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Uma interação significante pode mascarar a significância dos efeitos principais.
Visualização da não-Interação:
2.3 Experimentos Fatoriais 22 Efeitos das Interações
+
-
50B+
10
B+ B+
B- B-
Experimento Fatorial sem interação
Fator A
Resp
osta
Visualização da Interação:
2.3 Experimentos Fatoriais 22 Efeitos das Interações
+
-
50B+
10
B+ B-
B- B+
Experimento Fatorial com interação
Fator A
Resp
osta
Uma alternativa ao planejamento fatorial (infelizmente) usada na prática, é a mudança de fatores, um de cada vez, em vez de variá-los simultaneamente.
2.3 Experimentos Fatoriais 22 Efeitos das Interações
Exemplo: um engenheiro está interessado em achar a temperatura e o tempo que maximizem a produção.
Fixamos a temperatura em 155ºF (nível de operação corrente) e realizamos 5 rodadas em níveis diferentes de tempo (0,5h; 1h; 1,5h; 2h; 2,5h).
Veja os resultados:
2.3 Experimentos Fatoriais 22 Efeitos das Interações
Esta figura indica que a produção máxima é alcançada por volta de 1,7h de tempo de reação.
Para otimizar a temperatura, o engenheiro fixa o tempo em 1,7h (o ótimo aparente) e realiza 5 rodadas em diferentes temperaturas: 140ºF, 150ºF, 160º, 170º e 180ºF.
2.3 Experimentos Fatoriais 22 Efeitos das Interações
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
80
50
Tempo (horas)
Prod
ução
(%)
Os resultados das rodadas estão na figura a seguir. A produção máxima ocorre em 155ºF (aprox.). Concluiríamos que executar o processo em 155ºF e
1,7h é o melhor conjunto de condições de operação.
2.3 Experimentos Fatoriais 22 Efeitos das Interações
140 150 160 170 180
80
50
Temperatura (ºF)
Prod
ução
(%)
O gráfico a seguir mostra o contorno da produção como função da temperatura e do tempo, com o experimento um-fator-de-cada-vez mostrado nos contornos.
2.3 Experimentos Fatoriais 22 Efeitos das Interações
2.3 Experimentos Fatoriais 22 Efeitos das Interações
60%
70%
90%
80%
95%
Tem
pera
tura
(º
F)
Tempo (h)0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
140
15
0
160
17
0
180
19
0
200
Claramente, o planejamento um-fator-de-cada-vez falhou aqui: o verdadeiro ótimo está, no mínimo, vinte pontos de produção acima e ocorre um tempo de reação muito mais baixo e em temperatura mais alta.
2.3 Experimentos Fatoriais 22 Efeitos das Interações
O fracasso em determinar tempos mais curtos de reação é particularmente importante pois poderia ter impacto significativo sobre o volume ou capacidade de produção, sobre o planejamento da produção, sobre o custo de produção e sobre a produtividade total.
2.3 Experimentos Fatoriais 22 Efeitos das Interações
O método um-fator-de-cada-vez falhou aqui porque deixou de detectar a interação entre a temperatura e o tempo.
Experimentos fatoriais são o único caminho para detectar interações.
O método um-de-cada-vez é ineficaz: ele exigirá mais experimentações que um fatorial e não há certeza que produzirá os resultados corretos.
2.3 Experimentos Fatoriais 22 Efeitos das Interações
As somas de quadrados dos efeitos principais são das pelas expressões:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Observações de um experimento fatorial de dois fatores podem ser descritas pelo modelo:
𝑦𝑖𝑗𝑘 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝛽𝑗 +ሺ𝜏𝛽ሻ𝑖𝑗 + 𝜀𝑖𝑗𝑘
𝑦𝑖𝑗𝑘 : observação na ij-ésima cela, na k-ésima repetição
𝜇 : efeito médio geral
𝜏𝑖:𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝐴
𝛽𝑗: efeito do j-ésimo nível do fator B
ሺ𝜏𝛽ሻ𝑖𝑗:𝑒𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐴 𝑒 𝐵
𝜀𝑖𝑗𝑘 :𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑁𝐼𝐷,𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑖𝑥𝑎𝑑𝑎
Fator B 1 2 ... b
1 y111, y112, ...,y11n y121, y122, ...,y12n ... y1b1, y1b2, ...,y1bn
2 y211, y212, ...,y21n y221, y222, ...,y22n ... y2b1, y2b2, ...,y2bn
... ... ... ... ....
