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Um Estudo Sobre Espa˘cos Vetoriais Simpl eticos · Um Estudo Sobre Espa˘cos Vetoriais Simpl eticos Fabiano Borges da Silva L via T. Minami Borges y Resumo O presente artigo estuda

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Um Estudo Sobre Espacos Vetoriais Simpleticos

Fabiano Borges da Silva ∗

Lıvia T. Minami Borges †

Resumo

O presente artigo estuda de maneira detalhada espacos vetoriais que possuemuma estrutura especial dada por uma forma bilinear simpletica. A principal fi-nalidade e descrever em detalhes a relacao que existe entre as formas bilinea-res simpleticas e as matrizes anti-simetricas invertıveis, fornecendo um materialacessıvel para estudantes de graduacao.

Palavras Chave: formas bilineares, espacos vetoriais simpleticos, matrizes anti-simetricas.

Introducao

O objetivo deste artigo e divulgar espacos vetoriais simpleticos aos estudantes deAlgebra Linear, afim de despertar o interesse pela area e propiciar um material quepodera ser usado de apoio em estudos avancados de Geometria Simpletica.

Espacos vetoriais simpleticos fazem parte de um contexto introdutorio no estudoda geometria das variedades simpleticas, as quais sao caracterizadas pela existenciade uma 2-forma fechada e nao-degenerada definida no espaco vetorial tangente davariedade. Inicialmente, esta geometria era apenas uma ferramenta de suporte paraestudos de campos hamiltonianos em variedades. Porem, atualmente, e uma areade pesquisa com diversas aplicacoes, como pode ser visto em [1] e [4].

Neste trabalho, procuramos demonstrar em detalhes os teoremas 2 ,8 e 9, quesao afirmacoes encontradas nos capıtulos iniciais de [1] e [4]. Quanto ao Teorema 2,encontramos, em [2], apenas uma versao para matrizes simetricas e, por este motivo,fizemos sua demonstracao.

1 Formas bilineares e matrizes

Nesta secao, veremos que cada forma bilinear esta associada a uma matriz e, emparticular, cada bilinear anti-simetrica esta associada a uma matriz anti-simetrica.Esta relacao sera importante para compreender a relacao entre formas simpleticase matrizes anti-simetricas invertıveis.

Definicao 1 Seja V um espaco vetorial real. Uma forma bilinear sobre V e umafuncao f : V × V → R que satisfaz:

∗Email: [email protected], Departamento de Matematica-UNESP-Bauru/SP†Email: [email protected], Departamento de Matematica-IFSP-Birigui/SP

SILVA, F. B.; BORGES, L. T. M. Um estudo sobre espaços vetoriais simpléticos.

DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664fbsltmb0209 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp

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1. f(λu1 + u2, v) = λf(u1, v) + f(u2, v), ∀λ ∈ R, ∀u1, u2, v ∈ V ;

2. f(u, λv1 + v2) = λf(u, v1) + f(u, v2), ∀λ ∈ R, ∀u, v1, v2 ∈ V.Ou seja, ela deve ser linear em cada uma das variaveis, quando a outra e deixadafixa.

A matriz associada a uma forma bilinear f, com relacao a base β = v1, ..., vnde V , e a matriz [f ]β = [aij ], onde aij = f(vi, vj).

Para u, v ∈ V temos que u = a1v1 + · · · + anvn e v = b1v1 + · · · + bnvn, comai, bj ∈ R. E assim, pela bilinearidade da f , temos que

f(u, v) =n∑i=1

n∑j=1

aibjf(vi, vj) =n∑i=1

n∑j=1

aif(vi, vj)bj .

Logo podemos escreverf(u, v) = [u]tβ[f ]β[v]β,

onde [v]β denota a matriz coluna formada pelas coordenadas do vetor v com relacaoa base β e [u]tβ denota a transposta da matriz coluna [u]β.

Se dim V = n, o conjunto B(V,R) das formas bilineares sobre V formam umespaco vetorial de dimensao n2, o qual e isomorfo ao espaco vetorial das matrizesn× n com entradas reais. De fato, se considerarmos a transformacao linear

T : B(V,R) −→ Mn(R)f 7−→ [f ]β

temos que:

(i) T e injetora. De fato, se [f ]β = [g]β para f, g ∈ B(V,R), nos vetores da baseβ, temos que f(vi, vj) = g(vi, vj) e, para (u, v) ∈ V × V , segue que

f(u, v) =n∑i=1

n∑j=1

aibjf(vi, vj)

=n∑i=1

n∑j=1

aibjg(vi, vj)

= g(u, v).

