37
UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr. Plácido Zoéga Táboas Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas de São Car- los, da Universidade de São Paulo, como parte dos requisitos para obtenção do título de mestre em Matemática. USP São Carlos 1.992

UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr

  • Upload
    others

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr

UM RESULTADO DE PERIODICIDADE

PARA UMA EQUAÇÃO

INTEGRO-DIFERENCIAL

Rosana Sueli da Motta Jafelice

Orientação:

Prof. Dr. Plácido Zoéga Táboas

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas de São Car-

los, da Universidade de São Paulo, como parte dos requisitos para obtenção do título

de mestre em Matemática.

USP São Carlos

1.992

Page 2: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr
Page 3: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr

Agradecimentos

Ao Prof. Plácido Zoéga Táboas, pela orientação neste trabalho.

À Profa Sandra Maria Semensato de Godoy, pelo apoio técnico e pelas

constantes palavras de incentivo.

Aos professores do IBILCE - UNESP, que me mostraram a beleza do

mundo matemático.

Ao amigo Castilho que digitou este trabalho como se fosse próprio.

Aos amigos da graduação, da pós-graduação, que tanto me estimularam,

e me ajudaram a galgar todos os obstáculos até aqui.

À CAPES pelo apoio financeiro.

Page 4: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr
Page 5: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr

Resumo

Estamos interessados na equação integro-diferencial:

-1/2 ±(t) = —2a[1. -I- x(t)11 1 x(t -i- 0)dO, a > O. (E) -

Nosso objetivo é estudar as soluções periódicas de (E), que estão

associadas aos pontos fixos de uma aplicação de retorno A sobre um

conjunto fechado convexo do espaço de fase.

Nós usamos um Teorema de R. Nussbaum para obter a existência de

pontos fixos não triviais de A, quando a varia ao longo de uma sequência.

Page 6: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr
Page 7: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr

Introdução

Em 1978, Chow e Hale [1] estudam a equação integro-diferencial

o 4t) = —a[1 x(t)] B(0)x(t 0)d0, (0.1)

onde a> O e B(0) > O é de classe C1 e semelhante à função delta de Dirac, definida

de modo que B(0) 0, < O < O e AB(0)d0 =1 (ver Figura 0.1). Esta equação

é discutida como um modelo de crescimento de uma espécie. Chow e Hale [1]

afirmam que as hipóteses do Teorema 2.2 [2], pag 249, atribuído a R. Nussbaum

podem ser verificadas para a equação acima a fim de se obter uma solução periódica

não constante.

Inspirados nessa equação e nas afirmações de Chow e Hale, nos detemos

em estudar a equação integro-diferencial:

-1/2 ±(t) = —2a[1 x(t)]

1-1 x(t -F 0)d0, a> 0, (0.2)

que é uma equação diferencial funcional com retardamento obtida a partir de (0.1)

tomando B(0), de acordo com a Figura 0.1, definida por:

Bm.{ 20 se — 1 < O < se < O < O

Por razões técnicas restringimos nosso estudo ao caso em que a pertence a

um subconjunto enumerável da reta.

1

Page 8: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr

2

1

A

> -1 -1/2 Figura 0.1:

Neste trabalho mostramos a existência de uma solução periódica não cons-

tante, usando um princípio de ponto fixo ejetivo para um operador de retorno.

O trabalho é apresentado em dois capítulos. No primeiro citamos alguns

resultados básicos para o seu desenvolvimento, definimos equação diferencial funcio-

nal com retardamento e apresentamos alguns resultados sobre existência, unicidade

e dependência contínua das soluções em relação às condições iniciais. Mostramos a

existência de soluções para a equação específica. Definimos ponto ejetivo e enuncia-

mos o Teorema de Nussbaum e um lema que dá uma condição suficiente para um

ponto ser ejetivo.

No segundo capítulo, verificamos que a equação específica satisfaz as hi-

póteses do Teorema de Nussbaum e assim, concluimos a existência de uma solução

periódica não constante.

Uma questão que naturalmente se formula a partir do presente trabalho é

a de estender o conjunto onde o parâmetro a varia.

