UNIDADE F Ondas Capítulo Movimento 16 simples (MHS ...aprendafisica.com/gallery/aula 16 - movimento harmônico simples.pdf · exercícios resolvidos Movimento harmônico ... Como

Relógio de solPrimeiro dispositivo de que se tem notícia para medições do tempo, era baseado no período de rotação da Terra. A sombra de uma haste fincada no chão indicava as horas. Não era muito preciso, mas já era um grande avanço.

Clepsidra (relógio de água)A inutilidade do relógio de sol à noite, somada à percepção da regularidade com que um líquido escoava entre dois recipientes, fez surgir uma nova classe de medidores de tempo: o relógio de água.

AmpulhetaDe princípio semelhante ao da

clepsidra, mas com areia no lugar da água, a ampulheta deu portabilidade aos relógios. Com areia presa nos recipientes, esse tipo de relógio podia ser levado

para qualquer lugar.

Capítulo

O movimento harmônico simples é um movimento periódico de velocidade e aceleração variáveis, gerado por forças restauradoras, do tipo das forças elásticas. A análise do MHS é fundamental para o estudo das Ondas.

16.1 Movimentos periódicos

Um fenômeno é periódico quando se repete identicamente em intervalos de tempo iguais.

16.2 Movimento harmônico simples (MHS)

Quando em movimento harmônico simples, um ponto material oscila periodicamente em torno de uma posição de equilíbrio.

16.3 Funções horárias e gráficos do MHS

O movimento harmônico simples e o circular uniforme estão relacionados; isso nos possibilita chegar às equações cinemáticas do MHS.

16.4 Associação de molas

Se cortarmos uma mola de constante elástica k em duas partes iguais, cada parte terá constante elástica 2k.

16.5 Pêndulo simples

Ao oscilar em torno de uma posição de equilíbrio, desprezadas as resistências, o pêndulo realiza um movimento periódico.

UNIDADE F Ondas

Movimento harmônicosimples (MHS)16A medida do tempoao longo dos temposA necessidade de medir intervalos de tempo levou o

homem à criação do relógio e, consequentemente, a seu

aperfeiçoamento. Desde os modelos rudimentares até os de

alta precisão, o funcionamento desses instrumentos se baseia

em conceitos físicos muito simples: período e frequência.

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Relógio mecânicoA energia da queda de umpeso é transmitida por meiode engrenagens aos ponteiros.Uma peça composta por duas palhetas impede que o mecanismo do relógio e seus ponteiros acelerem. Essa peça é controlada por um pêndulo,que dita a frequência do relógio.

Relógio de quartzoAlguns materiais, como o quartzo, quando cortados de maneira específica, oscilam numa frequência bastante exata quando submetidos a tensões elétricas. Um circuito integrado converte essas vibrações, que são projetadas num display digital.

O comprimentoda haste é regulado por um parafuso, por meio do qual é feito o acerto do período da oscilação.

1. Um relógio de pêndulo calibra-do na Terra, se levado à Lua, atrasará ou adiantará?

2. O que aconteceria com esse mesmo relógio, supondo cali-brado na Rússia, se fosse levado ao deserto do Saara?

Para pensar

Quanto mais longo o pêndulo, maior o tempo de uma oscilação completa.

L1

O pênduloO período de oscilação de um pêndulo, em um determinado local, depende apenas de seu comprimento.

L2

Relógio atômicoDe funcionamento parecido com o do

relógio de quartzo, coma diferença que os

elementos osciladoressão átomos de césio.

O pêndulo

Essa oscilação é tão exata que a medida atual do segundo

se baseia nesse padrão: 1 s é a duração de 9.192.631.770 períodos

da radiação correspondente à transição de um elétron entre dois níveis de energia de um átomo de

Césio 133.

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Objetivos Conhecer exemplos de movimentos periódicos

e os sistemas que os realizam.

Relacionar período e frequência de um

movimento periódico.

Termos e conceitos

• oscilador harmônico• amplitude

Seção 16.1 Movimentos periódicos

Um fenômeno é periódico quando se repete identicamente em inter-valos de tempo iguais. O perío do T é o menor intervalo de tempo para repetição do fenômeno.

Exemplos:

• Desprezadas a resistência do ar e forças dissipativas em geral, o pên-dulo da figura 1 oscila da posição A até a B e retorna à A, repetindo a oscilação. O fenômeno é periódico, pois se repete em intervalos de tempo iguais. O período T é o intervalo de tempo para o pêndulo ir de A a B e retornar a A.

• Desprezadas as forças dissipativas (atrito e resistência do ar), o bloco B da figura 2, preso à mola M, executa um movimento periódico cujo período é o intervalo de tempo para ir e voltar à posição inicial (A).

Figura 2. O oscilador harmônico.

O bloco e a mola da figura 2 constituem um conjunto denominado oscilador harmônico (reveja Volume 1, Capítulo 15, pág. 298).

A posição do bloco B pode ser dada com o auxílio de um eixo de abs-cissa Ox (fig. 2) orientado da esquerda para a direita. Assim, quando o bloco está à direita de O (fig. 2B), sua abscissa x é positiva e, quando está à esquerda de O (fig. 2D), sua abscissa x é negativa.

O valor máximo da abscissa x é denominado amplitude a. Nas posições extremas do bloco B em que ocorreu inversão de sentido do movimento, x a (fig. 2A) e x a (fig. 2E). Nessas posições, a velocidade é nula. Considera-se a positivo.

O oscilador harmônico da figura 2 efetua um movimento periódico cujo período T é o in ter va lo de tempo para o bloco efetuar uma oscilação completa (da fig. 2A à fig. 2G).

Figura 1. O período T da oscilação é o intervalo de tempo para o pêndulo ir de A até B e retornar a A.

A B A B

BM

–a O a x

O bloco é abandonado x = a.

O bloco numa posição de abscissa x.

Posição de equilíbrio (x = 0).

A abscissa x é negativa.

Posição extrema negativa x = –a.

O bloco retornando.

Completa-se um período.

A

B

C

D

E

F

G

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Nos fenômenos periódicos, além do período T, considera-se outra grandeza: a fre quên cia f. Chama-se frequência o número de vezes em que o fenômeno se repete na unidade de tem po.

O período T e a frequência f relacionam-se da seguinte forma:

Intervalo de tempo no de vezes em que o fenômeno se repete

(período) T 1 (vez)

(unidade de tempo) 1 f (vezes) (frequência)

Por regra de três simples e direta, temos:

fT 1 ] f 1 __

T

ou T 1 __

f

A unidade de frequência no Sistema Internacional de Unidades (ciclos por segundo) é denomi-nada hertz (símbolo: Hz), em homenagem ao físico alemão Henrich Rudolf Hertz (1857-1894).

Observe agora a figura 3. A mola M, de constante k, exerce sobre o bloco B, de massa m, a força elástica Fel. (reveja Volume 1, Capítulo 11, pág. 204, lei de Hooke, deformações elásticas). A força elástica Fel. tem sentido contrário ao do eixo orientado quando os valores de x são po-sitivos, mas tem o mesmo sentido do eixo para valores negativos de x (fig. 3B e 3C).

Levando em conta os sinais de x e os sentidos de Fel., podemos expressar algebricamente a intensidade da força elástica assim:

Para x . 0, resulta Fel. , 0, isto é, Fel. tem sentido contrário ao do eixo orientado.

Para x , 0, resulta Fel. . 0, isto é, Fel. tem o mesmo sentido do eixo orientado.

O gráfico de Fel. em função de x está representado na figura 3D.

Fel. kx

Figura 3. (A) Bloco na posição de equilíbrio x 5 0; (B) mola distendida, bloco na posição genérica x,positiva, Fel. tem sentido oposto ao do eixo orientado; (C) mola comprimida, bloco na posição genérica x,negativa, Fel. tem o mesmo sentido do eixo orientado; (D) gráfico de Fel. em função de x.

B

O

O

(k)

xO

x

m

M B

x

x

x

Fel. = –kx B v = 0

x = –a

v = 0F'el. = –kx

x = +a

x

Fel.

O–a +a

–ka

kaA

B

C

D

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Objetivos Conceituar período e frequência de um

movimento periódico.

Analisar o movimento harmônico simples

descrito por um oscilador harmônico.

Compreender a relação entre período próprio do oscilador, a massa

do corpo e a constante elástica da mola.

Analisar a conversão entre energias cinética e

potencial em um MHS.

Relacionar energia mecânica e amplitude

no MHS.

Termos e conceitos

• força restauradora• energia cinética

• energia potencial

Seção 16.2

No MHS o período T é o intervalo de tempo para o fenômeno se repe-tir: na figura 4 ele é o intervalo de tempo para a esfera, abandonada na posição (B), retornar a essa mesma posição. Em outro intervalo igual a T o fenômeno se repete.

