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Capítulo
18uNidade G estática. Hidrostática.
Hidrodinâmica
Sistema de forças aplicadas a um ponto material. Equilíbrio do ponto material
Com muita habilidade, os equilibristas conse-guem manter-se sobre finas cordas ou mesmo
manter em equilíbrio objetos em situações que, à primeira vista, consideramos impossíveis.As condições de equilíbrio de
um corpo são verificadas pela análise do sistema de forças que atua sobre ele.
18.1 Resultante de um sistema de forças
A resultante de um sistema de forças aplicadas num ponto material é a força que, aplicada nesse ponto, produz o mesmo efeito que o sistema de forças.
18.2 Equilíbrio de um ponto material
O equilíbrio de um ponto material pode ser estático ou dinâmico. Nos dois casos, a aceleração vetorial é nula.
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Na posição “maltesa”, o atleta fica em equilíbrio estático. Nesse momento, a resultante das forças no atleta é nula.
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Seção 18.1
Objetivos Analisar o sistema de forças aplicadas a um
ponto material.
Determinar a resultante das forças
aplicadas em um ponto material em diferentes
situações.
Termos e conceitos
• forças colineares• regra do
paralelogramo• linha poligonal
de forças
Resultante de um sistema de forças
Considere um sistema de forças F1, F2, ..., Fn, de pontos de aplicação P1, P2, ..., Pn, respec ti vamente (fig. 1A). A soma vetorial de F1, F2, ..., Fn é denominada resultante do sistema de forças.
Se o sistema de forças estiver aplicado a um ponto material (fig. 1B), a resultante é a força que, aplicada ao ponto material, produz o mesmo efeito que o sistema de forças.
Indicando a resultante por FR, podemos escrever: FR F1 F2 ... Fn.
Para a obtenção da resultante valem as regras já estudadas para a soma de vetores.
Determinação da resultante de um sistema de forças
Vamos supor que um sistema de n forças conhecidas, F1, F2, ..., Fn, esteja aplicado a um ponto material P (fig. 2A). A resultante é obtida da seguinte maneira: os segmentos orientados que representam as forças são dispostos de modo a tornarem-se consecutivos, isto é, a extremidade do primeiro coincide com a origem do segundo, e assim por diante. A figura assim obtida (fig. 2B) recebe o nome de linha poligonal das forças. A re-sultante é representada pelo segmento orientado, cuja origem é a origem do primeiro, e a extremidade é a extremidade do último (fig. 2C).
A ordem de colocação dos segmentos orientados, que são represen-tações das forças, não altera o resultado final.
Se a extremidade do último segmento orientado coincidir com a ori-gem do primeiro (linha poligonal fechada), a resultante do sistema de forças será nula.
PnP2
F1
F2
Fn
P1
A
P
F1
F2
Fn
B
Figura 1. (A) Sistema de forças. (B) Sistema de forças aplicadas a um ponto material P.
Figura 2. (A) Ponto material sob a ação de n forças. (B) Os segmentos orientados, tornados consecutivos, definem a linha poligonal das forças. (C) O segmento orientado que fecha a linha poligonal das forças representa a resultante das n forças que atuam sobre o ponto material.
P
F2F1
Fn
A
Ω: origem arbitrária
F2
F1
Fn
B
Ω
F2
F1
FnFR
C
Se a linha poligonal das forças for fechada, a resultante será nula.
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Além da determinação gráfica da resultante pela linha poligonal das forças, podemos determiná-la analiticamente, empregando o método das projeções: tomamos um sistema cartesiano no plano das forças e determinamos as projeções de F1, F2, ..., Fn segundo os eixos x e y. Sejam F 1 x , F 2 x , ..., F n x as projeções em relação ao eixo x e F 1 y , F 2 y , ..., F n y em relação ao eixo y (fig. 3).
A força que movimenta o barco é uma das componentes da
força do vento na vela.
Sendo F R x e F R y as projeções de FR respectivamente em relação aos eixos x e y e sabendo-se que a proje ção da resultante num eixo é a soma algébrica das projeções das forças componentes, resulta:
A intensidade da força resultante é obtida pela aplicação do Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo destacado na figura 3:
A direção de FR forma com os eixos x e y, respectivamente, os ângulos Jx e Jy tais que:
cos Jx F Rx
___ FR
e cos Jy F Ry
___ FR
Figura 3.