a ya11, ya12, ...,ya1n ya21, ya22, ...,ya2n ... yab1, yab2, ...,yabn
Fator A
𝑦𝑖..:é 𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝐴
𝑦.𝑗.:é 𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑗− é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝐵
𝑦𝑖𝑗.:é 𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎𝑠 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠 𝑛𝑎 𝑖𝑗− é𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑦...:é 𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠
A soma dos quadrados do efeito da interação:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
A Soma de Quadrados Total é:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
As Somas de Quadrados dos Erros
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Neste caso temos experimentos fatoriais 22. Fazendo a = b = 2 temos:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Para experimentos fatoriais 22, temos:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Temos, então, a Tabela ANOVA:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Fonte de Variação Soma de Quadrados Graus de Liberdade Quadrados Médios Estatística F
A SQA a - 1
B SQB b - 1
AB SQAB (a - 1) (b - 1)
Erro SQE ab (r - 1)
Total SQT abr - 1
Retomando o Exemplo da reação Química, temos a Tabela ANOVA para verificação dos efeitos dos fatores e se a interação entre eles são significativos (r=3):
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Fonte G. L. Soma Quad
Quadrado Médio Estat. F P-valor
A 1 787,32 787,32 129,28 0B 1 182,52 182,52 29,97 0,0006AB 1 12 12 1,97 0,198Resíduos 8 48,72 6,09 Total 1030,56 11
Temos: Fobs = 129,28 > F(0,95; 1; 8) = 5,32. Então o fator A é significativo.
Para o fator B: Fobs = 29,97 > F(0,95; 1; 8) = 5,32. Então o fator B também é significativo.
Como F_AB < F(0,95; 1; 8) a interação não é significativa (como já podíamos observar no Gráfico das Interações (slide 34)
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Estudo das mudanças quando passamos de um nível para outro:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Logo, a melhor configuração para se obter menor tempo de reação é
A_ e B+
Concentração de 10% e temperatura em 90oC
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Pode-se propor um modelo da forma:
onde:
é a média geral da resposta
assume valor -1 ou 1 (dependendo do nível do fator A
assume valor -1 ou 1 (dependendo do nível do fator B
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
O método dos mínimos quadrados é o mais utilizado para estimar os parâmetros do modelo de regressão linear múltiplo.
Suponha que temos n > k observações (k+1 o número de parâmetros). Os dados são dispostos na forma:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Y X1 X1 ... X1
Y1 X11 X12 ... X1k
Y2 X21 X22 ... X2k
... ... ... ... ...
Yn Xn1 Xn2 ... Xnk
Hipóteses: ε é uma variável aleatória tal que: E[ε] = 0 e Var[ε] = σ2
Considere o modelo,
para todo i = 1, 2, ..., n.Também supõe-se que os erros experimentais i não são correlacionados.
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Pode-se escrever o modelo de regressão na forma matricial.
Y = Xβ+ε onde Y = (Y1, Y2,...,Yn)´, β = (β0, β1,..., βn)´, ε = (ε1, ε2,..., εn)´Matriz X é definida:
X =
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
1 X11 X12 ... X1k
1 X21 X22 ... X2k
... ... ... ... ...
1 Xn1 Xn2 ... Xnk
Os estimadores que minimizam o erro quadrático são dados pelas expressões:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Aqui foram aplicadas as propriedades da transposição de uma matriz, a saber: (Xβ)´= β´X´ e como β´X´Y é um escalar (um número real), ele é igual a sua transposição Y´X β
Calculamos as derivadas de E em relação a β e igualamos a zero:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Ficamos com a equação:
Pré-multiplicando ambos os lados pela inversa de X´X:
Substituindo β por e escrevendo , resolvemos a equação encontramos:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
O modelo ajustado é definido por
Ou, em notação escalar:
A diferença entre a observação e o valor ajustado é denominado resíduo.