Conforme demonstraremos no item 4 da seção 16.3, o período T do MHS depende da massa m do ponto material e da constante elástica k da mola ligada ao ponto material. Uma vez definidos a mola (e sua constante k) e o ponto material (e sua massa m), obtém-se o período de oscilação pela fórmula:

exercícios resolvidos

Movimento harmônico simples (MHS)

Diz-se que um ponto material efetua um movimento harmônico simples linear, que indicaremos simplesmente por MHS, quan do, numa trajetória retilínea, oscila periodicamente em torno de uma posição de equilíbrio sob a ação de uma força cuja intensidade é proporcional à distância do ponto à posição de equilíbrio (figs. 3 e 4). Essa força é sempre orientada para a posição de equilíbrio e chama-se força restauradora.

O movimento de um oscilador harmônico é um MHS, no qual a força elástica Fel. kx é a força restauradora (fig. 3). A esfera suspensa verticalmente (fig. 4) à mola efetua um MHS quando se desprezam as forças dissipativas. Como o MHS é um movimento de trajetória retilínea, a posição do móvel é dada pela abs cissa x, me dida num eixo orien ta do a partir da posição de equilíbrio (O). A amplitude a é a distância da po si-ção de equilíbrio até o extremo da oscilação. Nos extremos da oscilação, a abscissa é x a (figs. 3B e 4B) ou x a (figs. 3C e 4C). Nesses extremos, há inversão de sentido do movimento, ou seja, a velocidade é anulada. Durante a oscilação, o móvel passa pela posição de equilíbrio com velocidade máxima em módulo.

Figura 4. A esfera suspensa à mola efetua um MHS (desprezada a ação do ar): (A) a esfera está na posição de equilíbrio; (B) puxamos a esfera e a abandonamos; (C e D) a esfera oscila, efetuando MHS de amplitude a em torno da posição de equilíbrio O.

(k)–a

O

+a

x = –a

x = +am

x

Fel.

Fel.

A B C D

T 2s dlll

m __

k

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Esse período é um período próprio da oscilação e independe de sua amplitude. A amplitude depende da energia cedida ao sistema: quando puxamos o corpo para a posição mostrada na figura 4B, estamos cedendo a ele e à mola energia potencial e, consequentemente, definindo uma amplitude a para a os ci la ção. Se a amplitude a for maior ou menor, cederemos mais energia ou menos; em qual quer caso, porém, o período não se altera e pode ser calculado pela fórmula anterior. Devido à importância dessa fórmula, nós a usa remos desde já. As discussões sobre energia serão feitas no item “Energia no MHS”, a seguir.

O período do MHS depende da massa m do ponto material em movimento e da constante elástica k, mas não depende da amplitude da oscilação.

No endereço eletrônico http://br.geocities.com/saladefisica3/laboratorio/oscilador/oscilador.htm (acesso em agosto/2009) você pode determinar a amplitude, a frequência e o período de um oscilador massa-mola.Entre na redeEntre na rede


R. 111 O ponto material da figura tem massa m 0,2 kg e está preso à mola de constante elástica k 0,8 s2 N/m. Por meio de uma ação externa distende-se a mola de 3 cm, abandonando-se o conjunto, que começa a oscilar, efetuando um MHS na ausência de forças dissipativas.

Solução:a) O período do movimento não depende da am-

plitude, mas da massa m e da constante elástica k. Calculando o período T para m 0,2 kg e k 0,8 s2 N/m, obtemos:

b) Inicialmente, o conjunto bloco e mola está em equilíbrio. Dis tendida a mola de 3 cm (cedendo energia potencial ao sistema) e abandonando-se em seguida o bloco, o conjunto vai oscilar. O bloco oscila 3 cm de cada lado da posição de equi lí brio; portanto, a amplitude é 3 cm.

c) O intervalo de tempo para o bloco abandonado em P retornar a essa posição é igual ao período

de oscilação: T 1 s , pois corresponde ao

tempo de repetição do fenômeno.

Respostas: a) 1 s; b) 3 cm; c) 1 s

3 cm

O

O

O

3 cm3 cm

P

k

3 cm

m

P

Determine: a) o período do movimento;b) a amplitude de oscilação;c) após quanto tempo, a contar do instante em que

abandonamos o bloco em P, ele retornará a essa mesma posição.

Determine:a) a constante elás-

tica da mola;b) o período e a fre-

quência do MHS;c) a amplitude do

MHS.

R. 112 Uma mola tem o comprimento de 8 cm quando não solicitada (fig. I). Coloca-se em sua extre-midade um corpo de massa igual a 0,1 kg e o comprimento da mola passa a ser 12 cm (fig. II). Por meio de uma ação externa puxa-se o corpo até que o comprimento da mola atinja 14 cm (fig. III), abandonando-se em seguida o conjunto, que passa a efetuar um MHS. Despreze as forças dissipativas e adote g 10 m/s2.

12 c

m

14 c

m

(II)(III)

(I)

8 cm

T 2s dlll m __

k ] T 2s dlllll

0,2 _____

0,8s2 ]

] T 2s ___ 2s

] T 1 s

a 3 cm

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c) Da figura II, posição de equilíbrio, à figura III, posição em que o sistema é abandonado, a mola foi dis ten dida 2 cm. Em relação à posição de equilíbrio, o sistema oscilará 2 cm acima e abaixo; logo, a am plitude é 2 cm.

a 2 cm

Respostas: a) 25 N/m; b) T 7 0,4 s e f 7 2,5 Hz; c) 2 cm

] k 1 _____ 0,04

] k 25 N/m

Fel. P ] kx mg ] k 3 0,04 1 ]

a) Da figura I à figura II, pela ação do peso P mg do corpo de massa m, a mola sofre a de for ma ção x, dada por:

x 12 cm 8 cm ] x 4 cm

Na figura II, o corpo está em equilíbrio após a de-formação da mola. No corpo atuam: seu peso

P mg ] P 0,1 3 10 ] P 1 N

e a força elástica da mola, para cima, de inten-sidade Fel. kx, em que x 4 cm 0,04 m.

A força peso (P) e a força elástica da mola (Fel.) se equilibram; logo:

b) O período do MHS, que independe da amplitude, é dado por:

T 2s dlll m __

k ] T 2s dllll

0,1

___ 25

] T 2s ___ 5 dlll 0,1 ]

] T 7 2s ___ 5 3 0,32 ] T 7 0,4 s

f 1 __ T

7 1 ___ 0,4

] f 7 2,5 Hz

(I)

8 cm

12 c

m(II)

Fel.

P

x = 4 cm

12 c

m

14 c

m

2 cm2 cm2 cm

exercícios propostos

P. 398 Determine o período, a frequência e a amplitude dos MHS indicados a seguir. A posição de equilí-brio corresponde ao ponto O, sendo indicados os extremos da oscilação. Não há forças dissipativas (constante da mola: k 0,4 s2 N/m).

P. 399 Uma mola tem constante elástica igual a 4 N/m e comprimento 0,80 m quando não solicitada (fig. I). Coloca-se, em sua extremidade, um corpo de massa m 0,10 kg (fig. II).

a) Determine a posição de equilíbrio da mola, medida em relação ao teto.

b) Puxa-se o corpo 15 cm da posição de equilíbrio, abandonando-o a seguir, no instante t 0 (fig. III). Após quanto tempo o corpo retorna a essa posição? Qual é a amplitude de seu movimento? Qual é o comprimento mínimo apresentado pela mola nesse movimento? Adote g 10 m/s2 e despreze as forças dissipativas.

a)

b)

4 cmO

k = 1,2 N/m

m = 0,3 kg

15 c

m

(II)

(III)

(I)

0,80 m

t = 0

10 cm

m = 0,1 kg

O

Solução:

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Energia no MHS

A energia mecânica pode ser dividida em duas partes: a energia cinética Ec (associada à ve lo cidade do ponto material), e a energia potencial Ep (do tipo elástica, associada à posição x do ponto material), dadas por:

A soma dessas energias é a energia mecânica Emec.:

No MHS as energias cinética e potencial variam, pois variam a velocidade v e a posição x do ponto material. Entretanto, a energia mecânica permanece constante, uma vez que supomos inexistentes as forças dissipativas ao analisarmos o MHS.

Na figura 5 reconsideramos o oscilador harmônico a partir da posição de máxima abs-cissa (amplitude). Nas figuras 5A e 5E a energia total se reduz à energia potencial elástica

Ep kx2

____ 2

, em que x ! a (sendo a a amplitude).

Assim, para essas posições: Emec. Ep kx2

____ 2

em que x !a. Portanto: Emec. ka2

____ 2

Essa fórmula permite determinar a amplitude do MHS por meio da energia:

Ec mv2

____ 2

Ep kx2

____ 2

Emec. Ec Ep

A amplitude do MHS depende da energia mecânica total cedida ao sistema.

Figura 5. Energia no MHS.

v = 0

O x = a

v

O x

Ox = 0

vmáx.

Ox'v'

v = 0

vmáx.

O (x = 0)

v = 0

O x = a

x = –a O

Emec. = Ep = ——ka2

2

Emec. = Ep + Ec = —— + ——kx2

2mv2

2

Emec. = Ec = ——–—mv 2máx.

