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Capítulo
UNIDADE E Análise dimensional
21
Em Mecânica, qualquer grandeza pode ser expres-sa em função de três grandezas fundamentais:
massa (M), comprimento (L) e tempo (T), elevadas a determinados expoentes. Além dessas grandezas, te-mos ainda a temperatura (J), a intensidade de corren-te elétrica (I), a quantidade de matéria (N) e a intensi-dade luminosa (J). Qualquer grandeza física pode ser expressa em função das grandezas fundamentais.
Por meio da análise dimensional verificam-se as possíveis relações entre as grandezas envolvidas num determinado fenômeno. Além disso, estabelecida experimentalmente uma fórmula matemática, que traduz uma dada lei física, a análise dimensional permite-nos constatar a coerência dessa fórmula: deve existir identidade entre as equações dimensionais dos dois membros.A análise dimensional permite que se faça a previsão de fórmulas que sintetizam as relações entre grandezas que fazem parte de um fenômeno físico.
21.1 As grandezas fundamentais da Física
Em Física, além das grandezas fundamentais da Mecânica — massa, comprimento e tempo —, temos outras grandezas fundamentais, como temperatura, intensidade de corrente elétrica, quantidade de matéria e intensidade luminosa. A partir dessas grandezas, podemos expressar todas as demais grandezas físicas.
21.2 Equações físicas. Teorema de Bridgman
A grandeza física G, que depende de outras grandezas físicas independentes (A, B, C ...), pode ser expressa como sendo o produto de uma constante adimensional K pelas potências das grandezas A, B, C...
Análise dimensional
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Objetivo Analisar equações
dimensionais de grandezas estudadas no
curso de Física.
Termos e conceitos
• grandezas fundamentais
Seção 21.1
1 Grandezas fundamentais da Mecânica
Em Mecânica, adotamos como grandezas fundamentais a massa, o comprimento e o tempo, que são representados, respectivamente, por M, L e T. Qualquer outra grandeza G da Mecânica pode ser expressa em função de M, L e T, elevados a expoentes a, d e D convenientes. Desse modo, obtemos a equação dimensional de G, que é indicada por [G] e dada por:
[G] MaLdTD
Os expoentes a, d e D são as dimensões da grandeza G em relação a M, L e T, respectivamente.
Exemplos de equações dimensionais
• velocidade
v Ss
___ St
] [v] [Ss]
_____ [St]
L
__ T
] [v] M0LT21
• aceleração
a Sv
___ St
] [a] [Sv]
_____ [St]
M0LT21
_______ T
] [a] M0LT22
• força
F ma ] [F] [m] 3 [a] M 3 LT22 ] [F ] MLT22
• trabalho (ou energia)
D Fd ] [D] [F] 3 [d] MLT22 3 L ] [D] ML2T22
• potência
Pot D ___
St ] [Pot]
[D] ____
[St]
ML2T22
_______ T
] [Pot] ML2T23
• impulso
I F 3 St ] [I] [F] 3 [St] MLT22 3 T ] [I] MLT21
• quantidade de movimento
Q mv ] [Q] [m] 3 [v] M 3 L
__ T
] [Q] MLT21
• pressão
p F
__ A
] [p] [F]
___ [A]
MLT22
______ L2
] [p] ML21T22
• densidade
d m
__ v ] [d]
[m] ____
[v]
M ___
L3 ] [d] ML23T0
As grandezas fundamentais da Física
ExErcícIos rEsolvIDos
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2 Outras grandezas fundamentais
Em Física, além das grandezas fundamentais massa (M), comprimento (L) e tempo (T), te-mos ainda outras grandezas fundamentais, como a temperatura (J), a intensidade da corrente elétrica (I), a quantidade de matéria (N) e a intensidade luminosa (J).
