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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO ROSANGELA DE SOUZA JORGE ANDO FORMAÇÃO CONTINUADA E ENSINO DE ÁLGEBRA: REFLEXÕES DE PROFESSORES DA EDUCAÇÃO BÁSICA SOBRE ITENS DO SARESP São Paulo 2012

UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO ROSANGELA DE …

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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO ROSANGELA DE SOUZA JORGE ANDO

FORMAÇÃO CONTINUADA E ENSINO DE ÁLGEBRA:

REFLEXÕES DE PROFESSORES DA EDUCAÇÃO BÁSICA

SOBRE ITENS DO SARESP

São Paulo

2012

ROSANGELA DE SOUZA JORGE ANDO

MESTRADO ACADÊMICO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

FORMAÇÃO CONTINUADA E ENSINO DE ÁLGEBRA:

REFLEXÕES DE PROFESSORES DA EDUCAÇÃO BÁSICA

SOBRE ITENS DO SARESP

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo como exigência parcial para a obtenção do título de MESTRE EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA. Orientadora: Profª. Dra. Nielce Meneguelo Lobo da Costa.

São Paulo

2012

A561e Ando, Rosangela de Souza Jorge Formação continuada e ensino de álgebra: reflexões de professores da

educação básica sobre itens do SARESP. / Rosangela de Souza Jorge Ando. - São Paulo, 2012. 218 f.: il.; 30 cm. Dissertação (Mestrado - Área de concentração: Educação matemática) –

Universidade Bandeirante de São Paulo. Programa de Pós-Graduação em

Educação Matemática.

“Orientação: Professora Dra. Nielce Meneguelo Lobo da Costa”

1. Formação continuada. 2. Avaliação externa. 3. Ensino de álgebra. 4. Reflexão. 5. SARESP. I. Título.

CDD: 370.71

Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução

total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou

eletrônicos.

Local e data: ________________________________

Assinatura: _________________________________

"Eu não posso ensinar

nada a ninguém,

eu só posso

fazê-lo pensar."

Sócrates

Dedico este trabalho

às minhas filhas Bárbara e Sarah

e ao Sergio

pelo amor, carinho e

por serem a razão

de minha vida.

Agradecimentos

A Deus, que me deu paz, amigos, coragem e sabedoria para esta messe.

À Professora Doutora Nielce Meneguelo Lobo da Costa, pelas orientações

e acompanhamento de todo o processo de elaboração deste trabalho, mas,

principalmente, pela competência, pelo estímulo, pela dedicação, pela

paciência e pela amizade concretizada, que foram essenciais para a

conclusão desta dissertação.

Às Professoras Doutoras Ana Chiummo e Angélica da Fontoura Garcia

Silva, que deram contribuições valiosas para o enriquecimento desta

dissertação.

Aos meus professores do Programa de Pós-graduação da Universidade

Bandeirante de São Paulo, que contribuíram para meu crescimento

enquanto pesquisadora e professora.

Aos professores doutores da linha de Formação de Professores Ruy Cesar

Pietropaolo, Maria Elisabette B.B. Prado, Angélica da F. G. Silva e Nielce

M. Lobo da Costa, pelo carinho e pelas contribuições para o

desenvolvimento desta pesquisa.

Aos professores participantes do Módulo de Álgebra, personagens

fundamentais para esta pesquisa.

Aos funcionários da Universidade Bandeirante de São Paulo, que sempre

me atenderam com carinho.

À Universidade Bandeirante de São Paulo, que me concedeu uma bolsa de

estudos, que custeou parte deste trabalho.

Aos meus pais, Joaquim (in memoriam) e Isabel, exemplos de vida.

Aos meus padrinhos Luzia e Manoel, exemplos de coragem.

Aos meus irmãos José Roberto, Roseli, Teresa e Marta e aos meus

sobrinhos Caroline, Paulo e Heitor, que entenderam minhas inúmeras

ausências em reuniões familiares.

À minha amiga Rosana Jorge Monteiro Magni, que me incentivou para

iniciar esta jornada.

Enfim, a todos os amigos e familiares que contribuíram direta ou

indiretamente para a finalização desta jornada, seja com carinho, uma

palavra de apoio ou um ombro amigo.

A todos, agradeço de coração!

RESUMO

O objetivo desta pesquisa foi investigar a compreensão e as reflexões dos professores de Matemática relativas a resultados de avaliações externas do Saresp (Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo) em um contexto de formação continuada envolvendo o Ensino de Álgebra na Educação Básica, em particular o de equações e sistemas de equações. A metodologia foi a qualitativa do tipo investigação-ação, desenvolvida em duas fases, a primeira com pesquisa documental e construção do Módulo de Álgebra para o processo formativo e a segunda com a pesquisa de campo. Os sujeitos foram 16 professores que participaram de todos os encontros do Módulo de Álgebra. A coleta de dados foi feita por meio de observação direta, gravação de áudio e vídeo dos encontros e materiais produzidos pelos sujeitos ao longo do processo formativo. A fundamentação teórica que embasa a pesquisa vem dos estudos sobre conhecimento profissional docente de Shulman, da teoria sobre os conhecimentos matemáticos para o ensino (MKT) de Ball, Thames e Phelps; sobre processos reflexivos de Perrenoud e sobre os princípios para a formação continuada de professores de Matemática explicitados por Serrazina. Quanto à Álgebra, analisamos as diversas concepções e o uso das variáveis, segundo Usiskin, e em relação à Álgebra escolar apresentamos um histórico da sua inserção no currículo da Educação Básica. A análise dos dados revelou quatro categorias de reflexão emergentes nos encontros: Reflexões sobre as Avaliações Externas; Reflexões sobre o Ensino de Álgebra; Reflexões sobre a Matemática envolvida nos itens; Reflexões sobre a Formação Docente. A conclusão foi que o processo formativo favoreceu a aprendizagem profissional, o desenvolvimento do conhecimento específico do conteúdo e as reflexões sobre a própria formação e sobre como propiciar situações para favorecer a aprendizagem dos alunos. Palavras-chave: Formação Continuada, Avaliação Externa, Ensino de Álgebra,

Reflexão, Saresp.

ABSTRACT

The aim of this research was to investigate the understanding and reflections of mathematics teachers on the results of external evaluations of Saresp (Assessment System Educational Achievement of São Paulo) in a context of continuing education involving the teaching of Algebra in Elementary Education, in particular, equations and systems of equations. The methodology was qualitative research-action type, developed in two phases, the first with documentary research and construction of a module of algebra for the teacher education process and the second with the fieldwork. The individuals were 16 teachers who participated in all meetings of the module of algebra. Data collection was done through direct observation, audio and video recording of meetings and materials produced by the individuals during the formation process. The theoretical framework that underpins the research comes from Shulman's studies of teacher professional knowledge, the Ball, Thames and Phelps’ theory of mathematical knowledge for teaching (MKT); Perrenoud´s reflective processes and the principles for the ongoing formation of mathematics teachers explained by Serrazina. As for algebra, we analyzed the different conceptions and use of variables, according to Usiskin, and in relation to school Algebra we presented a history of its inclusion in the curriculum of basic education. Data analysis revealed four categories of thought emerging in the meetings: Reflections on External Assessments; Reflections on Teaching Algebra, Mathematical Reflections on the items involved; Reflections on Teacher Formation. The conclusion was that the teacher education process favored the professional learning, the development of specific knowledge of the content and reflections about their own formation and how to provide situations to foster student learning.

Keywords: Continuing Education, External Evaluation, Teaching Algebra,

Reflection, Saresp.

Lista de Quadros

Quadro 1: Tabulação do questionário para caracterização dos sujeitos .......... 32

Quadro 2: As Concepções de Álgebra e o uso das variáveis .......................... 46

Quadro 3: Conteúdo de Álgebra do Ensino Fundamental ................................ 50

Quadro 4: Conteúdo de Álgebra do Ensino Médio ........................................... 51

Quadro 5: Escala dos níveis de proficiência .................................................... 58

Quadro 6: Níveis de proficiência ...................................................................... 58

Quadro 7: Habilidades de Álgebra para a 6ª. série/7º.ano ............................... 62

Quadro 8: Habilidades de Álgebra para a 8ª. série/9º.ano ............................... 63

Quadro 9: Habilidades de Álgebra para a 3ª.série do EM ................................ 63

Quadro 10: Reflexão sobre elaboração de um item ......................................... 68

Quadro 11: Resumo das atividades do Módulo................................................ 71

Quadro 12: Atividade de Estudos Complementares ......................................... 75

Quadro 13: 1ª. Atividade de análise de itens .................................................... 81

Quadro 14: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 1 ................ 82

Quadro 15: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 2 ................ 84

Quadro 16: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 3 ................ 85

Quadro 17: 2ª. Atividade de Análise de itens ................................................... 86

Quadro 18: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 4 ................ 87

Quadro 19: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 5 ................ 88

Quadro 20: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 6 ................ 90

Quadro 21: 3ª. Atividade de análise de itens .................................................... 91

Quadro 22: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 7 ................ 92

Quadro 23: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 8 ................ 93

Quadro 24: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 9 ................ 94

Quadro 25: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 10 .............. 96

Quadro 26: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 11 .............. 97

Lista de Figuras

Figura 1 – Domínios necessários para o ensino de Matemática. ..................... 40

Figura 2: Interligação entre os blocos temáticos .............................................. 49

Figura 3: Exemplo 10 da p. 195 do Relatório Pedagógico do Saresp 2009 – 3ª.

EM .................................................................................................................... 67

Figura 4: Atividade do Caderno do aluno sobre sistema de equações. ........... 73

Figura 5: Situação de Aprendizagem envolvendo grandezas proporcionais .... 74

Figura 6: Situação de Aprendizagem para Estudos Complementares ............. 76

Figura 7: Situação de Aprendizagem envolvendo equações trigonométricas .. 77

Figura 8: Equação do 3º. grau e a fórmula de Tartaglia e Cardano ................. 78

Figura 9: Situação de aprendizagem sobre equações e polinômios ................ 79

Figura 10: Item 1 .............................................................................................. 82

Figura 11: Item 2 .............................................................................................. 83

Figura 12: Item 3 .............................................................................................. 85

Figura 13: Item 4 .............................................................................................. 87

Figura 14: Item 5 .............................................................................................. 88

Figura 15: Item 6 .............................................................................................. 89

Figura 16: Item 7 .............................................................................................. 91

Figura 17: Item 8 .............................................................................................. 93

Figura 18: Item 9 .............................................................................................. 94

Figura 19: Item 10 ............................................................................................ 95

Figura 20: Item 11 ............................................................................................ 97

Figura 21: Protocolo da Atividade da Professora SR – Sistemas Lineares – 1ª

parte ............................................................................................................... 110

Figura 22: Protocolo da Atividade da Professora SR – Sistemas Lineares – 2ª

parte ............................................................................................................... 111

Figura 23: Protocolo da Atividade do Professor RM – Sistemas Lineares – 1ª

parte ............................................................................................................... 111

Figura 24: Protocolo da Atividade do Professor RM – Sistemas Lineares – 2ª

parte ............................................................................................................... 112

Figura 25: Protocolo da Atividade do Professor RM – Sistemas Lineares – 3ª

parte ............................................................................................................... 113

Figura 26: Trecho de Situação de Aprendizagem envolvendo grandezas

proporcionais .................................................................................................. 118

Figura 27: Trecho de Situação de Aprendizagem envolvendo grandezas

proporcionais - B ............................................................................................ 119

Figura 28: Protocolo de item produzido pelo Grupo 1 .................................... 121

Figura 29: Protocolo de item produzido pelo Grupo 2 .................................... 122

Figura 30: Item produzido e classificado pelo Grupo 3 (registro em vídeo) ... 122

Figura 31: Protocolo do Item 8 Grupo 5 ......................................................... 132

Figura 32: Categorias Emergentes quanto às Reflexões ............................... 142

Sumário

APRESENTAÇÃO ....................................................................................................... 17

CAPÍTULO 1 ................................................................................................................. 20

1 ORIGEM DO PROBLEMA ...................................................................................... 20

1.1 OBJETIVO .............................................................................................................. 23

1.2 DELIMITAÇÃO DO PROBLEMA ........................................................................ 23

1.3 QUESTÃO DE PESQUISA .................................................................................. 24

1.4 JUSTIFICATIVA .................................................................................................... 24

CAPÍTULO 2 ................................................................................................................. 27

2 METODOLOGIA ....................................................................................................... 27

2.1 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ......................................................... 29

2.1.1 Coleta de Dados ................................................................................................ 30

2.1.2 Análise de Dados ............................................................................................... 30

2.2 SUJEITOS DE PESQUISA .................................................................................. 31

CAPÍTULO 3 ................................................................................................................. 35

3 FUNDAMENTAÇÃO ................................................................................................ 35

3.1 FORMAÇÃO CONTINUADA E OS PROCESSOS REFLEXIVOS ............... 35

3. 2 ENSINO DE ÁLGEBRA NA EDUCAÇÃO BÁSICA ........................................ 43

3.2.1 A Álgebra no Currículo ...................................................................................... 43

3.2.2 O que é ensinado na Educação Básica ......................................................... 46

3.2.2.1 A Álgebra no Currículo do Estado de São Paulo ...................................... 48

3.3 AVALIAÇÃO NO CAMPO EDUCACIONAL ...................................................... 53

3.3.1 Avaliação Educacional Externa ....................................................................... 53

3.3.2 O Saresp ............................................................................................................. 55

3.3.2.1 Matriz de Referência para a Avaliação Saresp ......................................... 60

3.3.2.2 Relatório Pedagógico do Saresp ................................................................. 64

CAPÍTULO 4 ................................................................................................................. 69

4 A PESQUISA ............................................................................................................. 69

4.1 O CENÁRIO DO ESTUDO .................................................................................. 69

4.2 O PLANEJAMENTO DO MÓDULO DE ÁLGEBRA ......................................... 70

4.2.1 Atividades escolhidas dos materiais de apoio da SEESP .......................... 72

4.2.2 Textos e apresentação de slides ..................................................................... 79

4.2.3 Itens selecionados de Relatórios Pedagógicos do Saresp (2008/2009) .. 80

4.2.4 Atividade de elaboração e classificação de itens ......................................... 98

CAPÍTULO 5 ............................................................................................................... 100

5 ANÁLISE DE EPISÓDIOS DOS ENCONTROS ................................................ 100

5.1 ANÁLISE GLOBAL ............................................................................................. 136

CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................................................... 140

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................... 145

ANEXOS ..................................................................................................................... 152

APÊNDICES ............................................................................................................... 180

17

APRESENTAÇÃO

Esta pesquisa intitulada Formação Continuada e Ensino de Álgebra:

Reflexões de Professores da Educação Básica sobre Itens do Saresp está

inserida na linha de pesquisa de “Formação de Professores que Ensinam

Matemática” do Programa de Mestrado em Educação Matemática da

Universidade Bandeirante de São Paulo.

O objetivo foi investigar a compreensão evidenciada por professores de

Matemática, relativa a resultados de avaliações externas num contexto de

formação continuada envolvendo o ensino de Álgebra, em particular o de

equações e sistemas de equações na Educação Básica.

Para alcançar tal objetivo proposto, a questão norteadora foi a seguinte:

Quais são as reflexões dos professores que emergem a partir da

análise de Situações de Aprendizagem do Caderno do Aluno e de itens

contidos em avaliações do Saresp, relativos a equações e a sistemas de

equações?

Para realizar este estudo, foi desenvolvido um Módulo de Álgebra em

parceria com uma Diretoria de Ensino da Secretaria Estadual de Educação do

Estado de São Paulo (SEESP), contando com a participação de 16 professores

de Ensino Fundamental e/ou Ensino Médio. Este Módulo foi planejado para

desenvolver atividades relacionadas às Situações de Aprendizagem do

Caderno do Aluno (material de apoio da SEESP) e análise de itens do Relatório

Pedagógico do Saresp (2008, 2009); e, em particular, para esta pesquisa,

selecionamos o conteúdo de equações e sistemas de equações.

A dissertação está estruturada em cinco capítulos e mais esta

Apresentação, Referências Bibliográficas, Considerações Finais, Apêndices e

Anexos, a saber:

Capítulo 1 - Origem do Problema

Neste capítulo, é apresentada a minha trajetória de professora, de

formadora a pesquisadora com ingresso no Programa de Pós-Graduação em

Educação Matemática, na linha de Formação de Professores que ensinam

18

Matemática. São descritas algumas de minhas inquietações nesta trajetória,

convergindo para a questão de pesquisa. São apontados os objetivos e a

delimitação do problema, finalizando com a revisão de literatura na qual se

apresentam pesquisas correlatas a esta, ou seja, focadas na formação

continuada do professor de Matemática, que analisam resultados de avaliações

externas e/ou itens.

Capítulo 2 - Metodologia

Neste capítulo, é apresentada a metodologia da pesquisa, que é a

qualitativa, do tipo investigação-ação, na acepção de Bogdan e Biklen (1994).

O investigador desempenha o papel principal e são descritas as cinco

características da investigação qualitativa segundo esses autores e o que

caracteriza a metodologia como investigação-ação. Na sequência, os

procedimentos metodológicos são descritos, divididos em duas fases:

a primeira, que compreende pesquisa documental e a construção do

Módulo de Álgebra para o processo formativo (cenário de pesquisa);

a segunda, com a Pesquisa de Campo.

São descritos, ainda, a Coleta e Análise de Dados e o Perfil dos sujeitos da

pesquisa, que são 16 professores de Matemática de escola estadual de São Paulo.

Capítulo 3 - Fundamentação

A fundamentação está dividida em três partes: Formação Continuada,

Ensino de Álgebra na Educação Básica e Avaliação no Campo Educacional.

Na seção Formação Continuada, recorremos aos estudos de Shulman

(1986) sobre o conhecimento que um professor necessita para ensinar e a Ball

et al (2008), que aprofunda esses estudos, desenvolvendo a Teoria do

Conhecimento para o Ensino de Matemática. Sobre o processo formativo, a

pesquisa foi fundamentada nos princípios relacionados por Serrazina (2010) e

por Imbernón (2000), considerando o processo formativo como uma forma de

desenvolver uma prática docente reflexiva, na qual cada elemento do grupo é

responsável tanto por sua aprendizagem quanto pela dos demais, e há uma

socialização de seu aprendizado e reflexão em grupo.

Na seção Ensino de Álgebra na Educação Básica, foi apresentada a

base legal do Ensino de Matemática na Educação Básica, um breve histórico

19

de como a Álgebra se inseriu no Currículo, no Brasil e as diversas concepções

de Álgebra na Educação Básica segundo Usiskin (1995).

Na seção Avaliação no Campo Educacional, foi apresentado um breve

histórico da Avaliação Educacional Externa no Brasil, particularizando para a

instituída nas escolas da rede pública estadual de São Paulo, o Saresp, com

suas características, Matriz de Referência e o Relatório Pedagógico.

Capítulo 4 - A Pesquisa

Neste capítulo, o cenário da pesquisa foi apresentado, contendo o

planejamento do Curso de formação com a descrição das atividades

relacionadas ao objetivo desta pesquisa.

Capítulo 5 - Análise de Episódios dos Encontros

A Análise da investigação foi concentrada nas temáticas dos encontros

do Curso que tiveram relação com a questão de pesquisa. O Curso, como um

todo, foi o cenário de pesquisa, entretanto foram delimitados para análise os

encontros ou partes de encontros cuja temática envolveu a avaliação e as

equações e sistemas de equações. A análise global revelou quatro categorias

de reflexões que emergiram no decorrer dos encontros.

Considerações Finais

Nas considerações finais, foi retomado o percurso de pesquisa e

sintetizados os resultados obtidos agrupados nas categorias emergentes.

20

CAPÍTULO 1

1 ORIGEM DO PROBLEMA

Atuando como professora de Matemática da rede estadual de ensino do

Estado de São Paulo desde 1987, tenho muitos questionamentos, muitas

indagações sobre como detectar as dificuldades e auxiliar os alunos em seu

processo de aprendizagem. São indagações tais como: Será que as avaliações

em classe são suficientes ou eficientes para apontar as deficiências na

aprendizagem e será que, em sala de aula, são desenvolvidas atividades que

auxiliam o desenvolvimento de todas as habilidades necessárias para

impulsionar o letramento matemático do aluno?

Tenho participado de muitas formações promovidas por várias

entidades, tanto na condição de aprendiz como na de formadora e tenho

constatado que, em grande parte desses processos formativos, o objetivo –

com as variações inerentes a cada um deles – se volta para a metodologia

para o ensino de matemática ou para o desenvolvimento de conteúdos que

ficaram deficientes na própria formação inicial do professor. Vale enfatizar que

nenhum desses projetos de formação dos quais tomei parte teve por foco

discussões que auxiliassem o professor a detectar adequadamente as

deficiências de aprendizagem dos seus alunos, utilizando as avaliações, tanto

as feitas em sala de aula, quanto às avaliações externas às quais os alunos

foram submetidos.

De que forma se poderia transformar a prática pedagógica, a partir da

reflexão sobre os resultados das avaliações aplicadas aos alunos, que

expusesse suas dificuldades no processo de aprendizagem? Essa tem sido

outra de minhas indagações.

Avaliações dos sistemas educacionais em larga escala no Brasil

começaram a ser implantadas ao final dos anos 90. Tais avaliações externas

aplicadas para aferir os resultados de alunos da Educação Básica, como o

SAEB1 e a Prova Brasil, visam a avaliar os resultados das aplicações de

1 Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica – SAEB, avaliação externa criada em

1990 e que em 2005 foi desmembrada em Avaliação Nacional da Educação Básica – ANEB (conhecida ainda como SAEB) e Avaliação Nacional de Rendimento Escolar – ANRESC (conhecida no meio como Prova Brasil). A ANEB é uma avaliação bienal, na qual apenas uma

21

recursos de Políticas Públicas na Educação, e elas são inspiradas nas

tendências internacionais como, por exemplo, a da Organização para

Cooperação e Desenvolvimento Econômicos (OCDE), com o Programa

Internacional de Avaliação de Estudantes (PISA) e, em particular, no Estado de

São Paulo, o Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São

Paulo (Saresp).

Os primeiros relatórios do Saresp foram divulgados a partir de 1996, e

constatei que, no meu contexto de atuação, os professores de Matemática não

aproveitaram esses resultados para refletir sobre sua prática docente,

provavelmente por desconhecerem as finalidades de uma avaliação externa.

Todavia, com a paulatina incorporação desses resultados e de uma série de

outros indicadores na avaliação de cada unidade escolar pela Secretaria

Estadual de Educação, teve início um processo de se estipularem metas de

aproveitamento para cada escola. Assim sendo, as avaliações externas foram

sendo consideradas como relevantes pela comunidade escolar. No entanto,

constato que ainda, em minha escola, eles não são muito explorados e

utilizados no dia a dia da sala de aula de Matemática.

A partir da aplicação sistemática das avaliações externas, diversos

dados tornam-se disponíveis e podem ser aproveitados pelo professor para

compor suas estratégias de ensino e, desse modo, procurar levar o seu aluno a

superar as dificuldades de aprendizagem em Matemática. É, portanto, motivo

de preocupação que refletir sobre esses dados não faça parte das discussões

entre os docentes da unidade.