2


2

Emec. = Ec + Ep = ——–– + ——–k (x' ) 2

2mv'2

2

Emec. = Ec = ——–—


2

mv 2máx.

2

A

B

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Desse modo, com a mola distendida de x a (fig. 5A), a energia potencial elástica equivale à energia mecânica total cedida ao sistema, a qual define a amplitude do MHS. Durante o mo-vimento, a energia potencial se transforma em cinética e vice-versa, mas a energia mecânica total permanece constante, pois não estamos considerando as forças dissipativas. Observe também que, se a mola tivesse sido mais (ou menos) distendida, teríamos cedido mais (ou menos) energia ao sistema, alterando assim a amplitude de oscilação. No entanto, qualquer que fosse a deformação inicial da mola, o período de oscilação já estaria definido, pois este

não depende da amplitude @ T 2s dll

m __

k # .

Em resumo, temos:

No endereço eletrônico http://br.geocities.com/saladefisica3/laboratorio/oscilador2/oscilador2.htm (acesso em agosto/2009) você pode determinar as energias mecânica, cinética e potencial elástica de um oscilador massa-mola.

Entre na redeEntre na rede

Ao passar pela posição de equilíbrio O, a velocidade tem módulo máximo:

Emec. Ep Ec ] ka2

____ 2

m v máx.

2 ______

2 ] vmáx. a dll

k

__ m

0

O gráfico da energia potencial Ep em função da abscissa x é um arco de parábola com

a concavidade voltada para cima. Para x 0, Ep 0; para x !a, Ep ka2

____ 2

(fig. 6A).

A representação gráfica da energia cinética Ec em função de x é também um arco de parábola, porém com a concavidade voltada para baixo, mostrando que a soma das energias potencial

e cinética permanece constante. Para x !a, Ec 0, e para x 0, Ec m v máx.

2 ______

2

ka2

____ 2

(fig. 6B).

A energia mecânica Emec. Ep Ec é constante: Emec. ka2

____ 2

(fig. 6C).

0–a +a x

Epka2

2–––

0–a +a x

Ecka2

2–––

0–a +a x

Emka2

2–––

A B C

Figura 6.

exercício resolvido

xO AA’

x = –a

Ec = 0

Ep =ka2

2

Emec. =ka2

2

x = 0

Ep = 0

Emec. =ka2

2

Ec =mv2

máx.

2

x = +a

Ec = 0

Ep =ka2

2

Emec. =ka2

2

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R. 113 Um ponto material de massa m 0,1 kg oscila em torno da posição O, realizando um MHS, na ausên-cia de forças dissipativas. A energia total mecânica do sistema é 0,2 J. Determine: a) a amplitude da oscilação;b) o módulo da velocidade máxima do ponto ma-

terial;c) o período de oscilação.

A constante elástica da mola é k 40 N/m.

Solução:a) A amplitude depende da energia mecânica do

sistema. Nos extremos da oscilação a energia

mecânica é igual à energia potencial @ Ep kx2

____ 2 # ,

em que a abscissa x tem módulo igual à ampli-tude. Assim:

Emec. ka2

____ 2

Sendo Emec. 0,2 J e k 40 N/m, obtemos:

0,2 40a2

_____ 2 ] a2 0,01 ] a 0,1 m

exercício resolvido

c) O período independe da amplitude e da energia e é dado por:

Respostas: a) 0,1 m; b) 2 m/s; c) T 7 0,3 s

] T s ___ 10

] T 7 0,3 s

T 2s dlll m __

k ] T 2s dllll

0,1

___ 40

] T 2s ___ 20

]

b) Durante a oscilação, a velocidade varia em mó-dulo e sentido. Nos extremos (figs. I, III e V) ela é nula, au mentando em módulo à medida que se aproxima da posição central. Nessa posição

k

O

v = 0

m

v = 0

v = 0

x = –a x = +a x

v = 0

m

k

v

O

v

v = 0

(I)

O

v = 0

(II)

(III)

(IV)

(V)

v = 0

O

O

O

x = +a

x = –a

x = +a

P. 400 Um ponto material de massa m 0,2 kg oscila em torno de uma posição de equilíbrio (posição O), com MHS. O módulo da máxima velocidade atin-gida é 1 m/s.

P. 401 Uma partícula oscila em torno de um ponto O, num plano horizontal, realizando um MHS. O gráfico re-presenta a energia potencial acumulada na mola em função da abscissa x.

Sendo a constante elástica da mola k 5 N/m, determine:a) a energia mecânica do sistema;b) a amplitude do MHS;c) o período do movimento.


O

O

O–0,2 0,2 x (m)

10

Ep ( J)

Determine:a) a amplitude do MHS;b) a constante elástica da mola;c) a energia potencial e a energia cinética quando

x 0,1 m.

Emec. Ec m v máx.

2 ______

2 ] 0,2

0,1 v máx.

2 ________

2 ]

] vmáx. 2 m/s

(figs. II e IV) a energia potencial é nula e o sis-tema só possui energia cinética: a velocidade é máxima em módulo. Na posição central a energia total é igual à energia cinética.

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Objetivos Relacionar

o MHS e o MCU.

Definir as funções cinemáticas

(função horária, função da velocidade, função da aceleração) no MHS a partir da sua

relação com o MCU.

Analisar os gráficos das funções cinemáticas do MHS.

Compreender o que é fase inicial no MHS.

Termos e conceitos

• pulsação• elongação• fase inicial

Seção 16.3

1 O MHS e o movimento circular uniforme

O MHS e o movimento circular uniforme (MCU) estão relacionados, de modo que um pode ser estudado por meio do outro. Esse estudo possibilita-nos chegar às equações cinemáticas do MHS.

Assim, seja o ponto P em MCU na circunferência de raio R. Os espaços s são me didos na própria circunferência (fig. 7) e os espaços angulares A são os ângulos centrais que de ter minam os arcos s. O ponto descreve a circun-ferência com velocidade escalar v e velocidade angular h; a aceleração centrípeta acp é orientada para o centro. Se os ângulos A estão em radia-nos (reveja Volume 1, Capítulo 10), temos:

s AR v hR acp v2

__ R

h2R

Considere que, no instante inicial t 0, o espaço inicial seja s0 (e A0, o espaço angular inicial), conforme a figura 8. A função horária do MCU é:

s s0 vt ou A A0 ht (na forma angular)

Funções horárias e gráficos do MHS

x

ϕs

+

Pacp

ω

O

R

v

Figura 7.

ϕ0

s0

P0 (t = 0)

ω

O

P (t )

ϕ

x

Figura 8.

No endereço eletrônico http://www.phy.ntnu.edu.tw/oldjava/portuguese/mecanica/shm/shm.html (acesso em agosto/2009) você encontra animações que ilustram a relação entre o MHS e o MCU.


Quando observamos frontalmente uma pessoa na bicicleta ergométrica,

vemos que seus pés parecem apenas subir e descer, fato que nos

leva a perceber a relação entre o MCU e o MHS.

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2 Função horária do MHS

Seja, agora, o ponto Q projeção ortogonal de P no eixo orientado Ox (fig. 9). Enquanto o ponto P descreve a circunferência em MCU, o ponto Q se move num e noutro sentido no diâ me tro horizon-tal orien tado Ox. A posição de Q no eixo Ox é dada pela abscissa x, que pode ser obtida no triân gulo destacado OPQ pela de finição do cosseno:

x R 3 cos A

A abscissa x, que define a posição do ponto Q, é chamada elongação.

Enquanto P descreve um MCU, o ponto Q oscila no diâmetro com um movimento não uni-for me, cuja função horária é cossenoidal. Movimentos com fun ção horária idêntica à anterior são movimentos harmônicos simples, como iremos demonstrar no item 4, ao analisarmos a ace le ra ção e o tipo de força que gera o movimento.

Assim, P descreve a circunferência com MCU e Q oscila em torno de O com MHS. A velo-cidade angular h do MCU é, no MHS, denominada pulsação ou frequência angular e ex pres sa em radianos por segundo (rad/s). O período T do MCU é o mesmo do MHS, pois a cada volta completa de P na circunferência corresponde uma oscilação completa de Q no diâmetro ho-rizontal. Po de mos, então, escrever:

h 2s

___ T

ou T 2s

___ h

3 Função da velocidade escalar do MHS

A velocidade de Q em MHS pode ser obtida a partir da velocidade de P em MCU (fig. 10). No tri-ângulo destacado ABP da figura 10, a velocidade v de Q é a projeção da velocidade do ponto P (vP) no eixo Ox. Como o sentido dessa velocidade é con-trário ao sentido positivo de Ox, acrescentamos o sinal menos ():

v vP 3 sen A

v ha 3 sen (A0 ht) ] v ha 3 sen (ht A0)

Figura 9.