Exemplos de outras equações dimensionais
• quantidade de calor
[Q] [D] ML2T22
• capacidade térmica
C Q
___ SJ
] [C] [Q]
_____ [SJ]
ML2T22
_______ J ] [C] ML2T22J21
c C
__ m
] [c] [C]
____ [m]
ML2T22J21
__________ M
] [c] M0L2T22J21
• calor específico
• constante universal dos gases perfeitos
R pV
___ nT
] [R] [p] 3 [V]
________ [n] 3 [T]
ML21T22 3 L3
____________ N 3 J
] [R] ML2T22N21J21
• carga elétrica
Sq i 3 St ] [Sq] [i] 3 [St] l 3 M0L0T ] [Sq] M0L0Tl
• tensão elétrica
U D __ q
] [U] [D]
___ [q]
ML2T22
_______ M0L0Tl
] [U] ML2T23l21
• resistência elétrica
r U
__ i ] [r]
[U] ___
[i]
ML2T23l21
_________ l ] [r] ML2T23l22
R. 163 Adote como fundamentais as grandezas: massa (M), comprimento (L) e tempo (T). Escreva a equação di men sio nal da:a) frequência;b) constante elástica de uma mola.
b) De Fel. kx (lei de Hooke), temos: k Fel. ___ x ] [k]
[Fel.] ____ [x]
] [k] MLT22
______ L ] [k] ML0T22
Resposta: a) [ f ] M0L0T21; b) [k] ML0T22
ExErcícIos rEsolvIDos
Solução:
a) A frequência f é o inverso do período: f 1 __ t ] [ f ] 1 ___
[t] ] [ f ] M0L0T21
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P. 427 Considere as grandezas fundamentais: massa (M), comprimento (L), tempo (T) e temperatura (J). Determine a equação dimensional:a) da velocidade angular;b) do momento de uma força;c) do coeficiente de condutibilidade térmica.
P. 428 Considere as grandezas fundamentais: massa (M), comprimento (L), tempo (T) e intensidade de cor rente (I). Determine a equação dimensional:a) do campo de indução magnética;b) da permeabilidade magnética do meio;c) do fluxo magnético.
P. 429 Na fórmula Ep(el.) kx2
____ 2 , temos que Ep(el.) representa energia e x, um comprimento. Qual a equa-
ção dimensional de k em relação às grandezas fundamentais massa (M), comprimento (L) e tempo (T)?
ExErcícIos propostos
R. 166 Na fórmula E hf, temos que E representa a energia e f a frequência. Qual a equação dimensional de h em relação às grandezas fundamentais massa (M), comprimento (L) e tempo (T)?
Resposta: [h] ML2T21
Solução:
De E hf, temos:
h EW ____ f ] [h]
[E] ___
[ f ] ] [h] ML2T22
_______ T21
] [h] ML2T21
R. 165 Considere as grandezas fundamentais: massa (M), comprimento (L), tempo (T) e intensidade de corrente (I). Escreva a equação dimensional:a) do campo elétrico;b) da capacitância.
b) De C Q
__ U
, temos:
Resposta: a) [E] MLT23I21; b) [C] M21L22T4I2
Solução:
a) Sendo Fe qE, resulta:
[C] [Q]
___ [U]
] [C] TI __________ ML2T23I21
] [C] M21L22T4I2
E Fe __ q ] [E]
[Fe] ____ [q]
] [E] MLT22
______ TI
] [E] MLT23I21
b) De SL a 3 L0 3 SJ, temos:
Resposta: a) [LF] M0L2T22; b) [a] M0L0T0J21
Solução:
a) De Q m 3 LF, temos:
R. 164 Considere as grandezas fundamentais: massa (M), comprimento (L), tempo (T) e temperatura (J). Escreva a equação dimensional do:a) calor latente de fusão;b) coeficiente de dilatação linear.
a SL _______ L0 3 SJ
] [a] [SL] _________
[L0] 3 [SJ] ] [a] L _____
L 3 J ] [a] M0L0TJ21
LF Q
__ m
] [LF] [Q]
____ [m]
] [LF] ML2T22
_______ M
] [LF] M0L2T22
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Objetivos Compreender a
homogeneidade das equações físicas.
Utilizar o teorema de Bridgman para fazer
previsão de fórmulas.
Seção 21.2
1 Homogeneidade das equações físicas
Considere uma equação envolvendo três grandezas físicas, A, B e C, dada por:
A B C
Note que a soma de B com C só é possível se B e C tiverem as mesmas dimensões, e a soma A obtida também. Portanto, os dois membros da equação A B C devem ter as mesmas dimensões. Trata-se da homo-geneidade das equações físicas.
