Elisa Ferreira Medeiros
Uma introduo ao estudo dasEquaes Diferenciais Parciais
usando o modelo de Euler-Bernoulli para avibrao transversal de uma barra flexvel
Rio Grande
2016
Elisa Ferreira Medeiros
Uma introduo ao estudo dasEquaes Diferenciais Parciais
usando o modelo de Euler-Bernoulli para a vibraotransversal de uma barra flexvel
Trabalho submetido por Elisa Ferreira Medei-ros como requisito parcial para concluso docurso de Licenciatura em Matemtica juntoao Instituto de Matemtica, Estatstica e F-sica da Universidade Federal do Rio Grande.
Universidade Federal do Rio Grande FURG
Instituto de Matemtica, Estatstica e Fsica
Curso de Matemtica Licenciatura
Orientador: Dr. Leandro Sebben Bellicanta
Rio Grande2016
Ficha catalogrfica
M488i Medeiros, Elisa Ferreira. Uma introduo ao estudo das Equaes Diferenciais Parciais usando o modelo de Euler-Bernoulli para vibrao transversal de uma barra flexvel / Elisa Ferreira Medeiros. 2016. 57 f. Trabalho de Concluso de Curso (graduao) Universidade Federal do Rio Grande FURG, Graduao em Matemtica Licenciatura, Rio Grande/RS, 2016. Orientador: Dr. Leandro Sebben Bellicanta. 1. Equaes Diferenciais Parciais 2. Teoria da Aprendizagem Significativa 3. Modelo de Euler-Bernoulli I. Bellicanta, Leandro Sebben II. Ttulo.
CDU 517.9
Catalogao na Fonte: Bibliotecrio Me. Joo Paulo Borges da Silveira CRB 10/2130
Agradecimentos
Agradeo a Deus por guiar meu caminho e dar a fora que preciso para nuncadesistir.
Agradeo minha me Maria Helena Ferreira Medeiros por acreditar em mim enos meus sonhos, por me amar incondicionalmente e por ser minha grande inspirao.
Agradeo minha av Vilma Antonia Ferreira Medeiros por compartilhar da suaf comigo e por sua torcida infinita.
Agradeo aos meus familiares por todo o apoio e pacincia nas horas das minhasangstias, principalmente ao meu namorado Rafael Borba Neves que acompanhou de pertoessa caminhada e me fortaleceu.
Agradeo aos meus amigos pelas palavras de incentivo e por suportarem minhasincansveis lamentaes dirias.
Agradeo ao meu orientador Leandro Sebben Bellicanta por confiar no meu estudo,por toda a pacincia e compromisso dedicados mim. Por ser um grande exemplo deprofessor.
Agradeo aos professores Celiane Costa Machado e Matheus Jatkoske Lazo poraceitarem o convite para participar da banca de avaliao, alm das sugestes oferecidaspara a melhoria do trabalho.
Agradeo Universidade Federal do Rio Grande pela acolhida e a todos os profes-sores que contriburam para a minha formao ao longo desses anos.
ResumoEste trabalho uma breve introduo s Equaes Diferenciais Parciais, atravs doestudo do modelo de Euler-Bernoulli para as vibraes transversais de uma barra flexveluniforme. No Captulo 1 so apontados alguns fatos histricos relevantes ao surgimento edesenvolvimento das equaes parciais bem como se discute a importncia destas equaesem outras reas do conhecimento. No captulo 2 esto expostos alguns tpicos da teoria deaprendizagem significativa de Ausubel que suporta a nossa metodologia de apresentaodeste assunto relacionada a modelagem matemtica como possvel estratgia de ensino. Ocaptulo 3 apresenta os conceitos bsicos de fsica e matemtica necessrios para entendera modelagem e soluo da equao diferencial parcial de Euler-Bernoulli desenvolvidas nocaptulo seguinte. No final do Captulo 4 pode-se encontrar um exemplo montado comparmetros reais, permitindo simulao numrica e uma interpretao grfica do modelo.
Palavras-chave: Equaes Diferenciais Parciais. Teoria da Aprendizagem Significativa.Modelo de Euler-Bernoulli.