ϕ

ω

O

P

x

Q

R = a

R

x

x a 3 cos A a 3 cos (A0 ht) ] x a 3 cos (ht A0)

Figura 10.

x

ϕO

P

v Q

vp = ωR

x

ϕ

vB

A

Sendo R a, isto é, o raio da circunferência igual à amplitude a, temos: x a 3 cos A.

O ângulo A é o espaço angular do ponto P que rea liza MCU.

Sendo A A0 ht, resulta:

Como vP hR ou vP ha e A A0 ht, obtemos:

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4 Função da aceleração escalar do MHS

A aceleração de Q em MHS pode ser obtida a partir da aceleração centrípeta de P em MCU (fig. 12). No triângulo des-tacado da figura 12, a aceleração a de Q é a projeção de acp no eixo Ox. Como o sentido dessa aceleração é contrário ao sentido positivo de Ox, acrescentamos o sinal menos ():

a acp 3 cos A

Como acp h2R ou acp h2a e A A0 ht, obtemos:

A fórmula , x a 3 cos (ht A0), substituída em nos conduz a: a h2x

Como a velocidade angular h é constante, podemos afirmar:

A aceleração no MHS é proporcional à abscissa que define a posição e tem sinal contrário ao desta abscissa.

Sendo assim, quando x é positivo, a é negativo (ponto Q na figura 12) e, quando xe é negativo, ae é positivo (ponto Qe na figura 12).

Na posição de equilíbrio, temos:

• x 0 e a 0

Nos pontos de inversão do movimento:

Nesses dois pontos a aceleração assume módulo máximo, ou seja: OaOmáx. h2a

Figura 12.

xO

acp = ω2R acp

Q' Qα'

ϕαxx'

PP'

A B

xO

P

v

ϕ = — radπ2

vp

O

P

v

vp

ϕ = –— rad3π2

x

Quando o ponto Q passa pela posição de equilíbrio O, podemos ter:

• A s

__ 2

rad (fig. 11A); como @ sen s

__ 2

1 # , vem: v ha

• A 3s

___ 2

rad (fig. 11B); como @ sen 3s

___ 2

1 # , vem: v ha

Portanto, em O, a velocidade escalar assume os valores:

Na posição O, o módulo da velocidade é máximo:

OvOmáx. ha

v ! ha

A

Figura 11.

B

a h2a 3 cos (A0 ht) ] a h2a 3 cos (ht A0)

• x a e a h2a (valor mínimo)

• x a e a h2a (valor máximo)

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Analisemos, agora, a força que causa essa aceleração. Da equação fundamental da Di nâ mica podemos obter o valor algébrico da força resultante:

F ma e, sendo a h2x, vem: F mh2x

No entanto, sendo m (massa) e h (pulsação) constantes, resulta mh2 k constante.

Portanto:

Esse resultado significa que a força atuante em Q é do tipo elástica restauradora, isto é, está sempre agindo no sentido de reconduzir o ponto para a posição de equilíbrio: quando x é positivo, F tem sentido oposto ao eixo Ox e vice--versa (fig. 13), e tem intensidade proporcional à abscissa x do ponto Q em relação à posição de equilíbrio O. Assim sendo, Q executa um MHS, pois está submetido a uma força característica do MHS.

Desse modo, podemos concluir que as fórmulas ante-riores , e são as funções ci ne má ticas do espaço, da velocidade e da aceleração do MHS.

De k mh2, temos:

k m 3 @ 2s ___

T # 2 ] @ 2s

___ T

# 2 k

__ m

] T 2s dll

m __

k

5 Gráficos cinemáticos do MHS

Vimos que as funções cinemáticas do MHS são:

• Espaço (elongação): x a 3 cos (ht A0)

• Velocidade: v ha 3 sen (ht A0)

• Aceleração: a h2a 3 cos (ht A0)

O ângulo A0 é denominado fase inicial e depende das condições iniciais do movimento. No MCU, esse ângulo corresponde ao espaço angular inicial.

As funções x f (t), v f (t) e a f (t) são funções senoidais e cossenoidais, isto é, seus gráficos são os das funções seno e cosseno, estudados em Trigono metria, indicados na figura 14 para o caso particular em que A0 0.

F kx

Figura 13.

xO F

P

xOF'

P'

Figura 14.

t

α

+a

–a

t

t0,5 T 1,5 T

v

x

+ωa

–ωa0,5 T 1,5 T

T

0,5 T–ω2a

+ω2a

1,5 T

T

T

0

0

0

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6 Fase inicial nas funções horárias

Na função horária x a 3 cos (ht A0), o ângulo A0, denominado fase inicial, depende das condições iniciais do movimento, isto é, de pen de da posição e do sentido do movimento no instante t 0.

Um método simples para a determinação de A0, válido para casos elementares, consiste em as sociar ao MHS um MCU em sentido anti-horário. No instante t 0, a fase inicial do MHS corresponde ao espaço inicial angular do MCU, medido a partir do eixo Ox e orientado no sentido anti-horário.

Nas figuras 15 e 16 indicamos alguns casos de determinação de A0.

Uma vez determinado A0, seu valor é o mesmo nas funções da posição x, velocidade v e aceleração a. Graficamente essas funções são representadas por cossenoides ou senoides.


Figura 15. Enquanto o bloco descreve um MHS no eixo horizontal Ox, o ponto P descreve um MCU. Cada figura corresponde a um particular instante t 5 0, determinando, portanto, um A0.

ϕ0 = 0 MCU

P

O t = 0x

no MCU, ϕ0 = 0

no MCU, ϕ0 = —π2

xO

ϕ0 = —π2 P MCU

t = 0

no MCU, ϕ0 = π

xO

MCU

t = 0

ϕ0 = π

P

no MCU, ϕ0 = –—3π2

xO

MCU

t = 0

ϕ0 = –—3π2

P

I — Eixo orientado para baixo

II — Eixo orientado para cima

OP

x

—–3π2

ϕ0 =ϕ0 = π

O

P

π

x

O P

x

π2—

ϕ0 = —π2

O

P

t = 0

t = 0 t = 0

t = 0

ϕ0 = 0x

O

MCU

Pϕ0

= π

x

π

MCU

O

MCU

P

x

ϕ0 = –—3π2

ϕ0 = 0

O

MCU P

x

O

MCU

P

x

ϕ0 = —π2

π2—

—–3π2

—–3π2

t = 0 t = 0MCUMCU MCU

t = 0 t = 0

Figura 16. O bloco efetua um MHS vertical e o ponto P, imaginário, efetua o MCU contado no sentido anti-horário a partir do eixo Ox.

No endereço eletrônico http://www.walter-fendt.de/ph14br/springpendulum_br.htm (acesso em agosto/2009) você pode analisar a oscilação de um pêndulo de mola, acompanhando a variação da elongação, da velocidade, da aceleração, da força e da energia em função do tempo.


A C

B D

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R. 114 Um ponto material de massa m 0,04 kg oscila em torno da posição O de equilíbrio, com MHS. A energia mecânica do sistema é 32 3 104 J.

Despreze as ações dissipativas e determine:a) o período da oscilação;b) a pulsação, em radianos por segundo;c) a amplitude da oscilação;d) a função horária da posição, a da velocidade e a da aceleração,

ado tando-se o eixo Ox orientado para a di rei ta e instante inicial t 0 quando o móvel está na posição extrema Q, indicada na figura;

e) o gráfico da posição x em função do tempo t, a partir de t 0 até t 2T, sendo T o período (dado: constante elástica k 0,16 N/m).

h 2s ___ T

] h 2s ___ s

] h 2 rad/s

c) A amplitude depende da energia mecânica total:

Emec. ka2

____ 2 ] 32 3 104

0,16a2

______ 2 ] a 0,2 m

Nessas equações, a 0,2 m e h 2 rad/s. A fase inicial é determinada com auxílio de um MCU associado ao MHS, cujo ponto P gira no

sentido anti-horário, com espaços angulares medidos a partir do eixo Ox.

x 0,2 3 cos (2t s)v 0,4 3 sen (2t s)a 0,8 3 cos (2t s)

Solução:a) O período de oscilação independe da amplitude, sendo:

T 2s dlll m __

k ] T 2s dlllll

0,04

_____ 0,16

] T s ] T 7 3,14 s

e) O gráfico da função x f(t), desde t 0 até t 2T, é indicado ao lado (função cossenoidal).

Respostas: a) 7 3,14 s; b) 2 rad/s; c) 0,2 m; d) x(t) 0,2 3 cos (2t s), v(t) 0,4 3 sen (2t s), a(t) 0,8 3 cos (2t s); e) gráfico acima

OQ

(t = 0)x

t (s)0,5T

0,2

1,5T

x (m)

T

– 0,2

2T0

R. 115 Um ponto material realiza um MHS sobre um eixo Ox, sendo sua função horária dada por:

x 0,2 3 cos @ st 3s ___ 2 #

para x em metros e t em segundos. Determine:a) a amplitude, a pulsação, a fase inicial e o período do movimento;b) a função da velocidade escalar.

b) A pulsação h relaciona-se com o período pela expressão:

d) As funções horárias da posição x, velocidade v e aceleração a têm o seguinte aspecto:

O

MCUP

t = 0

ϕ0 = π

x–a +a

x a 3 cos (ht A0)v ha 3 sen (ht A0)a h2a 3 cos (ht A0)

O exercício adota t 0 para a posição extrema à esquer-da; logo, do MCU temos:

A0 s rad As funções ficam:

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R. 116 Uma partícula realiza um MHS tal que os módulos máximos de sua velocidade escalar e de sua ace le ra ção escalar são respectivamente 3,0 m/s e 6,0 m/s2. Determine a amplitude e a pulsação do mo vi men to.

R. 117 Um corpo de massa m 1 kg oscila livremente, suspenso a uma mola helicoidal de massa des-prezível (fig. I). Preso ao corpo, há um estilete que registra num papel vertical as posições do corpo. O papel vertical envolve um cilindro que gira com velocidade angular constante. Seja 0,20 m/s a velocidade dos pontos do papel vertical. Os dados obtidos no papel estão indicados na figura II.

Determine:a) a frequência e a amplitude do movimento;b) a constante elástica da mola.

6,0

___ 3,0

h2a ____

ha ] h 2,0 rad/s

De , obtemos: 3,0 2,0 3 a ] a 1,5 m

Resposta: a 1,5 m e h 2,0 rad/s

Solução:a) O movimento do cilindro é uma rotação

uniforme (velocidade angular constante) e, por meio da fi gura registrada no papel que o envolve, podemos determinar o período do MHS efetuado pelo cor po. Este efetua um ciclo completo quando, passando pela posição 1 (registrada no papel), re tor na a ela em idênticas condições (posição 2). Nesse intervalo de tempo, o papel, à velocidade v 0,20 m/s, percorre, em movimento uni-forme de função s vt, o espaço s 0,10 m (posição 1 p posi ção 2).

Solução: Os módulos máximos da velocidade e da aceleração são dados por:

OvOmáx. ha ] 3,0 ha OaOmáx. h2a ] 6,0 h2a

Dividindo membro a membro a equação pela equação , vem:

Assim, para o papel que envolve o cilindro, temos: s vt ] 0,10 0,20t ] t 0,5 s Sendo esse o tempo necessário para o fenômeno se repetir, o período da oscilação será: T 0,5 s

A amplitude é obtida da figura no papel: observe que, verticalmente, o corpo oscila na extensão de 0,8 m, isto é, com amplitude de 0,4 m em torno da posição de equilíbrio.

Logo: a 0,4 m

b) Conhecido o período, podemos determinar a constante elástica da mola pela relação:

T 2s dlll m __

k ] 0,5 2s dll

1 __ k ] 0,52 (2s)2 1 __

k ] k 4s2

_____ 0,25

] k 7 158 N/m

Respostas: a) 2 Hz e 0,4 m; b) 7 158 N/m


0,15 m

0,8

m

v = 0,20 m/s

0,4

m0,

4 m

s = 0,10 m

2 1m

v = 0,20 m/s

m

0,15 m

0,8

m

Figura I. Figura II.

E a frequência é dada por: f 1 __ T

] f 1 ___ 0,5

] f 2 Hz

Solução:

a) Comparando x 0,2 3 cos @ st 3s ___ 2 # com x a 3 cos (ht A0), temos:

De T 2s ___ h

, vem: T 2s ___ s

] T 2 s

b) Sendo v ha 3 sen (ht A0), resulta:

Respostas: a) a 0,2 m, h s rad/s, A0 3s ___ 2 rad e T 2 s;

b) v 0,2s 3 sen @ st 3s ___ 2 # (v em m/s e t em s)

v 0,2s 3 sen @ st 3s ___ 2 # (v em m/s e t em s)

a 0,2 m h s rad/s A0 3s ___ 2 rad

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P. 402 Um ponto material de massa m 0,1 kg oscila em torno da posição O de equilíbrio, em MHS. A cons tan te elástica da mola é k 0,4 N/m.

P. 403 Um ponto material realiza um MHS sobre um eixo Ox segundo a função horária:

P. 404 A elongação de uma partícula em MHS varia com o tempo segundo o gráfico abaixo.

P. 405 Na figura representam-se os pontos de inversão do MHS que um bloco realiza. O período do mo vi men to é 2 s.

P. 406 A elongação x de um ponto material em MHS varia com o tempo segundo o gráfico a seguir.

a) Determine a pulsação h, em radianos por se-gundo.

b) Determine as funções horárias da posição x, da velocidade v e da aceleração a, em função do tem po, adotando-se o eixo Ox orientado para a direita, como se indica na figura. Adote t 0 quando o móvel se encontra na posição R.

c) Refaça o item anterior, adotando t 0 quando o móvel se encontra na posição S, e no sentido do movimento de R a Z.

d) Refaça o item b adotando t 0 quando o móvel se encontra na posição Z.

As posições indicadas pelas letras R e Z corres-pondem aos extremos da oscilação.

x 0,4 3 cos @ s __ 2 t s # (x em m e t em s)

Determine:a) a amplitude, a pulsação, a fase inicial e o perío do

do movimento;b) a velocidade escalar e a aceleração escalar nos

instantes t 1 s e t 2 s.

Determine:a) a amplitude, o período e a pulsação do movi-

mento;b) a função horária do movimento.

Determine:a) a amplitude e a pulsação do movimento;b) os valores máximos da velocidade escalar e da

aceleração escalar.


P. 407 Um corpo de massa 2 kg oscila livremente, sus pen-so a uma mola helicoidal de massa desprezível. As posições ocupadas pelo corpo são regis tradas, por meio de um estilete preso a ele, em uma fita de papel vertical que se desloca horizon talmente, com velocidade constante v 0,20 m/s.

Determine:a) a frequência e a amplitude do movimento do

corpo;b) a constante elástica da mola;c) a função horária do movimento do corpo, sa-

bendo que no instante t 0 a elongação é nula e o corpo está subindo.

Adote o sentido do eixo de ordenadas para cima.

Z S

O

R

0,1 m 0,1 m

x

0

0,3

– 0,3

1 2 t (s)

x (m)

O– 0,5 +0,5 x (m)

0 1 2 3 4 t (s)

x (m)

– 0,6

– 0,6

0,75 m

0,20

m

v

a) Determine a amplitude, a pulsação, a velocidade escalar máxima e a aceleração escalar máxima.

b) Construa os gráficos da velocidade escalar e da aceleração escalar em função do tempo.

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Objetivos Reconhecer as

associações de molas, em série ou em paralelo.

Relacionar as constantes elásticas

das molas nas associações, com a

constante elástica da mola equivalente.

Termos e conceitos

• mola equivalente

Para a associação em paralelo, a constante elástica da mola equiva-lente é dada por:

De fato, vamos aplicar à associação em paralelo uma força de inten-sidade F, de modo que as molas sofram a mesma deformação x. Nessa situação, a mola M1 fica sujeita a uma força de intensidade F1 e a mola M2, a uma força de intensidade F2 , tais que F1 k1x e F2 k2x (fig. 18A). A mola equivalente submetida à força de intensidade F sofre a mesma deformação x (fig. 18B). De F F1 F2 , vem: kpx k1x k2x; logo:

kp k1 k2

Figura 18. (A) Associação em paralelo de duas molas; (B) mola equivalente.

k1

M1 M2

k2

x xF2F1

F

A

kp

F

x

B

Seção 16.4

kp k1 k2

1 __

ks

1 __

k1

1 __

k2

Para a associação em série, temos:

Associação de molas

Considere duas molas M1 e M2 de constantes elásticas k1 e k2, respec-tivamente. Essas molas podem ser associadas em paralelo ou em série (fig. 17). A associação é considerada em paralelo quando as molas do sistema sofrem deformações iguais. Em cada caso podemos, para efeito de cálculo, substituir as duas por uma só, chamada mola equivalente. Sejam kp e ks as constantes elásticas das molas equivalentes às asso-ciações em paralelo e em série, respectivamente.

Figura 17. (A) Associação de molas em paralelo; (B) associação de molas em série.

k1

k2

M1

M2

⇒Mola

equivalente k s

BA

k1

M1 M2

k2 ⇒Mola

equivalentekp

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pro

ibid

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o C

ódig

o P

enal

e L

ei 9

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vere

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e 19

98.

Para a associação de molas em série, vamos aplicar uma força de intensidade F. As molas M1 e M2 ficam submetidas à mesma força de intensidade F e sofrem deformações x1 e x2 (fig. 19).

Essas deformações são expressas pelas fórmulas:

Por exemplo, ao cortarmos uma mola de constante elástica k em duas partes iguais, cada parte terá constante elástica 2k. De fato, sejam k1 e k2 as constantes elásticas das partes. Como são idênticas, temos k1 k2. Associando as partes em série, recompomos a mola inicial de constante elástica k. Portanto:

1 __

k

1 __

k1

1 __

k2

] 1 __

k

1 __

k1

1 __

k1

]

] 1 __

k

2 __

k1

] k1 2k

Associando-se as partes em paralelo, a mola equivalente tem constante elástica 4k.

