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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA'
INSTITUTO DE INVESTIGACIÓN
® ~y 2011
R UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALL1 E VICE·RECTORAOO Df "'''~, .... ~CI()N
! 1s AM12o14 . I !& 2 D HOAA:f .. ~ .... :....... ......... .. ................... . -O FIRMA: .................................................... :··
"TEXTO: MECÁNICA CUÁNTICA I"
Dr. Jorge Abel Espichán Carrillo
(Resolución Rectoral No 912-2012-R del25-10-2012)
(01-10-2012 al31-03-2014)
o
ÍNDICE
RESUMEN
INTRODUCCIÓN
MARCO TEÓRICO
MATERIALES Y MÉTODOS
RESULTADOS
Capítulo l. GENERALIDADES
ÍNDICE
Capítulo 2. ORIGENES DE LA TEORÍA CUÁNTICA
Capítulo 3. ECUACIÓN DE ONDA DE SCHRODINGER
Capítulo 4. LA ECUACIÓN DE SCHRODINGER INDEPENDIENTE DEL TIEMPO
Capítulo 5. OPERADORES HERMITIANOS
Capítulo 6. NOTACIÓN DE DIRAC
Capítulo 7. REPRESENTACIÓN DE SCHRODINGER YHEISENBERG
Capítulo 8. LOS POSTULADOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA
Capítulo 9. SIMETRÍAS EN MECÁNICA CUÁNTICA
Capítulo 10. OSCILADOR ARMÓNICO UNIDIMENSIONAL
Capítulo 11. MOMENTO ANGULAR ORBITAL
Capítulo 12. PARTÍCULA EN UN POTENCIAL CENTRAL
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63
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81
1
Capítulo 13. EL ÁTOMO DE IDDRÓGENO
DISCUSIÓN
REFERENCIALES
APÉNDICE
• Tabla N° 1: Primeros polinomios de Hermite para el Oscilador Armónico.
• Tabla~ 2: Primeras funciones radiales para el Átomo de Hidrógeno.
• Sílabo deJa asignatura Mecánica Cuántica l.
ANEXOS
86
92
94
95
96
97
98
102
• Tabla: Primeras soluciones de la parte angular para el átomo de Hidrógeno: Annónicos
Esféricos 103
2
RESUMEN
En el presente trabajo de investigación se ha elaborado un texto de naturaleza teórico
práctico, redactado en lenguaje simple, que expone los conceptos, leyes y propiedades de los
sistemas cuánticos de forma sistemática y concreta, que permite el dictado de la asignatura de
MECÁNICA CUÁNTICA I correspondiente al sexto ciclo académico de la currícula de
estudios de la Escuela Profesional de Física de la Facultad de Ciencias Naturales y Matemática
de nuestra Universidad.
Específicamente, se procura introducir en forma clara y prec1sa los conceptos
fundamentales para la comprensión de la asignatura en referencia, presentando sus aplicaciones
para los casos del oscilador armónico y el átomo de hidrógeno, y asimismo, se pretende
preparar al estudiante para que emprenda con éxito el estudio de otras asignaturas relacionadas
a ésta, a nivel de pregrado y posgrado.
Este texto está basado, en su plan general y en algunas extensiones de su contenido, en
los textos mencionados en la referencia, sin embargo, aquí la exposición de los conceptos es
más directa y se incluyen las demostraciones en forma detallada que a su vez sirve como
ejerCICIO.
Los resultados muestran que a diferencia de todos los autores mencionados en la
referencia, el presente trabajo hace más dinámico y fácil el proceso de enseñanza y aprendizaje
de esta asignatura.
3
INTRODUCCIÓN
La Mecánica Cuántica constituye la teoría fundamental para átomos, moléculas, etc. y
los procesos que suceden en la escala microscópica. Para describir y explicar las
propiedades de los sistemas antes mencionados, es necesario estudiar las partes que lo
forman, como son los electrones, protones y neutrones. Más aun, como dichas componentes
se encuentran en interacción, entonces en el estudio de las propiedades debe incluirse las
interacciones entre las partículas, así como también con la radiación electromagnética.
Debemos mencionar que las partículas cuánticas, entendiendo por éstas que pueden ser
desde el electrón, protón y neutrón, así como átomos o moléculas, presentan un
comportamiento nada usual, respecto de los sistemas clásicos. En el caso de la luz y
dependiendo del experimento donde intervenía, lo hacía como corpúsculo y en otros casos
como onda, es decir su comportamiento era muy peculiar. A raíz de esto se tuvo que
aceptar la dualidad onda-materia, que luego se fue comprobando para la materia, como fue
para el electrón, átomos y moléculas. El desarrollo de la mecánica cuántica, desde que
Planck tuvo la idea revolucionaria que la energía de la radiación electromagnética era
discreta hasta nuestros días, ha sido posible gracias al esfuerzo y colaboración mutua de
diferentes investigadores. Precisamente cuando se descubrió que ciertas cantidades fisicas
solo pueden tomar valores discretos, surgieron las diferencias con la Mecánica Clásica. Por
ejemplo, Max Planck, para explicar el espectro observado experimental de la radiación
electromagnética, emitida desde el interior de una cavidad que se encontraba a una
temperatura uniforme, en 1900, propuso que cada oscilador atómico de las paredes de la
cavidad emitía energía solamente en cantidades discretas. Además, con respecto de la
propuesta de Planck en 1900, Albert Einstein propuso, en 1905, que para explicar el efecto
fotoeléctrico es necesario que la energía de la radiación sea discreta. Asimismo, con el
descubrimiento de otros efectos cuánticos durante el primer cuarto del siglo pasado, se
4
justifico mediante la cuantización de la variable fisica considerada, lo cual suponía una
hipótesis sin precedentes para los fisicos de la época.
Las aplicaciones de la Mecánica Cuántica en la actualidad, presenta un amplio espectro,
desde cosmología, biología, química, así como en los procesos cuánticos de la información.
Representa uno de los grandes avances intelectuales del siglo pasado, a partir del cual, los
conceptos de observación, medidas, predicción y estado del sistema adquieren un nuevo
significado. Asimismo, es la herramienta teórica básica cuando se realiza investigación en
Química, Física Molecular, Atómica y Nuclear, Física de la Materia Condensada y Física
de Partículas elementales. El primer suceso de la Mecánica Cuántica fue explicar la
estructura de la materia, átomos y moléculas, y en la actualidad la interacción de átomos y
moléculas con la radiación ha permitido un gran avance, tanto en el aspecto fundamental
como tecnológico.
Por otro lado, existen muchos buenos libros avanzados sobre Mecánica Cuántica pero
existe una escasez de libros que presenten de la manera más simple posible los aspectos
más importantes de la Mecánica Cuántica, en el nivel de pregrado.
Los libros de Mecánica Cuántica pueden agruparse en dos categorías: libros textos,
donde el enfoque es sobre el formalismo, y libros de solucionarios, donde el énfasis es
sobre la resolución de problemas. El objetivo de la presente investigación es combinar estos
dos formatos en un sólo texto el cual incluya los ingredientes tanto de libros textos como de
libros de solucionarios. La idea es particularmente útil para que los estudiantes tengan un
acceso fácil y rápido no sólo a los elementos esenciales de la teoría sino a su aspecto
práctico.
En la Escuela Profesional de Física se dicta la asignatura de Mecánica Cuántica 1
como parte de la formación profesional de los estudiantes, por ser una disciplina
fundamental en la formación de un futuro fisico que se dedicará, por ejemplo, a las áreas de
investigación de la Física de partículas elementales, Teoría cuántica de campos, Materia
condensada, Física atómica y molecular, Astrofisica, así como el área interdisciplinaria de
Biofisica.
Asimismo, los estudiantes de fisica deben aprender los conceptos fundamentales de la
Mecánica Cuántica como una herramienta esencial para poder cursar otras asignaturas de
su carrera profesional, como son: Introducción a la Física del Estado Sólido, Física
Atómica y Molecular, Física Teórica Computacional I, Introducción a la Mecánica
Cuántica Relativista, Mecánica Estadística y Física Nuclear; en tal sentido se hace
necesario elaborar un texto simplificado para un mejor proceso de enseñanza y aprendizaje
de ésta asignatura.
En el estudio de los sistemas cuánticos existen textos que desarrollan de manera muy
extensa los conceptos y leyes, lo que hace difícil su uso en una asignatura a nivel
introductorio. Asimismo, la mayoría de textos en Mecánica Cuántica I se encuentran
escritos en otros idiomas, principalmente el idioma inglés, lo que dificulta su entendimiento
por parte del estudiantado que desconoce otros idiomas.
Por otro lado, los libros editados en Mecánica Cuántica I presentan muchos ejercicios,
cuyas resoluciones en la mayoría de ellos lo hacen muy superficial, siendo esto una
dificultad para nuestros estudiantes que recién se inician en estos tópicos de la física
contemporánea.
En este sentido, el problema de la investigación consistió en elaborar un texto en
castellano, de naturaleza teórico-práctico, que oriente adecuadamente el desarrollo
sistemático y concreto de la asignatura "MECÁNICA CUÁNTICA I", que además de
permitir la comprensión de los fundamentos y leyes, incluya demostraciones detalladas,
con la finalidad que se entienda la metodología usada y de esta manera puedan ser usadas
en la resolución de problemas relacionados con la asignatura.
~6
Los principales objetivos planteados para la investigación consideran introducir en
forma clara y precisa los conceptos teóricos fundamentales para la comprensión de la
Mecánica Cuántica I mostrando su aplicación al estudio del oscilador armónico y átomo de
hidrógeno, iniciando de esta manera, a los estudiantes en el método científico de
comprobación de hipótesis, y ofrecer a los estudiantes la mejor preparación actualizada en
éstos tópicos a fin de que se encuentren capacitados para emprender con éxito estudios en
fisica de partículas elementales, teoría cuántica de campos y de otras áreas como fisica
nuclear, fisica estadística y materia condensada y otros cursos similares de post-grado.
La importancia del presente trabajo radica en el hecho que este texto: "MECÁNICA
CUÁNTICA 1" constituye un instrumento para facilitar el proceso de enseñanza
aprendizaje, de acuerdo con los objetivos y contenidos del programa oficial, de la
asignatura del mismo nombre que se dicta en la Escuela Profesional de Física de la
Facultad de Ciencias Naturales y Matemática de la Universidad del Callao.
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MARCO TEÓRICO
La Mecánica Cuántica estudia el comportamiento y características de los sistemas
cuánticos, como los átomos y moléculas.
Más específicamente, la Mecánica Cuántica estudia el estado de un sistema a través de
una función de onda, la cual permite determinar la distribución de probabilidad de las
propiedades medibles. Estas funciones de onda evolucionan en el transcurso del tiempo. Una
partícula moviéndose en el espacio vacío es descrita mediante un paquete de ondas, cuyo
centro se traslada, de tal manera que la partícula parece estar localizada en otro lugar. La
evolución temporal de las funciones de onda es descrita por la Ecuación de Schrodinger.
Muchos autores; Cohen-Tannoudji (1977), De la Peña (1991), Schiff (1968), Sakurai
(1994) entre otros, han escrito textos relacionados con la mecánica cuántica cuyos contenidos
son demasiado extensos en la presentación de los conceptos y limitan la exposición de
ejercicios de aplicación.
Las diferentes secuencias en la introducción de los conceptos, la nomenclatura y
notación diversa que usan los diferentes autores citados y lo limitado del tiempo para el dictado
de la signatura a nivel introductorio en un semestre académico hacen que su exposición sea un
problema didáctico dificil; en este contexto, para la elaboración del texto "MECÁNICA
CUÁNTICA f' se ha considerado enfatizar las demostraciones en forma detallada con la
finalidad de facilitar el manejo de la herramienta matemática que se usa en estos tópicos de la
física actual.
8
MATERIALES Y MÉTODOS
El presente trabajo se ha desarrollado sobre la base de textos mencionados en los
referenciales y experiencias propias, adecuándolos a nuestras necesidades.
Toda la información ha sido procesada en un computador personal usando Microsoft
Microsoft Word for Windows 2003, en concordancia con las directivas vigentes, mediante el
cual se han escrito todos los textos, editado todo el formulismo matemático relacionados a los
diversos temas desarrollados.
La metodología que se ha empleado es la de la deducción lógica o enfoque inductivo,
así como el deductivo por ser este último más conciso y lógico y que permite desarrollar el
estudio de la Mecánica Cuántica en forma concreta y ordenada.
El método inductivo-deductivo ha hecho posible mostrar el desarrollo del formulismo
que describen los conceptos descritos, así como también, el análisis de las demostraciones
desarrolladas.
f
9
RESULTADOS
El resultado del presente trabajo de investigación es el texto: "MECÁNICA
CUÁNTICA f', cuyo contenido se expone en trece capítulos, distribuidos en el orden señalado
en el índice y que se presenta en las páginas siguientes.
En cada capítulo se exponen de manera clara, directa y concisa, a manera de repaso, los
principales conceptos, leyes y fórmulas asociados a los temas tratados, a fin de que el
estudiante pueda tener una buena referencia para comprender las demostraciones presentadas.
El uso del texto: "MECÁNICA CUÁNTICA I", permite unificar los conceptos teóricos
y favorece el proceso enseñanza-aprendizaje de la asignatura de Mecánica Cuántica I, de
acuerdo a la propuesta silábica para su dictado. Además, permite afianzar en el estudiante los
conceptos relacionados con las propiedades de los sistemas cuánticos, para su posterior uso en el
estudio de los campos cuánticos con su aplicación en Química, Física Molecular, Atómica y
Nuclear, Física de la Materia Condensada y Física de Partículas elementales.
f
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CAPÍTULO 1
GENERALIDADES
La Mecánica Cuántica constituye en la actualidad la teoría fundamental para describir el comportamiento de los fenómenos naturales en la escala microscópica. Es decir, permite entender las propiedades, por ejemplo, de átomos, moléculas e inclusive cristales. Asimismo, debemos mencionar que existen fenómenos macroscópicos, por ejemplo el efecto Casimir, que requieren para su comprensión de argumentos cuánticos. En este contexto, la mecánica cuántica es la base fundamental para el entendimiento de todo fenómeno en la naturaleza. Además, para el mejor conocimiento de los sistemas microscópicos se deben considerar interacciones entre las partículas, así como con la radiación electromagnética. A esta escala el comportamiento de la materia y la radiación no son fáciles de entender.
El desarrollo de la mecánica cuántica requirió del esfuerzo, trabajo y colaboración de una serie de investigadores, cada uno de los cuales contribuyeron en una parte fundamental. Hacia inicio del siglo pasado y con el descubrimiento de nuevos fenómenos fisicos, a escalas muy pequeñas, la fisica clásica tuvo serias dificultades para explicar satisfactoriamente dichos fenómenos. Se hizo manifiesto cuando se descubrió que ciertas cantidades fisicas sólo toman valores discretos, a diferencia de los valores continuos que se obtienen de la interpretación clásica. Por ejemplo, Max Planck, para explicar el espectro para un cuerpo negro, vía la radiación que sale del interior de una cavidad a temperatura constante se vio precisado, en 1900, a proponer que el intercambio de energía entre las paredes del cuerpo negro y el campo electromagnético sólo era posible en cantidades discretas. Asimismo, Albert Einstein, en 1905, para explicar el efecto fotoeléctrico propuso la cuantización de las ondas electromagnéticas, es decir que la energía de la radiación viene en pequeños paquetes, o fotones. Posteriormente otros ejemplos de los efectos cuánticos se fueron descubriendo a lo largo del primer cuarto del siglo pasado. Sus justificaciones mediante la cuantización de la variable fisica considerada, suponía una hipótesis sin precedentes en el marco de la fisica clásica.
En la actualidad la mecánica cuántica, presenta un amplio espectro de aplicaciones, por ejemplo en cosmología, química, biología o en ciencias de la información. Representa uno de los grandes avances intelectuales del siglo pasado, a partir del cual, las ideas y principios bien establecidos de la. fisica clásica fueron abandonados, y conceptos de observación, medidas, predicción y estado de un sistema adquieren un nuevo y profundo significado. La mecánica cuántica es importante por las siguientes tres razones: l.- Es el estudio fundamental de la fisica. 2.- A través de ella, es posible el entendimiento del comportamiento de los sistemas fisicos
donde se le ha aplicado. 3.- Es la teórica básica para numerosas disciplinas, como la Química, la Física Molecular,
Atómica y Nuclear, la Física de la Materia Condensada y la Física de Partículas. El primer suceso de la Mecánica Cuántica fue explicar la estructura de la materia, átomos y moléculas. Sin embargo, en los últimos años, del estudio de la interacción de átomos y moléculas con la radiación que han obtenidos un gran avance, tanto en el aspecto fundamental como en el tecnológico.
Por otro lado, para estudiar un sistema cuántico se consideran que el mismo es descrito por autofunciones en un espacio abstracto, llamado de Hilbert. Estas autofunciones son
11
funciones que dependen de r y t ; y a partir de ellos, considerando el princ1p1o de superposición, se puede construir una función de onda, que se encuentra caracterizado por números cuánticos, cuyos valores indican un estado determinado del sistema cuántico. Asimismo, la utilidad de las autofunciones son manifiestas, por ejemplo, para la determinación de las probabilidades de encontrar al sistema cuántico en un determinado estado. Dichas autofunciones son soluciones de la ecuación que gobierna la dinámica del mundo microscópico, conocida como la ecuación de Schrodinger.
Como mencionamos en el párrafo anterior, a partir del conocimiento de las autofunciones podemos obtener una función de onda, y si es posible calcular probabilidades con las autofunciones también será posible hacer una interpretación probabilística de la función de onda. La misma fue propuesta por Max Boro, y es considerada como el tercer pilar que sostiene, junto con el principio de complementariedad de Niels Bohr y las relaciones de incertidumbre de Wemer Heisenberg, la conocida interpretación de Copenhague. Teniendo en cuenta que esta última se ha situado, en términos generales, en el marco de una filosofia de la ciencia de corte instrumentalista, parece que la aportación de Boro no puede sino defender una imagen no realista de la ciencia. Es decir, se tiende a aceptar de forma acrítica que la labor científica y filosófica de este autor avala en gran medida un planteamiento positivista. No olvidemos que Max Boro abre las puertas al indeterminismo y este hecho parece propiciar un alejamiento respecto de una visión intuitiva del mundo fisico.
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CAPÍTUL02
ORÍGENES DE LA TEORÍA CUÁNTICA
A finales del siglo XIX e inicios del siglo XX, frente a una serie de fenómenos fisicos observados, se hizo evidente que las leyes fisicas hasta entonces conocidas no eran capaces de explicarlos. En este Capítulo presentamos, el ahora llamado, la Teoría Cuántica Antigua, por dos razones; el primero por su interés histórico y el segundo porque a pesar de sus falencias constituyo en el primer intento exitoso para solucionar las diferentes dificultades que fueron surgiendo del estudio relacionados con sistemas a escalas microscópicas. Presentamos a continuación algunos de estos problemas.
RADIACIÓN DE CUERPO NEGRO
Es el estudio de la distribución espectral de la radiación electromagnética en equilibrio termodinámico con la materia.
A comienzos del siglo pasado Lord Rayleigh y Sir James Jeans, determinaron una expresión para la densidad de energía de la radiación de un cuerpo negro, entendiendo que tal cuerpo absorbe toda la radiación electromagnética que incide sobre él. El resultado obtenido por Rayleigh y Jeans indicó que existía una divergencia entre la fisica clásica y los resultados experimentales.
En su estudio, ellos consideraron una cavidad cúbica, de lado L, de paredes metálicas a una temperatura uniforme T conteniendo radiación electromagnética. La idea fue que los electrones de las paredes de la cavidad vibran térmicamente y de esta manera emiten radiación electromagnética dentro de ella, así estudiaron el comportamiento de esas ondas electromagnéticas. Para ello usaron la teoría electromagnética clásica que les permitió mostrar que la radiación que se encontraba dentro de la cavidad son ondas estacionarias cuyos nodos están sobre las superficies metálicas. Asimismo, considerando argumentos geométricos determinaron el número de las ondas estacionarias, cuyas frecuencias se encontraban en el intervalo v y v + d v , a partir del cual concluyeron que existe una dependencia del número de ondas con v . Luego usando la teoría cinética clásica de los gases calcularon la energía total media de esas ondas cuando el sistema está en equilibrio térmico.
Inicialmente vamos a considerar el caso de una cavidad unidimensional de longitud L y una vez obtenido el resultado, extrapolamos al caso tridimensional (cavidad cúbica). De esta manera, como es conocido, el campo eléctrico para ondas estacionarias unidimensionales puede ser escrito como:
E(x,t) = E0 sen(k x )sen(m t ),
donde k = 2~ y m = 2Jrv, siendo v la frecuencia de la onda y A, su longitud de onda, y
E0 la amplitud del campo eléctrico.
13
Para determinar los nodos de esta onda, consideramos para cualquier instante t que E(x,t) = E0 sen(kx)sen(cot)= O, de donde
2x -=0123 ...
.íL ' ' ' ' Es decir, se tiene una onda estacionaria. Ahora bien, para que la onda tenga nodos en los dos extremos de la cavidad, escogemos uno de los extremos en x = O y de esta manera se tiene
donde n = 1,2,3, · · · .
2x -=n 2 '
Observe que con x = L, obtenemos para n=l
n=2
n=3
L=A. 2'
L =A.,
3 L=-A.
2 '
y así sucesivamente. Es decir, se obtiene los diferentes modos de vibración que existe dentro de la cavidad.
Asimismo, para obtener el número de modos de vibración, primero determinamos el número de ondas en esa longitud L , es decir
!:_=M 27! '
siendo M el intervalo donde se está considerando el número de ondas estacionarias. Ahora, si en el intervalo M la separación entre dos modos de vibración consecutiva es dk, el número de modos es
y como
7t dk=k -k =-
n+l n L'
entonces, para k E (- oo, oo), se tiene que el número de modos es dado por:
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Si a continuación consideramos el caso en tres dimensiones, tenemos que el número de modos de vibración es:
- LxLyLz !:u¡(k) = 3 MxMyMz,
(2Jr)
que para el caso infinitesimal (M ~ O) se convierte en
- V 3,-dr¡(k) =--3d k.
(2Jr) (2.1)
Por otro lado, para determinar la energía total media, usaron la mecánica estadística clásica. Así, la probabilidad de que su energía tenga un valor e es
e -/{Br P(s) = ,
fe -/{Br de o
donde k 8 es la constante de Boltzmann. De esta manera, el valor medio de la energía es
8 = -~ln(f e-Pe dsJ, dfJ o
(2.2)
Ahora, para determinar la densidad de energía por unidad de volumen en el intervalo M usamos la expresión
(k)d3k = dr¡(k)e P V '
y considerando (2.1) y (2.2), tenemos
(k)d3k = edkk8 T p 2Jr2 '
además, recordando que k = {/) , siendo e la velocidad de la luz, tenemos e
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OJ2 k T
p(m)dm = 2s
3 dm,
21r e (2.3)
o también se puede reescribir en término de la frecuencia, considerando OJ = 21rv, es decir
(2.4)
donde se ha tomado en cuenta las dos direcciones independientes de polarización de las ondas electromagnéticas.
De esta manera, (2.3) o (2.4) describen el espectro de la radiación de cuerpo negro dentro de la cavidad. Sin embargo, estas expresiones no estaban de acuerdo con los resultados experimentales como se puede apreciarse en la siguiente figura:
p(v)
H Curva teórica de Rayleigh - Jeans
Curva Experimental
(v) 1 1 2 3
Fig. 1 : Comportamiento de la densidad de energía de un cuerpo negro
Observemos, de la figura, que la ley (2.4) concuerda para frecuencias v bajas con el resultado experimental, pero falla en el caso de frecuencias altas. Es decir, la expresión encontrada por Rayleigh-Jeans es contrario a lo observado experimentalmente. Esta falla de la ley, obtenida a partir de los principios fisicos clásicos aceptados en esa época, es llamada la catástrofe ultravioleta, la cual también se puede obtener inmediatamente de (2.4), s1 hacemos
oo oo 81rv2 k T P = J p(v)dv = J 3 B dv ~ oo.
o o e
LEY DE PLANCK
Max Planck dedujo un resultado teórico que concuerda completamente con los experimentos. Planck con una hipótesis revolucionaria resolvió en 190 1 el problema de la distribución espectral (densidad de energía) de la energía de la radiación térmica del cuerpo negro. Para ello, postuló que la energía podía tomar solo valores discretos de la forma
16
En = nhv, (2.5)
donde h es una constante (posteriormente conocida como la constante de Planck) y n toma valores enteros.
De esta manera, Planck considero al igual que Rayleigh y Jeans que el número de modos de vibración eran dados por (2.1 ), sin embargo, para determinar la energía media hizo el siguiente cálculo, considerando (2. 5):
donde
así
ro
8 ='Le P(e), E=Ü
8 = k8T(-a~ln(fe-na)J, da n=O
hv 8 = ---:--
hv (2.6)
De esta manera, para determinar la densidad de energía por unidad de volumen en el intervalo M uso (como en el caso de Rayleigh y Jeans) la expresión
(k)d3k = dr¡(k)8 p V '
y considerando (2.1) y (2.6), obtuvo
17
8nv2 hv p(v)dv=-
3- hv dv, (2.7)
e ekBT -1
la cual es conocida como la ley de radiación de Planck para el cuerpo negro. En este caso, se tiene que para frecuencias altas la energía promedio de Planck disminuye como es el resultado experimental. La diferencia con Rayleigh y Jeans, representa en la siguiente figura:
·~ ·~
El l-tl
.hv .k"'
Fig. 2: Comportamiento de las densidades de energía de un cuerpo negro para Rayleigh-Jeans y Planck
Además, la expresión (2. 7) soluciona el problema de la catástrofe ultravioleta, es decir de
oo oo 87lh v3 p 1 = J p(v)dv = J-3 hv dv,
e o o ek]JT _ 1
J donde a= 7.56x10-6
3 4 y la expresión (2.8) es conocida como la ley de Stefan-
m 0 k
Boltzmann.
EFECTO FOTOELÉCTRICO
A finales del siglo XIX H. Hertz (1887) efectuó experimentos que confirmaron la existencia del espectro electromagnético. Durante uno de sus experimentos, por accidente, descubrió que al someter a la acción de la luz (visible o ultravioleta) determinadas superficies metálicas, estas desprendían electrones, llamados fotoelectrones. Este fenómeno se conoció posteriormente como efecto fotoeléctrico.
Uno de los aspectos particulares del efecto fotoeléctrico que mayor confusión creó fue el que la distribución de la energía en los electrones emitidos es independiente de la intensidad de la luz. Un haz de luz intenso da lugar a más fotoelectrones que uno débil, pero la energía media de los electrones es la misma. Estas observaciones no se podían entender en el marco de la teoría electromagnética de la luz. Igualmente extraño es que la energía de los fotoelectrones dependa de la frecuencia de la luz empleada. A frecuencias por debajo de cierta frecuencia crítica característica de cada metal, no se emite ningún fotoelectrón.
En 1905 Albert Einstein pudo explicar el efecto fotoeléctrico basándose en la hipótesis de Planck. Para esto Einstein supuso que la radiación electromagnética esta formada por paquetes de energía, y que dicha energía depende de la frecuencia de la luz:
E=hv, a estos paquetes de energía se les denominó posteriormente fotones. De esta manera se puede explicar perfectamente el efecto fotoeléctrico. Einstein volvió a introducir la naturaleza corpuscular en la propagación de la luz y su interacción con la materia.
Sobre estas consideraciones si un electrón absorbe una energía h v parte de ella la utiliza para librarse de la energía potencial que lo mantiene en el metal, conocida como la función trabajo o energía de arranque del metal (J) , así la energía máxima que un fotoelectrón puede adquirir es:
E=hV-(J). (2.9)
En 1916 Milikan proporcionó una demostración experimental de la teoría fotónica de Einstein y Planck al hallar el valor de la constante h midiendo en un mismo metal los potenciales de frenado necesarios para distintas radiaciones incidentes de frecuencias conocidas. Por ello obtuvo el premio Nóbel en 1927
EFECTO COMPTON
Los experimentos de Milikan comprobaron las hipótesis de Einstein, pero la confirmación definitiva de la existencia de los fotones la dio el fisico americano Compton en 1932. Compton hizo incidir un haz de rayos X de longitud de onda A sobre una lámina de grafito y observó que la radiación dispersada tenía una longitud de onda A,' .
Para encontrar la relación entre ellos, Compton consideró la radiación electromagnética como un conjunto de partículas relativistas, los fotones, cada una de ellas con masa en
E hv h reposo nula, con energía E = h v y con momento p = - = - = - . El efecto Compton
e e A confirma tanto la validez de la mecánica relativista como la existencia de los fotones.
La expresión entre A y A' es:
A'- A= ~(1- cose), me
19
donde e es el ángulo de dispersión, m la masa del electrón, h la constante de Planck y e la velocidad de la luz.
DUALIDAD ONDA-PARTÍCULA
Como una consecuencia de los tres fenómenos presentados, a principios del siglo pasado, la física enfrentaba un gran dilema, aparentemente irresoluble, basado en los siguientes hechos: • En los fenómenos de difracción, interferencia y polarización la luz muestra una
naturaleza ondulatoria. • En los fenómenos de emisión del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico y Compton la luz
manifiesta una naturaleza corpuscular.
El problema de los fisicos a principios del siglo pasado era saber si la luz es un fenómeno ondulatorio o corpuscular. Se comporta como nada que se conocía. Con la finalidad de responder a la pregunta, experimentos de la doble rendija fueron realizados. Cuando solo una de las rendijas estaba abierta se formaba un patrón de difracción y cuando las dos rendijas estaban abiertas el patrón que se formaba era de interferencia. Cuando dichos resultados se pretendió explicar considerando las dos teorías, ondulatorias y corpuscular, ninguna de ellas tuvo éxito. Así, los fisicos de la época tuvieron que aceptar que el fotón (la luz) tiene ese doble comportamiento, onda-materia. Sin embargo, debe quedar claro que no podemos observar simultáneamente los dos aspectos: en un caso observamos su naturaleza ondulatoria y en otro su naturaleza corpuscular.
LUIS DE BROGLIE
Debido al gran número de evidencias experimentales que existía a favor de cualquiera de ellas, no se podía renunciar a ninguna. Louis de Broglie realiza una síntesis.
Del mismo modo que los fotones se comportan como partículas o como ondas, también los electrones se comportan como partículas o como ondas. Como en 1919, A. Einstein había sugerido que los fotones viajaban en una dirección determinada, a la velocidad de la
luz, con momento p = !!.. y por tanto la energía de un fotón venia dada por E = mc2 .
A Igualando las expresiones de Planck E= hv y de Einstein E= mc 2 podemos obtener
p fotón = ~ . Esta expresión relaciona una propiedad corpuscular (momento) con una
ondulatoria (longitud de onda).
Lo más sorprendente de la teoría de De Broglie consistió en sugerir que la naturaleza debía regirse por leyes simétricas, de modo que si una onda (como la luz) tenía propiedades corpusculares, un corpúsculo como el electrón debía tener propiedades ondulatorias. De esta manera extendió la ecuación anterior a todas las partículas materiales de velocidad v.
Postulo: Toda partícula material que se mueve con velocidad v tiene una longitud de onda
asociada dada por la expresión p = h . A.
20
PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE
Este principio de deriva como una consecuencia del comportamiento ondulatorio del movimiento de las partículas.
Por ejemplo, de p = h , si su longitud de onda está bien definida, la única manera de A
representar la onda, es una onda plana, describe mejor el movimiento ondulatorio monocromático. Esta onda ocupa todo el espacio, su extensión espacial no es acotada, es decir no se tiene certeza de su localización debido a que está distribuida dentro de la onda, es decir, p fijo hace imposible determinar su posición.
Podemos resumir este capítulo indicando, que de los fenómenos estudiados y sus consecuencias, el comportamiento de onda-partícula de la naturaleza (partícula) es un misterio que presenta el mundo microscópico, en este caso, ya no es posible tener una imagen de los procesos microscópicos, se debe renunciar a la intuición. En la época exigió un cambio fundamental de actitud en los fisicos de la década de 1920. No era posible buscar interpretaciones de la realidad microscópica en términos de conceptos a-priori de la experiencia macroscópica.
El principio (debido a Bohr) que mostraba este cambio de actitud, es el de Complementariedad, el cual indica que la naturaleza tiene comportamiento de onda y de partícula, depende de que propiedad sea medida por el aparato. De acuerdo con Bohr, esta característica del mundo cuántico, tenga comportamientos diversos ante mediciones mutuamente excluyentes entre si, no debe ser considerado como contradictorio, si no que la información así obtenida son complementarias para el conocimiento del mundo cuántico. Esto indicaba que se debía construir nuevos conceptos físicos capaces de describir esta nueva realidad, la misma que es conocida como Mecánica Cuántica, motivo de los siguientes capítulos.
PROBLEMAS
l. Un cuerpo negro inicialmente a una temperatura de 2900 °K, se enfría. Si la longitud de onda correspondiente al máximo de su densidad de energía radiada cambia en 9xl0-6m, Cuál es la temperatura final del cuerpo?
Solución
Sabemos que Amax T = o ,2898 X 1o-2m o o K ' entonces
A = 0,2898xl0-2 m.°K = 0,2898xi0-2 m.°K max T 2900°K
Además, como
21
Así,
T. = 0,2898x10-2 m.°K 2 9,99x10-6 m
2. Si la función trabajo fotoeléctrico del Litio es 2.3eV., a. Determine la longitud de onda umbral, b. la energía cinética máxima de los fotoelectrones y el potencial critico Vo, Si la luz
o ultravioleta de A =2000 A incide sobre una superficie de Litio,
Solución
a. Para el caso umbral, se tiene que
6,6256 X 10-34 J.s X 3 X 108 m/ ;1 _ ls /~- 1J ,
2,3ev x -----:-:,-----6,242 x 1018 ev
o Ao =5394A.
b. Considerando E= h v-m , pero
entonces
hv=hc A
6,6256 x 10-34 J.s x 3 x 108 m/ hv= ls
2000x10-10 m '
hv = 6,2ev,
E= (6,2- 3,9 )ev = 3,9ev.
Para detenninar el potencial crítico, usamos:
22
hv-(}) V= ,
e
V= 3,9ev 16x10-19 C ,
V=3,9v.
o 3. Un fotón de longitud de onda A-0 =0.024A, incide sobre un blanco. Si el ángulo de dispersión
es de 60°, detennine a. la longitud de onda deJ fotón dispersado, b. la energía cinética del electrón, c. el corrimiento de Compton, si el blanco es un átomo de carbono (m = 2 x 1 o-26 Kg ) .
Solución
a. De A,'- A,= ~(1- cosB), detenninamos me
Así,
b. Como
!:_(1-cosB)= 6'6256
x1034
(1-cos60°), me 9,11x10-31 Kgx3x108m
h o -(1- cosB)= 0,012A. me
o o A'= O,Ol2A+ 0,024A,
o A-' =0,036A.
E=6,6256x10-34J.sx3x108m( O,~IZA 0J,
0,024Ax 0,036A
E=0,172x106ev.
C. Como m = 2 X 1 o-26 Kg ' entonces en
23
así,
PROBLENL\SPROPUESTOS
h o -(1- cose)= 5,52 X 10-7 A' me
o 2'- A= 5,52 X 10~7 A.
l. En una explosión termonuclear, la temperatura en el centro de la explosión es momentáneamente 107 0K. Determine la longitud de onda para que la radiación emitida sea máxima.
2. Existe evidencia experimental que el universo contiene radiación de cuerpo negro correspondiente a una temperatura de equilibrio cercana a 3°K. Determine la energía de un fotón con longitud de onda A.max a esta temperatura y también para 300°K.
3. Un haz luminoso monocromático uniforme de longitud de onda 4xl0-7 m incide sobre un material cuya energía de arranque es 2 eV. El haz tiene una intensidad de 3x10-9 W.m-2
.
Determine a. el número de electrones emitidos por m2 y por s., b. la energía absorbida por m2 y por s., c. la energía cinética de los fotoelectrones.
o 4. Una radiación de 1 A de longitud de onda, experimenta dispersión Compton en una muestra
de carbono. Se observa la radiación dispersada en dirección perpendicular al incidente. Determine
a. la longitud de onda la radiación dispersada, b. la energía cinética y la dirección del movimiento de los electrones de retroceso.