Vetor de resíduos:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Um experimento fatorial 22 pode ser representado como:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Y I X1 X2 X1*X2
0 1 -1 -1 +1
a 1 +1 -1 -1
b 1 -1 +1 -1
ab 1 +1 +1 +1
O modelo, na forma matricial, fica: Y = Xβ+ε
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Escrevemos o modelo na forma matricial:2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Temos, então:2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Os estimadores correspondem ao efeito do fator A, de B e da interação AB divididos por 2.
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Considere os dados abaixo. Calcular os coeficientes do modelo.
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
A B AB Y1 Y2 Y3 Tratamento-1 -1 +1 28 25 27 26,67 (0)+1 -1 -1 36 32 32 33,33 a-1 +1 -1 18 19 23 20,00 b+1 +1 +1 31 30 29 30,00 ab
Média geral:
Efeito de A:
Efeito de B:
Efeito de AB:
Modelo ajustado:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Temos:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Logo, é um estimador não-viciado para o parâmero β. A matriz de covariância do estimador β é dada por:
Substituímos na expressão acima.
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Então:
• Por definição:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Para desenvolvermos um estimador para este parâmetros, considere a soma de quadrados dos redíduos.
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Substituindo :
Como obtemos:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Pode-se mostrar que esta soma de quadrados apresente n – k – 1 graus de liberdade, pois
Então, um estimador não viciado para é definido por
As hipóteses são:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
A estatística de teste é dada por:
Onde é um elemento da diagonal da matriz
correspondente a .
O critério do teste é:
Rejeitamos H0 se
Caso contrário não rejeitamos a hipótese nula.
O p-valor é dado por
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Com os dados já apresentados, a) Obter as estimativas dosparâmetros do modelo; b) Fazer testes de hipóteses para analisar a significância dos parâmetros.
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Tratamento A B Y1 Y2 Y3
(0) -1 -1 26,6 (1) 22,0 (7) 22,8 (10) 23,8
(a) +1 -1 40,9 (4) 36,4 (9) 36,7 (12) 38
(b) -1 +1 11,8 (3) 15,9 (8) 14,3 (11) 14
(ab) +1 +1 34,0 (2) 29,0 (5) 33,6 (6) 32,2
Forma matricial do modelo: Y = Xβ+ε2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
(A) (B) (AB)
Podemos estimar β fazendo2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Temos:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Então:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Temos, então que:
Os efeitos dos fatores e da interação já foram vistos no Exemplo e são: A = 16,2 e B = -7, 8 e AB = 2
Disto podemos obter os efeitos dos fatores e interação: A = 16,2 e B = -7,8 e AB = 2
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
O modelo ajustado é:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Onde Xi assume valor -1 ou 1, dependendo do nível do fator AOnde Xj assume valor -1 ou 1, dependendo do nível do fator BXij = XiXj
Testes de significâncias para os parâmetros
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Estatística de teste
Onde é o elemento da matriz correspondente a
A matriz X´X neste caso é dada por 2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Onde
Assim,
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Calcula-se os valores das estatísticas para os parâmetros do modelo
Para Para
Para
Construindo uma Tabela com os valores acima e os p-valores:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
Termo Efeito Coeficiente da Regressão
Desvio Padrão T p-valor
Média Geral 27 0,07124 37,9 0
A 16,2 8,1 0,07124 11,37 0
B -7,8 -3,9 0,07124 -5,47 0,0005
A*B 2 1 0,07124 1,4 0,198
Rejeita-se H0 se
O valor de
para
Portanto os fatores A, B são significativos e a interação AB não é.
Para obter o menor tempo de reação escolhe-se os níveis A_B+
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA