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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica Fabricio Marques do Carmo Orientador: Prof. Dr. Adilson José da Silva Universidade de São Paulo Instituto de Física 29 de março de 2011. 1 / 73

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Um estudo sobre a Supersimetriano contexto da Mecânica Quântica

Fabricio Marques do Carmo

Orientador: Prof. Dr. Adilson José da Silva

Universidade de São PauloInstituto de Física

29 de março de 2011.

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

O que faremos...

1 Introdução• O que é Supersimetria?• A SUSI no contexto da Mecânica Quântica

2 Mecânica Quântica Supersimétrica• Fatorização de Hamiltonianos• Osciladores Harmônicos e Supersimetria• Mecânica Quântica Supersimétrica• Invariância de Forma

3 Aplicações• Superpotenciais da forma W(x) = gx2n+1

• Superpotencial W(x) = gε(x)• Superpotencial W(x) = gε(x)x2

4 Considerações Finais

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

O que faremos...

1 Introdução• O que é Supersimetria?• A SUSI no contexto da Mecânica Quântica

2 Mecânica Quântica Supersimétrica• Fatorização de Hamiltonianos• Osciladores Harmônicos e Supersimetria• Mecânica Quântica Supersimétrica• Invariância de Forma

3 Aplicações• Superpotenciais da forma W(x) = gx2n+1

• Superpotencial W(x) = gε(x)• Superpotencial W(x) = gε(x)x2

4 Considerações Finais

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

O que faremos...

1 Introdução• O que é Supersimetria?• A SUSI no contexto da Mecânica Quântica

2 Mecânica Quântica Supersimétrica• Fatorização de Hamiltonianos• Osciladores Harmônicos e Supersimetria• Mecânica Quântica Supersimétrica• Invariância de Forma

3 Aplicações• Superpotenciais da forma W(x) = gx2n+1

• Superpotencial W(x) = gε(x)• Superpotencial W(x) = gε(x)x2

4 Considerações Finais

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O que faremos...

1 Introdução• O que é Supersimetria?• A SUSI no contexto da Mecânica Quântica

2 Mecânica Quântica Supersimétrica• Fatorização de Hamiltonianos• Osciladores Harmônicos e Supersimetria• Mecânica Quântica Supersimétrica• Invariância de Forma

3 Aplicações• Superpotenciais da forma W(x) = gx2n+1

• Superpotencial W(x) = gε(x)• Superpotencial W(x) = gε(x)x2

4 Considerações Finais

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

O que faremos...

1 Introdução• O que é Supersimetria?• A SUSI no contexto da Mecânica Quântica

2 Mecânica Quântica Supersimétrica• Fatorização de Hamiltonianos• Osciladores Harmônicos e Supersimetria• Mecânica Quântica Supersimétrica• Invariância de Forma

3 Aplicações• Superpotenciais da forma W(x) = gx2n+1

• Superpotencial W(x) = gε(x)• Superpotencial W(x) = gε(x)x2

4 Considerações Finais

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Introdução

Introdução

• O que é Supersimetria?• A SUSI no contexto da Mecânica Quântica

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Introdução

O que é Supersimetria?

Introdução

• O que é Supersimetria?

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Introdução

O que é Supersimetria?

Introdução

• O que é Supersimetria?

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Introdução

O que é Supersimetria?

O que é Supersimetria?

• A Supersimetria (SUSI) é uma simetria que relaciona estados bosônicose fermiônicos.

• Ela foi originalmente desenvolvida no final dos anos 60 e início dos anos70 no contexto da Teoria Quântica de Campos.

• A SUSI surgiu como um caminho para estender o Grupo de Poincaré demodo a incluir simetrias internas.

• A álgebra estendida correspondente é então chamada de álgebra SUSIou simplesmente de super-álgebra.

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Introdução

O que é Supersimetria?

O que é Supersimetria?

• A relação estabelecida pela SUSI entre estados bosônicos efermiônicos se dá por meio das transformações SUSI cujos geradoresdenotamos Q e Q̄.

• A parte da super-álgebra que é incluída no Grupo de Poincaréestabelecendo relações entre os geradores SUSI e os geradores dastranslações no espaço-tempo é da forma:

Álgebra SUSI

{Qα, Q̄β̇} = 2σµαβ̇

{Qα,Qβ} = {Q̄α̇, Q̄β̇} = 0

[Pµ,Qα] =[Pµ, Q̄α̇

]= 0

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Introdução

O que é Supersimetria?

O que é Supersimetria?

• A SUSI prevê que, para cada partícula (bóson ou férmion), deve haveruma outra partícula correspondente com a mesma massa e diferindo de12 no valor do spin (férmion ou bóson).

• Essas partículas são então chamadas de parceiras supersimétricas.

Exemplo

• O parceiro supersimétrico do fóton (bóson de spin 1 e massa de repouso nula),seria então um férmion de spin 1

2 com massa de repouso nula ao qualchamamos fotino.

• O parceiro supersimétrico do elétron (férmion de spin 12 e massa me), seria, por

sua vez, um bóson de spin zero com massa me ao qual chamamos s-elétron(scalar-electron).

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Introdução

O que é Supersimetria?

O que é Supersimetria?

• A SUSI prevê que, para cada partícula (bóson ou férmion), deve haveruma outra partícula correspondente com a mesma massa e diferindo de12 no valor do spin (férmion ou bóson).

• Essas partículas são então chamadas de parceiras supersimétricas.

Exemplo

• O parceiro supersimétrico do fóton (bóson de spin 1 e massa de repouso nula),seria então um férmion de spin 1

2 com massa de repouso nula ao qualchamamos fotino.

• O parceiro supersimétrico do elétron (férmion de spin 12 e massa me), seria, por

sua vez, um bóson de spin zero com massa me ao qual chamamos s-elétron(scalar-electron).

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Introdução

O que é Supersimetria?

O que é Supersimetria?

• A SUSI prevê que, para cada partícula (bóson ou férmion), deve haveruma outra partícula correspondente com a mesma massa e diferindo de12 no valor do spin (férmion ou bóson).

• Essas partículas são então chamadas de parceiras supersimétricas.

Exemplo

• O parceiro supersimétrico do fóton (bóson de spin 1 e massa de repouso nula),seria então um férmion de spin 1

2 com massa de repouso nula ao qualchamamos fotino.

• O parceiro supersimétrico do elétron (férmion de spin 12 e massa me), seria, por

sua vez, um bóson de spin zero com massa me ao qual chamamos s-elétron(scalar-electron).

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Introdução

O que é Supersimetria?

O que é Supersimetria?

• A SUSI prevê que, para cada partícula (bóson ou férmion), deve haveruma outra partícula correspondente com a mesma massa e diferindo de12 no valor do spin (férmion ou bóson).

• Essas partículas são então chamadas de parceiras supersimétricas.

Exemplo

• O parceiro supersimétrico do fóton (bóson de spin 1 e massa de repouso nula),seria então um férmion de spin 1

2 com massa de repouso nula ao qualchamamos fotino.

• O parceiro supersimétrico do elétron (férmion de spin 12 e massa me), seria, por

sua vez, um bóson de spin zero com massa me ao qual chamamos s-elétron(scalar-electron).

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Introdução

O que é Supersimetria?

O que é Supersimetria?

• Os parceiros supersimétricos das partículas do modelo padrão,contrariando a expectativa, jamais foram observados.

• Então, se a SUSI for uma simetria da natureza, ela deva ter sidoquebrada em algum momento.

• Daí vem o interesse em estudar a quebra da SUSI a medida que atemperatura do Universo diminuiu.

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Introdução

A SUSI no contexto da Mecânica Quântica

Introdução

• O que é Supersimetria?• A SUSI no contexto da Mecânica Quântica

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Introdução

A SUSI no contexto da Mecânica Quântica

Introdução

• O que é Supersimetria?• A SUSI no contexto da Mecânica Quântica

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Introdução

A SUSI no contexto da Mecânica Quântica

A SUSI no contexto da Mecânica Quântica

• No início da década de 80, Witten propôs, como um caminho para oentendimento da quebra da SUSI, a construção de um esquema emMecânica Quântica onde estavam presentes os principais ingredientesda SUSI.

• Esse esquema é o que chamamos de Mecânica QuânticaSupersimétrica (MQ SUSI).

• O interesse em estudar MQ SUSI é, desde então, justificado pelasimplicidade dessa formulação da SUSI em comparação com a original.

• Sendo mais simples esperamos que seu estudo forneça pistasrelevantes para o melhor entendimento da SUSI na TQC.

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Introdução

A SUSI no contexto da Mecânica Quântica

A SUSI no contexto da Mecânica Quântica

• A super-álgebra da MQ SUSI, devidamente adaptada, tem formaanáloga à da super-álgebra da SUSI original podendo ser escrita, porexemplo, como:

Álgebra MQ SUSI

{Q,Q†} = 2H

{Q,Q} = {Q†,Q†} = 0

[H,Q] =[H,Q†

]= 0

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Introdução

A SUSI no contexto da Mecânica Quântica

A SUSI no contexto da Mecânica Quântica

• Em comparação com a SUSI original, dizemos que a MQ SUSI relacionaestados respectivamente chamados “bosônicos” e “fermiônicos”.

• Essa nomenclatura não tem, entretanto, nada a ver com o spin departículas sendo inteiro ou semi-inteiro (o que caracterizaria a definiçãode bósons e férmions) e, na MQ SUSI, representa apenas umaanalogia.

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Mecânica Quântica Supersimétrica

• Fatorização de Hamiltonianos• Osciladores Harmônicos e Supersimetria• Mecânica Quântica Supersimétrica• Invariância de Forma

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Fatorização de Hamiltonianos

Mecânica Quântica Supersimétrica

• Fatorização de Hamiltonianos

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Fatorização de Hamiltonianos

Mecânica Quântica Supersimétrica

• Fatorização de Hamiltonianos

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Fatorização de Hamiltonianos

Fatorização do Hamiltoniano do OHS

• A fatorização do hamiltoniano do OHS consiste em escrevê-lo como umproduto de dois operadores de 1a ordem.

• O hamiltoniano do OHS, escolhendo ~ = 2m = ω = 1, é:

H = p2 + x2

• Podemos definir operadores a† e a como:

a† = (x− ip)

a = (x + ip)

• E, lembrando que [x, p] = i, podemos reescrever o hamiltoniano do OHSem termos de a† e a, a menos de uma constante, como:

H = a†a

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Fatorização de Hamiltonianos

Fatorização de um Hamiltoniano Geral

• Da mesma forma que no caso do OHS, podemos tentar fatorizar umhamiltoniano geral procurando escrevê-lo como um produto deoperadores de 1a ordem.

• Seja um hamiltoniano H− dado por:

H− = p2 + V−(x)

• Podemos definir operadores A† e A como:

A† = (W(x)− ip)

A = (W(x) + ip)

• Se pudermos determinar uma função W(x) de tal forma que, a menosde uma constante, tenhamos:

H− = A†A

então dizemos que o hamiltoniano H− é fatorizável.

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Mecânica Quântica Supersimétrica

Fatorização de Hamiltonianos

Fatorização de um Hamiltoniano Geral

• Podemos definir também um hamiltoniano H+ como:

H+ = AA†

• Efetuando os produtos entre A† e A em termos de W(x) noshamiltonianos H− e H+, temos:

H± = p2 +(

W(x)2 ±W′(x))

• Assim, os potenciais V−(x) e V+(x) são dados pelo que chamamos de:

Equação de Riccati

V±(x) = W(x)2 ±W′(x)

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Mecânica Quântica Supersimétrica

Osciladores Harmônicos e Supersimetria

Mecânica Quântica Supersimétrica

• Fatorização de Hamiltonianos• Osciladores Harmônicos e Supersimetria

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Osciladores Harmônicos e Supersimetria

Mecânica Quântica Supersimétrica

• Fatorização de Hamiltonianos• Osciladores Harmônicos e Supersimetria

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Osciladores Harmônicos e Supersimetria

Oscilador Bosônico e Oscilador Fermiônico

Oscilador Bosônico

• Hamiltoniano: HB = 12

(a†a + aa†

)• Comutadores: [a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0

• Autoestados: a |0〉 = 0 , (a†)n√

n!|0〉 = |n〉

• Autovalores: EBn =

(n + 1

2

), n = 0, 1, 2, . . .

