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Capítulo UNIDADE E Análise dimensional 21 E m Mecânica, qualquer grandeza pode ser expres- sa em função de três grandezas fundamentais: massa (M), comprimento (L) e tempo (T), elevadas a determinados expoentes. Além dessas grandezas, te- mos ainda a temperatura (J), a intensidade de corren- te elétrica (I), a quantidade de matéria (N) e a intensi- dade luminosa (J). Qualquer grandeza física pode ser expressa em função das grandezas fundamentais. Por meio da análise dimensional verificam-se as possíveis relações entre as grandezas envolvidas num determinado fenômeno. Além disso, estabelecida experimentalmente uma fórmula matemática, que traduz uma dada lei física, a análise dimensional permite-nos constatar a coerência dessa fórmula: deve existir identidade entre as equações dimensionais dos dois membros. A análise dimensional permite que se faça a previsão de fórmulas que sintetizam as relações entre grandezas que fazem parte de um fenômeno físico. 21.1 As grandezas fundamentais da Física Em Física, além das grandezas fundamentais da Mecânica — massa, comprimento e tempo —, temos outras grandezas fundamentais, como temperatura, intensidade de corrente elétrica, quantidade de matéria e intensidade luminosa. A partir dessas grandezas, podemos expressar todas as demais grandezas físicas. 21.2 Equações físicas. Teorema de Bridgman A grandeza física G, que depende de outras grandezas físicas independentes (A, B, C ...), pode ser expressa como sendo o produto de uma constante adimensional K pelas potências das grandezas A, B, C... Análise dimensional

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Capítulo

UNIDADE E Análise dimensional

21

Em Mecânica, qualquer grandeza pode ser expres-sa em função de três grandezas fundamentais:

massa (M), comprimento (L) e tempo (T), elevadas a determinados expoentes. Além dessas grandezas, te-mos ainda a temperatura (J), a intensidade de corren-te elétrica (I), a quantidade de matéria (N) e a intensi-dade luminosa (J). Qualquer grandeza física pode ser expressa em função das grandezas fundamentais.

Por meio da análise dimensional verificam-se as possíveis relações entre as grandezas envolvidas num determinado fenômeno. Além disso, estabelecida experimentalmente uma fórmula matemática, que traduz uma dada lei física, a análise dimensional permite-nos constatar a coerência dessa fórmula: deve existir identidade entre as equações dimensionais dos dois membros.A análise dimensional permite que se faça a previsão de fórmulas que sintetizam as relações entre grandezas que fazem parte de um fenômeno físico.

21.1 As grandezas fundamentais da Física

Em Física, além das grandezas fundamentais da Mecânica — massa, comprimento e tempo —, temos outras grandezas fundamentais, como temperatura, intensidade de corrente elétrica, quantidade de matéria e intensidade luminosa. A partir dessas grandezas, podemos expressar todas as demais grandezas físicas.

21.2 Equações físicas. Teorema de Bridgman

A grandeza física G, que depende de outras grandezas físicas independentes (A, B, C ...), pode ser expressa como sendo o produto de uma constante adimensional K pelas potências das grandezas A, B, C...

Análise dimensional

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Objetivo Analisar equações

dimensionais de grandezas estudadas no

curso de Física.

Termos e conceitos

• grandezas fundamentais

Seção 21.1

1 Grandezas fundamentais da Mecânica

Em Mecânica, adotamos como grandezas fundamentais a massa, o comprimento e o tempo, que são representados, respectivamente, por M, L e T. Qualquer outra grandeza G da Mecânica pode ser expressa em função de M, L e T, elevados a expoentes a, d e D convenientes. Desse modo, obtemos a equação dimensional de G, que é indicada por [G] e dada por:

[G] MaLdTD

Os expoentes a, d e D são as dimensões da grandeza G em relação a M, L e T, respectivamente.

Exemplos de equações dimensionais

• velocidade

v Ss

___ St

] [v] [Ss]

_____ [St]

L

__ T

] [v] M0LT21

• aceleração

a Sv

___ St

] [a] [Sv]

_____ [St]

M0LT21

_______ T

] [a] M0LT22

• força

F ma ] [F] [m] 3 [a] M 3 LT22 ] [F ] MLT22

• trabalho (ou energia)

D Fd ] [D] [F] 3 [d] MLT22 3 L ] [D] ML2T22

• potência

Pot D ___

St ] [Pot]

[D] ____

[St]

ML2T22

_______ T

] [Pot] ML2T23

• impulso

I F 3 St ] [I] [F] 3 [St] MLT22 3 T ] [I] MLT21

• quantidade de movimento

Q mv ] [Q] [m] 3 [v] M 3 L

__ T

] [Q] MLT21

• pressão

p F

__ A

] [p] [F]

___ [A]

MLT22

______ L2

] [p] ML21T22

• densidade

d m

__ v ] [d]

[m] ____

[v]

M ___

L3 ] [d] ML23T0

As grandezas fundamentais da Física

ExErcícIos rEsolvIDos

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2 Outras grandezas fundamentais

Em Física, além das grandezas fundamentais massa (M), comprimento (L) e tempo (T), te-mos ainda outras grandezas fundamentais, como a temperatura (J), a intensidade da corrente elétrica (I), a quantidade de matéria (N) e a intensidade luminosa (J).

Exemplos de outras equações dimensionais

• quantidade de calor

[Q] [D] ML2T22

• capacidade térmica

C Q

___ SJ

] [C] [Q]

_____ [SJ]

ML2T22

_______ J ] [C] ML2T22J21

c C

__ m

] [c] [C]

____ [m]

ML2T22J21

__________ M

] [c] M0L2T22J21

• calor específico

• constante universal dos gases perfeitos

R pV

___ nT

] [R] [p] 3 [V]

________ [n] 3 [T]

ML21T22 3 L3

____________ N 3 J

] [R] ML2T22N21J21

• carga elétrica

Sq i 3 St ] [Sq] [i] 3 [St] l 3 M0L0T ] [Sq] M0L0Tl

• tensão elétrica

U D __ q

] [U] [D]

___ [q]

ML2T22

_______ M0L0Tl

] [U] ML2T23l21

• resistência elétrica

r U

__ i ] [r]

[U] ___

[i]

ML2T23l21

_________ l ] [r] ML2T23l22

R. 163 Adote como fundamentais as grandezas: massa (M), comprimento (L) e tempo (T). Escreva a equação di men sio nal da:a) frequência;b) constante elástica de uma mola.

b) De Fel. kx (lei de Hooke), temos: k Fel. ___ x ] [k]

[Fel.] ____ [x]

] [k] MLT22

______ L ] [k] ML0T22

Resposta: a) [ f ] M0L0T21; b) [k] ML0T22

ExErcícIos rEsolvIDos

Solução:

a) A frequência f é o inverso do período: f 1 __ t ] [ f ] 1 ___

[t] ] [ f ] M0L0T21

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P. 427 Considere as grandezas fundamentais: massa (M), comprimento (L), tempo (T) e temperatura (J). Determine a equação dimensional:a) da velocidade angular;b) do momento de uma força;c) do coeficiente de condutibilidade térmica.

P. 428 Considere as grandezas fundamentais: massa (M), comprimento (L), tempo (T) e intensidade de cor rente (I). Determine a equação dimensional:a) do campo de indução magnética;b) da permeabilidade magnética do meio;c) do fluxo magnético.

P. 429 Na fórmula Ep(el.) kx2

____ 2 , temos que Ep(el.) representa energia e x, um comprimento. Qual a equa-

ção dimensional de k em relação às grandezas fundamentais massa (M), comprimento (L) e tempo (T)?

ExErcícIos propostos

R. 166 Na fórmula E hf, temos que E representa a energia e f a frequência. Qual a equação dimensional de h em relação às grandezas fundamentais massa (M), comprimento (L) e tempo (T)?

Resposta: [h] ML2T21

Solução:

De E hf, temos:

h EW ____ f ] [h]

[E] ___

[ f ] ] [h] ML2T22

_______ T21

] [h] ML2T21

R. 165 Considere as grandezas fundamentais: massa (M), comprimento (L), tempo (T) e intensidade de corrente (I). Escreva a equação dimensional:a) do campo elétrico;b) da capacitância.

b) De C Q

__ U

, temos:

Resposta: a) [E] MLT23I21; b) [C] M21L22T4I2

Solução:

a) Sendo Fe qE, resulta:

[C] [Q]

___ [U]

] [C] TI __________ ML2T23I21

] [C] M21L22T4I2

E Fe __ q ] [E]

[Fe] ____ [q]

] [E] MLT22

______ TI

] [E] MLT23I21

b) De SL a 3 L0 3 SJ, temos:

Resposta: a) [LF] M0L2T22; b) [a] M0L0T0J21

Solução:

a) De Q m 3 LF, temos:

R. 164 Considere as grandezas fundamentais: massa (M), comprimento (L), tempo (T) e temperatura (J). Escreva a equação dimensional do:a) calor latente de fusão;b) coeficiente de dilatação linear.

a SL _______ L0 3 SJ

] [a] [SL] _________

[L0] 3 [SJ] ] [a] L _____

L 3 J ] [a] M0L0TJ21

LF Q

__ m

] [LF] [Q]

____ [m]

] [LF] ML2T22

_______ M

] [LF] M0L2T22

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Objetivos Compreender a

homogeneidade das equações físicas.

Utilizar o teorema de Bridgman para fazer

previsão de fórmulas.

Seção 21.2

1 Homogeneidade das equações físicas

Considere uma equação envolvendo três grandezas físicas, A, B e C, dada por:

A B C

Note que a soma de B com C só é possível se B e C tiverem as mesmas dimensões, e a soma A obtida também. Portanto, os dois membros da equação A B C devem ter as mesmas dimensões. Trata-se da homo-geneidade das equações físicas.

Exemplo:

Considere a equação s s0 vt. A dimensão de s, assim como a de s0, em relação a L, é 1. Logo, a dimensão de vt, em relação a L, também deve ser 1. De fato:

[vt] [v] 3 [t] LT21 3 T ] [vt] L

Assim, s, s0 e vt têm mesma dimensão em relação a L e seus valores deverão ser expressos numa mesma unidade, como o metro.

Na tabela abaixo, apresentamos as sete unidades fundamentais do Sistema Internacional.

Unidade Símbolo Grandezametro m comprimento (L)

quilograma kg massa (M)

segundo s tempo (T)

ampère A intensidade da corrente elétrica (I)

kelvin K temperatura termodinâmica (J)

mol mol quantidade de matéria (N)

candela cd intensidade luminosa (J)

Considere, por exemplo, a equação dimensional de força: [F] MLT22. No Sistema Internacional, a unidade de força é kg 3 m 3 s22, que recebe o nome de newton (N).

Equações físicas. Teorema de Bridgman

Percy Williams Bridgman (1882-1961), físico norte-

-americano que recebeu o prêmio Nobel em 1946 por seus estudos em Física de

altas pressões.

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A determinação dos expoentes a, d, D, ... é feita por meio da análise dimensional. Porém, a constante K não pode ser determinada por análise dimensional, e sim por meio de experiências ou de considerações teó ricas.

Exemplo:

Realizando experiências, um aluno descobre que o período de oscilação t de um pêndulo depende da massa m da esfera pendular, do comprimento c do pêndulo e da aceleração local g da gravidade. Supondo que t seja dado por t K 3 ma 3 cd 3 gD, em que K é uma constante adi-mensional, podemos determinar a, d e D.

Dados: [t] M0L0T;

[m] ML0T0;

[c] M0LT0;

[g] M0LT22

Substituindo as expressões de [t], [m], [c] e [g] na equação [t] [m]a 3 [c]d 3 [g]D, temos:

Identificando os expoentes, temos:

a 0, d D 0 e 22D 1

Logo:

a 0, D 2 1 __

2 e d

1 __

2

Assim, temos:

A equação mostra que o período não depende da massa da esfera pendular. A constante K pode ser determinada por meio de considerações teóricas, encontrando-se K 2s. Desse modo, temos:

t 2s 3 dll

c __

g

ExErcícIos rEsolvIDos

G K 3 Aa 3 Bd 3 CD 3 ...

2 Previsão de fórmulas. Teorema de Bridgman

Vamos supor que um cientista descobre, realizando experiências, que uma grandeza física G depende de outras grandezas físicas A, B, C..., independentes entre si.

O teorema de Bridgman afirma que a grandeza G pode ser expressa como sendo o produto de uma constante adimensional K pelas potências das grandezas A, B, C...

Nessas condições, temos:

M0L0T (ML0T0)a 3 (M0LT0)d 3 (M0LT22)D ]

] M0L0T MaLd DT22D

t K 3 ma 3 cd 3 gD ]

] t K 3 m0 3 c 1 __

2 3 g

2 1 __

2 ] t K 3 dll

c __

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R. 170 Um bloco de massa m preso a uma mola de constante elástica k realiza um movimento har-mônico simples. O período t do MHS é dado por t C 3 ma 3 kd, em que C 2s é uma constante adimensional. Determine os expoentes a e d e escreva a fórmula do período.

Identificando os expoentes, temos: a d 0 22d 1

Logo: d 2 1 __ 2 e a 1 __

2

A fórmula do período será: t C 3 ma 3 kd ] t 2s 3 m 1 __ 2 3 k 2

1 __ 2 ] t 2s 3 dlll

m __ k

Resposta: a 1 __ 2 ; d 2 1 __

2 e t 2s 3 dlll

m __ k

R. 167 Verifique a homogeneidade das equações abaixo, isto é, prove que o primeiro membro e o se-gundo têm as mesmas dimensões para cada equação.

a) s at2

___ 2 , em que s: espaço; a: aceleração e t: tempo

b) Pot U 3 i, em que Pot: potência; U: tensão elétrica e i: intensidade da corrente elétrica

ExErcícIos rEsolvIDos

Solução:a) [s] M0LT0

[at2] [a] 3 [t2] [a] 3 [t] 3 [t] M0LT22 3 T 3 T M0LT22 3 T2 M0LT0

b) [Pot] ML2T23

[Ui] [U ] 3 [i] ML2T23I21 3 I ML2T23

R. 168 Num movimento oscilatório, a abscissa x da partícula varia com o tempo t de acordo com a fórmula x a b 3 cos (ct). Quais são as unidades, no Sistema Internacional, de x, t e dos parâmetros a, b e c?

Solução: A unidade de x é o metro (m). Logo, as unidades de a e b são também o metro. Observe que o

cosseno é adimensional. O produto ct é também adimensional. Logo, a unidade de c é o inverso da unidade de t, que é o

segundo (s). Assim, a unidade de c é o inverso do segundo: s21.

Resposta: x, a e b: metro (m); t: segundo (s); c: inverso do segundo (s21)

Solução: De t C 3 ma 3 kd, temos:

[t] [m]a 3 [k]d 3 M0L0T Ma 3 (MT22)d ] M0L0T Ma dL0T22d

R. 169 A velocidade v de propagação de um certo fenômeno ondulatório é dada por v da 3 pd, em que d é uma densidade e p uma pressão. Determine os expoentes a e d.

Identificando os expoentes, temos:a d 023a 2 d 122d 21

Resolvendo o sistema, obtemos: d 1 __ 2 e a 2 1 __

2

Resposta: a 2 1 __ 2 e d 1 __

2

Solução: De v da 3 pd, temos:

[v] [d]a 3 [p]d ] M0LT21 (ML23)a 3 (ML21T22)d ] M0LT21 Ma d L23a 2 d T22d

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tEstEs propostos

P. 437 (Inatel-MG) Leia com atenção o seguinte trecho extraído do livro Pensando a Física, do prof. Mário Schenberg:

“Há na Física uma coisa muito misteriosa que é o chamado comprimento de Planck. É muito curioso saber que quando Planck descobriu a constante h, percebeu que, com a constante h, com a constante gravitacional (G) e com a velocidade da luz (c), podia-se formar um comprimento. Esse comprimento é extremamente pequeno, na ordem de 10233 cm. Hoje se compreende que esse comprimento deve ser importante para a compreensão da origem do universo. Esse número deve estar ligado ao que há de mais fundamental na Física.”

Responda agora à seguinte questão: Qual é a possível combinação das constantes h, G e c que forma o comprimento de Planck, de

acordo com o texto acima? São dados os seguintes valores no Sistema Internacional (SI):

h 6,63 3 10234 J 3 s G 6,67 3 10211 N 3 m2

_______ kg2

c 3 3 108 m/s

P. 434 (EEM-SP) As equações dimensionais das grandezas em Mecânica são do tipo:

[G] [M]a 3 [L]d 3 [T]D

onde G é uma grandeza qualquer e M, L e T são as grandezas fundamentais.a) Quais são as grandezas M, L e T, e quais são suas unidades no SI?b) Como se chamam os expoentes a, d e D, e que valores têm quando G é uma potência me-

cânica?

P. 435 (Vunesp) Num determinado processo físico, a quantidade de calor Q transferida por convecção é dada por:

Q h 3 A 3 ST 3 St

onde h é uma constante, Q é expresso em joules (J), A em metros quadrados (m2), ST em kelvins (K) e St em segundos (s), que são unidades do Sistema Internacional (SI).a) Expresse a unidade da grandeza h em termos das unidades do SI que aparecem no enunciado.b) Expresse a unidade de h usando apenas as unidades kg, s e K, que pertencem ao conjunto

das unidades de base do SI.

P. 436 (IME-RJ) Suponha que o módulo da velocidade v de propagação de uma onda sonora dependa somen te da pressão p e da massa específica do meio j, de acordo com a fórmula v px 3 jy.

Use a análise dimensional para determinar a expressão do módulo da velocidade do som, sabendo-se que a constante adimensional vale 1.

ExErcícIos propostos DE rEcApItUlAção

P. 430 Verifique a homogeneidade das equações abaixo, isto é, prove que as dimensões do primeiro membro são iguais às do segundo em cada equação.a) v2 2aSs, em que v: velocidade; a: aceleração e Ss: variação de espaço b) U Ed, em que U: tensão elétrica; E: campo elétrico e d: distância

P. 431 Considere a equação x a bt ct2 dt3, em que x e t são, respectivamente, comprimento e tempo. Expresse os parâmetros a, b, c e d em função de M, L e T.

P. 432 A aceleração a de um móvel é dada por a va 3 hd, em que v é a velocidade linear e h a velocidade angular. Determine os expoentes a e d.

P. 433 A velocidade v de um satélite rasante à Terra é dada por v ga 3 Rd, em que g é a aceleração da gravidade nas vizinhanças da Terra e R é o raio da Terra. Determine os valores de a e d, e escreva a fórmula da velocidade v do satélite.

ExErcícIos propostos

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T. 488 (PUC-PR) Representando o comprimento por L, a massa por M e o tempo por T, as dimensionais LMT22, L2MT23 e L21MT22 representam, respectiva-mente:a) o trabalho, a força e a massa específica.b) a potência, a aceleração e a pressão.c) a força, a potência e a pressão.d) o peso específico, a aceleração e a potência.e) a tensão, a potência e a energia.

T. 490 (Fuvest-SP) No Sistema Internacional de Unidades (SI), as sete unidades de base são o metro (m), o quilo-grama (kg), o segundo (s), o kelvin (K), o ampère (A), a candela (cd) e o mol (mol). A lei de Coulomb da eletrostática pode ser expressa pela fórmula:

F 1 _____ 4s0

3 Q 1Q 2 _____

r2

onde 0 é uma constante fundamental da Física e sua unidade, em função das unidades de base do SI, é:a) m22 3 s2 3 A2 d) m 3 kg 3 s22

b) m23 3 kg21 3 A2 e) adimensionalc) m23 3 kg21 3 s4 3 A2

T. 491 Considere a equação dimensionalmente homogê-nea x at2 2 bt3, em que x e t são, respectivamente, comprimento e tempo. Então, as expressões de a e b em função de M, L e T são, respectivamente:a) M0 L T e M0 L T21

b) M0 L2 T3 e M0 L22 T23

c) M0 L T22 e M0 L T23

d) M0 L22 T e M0 L0 T23

e) M0 L2 T3 e M0 L T23

T. 492 (UFRGS-RS) Ao resolver um problema de Física, um estudante encontra sua resposta expressa nas seguintes unidades: kg 3 m2/s3. Essas unidades representam:a) forçab) energiac) potênciad) pressãoe) quantidade de movimento

T. 494 (Fuvest-SP) Um estudante está prestando vestibular e não se lembra da fórmula correta que relacio na a velocidade v de propagação do som com a pres-são p e a massa específica G (kg/m3) num gás. No entanto, ele se recorda de que a fórmula é do tipo

va Cpd

____ G , onde C é uma constante adimensional.

Analisando as dimensões (unidades) das diferen-tes grandezas físicas, ele concluiu que os valores corretos dos expoentes a e d são:a) a 1 e d 2b) a 1 e d 1c) a 2 e d 1d) a 2 e d 2e) a 3 e d 2

T. 489 (ITA-SP) A força de gravitação entre dois corpos é

dada por F G m1m2 ______

r2 . A expressão da constante de

gravitação G em função de M, L e T é, então:a) L3M21T22 d) L2M21T21

b) L3MT22 e) nenhumac) LM21T2

T. 493 (ITA-SP) A velocidade de uma onda transversal em uma corda depende da tensão F a que está sujeita a corda, da massa m e do comprimento d da corda. Fazendo uma análise dimensional, concluímos que a velocidade poderia ser dada por:

a) F ____ md

b) @ Fm ____ d # 2

c) @ Fm ____ d #

1 __ 2

d) @ Fd ___ m # 1 __ 2

e) @ md ____ F # 2

tEstEs propostos

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