Ao participar, em 2010, de um Projeto de Elaboração de Itens para

avaliação de larga escala, no qual, além de elaborar itens, deveria classificá-los

de acordo com o Marco Referencial da empresa, percebi as diferentes

variações que se podem introduzir em uma questão de Matemática para

detectar as habilidades colocadas em ação pelos alunos na tentativa de

amostra de alunos do 5º. e 9º.ano do Ensino Fundamental e 3ª.série do Ensino Médio são avaliados, enquanto que a ANRESC é censitária e aplicada aos alunos de 5º.ano e 9º.ano do Ensino Fundamental. Essas avaliações utilizam para elaboração de itens Matrizes de Referência elaboradas a partir dos PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais) e uma de suas finalidades é subsidiar governantes na administração de políticas públicas e melhorar a distribuição de recursos para a Educação Básica. Fonte: http://portal.inep.gov.br/web/prova-brasil-e-saeb/prova-brasil-e-saeb

22

resolvê-la. O Marco Referencial em questão fora elaborado com uma mescla

entre as matrizes de Referência do SAEB, ENEM2 e PISA.

Vale dizer que as avaliações externas evidenciam qual é a Matemática

que o aluno consegue disponibilizar ou acionar para resolver as situações

propostas. No entanto, uma prova objetiva tem seus limites, ou seja, ela não

possibilita avaliar todas as habilidades desenvolvidas pelo aluno. Por exemplo,

não se pode, por meio das questões objetivas das macroavaliações, identificar

habilidades tais como as de cálculo mental e de elaboração de propostas,

todavia os resultados da avaliação podem ser um referencial para subsidiar o

professor em sua prática pedagógica.

A partir dessas reflexões, me propus a pesquisar se professores de

Matemática analisam os resultados de uma avaliação externa para melhorar

sua prática pedagógica, se esses professores têm conhecimento de

classificações de itens com as quais poderiam ampliar sua forma de abordar os

conteúdos com o objetivo de impulsionar o letramento matemático dos alunos.

Iniciei o Mestrado em Educação Matemática na linha de pesquisa em

Formação de Professores que Ensinam Matemática, uma vez que meus

questionamentos estão vinculados a esse tema. Em particular, o problema a

ser investigado relaciona-se à avaliação da aprendizagem.

Para realizar a pesquisa, elegemos um conteúdo de Matemática contido

nos itens de avaliações externas e que tivesse um alto índice de erros. Ao

examinar os resultados das avaliações externas, contidos nos Relatórios

Pedagógicos do Saresp, mais precisamente ao analisar os itens, percebemos

que um dos conteúdos em que incidia o maior índice de erros era o de Álgebra,

motivo este que nos instigou a empreender esta investigação.

2 Exame Nacional do Ensino Médio – ENEM foi criado em 1998 com a finalidade de avaliar o

desempenho do estudante ao término da Educação Básica, visando a colaborar com a melhoria da qualidade desse nível de escolaridade. A partir de 2009, alterou sua finalidade passando a ser também um instrumento de seleção para o ingresso ao ensino superior das Instituições Federais de Ensino Superior (IFES). Seus resultados podem ser utilizados como mecanismo de seleção para o ingresso no ensino superior de outras instituições, respeitando suas autonomias, podendo ser único instrumento ou em complementação dos processos seletivos destas instituições. O Enem é utilizado também para o acesso a programas oferecidos pelo Governo Federal, tais como o Programa Universidade para Todos – ProUni. Disponível em http://portal.inep.gov.br/web/enem/sobre-o-enem Acesso em 20 mar. 2012.

23

1.1 OBJETIVO

Esta pesquisa tem por objetivo investigar a compreensão evidenciada

por professores de Matemática relativa a resultados de avaliações externas

num contexto de formação continuada, envolvendo o Ensino de Álgebra, em

particular o de equações e sistemas de equações na Educação Básica.

1.2 DELIMITAÇÃO DO PROBLEMA

A pesquisa se inseriu em um projeto de Educação Continuada

desenvolvido pela SEESP – Secretaria de Estado da Educação de São Paulo –

em uma das Diretorias Regionais de Ensino, com professores de Matemática

da rede estadual de ensino. Esse projeto maior objetiva subsidiar a

implementação de um novo currículo para a Educação Básica no referido

estado. Em particular, a investigação foi desenvolvida em um módulo de

Álgebra, no qual foram discutidos conteúdos de Matemática dos materiais de

apoio ao trabalho docente no currículo atual3, assim como analisados

resultados de avaliações externas do Saresp (Sistema de Avaliação do

Rendimento Escolar do Estado de São Paulo) para favorecer a socialização

dos conhecimentos didáticos para o ensino da Matemática.

Para atingir o objetivo, a pesquisa foi desenhada da seguinte forma:

1. Elaboração de um processo formativo, alojado em um módulo de

Álgebra incluindo estudos sobre resultados de avaliações

externas do Saresp em Matemática.

2. Desenvolvimento desse processo formativo com um grupo de

professores.

3. Análise das reflexões feitas por professores sobre Situações de

Aprendizagem contidas nos Cadernos dos Alunos e sobre itens

de avaliações externas do Saresp divulgados nas escolas da rede

pública estadual de São Paulo.

4. Análise das reflexões feitas por professores durante a criação e

classificação de itens de Álgebra.

3 Caderno do Aluno e Caderno do Professor – materiais da SEESP que contêm Situações de

Aprendizagem.

24

1.3 QUESTÃO DE PESQUISA

A seguinte questão é orientadora desta pesquisa:

Quais são as reflexões dos professores que emergem a partir da

análise de Situações de Aprendizagem do Caderno do Aluno e de itens

contidos em avaliações do Saresp relativos a equações e a sistemas de

equações?

1.4 JUSTIFICATIVA

As avaliações externas têm se configurado como um instrumento para

informar os níveis de aprendizagem dos alunos e para fornecer subsídios às

políticas públicas e às tomadas de decisões no âmbito da escola. Isso é válido

tanto para os gestores escolares quanto para os professores, para a

determinação de diretrizes e para a proposição de ações que visem à melhoria

(ou manutenção) dos resultados por elas apresentados.

O professor de Matemática da Educação Básica, hoje, no estado de São

Paulo, se depara com uma situação de implementação de um novo currículo, a

partir de 2008, com a consolidação dos sistemas de avaliações externas que

apontam em seus resultados e com baixo índice de rendimento em

Matemática. Esse novo contexto, que inclui uma nova metodologia para

ensinar e a instituição de metas para melhorar o rendimento dos alunos, pode

causar insegurança no professor para desenvolver o ensino de Matemática.

Para auxiliar o professor com esta nova metodologia de ensino, bem

como utilizar os resultados dos Relatórios das Avaliações Externas, em

particular o Saresp, como mais um aliado para impulsionar a melhoria do

ensino de Matemática, os processos formativos que discutam as avaliações

externas são necessários e, neles, a investigação sobre aspectos ligados às

diversas facetas que neles se apresentam. Nesse sentido, desenvolvemos esta

pesquisa.

Investigamos resultados de avaliações externas de Matemática da

Educação Básica e pesquisamos se professores que ensinam Matemática

analisam os resultados de avaliações externas, quais as percepções que têm

delas no sentido de impactar sua prática pedagógica e se esses professores

25

tinham conhecimento de classificações de itens4, com as quais poderiam

ampliar sua forma de abordar os conteúdos com os alunos com objetivo de

impulsionar o letramento matemático.

Quanto à revisão da literatura acadêmica e das pesquisas correlatas,

observou-se que a temática formação continuada e avaliações externas tem

sido foco de interesse em Educação Matemática nos últimos anos, contudo

ainda carece de investigações, especialmente em relação a pesquisas que

possam subsidiar ou contribuir para a formação de professores que ensinam

Matemática na Educação Básica. Uma pesquisa por nós analisada intitula-se

“Resultados de testes de larga escala: fonte de informações para a formação

de professores” (Marques, 2008a), a qual analisou o rendimento de alunos em

avaliações externas e a fragilidade dos professores ao lidar com os mesmos

conteúdos tratados nessas avaliações. Tal pesquisa não abordou a

classificação de itens como a nossa proposta.

Outra pesquisa nessa temática analisada por nós intitula-se “Práticas

avaliativas desenvolvidas por professores de matemática: novos desafios frente

aos resultados da avaliação externa na rede de ensino SESI/SP” (Santos,

2010), realizada na rede de ensino SESI/SP. A autora é Analista Pedagógica

de Matemática da Instituição e iniciou a introdução com um breve histórico da

rede de ensino SESI, relatou suas inquietações e questão de pesquisa. O

levantamento histórico sobre avaliação resgatou sua aplicação desde as

primeiras da História, que se torna uma coletânea significativa para

pesquisadores, seu interesse de pesquisa foi fazer um comparativo entre

avaliação interna aplicada pelos professores e avaliação externa, aplicada pela

rede SESI, comparando se itens apresentados na avaliação interna são

semelhantes aos apresentados na avaliação externa. Nessa pesquisa, não se

classificaram itens para compará-los ou para verificar se o professor tem

conhecimento da Matriz de Referência utilizada na elaboração destes itens. O

quadro teórico da pesquisa de Santos, relativo à avaliação interna e avaliação

externa, constitui-se a partir das pesquisas de Bauer (2008) – Uso dos

resultados do Saresp e formação de professores: a visão dos níveis centrais,

Buriasco e Soares (2008) – Avaliação de sistemas escolares: da classificação

4 Classificação a partir de critérios pré-estabelecidos, tais como habilidade envolvida,

competência, bloco de conteúdos etc. Tal questão está mais detalhada na seção 3.3.2.2.

26

dos alunos à perspectiva de análise de sua produção matemática, Carrasco e

Torrecilla (2009) – A avaliação das aprendizagens na América Latina.

Comportamentos e tendências do desempenho escolar dos estudantes latino-

americanos nos ensinos primário e secundário, Chueiri (2008) – Concepções

sobre avaliação escolar, Coelho (2009) – Vinte anos de avaliação da educação

básica no Brasil, aprendizagens e desafios e outros. Esta pesquisa difere da

feita por Santos (2010) quanto às discussões empreendidas na formação, por

exemplo, quanto à classificação de itens de avaliações externas do Saresp

pautada na Matriz de Referência do Saresp e análise de questões inseridas

nos Relatórios Pedagógicos do Saresp (2008 e 2009).

27

CAPÍTULO 2

Neste capítulo, é apresentada a metodologia utilizada para desenvolver

a pesquisa; e são descritos os procedimentos metodológicos e o perfil dos

sujeitos da pesquisa.

2 METODOLOGIA

Esta pesquisa caracteriza-se como qualitativa do tipo investigação-ação.

Segundo Bogdan e Biklen (1994), na investigação qualitativa, o investigador é

o instrumento principal no ambiente natural, analisando os dados de forma

indutiva e adotando estratégias e procedimentos de forma a considerar as

experiências de acordo com o ponto de vista do sujeito da investigação.

De acordo com esses autores são cinco as características da

investigação qualitativa, a saber:

(1) o ambiente natural é o principal instrumento do pesquisador e

propicia a fonte direta de dados, pois, mesmo que a coleta de dados seja com

notas de campo, gravações em áudio ou em vídeo, esses dados são revistos

pelo investigador, e este se torna o olhar fundamental da pesquisa. Para tanto,

é de primordial importância analisar o ambiente de ocorrência, relacionando-o

com o contexto em que o estudo se insere. Nossa pesquisa apresenta a

característica de ser desenvolvida no ambiente natural, no caso a Diretoria de

Ensino à qual os professores, sujeitos de pesquisa, pertencem;

(2) a pesquisa qualitativa é fundamentalmente descritiva, e nela não

podemos reduzir narrativas ou dados transcritos de áudios ou vídeos a simples

dados numéricos e sim mostrar (analisar), da forma mais elucidada possível, a

riqueza das informações coletadas. Em nossa pesquisa, vamos descrever o

processo formativo e também analisá-lo; assim sendo, a forma narrativa é a

que nos interessa e buscaremos citações para complementar e ou aprofundar

o estudo em questão, uma vez que cada detalhe desse objeto de estudo pode

indicar pistas que nos permitam esclarecer as questões de pesquisa;

(3) para o pesquisador, a essência está no processo de investigação

mais do que nos resultados, e este prioriza o que os professores percebem de

si próprios e de outros, ou seja, quando se trata de uma pesquisa qualitativa, a

prioridade está na forma como se desenvolvem as atividades em estudo, tanto

28

procedimentos como interações entre os objetos/sujeitos de estudo. Nesta

investigação nossos sujeitos são professores e buscamos compreender

algumas de suas percepções sobre a questão pesquisada; assim sendo, nossa

ênfase está no processo de investigação;

(4) o processo indutivo é muitas vezes utilizado na análise de dados, um

pesquisador só começa a esclarecer seus pressupostos à medida que coleta

seus dados e, em diversas vezes, ao analisar a coleta é que se estabelece ou

se inicia uma teoria sobre o fato estudado. Neste sentido, vamos estabelecer

um aporte teórico para fundamentar a análise dos dados;

(5) a atribuição de significado é essencial em pesquisa qualitativa, e o

pesquisador constrói estratégias que possibilitem compreender os pontos de

vista dos sujeitos pesquisados; o investigador tende a considerar as

expectativas e preocupações dos participantes da pesquisa. Nesse sentido,

para o investigador, a forma minuciosa do registro do objeto de estudo é de

suma importância para tornar a interpretação dos significados ou dos

resultados a mais clara possível. Nesse caso, a interação entre o investigador e

seus sujeitos de pesquisa dar-se-á de forma não neutra, pois cada um carrega

consigo seus pressupostos e suas crenças. Nesta pesquisa, teremos diversos

registros do objeto em estudo e temos a consciência de que nossa interação

não é neutra.

A pesquisa qualitativa, por sua vez, pode ser tipificada. Um dos tipos de

pesquisa qualitativa é a investigação-ação, na qual existe uma intervenção do

pesquisador na realidade, ou seja, o investigador está envolvido diretamente na

situação investigada. Em nossa pesquisa, houve uma solicitação da Diretoria

de Ensino para elaborar, juntamente com as Coordenadoras Pedagógicas das

Oficinas Pedagógicas, um Módulo de Álgebra para apresentar aos professores

uma nova metodologia por meio da utilização das Situações de Aprendizagens

contidas nos materiais de apoio da SEE-SP para implementação do novo

currículo do Estado. Para Bogdan e Biklen (1994: 292): “a investigação-acção

consiste na recolha de informações sistemáticas com o objectivo de promover

mudanças”. Entendemos que ocorre uma intervenção do pesquisador na

realidade. O investigador levanta hipóteses ou questões a investigar e se

envolve ativamente nessas causas, procurando, por meio de observações,

entrevistas, recorrência a documentos ou outros métodos qualitativos,

29

apresentar, da forma mais correta e fiel possível, o relato de suas descobertas.

Segundo os mesmos autores (1994: 296), “para os investigadores da

investigação-acção a objectividade significa ser honesto, recolher os dados na

fonte e obter as perspectivas de todas as partes envolvidas”.

O investigador que opta pela metodologia da investigação-ação pretende

investigar uma determinada situação ou um determinado fato para procurar

causas e documentá-las de forma consistente a fim de sugerir propostas de

mudanças dessa situação. A investigação-ação baseia-se nos depoimentos e

nas próprias palavras das pessoas, transcrevendo entrevistas ou gravações,

sejam elas em áudio ou em vídeo, tentando convencer pessoas para atuar na

remediação ou mudança da situação. Nosso estudo apresenta tais

características. Dessa forma, classificamo-lo como uma pesquisa qualitativa do

tipo investigação-ação.

2.1 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Esta pesquisa foi desenvolvida em duas fases, descritas a seguir:

Fase 1 – Pesquisa documental e construção do módulo de Álgebra

A primeira fase compreendeu a pesquisa de documentos tais como a

Matriz de Referência do Saresp bem como os Cadernos dos Alunos (CA) e

Cadernos dos Professores (CP), materiais de apoio da Secretaria Estadual da

Educação do Estado de São Paulo (SEE-SP).

A construção do módulo de Álgebra compreendeu a escolha de

atividades contidas nos materiais de apoio da SEE-SP para discussão no grupo

e seleção de itens dos Relatórios Pedagógicos do Saresp (2008/2009) com

baixo índice de acertos, para serem analisados.

Fase 2 – Pesquisa de Campo

Esta fase compreendeu o desenvolvimento do Módulo e a investigação

sobre as análises dos professores a respeito dos relatórios pedagógicos de

avaliações externas do Saresp e, além disso, a partir das análises dos

professores de itens de Álgebra, identificar as reflexões dos professores bem

como as sugestões de possíveis intervenções para um melhor

desenvolvimento do conteúdo.

30

O módulo de formação teve sessenta horas de duração, sendo oito

encontros presenciais semanais (24 h) e atividades a distância (36 h) com

pesquisa em ambiente virtual para complementar os estudos.

As atividades do módulo estão detalhadas na seção 4.2.

2.1.1 Coleta de Dados

Os seguintes instrumentos compuseram a coleta de dados:

1) questionário para levantamento de dados (Ver Apêndice A);

2) observação direta;

3) registros escritos pela pesquisadora sobre os encontros do grupo de

professores de Matemática, ao longo das oficinas sobre a temática

avaliação;

4) coleta dos materiais produzidos pelos sujeitos:

- protocolos das atividades desenvolvidas nos encontros;

- registros digitais diversos (gravação áudio, vídeo, fotos).

2.1.2 Análise de Dados

Os dados foram analisados de forma interpretativa e por triangulação.

A triangulação de dados, segundo Mathison (1988 apud Lobo da Costa,

2004: 129), é concebida como

uma estratégia que possibilita a comparação entre diferentes caminhos – métodos de coleta de dados (triangulação de metodologias), dados (triangulação de dados), teorias (triangulação de teorias) ou pesquisadores (triangulação de pesquisadores) – com o objetivo de identificar e analisar incoerências, contradições ou pontos comuns, alcançando uma visão mais ampla do objeto de estudo. Dessa forma, ela tanto permite evidenciar incoerências, contradições e pontos fracos de informações obtidas, quanto dar solidez às informações confirmadas. Como afirma Mathison: “Utilizamos não somente resultados convergentes, mas também resultados inconsistentes e contraditórios em nossos esforços para compreender o fenômeno social”. Para essa autora, o valor da triangulação não está em ser uma solução tecnológica para uma coleção de dados e problemas de análises, e sim, em ser uma técnica que proporciona mais e melhores evidências com as quais os pesquisadores podem construir proposições significativas sobre o mundo social.

Em nosso estudo, triangulamos as informações coletadas.

Quanto ao processo de categorização, segundo Fiorentini e Lorenzato

(2007), são três os tipos possíveis de categorização de dados, sendo que o

31

primeiro é relativo ao estabelecimento a priori das categorias, ou seja, o

pesquisador as estabelece a partir do referencial teórico; o segundo tipo se

refere às categorias que emergem do contexto de pesquisa, isto é, são

detectadas após a coleta de dados; e o terceiro tipo é o misto, as categorias

são obtidas no “confronto entre o que diz a literatura e o que se encontra nos

registros de campo” (Fiorentini E Lorenzato, 2007: 135).

Para a análise dos dados nesta pesquisa, não foram estabelecidas a

priori categorias de análise, consideramos as reflexões emergentes das

discussões ao longo dos encontros de formação, dos registros escritos pelos

sujeitos sobre os itens e de suas produções sobre ensino de equações e

sistemas de equações feitas a partir das análises dos itens do Saresp. Dessa

forma, entendemos que a categorização dos dados pode ser considerada no

terceiro tipo, na acepção de Fiorentini e Lorenzato (2007).

2.2 SUJEITOS DE PESQUISA

Para traçar o perfil dos sujeitos da pesquisa foi analisado o questionário

que está na íntegra no Apêndice A, o qual teve por objetivo levantar as

características individuais do grupo.

O Módulo de Álgebra foi oferecido a 22 professores da rede pública de

ensino do Estado de São Paulo, sendo que nossos sujeitos de pesquisa são 16

professores de Matemática que participaram de todos os encontros do módulo

de formação, dos quais 6 são homens e 10 são mulheres, todos residentes na

Zona Norte da cidade de São Paulo, com licenciatura plena em Matemática,

sendo uma professora em universidade pública e os demais em universidades

particulares. Um professor, antes da licenciatura, fez a graduação em

Engenharia. Quanto ao tempo de exercício na docência, temos 2 professores

até um ano, 6 professores de 5 a 10 anos, 6 professores de 11 a 20 anos e 2

professores com mais de 20 anos. Deste grupo, 4 fizeram curso de

Especialização e, quanto ao nível de ensino em que trabalha, 6 professores

trabalham somente com o Ensino Fundamental, um professor somente com

Ensino Médio e 9 professores com Ensino Fundamental e Médio.

32

O quadro abaixo apresenta um resumo do perfil dos professores.

Quadro 1: Tabulação do questionário para caracterização dos sujeitos

Questionário

Formação acadêmica Situação Profissional atual

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Sexo

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nsin

o

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ual le

cio

na

AP F Sim particular 1 Não menos de 1 ano

menos de 1 ano

EF e Médio

CG F Sim particular 30 Não 31 8 EF e Médio

CL F Sim particular 22 Sim 15 11 EF e Médio

DN M Sim particular 4 Não 5 menos de 1 ano EF

EL F Sim pública 15 Não 14 9 EF e Médio

FB F Sim particular 1 Não menos de 1 ano

menos de 1 ano

EF

FT F Sim particular 32 Não 28 11 EF e Médio

HQ M Sim particular 18 Sim 18 5 EF

MA M Sim particular 33 Sim 14 1 EM

MS M Sim particular 8 Não 7 4 EF e Médio

MC F Sim particular 4 Não 6 1 EF e Médio

PL M Sim particular 10 Não 8 7 EF

RM M Sim particular 4 Não 6 2 EF

SR F Sim particular 21 Sim 6 2 EM

SU F Sim particular 26 Não 19 16 EF

TN F Sim particular 14 Não 17 14 EF e Médio

Fonte: Acervo próprio

Uma das questões do questionário relacionava-se ao aprendizado de

Álgebra. Dez professores afirmaram que seu aprendizado em Álgebra foi

regular quando estudantes da Educação Básica e nove professores afirmaram

que seu aprendizado em Álgebra foi regular na graduação. Todos os

professores deste grupo relataram que, quando alunos, não vivenciaram aulas

de Álgebra com recursos didáticos diferenciados. Nove dos professores do

grupo afirmaram não ter dificuldades para ensinar Álgebra.

Outra questão referia-se às principais dificuldades dos alunos durante o

processo de aprendizagem de Álgebra. As respostas se referiram a dúvidas

33

para entender o significado das letras e de seu uso, dúvida na resolução de

equações, além de distinção entre letras e números na mesma equação (Ver

quadro no Apêndice F).

Em relação à pergunta do questionário sobre quais os procedimentos

adotados pelos professores para melhorar o rendimento escolar dos alunos em

Matemática, obtivemos respostas bem variadas, dentre elas:

I. questões do cotidiano;

II. exercícios exemplares;

III. diversificar exercícios e História da Matemática;

IV. recuperação contínua.

Para responder à questão sobre o que os professores priorizam quando

corrigem uma avaliação, houve a predominância de respostas indicativas de

que eles privilegiam o raciocínio lógico e o desenvolvimento da resolução dos

problemas propostos.

Quanto à questão sobre avaliação externa, doze professores afirmaram

que preparam os alunos para participarem do Saresp e Prova Brasil.

