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UM RESULTADO DE PERIODICIDADE
PARA UMA EQUAÇÃO
INTEGRO-DIFERENCIAL
Rosana Sueli da Motta Jafelice
Orientação:
Prof. Dr. Plácido Zoéga Táboas
Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas de São Car-
los, da Universidade de São Paulo, como parte dos requisitos para obtenção do título
de mestre em Matemática.
USP São Carlos
1.992
Agradecimentos
Ao Prof. Plácido Zoéga Táboas, pela orientação neste trabalho.
À Profa Sandra Maria Semensato de Godoy, pelo apoio técnico e pelas
constantes palavras de incentivo.
Aos professores do IBILCE - UNESP, que me mostraram a beleza do
mundo matemático.
Ao amigo Castilho que digitou este trabalho como se fosse próprio.
Aos amigos da graduação, da pós-graduação, que tanto me estimularam,
e me ajudaram a galgar todos os obstáculos até aqui.
À CAPES pelo apoio financeiro.
Resumo
Estamos interessados na equação integro-diferencial:
-1/2 ±(t) = —2a[1. -I- x(t)11 1 x(t -i- 0)dO, a > O. (E) -
Nosso objetivo é estudar as soluções periódicas de (E), que estão
associadas aos pontos fixos de uma aplicação de retorno A sobre um
conjunto fechado convexo do espaço de fase.
Nós usamos um Teorema de R. Nussbaum para obter a existência de
pontos fixos não triviais de A, quando a varia ao longo de uma sequência.
Introdução
Em 1978, Chow e Hale [1] estudam a equação integro-diferencial
o 4t) = —a[1 x(t)] B(0)x(t 0)d0, (0.1)
onde a> O e B(0) > O é de classe C1 e semelhante à função delta de Dirac, definida
de modo que B(0) 0, < O < O e AB(0)d0 =1 (ver Figura 0.1). Esta equação
é discutida como um modelo de crescimento de uma espécie. Chow e Hale [1]
afirmam que as hipóteses do Teorema 2.2 [2], pag 249, atribuído a R. Nussbaum
podem ser verificadas para a equação acima a fim de se obter uma solução periódica
não constante.
Inspirados nessa equação e nas afirmações de Chow e Hale, nos detemos
em estudar a equação integro-diferencial:
-1/2 ±(t) = —2a[1 x(t)]
1-1 x(t -F 0)d0, a> 0, (0.2)
que é uma equação diferencial funcional com retardamento obtida a partir de (0.1)
tomando B(0), de acordo com a Figura 0.1, definida por:
Bm.{ 20 se — 1 < O < se < O < O
Por razões técnicas restringimos nosso estudo ao caso em que a pertence a
um subconjunto enumerável da reta.
1
2
1
A
> -1 -1/2 Figura 0.1:
Neste trabalho mostramos a existência de uma solução periódica não cons-
tante, usando um princípio de ponto fixo ejetivo para um operador de retorno.
O trabalho é apresentado em dois capítulos. No primeiro citamos alguns
resultados básicos para o seu desenvolvimento, definimos equação diferencial funcio-
nal com retardamento e apresentamos alguns resultados sobre existência, unicidade
e dependência contínua das soluções em relação às condições iniciais. Mostramos a
existência de soluções para a equação específica. Definimos ponto ejetivo e enuncia-
mos o Teorema de Nussbaum e um lema que dá uma condição suficiente para um
ponto ser ejetivo.
No segundo capítulo, verificamos que a equação específica satisfaz as hi-
póteses do Teorema de Nussbaum e assim, concluimos a existência de uma solução
periódica não constante.
Uma questão que naturalmente se formula a partir do presente trabalho é
a de estender o conjunto onde o parâmetro a varia.
Capítulo 1
Preliminares
Apresentamos neste capítulo alguns resultados básicos que serão usados
no decorrer do trabalho. As demonstrações podem ser encontradas na bibliografia
indicada.
1.1 Equação Diferencial Funcional com Retardamento
Consideremos r > O um número real dado, o espaço vetorial n-dimensional
Rn sobre os reais com norma euclidiana I • C([a,b],Rn), o espaço de Banach das
aplicações : [a, b] Rn contínuas, munido da norma do supremo.
Seja [a, b] = [—r,0], e C = C([—r, 0], Rn), onde a norma de um elemento
OECe dada por:
11011 == SUP 1 0(°) 1 • —r<0<0
Definição 1.1.1 Sejamr E R, A>0 ex E C([-r—r,r-FA],Rn). Para cada
t E [T, T + A], definimos a função xt E C por:
x(0) = x(t -F O),
3
onde —r < O < O.
Definição 1.1.2 Sejam D CRxC, f : D —› R uma função, com "-"representando
a derivada à direita. A equação
±(t) = f (t, xt ) (1.1)
é dita uma equação diferencial funcional com retardamento sobre D e será denotada
por EDFR. Se desejarmos enfatizar que a equação é definida por f, escrevemos
EDFR(f).
A equação (1.1) inclui como caso particular as equações diferenciais or-
dinárias, basta para isto tomar r = O.
