1 UNIDADE 1 POTENCIAO, RADICIAO, RAZO, PORCENTAGEM E PROPORO. Nestaunidadeestudaremoscincotemasbsicos,pormmuitoimportantesda matemtica:potenciao,radiciao,razo,porcentagemeproporo.Vamos desenvolv-losapresentandoprimeiramentealgumasdefinies,emseguidasuas propriedades e alguns exemplos e por fim os exerccios. Bom estudo! Potenciao Definio: Sendo a um nmero real e n um nmero inteiro, tem-se:

= . . . . > 1

1=

0= 1

= 1

Exemplos: Calcule as seguintes potncias. ) 23= 2.2.2 = 8 ) 24= 2. 2. 2. 2 =16 )34

3= 34.34.34= 2764 ) 70= 1 ) 32= 132= 19 )23

2= 1

23

2=149= 94

(Obs.: na prtica inverte-se a base e troca-se o sinal do expoente: 35

2=53

2 ) 2 Propriedades das potncias: Dados dois nmeros reais a e b, e os nmeros inteiros m e n tem-se: ( )( )) , 0 ( )) ( . . )) exp ( )) exp , 0 ( : )) exp ( . ).diviso a relao em o potencia da va distributi b parababaeo multiplica a relao em o potencia da va distributi b a b a doentes os mos multiplica e base a mantemos a a coentes os subramos e base a mantemos a para a a a boentes os s adicionamo e base a mantemos a a a annnn n nn mnmn m n mn m n m= =|.|

\|=== ==+ Exemplos: Reduza a uma s potncia. ( )( )125275353) ey 25 y . 5 y 5 ) d7 7 7 ) c5 5 5 . 5 ) b3 3 3 . 3 ) a3332 2 2 26 2 . 3232 5 7 5 79 5 4 5 4= =|.|

\|= == == == =+ Potncias de 10 e a notao cientfica Paraescrevergrandesnmeroseoperarcomeles,recorremosspotnciasde base 10. Assim, por exemplo: 102 = 100 (dois zeros) 103 = 1.000 (trs zeros) 106 = 1.000.000 (1 milho seis zeros) 109 = 1.000.000.000 (1 bilho nove zeros) Dessemodopodemosescrever,6trilhescomosendo61012.Essaformade escrever denominada notao cientfica: ela tem coeficiente (6) e expoente da potncia debase10iguala12.Ocoeficientedeveserumnmerocompreendidoentre1e10, podendo ser igual a 1, mas menor que 10. notao cientfica: a x 10n, sendo 1 s a < 10 3 Exemplos: 340.000.000 = 3,4 108

1.613.000.000 = 1,613 109 Tambmrecorremosspotnciasde10enotaocientficaparaescrevere operar com nmeros de valor absoluto muito pequeno: 10-2 = 0,01(dois zeros) 10-3 = 0,001 (trs zeros) 10-6 = 0,000001 (1 milionsimo seis zeros) 10-9 = 0,000000001 (1 bilionsimo nove zeros) Por exemplo, em notao cientficao nmero cinco bilionsimos se escreve como sendo: 510-9 e na forma decimal: 0,000000005 Exemplos: Escreva os nmeros decimais usando a notao cientfica. a)0,00026 = 2,6 10-4 b)0,0000000000525 = 5,25 10-11 Radiciao Definio: Sendo a um nmero real e n um inteiro positivo define-se: a b b an n= =Obs.: em um radical na , a chamado de radicando e n o ndice. Exemplos: Calcule a)27 3 pois , 3 273 3= =b)9 3 pois , 3 92= =c)0 0 pois , 0 05 5= =d)8 ) 2 ( pois , 2 83 3 = = 4 e)1 ) 1 ( pois , 1 15 5 = = f)?, 9 = (No existe nmero real cujo quadrado igual a -9. No existe, em 9, radical de ndice par e radicando negativo). Propriedades dos radicais Dados dois nmeros reais a e b, tais que a > 0 e b > 0 e k e n inteiros positivos, temos: a) n n nab b a = b) nnnbaba= (para b = 0) c) n kp . np . ka a =d)( )n kkna a =e) k . n n ka a = Exemplos: Aplique as propriedades dos radicais e escreva as expresses com apenas um radical: a) 3 3 3 330 5 6 5 6 = = b)6212212= =c) 3 2 2 : 6 2 : 4 6 47 7 7 = =d)( ) 32 2 8 8553 3 5= = =e) 8 2 4 43 3 3 = = Simplificao de radicais: Parasimplificarumradicalusamosadecomposioemfatoresprimosdo radicando e em seguida aplicamos propriedades dos radicais. Exemplos: Simplifique os seguintes radicais: a) 50Resoluo: 5 25 2 50552152550 = Logo,2 5 2 5 2 5 502 2 2= = = b) 316Resoluo: 42 162222124816= Logo, 3 3 3 3 3 3 3 4 32 . 2 2 . 2 2 . 2 2 16 = = = = Operaes com Radicais Vamos desenvolver as operaes atravs dos seguintes exemplos: Efetue: a) adio e subtrao de radicais semelhantes (mesmo radicando) 5 2 5 3 5 6 +Resoluo:5 7 5 ). 2 3 6 ( 5 2 5 3 5 6 = + = + b) adio e subtrao de radicais usando simplificao para se obter o mesmo radicando 8 3 18 4 +Resoluo: decompondo os radicandos 18 e 8, temos: 23 . 2 1833213918= 32 82221248= 6 Desse modo: 2 3 3 . 2 3 . 2 182 2= = =2 2 2 . 2 2 82 3= = =logo: 2 18 2 6 2 12 2 2 . 3 2 3 . 4 8 3 18 4 = + = + = + c) multiplicao de radicais de mesmo ndice ( )3 3 3 335 8 7 5 4 2 7 4 5 2 = = d) diviso de radicais de mesmo ndice 55555 56 4318283 218 83 2 : 18 8 = = = Potncia de expoente racional Se a um nmero real qualquer e m e n so inteiros positivos, definimos: i)( ) ; existe a quando a anmnnm=ii) se a = 0, ento nmnma1a =. Exemplos: Escrevaasexpressesabaixonaformadeumradical(useapotnciadeexpoente racional). a) 3 45 534= b)4 16 16 16215 , 0= = = c)( ) 8 2 4 43323= = = d)( )( )( )( ) 9131271271272 23 3232==== 7 Terminamos aqui nossos estudos sobre potenciao e radiciao. Est na hora de voc praticar. HORA DE PRATICAR Exerccios: 1.Calcule o valor das potncias: ( )=|.|