(ii) T e sobrejetora. De fato, qualquer que seja A ∈ Mn(R), podemos definirfA(u, v) = [u]tβA[v]β e, desta maneira, temos que fA e bilinear e T (fA) =[fA]β = A.

Uma forma bilinear f , tal que f(u, v) = −f(v, u), ∀ u, v ∈ V , e chamada de anti-simetrica. Uma matriz A e anti-simetrica se At = −A. O proximo resultado mostraque a bijecao mencionada acima associa formas bilineares anti-simetricas as matrizesanti-simetricas. Mais precisamente, que o subespaco vetorial das formas binearesanti-simetricas e isomorfo ao subespaco vetorial das matrizes anti-simetricas.

Teorema 2 Seja V um espaco vetorial real de dimensao finita e f : V × V → Ruma forma bilinear. As seguintes afirmacoes sao equivalentes:

(a) f e anti-simetrica;

(b) [f ]β e uma matriz anti-simetrica para alguma base ordenada β de V ;

(c) [f ]γ e uma matriz anti-simetrica para toda base ordenada γ de V .

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DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664fbsltmb0209 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp

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Demonstracao. (a)⇒ (b) Seja β uma base de V . Entao, para todo u, v ∈ V , temos

[u]tβ[f ]β[v]β = f(u, v)

= −f(v, u)

= −[v]tβ[f ]β[u]β

= −([v]tβ[f ]β[u]β)t

= [u]tβ(−[f ]tβ)[v]β.

Portanto,[f ]tβ = −[f ]β.

(b)⇒ (c) Seja β uma base de V , tal que [f ]β e anti-simetrica. Para cada base γde V , existe uma matriz M invertıvel tal que

[f ]β = M t[f ]γM.

E assim,([f ]β)t = (M t[f ]γM)t = M t[f ]tγM.

Como [f ]tβ = −[f ]β, segue que

−[f ]β = M t[f ]tγM.

Portanto,−M t[f ]γM = M t[f ]tγM.

Logo,−[f ]γ = ([f ]γ)t.

(c) ⇒ (a) Seja β uma base de V . Entao, para cada u, v ∈ V , temos quef(u, v) = [u]tβ[f ]β[v]β. Como [u]tβ[f ]β[v]β e uma matriz 1× 1, segue que

f(u, v) = ([u]tβ[f ]β[v]β)t

= [v]tβ([f ]β)t[u]β

= −[v]tβ[f ]β[u]β

= −f(v, u).

2

Em [2, p.227], existe uma versao analoga a proposicao acima para formas biline-ares simetricas (f(u, v) = f(v, u) ∀u, v ∈ V ) e matrizes simetricas (At = A). Alemdisso, como toda matriz A pode ser escrita como

A =1

2(A+At) +

1

2(A−At),

temos que os subespacos das matrizes podem ser decompostos em soma direta entreos subespacos das matrizes simetricas e anti-simetricas. A mesma decomposicaoocorre com os subespacos vetoriais das fomas bilineares, com relacao as formassimetricas e anti-simetricas.

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2 Espacos vetoriais simpleticos

Nesta secao, daremos uma breve introducao aos espacos vetoriais simpleticos.

Definicao 3 Sejam V um espaco vetorial real e Ω : V ×V → R uma forma bilinearanti-simetrica. Dizemos que Ω e nao-degenerada ou simpletica se:

Ω(u, v) = 0, ∀v ∈ V ⇒ u = 0.

Um espaco vetorial simpletico (V,Ω) e um espaco vetorial V , com uma forma(ou estrutura) simpletica Ω.

Para ilustrar a definicao acima, daremos agora um exemplo de espaco vetorialsimpletico com uma forma bilinear definida em R2 × R2.

Exemplo 1 Seja V = R2 e considere a forma bilinear dada por

Ω0((u1, u2), (v1, v2)) = u1v2 − u2v1.

Mostraremos primeiramente que Ω0 e bilinear.

(i)

Ω0(λ(u1, u2) + (w1, w2), (v1, v2)) = Ω0((λu1 + w1, λu2 + w2), (v1, v2))

= (λu1 + w1)v2 − (λu2 + w2)v1

= λ(u1v2 − u2v1) + (w1v2 − w2v1)

= λΩ0((u1, u2), (v1, v2)) + Ω0((w1, w2), (v1, v2)).