Perguntamos, no questionário, se são discutidas nas Reuniões

Pedagógicas os resultados das avaliações externas. Cinco professores

disseram que não; e, entre os demais que afirmaram que sim,

dois apenas disseram “sim”;

três afirmaram que discutem as dificuldades e propostas para o

ano subsequente;

cinco afirmaram que os coordenadores pedagógicos expõem

índices da escola e mostram aos professores onde os alunos

apresentaram deficiência de aprendizagem e solicitam um

reforço, uma retomada do conteúdo ou os professores verificam

qual a forma mais apropriada para recuperação.

Questionamos se os professores discutem nas Reuniões Pedagógicas a

Matriz de Referência do Saresp, sendo que onze professores afirmaram que

não.

A última questão investigou a opinião dos professores sobre os

conteúdos que os alunos teriam facilidade e aqueles em que teriam dificuldade

nas avaliações externas. As respostas foram muito diversificadas. Quanto às

facilidades, foram mencionadas geometria plana (7 respostas), cálculos

34

numéricos (3 respostas), equações e funções (2 respostas), números e

operações (2 respostas). Quanto às dificuldades, a resposta mais frequente foi

álgebra (5 respostas), seguida por frações (3 respostas), leitura e interpretação,

geometria plana, probabilidade, trigonometria e análise combinatória, todas

essas últimas com 2 respostas. (A íntegra das respostas está no quadro do

Apêndice G).

Pela análise do questionário de levantamento de perfil, percebemos que,

embora diversos dos professores tenham afirmado não sentir dificuldades no

ensino de álgebra, a resposta mais frequente quanto à dificuldade dos alunos

nas avaliações externas foi justamente em questões de álgebra.

35

CAPÍTULO 3

3 FUNDAMENTAÇÃO

Neste capítulo, é apresentada a fundamentação teórica que embasa

esta pesquisa, a qual foi dividida em três partes: Formação Continuada e os

Processos Reflexivos, Ensino de Álgebra na Educação Básica e Avaliação no

Campo Educacional.

3.1 FORMAÇÃO CONTINUADA E OS PROCESSOS REFLEXIVOS

Como um professor consegue ensinar algo que não aprendeu? Como o

professor aprende a aprender? E como, aprendendo, aprende a ensinar? Essa

não é só uma de nossas inquietações. Já nos anos de 1980, Shulman (1986)

se deparava com estes questionamentos:

Como o professor se prepara para ensinar algo que nunca aprendeu? Como que a aprendizagem para o ensino deve ocorrer?...Como o professor toma um texto e transforma o seu entendimento sobre ele, em uma instrução que os alunos possam compreender?(tradução livre)

Shulman (1986) constatou, na década de 1980, que as pesquisas

desenvolvidas na área da formação docente versavam predominantemente

sobre a prática docente, estudavam o ato de ensinar ou, então, como os alunos

aprendiam e não havia pesquisa sobre o conhecimento do professor. Foi

observado, também, por sua equipe que, nas provas para admissão de

professores, em currículos de cursos de formação de professores e outros

documentos, não havia ênfase no conhecimento do professor. Shulman

percebeu que não havia pesquisas que apontassem como o professor

transforma o que aprendeu nas séries iniciais ou na graduação em algo que dê

condições para que outros aprendam ou como o professor ensina algo que não

aprendeu? Com essa preocupação, o autor desenvolve uma pesquisa sobre o

conhecimento do professor, pois, para ensinar, deveria saber o conteúdo a

ensinar e chama esse elo esquecido entre o saber e o saber ensinar de

paradigma perdido.

36

Esse estudo levou Shulman a desenvolver, em 1987, a teoria knowledge

base ou base de conhecimentos, que um professor deverá articular para

promover o ensino, ou seja, quais conhecimentos e como são utilizados para

propiciar a aprendizagem do aluno. Este autor divide em categorias esses

conhecimentos que compõem os saberes docentes:

conhecimento do conteúdo específico a ser ensinado;

conhecimento pedagógico geral;

conhecimento do currículo a ser trabalhado;

conhecimento pedagógico do conteúdo disciplinar;

conhecimento dos alunos e de suas características cognitivas;

conhecimento dos contextos educacionais;

conhecimento dos fins, propósitos e valores educacionais.

Essas categorias foram agrupadas por Shulman em:

conhecimento do conteúdo específico;

conhecimento pedagógico do conteúdo;

conhecimento curricular.

O Conhecimento do conteúdo específico requer não apenas o

conhecimento do conteúdo; mas, além disso, uma compreensão das estruturas

da disciplina que devem lecionar. Segundo Shulman (1986),

...os professores devem não apenas ser capazes de definir para os estudantes as verdades aceitas em um domínio. Eles devem também ser capazes de explicar por que uma proposição particular é considerada justificada, porque vale à pena conhecer, e como se relaciona com outras proposições, tanto no âmbito da disciplina ou fora dela, tanto na teoria quanto na prática.

5 (tradução livre)

A partir dos dizeres do autor, fica evidente que, por exemplo, no caso de

ensino de álgebra, as estruturas devem ser conhecidas pelo professor para que

ele consiga articular seu conhecimento e desenvolver a aprendizagem do aluno

de formas variadas.

5 …Teachers must not only be capable of defining for students the accepted truths in a domain.

They must also be able to explain why a particular proposition is deemed warranted, why it is worth knowing, and how it relates to other propositions, both within the discipline and without, both in theory and in practice.(p.9)

37

Conhecimento Pedagógico do conteúdo engloba não apenas o

conhecimento do objeto, mas estabelecer uma maneira de compreensão para

os outros, utilizando-se de diversas formas para representar aquele conceito

que se quer ensinar, seja um esquema, exemplos, ilustrações, demonstrações

e decidir qual deles utilizar e o momento certo de fazê-lo. Essas decisões vêm

de um processo contínuo de investigação, e outras se originam no aprendizado

com a prática docente. Os alunos, por diversas vezes, apresentam distorções

na aprendizagem de conteúdos e, por meio desse conhecimento pedagógico

do conteúdo, o professor, utilizando estratégias, poderá propiciar uma

reorganização dessas ideias e oferecerá condições para reverter tal situação.

Conhecimento curricular. Além do conhecimento do currículo da

disciplina, o que o aluno aprendeu antes e o que deverá aprender depois

(conhecimento vertical do currículo), o professor deveria conhecer o que seu

aluno está aprendendo em outras disciplinas (conhecimento lateral do

currículo). Isso, provavelmente, os professores não aprendem em sua

formação inicial. Esse conhecimento curricular pode ser dividido em dois

momentos: o conhecimento curricular lateral trata de relacionar o conteúdo

ensinado com os conteúdos que estão sendo abordados simultaneamente em

outras disciplinas e o conhecimento curricular vertical, em que relaciona o

conteúdo com o que o aluno aprendeu em séries anteriores e o que aprenderá

em séries posteriores.

Shulmam (1986) classifica, ainda, as formas para representar esse

conhecimento do professor em três categorias: o conhecimento proposicional,

o conhecimento de caso e o conhecimento estratégico.

O conhecimento proposicional ou proposições são as fontes de

conhecimento sobre o ensino, relaciona-se com a pesquisa empírica ou

filosófica, experiência na prática, com a moral ou ética. Esse conhecimento

proposicional pode ser dividido em três tipos, que são princípios (pesquisa

empírica), máximas (sabedoria acumulada na prática, são difíceis de

demonstrar) e normas (moral, éticas, compromissos ideológicos).

Para complementar esses conhecimentos, necessita-se do

conhecimento de caso, que é o conhecimento de eventos específicos. Para

tanto, deverá ser bem documentado e minuciosamente descrito. Este se divide

em três tipos: protótipos (visando a exemplificar princípios), teóricos (visando a

38

exemplificar boas práticas ou máximas) e parábolas (transmitir normas ou

valores).

O conhecimento estratégico entra em jogo quando o professor precisa

enfrentar situações em que conflitam os princípios teórico, prático e moral; e

nenhuma solução simples é possível, quando há contradições ou quando

conhecimento de casos não se aplica. Decisões são necessárias, aplicando

todo o conhecimento adquirido, transformando-o em uma forma a modificar tal

situação de forma favorável ao ensino.

Ball et al (2008), apoiados na teoria de Shulman (1986), desenvolveram

pesquisa enfocando o trabalho de ensinar, ou seja, iniciam a pesquisa

preocupados com as tarefas envolvidas em ensinar e as necessidades

matemáticas disponibilizadas para permitir que essas tarefas sejam condutoras

na construção do conhecimento dos estudantes. Nesse estudo, Ball et al

perceberam que pouco se sabia sobre o conhecimento do conteúdo

matemático do professor, se esse era suficiente para o ensino e como torná-lo

útil na prática da docência.

Com o objetivo de analisar o conhecimento do campo específico do

professor de Matemática, Ball et al (2008) apresentam a Teoria do

Conhecimento para o Ensino de Matemática. Nesse estudo, a autora apresenta

os domínios necessários para o ensino de Matemática. Separa inicialmente em

dois domínios: o conhecimento do conteúdo da disciplina (conhecimento

matemático) e o conhecimento pedagógico do conteúdo matemático.

O conhecimento do conteúdo da disciplina (conhecimento matemático

do professor) é o conhecimento que vai muito além de aplicar definições e

procedimentos matemáticos acabados, rígidos na sua forma, mas propicia ao

aluno a descoberta e construção do seu próprio conhecimento.

A autora subdivide esse conhecimento do conteúdo da disciplina em três

vertentes (Figura 1):

Conhecimento do Conteúdo Comum (Common Content Knowledge –

CCK) refere-se ao conhecimento do conteúdo matemático do Ensino

Básico – a Matemática Escolar, ou seja, o conhecimento que todos

deveriam ter da Matemática, independente de ser professor ou não.

Um exemplo desse conhecimento seria a compra em uma loja de

determinada mercadoria com um desconto de 10%.

39

Conhecimento Especializado do Conteúdo (Specialized Content

Knowledge – SCK) refere-se ao conhecimento matemático para quem

ensina, por exemplo, identificar por que um aluno, ao calcular 23,

responde 6 e não 8, verificar que, para ensinar potenciação, 22 não é

um bom exemplo, pois induz ao erro mostrado anteriormente. Em

suma, é um conhecimento matemático que só se refere a quem ensina.

Conhecimento do Horizonte do Conteúdo (Horizon Content Knowledge

– HCK) refere-se ao conhecimento matemático ordenado e saber que o

que é ensinado se conectará a outros conteúdos mais à frente.

No que se refere ao conhecimento pedagógico do conteúdo

(conhecimento didático), considera-se uma adaptação do Conhecimento

Matemático para o Ensino, em que o professor escolhe e prepara tarefas e

materiais mais adequados para o ensino de cada conteúdo, levando em

consideração o conhecimento que seus alunos têm e o conhecimento sobre as

formas com que seus alunos aprendem.

A autora subdivide esse conhecimento em três;

Conhecimento do Conteúdo e Estudantes (Knowledge of Contend and

Students – KCS) refere-se ao conhecimento do conteúdo no sentido de

auxiliar o aluno em suas dificuldades, saber apontar a dificuldade do

aluno e, assim, auxiliá-lo para que obtenha tal conhecimento.

Conhecimento do Conteúdo e Ensino (Knowledge of Content and

Teaching – KCT) refere-se ao conhecimento que torna mais fácil ou

mais difícil o ensino de determinado conteúdo, a tomada de decisão

para encontrar a forma como será desenvolvido um conteúdo.

Conhecimento do Conteúdo e Currículo (Knowledge of Content and

Curriculum – KCC) refere-se ao conhecimento do conteúdo e sua

distribuição ao longo do currículo escolar, inclui não somente o

conhecimento do conteúdo a ser desenvolvido naquela série ou ano;

mas, também, de situar em que momento aquele conteúdo está

relacionado com o currículo, seja na forma vertical ou horizontal e

também as formas pelas quais serão propostas atividades para que

esse conteúdo seja aprendido.

40

Figura 1 – Domínios necessários para o ensino de Matemática. Fonte: acervo próprio, adaptado de Ball et al (2008).

Nossa pesquisa, ao analisar as reflexões dos professores a partir da

análise de itens, colocará em jogo esses conhecimentos.

Quanto à formação continuada de professores de Matemática, Serrazina

(2010) afirma que o processo formativo deve ser apoiado em alguns princípios

tais como:

valorizar o desenvolvimento profissional do professor, pois este possui

um conhecimento profissional específico, único, incorporado ao longo do tempo

que leciona, acumulando experiências a cada turma de alunos e atualizações e

aprofundamento à medida que encontra novas situações;

valorizar a formação matemática de qualidade para o professor, para

que este possa adquirir um conhecimento matemático de qualidade para

subsidiar seu trabalho de tal forma que consiga articular esse conhecimento a

favor de um ensino de qualidade, para que seja capaz de reconhecer onde e

em que momento os alunos apresentam dificuldades durante o processo de

ensino e possa auxiliá-lo na construção do conhecimento;

valorizar o desenvolvimento curricular em Matemática, uma vez que,

para o ensino de Matemática, o professor deve articular sua capacidade de

analisar e interpretar o currículo, propiciando a construção de estratégias a fim

de aplicá-las para proporcionar aos alunos experiências que sejam

significativas para que promovam a aprendizagem.

41

Daí ser essencial o investimento intencional numa preparação/planificação e leccionação cuidadas, orientada por uma visão integrada das várias componentes curriculares (objectivos, conteúdos, tarefas, métodos de trabalho e avaliação), que contemple a reflexão sobre as implicações nas aprendizagens — ou seja, uma prática continuada de desenvolvimento curricular. (Serrazina, 2010: 6);

reconhecer as práticas de sala de aula dos professores como ponto de

partida da formação, visto que cada professor tem a sua experiência, que é

única, no que se refere a preparação, condução e avaliação de cada situação

de ensino e aprendizagem de conteúdos de Matemática. Deve-se levar em

consideração suas reflexões antes, durante e após cada ação, que auxiliem a

detectar os fatores de sucesso ou apontar os pontos em que os alunos

apresentam dificuldades para auxiliá-los nesses momentos.

considerar as necessidades concretas dos professores relativamente às

suas práticas curriculares em Matemática, pois, ao propor uma formação, é

fundamental contemplar as demandas dos professores. Para que isso ocorra, é

preciso o reconhecimento tanto de suas potencialidades quanto de suas

fragilidades, para que se possa, por meio do diálogo, chegar a um consenso

sobre o que é prioritário à formação.

No processo formativo que serve de cenário para esta pesquisa,

procuramos contemplar os princípios indicados por Serrazina, entendendo que,

a partir disso, podemos criar condições favoráveis para as reflexões sobre os

conteúdos matemáticos abordados.

Outra questão que salientamos quanto à formação continuada refere-se

à profissão docente. Entendemos, segundo Imbernón (2000: 26), que “o

conceito de profissão não é neutro, nem científico, mas é produto de um

determinado conteúdo ideológico e contextual; uma ideologia que influencia a

prática profissional”.

Segundo Imbernón (op. cit.: 15), é necessário que se redefina a

docência como profissão. Essa profissão precisa mudar a concepção de

enxergar o professor como mero transmissor do conhecimento acadêmico e,

mudando essa visão, entender o conhecimento como algo em construção,

passível de mudanças e que a educação tem um compromisso político no que

tange a valores éticos e morais. Quando se propõe a realizar uma formação,

deve-se ter como princípio que não se pode pensar apenas numa mera

42

atualização científica; mas, além disso, propiciar o desenvolvimento de

capacidades reflexivas em grupo, e abrir caminho para uma verdadeira

autonomia profissional compartilhada.

Para o autor, quanto à formação,

a aquisição de conhecimentos por parte do professor está muito ligada à prática profissional e condicionada pela organização da instituição educacional em que é exercida. Por isso é tão importante uma formação na instituição educativa, uma formação no interior da escola (op. cit.: 15).

Para tanto, um processo formativo deve proporcionar o desenvolvimento

de uma prática reflexiva competente. Além disso, uma formação permite que

cada membro do grupo seja responsável tanto por sua aprendizagem como

pela dos demais. (Imbernón, 2000: 61). Cada professor socializa seu

aprendizado, suas reflexões com todos do grupo. A formação deve favorecer

um momento para reflexão sobre o novo conhecimento e a prática pedagógica.

De acordo com Perrenoud (2002: 119) “uma concepção coerente da

formação de profissionais reflexivos não pode ignorar a análise de práticas

como modelo e possível contexto da reflexão profissional”. Para o autor, a

reflexão é intrínseca ao ser humano, mas não é a essa reflexão que ele se

refere. No caso, a prática reflexiva na profissão nem sempre ocorre de forma a

transformar a realidade ou os métodos de trabalho, ela precisa tornar-se um

hábito. Para tanto, uma possibilidade é a de o professor reunir-se com grupos

de análise para a discussão das práticas, porque, dessa maneira, ele pode

quebrar o isolacionismo. A reflexão sobre a própria prática, quando feita

apenas pelo professor, pode não levar a constatações relevantes para

impulsionar a prática.

Vale ressaltar que uma formação pode fornecer a possibilidade de

discussões no grupo, instigando as reflexões e lançando questões para que

cada componente possa relatar suas experiências práticas, compartilhando-as,

de modo que o grupo possa fornecer apoio, validando determinadas práticas e

refutando outras. As reflexões em grupo auxiliam a tarefa de refletir sobre a

própria prática.

43

3. 2 ENSINO DE ÁLGEBRA NA EDUCAÇÃO BÁSICA

Nesta seção, discutimos a presença da álgebra na Educação Básica,

com as diferentes concepções contempladas e, em particular, a álgebra no

Currículo Oficial do Estado de São Paulo.

A Educação Básica no Brasil, segundo a Lei de Diretrizes e Bases da

Educação Nacional, LDB – Lei 9394 (Brasil, 1996), compreende a Educação

Infantil, o Ensino Fundamental e o Ensino Médio.

O artigo 22 da LDB explicita a finalidade da Educação Básica que é

“desenvolver o educando, assegurar-lhe a formação comum indispensável para

o exercício da cidadania e fornecer-lhe meios para progredir no trabalho e

estudos posteriores”.

O Ensino Fundamental tem por objetivo a formação básica do cidadão, e

o Plano Nacional de Educação (PNE – Lei 10.172/2001) determina o ensino

obrigatório a todas as crianças de 7 a 14 anos. O artigo 32 da LDB, alterado

pela Lei 11.274 (Brasil, 2006), estabelece a duração mínima de nove anos,

obrigatória e gratuita na escola pública. O PNE indica, também, a ampliação da

obrigatoriedade para crianças de seis anos na Educação Infantil ou no Ensino

Fundamental e a progressiva extensão do acesso ao Ensino Médio a todos os

jovens que completarem o Ensino Fundamental.

O Ensino Médio, que é etapa final da Educação Básica pelo artigo 35 da

LDB, deve ter a duração mínima de três anos e tem, entre outros, o objetivo de

consolidar e aprofundar os conhecimentos construídos no Ensino Fundamental.

3.2.1 A Álgebra no Currículo

Para situar como o ensino de Álgebra apresenta-se atualmente no

currículo, recorremos ao estudo de Araujo (2004) que conta o caminho que o

ensino de álgebra percorreu desde sua inserção no currículo no Brasil até os

dias atuais.

De acordo com Miguel, Fiorentini e Miorim (1992), desde 1799, momento em que a álgebra passa a fazer parte do currículo no Brasil, até início da década de 1960, prevaleceu um ensino de caráter reprodutivo, sem clareza, em que tudo era essencial. A matemática escolar apresentava-se dividida em compartimentos estanques. Primeiro estudava-se a aritmética, depois a álgebra e, em seguida, a geometria. Neste período, segundo esses autores, a álgebra

44

apresentava um caráter mais instrumental, útil para resolver equações e problemas. (p. 1)

A autora aponta a importância dada a esse conteúdo no currículo de

Matemática e como a álgebra foi tratada de instrumental, útil para resolução de

problemas, passando ao rigor a partir do Movimento da Matemática Moderna

(MMM), que valorizou o formalismo; e, muitas vezes, as estruturas rígidas

tornavam-se sem significado para o aluno, perdendo o seu valor para a

resolução de problemas.

O ensino da álgebra recebeu um maior rigor e assumiu uma acentuada preocupação com os aspectos lógico-estruturais dos conteúdos e a precisão da linguagem. Em consequência, a álgebra perdeu o seu caráter pragmático, útil para resolver problemas. O programa de álgebra, então, começava pelo estudo da teoria de conjuntos e a ênfase era colocada nas operações e nas suas propriedades. (p.3)

A álgebra passou na época a ocupar um lugar de destaque tendo uma

preocupação exacerbada com a precisão da linguagem. Esse exagero de

linguagem dominou o ensino de Matemática em período no qual a geometria foi

deixada de lado.

A partir da segunda metade da década de 1970, com o declínio do

MMM, procurou-se retomar um ensino de álgebra mais centrado em sua

finalidade de resolução de problemas, com uma conotação de desenvolver nos

alunos a percepção do potencial da álgebra como ferramenta para o

enfrentamento de situações problemas. Contudo, quinze anos depois, no início

da década de 1990, embora os conteúdos algébricos ocupassem muito espaço

nos materiais didáticos para a Educação Básica, pesquisadores, tais como

Miguel, Fiorentini e Miorim (1992 apud Araujo, 2004) alertaram que o ensino de

álgebra ainda se concentrava no desenvolvimento de procedimentos e em

promover o aprendizado e a memorização de regras de manipulação de

expressões.

Ressaltamos, aqui, esse contexto para tentar justificar, mas sem tornar

uma teoria, que os professores que ensinam Matemática, hoje, tiveram sua

formação, seja no nível básico ou na graduação, a partir da década de 60 e

aprenderam álgebra com esse rigor, uns mais outros menos, mas sempre de

forma técnica, sem significado.

45

Atualmente, continua-se a tentar recuperar o potencial instrumental da

álgebra para a resolução de problemas, com a preocupação de levar o aluno a

dar significado a seu ensino. Como alerta Araújo (2004: 8),

o que ocorre em grande escala no ambiente escolar é encontrar alunos que se frustram e não conseguem ter um desempenho satisfatório nas aulas de Matemática, pois muitas vezes não veem sentido na sua aprendizagem. Como cita Orton (1990, p.12), "é possível que não entendendo a matemática, os alunos se sintam frustrados, experimentem ansiedade e cheguem a rechaçar a matemática como atividade significativa e valiosa".

A álgebra tem diversas concepções, incluindo a arte de manipular letras

usando regras, passando pela generalização de uma propriedade, uso de uma

fórmula, uma equação, até a ideia de variável.

Sobre as concepções de álgebra na Educação Básica, Usiskin (1995)

propõe uma categorização a partir dos diferentes usos das variáveis algébricas.

A primeira concepção nessa categorização diz respeito a entender

álgebra como generalização da aritmética e nela considerar as variáveis como

generalizadoras de modelos. As variáveis desempenham papel fundamental ao

generalizar modelos, o que é especialmente útil na modelagem matemática e

em níveis mais avançados de ensino. O autor enfatiza que, nessa concepção,

as instruções-chave dadas ao aluno são “traduzir” e “generalizar”, isto é, passar

da linguagem natural (língua materna) para a algébrica e descrever as relações

de modo que elas não dependam de valores particulares.

A segunda concepção é de álgebra como o estudo de procedimentos

para resolver problemas. A diferença principal entre essa concepção e a

anterior é que, na concepção de álgebra como generalizadora de modelos, não

existem incógnitas, são generalizadas as relações entre números etc. enquanto

que, na concepção de álgebra como estudo de procedimentos, o conceito de

incógnita é fundamental. As variáveis são incógnitas ou constantes nessa

concepção, e as instruções-chaves são “simplificar” e “resolver”. No caso, há

semelhança entre essas duas instruções-chave, uma vez que o processo de

simplificação leva, por vezes, à resolução.

