129 Tnia F Bogutchi PUC Minas Reviso 2012 Probabilidade e
Estatstica I Unidade 4: Introduo Inferncia
EstatsticaEssaUnidadeestnocaptulo7,89e10dolivrobase: MONTGOMERY,
Douglas C, RUNGER, George C. Estatstica aplicada
eProbabilidadeparaEngenheiros.4edio.RiodeJaneiro:LTC, 2009.Voc
tambm pode, se preferir, fazer a leitura dos captulos 7, 8 e 9 do
livro do Mario Triola, Introduo Estatstica, LTC,
2005.CpiasdessescaptulospodemserobtidaspormeiodaPastado
Professor(www.pastadoprofessor.com.br),fazendologinnessa pgina e
enviando-as para serem impressas na Copiadora Set (casa
amarela)daUnidadedoCoraoEucarstico,ouemalgumaoutra copiadora da
Unidade a que o aluno pertence. No deixem de ler! Nota
importante:Essas aulas foram produzidos por meio de coletnea dos
textos indicados na bibliografia. No so citadas diretamente para no
poluir o visual dos mesmos. Os textos esto organizados e traduzidos
para minha linguagem didtica pessoal.
Umestudomaisaprofundadodeverserbaseadonas referncias bibliogrficas
indicadas. Algumas notas de aulas: Introduo
Falamosanteriormentequeconhecerotipodeumavarivelaleatrianecessrioparaa
escolha adequada das tcnicas estatsticas. Vamos lidar agora, com as
informaes geradas por elas! 1. ESTIMAO
Ointeressenumdeterminadoparmetrodeumapopulao,lanamosmodeumaamostra
extradadessapopulao,estudamosseuselementoseprocuramos,atravsdessaamostra,
estimar o parmetro populacional. Uma estatstica desse tipo chamada
de estimador. Temos dois tipos de estimador:
1.PONTUAL:procurafixarumvalornumriconicoqueestejasatisfatoriamente
prximo do verdadeiro valor do parmetro
2.INTERVALAR:procuradeterminarintervaloscomlimitesaleatrios,queabranjamo
valor do parmetro populacional, com margem de segurana
pr-fixada.130 Tnia F Bogutchi PUC Minas Reviso 2012 Probabilidade e
Estatstica I Unidade 4: Introduo Inferncia EstatsticaUm estimador
uma varivel aleatria, podendo assumir valores diferentes para cada
amostra. Para caracteriz-lo preciso conhecer sua distribuio de
probabilidade. Distribuio amostral da MDIA
Exemplo1:Umacompanhiaeletrnicafabricaresistoresquetmumaresistnciamdiade
100 ohms e um desvio padro de 10 ohms. A distribuio das resistncias
normal. Considere um lote de 1.000 resistores de sua fabricao.
Podemos observar pelo histograma que esse lote preserva a
distribuio normal
Retirando6diferentesamostrasdetamanhos30dessapopulaoecalculandoamediaeo
desvio-padro para cada uma delas: Varivel N Mdia Desvio-padro
A130100,2510,35 A230100,69 8,48 A330102,07 8,96 A430 97,8611,39
A530 97,3110,01 A630100,92 9,38 Pode-se observar que essas amostras
produzem mdias e desvios-padro diferentes. Ento se for considerado
o conjunto de mdias dessas amostras, obtm-se uma nova varivel
aleatria,
denominadadeMdiaAmostral.Agoraointeresseestemseconheceradistribuiode
probabilidade dessa nova varivel aleatria.
Oprximogrficoapresentaadistribuiodaproduoderesistoresparaamostrasde
tamanhos: 10, 20, 30 e 50 ResistoresFrequencia130 120 110 100 90 80
709080706050403020100Normal Histograma do lote de Resistores131
Tnia F Bogutchi PUC Minas Reviso 2012 Probabilidade e Estatstica I
Unidade 4: Introduo Inferncia Estatstica
Observa-sequeamdiadadistribuioconcentra-seemtornodamdiapopulacional(100
ohms)eodesvio-padrovaidiminuindoemtornodamdia,medidaqueotamanhoda
amostra aumenta (formato da curva vai se alongando medida que o n
aumenta). Genericamente,
ConsidereumaamostradetamanhondeumavarivelaleatriaXcommdia
edesvio-padro, que vamos denotar por X1, X2,..., Xn, e que satisfaa
as seguintes condies: todos os Xis , i=1,2,...,n, so independentes
cada Xi tem a mesma distribuio de probabilidade de X. Uma amostra
com as condies acima chamada de AMOSTRA ALEATRIA. Se X ~ N( , )
ento temos:E(Xi) =e Var(Xi) =2 , para i=1,2,...,n
SedecadaXiforcalculadosuamdiaeelaforarmazenada,entoserobtidaumanova
varivel aleatria, constituda por todas elas, que pode ser denotada
porX . Essa nova varivel aleatria pode ser escrita como: E ter como
mdia (valor esperado): Ou seja, a mdia da varivel aleatriaXser a
mesma da populao X. Analogamente, calculando sua varincia:120 110
100 90 801086420resistores (ohms)FrequenciaMdia=100 ohmsn = 10n =
50n = 30n = 20( )n 2 1X ..... X Xn1X + + + = == + + + =+ + + = + +
+ =nn) ..... (n1)] X ( E ..... ) X ( E ) X ( E [n1) X ..... X X (
En1) X E(n 2 1 n 2 1132 Tnia F Bogutchi PUC Minas Reviso 2012
Probabilidade e Estatstica I Unidade 4: Introduo Inferncia
Estatstica Ouseja,avarinciadavarivelaleatriaX
seravarinciadapopulaoXdiminudapelo fator n, tamanho da amostra.
