UM INSTRUMENTO QUANTITATIVO DA ATIVIDADE DE SITUAÇÕES PROBLEMA EM ... · proximal em um contexto de ensino aprendizagem onde existe uma interação entre o professor, o estudante

UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA

CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

UM INSTRUMENTO QUANTITATIVO DA ATIVIDADE DE

SITUAÇÕES PROBLEMA EM MATEMÁTICA

Boa vista, RR

2018

ÍTALO NATAN OLIVEIRA DE ARAÚJO



Monografia apresentada como pré-requisito para

conclusão do Curso de Licenciatura Plena em Matemática

do Departamento de Matemática da Universidade Federal

de Roraima. Orientador: Prof. Dr. Héctor José García

Mendoza

Boa vista, RR

2018

FOLHA DE APROVAÇÃO

ÍTALO NATAN OLIVEIRA DE ARAÚJO



Monografia apresentada como pré-requisito para

conclusão do Curso de Licenciatura Plena em Matemática

do Departamento de Matemática da Universidade Federal

de Roraima. Orientador: Prof. Dr. Héctor José García

Mendoza;

Prof. Dr. Héctor José García Mendoza

Orientador/ Curso de Matemática-UFRR

Prof. Esp. João Luis Gomes Moreira

Curso de Matemática- UFRR

Prof. Dr. Oscar Tintorer Delgado

Curso de Física – UERR

DEDICATÓRIA

À minha família e amigos, em especial a

minha mãe: Ana Charle Lopes Oliveira.

AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente à minha família e amigos, que me ajudaram ao longo dessa

caminhada.

Agradeço a todos que de certa forma contribuíram para o desenvolvimento deste

trabalho, em especial ao meu orientador Héctor José García Mendoza que não somente

durante o período de orientação, mas também durante a graduação, colaborou grandemente

para minha formação, sempre me motivando e ajudando a vencer os desafios (que não foram

poucos) tenho certeza que sem essa ajuda não conseguiria concluir esta fase.

Deixo também um agradecimento ao meu amigo Jardel de Souza Leite e ao professor

João Luis Gomes Moreira, que me ajudaram no desenvolvimento deste trabalho.

Quero também agradecer ao Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência

(PIBID), que me amparou financeiramente em um momento de vulnerabilidade, permitindo

que me dedicasse exclusivamente à UFRR.

E por fim, um agradecimento especial ao Prof. Dr. Alberto Martin Martinez Castañeda

que me ajudou bastante durante esse caminho árduo, deixo então um agradecimento vitalício.

RESUMO

A Atividade de Situações Problema em Matemática é uma estratégia para resolução de

problema que pode ser utilizado como metodologia de ensino na zona de desenvolvimento

proximal em um contexto de ensino aprendizagem onde existe uma interação entre o

professor, o estudante e a situação problema, para transitar pelos diferentes estados do

processo de assimilação. A Atividade de Situações Problema em Matemática está

fundamentada na teoria da Atividade formada pelas ações compreender o problema, construir

o modelo matemático, soluciona o modelo matemático e interpretar a solução e sua vez cada

ação está composta por operações. O objetivo deste trabalho é analisar um instrumento

quantitativo para avaliar o desempenho dos estudantes na Atividade de Situações Problema

em Matemática. A ações da Atividade de Situações Problema em Matemática são convertidas

em variável e suas operações em indicadores para quantificar. O instrumento de avaliação

quantitativo guiará as análises qualitativas do desempenho dos estudantes na resolução de

problemas matemáticos.

Palavras Chaves: Atividade de Situações Problema em Matemático. Teoria da Atividade.

Instrumento Quantitativo.

RESUMEN

La Actividad de Situaciones Problema en Matemática es una estrategia para la resolución de

problema que puede ser utilizado como metodología de enseñanza en la zona de desarrollo

próximo en un contexto de enseñanza y aprendizaje donde existe una iteración entre el

profesor, el estudiante y la situación problema, para transitar por los diferentes estado del

proceso de asimilación. La Actividad de Situaciones Problema en Matemática está

fundamentada en la teoría de Actividad de Estudio formada por las acciones comprender el

problema, construir el modelo matemático, solucionar el modelo matemático e interpretar la

solución y su vez cada operación es compuesta por operaciones. El objetivo del trabajo es

analizar un instrumento cuantitativo para evaluar el desempeño de los estudiantes en la

Actividad de Situaciones Problema en Matemática. Las acciones de la Actividad de

Situaciones Problema en Matemática son convertidas en variables y sus operaciones en

indicadores para cuantificar la variable. El instrumento cuantitativo guiará los análisis

cualitativos de los estudiantes en la resolución de problemas matemáticos.

Palabras Claves: Actividad de Situaciones Problema. Teoría de la Actividad. Instrumento

cuantitativo.

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1- Desempenho dos alunos na primeira questão ......................................................... 50 Gráfico 2- Desempenho dos alunos na segunda questão .......................................................... 51 Gráfico 3- Desempenho dos alunos na terceira questão ........................................................... 51

Gráfico 4- Desempenho dos alunos na quarta questão ............................................................. 51 Gráfico 5- Média das ações ...................................................................................................... 52

LISTA DE FIGURAS

Figura 1- Zona de desenvolvimento proximal .......................................................................... 16 Figura 2- Diagonal da tela de uma tv ....................................................................................... 31

LISTA DE QUADROS

Quadro 1- Regras de arredondamento ...................................................................................... 21 Quadro 2- Densidade demográfica dos Estados brasileiros ..................................................... 24 Quadro 3 - Vantagens e desvantagens das medidas de tendência central ................................ 28 Quadro 4- Parâmetros para análise qualitativa e quantitativa .................................................. 29 Quadro 5 - Dimensões das categorias de avaliação .................................................................. 30

Quadro 6- Características das questões da prova diagnóstica em relação as ações da ASP .... 31 Quadro 7- Características das questões da prova diagnóstica em relação as ações da ASP .... 32 Quadro 8- Ações e operações ................................................................................................... 32 Quadro 9 - Descrição das ações ................................................................................................ 33 Quadro 10- Desempenho da atividade de situação problema................................................... 34

Quadro 11- Características das questões .................................................................................. 36 Quadro 12- Ações e operações da primeira questão................................................................. 37 Quadro 13- Ações e operações da primeira questão................................................................. 38

Quadro 14-Ações e operações da segunda questão .................................................................. 38 Quadro 15-Ações e operações da segunda questão .................................................................. 39 Quadro 16- Ações e operações da terceira questão .................................................................. 40 Quadro 17- Ações e operações da terceira questão .................................................................. 41

Quadro 18- Ações e operações da quarta questão .................................................................... 42 Quadro 19- Total da pontuação dos desempenhos dos alunos ................................................. 43

Quadro 20-Descrição das ações da primeira questão ............................................................... 44 Quadro 21- Descrição das ações da segunda questão ............................................................... 46 Quadro 22- Descrição das ações da terceira questão ................................................................ 48

Quadro 23- Descrição das ações da quarta questão .................................................................. 49

Quadro 24 - Total da pontuação dos desempenhos dos alunos ................................................ 49 Quadro 25- Total da pontuação dos desempenhos dos alunos ................................................. 50

Sumário

INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 14

1.1. ZONA DE DESENVOLVIMENTO PROXIMAL ............................................................... 16

1.2. A ATIVIDADE DE SITUAÇÕES PROBLEMA EM MATEMÁTICA ............................ 16 1.2.1. A atividade de estudo ......................................................................................................... 17 1.2.2. Sistema de ações da atividade de situações problema ...................................................... 18

1.3. ESTATÍSTICA........................................................................................................................ 20 1.3.1. Regras de arredondamento na numeração decimal ......................................................... 20 1.3.2. ESTATÍSTICAS DE TENDÊNCIA CENTRAL .............................................................................. 21

CAPÍTULO II: PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ................................. 29

2.1. DESCRIÇÃO DAS VARIÁVEIS QUANTITATIVAS ........................................................ 29

2.2. INSTRUMENTO DA ATIVIDADE DE SITUAÇÕES PROBLEMA ............................... 30

CAPÍTULO III: PROPOSTA DO INSTRUMENTO DA ATIVIDADE DE

SITUAÇÕES PROBLEMA ................................................................................................... 35

3.1 A PROVA DIAGNÓSTICA ................................................................................................... 35

3.2. AVALIANDO A QUESTÃO 1 .............................................................................................. 37




3.6. CALCULANDO AS MTCs NA PRIMEIRA QUESTÃO. .................................................. 43

3.7. CALCULANDO AS MTCs NA SEGUNDA QUESTÃO. ................................................... 44

3.8. CALCULANDO AS MTCs NA TERCEIRA QUESTÃO. .................................................. 46

3.9. CALCULANDO AS MTCs NA QUARTA QUESTÃO. ...................................................... 48

3.10. GRÁFICOS ............................................................................................................................. 50

CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................................................... 53

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................... 54

APÊNDICE A ‒TABELA DE AÇÕES E OPERAÇÕES NO EXCEL ................. 56

1.1. COMO ELABORAR A TABELA DE AÇÕES E OPERAÇÕES NO EXCEL? ............... 56

1.2. RESUMO DOS CONCEITOS DO EXCEL ......................................................................... 56

1.3. CONSTRUINDO A TABELA ............................................................................................... 56 1.3.1. Construindo o cabeçalho da tabela .................................................................................... 57 1.3.2. Preenchendo as células das operações............................................................................... 58 1.3.3. Ajustes específicos da coluna das operações ..................................................................... 58 1.3.4. Preenchendo as células das ações e das questões ............................................................. 59 1.3.5. Coluna dos alunos avaliados ............................................................................................... 61

1.4. INSERINDO AS FÓRMULAS .............................................................................................. 62

1.5. TABELAS DAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ............................................... 64

1.6. CONSTRUINDO OS GRÁFICOS ........................................................................................ 70

14

INTRODUÇÃO

É inevitável ouvir de alunos questionamentos a respeito da aplicação de um

determinado conteúdo matemático: “Onde irei usar isso no dia a dia?”, “Pra quê estudar

isso?”, “Até hoje, nunca usei isso!”. Esses questionamentos são consequências da prática

pedagógica tradicional do ensino de matemática cujo foco é apenas aplicar técnicas e

fórmulas já prontas, sem relacionar os conceitos matemáticos com situações que ocorrem no

dia a dia.

Portanto, temos que o ensino de qualquer conteúdo deve começar a partir de

problemas que envolvam situações do dia-a-dia dos alunos, despertando sua curiosidade sobre

como resolver o problema da melhor forma. Esse fenômeno de aprender apenas os

conhecimentos que serão importantes para resolver problemas diários não se restringe apenas

à sala de aula durante toda vida buscamos obter conhecimento que de certa forma nos ajude a

resolver ou otimizar a solução de algum problema.

Os trabalhos vinculados ao Grupo de pesquisa, mestrados e monografias utilizam da

Atividade de Situações Problema como metodologia de ensino, esses trabalhos são de extrema

importância para o desenvolvimento de metodologias que tornem o processo de ensino e

aprendizagem mais eficaz.

Sendo assim, o tema deste trabalho foi sugerido pelo meu orientado, Héctor Mendoza,

sabendo do meu interesse na metodologia de resolução de problemas e da paixão pela

matemática pura, neste caso a estatística descritiva.

O problema deste trabalho é, as Atividades de Situações Problema em Matemática

através de métodos quantitativos contribuem para umas análises do desempenho na resolução

de problema em Matemática?

Devido a isso, este trabalho tem como objetivo geral, analisar um instrumento

quantitativo para avaliar o desempenho na Atividade de Situações Problema em Matemática.

Para isso, foram definidos como os objetivos específicos, estudar os instrumentos usados para

a Atividade Situações Problema em matemática e verificar a possibilidade de uso e a

contribuição da estatística descritiva para construção de um instrumento para a Atividade

Situações Problema em matemática.

O desenvolvimento deste trabalho será dividido em três capítulos. No primeiro são

apresentados os fundamentos teóricos destacando-se principalmente as teorias da atividade de

estudo e o sistema de ações da atividade de situação problemas (ASP) que servirão como base

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para os capítulos posteriores. Ainda no primeiro capítulo, apresentamos os conceitos da

estatística, abordando principalmente as medidas de tendência central que irão servir de pilar

para o desenvolvimento do instrumento da atividade de situações problemas.