Page 9: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr

Capítulo 1

Preliminares

Apresentamos neste capítulo alguns resultados básicos que serão usados

no decorrer do trabalho. As demonstrações podem ser encontradas na bibliografia

indicada.

1.1 Equação Diferencial Funcional com Retardamento

Consideremos r > O um número real dado, o espaço vetorial n-dimensional

Rn sobre os reais com norma euclidiana I • C([a,b],Rn), o espaço de Banach das

aplicações : [a, b] Rn contínuas, munido da norma do supremo.

Seja [a, b] = [—r,0], e C = C([—r, 0], Rn), onde a norma de um elemento

OECe dada por:

11011 == SUP 1 0(°) 1 • —r<0<0

Definição 1.1.1 Sejamr E R, A>0 ex E C([-r—r,r-FA],Rn). Para cada

t E [T, T + A], definimos a função xt E C por:

x(0) = x(t -F O),

3

Page 10: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr

onde —r < O < O.

Definição 1.1.2 Sejam D CRxC, f : D —› R uma função, com "-"representando

a derivada à direita. A equação

±(t) = f (t, xt ) (1.1)

é dita uma equação diferencial funcional com retardamento sobre D e será denotada

por EDFR. Se desejarmos enfatizar que a equação é definida por f, escrevemos

EDFR(f).

A equação (1.1) inclui como caso particular as equações diferenciais or-

dinárias, basta para isto tomar r = O.

Exemplo 1.1.1 A equação integro-diferencial

o i(t) g (t , O, x(t 0))dO

é uma EDFR. Neste caso, f(t,O) = f24(1,0,0(0))d0 para (t, 0) E R x C.

Definição 1.1.3 Se existe r ER eA >O tal que x E C([r — r,r A),Rn),

(t,xt ) E D e x(t) satisfaz a equação (1.1) para t E [r,r + A), diz-se que x é solução

da equação (1.1).

Definição 1.1.4 Dado 7" E R, E C, dizemos que x(r,O, f) é solução da equação

(1.1) com valor inicial em r se:

( i) Existe A > O tal que x(r,O, f) é solução da equação (1.1) sobre [r — r,r A),

(II) x.,(7,46 ,n= 95.

Page 11: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr
Page 12: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr
Page 13: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr

continuação ( à direita) de x, se existe b> a, tal que está definida em [r — r,b),

coincide com x em [r — r,a) e satisfaz a equação (1.1) em [r,b). Dizemos que x,

solução da equação (1.1) em [r,a), é não continuável ( à direita) se não existe uma

continuação dela, neste caso o intervalo Ir, a) é dito intervalo maximal de existência

da solução.

O leitor encontra em [2] um estudo bastante geral sobre continuação de

soluções.

1.2 Existência e Unicidade de Solução para a Equação (0.2)

Esta equação é dada por:

i(t) = —2(41 + x(t)] 1J- x(t + 0)0, c> 0.

Dado (A E C = C ([-1,0], R), vamos mostrar que (0.2) admite uma única

solução x(t) para t > —1, tal que xo = 0. Façamos a seguinte mudança de variável:

e"(t) = 1 + x(t), (1.3)

assim x(t) > —1 para t > —1. Além disso,

±(t) = e 0(i) •

Por outro lado, de acordo com (0.2),

(t) = —24:•xew(i) f-1/2[e.(t+e) _ 11d0. -1

Page 14: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr

Igualando os dois membros, ternos que:

th(t) = 2a f-1/2[1 — ew(i+91d0. -1 (1.4)

Dado t/) E C, verifiquemos que a equação (1.4) admite uma única solução

que a satisfaz para i > O, com wo = 0. Para t E [0,1/2]

-1/2 = 2ot ./ [1 — e'l)(1+eld0.

Como o segundo membro é uma função contínua de t, w(t) é determinado

por quadratura em [O, 1/2]. Para t E [1/2,1], w(t) é determinado de modo análogo

usando wii2(0) = w(1/2 O), —1 < O < O, obtemos w sobre [-1, co). Consequente-

mente, obtemos x sobre [-1, oo).

1.3 Um teorema de Periodicidade

A seguir enunciamos um resultado de Nussbaum, que nos garante a existên-

cia de um ponto fixo de uma aplicação A distinto de um ponto prefixado, denominado

ejetivo.

Definição 1.3.1 Seja K um conjunto convexo. Um ponto xo E K é um ponto

extremo de K se não existem pontos distintos x1 ,x2 EK etE (0,1) de modo que

xo = tsi + (1— t)x2 .Geometricamente, xo é extremo se ele não é interior de nenhum

segmento contido em K.

Exemplo 1.3.1 Consideremos K um quadrado. Então os vértices do quadrado

serão os pontos extremos de K.

Page 15: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr
Page 16: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr
Page 17: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr

Para cada autovalor A, o espaço de fase C é decomposto como soma direta,

C = P.xEDQÀ, onde 13), e QA são invariantes sob o operador solução da equação (1.6),

T(t), t > O, dado por T(t)r¢ = yt(-, O), 4) E C, e 7r), o operador projeção sobre

definido por essa decomposição.

Lema 1.3.1 Suponhamos que as seguintes condições estejam satisfeitas:

( i) Há um autovalor A da equação ( 1.6) com Re(A) > O.

(ii) Há um subconjunto convexo fechado K de C, O E K, e uma função contínua

: K — {0} [p,co), p > O, tal que a aplicação A: K --+ C dada por:

0), E /0( -{O} (1.7)

é completamente contínua e AI C K.

(iii) inf{I17r), xt li xt = xt( ., 0), (i) E K, 11411 O 5t r(0)} > O

(iv) Se G é um subconjunto aberto de Rn, O E G, existe uma vizinhança V de O

em C tal que x(t,O) E G, para qualquer OE Vn K,0 O, e O < t < r(0).

Então, O é um ponto ejetivo de A. ( ver [3] )

11

Page 18: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr

Capítulo 2

Existência de uma Solução Periódica não Constante

Utilizando o Teorema 1.3.2 mostramos que (0.2) admite uma solução

periódica não constante. Para que esta solução não seja trivial necessitamos de

que o ponto fixo de A não seja o zero. Nosso argumento baseia-se em que o zero é

um ponto ejetivo de A em K, o Lema 1.3.1 dá as condições necessárias para isso.

Primeiro enunciamos alguns fatos importantes, mostramos que as condições do

Lema 1.3.1 estão satisfeitas e desta forma, o zero é ponto ejetivo.

2.1 Fatos Importantes

O subconjunto fechado e convexo de C = C([-1, 0], R), K = {0 E C

0(-1) > 0, 0(0) é não decrescente em [-1,-1/2], MO é não crescente em [-1/2,0],

0(0) > e(ea-1)[0(-1/2) + 1] — 1} desempenha um papel importante no

desenvolvimento do trabalho.

Definição 2.1.1 Dizemos que os zeros de x(t) são limitados se x(t) tem somente

um número finito de zeros positivos.

12

Page 19: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr
Page 20: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr
Page 21: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr
Page 22: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr

a qual nos leva à equação característica da equação (2.2), dada por:

À2 2a (e-À/2 — e-À) = 0, A 0. (2.3)

Lema 2.2.1 Se a assume valores ao longo da sequência:

,, 2,0a. an sen(an) — eani2sen(an/2)

onde 7r + 2727r < a, <'12-; + 2n7r, n = 0,1,2,... é univocamente determinado, então

An = an ia n é uma raiz característica de (2.3).

Prova: Seja equação (2.3) com a> O fazendo À0 = ao + aoi, ao 0, temos que:

( (ao —(a°2+a0i)

I- aoi)2 + 2a e _... e—(a0-1-a0i) = o.

Separando a parte real da imaginária, temos que:

1

2ae-a°/2 cos(?) — 2ae-a0 cos(a0) = O

—2ae-a0/2sen(a2a) + 2ae-a°sen(a0) = —2a02

Multiplicando o sistema por ea°, temos que:

{ cos(ao) — ea°/2 cos() = O

sen(ao) — ea0/2sen(1-) = a

As equações do sistema (2.4) podem ser escritas como produto escalar:

(cos(a0), cos(--a0 )) • (1, —ea0 /2) = O 2 (sen(a0), sen( —a° )) • (1, —ea(32) =

ao2ea, 2 a

Observe que o vetor (cos(a0),cos(a,12)) deve ser ortogonal ao vetor (1, _e0/2) e que

ao também deve satisfazer a equação (2.6).