Desses resultados, podemos concluir: Se X ~ N( , ) entoa Mdia
Amostral ter um distribuio
Issosignificaqueseapopulaofornormalmentedistribudaasamostras,dequalquer
tamanho,tambmterodistribuiodeprobabilidadenormal.Oprximogrficoexemplifica
com as distribuies de amostras de tamanhos 10, 20, 30 e 50
provenientes de uma populao normalmente distribuda:
Agora,seavarivelaleatriaXnoforprovenientedeumadistribuionormalentoa
distribuiodamdiaamostralseraproximadamentenormalquandootamanhodaamostra
for grande. Esse resultado assegurado pelo Teorema Central do
Limite (TCL). Nos prximos grficos podemos observar claramente o
resultado desse teorema: nnn) ... (n1)] X ( Var ... ) X ( Var ) X (
Var [n1) X ... X X ( Varn1) X ( Var2222 2 22n 2 12n 2 12== + + + =
+ + += + + + =|||
\| n, N ~ XPopulao com distribuioN (0;1)X - populaoFrequencia2,4
1,6 0,8 0,0 -0,8 -1,6 -2,49080706050403020100Histograma - Populao
Normal (0,1)Frequencia0,6 0,3 0,0 -0,3 -0,630201000,6 0,3 0,0 -0,3
-0,63020100Mean10 Mean20Mean30 Mean50Histograma Mdia Amostral para
n=10; n=20; n=30 e n=50Populao N(0,1)133 Tnia F Bogutchi PUC Minas
Reviso 2012 Probabilidade e Estatstica I Unidade 4: Introduo
Inferncia Estatstica Populao com distribuio Uniforme U[0,1]X -
populaoFrequencia0,90 0,75 0,60 0,45 0,30 0,15
0,0035302520151050Histograma - Populao U(0,1)Frequencia0,72 0,64
0,56 0,48 0,40 0,3230201000,72 0,64 0,56 0,48 0,40
0,323020100Mean10 Mean20Mean30 Mean50Histograma Media Amostral para
n=10; n=20; n=30 e n=50Populao U[0,1]Populao com distribuio
Uniforme U[0,1]X - populaoFrequencia0,90 0,75 0,60 0,45 0,30 0,15
0,0035302520151050Histograma - Populao U(0,1)Frequencia0,72 0,64
0,56 0,48 0,40 0,3230201000,72 0,64 0,56 0,48 0,40
0,323020100Mean10 Mean20Mean30 Mean50Histograma Media Amostral para
n=10; n=20; n=30 e n=50Populao U[0,1]Populao com distribuio
Binomial (10; 0,15)X - populaoFrequencia6 5 4 3 2 1
0350300250200150100500Populao Binomial (10; 0,15)Frequencia2,2 2,0
1,8 1,6 1,4 1,2 1,0241812602,2 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2
1,024181260Mean10 Mean20Mean30 Mean50Histograma Mdia Amostralpara
n=10; n=20; n=30 e n=50Populao Bin(10; 0,15)Populao com distribuio
Binomial (10; 0,15)X - populaoFrequencia6 5 4 3 2 1
0350300250200150100500Populao Binomial (10; 0,15)Frequencia2,2 2,0
1,8 1,6 1,4 1,2 1,0241812602,2 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2
1,024181260Mean10 Mean20Mean30 Mean50Histograma Mdia Amostralpara
n=10; n=20; n=30 e n=50Populao Bin(10; 0,15)134 Tnia F Bogutchi PUC
Minas Reviso 2012 Probabilidade e Estatstica I Unidade 4: Introduo
Inferncia Estatstica Podemos ento sintetizar esses resultados da
seguinte maneira: Sntese dos resultados do Teorema Central do
Limite
Amdiaamostralpodeserpadronizadadamesmamaneiraqueapopulao,paraefeitode
facilitao do clculo de suas probabilidades por meio dos valores
previamente tabelados: Lembrando apenas que o desvio-padro a ser
utilizado o da Mdia Amostral,X . expo10Frequencia7 6 5 4 3 2 1
0180160140120100806040200Histograma Populao Exponencial (1)Populao
com distribuioExp (1)Frequencia1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6
0,430201001,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,43020100Mean10 Mean20Mean30
Mean50Histograma Mdia Amostral para n=10, n=20, n=30 e n=50Populao
Exp(1)expo10Frequencia7 6 5 4 3 2 1
0180160140120100806040200Histograma Populao Exponencial (1)Populao
com distribuioExp (1)Frequencia1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6
0,430201001,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,43020100Mean10 Mean20Mean30
Mean50Histograma Mdia Amostral para n=10, n=20, n=30 e n=50Populao
Exp(1)Distribuio de XDistribuio deXTamanho da amostra N(, )||
\|nN,qualquer qualquer aproximadamente ||
\|nN,n > 30 ) 1 , 0 ( N ~nXZ =135 Tnia F Bogutchi PUC Minas
Reviso 2012 Probabilidade e Estatstica I Unidade 4: Introduo
Inferncia EstatsticaExemplo
2:Voltandoaoexemplo1,daCompanhiaeletrnica,suponhaquetenhasidolevadaparao
controledequalidade,umaamostrade100resistores.Suponhaqueodesvio-padrode10
ohms conhecido como verdadeiro. (1) Qual a estimativa pontual da
resistncia mdia para os
resistoresdessacompanhia?(2)Determineumintervalosimtricoemtornodamdiaque
concentre 95% dos valores amostrados. Soluo de (1): A estimativa
ser fornecida pela mdia obtida dessa amostra:ohms. Soluo de (2):
Precisam ser encontrados os valores a e b tais que, Que equivalente
sua transformao na Normal padronizada: Lembrando que na distribuio
N(0,1), P (-1,96 < Z < 1,96) = 0,95 Tem-se que za = -1,96 e
zb = 1,96. Logo, e
Dessamaneira,umintervaloemtornodamdiaqueconcentra95%dosvaloresdamdia
amostral de 99,15 a 103,07 ohms. Concluso: nesse exemplo 2 tem-se
que, em uma amostra de 100 resistores a estimativa mdia pontual das
resistncias 101,11 ohms e a intervalar, com 95% de confiana, de
99,15 a 103,07 ohms.
Genericamente,umaestimativaintervalarparaamdiacom100(1-a)%deconfianadada
por: Que pode ser reescrita por: 11 , 101 x = = 95 , 0 ) b X a ( P
= ( ) 95 , 0 z Z z P1001011 , 101 bZ1001011 , 101 aPb a= =||||
\| 0,95 0,9515 , 99 a 96 , 11001011 , 101 aza= == 07 , 103 b 96
, 11001011 , 101 bzb= == =||||
\| 1 znXz P2 2 =|||
\| + 1nz Xnz X P2 2136 Tnia F Bogutchi PUC Minas Reviso 2012
Probabilidade e Estatstica I Unidade 4: Introduo Inferncia
Estatstica Ou seja, o intervalo: um intervalo com 100(1- )% de
confiana para, a mdia populacional. Ou podemos escrev-lo: Em que,,
denominado de o erro mximo provvel ou preciso amostral. Esse o
famoso erro para maisou para menos to difundido em pocas
eleitorais... Mas.... O que quer dizer confiana?
Sabe-sequeparacadaamostradiferenteretiradadeumapopulaopoderserobservado
valoresdiferentesparaamdiaeodesvio-padroeconsequentementeter-se-intervalos
diferentes, pois os limites dos intervalos so aleatrios. No pode-se
afirmar com certeza que o valor estar includo dentro do intervalo,
mas, pode-se dizer que com 100(1- )% de confiana o verdadeiro valor
de pertence ao intervalo.
Issoquerdizerqueseforobservadoumgrandenmerodeamostrasdemesmotamanhoe
paracadaamostraforcalculadoumintervalode95%deconfiana(
=0,05),porexemplo, cerca de 95% dos intervalos contero o verdadeiro
valor de. No exemplo da produo dos resistores,foram retiradas 30
amostras de tamanho 30 cada da
populaode1.000resistoreseparacadaumadelasfoicalculadoointervalode95%de
confianaparaoverdadeirovalordamdiadapopulao,,conformeapresentadono
prximo grfico: |||
\| + nz X ;nz X2 2( ) E X x E x E x +E Ex E x E x +E Enz
E2=DataA30A29A28A27A26A25A24A23A22A21A20A19A18A17A16A15A14A13A12A11A10A9A8A7A6A5A3A2A110810610410210098969492100Intervalos
95% confiana para 30 amostras de tamanho 30I.C. 95% para a mdia137
Tnia F Bogutchi PUC Minas Reviso 2012 Probabilidade e Estatstica I
Unidade 4: Introduo Inferncia EstatsticaObserve que 29 dentre os 30
intervalos, o que corresponde a 96,7% dos intervalos, contiveram o
verdadeiro valor da mdia=100 ohms. Se o nmero de amostras for
aumentado, a proporo de intervalos que contero tender a ficar mais
prxima de 95%. Distribuio amostral de uma proporo Considere uma
amostra de tamanho n de uma varivel aleatria X, representada por
X1, X2, ..., Xn, em que cada Xi ser definida por: Seja p a
probabilidade de sucesso que ser estimada pela proporo amostral de
sucessos
Ouseja,umaproporoamostralnadamaisdoqueumamdiaamostraldeumavarivel
aleatria que assume valores 0s e 1s. Como os Xis so ensaios de
Bernoulli, ento = p e 2 = p(1-p). PeloTeorema Central do Limite,
pode-se escrever: Um intervalo com 100(1- )% de confiana para a
mdia populacional dado por: Se o erro mximo provvel ou preciso
amostral for definido como: Ento o intervalo de 100(1- )% pode ser
escrito:E p )
Exemplo3:(AdaptadodoMontgomery)Emumaamostraaleatriade85mancaisdeeixos
motoresdeautomveis,10tmumarugosidadenoacabamentodesuperfciequeexcedeas
especificaes. Qual a estimativa pontual e a intervalar para a
rugosidade no acabamento dos mancais. Considere o nvel de
significncia de 5% ( =0,05). Soluo: A estimativa pontual : Para o
calculo da estimativa intervalar com 95% de confiana, ser obtido
primeiramente o erro da preciso amostral: =fracasso ocorre se
0,sucesso ocorre se , 1XiXnXnsucessos de nmeropn1 ii= = ==N(0,1)n)
p 1 ( pp p|||
\|+ n) p 1 ( pz p ;n) p 1 ( pz p2 21176 , 08510p = =n) p 1 ( pz
E2=0685 , 085) 1176 , 0 1 ( 1176 , 096 , 1 E =138 Tnia F Bogutchi
PUC Minas Reviso 2012 Probabilidade e Estatstica I Unidade 4:
Introduo Inferncia EstatsticaE a estimativa intervalar ser:0685 , 0
1176 , 0 (0,0491 ; 0,1861)
Issosignifica,quecom95%deconfianapode-sedizerquede4,9%a18,6%doseixosdos
motores tero rugosidade no acabamento da superfcie que excede as
especificaes. 2. TESTE DE HIPTESES Problema ilustrativo:
Exemplo4:Umfabricantederesistoresafirmaquesuasresistnciassonormalmente
distribudas com mdia de 100 ohms e desvio-padro de 10 ohms.
Suspeita-se, entretanto, que a resistncia mdia menor do que o
anunciado. Para decidir se a suspeita sobre a mdia tem
procednciaouno,foiretiradaumaamostraaleatriade25resistnciasefoiconsideradoo
desvio-padro do fabricante como correto. Existem duas hipteses: -
Hiptese nula: H0 (resistncia mdia igual a 100 ohms) - Hiptese
alternativa: H1 ou Ha ( resistncia mdia menor que 100 ohms) Para
decidir qual dessas hipteses verdadeira preciso um critrio para
tomada de deciso: Critrio de deciso baseado na estatstica do teste
que mede a discrepncia entre o que
foiobservadonaamostra(25resistncias)eoqueseriaesperadoseahiptesenulafosse
verdadeira, ou seja, H0 ser julgada. Erro do tipo I:
Aprobabilidadedesecometeresseerrorecebeonomedenveldesignificnciado
teste, sendo usualmente representado pela letra grega . No exemplo:
ErrotipoI:concluirquearesistnciamdiamenorque100ohmsquandona
realidade ela igual a 100 ohms; Erro tipo II: concluir que a
resistncia mdia igual a 100 ohms quando na realidade ela diferente
de 100 ohms
Paraumtamanhodeamostrafixo(dadoscoletados)nopossvelcontrolarosdoiserros
simultaneamente, conforme pode ser observado na figura a seguir:
Deciso incorreta (Erro tipo II)Deciso corretaNo rejeitar
H0(resistncia 100)Deciso corretaDeciso incorreta (Erro tipo
I)Rejeitar H0(resistncia no 100 ohms)H0falsa H0verdadeiraSituao
realDecisoDeciso incorreta (Erro tipo II)Deciso corretaNo rejeitar
H0(resistncia 100)Deciso corretaDeciso incorreta (Erro tipo
I)Rejeitar H0(resistncia no 100 ohms)H0falsa H0verdadeiraSituao
realDeciso139 Tnia F Bogutchi PUC Minas Reviso 2012 Probabilidade e
Estatstica I Unidade 4: Introduo Inferncia Estatstica Por outro
lado,os dois tipos de erro so indesejveis.O erro tipo I
considerado, na maioria dos testes, como o mais grave sendo ento
controlado na anlise dos dados. Ele equivalente a julgar um
assassino e dar o veredicto: inocente. Ou
dizerqueumapessoaestsadia,quandonarealidadeelaestcomumtumormaligno
(cncer).... O erro tipo II pode ser controlado no planejamento do
estudo por meio da determinao de um tamanho de amostra adequado.
Dessa maneira, o erro tipo I ser utilizado no processo de
julgamento de H0 , feito na anlise dos dados.
Paraessejulgamento,precisamosdealgumcritrioparatomadadedeciso.Porexemplo:
fixando=0,05edeterminandoumvalorcrtico,xctalqueaprobabilidadedosvaloresdas
mdias estarem abaixo dela seja de 5%,temos: Como,temos, ou seja, a
probabilidade de uma mdia amostral ser menor que 96,72 ohms de
0,05. Critrio de deciso para julgamento de H0 :
Nesseexemplo,deumapopulaocom=100ohmse =10ohms,fixando =0,05(5%)
obteve-se x0=92,72 ohms tal que para qualquer mdia de uma amostra
com 25 elementos tem-se: Retirando-se uma amostra, cuja mdia x0 ,
pode-se estabelecer o seguinte: 05 , 02100 xZ P ) x X ( Pcc=|||
\| < = = znxzobs0 P(Z > zobs) Bilateral 0100 = ::HH ou
2020> = < =znxzznxzobsobs 2P(Z < -zobs) (pela simetria)
96,72-1,64 0 -2= 0,0596,72-1,64 0 -2= 0,0596,72-1,64 0 -296,72-1,64
0 -296,72-1,64 0 -2= 0,05Desdequeahiptesenulaseja
verdadeira,apenas5%dos resistoresteroresistnciamenor que 96,72
ohms. Seainformaodofabricante incorreta,entoamdiareal
menorque100ohmsea probabilidadedeumamdiade25 resistores ser menor
que 96,72 ohms maior que 5%. Supondoqueamdiade96 ohmssejacorreta,a
probabilidadedeseobteruma amostrademdiamenorque 96,72 ohms 64,06%.
96,72 0,640696,72 96,72 0,6406142 Tnia F Bogutchi PUC Minas Reviso
2012 Probabilidade e Estatstica I Unidade 4: Introduo Inferncia
EstatsticaOp-valorouprobabilidadedesignificnciaaprobabilidadedoerrocometidoaorejeitarH0
sendo H0 verdadeira e calculado com base nos dados observados sendo
maior ou menor que o nvel tolervel Se essa probabilidade (p-valor)
menor do que , decide-se por rejeitar H0. Se essa probabilidade
(p-valor) maior do que , decide-se por no rejeitar H0. Exemplo 5:
Um mancal usado em uma aplicao automotiva deve ter um dimetro
nominal de 38,01 mm. Sabe-se que o dimetro do mancal normalmente
distribudo com desvio-padro de
0,254mm.Foiselecionadaumaamostraaleatriade36mancaiseodimetrointernomdio
desses mancais de 37,97 mm. Verifique, ao nvel de 5% de
significncia, se esses dimetros diferem do valor nominal exigido.
Soluo: As hipteses de interesse so:
ondeoverdadeirovalordosdimetrose 0
ovalornominalespecificadopelaindstria automobilstica (38,01 mm) A
estatstica de teste Para= 0,05 rejeita-se H0 se |zobs| > z0,025
= 1,96. Como |zobs| = 0,95 < 1,96- a evidncia a no rejeio de H0.
Conclui-se ento que os mancais esto com os dimetros dentro da
especificao. O p-valor P(|z| > 0,95) = 2 x 0,171056 = 0,342
>> 0,05 A probabilidade observadado erro tipo I de34,2%bem
maior que 5% confirmando que as evidncias indicam que H0 no falsa
mm 01 , 38 : Hmm 8,01 3 : H1o = 95 , 036254 , 001 , 38 97 , 37zobs
=0,025 0,0250,17106 0,171060,025 0,0250,17106 0,17106143 Tnia F
Bogutchi PUC Minas Reviso 2012 Probabilidade e Estatstica I Unidade
4: Introduo Inferncia EstatsticaUm intervalo de 95% de confiana
para o dimetro dos mancais : Observe que o valor de 0 = 38,01
pertence ao intervalo de confiana obtido!
Equivalnciaentretestesdehipteses(bicaudaloubilateral)eintervalosde
confiana Nesse exemplo, tem-se as hipteses: Se o valor de 0
pertencer ao intervalo de confiana, no existem evidncias para
rejeitar H0 ao nvel de significncia . Se o valor 0de no pertencer
ao intervalo de confiana, existem evidncias para rejeitar H0 ao
nvel de significncia . Nesse caso, o intervalo com 95% de confiana
confirma a concluso do teste efetuado. Testes de hipteses para uma
proporo Vimos que para testar0 0: H = , quando as amostras so
grandes, a estatstica do teste
Comoumaproporopodeserconsideradacomoumamdia,aestatsticadotestepara
0 0p p : H = A sntese do teste Z para uma proporo [ ] 38,053 ; 887
, 37 [ ] 083 , 0 97 , 3736254 , 096 , 1 97 , 37 = =((
38,01 : H38,01 : H0 10 o= = = ) X ( dpXZ0 =np pp pp dpp pzobs)
() (0 00001 ==144 Tnia F Bogutchi PUC Minas Reviso 2012
Probabilidade e Estatstica I Unidade 4: Introduo Inferncia
EstatsticaTesteHiptesesRejeitar Ho sep-valor = Unilateral esquerda
0100p p Hp p H= znp pp pzobs) (0 001 P(Z > zobs) Bilateral 0100p
p Hp p H=:: 1ou
120 0020 00>=
240Obs.:H0estsignificando,narealidade,queaquantidadedelcoolmenorouiguala240
ml/litro, ou seja, a gasolina no adulterada. Para verificarmos qual
dessas hipteses a verdadeira, o teste a ser aplicado o Z. Como o
teste unilateral, o valor crtico de Z, com 95% de confiana ser: zc
= z0,05 = 1,64 Isso significa que P(Z > 1,64) = 0,05, que a
probabilidade do erro tipo I ou a probabilidade
mximaaceitaaotomaradecisoderejeitarmosH0(afirmarqueelafalsa),quandona
realidade ela verdadeira. O teste baseia-se na comparao da
estatstica do teste observada com esse valor crtico Comozobs zobs),
pois o teste unilateral (ou unicaudal). Ento, P(Z > zobs) = P(Z
> 1,50) = P(Z < -1,50) = 0,066807(~6,7%) Ou seja, p-valor =
0,067 > 0,05 confirmando a indicao de no rejeio de H0. 2)Um
fabricante de lmpadas garante que a vida mdia de um determinado
tipo de lmpada 1.600 horas. Se uma amostra ao acaso com 100 lmpadas
tiver uma vida mdia de 1.570
horas,voctemevidnciasuficientepararejeitaraalegaodofabricante,usando=
0,02?Suponhaqueapopulaosejanormalmentedistribudacomumdesviopadrode
120 horas. Soluo: Seja:X: tempo de durao da lmpada, em horas. X ~
N(1.570; 120) foi estimada pela amostra: n = 100 H0 : = 1.600vs H1:
1.600 = 0,02 Calculando a estatstica do teste: Zobs = -2,50 <
z0,01=-2,32 a indicao de rejeio da hiptese nula p-valor= P(Z <
-2,5) = 0,0062 a probabilidade de estarmos errando ao tomarmos
adeciso de rejeitarmos a hiptese nula (dizer que ela falsa) de
0,62%. Confirmaque o fabricante est equivocado em sua informao! 50
, 2121001201600 570 . 1zobs = ==-2,32 2,320,010,01R.R. H0R.R.
H0R.A. H0Zobs=-2,50-2,32 2,320,010,01R.R. H0R.R. H0R.A.
H0Zobs=-2,50-2,32 2,320,010,01R.R. H0R.R. H0R.A. H0Zobs=-2,50148
Tnia F Bogutchi PUC Minas Reviso 2012 Probabilidade e Estatstica I
Unidade 4: Introduo Inferncia
EstatsticaConcluso:aonveldesignificnciade2%,ouseja,com98%deconfiana,podemosdizer
queaduraodalmpadassealterou,ouseja,suaduraodiferentede1.600horas.A
afirmao do fabricante no verdadeira. Obs.:Como o zobs< 0, a
indicao de que o tempo de durao menor que 1.600 horas. Equivale a
considerar a hiptese alternativa, H1 :< 1.600 Ao nvel de
significncia de 2% ( = 0,02) e considerando o testeunilateral
esquerda, entoz = z0,02 =-2,05 Comozobs< z
aindicaoderejeiodeH0,confirmandoqueotempodeduraodas lmpadas menor
que 1.600 horas.
3)Umcensodehdoisanospassadosrevelouque20%dasfamliasdeumagrande
comunidadeviviamabaixodonveldepobreza.Paradeterminarseessaporcentagemse
modificou, estudou-se uma amostra aleatria de 500 famlias,
encontrando-se 91 abaixo do nvel de pobreza.a)
Qualaestimativapontualdaproporodefamliasdessacomunidadequevivem
atualmente abaixo do nvel de
pobreza?b)Calculeeinterpreteumintervalode95%deconfianaparaaproporodefamlias
dessa comunidade que vivem atualmente abaixo do nvel de pobreza.
c)Com base no intervalo de confiana calculado, qual a margem de
erro?d)Aonvelde5%designificncia,oresultadoamostralindicaqueaporcentagematual
diferedaporcentagemverificadahdoisanos?Noseesqueadeescreveras
hipteses,calcularaestatsticadoteste,calculareinterpretarovalorpetirara
concluso.(faa o teste baseado na distribuio normal) Soluo: a) A
estimativa pontual : b) Sabemos que para n > 100, Para um
intervalo com 95% de confiana, utilizamos z0,025 = 1,96 O intervalo
de confiana ser: Ento, E o intervalo de 95% de confiana ser:(0,1482
; 0,2158) ou ~ (14,8% ; 21,6%) Isso significa que podemos dizer com
95% de confiana que o verdadeiro valor da porcentagemde famlias que
vivem abaixo do nvel de pobreza nessa grande comunidade est entre
14,8% e 21,6%. c) margem de erro E = 0,0338 3,4%(o percentual 18,2%
com3,4% para mais ou para menos fala queouvimos sempre em poca de
eleies!!!) 182 , 050091p = =) 1 , 0 ( Nn) p 1 ( pp p|||
\|= n) p 1 ( pz E que em, E p20338 , 0 ) 01726 , 0 )( 96 , 1
(500) 182 , 0 1 ( 182 , 096 , 1 E = =|||
\|=149 Tnia F Bogutchi PUC Minas Reviso 2012 Probabilidade e
Estatstica I Unidade 4: Introduo Inferncia Estatsticad) As hipteses
a serem testadas: H0: p = p0 = 0,20vsH1: p 0,20 A estatstica do
teste : Zobs= -1,01 > -1,96, logo pertence regio de aceitao de
H0.
Podemosconcluircom95%deconfianaqueopercentualdefamliasquevivemabaixodo
nvel de pobreza nessa grande comunidade no se modificou.
OBS.:Comparandoesseresultadocomointervalodeconfianaobtidonoitem(b)podemos
verificar que 20% est dentro dele!! 4.MISCELNEA DE EXERCCIOS
RESOLVIDOS EM ATIVIDADES E PROVAS
Questo1:DeumapopulaonormalX,comvarinciaiguala9,foiretiradaumaamostra
com 25 observaes, obtendo 152251== iix . Os limites (L) em que se
corre o risco de 10% que
overdadeirovalordamdiapopulacionalsejamenorqueLinfoumaiorqueLsup,so
aproximadamente: a) 3,128 ; 9,032 b) 5,096 ; 7,064 c) 2,551 ; 9,606
d) 4,904 ; 7,256 Correta: B 01 , 1500) 20 , 0 1 ( 20 , 020 , 0 182
, 0n) p 1 ( pp pz0 00obs ===0,025R.R. H0R.A. H0R.R.
H00,025zobs-1,960,025R.R. H0R.A. H0R.R. H00,025zobs-1,96150 Tnia F
Bogutchi PUC Minas Reviso 2012 Probabilidade e Estatstica I Unidade
4: Introduo Inferncia EstatsticaSoluo: Temos: X ~ N( ; 3), pois 2 =
9 ; n = 25 e iix =152 Logo,08 , 625152 = =nxxii Ento a estimativa
pontual para a verdadeira mdia : ( )6 , 0 ; 08 , 6 ~253; 08 , 6 ~
08 , 6 N X N X x |||
\| = = Para =10%, significa que P(-1,64 < Z < 1,64) = 0,90
(pois P(Z 2,14). Ento, o nvel de significncia = P(Z < -2,14) +
P(Z > 2,14) = 2 P(Z < -2,14)Logo, = (2))(0,016177) 0,032, ou
seja, 3,2% (2) Processo anlogo ao (1) encontra-se P(Z < -1,85) =
0,032157 6,4% Questo 3: Com base em experincias passadas, sabe-se
que a resistncia quebra de um fio usado na fabricao de material
moldvel normalmente distribuda com varincia 2= 4 psi.Uma amostra
aleatria de 16 espcimes testada e a resistncia mdia quebra 98 psi.
Uma
estimativaintervalar,comnveldesignificnciade10%,paraaresistnciamdiada
populao aproximadamente: 151 Tnia F Bogutchi PUC Minas Reviso 2012
Probabilidade e Estatstica I Unidade 4: Introduo Inferncia
Estatsticaa) 97,2 a 98,8 b) 93,1 a 102,9c) 95,3 a 95,7 d) 96,0 a
100,0 Correta: A Soluo: Seja,X: resistncia quebra do fio, em psi X
~ N( ; 2), pois 2 = 4 ; n = 16 ex = 98 ( )5 , 0 ; 98 ~162; 98 ~ 98
N X N X x |||
\| = = Para =10%, significa que 2z = 1,64 (pois P(Z=206 :206
:10HH Teste unilateral direita. Considerando= 10%; a hiptese nula,
H0, dever ser rejeitada se zobs > 1,28 , pois z0,10 = 1,28 (ou
P(Z > 1,28) = 0,10) Tem-se, 83 , 116 , 2. 206 210=obsz
Comozobs>z0,10(1,83>1,28),aevidnciaarejeiodahiptesenula.Dondeseconclui,
com90%deconfiabilidade,queaverdadeiramdiaobtidadaresistnciadalajotaaumenta
com o acrscimo da substncia.
Questo7:Umfabricanteestinteressadonavoltagemdesadadeumfornecimentode
energiausadoemumcomputadorpessoal.Avoltagemdesadaconsideradanormalmente
distribudacomdesvio-padrode0,25V.Ofabricantedesejatestar5 :0= H
Vcontra 1,280,10R.R. H0154 Tnia F Bogutchi PUC Minas Reviso 2012
Probabilidade e Estatstica I Unidade 4: Introduo Inferncia
Estatstica5 :1 H
V.,usandoumaamostracom8unidades.Decidasecadaumadasafirmativasa
seguir Verdadeira (V) ou Falsa (F): a)Searegiodeaceitaoforde4,85x
5,15.Podemosafirmarquea probabilidade do erro tipo I ( ) 0,089;
Correta: V Soluo: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 08913 , 0 044565 , 0 2
70 , 1 2 70 , 1 70 , 1825 , 015 , 0825 , 015 , 0825 , 05 15 , 5825
, 05 85 , 45 15 , 5 85 , 4 5 I tipo erro= = = + =|||||
\| +|||||
\| =|||||
\| +|||||
\| == + = = =Z P Z P Z PZ P Z P Z P Z PX P X P P
b)Seaamostraselecionadaforde16unidadesearegiodeaceitaode(a)for
mantida, o valor de ser maior. Correta: F Soluo: Se n = 16 ento
|||
\|1625 , 0; N ~ X( ) 0625 , 0 ; N ~ X R.R. H0R.A. H0R.R. H022Por
simetria155 Tnia F Bogutchi PUC Minas Reviso 2012 Probabilidade e
Estatstica I Unidade 4: Introduo Inferncia Estatstica( ) ( ) 0164 ,
0 0082 , 0 2 4 , 2 20625 , 015 , 00625 , 015 , 01625 , 05 15 ,
51625 , 05 85 , 4= = =||
\| + ||
\| =|||||
\| +|||||
\| =Z PZ P Z P Z P Z P Logo menor.