No segundo capítulo será abordado o procedimento e analises do instrumento

quantitativo da atividade de situações problema em matemática, descrevendo suas

características e o método para designar o resultado quantitativo das ações da ASP.

Por fim, no terceiro capitulo, para exemplo, aplicaremos os métodos do segundo

capítulo em uma prova diagnóstica, mostrando passo a passo o processo de avaliação do

instrumento quantitativo e análises a partir da estatística de tendência central.

Vale informar, que os cálculos e automatização dos processos descritos nos capítulos

dois e três estão apresentados no apêndice A cujo objetivo é tornar prático do todo o processo

de avaliação e analises de dados.

16

CAPÍTULO I: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Neste capítulo são apresentadas as teorias que fundamentam todo o trabalho. Este

capítulo está dividido em dois momentos: no primeiro temos as duas teorias e conceitos da

aprendizagem, no caso: atividade de estudo e a atividade de situações problema. Em um

segundo momento apresentamos a parte matemática, nesse caso a estatística descritiva.

1.1. ZONA DE DESENVOLVIMENTO PROXIMAL

Este conceito foi criado pelo psicólogo soviético Vygotsky, segundo ele o nível de

desenvolvimento real refere-se a tudo aquilo que a criança já tem consolidado em seu

desenvolvimento, e que ela é capaz de realizar sozinha sem a interferência de um adulto ou de

uma criança mais experiente. Já a “zona de desenvolvimento proximal” refere-se aos

processos mentais que estão em construção na criança, ou que ainda não amadureceram (ver

Figura 1). A “zona de desenvolvimento proximal” é, pois, um domínio psicológico em

constantes transformações, aquilo que a criança é capaz de fazer com a ajuda de alguém hoje,

ela conseguirá fazer sozinha amanhã.

FIGURA 1- ZONA DE DESENVOLVIMENTO PROXIMAL

Fonte: Elaborada pela o autor, 2018.

1.2. A ATIVIDADE DE SITUAÇÕES PROBLEMA EM MATEMÁTICA

No presente trabalho entende-se como atividade o conceito desenvolvido por Leóntiev

e assumido por Galperin e definida por um sistema de ações e cada ação por um sistema de

operações para alcançar um objetivo. Assim, a Atividade de Situações Problema em

Matemática é dita como uma estratégia que pode ser utilizada pelos estudantes para a

formação de habilidades na resolução de problemas matemáticos ou pelo professor como

metodologia de ensino dos conteúdos matemáticos.

17

1.2.1. A atividade de estudo

Mendoza (2016, pag. 5) afirma que “Através da atividade o sujeito se relaciona com o

objeto respondendo a suas necessidades e adotando uma atitude. A interação entre o objeto e

sujeito, possibilita ao último internalizar o objeto e dá solução as tarefas. A vida humana está

formada por um sistema de atividades e elas não existem sem o objeto, mas este último pode

se apresentar independente do sujeito ou como reflexo de sua interação”.

Afirma ainda que: “A atividade está formada por ações, operações e objetivos, ou seja,

o sujeito se relaciona com o mundo exterior através de uma atividade que está formada por

um sistema de ações, a sua vez cada ação, por um sistema de operações para alcançar um

objetivo.”

É importante destacar que a atividade é impulsionada através de um motivo, esse pode

ser material ou ideal. As ações que estão contidas na atividade são impulsionadas pelo

objetivo e as operações provêm das premissas da atividade. O trabalho ainda enfatiza que:

“Uma atividade pode realizar-se através de diferentes ações e uma mesma ação pode formar

parte de diferentes atividades, a sua vez, uma ação pode produzir-se através de diferentes

operações e uma mesma operação pode formar parte de distintas ações.”

Para que ocorra a assimilação de um conhecimento novo, é necessário que o sujeito

execute um sistema de atividades que consequentemente contém um sistema de ações, que

dependendo de determinadas condições do processo de ensino, esse sistema de ações pode

virar uma habilidade ou hábito. Sendo assim, podemos dizer que a atividade, ações,

habilidades ou hábitos atuam como objeto de assimilação.

Com relação a assimilação dos conteúdos, Mendoza (2016, pág. 6) coloca que: “Para

alcançar com êxito a assimilação dos conteúdos pelos alunos, se considera importante a ter em

consideração o significado de um conjunto de elementos tais como ações, operações,

objetivos, motivação, habilidades e hábitos, principalmente.”

Mendoza completa atribuindo ao aluno um conjunto de ações para que a assimilação

de um determinado conteúdo se torne eficiente:

Uma atividade de estudo, por suposto, tem um objetivo de ensino vinculado à

assimilação de certo conteúdo. O aluno necessita realizar um conjunto de ações para ter uma

eficiência na assimilação dos conteúdos, manifestando as habilidades de planejar, controlar,

resumir, corrigir entre outras. Outras ações estão relacionadas com a ciência e a disciplina que

se está estudando. Mas, ações num primeiro nível são ações não resumidas que devem

transitar para ações resumidas no processo de formação das ações mentais. Portanto, para

18

avaliar a assimilação há que analisar a qualidades das ações que se podem ser classificadas em

três níveis: as ações específicas das disciplinas, as ações vinculadas com ciência e as do

processo de assimilação. (Mendoza, 2016, pág. 6)

Para alcançar o êxito no processo de assimilação dos estudantes é importante

determinar as tarefas do professor no processo de ensino e aprendizagem. O professor tem

duas funções principais, ser uma fonte de informação e dirigir o processo de assimilação.

Enquanto fonte de informação deve selecionar os conhecimentos da disciplina, o sistema de

habilidades, explicar os conteúdos e ensinar a lógica de execução das ações. Quanto ao

processo de assimilação, deve dirigir o processo de transformação das ações externas sobre o

objeto em internas, ou seja, a direção deve estar centrada na interação entre o objeto e o

estudante (Talízina, 1984, 1988, 1994)

A direção da atividade de estudo deve considerar os seguintes elementos: o objetivo de

ensino; o estado de partida da atividade psíquica dos estudantes; as tarefas para garantir as

etapas do processo de assimilação; o enlace de retorno ou retroalimentação e a correção do

processo de estudo (Talízina, 1984, 1988, 1994)

1.2.2. Sistema de ações da atividade de situações problema

Como já foi a motivação é o que impulsiona a atividade, logo (Mendoza, 2017, pág.

12) afirma que: “Na motivação se encontram o motivo e a necessidade, um objeto que

responda a suas necessidades que não só estimule a atividade do sujeito, senão também dá

uma orientação definida. A necessidade primeiramente se manifesta como premissa, como

uma condição para a atividade, mas por si só, como fenômeno puramente interior não dirige

nem orienta ao objeto, somente o ativa.”

Portanto tem-se que as habilidades são o produto da sistematização das ações por parte

do sujeito de forma consciente em condições tais que permitam um constante

desenvolvimento, e os hábitos constituem a assimilação dos aspectos estruturais da atividade

que são as operações. Ou seja, as habilidades são ações sistemáticas não automatizadas,

enquanto os hábitos são operações sistemáticas automatizadas. O surgimento dos hábitos tem

como base as habilidades, mas necessariamente não todas as habilidades se convertem em

hábitos (Mendoza, 2017, pág. 12).

Ao colocar que “As ações são realizadas pelo sujeito dirigido para um objetivo e sua

carga motivacional em relação ao objetivo determina se é uma atividade ou uma ação. Mas

ações têm as funções de orientação, execução e controle. A determinação das ações está

estritamente relacionada com as características do objeto e com o objetivo da atividade.” ,

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Mendoza (2016, pág. 6) afirma que as ações irão depender do objetivo da atividade, ou seja,

uma atividade pode abranger desde apenas uma ação a várias ações, mais à frente iremos

perceber que no processo de assimilação de um conteúdo matemático teremos questões onde

que de acordo com suas características, pode realizar-se através de uma ou mais ações.

A Atividade de Situações Problema (ASP) em Matemática está orientada pelo objetivo

de resolver situações problema na zona de desenvolvimento proximal em um contexto de

ensino aprendizagem onde existe uma interação entre o professor, o estudante e a situação

problema, utilizando-se a resolução de problema em Matemática como metodologia de

ensino, bem como a tecnologia disponível e outros recursos didáticos para transitar pelos

diferentes estados do processo de assimilação. (Mendoza, 2017, pág. 13)

A ASP em Matemática é formada por um sistema invariante de quatro ações com suas

respectivas operações que permitem solucionar várias classes de problemas matemáticos. Na

continuação é exposta o sistema de ações com suas respetivas operações (Mendoza, 2009,

Mendoza et al.,2009, Mendoza; Tintorer, 2010)

A primeira ação é compreender o problema e é formada pelas operações de ler o

problema e extrair todos os elementos desconhecidos, estudar os dados e suas condições e

determinar o(s) objetivo(s) do problema.

A segunda ação é construir o modelo matemático onde é necessário determinar as

variáveis e incógnitas, nominar as variáveis e incógnitas com suas unidades de medidas,

construir o modelo matemático a partir das variáveis, incógnitas e condições e, por último,

realizar a análise das unidades de medidas do modelo matemático.

Solucionar o modelo matemático é a terceira ação formada pelas operações de

selecionar o(s) método(s) matemático(s) para solucionar o modelo, selecionar um aplicativo

que contenha os recursos necessários do(s) método(s) matemático(s) para solucionar o modelo

e por fim, solucionar o modelo matemático.

Por último, a quarta ação é interpretar a solução formada pelas operações de

interpretar o resultado, extrair os resultados significativos que tenham relação com o(s)

objetivo(s) do problema, dar resposta ao(s) objetivo(s) do problema, realizar uma reflexão

baseado no(s) objetivo(s) do problema; analisar, a partir de novos dados, as condições que

tenham relação direta ou não com o(s) objetivo(s) do problema, verificando a existência da

possibilidade de reformular o problema e assim construir novamente o modelo matemático,

solucionar e interpretar a solução.

20

Por exemplo, se um professor que utiliza a ASP como metodologia de ensino, durante

a aula de função quadrática, tem o objetivo de ensinar o método da fórmula de Bháskara para

a obtenção dos zeros de uma função quadrática, tem-se que o professor deve partir de um

problema que tenha como modelo matemático uma equação segundo grau completa (os

demais casos podem ser solucionados isolando “x” ou usando a fatoração). Se o aluno não

sabe ainda resolver uma equação do segundo grau utilizando a fórmula de Bháskara, então a

terceira ação de solucionar o modelo matemático se converte em uma atividade, sendo a

motivação sua necessidade. Por outro lado, se o aluno já sabe como resolver uma equação de

segundo grau por Bháskara, então, solucionar o modelo matemático é uma ação que forma a

ASP.

A ASP é um procedimento que pode resolver muitos problemas que tenham

principalmente modelos matemáticos. Sugere-se, de acordo com a complexidade dos

conteúdos matemáticos a serem assimilados e os conhecimentos prévios dos estudantes e suas

habilidades na resolução de problema, que se comece pela a orientação das ações da ASP com

problemas heurísticos e não com situações problema. (Mendoza, 2017, pág. 14).

1.3.ESTATÍSTICA

Nesta seção é abordado em particular as medidas de estatística descritiva que

fornecem uma indicação do valor central ou médio dos dados observados, também conhecidas

por medidas de tendência central. As medidas de tendência central incluem, além da média, a

moda e a mediana.

Os conceitos apresentados aqui são utilizados nas seções posteriores para descrever ou

resumir os resultados obtidos por meio de atividades realizadas. Ou seja, através de

instrumento os dados se converterão em medidas de centrabilidade que permitirão uma

análise mais resumida do processo de assimilação de cada aluno ou da turma em geral.

Entretanto, antes de iniciarmos a estatística de tendência central, resumimos as regras

de arredondamento na numeração decimal, que será de extrema importância em seções

posteriores.

1.3.1. Regras de arredondamento na numeração decimal 1

Sempre que se trabalha com valores, surge muitas dúvidas quando se tem um valor

com 3 algarismos decimais e é preciso arredondar para 2. A ABNT dispõe sobre as regras de

arredondamento da numeração decimal e ensina como fazer isso (ver Quadro 1):

1 As regras de arredondamento na numeração decimal encontram-se no endereço:

https://www.portaleducacao.com.br/conteudo/artigos/administracao/regras-de-arredondamento/30568

21

QUADRO 1- REGRAS DE ARREDONDAMENTO

Primeiro

algarismo a ser

abandonado

Regra de arredondamento Exemplos

< 5 (menor que 5) Quando o primeiro algarismo a ser

abandonado é 0,1,2,3 ou 4, ficará

inalterado o último algarismo que

permanece.

43,24 passa para 43,2.


> 5 (maior que 5).

Quando o primeiro algarismo a ser

abandonado é o 6,7,8, ou 9, aumenta-se

em uma unidade o algarismo que

permanece.




= 5 (igual a 5).

Se após o 5 seguir, em qualquer casa, um

algarismo diferente de zero, aumenta-se

uma unidade ao algarismo que

permanece.


55,6501 passa para 55,7.

96,250002 passa para 96,3.

Se o 5 for o último algarismo ou após o 5

só se seguirem zeros, o último algarismo

a ser conservado só será aumentando de

uma unidade se for ímpar.

14,75 passa para 14,8

24,65 passa para 24,6

34,75000 passa para 34,8

44,8500 passa para 44,8

Fonte: Elaborado pelo autor, 2018.

Outros exemplos:

VALORES ABNT

0,3452 0,35

0,3450 0,35

0,3352 0,34

0,3050 0,31

0,3150 0,32

Observação: Nunca devemos fazer arredondamentos de sucessivos.

1.3.2. ESTATÍSTICAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

Antes de apresentar os conceitos de medidas de centrabilidade e variabilidade

resumimos um conceito importante da estatística descritiva que é utilizado com frequência

nos capítulos seguintes.

22

1.3.2.1.Variável

Intuitivamente, entende-se como variável algo que muda, diversifica ou que possui

diferentes formas.

Aqui usaremos a definição formal de Reis (2008, pág. 46) juntamente com a definição

de Iezzi Et al. (2006, pág. 80).

Definição 1. Variável é um símbolo que representa determinada característica de uma

população ou amostra de uma população. Ou ainda, pode-se definir variável como aspectos

investigados que permitirão realizar a análise desejada.

A notação utilizada para uma variável corresponde as letras 𝑥, 𝑦, 𝑧.

Exemplo 1. Uma pesquisa deseja realizar um levantamento da quantidade de filhos

dos habitantes de uma determinada região. Aqui temos como variável a “quantidade de

filhos”. Observe que os valores que essa variável pode receber são 0,1,2,3..., ou seja,

números, dizemos então que a variável “quantidade de filhos” é quantitativa.

Além disso, as variáveis quantitativas, podemos classifica-las em discretas ou

contínuas.

Discretas: São aquelas cujos valores são números inteiros. Exemplo: Idade, número

de irmão, quantidade de acertos ou erros.

Contínuas: São aquelas que assumem valores em uma escala contínua (na reta real),

para as quais valores fracionais fazem sentido. Usualmente são medidas através de algum

instrumento. Exemplo: Altura, Peso, tempo.

Exemplo 2. Uma pesquisa deseja obter o sexo dos estudantes que cursam nível

superior. Aqui, a variável é “sexo”, observe os valores assumidos pela variável “sexo”, são

atributos, não são números, dizemos então que “sexo” é uma variável qualitativa.

Formalmente dizemos que variáveis qualitativas são aquelas que assumem valores

considerados atributos, preferencia, adjetivo, etc. Outros exemplos: Cor dos olhos, grau de

instrução, intenção de voto.

1.3.2.2.Medidas de tendência central

Muitas vezes torna-se útil descrever ou resumir um conjunto de dados estatísticos

através de apenas um valor. Esse valor depende das características dos dados obtidos.

As definições e exemplos apresentados nesta seção foram retirados de Iezzi (2006,

pág. 114-137).

23

1.3.2.2.1. Média aritmética

A média aritmética é a medida de tendência central mais utilizada e de mais fácil

interpretação.

Definição 2. Seja 𝑥 uma variável quantitativa e 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 os valores assumidos por

𝑥. Define-se média aritmética de 𝑥, e indicamos por 𝑀𝐴, como a divisão da soma de todos

esses valores de 𝑥 pelo número de valores, isto é:

𝑀𝐴 =∑ 𝑥𝑖

𝑛𝑖=1

𝑛=

𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛

𝑛

O exemplo abaixo encontra-se em https://matika.com.br/media/media-aritmetica.

Exemplo 3. Um aluno, preparando-se para o exame vestibular, fez 12 simulados no

cursinho ao longo do ano. Em cada simulado, o numero de questões era oitenta. Os valores

seguintes correspondem as pontuações obtidas nesses exames

56— 52— 61— 53— 48— 68— 49— 59— 61— 62— 60— 55

Qual a média aritmética desses valores?

Temos:


12𝑖=1

12=

56 + 52 + ⋯ + 60 + 55

12=

684

12= 57

A nota média obtida por essse aluno é 57 pontos. Qual é o significado desse valor?

Caso o aluno apresentasse a mesma pontuação (desempenho) em todos os simulados,

essa pontuação deveria ser 57 pontos a fim de que fosse obtida a pontuação total de 684

pontos, equivalentes a soma dos pontos obtidos efetivamente nas 12 provas.

Observe também que em nenhum simulado ocorreu a pontuação média, que é 57

pontos. Isso sugere que, ao calcular a média aritmética de um conjunto de valores podemos

obter um resultado que não coincide com nenhum dos valores que a variável assume.

1.3.2.2.2. Mediana

Em 2002, a população brasileira era constituída por aproximadamente 175 milhões de

habitantes.

A área da superfície do território brasileiro é 8514204,8 𝑘𝑚² .

Assim a densidade demográfica neste ano era:

175 𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

8,514 𝑚𝑖𝑙ℎõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑘𝑚²≅ 20,6 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠/𝑘𝑚²

No Quadro 2, constam os valores (expressos em habitantes por km²) das densidades

demográficas dos 26 Estados e o Distrito Federal.

https://matika.com.br/media/media-aritmetica

24

QUADRO 2- DENSIDADE DEMOGRÁFICA DOS ESTADOS BRASILEIROS

Calculando a média aritmética das densidades relacionadas acima, encontramos:


27𝑖=1

27=

1594,1

27≅ 59 ℎ𝑎𝑏𝑖𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠/𝑘𝑚²

Observe que esse valor é quase o triplo do valor encontrado para densidade

demográfica da população brasileira.

O cálculo da média aritmética ficou muito afetado por conta de lugares com altíssima

concentração populacional.

Como vimos, a média aritmética pode ser muito afetada quando encontramos valores

discrepantes em um conjunto de dados, podendo se tornar uma medida de centrabilidade

pouco representativa do resumo dos dados.

Para contornar esses problemas, definiremos, a seguir, uma medida de centrabilidade

mais resistente aos valores discrepantes denominada mediana.

Definição 3. Sejam 𝑥1 ≤ 𝑥2 … ≤ 𝑥𝑛 os 𝑛 valores ordenados de uma variável 𝑥. A

mediana desse conjunto de valores, indicada por 𝑀𝑒, é definida por:

𝑀𝑒 = {

𝑥(

𝑛+12

), 𝑠𝑒 𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟

𝑥(

𝑛2

)+ 𝑥

(𝑛2

+1)

2, 𝑠𝑒 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟

Exemplo 4. Vejamos como encontrar a mediana dos valores referentes à introdução

deste tópico.

É preciso inicialmente ordenar os valores (usaremos as siglas dos Estados e a ordem

crescente):

Estado Densidade

Demográfica

Acre 3,7

Alagoas 101,3

Amapá 3,3

Amazonas 1,8

Bahia 23,2

Ceará 50,9

Distrito Federal 352,2

Espirito Santo 76,2

Goiás 14,7

Maranhão 17,0

Mato grosso 2,8

Mato grosso do Sul 5,8

Minas Gerais 30,5

Pará 5,0

Estado Densidade

Demográfica

Paraíba 61,1

Paraná 48,0

Pernambuco 80,3

Piauí 11,3

Rio de Janeiro 328,0

Rio Grande do Norte 52,2

Rio Grande do Sul 36,1

Rondônia 5,8

Roraima 1,5

Santa Catarina 56,1

São Paulo 149,0

Sergipe 81,1

Tocantins 4,2

Fonte: Almanaque Abril, 2002.

25

RR AM MT AP AC TO PA RO MS PI GO MA BA MG RS

𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 𝑥6 𝑥7 𝑥8 𝑥9 𝑥10 𝑥11 𝑥12 𝑥13 𝑥14 𝑥15

Como 𝑛 é ímpar (𝑛 = 27), segue que:

𝑀𝑒 = 𝑥(

27+12

)= 𝑥14

Ou seja, a mediana é a densidade demográfica do Estado de Minas Gerais. Portanto,

𝑀𝑒 = 30,5 habitantes/km². Note que essa medida de centrabilidade é mais representativa que

a média aritmética (59,04).

Exemplo 5. Os números seguintes indicam a quantidade de faltas de um aluno durante

o ano letivo nas dez disciplinas do seu curso:

3—4— 9— 6— 3— 8— 2— 4— 5— 6

Para encontrar o número mediano de faltas do aluno, ordenamos esses valores:

2 3 3 4 4 5 6 6 8 9

𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 𝑥6 𝑥7 𝑥8 𝑥9 𝑥10

Como 𝑛 é par (𝑛 = 10), temos:

𝑀𝑒 =𝑥

(102

)+𝑥

(102

+1)

2=

𝑥5+𝑥6

2=

4+5

2=

9

2= 4,5 faltas.

1.3.2.2.3. Moda

Definição 4. Seja 𝑥 uma variável quantitativa que assume os valores 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛,

com frequências absolutas iguais a 𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘, respectivamente. Se o máximo entre

𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘 é igual a 𝑛𝑗 , 𝑗 ∈ {1,2, … , 𝑘}, dizemos que a moda, indicada por 𝑀𝑜 é igual ao

valor 𝑥𝑗. Ou seja:

A moda de um conjunto de valores corresponde ao valor que ocorre mais vezes.

Exemplo 6. Vamos determinar a moda dos seguintes conjunto de valores:

40— 44— 42— 23— 36— 40

Observe que o valor que ocorre mais vezes é 40, logo 𝑀𝑜 = 40

12— 13— 19— 13— 14— 12— 16

Há duas modas, 12 e 13, pois esses valores ocorrem com mais frequência. Dizemos

que se trata de uma distribuição bimodal.

0,6— 0,7— 0,5— 0,8— 0,3— 0,4— 0,9

PR CE RN SC PB ES PE SE AL SP RJ DF

𝑥16 𝑥17 𝑥18 𝑥19 𝑥20 𝑥21 𝑥22 𝑥23 𝑥24 𝑥25 𝑥26 𝑥27

26

Observe que aqui todos os valores ocorrem com a mesma frequência, neste caso

dizemos que não há moda nessa distribuição.

1.3.2.3.Medidas de dispensão

Estudamos, na seção anterior, mecanismos para encontrar valores (média, mediana e

moda) que sintetizam o comportamento dos elementos de um conjunto de dados. Esses

valores fornecem parâmetros significativos para uma análise dos dados, porém ainda é

importante identificar como variam ou diferenciam as características dos elementos de um

conjunto.

Nesta seção, aprenderemos como medir o grau de concentração ou dispersão dos

dados em torno da média. Por isso estudaremos as principais medidas de dispersão, que são:

variância e desvio padrão. A escolha de uma medida em relação à outra dependerá do objetivo

que se pretende alcançar.

1.3.2.3.1. Variância

A variância e o desvio padrão são medidas que levam em consideração a totalidade

dos valores da variável em estudo, e não apenas os valores externos, como a amplitude total

(CRESPO, 2002). Por isso, essas medidas são índices de variabilidade bastantes estáveis e,

consequentemente, muito utilizados no cotidiano. Além disso, a variância e o desvio padrão

complementam informações obtidas pelas medidas de tendência central.