24
CAPÍTUL03
LA ECUACIÓN DE ONDA DE SCHRÓDINGER
En el capítulo anterior concluimos que de acuerdo con el principio de Bohr, de Complementariedad, la naturaleza tiene un comportamiento de onda y de partícula, depende de que propiedad sea medida. Esta característica del mundo cuántico, es decir, comportamientos diversos ante mediciones mutuamente excluyentes entre si, no debe ser considerado como contradictorio, si no que la información así obtenida son complementarias para el conocimiento del mundo cuántico. Esto indicaba que se debía construir nuevos conceptos físicos capaces de describir esta nueva realidad, la misma que posteriormente fue conocida como Mecánica Cuántica.
Al respecto para estudiar ese mundo cuántico se necesita de una ecuación dinámica, algo similar a la segunda ley de Newton para la mecánica clásica. Dicha ecuación conocida hoy como la ecuación de Schrodinger se atribuye a Erwin Schrodinger en 1925, y describe la evolución temporal de una partícula masiva no relativista para la mecánica cuántica.
Para determinar la ecuación de onda de Schrodinger vamos hacer las siguientes consideraciones:
l. Debe ser consistente con los postulados de De Broglie - Eisntein, es decir, las siguientes relaciones deben ser consideradas:
h A=-
p '
E=hv,
donde A es la longitud de onda, h es la constante de Planck, p es el momento, v la frecuencia y E la energía.
2. Debe ser consistente con la siguiente ecuación:
2
donde E es la energía total, !!._ es la energía cinética y V el potencial donde se 2m
mueve la partícula.
3. Debe ser una ecuación lineal en l.f/(x,t), es decir si l.f/1 (x,t) y l.f/2 (x,t) son dos
soluciones diferentes, cualquier combinación lineal l.f/(X, t) = A lf/1 (x, t) + B l.f/ 2 ( x, t)
también es solución. Esta exigencia de linealidad asegura que se puede sumar funciones de onda para producir los fenómenos de interferencia.
4. La energía potencial V es considerada corno constante. Es decir, se considera un caso de partícula libre.
De esta manera, considerando l. y 2., se tiene que
25
2Jr y como k = - y ()) = 2Jrv, entonces ;.,
h2 hv=--2 +V,
2m A,
(3.1)
Por otro lado, debido a la linealidad, dado por 3, es necesario que cada término en la ecuación diferencial sea lineal en 1//(x, t), es decir, sea proporcional a la primera potencia de 1//(x,t). Observe que cualquier derivada de 1//(x,t) satisface esta condición. Para que la
ecuación sea lineal no debe haber términos del tipo lj/2 (x, t) debido a que
(e 1//(x, t)) = C 2 1//2 (x, t).
Además, por la hipótesis 4, vamos a escribir una ecuación que describa una partícula libre, es decir con momento constante. Al respecto asumimos una solución del tipo:
1//(x,t) = sen(kx- ())t). (3.2)
De aquí, se tiene
0 1//( x, t) = -()) cos(kx- ())() ot '
(3.3)
(3.4)
y como en 1 aparecen k 2 y ()), entonces debemos tener en nuestra ecuación derivadas espaciales de 1//( x, t) y una primera derivada temporal de 1//( x, t) y un término del tipo, aparece en l. De esta manera, vamos a considerar la siguiente forma para la ecuación diferencial:
o21j/(x,t) V ( )-j3olj/(x,t) a 2 + 1// x, t - , Ox Ot
(3.5)
donde a y f3 son constantes que deben ser determinados. Para esto, reemplazando (3.3) y (3.4) en (3.5) tenemos
-a k 2 sen(kx- ())t)+ Vsen(kx- ())t) = -/3()) cos(kx- ())t),
(v-a k 2 ~en(kx- ())() + f3 ()) cos(kx- ())f) = O,
y como las funciones trigonométricas son linealmente independientes, entonces V = ak 2 y f3 = O , sin embargo, este resultado ( f3 = O ) no permite que ()) aparezca en (3 .1). De este modo, vamos a postular una solución del tipo, para la partícula libre:
1//(x,t) = ysen(kx-())t)+cos(kx-())t), (3.6)
26
donde y es una constante que se debe de determinar.
Así de (3.6), tenemos
02 1//(:, t) = k 2 cos(kx -mt)-e r sen(kx- mt)' Ox
Of//(x,t) =m sen(kx -mt )-m ycos(kx -mt ), ot
Ahora, reemplazando (3. 7) y (3. 8) en (3. 5), se tiene
-a k 2 cos(kx -mt)- a k 2 ysen(kx-mt) +V cos(kx-mt)+ V y sen(kx-mt) =
f3m sen(kx-mt)- f3m ycos(kx- M),
(vr- a k 2 y- f3m ~en(kx- mt )+ (p m y+ V- a k 2 )cos(kx- {í)t) =O,
de donde se obtienen las siguientes relaciones, independientes de x y t:
/3m y+V -ak 2 =O,
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
Así, restando (3.10) y (3.9), se encuentra que y= ±i, luego reemplazando estos valores en
(3.9), obtenemos:
±i/3 {í) +V- a k 2 = O,
y como se debe satisfacer (3 .1 ), comparando se tiene que
1i2 a=--
2m'
P=±ili.
De esta manera la ecuación de onda de Schródinger es escrita como:
(3.11)
Debemos mencionar que la demostración fue para el caso especial de V constante, sin embargo, esperamos que tenga la misma forma en el caso general que el potencial dependa de x . La expresión (3 .11) representa la ecuación dinámica en la Mecánica Cuántica, de manera similar a la segunda ley de Newton en la mecánica clásica.
La Interpretación de Boro para Funciones de Onda
Vimos que la función de onda para una partícula libre es dada por:
27
lf/( x, t) = cos(kx- mt) + í sen(kx- mt),
es decir, es una función de onda compleja.
Esta función de onda de la mecánica cuántica al ser compleja tiene dos funciones reales. Diferente del caso de las funciones de onda de la mecánica clásica. El hecho que las funciones de onda (en la mecánica cuántica) sean complejas, es una característica que nos indica que no debemos intentar dar a dichas funciones una existencia física, como se hace para el caso de ondas en el agua. La razón, es que cantidades complejas no pueden ser medidos por instrumentos fisicos reales.
De esta manera, no tiene sentido preguntar: ¿qué es esta onda? y en ¿dónde ella se propaga? Por tanto, dichas funciones de onda son únicamente instrumento de cálculo, que tiene significado solo en la teoría de Schrodinger. Lógicamente, estos comentarios no deben ser tomados en el sentido de que la funciones de onda no tienen interés fisico, en realidad una función de onda, contiene toda la información que el principio de incertidumbre permite que tengamos respecto a la partícula asociada.
Por otro lado, la relación básica entre las propiedades de la onda lf/(x,t) y el comportamiento de la partícula asociada se expresa en términos de la densidad de probabilidad P( x, t), la cual expresa la probabilidad por unidad de longitud de encontrar a la partícula alrededor de la coordenada x en un instante t .
Postulado de Boro
Si en el instante t se realiza una medida de localización de la partícula asociada a la función de onda lf/(x,t), entonces la probabilidad P(x,t)dx de que la partícula sea encontrada
entre x y x +dx es igual a lf/* (x, t)lf/(X,t)dx, así se tiene que
P( X, t) = lf/ * (X, t)lf/( X, t) .
Dicha expresión se justifica considerando el movimiento de una partícula asociada con la propagación de una función de onda en el espacio. Es decir, la partícula debe estar en algún lugar donde las ondas tengan una amplitud apreciable. Así P(x,t) debe ser apreciable donde lf/(x,t) lo es. Caso contrario (partícula separada de la onda) surgirían problemas relativisticos, el tiempo necesario para la transmisión de información entre dos entes que tiene necesariamente que seguirse uno de otro.
Valores Esperados
Como mencionamos anteriormente, la ecuac10n de Schrodinger es, en la mecamca cuántica, el análogo de la segunda ley de Newton en la mecánica clásica. Las diferencias entre las mencionadas mecánicas, es que en el caso de la mecánica clásica es posible conocer con exactitud y simultáneamente la posición y el momento de una partícula, mientras que en la mecánica cuántica el principio de incertidumbre limita el conocimiento de cantidades como éstas.
Por otro lado, en la mecánica cuántica es posible conocer la función lf/*(x,t)lf/(x,t), la posición y el momento más probables de una partícula en un instante t, o bien, cuáles son los
28
valores más probables de cualquier par de variables conjugadas en un instante dado. Esto obliga a buscar los valores más probables de las cantidades dinámicas observables con las que tratamos usualmente, valores que coinciden con los que en matemática se conoce como valores promedio o esperados. También es posible encontrar los valores esperados de los operadores correspondientes a algunas cantidades dinámicas.
Suponga que se tiene una partícula asociada a la función de onda l.f/(x,t), entonces existe
una probabilidad P( x, t) dx de encontrarla, en un instante t, entre x y x + dx, dada por
P(x,t)dx = 1.¡/ (x,t)l.f/(x,t)dx (donde lf/* (x,t) indica el conjugado complejo de lf/(x,t) ).
Luego, se hace una serie de medidas, para sistemas idénticos, descritos por la misma función de onda l.f/( x, t), en un mismo instante de tiempo, de tal manera que se tiene un conjunto
observado de x . Con este conjunto {x} se puede obtener una medida de posición en un
instante t . Este valor es llamado de valor esperado de x en un instante t, definido por:
(x) =roo xP(x,t)dx,
o en términos de las funciones de onda como:
(x) = ( \f*(x,t)x\f(x,t)dx. (3.12)
De la misma manera, para otras cantidades fisicas, por ejemplo el momento, se tiene:
(p) =roo 'f'"(x,t)p'P(x,t)dx' (3.13)
sin embargo, para este caso surge un problema relacionado con el integrando l.f/"' ( x, t) p lf/( x, t),
debido a que debe ser expresado como una función de x y t . En particular p debería ser
función de x y t, pero si así fuera el caso estaría en contradicción con el principio de incertidumbre, el cual indica que p no es función de x, ya que no pueden ser medidos simultáneamente con precisión total. Por tanto, se debe procurar una nueva forma para (3. 13).
Para esto, vamos a considerar el caso de una partícula libre, es decir descrito por la siguiente función de onda:
de donde:
y como k = p , entonces 1i
o también:
lf/(x,t) = cos(kx-mt)+isen(kx-mt),
Olf/(x,t) = ik(cos(kx- mt)+ i sen(kx- mt )), 8x
Olf/(X, t) - . p ( t) _.:.____:_;.__:... - l l.f/ X, , 8x 1i
Plf/(X, t) = -i1i~l.f/(X, t)' 8x
29
es decir, esta expresión muestra la relación que existe entre la cantidad dinámica p y el
operador diferencial -in~ . Ox
De la misma manera de lf/(X, t) = cos(kx- OJI) + i sen(kx- OJI), tenemos:
E y como OJ = -, entonces n
o también:
Olf/(x,t) = -iOJ(cos(kx- OJt)+ i sen(kx- OJt)), at
o lf/( X, t) = -i E lf/(X t) ot n ' '
E lf/(x, t) = in .E_ lf/( x, t), Ot
la cual indica la relación que existe entre la cantidad dinámica E y el operador diferencial
in .E_. ot
Surge la pregunta, si estas relaciones están restringidas para el caso de una partícula libre? Vamos a mostrar que estas relaciones validas para casos generales. Para esto recordando que
2
E=L+V 2m '
y si sustituimos, en esta expresión, las relaciones de p ~-in~ y E~ in~, obtenemos la ax at siguiente ecuación de operadores:
n2 82 o ---+V(x)=in-,
2m Ox 2 ot
la cual tiene significado cuando es aplicado a cualquier función de onda lf/( x, t), es decir:
_n2
82/j/(x,t) V() ( )- 'nolj/(x,t)
-----'--'-2
..:.._::_ + X lfl X, t - l , 2m Ox ot
y observamos que es la ecuación de onda de Schrodinger.
Por lo tanto, podemos postular que considerar p ~ -in~ y E ~ in~, es equivalente a ax ot
postular la ecuación de onda de Schrodinger. De esta manera, reescribimos la expresión (3.13) como:
(p) = ( \1'* (x,t{- in! )\l'(x,t)dx,
(p):::;: -iñ[ '1'* (x,t)~ 'P(x,t)dx, -<X) ax
esta forma justifica porque la cantidad dinámica debe ir entre '1/ * ( x, t) y VJ( x, 1) .
De la misma manera, se tiene:
(E)= ( '1'* (x, t)E'P(x,t)dx = ( '1'* (x,t)(iñ~J'P(x, t)dx, ~ ~ at
(E)= iñ[ '1'* (x, t)~ 'P(x, t)dx. -oo at
De los resultados anteriores se puede obtener para los valores esperados de cualquier cantidad dinámica o de su operador (que será tema del capítuloS) correspondiente, la siguiente expresión.
00
< F >= J'P* (x,t)F'P(x,t)dx, -00
donde F es una cantidad u operador arbitrario.
Debemos mencionar que el orden de los términos en el integrando debe ser el que aparece en la ecuación, si se está tratando de obtener el valor esperado de un operador diferencial, aunque puede alterarse si la cantidad cuyo promedio se busca no tiene operadores diferenciales.
El producto 'P*(x,t)'P(x,t) actúa como una función de distribución o factor de peso siempre y
cuando 'P(x,t) esté normaliza, es decir, si se cumple la ecuación:
<X)
J'~'* (x,t)'P(x,t)dx =l. -<X)
PROBLEMAS
l. Una función de onda '1/(x,t) asociado al estado fundamental de un oscilador armónico
-( rc% }2 -(!-)~ simple para una partícula de masa m, es dada por '1/(x,t) = Ae 2
1i e 2 m • Determine
la densidad de probabilidad e interpretar el resultado. Además obtenga la función de onda normalizada.
Solución
La densidad de probabilidad es
P = '1/* (x,t)!p(x, t),
31
Esta expresión es una distribución de probabilidades, indicando que la mecánica cuántica es una teoría estadística, es decir no se puede ubicar una partícula en un determinado lugar, a lo más podemos decir sobre la probabilidad de encontrar a la partícula en un cierto inetervalo.
Para normalizar, de
<X)
fT* (x, t}'I'(x, t)dx = 1, -<X)
-<X)
2IAI2 j e-( rcny,;)xz dx = 1 ,
o
2IAI2 (m);; = 1 2(cm)~ '
A= (cm)~ (JZñ )Ys .
Entonces,
Una partícula de masa m se mueve libremente sobre el eje x, entre -a :::;; x:::;; a, tiene una 2 2
.Et u ~- a a función de onda dada por lf/(x,t) =Acos-e n, en el intervalo --:::;; x:::;;- y nulo fuera de
a 2 2
ella. Determinar los valores esperados x , x2 .
Solución
Como
<X)
<X>= fT*(x,t)x\fl(x,t)dx, -<X)
1 32
Debido a que el integrando es una función impar.
co
< x 2 >= f'P*(x,t)x 2 'P(x,t)dx, -co
/ ) 2 feo 1lX ¡!!!_ 1lX _¡!!!_ \x2 =!Al cos-e ñ x2 cos-e ñ dx,
a a -co
PROBLE~SPROPUESTOS
l. Considere una función de onda normalizada lf/(X). Asuma que el sistema se encuentra en un
estado descrito por 'P(x)=a11f/(X)+a21f/*(x), donde a1 y a 2 son números complejos conocidos. Escriba la condición de normalización de 'f'(x) en términos de la integral
-co
(a)y,; 2¡
2. Dado que: qJ( x) = Jl e -ar 2
. Calcule, Llx , t1p y el producto Llx:t,p .
33
CAPÍTUL04
LA ECUACIÓN DE SCHRODINGER INDEPENDIENTE DEL TIEMPO
En este Capítulo presentamos la ecuación de onda de Schródinger independiente del tiempo o también conocida como la ecuación estacionaria de Schródinger.
Para esto consideramos la ecuación de onda de Schrodinger, dada por:
_!!!:__ o 2'P(x,t) V( )\TI( ) = ·1;_ o'P(x,t)
---'--2
-'----'- + X T X,f l rt .
2m Ox ot (4.1)
Como V ( x) no depende del tiempo, la ecuación de Schródinger ( 4.1) admite soluciones separables de la forma
'P(x,t) = lf/(x)r/J(t). (4.2)
A continuación de (4.2) obtenemos
o'P( x, t) = (x) dr/J(t) ot lf/ dt '
y sustituyendo estas expresiones en ( 4.1) se tiene
fz 2 d 2 (x) dt/J(t) -- lf/ rjJ(t)+V(x)lf/(x)rjJ(t)=ilzlf/(i)--,
2m dx 2 dt
dividiendo ahora por lf/(x)rjJ(t)
-~-(- tz2 d21f/(x) + V(x)lf/(x)J = i fz-l- drjJ(t). lf/(X) 2m dx2 rjJ(t) dt
(4.3)
Observamos que el miembro izquierdo de ( 4.3) depende solo de x y el miembro derecho depende solo de t. Por lo tanto ambos miembros deben ser iguales a una constante e, que se denomina constante de separación, y de esta manera la ecuación de Schródinger se separa en dos ecuaciones, una para lf/(x) y la otra para r/J(t), es decir:
-~-(- tz2 d21f/(X) + V(x)lj/(x)J =e, lf/(X) 2m dx 2
(4.4)
34
i h _I_ df/J(t) = e . f/J(t) d t
(4.5)
La ecuación (4.5) para f/J(t) puede ser integrado inmediato. A menos de un factor
constante, la solución es: t/J(t) = e-ictfñ, (4.6)
que es una función compleja puramente oscilatoria con frecuencia v = e . Además, recordando h
que a; = E , donde a; = 2nv y E es la energía de la partícula, debemos identificar la constante h
de separación e con la energía total E. Luego la ecuación (4.4) se escribe como
h 2 d 2 (x) -- lf/
2 + V(x)lf/(x) = Elj/(x),
2m dx (4.7)
que es la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo.
Esta ecuación determina la dependencia espacial lf/(X) de las funciones de onda
separables del tipo ( 4 .2). Como se ve es una ecuación de segundo orden, que no contiene factores imaginarios y por lo tanto sus soluciones no son necesariamente complejas. Sus soluciones lf/(x) , que dependen del valor de la constante de separación E, se denominan
autofunciones (o funciones propias) de la energía, y los correspondientes valores de E se denominan autovalores (o valores propios) de la energía.
De esta manera, la función de onda se escribe como
'P(x,t) = lf/(x)e-iEtfli. (4.8)
Debemos mencionar que al resolver la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo ( 4. 7) solo se obtienen soluciones aceptables para ciertos valores particulares de E. De esta forma aparece la cuantización de la energía.
Propiedades de las Autofunciones
Como indicamos, las soluciones lf/(X) de la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo, también conocida como ecuación estacionaria de Schrodinger, son llamadas autofunciones. Estas soluciones, así como sus derivadas, deben presentar ciertas propiedades, de tal manera que sean soluciones aceptables, y garanticen que se puede calcular a partir de ellas, cantidades medibles que sean bien comportadas.
Las propiedades de las autofunciones son:
1. lf/(X) y dlf/(X) deben ser continuas, dx
2. lf/(X) debe ser univoca en todo punto,
3. lf/(x) debe ser finita en todo punto y de cuadrado integrable,
35
4. lf'(X) debe satisfacer las condiciones de frontera propias del problema.
La última restricción, permite seleccionar de entre el número (en general infinito) de posibles soluciones de la ecuación diferencial aquella única que cumple con todas las condiciones que exige la situación fisica. Sin embargo, en ciertos problemas, el conjunto de condiciones es tan fuerte que sólo existen soluciones para ciertos casos particulares.
En cuántica puede ocurrir que la energía E de sistemas cuánticos estacionarios resulte cuantizada, es decir, que existan soluciones sólo para ciertos valores discretos del parámetro E, si las condiciones la determinan. Por ejemplo, cuando un potencial donde se mueve una partícula es atractivo y forma un sistema ligado, es decir, clásicamente el movimiento de las partículas cuánticas es acotado, el espectro energético resulta discreto. La Figura 1 representa este caso.
V(x)
E
X
Fig. 1: Representación de un potencial que acota el movimiento
En otro caso, cuando un potencial donde se mueve una partícula es no atractivo, es decir, clásicamente el movimiento de las partículas cuánticas es no acotado, la ecuación diferencial tiene solución para cualquier valor permitido de E, y el espectro de energía es continuo. La Figura 2 representa este caso.
V(x)
E
X
Fig. 2: Representación de un potencial que no acota el movimiento
1 36
Un tercer caso de interés fisico, es aquel que considera los dos casos, es decir, existen dos puntos clásicos de retomo y la partícula se encuentran en un estado ligado estacionario sólo para energías negativas que pertenecen a un espectro discreto, mientras que para energías positivas el espectro resulta continuo.
V(x)
E>O
o X
Fig. 3: Representación de un potencial de interés fisico
Aplicación de la Ecuación Estacionaria de Schrodinger
El Pozo Potencial
Como una aplicación sencilla de la ecuación de Schrodinger de estado estacionario, vamos a considerar el caso de una partícula atrapada en un pozo de potencial infinitamente profundo. Imagine que este pozo tiene un potencial cero a lo largo de un intervalo finito del eje x y un potencial infinito en todo el resto del eje (ver figura 4). Podemos visualizar esta situación como describiendo una partícula que se mueve a lo largo del eje x dentro de una caja con paredes infinitamente duras y perfectamente rígidas en las cuales la partícula rebota elásticamente.
V=oo V=oo
---+----+--- E
x=O a X
Fig. 4: Representación de un potencial infinito
Vamos a determinar las autofunciones y los niveles de energía para este pozo de potencial infinito.
37
Para esto, consideramos una partícula de masa m está restringida a moverse en una dirección en un pozo de potencial. La partícula efectúa choques perfectamente elásticos contra las paredes del potencial infinito.
En la forma en que se ha planteado el problema, hay certidumbre de que la partícula esté dentro de la caja, y no existe ninguna posibilidad de que se encuentre afuera. Esto, permite fijar las condiciones sobre la función de onda, es decir
{x~O lf/(X) = O para , x?:.a
(4.9)
y además, debe satisfacer la relación de normalización:
(4.10)
No se sabe con exactitud donde se halla la partícula en cualquier momento dentro del pozo, así que no se usarán datos dependientes del tiempo. Recordando la ecuación de Schrodinger (4.7) independiente del tiempo, y haciendo V(x) =O, obtenemos
que se puede escribir en la forma
donde 2 2mE
a =-z-· ñ
(4.11)
(4.12)
La ecuación ( 4.11) describe la situación de la partícula dentro de la caja. Esta ecuación tiene la solución
lf/(X) = Ae+iar + Be-iar, ( 4.13)
donde A y B son constantes arbitrarias, que deben ser determinadas. Esta solución representa la superposición de dos ondas en la caja, cada una viajando en una dirección diferente a lo largo del eje x. Esta es justamente la condición necesaria para que haya ondas estacionarias si se toma junto con las condiciones fronterizas apropiadas (paredes reflectoras).
Las condiciones de frontera dadas por (4.9), se pueden usar ahora para evaluar las constantes A y B de ( 4.13). Para lf/(x) =O en x =O, se obtiene la siguiente relación:
A+B=O,
B=-A,
así
38
o considerando la ecuación de Euler, dada por
'P(x) = Asen a x, donde se definió, sin perdida de generalidades, 2iA = A .
De la segunda condición de frontera, lf/( x) = O en x =a, se obtiene, y como A =t= O , que
a a= nJr,
para n = 1, 2, 3,- · · .
De esta manera, la energía dada por la ecuación (4.12) toma la siguiente forma, para cada valor den= 1,2,3,···
(4.14)
De acuerdo con ( 4. 14), podemos concluir que la energía de la partícula está cuantizada en valores o niveles discretos y que la partícula puede estar en cualquiera de los estados discretos disponibles a ella. Desde luego, sólo puede tomar un valor a la vez en cualquier tiempo dado. Para tomar otro valor de la energía, debe recibir o perder algo de su energía. En cualquier caso la cantidad recibida o perdida debe ser justamente la suficiente para colocar a la partícula en otro de los estados posibles.
Observe también que la partícula no puede tener una energía igual a cero. El valor mínimo posible dado por la ecuación (4.14) se obtiene cuando n = 1, es decir
(4.15)
Y los otros valores de la energía son 4EI> 9E~> l6E~> ... correspondientes an =2,3,4, .. ·. Sin
embargo, para que este valor mínimo E1 sea apreciablemente diferente de cero, el producto
ma2 debe ser pequeño y del orden de 1i2 , debido a que h= 6.625 x 10-34 J-seg, la magnitud del denominador debe ser muy pequeña. El valor E1 dado por la ecuación ( 4 .15) es conocida como energía de punto cero. En otras palabras la partícula no puede tener una energía igual a cero. Esta conclusión contradice a la mecánica clásica porque es un resultado del principio de incertidumbre. Es posible ver claramente la razón: ya que la partícula está limitada por un potencial infinito, su posición es conocida dentro de una incertidumbre L\x = a ; por lo tanto, de acuerdo con el principio de Heisenberg, la incertidumbre en su momento deber ser flp ~ hj a .
De acuerdo con este principio la energía nunca puede ser cero, porque esto implicaría que Ap=O.
La expresión para la autofunción de onda lf/(x) es
39
lf/(X) =Asen( n: x),
así que
lf/ * (x) =Asen( n: x),
y la densidad de probabilidad es
Usando la condición de normalización dada por la ecuación (4.9), escribimos.
la integración da
2 ra 2(nJr ) \A\ Jo sen --¡; x dx =
= jA\z[x _ _!!_sen(2nJr x)]a = \A\2 a' 2 4nJr a
0 2
y como debe ser igual a 1, la evaluación de la constante da A = l , y entonces las
autofunciones características normalizadas son:
(4.15)
Así para el caso de nuestra partícula en un pozo de potencial infinitamente profundo (en una caja con paredes perfectamente rígidas y reflectoras), las autofunciones y los niveles de energía asociados son dados, por (4.15) y (4.14), respectivamente.
PROBLENL\SPROPUESTOS
l. Encuentre el coeficiente de transmisión de una partícula que pasa a través de la barrera rectangular.
40
t------.v. ---+------r---------E
----~.1...=0=-------La----------- ~
2. Un pozo de potencial unidimensional es dado por una función delta en x =O, V(x) = c8(x),
e <0. a. Una partícula no relativista de masa m y energía E incide de un lado del pozo. Derive una
expresión para el coeficiente de transmisión T. b. Desde que un estado ligado puede existir para un potencial atractivo, encuentre la energía
de ligadura del estado fundamental del sistema.
Una partícula libre de masa m y energía (E = 2V ~) esta viajando hacia la derecha y cruza un potencial tipo paso. La energía potencial es +Vo en la región I (a la izquierda) y -V0 en la región II (a la derecha). a. Esquematice la función de onda de la partícula en ambas regiones. b. Calcule los coeficientes de transmisión y reflexión en el potencial tipo paso.
'
41
CAPÍTULO 5
OPERADORESHERNUTIANOS
En este capítulo vamos a estudiar las propiedades de los operadores que en la mecánica cuántica son considerados (usados), llamados operadores hermitianos.
Comenzamos, recordando que en el capítulo 3, el comportamiento de una partícula de masa m en un potencial V(x) es descrito por la siguiente ecuación:
-~ 82'I'(x,t) V( )U'( ) = •f:. 8'I'(x,t)
-----'--'2
'----"- + X T X, f l rt , 2m ax at (5.1)
llamada la ecuación de Schrodinger, y donde 'I'(x, t) es la función de onda, perteneciente a un espacio vectorial, llamado Hilbert, en el que se definen unas bases (las autofunciones ), y la cual contiene la información de localización de la partícula y la función 'I'* (x,t)'I'(x, t) representa la densidad de probabilidad, la cual actúa como una función de distribución o factor de peso siempre y cuando 'I' ( x, t) esté normaliza, es decir, si se cumple la siguiente relación:
00
j'I'*(x,t)'I'(x,t)dx =l. (5.2) -00
Asimismo, en el capítulo, 4, determinamos la ecuación estacionaria de Schrodinger, dada por:
li 2 d 2 (x) -- lf/
2 +V(x)!f.í(x)=E!f.í(x),
2m dx (5.3)
cuya solución lf/( x) son las autofunciones o funciones propias de la energía, y los correspondientes valores de E se denominan autovalores o valores propios de la energía. Además, las autofunciones deben satisfacer las siguientes propiedades:
1. lf/(x) y d!f.í(x) deben ser continuas, dx
2. !f.í(X) debe ser univoca en todo punto,
3. !f.í(x) debe ser finita en todo punto y de cuadrado integrable,
4. !f.í(x) debe satisfacer las condiciones de frontera propias del problema.
En este caso, la relación de ortonormalización para las autofunciones es dado por:
00
I lf/ n * (X)If/ n'(x)dx = 8 nn' · (5.4) -00
De esta manera, la función de onda, solución de ( 5.1 ), se escribe como
'I'(x,t) = !f.í(x)e-iEtfn, (5.5)
42
la cual debe satisfacer las propiedades de las autofunciones y es llamada estacionaria debido a que la densidad de probabilidad no depende del tiempo:
i'P(x,t)l2 = 'P*(x,t)'P(x,t),
Por otro lado, recordando que la ecuación de Schrodinger es lineal y homogénea, entonces una consecuencia importante de estas propiedades es el principio de superposición, es decir si 'P1 ( x, t) , 'P 2 ( x, t) , ... , 'P n ( x, t) son soluciones de la ecuación de Schrodinger, se tiene
que la combinación lineal: n
'P(x,t) = e1'P1 (x,t) + e2 'P2 (x,t) +···+en 'Pn(x,t) =Le; 'P; (x,t), (5.6) i=l
es también solución. Los coeficientes e; son en general números complejos y, como veremos
más adelante, representan la amplitud de probabilidad de encontrar a la partícula en el estado 'P;(x,t).
Asimismo, debido al principio de incertidumbre en la Mecánica Cuántica no es posible conocer con exactitud y simultáneamente la posición y el momento de una partícula. Sin
embargo, del conocimiento de la función 'P*(x,t)'P(x,t), la posición y el momento más
probables de una partícula en un instante t pueden ser obtenidas. Para lo cual deben determinar los valores esperados de las cantidades dinámicas. El resultado obtenido para los valores esperados de cualquier variable dinámica o de su operador correspondiente, es dado por la siguiente expresión:
00
(F) = j'P*(x,t)F'P(x,t)dx, (5.7) -00
donde F es el operador asociado a la variable dinámica. Esto quiere decir, que asociado a una
cantidad observable existe un operador lineal tal que su valor medio (F) es real. Utilizando
este hecho, es decir que el valor medio de toda cantidad dinámica observable es real podemos escribir:
00
(F) = j'P* (x,t)N(x,t)dx, -00
(F) .. = f'P(x,t)F*'P* (x,t)dx = f'P(x,t){Py(x,t) )* dx, -00 -00
y como (F) = (F) .. entonces se tiene que:
43
J'P*(x,t)PY(x,t)dx = J'P(x,t){Py(x,t) J dx. (5.8) -00 -00
Por otro lado, el operador fr es definido por la relación:
(5.9) -00 -00
De esta manera, como (5.7) y (5.8) son iguales, tenemos
00 00
J'~'* (x,t)PY(x, t)dx = J'~'* (x,t)F+'P(x, t)dx, (5.10) -00 -00
del cual se obtiene:
es decir, el operador que representa una cantidad dinámica es autoadjunto o hermitiano.
En general un operador es una diferencial, por ejemplo en la ecuación de Schrodinger (5.1) el operador diferencial es
h2 fi a ---+V(x)=ih-,
2m 8x 2 ot
es decir, todo diferencial representa un operador.
Respecto a los operadores diferenciales, la acción, en un instante t, de un operador sobre una función es una nueva función. Así un operador puede ser la derivada de una función,
d dxf(x,t) = g(x,t).
A
Asimismo, si en particular tenemos el operador X , entonces
X f(x,t)= xf(x,t), (5.11)
donde x es el valor propio o el autovalor.
Entre las propiedades de los operadores de interes, es que ellos deben ser lineales, es decir, se debe cumplir que:
ft(a'P(x,t) + b'P(x,t)) = aPY(x,t) + bPY(x,t),
donde a y b son escalares.
44
Ahora, en la Mecánica Cuántica no todos los operadores diferenciales son de interes en el estudio de una partícula o sistema cuántico. Los operadores considerados en la Mecánica Cuántica, son aquellos que satisfacen una ecuación como (5.11), el mismo es llamado una
ecuación de autovalores, y X es el operador de posición.
Otro tipo de operadores son, por ejemplo como los estudiados en el capítulo 3, es decir
- i1i ~ y in~ , el primero asociado al momento y el segundo a la energía. Así, tenemos ax ot " o P =-in-x ax ,
y la ecuación de autovalores es dado por:
- lt Olf/(X,t) = 'P( t) l Ox Px X, '
i1i 01f/(x,t) =E'P(x,t), ot
donde p x y E son los autovalores asociados al momento y la energía, respectivamente.
(5.12)
(5.13)
De esta manera, los operadores considerados en la Mecánica Cuántica, deben ser
hermiticos, es decir que satisfagan la relación ft = ft+, lineales y que se encuentren asociados a variables dinámicas, como por ejemplo posición, momento o energía. La primera consideración, hermiticos, es importante porque así se asegura que los valores propios o autovalores asociados son reales y las autofunciones formaran una base.
Representación de los operadores
Con la ayuda de la expresión del valor esperado, dado por:
<X)
(A.)= f'P*(x,t)A'P(x,t)dx, -<X)
vamos a determinar la representación de los operadores. Para esto consideramos que se cumple la siguiente ecuación de autovalores para las autofunciones:
" A lf'n (x) = anljl n (x), (5.14)
y usando (5.6), tenemos que
<X) <X)
(A.)= f'~'* (x,t)A'P(x,t)dx = JI. e* n'P*, (x,t)A.¿c,.'P,.(x,t)dx, -oo -oo n n'
45
00
(A.)= ~e;en' J'P;(x,t)A'Pn.(x,t)dx, n,n -d)
ahora considerando ( 5. 5), tenemos
00
(A.)= ~e;en' J '1/;(x)e;E.tfñ Alf/n·(x)e-iEr~t/lldx' n,n -oo
00
(A.)= ~e;en.ei(E.-E •. )t/ñ J '1/;(x)A'I/n•(x)dx' n,n -oo
y usando primero (5.14) y luego (5.4), se tiene
00
(A.)= ¿e;en.eiCE.-E •. )tfñan' J '1/;(x)'l/n•(x)dx, n,n' -oo
1 A.) = ""'e .. e .eiCE.-E.· )t/ñ a .§ . \ L...,.nn nnn'
n,n'
(A.)= Lieni2
an · n
(5.15)
De esta expresión conluimos que el valor esperado (A) es dado por el promedio de los
autovalores del operador A, cada uno con un peso \e,.,\2
, el cual representa la probabilidad con
que la partícula o el sistema cuántico se encuentren en el autoestado '1/n(x).
Para encontrar la representación de los operadores, de la expresión
"" (A.)= ~e;en.eíCE.-E •. )tfli J '1/;(x)A '1/n•(x)dx' ~n -oo
se tiene que el término
"" J lf/: (x) A. lf/ n' (x)dx, -00
es definido como los elementos de matriz del operador A, y se les representan como:
00
Ann' = J lf/: (x)A lf/n-{X)dx. -00
46
De esta manera, la representación de los operadores es mediante matrices.
PROBLEMA
l. Dada tres autofunciones <p;(x), i = 1,2,3 y el operador f, tal que: t<p1 (x) = <p1 (x),
frp2 (x) = <p2 (x) y T<p3(x) = -<p3(x). Hallar la representación matricial de f en la base
( autofunciones) <pi ( x) .
Solución
Debemos determinar los elementos de matrices:
Entonces, considerando los datos
Así, continuando se tiene
[T)=[~ ~ ~]· o -1
PROBLEMAS PROPUESTOS
l. Si A y B son operadores hermíticos, ¿Cuáles de las siguientes relaciones son hermíticos?
i. A!J, ii.l1,!Jj, iii. AB+BA y iv. ilA,!Jj.
2. Demostrar que el operador Px =-in% es hermítico en el espacio de funciones de onda
IJI(x) diferenciables y las cuales satisfacen IJI(x) = O en x = a, b .
' 47
3. Dado los operadores: a)01tp(x) = x3tp(x), b)02tp(x) = x.!!_tp(x), c)03tp(x) = e<p(x) y dx
d)04tp(x) = dtp(x) +a.
dx a. ¿Cuáles de estos operadores son lineales? b. Calcule[O¡,OJ.
48
CAPÍTUL06
NOTACIÓN DE DIRAC
En los capítulos precedentes estudiamos que el estado cuántico de una partícula viene dado, en un instante determinado, por una función de onda 'P(x,t) perteneciente a un espacio vectorial de Hilbert en el que se definen las bases, formadas por las autofunciones y las medidas :fisicas son descritas por operadores diferenciales. Por otro lado, Heisenberg considero matrices, en la cual los estados son representados por vectores columnas. Estas dos formulaciones de la Mecánica Cuántica describen la misma :fisica. En el primer caso, de Schrodinger, las funciones de onda permiten expresar de forma alternativa la información, tanto para el caso de una base discreta como continua, del conocimiento de los coeficientes de expansión (véanse (5.6) y (5.15)). Por tanto, dada una cierta base, son necesarios únicamente dichos coeficientes para definir unívocamente el estado del sistema. Así, se puede definir el vector de estado, que se denotará mediante 1 'P) como el vector compuesto por todos los
coeficientes de expansión.
Por tanto, para cada instante de tiempo, el estado cuántico de una partícula será expresado mediante un vector 1 'P) que pertenece a un cierto espacio vectorial abstracto de
Hilbert, también llamado espacio de estados de la partícula. Esta notación fue introducida por el fisico Paul A. M. Dirac.
En esta notación, de Dirac, el vector 1 'P) es llamado ket, y su vector adjunto, obtenido de
1 'P) + = ('P 1 es llamado de bra. De esta manera, el producto de un bra por un ket, define un
producto escalar, dado por:
es un número complejo, también llamado amplitud de probabilidad de encontrar a la partícula en el estado 1 el>) . Además, su relación con el producto escalar
sea dado por:
El producto escalar es lineal, es decir:
Respecto de la normalización de un estado se puede definir a artir del producto escalar, así tenemos:
~ 49
a partir del cual, se tiene que es real. También, exigimos que elproducto escalr sea tal que la normalización sea definida por un número real y positivo, es decir:
Asimismo, de la definicón del producto escalar los estados \"'P) y \<1>) son ortogonales si:
Otra propiedad de los kets, es que ellos satisfacen el pnnctpto de superposición, así tenernos que:
(6.1) n
donde en son en general números complejos, los í.ndices n tornan valores discretos y los llf/n) representan los autoestados o vectores de estado, que en el caso de Schrodinger son las autofunciones, que satisfacen la siguiente relación de ortonorrnalización:
(6.2)
En el caso de un espectro continuo denotado por índices continuos fJ el principio de
superposición es escrito corno:
1 'I') = J e P llf/ P )dfJ '
donde, en este caso, la relación de ortonorrnalización es dado por:
( lf/ a llf/ p) = 5(a- fJ).
También vamos asumir que existe una correspondencia uno a uno entre los ket y bra. De esta manera, la suma de los kets
tiene su equivalente en la suma de los bras
También, el bra correspondiente al ket a\w) es dado por a* (lf/\. Estas relaciones permiten
concluir que cada estado fisico pueda ser representado por un bra así corno por un ket.
50
Por otro lado, para determinar los coeficientes de ( 6. 1 ), proyectamos esta expresión en
\ lf/ m 1' así se tiene que
(lf/ml\11) = L:cn(V-~mllf/n), n
y de (6.2), tenemos
(lf/ m l\11) = L:cnonm , n
Si este resultado, lo reemplazamos en (6.1) obtenemos
1 \Ji) = L ( lf/ n 1 \Ji)llf/ n) ' n
1 \Ji)= Lllf/ n )(lf/ n 1 \Ji)' n
y como esta relación es valida para todo ket arbitrario \\Ji) , se encuentra la siguiente relación:
(6.3) n
conocido la relación de completitud. De la misma manera, para el caso continuo, la relación de completitud es dado por:
A
Para el caso de los operadores u observables A , es definido por su acción sobre un ket, que en general, transforma un ket en otro ket, es decir
A\ V-~)= i<P). Si los estados arbitrarios \V-~) y \<b) son expresados en termines de la base ~lf/n)},
n
entonces,
n,m
51
n.m
y de (6.2)
n,m
Esta expression indica que el producto escalar es independiente de la representación considerada.
Por otro lado, para encontrar la representación de los operadores, vamos a suponer que el
operador transforma llf/") en llf/~) , es decir
y expresando l~n) en terminos de llf/n), se tiene
m
A continuación proyectamos j ~") en jlf/ n') ,
m
(lf/n·l~n) = LAmnOn'm, m
Por otro lado, si proyectamos ( 6.4) en llf/ n'), obtenemos:
(lf/n·l~n) = (lf/n' IAIIf/n),
An'n =(lf/n•IAilf/n), A
que representan los elementos de matrices de la matriz asociada al operador A .
(6.4)
(6.5)
Una consecuencia, considerando el resultado (6.5), que se puede obtener a partir del A
operador A es usando la relación de completitud (6.3), para esto aplicamos dicha relación a la izquierda y derecha del mencionado operador, así tenemos:
52
A = L llfl n )\ lf/ n iAIIf/ m )\ lfl m 1 ' a, m
y de (6.5)
(6.6) a, m
A
La interpretación de esta expresión, indica que el operador A es reescrita en termines de la
base ~ lf/ n ) } .
Otra conclusión importante que se puede obtener, es considerando que el operador A se encuentra expresada en su propia base, es decir, se cumple la siguiente ecuación de autovalores:
donde a n son los valores propios del operador, así
(6.7)
que representan elementos de la diagonal de la matriz asociada la operador A (para n' * n el elemento de matriz es nulo). En conclusión los elementos de la diagonal son dados por los valores propios del operador, cuando la base propia del operador es considerado.
Por otro lado, si reemplazamos (6.7) en (6.6), obtenemos
a,m
a
de esta manera, se tiene que todo operador se puede descomponer en términos de sus vectores o base propia y autovalores. De esta expresión se tiene un operador llamado proyector, definido por
pn = llfl n )\lfln ¡,
53
recibe este nombre, debido a que
pn \IJf) = \IJf n )\ l.f/ n \IJf) '
es decir, la acción de este operador en un estado arbitrario \IJf) lo proyecta a un estado propio A
del operador A .
De la misma manera, como en los capítulos precedentes encontramops la ecuación dinámica que gobierna el comportamiento de las partículas o sistema cuántico, la cual es dada por la ecuación de Schródinger, en esta representación, la notación de Dirac, la ecuación de Schródinger es escrita como:
d\IJf) ~ iñ-=H\IJf)
dt '
~
donde H es el hamiltoniano asociada a la partícula.
PROBLEMAS
l. Considere tres estados base \1); l = -1,0,1, determine la traza de la matriz del operador Q,
si se sabe que Ql 1) = P \1) . Construir la matriz Qmn.
Solución
Debemos calcular
Qmn = (m\Q\n).
Entonces, usando Q\l) = P\l), tenemos
º-1,-1 =(-1\Q\-1),
º-1,-1 = -1,
º-1,0 = (-1\Q\0),
º-1,0 =o'
º-1,1 = (- 1\Q\1) '
º-1,1 =0,
54
Continuando se obtiene:
2. Considere 3 estados base 1 i ) , i = 1,2,3.
a) Dado el operador f tal queflt)=l2); fl2)=ll)+l3); fl3)=-l3) determine la
representación matricial de f en la base 1 i ) .
b) Dado un estado vector arbitrario: 1 tp) = 11) + bl2) + e!3) ; b y e constante reales.
determine b y e tales que verifiquen fllf/) = llf/)
3. En la base { 1 a1 ), 1 a2 ), 1 a 3 ) } , base propia del operador A , los operadores A y B se
r~resen~ por las matrires A = n ~ n Y B = ( ~ ~ n ¿Cómo se
representarán ambos operadores en la base { 1 b1 ), 1 b2 ), 1 b3 ) } , base propia del operador B .
55
CAPÍTULO?
REPRESENTACIONES DE SCHRODINGER Y HEISENBERG
En este capítulo vamos a estudiar que la evolución de un sistema cuántico se puede realizar desde dos representaciones. A saber, conocidas como la representación matricial de Heisenberg y la representación de Schrodinger. En la primera de ellas, la representación matricial de Heisenberg, se obtiene ecuaciones similares a las ecuaciones clásicas de movimiento, y es útil cuando las propiedades generales de los sistemas cuánticos son necesarias de conocer. En el caso de la representación de Schrodinger es más útil cuando se requiere efectuar cálculos.
Evolución temporal de un sistema cuántico
Para estudiar la evolción temporal de un sistema cuántico, comenzamos considerando la
evolución temporal de los elementos de matrices de un observable A en la base ~n)} del
Hamiltoniano (estados estacionarios), es decir Amn = (mjA!n). Así, de la ecuación de
Schrodinger,
se tiene para In)
y de aquí la ecuación adjunta es
d A
ili -!lf/(t)) = H (t)!lf/(t)), dt
d A
ili-\n) = H(t)\n), dt
d A
-ili-(m! = (m\H(t). dt
(7.1)
(7.2)
(7.3)
De esta manera, para estudiar la evolución temporal de los elementos de matrices, hacemos:
d A d(m! A dA A d dt (m!A!n)=dtAin)+(ml dt ln)+(miA dtln), (7.4)
y usando (7.2) y (7.3), tenemos
d Al dA 1 [A A] -(mjA n)=(ml-ln)+-(m!A,H n). dt dt ili
(7.5)
Esta expresión representa la ley de evolución de los elementos de matrices.
56
Para el caso de tener variables dinámicas (observables) que no dependen explícitamente del tiempo, la ecuación (7. 5) es escrita como
(7.6)
Una aplicación de esta expresión, es obtenida si consideramos que los estados In) son
estados propios del hamiltoniano, es decir
Así, tenemos que (7.6) es dada por
(E -E) donde (j)mn = m n . n
! (m!Ain)= i~ {(miAHin)-(miHAin)),
d ~ 1{ ~ ~ ) -(miAin)=-\Em(miAin)-E (miAin), dt in m
d ~ ~ -(miAin) = Í(j)mn (miAin), dt
La solución de (7.7) es dada por
(m iAin) = A0 e;w ... t,
con Ao siendo una constante de integración.
(7.7)
Para el caso m = n , la expresión que se obtiene es del valor esperado, que es una constante, el cual representa los elementos de la diagonal. Además los elementos de la matriz fuera de la diagonal oscilan con las frecuencias (j) mn .
A continuación y considerando (7.6) vamos a describir la evolución temporal de los elementos de matrices sobre dos descripciones, también llamadas imágenes, de la mecánica cuántica. Para la primera descripción, la hipótesis es que los elementos de matrices evolucionan porque los vectores de estados In) y lm) evolucionan en el tiempo y los
observables no. Así, desarrollando primero
57
ih ~ (m\A\n) = il{~ (m\)A\n)+ih(m\A(~ \n)), y luego reemplazando el lado derecho de la expresión anterior en (7. 6), tenemos que
del cual dos expresiones pueden ser obtenidas, a saber
De la primera obtenemos
ih(m\A(~ \n)) = (m\AH\n),
-ih(~ (m\)A\n) = (m\HA\n).
"(" d ) (m\A H\n)-ih dt\n) =0,
d " ih-\n)=H\n), dt (7.8)
que representa la ecuación de Schrodinger. Es decir, cuando la evolución temporal de un sistema cuántico es debido a que los estados evolucionan en el tiempo y los observables no, la dinámica cuántica es descrita por la ecuación de Schrodinger. Por esta razón, se dice que estamos en la representación de Schrodinger.
Para la segunda descripción, la hipótesis es que los elementos de matrices evolucionan
porque los observables evolucionan en el tiempo y los vectores de estados \n) y \m) no. Así,
(7. 6) es rescrita como
d " 1 [" "] (mi dt Aln) = ih (mi A,H n), (7.9)
a continuación, vamos usar la relación de completitud de los vectores de estados \n) y \m), es
decir
L\n)(n\ = 1, (7.10) n
en la expresión anterior. Para esto en (7.9) hacemos:
ih L\m)(m\ dA Lln)(nl = L\m)(m\[A,H lL\n)(nl, m dfn m n
y usando (7.10) obtenemos "
. dA r" "] lh-=tA,H. dt (7.11)
58
El cual representa la ecuación de movimiento de un sistema cuántico considerando que los obseiVables evolucionan en el tiempo y los estados no evolucionan. Así, la dinámica del sistema cuántico, descrita por (7.11) se le llama la ecuación de movimiento de Heisenberg. Por esta razón, se dice que estamos en la representación de Heisenberg.
Resumiendo podemos indicar que (7.6) es general, desde que a partir de dicha ecuación se puede obtener (7.8) y (7.11), que describen la evolución de un sistema cuántico. Además debemos mencionar que existe otra representación, llamada de interacción, aplicada para sistemas que se encuentran en interacción y donde los estados del sistema y observables evolucionan en eltiempo.
Evolución temporal
Un operador que permite, en la representación de Schrodinger, estudiar la evolución temporal para un estado arbitrario, es el llamado operador (unitario) de evolución. Así, para determinarlo, vamos a considerar la evolución de un estado \lfl(t0 )) desde un instante inicial t0
es dada por:
(7.12)
donde U(t,t0 ) es el operador evolución temporal que deberá satisfacer la siguiente ecuación de movimiento:
y de (7.12) tenemos
cuya solución es
con U(t0 ) == 1.
d A
ili -\lfl(t)) = H (t)\lfl(t)) , dt
ili !!.__U (t, 10 )\lfl(t0 )) = H (t)U (t, 10 )ilfiCto)), dt
d " " " ili -U (t, t0 ) = H ( t )U ( t, t0 ) dt '
. t
U (t, t0 ) = 1- !_ J H (t')U (t', t0 )it', lit o
Ahora, si H es independiente del tiempo el operador de evolución temporal, será dado por:
PROBLE~SPROPUESTOS
l. Sea H el operador Hamiltoniano de un sistema fisico y sean \ qJ n) sus autovalores
Hi(/Jn) = En\(/Jn) · a) Para un operador hermitiano A, probar que ((/Jn 1 [A,H]I(/Jn) =O.
59
b) Considere un sistema unidimensional compuesto de una partícula de masa m y energía
potencial V(x). El fi se escribe en este caso como: h = YzmP2 + V(x);
i) Calcular [B,P], [.B,i], [.B,iP]. ii) Muestre que los valores medios del momentoP en los estados jrpn) son nulos, es decir:
( (/J n IPx 1 (/J n ) = O ·
iii) Determine una relación entre la energía cinética media E1e = (rpn 1 YzmP,2 J rpn) y el
elemento de matriz ( rp n lx ~ V(x ~ rp n) . Relacione la E ~e con el valor medio de la dx
energíapotencial (rpnjV(x)jrpn) cuando V(x)=V0 x2, A=0,2, ... ,V0 >0.
2. Sea En los autovalores de energía de un sistema unidimensional y 'Pn (x) sus correspondientes autofunciones. Suponga que la función de onda normalizada del sistema
en t =O es dado por: 'P(x,t =O)= yj2eía¡ 'P1 (x) + y.J3 eía2 'P2 (x) + y-J6eía3 'P3(x),
donde los a; son constantes. a) Escribir la función de onda 'P(x,t) en el tiempo t. b) Encontrar la probabilidad que en el tiempo t, una medida de la energía del sistema,
tenga el valor ~.
3. Probar que: el A e-t =A+ [l,A]+ _!_[l,(l,AD+_!_[l,[l,(l,Aill+ .......... . 2! 3!
60
CAPÍTULOS
LOS POSTULADOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA
Hasta aquí, la descripción presentada para el desarrollo de la mecánica cuántica, ha sido introduciendo el concepto de función de onda, estudiando sus propiedades, hemos resuelto algunos problemas relativos a movimiento unidimensional de una partícula. Esto nos ha permitido adquirir conocimiento acerca de los estados propios y sus correspondientes autovalores de un sistema cuántico, además determinar probabilidades y valores esperados. También, estudiamos que la evolución de un sistema cuántico es a través de bien de la ecuación de Schrodinger o de la ecuación de Heisenberg. La consecuencia del estudio mencionado nos permite presentar los postulados de la mecánica cuántica, los cuales son una prescripción matemática necesarias para profundizar en la estructura de la mecánica cuántica.
Primer postulado: El estado de un sistema físico en un instante t0 fijo es definido por el ket 1/f/(10 )) que
pertenece al espacio de estados. Este postulado asegura el principio de superposición.
Segundo postulado: " Toda magnitud física medible A es descrita por un operador A que actua sobre el espacio de
estados ~ . Este operador es conocido como un observable.
Tercer postulado: La medición de una magnitud fisica A solo puede dar como resultado uno de los valores
" " propios del observable A correspondiente. El conjunto de valores propios asociados de A se llama espectro.
Cuarto postulado:
Caso a: Espectro discreto no degenerado Cuando se mide la magnitud fisica A sobre un sistema en el estado 1/f/) normado, la
probabilidad P(a,) de obtener como resultado el valor propio no degenerado a, del
observable A correspondiente es:
P(a,) = i(u, 1/f/)r, donde lu,) es el vector propio normado de A asociado al valor propio de a,.
Caso b: Espectro discreto degenerado Cuando se mide la magnitud fisica A sobre un sistema en el estado 1/f/) normado, la
probabilidad P(a,) de obtener como resultado el valor propio no degenerado a, del " observable A correspondiente es:
61
8n 2 8n
1 1
2
P(an) = L:jc~j = L (u~ 1~) , i=J i=l
donde gn es el grado de degeneración de an y \u~)} con (i = 1,2,3,-··,gJ es un sistema de
vectores ortonormados que forma una base en el subespacio propio ; n asociado al valor propio
an del observable A.
Quinto postulado: Si la medición de la magnitud fisica A sobre un sistema en el estado 1~) normado dá el
resultado an, el estado del sistema inmediatamente después de la medida es la proyección
normalizada del ket 1 ~) sobre el subespacio propio asociado con an .
Sexto postulado: La evolución en el tiempo del vector de estado 1 ~(t)) es gobernado por la ecuación de
Schrodinger:
in !!:...1 ~(t)) = fi (t)l ~(t)) , dt
donde fi (t) es el observable asociado a la energía total del sistema.
62
CAPÍTUL09
SIMETRÍAS EN MECÁNICA CUÁNTICA
Es conocido en mecánica clásica que las relaciones entre las transformaciones infinitesimales del sistema de coordenadas que dejan invariantes el hamiltoniano y de aquí produce las constantes de movimiento. Por ejemplo, las transformaciones infinitesimales de translación espacial, es decir, de a¡ lleva a ai + &,. entonces el hamiltoniano del sistema se
transforma de H --> H + 5H , donde 5H = ( ':, ¡., . De esta manera, si el hamiltoniano H es
invariante frente a la transformación infinitesimal de a,. entonces se tiene que aH = O . Así, si aai
consideramos
P =-aH =O l :::1 ' ua¡
es decir, P,. es una constante de movimiento.
Se puede concluir diciendo que si el hamiltoniano H es invariante frente a transformaciones infinitesimales de a¡ entonces el momento conjugado P,. es una constante de
movimiento.
Observe que esta simetría ocurre si H no depende de a¡ . De este modo, si por ejemplo
a,. = x, entonces se dice que la homogeneidad espacial de H implica la conservación del momento. Análogamente, la conservación del momento angular es una consecuencia de la isotropía del hamiltoniano, el cual es invariante frente a rotación infinitesimal del sistema de corodenadas.
Para el caso de la mecánica cuántica, sin embargo, es más sencillo ver la relación que existe entre las simetrías y las leyes de conservación. Las operaciones de simetría (por ejemplo, traslaciones y rotaciones) conservan la norma del vector de estado, de tal manera que las tranformaciones se encuentran representadas por operadores unitarios, es decir,
Para el caso de tener una solución de la ecuación de Schrodinger:
in ! llf/Ct)) = hilf/Ct)), vamos a suponer que se tiene una transformación de simetría representada por el operador
unitario O . Ahora, si el sistema es invariante frente a dicha transformación, entonces
63
también debe verificar la ecuación de Schródinger si llf/(t)) la verifica, de modo que:
del cual se obtiene
iñ~llf/'(t)) = bjlf/'(t)), dt
iñ dOjlf!(t)) = bO!If/(t)) dt '
Oiñ d!t¡/(t)) = bO!If/(t)) dt '
On¡lf/(t)) = nO¡t¡/(t)) ,
"" .... " UH=HU.
de esta manera, el operador hamiltoniano conmuta con O . Sin embargo, esta ecuación también
se puede escribir como H = ObO± , que indica la invariancia del hamiltoniano frente a la transformación de simetría. Ahora bien, qué relación existe con las leyes de conservación? ya
que aunque el hamiltoniano conmute con O no es una constante del movimiento ya que no tiene por qué ser hermítico. Como en general muchas transformaciones de simetría dependen de uno o varios parámetros que indicaremos como & (en la translación sería la distancia y dirección de la traslación, en la rotación la dirección y en ángulo de giro, ... ), de forma que
O =O ( & ) y de modo que O tiende a la unidad cuando & tiende a cero (esto no es cierto para ciertas transformaciones como la inversión espacial). Si consideramos valores de &
infinitesimales y desarrollamos O en potencias de & , podemos escribir los dos primeros términos de la forma:
U(e) = 1 +i& A.
Ahora, si O es unitario hasta primer orden en & entonces se puede ver que A tiene que ser hermítico, y si O conmuta con el hamiltoniano, también lo hará el operador A (A pueden ser varios operadores si & son varios parámetros, de modo que habrá un operador por cada parámetro). Por tanto, ya tenemos la constante del movimiento, que es el operador hermítico A . Este operador se denomina el generador de la transformación de simetría. En el caso de las traslaciones el generador es el operador momento lineal y en las rotaciones el momento angular.
La ventaja de este tratamiento cuántico es que es genérico y no depende de cual sea la transformación O .
Transformaciones de simetría
Como se ha dicho, las leyes fisicas deben ser invariantes bajo ciertas simetrías, representadas por las transformaciones de los objetos matemáticos que definen estas leyes. En particular en Mecánica Cuántica cabe preguntarse por las transformaciones de los estados y de los observables, es decir:
A-+A',
64
En el caso cuántico estas transformaciones deben cumplir lo que constituye la esencia del llamado teorema de Wigner, es decir, que los observables transformados deben poseer los mismos conjuntos posibles de valores que los antiguos (autovalores) y que las transformaciones de los estados nos deben dar las mismas probabilidades, deben estar siempre dadas por operadores unitarios que conservan los productos escalares, así tenemos:
i'lf) ~ l'lf') = u¡lf/) , en realidad el teorema permite también los operadores antiunitarios, pero estos sólo se usarán para determinados tipos de simetrías.
Por tanto la expresión de los observables transformados está dada por:
a patir del cual, se obtiene
Ajlf/n)= ani'lfn)'
A 'llf/~) = an i'lf~) ,
A'Oi'lfn) = a"Oi'lfn),
u-1A'0i'lfn) = anl'lfn),
A'= {ú{J-1.
Si ahora, consideramos transformaciones infinitesimales, es decir:
U(s)~I+dUI xs, ds s=O
y debido a que la transformación infinitesimal es unitaria, se tiene:
lo que implica que la derivada será de tipo imaginario puro:
~
dU
ds
~
=iG, s=O
donde G =(;+.Luego suponiendo que U(O) = 1 entonces los operadores unitarios deben tener la siguiente forma
65
~
con G siendo los generadores de las transformaciones asociadas a los parámetros s .
Estos generadores obedecen, como se conoce de teoría de grupos, una serie de relaciones de conmutación. Si consideramos dos transformaciones y sus inversas:
y teniendo en cuenta que cualquier composición de transformaciones debe ser, salvo una fase, otra transformación del grupo, se tiene que:
eillJ U(s) = eillJTI eisaGa =TI eisaGa+m ~ 1 +isaGa +iml' a a
es decir, el conmutador de dos generadores será una combinación lineal de generadores y el operador identidad:
[G10 Gv ]= ic~vGJ. +ibfiJ
donde el último término se puede hacer cero haciendo OJ = O y las constantes e serán obtenidas de las transformaciones a considerar.
66
CAPÍTULO 10
OSCILADOR ARMÓNICO UNIDIMENSIONAL
En este capítulo vamos a estudiar un modelo de muchas aplicaciones en las teorías de campos modernas, el oscilador armónico simple. Por ejemplo, para estudiar las oscilaciones de núcleos, moléculas, sólidos, así como las vibraciones de un medio elástico o el campo electromagnético en una cavidad pueden ser realizadas por la superposición de un número infinito de osciladores armónicos simples. Además, cuando estos sistemas son cuantizados se encuentra que son representados por muchos osciladores armónicos lineales de diferentes frecuencias.
También, en problemas donde interesa analizar el comportamiento de un sistema fisico cuando se encuentra levemente fuera del equilibrio, se puede describir como un conjunto de osciladores independientes. Esto es cierto tanto para la Mecánica Clásica así como también en la Mecánica Cuántica.
El potencial de un oscilador armónico simple unidimensional es (ver gráfico)
V(x) = ~mro2x2 , donde ro es la frecuencia angular y m es la masa de la partícula. Este potencial tiene una gran importancia práctica, debido a que es una aproximación para cualquier energía potencial arbitraria alrededor de un punto de equilibrio estable.
•V(x)
Gráfico: Potencial de un oscilador armónico
En este capítulo vamos a considerar la solución cuántica para el problema del oscilador armónico unidimensional, cuyo Hamiltoniano está dado por:
h2 d2 1 2 2 fl=---+-mro x
2m dx2 2 ' (10.1)
y la ecuación de Schródinger independiente del tiempo es entonces:
67
(10.2)
Esta ecuación puede ser reducida, si definimos las siguientes magnitudes:
2mE a=-2-,
1i (10.3)
(10.4)
sustituyendo (10.3) y (10.4) en (10.2), obtenemos la siguiente ecuación:
(10.5)
Para obtener una solución de la ecuación (10.5), hacemos el siguiente cambio de variable:
a partir del cual es posible obtener:
dlf/ - dlf/ d~ dx - d~ dx'
dlf/ - pl/2 dlf/ -;¡;- d~,
y sustituyendo (10.6) y (10.7) en (10.5), se tiene
la cual es conocida como la ecuación de Hermite - Gauss, cuya solución es dada por:
(10.6)
(10.7)
(10.8)
68
1/fe~) = NHe~)e-e/2 , e10.9)
donde N es la constante de normalización y ne~) son los polinomios de Hermite.
Ahora, si calculamos la primera y segunda derivada de e10.9), tenemos que
e10.10)
Sustituyendo e10.10) y e10.9) en e10.8) y simplificando, obtenemos
e10.ll)
Esta ecuación es conocida como la ecuación diferencial de Hermite, y como mencioando anteriormente He~) son los polinomios de Hermite. Para encontrar una forma
analítica para estos polinomios, asumimos que pueden ser escritas como:
00
He~)= ¿a;~;, (10.12) i=O
del cual obtenemos:
dHe~) = ~. ¡:H L...,za;s '
d~ i=O
(10.13)
d2 ne~) _~·e· _ 1) ¡:i-2 _~·e· _ 1) _~:i-2
2 - L.....l 1 a; s - L.....l 1 a;s , d~ i=O i=2
y usando propiedades de sumatorias en esta última expresión, es escrita de la siguiente manera:
d2 nej:) GO •
_.......;.;se...;_=" e¡+ 2)ei + 1)a. ~~ d'j:2 L... H2 '
S 1=0
e10.14)
de esta manera, sustituyendo las ecuaciones e1 0.12), (1 0.13) y e1 0.14) en (1 0.11 ), obtenemos:
j 69
t,((i+2)(i+!)a,+, -2ia, +(~ -!},).;' =0 (10.15)
Para que la ecuación (10.15) se cumpla los términos encerrados entre corchetes deben ser
nulos, es decir
de aquí se obtiene la siguiente relación de recurrencia para los coeficientes:
2i-(~ -1) aí+Z = a;.
(i + 2)(i + 1) (10.16)
donde i = 0,1,2,3, · · ·. Conocidos los coeficientes a0 y a1 del polinomio de Hermite se pueden
determinar todos los otros coeficientes utilizando la relación de recurrencia (10.16).
Por otro lado, en Mecánica Cuántica para que una función de onda sea aceptable debe
ser cuadráticamente integrable, es decir, normalizable. Además, como el polinomio de Hermite
es un desarrollo con infinitos términos, ver ( 1 O .12), y crece más rápido de lo que decrece la exponencial, (ver (10.9)), haciendo que la función de onda tienda a infinito cuando x o ~
tiende a más infinito y a menos infinito.
De esta manera, para que la función de onda se cuadráticamente integrable es necesario detener el polinomio para un valor de i =k, es decir, ak será el último coeficiente no nulo del
desarrollo. Así, haciendo i =k en la relación de recurrencia (10.16), obtenemos:
ak+Z = (k+ 2)(k + 1) a k' (10.17)
y como ak es el último término no nulo, entonces ak+Z =O, lo que implca de (10.17) que
70
2k-(~ -J)~o, si reemplazamos las formas definidas para a y jJ en (10.3) y (10.4) respectivamente, la
expresión anterior se escribe como:
[
2mE l 2k- :~ -1 ~o.
de donde
(10.18)
siendo a; la frecuencia del oscilador y k es el número cuántico que toma valores 0,1,2,3, · · ·.
Propiedades del Oscilador Armónico Unidimensional
• El estado k = O es el de menor energía, es decir, es el estado fundamental.
• La energía del oscilador armónico está cuantizada de acuerdo con el número cuántico
k.
• Los niveles de energía del oscilador armónico están igualmente espaciados. Al
aumentar k en una unidad la energía aumenta en ña; .
PROBLEMA
l. a. Para un estado arbitrario 1 tp(t)) = a0 1 tp0 (t)) + a1j tp1 (t)), donde 1 tp0 (t)) y 1 tp1 (t)) son
autoestados del Oscilador Armónico, calcule (H).
b. Para el estado jtp(t)) = Ysltp0 (t))+ Ysltp1(t)), calcule (H).
Solución
a) Como
( ñ) = ( tp(t) IHI tp(t)),
(ñ) =(a; (tp0 (t)j +a; (tp(t)I)H(a0 jtp0 (t)) + a1] l}J1 (t))),
(b) =(a; (qJ0 (t)j +a; (tp(t) !Xa0Hjtp0 (t)) + a1H/qJ1 (t)) ),
(ñ) = (a;(tp0 (t)l+a;(tp(t)l{ a0 n; jtp0 (t))+a1
3~a; jtp1 (t))}
( f¡) = (!ao 12 n; + la~l 2 3~a;),
71
b) del caso anterior, tenemos que
3 4 como para este caso tenemos que a0 = - y a1 = -, entonces
5 5
PROBLENL\SPROPUESTOS
(H)~ñ;((H +{;)'} (H)~ñ;(GJ +3(:J}
(n) = 5:~m .
l. Para el Oscilador Armónico, calcular los valores esperados (.e), (fl) y ( H) para
n=Oyl. 2. Compruebe que q>2 (x) para el Oscilador Armónico unidimensional está normalizada.
3. Muestre que lq>1(x)l2
tiene dos máximos.
72
CAPÍTULO 11
MOMENTO ANGULAR ORBITAL
En mecánica clásica el momento angular orbital juega un papel importante, además para sistemas aislados es una cantidad conservada, es decir, es una constante de movimiento, el cual se muestra considerando la isotropía del espacio. Por isotropía espacial se entiende que un fenómeno fisico no depende de la orientación del sistema de referencia, es decir, la fisica debe ser la misma para un sistema respecto de otro que haya rotado un cierto ángulo alrededor de un eje arbitrario que pasa por el origen del sistema de referencia.
En Mecánica Cuántica, el hecho que un fenómeno fisico no dependa de la rotación del sistema, significa que su hamiltoniano debe permanecer invariante bajo las transformaciones que definen las rotaciones, es decir el hamiltoniano debe conmutar con los operadores que definen cualquier rotación.
Por otro lado, en cuántica el momento angular tiene un carácter más fundamental que en clásica. En clásica solo se considera el momento angular orbital, sin embargo, en cuántica, aparecen otros observables fisicos, por ejemplo: espín o isospín, cuyo comportamiento sobre rotaciones en sus respectivos espacios es isomorfo con los operadores asociados a las rotaciones en el espacio tridimensional. Asimismo, cuando se requiere información sobre la estructura y configuración de moléculas, la misma puede ser obtenida a partir de los espectros de resonancia magnética nuclear y de resonancia paramagnética electrónica, cuyo origen es el momento angular de espín de núcleos y electrones; también considerando la espectroscopía rotacional, el cual depende del momento angular de las moléculas, se obtiene información relacionada con las dimensiones y formas de moléculas, o para encontrar las formas de los orbitales atómicos quienes, a su vez, determinan la orientación de los enlaces y la estereoquímica de las moléculas, el momento angular orbital de los electrones en los átomos es importante.
De esta manera, en este capítulo vamos a estudiar lo referente al caso del momento angular orbital. El propóosito será caracterizar los operadores que definen las rotaciones, y establecer sus propiedades espectrales.
Iniciamos considerando una función de onda diferenciable arbitraria qJ(f) . Si desplazamos el valor de esta función a un nuevo punto f + t5 ii , como se muestra en el gráfico, donde t5 ii es una traslación infinitesimal, obtenemos una nueva función lf/(f + t5 ii) tal que
lf/(f + t5 ii) = qJ(f) . (11.1)
De esta manera, se tiene
lf/(f) = qJ(f - t5 ii)'
por lo tanto, despreciando términos de segunda orden y superiores, tenemos
73
lf/(f) - QJ(f) = -6 a . v QJ(f) ,
lf/(f) - QJ(f) = - !_ f5 a . P QJ(f) 1i
Así el operador P es llamado el generador de traslaciones infinitesimales.
Por otro lado, para una rotación infinitesimal de un ángulo 8l/J alrededor de un eje que
pasa por el origen,
o a= o~ x r, donde o~ es un vector cuya magnitud es o~ y que tiene la dirección del eje de rotación. La variación de QJ(f) es entonces:
es decir
\lf(r)- q>(r) =-(o~ x r )· Vq>(r),
\lf(r)- <P(r) =-O~· (r x V)<P(r),
(11.2)
Por este motivo el operador l , momento angular orbital, se denomina generador de rotaciones infinitesimales. Además, de (11.2) se tiene que
i=rxP. (11.3)
Además, como f y P son observables vectoriales, es decir son dados por
r = (x,y,z),
74
J5 = (Px,f>y,Pz), entonces, el momento angular orbital l tiene las siguientes componentes:
Si ahora usamos la forma diferencial para los operadores momentos, es decir:
~ . o P =-zfz-
x Ox'
~ . o P =-ztz-
y 8y'
~ . o P = -zfz-
z oz' las componentes del operador de momento angular orbital son dados por:
L = -zfz z--x-~ . ( o o) Y 0x OZ '
A continuación comenzamos por obtener las relaciones de conmutación entre los operadores del momento angular orbital y sus componentes, usando las reglas de conmutación entre las componentes de f y P . Por ejemplo, es fácil verificar que
donde i = x,y,z.
l(,.YJ= itzz; lix,zJ= -ifzy;
li¡,x¡J= o,
lii>~J= O,
liy,zJ=inx;
liy,xJ= -itzz;
~Z'xJ= itz.Y;
liz,y]= -ifzX;
75
liy, f>xl = -inPz ;
liy,izJ=itzix;
l(,f>yl= -inPx;
l(,ix 1= itzLY
El hecho que las componentes del momento angular orbital l no conmuten entre si implica que no existen en general estados en la cual todas las componentes del momento angular tengan valores bien definidos.
Además, definiendo:
se tiene que
l ~2 ~ j L,Lx =0,
l ~2 ~ j L ,LY =O,
J 7z ~ j t:L ,Lz =O,
es decir, L2 conmuta con cualquiera de sus componentes.
Como las componentes del momento angular orbital no conmutan entre si, se definen dos operadores no hermitianos, a saber:
~ ~ ~
L_ =LX -iLY,
que son autoadjuntos uno del otro, es decir i+ = i~ . Las relaciones de conmutación con i 2 y
iz son:
liz,i+J= ni+'
liz,i_ J= -ni_, y además satisfacen las siguientes identidades:
76
Por otro lado, generalmente se define un conjunto completo de observables que
conmutan entre el hamiltoniano del sistema en estudio y del f2 y iz . Obviamente las otras
componentes del momento angular orbital no son consideradas porque no conmutan con iz. De esta manera, se tiene que {H,D ,iJ tienen una base en común, definida por ~k,l,m)}, donde el índice k indica la presencia del hamiltoniano o también de otros observables que
commutan con f2 y iz; l y m representan los números cuánticos de L2 y Lz, respectivamente.
De acuerdo con lo anterior, las ecuaciones de autovalores para L2 y iz son dados por:
f2 jl, m) = A-jl, m) ,
(jl,m) = mhjl,m),
donde, sin perdida de generalidad A, = l(l + 1)h 2 , con l = 0,1,2,3, · · · y los valores permitidos para m son -l < m <l.
Por otro lado, es conveniente escribir las componentes del operador momento angular orbital en coordenadas esféricas, es decir:
x = rsen() cosf/J,
y = rsensensf/J,
z =reos() con esto, las componentes del momento angular orbital son:
L = -ih - sen"'--cos"'cotB-~ ( a a) x ~aB ~ af/J,
" ( a a) LY = -ih cosf/J-- senf/JcotB- , aB af/J
~ . a L =-tñ-
z af/J,
y para D , tenemos
~2 2[ 1 a ( a ) 1 a2 J
L = -ñ sen() aB sen() aB + sen2() arjJ2 .
Así, la ecuación de autovalores es
[ 1 a ( a ) 1 az J . - h 2
--- senB- + -2---
2 g(B,f/J) = l(l + 1)h 2 g(B,f/J),
sen() (}() 8() sen ()a,¡, ({!3 77
cuya solución son los armónicos esféricos, es decir Y¡m(B,f/1), funciones propias de D y iz-
PROBLEMAS
l. Demuéstrese, que l(, x j = iny . Solución
Como iz = x~ - yPx , entonces
liz,xl= lxPY- y~,xj,
liz,xJ= [xPY, xj- ~Px, xj,
liz,xJ= [x,x~ +x[Py,xj-[Y,x]Px- .Yli>x,x),
pero como [x,x]=O, lPY,xJ=o y [Y,x]=O, setieneque
además, como lfox,xJ= -in entonces
2. Demuestre que el operador
conmuta con las tres componentes del momento angular orbital de i . Solución
Trabajaremos primero con la componente ix usando el conmutador:
y como
y
entonces
78
t ~2 ~ J L ,LX =o.
Del mismo modo, se puede demostrar que:
3. Considere un sistema de momento angular orbital l = 1 , cuya base de estado es dado por
{ j1 + ), 1 O), j1-) } . Si el estado del sistema es jf//) = ~ 1 +) + ~ 1 O) + ~ 1-), determine -v2.5 -v2.5 -v5
(iz)· Solución
Como
(iz) = (f//ILzlf//),
(i.)=[(-1 (+1+-1 (Oj+-1 (-l)i (-1 1+)+-1 jo)+-1 1-1)], - m m f5 zm -5.5 f5
(i )=[(-1
(+1+-1
(oj+-1
(-1)(-fi l+)+~jo)-~1-/)], z mmFsmmJS
PROBLE~SPROPUESTOS
l. Considere un sistema de momento angular orbital l = 1 , cuya base de estado es dado por
{j1+),jo),jl-) }. Si el estado del sistema es lf//)= ~!+)+ ~jO)+ ~j-), detennine -v2.5 -v2.5 -v5
(i:).
2. Considere un sistema de momento angular l = 1, cuya base de estado es {ji), ¡o), 1-1) }. Si
el estado del sistema es lf//) = ajl)+ fijO)+ rj-1), a,fi,r E 91, calcule (i2 )en términos de
a, J3 y r.
79
3. Demuéstrese, que ~x,Py J= iliPz.
4. Demuéstrese, que [ix,iyJ=iliiz; [iy,izJ=inix Y [iz,ixJ=iliLY.
80
CAPÍTULO 12
PARTÍCULA EN UN POTENCIAL CENTRAL
En la Mecánica Cuántica, así como en Mecánica Clásica existe una clase importante de problemas cuando se considera fuerzas centrales, es decir, cuando el potencial depende solo de la distancia f desde la partícula a un punto fijo (que puede ser el origen de coordenadas o el centro de fuerzas). La simetría que surge en estos tipos de potenciales es esférica, es decir cuando se quiere solucionar la ecuación de Schrodinger es más conveniente escribir el hamiltoniano en coordenadas esféricas.
En este capítulo vamos a estudiar la ecuación de Schrodinger para un sistema aislado de dos partículas, supuestas sin espín, de masas m1 y m2 que interaccionan a través de un
potencial V(f; ,fJ el cual depende únicamente de la posición de dichas partículas. En este
contexto, el hamiltoniano de este sistema de dos partículas, es dado por
(12.1)
La ecuación de Schrodinger para los estados estacionarios de este sistema es entonces
(12.2)
Para continuar con nuestro estudio vamos a considerar un caso de interés fisico, a saber cuando el potencial de interacción entre las partículas depende solo de la posición relativa de las mismas, es decir
V(f¡, Fz) = V(f¡- Fz), de esta manera, la ecuación (12.2) es escrita como
(12.3)
Observe que se puede pensar en usar el método de separación de variables para solucionar esta ecuación, sin embargo, surge una dificultad relacionada con el hecho que no es posible separar el potencial de interacción de las partículas en otros dos potenciales que dependan solo de f¡ y Fz respectivamente. De esta manera, como en el caso clásico vamos a
separar el movimiento de las dos partículas en los movimientos del centro de masas y relativo, para ello introduciremos el operador posición R. de centro de masas, y el operador posición correspondiente a la distancia relativa f de las dos partículas, definidos por
R.= m¡ Y¡ + m2Fz ' (12.4) m1 +m2
f = r; -Fz. (12.5)
rP 81
Las correspondientes variables canónicas conjugadas son
p = m2pl - mlp2 r m1 +m2
es decir, el momento lineal total y el relativo respectivamente. Además, de (12.4) y (12.5) tenemos que
de donde se obtiene
(12.6)
mm donde Ji = 1 2 es la masa reducida del sistema de dos partículas, y M = m1 + m2 es la
m1 +m2
masa total del sistema.
El resultado (12.6) indica que es posible escribir el hamiltoniano del sistema de dos partículas en términos de la coordenada relativa y la coordenada del centro de masas, de esta manera la correspondiente ecuación de Schrodinger, dada por (12.3), será
( 1i
2 2 li
2 2 ~ J ~ ~ --V R --V -r + V(R,f) 'i'(R,f) = E'Y(R,f).
2M 2p (12.7)
Por otro lado, como consideramos un sistema aislado, entonces las ecuaciOnes asociadas con su dinámica deben ser invariantes bajo traslaciones, así el potencial V no
~ 82
depende de la coordenada del centro de masas R, lo cual va a permitir aplicar el método de separación de variables a la ecuación (12. 7). Es decir, si escribimos la función de onda como:
'P(R, r) = lf/(R)t/J(r), la ecuación (12. 7) es dividida en otras dos ecuaciones, dadas por:
donde E=ECM +Er.
nz 2 - ---V RI¡/(R) = ECMI¡/(R),
2M
La solución de (12.8) es una onda plana tridimensional, es decir
(12.8)
(12.9)
(12.10)
Asimismo, (12.9) describe el movimiento de una partícula de masa J.L moviendose en
un potencial V(f) que depende solo de la distancia relativa entre las partículas. Además, Er es la energía correspondiente al movimiento relativo del sistema que junto con la energía del centro de masas ECM constituye la energía total del sistema de dos partículas.
Por otro lado, la solución, dado un potencial V(f), de (12.9) conjuntamente con (12.10)
permite determinar 'P(R,f). Sin embargo, si el sistema de referencia se ubica en el centro de masas, entonces (12.8) no tiene sentido y la solución de (12.7) queda determinado únicamente por la solución de (12.9). De este modo, para estudiar el comportamiento de un sistema de dos partículas cuyo potencial de interacción depende de la posición relativa de las referidas partículas, se debe considerar la ecuación (12.9), que describe el movimento de una partícula ficticia de masa J.L moviendose en un potencial V(f).
Ahora, para continuar con nuestro estudio consideramos una partícula en un potencial con simetría esférica, caso de interés físico, es decir una partícula se encuentra en un campo externo con simetría esférica. Este tipo de sistemas aparece en mecánica clásica, donde el caso más conocido son las órbitas planetarias, así como en mecánica cuántica donde el caso más importante es el átomo con un sólo electrón, por ejemplo, el átomo de Hidrogéno.
Debido a la simetría esférica del problema conviene trabajar en coordenadas esféricas con la finalidad de encontrar las funciones de onda del sistema cuántico. Un sistema cuántico con un potencial de simetría esférica tiene un conjunto de estados estacionarios cuya función de onda es solución de ecuación diferencial de Schrodinger en coordenadas esféricas y, como veremos, con un potencial dependiendo solo de la coordenada radial. Así, consideramos (12.9), es decir
- ~ V 2 'P(f) + V(f)'P(f) = E'P(f). 2p
83
Una forma de resolver esta ecuación es usar el método de separación de variables, es decir, se considera que es posible resolver la ecuación por este método. De esta manera, se busca soluciones que sean producto de una o más funciones cada una dependiendo solo de algunas de las coordenadas. Para esto escribimos la ecuación anterior en coordenadas esféricas, es decir:
-- --(r -)+- --- senB- + +V(r) 'JI(r,B,t/J)=E'Y(r,B,t/1) [ n2
( 1 a 2 a 1 ( 1 a ( a ) 1 a2 )J J
2j.i r 2 Or Or r 2 sen() ae ae sen2B ot/12
y luego escribiendo
así como reconociendo que
i2 = -n2[_I __ a (senB-a ) + _I- a2 J senB oB oB sen2B ot/12 '
entonces
y como Y¡m(B,t/1) es autofunción de i 2, entonces se tiene
[ n2
( 1 a 2 a t(t + I)) J -- -
2 -(r -)+
2 +V(r) Rn1(r)=ERn1(r),
2p r 8r 8r r (12.11)
la solución de esta ecuación radial depende del tipo de potencial a considerar. Por ejemplo, para el caso del átomo de hidrógeno el potencial es de coulomb. Que será tema del próximo capítulo.
PROBLEMA
l. Demuestre que
Solución
a) Como
pero de
84
se tiene
b) Como
PROBLENL\SPROPUESTOS
R= m¡f¡ +m2~ m1 +m2 '
l. Un sistema está formado por dos partículas de masas m1 y m2 • Considere que el potencial de interacción de las partículas es función de la distancia relativa entre ellas. Si los momentos de las partículas son p1 y p2 , y sus momentos angulares ~ y ~, determine la suma de los momentos angulares orbitales del CM y relativo.
2. Demuestre las siguientes relaciones de conmutación:
~,J\ J= iliO¡j'
[R.¡, J5j ] = ilioij .
85
CAPÍTULO 13
EL Á TOMO DE HIDRÓGENO
En este capítulo presentamos el modelo del átomo de hidrógeno.
El átomo de hidrógeno está formado por un electrón y un protón cuya interacción entre ellos es de origen electrostática.
TEORÍA DE BOHR DEL Á TOMO DE HIDRÓGENO
En 1913 Bohr propuso un modelo para explicar el espectro del átomo de hidrógeno. El modelo presentado por Bohr es conocido como un modelo semiclásico, porque considera aspectos clásicos así como cuánticos. Para esto presentó los siguientes postulados:
2. El electrón no puede girar en cualquier órbita, sino sólo en un cierto número de órbitas estables.
3. Cuando el electrón gira en estas órbitas no emite energía.
4. La fuerza de Coulomb sobre un electrón proporciona la aceleración centrípeta necesaria para mantener una órbita circular estable, gobernada por las leyes de la mecánica clásica, pero estas no son válidas en las transiciones de un estado estacionario a otro.
5. Las únicas órbitas estacionarias permitidas para el átomo están determinadas por la condición, que el momento angular orbital del electrón sea un múltiplo entero positivo de ñ , es decir asume la cuantización el momento angular sin justificación. Sin embargo, esto le permite introducir cantidades como, energía de ionización y el parámetro característico de las dimensiones atómica, el radio de Bohr.
Sobre estas consideraciones Bohr determino el espectro de Balmer, dado por:
donde n = 1, 2, 3, ... y E1 es la energía de ionización de valor 13,6 ev. Asimismo, el radio de las orbitas,
o donde, a0 es el radio de Bohr de valor 0,52A
Este modelo produjo valores correctos para las energías del átomo de hidrógeno, sin embargo, sus consideraciones eran incompatibles con las ideas cuánticas, así se imponía un cambio, un nuevo modelo, y este llegó con la Mecánica Cuántica.
TEORÍA CUÁNTICA DEL Á TOMO DE HIDRÓGENO
En esta sección, presentamos la teoría cuántica del átomo de hidrógeno. Es decir, usando los conceptos de la mecánica cuántica queremos determinar sus autovalores y autofunciones centro de masa. ¡p 86
El átomo de hidrógeno, la estructura atómica más simple en la naturaleza, formado por un electrón y un protón, cuya interacción es esencialmente del tipo coulombiano, así la energía potencial es dada por:
2
V(r)=- q = 4Jr8
0T r
donde r es la distancia relativa; q representa la carga del electrón y protón; y e 0 es la
permitividad en el vacío.
En este caso tenemos un sistema aislado formado por dos partículas de masas me = 0,91 X 10-30 kg y m p = 1, 7 X 10-27 kg que interaccionan a través de un potencial V(r) el
cual depende únicamente de la distancia relativa de dichas partículas. En este contexto, el hamiltoniano de este sistema de dos partículas, es dado por
A tz2 2 tz2 2 H =--V1 --V 2 +V(r), (13.1)
2m1 2m2
el cual es similar al hamiltoniano (12.1) del capítulo anterior, así podemos considerar que (13.1) se reduce a la ecuación diferencial radial (12.11), es decir
[ n2
( 1 a 2 a I(I + 1)) J -- -
2 -(r -)+
2 +V(r) Rk 1(r)=Ek 1 Rk 1(r), 2f..l r ar ar r , , ,
(13.2)
y es la que interesa solucionar, puesto que la parte angular ya es conocida y son dadas por los armónicos esféricos.
De esta manera, para obtener una solución para (13.2) hacemos:
1 Rk 1 (r) =-U k 1 (r), , r ,
y obtenemos
[- ~( d 2
- l(l + 1))-~-E ]u (r) =o. 2 dr 2 2 k,1 k,l
f1 r r
Haciendo los siguientes cambios:
E A.Z --~
k,1- E 1
r P =-
' a o
f.Le4 hz donde E1 = -
2- y a0 = --
2 , tenemos que
2h J..le
87
[ d
2 1(1 + 1) 2 2 ]
--2 - 2 + - - A.k z U k z (p) = O. dp p p ' '
(13 .3)
A continuación analizamos el comportamiento asintótico de la ecuación anterior, es decir cuando p ~ oo,
cuya solución es dada por:
U k,I (p ~ oo) = AePA.x.l +Be -PA.tJ ,
sin embargo, para asegurar que la solución sea finita se debe elegir que A = O , así el comportamiento asintótico será
U k,/ (p ~ oo) =Be -pA.x.1.
Para encontrar una solución \:1 p , hacemos:
U k,z (p) =e -pA.k.l Yk,I (p),
donde Yk 1 (p) es desconocida, pero sustituyendo (13 .4) en (13 .3), obtenemos
[ d 2 1(1 + 1) 2 d ] --2- 2 +--2Akz- Ykz(p)=O. dp p p 'dp '
Asumimos que una solución para (13.5) es en forma de serie, es decir:
donde c0 ::t:O.
00
Yk,z(P) = L cqrq+s, q=O
00
Ytz(p) = L (s + q)cqrq+s-1' q=O
00
r::z(P) = I (s + q)(s + q -l)cqrq+s- 2 •
q=O
(13.4)
(13.5)
88
Luego (13.5) es rescrito como:
I (s + q)(s + q -l)eqrq+s-2- 2lk,Z I (s + q)eqrq+s-J + --
2 I eqrq+s =O, oo oo (2 /(/+l)Joo
q=O q=O p p q=O
00
s(s -l)e 0 ps-2 -l(l + l)e 0 ps- 2 + L (s + q)(s + q -l)eqrq+s- 2 -
q=J
00 00 00
- 21k.zL (s + q)eqrq+s-J + 2¿ eqrq+s-J -zcz + l)I eqrq+s-2 =o. (13.6) q=O q=O q=J
De los dos primeros términos del lado izquierdo, se obtiene:
s=l+l,
s=-1, del cual escogemos porque asegura que no se tendrá divergencia en el origen. De esta manera, (13.6) se reduce a
00 00
L ((q + l)(q + l + 1) -/(/ + l)}:qrq+s- 2- 2lk,l I (q + l)eq_1pq+l-J +
q=l q=l
y de aquí, tenemos que
00
I eq-JPq+Z-J =O' q=l
2l-1k 1 ( q + l)- 1 J e = · e .
q (q + l)(q + l + 1) -/(/ + 1) q-l (13.7)
Aseguramos que la serie es convergente, considerando el criterio de la razón, es decir cuando q ~ oo , se tiene
e q 2lA-k z ( q + l) - 1 J 2..1k z = . ~--·~o eq-J (q+l)(q+l+l)-1(1+1) q
el cual indica que la serie es convergente.
Por otro lado, como:
00 (2..1 )q 00
2P;¡t 1 "" k,l q "" d q e . =L.. r p = L.. qp ' q=O q. q=O
89
entonces
dq-1 q
quiere decir que la función exponencial tiene el mismo comportamiento que la serie Yk.l (p),
así podemos considerar que la solución (13 .4) es
pero esta solución presenta problemas, puesto que en p ~ oo no es finita. De esta manera, se
debe evitar que la solución para Yk,J (p) sea e201
.1 , así debemos hacer que la serie de Yk,l (p)
se detenga, es decir que para un q =k, e k =O, entonces todos los coeficientes siguientes serán
nulos. Con esta observación, tenemos de (13.7) que
y como e k = O , entonces
con lo cual
2lA-k 1 (k + l) - 1 J e - · e
k - (k+ l)(k + l + 1) -l(l + 1) k-1>
A, =-1-k.l k+ l'
E =- E¡ k,l (k+l)2'
donde k = 1,2,3, ... y además, esto significa que la energía está cuantizada.
La solución para Uk,l (p) es
k-1
uk,l (p) =e-pA.},/ _Leqpq+l+]'
q=O
1 y de Rk 1 (r) =-U k 1 (r), obtenemos , r ,
__ r_ k-1 q+l
R (r) =e ao<k+l) ""'e _r __ . k,l L... q q+/+1
q=o ao
(13.8)
(13.9)
De esta manera, las expresiones (13.8) y (13.9) representan el espectro de energía y las soluciones radiales para el átomo de hidrógeno.
Debemos observar que como la suma k + l es entero, entonces vamos a definir n = k + l, y como k = 1,2,3,... entonces n = 1,2,3, ... y l = 0,1,2,3, ... , n- l. Así,
90
__ r k-1 rq+l Rnz(r) =e aon¿cq q+l+1 .
q=O ao
Las autofunciones del átomo de hidrógeno serán dados por:
_....:_ k-J rq+Z 1//n z m (r) =e aon ~ cq --~-1 Yt (B, t/J). , .t... aq+ +
q=O O
PROBLENL\SPROPUESTOS
l. Considere un átomo de hidrógeno cuya función de onda en t = O es la superposición de las
autofunciones de energía tJJnzmlf): tp(r,t =O)= ~ [2tp100(r)-3tp200(r)+ tp322 (r)]. -vl4
a. ¿ qi.,_r,t =o) es autofunción del operador paridad? b. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar al sistema en el estado fundamental (100)? ¿En el
estado (200)? ¿En el estado (322)? y en cualquier otro estado?
c. ¿Cuál es el valor esperado del operador D? ¿Del operador iz?
2. La función de onda para el estado fundamental de un átomo tipo hidrogenoide con carga nuclear Ze tiene la forma tp = A exp(-f3 r), donde A y f3 son constantes. Demuestre que:
f33 z m ( e
2
)
2
a. A2 =-; /3=- yquelaenergíaes E=-Z2E 0 ,donde E0 =~ -- ,y 7r a0 21i 4Jrs0
b. Encuentre los valores esperados de la energía potencial y cinética.
91
DISCUSION
Muchos autores; Cohen-Tannoudji (1977), De la Peña (1991), Schiff (1968), Sakurai
(1994) entre otros, han escrito textos relacionados a la asignatura de Mecánica Cuántica I,
cuyos contenidos son demasiado extensos en la presentación de los conceptos y limitan la
exposición de ejercicios.
En la actualidad, el estudio de la cuántica es muy importante en las líneas de
investigación, relacionados, por ejemplo, con Química, Física Molecular, Atómica y Nuclear,
Física de la Materia Condensada con Teoría Cuántica de Campos y sus extensiones
(electrodinámica cuántica, cromodinámica cuántica, etc.) y su aplicación en Física de
Partículas elementales, así como con Mecánica Estadística, sin embargo, el aspecto matemático
de las mencionadas líneas de investigación presentan ciertas dificultades. Asimismo, los textos
no explican en forma detallada las resoluciones de los ejercicios que presentan.
El texto "MECÁNICA CUÁNTICA I", a diferencia de otros textos, presenta en forma
detallada, clara y precisa las pautas que se siguen para las demostraciones de las expresiones o
fórmulas que se obtienen, que ayudan a interpretar el comportamiento del fenómeno estudiado
y, que servirán para que el estudiante tenga una metodología que le permita enfrentar
problemas relacionados con los sistemas cuánticos. El detalle en las demostraciones, también
marca una sustancial diferencia con el enfoque propuesto en otros textos.
Por lo expuesto, se puede concluir que mediante el uso del texto "MECÁNICA
CUÁNTICA I" es posible:
l. Conseguir una introducción adecuada de los conceptos relacionados con las propiedades de
los sistemas cuánticos.
2. Desarrollar habilidades, destrezas y análisis crítico de los estudiantes y, asimismo, su
capacidad de trabajar en equipo.
92
3. Realizar investigaciones que permiten entender el comportamiento de los sistemas
cuánticos y sus propiedades.
4. Proporcionar a los estudiantes de fisica una base teórica sólida para el trabajo posterior en
sus estudios de otras asignaturas relacionadas con este tema, así como de posgrado.
5. Iniciar a los estudiantes de fisica en el método científico de comprobación de hipótesis a
través de las demostraciones presentadas.
6. En contraste con los textos elaborados por otros autores, hacer más dinámico y fácil el
proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura Mecánica Cuántica l.
93
REFERENCIALES
l. COHEN-TANNOUDTI C., DIU B. LALOE F. Quantum Mechanics, New York: Editorial John Wiley & Sons, Segunda Edición, 1977.
2. SAKURAI, J. J. Modero Quantum Mechanics, Massachusetts: Editorial AddisonWesley Publishing Company, Inc, Edición Revisada, 1994.
3. DE LA PEÑA, LUIS. Introducción a la Mecánica Cuántica, México, D. F.: Editorial Ediciones Científicas Universitarias de la Universidad Nacional Autónoma de México, Segunda Edición, 1991.
4. EISBERG, R. Y RESNICK, R. Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles, New York: Wiley, Primera Edición, 1974.
5. FEYNMAN, R., LEIGHTON, R. B. Y SANDS, M. The Feynman Lectores on Physics, Volumen ll: Quantum Mechanics, Massachusetts: Editorial AddisonWesley, Primera Edición, 1965.
6. SCillFF, L. I. Quantum Mechanics, New York: Editorial Me Graw- Hill, Tercera Edición, 1968.
7. MESSIAH, A. Quantum Mechanics, Amsterdam: Editorial North Holland, Primera Edición, 1968.
8. LANDAU, L. D. y LIFSHITZ, E. M. Quantum Mechanics, Massachusetts: Editorial Addison-Wesley, Segunda Edición, 1958.
9. DA VIDOV, A. S. Quantum Mechanics, New York: Editorial Pergamon, Segunda Edición, 1976.
10. GASIOROWICZ, STEPHEN. Quantum Physics, New York: Editorial John Wiley & Sons Inc. Primera Edición, 1974.
94
APÉNDICE
Contiene Tablas y Sílabo de la asignatura que han sido elaborados por el autor del proyecto,
según se indica:
• Tabla N° 1: Primeros polinomios de Hermite para el Oscilador Armónico.
• Tabla N° 2: Primeras funciones radiales para el Átomo de Hidrógeno.
• Sílabo de la asignatura Mecánica Cuántica l.
95
Tabla N° 1: Primeros polinomios de Hermite para el Oscilador Armónico 2
2 dnex n Polinomio: Hn(x) = (-l)"ex dxn
o Ho(x) = 1
1 H 1(x)=2x
2 H 2 (x) = 4x2- 2
3 H 3 (x) = 8x3 -12x
4 H 4 (x) = 16x4- 48x2 + 12
5 H 5(x) = 32x5 -160x3 + 120x
6 H 6 (x) = 64x6- 480x4 + 720x2 -120
Tabla elaborada por el autor del proyecto en base a recopilación bibliográfica.
96
Tabla No 2: Primeras funciones radiales para el Atomo de Hidrógeno
-~k-! rq+l n 1 Función Radial: R,,¡(r) =e aonLcq q+l+!
q=O ao
3 -r
1 o R10
(r) = 2(_!_)2e~ a o
2 o ~o (r) = _1 ( _!__ ¡i(1- _!_ !:_ F~ J2 a0 2 a0
2 1 ~~ (r) = _1_(_1 )~( !:_ F~ .J24 ao ao
'( ( JJ _, 3 o 2 1 2 2 r 2 r 3ao R30(r)=-(-) 1---+-- e JTi a0 3 a0 27 a0
3 1 ~~(r)=-8-(_!_)i(1-_!_!:_ )( !:_ F~ 27J6 a0 6 a0 a0
3 2 ~z(r) = 4 (-1 ¡i( !:_)'e;~ 81.J30 a0 a0
4 o t ( J ( Jr 11 2 3r lr 1 r ¡;;-R40 (r)=-(-) 1---+- - -- - e o
4 a0 4 a0 8 a0 192 a0
4 1 R,,(r)~ ..rs (_!_)i(1-_!_!:_+_1 ( !:_ J]( !:_ F~ 16J3 a0 4 a0 80 a0 a0
4 2 R4z(r) = _1_(_1 ¡i(1 _ _!_!:_ )( !:_ )' eZ, 64J5 a0 12 a0 a0
4 3 R.,(r) ~ 1 (_!_)i( !:_ J eZ, 768..[35 a0 a0
Tabla elaborada por el autor del proyecto en base a recopilación bibliográfica.
97
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE FÍSICA
l. INFORMACIÓN GENERAL 1. 1 Nombre del curso 1.2 Código y Grupo Horario 1.3 Carácter 1.4 Requerimiento 1.5 Horas de Clase
1.5.1 Teoría 1.5.2. Práctica
1.6 Créditos 1. 7 Ciclo de Estudios 1.8 Profesor
11. OBJETIVOS
SILABO
MECÁNICA CUÁNTICA 1 Fl-306, 01F Obligatorio Fl-202, Fl-307
04 horas semanales 03 horas semanales 05 VI Dr. Jorge Abel Espichán Carrmo
2.1. OBJETIVO GENERALES:
Brindar al estudiante una presentación clara y lógica de los conceptos de la mecánica cuántica. Interpretar las leyes básicas para la comprensión de las propiedades de las partículas microscópicas. Desarrollar la capacidad del estudiante para resolver de manera lógica los problemas donde se requieran conocimientos de la mecánica cuántica.
2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Formar en el alumno un panorama amplio de lo que es la mecánica cuántica, así como su origen e implicaciones en el desarrollo de la física contemporánea. El alumno comprenderá que la mecánica cuántica tiene bases experimentales y fenomenológicas firmes y bien establecidas. Explicar y aplicar los conceptos básicos de la mecánica cuántica en la solución de problemas, de manera que pueda analizar diversas situaciones.
Ill. SUMILLA El curso es de naturaleza teórico-práctico y se desarrolla los temas siguientes: Ideas
fundamentales de la Mecánica Cuántica. La ecuación de onda de Schrodinger. La Partícula Libre. Barreras y Pozos de Potenciales. Operadores y Variables Dinámicas. Notación de Dirac. Propiedades Dinámicas de los Sistemas Cuánticos. Introducción de la Teoría de Representaciones. El Oscilador Armónico. Momento angular orbital. El átomo de Hidrógeno.
IV. CRONOGRAMA
Primera Semana Introducción. Radiación de Cuerpo Negro. Las leyes de Rayleigh - Jeans y Wien. Teoría de Planck. Efecto Fotoeléctrico. Dispersión Compton.
Segunda Semana Partículas materiales y Ondas de De Broglie. El Principio de Correspondencia. Relaciones de Incertidumbre. La ecuación de onda de Schrodinger.
Tercera Semana La interpretación probabilística. Valores esperados. La ecuación de Schrodinger independiente del tiempo. Ortogonalidad de las funciones propias de la ecuación de Schrodinger. Resolución de Problemas.
Cuarta Semana La ecuación de onda para una partícula libre. Pozo de potencial infinito. Potencial escalón, coeficientes de reflexión y transmisión.
Quinta Semana El pozo rectangular. La barrera de potencial. Operadores lineales. Operadores Hermitianos. Valores propios y funciones propias de un operador Hermitiano. Primera Práctica Calificada.
Sexta Semana Representación de las variables dinámicas mediante operadores lineales. Teoría y representación matricial de los operadores. Teoremas fundamentales sobre variables dinámicas. El experimento de Stern-Gerlach. Interferencia de amplitudes. Operadores. Resolución de Problemas.
Sétima Semana Analogía matemática entre vectores y amplitudes. Representación explicita de estados y operadores. Representación de vectores y de operadores por matrices. Notación de Dirac. Espacio vectorial, vectores ket. Espacio dual, vectores bra. Segunda Práctica Calificada.
Octava Semana SEMANA DE EVALUACIÓN
Novena Semana Cambio de representación. Sistema de dos estados base. Caso general. El Maser de NH3. Propiedades dinámicas de los sistemas cuánticos. Comportamiento dinámico de valores esperados y de los operadores. Las representaciones de Schrodinger y Heisenberg.
Décima Semana Los postulados de la Mecánica Cuántica. Relación entre integrales de movimiento y simetrías. Representación de coordenadas y de momentos.
Undécima Semana Operadores unitarios y de proyección. Oscilador Armónico unidimensional. Funciones y valores propios de la Hamiltoniana. Reglas de selección. Operadores de creación y aniquilación. Resolución de Problemas.
Duodécima Semana Estados coherentes. Osciladores armónicos isotrópicos en _dos y tres dimensiones. Tercera Práctica Calificada.
Decimatercera Semana Cuantización del momento angular. Relaciones de conmutación del momento angular. Momento angular orbital. Autovalores y autovectores. Partícula en un potencial central.
Decimacuarta Semana Hamiltoniano en coordenadas polares. Separación de variables angulares. El problema de dos cuerpos. Separación de las coordenadas del CM y relativas. Resolución de Problemas.
Decimaquinta Semana Ecuación de Schrodinger del átomo de Hidrógeno. Solución de la ecuación radial. Niveles de Energía. Resolución de Problemas. Cuarta Práctica Calificada.
Decimasexta Semana SEMANA DE EVALUACIÓN
Decimaséptima Semana Examen Sustitutorio
Entrega de Actas.
MÉTODOS Y TÉCNICAS DE ENSEÑANZA En el curso se utilizaran en lo posible todos los métodos pedagógicos que contribuyan a optimizar el logro de los objetivos de la asignatura. Para el desarrollo del curso se han establecido 04 horas a la semana para la exposición de la teoría y 03 horas a la semana para la parte práctica. En las horas de teoría y práctica, se motivará la participación activa de los estudiantes, a través de resolución de problemas que serán desarrollados y expuestos en clase. Adicionalmente a las clases Teórico-Prácticas, se absorberán consultas relacionadas a la asignatura fuera de clase en horario coordinado con los estudiantes.
MÉTODOS DE EVALUACIÓN
6.1. EVALUACIÓN FORMATIVA Tiene como propósito la evaluación permanente durante el desarrollo del curso.
Para este fin, se evaluará la participación del estudiante en exposiciones, comentarios, preguntas que aporten al conocimiento del curso.
6.2. EVALUACIÓN SUMATIVA Tiene como objetivo, evaluar al final de cada unidad el progreso de los alumnos,
además se adicionaran cada dos semanas una práctica calificada. El sistema de calificación usado en cada uno de las evaluaciones es vigésima! de
acuerdo a lo indicado: (a) Se tomarán dos (02) exámenes parciale~ (EP y EF) y un (01) examen sustitutorio
(ES), cuya nota reemplazara a la más baja calificación obtenida en los exámenes parciales o al examen parcial no rendido.
(b) Se tomarán seis (04) prácticas calificadas (PC), de las cuales se tendrán en cuenta los 03 mejores calificativos. Se obtendrá de la medida aritmética un promedio de prácticas (PP).
(e) La nota final del curso (NF) se obtendrá de acuerdo a la siguiente relación EP+EF+PP
NF=---3--
(d) Para aprobar la asignatura, el estudiante deberá alcanzar el promedio mínimo de 10.5 en la nota final (NF) del curso y acreditar el75% de asistencia a clases.
VIl. BIBLIOGRAFÍA
8.1. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
l. COHEN-TANNOUDJI C., DIU B. LALOE F. Quantum Mechanics, Editorial John Wiley & Sons, Segunda Edición, Francia, 1977.
2. DE LA PEÑA LUIS, Introducción a la Mecánica Cuántica, Editorial Ediciones Científicas Universitarias de la Universidad Nacional Autónoma de México, Segunda Edición, México, 1991.
3. EISBERG R. y RESNICK R., Física Cuántica, Editorial Alianza Editorial, Cuarta Edición, España, 1988.
4. FEYNMAN R., LEIGHTON R. B. y SANDS M., FÍSICA, Volumen III: Mecánica Cuántica, Editorial Addison-Wesley Iberoamericana, Edición en Español, España, 1987.
5. SCIDFF L. 1., Quantum Mechanics, Editorial Me Graw - Hill, Tercera Edición, Estados Unidos, 1968.
6. MESSIAH, A. Mecánica Cuántica, Tomo 1, Editorial Tecnos S.A., Madrid, 1973.
7. LANDAU L. D., LIFSHITZ E. M., Quantum Mechanics, Editorial Addison-Wesley, Segunda Edición, Estados Unidos, 1958.
8.2. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA
l. LANDAU L. D., LIFSHITZ E. M., Curso Abreviado de Física Teórica: Mecánica Cuántica, Libro 11, Editorial Mir, Moscú, Cuarta Edición, Rusia, 1971.
2. DA VIDOV A. S., Quantum Mechanics, Editorial Pergamon, Segunda Edición, Estados Unidos, 1976.
3. STEPHEN GASIOROWICZ, Quantum Physics, Editorial John Wiley & Sons Inc. Primera Edición, Estados Unidos, 1974.
4. A. GALINDO, P. PASCUAL, Mecánica Cuántica, Editorial Alhambra, S. A., Primera Edición, España, 1978.
Bellavista, Marzo del 2014
Jorge Abel Espichán Carrillo
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ANEXOS
Contiene Tabla de las funciones Armónicos Esféricos usados en el desarrollo del presente
proyecto de investigación, según se indica:
• Tabla.- Primeras soluciones de la parte angular para el átomo de Hidrógeno: Armónicos
Esféricos.
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Tabla: Primeras soluciones de la parte angular para el átomo de Hidrógeno: Armónicos Esféricos.
~-- --·-·---- ----Annónicos Esféricos:
l m Y"(o ;)= (-!}' {fir+w-+m}le~•(seno)- d,~. (sen8}'1 1
' i /! 4n-(!- m)! d(cosO y--m
------------- ----------------• ·-·-•••••-··--•••-•••••••••••••••-••••-•••••••••••••••uoouoooooooo•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••~•~•--••••-•••••••~•••••0
o o Yoo(e,,)= )¡,¡ 4.?r
1 o Y~(B,~)= [!;cose 4;r
--1 1 Y1
1(0,;)= -¡¡;senO e1~ 8.?r
1 -1 Y¡-'(O,fS)= ¡¡;seno e-;; g,_-
2 o l~(o,;) = ~----~----(3cos2 O -1) l6Jr
2 1 Y~(O,f6)= -¡gsenOcosO e11
81C
2 2 Yi(B,?) = ~3~;;·sen 20 e21;
'2 -1 r;•(o,;)= ¡gsenOcosoe··t; 8n
~---- --------- ---~---------------"p-- -~------ .... --2 -2 Y;2(0,,)= .J 15
sen20e-z;; 32n
............... _
101