AbstractThis work is a brief introduction to Partial Differential Equations, through the study of theEuler-Bernoulli model for the transverse vibrations of a uniform flexible beam. In Chapter 1are pointed out some historical facts relevant to the emergence and development of partialequations and discusses the importance of these equations in other areas of knowledge.In chapter 2 are exposed some topics of meaningful learning theory of Ausubel whichsupports our presentation methodology of this subject related mathematical modelingas a possible teaching strategy. Chapter 3 presents the basic concepts of physics andmathematics necessary to understand the modeling and solution of Euler-Bernoulli partialdifferential equation that are developed in the next chapter. At the end of Chapter 4 canfind an example made with actual parameters, allowing for numerical simulation and agraphic interpretation of the model.
Keywords: Partial Differential Equations. Significant Learning Theory. Euler-Bernoullimodel.
Lista de smbolos
an constantes
A rea da seo transversal, constante
bn constantes
B constante
C constante
E espao vetorial, mdulo de elasticidade ou modulo de Young
I momento de inrcia de rea
l comprimento
L comprimento da barra, operador linear
M,M(x, t) momento fletor
m massa
O centro de curvatura
t tempo
T (t) uma funo de t
P carga, fora
V, V (x, t) fora de cisalhamento
v vetor
X(x) uma funo de x
w vetor, distncia, deflexo na barra
w(x, t) deslocamento transversal em x com relao t
constante
ij delta de Kronecker
deslocamento angular, ngulo de rotao
constante, curvatura
autovalor
raio de curvatura, densidade de massa
Sumrio
INTRODUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1 JUSTIFICATIVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1 Nota histrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Importncia nos dias de hoje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 ENSINO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1 Aprendizagem Significativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Modelagem Matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Modelagem e Aprendizagem Significativa . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 DEFINIES IMPORTANTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1 Conceitos bsicos de Equaes Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . 233.1.1 Classificaes de equaes diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.2 Linearidade e Princpio da Superposio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1.3 Condies Iniciais e de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.1.4 Produto Interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.5 Funes Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2 Conceitos bsicos de Fsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4 A EQUAO DA BARRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1 Apresentao do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2 Anlise da curva de deflexo da barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.3 Anlise do equilbrio das foras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4 Solues da equao de Euler-Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . 424.4.1 Solues para a funo X(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.4.2 Solues para a funo T (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 CONCLUSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
REFERNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
10
Introduo
Este trabalho surgiu a partir da disciplina de Equaes Diferenciais, obrigatriano curso de Licenciatura em Matemtica. Nas aulas aprendemos as equaes ordinriase algumas de suas aplicaes despertando o interesse principalmente no que diz respeitoa modelagem dos problemas. Para isso, sentimos a necessidade de conhecer as EquaesParciais e as ideias bsicas que as envolvem. A partir desses interesses foi desenvolvido estetrabalho de concluso com o objetivo principal de apresentar os conceitos introdutrios deequaes diferenciais parciais a partir da modelagem de um problema fsico.
O trabalho est dividido em 4 partes. A primeira denominada Justificativa buscamostrar a importncia do estudo das equaes como ferramenta para as cincias con-tribuindo para os seus avanos. Para isso, trazemos um breve relato do surgimento dasequaes diferenciais ao longo da histria baseado principalmente nas ideias de Boyce eDiPrima (1985), Figueiredo (2000) entre outros autores. Consideramos esta abordagemimportante para o leitor a fim de que este compreenda a relao das equaes com asoutras reas como Qumica, Biologia e Fsica principalmente, sendo fundamentais namodelagem dos seus sistemas.
A seguir abordamos a relao do ensino-aprendizagem com as Equaes Diferenciais.Neste bloco a partir da anlise feita acerca da dificuldade dos alunos em clculo econsequentemente na disciplina de equaes buscamos em autores como Oliveira e Igliori(2013), Borssoi (2004) e Bassanezi (2015) alternativas que facilitem esse processo na salade aula. Este trabalho ento baseia-se na teoria de Ausubel (2003) sobre AprendizagemSignificativa e a possvel aproximao desta com a Modelagem Matemtica. Tendo emvista essa abordagem, apresentamos a modelagem segundo a teoria de Euler-Bernoullipara uma barra flexvel resultando em uma equao diferencial parcial de quarta ordem natentativa de proporcionar a aprendizagem sugerida com a representao de um problema.
No terceiro bloco denominado de Definies Importantes apontamos conceitos ini-ciais envolvendo a Matemtica e a Fsica para o desenvolvimento da proposta apresentada.No que tange a matem