Definição 5. Seja 𝑥 uma variável quantitativa que assume os valores 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 e �̅�

a média aritmética correspondente a esses valores. A variância desses valores indicada por

𝑉𝑎𝑟(𝑥) ou 𝜎² é definida por:

𝜎2 =∑ (𝑥𝑖 − �̅�𝑛

𝑖=1 )²

𝑛=

(𝑥1 − �̅�)2 + (𝑥2 − �̅�)2 + ⋯ + (𝑥𝑛 − �̅�)2

𝑛

Notemos que cada termo do numerado corresponde ao quadrado da diferença entre um

valor observado e o valor médio. Essa diferença traduz o quanto um valor observado se

distancia do valor médio.

Exemplo 7. Vamos determinar a variância dos seguintes conjuntos de valores:

2— 3— 4— 5— 6

Aqui, a média é �̅� = 4, logo:

𝜎² =(2 − 4)2 + (3 − 4)2 + (4 − 4)2 + (5 − 4)2 + (6 − 4)2

5= 2

27

1.3.2.3.2. Desvio Padrão

O desvio padrão é a medida de dispersão mais utilizada porque aponta de forma mais precisa

a dispersão dos valores em relação à média aritmética (NAZARETH, 2003).

Definição 6. Sejam 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 os valores assumidos por uma variável 𝑥. Chamamos

desvio padrão de 𝑥, indicado por DP(𝑥) ou 𝜎, a raiz quadrada da variância de 𝑥.

𝜎 = √∑ (𝑥𝑖 − �̅�𝑛

𝑖=1 )²

𝑛= √

(𝑥1 − �̅�)2 + (𝑥2 − �̅�)2 + ⋯ + (𝑥𝑛 − �̅�)2

𝑛

Exemplo 8. Vamos determinar o desvio padrão dos seguintes conjuntos de valores:

2— 3— 4— 5— 6


𝜎 = √(2 − 4)2 + (3 − 4)2 + (4 − 4)2 + (5 − 4)2 + (6 − 4)2

5= √2

2— 2— 3— 4— 4


𝜎 = √(2 − 3)2 + (2 − 3)2 + (3 − 3)2 + (4 − 3)2 + (4 − 3)2

5= √

4

5

(−2)— (−1)— (−1)— (0)— 1— 3


𝜎 = √(−2 − 0)2 + (−1 − 0)2 + (−1 − 0)2 + (0 − 0)2 + (1 − 0)2 + (3 − 0)²

6

= √16

6= √

8

3

1.3.2.3.3. Comparação das medidas de tendência central

Não existe uma regra geral para determinar qual a medida de tendência central é mais

apropriada para descrever uma determinada distribuição. Há casos que não faz diferença na

escolha dessas medidas, nesses casos tanto a média, mediana e moda são iguais. Porém, há

casos em que a escolha deve ser feita depois de uma análise das características de cada uma

das medidas e do tipo de dados disponíveis.

Apresenta-se, em seguida, o Quadro 3 com o resumo das vantagens e desvantagens de

cada uma das medidas de tendência central.

28

QUADRO 3 - VANTAGENS E DESVANTAGENS DAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA

CENTRAL

Medida Vantagens Desvantagens

Média

É a medida mais usada e conhecida Ser influenciada por valores extremos

que tomam um peso significativo no

cálculo da média.

É fácil de calcular É um valor que faça parte do conjunto

de dados.

É facilmente incluída em equações

matemáticas.

A média não pode ser calculada numa

Distribuição de Frequências que

possua Classes Extremas Abertas.

É fácil de interpretar Não possui precisão quanto a

distribuição em que os valores

ocorrem.

É utilizada toda a informação

disponível.

Não necessariamente tem existência

real, isto é, nem sempre.

Mediana

Mesmo alterando-se alguns valores da

série pode ser que a mediana se

mantenha inalterada;

Valores extremos não interferem no

resultado;

A mediana flutua mais de amostra para

amostra do que a média aritmética;

portanto, é menos confiável. Não utiliza

a totalidade dos dados.

Mesmo que os valores extremos não

sejam apresentados, ela pode ser

calculada;

Quando há valores repetidos, a

interpretação do valor mediano não é

tão simples.

É um valor posicional, não vem

definido por uma expressão

matemática.

Se for determinada a mediana dos

grupos separados, não será encontrada a

mediana do grupo.

Moda

Os valores extremos não interferem no

resultado da moda;

Não pode ser utilizada em distribuições

bimodais ou multimodais.

Não depende de todos os valores da

série, nem de sua ordenação, podendo

mesmo não se alterar com a

modificação de alguns deles.

Pode estar afastada do centro de

observações.

Fácil de encontrar Difícil de incluir em equações

matemáticas.

Pode ter mais de uma.

Não usa todos os dados.

Fonte: Elaborada pelo autor (2018).

29

CAPÍTULO II: PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Neste capítulo são abordados o procedimento e as análises do instrumento quantitativo

da atividade de situações problema em matemática, descrevendo suas características e o

método para designar o resultado quantitativo das ações da ASP.

2.1.DESCRIÇÃO DAS VARIÁVEIS QUANTITATIVAS

No Quadro 4, são apresentados os parâmetros para as análises qualitativa e

quantitativa, destacando-se entre os indicadores o elemento essencial que servirá de parâmetro

para as análises quantitativas.

Fonte: Chirone, 2016.

QUADRO 4- PARÂMETROS PARA ANÁLISE QUALITATIVA E QUANTITATIVA

CATEGORIAS/

VARIÁVEIS

(Ações)

INDICADORES (Operações) ELEMENTO

ESSENCIAL

Compreender o

Problema

a) Extrair os dados do problema,

b) Determinar as condições do problema,

c) Definir o (s) objetivo (s) do problema.

Item c

Construir o

Modelo

a) Determinar as variáveis e incógnitas,

b) Nominar as variáveis e incógnitas com suas

medidas,

c) Construir o modelo matemático a partir das

variáveis incógnitas e das informações extraídas do

problema,

d) Realizar as análises das unidades de medidas do

modelo matemático e critério de aprovação

Item c

Solucionar o

Modelo

a) Selecionar o (s) método (s) matemático (s) para

solucionar o modelo matemático;

b) Utilizar os recursos necessários para solucionar o

modelo;

c) Solucionar o modelo matemático e o critério de

aprovação

Item b

Interpretar a

Solução

a) Interpretar o resultado.

b) Extrair os resultados significativos que tenham

relação com o (s) objetivo (s) do problema.

c) Dá resposta ao (s) objetivo (s) do problema.

d) Realizar um relatório baseado no (s) objetivo (s)

do problema;

e) Analisar a partir de novos dados e condições que

tenham relação direta ou não com o (s) objetivo (s)

do problema, a possibilidade de reformular o

problema, construir novamente o modelo

matemático, solucionar o modelo matemático e

interpretar a solução.

Item c

30

Lembrando que as ações da ASP são compreender o problema, construir o modelo

matemático, solucionar o modelo matemático e interpretar a solução.

Nas análises quantitativas as ações são convertidas em variáveis mensuráveis com

valores ordinais 1, 2, 3, 4 e 5, ou seja, temos a variáveis compreender o problema, construir o

modelo matemático, solucionar o modelo matemático e interpretar a solução.

Em cada variável existe um indicador (constituído pelas operações da ASP) como

critério de essencial, ou seja, é considerado como o conhecimento mínimo que deve ter o

aluno.

No Quadro 5 apresenta os critérios para designar o resultado quantitativo em cada

ação da ASP.

QUADRO 5 - DIMENSÕES DAS CATEGORIAS DE AVALIAÇÃO

Definição Conceitual: É a capacidade dos alunos resolver problemas e suas transferências

para situações novas

Definição Operacional: É a capacidade de desempenho comparando um ponto inicial com

outro, a fim de resolver problemas e estabelecer transferências para situações novas.

Dimensão Descrição

𝑦1 Desempenho de compreender o problema

𝑦2 Desempenho de construir o modelo

𝑦3 Desempenho de solucionar o modelo

𝑦4 Desempenho de interpretar a solução

Medição: Para designar o resultado quantitativo a cada dimensão (𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, 𝑦4) será utilizado uma escala de 1 até 5 pontos com os seguintes critérios:

Se o aluno tem correto somente o indicador essencial, obterá a quantificação de três

(3).

Se todos os indicadores estão incorretos, obterá a quantificação de um (1).

Se todos os indicadores estão corretos, obterá quantificação cinco (5).

Se o indicador essencial está incorreto ou parcialmente incorreto e/ou existe pelo

menos outro indicador parcialmente correto, obterá a quantificação de dois (2)

Se o indicador essencial está correto, mas existe pelo menos outro indicador

parcialmente correto, obterá a quantificação de quatro (4).

Fonte: Adaptado de Mendoza, 2009.

2.2.INSTRUMENTO DA ATIVIDADE DE SITUAÇÕES PROBLEMA

Os instrumentos utilizados para coleta de dados podem variar desde provas de lápis e

papel, questionários, autoavaliações, observações, entrevistas e registros pessoais do

professor. Aqui, restringiremos a coleta de dados apenas através de provas formativas.

As ações avaliadas irão depender das características das questões e as questões podem

abordar desde apenas uma ação até todas as quatro ações da ASP.

31

Apresenta-se no Quadro 6 um modelo para a identificação das características de cada

uma das questões da prova formal em relação as ações da ASP.

QUADRO 6- CARACTERÍSTICAS DAS QUESTÕES DA PROVA DIAGNÓSTICA

EM RELAÇÃO AS AÇÕES DA ASP

Questão 1ªA 2ªA 3ªA 4ªA Contexto da questão

𝑄1

𝑄2

...

𝑄𝑛

Legenda: (1ªA) ação compreender o problema; (2ªA) construir o modelo matemático; (3ªA)

solucionar o modelo matemático; (4ªA) ação interpretar a solução. Fonte: Adaptado de Chirone, 2016.

Para identificar as características das questões em relação as ações da ASP podemos

usar os seguintes caracteres:

! — Indicando quais são as informações dadas nas questões.

? — Ações estão sendo avaliadas.

* — Quais ações não estão sendo verificadas.

Exemplo 1: Para determinar o tamanho de uma TV ou monitor, mede-se o tamanho da

diagonal da sua tela em polegadas. Por exemplo, uma TV de 40” (40” = 40 𝑝𝑜𝑙𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠)

possui uma diagonal igual à 40 polegadas (Figura 1).

FIGURA 2- DIAGONAL DA TELA DE UMA TV

Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.

Sabendo disso, determine as polegadas de uma TV que possui uma tela com 47,94”

de largura e 26,96” de altura (arredonde o resultado para um número inteiro).

Abaixo, encontra-se o Quadro 7com as características do exemplo. Percebe-se que o

exemplo avalia e apresenta informações nas ações 1ªA e 4ªA, já nas ações 2ª e 3ª somente

avalia.

32

QUADRO 7- CARACTERÍSTICAS DAS QUESTÕES DA PROVA DIAGNÓSTICA

EM RELAÇÃO AS AÇÕES DA ASP


𝑄1 !? ? ? !? Determinar as polegadas de uma tv.


solucionar o modelo matemático; (4ªA) ação interpretar a solução; (!) Informação dada na

questão; (?) ação avaliada; (!?)ação avaliada com informações dadas, (*) ação não

verificada. Fonte: Adaptado de Chirone, 2016.

Assim, para avaliar o desempenho dos alunos em uma questão iremos utilizar o Quadro 8,

que apresenta a questão avaliada, as ações especificadas dessa questão com suas respectivas operações

e, por fim, os alunos avaliados.

QUADRO 8- AÇÕES E OPERAÇÕES

Questão Ação Operações A01 A02 ... An

𝑄𝑖

1ª

a) extrair todos os elementos desconhecidos ...

b) Estudar os dados e suas condições ...

c) Reconhecer o (s) objetivo (s) do problema ...

Total ...

2ª

a) Determinar as variáveis e incógnitas ...

b) Nominar as variáveis, incógnitas com suas medidas ...

c) Construir o modelo matemático a partir das variáveis

incógnitas e informações extraídas do problema ...

d) Realizar análises das unidades de medidas do modelo

matemático ...