Oscilador Fermiônico

• Hamiltoniano: HF = 12

(b†b− bb†

)• Anti-Comutadores: {b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0• Autoestados: b |0〉 = 0 , b† |0〉 = |1〉• Autovalores: EF

m =(m− 1

2

), m = 0, 1.

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Mecânica Quântica Supersimétrica

Osciladores Harmônicos e Supersimetria

Oscilador Bosônico e Oscilador Fermiônico

Oscilador Bosônico

• Hamiltoniano: HB = 12

(a†a + aa†

)• Comutadores: [a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0

• Autoestados: a |0〉 = 0 , (a†)n√

n!|0〉 = |n〉

• Autovalores: EBn =

(n + 1

2

), n = 0, 1, 2, . . .

Oscilador Fermiônico

• Hamiltoniano: HF = 12

(b†b− bb†

)• Anti-Comutadores: {b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0• Autoestados: b |0〉 = 0 , b† |0〉 = |1〉• Autovalores: EF

m =(m− 1

2

), m = 0, 1.

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Mecânica Quântica Supersimétrica

Osciladores Harmônicos e Supersimetria

Oscilador Bosônico e Oscilador Fermiônico

Oscilador Bosônico

• Hamiltoniano: HB = 12

(a†a + aa†

)• Comutadores: [a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0

• Autoestados: a |0〉 = 0 , (a†)n√

n!|0〉 = |n〉

• Autovalores: EBn =

(n + 1

2

), n = 0, 1, 2, . . .

Oscilador Fermiônico

• Hamiltoniano: HF = 12

(b†b− bb†

)• Anti-Comutadores: {b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0• Autoestados: b |0〉 = 0 , b† |0〉 = |1〉• Autovalores: EF

m =(m− 1

2

), m = 0, 1.

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Mecânica Quântica Supersimétrica

Osciladores Harmônicos e Supersimetria

Oscilador Bosônico e Oscilador Fermiônico

Oscilador Bosônico

• Hamiltoniano: HB = 12

(a†a + aa†

)• Comutadores: [a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0

• Autoestados: a |0〉 = 0 , (a†)n√

n!|0〉 = |n〉

• Autovalores: EBn =

(n + 1

2

), n = 0, 1, 2, . . .

Oscilador Fermiônico

• Hamiltoniano: HF = 12

(b†b− bb†

)• Anti-Comutadores: {b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0• Autoestados: b |0〉 = 0 , b† |0〉 = |1〉• Autovalores: EF

m =(m− 1

2

), m = 0, 1.

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Osciladores Harmônicos e Supersimetria

Oscilador Bosônico e Oscilador Fermiônico

Oscilador Bosônico

• Hamiltoniano: HB = 12

(a†a + aa†

)• Comutadores: [a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0

• Autoestados: a |0〉 = 0 , (a†)n√

n!|0〉 = |n〉

• Autovalores: EBn =

(n + 1

2

), n = 0, 1, 2, . . .

Oscilador Fermiônico

• Hamiltoniano: HF = 12

(b†b− bb†

)• Anti-Comutadores: {b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0• Autoestados: b |0〉 = 0 , b† |0〉 = |1〉• Autovalores: EF

m =(m− 1

2

), m = 0, 1.

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Mecânica Quântica Supersimétrica

Osciladores Harmônicos e Supersimetria

Oscilador Bosônico e Oscilador Fermiônico

Oscilador Bosônico

• Hamiltoniano: HB = 12

(a†a + aa†

)• Comutadores: [a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0

• Autoestados: a |0〉 = 0 , (a†)n√

n!|0〉 = |n〉

• Autovalores: EBn =

(n + 1

2

), n = 0, 1, 2, . . .

Oscilador Fermiônico

• Hamiltoniano: HF = 12

(b†b− bb†

)• Anti-Comutadores: {b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0• Autoestados: b |0〉 = 0 , b† |0〉 = |1〉• Autovalores: EF

m =(m− 1

2

), m = 0, 1.

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Mecânica Quântica Supersimétrica

Osciladores Harmônicos e Supersimetria

Oscilador Bosônico e Oscilador Fermiônico

Oscilador Bosônico

• Hamiltoniano: HB = 12

(a†a + aa†

)• Comutadores: [a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0

• Autoestados: a |0〉 = 0 , (a†)n√

n!|0〉 = |n〉

• Autovalores: EBn =

(n + 1

2

), n = 0, 1, 2, . . .

Oscilador Fermiônico

• Hamiltoniano: HF = 12

(b†b− bb†

)• Anti-Comutadores: {b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0• Autoestados: b |0〉 = 0 , b† |0〉 = |1〉• Autovalores: EF

m =(m− 1

2

), m = 0, 1.

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Osciladores Harmônicos e Supersimetria

Oscilador Bosônico e Oscilador Fermiônico

Oscilador Bosônico

• Hamiltoniano: HB = 12

(a†a + aa†

)• Comutadores: [a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0

• Autoestados: a |0〉 = 0 , (a†)n√

n!|0〉 = |n〉

• Autovalores: EBn =

(n + 1

2

), n = 0, 1, 2, . . .

Oscilador Fermiônico

• Hamiltoniano: HF = 12

(b†b− bb†

)• Anti-Comutadores: {b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0• Autoestados: b |0〉 = 0 , b† |0〉 = |1〉• Autovalores: EF

m =(m− 1

2

), m = 0, 1.

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Osciladores Harmônicos e Supersimetria

Oscilador Bosônico e Oscilador Fermiônico

Oscilador Bosônico

• Hamiltoniano: HB = 12

(a†a + aa†

)• Comutadores: [a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0

• Autoestados: a |0〉 = 0 , (a†)n√

n!|0〉 = |n〉

• Autovalores: EBn =

(n + 1

2

), n = 0, 1, 2, . . .

Oscilador Fermiônico

• Hamiltoniano: HF = 12

(b†b− bb†

)• Anti-Comutadores: {b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0• Autoestados: b |0〉 = 0 , b† |0〉 = |1〉• Autovalores: EF

m =(m− 1

2

), m = 0, 1.

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Osciladores Harmônicos e Supersimetria

Oscilador Bosônico e Oscilador Fermiônico

Oscilador Bosônico

• Hamiltoniano: HB = 12

(a†a + aa†

)• Comutadores: [a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0

• Autoestados: a |0〉 = 0 , (a†)n√

n!|0〉 = |n〉

• Autovalores: EBn =

(n + 1

2

), n = 0, 1, 2, . . .

Oscilador Fermiônico

• Hamiltoniano: HF = 12

(b†b− bb†

)• Anti-Comutadores: {b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0• Autoestados: b |0〉 = 0 , b† |0〉 = |1〉• Autovalores: EF

m =(m− 1

2

), m = 0, 1.

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Osciladores Harmônicos e Supersimetria

Oscilador Supersimétrico

Oscilador SUSI• Hamiltoniano:

H = HB + HF =(

a†a + b†b)

• Comutadores e Anti-Comutadores:

[a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0

{b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0

• Autoestados:|n,m〉 = |n〉 ⊗ |m〉

• Autovalores:

En,m = (n + m) , n = 0, 1, 2, . . . , m = 0, 1.

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Oscilador Supersimétrico

Oscilador SUSI• Hamiltoniano:

H = HB + HF =(

a†a + b†b)

• Comutadores e Anti-Comutadores:

[a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0

{b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0

• Autoestados:|n,m〉 = |n〉 ⊗ |m〉

• Autovalores:

En,m = (n + m) , n = 0, 1, 2, . . . , m = 0, 1.

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Mecânica Quântica Supersimétrica

Osciladores Harmônicos e Supersimetria

Oscilador Supersimétrico

Oscilador SUSI• Hamiltoniano:

H = HB + HF =(

a†a + b†b)

• Comutadores e Anti-Comutadores:

[a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0

{b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0

• Autoestados:|n,m〉 = |n〉 ⊗ |m〉

• Autovalores:

En,m = (n + m) , n = 0, 1, 2, . . . , m = 0, 1.

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Mecânica Quântica Supersimétrica

Osciladores Harmônicos e Supersimetria

Oscilador Supersimétrico

Oscilador SUSI• Hamiltoniano:

H = HB + HF =(

a†a + b†b)

• Comutadores e Anti-Comutadores:

[a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0

{b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0

• Autoestados:|n,m〉 = |n〉 ⊗ |m〉

• Autovalores:

En,m = (n + m) , n = 0, 1, 2, . . . , m = 0, 1.

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Oscilador Supersimétrico

Oscilador SUSI• Hamiltoniano:

H = HB + HF =(

a†a + b†b)

• Comutadores e Anti-Comutadores:

[a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0

{b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0

• Autoestados:|n,m〉 = |n〉 ⊗ |m〉

• Autovalores:

En,m = (n + m) , n = 0, 1, 2, . . . , m = 0, 1.

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Oscilador Supersimétrico

Oscilador SUSI• Hamiltoniano:

H = HB + HF =(

a†a + b†b)

• Comutadores e Anti-Comutadores:

[a, a†] = 1 , [a, a] = [a†, a†] = 0

{b, b†} = 1 , {b, b} = {b†, b†} = 0

• Autoestados:|n,m〉 = |n〉 ⊗ |m〉

• Autovalores:

En,m = (n + m) , n = 0, 1, 2, . . . , m = 0, 1.

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Osciladores Harmônicos e Supersimetria

Oscilador Supersimétrico

• Sendo:En,m = (n + m) , n = 0, 1, 2, . . . , m = 0, 1.

temos:• Um estado fundamental |0, 0〉 com energia zero, que ocorre para n = m = 0• Todos os outros estados duplamente degenerados pois, para n > 0,

podemos ter m = 0 ou m = 1, de modo que os estados |n, 0〉 e |n− 1, 1〉 têmambos a mesma energia n

• Como veremos a seguir, essas são as características de um sistemaque manifesta SUSI na Mecânica Quântica.

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

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Osciladores Harmônicos e Supersimetria

Oscilador Supersimétrico

Geradores SUSI para o Oscilador Supersimétrico

Q = a†b Q† = b†a

• Os operadores Q e Q† definidos acima são produtos dos operadores decriação e destruição bosônicos e fermiônicos, a, a†, b e b†

• Utilizando as relações de comutação e anti-comutação já dadas paraesses operadores, podemos mostrar que vale:

Álgebra MQ SUSI

{Q,Q†} = 2H

{Q,Q} = {Q†,Q†} = 0

[H,Q] =[H,Q†

]= 0

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Mecânica Quântica Supersimétrica

Osciladores Harmônicos e Supersimetria

Oscilador Supersimétrico

• Em termos de Q e Q†, podemos mostrar que, exceto pelo estadofundamental |0, 0〉, todos os autoestados de H satisfazem:

Q |n,m〉 = δm,1√

n + 1 |n + 1,m− 1〉

Q† |n,m〉 = δm,0√

n |n− 1,m + 1〉

}Enm = (n + m) (1)

• Ou seja, os estados Q |n,m〉 e Q† |n,m〉 são degenerados, tendo ambosenergia En,m = (n + m)

• Essa é outra forma de ver a manifestação da SUSI nesse sistema

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Mecânica Quântica Supersimétrica

• Fatorização de Hamiltonianos• Osciladores Harmônicos e Supersimetria• Mecânica Quântica Supersimétrica

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Mecânica Quântica Supersimétrica

• Fatorização de Hamiltonianos• Osciladores Harmônicos e Supersimetria• Mecânica Quântica Supersimétrica

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Mecânica Quântica Supersimétrica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Generalização do Oscilador SUSI

• A MQ SUSI pode ser entendida por meio de uma generalização domodelo do oscilador supersimétrico

Q = a†b −→ Q = A†θ

Q† = b†a −→ Q† = θ†A

• A† e A são os mesmos da fatorização de hamiltonianos, ou seja:

A† = (W(x)− ip) A = (W(x) + ip)

• θ† e θ são elementos grassmanianos satisfazendo as mesmas relaçõesde anti-comutação que b† e b. Uma possível realização para θ† e θ é:

θ† =

(0 01 0

)θ =

(0 10 0

)

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Mecânica Quântica Supersimétrica

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Super-hamiltoniano

• O hamiltoniano SUSI ou super-hamiltoniano (análogo do hamiltonianodo oscilador supersimétrico) pode ser construído a partir dasuper-álgebra por meio da relação:

H = {Q,Q†}

• Substituindo Q = A†θ e Q† = θ†A, temos:

H =

(A†A 0

0 AA†

)=

(H− 00 H+

)• Podemos verificar ainda que esse super-hamiltoniano H e os geradores

Q e Q† satisfazem também as demais relações de comutação eanti-comutação da super-álgebra

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Mecânica Quântica Supersimétrica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Autovalores e Autoestados de H

• Os autoestados de H são definidos na forma de matrizes coluna de 2elementos (um sendo autoestado de H− e o outro sendo autoestado deH+)

• Podemos mostrar que os autoestados de H, assim como no caso dooscilador supersimétrico, são tais que temos:

• Um estado fundamental Ψ0 =

(ψ−0

0

)com energia zero

• Todos os outros estados duplamente degenerados, de modo que

Q†Ψn =

(0

Aψ−n

)e QΨn =

(A†ψ+

n−10

)são autoestados de H com a mesma

energia

• A matriz Ψn acima é dada por:

Ψn =

(ψ−nψ+

n−1

)

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Mecânica Quântica Supersimétrica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Parceiros Supersimétricos

• Os autoestados de H são:

Ψ0 =

(ψ−00

), Q†Ψn =

(0

Aψ−n

)e QΨn =

(A†ψ+

n−10

)• Os componentes não nulos dessas matrizes são:

• ψ−0 , que é o estado fundamental de energia zero de H− e;• Aψ−n e A†ψ+

n−1 que são, respectivamente, autoestados de H+ e H− comenergia E−n = E+

n−1.

• Com isso, podemos abrir mão da notação matricial e passamos a nosreferir separadamente aos hamiltonianos H− e H+

Parceiros Supersimétricos

• Os hamiltonianos H− e H+ são chamados de hamiltonianos parceirossupersimétricos

• Os potenciais desses hamiltonianos são chamados de potenciais parceirossupersimétricos e se relacionam com o superpotencial W(x) por meio daequação de Riccati

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Mecânica Quântica Supersimétrica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Parceiros Supersimétricos

• Dizemos então que temos dois hamiltonianos parceiros, H− e H+, comautovalores e autoestados relacionados por:

E−0 = 0

E+n−1 = E−n

ψ+n−1 =

(E−n)−1/2

Aψ−n

ψ−n =(E+

n−1

)−1/2A†ψ+

n−1

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Mecânica Quântica Supersimétrica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Parceiros Supersimétricos

• Podemos esquematizar a relação entre os níveis de energia e entre osestados como:

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Mecânica Quântica Supersimétrica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Parceiros Supersimétricos

Exemplo (Poço Quadrado Infinito)

• Vamos considerar o exemplo do Poço Quadrado Infinito deslocado de tal formaque tenha energia do estado fundamental zero, ou seja, o potencial dentro dopoço (0 ≤ x ≤ L), é:

V−(x) = −π2

L2

• As soluções são:

ψ−n (x) =

(2L

)1/2

sen(

(n + 1)πxL

)e E−n =

π2

L2n(n + 2)

• O hamiltoniano H− é fatorizável e o superpotencial é: W(x)− πL cot

(πxL

)• Com isso determinamos o potencial parceiro SUSI:

V+(x) = W(x)2 + W′(x) = −π2

L2+ 2

π2

L2cosec2

(πxL

)• As energias de H+ são simplesmente E+

n = E−n−1

• E usando os operadores A e A† podemos obter facilmente as autofunções de H+

(mais complicado) a partir das de H− (mais simples)31 / 73

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Parceiros Supersimétricos

Exemplo (Poço Quadrado Infinito)

• Vamos considerar o exemplo do Poço Quadrado Infinito deslocado de tal formaque tenha energia do estado fundamental zero, ou seja, o potencial dentro dopoço (0 ≤ x ≤ L), é:

V−(x) = −π2

L2

• As soluções são:

ψ−n (x) =

(2L

)1/2

sen(

(n + 1)πxL

)e E−n =

π2

L2n(n + 2)

• O hamiltoniano H− é fatorizável e o superpotencial é: W(x)− πL cot

(πxL

)• Com isso determinamos o potencial parceiro SUSI:

V+(x) = W(x)2 + W′(x) = −π2

L2+ 2

π2

L2cosec2

(πxL

)• As energias de H+ são simplesmente E+

n = E−n−1

• E usando os operadores A e A† podemos obter facilmente as autofunções de H+

(mais complicado) a partir das de H− (mais simples)31 / 73

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Exemplo (Poço Quadrado Infinito)

• Vamos considerar o exemplo do Poço Quadrado Infinito deslocado de tal formaque tenha energia do estado fundamental zero, ou seja, o potencial dentro dopoço (0 ≤ x ≤ L), é:

V−(x) = −π2

L2

• As soluções são:

ψ−n (x) =

(2L

)1/2

sen(

(n + 1)πxL

)e E−n =

π2

L2n(n + 2)

• O hamiltoniano H− é fatorizável e o superpotencial é: W(x)− πL cot

(πxL

)• Com isso determinamos o potencial parceiro SUSI:

V+(x) = W(x)2 + W′(x) = −π2

L2+ 2

π2

L2cosec2

(πxL

)• As energias de H+ são simplesmente E+

n = E−n−1

• E usando os operadores A e A† podemos obter facilmente as autofunções de H+

(mais complicado) a partir das de H− (mais simples)31 / 73

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Exemplo (Poço Quadrado Infinito)

• Vamos considerar o exemplo do Poço Quadrado Infinito deslocado de tal formaque tenha energia do estado fundamental zero, ou seja, o potencial dentro dopoço (0 ≤ x ≤ L), é:

V−(x) = −π2

L2

• As soluções são:

ψ−n (x) =

(2L

)1/2

sen(

(n + 1)πxL

)e E−n =

π2

L2n(n + 2)

• O hamiltoniano H− é fatorizável e o superpotencial é: W(x)− πL cot

(πxL

)• Com isso determinamos o potencial parceiro SUSI:

V+(x) = W(x)2 + W′(x) = −π2

L2+ 2

π2

L2cosec2

(πxL

)• As energias de H+ são simplesmente E+

n = E−n−1

• E usando os operadores A e A† podemos obter facilmente as autofunções de H+

(mais complicado) a partir das de H− (mais simples)31 / 73

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Exemplo (Poço Quadrado Infinito)

• Vamos considerar o exemplo do Poço Quadrado Infinito deslocado de tal formaque tenha energia do estado fundamental zero, ou seja, o potencial dentro dopoço (0 ≤ x ≤ L), é:

V−(x) = −π2

L2

• As soluções são:

ψ−n (x) =

(2L

)1/2

sen(

(n + 1)πxL

)e E−n =

π2

L2n(n + 2)

• O hamiltoniano H− é fatorizável e o superpotencial é: W(x)− πL cot

(πxL

)• Com isso determinamos o potencial parceiro SUSI:

V+(x) = W(x)2 + W′(x) = −π2

L2+ 2

π2

L2cosec2

(πxL

)• As energias de H+ são simplesmente E+

n = E−n−1

• E usando os operadores A e A† podemos obter facilmente as autofunções de H+

(mais complicado) a partir das de H− (mais simples)31 / 73

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Exemplo (Poço Quadrado Infinito)

• Vamos considerar o exemplo do Poço Quadrado Infinito deslocado de tal formaque tenha energia do estado fundamental zero, ou seja, o potencial dentro dopoço (0 ≤ x ≤ L), é:

V−(x) = −π2

L2

• As soluções são:

ψ−n (x) =

(2L

)1/2

sen(

(n + 1)πxL

)e E−n =

π2

L2n(n + 2)

• O hamiltoniano H− é fatorizável e o superpotencial é: W(x)− πL cot

(πxL

)• Com isso determinamos o potencial parceiro SUSI:

V+(x) = W(x)2 + W′(x) = −π2

L2+ 2

π2

L2cosec2

(πxL

)• As energias de H+ são simplesmente E+

n = E−n−1

• E usando os operadores A e A† podemos obter facilmente as autofunções de H+

(mais complicado) a partir das de H− (mais simples)31 / 73

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Parceiros Supersimétricos

Exemplo (Poço Quadrado Infinito)

• Vamos considerar o exemplo do Poço Quadrado Infinito deslocado de tal formaque tenha energia do estado fundamental zero, ou seja, o potencial dentro dopoço (0 ≤ x ≤ L), é:

V−(x) = −π2

L2

• As soluções são:

ψ−n (x) =

(2L

)1/2

sen(

(n + 1)πxL

)e E−n =

π2

L2n(n + 2)

• O hamiltoniano H− é fatorizável e o superpotencial é: W(x)− πL cot

(πxL

)• Com isso determinamos o potencial parceiro SUSI:

V+(x) = W(x)2 + W′(x) = −π2

L2+ 2

π2

L2cosec2

(πxL

)• As energias de H+ são simplesmente E+

n = E−n−1

• E usando os operadores A e A† podemos obter facilmente as autofunções de H+

(mais complicado) a partir das de H− (mais simples)31 / 73

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Parceiros Supersimétricos

Exemplo (Poço Quadrado Infinito)

• Podemos esquematizar os potenciais V−(x) e V+ entre 0 e L como segue:

0 1x

1

4

9

V-HxL = 0

0 1x

1

4

9

V+HxL = 2 cosec2HxL

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Quebra da SUSI

• Seja H− = A†A um hamiltoniano fatorizável com superpotencial W(x)

• Para que a SUSI se manifeste, H− deve ter um estado fundamental deenergia zero, isto é, devemos ter:

H−ψ−0 (x) = 0

• Uma maneira de conseguir isso é impondo que Aψ−0 (x) = 0 e, assim:

Aψ−0 (x) = (W(x) + ip)ψ−0 (x) =

(W(x) +

ddx

)ψ−0 (x) = 0

⇒ ddxψ−0 (x) = −W(x)ψ−0 (x)

• E, portanto:

ψ−0 (x) = N exp(−∫ x

W(y)dy)

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Quebra da SUSI

• Caso não seja possível determinar um estado fundamental normalizávelna forma acima, dizemos que a SUSI é quebrada e, nesse caso, temos:

E+n = E−n , n = 0, 1, 2, . . .

ψ+n =

(E−n)−1/2

Aψ−n

ψ−n =(E+

n)−1/2

A†ψ+n

• Podemos mostrar que, para que a SUSI se manifeste, devemos tersuperpotenciais com sinais opostos para x→ +∞ e x→ −∞

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Hierarquia de Hamiltonianos

• Consideramos um conjunto de hamiltonianos Hn, n = 1, 2, 3, . . .• Esses hamiltonianos tem estados fundamentais ψn

0(x) com energias En0

• Vamos supor que seja possível fatorizar esses hamiltonianos comoHn − En

0 = A†n An, o que significa que podemos encontrar superpotenciaissatisfazendo equações de Riccati do tipo:

Vn − En0 = Wn(x)2 −W′n(x)

• Vamos supor também que possamos escrever os estados fundamentaisψn

0(x) como:

ψn0(x) = Nn exp

(−∫ x

Wn(y)dy)

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Mecânica Quântica Supersimétrica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Hierarquia de Hamiltonianos

• Podemos mostrar que esses hamiltonianos são parceiros SUSI 2 a 2 econstruir uma sequência de modo que:

En

0

En

1

En

k

En

5

En

4

En

3

En

2

En+1

0

En+1

1

En+1

3

E4

n+1

Ek−1

n+1

En+1

2

En+2

0

En+2

1

En+2

2

E3

n+2

Ek−2

n+2

En+3

0

En+3

1

En+3

2

Ek−3

n+3

nH n+1H n+2H n+3H

• Essa sequência é o que chamamos de hierarquia de hamiltonianos

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Invariância de Forma

Mecânica Quântica Supersimétrica

• Fatorização de Hamiltonianos• Osciladores Harmônicos e Supersimetria• Mecânica Quântica Supersimétrica• Invariância de Forma

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Mecânica Quântica Supersimétrica

Invariância de Forma

Mecânica Quântica Supersimétrica

• Fatorização de Hamiltonianos• Osciladores Harmônicos e Supersimetria• Mecânica Quântica Supersimétrica• Invariância de Forma

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Mecânica Quântica Supersimétrica

Invariância de Forma

Potenciais Invariantes de Forma

• Vamos considerar um par de potenciais Vn e Vn+1 dependendo deparâmetros an e an+1, respectivamente

• Sendo an ≡ an(an+1), temos:

Condição de Invariância de Forma

Vn+1(x; an+1) = Vn(x; an(an+1)) + R(an+1)

• Vn e Vn+1 são chamados de potenciais invariantes de forma• A invariância de forma, juntamente com a hierarquia de hamiltonianos

desempenha um papel importante na determinação de soluções em MQSUSI

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Mecânica Quântica Supersimétrica

Invariância de Forma

Invariância de Forma e a Hierarquia de Hamiltonianos

• Podemos pensar novamente no OHS para exemplificar o caso de umahierarquia de hamiltonianos cujos potenciais são invariantes de forma

Exemplo

Hn = HOHS + nEOHS0 , n = 0, 1, 2, . . .

• Os hamiltonianos Hn formam uma hierarquia de hamiltonianos

• Os potenciais desses hamiltonianos são invariantes de forma (Vn+1 = Vn + R)com R = EOHS

0

• O interesse em estudar a invariância de forma juntamente com ahierarquia de hamiltonianos é encontrar um método de resolução deproblemas em MQ análogo ao método algébrico do OHS

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Invariância de Forma

Invariância de Forma e a Hierarquia de Hamiltonianos

• Podemos pensar novamente no OHS para exemplificar o caso de umahierarquia de hamiltonianos cujos potenciais são invariantes de forma

Exemplo

Hn = HOHS + nEOHS0 , n = 0, 1, 2, . . .

• Os hamiltonianos Hn formam uma hierarquia de hamiltonianos

• Os potenciais desses hamiltonianos são invariantes de forma (Vn+1 = Vn + R)com R = EOHS

0

• O interesse em estudar a invariância de forma juntamente com ahierarquia de hamiltonianos é encontrar um método de resolução deproblemas em MQ análogo ao método algébrico do OHS

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Invariância de Forma

Invariância de Forma e a Hierarquia de Hamiltonianos

• Podemos pensar novamente no OHS para exemplificar o caso de umahierarquia de hamiltonianos cujos potenciais são invariantes de forma

Exemplo

Hn = HOHS + nEOHS0 , n = 0, 1, 2, . . .

• Os hamiltonianos Hn formam uma hierarquia de hamiltonianos

• Os potenciais desses hamiltonianos são invariantes de forma (Vn+1 = Vn + R)com R = EOHS

0

• O interesse em estudar a invariância de forma juntamente com ahierarquia de hamiltonianos é encontrar um método de resolução deproblemas em MQ análogo ao método algébrico do OHS

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Invariância de Forma

Invariância de Forma e a Hierarquia de Hamiltonianos

• Podemos pensar novamente no OHS para exemplificar o caso de umahierarquia de hamiltonianos cujos potenciais são invariantes de forma

Exemplo

Hn = HOHS + nEOHS0 , n = 0, 1, 2, . . .

• Os hamiltonianos Hn formam uma hierarquia de hamiltonianos

• Os potenciais desses hamiltonianos são invariantes de forma (Vn+1 = Vn + R)com R = EOHS

0

• O interesse em estudar a invariância de forma juntamente com ahierarquia de hamiltonianos é encontrar um método de resolução deproblemas em MQ análogo ao método algébrico do OHS

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Invariância de Forma

Invariância de Forma e a Hierarquia de Hamiltonianos

• Podemos pensar novamente no OHS para exemplificar o caso de umahierarquia de hamiltonianos cujos potenciais são invariantes de forma

Exemplo

Hn = HOHS + nEOHS0 , n = 0, 1, 2, . . .

• Os hamiltonianos Hn formam uma hierarquia de hamiltonianos

• Os potenciais desses hamiltonianos são invariantes de forma (Vn+1 = Vn + R)com R = EOHS

0

• O interesse em estudar a invariância de forma juntamente com ahierarquia de hamiltonianos é encontrar um método de resolução deproblemas em MQ análogo ao método algébrico do OHS

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Invariância de Forma

Invariância de Forma e a Hierarquia de Hamiltonianos

• De fato, para uma hierarquia de hamiltonianos cujos potenciais sãoinvariantes de forma, podemos mostrar que vale:

En+j0 =

n+j−1∑k=n

R(ak+1)

• Como para a hierarquia vale Enj = En+j

0 (j ≥ 1) e considerando ainvariância de forma, temos:

Autovalores e autofunções de Hn

• Autovalores:

En0(an) = 0 e En

j (an) =

n+j−1∑k=n

R(ak+1)

• Autofunções:

ψnj =

j∏l=1

(En+l

2j−l − En+l0

)−1/2A†n+l−1

ψn0

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Mecânica Quântica Supersimétrica

Invariância de Forma

Invariância de Forma e a Hierarquia de Hamiltonianos

Exemplo (Problema Radial do Átomo de Hidrogênio)

• O método descrito acima pode ser usado para construir uma hierarquia dehamiltonianos com potenciais invariantes de forma a partir do potencial radial:

Vr(r) = −e2

r+

l(l + 1)

r2

• Para esse problema encontramos autovalores dados por:

Ej+l+1 = −1

a2(j + l + 1)2, j, l = 0, 1, 2, . . .

• E as autofunções são:

ψ1j,l(r) =

j∏q=1

(E1+q

2j−q − E1+q0

)−1/2A†q,l

ψ10,l+j(r)

• Definindo ψ1j,l(r) ≡ uj+l+1,l(r) e n ≡ j + l + 1, os autovalores são os níveis de

energia En = −κ2

n2 associados às funções radiais un,l(r)

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Invariância de Forma

Invariância de Forma e a Hierarquia de Hamiltonianos

Exemplo (Problema Radial do Átomo de Hidrogênio)

• O método descrito acima pode ser usado para construir uma hierarquia dehamiltonianos com potenciais invariantes de forma a partir do potencial radial:

Vr(r) = −e2

r+

l(l + 1)

r2

• Para esse problema encontramos autovalores dados por:

Ej+l+1 = −1

a2(j + l + 1)2, j, l = 0, 1, 2, . . .

• E as autofunções são:

ψ1j,l(r) =

j∏q=1

(E1+q

2j−q − E1+q0

)−1/2A†q,l

ψ10,l+j(r)

• Definindo ψ1j,l(r) ≡ uj+l+1,l(r) e n ≡ j + l + 1, os autovalores são os níveis de

energia En = −κ2

n2 associados às funções radiais un,l(r)

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Invariância de Forma

Invariância de Forma e a Hierarquia de Hamiltonianos

Exemplo (Problema Radial do Átomo de Hidrogênio)

• O método descrito acima pode ser usado para construir uma hierarquia dehamiltonianos com potenciais invariantes de forma a partir do potencial radial:

Vr(r) = −e2

r+

l(l + 1)

r2

• Para esse problema encontramos autovalores dados por:

Ej+l+1 = −1

a2(j + l + 1)2, j, l = 0, 1, 2, . . .

• E as autofunções são:

ψ1j,l(r) =

j∏q=1

(E1+q

2j−q − E1+q0

)−1/2A†q,l

ψ10,l+j(r)

• Definindo ψ1j,l(r) ≡ uj+l+1,l(r) e n ≡ j + l + 1, os autovalores são os níveis de

energia En = −κ2

n2 associados às funções radiais un,l(r)

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Invariância de Forma

Invariância de Forma e a Hierarquia de Hamiltonianos

Exemplo (Problema Radial do Átomo de Hidrogênio)

• O método descrito acima pode ser usado para construir uma hierarquia dehamiltonianos com potenciais invariantes de forma a partir do potencial radial:

Vr(r) = −e2

r+

l(l + 1)

r2

• Para esse problema encontramos autovalores dados por:

Ej+l+1 = −1

a2(j + l + 1)2, j, l = 0, 1, 2, . . .

• E as autofunções são:

ψ1j,l(r) =

j∏q=1

(E1+q

2j−q − E1+q0

)−1/2A†q,l

ψ10,l+j(r)

• Definindo ψ1j,l(r) ≡ uj+l+1,l(r) e n ≡ j + l + 1, os autovalores são os níveis de

energia En = −κ2

n2 associados às funções radiais un,l(r)

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Invariância de Forma

Invariância de Forma e a Hierarquia de Hamiltonianos

Exemplo (Problema Radial do Átomo de Hidrogênio)

• O método descrito acima pode ser usado para construir uma hierarquia dehamiltonianos com potenciais invariantes de forma a partir do potencial radial:

Vr(r) = −e2

r+

l(l + 1)

r2

• Para esse problema encontramos autovalores dados por:

Ej+l+1 = −1

a2(j + l + 1)2, j, l = 0, 1, 2, . . .

• E as autofunções são:

ψ1j,l(r) =

j∏q=1

(E1+q

2j−q − E1+q0

)−1/2A†q,l

ψ10,l+j(r)

• Definindo ψ1j,l(r) ≡ uj+l+1,l(r) e n ≡ j + l + 1, os autovalores são os níveis de

energia En = −κ2

n2 associados às funções radiais un,l(r)

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Mecânica Quântica Supersimétrica

Invariância de Forma

Invariância de Forma e a Hierarquia de Hamiltonianos

Exemplo (Problema Radial do Átomo de Hidrogênio)

• O método descrito acima pode ser usado para construir uma hierarquia dehamiltonianos com potenciais invariantes de forma a partir do potencial radial:

Vr(r) = −e2

r+

l(l + 1)

r2

• Para esse problema encontramos autovalores dados por:

Ej+l+1 = −1

a2(j + l + 1)2, j, l = 0, 1, 2, . . .

• E as autofunções são:

ψ1j,l(r) =

j∏q=1

(E1+q

2j−q − E1+q0

)−1/2A†q,l

ψ10,l+j(r)

• Definindo ψ1j,l(r) ≡ uj+l+1,l(r) e n ≡ j + l + 1, os autovalores são os níveis de

energia En = −κ2

n2 associados às funções radiais un,l(r)

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Aplicações

Aplicações

• Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1

• Superpotencial W(x) = gε(x)• Superpotencial W(x) = gε(x)x2

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Aplicações

Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1

Aplicações

• Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1

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Aplicações

Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1

Aplicações

• Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1

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Aplicações

Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1

Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1

• Vamos considerar o caso de superpotenciais do tipo:

W(x) = gx2n+1

• Utilizando a equação de Riccati, encontramos potenciais dados por:

V±(x) = W(x)2 ±W′(x) = g2x4n+2 ± g(2n + 1)x2n

Exemplo (Caso n = 0)

• O caso mais simples para superpotenciais desse tipo ocorre para n = 0,o que resulta em 2 potenciais de OHS deslocados:

V±(x) = g2x2 ± 1

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Aplicações

Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1

Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1

• Vamos considerar o caso de superpotenciais do tipo:

W(x) = gx2n+1

• Utilizando a equação de Riccati, encontramos potenciais dados por:

V±(x) = W(x)2 ±W′(x) = g2x4n+2 ± g(2n + 1)x2n

Exemplo (Caso n = 0)

• O caso mais simples para superpotenciais desse tipo ocorre para n = 0,o que resulta em 2 potenciais de OHS deslocados:

V±(x) = g2x2 ± 1

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Aplicações

Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1

Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1

• Vamos considerar o caso de superpotenciais do tipo:

W(x) = gx2n+1

• Utilizando a equação de Riccati, encontramos potenciais dados por:

V±(x) = W(x)2 ±W′(x) = g2x4n+2 ± g(2n + 1)x2n

Exemplo (Caso n = 0)

• O caso mais simples para superpotenciais desse tipo ocorre para n = 0,o que resulta em 2 potenciais de OHS deslocados:

V±(x) = g2x2 ± 1

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Aplicações

Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1

Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1

• Voltando ao caso mais geral, n = 0, 1, 2, . . ., o estado fundamental deenergia zero de H− é dado por:

ψ−0 (x) = N exp(−∫ x

dyW(y)

)= N exp

(− g(x2)n+1

2(n + 1)

)• Para os valores de n considerados, as funções do tipo acima são

sempre normalizáveis, sendo o seu fator de normalização N dado por:

N =

(g(n + 1)2n+1

Γ (1/2(n+1))2(n+1)

)1/4(n+1)

• Os superpotenciais W(x) = gx2n+1 obedecem à regra W(x) ≶ 0 parax ≶ 0

• Esse pode ser considerado um caso típico simples em que a SUSI semanifesta

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Aplicações

Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1

Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n

• No caso dos superpotenciais do tipo W(x) = gx2n+1, que são monômioscom potências ímpares de x, a SUSI se manifesta

• Porém, no caso dos superpotenciais do tipo W(x) = gx2n, que sãomonômios com potências pares de x, a SUSI é quebrada

• Passamos então a estudar superpotenciais da forma:

W(x) = gε(x)x2n

• Para esses superpotenciais veremos os casos n = 0 e n = 1

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)

Aplicações

• Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1

• Superpotencial W(x) = gε(x)

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)

Aplicações

• Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1

• Superpotencial W(x) = gε(x)

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)

Superpotencial W(x) = gε(x)

• Vamos considerar o superpotencial:

W(x) = gε(x)

• Os potenciais parceiros correspondentes são:

V∓(x) = W(x)2 ∓W′(x) = g2 ∓ 2gδ(x)

• V− é um poço delta de Dirac• V+ é uma barreira delta de Dirac

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)

Superpotencial W(x) = gε(x)

• Os potenciais V− e V+ podem ser vistos na figura:

• V− é um poço delta de Dirac• V+ é uma barreira delta de Dirac

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)

Superpotencial W(x) = gε(x)

• O problema do poço delta tem um estado fundamental ligado dado por:

ψ−0 =√

ge−g|x| , E−0 = 0

• Os demais estados são estados de espalhamento com energias E− > 0• O problema da barreira delta não tem nenhum estado ligado, mas tem

estados de espalhamento com energias E+ > 0• Os estados de espalhamento ψ− e ψ+ podem ser convertidos uns nos

outros por meio da aplicação de operadores A e A†

Conclusão

• Isso corresponde à manifestação da SUSI nesse sistema:• Um estado fundamental de energia zero• Todos os demais estados 2 a 2 com a mesma energia e relacionados uns

com os outros por meio da aplicação de operadores A e A†

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)

Superpotencial W(x) = gε(x)

• O problema do poço delta tem um estado fundamental ligado dado por:

ψ−0 =√

ge−g|x| , E−0 = 0

• Os demais estados são estados de espalhamento com energias E− > 0• O problema da barreira delta não tem nenhum estado ligado, mas tem

estados de espalhamento com energias E+ > 0• Os estados de espalhamento ψ− e ψ+ podem ser convertidos uns nos

outros por meio da aplicação de operadores A e A†

Conclusão

• Isso corresponde à manifestação da SUSI nesse sistema:• Um estado fundamental de energia zero• Todos os demais estados 2 a 2 com a mesma energia e relacionados uns

com os outros por meio da aplicação de operadores A e A†

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)

Superpotencial W(x) = gε(x)

• O problema do poço delta tem um estado fundamental ligado dado por:

ψ−0 =√

ge−g|x| , E−0 = 0

• Os demais estados são estados de espalhamento com energias E− > 0• O problema da barreira delta não tem nenhum estado ligado, mas tem

estados de espalhamento com energias E+ > 0• Os estados de espalhamento ψ− e ψ+ podem ser convertidos uns nos

outros por meio da aplicação de operadores A e A†

Conclusão

• Isso corresponde à manifestação da SUSI nesse sistema:• Um estado fundamental de energia zero• Todos os demais estados 2 a 2 com a mesma energia e relacionados uns

com os outros por meio da aplicação de operadores A e A†

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Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)

Superpotencial W(x) = gε(x)

• O problema do poço delta tem um estado fundamental ligado dado por:

ψ−0 =√

ge−g|x| , E−0 = 0

• Os demais estados são estados de espalhamento com energias E− > 0• O problema da barreira delta não tem nenhum estado ligado, mas tem

estados de espalhamento com energias E+ > 0• Os estados de espalhamento ψ− e ψ+ podem ser convertidos uns nos

outros por meio da aplicação de operadores A e A†

Conclusão

• Isso corresponde à manifestação da SUSI nesse sistema:• Um estado fundamental de energia zero• Todos os demais estados 2 a 2 com a mesma energia e relacionados uns

com os outros por meio da aplicação de operadores A e A†

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)

Superpotencial W(x) = gε(x)

• O problema do poço delta tem um estado fundamental ligado dado por:

ψ−0 =√

ge−g|x| , E−0 = 0

• Os demais estados são estados de espalhamento com energias E− > 0• O problema da barreira delta não tem nenhum estado ligado, mas tem

estados de espalhamento com energias E+ > 0• Os estados de espalhamento ψ− e ψ+ podem ser convertidos uns nos

outros por meio da aplicação de operadores A e A†

Conclusão

• Isso corresponde à manifestação da SUSI nesse sistema:• Um estado fundamental de energia zero• Todos os demais estados 2 a 2 com a mesma energia e relacionados uns

com os outros por meio da aplicação de operadores A e A†

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Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Aplicações

• Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1

• Superpotencial W(x) = gε(x)• Superpotencial W(x) = gε(x)x2

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Aplicações

• Superpotenciais do Tipo W(x) = gx2n+1

• Superpotencial W(x) = gε(x)• Superpotencial W(x) = gε(x)x2

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

• Vamos considerar agora o superpotencial:

W(x) = gε(x)x2

• Os potenciais parceiros correspondentes são:

V∓(x) = W(x)2 ∓W′(x) = g2x4 ∓ 2g|x|

• V− e V+ são potenciais de osciladores anarmônicos.

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

• Os potenciais V− e V+ podem ser vistos na figura:

• V− e V+ são potenciais de osciladores anarmônicos.

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Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Analíticas da Equação de Schrödinger

• Vamos tentar resolver analiticamente a equação de Schrödinger para opotencial V− 1:

−ψ′′(x) +(

g2x4 − 2g|x|)ψ(x) = Eψ(x)

• Podemos facilmente encontrar uma solução para E = 0, ou seja, oestado fundamental de energia zero de H−

• Essa solução (que é normalizável) é:

ψ0(x) = N e−g|x|3/3

1Os índices “−” foram omitidos para não carregar demais a notação.54 / 73

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Analíticas da Equação de Schrödinger

• Para tentar encontrar as demais autofunções, podemos supor soluçõesda forma2:

ψ(x) = F(x)e−g|x|3/3

• Substituindo isso na equação de Schrödinger, temos:

F′′(x)− 2gε(x)x2F′(x) + EF(x) = 0

• No caso do OHS, esse passo teria nos levado à equação de Hermite• No nosso caso, obtivemos a equação acima que é uma equação

triconfluente de Heun

2No caso do OHS, as soluções são consideradas da forma H(x)e−x2/2 e a imposição dascondições de contorno acaba restringindo as funções H(x) a serem os polinômios de HermiteHn(x2).

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Analíticas da Equação de Schrödinger

• Do mesmo modo que para o problema do OHS, tentamos resolver aequação triconfluente de Heun por meio do método de Frobenius,supondo que as soluções F(x) podiam ser escritas na forma de umasérie:

F(x) =∞∑j=0

ajxj

• No caso do OHS, esse procedimento leva à seguinte relação derecorrência entre os índices da série:

aj+2 =2j + 1− E

(j + 1)(j + 2)aj

• E, para construir soluções que fossem de quadrado integrável naquelecaso, exigiríamos que a série H(x) fosse truncada para um certo j = ntal que an fosse o último coeficiente não nulo

• A partir da relação de recorrência acima, vemos que isso pode serconseguido para E = 2n + 1

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Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Analíticas da Equação de Schrödinger

• No nosso caso, esse procedimento leva às seguintes relações derecorrência:

a2 = −E2

a0 , j = 2

aj =2gε(x)(j− 3)aj−3 − Eaj−2

j(j− 1), j ≥ 3

• A última dessas relações é uma relação de recorrência de 3 termos quenão permite escolher uma expressão para E que trunque a série F(x)em determinado ponto

• Assim partimos para tentativas de encontrar soluções aproximadas

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Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional

Método Variacional

• Função tentativa: φ(x) =∑m

j=1 αjfj(x)

• Funcional da energia: E[α1, α2, . . . , αm] =〈φ|H|φ〉〈φ|φ〉

• Minimizando E com relação a cada parâmetro αk, devemos ter ∂E∂αk

= 0

• Definindo Sij ≡ 〈fi|fj〉 e Hij ≡ 〈fi|H|fj〉 e derivando o funcional da energia comrespeito a αk, temos:

m∑j=1

[E(Skj + Sjk

)−(Hkj + Hjk

)]αj = 0 ⇒ Mα = 0

• Para que esse sistema tenha solução não trivial devemos ter:

det M = 0

• Essa é uma equação de grau m em E e as m soluções são, em ordem crescente,os valores aproximados das energias dos m primeiros níveis do sistema

• Substituindo novamente no sistema o n-ésimo valor de E encontrado (En) e,impondo a normalização, podemos resolver o sistema para os parâmetros αn

j

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Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional

Método Variacional

• Função tentativa: φ(x) =∑m

j=1 αjfj(x)

• Funcional da energia: E[α1, α2, . . . , αm] =〈φ|H|φ〉〈φ|φ〉

• Minimizando E com relação a cada parâmetro αk, devemos ter ∂E∂αk

= 0

• Definindo Sij ≡ 〈fi|fj〉 e Hij ≡ 〈fi|H|fj〉 e derivando o funcional da energia comrespeito a αk, temos:

m∑j=1

[E(Skj + Sjk

)−(Hkj + Hjk

)]αj = 0 ⇒ Mα = 0

• Para que esse sistema tenha solução não trivial devemos ter:

det M = 0

• Essa é uma equação de grau m em E e as m soluções são, em ordem crescente,os valores aproximados das energias dos m primeiros níveis do sistema

• Substituindo novamente no sistema o n-ésimo valor de E encontrado (En) e,impondo a normalização, podemos resolver o sistema para os parâmetros αn

j

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Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional

Método Variacional

• Função tentativa: φ(x) =∑m

j=1 αjfj(x)

• Funcional da energia: E[α1, α2, . . . , αm] =〈φ|H|φ〉〈φ|φ〉

• Minimizando E com relação a cada parâmetro αk, devemos ter ∂E∂αk

= 0

• Definindo Sij ≡ 〈fi|fj〉 e Hij ≡ 〈fi|H|fj〉 e derivando o funcional da energia comrespeito a αk, temos:

m∑j=1

[E(Skj + Sjk

)−(Hkj + Hjk

)]αj = 0 ⇒ Mα = 0

• Para que esse sistema tenha solução não trivial devemos ter:

det M = 0

• Essa é uma equação de grau m em E e as m soluções são, em ordem crescente,os valores aproximados das energias dos m primeiros níveis do sistema

• Substituindo novamente no sistema o n-ésimo valor de E encontrado (En) e,impondo a normalização, podemos resolver o sistema para os parâmetros αn

j

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional

Método Variacional

• Função tentativa: φ(x) =∑m

j=1 αjfj(x)

• Funcional da energia: E[α1, α2, . . . , αm] =〈φ|H|φ〉〈φ|φ〉

• Minimizando E com relação a cada parâmetro αk, devemos ter ∂E∂αk

= 0

• Definindo Sij ≡ 〈fi|fj〉 e Hij ≡ 〈fi|H|fj〉 e derivando o funcional da energia comrespeito a αk, temos:

m∑j=1

[E(Skj + Sjk

)−(Hkj + Hjk

)]αj = 0 ⇒ Mα = 0

• Para que esse sistema tenha solução não trivial devemos ter:

det M = 0

• Essa é uma equação de grau m em E e as m soluções são, em ordem crescente,os valores aproximados das energias dos m primeiros níveis do sistema