Exemplo:
Considere a equação s s0 vt. A dimensão de s, assim como a de s0, em relação a L, é 1. Logo, a dimensão de vt, em relação a L, também deve ser 1. De fato:
[vt] [v] 3 [t] LT21 3 T ] [vt] L
Assim, s, s0 e vt têm mesma dimensão em relação a L e seus valores deverão ser expressos numa mesma unidade, como o metro.
Na tabela abaixo, apresentamos as sete unidades fundamentais do Sistema Internacional.
Unidade Símbolo Grandezametro m comprimento (L)
quilograma kg massa (M)
segundo s tempo (T)
ampère A intensidade da corrente elétrica (I)
kelvin K temperatura termodinâmica (J)
mol mol quantidade de matéria (N)
candela cd intensidade luminosa (J)
Considere, por exemplo, a equação dimensional de força: [F] MLT22. No Sistema Internacional, a unidade de força é kg 3 m 3 s22, que recebe o nome de newton (N).
Equações físicas. Teorema de Bridgman
Percy Williams Bridgman (1882-1961), físico norte-
-americano que recebeu o prêmio Nobel em 1946 por seus estudos em Física de
altas pressões.
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A determinação dos expoentes a, d, D, ... é feita por meio da análise dimensional. Porém, a constante K não pode ser determinada por análise dimensional, e sim por meio de experiências ou de considerações teó ricas.
Exemplo:
Realizando experiências, um aluno descobre que o período de oscilação t de um pêndulo depende da massa m da esfera pendular, do comprimento c do pêndulo e da aceleração local g da gravidade. Supondo que t seja dado por t K 3 ma 3 cd 3 gD, em que K é uma constante adi-mensional, podemos determinar a, d e D.
Dados: [t] M0L0T;
[m] ML0T0;
[c] M0LT0;
[g] M0LT22
Substituindo as expressões de [t], [m], [c] e [g] na equação [t] [m]a 3 [c]d 3 [g]D, temos:
Identificando os expoentes, temos:
a 0, d D 0 e 22D 1
Logo:
a 0, D 2 1 __
2 e d
1 __
2
Assim, temos:
A equação mostra que o período não depende da massa da esfera pendular. A constante K pode ser determinada por meio de considerações teóricas, encontrando-se K 2s. Desse modo, temos:
t 2s 3 dll
c __
g
ExErcícIos rEsolvIDos
G K 3 Aa 3 Bd 3 CD 3 ...
2 Previsão de fórmulas. Teorema de Bridgman
Vamos supor que um cientista descobre, realizando experiências, que uma grandeza física G depende de outras grandezas físicas A, B, C..., independentes entre si.
O teorema de Bridgman afirma que a grandeza G pode ser expressa como sendo o produto de uma constante adimensional K pelas potências das grandezas A, B, C...
Nessas condições, temos:
M0L0T (ML0T0)a 3 (M0LT0)d 3 (M0LT22)D ]
] M0L0T MaLd DT22D
t K 3 ma 3 cd 3 gD ]
] t K 3 m0 3 c 1 __
2 3 g
2 1 __
2 ] t K 3 dll
c __
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R. 170 Um bloco de massa m preso a uma mola de constante elástica k realiza um movimento har-mônico simples. O período t do MHS é dado por t C 3 ma 3 kd, em que C 2s é uma constante adimensional. Determine os expoentes a e d e escreva a fórmula do período.
Identificando os expoentes, temos: a d 0 22d 1
Logo: d 2 1 __ 2 e a 1 __
2
A fórmula do período será: t C 3 ma 3 kd ] t 2s 3 m 1 __ 2 3 k 2
1 __ 2 ] t 2s 3 dlll
m __ k
Resposta: a 1 __ 2 ; d 2 1 __
2 e t 2s 3 dlll
m __ k
R. 167 Verifique a homogeneidade das equações abaixo, isto é, prove que o primeiro membro e o se-gundo têm as mesmas dimensões para cada equação.
