UniposRio FSICA Exame Unificado de Acesso s Ps-Graduaes

em Fsica do Rio de Janeiro

10 de junho de 2010

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Leia atentamente as oito (8) questes a seguir e responda nas folhas de respostas fornecidas. A prova individual e sem consulta. Cada questo vale 1,25 ponto, e a durao total da prova de 4 horas.

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1a Questo. Uma partcula de massa m est presa a uma extremidade de um fio ideal de comprimento L cuja outra extremidade est presa ao teto. A partcula abandonada em repouso em uma posio em que o fio est esticado na horizontal. A partcula desce, passa pelo ponto mais baixo de sua trajetria circular e volta a subir at que o fio faa um ngulo com a vertical, quando ento partido. Nesse momento a partcula inicia uma trajetria parablica no mesmo plano da trajetria circular.

(a) Calcule a velocidade da partcula e a tenso no fio imediatamente antes do fio ser partido.(b) Calcule a altura mxima que a partcula atinge em sua trajetria parablica acima do ponto mais baixo de sua trajetria circular.

2a Questo. Uma mola ideal pendurada no teto e tem uma bolinha de massa m em sua extremidade livre. A frequncia natural do sistema massa-mola 0. A bolinha solta a partir do repouso no instante t=0, com a mola relaxada, e oscila em um eixo vertical OX que aponta para baixo e cuja origem est no ponto em que a bolinha foi solta. O meio ambiente exerce sobre a bolinha uma fora de atrito viscoso de mdulo proporcional o mdulo de sua velocidade, com constante de proporcionalidade 8m 0/5.

(a) Suponha que decorra um tempo suficiente para que possamo considerar que a bolinha atinja o repouso. Calcule em que posio isso ocorre.(b) Calcule o trabalho realizado pela fora resultante sobre a bolinha e a variao de sua energia mecnica, desde o instante em que ela solta at que atinja o repouso.(c) Esboce um grfico da posio x da partcula versus o tempo t no intervalo de tempo 0, , justificando as caractersticas qualitativas do grfico.

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3a Questo. Considere as Equaes de Maxwell no vcuo.

(a) Deduza as equaes de onda para os campos eltrico e magntico

,

,

onde c a velocidade da luz no vcuo.

(b) Quando as constantes k e da seguinte funo E = E0 sen (kx-t) satisfazem uma certa condio, esta funo uma soluo do vetor campo eltrico da onda eletromagntica (seja E0 um vetor constante no plano y-z). Obtenha essa condio.

(c) Se as componentes do campo eltrico so dadas por

Ex = Ez = 0, Ey = Ey0 sen (kx-t),

onde Ey0 constante, obtenha o campo magntico da onda eletromagntica.

(d) Considere duas espiras quadradas, de lados iguais a L, posicionadas no plano x-y (espira 1) e y-z (espira 2), na regio onde se propaga a onda eletromagntica descrita no item anterior. Em qual das duas espiras ser induzida a maior fora eletromotriz? Qual o valor da fora eletromotriz induzida na espira selecionada?

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4a Questo. Um petroleiro provoca um vazamento de leo em uma baa de guas calmas. Aps alguns dias verifica-se que a mancha de leo apresenta um pico de reflexo em uma cor alaranjada ( = 600 nm), quando observada verticalmente de um helicptero. A mancha cobre, de maneira aproximadamente uniforme, uma rea de 30 km2. Os ndices de refrao da gua e do leo so 1,33 e 1,50, respectivamente.

(a) O campo eltrico refletido composto pela superposio dos campos refletidos nas duas superfcies do filme de leo. Determine a diferena de fase entre as ondas refletidas nas duas superfcies do filme de leo, e que comporo o campo eltrico refletido, em funo dos dados do problema.

(b) Determine o valor da menor espessura de leo capaz de provocar a cor da mancha observada.

(c) Determine o volume total de leo derramado.

5a Questo. Calcule a fora resultante exercida pela gua armazenada at uma altura H em uma represa de largura w ilustrada na figura a seguir.

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6a Questo. A velocidade longitudinal de ondas de baixa amplitude em um gs ideal dada por

C= dpd ,onde p a presso ambiente do gs e a sua densidade. Obtenha

(a) a velocidade de propagao do som no gs para a qual as compresses e rarefaes so isotrmicas;

(b) a velocidade de propagao do som no gs para a qual as compresses e rarefaes so adiabticas.

7a Questo. Considere uma partcula quntica de massa m que s pode se movimentar num anel circular de raio R, como uma conta num crculo de arame (veja a Figura a seguir).

(a) Mostre que a Hamiltoniana clssica pode ser escrita como H=LZ2 / 2mR2

, onde LZ o momento angular na direo do eixo do anel, z.(b) Como a partcula est presa ao anel, sua funo de onda funo somente do ngulo , . Sabendo que o operador correspondente a LZ , escreva a equao de Schrdinger independente do tempo para este problema.(c) Obtenha as autofunes e autoenergias da Hamiltoniana, descrevendo a degenerescncia de cada nvel de energia. No necessrio calcular as constantes de normalizao.

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Z

R

m

8a Questo. Um oscilador harmnico de massa m e frequncia angular descrito pela Hamiltoniana:

.

O n-simo auto-estado, , tem auto-energia

.

Definindo os operadores-escada como

,

possvel mostrar que

,

,

Um clculo simples permite verificar que todos os auto-estados de energia tm valores esperados nulos dos operadores e ,

.

(a) Calcule a varincia para o estado fundamental .

(b) A funo de onda do estado fundamental do oscilador

onde A0 uma constante de normalizao. Calcule a autofuno correspondente ao primeiro estado excitado.

(c) Suponha agora que preparamos o estado inicial

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onde denota o estado fundamental e o primeiro estado excitado do oscilador harmnico. Obtenha a funo de onda e o valor esperado da energia, , como funo do tempo, para t>0.

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