(ii)

Ω0((u1, u2), λ(v1, v2) + (w1, w2)) = Ω0((u1, u2), (λv1 + w1, λv2 + w2))

= u1(λv2 + w2)− u2(λv1 + w1)

= λ(u1v2 − u2v1) + (u1w2 − u2w1)

= λΩ0((u1, u2), (v1, v2)) + Ω0((u1, u2), (w1, w2)).

Agora, vamos verificar que Ω0 e anti-simetrica.

Ω0((u1, u2), (v1, v2)) = u1v2 − u2v1= −(v1u2 − v2u1)= −Ω0((v1, v2), (u1, u2)).

Por fim, Ω0 e simpletica pois, se

Ω0((u1, u2), (v1, v2)) = 0, ∀(v1, v2) ∈ R2,

entao u1v2 − u2v1 = 0, para todo v1, v2 ∈ R e, portanto, u1 = u2 = 0.

De forma geral, podemos estender este exemplo tomando V = R2n e

Ω0(u, v) = [u]tα · J0 · [v]α,

onde

J0 =

(0 I−I 0

)e I e a matriz identidade n× n. O espaco vetorial R2n, com a estrutura dada pelaforma bilinear Ω0 e chamado de espaco vetorial simpletico canonico.

O conceito de isomorfismo para espacos vetoriais simpleticos e dado pela de-finicao abaixo e sera util na compreensao do Teorema 9.

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Definicao 4 Um simplectomorfismo S entre dois espacos vetoriais simpleticos(V1,Ω1) e (V2,Ω2) e um isomorfismmo linear S : V1 → V2 tal que S∗Ω2 = Ω1,ou seja, Ω2(S(u), S(v)) = Ω1(u, v), para todo u, v ∈ V1.

Afim de ilustrar a definicao acima, seja Ω0 como no Exemplo 1 e Ω1 dada por

Ω1((u1, u2), (v1, v2)) = 2u2v1 − 2u1v2.

Podemos verificar, como foi feito no Exemplo 1, que Ω1 e uma forma simpletica

e que S(x, y) = (−1

2x, y) e um isomorfismo que torna (R2,Ω0) e (R2,Ω1) espacos

simplectomorfos.

3 Formas simpleticas e suas matrizes associa-

das.

Nesta secao, mostraremos que cada forma simpletica, uma vez fixada uma base doespaco vetorial, esta associada a uma unica matriz anti-simetrica e invertıvel. Paraisso, necessitaremos dos seguintes resultados de Algebra Linear.

Proposicao 5 Sejam U e V espacos vetoriais reais de mesma dimensao e T : U →V uma transformacao linear. Sao equivalentes:

1. T e um isomorfismo;

2. T e injetora;

3. T e sobrejetora.

Proposicao 6 Sejam U e V espacos vetoriais reais, α base de U e β base de V .Uma transformacao linear T : U → V e um isomorfismo se, e somente se, [T ]αβ forinvertıvel, onde [T ]αβ e a matriz associada a transformacao linear T.

As duas proposicoes acima podem ser encontradas, entre outros, em [2] e [3].

Lema 7 Sejam Ω uma forma simpletica e Ω] : V → V ∗ a transformacao lineardada por Ω](u)(v) := Ω(u, v). Entao, Ω e simpletica se, e somente se, Ω] e umisomorfismo.

Demonstracao. Se Ω e simpletica, entao o nucleo da transformacao linear Ω(u, ·) e0 e portanto, Ω] e injetora. Pela Proposicao 5, temos que Ω] e um isomorfismo.

Reciprocamente, se Ω] e um isomorfismo, como dim V = dim V ∗, segue que Ω] einjetora e o nucleo da transformacao linear Ω(u, ·) e 0. Portanto, Ω e simpletica. 2

Quando tomamos a base canonica α = e1, e2, ..., en de V, podemos representar,conforme visto na Secao 1, uma forma bilinear anti-simetrica Ω por uma matrizanti-simetrica A = [Aij ], onde Aij = Ω(ei, ej). Nestas condicoes, temos o seguinteresultado.

Teorema 8 Seja Ω uma forma bilinear anti-simetrica. Entao, Ω e simpletica se, esomente se, A e invertıvel.

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Demonstracao. Pela Proposicao 6 e pelo Lema 7, temos que Ω e simpletica se, esomente se, [Ω]]αβ e invertıvel, onde α e a base canonica e β e sua base dual. Falta

entao verificar que a matriz [Ω]]αβ coincide com a matriz At. Para isto, notemos que

Ω](e1) = Ω(e1, ·) = Ω(e1, e1).e∗1 + ...+ Ω(e1, en).e∗n ,

...Ω](en) = Ω(en, ·) = Ω(en, e1).e

∗1 + ...+ Ω(en, en).e∗n .