A terceira concepção é a álgebra como estudo de relações entre as

grandezas. Nessa concepção, a variável é um argumento ou um parâmetro. O

autor ressalta que só nessa concepção surge a noção de variável

46

independente e variável dependente. Nessa concepção, as instruções-chave

são “relacionar” e “fazer gráficos”.

A quarta e última concepção, segundo Usiskin, é a de álgebra como

estudo das estruturas. Nela, a variável é vista como um objeto arbitrário de

uma estrutura estabelecida por certas propriedades. A álgebra é vista como o

estudo das estruturas como grupos, anéis, domínios de integridade, corpos e

espaços vetoriais. Nessa concepção, as instruções-chave são as de “teorizar” e

“manipular”.

O quadro abaixo resume as concepções e as instruções-chave de cada

uma delas.

Quadro 2: As Concepções de Álgebra e o uso das variáveis

Concepção Instruções-chave

1 Álgebra como aritmética generalizada Traduzir e generalizar

2 Álgebra como estudo de procedimentos para resolver problemas

Simplificar e resolver

3 Álgebra como estudo de relações entre grandezas

Relacionar e fazer gráficos

4 Álgebra como estudo das estruturas Teorizar e manipular

Fonte: Acervo próprio, adaptado de Usiskin (1995) p. 9-22.

3.2.2 O que é ensinado na Educação Básica

As orientações para a composição do currículo na Educação Básica nas

escolas brasileiras vêm de documentos tais como os Parâmetros Curriculares

Nacionais, PCN (Brasil, 1998), os PCN do Ensino Médio, PCNEM (Brasil, 1999)

e os PCN + Ensino Médio (Brasil, 2002).

Os PCN (Brasil, 1998) de Matemática do Ensino Fundamental enfatizam

que o ensino de álgebra, nessa fase, deve proporcionar ao aluno o

desenvolvimento da capacidade de abstração e generalização bem como

propiciar a obtenção de uma ferramenta para auxiliá-lo a resolver problemas.

Destaca-se que, em relação à aprendizagem da álgebra, é indispensável que o

aluno esteja envolvido em atividades que inter-relacionem as diferentes

concepções da álgebra.

Com relação às concepções da álgebra no Ensino Fundamental, os PCN

destacam as seguintes dimensões da álgebra escolar quanto ao uso das letras:

47

como Aritmética Generalizada, Funcional, Equações e Estrutural, descritas de

forma simplificada a seguir:

(1) A Álgebra como Aritmética Generalizada utiliza letras como

generalizações do modelo aritmético como, por exemplo, nas propriedades das

operações e generalizações de padrões aritméticos.

(2) A Álgebra Funcional utiliza letras como variáveis para expressar

relações e funções, variação de grandezas.

(3) A Álgebra das Equações usa letras como incógnitas para resolver

equações.

(4) A Álgebra Estrutural usa letras como símbolo abstrato em cálculo

algébrico e obtenção de expressões algébricas equivalentes.

Notamos que, quanto ao Ensino da álgebra escolar, os PCN estão em

consonância com as ideias de Usiskin, apontando as concepções de álgebra

como aritmética generalizada, álgebra como estudo de procedimentos para

resolver problemas, álgebra como estudo de relações entre grandezas e

álgebra como estudo das estruturas.

Os PCN de Matemática do Ensino Fundamental destacam que

os adolescentes desenvolvem de forma bastante significativa a habilidade de pensar “abstratamente”, se lhes forem proporcionadas experiências variadas envolvendo noções algébricas, a partir dos ciclos iniciais, de modo informal, em um trabalho articulado com a Aritmética. Assim, os alunos adquirem base para uma aprendizagem de Álgebra mais sólida e rica em significados. (Brasil, 1998, p.117)

O documento menciona que a escola, além dos domínios de conceitos,

deve promover o desenvolvimento de atitudes e valores por meio de atividades

que envolvam os alunos. Para tanto, é preciso que se instale uma nova postura

metodológica. Enfatiza-se que, embora seja difícil essa mudança ocorrer, pois

hábitos enraizados precisam ser modificados, é necessário que ela ocorra.

Para tanto, indicam que a escola receba apoio científico e educacional das

universidades nesse processo.

Quanto ao Ensino Médio, os PCNEM (Brasil, 2000) destacam que os

alunos, nessa fase escolar, devem aprofundar seus conhecimentos de álgebra,

mas não de forma isolada e sim envolta na resolução de problemas e sempre

resgatando a importância desse ensino sobre a perspectiva sócio-histórica de

48

sua origem. Os conteúdos de álgebra e de números “estão diretamente

relacionados ao desenvolvimento de habilidades que dizem respeito à

resolução de problemas, à apropriação da linguagem simbólica, à validação de

argumentos, à descrição de modelos e à capacidade de utilizar a Matemática

na interpretação e intervenção no real.” (p.44)

3.2.2.1 A Álgebra no Currículo do Estado de São Paulo

Nas escolas públicas do Estado de São Paulo, a partir de 2008, foi

implantado um novo Currículo, o qual procura mudar a abordagem dada à

álgebra, interligando-a com os demais conteúdos de Matemática.

De acordo com o proposto pelos PCN, os conteúdos são divididos em

três áreas: Linguagens e Códigos, Ciências Humanas, Ciências da Natureza e

Matemática; e neles justifica-se a inclusão da Matemática nessa última da

seguinte forma:

A presença da Matemática nessa área se justifica pelo que de ciência tem a Matemática, por finalidade com as Ciências da Natureza, na medida em que é um dos principais recursos de constituição e expressão dos conhecimentos destas últimas, e finalmente pela importância de integrar a Matemática com os conhecimentos que lhe são mais afins. Esta última justificativa é, sem dúvida, mais pedagógica do que epistemológica, e pretende retirar a Matemática do isolamento didático em que tradicionalmente se confina no contexto escolar (PCNEM, Parte I, Bases Legais, 2000: 93).

No entanto, no Currículo Oficial do Estado de São Paulo (SEESP, 2010),

consta que, após estudos e discussões sobre em qual área a Matemática

deveria incluir-se, tanto em Linguagens e Códigos, por compor com esta “o par

de sistemas fundamentais para a representação da realidade, para a

expressão de si e compreensão do outro, para a leitura em sentido amplo”

(p.25) como em Ciências da Natureza, por exemplo, pela ligação com a Física,

decidiu-se então pela constituição de uma área própria para a Matemática e

justifica-se com três razões principais:

1ª) a incorporação da Matemática tanto pela área de Ciências da Natureza quanto pela área de Linguagens e códigos pode elidir o fato de que, mesmo tendo as características de uma linguagem e sendo especialmente importante e adequada para a expressão científica, a matemática apresenta um universo próprio muito rico de ideias e objetos específicos, como os números e as operações, as formas

49

geométricas, as relações entre tais temas, sobretudo as métricas. Tais ideias e objetos são fundamentais para a compreensão de fenômenos, a construção de representações significativas e argumentações consistentes nos mais variados contextos, incluindo-se as chamadas Ciências Humanas....(p.26) 2ª) é o fato de que uma parte importante da especificidade da Matemática resulta esmaecida quando ela se agrega tanto às Linguagens em sentido amplo quanto à Ciências da Natureza. a Matemática compõe com a língua materna um par fundamental, mas complementar: é possível reduzir um dos sistemas simbólicos ao outro.(p.27) 3ª) é a possibilidade de tal opção facilitar a incorporação crítica dos inúmeros recursos tecnológicos atualmente existentes para a representação de dados e o tratamento das informações possíveis, na busca da transformação de informação em conhecimento.(p.27)

Os conteúdos de Matemática, no Ensino Fundamental e também no

Ensino Médio foram organizados em três grandes blocos temáticos: Números,

Geometria e Relações, sendo que todos esses blocos se interceptam.

As equações e sistemas de equações, foco de nosso estudo, são

conteúdos do bloco de Relações e como há uma inter-relação entre os outros

blocos, quando da resolução de problemas, estes permeiam os de Geometria e

de Números. A figura 2 é uma representação deste fato.

Figura 2: Interligação entre os blocos temáticos Fonte: SEESP, Currículo Oficial de SP 2010: p.39

Os conteúdos de Matemática e de outras disciplinas são apresentados em

materiais de apoio, chamados de Caderno do Aluno (CA). Esses CA estão disponíveis

em quatro volumes por série/ano, um para cada bimestre, contendo os de Matemática,

em média, 56 páginas e quatro Situações de Aprendizagem (SA) cada um.

O conteúdo de álgebra está distribuído no Ensino Fundamental conforme

quadro a seguir:

50

Quadro 3: Conteúdo de Álgebra do Ensino Fundamental

Conteúdo de Álgebra do Ensino Fundamental

Conteúdos Habilidades

6ª.

rie/7

º. a

no

Números Álgebra Uso de letras para representar um valor desconhecido Conceito de equação Resolução de equações Equações e problemas

Compreender o uso de letras para representar valores desconhecidos, em particular, no uso de fórmulas.

Saber fazer a transposição entre a linguagem corrente e a linguagem algébrica

Compreender o conceito de equação a partir da ideia de equivalência, sabendo caracterizar cada equação como uma pergunta

Saber traduzir problemas expressos na linguagem corrente em equações

Conhecer alguns procedimentos para a resolução de uma equação: equivalência e operação inversa

7ª.

rie/8

º. a

no

Números/Relações Expressões algébricas Equivalências e transformações Produtos Notáveis Fatoração algébrica

Realizar operações simples com monômios

Relacionar as linguagens algébrica e geométrica, sabendo traduzir uma delas na outra, particularmente no caso dos produtos notáveis

Saber atribuir significado à fatoração algébrica e como utilizá-la na resolução de equações e em outros contextos

Compreender o significado de expressões envolvendo números naturais por meio de sua representação simbólica e de seu significado geométrico (2n é um número par, 2n + 1 é um número ímpar, a soma dos n primeiros números

naturais é

, etc)

Equações

Resolução de equações do 1º. grau

Sistemas de equações e resolução de problemas

Inequações do 1º. grau

Gráficos

Coordenadas: localização de pontos no plano cartesiano

Compreender situações problema que envolvem proporcionalidade, sabendo representá-las por meio de equações e inequações

Saber expressar de modo significativo a solução de equações e inequações de 1º. grau

Saber explorar problemas simples de matemática discreta, buscando soluções inteiras de equações lineares com duas incógnitas

Saber resolver sistemas lineares de duas equações e duas incógnitas pelos métodos da adição e da substituição, sabendo escolher de forma criteriosa o caminho mais adequado para cada situação.

Compreender e usar o plano cartesiano para a representação dos pares ordenados, bem como para a representação das soluções de um sistema de equações lineares

8ª.

séri

e/9

º.an

o

Números/Relações Álgebra Equações de 2º. grau: resolução e problemas Funções Noções básicas sobre função A ideia de variação Construção de tabelas e gráficos para representar funções do 1º. e do 2º. graus

Compreender a resolução de equações do 2º. grau e saber utilizá-las em contextos práticos

Compreender a noção de função como relação de interdependência entre grandezas

Saber expressar e utilizar em contextos práticos as relações de proporcionalidade direta entre duas grandezas por meio de funções do 1º. grau

Saber expressar e utilizar em contextos práticos as relações de proporcionalidade direta entre uma grandeza e o quadrado de outra por meio de uma função do 2º. grau

Saber construir gráficos de funções do 1º. e do 2º. graus por meio de tabelas e comparação de gráficos das funções y = x e y = x

2

Fonte: Currículo do Estado de São Paulo, 2010, p.59-64

51

Identificamos em negrito, no quadro anterior, os conteúdos de álgebra

(equações e sistemas de equações) que são o foco de nosso estudo. Observa-

se que tais conteúdos perpassam o sexto, sétimo e nono ano do EF.

Quadro 4: Conteúdo de Álgebra do Ensino Médio

Conteúdo de Álgebra no Ensino Médio

Conteúdos Habilidades

1ª.

rie

Relações Funções

Relação entre duas grandezas

Proporcionalidades: direta, inversa, direta com o quadrado

Função de 1º. grau

Função de 2º. grau

Saber reconhecer relações de proporcionalidade direta, inversa, direta com o quadrado, entre outras, representando-as por meio de funções.

Compreender a construção do gráfico de funções de 1º. grau, sabendo caracterizar o crescimento, o decrescimento e a taxa de variação.

Compreender a construção do gráfico de funções de 2º. grau como expressões de proporcionalidade entre uma grandeza e o quadrado de outra, sabendo caracterizar intervalos de crescimento e decrescimento, os sinais da função e os valores extremos (pontos de máximo ou de mínimo).

Saber utilizar em diferentes contextos as funções de 1º. e de 2º. graus, explorando especialmente problemas de máximos e mínimos.

Funções exponencial e logarítmica

Crescimento exponencial

Função exponencial: equações e inequações.

Logaritmos: definição e propriedades

Função logarítmica: equações e inequações.

Conhecer a função exponencial e suas propriedades relativas ao crescimento ou decrescimento

Compreender o significado dos logaritmos como expoentes convenientes para a representação de números muito grandes ou muito pequenos, em diferentes contextos.

Conhecer as principais propriedades dos logaritmos, bem como a representação da função logarítmica, como inversa da função exponencial.

Saber resolver equações e inequações simples usando propriedades de potências e logaritmos.

2ª.

rie

Relações Trigonometria

Fenômenos periódicos

Funções trigonométricas

Equações e inequações

Adição de arcos Números/Relações Matrizes, determinantes e sistemas lineares.

Matrizes: significado como tabelas,

Reconhecer a periodicidade presente em alguns fenômenos naturais, associando-a às funções trigonométricas básicas.

Conhecer as principais características das funções trigonométricas básicas (especialmente o seno, o cosseno e a tangente), sabendo construir seus gráficos e aplicá-las em diversos contextos.

Saber construir o gráfico de funções trigonométricas como f(x) = a.sen(bx) + c a partir do gráfico de y = senx, compreendendo o significado das transformações associadas aos coeficientes a, b e c.

Saber resolver equações e inequações trigonométricas simples, compreendendo o significado das soluções obtidas, em diferentes contextos.

Compreender o significado das matrizes e das operações entre elas na representação de tabelas e de transformações geométricas no

52

características e operações

A noção de determinante de uma matriz quadrada

Resolução e discussão de sistemas lineares: escalonamento

plano.

Saber expressar, por meio de matrizes, situações relativas a fenômenos físicos ou geométricos (imagens digitais, pixel, etc.)

Saber resolver e discutir sistemas de equações lineares pelo método de escalonamento de matrizes

Reconhecer situações problema que envolvam sistemas de equações lineares (até a 4ª. ordem), sabendo equacioná-los e resolvê-los.

3ª.

rie

Geometria/Relações Geometria analítica

Pontos: distância, ponto médio e alinhamento de três pontos

Reta: equação e estudo dos coeficientes; problemas lineares

Ponto e reta: distância

Circunferência: equação

Reta e circunferência: posições relativas

Cônicas: noções, equações, aplicações.

Saber usar de modo sistemático sistemas de coordenadas cartesianas para representar pontos, figuras, relações, equações.

Saber reconhecer à equação da reta, o significado de seus coeficientes, as condições que garantem o paralelismo e a perpendicularidade entre retas.

Compreender a representação de regiões do plano por meio de inequações lineares.

Saber resolver problemas práticos associados a equações e inequações lineares.

Saber identificar as equações da circunfer6encia e das cônicas na forma reduzida e conhecer as propriedades características das cônicas.

Números Equações algébricas e números complexos

Equações polinomiais

Números complexos: operações e representação geométrica

Teorema sobre as raízes de uma equação polinomial

Relações de Girard

Compreender a história das equações, com o deslocamento das atenções das fórmulas para as análises qualitativas.

Conhecer as relações entre os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica.

Saber reduzir a ordem de uma equação a partir do conhecimento de uma raiz.

Saber expressar o significado dos números complexos por meio do plano de Argand-Gauss.

Compreender o significado geométrico das operações com números complexos, associando-as a transformações no plano.

Relações Estudo das funções

Qualidades das funções

Gráficos: funções trigonométricas, exponencial, logarítmicas e polinomiais.

Gráficos: análise de sinal, crescimento e taxa de variação.

Composição: translações e reflexões

Inversão

Saber usar de modo sistemático as funções para caracterizar relações de interdependência, reconhecendo as funções de 1º. e 2º. graus, seno, cosseno, tangente, exponencial e logarítmica, com suas propriedades características.

Saber construir gráficos de funções mais simples (translações horizontais, verticais, simetrias, inversões)

Compreender o significado da taxa de variação unitária (variação de f(x) por unidade a mais de x), utilizando-a para caracterizar o crescimento, o decrescimento e a concavidade de gráficos.

Conhecer o significado, em diferentes contextos, do crescimento e do decrescimento exponencial, incluindo-se os que se

expressam por meio de funções de base .

Fonte: Currículo do Estado de São Paulo, 2010, p.65-70

53

Identificamos em negrito os conteúdos de álgebra que são o foco de

nosso estudo. Observa-se que tais conteúdos perpassam todas as três séries do EM.

O conteúdo de álgebra indicado para a Educação Básica no Currículo

Oficial do Estado de São Paulo contempla as diversas concepções de álgebra

apontadas por Usiskin e analisadas na seção 3.2.1, ou seja, discute-se, ao

longo do ensino, a álgebra como aritmética generalizada, como estudo de

procedimentos para resolver problemas e como estudo de relações entre

grandezas (funções). Entretanto, a dimensão da álgebra como estudo das

estruturas não está incluída no currículo da Educação Básica.

3.3 AVALIAÇÃO NO CAMPO EDUCACIONAL

Em termos de avaliação educacional, existem dois tipos básicos: a

avaliação interna – que é feita no âmbito da escola pelos docentes nas

diferentes disciplinas e a externa – que é voltada para avaliar os sistemas

educacionais.

Na avaliação escolar interna, os professores continuamente utilizam

instrumentos variados (observações, provas etc.) para avaliar o aprendizado de

seus alunos e, a partir daí, indicar ações e procedimentos necessários para

que esses tenham condições de prosseguir no sistema escolar.

Os objetivos da avaliação externa diferem da interna, visto que essa não

avalia individualmente o aluno e sim o sistema educacional, fornecendo

parâmetros para que se quantifique o desempenho alcançado por políticas

públicas, incluindo necessidade de recursos financeiros, pedagógicos e

humanos. Tais avaliações são elaboradas a partir do estabelecimento de uma

Matriz de Referência, a qual indica as competências e habilidades a serem

avaliadas, estabelecendo diversos níveis de dificuldade de acordo com cada

nível de escolaridade.

3.3.1 Avaliação Educacional Externa

A avaliação externa começou a ser implantada no Brasil há

aproximadamente 20 anos. Nesse período, os sistemas de avaliação

educacional ganharam uma abrangência em todos os níveis e modalidades de

ensino desde o Ensino Básico (como, por exemplo, o Sistema Nacional de

54

Avaliação da Educação Básica – Saeb) ao ensino Superior (como, por

exemplo, o Sistema Nacional de Avaliação do Ensino Superior – Sinaes). Os

resultados dessas avaliações servem de parâmetros para uma análise da

qualidade educacional no país. A implementação de políticas públicas na

educação baseia-se nesses resultados para incrementar recursos financeiros e

profissionais para uma melhoria na qualidade do ensino.

De acordo com Castro (2009: 7),

Se é verdade que o Brasil avançou na montagem e consolidação dos sistemas de avaliação, é também verdade que ainda não aprendemos a usar, de modo eficiente, os resultados das avaliações para melhorar a escola, a sala de aula, a formação de professores. Este, aliás, é um dos grandes desafios das políticas educacionais, sem o qual o objetivo principal da política de avaliação perde sentido para os principais protagonistas da educação: alunos e professores.

Concordamos com a autora quando afirma que “ainda não aprendemos

a usar, de modo eficiente, os resultados das avaliações para melhorar a escola,

a sala de aula, a formação de professores”, pois as ações propostas para

melhoria do ensino ainda são muito tímidas tanto nas escolas, para melhorar o

ensino, quanto na educação continuada para professores, visto que os

resultados do Saresp em Matemática são desfavoráveis, pois apontam que a

maioria dos alunos está nos níveis de proficiência6 abaixo do básico e básico.

Esse macrossistema de avaliação da qualidade da educação não é uma

característica apenas do Brasil, outros países utilizam-se desses processos

para avaliar seu sistema educacional. Uma dessas avaliações instituída pela

Organização para Cooperação e Desenvolvimento Econômicos (OCDE) é o

Programa Internacional de Avaliação de Estudantes (PISA)7.

Nesta pesquisa, nosso foco está na avaliação aplicada nas escolas

públicas estaduais do Estado de São Paulo pelo Sistema de Avaliação do

6 A proficiência é um escore atribuído ao aluno por meio da avaliação. O Saresp determina o grau

de competência por níveis de proficiência. São quatro os níveis: abaixo do básico, básico, adequado e avançado. 7 O PISA se iniciou na década de 90 quando a OCDE investiu na melhoria das medidas de

resultados de alunos de 15 anos, dos diversos países membros, organizando pesquisas internacionalmente comparáveis, enfocando especialmente medidas de habilidades e competências necessárias à vida moderna. O principal foco do PISA está na orientação das políticas públicas educacionais. Em relação à avaliação em matemática, o embasamento teórico do Pisa recorre ao conceito de letramento matemático. O letramento consiste no uso da linguagem para relacionar-se em qualquer atividade humana. Assim sendo, o letramento matemático refere-se ao uso dos conceitos matemáticos, dos procedimentos e das estratégias, deve propiciar ao cidadão que formamos a capacidade de interagir em situações diversas do seu cotidiano ou não, dominando e utilizando recursos matemáticos.

55

Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (Saresp). Assim sendo, na

próxima seção, detalhamos as características desse sistema de avaliação.

3.3.2 O Saresp

Avaliações externas específicas para o Estado de São Paulo foram

iniciadas com o Programa de Avaliação Educacional da Rede Estadual em

1992. Nesse ano, o processo envolveu as 8ªs séries de 306 escolas da rede,

que eram as denominadas escolas-padrão8, abrangendo as disciplinas de

Língua Portuguesa, Redação, Matemática, Ciências, História e Geografia. “Os

primeiros resultados foram interpretados psicopedagogicamente e

recomendações curriculares foram feitas e consolidadas em documentos

distribuídos às escolas.” (Gatti, 2009). Pretendia-se comparar, ao longo de

muitos anos, o desenvolvimento dos alunos; mas, na época, com a mudança

de governo, houve uma descontinuidade nesse projeto.

Em 1994, ocorreu mais um Programa de Avaliação Educacional da rede

estadual, que foi aplicado numa amostra de 818 escolas, avaliando 152.279

alunos das 4ª. e 8ª. séries. Os conteúdos referiam-se a Língua Portuguesa,

Redação, Matemática, Ciências, História e Geografia. Essa avaliação visava a

uma comparação entre escolas padrão e não padrão. (Gatti, 2009)

Em 1995, com o objetivo de se obter um instrumento orientador para as

tomadas de decisão com o propósito da melhoria da qualidade de ensino

oferecido pelas escolas e buscar subsídios para aprimorar a gestão

educacional, a SEE-SP implantou o Sistema de Avaliação do Rendimento

Escolar – Saresp (SEE-SP, 1996).