a) s at2
___ 2 , em que s: espaço; a: aceleração e t: tempo
b) Pot U 3 i, em que Pot: potência; U: tensão elétrica e i: intensidade da corrente elétrica
ExErcícIos rEsolvIDos
Solução:a) [s] M0LT0
[at2] [a] 3 [t2] [a] 3 [t] 3 [t] M0LT22 3 T 3 T M0LT22 3 T2 M0LT0
b) [Pot] ML2T23
[Ui] [U ] 3 [i] ML2T23I21 3 I ML2T23
R. 168 Num movimento oscilatório, a abscissa x da partícula varia com o tempo t de acordo com a fórmula x a b 3 cos (ct). Quais são as unidades, no Sistema Internacional, de x, t e dos parâmetros a, b e c?
Solução: A unidade de x é o metro (m). Logo, as unidades de a e b são também o metro. Observe que o
cosseno é adimensional. O produto ct é também adimensional. Logo, a unidade de c é o inverso da unidade de t, que é o
segundo (s). Assim, a unidade de c é o inverso do segundo: s21.
Resposta: x, a e b: metro (m); t: segundo (s); c: inverso do segundo (s21)
Solução: De t C 3 ma 3 kd, temos:
[t] [m]a 3 [k]d 3 M0L0T Ma 3 (MT22)d ] M0L0T Ma dL0T22d
R. 169 A velocidade v de propagação de um certo fenômeno ondulatório é dada por v da 3 pd, em que d é uma densidade e p uma pressão. Determine os expoentes a e d.
Identificando os expoentes, temos:a d 023a 2 d 122d 21
Resolvendo o sistema, obtemos: d 1 __ 2 e a 2 1 __
2
Resposta: a 2 1 __ 2 e d 1 __
2
Solução: De v da 3 pd, temos:
[v] [d]a 3 [p]d ] M0LT21 (ML23)a 3 (ML21T22)d ] M0LT21 Ma d L23a 2 d T22d
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tEstEs propostos
P. 437 (Inatel-MG) Leia com atenção o seguinte trecho extraído do livro Pensando a Física, do prof. Mário Schenberg:
“Há na Física uma coisa muito misteriosa que é o chamado comprimento de Planck. É muito curioso saber que quando Planck descobriu a constante h, percebeu que, com a constante h, com a constante gravitacional (G) e com a velocidade da luz (c), podia-se formar um comprimento. Esse comprimento é extremamente pequeno, na ordem de 10233 cm. Hoje se compreende que esse comprimento deve ser importante para a compreensão da origem do universo. Esse número deve estar ligado ao que há de mais fundamental na Física.”
Responda agora à seguinte questão: Qual é a possível combinação das constantes h, G e c que forma o comprimento de Planck, de
acordo com o texto acima? São dados os seguintes valores no Sistema Internacional (SI):
h 6,63 3 10234 J 3 s G 6,67 3 10211 N 3 m2
_______ kg2
c 3 3 108 m/s
P. 434 (EEM-SP) As equações dimensionais das grandezas em Mecânica são do tipo:
[G] [M]a 3 [L]d 3 [T]D
onde G é uma grandeza qualquer e M, L e T são as grandezas fundamentais.a) Quais são as grandezas M, L e T, e quais são suas unidades no SI?b) Como se chamam os expoentes a, d e D, e que valores têm quando G é uma potência me-
cânica?
P. 435 (Vunesp) Num determinado processo físico, a quantidade de calor Q transferida por convecção é dada por:
Q h 3 A 3 ST 3 St
onde h é uma constante, Q é expresso em joules (J), A em metros quadrados (m2), ST em kelvins (K) e St em segundos (s), que são unidades do Sistema Internacional (SI).a) Expresse a unidade da grandeza h em termos das unidades do SI que aparecem no enunciado.b) Expresse a unidade de h usando apenas as unidades kg, s e K, que pertencem ao conjunto
das unidades de base do SI.
P. 436 (IME-RJ) Suponha que o módulo da velocidade v de propagação de uma onda sonora dependa somen te da pressão p e da massa específica do meio j, de acordo com a fórmula v px 3 jy.
Use a análise dimensional para determinar a expressão do módulo da velocidade do som, sabendo-se que a constante adimensional vale 1.
ExErcícIos propostos DE rEcApItUlAção
P. 430 Verifique a homogeneidade das equações abaixo, isto é, prove que as dimensões do primeiro membro são iguais às do segundo em cada equação.a) v2 2aSs, em que v: velocidade; a: aceleração e Ss: variação de espaço b) U Ed, em que U: tensão elétrica; E: campo elétrico e d: distância
P. 431 Considere a equação x a bt ct2 dt3, em que x e t são, respectivamente, comprimento e tempo. Expresse os parâmetros a, b, c e d em função de M, L e T.
P. 432 A aceleração a de um móvel é dada por a va 3 hd, em que v é a velocidade linear e h a velocidade angular. Determine os expoentes a e d.
P. 433 A velocidade v de um satélite rasante à Terra é dada por v ga 3 Rd, em que g é a aceleração da gravidade nas vizinhanças da Terra e R é o raio da Terra. Determine os valores de a e d, e escreva a fórmula da velocidade v do satélite.
ExErcícIos propostos
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T. 488 (PUC-PR) Representando o comprimento por L, a massa por M e o tempo por T, as dimensionais LMT22, L2MT23 e L21MT22 representam, respectiva-mente:a) o trabalho, a força e a massa específica.b) a potência, a aceleração e a pressão.c) a força, a potência e a pressão.d) o peso específico, a aceleração e a potência.e) a tensão, a potência e a energia.
T. 490 (Fuvest-SP) No Sistema Internacional de Unidades (SI), as sete unidades de base são o metro (m), o quilo-grama (kg), o segundo (s), o kelvin (K), o ampère (A), a candela (cd) e o mol (mol). A lei de Coulomb da eletrostática pode ser expressa pela fórmula:
F 1 _____ 4s0
3 Q 1Q 2 _____
r2
onde 0 é uma constante fundamental da Física e sua unidade, em função das unidades de base do SI, é:a) m22 3 s2 3 A2 d) m 3 kg 3 s22
b) m23 3 kg21 3 A2 e) adimensionalc) m23 3 kg21 3 s4 3 A2
T. 491 Considere a equação dimensionalmente homogê-nea x at2 2 bt3, em que x e t são, respectivamente, comprimento e tempo. Então, as expressões de a e b em função de M, L e T são, respectivamente:a) M0 L T e M0 L T21
b) M0 L2 T3 e M0 L22 T23
c) M0 L T22 e M0 L T23
d) M0 L22 T e M0 L0 T23
e) M0 L2 T3 e M0 L T23
T. 492 (UFRGS-RS) Ao resolver um problema de Física, um estudante encontra sua resposta expressa nas seguintes unidades: kg 3 m2/s3. Essas unidades representam:a) forçab) energiac) potênciad) pressãoe) quantidade de movimento
T. 494 (Fuvest-SP) Um estudante está prestando vestibular e não se lembra da fórmula correta que relacio na a velocidade v de propagação do som com a pres-são p e a massa específica G (kg/m3) num gás. No entanto, ele se recorda de que a fórmula é do tipo
va Cpd
____ G , onde C é uma constante adimensional.
Analisando as dimensões (unidades) das diferen-tes grandezas físicas, ele concluiu que os valores corretos dos expoentes a e d são:a) a 1 e d 2b) a 1 e d 1c) a 2 e d 1d) a 2 e d 2e) a 3 e d 2
T. 489 (ITA-SP) A força de gravitação entre dois corpos é
dada por F G m1m2 ______
r2 . A expressão da constante de
gravitação G em função de M, L e T é, então:a) L3M21T22 d) L2M21T21
b) L3MT22 e) nenhumac) LM21T2
T. 493 (ITA-SP) A velocidade de uma onda transversal em uma corda depende da tensão F a que está sujeita a corda, da massa m e do comprimento d da corda. Fazendo uma análise dimensional, concluímos que a velocidade poderia ser dada por:
a) F ____ md
b) @ Fm ____ d # 2
c) @ Fm ____ d #
1 __ 2
d) @ Fd ___ m # 1 __ 2
e) @ md ____ F # 2
tEstEs propostos
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