c)Apotncia(oupoder)dotesteparadetectarumavoltagemdesadamdia
verdadeira de 5,1 V de 28,7%; Correta: V Soluo: Se = 5,1V ento =
5,1 5 = 0,1 ( ) ( ) 1 , 5 15 , 5 85 , 4 II tipo erro = = = X P P( )
( ) ( ) 713334 , 0 002327 , 0 715661 , 0 83 , 2 57 , 0 57 , 0 83 ,
2825 , 005 , 0825 , 025 , 0825 , 01 , 5 15 , 5825 , 01 , 5 85 , 4=
= = ==|||||
\| =|||||
\| =Z P Z P Z PZ P Z P Poder do teste ou Potncia do teste: 1 - =
0,2867 ( 28,7%)
d)Seaamostraselecionadaforde16unidadesearegiodeaceitaode(a)for
mantida, o valor de ser menor. Correta: V Soluo: Correta, pois em
(a) n = 8 e = 0,089; E em (c) n = 16 e = 0,0164. Logo menor. Questo
8: As companhias de seguro de automvel esto cogitando de elevar os
prmios para aqueles que falam ao telefone enquanto dirigem. Um
grupo de defesa dos consumidores afirma que este problema no to
srio, porque apenas 10% dos motoristas usam o telefone. Uma
companhiadesegurofazumapesquisaeconstataque,entre500motoristasselecionados
aleatoriamente,72usamotelefoneenquantodirigem.Aonvelde2%designificnciaas
afirmativas a seguir, a correta : a)A companhia de seguro est
incorreta, pois o p-valor 0,001 b)O grupo de defesa dos
consumidores est correto, pois o p-valor 0,001 156 Tnia F Bogutchi
PUC Minas Reviso 2012 Probabilidade e Estatstica I Unidade 4:
Introduo Inferncia
Estatsticac)Ogrupodedefesadosconsumidoresestcorreto,poisaestimativaintervalar
(10,75%; 18,05%) d)A companhia de seguro est correta, pois a
estimativa intervalar (10,75%; 18,05%) Correta: D Soluo: H0 : p =
0,10 H1 : p 0,10 = % 2 32 , 2 z01 , 0=Proporo estimada:144 ,
050072p = =0364268 , 0500) 144 , 0 1 ( 144 , 032 , 2 E
==Estimativaintervalarcom98%deconfiana:0,144 0,0364268
(0,1075;0,1805) (10,755 ; 18,05%) Concluso: p-valor < 0,02a
hiptese nula rejeitada (ela falsa)hiptese alternativa aceita como
verdadeira, ou seja, o percentual de motoristas que falam ao
telefone diferente de 10% (nesse caso maior)- a empresa de seguro
est com a razo. 2)Se for feito o teste unilateral direita H0 : p =
0,10 H1 : p > 0,10 = % 205 , 2 z02 , 0= Estatstica do teste:28 ,
3500) 10 , 0 1 ( 10 , 010 , 0 144 , 0n) p 1 ( pp pz0 00obs== Teste
unilateral, ento p-valor = P(Z > zobs) = (Z > 3,28) 0,000
Questo9:Umengenheirodocontroledequalidademediuaespessuradaparedede25
garrafasde2litroseencontrouumamdiade4,05milmetroseumdesvio-padrode0,08
milmetros.Dessamaneira,oengenheiroconclui,com95%deconfiana,queaverdadeira
mdia da produo de garrafas possui espessura, em milmetros, entre:
a)4,15 e 4,25 b)5,05 e 6,01 c)4,02 e 4,08d)4,03 e 5,03 Correta: C
Soluo: Seja X: espessura das garrafas, em mm Temos: n=25 ;; 05 , 4
x = 08 , 0 ) X ( dp =157 Tnia F Bogutchi PUC Minas Reviso 2012
Probabilidade e Estatstica I Unidade 4: Introduo Inferncia
Estatstica = 5% 96 , 1 z2= 03136 , 0 ) 016 , 0 )( 96 , 1 (2508 ,
096 , 1 E = = = Estimativa intervalar com 95% de confiana: 4,05
0,03136 (4,02 ; 4,08) Questo 10: Em uma amostra aleatria de 85
mancais de eixos de manivelas de motores de
automveis,10tmumacabamentodesuperfciequemaisrugosoqueasespecificaes
permitidas.Otamanhodaamostraquedeverserutilizadanocasodesequererestarcom
umaconfiabilidadede95%dequeoerroemusaressaproporoparaestimaraproporo
verdadeira de superfcies fora das especificaes seja menor que 5%
aproximadamente: a)385 b)176 c)185 d) 160 Correta: D Soluo: A
proporo de defeituosos estimados nessa amostra:1176 , 08510p =) =
5% 96 , 1 z2= E = 5% = 0,05 Doerromximoprovveltemos: |||
\|=|||
\|=np pznp pz E) 1 ( ) 1 ( 2 2 .Isolandoo valor de n dessa
frmula obtemos:.) 1 ( 22|||
\|=Ep pz n 3221 , 0 10376 , 0 ) 1176 , 0 1 ( 1176 , 0 ) p 1 ( p
= = = Ento, . 46 , 159 ) 627 , 12 (05 , 03221 , 096 , 1E) p 1 ( pz
n2222 =|||
\|=|||
\|= Concluso: o tamanho da amostra necessrio ser de no mnimo 160
mancais. 158 Tnia F Bogutchi PUC Minas Reviso 2012 Probabilidade e
Estatstica I Unidade 4: Introduo Inferncia EstatsticaQuesto 11:
Dados sobre a espessura de xido de semicondutores so os seguintes:
425431416419421436418410431433423426
410435436428411426409437422428413416
Osvalorescalculadosparaessaamostrada:(1)estimativapontualdaespessuramdiado
xidoparatodasaspastilhasnapopulao,(2)oerro-padrodaestimativapontualdoitem
(1),(3) a estimativa pontual da proporo de pastilhas na populao que
tem uma espessura de xido maior do que 430 angstrmsso,
respectivamente, aproximados por: a) 433,0; 9,08; 0,302 b) 423,3;
1,85; 0,292 c) 423,3; 9,08; 0,292 d) 433,0; 1,85; 0,302 Resposta: B
Soluo:
Essesn=24dadosfornecemmdiade423,33edesvio-padrode9,08(estimativapara-
desvio-padro da
populao).1)Aestimativapontualdaespessuramdiafornecidapelamdiadaamostra,logo
x = =423,3 2)O erro-padro da mdia obtido por: 2408 , 9= =nep=1,85
3)Osdadosapresentam7espessurasmaioresque430,logoaestimativapontualda
proporo ser de 247= 0,292
Questo12:Paraumapopulaonormalcomvarinciaconhecida 2
,onveldeconfiana para os intervalos: (1) nxnx14 , 2 14 , 2 + e(2)
nxnx85 , 1 85 , 1 + . So aproximadamente: a) 1,6% e 3,3% b) 98,4% e
96,7% c) 96,8% e 93,6% d) 3,2% e 6,4% 159 Tnia F Bogutchi PUC Minas
Reviso 2012 Probabilidade e Estatstica I Unidade 4: Introduo
Inferncia EstatsticaResposta: C Soluo: Da tabela da Normal, obtemos
que1)P(Z < -2,14)= P(Z > 2,14) = 0,016177 . Logo o nvel de
confiana ser:1 (2) (0,016177) = 0,968 (96,8%). 2)Analogamente, P(Z
< -1,85) = 0,032157, logo nvel de confiana de 93,6%.
Questo13:Ocalorliberado,emcaloriasporgrama,deumamisturadecimentotem
distribuio aproximadamente normal. A mdia deve ser 100 e o
desvio-padro 2. Deseja-se testar as hipteses:100 : H0= versus100 :
H1 com uma amostra de 9 espcimes. Se a regio de aceitao da hiptese
nula for definida como 98,5 x 101,5, a probabilidade do erro tipo I
aproximadamente: a) 0,05 b) 0,024 c) 0,012 d) 0,09 Resposta: B
Soluo: X: calor liberado em calorias por grama X ~N (100; 2) n =9
ex =100 I.C. com 95%:x E Mas, I.C. com 95%: 98,5 x 101,5Logo, a
amplitude do intervalo de confiana 101,5 98,5 = 3 = 2E, donde E =
1,5 Por definio, 25 , 2295 , 1nE z nz E2 2 == = E a P(Z < -2,25)
= P(Z > 2,25) = 0,01224 da tabela da normal Dessa maneira,=
P(Rejeitar H0 | H0 verdadeira) = p-valor = 2(0,01224) = 0,024448
2,4%
Questo14:Ocalorliberado,emcaloriasporgrama,deumamisturadecimentotem
distribuio aproximadamente normal. A mdia deve ser 100 e o
desvio-padro 2. Deseja-se testarashipteses:100 : H0= versus100 : H1
comumaamostrade9espcimes. 160 Tnia F Bogutchi PUC Minas Reviso 2012
Probabilidade e Estatstica I Unidade 4: Introduo Inferncia
EstatsticaSearegiodeaceitaodahiptesenulafordefinidacomo98,5x
101,5,ovalorda probabilidadedo erro tipo II para o caso em que o
verdadeiro calor mdio liberado seja de 103, aproximadamente: a)
0,05 b) 0,024 c) 0,012 d) 0,09 Resposta: C Soluo: Para=103, temos
=P(98,5 x 101,5 |=103) ||||
\|= 92103 5 , 10192103 x92103 5 , 98P = P(-6,75 Z -2,25) = P(Z
-2,25) - P(Z -6,75) = 0,01222 0 Logo, 0,012 Questo 15: Um
pesquisador afirma que no mnimo 10% dos capacetes utilizados nas
provas
deciclismostmfalhasdefabricaoquepoderiamcausardanosfsicosaousurio.Uma
amostrade200capacetesrevelouque16delescontinhamtaisdefeitos.Dasafirmaesa
seguir, a nica que est CORRETA, considerando o nvel de significncia
de 5%, : a) A hiptese nula foi rejeitada, logo a afirmativa do
pesquisador est correta. b) A hiptese nula foi aceita, logo a
afirmativa do pesquisador est incorreta.c) O pesquisador est
correto em sua afirmativa, pois p-valor < 0,05. d) O pesquisador
est correto em sua afirmativa, pois o poder do teste de 95%.
Resposta: B Soluo: Pesquisador afirma: p 10% = 0,10 Amostra com n =
200, 16 so defeituosos08 , 020016p = = ) Hipteses do pesquisador:
H0 : p = 0,10 vs. H1: p > 0,10 161 Tnia F Bogutchi PUC Minas
Reviso 2012 Probabilidade e Estatstica I Unidade 4: Introduo
Inferncia EstatsticaTeste: zobs =94 , 0200) 90 , 0 )( 10 , 0 (10 ,
0 08 , 0) 1 ( ==np pp p) Logo, se= 5% , z =1,64, como zobs <
1,64 H0 aceita afirmativa do pesquisador est incorreta.
Analogamente,se=1%, z =2,32H0aceitaafirmativadopesquisadorest
incorreta. Concluso: ao nvel de significncia de 5% a afirmativa do
pesquisador est incorreta. Questo 16: O sistema de resfriamento em
um submarino nuclear consiste em um arranjo de
tubossoldados,atravsdosquaiscirculaumlquidorefrigerante.Asespecificaesrequerem
que a resistncia da solda tem de encontrar ou exceder a 150 psi.
Sabe-se que a resistncia
umavarivelaleatrianormalmentedistribudacomdesvio-padrode11,3psi.Umaamostra
de20soldasresultouemumamdiade153,7psi.Considerandoessesdados,anica
afirmativa INCORRETA : a) Ao nvel de significncia de 10%, a hiptese
nula rejeitada, pois p-valor=0,072
b)Aonveldesignificnciade5%,ahiptesealternativarejeitada,poisp-valor=0,072
c) Ao nvel de significncia de 5%, a hiptese nula rejeitada, pois
p-valor=0,072 d) Ao nvel de significncia de 10%, a hiptese
alternativa aceita, pois p-valor=0,072 Resposta: C Soluo: X:
resistncia solda, em psi. X ~N ( ; 11,3) Hipteses: H0 : = 150 vs.
H1: > 150 n = 20ex = 153,7 psi Teste: zobs =46 , 1203 , 11150 7
, 153= Logo, se= 5% , z =1,64, como zobs < 1,64 H0 aceita H1
rejeitada p-valor = P(Z > 1,46) = 0,072145 7,2% > 5% 162 Tnia
F Bogutchi PUC Minas Reviso 2012 Probabilidade e Estatstica I
Unidade 4: Introduo Inferncia EstatsticaAnalogamente, se= 10% , z
=1,28 como zobs > 1,28 H0 rejeitada H1 aceita p-valor 7,2% <
10% Questo17:Deseja-seobter uma estimativa de intervalo de confiana
para o ganho emum
circuitodeumdispositivosemicondutor.Suponhaqueoganhosejanormalmentedistribudo
commdiaiguala1000edesvio-padroiguala20.Oerromximoprovvel(erroamostral)
obtidosnaconstruodeintervalosde95%deconfianaparaumaamostradetamanho10,
outroparaumaamostradetamanho25eoutroparaumaamostradetamanho50,so
respectivamente: a)4,639; 6,560; 12,372 b)10,372; 6,560; 4,639
c)12,396 ; 7,840 ; 5,544 d)5,544; 7,840 ; 12,396 Correta: C Soluo:
Seja X: ganho em circuitos semicondutores X ~ N (1.000; 20)||
\|n201.000; N ~ X1) para n = 106,3245) N(1.000; ~ X10201.000; N
~ X |||
\|I.C.95% : E = (1,96)(6,3245) = 12,396 {I.C.: (1.000 12,397)
(987,603; 1.012,325)} 2) para n = 254) N(1.000; ~ X25201.000; N ~ X
|||
\|I.C.95% : E = (1,96)(4) = 7,84 {I.C.: (1.000 7,84) (992,16 ;
1.007,84)} 3) para n = 502,828) N(1.000; ~ X50201.000; N ~ X
|||
\|I.C.95% : E = (1,96)(2,828) = 5,544 {I.C.: (1.000 5,544)
(994,456 ; 1.007,544)} e)
Questo18:Suponhaqueforamretiradas100amostrasaleatriasdeguaprovenientede
um lago com gua lmpida, sendo medida a concentrao de clcio em
miligramas por litro. Um
intervalocom95%deconfianaparaaconcentraomdiadeclcio82 , 0 49 , 0 .
163 Tnia F Bogutchi PUC Minas Reviso 2012 Probabilidade e
Estatstica I Unidade 4: Introduo Inferncia EstatsticaConsidere se
as seguintes afirmaes esto corretas escolhendo a opo Verdadeira (V)
ou se esto incorretas, escolhendo a opo Falsa (F):
a)Humaprobabilidadede95%deoverdadeirovalordamdia(
)estarentre0,49e0,82. Correta: F Soluo: ERRADO. O intervalo de
confiana um intervalo aleatrio. A probabilidade de ele conter ou
noconteroverdadeirovalordeamesmaeiguala1.Onveldeconfianaquede 95%
de que o verdadeiro valor tenha sido encontrado, ou seja, admite-se
um erro mximo de 5% de erro
b)Se100amostrasaleatriasdeguaprovenientedolagoforemtomadaseo
Intervalo de Confiana de 95% para for calculado e se esse processo
for repetidopor 1.000 vezes, 950 dos intervalos de confiana contero
o valor verdadeiro de. Correta: V Soluo:
CORRETO.Nveldeconfianatemexatamenteesseconceito,numprocessoderepeties
aleatrias espera-se encontrar o verdadeiro valor em 95% dos
intervalos construdos para cada
umadessasrepeties.Nessecaso,seforemfeitas1.000repetiesdoprocessoesperado
que 950 dos intervalos construdos contenham o verdadeiro valor da
mdia e que 50 deles (5%
de1.000)venhamafalhar.Oslimites(inferioresuperior)dosintervalossovariveis
aleatrias
Questo19:Emumestudoparaestimarafrao(proporo)decircuitosintegrados
defeituososproduzidosemumprocessodefotolitografiafoiretiradaumaamostrade300
circuitosparaseremtestadoseforamencontrados13defeitos.Umintervalobilateral(ou
bicaudal)de90%deconfianaparaaproporo,p,decircuitosdefeituososproduzidospor
essa ferramenta particular aproximadamente: a)(2,0% ; 6,6%)
b)(2,4%; 6,2%) c)(1,8%; 7,2%) d)(1,6%; 7,0%) Correta: B Soluo: 1)
Intervalo com 90% de confiana: proporo de circuitos defeituosos
produzidos por essa ferramenta particular:164 Tnia F Bogutchi PUC
Minas Reviso 2012 Probabilidade e Estatstica I Unidade 4: Introduo
Inferncia Estatstica0117 , 0300) 043 , 0 1 ( 043 , 0) ( : 043 ,
030013= =p dp p de padro desviop I.C. de 90% = 10% = 0,10 64 , 1 z
z05 , 02= = E = (1,64)(0,0117) = 0,0192 Logo, I.C.98% : (0,043
0,0192) (0,0238 ; 0,0622) (2,4% ; 6,2%)
Questo20:Osprodutoresdeumprogramadetelevisopretendemmodific-losefor
assistidoregularmentepormenosdeumquartodospossuidoresdeteleviso.Umapesquisa
encomendadaaumaempresaespecializadamostrouque,de400famliasentrevistadas,80