Fny
F1y
F1x F2x Fnx
x
y
FRy
F2y
0
θyθx
FRx
F2
F1
FR
Fn
Seja J o ângulo de F com o eixo x. As projeções ortogonais de F em relação aos eixos x e y são dadas respectivamente por:
Fx F 3 cos J e Fy F 3 sen J
Projeções ortogonais de uma força F
Fy
0
θ
y
x
F
Fx
F R x F 1 x F 2 x ... F n x
F R y F 1 y F 2 y ... F n y
FR dlllllll F2Rx
F2Ry
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Se as forças F1 e F2 tiverem a mesma direção e sentidos opostos, a resultante FR terá a mesma direção das forças componentes e o sentido será o mesmo da componente de maior intensidade. Sua intensidade será igual à diferença entre as intensidades (intensidade da maior menos a intensidade da menor). Supondo F2 F1 (fig. 5), resulta:
Forças não colinearesConsidere agora que o ponto material P esteja sob a ação de duas forças conhecidas F1 e
F2 não colineares. A resultante FR pode ser obtida por meio da linha poligonal das forças ou simplesmente pela aplicação da regra do paralelogramo: a resultante FR é representada pela diagonal orientada do paralelogramo que passa por P e cujos lados orientados são represen-tações de F1 e F2 (fig. 6).
FR F1 F2
FR F2 2 F1 (F2 F1)
PF1 F2
BA
C
F2
F1FR
Figura 5.
P
α180° – α
αB
AC
F1
F2
FR
Figura 6.
F R 2 F 1
2 F 2 2 2F1F2 3 cos a
No endereço eletrônico http://www.walter-fendt.de/ph14br/forceresol.htm (acesso em junho/2009), por meio de uma si mu lação você pode analisar as componentes de uma força.Entre na redeEntre na rede
Para a determinação da intensidade da resultante, podemos aplicar a lei dos cossenos ao triângulo PBC destacado na figura 6.
F2R F2
1 F22 2 2F1F2 2 cos (180w 2 a)
Sendo cos (180w 2 a) 2cos a, resulta:
exercícios resolvidos
Sistemas de duas forças: casos particulares
Forças colinearesSe as forças F1 e F2 tiverem a mesma direção e o mesmo sentido, a resultante FR terá a
mesma direção e o mesmo sentido das forças componentes, e intensidade igual à soma das intensidades (fig. 4):
FR F1 F2
FR F1 F2
PF1
F2
BA CF1 F2
FR
Figura 4. Os segmentos orientados AB e BC , que são representações de F1 e F2, foram tornados consecutivos (ponto B comum). A força resultante FR é representada pelo segmento orientado de origem A e extremidade C.
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R. 173 Duas forças de intensidade F1 e F2, sendo F2 F1, agem sobre um ponto material. Variando-se o ângulo a entre as forças de 0w até 180w (0w < a < 180w), qual será o correspondente intervalo de variação da in ten si dade FR da resultante?
R. 174 Duas forças de mesma intensidade F 20 N atuam sobre um ponto material. O ângulo entre as forças é de 120w. Determine a intensidade da resultante.
No caso a 0w (figura a), temos: FR F1 F2 Para a 180w (figura b), vem: FR F2 2 F1 Para um valor qualquer de a diferente de 0w e 180w, podemos aplicar a regra do paralelogramo (figura c). Aplicando
ao triângulo destacado a propriedade que diz “em todo triângulo, a medida de qualquer lado é menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que a diferença”, resulta:
F2 2 F1 , FR , F2 F1
Reunindo as condições , e , temos:
Vamos ilustrar esse exercício com um exemplo numérico. Se F1 10 N e F2 15 N, a intensidade da força resultante, dependendo do ângulo entre as forças, assume valores
entre F2 2 F1 5 N e F2 F1 25 N, isto é: 5 N < FR < 25 N
F2 2 F1 < FR < F2 F1
Pela lei dos cossenos, temos:
F1
F2
FR = F1 + F2 FR = F
2– F1
F1 F2F1
F2F1
FR
α
Figura a. Figura b. Figura c.
Resposta: F2 2 F1 < FR < F2 F1
Observe, nesse caso (a 120w e forças de mesma intensidade), que a resultante tem mesma intensidade que as forças componentes.
Podemos ainda resolver esse exercício determinando a resultante graficamente pelo método da linha poli gonal, que nos conduz a um triângulo equilátero.
Resposta: 20 N
exercícios resolvidos
Solução:
F
FR
120°
F
F F
FR
60° 60°
60°
F
F
120°
Portanto: FR F 20 N
Solução:
F2R 202 202 2 3 20 3 20 3 @ 2
1 __ 2 # ] FR 20 N
F2R F2 F2 2FF 3 cos 120w
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P. 461 Duas forças de intensidades 3 N e 7 N, respectiva-mente, atuam sobre um ponto material. Em que in ter valo está compreendida a intensidade da resultante?
P. 462 Duas forças de mesma intensidade F, formando um ângulo de 60w, atuam sobre um ponto material. Qual é a intensidade da resultante?
P. 463 Um ponto material está sob a ação de três forças, conforme indica a figura. Determine a intensidade da resultante. Dados:
F1 3 N F2 5 N F3 2 N a d 90w
sen a 0,6 cos a 0,8
α
β F2
F1
F3
exercícios propostos
Para a determinação das características da resultante pelo método das projeções, adotamos um sis te ma cartesiano com a origem coincidente com P.
Projeções em x: F 1 x F1 ] F 1 x 20 N
F 2 x 2F2 3 cos 60w ] F 2 x 210 3 1 __ 2 ] F 2 x 25 N
Sendo F R x F 1 x F 2 x , temos:
F R x 20 N 2 5 N ] F R x 15 N
A intensidade FR da resultante é dada por: FR dllllllll F Rx 2
F Ry 2
] FR dlllllllllllll @ 15 # 2 @ 5 dll 3 # 2 ] FR 10 dll 3 N
Resposta: 10 dll 3 N; 30w com o eixo x e 60w com o eixo y
cos Jx F R x
___ FR
15 _____ 10 dll 3
3 ____ 2 dll 3
] cos Jx dll 3 ___ 2 ] Jx 30w
cos Jy F R y
___ FR
5 dll 3 _____ 10 dll 3
1 __ 2 ] cos Jy 1 __
2 ] Jy 60w
P
y
x20 N
10 N60°
F2x
F2y
F1
F2
0
y
xFRx
FRy
θx
θy
FR
Projeções em y: F 1 y 0
F 2 y F2 3 sen 60w ] F 2 y 10 3 dll 3 ___ 2 ] F 2 y 5 dll 3 N
Sendo F R y F 1 y F 2 y , vem: F R y 5 dll 3 N
A direção de FR forma com os eixos x e y ângulos Jx e Jy tais que:
R. 175 Duas forças F1 e F2 de intensidades 20 N e 10 N, respectivamente, atuam sobre um ponto material, conforme indica a figura. Determine graficamente a resultante pelo método da linha poligonal e pela re gra do para lelo gra mo. Em seguida, determine a intensidade e a direção da resultante pelo método das projeções.
P
60°
F1
F2
F1
F2FR
P F1
F2
FR
Solução: Nas figuras abaixo, mostramos a resultante FR obtida graficamente pelo método
da linha poligonal e pela regra do paralelogramo.
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Seção 18.2
Objetivos Conceituar equilíbrio
de um ponto material.
Analisar as forças que atuam em um ponto
material em equilíbrio.
Impor as condições de equilíbrio pelo método
da linha poligonal ou pelo método das projeções.
Termos e conceitos
• resultante nula• equações escalares
A resultante do sistema de forças aplicadas a um ponto material em equilíbrio deve ser constantemente nula (FR 0).
Se um ponto material sujeito à ação de um sistema de forças estiver em equilíbrio, as somas algébricas das projeções dessas forças sobre dois eixos per pen di cu la res e pertencentes ao plano das forças são nulas.
Portanto, o estudo de equilíbrio de um ponto material sob ação de um sistema de forças co pla nares nos fornece duas equações escalares.
1 Método da linha poligonal das forças
A resultante sendo nula, a linha poli gonal das forças é fechada.
Na figura 7A, temos um ponto material P em equilíbrio sob ação de três forças. Na figura 7B, representamos a linha poligonal dessas forças, que é fechada.
2 Método das projeções
Considere um ponto material sob a ação de um sistema de forças F1, F2, ..., Fn. Adote um sistema cartesiano situado no plano das forças. Sendo a resultante nula (FR 0), decorre que suas projeções nos eixos x e y são nulas ( F R x 0 e F R y 0). Sendo F 1 x , F 2 x , ..., F n x e F 1 y , F 2 y , ..., F n y as projeções de F1, F2, ..., Fn, nos eixos x e y, respectivamente, de acordo com o que vimos na seção 18.1 deste capítulo, resulta:
Equilíbrio de um ponto material
Um ponto material está em equilíbrio, num dado referencial, quando sua velocidade vetorial permanece constante com o tempo; assim, se a velocidade vetorial é constante, a aceleração vetorial é nula, e do princípio fundamental da Dinâmica (FR ma ) concluímos:
θF1
F2
F3
θ
F1
F2F3
sen θ = –––F1
F3
cos θ = –––F2
F3
A B
Figura 7.
FR 0 ] F R x 0 ou F 1 x F 2 x ... F n x 0
F R y 0 ou F 1 y F 2 y ... F n y 0
O ponto em comum às três cordas está em situação de equilíbrio, ou seja, a resultante das forças nele aplicadas é nula.
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R. 176 Um ponto material está em equilíbrio sob ação de três forças F1, F2 e F3, que não têm a mesma direção. Prove que as três forças estão necessariamente no mesmo plano.
R. 177 Determine as trações T nos fios ideais AB e BC, sabendo-se que o sistema está em equilíbrio na po si ção indica da.
Dados: P 90 N; sen J 0,6; cos J 0,8
R. 178 Para o sistema da figura, em equilíbrio, qual é a relação entre os pesos PA e PB dos corpos A e B? Os fios e as polias são ideais.
Observação: De acordo com o exercício R.173, podemos escrever
F2 2 F1 < FR < F2 F1, supondo F2 F1. Por outro
lado, sendo F3 FR, vem: F2 2 F1 < F3 < F2 F1
Portanto, se um ponto material estiver em equilíbrio sob a ação de três forças, conhecidas as in ten si-dades F1 e F2 de duas delas, podemos determinar o intervalo em que deve estar compreendida a intensidade F3 da terceira.
Solução: Basta observar que qualquer
uma das forças (por exemplo F3) tem que anular a resultante (FR) das outras duas (F1 e F2), pois é dado que o ponto material está em equilíbrio. Como FR está no mesmo plano de F1 e F2, pois é a resultante delas, então F3, que anula FR, também pertence a esse plano.
F2F1
F3
FR
No endereço eletrônico http://www.walter-fendt.de/ph14br/equilibrium_br.htm (acesso em junho/2009), você pode estudar situações de equilíbrio de um ponto material.Entre na redeEntre na rede
Solução: Isolemos o ponto B,
onde concorrem os três fios. Observe que a tração no fio vertical tem módu-lo igual ao peso P. Vamos resolver este exercício, inicial-mente, pelo método das projeções.
Projeções em y: TBC sen J 2 P 0 TBC sen J P TBC 0,6 90 ] TBC 150 N
Em , vem: TBA 150 3 0,8 ] TBA 120 N
sen J P ___ TBC
] 0,6 90 ___ TBC
] TBC 150 N
cos J TBA ___ TBC
] 0,8 TBA ____ 150
] TBA 120 N
Resposta: TBC 150 N; TBA 120 N
Outro método de resolução é o da linha poligonal das forças, que deve ser fechada. No caso em questão, sendo um triângulo retângulo, vem:
B A
C θ
P
P
θ
TBC
B TBA
T
T = P
y
x
TBC • sen θ
TBC • cos θ
Pθ
TBC
TBA
C
60°
BA
exercícios resolvidos
Solução: Isolemos o ponto C onde concorrem os três fios. Ob-
serve que a tração no fio vertical tem módulo igual ao peso PA e no fio horizontal tem módulo igual ao peso PB, pois o sistema está em equilíbrio.
Resposta: PA ___ PB
dll 3
PA ___ PB
dll 3
Projeções em x:
PB 2 T1 3 cos 60w 0 ] PB T1 3 1 __ 2
T1 • cos 60°
T1 • sen 60°
y
x
T2 = PA
T3 = PB
T1
60° C
Projeções em y:
T1 3 sen 60w 2 PA 0 ] PA T1 3 dll 3 ___ 2
Dividindo-se, membro a membro, por , resulta:
Projeções em x: TBA TBC cos J 0 TBA TBC cos J TBA TBC 0,8
exercícios propostos
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R. 179 O esquema abaixo representa um sistema em equilíbrio e na iminência de movimento. Determine o coeficiente de atrito j entre o corpo A e o plano horizontal. Os fios são ideais.
São dados: pesos dos corpos A e B: PA 200 N e PB 100 N sen J 0,8 e cos J 0,6
Solução: Isolemos o corpo A e o ponto C:
Como o corpo A está em equilíbrio, temos: T fat.
Como o corpo está na iminência de movimento, podemos escrever fat. jFN. Sendo FN PA, vem:
T jPA
Como o ponto C está em equilíbrio, temos:
Projeções em x:
T1 3 cos J 2 T 0 ] T1 3 0,6 T
Projeções em y:
T1 3 sen J 2 PB 0 ] T1 3 0,8 PB
Dividindo-se, membro a membro, por , resulta:
CA
θ
B
TA
FN
fat.PA
θ
C
y
xT T1 • cos θ
T1 • sen θ
PB
T1
0,6
___ 0,8
T ___ PB
] T 3 __ 4 3 PB
De , sendo T jPA, vem:
jPA 3 __ 4 PB ] j 3 200 3 __
4 3 100 ]
] j 3 __ 8
Resposta: 3 __ 8
P. 464 Na figura ao lado o corpo suspenso tem massa igual a 2 kg. Os fios têm pesos desprezíveis e o sistema está em equilíbrio estático (repouso). Determine as trações nos fios AB e BC. (Dados: g 10 m/s2; sen 30w 0,50; cos 30w 7 0,87)
P. 465 No sistema em equilíbrio esquematizado, o fio BC deve permanecer horizontal. Os fios e a polia são ideais. Sendo M1 3 kg e g 10 m/s2, determine:a) a tração no fio AB;b) o peso do bloco 2.
B
A
C
30°
2 kg
B
A
30°C
21 M1
P. 466 (Faap-SP) Uma corda AB tem a sua extremidade A fixa, enquanto a outra B está ligada ao bloco M em forma de paralelepípedo de peso 120 N. Esse bloco repousa sobre um plano horizontal. O coe fi cien te de atrito entre o plano e o bloco é 0,30. Em um ponto C da corda é dependurado um peso Q tal que o ângulo formado pelo trecho AC com a horizontal seja 60°; o trecho CB é horizontal.
(Adotar g 10 m/s2.)a) Qual a força de atrito exercida pelo plano sobre o bloco quando ele
estiver na iminência de movimento?b) Qual o peso máximo que se pode pendurar em C?
B
A
60° C
Q
M
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D C E
P. 467 (UFRJ) Os antigos romanos foram os primeiros a usar extensivamente o arco arquitetônico em suas construções. A propriedade mais notável do arco é que as pedras que o compõem permanecem em equi líbrio devido somente às forças mútuas de contato, sem necessidade de argamassa para cimentá-las umas às outras.
Considere que o arco representado na figura abaixo está, desse modo, em equilíbrio e que cada uma de suas pedras pesa 150 N. Determine a direção e o sentido da resultante das forças que as pedras laterais D e E exercem sobre a pedra central C e calcule seu módulo.
P. 468 (UFJF-MG) Uma equilibrista de massa m 70 kg encontra-se na metade da extensão de uma corda, presa na mesma altura de duas paredes A e B, como mostra a figura. A corda faz um ângulo a 30w com a horizontal. A massa da corda é muito pequena comparada com a massa da equilibrista.a) Desenhe setas que indiquem a direção e o
sentido das forças que a corda exerce sobre as paredes A e B.
b) Desenhe uma seta que indique a direção e o sentido da força que a corda exerce sobre a equilibrista.
c) Calcule o módulo da força T, exercida pela corda na parede B.
@ Dados: cos 30w dll 3 ___ 2 ; sen 30° 1 __
2 ; g 10 m/s2 #
exercícios propostos de recapitulação
P. 469 (UFPE) A figura mostra um peso de 44 N suspenso no ponto P de uma corda. Os trechos AP e BP da corda formam um ângulo de 90w, e o ângulo entre BP e o teto é igual a 60w. Qual é o valor, em newtons, da tração no trecho AP da corda?
Dados:
sen 30w 1 __ 2 ;
sen 60° dll 3 ___ 2
P. 470 (Vunesp) Um semáforo pesando 100 N está pendu-rado por três cabos conforme ilustra a figura. Os cabos 1 e 2 formam ângulos a e d com a horizontal, respectivamente.a) Em qual situação as tensões nos fios 1 e 2 serão
iguais?b) Considerando o caso em que a 30w e d 60w,
determine as tensões nos cabos 1, 2 e 3.
P. 471 (Uerj) Considere o sistema em equilíbrio represen-tado na figura abaixo. O corpo A tem massa mA e pode deslizar ao longo do eixo S; o corpo B tem massa mB; a roldana é fixa e ideal; o eixo vertical S é rígido, retilíneo e fixo entre o teto e o solo; o fio que liga os corpos A e B é inextensível.
A
P
B60°
θ
∆
B A
Sabendo-se que mB mA e desprezando-se todos os atritos:a) escreva, na forma de uma expressão trigono-
métrica, a condição de equilíbrio do sistema, en vol ven do o ângulo J e as massas de A e B;
b) explique, analisando as forças que atuam no bloco A, o que ocorrerá com o mesmo se ele for deslocado ligeiramente para baixo e, em segui-da, abandonado.
@ Dados: sen 30w 1 __ 2 ; sen 60w
dll 3 ___ 2 #
testes propostos
P. 472 (UFJF-MG) Na figura a seguir, representamos o maxi-lar inferior de uma pessoa. Na tentativa de colocar o primeiro molar na posição correta, podemos ligá--lo aos dentes incisivo e terceiro molar por meio de dois elásti cos (A e B) cujas constantes elásticas são k 2 dll 2 N/m. O elástico A é fixo e pro duz uma força elástica de intensidade constante igual a dll 3 3 1022 N. Um parafuso P é preso ao elástico B, de tal for ma que, ao girá-lo, o elástico estica 1 mm a cada vol ta completa. Quantas voltas devemos dar no parafuso
α = 30o
BA
2
3
1
α β
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T. 367 (Fesp-SP) O módulo da resultante do sistema de forças que age sobre a partícula da figura vale:a) 200 N d) 100 Nb) 300 N e) 150 Nc) 500 N(Dados: sen 37w 0,60; cos 37w 0,80)
T. 368 (PUC-SP) Um corpo está sujeito a um sistema de três forças concorrentes. As intensidades de duas delas são 5 N e 20 N. Quanto à intensidade da terceira força f, para que haja equilíbrio ela deve satisfazer à desigualdade:a) f < 5 N d) 15 N < f < 25 Nb) 5 N < f < 20 N e) f > 5 Nc) f > 25 N
T. 370 (Mackenzie-SP) Um corpo, que está sob a ação de 3 forças coplanares de mesmo módulo, está em equi-líbrio. Assinale a alternativa na qual esta situação é possível.
37°
53°
100 N 100 N
300 N
200 N
T. 369 (Uerj) Na figura abaixo, a corda ideal suporta um homem pendurado num ponto equidistante dos dois apoios (A1 e A2), a uma certa altura do solo, formando um ângulo J de 120w.
120°120°
120°
45°
120°105°
a) d)
b) e)
135°
c)
testes propostos
para que o dente seja puxado somente na direção x, sabendo que o elástico B estava ini cial men te em sua posição natural de equilíbrio?
Dados:
sen 45w cos 45w dll 2 ___ 2 ; cos 60w 1 __
2 ; sen 60w
dll 3 ___
2
P. 473 (FEI-SP) Um corpo de peso P 50 N está apoiado num plano inclinado de 30w com a horizontal. O coeficiente de atrito estático entre o corpo e o plano é j 0,2. Um segundo corpo de peso Q está pre so ao primeiro por meio de um fio que passa por uma polia sem atrito. Entre que limites pode variar o peso Q de forma que o sistema permaneça em repouso? Poderá ser nula a força de atrito entre o corpo e o plano inclinado? Justifique. (Dados: sen 30w 0,5; cos 30w 0,87)
30°P
Q
A razão T __ P entre as intensidades da força de tração
corda (T) e do peso do homem (P) corresponde a:
a) 1 __ 4 c) 1
b) 1 __ 2 d) 2
y
x
P B
A
60o
45o
A1 A2θ
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98.
T. 371 (Fuvest-SP) Para vencer o atrito e deslocar um grande contêiner C, na direção indicada, é neces-sária uma força F 500 N. Na tentativa de movê-lo, blocos de massa m 15 kg são pendurados em um fio, que é esticado entre o contêiner e o ponto P na parede, como na figura. Para movimentar o contêiner, é preciso pendurar no fio, no mínimo:a) 1 bloco d) 4 blocosb) 2 blocos e) 5 blocosc) 3 blocos
sen 45w cos 45w 7 0,7;tg 45w 1; g 10 m/s2
T. 372 (Mackenzie-SP) Na figura, E é uma esfera de peso 400 dll 3 N, em equilíbrio, apoiada sobre um plano horizontal indeformável.
T. 373 (Unama-PA) No sistema esquematizado na figura abaixo, o corpo A tem massa mA 10,0 kg e repousa sobre uma superfície horizontal com atrito.
Desprezando-se os pesos dos fios (inexten síveis) e das roldanas, bem como todos os atritos, podemos afirmar que os valores da reação do apoio F e do ângulo a são res pec ti va men te:a) 100 dll 3 N e 60w c) 200 dll 3 N e 30w
b) 400 dll 3 N e 90w d) 400 dll 3 N e 60w
α
300 N
600 NE
F
A
mA
B mB
45°
Sabendo-se que mB 2,0 kg é o maior valor da massa do corpo B que o sistema pode suportar ainda em equilíbrio, então o coeficiente de atrito estático je entre a superfície e o corpo A vale:a) 0,10 d) 0,40b) 0,20 e) 0,50c) 0,30
T. 374 (Mackenzie-SP) No esquema representado, o ho-mem exerce sobre a corda uma força de 120 N e o sistema ideal se encontra em equilíbrio. O peso da carga Q é:a) 120 N c) 240 N e) 480 Nb) 200 N d) 316 N
(Dados: sen J 0,6; cos J 0,8)
T. 375 (IME-RJ) Um bloco de massa M 20 kg está pendu-rado por três cabos em repouso, conforme mostra a figura. Considerando a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2, dll 2 1,414 e dll 3 1,732, os valores das forças de tração, em newtons, nos cabos 1 e 2 são, respectivamente: a) 146 e 179 c) 200 e 146 e) 146 e 200b) 179 e 146 d) 200 e 179
T. 376 (Vunesp) Um corpo de massa m e peso P está sus-penso por dois fios, 1 e 2, da maneira mostrada na primeira figura. A segunda figura mostra, em escala, as forças F1 e F2 que equilibram o peso P, exercidas, respectivamente, pelos fios 1 e 2 sobre o corpo.
A partir dessas informações, pode-se concluir que o módulo (intensidade) do peso P vale, em newtons:a) 0,0 c) 3,0 e) 5,0 b) 2,0 d) 4,0
M
21
1,732 m 1,000 m
1,000 m
1 245° 45°
m
P
Escala
1 N
1 N
F1 F2
C
P
45o
J
J
Q
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98.
T. 377 (Uerj) Em uma sessão de fisioterapia, a perna de um paciente acidentado é submetida a uma força de tração que depende do ângulo a, como indica a figura. O ângulo a varia deslocando-se a roldana R sobre a horizontal. Se, para um mesmo peso P, o fisioterapeuta muda a de 60° para 45°, o valor da tração na perna fica multiplicado por:
a) dll 3 b) dll 2 c) dll 3 ___ 2 d)
dll 2 ___ 2
T. 378 (Mackenzie-SP) No sistema a seguir, o peso P está preso ao fio AB por uma argola. Despreze os atritos. Levando a extremidade A do fio ao encontro da extremidade B, a intensidade da tração no fio OA é sempre igual à do fio OB e varia com o ângulo J conforme o gráfico dado.
T. 379 Um corpo de massa M é pendurado de cinco manei-ras diferentes numa corda que tem suas duas extre-midades fixas, como mostram as figuras a seguir.
(KING, A. R. e REGEV, O. Physics with answers. Cambridge, Cambridge University Press, 1997.)
O peso P vale:a) 150 N c) 80 N e) 10 Nb) 100 N d) 50 N
Dados:
BA
O
θ θ
P
100
50
0 30° 60° 90° θ
T (N)
A maior força na corda ocorre em:a) I b) II c) III d) IV e) V
M
(I)
M
(II)
M
(III)
M
(IV)
M
(V)
sen 45w dll 2 ___ 2 ; sen 60°
dll 3 ___ 2
αα
R
P
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