• Substituindo novamente no sistema o n-ésimo valor de E encontrado (En) e,impondo a normalização, podemos resolver o sistema para os parâmetros αn

j

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional

Método Variacional

• Função tentativa: φ(x) =∑m

j=1 αjfj(x)

• Funcional da energia: E[α1, α2, . . . , αm] =〈φ|H|φ〉〈φ|φ〉

• Minimizando E com relação a cada parâmetro αk, devemos ter ∂E∂αk

= 0

• Definindo Sij ≡ 〈fi|fj〉 e Hij ≡ 〈fi|H|fj〉 e derivando o funcional da energia comrespeito a αk, temos:

m∑j=1

[E(Skj + Sjk

)−(Hkj + Hjk

)]αj = 0 ⇒ Mα = 0

• Para que esse sistema tenha solução não trivial devemos ter:

det M = 0

• Essa é uma equação de grau m em E e as m soluções são, em ordem crescente,os valores aproximados das energias dos m primeiros níveis do sistema

• Substituindo novamente no sistema o n-ésimo valor de E encontrado (En) e,impondo a normalização, podemos resolver o sistema para os parâmetros αn

j

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional

Método Variacional

• Função tentativa: φ(x) =∑m

j=1 αjfj(x)

• Funcional da energia: E[α1, α2, . . . , αm] =〈φ|H|φ〉〈φ|φ〉

• Minimizando E com relação a cada parâmetro αk, devemos ter ∂E∂αk

= 0

• Definindo Sij ≡ 〈fi|fj〉 e Hij ≡ 〈fi|H|fj〉 e derivando o funcional da energia comrespeito a αk, temos:

m∑j=1

[E(Skj + Sjk

)−(Hkj + Hjk

)]αj = 0 ⇒ Mα = 0

• Para que esse sistema tenha solução não trivial devemos ter:

det M = 0

• Essa é uma equação de grau m em E e as m soluções são, em ordem crescente,os valores aproximados das energias dos m primeiros níveis do sistema

• Substituindo novamente no sistema o n-ésimo valor de E encontrado (En) e,impondo a normalização, podemos resolver o sistema para os parâmetros αn

j

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Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional

Método Variacional

• Função tentativa: φ(x) =∑m

j=1 αjfj(x)

• Funcional da energia: E[α1, α2, . . . , αm] =〈φ|H|φ〉〈φ|φ〉

• Minimizando E com relação a cada parâmetro αk, devemos ter ∂E∂αk

= 0

• Definindo Sij ≡ 〈fi|fj〉 e Hij ≡ 〈fi|H|fj〉 e derivando o funcional da energia comrespeito a αk, temos:

m∑j=1

[E(Skj + Sjk

)−(Hkj + Hjk

)]αj = 0 ⇒ Mα = 0

• Para que esse sistema tenha solução não trivial devemos ter:

det M = 0

• Essa é uma equação de grau m em E e as m soluções são, em ordem crescente,os valores aproximados das energias dos m primeiros níveis do sistema

• Substituindo novamente no sistema o n-ésimo valor de E encontrado (En) e,impondo a normalização, podemos resolver o sistema para os parâmetros αn

j

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Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional

Método Variacional

• Função tentativa: φ(x) =∑m

j=1 αjfj(x)

• Funcional da energia: E[α1, α2, . . . , αm] =〈φ|H|φ〉〈φ|φ〉

• Minimizando E com relação a cada parâmetro αk, devemos ter ∂E∂αk

= 0

• Definindo Sij ≡ 〈fi|fj〉 e Hij ≡ 〈fi|H|fj〉 e derivando o funcional da energia comrespeito a αk, temos:

m∑j=1

[E(Skj + Sjk

)−(Hkj + Hjk

)]αj = 0 ⇒ Mα = 0

• Para que esse sistema tenha solução não trivial devemos ter:

det M = 0

• Essa é uma equação de grau m em E e as m soluções são, em ordem crescente,os valores aproximados das energias dos m primeiros níveis do sistema

• Substituindo novamente no sistema o n-ésimo valor de E encontrado (En) e,impondo a normalização, podemos resolver o sistema para os parâmetros αn

j

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Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional

• Vamos aplicar o método variacional conforme descrito acima para onosso problema

• Vamos escolher fj(x) = xj−1e−|x|3/3, o que corresponde a uma função

tentativa da forma:

φ(x) =

m∑j=1

αjxj−1

e−|x|3/3

• Determinando os parâmetros αj, o termo entre parênteses é umaaproximação para a função F(x)

• Se, como no caso do OHS, pudessemos truncar a série e encontrarpolinômios Fm(x), então, tomando um número de parâmetros maior quem, encontraríamos as soluções exatas

• Em geral as funções F(x) são séries com infinitos termos e nãopolinômios

• Sendo assim o método variacional vai aproximar essa série por umpolinômio

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Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional

• Empregamos o método variacional com 6 parâmetros• Os 5 primeiros níveis de energia de H− e 4 primeiros níveis de energia

de H+ estão esquematizados a seguir:

• Quanto maior o número de parâmetros e quanto menor o nível deenergia, melhor a aproximação

• Os níveis de energia mais baixos apresentam maior evidência deobedecerem E−n = E+

n−1, n ≥ 1, característica da manifestação da SUSI60 / 73

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional

• As figuras a seguir mostram as aproximações para as funções de ondaassociadas aos níveis de energia da figura anterior:

(a) Autofunções de H− (b) Autofunções de H+

• Comparando as funções de onda de níveis de energia emparelhados(com E−n ≈ E+

n−1), vemos que essas funções se relacionam por meio daaplicação de operadores A e A†

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Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional

• Comparando com valores numéricos, os valores das energias dos 8primeiros níveis de H− (e 7 primeiros de H+) obtidos por meio doMétodo Variacional com 10 parâmetros, encontramos desvios entreesses valores que vão de cerca de 0, 1% até 5% do estado diferente dezero mais baixo até o mais alto.

• Para números menores de parâmetros esses desvios aumentam• Isso está dentro do que esperamos do Método Variacional:

aproximações melhores para níveis de energia mais baixos e paranúmeros de parâmetros maiores.

Conclusão

• Isso indica a manifestação da SUSI nesse sistema:• Um estado fundamental de energia zero (tanto a solução analítica quanto a

aproximada)• Todos os demais estados 2 a 2 com aproximadamente a mesma energia e

relacionados uns com os outros por meio da aplicação de operadores A e A†

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Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional

• Comparando com valores numéricos, os valores das energias dos 8primeiros níveis de H− (e 7 primeiros de H+) obtidos por meio doMétodo Variacional com 10 parâmetros, encontramos desvios entreesses valores que vão de cerca de 0, 1% até 5% do estado diferente dezero mais baixo até o mais alto.

• Para números menores de parâmetros esses desvios aumentam• Isso está dentro do que esperamos do Método Variacional:

aproximações melhores para níveis de energia mais baixos e paranúmeros de parâmetros maiores.

Conclusão

• Isso indica a manifestação da SUSI nesse sistema:• Um estado fundamental de energia zero (tanto a solução analítica quanto a

aproximada)• Todos os demais estados 2 a 2 com aproximadamente a mesma energia e

relacionados uns com os outros por meio da aplicação de operadores A e A†

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional

• Comparando com valores numéricos, os valores das energias dos 8primeiros níveis de H− (e 7 primeiros de H+) obtidos por meio doMétodo Variacional com 10 parâmetros, encontramos desvios entreesses valores que vão de cerca de 0, 1% até 5% do estado diferente dezero mais baixo até o mais alto.

• Para números menores de parâmetros esses desvios aumentam• Isso está dentro do que esperamos do Método Variacional:

aproximações melhores para níveis de energia mais baixos e paranúmeros de parâmetros maiores.

Conclusão

• Isso indica a manifestação da SUSI nesse sistema:• Um estado fundamental de energia zero (tanto a solução analítica quanto a

aproximada)• Todos os demais estados 2 a 2 com aproximadamente a mesma energia e

relacionados uns com os outros por meio da aplicação de operadores A e A†

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional

• Comparando com valores numéricos, os valores das energias dos 8primeiros níveis de H− (e 7 primeiros de H+) obtidos por meio doMétodo Variacional com 10 parâmetros, encontramos desvios entreesses valores que vão de cerca de 0, 1% até 5% do estado diferente dezero mais baixo até o mais alto.

• Para números menores de parâmetros esses desvios aumentam• Isso está dentro do que esperamos do Método Variacional:

aproximações melhores para níveis de energia mais baixos e paranúmeros de parâmetros maiores.

Conclusão

• Isso indica a manifestação da SUSI nesse sistema:• Um estado fundamental de energia zero (tanto a solução analítica quanto a

aproximada)• Todos os demais estados 2 a 2 com aproximadamente a mesma energia e

relacionados uns com os outros por meio da aplicação de operadores A e A†

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pelo Método Variacional

• Comparando com valores numéricos, os valores das energias dos 8primeiros níveis de H− (e 7 primeiros de H+) obtidos por meio doMétodo Variacional com 10 parâmetros, encontramos desvios entreesses valores que vão de cerca de 0, 1% até 5% do estado diferente dezero mais baixo até o mais alto.

• Para números menores de parâmetros esses desvios aumentam• Isso está dentro do que esperamos do Método Variacional:

aproximações melhores para níveis de energia mais baixos e paranúmeros de parâmetros maiores.

Conclusão

• Isso indica a manifestação da SUSI nesse sistema:• Um estado fundamental de energia zero (tanto a solução analítica quanto a

aproximada)• Todos os demais estados 2 a 2 com aproximadamente a mesma energia e

relacionados uns com os outros por meio da aplicação de operadores A e A†

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Reparametrização do Potencial

• A reparametrização consiste em fazer a seguinte substituição:

V(x) −→ V(x; δ)

• O potencial reparametrizado V(x; δ) deve ser tal que para um certoδ = δ1 tenhamos:

V(x; δ1) = V(x)

Exemplo

• O potencial reparametrizado:

V(x; δ) = (x2)1+δ

se reduz a V(x) = x4 para δ = 1 ou V(x) = x6 para δ = 2.

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Reparametrização do Potencial

• A reparametrização consiste em fazer a seguinte substituição:

V(x) −→ V(x; δ)

• O potencial reparametrizado V(x; δ) deve ser tal que para um certoδ = δ1 tenhamos:

V(x; δ1) = V(x)

Exemplo

• O potencial reparametrizado:

V(x; δ) = (x2)1+δ

se reduz a V(x) = x4 para δ = 1 ou V(x) = x6 para δ = 2.

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Reparametrização do Potencial

• A reparametrização consiste em fazer a seguinte substituição:

V(x) −→ V(x; δ)

• O potencial reparametrizado V(x; δ) deve ser tal que para um certoδ = δ1 tenhamos:

V(x; δ1) = V(x)

Exemplo

• O potencial reparametrizado:

V(x; δ) = (x2)1+δ

se reduz a V(x) = x4 para δ = 1 ou V(x) = x6 para δ = 2.

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL

Teoria de Perturbações Logarítmica (TPL)

• Substituimos na equação de Schrödinger para o estado fundamental:

V(x; δ) =∞∑

n=0

Vn(x)δn, E0 =

∞∑n=0

Bnδn, ψ0(x) = N e−

∫ x W(y)dy e W(x) =∞∑

n=0

Wn(x)δn

• Com isso obtemos:∞∑

n=0

[Vn(x)− Bn] δn =

∞∑n,m=0

Wn(x)Wm(x)δn+m −∞∑

n=0

W′n(x)δn

• Comparando os termos das diferentes potências de δ, temos:

V0(x)− B0 = W0(x)2 −W′0(x) , n = 0

V1(x)− B1 = 2W0(x)W1(x)−W′1(x) , n = 1

Vn(x)− Bn = 2W0(x)Wn(x)−W′n(x) +

n−1∑k=1

Wk(x)Wn−k(x) , n = 2, 3, 4, . . .

que são as equações para diferentes ordens de perturbação.

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL

Teoria de Perturbações Logarítmica (TPL)

• Substituimos na equação de Schrödinger para o estado fundamental:

V(x; δ) =∞∑

n=0

Vn(x)δn, E0 =

∞∑n=0

Bnδn, ψ0(x) = N e−

∫ x W(y)dy e W(x) =∞∑

n=0

Wn(x)δn

• Com isso obtemos:∞∑

n=0

[Vn(x)− Bn] δn =∞∑

n,m=0

Wn(x)Wm(x)δn+m −∞∑

n=0

W′n(x)δn

• Comparando os termos das diferentes potências de δ, temos:

V0(x)− B0 = W0(x)2 −W′0(x) , n = 0

V1(x)− B1 = 2W0(x)W1(x)−W′1(x) , n = 1

Vn(x)− Bn = 2W0(x)Wn(x)−W′n(x) +

n−1∑k=1

Wk(x)Wn−k(x) , n = 2, 3, 4, . . .

que são as equações para diferentes ordens de perturbação.

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Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL

Teoria de Perturbações Logarítmica (TPL)

• Substituimos na equação de Schrödinger para o estado fundamental:

V(x; δ) =∞∑

n=0

Vn(x)δn, E0 =

∞∑n=0

Bnδn, ψ0(x) = N e−

∫ x W(y)dy e W(x) =∞∑

n=0

Wn(x)δn

• Com isso obtemos:∞∑

n=0

[Vn(x)− Bn] δn =∞∑

n,m=0

Wn(x)Wm(x)δn+m −∞∑

n=0

W′n(x)δn

• Comparando os termos das diferentes potências de δ, temos:

V0(x)− B0 = W0(x)2 −W′0(x) , n = 0

V1(x)− B1 = 2W0(x)W1(x)−W′1(x) , n = 1

Vn(x)− Bn = 2W0(x)Wn(x)−W′n(x) +

n−1∑k=1

Wk(x)Wn−k(x) , n = 2, 3, 4, . . .

que são as equações para diferentes ordens de perturbação.

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Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL

Teoria de Perturbações Logarítmica (TPL)

• Substituimos na equação de Schrödinger para o estado fundamental:

V(x; δ) =∞∑

n=0

Vn(x)δn, E0 =

∞∑n=0

Bnδn, ψ0(x) = N e−

∫ x W(y)dy e W(x) =∞∑

n=0

Wn(x)δn

• Com isso obtemos:∞∑

n=0

[Vn(x)− Bn] δn =∞∑

n,m=0

Wn(x)Wm(x)δn+m −∞∑

n=0

W′n(x)δn

• Comparando os termos das diferentes potências de δ, temos:

V0(x)− B0 = W0(x)2 −W′0(x) , n = 0

V1(x)− B1 = 2W0(x)W1(x)−W′1(x) , n = 1

Vn(x)− Bn = 2W0(x)Wn(x)−W′n(x) +

n−1∑k=1

Wk(x)Wn−k(x) , n = 2, 3, 4, . . .

que são as equações para diferentes ordens de perturbação.

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Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL

Teoria de Perturbações Logarítmica (TPL)

• Solucionando a ordem zero e sendo ϕ0(x) = N e−∫ x W0(y)dy, as correções para

as diferentes ordens são:

• Ordem Zero: B0 e W0(x)• Ordem 1:

B1 = 〈ϕ0|V1(x)|ϕ0〉

W1(x) = |ϕ0(x)|−2∫ x

0dy|ϕ0(y)|2 [B1 − V1(y)]

• Ordem n (n ≥ 2):

Bn = 〈ϕ0|[

Vn(x)−n−1∑k=1

Wk(x)Wn−k(x)

]|ϕ0〉

Wn(x) = |ϕ0(x)|−2∫ x

0dy|ϕ0(y)|2

[Bn − Vn(y) +

n−1∑k=1

Wk(y)Wn−k(y)

]

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Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL

Teoria de Perturbações Logarítmica (TPL)

• Solucionando a ordem zero e sendo ϕ0(x) = N e−∫ x W0(y)dy, as correções para

as diferentes ordens são:

• Ordem Zero: B0 e W0(x)• Ordem 1:

B1 = 〈ϕ0|V1(x)|ϕ0〉

W1(x) = |ϕ0(x)|−2∫ x

0dy|ϕ0(y)|2 [B1 − V1(y)]

• Ordem n (n ≥ 2):

Bn = 〈ϕ0|[

Vn(x)−n−1∑k=1

Wk(x)Wn−k(x)

]|ϕ0〉

Wn(x) = |ϕ0(x)|−2∫ x

0dy|ϕ0(y)|2

[Bn − Vn(y) +

n−1∑k=1

Wk(y)Wn−k(y)

]

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Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL

Teoria de Perturbações Logarítmica (TPL)

• Solucionando a ordem zero e sendo ϕ0(x) = N e−∫ x W0(y)dy, as correções para

as diferentes ordens são:

• Ordem Zero: B0 e W0(x)• Ordem 1:

B1 = 〈ϕ0|V1(x)|ϕ0〉

W1(x) = |ϕ0(x)|−2∫ x

0dy|ϕ0(y)|2 [B1 − V1(y)]

• Ordem n (n ≥ 2):

Bn = 〈ϕ0|[

Vn(x)−n−1∑k=1

Wk(x)Wn−k(x)

]|ϕ0〉

Wn(x) = |ϕ0(x)|−2∫ x

0dy|ϕ0(y)|2

[Bn − Vn(y) +

n−1∑k=1

Wk(y)Wn−k(y)

]

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Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL

Teoria de Perturbações Logarítmica (TPL)

• Solucionando a ordem zero e sendo ϕ0(x) = N e−∫ x W0(y)dy, as correções para

as diferentes ordens são:

• Ordem Zero: B0 e W0(x)• Ordem 1:

B1 = 〈ϕ0|V1(x)|ϕ0〉

W1(x) = |ϕ0(x)|−2∫ x

0dy|ϕ0(y)|2 [B1 − V1(y)]

• Ordem n (n ≥ 2):

Bn = 〈ϕ0|[

Vn(x)−n−1∑k=1

Wk(x)Wn−k(x)

]|ϕ0〉

Wn(x) = |ϕ0(x)|−2∫ x

0dy|ϕ0(y)|2

[Bn − Vn(y) +

n−1∑k=1

Wk(y)Wn−k(y)

]

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL

Teoria de Perturbações Logarítmica (TPL)

• Solucionando a ordem zero e sendo ϕ0(x) = N e−∫ x W0(y)dy, as correções para

as diferentes ordens são:

• Ordem Zero: B0 e W0(x)• Ordem 1:

B1 = 〈ϕ0|V1(x)|ϕ0〉

W1(x) = |ϕ0(x)|−2∫ x

0dy|ϕ0(y)|2 [B1 − V1(y)]

• Ordem n (n ≥ 2):

Bn = 〈ϕ0|[

Vn(x)−n−1∑k=1

Wk(x)Wn−k(x)

]|ϕ0〉

Wn(x) = |ϕ0(x)|−2∫ x

0dy|ϕ0(y)|2

[Bn − Vn(y) +

n−1∑k=1

Wk(y)Wn−k(y)

]

65 / 73

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL

• Consideramos o seguinte par de potenciais reparametrizados:

V±(x; δ) =(

x2)1+δ

±(

4x2)δ/2

• Para δ = 1 esses potenciais voltam a ser os potenciais parceirosassociados ao superpotencial W(x) = gε(x)x2

• A expansão de V±(x; δ) é:

V±(x; δ) =

n∑m=0

δm

m!

x2[ln (x2)

]m±

m∑j=0

m!

2jj!(m− j)![ln 2]m−j

[ln (x2)

]j

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL

Ordem Zero• Seguindo o procedimento da TPL descrito acima e resolvendo a

equação de ordem zero, temos:

W±0 (x) = x e B±0 = 1± 1

Ordem 1• Sendo ϕ±0 (x) = e−

∫W±0 (y)dy = e−x2/2, B±1 e W±1 (x) são 3:

B±1 =〈ϕ±0 |V

±1 (x)|ϕ±0 〉

〈ϕ±0 |ϕ±0 〉

=12ψ (3/2)± 1

2ψ (1/2)± ln 2

W±1 (x) = |ϕ±0 (x)|−2∫ x

0dy|ϕ±0 (y)|2

[B±1 − V±1 (y)

]ex2∫ x

0dye−y2

[12ψ (3/2)± 1

2ψ (1/2)− y2 ln (y2)∓ 1

2ln (y2)

]3ψ(z) ≡ Γ′(z)

Γ(z) é a função digama.67 / 73

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL

Ordem 2• As correções de segunda ordem devem ser obtidas a partir de:

B±2 =〈ϕ±0 |

[V±2 (x)− (W±1 (x))2] |ϕ±0 〉〈ϕ±0 |ϕ

±0 〉

• O primeiro termo com 〈ϕ±0 |V±2 (x)|ϕ±0 〉 é fácil de calcular

• O segundo termo com 〈ϕ±0 |(W±1 (x))2|ϕ±0 〉 parece divergir• Assim, vamos considerar o resultado apenas até a ordem 1

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL

• Substituindo as correções encontradas na série da energia, truncandoessa série no termo de ordem 1 e fazendo δ = 1, temos:

E±0 = (1± 1) +

(12ψ (3/2)± 1

2ψ (1/2)± ln 2

)• Isso resulta em:

E−0 = 0, 30685 e E+0 = 1, 72964

Conclusão

• Em comparação com os melhores valores obtidos pelo MétodoVariacional, E−0 = 0, 00000 (valor exato) e E+

0 = 1, 97235, a TPL não semostra satisfatória até ordem 1

• Esperamos porém que essa diferença se torne menor para maioresordens de aproximação

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL

• Substituindo as correções encontradas na série da energia, truncandoessa série no termo de ordem 1 e fazendo δ = 1, temos:

E±0 = (1± 1) +

(12ψ (3/2)± 1

2ψ (1/2)± ln 2

)• Isso resulta em:

E−0 = 0, 30685 e E+0 = 1, 72964

Conclusão

• Em comparação com os melhores valores obtidos pelo MétodoVariacional, E−0 = 0, 00000 (valor exato) e E+

0 = 1, 97235, a TPL não semostra satisfatória até ordem 1

• Esperamos porém que essa diferença se torne menor para maioresordens de aproximação

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL

• Substituindo as correções encontradas na série da energia, truncandoessa série no termo de ordem 1 e fazendo δ = 1, temos:

E±0 = (1± 1) +

(12ψ (3/2)± 1

2ψ (1/2)± ln 2

)• Isso resulta em:

E−0 = 0, 30685 e E+0 = 1, 72964

Conclusão

• Em comparação com os melhores valores obtidos pelo MétodoVariacional, E−0 = 0, 00000 (valor exato) e E+

0 = 1, 97235, a TPL não semostra satisfatória até ordem 1

• Esperamos porém que essa diferença se torne menor para maioresordens de aproximação

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Aplicações

Superpotencial W(x) = gε(x)x2

Buscando Soluções Aproximadas Pela TPL

• Substituindo as correções encontradas na série da energia, truncandoessa série no termo de ordem 1 e fazendo δ = 1, temos:

E±0 = (1± 1) +

(12ψ (3/2)± 1

2ψ (1/2)± ln 2

)• Isso resulta em:

E−0 = 0, 30685 e E+0 = 1, 72964

Conclusão

• Em comparação com os melhores valores obtidos pelo MétodoVariacional, E−0 = 0, 00000 (valor exato) e E+

0 = 1, 97235, a TPL não semostra satisfatória até ordem 1

• Esperamos porém que essa diferença se torne menor para maioresordens de aproximação

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Considerações Finais

Considerações Finais

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Considerações Finais

Considerações Finais

• Apresentamos uma introdução à MQ SUSI em 1 dimensão espacial.• Introduzimos o conceito de parceiros SUSI• Mostramos o exemplo de um potencial complicado (cosec2 πx

L ) que éparceiro SUSI de um muito simples (o poço quadrado infinito)

• Introduzimos os conceitos de hierarquia de hamiltonianos e invariânciade forma

• Mostramos uma generalização do método de operadores escada doOHS

• Utilizamos essa generalização para solucionar a equação radial doátomo de hidrogênio

• Propusemos uma nova classe de superpotenciais para os quaisesperamos observar a manifestação da SUSI: W(x) = gε(x)x2n

• Estudamos o caso mais simples, n = 0• Estudamos o caso seguinte, n = 1, por 3 caminhos diferentes:

• Analiticamente: obtendo o estado fundamental de H−• Por meio do Método Variacional: obtendo uma série de soluções

aproximadas que indicam a manifestação da SUSI• Por meio da TPL: obtendo um resultado aproximado até primeira ordem

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Um estudo sobre a Supersimetria no contexto da Mecânica Quântica

Considerações Finais

Considerações Finais

• Apresentamos uma introdução à MQ SUSI em 1 dimensão espacial.• Introduzimos o conceito de parceiros SUSI• Mostramos o exemplo de um potencial complicado (cosec2 πx

L ) que éparceiro SUSI de um muito simples (o poço quadrado infinito)

• Introduzimos os conceitos de hierarquia de hamiltonianos e invariânciade forma

• Mostramos uma generalização do método de operadores escada doOHS

• Utilizamos essa generalização para solucionar a equação radial doátomo de hidrogênio

• Propusemos uma nova classe de superpotenciais para os quaisesperamos observar a manifestação da SUSI: W(x) = gε(x)x2n

• Estudamos o caso mais simples, n = 0• Estudamos o caso seguinte, n = 1, por 3 caminhos diferentes:

• Analiticamente: obtendo o estado fundamental de H−• Por meio do Método Variacional: obtendo uma série de soluções

aproximadas que indicam a manifestação da SUSI• Por meio da TPL: obtendo um resultado aproximado até primeira ordem

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Considerações Finais

Considerações Finais

• Apresentamos uma introdução à MQ SUSI em 1 dimensão espacial.• Introduzimos o conceito de parceiros SUSI• Mostramos o exemplo de um potencial complicado (cosec2 πx

L ) que éparceiro SUSI de um muito simples (o poço quadrado infinito)

• Introduzimos os conceitos de hierarquia de hamiltonianos e invariânciade forma

• Mostramos uma generalização do método de operadores escada doOHS

• Utilizamos essa generalização para solucionar a equação radial doátomo de hidrogênio

• Propusemos uma nova classe de superpotenciais para os quaisesperamos observar a manifestação da SUSI: W(x) = gε(x)x2n

• Estudamos o caso mais simples, n = 0• Estudamos o caso seguinte, n = 1, por 3 caminhos diferentes:

• Analiticamente: obtendo o estado fundamental de H−• Por meio do Método Variacional: obtendo uma série de soluções

aproximadas que indicam a manifestação da SUSI• Por meio da TPL: obtendo um resultado aproximado até primeira ordem

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Considerações Finais

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• Apresentamos uma introdução à MQ SUSI em 1 dimensão espacial.• Introduzimos o conceito de parceiros SUSI• Mostramos o exemplo de um potencial complicado (cosec2 πx

L ) que éparceiro SUSI de um muito simples (o poço quadrado infinito)

• Introduzimos os conceitos de hierarquia de hamiltonianos e invariânciade forma

• Mostramos uma generalização do método de operadores escada doOHS

• Utilizamos essa generalização para solucionar a equação radial doátomo de hidrogênio

• Propusemos uma nova classe de superpotenciais para os quaisesperamos observar a manifestação da SUSI: W(x) = gε(x)x2n

• Estudamos o caso mais simples, n = 0• Estudamos o caso seguinte, n = 1, por 3 caminhos diferentes:

• Analiticamente: obtendo o estado fundamental de H−• Por meio do Método Variacional: obtendo uma série de soluções

aproximadas que indicam a manifestação da SUSI• Por meio da TPL: obtendo um resultado aproximado até primeira ordem

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Considerações Finais

Considerações Finais

• Apresentamos uma introdução à MQ SUSI em 1 dimensão espacial.• Introduzimos o conceito de parceiros SUSI• Mostramos o exemplo de um potencial complicado (cosec2 πx

L ) que éparceiro SUSI de um muito simples (o poço quadrado infinito)

• Introduzimos os conceitos de hierarquia de hamiltonianos e invariânciade forma

• Mostramos uma generalização do método de operadores escada doOHS

• Utilizamos essa generalização para solucionar a equação radial doátomo de hidrogênio

• Propusemos uma nova classe de superpotenciais para os quaisesperamos observar a manifestação da SUSI: W(x) = gε(x)x2n

• Estudamos o caso mais simples, n = 0• Estudamos o caso seguinte, n = 1, por 3 caminhos diferentes:

• Analiticamente: obtendo o estado fundamental de H−• Por meio do Método Variacional: obtendo uma série de soluções

aproximadas que indicam a manifestação da SUSI• Por meio da TPL: obtendo um resultado aproximado até primeira ordem

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Considerações Finais

Considerações Finais

• Apresentamos uma introdução à MQ SUSI em 1 dimensão espacial.• Introduzimos o conceito de parceiros SUSI• Mostramos o exemplo de um potencial complicado (cosec2 πx

L ) que éparceiro SUSI de um muito simples (o poço quadrado infinito)

• Introduzimos os conceitos de hierarquia de hamiltonianos e invariânciade forma

• Mostramos uma generalização do método de operadores escada doOHS

• Utilizamos essa generalização para solucionar a equação radial doátomo de hidrogênio

• Propusemos uma nova classe de superpotenciais para os quaisesperamos observar a manifestação da SUSI: W(x) = gε(x)x2n

• Estudamos o caso mais simples, n = 0• Estudamos o caso seguinte, n = 1, por 3 caminhos diferentes:

• Analiticamente: obtendo o estado fundamental de H−• Por meio do Método Variacional: obtendo uma série de soluções

aproximadas que indicam a manifestação da SUSI• Por meio da TPL: obtendo um resultado aproximado até primeira ordem

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Considerações Finais

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• Apresentamos uma introdução à MQ SUSI em 1 dimensão espacial.• Introduzimos o conceito de parceiros SUSI• Mostramos o exemplo de um potencial complicado (cosec2 πx

L ) que éparceiro SUSI de um muito simples (o poço quadrado infinito)

• Introduzimos os conceitos de hierarquia de hamiltonianos e invariânciade forma

• Mostramos uma generalização do método de operadores escada doOHS

• Utilizamos essa generalização para solucionar a equação radial doátomo de hidrogênio

• Propusemos uma nova classe de superpotenciais para os quaisesperamos observar a manifestação da SUSI: W(x) = gε(x)x2n

• Estudamos o caso mais simples, n = 0• Estudamos o caso seguinte, n = 1, por 3 caminhos diferentes:

• Analiticamente: obtendo o estado fundamental de H−• Por meio do Método Variacional: obtendo uma série de soluções

aproximadas que indicam a manifestação da SUSI• Por meio da TPL: obtendo um resultado aproximado até primeira ordem

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Considerações Finais

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• Apresentamos uma introdução à MQ SUSI em 1 dimensão espacial.• Introduzimos o conceito de parceiros SUSI• Mostramos o exemplo de um potencial complicado (cosec2 πx

L ) que éparceiro SUSI de um muito simples (o poço quadrado infinito)

• Introduzimos os conceitos de hierarquia de hamiltonianos e invariânciade forma

• Mostramos uma generalização do método de operadores escada doOHS

• Utilizamos essa generalização para solucionar a equação radial doátomo de hidrogênio

• Propusemos uma nova classe de superpotenciais para os quaisesperamos observar a manifestação da SUSI: W(x) = gε(x)x2n

• Estudamos o caso mais simples, n = 0• Estudamos o caso seguinte, n = 1, por 3 caminhos diferentes:

• Analiticamente: obtendo o estado fundamental de H−• Por meio do Método Variacional: obtendo uma série de soluções

aproximadas que indicam a manifestação da SUSI• Por meio da TPL: obtendo um resultado aproximado até primeira ordem

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• Apresentamos uma introdução à MQ SUSI em 1 dimensão espacial.• Introduzimos o conceito de parceiros SUSI• Mostramos o exemplo de um potencial complicado (cosec2 πx

L ) que éparceiro SUSI de um muito simples (o poço quadrado infinito)

• Introduzimos os conceitos de hierarquia de hamiltonianos e invariânciade forma

• Mostramos uma generalização do método de operadores escada doOHS

• Utilizamos essa generalização para solucionar a equação radial doátomo de hidrogênio

• Propusemos uma nova classe de superpotenciais para os quaisesperamos observar a manifestação da SUSI: W(x) = gε(x)x2n

• Estudamos o caso mais simples, n = 0• Estudamos o caso seguinte, n = 1, por 3 caminhos diferentes:

• Analiticamente: obtendo o estado fundamental de H−• Por meio do Método Variacional: obtendo uma série de soluções

aproximadas que indicam a manifestação da SUSI• Por meio da TPL: obtendo um resultado aproximado até primeira ordem

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• Apresentamos uma introdução à MQ SUSI em 1 dimensão espacial.• Introduzimos o conceito de parceiros SUSI• Mostramos o exemplo de um potencial complicado (cosec2 πx

L ) que éparceiro SUSI de um muito simples (o poço quadrado infinito)

• Introduzimos os conceitos de hierarquia de hamiltonianos e invariânciade forma

• Mostramos uma generalização do método de operadores escada doOHS

• Utilizamos essa generalização para solucionar a equação radial doátomo de hidrogênio

• Propusemos uma nova classe de superpotenciais para os quaisesperamos observar a manifestação da SUSI: W(x) = gε(x)x2n

• Estudamos o caso mais simples, n = 0• Estudamos o caso seguinte, n = 1, por 3 caminhos diferentes:

• Analiticamente: obtendo o estado fundamental de H−• Por meio do Método Variacional: obtendo uma série de soluções

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• Apresentamos uma introdução à MQ SUSI em 1 dimensão espacial.• Introduzimos o conceito de parceiros SUSI• Mostramos o exemplo de um potencial complicado (cosec2 πx

L ) que éparceiro SUSI de um muito simples (o poço quadrado infinito)

• Introduzimos os conceitos de hierarquia de hamiltonianos e invariânciade forma

• Mostramos uma generalização do método de operadores escada doOHS

• Utilizamos essa generalização para solucionar a equação radial doátomo de hidrogênio

• Propusemos uma nova classe de superpotenciais para os quaisesperamos observar a manifestação da SUSI: W(x) = gε(x)x2n

• Estudamos o caso mais simples, n = 0• Estudamos o caso seguinte, n = 1, por 3 caminhos diferentes:

• Analiticamente: obtendo o estado fundamental de H−• Por meio do Método Variacional: obtendo uma série de soluções

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L ) que éparceiro SUSI de um muito simples (o poço quadrado infinito)

• Introduzimos os conceitos de hierarquia de hamiltonianos e invariânciade forma

• Mostramos uma generalização do método de operadores escada doOHS

• Utilizamos essa generalização para solucionar a equação radial doátomo de hidrogênio

• Propusemos uma nova classe de superpotenciais para os quaisesperamos observar a manifestação da SUSI: W(x) = gε(x)x2n

• Estudamos o caso mais simples, n = 0• Estudamos o caso seguinte, n = 1, por 3 caminhos diferentes:

• Analiticamente: obtendo o estado fundamental de H−• Por meio do Método Variacional: obtendo uma série de soluções

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Referências Bibliográficas

Referências Bibliográficas

Cooper, F., Khare, A. and Sukhatme, U. Supersymmetry in QuantumMechanics. World Scientific, 2001.

Drigo Filho, E. Supersimetria aplicada à Mecânica Quântica. EditoraUnesp, 2009.

Das, A. Field Theory: A Path Integral Approach. World Scientific, 1993.

Bagchi, B. K., Supersymmetry in Quantum and Classical Mechanics.Chapman & Hall/CRC, 2001.

Valance, A., Morgan, T. J., and Bergeron, H., Am. Jour. Phys. 58 (1990)487-491.

Cooper, F. and Roy, P., Delta Expansion for the Superpotential, Phys.Lett. A143 (1990) 202-206.

Imbo, T. and Sukhatme, U., Logarithmic Perturbation Expansions inNonrelativistic Quantum Mechanics, Am. Jour. Phys. 52 (1984) 140-146

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Agradecimentos

Obrigado!

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