1 __

ks

1 __

k1

1 __

k2

x1 F

__ k1

x2 F

__ k2

A mola equivalente, sob a ação da força de intensidade F, sofre uma deformação x tal

que x F

__ ks

.

Sendo x x1 x2, vem: F

__ ks

F

__ k1

F

__ k2

; logo:

Figura 19. (A) Associação em série de duas molas; (B) mola equivalente.

A

F

F

M1

M2

F

x1

x2

B

F

x = x1 + x2

k s

Para um amortecimento mais eficiente, é usada uma associação de molas nos bancos de algumas bicicletas.

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98.

Seção 16.5

Objetivos Analisar, para pequenas oscilações, o movimento realizado por um pêndulo simples, desprezando-se

a resistência do ar.

Relacionar o período e a frequência de

oscilação do pêndulo ao comprimento do fio e à aceleração local da

gravidade.

Termos e conceitos

• pequenas oscilações

Para pequenos ângulos podemos escrever tg J 7 sen J. Sendo

P mg e sen J x

__ L

vem:

F 2 P 3 tg J

F @ 2 mg

____ L

# 3 x

• para pequenas oscilações, de abertura não superior a 10w, a esfera pendular realiza movimento harmônico simples (MHS);

• o período desse MHS é T 2s dll

L __ g , em que L é o comprimento do fio

e g a aceleração local da gravidade.

Pêndulo simples

Pêndulo simples é um sistema constituído por uma partícula de massa m, suspensa por um fio ideal (fig. 20).

Ao oscilar em torno de sua posição de equilíbrio O, desprezadas as re-sistências, o pêndulo sim ples realiza um movimento periódico (fig. 21).

Na figura 22 representamos as forças que agem na esfera numa posição genérica P: o peso P e a tração T.

Admitindo o ângulo de abertura bem pequeno, o arco + AB pode ser considerado praticamente re tilíneo e, desse modo, a força resultante F P T tem a direção do eixo Ox e está orientada para a po si ção de equilíbrio O, sendo portanto uma força restauradora.

Do triângulo destacado (fig. 23) e levando-se em conta o sentido do eixo Ox, concluímos que o valor algébrico de F é:

Figura 22.

AB

Ox

θ

P

P

T

Figura 23.

Ox

θ

P

θ

L

x

T

F

P

Om

L

Figura 20.

AB

O

L

Figura 21.

Vamos provar que:

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(MH

S)

399

Sendo a intensidade da força restauradora proporcional à abscissa x da esfera, concluímos que esta realiza um movimento harmônico simples.

Sendo T 2s dll

m __

k , obtemos:

Observe que o período do pêndulo simples não depende da massa da esfera pendular.

Conteúdo digital Moderna PLUS http://www.modernaplus.com.brAtividade Experimental: O pêndulo simples


P. 408 Considere os sistemas representados nas figuras I e II, formados por duas molas idênticas de constante elástica k. Os blocos A e B, ligados às molas, possuem mesma massa m. Despreze os

atritos. O bloco A oscila com período TA, e o bloco B, com período TB. Calcule a relação TA ___ TB

.

P. 409 (Unicamp-SP) Um antigo relógio de pêndulo é calibrado no frio inverno gaúcho. Considerando que o período do pêndulo desse relógio é dado por:

P. 410 (Fuvest-SP) O pêndulo de Foucault 2 popularizado pela famosa obra de Umberto Eco 2 consis-tia de uma esfera de 28 kg, pendurada na cúpula do Panthéon de Paris por um fio de 67 m de comprimento. Sabe-se que o período T de oscilação de um pêndulo simples é relacionado com o seu comprimento L e com a aceleração da gravidade g pela seguinte fórmula:

T 2s dll L __ g

L em que L é o comprimento do pêndulo e g é a aceleração local da gravidade, pergunta-se:

a) Esse relógio atrasará ou adiantará quando transportado para o quente verão nordestino?b) Se o relógio for transportado do Nordeste para a superfície da Lua, nas mesmas condições

de temperatura, ele atrasará ou adiantará? Justifique as respostas.

T 2s dll L __ g

Adote g 10 m/s2 e dlll 10 s.a) Qual é o período de oscilação do pêndulo de Foucault? Despreze as frações de segundos.b) O que aconteceria com o período desse pêndulo se dobrássemos a sua massa?


BA

T 2s dlllll

m ______

@ mg ____

L #

] T 2s dll

L __ g

Para o cálculo do período comparamos

F 2kx com F @ 2 mg

____ L

# 3 x e concluímos

que k mg

____ L

.

No endereço eletrônico http://www.walter-fendt.de/ph14br/pendulum_br.htm (acesso em agosto/2009)você pode analisar a oscilação de um pêndulo simples, acompanhando a variação da elongação, da velocidade, da aceleração tangencial, da força e da energia em função do tempo.


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98.

exercícios propostos de recapitulação

P. 411 (PUC-SP) Na figura abaixo, está representada a si-tuação de equilíbrio de uma mola ideal quando livre e depois de ser presa a um corpo de massa 400 g.

P. 412 (UFBA) Uma mola ideal, de constante elástica igual a 16 N/m, tem uma de suas extremidades fixa e a outra presa a um bloco de massa 4 3 1022 kg. O sistema assim constituído passa a executar MHS, de amplitude 3,5 3 1022 m. Determine a velocidade máxima atingida pelo bloco.

P. 413 O corpo da figura tem massa 1,0 kg e é puxado a 20 cm de sua posição de equilíbrio. Uma vez libe-rado, o corpo oscila realizando um MHS. As forças dissipativas são desprezíveis. A constante elástica da mola é igual a 5,0 3 102 N/m.

Sendo a aceleração da gravidade local 10 m/s2, determine:a) a constante elástica da mola;b) o tipo e o período do movimento que o corpo

descreveria, caso fosse suspenso a 1,0 cm de sua po si ção de equilíbrio. Despreze a ação do ar sobre o movimento.

Determine:a) a energia cinética e a energia potencial no ins-

tante em que o corpo é abandonado;b) a energia mecânica do sistema;c) as abscissas do corpo para as quais a energia

cinética é igual à energia potencial.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10cm cm

20 cm

P. 414 (Unicamp-SP) Os átomos de carbono têm a pro-priedade de se ligarem formando materiais muito distintos entre si, como o diamante, o grafite e os diversos polímeros. Há alguns anos foi descoberto um novo arranjo para esses átomos: os nanotubos, cujas paredes são malhas de átomos de carbono. O diâmetro desses tubos é de apenas alguns na-nometros (1 nm 1029 m). No ano passado, foi possível montar um sistema no qual um “nanotu-bo de carbono” fechado nas pontas oscila no inte-rior de um outro nanotubo de diâmetro maior e aberto nas extremidades, conforme ilustração abaixo. As interações entre os dois tubos dão ori-gem a uma força restauradora representada no gráfico (1 nN 1029 N).

a) Encontre, por meio do gráfico, a constante de mola desse oscilador.

b) O tubo oscilante é constituído de 90 átomos de carbono. Qual é a velocidade máxima desse tubo, sabendo-se que um átomo de carbono equivale a uma massa de 2 3 10226 kg?

(A)

(B)

(C)

(D)

(E )

(F )

(G )

Força (nN)

X (nm)3020100–10–20–30

–0,5

–1,0

–1,5

0,5

1,0

1,5

C

BD

A

E

F

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98.

P. 415 Um móvel com movimento harmônico simples obe-

dece à função horária x 5 8 3 cos @ s __ 2 t 1 s # , em que

x é medido em cen tí me tros e t em segundos. De-termine a amplitude e o período do movimento.

P. 416 O gráfico indica a variação do comprimento de uma mola em função da força que a traciona.

P. 417 O ponto material da figura, pre so no extremo da mola de constante elástica k 5 0,32 N/m, oscila ver ti calmente, efetuando MHS. A energia mecâni-ca do movimento é Emec. 5 16 3 104 J. Determine as funções da posição, velocidade e aceleração, em função do tempo, orientando o eixo Ox para baixo e considerando t 5 0, quando o móvel se encontra na posição de equilíbrio O, com movimento para baixo.

P. 418 (Fuvest-SP) Enquanto uma folha de papel é puxada com velocidade constante sobre uma mesa, uma caneta executa movimento de vaivém perpendi-cularmente à direção de deslocamento do papel, deixando registrado na folha um traço em forma de senoide. A figura abaixo representa um trecho AB do traço, bem como as posições de alguns de seus pontos e os respectivos instantes.a) De termine a constante elástica da mola.

b) Coloca-se um corpo de massa 0,27 kg, cujo peso é 2,7 N, na extremidade da mola. Aplica-se uma for ça suplementar f, de forma que o com-primento total da mola seja 45 cm. Retirando- -se f, de ter mi ne o mínimo comprimento por que passa a mola.