Total ...

3ª

a) Selecionar o (s) método (s) matemático (s) para

solucionar o modelo matemático ...


modelo ...


aprovação ...

Total ...

4ª

a) Interpretar o resultado ...

b) Extrair os resultados significativos que tenham relação

com o (s) objetivo (s) do problema ...

c) Dar resposta ao (s) objetivo (s) do problema. ...

d) Realizar um relatório baseado no (s) objetivo (s) do

problema; ...

e) Analisar a partir de novos dados e condições que tenham

relação direta ou não com o(s) objetivo(s) do problema

existindo a possibilidade de reformular o problema e assim

construir novamente o modelo matemático, solucioná-lo e

interpretar sua solução.

...

Total ...

SOMA DOS INDICADORES DAS AÇÕES (y)


O Quadro 8, apresenta as quatro ações, porém, como sabemos a quantidade de ações depende

das características da questão.

O preenchimento do quadro será feito da seguinte maneira:

33

S→ Se o aluno conseguiu concluir a operação correspondente.

N→ Se o aluno não conseguiu concluir a operação correspondente.

Sendo assim, em cada ação, teremos um conjunto de valores nominais (s ou n) que

serão convertidos em um indicador que variam de 1 até 5, por meio dos seguintes critério:

Se o aluno tem somente correto o indicador essencial, obterá a quantificação de três

(3).

Se todos os indicadores estão incorretos, obterá a quantificação de um (1).

Se todos os indicadores estão corretos, obterá quantificação cinco (5).

Se o indicador essencial está incorreto ou parcialmente incorreto e/ou existe pelo

menos outro indicador parcialmente correto, obterá a quantificação de dois (2)

Se o indicador essencial está correto, mas existe pelo menos outro indicador

parcialmente correto, obterá a quantificação de quatro (4).

Os indicadores são preenchidos nas células correspondentes ao total dos alunos em

cada ação, além disso, o mesmo processo se repete nas demais questões. Os resultados de

cada questão podem ser organizados em um quadro (como descrito no Quadro 9), assim, a

partir desses dados obtemos as medidas de tendência centrais:

QUADRO 9 - DESCRIÇÃO DAS AÇÕES

𝑄𝑖

Alunos 1ª𝐴 2ª𝐴 3ª𝐴 4ª𝐴 y

A01

A02

...

...

...

...

...

...

An

Média

Mediana

Moda

DP


Ao final desse processo, reunimos os resultados em apenas um quadro (como descrito

no Quadro 10) que contém a média de cada aluno em cada ação. Vale observar que apesar do

quadro apresentar todas as ações da ASP, haverá casos em que determinadas ações estarão

ausentes devido às características das questões correspondentes.

34

QUADRO 10- DESEMPENHO DA ATIVIDADE DE SITUAÇÃO PROBLEMA.

𝑄1 𝑄2 ... 𝑄𝑘 Média das ações

Alunos 1ª𝐴 2ª𝐴 3ª𝐴 4ª𝐴 y 1ª𝐴 2ª𝐴 3ª𝐴 4ª𝐴 y ... 1ª𝐴 2ª𝐴 3ª𝐴 4ª𝐴 y 1ª𝐴 2ª𝐴 3ª𝐴 4ª𝐴 w

A01 ...

A02 ...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

An ...

Média ...

Mediana ...

Moda ...

DP ...

𝑄𝑖=Questões; 𝐴=Ação; 𝑦=Soma dos indicadores das ações; 𝑤 =soma das médias das ações;

𝐷𝑃 =Desvio padrão


Com o quadro acima preenchido, pode-se usar gráficos que resumam os resultados

obtidos, na seção posterior, é exposto alguns gráficos referentes aos resultados da prova

diagnóstica elaborada por Jardel ( 2016).

35

CAPÍTULO III: PROPOSTA DO INSTRUMENTO DA ATIVIDADE DE SITUAÇÕES

PROBLEMA

Neste capítulo é apresentado um exemplo que abrange desde a elaboração do

instrumento de avaliação até a construção dos gráficos dos resultados. Para isso, usaremos a

prova diagnóstica e as análises feitas por Jardel (2016) com nove estudantes do segundo ano

do ensino médio. Neste trabalho o autor explica o objetivo da prova diagnóstica e conteúdo

avaliado: “A prova diagnostica teve como objetivo essencial, constatar o conhecimento prévio

dos estudantes (Objetivo do Ensino e Nível de Partida para a formação e orientação da BOA)

do 2º ano do ensino médio, em relação as ações e as operações realizadas no processo

avaliativo, que antecede o processo de ensino orientado pela Atividade de Situações

Problemas no Conteúdo de sistemas de equações lineares. Naturalmente que na prova de lápis

e papel, envolveu-se as características de questões/problemas heurísticos e conteúdo que já

estudaram no 1º ano do ensino médio sobre equações do 1º grau. O contexto dos problemas

baseia-se nas ideias do cotidiano. Este processo permite conhecer o nível que os estudantes

apresentam em relação aos conteúdos prévios exigidos para a pesquisa.”

3.1 A PROVA DIAGNÓSTICA

Questão 1

Resolva algebricamente:

a) 11𝑥 − 13 = 64

b) 5𝑥 + 2 = 12

a) 10𝑥 + 2 = 5𝑥 + 12

Essa questão está relacionada com a categoria de solucionar o modelo, tendo o

estudante que determinar o valor numérico das equações.

Questão 2

Hoje um rapaz tem 24 anos e seu pai tem 42 anos, houve uma época que a idade do pai

foi o triplo da do filho.

a) Atualmente qual é a soma das idades do filho e do pai?

b) Construa a expressão que representa a idade do pai quando tinha o triplo da idade

do filho.

c) Qual era a idade do pai quando tinha o triplo da idade do filho?

Nesse problema se pretende observar a compreensão da questão pela visão do aluno, a

pergunta “a” pretende induzir o aluno a extrair as informações conhecidas do problema, logo

em seguida a pergunta “b” tem o objetivo de induzir o estudante a utilizar essas informações

36

conhecidas e assim buscar obter as informações desconhecidas do problema que é a idade do

pai. Nesse contexto o aluno vai assim buscar um método para solucionar o problema.

Questão 3

Uma mãe dividirá R$ 625,00 entre seus três filhos: o do meio receberá R$ 45,00 a

mais que o caçula e o mais velho receberá o dobro do filho do meio. Responda as questões

abaixo:

a) Encontre a quantia exata que cada filho receberá.

b) Como podemos representar essa mesma situação se o filho mais velho recebesse a

metade e não o dobro do filho do meio? Considerando esta nova situação, quanto receberia o

filho caçula?

Nessa questão o objetivo é estimular o estudante a desenvolver suas habilidades nas

quatro ações e verificar sua compreensão do problema diante de uma nova mudança nas

informações.

Questão 4

Segundo um censo escolar, a escola Tancredo Neves é a escola com menor número de

alunos matriculados. Já a escola Girassol, cujo número de alunos equivale ao triplo da escola

Tancredo Neves mais 312, é a escola com o maior número de alunos matriculados. Sabendo

que juntas a escola Tancredo Neves e a escola Girassol têm 668 alunos matriculados,

determine quantos alunos têm cada escola. Justifique sua resposta.

De acordo a análise dessa prova diagnostica, as questões se caracterizam da seguinte

maneira mostrado no Quadro 11.

QUADRO 11- CARACTERÍSTICAS DAS QUESTÕES


𝑄1 * * ? * Resolver equações de 1º grau

𝑄2 ? ? ? * Solucionar um problema envolvendo equação do 1º grau

𝑄3 * ? ? ? Solucionar um problema envolvendo equação do 1º grau

𝑄4 ? ? ? ?

Solucionar e interpretar um problema envolvendo equação

do 1º grau


solucionar o modelo matemático; (4ªA) ação interpretar a solução; (!) Informação dada na

questão; (?) ação avaliada; (!?)ação avaliada com informações dadas, (*) ação não

verificada.

Fonte: Adaptado de Chirone, 2016.

Observando o quadro, percebemos que:

A primeira questão (𝑄1) aborda apenas uma ação da ASP, a 3ªA.

A segunda questão (𝑄2) aborda três primeiras ações da ASP, 1ªA, 2ªA e 3ªA.

37

A terceira questão (𝑄3) aborda três ações da ASP, 2ªA, 3ªA e 4ªA.

A quarta questão (𝑄2) aborda todas ações da ASP, 1ªA, 2ªA, 3ªA e 4ªA.

Através dos resultados da avaliação, podemos montar um quadro específico de cada

questão, contendo os indicadores em cada ação.

3.2.AVALIANDO A QUESTÃO 1

O Quadro 12, mostra os resultados organizados por ações e operações da primeira

questão.

QUADRO 12- AÇÕES E OPERAÇÕES DA PRIMEIRA QUESTÃO

𝑄1

Ação Operações A01 A02 A03 A04 A05 A06 A07 A08 A09

3ªA

a) Selecionar o (s) método (s) matemático (s)

para solucionar o modelo matemático s s s n n n n n s

b) Utilizar os recursos necessários para

solucionar o modelo n s s n n n n n s

c) Solucionar o modelo matemático e o

critério de aprovação n s s n n n n n s

Total

Fonte: Jardel, 2018.

Observe que no quadro da primeira questão, temos a especificação da questão, as

ações que caracterizam a questão, suas respectivas operações (destacando o indicador

essencial) e como foram avaliados nove alunos (A01, A02, ..., A09). Ainda, nota-se que o

quadro já foi preenchido com os resultados obtidos por Jardel (2016).

O próximo passo é converter esses valores nominais em valores quantitativos

(indicadores). Para isso, usaremos o Quadro 4.

Exemplo, o aluno A01 não conseguiu concluir o indicador essencial (o indicador

essencial está incorreto ou parcialmente incorreto) e existe pelo menos outro indicador

parcialmente correto (a e b), logo, A01 obterá a quantificação de 2 na 𝑄1. O aluno A02

conseguiu concluir todas as operações, logo, A02 obterá a quantificação de 5 na primeira

questão.

Esse mesmo processo se repete para os demais alunos, e ao final desse processo tem-

se o Quadro 13:

38

QUADRO 13- AÇÕES E OPERAÇÕES DA PRIMEIRA QUESTÃO

𝑄1


3ªA

a) Selecionar o (s) método (s) matemático (s)

para solucionar o modelo matemático s s s n n n n n s

b) Utilizar os recursos necessários para

solucionar o modelo n s s n n n n n s

c) Solucionar o modelo matemático e o

critério de aprovação n s s n n n n n s

Total 2 5 5 1 1 1 1 1 5


Analogamente preenchemos os quadros referentes as demais questões da prova diagnóstica.