(2.4)

(2.5)

(2.6)

16

Page 23: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr
Page 24: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr

(1, —ea°/2). Portanto, 7r < ao < 11-3T . Verifiquemos que existe um único ao

nessas condições. Para ao = 7r, temos que: (cos(a0), cos(ao/2))• (1, —e00/2) < O.

Para ao = -̀ temos que: (cos(a0), cos(a0/2)) • (1, —e"/2) > O. Além disso,

a derivada da função F(a0) = cos(ao) — e"Pcos(a0/2) é positiva no intervalo

17r, 4-ti, assim, F é crescente neste intervalo. Portanto, existe um único ao,

7r < ao < :1-7-3' que satisfaz a equação (2.5).

4o Caso Quando < ao <27r não satisfaz a equação (2.5), pois os dois vetores

estão no interior do mesmo quadrante.

Para 7r <a0 < 4fr satisfaz a equação (2.6), para algum a = ao positivo, dado

por: ao2 eao

ao = sen(a0) — ea0/2sen(a0/2)

Analogamente concluimos que: 3!an , 7r + 2n7r < a, < + 2n7r, n = O, 1, 2, . . onde:

a n 2ean

= sen(an) — eani2sen(an/2)

fica univocamente determinado de modo que AT, = an+ian seja raiz da equação

característica (2.3).

Observação 2.2.1 É uma simples, embora extensa, rotina de cálculo, verificar que

a >1, n = 0,1, 2,...

2.3 O Operador de Retorno A

Vamos construir um operador de retorno A: Kc, —)C, onde K. é definido

na secção 2.1,seguindo a órbita a partir de E Is, até o instante em que ela retorna

18

Page 25: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr

a K. Pelo Lema 2.1.1, temos que: se 0(0) > -1 e a> 1 os zeros de x(t) não são

limitados. Com an > 1, (k E Ka, O, definimos:

NO). min{t > O 1 t é um zero com i(t) > O)

r1(0) = { o primeiro ponto de máximo relativo > NO».

Sejam T = r(0) = '7-1(0) + 1/2 e

=Aç5 (I) E Ka - {0} O, =o.

Lema 2.3.1 A função 7- : Ka - {0} [p,00), p> O, definida acima, é contínua e

a aplicação A: K. --> C dada por:

{ x,(0)(', 0), 45 E K. - {O} O, ç5=O

é completamente contínua e AKa C Ka.

Prova: Argumentos típicos de continuidade em relação às condições iniciais

levam a continuidade da r.

Para mostrarmos que Alça C Ka, precisamos primeiramente mostrar que

sendo f- um ponto de máximo relativo e h = x(f), então:

x(f- + 1/2) > e a-1)[x(f-) + 1] - 1,

com a > O. Seja -1/2

= -2a[1 x(t)]f 1 x(t 4- C)dO

- e façamos algumas majorações. Tomando f- < t < + 1/2, temos que:

1 x(t 0)d0 < x(t -112)d0 = -x(t - 1/2)

J-1 -1 2

19

Page 26: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr
Page 27: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr
Page 28: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr
Page 29: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr
Page 30: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr
Page 31: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr
Page 32: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr
Page 33: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr
Page 34: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr
Page 35: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr
Page 36: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr

Por outro lado, I Ax 1 < L se x E Koi, isto é , I Ax 1< L < M. Desta forma

M >1 Ax 1> M ( Absurdo). Portanto, existe M > O tal que Ax = Ax, para todo

x E K. n Sm(0) implica que A < 1. o

Desta maneira, temos que A tem um ponto fixo em .1‘,„ n Bm — {O} e

portanto a equação (0.2) tem uma solução periódica não constante.

30

Page 37: UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO … · UM RESULTADO DE PERIODICIDADE PARA UMA EQUAÇÃO INTEGRO-DIFERENCIAL Rosana Sueli da Motta Jafelice Orientação: Prof. Dr