Exemplo 1.1.1 A equação integro-diferencial
o i(t) g (t , O, x(t 0))dO
é uma EDFR. Neste caso, f(t,O) = f24(1,0,0(0))d0 para (t, 0) E R x C.
Definição 1.1.3 Se existe r ER eA >O tal que x E C([r — r,r A),Rn),
(t,xt ) E D e x(t) satisfaz a equação (1.1) para t E [r,r + A), diz-se que x é solução
da equação (1.1).
Definição 1.1.4 Dado 7" E R, E C, dizemos que x(r,O, f) é solução da equação
(1.1) com valor inicial em r se:
( i) Existe A > O tal que x(r,O, f) é solução da equação (1.1) sobre [r — r,r A),
(II) x.,(7,46 ,n= 95.
continuação ( à direita) de x, se existe b> a, tal que está definida em [r — r,b),
coincide com x em [r — r,a) e satisfaz a equação (1.1) em [r,b). Dizemos que x,
solução da equação (1.1) em [r,a), é não continuável ( à direita) se não existe uma
continuação dela, neste caso o intervalo Ir, a) é dito intervalo maximal de existência
da solução.
O leitor encontra em [2] um estudo bastante geral sobre continuação de
soluções.
1.2 Existência e Unicidade de Solução para a Equação (0.2)
Esta equação é dada por:
i(t) = —2(41 + x(t)] 1J- x(t + 0)0, c> 0.
Dado (A E C = C ([-1,0], R), vamos mostrar que (0.2) admite uma única
solução x(t) para t > —1, tal que xo = 0. Façamos a seguinte mudança de variável:
e"(t) = 1 + x(t), (1.3)
assim x(t) > —1 para t > —1. Além disso,
±(t) = e 0(i) •
Por outro lado, de acordo com (0.2),
(t) = —24:•xew(i) f-1/2[e.(t+e) _ 11d0. -1
Igualando os dois membros, ternos que:
th(t) = 2a f-1/2[1 — ew(i+91d0. -1 (1.4)
Dado t/) E C, verifiquemos que a equação (1.4) admite uma única solução
que a satisfaz para i > O, com wo = 0. Para t E [0,1/2]
-1/2 = 2ot ./ [1 — e'l)(1+eld0.
Como o segundo membro é uma função contínua de t, w(t) é determinado
por quadratura em [O, 1/2]. Para t E [1/2,1], w(t) é determinado de modo análogo
usando wii2(0) = w(1/2 O), —1 < O < O, obtemos w sobre [-1, co). Consequente-
mente, obtemos x sobre [-1, oo).
1.3 Um teorema de Periodicidade
A seguir enunciamos um resultado de Nussbaum, que nos garante a existên-
cia de um ponto fixo de uma aplicação A distinto de um ponto prefixado, denominado
ejetivo.
Definição 1.3.1 Seja K um conjunto convexo. Um ponto xo E K é um ponto
extremo de K se não existem pontos distintos x1 ,x2 EK etE (0,1) de modo que
xo = tsi + (1— t)x2 .Geometricamente, xo é extremo se ele não é interior de nenhum
segmento contido em K.
Exemplo 1.3.1 Consideremos K um quadrado. Então os vértices do quadrado
serão os pontos extremos de K.
Para cada autovalor A, o espaço de fase C é decomposto como soma direta,
C = P.xEDQÀ, onde 13), e QA são invariantes sob o operador solução da equação (1.6),
T(t), t > O, dado por T(t)r¢ = yt(-, O), 4) E C, e 7r), o operador projeção sobre
definido por essa decomposição.
Lema 1.3.1 Suponhamos que as seguintes condições estejam satisfeitas:
( i) Há um autovalor A da equação ( 1.6) com Re(A) > O.
(ii) Há um subconjunto convexo fechado K de C, O E K, e uma função contínua
: K — {0} [p,co), p > O, tal que a aplicação A: K --+ C dada por:
0), E /0( -{O} (1.7)
é completamente contínua e AI C K.
(iii) inf{I17r), xt li xt = xt( ., 0), (i) E K, 11411 O 5t r(0)} > O
(iv) Se G é um subconjunto aberto de Rn, O E G, existe uma vizinhança V de O
em C tal que x(t,O) E G, para qualquer OE Vn K,0 O, e O < t < r(0).
Então, O é um ponto ejetivo de A. ( ver [3] )
11
Capítulo 2
Existência de uma Solução Periódica não Constante
Utilizando o Teorema 1.3.2 mostramos que (0.2) admite uma solução
periódica não constante. Para que esta solução não seja trivial necessitamos de
que o ponto fixo de A não seja o zero. Nosso argumento baseia-se em que o zero é
um ponto ejetivo de A em K, o Lema 1.3.1 dá as condições necessárias para isso.
Primeiro enunciamos alguns fatos importantes, mostramos que as condições do
Lema 1.3.1 estão satisfeitas e desta forma, o zero é ponto ejetivo.
2.1 Fatos Importantes
O subconjunto fechado e convexo de C = C([-1, 0], R), K = {0 E C
0(-1) > 0, 0(0) é não decrescente em [-1,-1/2], MO é não crescente em [-1/2,0],
0(0) > e(ea-1)[0(-1/2) + 1] — 1} desempenha um papel importante no
desenvolvimento do trabalho.