Os resultados da segunda questão estão descritos no Quadro 14:

QUADRO 14-AÇÕES E OPERAÇÕES DA SEGUNDA QUESTÃO

𝑄2


1ªA

a) extrair todos os elementos

desconhecidos n s s s n s n n s

b) Estudar os dados e suas

condições n s s n n n n n s

c) Reconhecer o (s) objetivo (s) do

problema n s s s n s n n s

Total

2ªA

a) Determinar as variáveis e

incógnitas n n s n n n n n s

b) Nominar as variáveis, incógnitas

com suas medidas n n s n n n n n n

c) Construir o modelo matemático a

partir das variáveis incógnitas e

informações extraídas do problema

n n s s n n n n s

d) Realizar análises das unidades

de medidas do modelo matemático n n s n n s n n s

Total

3A

a) Selecionar o (s) método (s)

matemático (s) para solucionar o

modelo matemático

n n s s n n n n s

b) Utilizar os recursos necessários

para solucionar o modelo n n n n n n n n s

c) Solucionar o modelo

matemático e o critério de

aprovação

n n s s n s n n s

Total

Total geral


39

Através dos resultados da segunda questão, montamos o quadro abaixo já com a

pontuação de cada aluno. Observe que nessa questão avaliamos mais de uma ação, portanto,

ao final somaremos os totais de cada ação:

QUADRO 15-AÇÕES E OPERAÇÕES DA SEGUNDA QUESTÃO

𝑄2


1ªA


desconhecidos n s s s n s n n s


condições n s s n n n n n s

c) Reconhecer o (s) objetivo

(s) do problema n s s s n s n n s

Total 1 5 5 4 1 4 1 1 5

2ªA



b) Nominar as variáveis,

incógnitas com suas medidas n n s n n n n n n

c) Construir o modelo

matemático a partir das

variáveis incógnitas e

informações extraídas do

problema

n n s s n n n n s

d) Realizar análises das

unidades de medidas do

modelo matemático

n n s n n s n n s

Total 1 1 5 2 1 3 1 1 4

3A


matemático (s) para

solucionar o modelo

matemático

n n s s n n n n s

b) Utilizar os recursos

necessários para solucionar o

modelo

n n n n n n n n s



aprovação

n n s s n s n n s

Total 1 1 4 4 1 3 1 1 5

Total geral 3 7 14 10 3 8 3 3 14



Os resultados da terceira questão estão descritos no Quadro 16:

40

QUADRO 16- AÇÕES E OPERAÇÕES DA TERCEIRA QUESTÃO

𝑄3


2ªA




com suas medidas n n n n n n n n n



informações extraídas do problema n n s n n n n n s


de medidas do modelo matemático n n n n n n n n s

Total

3ªA



modelo matemático n n s n n n n n s


para solucionar o modelo n n n n n n n n n



aprovação

n n s n n n n n s

Total

4ªA

a) Interpretar o resultado n n n n n n n n n

b) Extrair os resultados

significativos que tenham relação

com o (s) objetivo (s) do problema n n n n n n n n n

c) Dar resposta ao (s) objetivo (s)

do problema. n n n n n n n n s

d) Realizar um relatório baseado no

(s) objetivo (s) do problema; n n n n n n n n n

e) analisar a partir de novos dados e

condições que tenham relação direta

ou não com o(s) objetivo(s) do

problema existindo a possibilidade

de reformular o problema e assim

construir novamente o modelo

matemático, solucioná-lo e

interpretar sua solução. Por

n n n n n n n n n

Total

Total geral


Com os resultados da terceira questão, preenchemos o Quadro 17 com a pontuação de

cada aluno. Observe que nessa questão também avalia-se mais de uma ação:

41

QUADRO 17- AÇÕES E OPERAÇÕES DA TERCEIRA QUESTÃO

𝑄3


2ªA







informações extraídas do problema n n s n n n n n s


de medidas do modelo matemático n n n n n n n n s

Total 1 1 2 1 1 1 1 1 4

3ªA



modelo matemático n n s n n n n n s





aprovação

n n s n n n n n s

Total 1 1 4 1 1 1 1 1 4

4ªA






do problema. n n n n n n n n s









matemático, solucioná-lo e


n n n n n n n n n

Total 1 1 1 1 1 1 1 1 3

Total geral 3 3 7 3 3 3 3 3 11



Os resultados da quarta questão estão descritos no Quadro 18:

42

QUADRO 18- AÇÕES E OPERAÇÕES DA QUARTA QUESTÃO

𝑄4


1ªA


desconhecidos n n n n n n n n n


condições n n n n n n n n n

c) Reconhecer o (s) objetivo (s) do

problema n n n n n n n n n

Total 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2ªA


incógnitas n n n n n n n n n





informações extraídas do problema n n n n n n n n n


de medidas do modelo matemático n n n n n n n n n

Total 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3ªA



modelo matemático n n n n n n n n n





aprovação

n n n n n n n n n

Total 1 1 1 1 1 1 1 1 1

4ªA






do problema. n n n n n n n n n









matemático, solucionálo e


n n n n n n n n n

Total 1 1 1 1 1 1 1 1 3

Total geral 4 4 4 4 4 4 4 4 4


43

Em resumo, os resultados da aplicação da prova de lápis e papel, aos nove alunos, na

fase diagnóstica (pré-teste) podem ser observados em conformidade com o Quadro 19

abaixo, o mesmo apresenta o desempenho dos alunos no teste diagnóstico.

QUADRO 19- TOTAL DA PONTUAÇÃO DOS DESEMPENHOS DOS ALUNOS

𝑄1 𝑄2 𝑄3 𝑄4 Média das ações

Alunos 3ª𝐴 1ª𝐴 2ª𝐴 3ª𝐴 𝑦 2ª𝐴 3ª𝐴 4ª𝐴 y 1ª𝐴 2ª𝐴 3ª𝐴 4ª𝐴 y 1ª𝐴 2ª𝐴 3ª𝐴 4ª𝐴 w

A01 2 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 4

A02 5 5 1 1 7 1 1 1 3 1 1 1 1 4

A03 5 5 5 4 14 2 4 1 7 1 1 1 1 4

A04 1 4 2 4 10 1 1 1 3 1 1 1 1 4

A05 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 4

A06 1 4 1 3 8 1 1 1 3 1 1 1 1 4

A07 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 4

A08 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 4

A09 5 5 4 5 14 4 4 3 11 1 1 1 1 4

Média

Mediana

Moda

DP



Fonte: Adaptado Jardel, 2018.

A seguir, calculamos as Medidas de Tendencial Central (MTCs) das quatro questões.

3.6.CALCULANDO AS MTCs NA PRIMEIRA QUESTÃO.

Aqui, usamos os valores de todos os alunos em cada ação, depois faremos o cálculo

geral (somando os valores de todas as ações). Como essa questão abrange apenas uma ação da

APS, não será preciso realizar o cálculo geral.

Média aritmética da terceira ação

Como, são nove alunos avaliados, temos 𝑛 = 9:

𝑀𝐴 =𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥9

9=

2 + 5 + 5 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 5

9=

22

9≅ 2,4

Mediana da terceira ação

Organizando os dados em ordem crescente, temos:

1— 1— 1— 1— 1— 2— 5— 5— 5

Como 𝑛 = 9, e 9 é ímpar:

𝑀𝑒 = 𝑥(

𝑛+12

)= 𝑥

(9+1

2)

= 𝑥5 = 1

44

Moda da terceira ação

A moda de um conjunto de valores corresponde ao valor que ocorre mais vezes, assim,

observando os dados, percebemos que:

𝑀𝑜 = 1

Desvio padrão da terceira ação

𝜎 =√(2 −

229 )

2

+ 3 (5 −229 )

2

+ 5 (1 −229 )

2

9≅ 1,83

Resumindo:

QUADRO 20-DESCRIÇÃO DAS AÇÕES DA PRIMEIRA QUESTÃO

𝑄1

Alunos 3ªA y

A01 2 2

A02 2 2

A03 3 3

A04 1 1

A05 2 2

A06 3 3

A07 3 3

A08 1 1

A09 5 5

Média 2,4 2,4

Mediana 1 1

Moda 1 1

DP 1,83 1,83


3.7.CALCULANDO AS MTCs NA SEGUNDA QUESTÃO.

Média aritmética da primeira ação

𝑀𝐴1 =𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥9

9=

1 + 5 + 5 + 4 + 1 + 4 + 1 + 1 + 5

9=

27

9= 3

Média aritmética da segunda ação

𝑀𝐴2 =𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥9

9=

1 + 1 + 5 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 4

9=

17

9≅ 1,9


Como 𝑛 = 9 temos:

𝑀𝐴3 =𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥9

9=

1 + 1 + 4 + 4 + 1 + 3 + 1 + 1 + 5

9=

7

3≅ 2,3

Média aritmética geral

45

𝑀𝐴 =𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥9

9=

3 + 7 + 14 + 10 + 3 + 8 + 3 + 3 + 14

9=

65

9≅ 7,2

Mediana da primeira ação


1— 1— 1— 1— 4— 4— 5— 5— 5


𝑀𝑒 = 𝑥(

𝑛+12

)= 𝑥

(9+1

2)

= 𝑥5 = 4

Mediana da segunda ação


1— 1— 1— 1— 1— 2— 3— 4— 5


𝑀𝑒 = 𝑥(

𝑛+12

)= 𝑥

(9+1

2)

= 𝑥5 = 1



1— 1— 1— 1— 1— 3— 4— 4— 5


𝑀𝑒 = 𝑥(

𝑛+12

)= 𝑥

(9+1

2)

= 𝑥5 = 1

Mediana geral


3— 3— 3— 3— 7— 8— 10— 14— 14


𝑀𝑒 = 𝑥(

𝑛+12

)= 𝑥

(9+1

2)

= 𝑥5 = 7

Moda da primeira ação

O valor que ocorre mais vezes é 1, logo 𝑀𝑜 = 1

Moda da segunda ação




Moda geral


Desvio padrão da primeira ação

46

𝜎 = √4(1 − 3)2 + 2(4 − 3)2 + 3(5 − 3)2

9≅ 1,83

Desvio padrão da segunda ação

𝜎 = √5(1 − 1,9)2 + (2 − 1,9)2 + (3 − 1,9)2 + (4 − 1,9)2 + (5 − 1,9)2

9≅ 1,45


𝜎 = √5(1 − 2,3)2 + (3 − 2,3)2 + 2(4 − 2,3)2 + (5 − 2,3)2

9≅ 1,56

Desvio padrão geral

𝜎 = √4(3 − 7,2)2 + (7 − 7,2)2 + (8 − 7,2)2 + (10 − 7,2)2 + 2(14 − 7,2)2

9≅ 4,37

Resumindo:

QUADRO 21- DESCRIÇÃO DAS AÇÕES DA SEGUNDA QUESTÃO

𝑄2

Alunos 1ªA 2ªA 3ªA y

A01 1 1 1 3

A02 5 1 1 7

A03 5 5 4 14

A04 4 2 4 10

A05 1 1 1 3

A06 4 1 3 8

A07 1 1 1 3

A08 1 1 1 3

A09 5 4 5 14

Média 3 1,9 2,3 7,2

Mediana 4 1 1 6

Moda 1 1 1 3

DP 1,83 1,45 1,56 4,84


3.8.CALCULANDO AS MTCs NA TERCEIRA QUESTÃO.

Aqui, usamos os valores de todos os alunos em cada ação, depois faremos o cálculo

geral (somando os valores de todas as ações).

Média aritmética da segunda ação

Como, são nove alunos avaliados, temos 𝑛 = 9:

47

𝑀𝐴2 =𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥9

9=

1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 4

9=

13

9= 1,4


𝑀𝐴3 =𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥9

9=

1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 4

9=

15

9≅ 1,6

Média aritmética da quarta ação

𝑀𝐴4 =𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥9

9=

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 3

9=

11

9≅ 1,2

Média aritmética geral

𝑀𝐴 =𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥9

9=

3 + 3 + 7 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 11

9=

39

9≅ 4,3

Mediana da segunda ação


1— 1— 1— 1— 1— 1— 1— 2— 4


𝑀𝑒 = 𝑥(

𝑛+12

)= 𝑥

(9+1

2)

= 𝑥5 = 1



1— 1— 1— 1— 1— 1— 1— 4— 4


𝑀𝑒 = 𝑥(

𝑛+12

)= 𝑥

(9+1

2)

= 𝑥5 = 1

Mediana da quarta ação


1— 1— 1— 1— 1— 1— 1— 1— 3


𝑀𝑒 = 𝑥(

𝑛+12

)= 𝑥

(9+1

2)

= 𝑥5 = 1

Mediana geral


1— 1— 3— 3— 3— 3— 3— 3— 3— 7


𝑀𝑒 = 𝑥(

𝑛+12

)= 𝑥

(9+1

2)

= 𝑥5 = 3

Moda da segunda ação


48



Moda da quarta ação


Moda geral


Desvio padrão da segunda ação

𝜎 = √7(1 − 1,4)2 + (2 − 1,4)2 + (4 − 1,4)2

9≅ 0,96


𝜎 = √7(1 − 1,6)2 + 2(4 − 1,6)2

9≅ 1,25

Desvio padrão da quarta ação

𝜎 = √8(1 − 1,2)2 + (3 − 1,2)2

9≅ 0,63

Desvio padrão geral

𝜎 = √2(1 − 4,3)2 + 6(3 − 4,3)2 + (7 − 4,3)2

9≅ 2,67

Resumindo:

QUADRO 22- DESCRIÇÃO DAS AÇÕES DA TERCEIRA QUESTÃO

𝑄3

Alunos 2ªA 3ªA 4ªA y

A01 1 1 1 3

A02 1 1 1 3

A03 2 4 1 7

A04 1 1 1 3

A05 1 1 1 3

A06 1 1 1 3

A07 1 1 1 3

A08 1 1 1 3

A09 4 4 3 11

Média 2,8 2,4 2,3 10,8

Mediana 1,4 1,6 1,2 4,2

Moda 1 1 1 3

DP 1 1 1 3


3.9.CALCULANDO AS MTCs NA QUARTA QUESTÃO.