8 A Escola Padrão foi um projeto implantado em 1991 pela SEE-SP, através do Decreto

Estadual Nº. 34.035, de 22 de outubro de 1991. Foram escolhidas 306 escolas do estado, que tinham autonomia no que diz respeito à elaboração de projetos pedagógicos, elaboração de seu Plano Escolar, autoavaliação da escola, e a ordenação de um Plano Diretor a ser administrado por um contrato anual. O Decreto modificou algumas funções no quadro administrativo, propôs ainda algumas alterações no quadro de professores dessas escolas, como, por exemplo, a dedicação exclusiva. Para auxiliar a captação de recursos financeiros e seu desempenho na escola, criou-se a Caixa de Custeio. A quantidade de escolas que aderiu a esse projeto aumentou gradativamente, totalizando 2.224 escolas em 1994. Essa autonomia gerou uma competitividade entre essas escolas padrão e uma rivalidade entre grupos de escolas chamadas da rede comum devido àquela situação diferenciada. As escolas padrão, como projeto de governo, geraram muitos custos, tornando-se inviável sua extensão para todas as escolas do estado e, com a mudança de governo, a partir de 1995, iniciou-se seu processo gradativo de encerramento.

56

O primeiro exame do Saresp que abrangeu todas as escolas foi aplicado

no início do ano de 1996, nas 3ª. e 7ª. séries. Foram avaliados, nos

componentes de Português e Matemática, os alunos de ambas as séries, e nos

de Ciências, História e Geografia apenas os alunos das 7ªs séries. O Relatório

Geral, relativo a essa aplicação, indica que a porcentagem geral de acertos, em

Matemática foi de 65% para a 3ª.série, considerada então como razoavelmente

fácil e 30,86% para a 7ª. série, período diurno e 28,06% para a 7ª.série,

período noturno. Esses resultados evidenciaram que o desempenho dos

estudantes estava muito aquém do que seria desejável. (SEE-SP, 1996). A

prova aplicada foi única para todos os alunos, com 30 questões para a 7ª. série

e, nela, não constaram questões de álgebra.

O segundo Saresp foi aplicado em 1997 nas 4ª. e 8ª. séries, novamente

no início do ano. Para a 4ª. série, a média geral de acertos foi de 42,5%,

enquanto que na 8ª série diurno foi de 35,47% e na 8ª. série noturno, 34,3%.

Nessa prova, um terço dos itens foi relativo a álgebra.

No início do ano de 1998 o Saresp foi aplicado nas 5ª. séries do Ensino

Fundamental e na 1ª. série do Ensino Médio, seguindo o acompanhamento

longitudinal. Nesse ano, cada aluno foi avaliado em apenas um componente

curricular, parte dos alunos respondeu à prova de Língua Portuguesa, parte à

de Matemática e assim por diante. O índice de acertos em Matemática da 5ª.

série, período diurno, foi de 39% e noturno, 38,1%. O desempenho dos alunos

da 1ª. série do EM foi de 36,94% no período diurno e 33,86% no período

noturno. Os conteúdos relativos a álgebra estavam presentes em 26,66% da

prova.

A quarta edição ocorreu dois anos depois, no final de 2000, sendo

aplicada na 5ª, e 7ª. séries do Ensino Fundamental e na 3ª. série do Ensino

Médio. Da quinta edição (2001) à oitava edição (2004), prevaleceu a avaliação

da competência de leitura.

Em 2004, “foi introduzido um procedimento que tornou possível a

comparação estatística dos resultados obtidos nos diversos períodos em que

uma mesma série é oferecida. Essa comparação pôde ser efetuada a partir da

aplicação, em uma amostra de alunos do EF e do EM da Rede Estadual, de

uma prova de ligação, que permitiu a introdução de uma nova medida no

57

âmbito do Saresp – o escore verdadeiro9” (Relatório Saresp 2005: 18). O

Saresp passa a adotar a metodologia de análise de itens do Saeb, ou seja,

pela Teoria de Resposta ao Item (TRI10).

A Matemática voltou a fazer parte desta avaliação na sua nona edição,

em 2005, sendo aplicado em todas as séries. Nesse ano, adotou-se uma

escala de desempenho por escore verdadeiro. Em Matemática, consideravam-

se cinco níveis de desempenho, variando entre nível 1 e o 5, sendo o melhor

desempenho o nível 5. No Relatório, aparece outra faixa de desempenho –

abaixo do nível 1 –, referente a alunos que não demonstram domínio das

habilidades avaliadas pelos itens da prova. Os resultados apontaram que o

desempenho dos alunos foi desfavorável, pois a maior concentração de alunos

permaneceu nos níveis “abaixo do nível 1” e “nível 1”, crescendo da 5ª. série

(51,7%) à 3ª. do Ensino Médio (85,6%). As questões de álgebra permeiam um

terço da prova.

Em 2006, não houve aplicação do Saresp; e, em 2007, as proficiências

dos alunos da rede estadual de São Paulo passaram a ser medidas com a

mesma métrica do Saeb/Prova Brasil e os seus resultados interpretados a

partir da mesma escala. Para medir a proficiência dos alunos, utiliza-se a partir

deste ano, a escala do quadro a seguir:

9 “O escore verdadeiro é uma medida obtida por meio de procedimentos da Teoria de Resposta

ao Item – TRI – que permite verificar o desempenho global de cada série, ao tornar possível a comparação entre os desempenhos dos alunos, mesmo que tenham respondido a provas diferentes, nos distintos períodos. A TRI permite estimar a proficiência dos estudantes, independentemente das provas aplicadas e dos grupos avaliados, à medida que, a partir da equalização das primeiras, coloca todos os resultados de uma mesma série em uma mesma escala. Chega-se, dessa forma, a uma estimativa fidedigna dos acertos, supondo-se que todos os estudantes de uma mesma série tenham respondido a todas as questões das provas de todos os períodos.”(p.48 Relatório Saresp 2005). 10

TRI – Teoria de Resposta ao Item: As respostas a uma prova única, a interpretação dos dados podem ser comparadas como um todo por meio de uma métrica designada Teoria Clássica de Medidas, no entanto as avaliações do Saresp são aplicadas com questões diferentes aos alunos de uma mesma série/ano, daí uma necessidade de se usar outra métrica para comparação. O diferencial da TRI é que ela não focaliza a prova como um todo, mas o comportamento de cada item. Com essa metodologia para interpretação de resultados, é possível comparar e acompanhar, por exemplo, o comportamento das respostas de um ano para outro, ou mesmo de uma escola para outra (particular ou pública). Para aprofundamento dessa teoria, indicamos a leitura de Andrade (2000).

58

Quadro 5: Escala dos níveis de proficiência

Distribuição dos alunos pelos níveis de proficiência

Matemática – Saresp 2007

Níveis 4ª. EF 6ª. EF 8ª. EF 3ª. EM In

terv

alo

% d

e

alu

nos

Inte

rvalo

% d

e

alu

nos

Inte

rvalo

% d

e

alu

nos

Inte

rvalo

% d

e

alu

nos

Abaixo do

básico

< 175 44,3 < 200 54,8 < 225 49,8 < 275 71,8

Básico Entre

175 e

225

36,6 Entre 200

e 225

23,3 Entre

225 e

300

44,8 Entre

275 e

350

24,7

Adequado Entre

225 e

275

17,4 Entre 225

e 300

21,7 Entre

300 e

350

5,1 Entre

350 e

400

3,7

Avançado Acima de

275

1,7 Acima de

300

0,2 Acima

de 350

0,4 Acima

de 400

0,6

Fonte: Tabela 9 da pág.26 do Relatório Pedagógico do Saresp 2007

Os Níveis de proficiência, a partir do exame de 2007, foram definidos da

seguinte forma:

Quadro 6: Níveis de proficiência

Níveis de Proficiência Quantificação do domínio dos conteúdos, competências e habilidades desejados para a série na qual o aluno se encontra.

Abaixo do básico Insuficiente

Básico Parcial

Adequado Desejável

Avançado Acima do esperado Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp 2009 (p.33)

Nesse ano de 2007, ocorreu a décima edição do Saresp, aplicada em

todas as escolas, nas 2ª., 4ª, 6ª. e 8ª. séries do Ensino fundamental e na 3ª.

série do Ensino Médio.

São, ao todo, 14 edições feitas dessa avaliação, sendo as últimas em

2008, 2009, 2010 e 2011. Nesta pesquisa, utilizamos as edições de 2008 e

2009.

O Saresp consiste em avaliação externa de desempenho dos alunos da

Educação Básica do Estado de São Paulo, objetivando estimar o rendimento

59

escolar e identificar os fatores que podem interferir no desempenho do aluno.

Os resultados do Saresp, além de subsidiar as políticas públicas para a

Educação Básica, conforme já mencionamos, auxiliam a compor o IDESP

(Índice de Desenvolvimento da Educação do Estado de São Paulo), que é um

indicador de qualidade das séries iniciais (1ª a 4ª séries) e finais (5ª a 8ª séries)

do Ensino Fundamental e do Ensino Médio. Na avaliação de qualidade das

escolas feita pelo IDESP, consideram-se dois critérios complementares: o

desempenho dos alunos nos exames do Saresp e o fluxo escolar. O IDESP

tem o papel de dialogar com a escola sobre sua qualidade, indicando os pontos

em que precisa melhorar e sinalizando sua evolução ano a ano11.

Para a aplicação das provas do Saresp, as escolas recebem um

documento com as diretrizes de conteúdos e habilidades que serão avaliadas a

cada ano. Esse documento é denominado Matriz de Referência do Saresp e,

após a aplicação da prova, consolidadas as análises, no ano subsequente, as

escolas recebem um relatório com os resultados gerais dessa avaliação,

denominado Relatório Pedagógico do Saresp.

As avaliações do Saresp, atualmente, são aplicadas, anualmente, em

todas as escolas estaduais nas 2ª., 4ª., 6ª. e 8ª. séries/ 3º., 5º., 7º. e 9º. anos

do Ensino Fundamental e 3ª. série do Ensino Médio e são compostas de itens

de Língua Portuguesa e Matemática, avaliados anualmente e itens das áreas

de Ciências da Natureza (Ciências, Física, Química e Biologia) e das Ciências

Humanas (História e Geografia), avaliados bianualmente, intercalados.

A avaliação do Saresp para o 3º. ano do EF tem características

diferentes das demais séries, pois é aplicada e alunos que estão em fase de

alfabetização, contudo não é aqui discutida por não constituir foco desta

pesquisa.

A partir de 2008, as provas para as 4ª., 6ª. e 8ª. séries/ os 5º, 7º e 9º. anos do EF e 3ª série do EM

são planejadas utilizando a metodologia de Blocos Incompletos Balanceados – BIB. Este modelo permite que as questões sejam reunidas em subconjuntos chamados blocos e organizados em grupos de diferentes combinações. Cada combinação resulta em 26 diferentes cadernos de provas para cada série e disciplina, com 3

11 Para mais informações sobre o IDESP, consultar http://idesp.edunet.sp.gov.br. Acesso em 2 set. 2012.

60

blocos de questões em cada disciplina. Cada bloco é composto de oito itens. Cada caderno de prova, em cada disciplina, está organizado com 24 questões objetivas de múltipla escolha. No total, foram utilizados 104 itens por disciplina em cada série. (Relatório Pedagógico, 2008: 17).

Para a aplicação das provas do Saresp, as habilidades a serem

avaliadas são descritas na Matriz de Referência do Saresp e, após a aplicação,

os resultados são publicados no Relatório Pedagógico do Saresp.

Na seção seguinte, apresentamos um estudo sobre a Matriz de

Referência do Saresp (2009) e sobre o Relatório Pedagógico do Saresp (2009).

3.3.2.1 Matriz de Referência para a Avaliação Saresp

Para indicar as competências e habilidades do sujeito a serem

avaliadas, são definidas Matrizes de Referência. Tais matrizes de referência

subsidiam a composição das avaliações externas nos diferentes componentes

curriculares.

A partir da nova Proposta Curricular do Estado de São Paulo, foi

elaborada, em 2008, uma Matriz de Referência, a qual foi aprimorada em 2009.

Comentamos, nesta seção, o conteúdo da Matriz de 2009, na qual são

indicados os conteúdos, competências e habilidades que serão avaliados.

Vale frisar que uma avaliação externa, tal como a do Saresp, tem suas

limitações, uma vez que, sempre que se propõe uma Matriz de Referência, se

faz um recorte. Assim sendo, a avaliação não envolve todos os conteúdos do

currículo. Salientamos que, ainda que fosse possível abordar todos os

conteúdos curriculares na avaliação, ela continuaria apresentando limitações,

pois, por exemplo, competências ligadas à habilidade de cálculo mental não

podem ser aferidas por meio de uma prova objetiva. Procurando tornar a

avaliação externa o mais ampla possível, a partir da edição de 2008, se aplica

uma prova de Matemática destinada a avaliar as diferentes estruturas do

pensamento matemático dos alunos de 4ª., 6ª. e 8ª. séries do Ensino

Fundamental e da 3ª. série do Ensino Médio, por meio de questões abertas,

numa amostra estratificada dos alunos de escolas estaduais (São Paulo,

2008:11).

A Matriz de Referência apresenta uma lista de habilidades a serem

avaliadas de acordo com a série ou ano em que os alunos se encontram. Essa

61

lista é cumulativa para séries subsequentes. Com essas habilidades, é possível

estimar, por meio da Escala de Proficiência adotada, o grau em que os alunos

dominam as competências cognitivas (São Paulo, 2009: 13).

Quanto às competências cognitivas, a Matriz de Referência (2009: 14)

as define como

modalidades estruturais da inteligência. Modalidades, pois expressam o que é necessário para compreender ou resolver um problema. Ou seja, valem por aquilo que integram, articulam ou configuram como resposta a uma pergunta. Ao mesmo tempo, são modalidades porque representam diferentes formas ou caminhos de se conhecer. Um mesmo problema pode ser resolvido de diversos modos. Há igualmente muitos caminhos para se validar ou justificar uma resposta ou argumento.

As competências cognitivas avaliadas no exame do Saresp são divididas

em três grupos:

Grupo I (GI) – Competências para observar;

Grupo II (GII) – Competências para realizar;

Grupo III (GIII) – Competências para compreender.

A seguir descrevemos esses três grupos:

Grupo I: Competências para observar. Esse grupo

refere-se aos esquemas presentativos ou representativos, propostos por Jean Piaget. Graças a eles, os alunos podem ler a prova, em sua dupla condição: registrar perceptivamente o que está proposto nos textos, imagens, tabelas ou quadros e interpretar este registro como informação que torna possível assimilar a questão e decidir sobre a alternativa que julgam mais correta. (p. 16)

Grupo II: Competências para realizar. Esse grupo refere-se

às capacidades de o aluno realizar os procedimentos necessários às suas tomadas de decisão em relação às questões ou tarefas propostas na prova. Ou seja, saber observar, identificar, diferenciar e, portanto, considerar todas as habilidades relativas às competências para representar que, na prática, implicam traduzir estas ações em procedimentos relativos ao conteúdo e ao contexto de cada questão em sua singularidade. (p.18)

Grupo III: Competências para compreender.

Estas competências implicam o uso de esquemas operatórios. As competências relativas a esse Grupo III devem ser analisadas em duas perspectivas. Primeiro, estão presentes e são mesmo essenciais às competências cognitivas ou às operações mentais destacadas nos Grupos I e II. Porém, quando referidas a eles, têm um lugar de meio ou condição, mas não de fim. Ou seja, atuam de

62

modo a possibilitar realizações via esquemas procedimentais (Grupo II) ou leituras via esquemas de representação (Grupo I). Como Grupo III, estes esquemas ou competências expressam-se de modo consciente e permitem compreensões próprias a este nível de elaboração cognitiva. Por essa razão possibilitam, por suas coordenações, planejamento e escolha de estratégias para resolver problemas ou realizar tarefas pouco prováveis, ou mesmo impossíveis nos níveis anteriores. Referem-se, assim, a operações mentais mais complexas, que envolvem pensamento proposicional ou combinatório, graças ao qual o raciocínio pode ser agora hipotético-dedutivo. (p.18 e19)

Essa matriz caracteriza-se por apresentar um recorte dos conteúdos

curriculares e, consequentemente, privilegia algumas competências e

habilidades a eles associadas.

Os conteúdos (objetos do conhecimento) são divididos em quatro temas:

Tema 1: Números, operações, funções;

Tema 2: Espaço e forma;

Tema 3: Grandezas e medidas;

Tema 4: Tratamento da informação.

A matriz divide os conteúdos em quatro temas, estes em três grupos de

competências, e cada grupo contém habilidades a serem avaliadas em cada

série/ano.

Nos quadros a seguir, estão apresentados os grupos de competências do

sujeito e os conteúdos matemáticos por ano/série em que a álgebra é avaliada.

Quadro 7: Habilidades de Álgebra para a 6ª. série/7º.ano

6ª.série/7º.ano do Ensino Fundamental

Objetos do Conhecimento (Conteúdos)

Tema 1 – Números, operações, funções, iniciação à Álgebra.

H12 – ler e escrever expressões algébricas correspondentes a textos matemáticos escritos em linguagem corrente e, vice-versa. (GII) H14 – resolver equações do 1º. grau. (GII) H15 – Expressar e resolver problemas por meio de equações. (GIII)

Tema 3 – Grandezas e medidas / Proporcionalidade

H28 – Reconhecer situações que envolvam proporcionalidade. (GII)

H27 – Resolver problemas que envolvam medidas de ângulos de triângulos e de polígonos em geral. (GIII)

H29 – Resolver situações-problema que envolvam grandezas direta ou inversamente proporcionais. (GIII)

Fonte: Matriz de Referência do Saresp 2009, p.75.

63

Quadro 8: Habilidades de Álgebra para a 8ª. série/9º.ano

8ª.série/9º. ano do Ensino Fundamental Objetos do Conhecimento (Conteúdos)

Tema 1 – Números, operações, funções (racionais / potenciação, números reais, expressões algébricas, equações, gráficos cartesianos, equações do 2º. grau, funções).

H05 – Identificar a expressão algébrica que expressa uma regularidade observada em sequências de números ou figuras (padrões). (GI)

H06 – Identificar um sistema de equações do 1º. grau que expressa um problema. (GI)

H07 – Identificar a relação entre as representações algébrica e geométrica de um sistema de equações do 1º. grau. (GI) H12 – Realizar operações simples com polinômios. (GII)

H13 – Simplificar expressões algébricas que envolvam produtos notáveis e fatoração. (GII)

H14 – Expressar as relações de proporcionalidade direta entre uma grandeza e o quadrado de outra por meio de uma função do 2º. grau. (GII) H16 – Resolver problemas que envolvam porcentagem. (GIII)

H17 – Resolver problemas que envolvam equações com coeficiente racionais. (GIII)

H18 – Resolver sistemas lineares (método da adição e da substituição). (GIII) H19 – Resolver problemas que envolvam equações do 2º. grau. (GIII)

H20 – Resolver problemas envolvendo relações de proporcionalidade direta entre duas grandezas por meio de funções do 1º. grau. (GIII)

Tema 2: Espaço e forma

H28 – Usar o plano cartesiano para representação de pares ordenados; coordenadas cartesianas e equações lineares. (GI)

Fonte: Matriz de Referência do Saresp 2009, p.80

Quadro 9: Habilidades de Álgebra para a 3ª.série do EM

3ª. série do Ensino Médio Objetos do Conhecimento (Conteúdos) Tema 1 – Números, operações, funções.

H01 – Expressar matematicamente padrões e regularidades em sequências numéricas ou de imagens. (GIII)

H04 – Representar, por meio de funções, relações de proporcionalidade direta, inversa e direta com o quadrado. (GIII)

H05 – Descrever as características fundamentais da função do 1º. grau, relativas ao gráfico, crescimento/decrescimento, taxa de variação. (GI)

H06 – Descrever as características fundamentais da função do 2º. grau, relativas ao gráfico, crescimento, decrescimento, valores máximo ou mínimo. (GI) H07 – Resolver problemas que envolvam equações do 1º. grau. (GIII) H08 – Resolver problemas que envolvam equações do 2º. grau. (GIII)

H09 – Identificar os gráficos de funções de 1º. e de 2º. graus, conhecidos os seus coeficientes. (GI)

H10 – Reconhecer a função exponencial e suas propriedades relativas ao crescimento e decrescimento. (GI)

H12 – Resolver equações e inequações simples, usando propriedades de potências e logaritmos. (GII)

H13 – Resolver equações trigonométricas simples, compreendendo o significado das condições dadas e dos resultados obtidos. (GII)

H14 – Resolver situações-problema por intermédio de sistemas lineares até a 3ª. ordem. (GIII)

H15 – Aplicar as relações entre coeficientes e raízes de uma equação algébrica na resolução de problemas. (GIII)

Tema 2: Espaço e forma

H20 – Representar pontos, figuras, relações e equações em sistemas de coordenadas cartesianas. (GI)

H21 – reconhecer a equação da reta e o significado de seus coeficientes. (GI)

H22 – representar graficamente inequações lineares por regiões no plano. (GI)

H23 – identificar as equações da circunferência e das cônicas na forma reduzida, com centro na origem. (GI)

Fonte: Matriz de Referência do Saresp 2009, p.86.

64

A numeração das habilidades para cada série sempre se inicia por H01,

isso faz com que uma habilidade, por exemplo, H12 deva ser acompanhada da

série que será avaliada, pois seu significado difere para cada uma:

H12 (6ª. série/7º. ano) – Ler e escrever expressões algébricas

correspondentes a textos matemáticos escritos em linguagem corrente e

vice-versa.

H12 (8ª. série/9º. ano) – Realizar operações simples com polinômios.

H12 – Resolver equações e inequações simples, usando propriedades

de potências e logaritmos.

Vale frisar que os conteúdos de álgebra, em particular as equações e

sistemas servem de subsídio para a resolução de diversos tipos de problemas

e desenvolvimento de procedimentos e estão presentes indiretamente em

várias das habilidades avaliadas. Por exemplo, na resolução de problemas que

envolvem a determinação da hipotenusa, dados os catetos de um triângulo

(H36 da 8ª. série/9º. ano – Resolver problemas em diferentes contextos, que

envolvam as relações métricas nos triângulos retângulos (Teorema de Pitágoras).

3.3.2.2 Relatório Pedagógico do Saresp

O Relatório Pedagógico do Saresp é um documento elaborado para

apresentar os resultados obtidos na aplicação de cada avaliação do Saresp,

contendo um volume para cada disciplina. Descrevemos a seguir o conteúdo

do Relatório Pedagógico de Matemática de 2008 e 2009.

A apresentação desse Relatório está dividida em três partes:

Parte 1 – Dados Gerais

Parte 2 – Resultados

Parte 3 – Análise Pedagógica dos Resultados

Na parte 1, o documento contém um breve histórico sobre a avaliação,

descreve suas características como, por exemplo, de que forma ela é

elaborada e a utilização de blocos balanceados a partir do 5º. ano para a

montagem das provas. Os Relatórios informam sobre os questionários

socioeconômicos aplicados. Esses questionários são aplicados a alunos, pais,

professores, diretor, professor coordenador e supervisor de ensino. As famílias

recebem um caderno com o questionário dos pais e dos alunos, os demais

65

respondem por uma plataforma web. As análises desses questionários não

estão incluídas no Relatório de Matemática.

Na parte 2, o Relatório mostra a abrangência da aplicação do Saresp,

indicando a quantidade, por exemplo, de alunos, escolas, diretores etc. Ao

indicar os resultados, faz comparativos entre estado como um todo, interior e

capital. Apresenta uma comparação entre os resultados do Saresp, Prova

Brasil e Saeb e outra por nível de desempenho (abaixo do básico, básico,

adequado, avançado) das séries avaliadas.

Na parte 3, há uma análise pedagógica dos resultados, a qual está

subdividida em:

Princípios Curriculares e Matrizes de Referência para a Avaliação

do Saresp – Matemática;

Análise do Desempenho dos Alunos em Matemática por série/ano

e nível;

Recomendações Pedagógicas;

Considerações finais.

Os Princípios Curriculares e Matrizes de Referência para a Avaliação do

Saresp – Matemática iniciam-se com a definição de alfabetização ou

competência matemática, a qual

refere-se à capacidade do aluno para analisar, raciocinar e comunicar-se de maneira eficaz, quando enunciam, formulam e resolvem problemas matemáticos numa variedade de domínios e situações (São Paulo, 2009:.50)

A seguir, o relatório contém uma breve descrição da Matemática ao

longo da escolaridade básica, com um pequeno histórico de sua utilização ao

longo da história da humanidade, sobre a necessidade de se desenvolver

competências e habilidades para resolver situações rotineiras e relevantes,

como, por exemplo, cálculos de despesas, pagamentos de impostos,

orientação espacial, dentre outras.

Quanto à resolução de problemas, descreve o ciclo de matematização,

enfatizando que, para resolver um problema, dois mundos entram em relação:

o real e o matemático. Em suma, esse ciclo tem quatro etapas: traduzir o

66

problema real para um problema matemático, determinar uma solução

matemática, interpretar a solução e aplicar essa solução no mundo real.

Ainda em Princípios Matemáticos, aponta o que são avaliados, na prova

do Saresp, os conteúdos e expectativas de aprendizagem ao longo dos ciclos

com base na proposta curricular, divididos por temas (Números e Operações,

Espaço e Forma, Grandezas e Medidas, Tratamento da Informação).

Na Análise do Desempenho dos Alunos em Matemática por série/ano e

nível, estão indicadas as habilidades desenvolvidas por série e, em seguida,

exemplos de itens da prova para cada série e por nível.

Nos exemplos de itens, destacam-se a habilidade avaliada, a

distribuição das respostas, um comentário sobre as tarefas realizadas pelos

alunos para resolver a questão, a alternativa correta e analisa-se o

comportamento percentual dessas respostas. Indica-se, na lateral de cada

exemplo, a série em que foi aplicado e uma régua com o nível, como o indicado

na figura 3.

Observa-se, no exemplo, a presença da habilidade avaliada, no caso,

H09: Identificar os gráficos de funções de 1º. e 2º. graus, conhecidos os seus

coeficientes. O item está proposto sem contextualização e refere-se à vida

educacional. Ao lado, observa-se a régua indicando o nível de proficiência, que

é o adequado e, abaixo, que a questão foi proposta à 3ª série do Ensino Médio.

No final do Relatório, são indicadas algumas Recomendações

Pedagógicas, que podem ser utilizadas pela escola ou pelo professor.

Recomenda-se que esses resultados sejam informados aos alunos e que se

retomem alguns conceitos e/ou procedimentos. Está enfatizado, no texto, que

as recomendações são sugestões; e que o professor tem autonomia para

definir qual a melhor forma de retomar conteúdos para que os alunos

desenvolvam habilidades e competências que estão defasadas para aquelas

séries/anos.

67

Figura 3: Exemplo 10 da p. 195 do Relatório Pedagógico do Saresp 2009 – 3ª. EM Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp (2009, p.195)

Como esse Relatório é elaborado para as escolas e para os professores,

a cada um destes tópicos descritos acima, são inseridas atividades para

possibilitar uma maior interação com o leitor.

Um exemplo dessas atividades encontra-se no quadro abaixo e trata-se

de uma reflexão sobre a elaboração de um item.

68

Quadro 10: Reflexão sobre elaboração de um item

Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp 2009 (p.224)

Essa atividade propõe uma reflexão sobre a elaboração de um teste de

múltipla escolha para que os professores atentem, entre outras coisas, à

clareza do enunciado e à quantidade de tarefas a serem realizadas para

solucionar a questão.

Para reflexão: Outra questão fundamental a ser considerada é o que cada aluno deve

aprender em cada série/ano. Os conteúdos de aprendizagem vão se tornando mais complexos a cada série. Nos resultados por série/ano essa relação dever ser também relevante na análise.

Durante as aulas, como serão realizadas as intervenções para que os alunos dominem os conhecimentos prévios que não têm?

Quais mudanças devem ser realizadas? O que irá permanecer? O que será modificado?

O QUE É TESTE DE MULTIPLA ESCOLHA? Algumas regras para construção de testes de múltipla escolha: - Quanto ao enunciado da questão, verifique se: apresenta claramente

um único problema proposto para o participante; contém as informações essenciais para a solução do problema proposto, evitando elementos supérfluos; e adequado em relação a dificuldade pretendida, ao tempo disponível para a prova, a quantidade de tarefas a serem executadas para a escolha da alternativa.

- Quanto as alternativas, verifique se: a correta e indiscutivelmente a única; as incorretas (distratores) representam relações possíveis de serem estabelecidas pelo participante, mas não são condições suficientes para a resolução dos problemas; são adequadas em relação ao tempo disponível para a prova; estão colocadas em ordem lógica, crescente ou decrescente, sempre que envolvem valores numéricos; são homogêneas no conteúdo, integrando uma mesma família de fatos e ideias; são homogêneas na forma; são independentes, sem subentendidos ou referências às alternativas anteriores; não contem “pistas” que possam ajudar o participante na resolução da questão; não contem elementos (pegadinhas) que possam induzir o participante a erros; não constituem um conjunto de afirmações “falso-verdadeiras” independentes; não contêm certas palavras que induzem a afirmações falsas ou verdadeiras.

69

CAPÍTULO 4

4 A PESQUISA

Neste capítulo, descrevemos o cenário da pesquisa, contendo o

planejamento do Curso de formação e a discussão das atividades do Curso

relacionadas ao nosso objetivo de pesquisa.

4.1 O CENÁRIO DO ESTUDO

O estudo foi desenvolvido em um módulo de álgebra criado para um

curso da Diretoria de Ensino da Secretaria Estadual da Educação do Estado de

São Paulo, na capital, cujo objetivo era subsidiar a implementação do novo

currículo deste Estado.

Essa Diretoria localiza-se na região Norte da capital do estado de São

Paulo, agrega 71 escolas e atende aproximadamente 320 professores de

Matemática.

Os professores de Matemática inscreveram-se nesse módulo de álgebra

por livre escolha e com disponibilidade de frequentar os encontros fora do

horário de trabalho. O tema abordado foi álgebra para o Ensino Fundamental II e

Ensino Médio, sendo 8 encontros semanais de 3 horas, totalizando 24 horas

presenciais e complementação horária de 36 horas com pesquisas em ambiente

virtual. Esse módulo foi desenvolvido em uma das salas da Diretoria de Ensino,

no período noturno, com o auxílio de duas Professoras Coordenadoras da

Oficina Pedagógica (PCOP).

Vale salientar que o desenvolvimento do módulo de álgebra foi previsto

para ser desenvolvido na própria instituição educativa, em uma sala da

Diretoria de Ensino, de modo a possibilitar uma maior interação entre os

participantes, os quais atuam na mesma região e têm problemas semelhantes

em suas práticas pedagógicas. Nesse aspecto, a formação está de acordo com

a indicação de Imbernón (2000: 15), para o qual é “tão importante uma

formação na instituição educativa, uma formação no interior da escola”.

70

4.2 O PLANEJAMENTO DO MÓDULO DE ÁLGEBRA

Nesta seção, apresentamos o planejamento do módulo de álgebra, que

foi desenvolvido juntamente com a equipe de Coordenação de Matemática da

Oficina Pedagógica desta Diretoria de Ensino.

O módulo foi planejado para ter atividades que perpassassem todas as

séries do Ensino Fundamental e do Ensino Médio. A equipe de coordenação

decidiu ter, pelo menos, uma atividade do Caderno do Aluno (CA) de cada

série que envolvesse álgebra. Essas atividades seriam desenvolvidas em

“Encontros” presenciais e à distância, que aqui denominamos “Estudos

Complementares”, as quais seriam desenvolvidas pelos professores e,

posteriormente, discutidas nos encontros presenciais.

Os Encontros se comporiam de três momentos, sendo o primeiro de

acolhimento, o segundo de desenvolvimento de atividades do CA, leitura de

textos seguida de reflexão ou análise de itens constantes nos Relatórios

Pedagógicos do Saresp, edições 2008 e 2009, e o terceiro de o fechamento do

encontro, no qual seriam socializadas as soluções das atividades e/ou análises

dos itens. Nos Encontros, os professores estariam dispostos em grupos de quatro a cinco

pessoas.

Os Estudos Complementares foram compostos a partir dos recursos

educacionais multimídia e digitais para o Ensino Médio de Matemática,

constantes no Ambiente Matemática Multimídia12. As atividades foram

planejadas para serem desenvolvidas a distância, para complementar o

conteúdo de álgebra. Em síntese, os professores deveriam assistir a vídeos,

desenvolver experimentos e atividades constantes no site

http://m3.ime.unicamp.br/portal/ além de atividades do CA.

O planejamento do módulo de Álgebra está resumido no quadro a seguir:

12

Ambiente desenvolvido pelo Projeto Matemática Multimídia (M3) da Unicamp, com

financiamento do FNDE, SED, MCT e MEC.

71

Quadro 11: Resumo das atividades do Módulo

Encontros

Estudos Complementares

- Texto de abertura: Eu sei, mas não devia13

- Vídeo: Um ensino de Matemática voltado para a vida

14

- Apresentação do curso - Apresentação do Ambiente Matemática Multimídia - A álgebra inserida no Currículo de Matemática e suas Tecnologias - Vídeo: O ponto Avaliar – 2’

15

- Artigo: Castro, 2009. Sistemas de Avaliação da Educação no Brasil

- Atividade para o 3º. encontro: Experimento “Caixa de Papel” Do Ambiente Matemática Multimídia

2º - Texto de abertura: Avaliar para ensinar melhor16

- Álgebra no Currículo - Atividade do Caderno do Aluno 6ª série/7º. ano – Investigando sequências por aritmética e álgebra - Volume 4 - 2009 e socialização - Estudos sobre avaliações externas no Brasil

3º.

- Poesia para abertura: Mestra Silvina – Cora Coralina - Matriz de Referência do Saresp - Atividade 1 de Análise de itens e socialização - Atividade CA - 7ª série - volume3 - Equações, tabelas e gráficos. e socialização. - Entrega da atividade Experimento “Caixa de Papel” e breve relato.

- Atividade para o 5º. Encontro - Vídeo: Um sonho complexo e atividade relativa ao vídeo do Ambiente Matemática Multimídia

4º. - Atividade 2 de análise de itens - Socialização da Atividade

5º.

- Letra e Música de abertura: Tocando em frente – Almir Sater e Renato Teixeira - Atividade do CA – Grandezas Proporcionais: Estudo funcional, significados e contextos. V2 - 8ª/9º ano. - Socialização da atividade - Entrega da atividade de Estudos Complementares: Sonho Complexo e breve relato.

- Atividade para o 7º. e 8º. Encontros - apresentação de Situações de Aprendizagem para os grupos.

6º. - Música: Sonho impossível – Maria Bethânia - Criação e análise de itens utilizando como critério de classificação o marco teórico do PISA. Exemplos de itens do PISA.

7º. - Apresentação, discussão e análise das atividades de Estudos Complementares.

8º. - Finalização das apresentações das atividades de estudos complementares - Atividade 3 de análise de itens e socialização.

Fonte: Acervo próprio

13

COLASSANTI, Marina. Disponível em http://www.releituras.com/mcolasanti_eusei.asp. Acesso em 22 ago. 2010. 14

Salto para o futuro DVD 37 e 38 de 2’03” a 3’04” – entrevista com os professores Ubiratan D’Ámbrósio e João Bosco Pitombeira (Prof. Do Departamento de Matemática – PUC/RJ) que falam sobre a importância de saber Matemática para resolver situações da vida. (http://www.youtube.com/watch?v=djg7LaGJ0fc) 15

Vídeo – reflexão - O ponto Avaliar – 2’ - produzido por Gilson Aparecido Castadelli. Um vídeo sobre avaliar não especificamente para Matemática. (http://www.youtube.com/watch?v=-Qpq3dRXthE) 16

“Avaliar para ensinar melhor” – Denise Pellegrini. Texto na íntegra disponível em: http://revistaescola.abril.com.br/planejamento-e-avaliacao/avaliacao/avaliar-ensinar-melhor-424538.shtml

72

As atividades de cada encontro encontram-se, na íntegra, no Apêndice E.

A seguir, discutimos o planejamento das atividades que foram

selecionadas para servirem de subsídio para o desenvolvimento desta

pesquisa, ou seja, as atividades que, além de estarem no curso de formação,

tinham ligação com as nossas questões de pesquisa. Ressaltamos que tais

atividades são as relacionadas à compreensão do sistema de avaliação

externa e as relativas a equações e sistemas de equações.

O planejamento das atividades escolhidas, as quais estão relacionadas

à nossa pesquisa, está apresentado com a seguinte organização: (1) atividades

escolhidas dos materiais de apoio da SEESP (do CA), (2) textos e

apresentações em slides, (3) itens selecionados de Relatórios Pedagógicos do

Saresp (2008/2009) para análise e classificação, (4) atividade de criação e

classificação de itens.

A seguir descrevemos cada um dos tópicos da construção do módulo.

4.2.1 Atividades escolhidas dos materiais de apoio da SEESP

A escolha dessas atividades teve por objetivo subsidiar o professor para

o desenvolvimento do conteúdo de álgebra abordado nos CA, em particular

equações e sistemas de equações, para posteriormente analisar e elaborar

itens relacionados aos tópicos de álgebra.

Relembramos que os Cadernos do Aluno são materiais organizados em

volumes, que são divididos em quatro Situações de Aprendizagem (SA). As

atividades aqui elencadas são parte ou a totalidade de SA.

As atividades seguintes foram planejadas para discussão nos encontros

presenciais.

I. Atividade da p. 40 a 47 do CA – 7ª série/8o. ano - Volume 3 – 2009 –

Situação de aprendizagem 3 – Equações, tabelas e gráficos.

Essa atividade faz parte de uma situação de aprendizagem e apresenta

a resolução gráfica de sistemas de equações do 1º. grau. Ela é composta de

vários itens escolhidos de álgebra, e o professor deverá observar o caminho

pelo qual o aluno é conduzido para encontrar as soluções dos sistemas, como,

por exemplo, o conjunto numérico para cada sistema de equações ou a

solução no plano cartesiano.

73

Parte da atividade encontra-se na figura abaixo e a atividade, na íntegra,

está no Anexo B.

Figura 4: Atividade do Caderno do aluno sobre sistema de equações. Fonte: CA – Matemática - 7ª série/8º ano – Volume 3, p. 41, 2009.

74

II. Situação de aprendizagem 3 – p. 34-42 do CA – 8ª. série/9º. ano –

Volume 2 – 2009 – Grandezas Proporcionais: Estudo funcional, significados e contextos.

A situação de aprendizagem 3 foi selecionada para ser discutida na

íntegra no curso. Ela apresenta uma série de atividades com o conteúdo de

grandezas proporcionais. A intenção é que o professor as desenvolva e

perceba possíveis dificuldades que o aluno poderia ter, fornecendo sugestões

para saná-las.

Parte da situação de aprendizagem encontra-se na figura abaixo. A

Atividade na íntegra está no Anexo B.

Figura 5: Situação de Aprendizagem envolvendo grandezas proporcionais Fonte: CA – Matemática - 8ª. série/9º. ano – Volume 2, p. 34, 2009.

75

As atividades seguintes foram planejadas como estudos

complementares. Cada grupo receberá uma SA para fazer uma análise, como

descrito a seguir, e posteriormente apresentar para o grupo maior.

Quadro 12: Atividade de Estudos Complementares

Fonte: Acervo próprio

A escolha desse roteiro para a atividade de estudos complementares foi

embasada em Serrazina (2010), para a qual uma formação continuada deve

contemplar a utilização dos conhecimentos dos professores envolvidos,

valorizando suas práticas letivas como ponto de partida para as discussões ao

longo da formação.

As Situações de Aprendizagem escolhidas para estudos

complementares foram:

III. Situação de Aprendizagem 4 – CA e do Professor – 1ª. série do

Ensino Médio – Volume 3 – 2009 – “As múltiplas faces das potências e dos

Logaritmos: problemas envolvendo equações e inequações em diferentes

contextos”.

A situação de aprendizagem escolhida contempla problemas em

diferentes contextos que necessitem de conhecimento de potências e de

logaritmos.

Parte da Situação de Aprendizagem encontra-se na figura a seguir. A

Situação de Aprendizagem está, na íntegra, no Anexo B.

Os grupos deverão fazer uma análise da Situação de Aprendizagem e apresentar para o grupo maior. Essa apresentação deverá ser de 10 a 15 minutos, em PPT e em texto, contendo: I – introdução; II – competências e habilidades; III – estratégias; IV – pontos facilitadores para a aplicação da Situação de Aprendizagem; V – pontos dificultadores para a aplicação da Situação de Aprendizagem; VI – conhecimentos prévios que o aluno necessita para realização da Situação de Aprendizagem; VII – pesquisa de Multimídia que aborde o conteúdo da Situação de Aprendizagem.

76

Figura 6: Situação de Aprendizagem para Estudos Complementares Fonte: CA – Matemática – 1ª. série do EM - Volume 3 – p. 43 – 2009.

IV. Situação de Aprendizagem 4 – CA e do Professor – 2ª. série do

Ensino Médio – Volume 1 – 2009 – “Equações Trigonométricas”.

A Situação de Aprendizagem problematiza fenômenos periódicos,

utilizando conhecimentos de trigonometria e, em particular, equações

trigonométricas.

Parte da Situação de Aprendizagem encontra-se na figura a seguir. A

Situação de Aprendizagem está, na íntegra, no Anexo B.

77

Figura 7: Situação de Aprendizagem envolvendo equações trigonométricas Fonte: CA – Matemática – 2ª série do EM – Volume 1, p. 52, 2009.

V. Situação de Aprendizagem 1 – CA e do Professor – 3ª. série do Ensino

Médio – Volume 2 – 2009 –“A Equação de 3º. grau e o Aparecimento

Natural dos Números Complexos”

Essa SA explora a relação entre os coeficientes da equação do 3º. grau, a

fórmula de Tartaglia e Cardano e o aparecimento dos números complexos.

78

A SA está, na íntegra, no Anexo B.

Figura 8: Equação do 3º. grau e a fórmula de Tartaglia e Cardano Fonte: CA – Matemática – 3ª série do EM – Volume 2, p.6, 2009.

VI. Situação de Aprendizagem 3 – CA e do Professor – 3ª. série do

Ensino Médio – Volume 2 – 2009 – “Equações e polinômios: divisão por

x – k e redução do grau da equação”.

A Situação de Aprendizagem em questão enfatiza a resolução de

equações a partir da redução do grau da equação por meio da divisão de

polinômios pelo Algoritmo de Briot-Ruffini.

Parte da Situação de Aprendizagem está na figura abaixo. A Situação de

aprendizagem está, na íntegra, no Anexo B.

79

Figura 9: Situação de aprendizagem sobre equações e polinômios Fonte: CA – Matemática – 3ª série do EM – Volume 2, p. 22, 2009.

4.2.2 Textos e apresentação de slides

Nesta seção, discutimos os textos que foram selecionados no curso e

que estão relacionados com o objetivo desta pesquisa.

Os textos foram selecionados para embasamento teórico e são os

seguintes:

VII. ARAUJO, E. A. Contextualização do Ensino da Álgebra e Formação de

Professores. Encontro Paulista de Educação Matemática, 2004.

Esse artigo foi selecionado para discussão no curso por relatar o

caminho que o ensino de álgebra percorreu desde sua inserção no

currículo no Brasil, em 1799 até os dias atuais. Descreve sobre a

influência que o Movimento da Matemática Moderna teve no ensino de

álgebra, sendo tratado com um rigor exacerbado, perdendo significado

na Educação Básica e como atualmente, tenta recuperar seu potencial

instrumental para a resolução de problemas.

VIII. CASTRO, M. H. G. Sistemas de Avaliação da educação no Brasil:

avanços e novos desafios. Revista São Paulo em Perspectiva. São

Paulo, v. 23, n. 1, p. 5-18, jan./jun. 2009.

Esse texto foi escolhido para discussão com um grupo de professores do

curso, por descrever e analisar os sistemas de avaliação da educação

básica brasileira, focalizando a concepção e metodologia, o processo de

80

implementação das avaliações externas e as dificuldades de utilização

dos resultados para melhorar a qualidade das escolas. Aborda o caso de

São Paulo, com destaque para a agenda da reforma educacional e as

políticas voltadas para a melhoria da qualidade do ensino.

Além dos textos para discussão, preparamos slides em software de

apresentação sobre as seguintes temáticas:

IX. Analisando a Avaliação

Nessa apresentação, discutimos algumas diferenças entre a avaliação

que o professor faz em sala de aula com seus alunos e a avaliação em

larga escala, aqui denominada avaliação externa, cujos resultados

objetivam subsidiar as tomadas de decisões quanto a políticas de

financiamentos, de capacitação e de organização pedagógica (Ver

Apêndice C.).

X. Matriz de Referência do Saresp

Nessa apresentação, fazemos uma análise da Matriz de Referência do

Saresp, especialmente quanto às competências do sujeito, os quatro

temas e suas competências, os níveis de proficiência, ciclo de

matematização e as habilidades avaliadas e alguns exemplos de itens.

XI. Avaliações Externas

Nessa apresentação, focamos os critérios a serem utilizados para

análise dos itens no curso, utilizando as Matrizes de Referência do

Saresp e alguns critérios do PISA – Programa Internacional de Avaliação

de Estudantes (Ver Apêndice D.).

Na próxima seção, discutimos a seleção de itens de Relatórios Pedagógicos

do Saresp (2008/2009).

4.2.3 Itens selecionados de Relatórios Pedagógicos do Saresp (2008/2009)

A escolha desses itens foi feita levando em consideração que, nos

relatórios do Saresp, está apontado um número elevado de questões de

álgebra com altos índices de erros. Para análise, escolhemos itens de álgebra

de 6º. ano do Ensino Fundamental ao 3º. ano do Ensino Médio contidos nos

Relatórios Pedagógicos do Saresp de 2008 e 2009, que apontaram baixo

81

rendimento dos alunos. Procuramos itens os mais variados possíveis e que se

tornaram públicos através desses relatórios: contextualizados, não

contextualizados, apenas de interpretação, apenas de resolução, envolvendo

diversos conteúdos de álgebra.

Foram selecionados 20 itens distribuídos em três atividades planejadas

para encontros distintos, sendo que, destes, descrevemos 11 por serem de

equações e sistemas de equações, conteúdo foco de nossa pesquisa.

Descrevemos, a seguir, cada uma das três atividades e nelas os itens

selecionados para a pesquisa. Em cada item, apresentamos a análise que

consta no Relatório Pedagógico e a nossa análise prévia, na qual identificamos

o que poderia ser discutido com o grupo de professores no curso.

Atividade 1 de Análise de Itens(na íntegra no Apêndice E)

A primeira atividade contém quatro itens para análise, abordando

conteúdo do Ensino Fundamental II, a ser desenvolvida em pequenos grupos

e, em seguida, socializada com o grupo maior.

A proposta desta primeira atividade encontra-se no quadro a seguir:

Quadro 13: 1ª. Atividade de análise de itens

Fonte: Acervo pessoal

Nessa atividade, os itens selecionados compreendem os conteúdos

desenvolvidos no Ensino Fundamental II de expressões algébricas,

porcentagem, equações, sistemas de equações; no entanto, elencamos aqui os

três itens que se referem ao foco de nossa pesquisa. Relembramos que todas

as atividades do curso encontram-se no Apêndice E.

Item 1: Exemplo 13. p. 158 do Relatório Pedagógico do Saresp 2009

Habilidade Avaliada – H16 (da 8ª. série/9º. ano): Resolver problemas que

envolvam porcentagem.

Discutir em grupo: 1) Apresentar as soluções que os alunos fariam. 2) Identificar as alternativas que não estão corretas e o comportamento das respostas dos alunos. 3) Analisar a aderência do item com a habilidade citada. 4) Acrescentar os comentários do grupo.

82

Figura 10: Item 1 Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp (2009, p.158)

Vale ressaltar que a alternativa destacada em cinza escuro é a correta.

No caso do exemplo 13 acima, trata-se da alternativa b.

Análise apresentada no Relatório Pedagógico do Saresp

Quadro 14: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 1

Uma das formas de resolver o problema é o aluno raciocinar que se x é o preço

das 5 toalhas, o preço de cada uma é 5

x. Na promoção quem leva 5 toalhas paga o

preço de 3, isto é, paga 5

3x. O desconto é de (x -

5

3x) =

5

2x.

Então, se o valor original de 5 toalhas x corresponde a 100% então o desconto

5

2x corresponde a y%. Então y= 40%.

A alternativa B foi assinalada por 29,7% dos alunos. Estes mostraram habilidade para resolver problema envolvendo o percentual correspondente a descontos em promoções comerciais. Os alunos que marcaram A, cerca de metade

deles (49,2%), possivelmente concluíram que o desconto é de5

x, que corresponde a

20%.

Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp 2009, p.158

Análise prévia desse item

Síntese da tarefa: Determinar o valor percentual do desconto na compra de 5

toalhas.

Comentários: Para responder a esse item, o aluno deve ler e interpretar a

situação-problema, criar uma estratégia para a resolução, fazer cálculos e

83

analisar a solução encontrada. Uma das estratégias foi indicada no Relatório e

descrita acima, outra poderia ter sido determinar o valor percentual pago pelas

três toalhas e, em seguida, subtrair de 100%.

A questão apoia-se nos objetos de conhecimento (conteúdo) relativos ao

Tema 1: Números, operações e funções, sendo as Competências do Sujeito

referentes ao Grupo III: Competências para compreender. A habilidade

avaliada é H16 (da 8ª. série/9º. ano): Resolver problemas que envolvam

porcentagem. É contextualizada e a situação é próxima ao cotidiano do aluno.

Considerada pelo resultado contido no relatório como de nível avançado, exige

uma reflexão, ou seja, o aluno deve adotar uma estratégia de resolução e

decidir se o resultado encontrado representa a solução da situação-problema.

Esse item teve um índice de erro de 70,3%, o que nos permite concluir

que os alunos que erraram não dominam esse conteúdo ou não interpretaram

corretamente o proposto nessa situação-problema.

Item 2: Exemplo 14. p. 127 do Relatório Pedagógico do Saresp 2009

Habilidade Avaliada – H15 (da 6ª. série/7º. ano): Expressar e resolver

problemas por meio de equações.

Figura 11: Item 2 Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp (2009, p.127)

84

Análise apresentada no Relatório Pedagógico do Saresp

Quadro 15: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 2

Uma das maneiras de resolver o problema proposto é traduzi-lo para a linguagem matemática: 3x + x + 4 = 36, onde x representa o total de votos do 2º. colocado, 3x, o total de votos do 1º. e 4 o número de votos do último colocado, com total geral de 36, visto que todos votaram, não houve votos nulos nem brancos. Resolvendo a equação resultante, temos:

4x = 32 x = 8 (2º.colocado) o vencedor teve 3x votos, isto é, ,

alternativa C, assinalada por quase 39% dos alunos. Não sabemos se os erros estão localizados na tradução do problema para a

linguagem matemática, se residem na resolução da equação ou, ainda, em erros de cálculo. Observe-se que, 61% dos alunos possivelmente não tentaram verificar que números das alternativas satisfazem o problema.

Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp 2009, p.128

Análise prévia do item

Síntese da tarefa: Expressar uma situação-problema na linguagem algébrica.

Determinar a quantidade de votos conquistados pelo vencedor de uma eleição

para representante de uma turma.

Comentários: Para responder a esse item, o aluno deve ler e interpretar a

situação-problema, expressá-la na linguagem algébrica como a apresentada na

análise do Relatório, resolver a equação e analisar se o resultado obtido

satisfaz as condições do problema.

A questão apoia-se nos objetos de conhecimento (conteúdo) relativos ao

Tema 1: Números, operações e funções, sendo as Competências do Sujeito

referentes ao Grupo III: Competências para compreender. A habilidade

avaliada é H15 (da 6ª. série/7º. ano): Expressar e resolver problemas por meio

de equações. É contextualizada e a situação é próxima ao cotidiano escolar do

aluno. Considerada pelo resultado contido no relatório como de nível

adequado, exige uma conexão, ou seja, o aluno deve fazer a ligação entre a

linguagem materna e a linguagem matemática, resolver a equação e apontar

seu resultado na linguagem materna.

Esse item requer atenção, pois apenas 38,7% dos alunos acertaram. O

professor deverá investigar se os alunos estão com dificuldades para

interpretar ou para resolver a equação.

Item 3: Exemplo 20. p. 132 do Relatório Pedagógico do Saresp 2009

Habilidade Avaliada – H15 (da 6ª. série/7º. ano): Expressar e resolver

problemas por meio de equações.

85

Figura 12: Item 3 Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp (2009, p.132)

Análise apresentada no Relatório Pedagógico do Saresp

Quadro 16: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 3

Uma das maneiras de resolver o problema é, primeiro, expressá-lo em

linguagem matemática:

onde x é o número de prédios e

é o número

de casas. Temos

(total de prédios)

(total de casas), alternativa C, assinalada por apenas 37,7% dos alunos.

Este percentual sobe para 44,2% para os alunos da 8ª. série/9º. ano. Não sabemos, em ambos os casos, se os erros cometidos estão na tradução do problema para a linguagem matemática e/ou na resolução da equação, e/ou nos cálculos com frações.

Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp 2009, p.133

Análise prévia do item

Síntese da tarefa: Resolver problema. No caso, determinar o número de casas

de uma rua conhecendo-se o número total de edificações e a relação entre

número de casas e prédios da rua.

Comentários: Para resolver esse item, o aluno deve ler e interpretar a

situação-problema traduzi-la para a linguagem algébrica, resolver a equação ou

o sistema de equações e apresentar a solução na linguagem materna. O aluno

86

1) Classificar o item de acordo com a Matriz de Referência do Saresp (Grupo e habilidade) 2) Apresentar as soluções que os alunos fariam. 3) Identificar as alternativas que não estão corretas e o comportamento das respostas dos alunos. 4) Acrescentar os comentários do grupo.

poderá resolver o problema como o foi apontado no Relatório, ou, então,

transformá-lo em um sistema de equações.

Sendo c o número de casas e p o número de prédios, temos:

Resolvendo o sistema, o aluno encontrará os valores c = 45 e p = 25.

Esse item compreende os objetos de conhecimento (conteúdo) relativos

ao Tema 1: Números, operações e funções, sendo as Competências do Sujeito

referentes ao Grupo III: Competências para compreender. A habilidade

avaliada é H15 (da 6ª. série/7º. ano): Expressar e resolver problemas por meio

de equações. É contextualizada e a situação é próxima ao cotidiano pessoal do

aluno. Considerada pelo resultado contido no relatório como de nível

adequado, exige uma conexão, ou seja, o aluno deve fazer a ligação entre a

linguagem materna e a linguagem matemática, resolver a equação e

apresentar seu resultado na linguagem materna.

Esse item foi aplicado na 6ª. série/7º. ano e 8ª. série/9º. ano com um

acréscimo de 6,5% de acerto de uma série/ano para o(a) outro(a). Mesmo

assim, não atinge a metade dos alunos. Isso nos faz levantar a hipótese de que

esse conteúdo foi desenvolvido na 6ª. série/7º. ano e não foi mais retomado

nos dois anos seguintes.

Atividade 2 de Análise de itens (Ver apêndice E)

A segunda atividade contém três itens para análise, abordando conteúdo

do Ensino Fundamental II, no caso, equações e sistemas de equações, a ser

desenvolvida em pequenos grupos e em seguida socializada com o grupo

maior.

A proposta dessa atividade encontra-se no quadro a seguir

Quadro 17: 2ª. Atividade de Análise de itens

Fonte: Acervo próprio

87

Os itens nessa atividade são apresentados para o grupo sem estarem

acompanhados da habilidade avaliada. Nesse aspecto, a atividade difere da

anterior, na qual a habilidade estava explicitada no item.

O objetivo, ao se excluir a habilidade avaliada, é verificar se os

professores estão se apropriando da classificação dos itens apresentados na

matriz de referência do Saresp.

Os itens escolhidos foram:

Item 4: Exemplo 22. p. 134 do Relatório Pedagógico do Saresp 2009 – 6ª.

Série/7º. ano – EF

Figura 13: Item 4 Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp (2009, p.134)

Análise contida no Relatório Pedagógico do Saresp 2009

Quadro 18: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 4

A alternativa correta foi a D, assinalada por apenas 25,6% dos alunos.

Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp 2009, p.134

Análise prévia do item

Síntese da tarefa: Identificar a raiz de uma equação dada.

Comentários: Para responder a esse item, o aluno poderá aplicar as técnicas

de resolução de equação do primeiro grau para então identificar a alternativa

correta. Ele poderá determinar o mmc (3,2) = 6 para reduzir ao mesmo

denominador, resolver a equação e verificar se a raiz encontrada satisfaz a

equação do 1º. grau.

88

Esse item compreende os objetos de conhecimento (conteúdo) relativos

ao Tema 1: Números, operações e funções, sendo as Competências do Sujeito

referentes ao Grupo II: Competências para realizar. A habilidade avaliada é

H14 (da 6ª. série/7º. ano): resolver equações do 1º. grau. Considerada pelo

resultado contido no relatório como de nível avançado, é um item de

reprodução, pois avalia a habilidade de resolver a equação sem contexto.

Esse item apresentou um alto índice de erro, 74,4%, para a habilidade

avaliada. Provavelmente, os alunos apresentem dificuldades para reduzir ao

mesmo denominador e resolver equações na forma fracionária.

Item 5: Exemplo 2. p. 148 do Relatório Pedagógico do Saresp 2009 – 8ª.

série/9º. ano – EF

Figura 14: Item 5 Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp (2009, p.148)

Análise contida no Relatório Pedagógico do Saresp 2009

Quadro 19: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 5

Trata-se de uma questão de expressão de um problema em linguagem matemática. Cerca de apenas 58% dos alunos mostram esta habilidade em um problema simples envolvendo um sistema de equações. É pequeno este percentual de acerto, se observamos o nível de dificuldade da questão e a série/ano considerada. Não é possível uma análise consistente sobre os prováveis erros cometidos pelos alunos que marcaram os distratores.

Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp 2009, p.148

Análise prévia do item

Síntese da tarefa: Expressar um problema em linguagem matemática, em

particular através de um sistema de equações.

89

Comentários: O aluno deve ler e interpretar a situação-problema e transformá-

la em um sistema de equações.

Esse item compreende os objetos de conhecimento (conteúdo) relativos

ao Tema 1: Números, operações e funções, sendo as Competências do Sujeito

referentes ao Grupo I: Competências para observar. A habilidade avaliada é

H06 (da 8ª. série/9º. ano): identificar um sistema de equações de 1º. grau que

expressa um problema. Considerada pelo resultado contido no relatório como

de nível básico, a situação apresentada é próxima ao cotidiano escolar do

aluno. É um item de conexão, pois faz com que o aluno relacione uma situação

contextualizada com a linguagem matemática.

Embora 57,6% dos alunos tenham acertado essa questão, ela ainda

apresenta um índice de erro de 42,4%.

Item 6: Exemplo 16. p. 160 do Relatório Pedagógico do Saresp 2009 -– 8ª.

série/9º. ano – EF

Figura 15: Item 6 Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp (2009, p.160)

90

Análise contida no Relatório Pedagógico do Saresp 2009

Quadro 20: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 6

A questão pede simplesmente a resolução do sistema de equações e o aluno pode fazê-la de muitas maneiras, uma delas:

De 6x – y = 2 vem – y = 2 – 6x e, portanto, y = 6x – 2 (I). Levando este resultado para a segunda equação, temos:

Substituindo em (I), vem y = 4 Assim, o produto dos dois números xy = 4, alternativa A, marcada por apenas

35% dos alunos. Este percentual de acertos é pequeno se olharmos para o nível de dificuldade da questão e a série/ano considerada.

Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp 2009, p.161

Análise prévia do item

Síntese da tarefa: Resolver um sistema de equações do 1º. grau e calcular o

produto x.y.

Comentários: Para responder a esse item, o aluno deve resolver o sistema de

equações por substituição (como o apresentado no relatório) ou por adição,

assim:

Substituindo x = 1 na segunda equação, temos y = 4, portanto o produto

será x.y = 4.

A questão apoia-se nos objetos de conhecimento (conteúdo) relativos ao

Tema 1: Números, operações e funções, sendo as Competências do Sujeito

referentes ao Grupo III: Competências para compreender. A habilidade

avaliada é H18 (da 8ª. série/9º. ano): Resolver sistemas lineares (método da

adição ou da substituição). A questão não está contextualizada e a situação é

próxima ao cotidiano escolar do aluno. Considerada pelo resultado contido no

relatório como de nível avançado, exige um agrupamento de competência de

reprodução, ou seja, aplicar o procedimento de resolução de sistemas de

equações para resolver o sistema.

Houve um alto índice de erro, 65%. Não podemos afirmar quais as

causas desse resultado, apenas levantar hipóteses; e uma delas é que os

alunos que erraram podem estar com dificuldades para aplicar os métodos de

resolução de sistemas.

91

Atividade 3 de Análise de Itens (Ver apêndice E)

Os itens a serem analisados nesta atividade contemplam conteúdos de

álgebra do Ensino Fundamental e Médio. Nesta atividade, está planejado

discutir com o grupo o significado de síntese da tarefa para ser incorporada à

análise de um item, ou seja, o professor identificar qual a tarefa a ser realizada

pelo aluno para resolver a questão.

A proposta é que a atividade seja desenvolvida em grupos, e que cada

grupo analise três ou quatro itens com as instruções a seguir (ver atividade na

íntegra no apêndice E):

Quadro 21: 3ª. Atividade de análise de itens

Fonte: acervo próprio

Essa atividade se compõe de treze itens, dos quais cinco são discutidos

a seguir por estarem relacionados a equações e sistemas de equações, que

são relativos à nossa pesquisa. Os demais itens selecionados para o curso

encontram-se, na íntegra, no Apêndice E.

Item 7: Exemplo 4. p. 190 do Relatório Pedagógico do Saresp 2009 – 3ª. série

Ensino Médio

Figura 16: Item 7 Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp (2009, p.190)

Discutir em grupo: 1. A solução das questões 2. Síntese da tarefa 3. Comentários

92

Análise contida no Relatório Pedagógico do Saresp 2009

Quadro 22: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 7

Chamando de x a quantia em reais de João, y a de Sandra e z a de Marcos, podemos escrever o problema proposto da seguinte forma:

De (I), x + y = 100 – z

Em (II), 2(100 – z) + z = 150 200 – z = 150 z = 50 De (I), y + z = 100 – x

Em (III), x + 2(100 – x) = 180 x + 200 – 2x = 180 x = 20 y = 30 A resposta 20, 30, 50 aparece na alternativa A, marcada por cerca de 46% dos

alunos. Não sabemos se os erros cometidos pelos alunos que optaram pelos distratores são devidos à tradução do problema para a linguagem matemática e/ou a resolução do sistema.

Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp 2009, p.190

Análise prévia do item:

Síntese da tarefa: Expressar a situação-problema na linguagem matemática,

em um sistema de equações de 1º. grau com três incógnitas, resolver esse

sistema e representar a solução na linguagem materna.

Comentários: Para responder a esse item, o aluno poderá resolver o sistema

como o proposto no relatório ou, por escalonamento:

Chamando de x a quantia em reais de João, y a de Sandra e z a de

Marcos, temos

Portanto João tem 20 reais, Sandra 30 e Marcos 50.

A questão apoia-se nos objetos de conhecimento (conteúdo) relativos ao

Tema 1: Números, operações e funções, sendo as Competências do Sujeito

referentes ao Grupo III: Competências para compreender. A habilidade

avaliada é H14 (da 3ª. série do EM): Resolver situações-problema por

intermédio de sistemas lineares até a 3ª. ordem. O item está contextualizado e

a situação é próxima ao cotidiano pessoal do aluno. Considerada pelo

93

resultado contido no relatório como de nível básico, exige uma reflexão, ou

seja, transformar a situação-problema na linguagem algébrica, decidir a

estratégia para resolver o sistema, verificar se a solução satisfaz as condições

do problema.

O índice de acertos foi de 45,9%, ainda baixo, pois 54,1% dos alunos

erraram essa questão. Por ser uma questão objetiva, não temos como verificar

o desenvolvimento na resolução de cada aluno e não sabemos indicar as

dificuldades dos alunos, apenas levantar hipóteses, como as relacionadas no

relatório.

Item 8: Exemplo 27. p. 212 do Relatório Pedagógico do Saresp 2009 – 3ª.

série EM

Figura 17: Item 8 Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp (2009, p.212)

Análise contida no Relatório Pedagógico do Saresp 2009:

Quadro 23: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 8

x = 8, alternativa B, assinalada por apenas 19,3% doa alunos. Não podemos levantar hipóteses plausíveis a respeito dos possíveis erros.

Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp 2009, p.212

Análise prévia do item

Síntese da tarefa: Resolver a equação logarítmica e identificar a solução.

Comentários: Para responder a esse item, o aluno deve resolver a equação,

aplicando as propriedades de logaritmo, como a solução apresentada no

relatório.

A questão apoia-se nos objetos de conhecimento (conteúdo) relativos ao

Tema 1: Números, operações e funções, sendo as Competências do Sujeito

referentes ao Grupo II: Competências para realizar. A habilidade avaliada é

94

H12 (da 3ª. série do EM): Resolver equações e inequações simples, usando

propriedades de potências e logaritmos. O item não está contextualizado,

requer apenas o nível técnico para solução, e a situação é próxima ao cotidiano

escolar do aluno. Considerada pelo resultado contido no relatório como de nível

avançado, a estratégia de resolução exige uma conexão entre conteúdos

matemáticos, como a definição de equação, propriedades de logaritmos,

propriedades de potências, equação de 2º.grau.

O item apresenta um índice de erro elevado, 80,7%. Embora não se

saibam as causas, esse conteúdo precisa ser retomado.

Item 9: Exemplo 2. p. 188 do Relatório Pedagógico do Saresp 2009 – 3ª. série EM

Figura 18: Item 9 Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp (2009, p.188)

Análise contida no Relatório Pedagógico do Saresp 2009

Quadro 24: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 9

Os alunos precisam escrever em linguagem matemática o problema proposto: Chamando de x o peso da lata e de y o peso do achocolatado que pode enchê-

la, temos

Resolvendo o sistema, vem:

, alternativa A, marcada por mais da metade (53,3%)

dos alunos. Não sabemos se os erros cometidos pelos alunos que optaram pelos

distratores são devidos à tradução para a linguagem matemática e/ou à resolução do sistema.

Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp 2009, p.188

95

Análise prévia do item

Síntese da tarefa: Expressar uma situação-problema na forma de sistema de

equações, resolvê-lo e verificar se os valores encontrados são solução do

problema.

Comentários: Para responder a esse item, o aluno deverá traduzir a situação-

problema para a linguagem matemática, expressando-a como um sistema de

equações do 1º. grau com duas incógnitas, resolver pelo método da adição ou

da substituição, encontrando o valor de 100g para o peso da lata.

A questão apoia-se nos objetos de conhecimento (conteúdo) relativos ao

Tema 1: Números, operações e funções, sendo as Competências do Sujeito

referentes ao Grupo III: Competências para compreender. A habilidade

avaliada é H14 (da 3ª. série do EM): Resolver situações-problema por

intermédio de sistemas lineares até a 3ª. ordem. O item está contextualizado

numa situação próxima ao cotidiano pessoal do aluno. Considerada pelo

resultado contido no relatório como de nível básico, a estratégia de resolução

exige uma conexão entre a linguagem materna e a linguagem matemática e

entre conteúdos matemáticos.

O índice de acerto dos alunos (53,3%), pouco mais da metade, ainda

preocupa, merece atenção dos professores para que propiciem uma retomada

desse conteúdo e auxiliem nas dificuldades de seus alunos durante a resolução

de situações-problema envolvendo sistemas de equações.

Item 10: Exemplo 18. p. 203 do Relatório Pedagógico do Saresp 2009 – 3ª.

série EM

Figura 19: Item 10 Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp (2009, p.203)

96

Análise contida no Relatório Pedagógico do Saresp 2009

Quadro 25: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 10

Os alunos devem mostrar a habilidade de resolver equações que envolvem a incógnita como expoente:

alternativa D, assinalada por cerca de 40% dos alunos. Não temos como saber quantos deles “experimentaram”, na equação, os valores dados nas alternativas e assinalaram a correta sem ter resolvido equação.

Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp 2009, p.203

Análise prévia do item

Síntese da tarefa: Resolver a equação exponencial.

Comentários: Para responder a esse item, o aluno deverá utilizar as

propriedades de potenciação para resolver a equação exponencial e então

determinar a raiz da equação, x = 3.

A questão apoia-se nos objetos de conhecimento (conteúdo) relativos ao

Tema 1: Números, operações e funções, sendo as Competências do Sujeito

referentes ao Grupo II: Competências para realizar. A habilidade avaliada é

H12 (da 3ª. série do EM): Resolver equações e inequações simples, usando

propriedades de potências e logaritmos. O item não está contextualizado,

requer apenas que o aluno aplique técnicas de resolução, sendo uma situação

científica. Considerada pelo resultado contido no relatório como de nível

adequado, a estratégia de resolução exige uma reprodução das propriedades e

técnicas de resolução.

O índice de erro dos alunos, 61,3%, requer dos professores uma revisão

nas estratégias utilizadas para desenvolver tais conteúdos, verificar com os

alunos como resolvem essas equações e, talvez, por ser um conteúdo da 1ª.

série do EM, provavelmente, não podemos afirmar, não tenha sido retomado

nas séries subsequentes.

97

Item 11: p. 101 do Relatório Pedagógico do Saresp 2008 – 8ª. série/9º. ano – EF

Figura 20: Item 11 Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp (2008, p.101)

Análise contida no Relatório Pedagógico do Saresp 2008

Quadro 26: Análise apresentada no Relatório do Saresp do Item 11

Para resolver este problema, o aluno deve reconhecer a relação de proporcionalidade direta entre quilômetros percorridos e litros de combustível consumido para, com uma regra de três simples, determinar o total de combustível para fazer uma viagem de 960 km. Isto é, 120 __________ 15 960 ____________ x

litros.