O

x

(cm)

109876543210 11 12

2416 2012840

(s)

A B

Escala de tempo

Escala de espaço

Pede-se:a) a velocidade de deslocamento da folha;b) a razão das frequências do movimento de vaivém

da caneta entre os instantes 0 a 6 s e 6 a 12 s.

0,6

0,4

0,20 2 4 6

L (m

)

F (N)

f

P. 419 (ITA-SP) Um sistema massa-molas é constituído por molas de constantes k1 e k2, respectivamente, barras de massas desprezíveis e um corpo de mas-sa m, como mostrado na figura. Determine a fre-quência desse sistema.

P. 420 (Fuvest-SP) Na Terra, certo pêndulo simples execu-ta oscilações com período de 1 s.a) Qual é o período desse pêndulo, se posto a os-

cilar na Lua, onde a aceleração da gravidade é 6 vezes menor?

b) O que aconteceria com o período desse pêndulo, à medida que fosse removido para uma região livre de ações gravitacionais?

k2 k2 k2

k1 k1

m

c) Desprezando-se a dissipação da energia, ao fim de quanto tempo o corpo retornará à posição em que se retirou f ?

d) Determine a função horária do movimento, adotando t 5 0 s para o instante em que se retirou f e o sentido do eixo de ordenadas para cima.

A massa do ponto material é m 5 0,02 kg.

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98.

T. 369 (UEL-PR) A partícula de massa m, presa à extremi-dade de uma mola, oscila num plano ho ri zon tal de atrito desprezível, em trajetória retilínea em torno do ponto de equilíbrio O. O mo vi men to é harmô-nico simples, de amplitude x.

Considere as afirmações: I. O período do movimento independe de m. II. A energia mecânica do sistema em qualquer

ponto da trajetória é constante. III. A energia cinética é máxima no ponto O.

É correto afirmar que somente:a) I é correta. d) I e II são corretas.b) II é correta. e) II e III são corretas.c) III é correta.

T. 371 O corpo A de massa m está preso à mola de cons-tante elástica k e oscila horizontalmente, sem atrito, se gundo uma trajetória retilínea.

A

a)

x–a

+a

Ep

0

ka2

2—–

ka2

2– —–

b)

x–a +a

Ep

0

ka2

2—–

c)

xa

Ep

0

ka2

2—–

ka2

2– —–

d)

xa

Ep

0ka2

2– —–

ka2

2—–

e)

xa

Ep

0

ka2

2—–

ka2

2– —–

T. 370 (Fameca-SP) Uma partícula de massa 200 g realiza um MHS de amplitude a, em torno da po si ção de equi lí-brio O. Considerando nula a energia potencial para a partícula em O, a elongação pa ra a qual a energia cinética é igual ao dobro da energia potencial é:

a) x ! dll 3 a _____

3 d) x ! a __

4

b) x ! a __ 3 e) nenhuma das anteriores.

c) x ! a __ 2

T. 372 (UnB-DF) A figura mostra um sistema ideal massa--mola apoiado sobre uma superfície horizontal sem atrito. O corpo de massa m é deslocado desde a posição de equilíbrio (posição O) até a posição 2A e em seguida abandonado.

mk

–A – ––A2

O + ––A2

+A

Julgue os itens abaixo dando como resposta a soma dos números correspondentes às proposições corretas.(01) A energia mecânica do corpo no ponto A é

maior que a energia no ponto 2A.(02) A energia mecânica do corpo no ponto A __

2 é

50% potencial e 50% cinética.(04) A energia mecânica do corpo, ao passar pela

posição de equilíbrio, é menor que a energia no ponto A ou 2A.

(08) A energia cinética do corpo no ponto 2 A __ 2 é me-

nor que a energia cinética no ponto A __ 2 .

(16) A energia mecânica do corpo nos pontos A e 2A é exclusivamente potencial.

(32) A energia mecânica do corpo, ao passar pela posição de equilíbrio, é exclusivamente ciné tica.

testes propostos

T. 367 (Olimpíada Brasileira de Física) A extremidade de uma mola vibra com um período T, quando uma certa massa M está ligada a ela. Quando essa mas-sa é acrescida de uma massa m, o período de osci-

lação do sistema passa para 3 __ 2 T.

T. 368 (PUC-SP) Um corpo de 500 g é preso a uma mola ideal vertical e vagarosamente baixado até o ponto em que fica em equilíbrio, distendendo a mola de um comprimento de 20 cm. Admitindo g 10 m/s2, o período de oscilação do sistema corpo-mola, quando o corpo é afastado de sua posição de equi-lí brio e, em seguida, abandonado, será aproxima-damente:a) 281 s b) 44,5 s c) 8,0 s d) 4,0 s e) 0,9 s

A razão entre as massas, m ___ M

, é:

a) 5 __ 9 b) 9 __

4 c) 5 __

4 d) 1 __

2 e) 1 __

3

Quando a mola não está sendo solicitada por forças na posição x 0, a energia potencial é igual a zero. Nessas condições, pode-se dizer que o gráfico da energia potencial Ep em função de x está mais bem representado por:

O–x +x

m

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T. 373 (UEM-PR) Uma partícula realiza movimento har-mônico simples em relação a um dado re fe ren cial. Nessa condição, podemos afirmar que:a) sua energia potencial é inversamente propor-

cional à abscissa que define sua posição.b) sua velocidade é nula quando a abscissa x é

nula.c) sua aceleração varia linearmente com o tempo.d) sua velocidade é nula quando sua aceleração

tem módulo máximo.e) sua velocidade máxima independe da amplitude

do movimento.

T. 374 (UFF-RJ) Na figura, um corpo de massa M, capaz de mover-se sem atrito sobre uma su per fí cie horizon-tal, é preso à extremidade livre de uma mola ideal, que tem sua outra extremidade fixa à parede.

Com a mola relaxada, a posição de equilíbrio do corpo é a indicada por O. O corpo é des loca do até a posição x 2a, de forma a comprimir a mola, e é solto sem velocidade inicial.

Com relação ao movimento descrito pelo corpo após ser solto, o gráfico que pode representar a ace le ração a desse corpo em função de sua posição x, sendo h a pulsação, é:

–a O +a x

a)

x

α

–a

–ω2a

ω2a

+a0

b)

x

α

–a

–ω2a

ω2a

+a0

c)

x

α

–a

–ω2a

ω2a

+a0

d)

x

α

–a

–ω2a

ω2a

+a0

e)

x

α

–a

–ω2a

ω2a

+a0

T. 376 (Mackenzie-SP) Um disco de 20 cm de diâmetro gira uniformemente em torno de um eixo O, sobre um plano horizontal, executando 60 rpm. Perpendicu-larmente ao plano do disco, existe um anteparo, conforme ilustra a figura.

T. 378 (UFPA) A equação do MHS descrito por uma partí-

cula é x 10 3 cos @ 100st s __ 3 # , sendo x em centí-

metros e t em segundos. Qual se rá a amplitude e a frequência do movimento respectivamente em centímetros e em hertz?a) 10; 50 d) 50; 100

b) 10; 100 e) 10; s __ 3

c) 50; 50

T. 379 (Olimpíada Brasileira de Física) Um corpo executa um movimento harmônico simples de amplitude igual a 40 cm sobre um segmento de reta AB (figu-ra a seguir).

T. 377 (Mackenzie-SP) Uma partícula em MHS tem velo-cidade máxima 2,0 s m/s. Se a amplitude do mo vi-men to é 20 cm, seu período é de:a) 2,0 min d) 2,0 sb) 0,20 min e) 0,20 sc) 20 s

T. 375 (Olimpíada Paulista de Física) Em um barbeador elétrico, a lâmina move-se para frente e para trás de uma distância máxima de 2,0 mm, com uma frequência de 60 Hz. Interpretando-se o movimen-to como sendo um movimento harmônico simples, é correto afirmar que:a) a amplitude do movimento é 2,0 mm.b) a aceleração máxima durante o movimento é

aproximadamente 1,4 m/s2.c) a velocidade máxima durante o movimento é

aproximadamente 0,37 m/s.d) nenhuma das alternativas acima está correta.e) mais do que uma alternativa está correta.

Ao fixarmos um objeto cilíndrico de pequeno diâ-metro, perpendicularmente ao disco, num ponto de sua periferia, ele passa a descrever um MCU de frequência igual à do disco. A velocidade da proje-ção ortogonal do objeto no anteparo será:a) constante durante todo o trajeto entre A e C.b) zero no ponto B.c) máxima no ponto B, e seu módulo, aproxima-

damente 6,3 3 1021 m/s.d) máxima no ponto B, e seu módulo, aproxima-

damente 1,26 3 1021 m/s.e) máxima nos pontos A e C, e seu módulo, apro-

ximadamente 6,3 3 1021 m/s.

OR

RA

BCA

ntep

aro

20 cm

OXA B

Sendo o ponto O o ponto de equilíbrio, e conside-rando que entre a primeira passagem pelo ponto X, dirigindo-se para a direita, e a segunda passagem pelo mesmo ponto X decorrem 4 segundos, qual é o período desse movimento?a) 1 s d) 6 sb) 2 s e) 8 sc) 4 s

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98.