Definição 2.1.1 Dizemos que os zeros de x(t) são limitados se x(t) tem somente
um número finito de zeros positivos.
12
a qual nos leva à equação característica da equação (2.2), dada por:
À2 2a (e-À/2 — e-À) = 0, A 0. (2.3)
Lema 2.2.1 Se a assume valores ao longo da sequência:
,, 2,0a. an sen(an) — eani2sen(an/2)
onde 7r + 2727r < a, <'12-; + 2n7r, n = 0,1,2,... é univocamente determinado, então
An = an ia n é uma raiz característica de (2.3).
Prova: Seja equação (2.3) com a> O fazendo À0 = ao + aoi, ao 0, temos que:
( (ao —(a°2+a0i)
I- aoi)2 + 2a e _... e—(a0-1-a0i) = o.
Separando a parte real da imaginária, temos que:
1
2ae-a°/2 cos(?) — 2ae-a0 cos(a0) = O
—2ae-a0/2sen(a2a) + 2ae-a°sen(a0) = —2a02
Multiplicando o sistema por ea°, temos que:
{ cos(ao) — ea°/2 cos() = O
sen(ao) — ea0/2sen(1-) = a
As equações do sistema (2.4) podem ser escritas como produto escalar:
(cos(a0), cos(--a0 )) • (1, —ea0 /2) = O 2 (sen(a0), sen( —a° )) • (1, —ea(32) =
ao2ea, 2 a
Observe que o vetor (cos(a0),cos(a,12)) deve ser ortogonal ao vetor (1, _e0/2) e que
ao também deve satisfazer a equação (2.6).
(2.4)
(2.5)
(2.6)
16
(1, —ea°/2). Portanto, 7r < ao < 11-3T . Verifiquemos que existe um único ao
nessas condições. Para ao = 7r, temos que: (cos(a0), cos(ao/2))• (1, —e00/2) < O.
Para ao = -̀ temos que: (cos(a0), cos(a0/2)) • (1, —e"/2) > O. Além disso,
a derivada da função F(a0) = cos(ao) — e"Pcos(a0/2) é positiva no intervalo
17r, 4-ti, assim, F é crescente neste intervalo. Portanto, existe um único ao,
7r < ao < :1-7-3' que satisfaz a equação (2.5).
4o Caso Quando < ao <27r não satisfaz a equação (2.5), pois os dois vetores
estão no interior do mesmo quadrante.
Para 7r <a0 < 4fr satisfaz a equação (2.6), para algum a = ao positivo, dado
por: ao2 eao
ao = sen(a0) — ea0/2sen(a0/2)
Analogamente concluimos que: 3!an , 7r + 2n7r < a, < + 2n7r, n = O, 1, 2, . . onde:
a n 2ean
= sen(an) — eani2sen(an/2)
fica univocamente determinado de modo que AT, = an+ian seja raiz da equação
característica (2.3).
Observação 2.2.1 É uma simples, embora extensa, rotina de cálculo, verificar que
a >1, n = 0,1, 2,...
2.3 O Operador de Retorno A
Vamos construir um operador de retorno A: Kc, —)C, onde K. é definido
na secção 2.1,seguindo a órbita a partir de E Is, até o instante em que ela retorna
18
a K. Pelo Lema 2.1.1, temos que: se 0(0) > -1 e a> 1 os zeros de x(t) não são
limitados. Com an > 1, (k E Ka, O, definimos:
NO). min{t > O 1 t é um zero com i(t) > O)
r1(0) = { o primeiro ponto de máximo relativo > NO».
Sejam T = r(0) = '7-1(0) + 1/2 e
=Aç5 (I) E Ka - {0} O, =o.
Lema 2.3.1 A função 7- : Ka - {0} [p,00), p> O, definida acima, é contínua e
a aplicação A: K. --> C dada por:
{ x,(0)(', 0), 45 E K. - {O} O, ç5=O
é completamente contínua e AKa C Ka.
Prova: Argumentos típicos de continuidade em relação às condições iniciais
levam a continuidade da r.
Para mostrarmos que Alça C Ka, precisamos primeiramente mostrar que
sendo f- um ponto de máximo relativo e h = x(f), então:
x(f- + 1/2) > e a-1)[x(f-) + 1] - 1,
com a > O. Seja -1/2
= -2a[1 x(t)]f 1 x(t 4- C)dO
- e façamos algumas majorações. Tomando f- < t < + 1/2, temos que:
1 x(t 0)d0 < x(t -112)d0 = -x(t - 1/2)
J-1 -1 2
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Por outro lado, I Ax 1 < L se x E Koi, isto é , I Ax 1< L < M. Desta forma
M >1 Ax 1> M ( Absurdo). Portanto, existe M > O tal que Ax = Ax, para todo
x E K. n Sm(0) implica que A < 1. o
Desta maneira, temos que A tem um ponto fixo em .1‘,„ n Bm — {O} e
portanto a equação (0.2) tem uma solução periódica não constante.
30