49

Como os valores dos indicadores nessa questão foram todos iguais a 1, então, temos

que as médias, medianas e modas são iguais a 1 em todas as ações e igual a 4 nas somas das

ações. Já o desvio padrão será igual a zero em todos os casos.

QUADRO 23- DESCRIÇÃO DAS AÇÕES DA QUARTA QUESTÃO

𝑄4

Alunos 1ªA 2ªA 3ªA 4ªA y

A01 1 1 1 1 4

A02 1 1 1 1 4

A03 1 1 1 1 4

A04 1 1 1 1 4

A05 1 1 1 1 4

A06 1 1 1 1 4

A07 1 1 1 1 4

A08 1 1 1 1 4

A09 1 1 1 1 4

Média 1 1 1 1 4

Mediana 1 1 1 1 4

Moda 1 1 1 1 4

DP 0 0 0 0 0


Com esses dados obtidos, preenchemos o Quadro 24 de pontuação dos desempenhos

dos alunos

QUADRO 24 - TOTAL DA PONTUAÇÃO DOS DESEMPENHOS DOS ALUNOS



A01 2 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 4

A02 5 5 1 1 7 1 1 1 3 1 1 1 1 4

A03 5 5 5 4 14 2 4 1 7 1 1 1 1 4

A04 1 4 2 4 10 1 1 1 3 1 1 1 1 4

A05 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 4

A06 1 4 1 3 8 1 1 1 3 1 1 1 1 4

A07 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 4

A08 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 4

A09 5 5 4 5 14 4 4 3 11 1 1 1 1 4

Média 2,4 3 1,9 2,3 7,2 1,4 1,6 1,2 4,3 1 1 1 1 4

Mediana 1 4 1 1 7 1 1 1 3 1 1 1 1 4

Moda 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 4

DP 1,83 1,83 1,45 1,56 4,37 1,96 1,25 0,63 2,67 0 0 0 0 0



Fonte: Adaptado de Jardel, 2018.

Através de cálculos de média aritmética, pode-se obter as médias das ações de cada aluno

(Quadro 25), iremos omitir os cálculos, pois, não é a finalidade deste trabalho.

50

QUADRO 25- TOTAL DA PONTUAÇÃO DOS DESEMPENHOS DOS ALUNOS



A01 2 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 1 1,25 1 3

A02 5 5 1 1 7 1 1 1 3 1 1 1 1 4 3 1 2 1 4,75

A03 5 5 5 4 14 2 4 1 7 1 1 1 1 4 3 2,67 3,5 1 7,5

A04 1 4 2 4 10 1 1 1 3 1 1 1 1 4 2,5 1,33 1,75 1 4,5

A05 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 1 1 1 2,75

A06 1 4 1 3 8 1 1 1 3 1 1 1 1 4 2,5 1 1,5 1 4

A07 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 1 1 1 2,75

A08 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 1 1, 1 2,75

A09 5 5 4 5 14 4 4 3 11 1 1 1 1 4 3 3 3,75 2 8,5

Média 2,4 3 1,9 2,3 7,2 1,4 1,6 1,2 4,3 1 1 1 1 4 2 1,43 1,83 1,1 4,48

Mediana 1 4 1 1 7 1 1 1 3 1 1 1 1 4 2,5 1 1 1 3,75

Moda 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 1 1 1 2,75

DP 1,83 1,83 1,45 1,56 4,37 1,96 1,25 0,63 2,67 0 0 0 0 0 0,92 1,14 1,16 0,32 2,22


𝐷𝑃 =Desvo padrão

Fonte: Adaptado de Jardel, 2018.

3.10.GRÁFICOS

Os dados descritos no Quadro 25 podem ser resumidos em gráficos específicos. A

importância dos gráficos está ligada sobretudo à facilidade e rapidez na absorção e

interpretação das informações.

Abaixo apresentamos os gráficos do desempenho dos alunos em cada questão e o

gráfico das médias dos alunos em cada ação.

GRÁFICO 1- DESEMPENHO DOS ALUNOS NA PRIMEIRA QUESTÃO


0

1

2

3

4

5

6

A01 A02 A03 A04 A05 A06 A07 A08 A09

QUESTÃO 1

3ªA

51

GRÁFICO 2- DESEMPENHO DOS ALUNOS NA SEGUNDA QUESTÃO


GRÁFICO 3- DESEMPENHO DOS ALUNOS NA TERCEIRA QUESTÃO


GRÁFICO 4- DESEMPENHO DOS ALUNOS NA QUARTA QUESTÃO


0

1

2

3

4

5

6

A01 A02 A03 A04 A05 A06 A07 A08 A09

QUESTÃO 2

1ªA 2ªA 3ªA

0

1

2

3

4

5

A01 A02 A03 A04 A05 A06 A07 A08 A09

QUESTÃO 3

2ªA 3ªA 4ªA

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

A01 A02 A03 A04 A05 A06 A07 A08 A09

QUESTÃO 4

1ªA 2ªA 3ªA 4ªA

52

GRÁFICO 5- MÉDIA DAS AÇÕES


Como percebe-se, todos os processos descritos nesse capítulo podem ser feitos

manualmente, porém, o objetivo é tornar prático e fácil a avaliação e análises do instrumento

quantitativo da ASP, sendo assim, no Apêndice A, propormos através do software Excel, a

automatização desse sistema.

O tutorial foi feito de forma simples para que todos que não tenham conhecimento da

ferramenta consigam agilizar os métodos apresentados até aqui. Vale informar que o objetivo

não é ensinar como usar o Excel, e sim, em como utilizá-lo para o desenvolvimento do objeto

em questão, sendo assim, cabe ao leitor explorar outras funções do programa, isso geralmente

ocorre com a prática.

0

1

2

3

4

A01 A02 A03 A04 A05 A06 A07 A08 A09

MÉDIAS DAS AÇÕES

1ªA 2ªA 3ªA 4ªA

53

CONSIDERAÇÕES FINAIS

A Atividade de Situações Problema em Matemática se explorada pelo professor torna-

se uma ferramenta importante no desenvolvimento de habilidade de resolução de problemas,

sendo assim, torna-se então uma metodologia que se destaca em relação a eficiência no

processo de ensino e aprendizagem.

As ações da A Atividade de Situações Problema em Matemática são convertidas em

variável quantitativas e as operações seus indicadores. Utilizando elementos da estatística

descritiva é quantificado o desempenho dos estudantes para a resolução de problemas

matemáticos.

O instrumento quantitativo construído guiará as pesquisas qualitativas para explicar o

desempenho dos estudantes na resolução de problemas matemáticos. Sugere-se o instrumento

quantitativo que seja combinado com instrumentos qualitativos para instrumento avaliativo a

ser utilizado pelos professores.

54

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

A ZONA DE DESENVOLVIMENTO PROXIMAL, DE VYGOTSKY. Portal da educação.

Disponível em: < https://www.portaleducacao.com.br/conteudo/artigos/educacao/a-zona-de-

desenvolvimento-proximal-de-vygotsky/25984>. Acesso em: 11 dez. 2018.

ANÁLISE ESTATÍSTICA - Medidas de tendência central. PASSEI DIRETO. Disponível

em: < https://www.passeidireto.com/arquivo/981986/analise-estatistica---medidas-de-

tendencia-central>. Acesso em: 25 out. 2018.

CHIRONE, A. R. R. A aprendizagem de equações do 1º grau a partir da atividade de

situações problema como metodologia de ensino, fundamentado na teoria de formação

por etapas das ações mentais e conceitos de Galperin. 2016. Dissertação (Mestrado em

Ensino de Ciências) - PRODUTO EDUCACIONAL - Universidade Estadual de Roraima,

Orientador: Héctor José García Mendoza.

CRESPO, A. A. Estatística fácil. São Paulo: Saraiva, 2002. MARTINS, Gilberto de A.;

DONAIRE, Denis. Princípios da estatística: 900 exercícios resolvidos e propostos. São Paulo:

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FEIJOO, A.. Medidas de tendência central. In: A pesquisa e a estatística na psicologia e na

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56

APÊNDICE A ‒TABELA DE AÇÕES E OPERAÇÕES NO EXCEL

O objetivo deste tutorial é ensinar como realiza-se as avalições quantitativas das ações

da ASP de forma automática, usando o software Excel. Vale lembrar que os procedimentos

são feitos de forma superficial, ou seja, é necessário explorar o software para obter a prática.

1.1.COMO ELABORAR A TABELA DE AÇÕES E OPERAÇÕES NO EXCEL?

Para melhor compreensão iremos elaborar a tabela de ações e operações genérica, ou

seja, construiremos uma tabela que possui as quatro ações e as suas operações. Porém, como

já foi dito, a quantidade de ações vai depender das características de cada questão.

Essa seção está dividida em quatro subseções. Inicialmente construiremos as tabelas

brutas (sem as fórmulas). Na segunda parte vamos inserir a fórmula para quantificar

automaticamente a pontuação de cada ação e a fórmula da soma das notas das ações. Para

organizar os resultados e as medidas de tendência central, construiremos outra tabela. Por

fim, usaremos os dados obtidos para gerar um gráfico automaticamente.

1.2.RESUMO DOS CONCEITOS DO EXCEL

Para facilitar o processo de construção da tabela de ações e operações no Excel, abaixo

encontra-se de forma resumida três conceitos que serão usados durante o todo o processo.

Planilha: Ao abrirmos o Microsoft Excel é apresentada uma janela com três planilhas

- Plan1, Plan2 e Plan3. A planilha selecionada por padrão é a planilha Plan1, uma

planilha vazia, onde possuímos linhas e colunas dispostas de tal forma que podemos

inserir informações dentro da grade formada com o cruzamento desses dois elementos.

Tabela: É basicamente um subconjunto da planilha, ou seja, é um conjunto de células

da planilha.

Célula: É a unidade de uma planilha na qual você pode inserir e armazenar dados. É

formada através da interseção de cada linha e coluna em uma planilha.

Intervalos de células: Quando trabalhamos com uma planilha, muitas vezes nos

deparamos com a necessidade de tratar um trecho ou uma determinada região de

maneira diferente do restante da planilha. Um intervalo de células é uma região da

planilha que selecionamos a fim de trabalhar e modificar, ele é identificado através da

célula do canto superior esquerdo e do canto inferior direito da faixa de células. Uma

faixa é representada pelo endereço da primeira célula (canto superior esquerdo), dois

pontos (:) e o endereço da última célula (canto inferior direito). Por exemplo: A1:A6,

1.3.CONSTRUINDO A TABELA

57

Nessa primeira parte, construiremos a tabela abaixo:

Questão Ação Operações A01 A02 ... An

𝑄𝑖

1ªA a) extrair todos os elementos desconhecidos ...

b) Estudar os dados e suas condições ...

c) Reconhecer o (s) objetivo (s) do problema ...

Total ...

2ªA a) Determinar as variáveis e incógnitas ...

b) Nominar as variáveis, incógnitas com suas

medidas

...

c) Construir o modelo matemático a partir das

variáveis incógnitas e informações extraídas do

problema

...

d) Realizar análises das unidades de medidas do

modelo matemático

...

Total ...

3ªA a) Selecionar o (s) método (s) matemático (s) para

solucionar o modelo matemático

...


modelo

...


aprovação

...

Total ...