E portanto,

[Ω]]αβ =

Ω(e1, e1) · · · Ω(en, e1)...

. . ....

Ω(e1, en) · · · Ω(en, en)

= At.

2

O teorema acima permite, entre outras coisas, obter varios exemplos de formassimpleticas a partir de matrizes anti-simetricas invertıveis.

Exemplo 2 Considere a matriz

A =

0 0 2 −10 0 0 1−2 0 0 01 −1 0 0

.Como A e uma matriz invertıvel e At = −A, segue que a forma bilinear Ω :R4 × R4 → R associada a esta matriz e uma forma simpletica. Assim, parau = (a1, a2, a3, a4) e v = (b1, b2, b3, b4),

Ω(u, v) =4∑i=1

4∑j=1

aiΩ(ei, ej)bj .

Ou seja, na base canonica β temos que:

Ω((a1, a2, a3, a4), (b1, b2, b3, b4)) = [u]tβA[v]β

= a1(2b3 − b4) + a2b4 − 2a3b1 + a4(b1 − b2).

Segue abaixo um resultado que nos fornece uma maneira de construir um espacovetorial simpletico a partir de qualquer espaco vetorial W, de dimensao finita, e seuespaco vetorial dual W ∗. Alem disso, dado qualquer isomorfismo linear T : W →W,constroi-se um simplectomorfismo a partir de T e seu adjunto T ∗.

Teorema 9 Sejam W um espaco vetorial de dimencao n e W ∗ seu dual. Entao oespaco vetorial V = W×W ∗ possui uma estrutura simpletica natural Ω : V ×V → Rdefinida por

Ω((u, f), (v, g)) := g(u)− f(v).

Alem disso, todo isomorfismo T : W →W determina um simplectomorfismo

T ⊕ (T−1)∗ : V → V.

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Demonstracao. Se e1, e2, ..., en e a base canonica de W, temos que a base canonicade V e dada por

α = (e1, 0), (e2, 0), ..., (en, 0), (0, e∗1), (0, e∗2), ..., (0, e

∗n).

Entao, para todo 1 ≤ i, j ≤ n temos que:

Ω((ei, 0), (ej , 0)) = 0;

Ω((0, e∗i ), (0, e∗j )) = 0;

Ω((ei, 0), (0, e∗j )) = δij ;

Ω((0, e∗j ), (ei, 0)) = −δij .

Desta forma, como na demonstracao do Teorema 8, temos que a matriz [Ω]α edada por:

[Ω]α =

(0 −II 0

).

Podemos ver que [Ω]α e anti-simetrica e invertıvel, uma vez que seu determinantee diferente de zero. Portanto, Ω e simpletica.

E ainda, T ⊕ (T−1)∗ e um simplectomorfismo pois:

(T ⊕ (T−1)∗)∗Ω((u, f), (v, g)) = Ω((Tu, (T−1)∗f), (Tv, (T−1)∗g))

= (T−1)∗g(Tu)− (T−1)∗f(Tv)

= g((T−1)Tu)− f((T−1)Tv)

= gu− fv= Ω((u, f), (v, g)).

2

Este teorema pode ser adaptado para variedades diferenciaveis, sendo W oespaco vetorial tangente. O leitor interessado em mais detalhes pode ver, entreoutros, [1] e [4].

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Referencias

[1] Bursztyn, H e Macarini, L. – Introducao a geometria simpletica, XIVEscola de Geometria Diferencial. Instituto de Matematica Pura e Aplicada(IMPA), Rio de Janeiro, 2006.

[2] Coelho, F. U. e Lorenco, M. L.–Um Curso de Algebra Linear, Editora daUniversidade de Sao Paulo, Sao Paulo, 2001.

[3] Lima, E. L.–Algebra Linear, Colecao Matematica Universitaria, Instituto deMatematica Pura e Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro, 2011.

[4] Silva, A. C. – Introduction to symplectic and Hamiltonian geometry, Pu-blicacoes Matematicas do IMPA. [IMPA Mathematical Publications] Institutode Matematica Pura e Aplicada (IMPA), Rio de Janeiro, 2003.

SILVA, F. B.; BORGES, L. T. M. Um estudo sobre espaços vetoriais simpléticos.

DOI: 10.21167/cqdvol4201523169664fbsltmb0209 - Disponível em: http://www2.fc.unesp.br/revistacqd/index.jsp

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