\| ===|.|

\|= = =202322225) g5 ) f7 ) e23) d8 ) c8 ) b8 ) a 2.Aplique as propriedades e reduza a uma s potncia: a.= 4 64 4b.=4 610 : 10c.() =42td.=33yx e.() ( ) = 32253 3f.=3455 5 3.Complete a tabela: Forma decimalNotao Cientfica 4.500.000.000 0,0000032 5,2.108 2,3.10-6 8 4.Calcule as razes: ===== =214316 ) f36 ) e256 ) d04 , 0 ) c125 ) b125 ) a33 5.Simplifique os radicais: ==12 ) b40 ) a3 6.Efetue as seguintes expresses envolvendo radicais: = += +18 3 50 5 2 4 ) b3 3 3 2 3 5 ) a 7.O valor de( ) ( )2 316 , 0 2 , 0 +: a) 0,0264b) 0,0336c) 0,1056d) 0,2568e) 0,6256 RAZO Observe a seguinte situao: EmumaempresaMarcosganhaR$750,00,JooganhaR$1.500,00eMnica R$3.000,00. Podemos ento afirmar que: - Joo ganha o dobro do salrio de Marcos, ou seja,1.500 750 = 2- Mnica ganha o qudruplo do salrio de Marcos, ou seja, 3.000 750 = 4. Em termos matemticos podemos dizer que : - A razo entre o salrio de Joo e o salrio de Marcos 2, isto ,2750500 . 1=9 -A razo entre o salrio de Mnica e o salrio de Marcos 4, isto ,4750000 . 3= Assim podemos afirmar que: A razo entre dois nmeros no-nulos o quociente entre eles. Notao Matemtica: Sejam os nmerosa eb, sendo0 = b . A razo entre os nmeros a e b, ou ainda, a razo de um nmeroa para um nmero b, indicada por:

Exemplo1:Numvestibularcom40questes,Lucianoacertou10.Qualarazoentreo nmero de questes corretas e o nmero total de questes? Resposta: razo:1040=14( l-se 1 para 4) ou seja, Luciano acerta 1 questo para cada 4 questes resolvidas. Exemplo 2:Foi feita uma pesquisa com 500 alunos de uma academia e chegou-se aos seguintes resultados: 250 alunos praticam musculao. 100 alunos praticam ginstica. 150 alunos praticam pilates. Determine: a)Arazoentreonmerodealunosquepraticammusculaoeonmerototal de alunos da academia. Resposta:250500=2550=510 (5 10 ) b)Arazoentreonmerodealunosquepraticamginsticaeonmerototalde alunos da academia. Resposta:100500=1050=15 (1 5 ) 10 c)Arazoentreonmerodealunosquepraticamginsticaeonmerodealunos que praticam musculao. Resposta: 100250=1025=25 (2 5 ) d)A razo entre o nmero de alunos que praticam pilates e o nmero total de alunos da academia. Resposta: 150500=1550=310 (3 10 ) PORCENTAGEM (%) umarazocentesimaloupercentualnaqualodenominadordasuaforma fracionria igual a 100. Assim temos: Forma percentualForma fracionriaForma decimal 25% 10025 0,25 7% 1007 0,07 2% 1002 0,02 135% 100135 1,35 1,34% 1000013410034 , 1= 0,0134 Exemplo 1: Calcule 37% de R$ 740,00. Vamos resolver usando a forma decimal. 37% 740,00 = 0,37 740,00 = $ 273,80 Exemplo 2: Um colgio tem 2.000 alunos. Quanto representa percentualmente a 5 Srie A, que tem 40 alunos? Resoluo: 40 5 2.000 = 0,02 = 2% 11 Exemplo3:Numaclassede60alunos5%dosalunosestousandocami sabranca. Quantos so os alunos que no esto usando camisa branca? Resoluo: 5% 60 , ,0,05 60 = 3 , 60 3 = 57. PROPORO A razo entre os nmeros 3 e 6 igual a 2163= . A razo entre os nmeros 250 e 500 igual a 21500250= . Logo, podemos dizer que 50025063= e neste caso dizemos que 3, 6, 250 e 500, formam, nessa ordem uma proporo. Assim, conclumos que: Uma proporo uma igualdade entre duas razes. Definio: os nmeros a, b, c e d formam, nessa ordem, uma proporo se, e somente se, dcba= sendo b e d no nulos. Notao:d c b a : : = (l-se: a est para b assim como c est para d) Numaproporoosnmerosaedsochamadosdeextremoseosnmeros c e b so chamados de meios. Exemplo: Os nmeros 30, 40, 12 e 16 formam uma proporo? Vamos verificar: 3040=34e 1216=34assim 3040=1216 . 12 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORES. Em toda proporo o produto dos meios igual ao produto dos extremos. ad bcdcba= = Exemplos:Verifiqueseasseguintesrazesformamumaproporo(utilizeapropriedade fundamental das propores): a) 75 1014

7 14 = 985 10 = 50 75 1014 . b) 23 812 2 12 = 24 3 8 = 24 23 812 . Terminamos aqui nossos estudos sobre razo, porcentagem e proporo. Est na hora de voc praticar. No desanime! Hora de praticar 1.Determine a razo entre os nmeros 10 e 50. 2.Emumareuniodenegcioseramesperadas10pessoas,porm2no conseguiramparticipardevidoproblemaspessoais.Determinearazoentreo nmero de participantes e o total de pessoas esperadas para essa reunio. 3.Calcule 5% de R$ 850,00. 4.Dentreos1250mdicosqueparticipamdeumcongresso,48%somulheres. Dentreasmulheres,9%sopediatras.Quantasmulherespediatrasparticiparam desse congresso? 5.O preo de certa mercadoria sofre um reajuste de 15%. Supondo que o preo da mercadoria era de R$ 500,00 calcule o reajuste sofrido. 6.Verifique se os seguintes nmeros formam uma proporo: a.3, 4, 6 e 8b. 12, 15, 4 e 3c. 6, 9, 12 e 27 13 7.PedroeMarcostrabalhamemumafbrica.PedrorecebeR$900,00aomse MarcosrecebeR$1.200,00.DeterminearazoentreossalriosdePedroede Marcos. Frum - Potenciao, radiciao, razo, porcentagem e proporo. Nesta unidade foram estudados vrios assuntos bsicos da matemtica. Agora que voc j tem um conhecimento do assunto e de algumas aplicaes faa uma pesquisa na Internet (ou em outros meios - Jornais - Revistas) e troque informaes com seu tutor e seus colegas sobre: A utilizao das potncias, razes, razo, porcentagem e proporo no cotidiano. Vamos l.....participe! BIBLIOGRAFIA DE REFERNCIA: GIOVANNI, Jos Ruy; BONJORNO, Jos Roberto; GIOVANNI JR, Jos Ruy.Matemtica Fundamental Uma nova abordagem.So Paulo: FTD, 2002. Volume nico. IEZZI, Gelson; DOCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PRIGO, Roberto.Matemtica.So Paulo: Atual, 2002. Volume nico. DANTE, Lus Roberto. Matemtica Contexto e Aplicaes. So Paulo: tica, 2003. 3V. PAIVA, Manoel.Matemtica. Coleo Base. So Paulo: Moderna, 1999. Volume nico. SMOLE,KtiaCristinaStocco;DINIZ,MariaIgnezdeSouzaVieira.MatemticaEnsinoMdio.So Paulo: Saraiva, 2005. 3V. BARRETO FILHO, Benigno; SILVA, Cludio Xavier da. Matemtica Aula por Aula . So Paulo: FTD, 2003. 3V.