Um Curso de Geometria Analtica e lgebra Linear APRESENTAO Este texto cobre o material para um curso de um semestre de Geometria Analtica e lgebra Linear ministrado nos primeiros semestres

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    talUM CURSO DE GEOMETRIA ANALTICA E

    LGEBRA LINEAR

    Reginaldo J. SantosDepartamento de Matemtica-ICEx

    Universidade Federal de Minas Geraishttp://www.mat.ufmg.br/regi

    Imprensa Universitria da UFMG - Belo HorizonteJulho 2014

    http://www.mat.ufmg.br/~regihttp://www.mat.ufmg.br/~regi

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    talUm Curso de Geometria Analtica e lgebra LinearCopyright c 2017 by Reginaldo J. Santos (2017.4.5)

    Nenhuma parte desta publicao poder ser reproduzida por qualquer meio sem a prvia autorizao, porescrito, do autor.

    Editor, Coordenador de Reviso, Supervisor de Produo, Capa e Ilustraes:Reginaldo J. Santos

    ISBN 85-7470-006-1

    Ficha Catalogrfica

    Santos, Reginaldo J.S237u Um Curso de Geometria Analtica e lgebra Linear / Reginaldo J. Santos

    - Belo Horizonte: Imprensa Universitria da UFMG, 2017.

    1. lgebra Linear 2. Geometria Analtica I. Ttulo

    CDD: 512.5516.3

    http://www.mat.ufmg.br/~regihttp://www.mat.ufmg.br/~regi

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    talSUMRIOAPRESENTAO vii

    1 MATRIZES E SISTEMAS LINEARES 11.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.1.1 Operaes com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Propriedades da lgebra Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.3 Aplicao: Cadeias de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Apndice I: Notao de Somatrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    1.2 Sistemas de Equaes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.2.1 Mtodo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.2.2 Matrizes Equivalentes por Linhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.2.3 Sistemas Lineares Homogneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.2.4 Aplicao: Cadeias de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.2.5 Matrizes Elementares (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    2 INVERSO DE MATRIZES E DETERMINANTES 692.1 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

    2.1.1 Propriedades da Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.1.2 Matrizes Elementares e Inverso (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

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    taliv Sumrio

    2.1.3 Mtodo para Inverso de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.1.4 Aplicao: Interpolao Polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.1.5 Aplicao: Criptografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.2.1 Propriedades do Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.2.2 Matrizes Elementares e o Determinante (opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119Apndice II: Demonstrao do Teorema 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

    3 VETORES NO PLANO E NO ESPAO 1303.1 Soma de Vetores e Multiplicao por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

    Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.2 Produto Escalar e Projeo Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

    3.2.1 Norma e Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1623.2.2 Projeo Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

    3.3 Produtos Vetorial e Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1783.3.1 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1783.3.2 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Apndice III: Demonstrao do item (e) do Teorema 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

    4 RETAS E PLANOS 2064.1 Equaes do Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

    4.1.1 Equao Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2064.1.2 Equaes Paramtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

    4.2 Equaes da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2244.2.1 Equaes Paramtricas e Equao Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2244.2.2 Equaes na Forma Simtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

    Um Curso de Geometria Analtica e lgebra Linear GoBack GoForward Julho 2014

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    talSumrio v

    Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2414.3 ngulos e Distncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

    4.3.1 ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2454.3.2 Distncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

    5 ESPAOS Rn 2785.1 Independncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

    5.1.1 Os Espaos Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2785.1.2 Combinao Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2825.1.3 Independncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2895.1.4 Posies Relativas de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

    5.2 Subespaos, Base e Dimenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328Apndice IV: Outros Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

    5.3 Produto Escalar em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3415.3.1 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3415.3.2 Bases Ortogonais e Ortonormais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

    5.4 Mudana de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3595.4.1 Rotao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3685.4.2 Translao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3705.4.3 Aplicao: Computao Grfica - Projeo Ortogrfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

    6 DIAGONALIZAO 3846.1 Diagonalizao de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384

    6.1.1 Motivao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3846.1.2 Autovalores e Autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3866.1.3 Diagonalizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

    Julho 2014 GoBack GoForward Reginaldo J. Santos

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    talvi Sumrio

    6.1.4 Aplicao: Cadeias de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

    6.2 Diagonalizao de Matrizes Simtricas . . . . . . . . . . . . . . .

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