4ªA a) Interpretar o resultado ...

b) Extrair os resultados significativos que tenham

relação com o (s) objetivo (s) do problema

...

c) Dar resposta ao (s) objetivo (s) do problema. ...

d) Realizar um relatório baseado no (s) objetivo (s)

do problema;

...

e) Analisar a partir de novos dados e condições que

tenham relação direta ou não com o(s) objetivo(s) do

problema existindo a possibilidade de reformular o

problema e assim construir novamente o modelo

matemático, solucioná-lo e interpretar sua solução.

...

Total ...

As colunas 𝐴01, 𝐴02, . . . , 𝐴𝑛, irão variar dependendo da quantidade de alunos

avaliados.

1.3.1. Construindo o cabeçalho da tabela

Com o Excel aberto, iniciaremos criando os três principais cabeçalhos da tabela de

ações operações:

Digitamos:

“Questão” na célula A1.

“Ação” na célula B1.

‘Operação” na célula C1.

58

Importante: A localização da tabela vai depender de como se prefere organizar os elementos

(tabelas, gráficos, imagens, etc.) na planilha, aqui estamos optando por construir a tabela no

canto esquerdo superior.

1.3.2. Preenchendo as células das operações

Parece estranho começar preenchendo as células referentes as operações das ações da

ASP, porém, mais adiante iremos perceber o porquê.

1.3.3. Ajustes específicos da coluna das operações

Perceba no Excel que na coluna C (operações) o espaço das células é insuficiente para

especificar a operação. Portanto, devemos aumentar a largura da coluna C e fazer alguns

ajustes:

Clique na lateral da coluna C e arraste para direta o quanto achar necessário.

Clique na coluna C

Selecione as opções “Alinhar no meio” e “Quebra de texto automaticamente” da

barra de ferramentas.

Com a coluna C ajustada, especificaremos cada operação conforme mostrado na tabela

de ações e operações, sendo que, após as operações de cada ação temos a célula “Total” que

armazenará o valor da pontuação em cada ação.

59

1.3.4. Preenchendo as células das ações e das questões

Observação: Na tabela de ações operações algumas células como, “𝑸𝒊” e “1ªA, 2ªA, 3ªA e

4ªA”, possuem alturas diferentes, pois, a célula “𝑸𝒊” engloba as células “1ªA, 2ªA, 3ªA e

4ªA”, que por sua vez engloba as células das operações.

Começaremos por esta última, ou seja, iremos dividir as células da coluna de “Ação”

para que englobe suas respectivas operações (incluindo o total).

Selecione as células da coluna de “Ação” correspondentes as células das operações

(incluindo o total) da primeira ação da ASP.

Clique nas opções da barra de ferramentas, Mesclar e centralizar; Alinhar no meio.

Observe que as células selecionadas “se convertem em uma só”. Nessa célula,

especifique a ação, neste caso, 1ªA.

60

Repita o mesmo procedimento para as demais ações.

Do mesmo modo, é feito nas células da coluna “Questão”, para que englobe todas as

ações. E assim, nominando de acordo com especificação de cada questão que se pretende

avaliar. Para exemplo, nominaremos de Q1.

61

1.3.5. Coluna dos alunos avaliados

Usaremos as colunas a direita da coluna “Operação” para especificar os alunos

avaliados. É pratico identificá-los da seguinte forma:

𝑨𝟎𝟏, 𝑨𝟎𝟐, . . . , 𝑨𝒏

62

Para exemplo, colocamos apenas 9 alunos. Assim, nossa tabela está quase pronta,

faltando apenas as fórmulas que irão gerar a pontuação automaticamente de cada ação.

Com a tabela pronta, formatamos à critério. Para melhor visualização, recomendamos

,destacar (negrito ou sublinhado) os elementos essenciais em cada ação, destacar (mudar a

cor) a linha correspondente ao total e as ações, centralizar o cabeçalho e as células que serão

preechidas com s ou n.

1.4. INSERINDO AS FÓRMULAS

Para que o Excel gere automaticamente uma pontuação de uma determinada ação,

teremos que inserir fórmulas nas células referentes ao “Total”.

Observação: O objetivo desta subseção não é explicar como se constrói a fórmula para obter

os valores quantitativos de cada ação automaticamente. A lógica das pontuações está descrita

na tabela Dimensões das categorias de avaliação (QUADRO 4), assim, as fórmulas aqui

expostas, são apenas um modelo das sentenças que designam o resultado quantitativo a cada

dimensão.

Portanto, para praticidade apenas é recomendável que apenas copie e cole as fórmulas

apresentadas durante essa subseção.

A ideia é inserir manualmente a fórmula na célula referente ao “Total” apenas do

primeiro aluno. Para os demais alunos iremos inserir automaticamente.

Importante: Observe que as fórmulas apresentas aqui, fazem referências a determinadas

células da planilha (D3; D4; D5...), ou seja, as fórmulas só funcionarão se a localização da sua

63

tabela estiver conforme a apresentada nas figuras anteriores. Caso contrário, você terá que

substituir as referências das fórmulas de acordo com a posição da sua tabela.

Cole a fórmula abaixo, na célula referente ao “Total” do primeiro aluno.

=SE(E(D2="n";D3="n";D4="n");1;SE(E(D2="s";D3="s";D4="s");5;SE(E(D4="s";OU

(D2="s";D3="s"));4;SE(E(D4="n";OU(D2="s";D3="s"));2;3))))

Como ainda não foi atribuído nenhum valor lógico nas células das respectivas

operações, o Excel automaticamente apresenta o valor igual 3.

Como foi dito, a partir da fórmula inserida na célula do A01, iremos inserir

automaticamente as fórmulas dos demais. Para isso, clique no canto inferior direto dessa

célula e arraste até a coluna do último aluno.

Pronto, agora é só repetir o mesmo processo para as demais ações. Apenas a fórmula

de cada ação irá se modificar. Abaixo apresentamos as fórmulas de cada ação:

Fórmula da segunda ação

=SE(E(D6="n";D7="n";D8="n";D9="n");1;SE(E(D6="s";D7="s";D8="s";D9="s");5;S

E(E(D9="s";OU(D6="s";D7="s";D8="s"));4;SE(E(D9="n";OU(D6="s";D7="s";D8="s"));2;3

))))

Fórmula da terceira ação

=SE(E(D11="n";D12="n";D13="n");1;SE(E(D11="s";D12="s";D13="s");5;SE(E(D13

="s";OU(D11="s";D12="s"));4;SE(E(D13="n";OU(D11="s";D12="s"));2;3))))

Fórmula da quarta ação.

=SE(E(D15="n";D16="n";D17="n";D18="n";D19="n");1;SE(E(D15="s";D16="s";D1

7="s";D18="s";D19="s");5;SE(E(D17="s";OU(D15="s";D16="s";D18="s";D19="s"));4;SE(

E(D17="n";OU(D15="s";D16="s";D18="s";D19="s"));2;3))))

64

Nossa tabela está pronta para ser preenchida (s ou n) com os resultados obtidos.

Exemplo: Suponhamos que o aluno A01 conseguiu concluir todas as operações da

primeira ação. Logo, iremos digitar “s” nas células de cada operação.

Observe que a pontuação coincide com a mesma apresentada no Quadro 5.

1.5. TABELAS DAS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

Antes de gerar os gráficos dos resultados obtidos, iremos organizar e resumir os

resultados em outra tabela (preferencialmente em outra planilha), juntamente com algumas

medidas de tendência central (média, mediana, moda e desvio padrão).

Perceba que até aqui estamos tentar manter os dados o mais organizado possível,

sendo assim, renomearemos a atual planilha e criaremos outra para inserir as medidas de

tendência central e os gráficos.

Para renomear atual planilha, clique no com o botão direito do mouse no canto inferior

esquerdo na aba Planilha 1 e selecione a opção “Renomear”.

Renomeie como achar conveniente. Por exemplo: Ações e operações. Esse nome será

usado para fazer referência na próxima tabela criada.

Para criar outra planilha, clicaremos no botão ao lado da aba da planilha que

renomeamos no item anterior.

65

Renomeamos também como achar conveniente. Por exemplo: Gráficos.

Nessa nova planilha, construiremos a tabela abaixo. Ela será a base que irá gerar os

gráficos.

Legenda: A=Alunos; 1ªA=1ª Ação... Y= Soma das ações; DP=desvio padrão;

DP(%)= Desvio padrão em porcentagem.

Após construir a tabela acima, iremos formatá-la, para melhor visualização.

P-1

A 1ªA 2ªA 3ªA 4ªA Y

A01

A02

A03

A04

A05

A06

A07

A08

A09

Media

Mediana

Moda

DP

DP(%)

66

Feito isso, inserimos as fórmulas para o preenchimento automático desta tabela.

Começaremos preenchendo a nota da 1ªA do aluno A01, observe que essa nota se

encontra na tabela da planilha “Ações e operações”. Portanto, iremos apenas referenciar a

célula da tabela da planilha “Ações e operações”:

Na célula da 1ªA do A01, inserimos o sinal de igualdade (=).

Clicamos na aba da planilha “Ações e operações”

Na planilha “Ações e operações”, clicamos na célula que contém o valor desejado e

apertamos “Enter”. O mesmo processo irá se repetir nas células das demais notas.

Perceba os valores gerados nas células especificas de uma planilha (Ações e

operações) aparece instantaneamente na outra planilha (Gráficos).

Para preencher automaticamente a célula da Soma das notas (Y), basta inserir na

célula correspondente a soma das notas das ações do primeiro aluno a seguinte fórmula:

67

= 𝑠𝑜𝑚𝑎

Observe que ao digitar, simultaneamente aparece a opção:

Clique 2x na opção SOMA, em seguinda selecionamos as células que queremos somar

os valores contidos e apertamos “Enter”.

Pronto, temos a soma das notas do aluno A01. Assim, para somar as notas dos demais

alunos:

Clique no canto inferior direito da célula que contem a soma das notas do A01 e

arraste até a linha do ultimo aluno.

Observação: No exemplo todas as notas são iguais a 3, e consequentemente a soma igual a

12. Isso acontece devido ao não preenchimento (s ou n) da tabela de ações e operações.

68

Média

Para obter automaticamente as médias:

Basta digitar “=média” na célula correspondente a média do aluno:

Irá aparecer simultaneamente a opção para a fórmula MÉDIA.

Clique 2x nesta opção e selecione as células que contém os valores que se deseja obter

a média e aperte “Enter”.

Para as demais ações, basta:

Clicar no canto inferior direito e arraste até a última coluna da tabela.

69

Mediana, Moda e desvio padrão.

Para obter as medianas, modas e desvios padrão, basta repetir o mesmo processo da

média, apenas mudando as fórmulas.

Mediana: “=med”

Moda: “=modo.único”

Desvio padrão: “=desvpad.p”

Desvio padrão em porcentagem

Aqui, teremos que dividir o desvio padrão de cada ação pela média das respectivas

ações. Para isso, especificamos a célula que contém o desvio padrão dividindo pela célula que

contem a média.

Exemplo: Para o desvio padrão em porcentagem da 1ºA:

= 𝐵15/𝐵12

70

Para as demais ações, basta:

Clicar no canto inferior direito da célula do desvio padrão preenchida anteriormente e

arrastar até a última coluna da tabela.

Temos agora, uma tabela resumindo os resultados obtidos:

1.6. CONSTRUINDO OS GRÁFICOS

Gráfico das notas de cada ação

Esse gráfico é feito quase todo automaticamente. Basta selecionar as células com os

dados desejados.

71

Clique na aba “Inserir” na barra de ferramentas

Para esse primeiro gráfico, clicamos na opção “Inserir gráfico de colunas ou de

barras” na parte de gráficos.

Agora é só selecionar o modelo de gráfico de colunas ou de barras de sua preferência.

Instantaneamente o Excel gera um gráfico com as notas dos alunos avaliados em cada ação.

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Gráfico das medidas de tendência central de cada ação

Selecione as células destacadas abaixo:

Segure a tecla “Ctrl” e selecione também as células destacadas abaixo:

O processo para gerar um gráfico de barras é análogo ao anterior.

Documents

UM INSTRUMENTO QUANTITATIVO DA ATIVIDADE DE SITUAÇÕES PROBLEMA EM ... · proximal em um contexto de ensino aprendizagem onde existe uma interação entre o professor, o estudante