UNI DAD 5 - coordenadas polares 5.1. Ecuaciones cartesianas de curvas planas Ecuaciones cartesianas

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  • UNI DAD 5

    ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES

    Objetivos

  • Geometría analítica

    221

    Introducción

    coordenadas polares

    5.1. Ecuaciones cartesianas de curvas planas

    Ecuaciones cartesianas de las cónicas fundamentales

    Ecuación cartesiana de una circunferencia. La ecuación x2 + y2 = r2 representa una circunferencia con centro en el origen y radio r. Asimismo, si el centro C(h, k) es un punto cualquiera del plano, la ecuación es:

    Ecuación cartesiana de una elipse. Las ecuaciones y

    representan una elipse con centro en el origen. Asimismo, si el centro C(h, k) es un punto cualquiera y sus ejes son paralelos a los coordenados, siendo el eje mayor paralelo al eje Y o al eje X, la ecuación es:

    Ecuación cartesiana de una parábola. La ecuación y2 = 4px representa una parábola con vértice en el origen y concavidad hacia la derecha si p > 0 y de

  • 222

    concavidad hacia la izquierda si p < 0. Análogamente, x2 = 4py representa una parábola de concavidad hacia arriba si p > 0 y de concavidad hacia abajo si p < 0. Por tanto, si el vértice es V(h, k), la ecuación es:

    Ecuación cartesiana de una hipérbola. La ecuación representa

    una hipérbola con centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje de las X.

    Asimismo, representa una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje

    de las Y. Por lo tanto, si el centro C(h, k) es un punto cualquiera, la ecuación de la hiperbola con eje focal paralelo al eje X es:

    La ecuación de la hiperbola con eje paralelo al eje Y es:

    5.2. Ecuaciones paramétricas de curvas planas x y

    parámetro, ecuación paramétrica

    .

    Definición de ecuación paramétrica. Para trazar una curva dada su ecuación, se comienza por expresar una de las variables en función de la otra y se obtienen los puntos P(x, y) que la satisfacen en coordenadas cartesianas. Asimismo, las coordenadas de los puntos P(x, y) de una curva se pueden expresar en función de una tercera variable que usualmente se denota con una letra. Esa tercera variable se llama parámetro y las ecuaciones que conectan las coordenadas con el parámetro se denominan ecuaciones paramétricas.

  • Geometría analítica

    223

    Ecuaciones paramétricas de la circunferencia. O a. M(x, y) NOM

    x = a y = a

    M

    Nx

    Y

    XO

    y

    C(h,k) a ON = x – h = a NM = y – k = a

    x = h+ a , y = k + a

    x

    Y

    X

    O

    y a

    k

    h

    M

    N

  • 224

    Ecuaciones paramétricas de la elipse.

    ecuación paramétrica de la elipse

    a > b

    Ecuaciones paramétricas de la hipérbola.

    a > 0 b >

    Ejemplo 1

    Solución

  • Geometría analítica

    225

    Ecuaciones paramétricas de la cicloide. cicloide

    OX C r, M T

    OX

    M T . M T A,

    r, OT TM = r , .

    .

  • 226

    acortada alargada trocoides.

    x y

    Ejemplo 2

    Solución x, y r y,

    x = r (

  • Geometría analítica

    227

    Ecuaciones paramétricas de la hipocicloide. hipocicloide

    O X

    a b

  • 228

    Ecuaciones paramétricas de la astroide. a b

    A, astroide

    Ejemplo 3

    4

    Solución

    b 4

  • Geometría analítica

    229

    O

    Y

    A

    Ecuaciones paramétricas de la epicicloide. epicicloide

    .

    a b

    O

    Y

    X

  • 230

    Ejercicio 1

    x y

    x y

    5.3. Ecuaciones de curvas planas en coordenadas polares

  • Geometría analítica

    231

    De la relación que existe entre las coordenadas cartesianas y polares se tiene que:

    x y

    Ecuación polar de la circunferencia. 2 2 2

    x y r

    r 2 2r r

    r

    simetría x,y

    x,y x,–y

    Ecuación polar de la parábola. x y

    p

    p

    Ecuación polar de la elipse. 2 2 2 2 2 2

    x y,

  • 232

    a2 2

    2 2 2 2

    2 2

    Ecuación polar de la hipérbola. 2 2 2 2 2 2

    Ejemplo 4

    Solución

  • Geometría analítica

    233

    ‘ ‘ ‘ ‘

    = C C’

    caracol de Pascal OX r

    O, OP a < 2r M M’ caracol de Pascal

    OX O

  • 234

    a < 2r, a = 2r

    cardioide , a > 2r

    rosa de las cuatro ramas. OX, OY

    P OX Q OY O PQ

    M rosa de las cuatro ramas.

    OX O

    a

    a

  • Geometría analítica

    235

    Ejemplo 5

    a

    Solución

    2 2 2 2

    2 x2 + y2

    Y

    X

  • 236

    bruja a , AN

    OS AN N SM NM M

    bruja

    x, y M OQS OAN,

    a =QS = OQ = QA 2

    y

  • Geometría analítica

    237

    , x –x

    x

    y = 0, y = 2a.

    ON

    M M( ON

    2 2

    a

    cisoide a C(a, OA, AT

  • 238

    OS, OM = NS M cisoide

    OPM y NBS OPM y OQN.

    y2

  • Geometría analítica

    239

    y –y x x = 2a

    x = 2a

    M( OS

    T

  • 240

    = OM = NS = OS –ON = OS –ON OS = OA OA = 2a OS = 2a

    ON =OA ON = 2a

    = OS –ON = 2a a = 2a = 2a

    a

    Ejercicio 2

    x2 = 4y

    x2 y2

    r

    r

    r

    Ejercicios resueltos

    Solución t t = y t

  • Geometría analítica

    241

    Solución

    t t t t

    Solución r r

    r r r

    r , x y

  • 242

    Solución y = rx

    x

    x 0 x r,

    y = rx

    5. r

    Solución

    r

    r a =

  • Geometría analítica

    243

    OX

    Solución

    a P(r, ) M P

    r 2

    Solución

    r 2

    r2

    r

    2

    =

  • 244

    lemniscata

    Solución

    = c c

    Solución:

    c

    0 2

    0 0.26 0.52 0.79 1.04 1.3 1.57 1.8 2.1 2.37 2.6 2.86 3.14

    Puntos

    2 3

    2 6

    7 6

    4 3 2

    5 3

    11 36 3 2

    espiral de Arquímedes

  • Geometría analítica

    245

    Observaciones. . ,

    2, 2 2 = + 2 ,

    2 = c( + 2 ; 2 =c + 2c .

    c 2

    c c

    Solución

    c a, p = a a

    – ... –3 –2 –1 0 1 2 3 ...

    0 ... 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 ...

    Puntos ... ...

  • 246

    espiral logarítmica,

  • Geometría analítica

    247

    Autoevaluación

    x y

    2 2 2

    2 2 22

    2 2 y

  • 248

    ?

    y = x x

    r

    r

    r

    r

    r

    r

  • Geometría analítica

    249

    10.

    r

    r

    r

    r

    Ejercicios opcionales

    r

    x y

    x y

    r

    r r

  • Geometría analítica

    251

    Respuestas a los ejercicios

    2 2 2

    r r

    Respuestas a la autoevaluación

    1

    2

  • 252

    Respuestas a los ejercicios opcionales

    y

    y x =