T. 381 (Acafe-SC) O gráfico abaixo mostra a elonga ção em função do tempo para um movimento harmônico simples.

A alternativa que contém a equação horária cor-respondente, no SI, é:

a) x 5 4 3 cos E @ 3 s __ 2 # 3 t 1 s R

b) x 5 4 3 cos E @ s __ 2 # 3 t 1 3 s __

2 R

c) x 5 2 3 cos st

e) x 5 2 3 cos @ st 1 s __ 2 #

d) x 5 2 3 cos E @ s __ 2 # 3 t 1 s R

T. 383 A razão entre as frequências de A e de B é:

a) 1 b) 1 __ 3 c) 1 __

2 d) 3 e) 2

T. 384 A razão entre as amplitudes de A e de B é:

a) 1 b) 1 __ 3 c) 1 __

2 d) 3 e) 2

T. 382 (UFBA) O gráfico abaixo representa as posições ocupadas, em função do tempo, por um móvel de massa igual a 1 kg, que oscila em MHS.

t (s)

x (m)

0

5

–5

2 4 8

6

Nessas condições, é correto afirmar:(01) A função horária da elongação é

x 5 5 3 cos @ s __ 4 t 1 3s ___

2 # .

(02) A função horária da velocidade escalar instan-

tânea é v 5 2 5s ___ 4 3 sen @ s __

4 t # .

(04) No instante 2 s, a velocidade escalar do móvel é nula.

(08) No instante 6 s, a aceleração escalar do móvel

(16) No instante 8 s, a energia cinética do móvel é nula.

Dê como resposta a soma dos números correspon-dentes às proposições corretas.

(Fesp-PE) Observe os dois movimentos oscila tórios re-presentados pelo gráfico abaixo e responda às questões T.383 e T.384.

é igual a 5s2

____ 16

m/s2.

t (s)

x (m)

0

2

–2

2

4

6

t

x

0

A

B

T. 385 (Mackenzie-SP) Uma partícula em MHS obedece à

equação x 5 0,05 3 cos @ s __ 2 1 s __

4 t # , com dados no SI,

a partir do instante t 5 0. A velocidade escalar dessa partícula no instante t 5 6 s é:

a) zero c) 0,05s

______ 4 m/s e)

s __

2 m/s

b) 0,05 m/s d) s

__ 4 m/s

(PUC-SP) As questões seguintes de números T.386 a T.389 referem-se a uma senoide para t 0, in di can do a velo-cidade do ponto P móvel na trajetória (O, x), em função do tempo:

v (cm/s)

t (s)

π 2π 3π

10

–10

0

O P

v

x

T. 380 (Ufla-MG) O gráfico representa a elongação de um corpo em movimento harmônico simples (MHS) em função do tempo.

8 t (s)

x (m)

0

5

–5

2 4 6

A amplitude, o período e a frequência para esse movimento são dados, respectivamente, por:

a) 10 m, 4 s, 1 __ 8 Hz

b) 5 m, 4 s, 1 __ 4 Hz e) 0, 8 s, 1 __

8 Hz

c) 10 m, 8 s, 1 __ 4 Hz

d) 5 m, 8 s, 1 __ 8 Hz

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98.

T. 386 O movimento a que se refere o diagrama da figura é um movimento:a) uniforme.b) uniformemente acelerado.c) uniformemente retardado.d) circular uniforme.e) harmônico simples.

T. 387 Sendo a origem O o centro da trajetória do movi-mento a que se refere o diagrama de velocidade da ques tão anterior, temos que, nesse movimento, o ponto móvel:a) parte da origem, com velocidade nula.b) parte da origem, mas não com velocidade

nula.c) não parte da origem, mas a velocidade inicial é

nula.d) não parte da origem, mas tem velocidade inicial

não nula.e) nenhuma das respostas anteriores é correta.

T. 388 No movimento a que se refere o diagrama dado, a maior distância que o móvel alcança da origem O é:a) infinita c) 5 cm e) 0,5 cmb) 10 cm d) 1 cm

T. 389 No movimento a que se refere o diagrama dado, a aceleração máxima que o móvel adquire é (em cm/s2):a) zero c) 10 e) 25b) 5 d) 20

T. 391 (UFBA) A figura abaixo representa um sistema constituído por uma partícula de massa m ligada à extremidade de uma mola de constante elástica k. A partícula é puxada desde a posição de equilí-brio O até uma posição A, distante a de O, e em seguida é abandonada, realizando movimento harmônico simples (MHS), na ausência de forças dissipativas.

T. 390 (Mackenzie-SP) Uma mola helicoidal de massa desprezível está presa, pela extremidade A, a uma parede rígida e, na extremidade B, encontra-se preso um corpo de massa m, conforme mostra a figura I. Quando o conjunto oscila livremente na direção da reta horizontal AB, perpendicular à parede, constitui-se um oscilador harmônico de período T. Se dispusermos de duas molas idênticas à anterior e as fixarmos conforme a figura II, ao constituirmos um oscilador harmônico, com a oscilação do mesmo corpo de massa m, segundo a mesma direção AB, seu respectivo período será:

a) T dll 2 ____ 4 c) T dll 2 ____

2 e) 2T

b) T __ 2 d) T

AOx

m

a

k

Nessas condições, é correto afirmar:(01) Na posição A, a força resultante na partícula

tem intensidade dada por ka ___ 2 .

(02) O período do MHS é proporcional à raiz qua-drada de m e depende também de a.

(04) Nos pontos de inversão do sentido do movi-mento, a aceleração da partícula é nula.

(08) A energia mecânica do sistema é igual a ka2

____ 2 .

(16) Associando-se a mola considerada em série com uma outra, de constante elástica ke, a fre-quência de oscilação da partícula será igual a

Dê como resposta a soma dos números associados às proposições corretas.

1 ___ 2s

3 E kke _________ (k 1 ke)m

R 1 __ 2 .


Vista lateral.

B A B A

B A

T. 392 (UFRGS-RS) Um pêndulo simples, de comprimento L, tem um período de oscilação T, num determinado local. Para que o período de oscilação passe a valer 2T, no mesmo local, o comprimento do pêndulo deve ser aumentado em:a) 1L c) 3L e) 7Lb) 2L d) 5L

T. 393 (Mackenzie-SP) Uma corpo C, de massa 1,00 3 1021 kg, está preso a uma mola helicoidal de massa despre-zível e que obedece à lei de Hooke. Num determina-do instante, o conjunto se encontra em repouso, conforme ilustra a figura I, quando então é abando-nado e, sem atrito, o corpo passa a oscilar periodica-mente em torno do ponto O. No mesmo intervalo de tempo em que esse corpo vai de A até B, o pêndulo simples ilustrado na figura II realiza uma oscilação completa.

Sendo g 5 10 m/s2, a constante elástica da mola é:a) 0,25 N/m c) 1,0 N/m e) 4,0 N/mb) 0,50 N/m d) 2,0 N/m


B O A

10 cm 10 cm

C

50 cm

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98.

T. 396 (PUC-MG) Num laboratório fez-se a seguinte expe-riência:1. Construiu-se um pêndulo, tendo, na sua extre-

midade livre, um frasco de tinta e um estilete.2. Fez-se o pêndulo oscilar transversalmente a

uma tira de papel, que se deslocava com velo-cidade constante v.

3. O estilete registrou as diversas posições do pêndulo, na tira de papel.

4. Para um tempo T, correspondente a uma osci-lação completa, obteve-se a seguinte figura:

Dividindo-se o comprimento do pêndulo por 4 e considerando-se o mesmo tempo T anterior, a figura ob tida nessas condições será:

T. 395 (ITA-SP) Um pêndulo simples oscila com um pe-ríodo de 2,0 s. Se cravarmos um pino a uma distân-

cia 3L ___ 4 do ponto de suspensão e na vertical que pas-

sa por aquele ponto, como mostrado na figura, qual será o novo perío do do pêndulo?

Despreze os atritos. Considere ângulos pequenos tanto antes quanto depois de atingir o pino.a) 1,5 sb) 2,7 sc) 3,0 sd) 4,0 se) O período de oscilação não se altera.

v

L3L4

–––a)

b)

c)

d)

e)

T. 394 (UFU-MG) Para pequenas amplitudes a frequência de oscilação de um pêndulo simples f está relacio-nada ao seu comprimento L e ao valor local da

aceleração da gravidade g por: f 1 ___ 2s

dll

g __

L .

Portanto um relógio de pêndulo típico deverá:

a) diminuir seu período para qualquer variação da temperatura ambiente.

b) atrasar nos dias frios.c) manter sua frequência inalterada sob qualquer

variação de temperatura, pois a temperatura não aparece na fórmula acima.

d) aumentar seu período para qualquer variação da temperatura ambiente.

e) atrasar, se for conduzido para locais de maior altitude.

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