assistemaoprogramaregularmente.Combasenosdados,qualdeveseradecisodos
produtores, considerando um nvel de significncia de 5%?. Decida se
cada uma das afirmaes a seguir Verdadeira (V) ou Falsa (F): a)A
hiptese alternativa (H1: p < 0,25) rejeitada, pois p-valor=
0,011b)A hiptese alternativa (H1: p < 0,25) aceita, pois
p-valor= 0,011 c)A hiptese nula (H0: p = 0,25) aceita, pois
p-valor= 0,011 d)A hiptese nula (H0: p = 0,25) rejeitada, pois
p-valor= 0,011 Soluo: H0 : p = 0,25 H1 : p < 0,25 Proporo
estimada:20 , 040080p = =Estatstica do teste:30 , 2400) 25 , 0 1 (
25 , 025 , 0 20 , 0n) p 1 ( pp pz0 00obs ==Teste unilateral, ento
p-valor = P(Z < zobs) = P(Z < -2,31) = 0,0107 0,011 Concluso:
p-valor < 0,05a hiptese nula rejeitada (ela falsa)hiptese
alternativa aceita como verdadeira. Portanto:a)A hiptese
alternativa (H1: p < 0,25) rejeitada, pois p-valor= 0,011FALSA
b)A hiptese alternativa (H1: p < 0,25) aceita, pois p-valor=
0,011 165 Tnia F Bogutchi PUC Minas Reviso 2012 Probabilidade e
Estatstica I Unidade 4: Introduo Inferncia EstatsticaVERDADEIRA c)A
hiptese nula (H0: p = 0,25) aceita, pois p-valor= 0,011 FALSA d)A
hiptese nula (H0: p = 0,25) rejeitada, pois p-valor= 0,011
VERDADEIRA
Questo21:Ascompanhiasdesegurodeautomvelestocogitandodeelevarosprmios
para aqueles que falam ao telefone enquanto dirigem. Um grupo de
defesa dosconsumidores afirma que este problema no to srio, porque
apenas 10% dos motoristas usam o telefone.
Umacompanhiadesegurofazumapesquisaeconstataque,entre500motoristas
selecionadosaleatoriamente,72usamotelefoneenquantodirigem.Aonvelde2%de
significncia as afirmativas a seguir, a correta : a)A companhia de
seguro est incorreta, pois o p-valor 0,001 b)O grupo de defesa dos
consumidores est correto, pois o p-valor 0,001 c)A companhia de
seguro est correta, pois a estimativa intervalar (10,75%; 18,05%)
d) O grupo de defesa dos consumidores est correto, pois a
estimativa intervalar (10,75%; 18,05%) Correta: C Soluo: H0 : p =
0,10 H1 : p 0,10 = % 2 32 , 2 z01 , 0=Proporo estimada:144 ,
050072p = =0364268 , 0500) 144 , 0 1 ( 144 , 032 , 2 E
==Estimativaintervalarcom98%deconfiana:0,144 0,0364268
(0,1075;0,1805) (10,755 ; 18,05%) Concluso: p-valor < 0,02a
hiptese nula rejeitada (ela falsa)hiptese alternativa aceita como
verdadeira, ou seja, o percentual de motoristas que falam ao
telefone diferente de 10% (nesse caso maior)- a empresa de seguro
est com a razo. Obs.: Se for feito o teste unilateral direita H0 :
p = 0,10 H1 : p > 0,10 166 Tnia F Bogutchi PUC Minas Reviso 2012
Probabilidade e Estatstica I Unidade 4: Introduo Inferncia
Estatstica = % 205 , 202 , 0= z Estatstica do teste:28 , 3500) 10 ,
0 1 ( 10 , 010 , 0 144 , 0n) p 1 ( pp pz0 00obs== Teste unilateral,
ento p-valor = P(Z > zobs) = (Z > 3,28) 0,000 Concluso:
hiptese nula rejeitada, consequentemente a hiptese alternativa
verdadeira e nesse caso, corrobora a empresa de seguro Questo 22:
Uma pesquisa com 150 executivos de recursos humanos mostrou que 44%
deles
acreditamquepequenoounenhumconhecimentodacompanhiaoerromaisfreqente
cometido pelos candidatos, durante entrevistas para emprego. Ao
nvel de significncia de 5% para testar a afirmativa de que metade
de todos osexecutivos identificaaquele erro como o mais comum em
entrevistas para emprego, pode-se concluir: a)A afirmativa est
correta, pois o p-valor 0,142 b)A afirmativa est incorreta, pois o
p-valor 0,142 c)A afirmativa est correta, pois a estatstica do
teste Z 1,96 d)A afirmativa est incorreta, pois o nvel de
significncia de 5% Correta: A Soluo: H0 : p = 0,50vs H1 :
p0,50Temos: n = 150 e 44 , 0 p = Estatstica do teste:47 , 1150) 50
, 0 1 ( 50 , 050 , 0 44 , 0n) p 1 ( pp pz0 00obs ==Teste bilateral,
ento p-valor = 2P(Z < zobs) = 2P(Z < -1,47=
2(0,070781)=0,14156 Concluso: p-valor > 0,05a hiptese nula no
rejeitada (ela verdadeira)a afirmativa est correta
Questo23:Sabe-sequeavida,emhoras,deumabateriatemaproximadamenteuma
distribuio normal com desvio-padro de 1,25 horas. O fabricante
garante que a vida til das baterias excede40 horas. Uma amostra
aleatria de 10 baterias tem uma vida mdia de 40,5 167 Tnia F
Bogutchi PUC Minas Reviso 2012 Probabilidade e Estatstica I Unidade
4: Introduo Inferncia
Estatsticahoras.Faaotesteestatsticoadequadousandoumnveldesignificnciade5%.Decidase
cada uma das afirmaes a seguir Verdadeira (V) ou Falsa (F): a)O
fabricante est correto, pois o teste indica rejeio de H0
b)O fabricante est incorreto, pois o teste indica aceitao de H0
c)O fabricante est incorreto, pois a estatstica do teste menor que
1,96 d)O fabricante est incorreto, pois p-valor maior que 0,05
Soluo: X: tempo de vida das baterias, em horas X ~ N(; 1,25) Temos:
n = 10 e5 , 40 x =40 : H40 : H10> = 26 , 139528 , 05 , 01025 ,
140 5 , 40zobs= ==Teste unilateral, zobs < zcrtico=1,64 indicao:
no rejeitar a hiptese nula , isto significa que o tempo de vida das
baterias No excede 40 h.
Teste unilateral, ento p-valor = P(Z > zobs) = P(Z > 1,26)
= P(Z < -1,26)= 0,103835
Concluso:p-valor>0,05ahiptesenulanorejeitada(elaverdadeira)hiptese
alternativa aceita como falsa a)O fabricante est correto, pois o
teste indica rejeio de H0
FALSA b)O fabricante est incorreto, pois o teste indica aceitao
de H0 VERDADEIRA c)O fabricante est incorreto, pois a estatstica do
teste menor que 1,96 VERDADEIRA d)O fabricante est incorreto, pois
p-valor maior que 0,05 VERDADEIRA
