınio depende dascondicoes em todos os pontos do contorno

Pertubacoes se deslocam em todas as direcoes

Exemplos:

Equacao de PoissonEquacao de LaplaceEquacao de Difusao-Adveccao-Reacao estacionaria


EDP - Problemas de Equilıbrio - Exemplos

Equacao de Laplace:

∇2φ =∂2φ

∂x2+∂2φ

∂y2= 0

Equacao de Poisson:

∇2φ =∂2φ

∂x2+∂2φ

∂y2= f (x , y)

Difusao-Adveccao-Reacao:

−∇(.κ∇φ) + β.∇φ+ γφ = f (x , y)

Solucao unica ⇔Condicoes de contorno


EDP - Problemas Transientes

Propriedade de interesse (pressao, velocidade, temperatura, etc ...)variam com o tempo

Matematicamente representados por equacoes diferenciaishiperbolicas ou parabolicas

O domınio de interesse e aberto

Conhecidos como problema de valor inicial

As condicoes de contorno sao conhecidas em todo instante de tempo

solucao e calculada partindo da suposicao dos dados iniciaissatisfazendo as condicoes de contorno

Exemplos:

Equacao do CalorEquacao de OndasEquacao de Difusao-Adveccao-Reacao transiente


EDP - Problemas Transientes - Exemplos

Equacao do Calor:

∂φ

∂t− α∇2φ = f (x , y , t)

Equacao de Ondas:

∇2φ− 1

α2

∂2φ

∂2t= f (x , y , t)

Difusao-Adveccao-Reacao transiente:

∂φ

∂t−∇(.κ∇φ)+β.∇φ+γφ = f (x , y , t)

Solucao unica ⇔Condicoes de contorno


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