Com o preço de R$ 2,00 o litro, Carla gastará Portanto, alternativa D.

Apenas 34% dos alunos assinalaram D. O registro de 20% que escolheram a alternativa A, deve-se provavelmente ao fato de os alunos, por desatenção, acharem que a solução estava dada pelo total de combustível (120 l) necessário para fazer a viagem.

O percentual de acerto deve ser maior, em questões como esta, para alunos de 8ª. série do ensino fundamental, dado que a proporcionalidade é um dos assuntos fundamentais em matemática e é trabalhado por várias perspectivas.

Fonte: Relatório Pedagógico do Saresp 2008, p.101

Análise prévia do item

Síntese da tarefa: Resolver uma situação-problema, usando o conceito de

proporcionalidade direta através de regra de três simples.

Comentários: Para responder a esse item, o aluno deverá ler e interpretar a

situação-problema, decidir a estratégia de resolução, optando, provavelmente,

por estabelecer a proporção entre as grandezas, encontrar o valor de 120 litros

de combustível e perceber que deverá calcular quanto será gasto, devendo

encontrar o valor de R$ 240,00.

98

A questão apoia-se nos objetos de conhecimento (conteúdo) relativos ao

Tema 1: Números, operações e funções, sendo as Competências do Sujeito

referentes ao Grupo III: Competências para compreender. A habilidade

avaliada é H20 (da 8ª. série/9º. ano do EF): Resolver problemas envolvendo

relações de proporcionalidade direta entre duas grandezas por meio de

funções do 1º. grau. O item está contextualizado numa situação próxima ao

cotidiano pessoal do aluno. Considerada pelo resultado contido no relatório

como de nível adequado, a estratégia de resolução exige uma conexão entre a

linguagem materna e a linguagem matemática e entre conteúdos matemáticos.

Devido ao índice de erro dos alunos, 66%, podemos levantar a hipótese

de que esse conteúdo tenha sido pouco trabalhado nessa série.

4.2.4 Atividade de elaboração e classificação de itens

Nesta seção, discutimos a atividade de criação e classificação de itens,

prevista para ser desenvolvida no encontro 6.

A atividade foi planejada com o objetivo de promover reflexões

compartilhadas ao longo do processo de elaboração do item pelo grupo, desde

a escolha do conteúdo matemático, até as características intrínsecas da

questão (redação do enunciado, proposta da situação, competências,

habilidades em jogo etc.)

Quanto à classificação de itens, dessa vez, planejamos utilizar também

parte do marco teórico do PISA, solicitando a indicação da situação ou contexto

(pública, pessoal, educacional/ocupacional, científica), o agrupamento de

competências (reprodução, reflexão ou conexão), o conteúdo matemático

envolvido e o tipo de item (aberto, múltipla escolha etc.).

O objetivo é levar o professor a refletir sobre diversas possibilidades de

classificação de itens, a partir do estabelecimento de critérios distintos,

ampliando, dessa forma, o olhar que esteve focado nos critérios do Saresp.

Vale frisar que as situações ou contexto, conforme o marco teórico do

PISA, são definidos de acordo com a proximidade do aluno com a situação,

podendo ser pessoais – temas mais próximos a vida pessoal do estudante;

educacionais/ocupacionais – temas relativos à vida escolar, profissional ou

lazer; pública – temas referentes à comunidade local e à sociedade; científicas

99

– temas mais distantes da vida de um estudante. Os agrupamentos de

competências são reprodução, conexão ou reflexão. Reprodução – envolve a

reprodução de conhecimentos já praticados. Conexão – apoia-se nas

competências do agrupamento reprodução, no entanto utilizados na resolução

de situações-problema com contextos próximos ou não de sua vida pessoal.

Reflexão – apoia-se no agrupamento de conexão, no entanto envolve a

capacidade de planejar estratégias de resolução e implementá-las em

contextos de problemas que contêm mais elementos que não sejam tão

familiares como os anteriores. As ideias estruturadoras são quantidade; espaço

e forma; mudanças e relações; indeterminação, estas últimas similares às

apresentadas na Matriz de Referência do Saresp (2009) separadas pelos

temas grandezas e medidas; espaço e forma; números, operações e funções;

tratamento da informação, respectivamente.

Após a atividade de criação e classificação por grupo, planejamos que

houvesse a socialização no grande grupo.

No próximo capítulo, analisamos os encontros de formação, com foco

em nosso interesse de pesquisa.

100

CAPÍTULO 5

Nesta seção, relatamos e analisamos temáticas dos encontros do curso

que tiveram relação com nossa questão de pesquisa, isto é, o curso como um

todo foi o cenário de pesquisa, contudo delimitamos, neste texto, os relatos dos

encontros ou partes de encontros cuja temática envolveu a avaliação e as

equações e sistemas de equações.

5 ANÁLISE DE EPISÓDIOS DOS ENCONTROS

Vale esclarecer que, quando utilizamos a primeira pessoa do singular,

estamos relatando ações individuais da pesquisadora, no papel de formadora

durante os encontros do módulo de álgebra e, quando nos referirmos à

primeira pessoa do plural, estamos tratando de decisões que foram tomadas

sobre a pesquisa no âmbito da universidade: pesquisadora e orientadora em

conjunto.

Relatamos e analisamos parte dos encontros, nos quais foram discutidos

exatamente temas ligados às características das avaliações externas,

equações, sistemas de equações e análise de itens.

Encontro 1

No primeiro encontro, foi apresentado o curso, informando aos

professores sua estrutura, tanto a parte presencial quanto a distancia.

Iniciamos discutindo a presença da álgebra na matemática escolar, isto

é, como ela está inserida no Currículo de Matemática e suas Tecnologias na

Educação Básica e, especificamente, a distribuição dos conteúdos no Ensino

Fundamental (a partir da 6ª. série/7º. ano) e no Ensino Médio. O texto

“Sistemas de Avaliação da Educação no Brasil”, de Maria Helena Guimarães

de Castro (2009) foi lido e discutido em pequenos grupos e em seguida

socializado no grupo maior.

Percebemos, nessa discussão, que os professores conheciam as

avaliações externas aplicadas no Brasil, como Saeb, Enem, Encceja, no

entanto não conheciam a estrutura de exames internacionais como, por

exemplo, o PISA.

O professor MA disse que

101

a escola, há 30 ou 40 anos atrás [sic], era considerada melhor, mas estava voltada só

para uma minoria selecionada e não para todos. (MA – registro em áudio)

Observamos que o professor apresentou para a discussão no grupo a

questão do acesso e democratização da escola e as consequências da

inclusão de alunos das mais diversas classes sociais, necessidades e crenças.

Hoje a qualidade do ensino é o grande desafio. Levantada tal questão, o grupo

discutiu sobre a importância de, como educadores, termos formas de medir a

qualidade da educação básica.

Após diversas ponderações e do debate sobre a validade de se fazer

avaliações do sistema de educação, o grupo chegou a um consenso sobre a

necessidade de se ter um “termômetro para medir se a escola vai bem”, sem

que esses resultados influenciem na sua remuneração17.

O grupo da professora AP (AP, DN, EL e TN), por meio da relatora, a

professora TN, comentou que

a qualidade da formação do professor também não é muito boa, pois saem da

faculdade com deficiências e sem preparo para ensinar. (registro em áudio)

Observamos que questões concernentes à profissionalização docente

na acepção de Imbernón (2000) foram aqui discutidas pelo grupo.

Na sequência. o foco de discussão se concentrou no exame do Saresp e

a reformulação, ocorrida a partir de 2007, feita de modo a torná-lo compatível

com as avaliações nacionais (Saeb). Foi discutida ainda a definição dos quatro

níveis de proficiência (abaixo do básico, básico, adequado e avançado) e a

criação de um índice para o Estado de São Paulo, no caso o IDESP – Índice de

Desenvolvimento da Educação do Estado de São Paulo.

Encontro 2

Nesse encontro, foi retomada a discussão sobre ensino de álgebra na

Educação Básica no Brasil, por meio da história de seu ensino. Foi feita uma

apresentação em slides baseada no artigo de Elizabeth Adorno de Araujo

17

Por exemplo, no Estado de São Paulo, há um bônus anual no salário docente que está atrelado ao resultado obtido pela escola no SARESP.

102

(2010), intitulado “Contextualização do Ensino da Álgebra e Formação de

Professores”.

Quando se discutiu o Movimento da Matemática Moderna e a ênfase

no ensino de álgebra em detrimento dos estudos de geometria, a professora

CP disse que

talvez seja por esse motivo que nós, que éramos alunos na época, não aprendemos

geometria na escola. (CP - registro em áudio)

Reflexão sobre o processo de Profissionalização docente.

Encontro 3

Quanto à nossa pesquisa, no encontro foi discutida a Matriz de

Referência do Saresp e proposta a atividade 1 de análise de questões do

Saresp.

Em relação à Matriz de Referência do Saresp, foram detalhadas quais

as competências cognitivas do sujeito consideradas na matriz, as quais se

dividem em três grupos: competência para observar (GI), para realizar (GII) e

para compreender (GIII), quais as habilidades avaliadas pelo Saresp em cada

série/ano escolar e quais os conteúdos ou objetos do conhecimento que se

dividem em quatro grandes temas: Números, operações e funções; Espaço e

forma; Grandezas e medidas; Tratamento da informação. Além disso, foram

apresentados os níveis de proficiência, a escala de proficiência para cada nível

de escolaridade e o ciclo de matematização. Finalizando, foram discutidos três

exemplos de itens e feitas as análises, relacionando-os com a Matriz de

Referência.

Essas discussões tiveram por propósito subsidiar o professor para, em

seguida, empreender, de forma autônoma, análise dos itens das avaliações.

A primeira atividade de análise de itens do Saresp (atividade 1) solicitava

que fosse apresentada a solução que os alunos dariam para o problema, a

análise das alternativas incorretas (distratores), a aderência do item à

habilidade dada e, por último, fossem acrescentados comentários do professor

sobre o item. Essa atividade, a respeito de conteúdo do Ensino Fundamental,

continha quatro itens para análise II, deveria ser desenvolvida em pequenos

103

grupos e depois socializada com o grupo maior. Os itens propostos nessa

atividade, concernentes à nossa pesquisa, são os itens 1, 2 e 3 descritos na

seção 4.2.

Nesse encontro, os professores inicialmente se dividiram em 5 grupos18

para a análise dos itens; e, em seguida, foi feita a socialização no grande

grupo.

A seguir, apresentamos as análises e as reflexões que emergiram nos

grupos no desenvolvimento dessa atividade (análise dos três itens).

Em relação ao item 1, com o seguinte enunciado:

Observe a promoção indicada no quadro abaixo (no quadro havia a seguinte informação: Leve 5 toalhas e pague apenas 3. Considerando o valor unitário do produto, o desconto na compra de 5 toalhas na promoção será de: a. 20% b.40% c.60% d.80% Sendo que 49,2% assinalaram a alternativa a, 29,7% a b(correta), 14,1% a c e 5,9% a d.

Em relação às soluções que os alunos teriam encontrado, as reflexões

de quatro dos grupos centraram-se na análise da alternativa com maior

frequência de erros, no caso, a alternativa “a” e conjecturaram sobre os

possíveis procedimentos que conduziram ao erro.

Conjecturas que surgiram:

Os alunos talvez tenham pensado que o desconto era sobre o valor unitário, ou seja,

20% do valor total. (Grupo 1)

Talvez tenham feito 5 menos 3 igual a 2 e multiplicaram por 10. A partir disso, uma

possibilidade é que eles não tenham entendido o que é desconto. (Grupo 2)

Regra de três e subtração de 100% para encontrar o desconto ou regra de três e

proporção para encontrar a resposta correta. (Grupo 5)

Quanto aos distratores, os grupos levantaram conjecturas sobre as

possibilidades de resolução ou raciocínio que levariam o aluno a assinalar as

alternativas “a” ou “c” em vez de “b”. Quanto à alternativa “d”, os professores

não encontraram um possível raciocínio que levasse à resposta e disseram que

os alunos “chutaram”.

18

Grupo 1 – dos professores: FT, FB, YR, MC, PL, CG; Grupo 2 – dos professores: CL, MA, CP; Grupo 3 – dos professores: SU, MS , HQ; Grupo 4 – dos professores: AP, EL, TN e DN; Grupo 5 – dos professores: SR, RM, RI, QT.

104

Conjecturas que surgiram:

Os alunos estabeleceram uma proporção por regra de três, recaindo em equação do

primeiro grau para a solução, identificando 60% como preço total e não calculando o

desconto. (Grupo 1)

Dificuldade de leitura e interpretação, não há entendimento do que é porcentagem e do

que é desconto. (Grupo 2)

O aluno estabeleceu uma relação entre o número de toalhas pagas e o número total de

toalhas, chegando a

ou 60%, ou seja, não identificou que essa é a porcentagem paga

em relação ao valor inicial, ou seja, não é o desconto. (Grupo 3)

Na alternativa c, o aluno não conclui que deveria continuar a subtração do todo (100%).

(Grupo 5)

Quanto à aderência, todos os grupos consideraram que o item tem

aderência à habilidade indicada, porém um dos grupos indicou que a questão

envolve outras habilidades além da indicada.

Quanto às reflexões gerais surgiram:

Os alunos estão defasados em relação às séries anteriores (Grupo 2)

O enunciado da questão não é claro. (Grupo 2 e 3)

Analisou-se o item 2, com o seguinte enunciado:

Na eleição para a escolha do representante da turma de Carolina, concorreram três candidatos e todos os 36 alunos votaram, não havendo votos nulos nem votos em branco. O 1º colocado obteve o triplo de votos dados ao 2º colocado. Já o último colocado recebeu apenas 4 votos. O número de votos conquistados pelo vencedor foi: a.12 b.18 c.24 d.36 Sendo que 23,3% assinalaram a alternativa a, 21,8% a b, 38,7% a c(correta) e 15,9% a d.

Em relação às soluções que os alunos teriam encontrado, as reflexões

dos grupos centraram-se na análise da alternativa assinalada com maior

frequência, no caso, a alternativa “c”, correta.

Conjecturas que surgiram:

O aluno pode ter feito assim: o terceiro candidato tem quatro, então 36 menos 4 é 32.

Como o 1º. colocado tem o triplo de votos do 2º. colocado, temos 4 partes, sendo 3

partes para um e 1 parte para o outro. Dividiu 32 por 4, obtendo 8 e multiplicou por 3,

resultando 24. Ele não resolveu por equação. (Grupo 4)

105

Traduzindo o problema como a equação 3x + x + 4 = 36, onde x representa a

quantidade de votos do 2º. colocado, encontrando x = 8, portanto o 1º. colocado terá

24 votos que é o triplo do 2º. colocado. (Grupos 2 e 5)

Quanto aos distratores, os grupos levantaram conjecturas sobre as

possibilidades de resolução ou raciocínio que levariam o aluno a assinalar as

alternativas erradas.

Conjecturas que surgiram:

Para o distrator “a”:

Os alunos dividiram o número de votos pelo número de candidatos 36 : 3 = 12.

(Grupos 2, 3 e 5).

O aluno associou o primeiro colocado ao total de votos. Como no enunciado o

primeiro colocado recebeu o triplo do segundo colocado, então vem que 3x = 36 e x =

12”. (Grupo 4)

Para o distrator “b”:

Dividiram o número de votos pelos 2 primeiros colocados. (Grupos 2, 3 e 5)

O aluno pensou em 2x = 36, daí 2x = 36 e x = 18. (Grupo 4)

Para o distrator “d”:

O aluno associou o total de alunos ao total de votos. (Grupo 4)

Falta de raciocínio lógico, dificuldade de leitura e interpretação, falta de conhecimento

prévio e do assunto abordado. (Grupo 5)

Quanto à aderência, todos os grupos consideraram que o item tem

aderência à habilidade indicada.

Quanto às reflexões gerais surgiram:

Maior domínio na linguagem matemática e resolução de equação. (Grupo 1)

Dificuldade em interpretar o texto e montar a expressão algébrica. Falta de

entendimento na solução da expressão algébrica. (Grupo 2)

Questão bem elaborada, porém muito complicada para a 6ª. série/7º. ano. (Grupo 3)

Nas questões do Saresp, por ter alternativas, não dá para saber como os alunos

resolveram. (Grupo 2)

106

Analisou-se, em seguida, o item 3, com o seguinte enunciado:

Na rua onde Clara mora, há 70 construções, entre casas e prédios. O número de casas é igual

a 5

9 do número de prédios.

O número de casas nesta rua é: a) 30 b) 35 c) 45 d) 55 Esta questão aparece nas provas da 6ª.série/7º.ano e 8ª.série/9º.ano sendo que: Na 6ª. série/7º. ano 13,8% assinalaram a alternativa a, 31,5% a b, 37,7% a c (correta) e 16,7% a d. Na 8ª. série/9º. ano 13,4% assinalaram a alternativa a, 29,8% a b, 44,2% a c (correta) e 12,5% a d.

Em relação às soluções que os alunos teriam encontrado, as reflexões

de três grupos centraram-se na análise da alternativa “b” errada (31,5%), um

grupo apresentou a análise da alternativa “c”, correta (37,7%), com maior

frequência e um grupo teve muita dificuldade para resolver.

Conjecturas que surgiram:

Errariam, assinalando b, entre prédios e casas 70 : 2 = 35 (Grupo 3)

Fariam

. (Grupo 2)

Os alunos que escolheram a alternativa c pensaram que 45 é a única alternativa com

múltiplo de 9. (Grupo 4)

Outros resolveram por sistema

. Então c =

5c = 9 (70 – c) e c = 45 (Grupos 4 e 5)

Quanto aos distratores, os grupos levantaram conjecturas sobre as

possibilidades de resolução ou raciocínio que levariam o aluno a assinalar as

alternativas erradas.

Conjecturas que surgiram:

Dificuldade de leitura e interpretação. Dificuldade na resolução da equação. (Grupo 2).

Não entenderam a questão e colocaram qualquer alternativa. (Grupo 4)

Quanto à aderência, dois grupos consideraram que o item tem aderência

à habilidade indicada; e dois grupos consideraram que a questão envolve

outras habilidades além da indicada.

107

Conjecturas que surgiram:

O aluno terá o domínio de várias habilidades como frações, equações, mmc e outros.

(Grupo 3)

O problema exige mais do que resolver através de equações, precisa também de

conhecimento na montagem e resolução de sistemas. (Grupo 4).

Quanto às reflexões gerais surgiram:

O aluno deve ter habilidade na interpretação do problema e construção da equação que

deverá resolver. (Grupo 1).

Falta base matemática das séries/anos anteriores. (Grupo 2).

Muito difícil. (Grupo 3)

Problema inadequado para o conhecimento dos alunos de uma 6ª. série. (Grupo 4).

Vale destacar que um dos grupos (Grupo 1), ao resolver o item 3,

considerou-o difícil para os alunos. Eles próprios tiveram dificuldade em

entender o enunciado.

A professora FT disse:

Eu consegui resolver. Eu fiz por sistema. Ó, casa mais prédios dá 70. A casa é

dos

prédios. Por substituição você acha os prédios aí joga nas casas... Dá o número de casas...

Eu fiz por sistema só que aí eles não vão lembrar de sistema... Queria fazer por equação,

mas por equação não dá. (registro em vídeo)

Então, o grupo tentou resolver por equação e a professora FB disse:

Dá pra fazer por equação. É só colocar como vocês usaram x para prédio eu usei p,

mas fica assim

.

O grupo ficou absorto na resolução e discussão do problema e, no

tempo reservado para a atividade, não discutiu as questões nela propostas, tais

como a aderência do item à habilidade etc.

Observamos que o conhecimento do conteúdo comum (Ball et al, 2008)

está em construção nesse grupo.

108

Vale ressaltar que, como diz Shulman (1986), os professores conhecem

cada conteúdo matemático de forma diferente e com profundidades diferentes.

No momento de socialização da atividade, cada grupo apresentou sua

análise; e os demais grupos discutiram e complementaram os “depoimentos”.

Emergiram, nessa socialização, novas reflexões, tais como as seguintes:

A professora FB ao comentar sobre os erros que os alunos poderiam ter

feito para encontrar outras soluções nos itens, disse que

quando o aluno não sabe, tenta encontrar números nas respostas que associem aos

dados dos problemas. (FB – registro em áudio)

O professor MS, comentando sobre a forma de resolução do item 3 pelo

seu grupo, disse:

Nós resolvemos assim x mais

de x é igual a 70. Só que não sabemos se o aluno

resolveria assim, pois teria que dividir por 14, e eu tenho classe de alunos de reforço, e

eles não sabem dividir com um número na chave, imagina dividir com dois números na

chave. Daí tem problema. (MS – registro em áudio)

O professor PL, comentando sobre o item 3, disse que

o grande problema dos problemas é essa interpretação que, se até nós, se não souber, a

gente dança. É uma realidade. Nós professores temos dificuldade de interpretar o que

realmente o problema tá pedindo. Resolver é fácil, mas interpretar é que é o problema.

Precisa dominar o conteúdo. A gente tem que estar bem preparado para dar uma aula

legal. Saber as saídas que pode dar para o aluno e deixar o aluno buscar as saídas

também e às vezes o aluno por si só chega nessas respostas. (PL – registro em vídeo)

A professora CL, ao final da socialização, disse que

foi interessante analisar as questões e observar como o aluno poderia ter errado,

discutir com os colegas sobre isso e que nem sempre temos oportunidades como

essa. (CL – registro em áudio)

Todos concordaram com a fala da professora CL sobre a validade da

atividade realizada.

109

Observamos que, nesse encontro, os professores, ao analisarem

resultados do Saresp, preocuparam-se em verificar supostas soluções dos

alunos, embora tenham percebido que são apenas suposições e que, não

havendo o registro das soluções dos alunos, não poderiam precisar onde

erraram. Perceberam também que, se essas questões fossem abertas, teriam

um parâmetro melhor para analisar.

Encontro 4

Nesse encontro, a proposta foi o desenvolvimento de uma atividade do

CA 7ª série volume 3 (ver Anexo B) sobre equações, tabelas e gráficos.

A atividade do CA era parte de uma situação de aprendizagem e

envolvia a codificação do problema (A soma de dois números inteiros e

positivos é 12 e a diferença entre eles é 4) como um sistema de equações, a

investigação de possíveis valores para as incógnitas e a representação gráfica

de cada equação do sistema. Em seguida, propunha o seguinte problema: A

soma de dois números é 6 e a diferença entre eles é 1 e solicitava o mesmo

que o problema anterior.

Os professores, organizados em grupos, resolveram a atividade do CA e

na sequência socializaram no grande grupo suas soluções e reflexões.

Reflexões que surgiram na discussão:

1) É possível traçar uma reta correspondente a cada equação dos

dois sistemas envolvidos?

Os professores TN, DN, AP, EL, RM, SU, HQ, ao representarem

graficamente cada uma das equações no plano cartesiano, correspondentes à

codificação do problema “a soma de dois números inteiros e positivos é 12 e a

diferença entre eles é 4”, traçaram uma reta, pois acreditavam que, se os

pontos estão alinhados, existe a reta.

Assim sendo, consideraram que é possível traçar a reta, não

observaram que a solução está no conjunto dos números inteiros e positivos.

Um exemplo de solução está no protocolo abaixo, da professora SR:

110

Figura 21: Protocolo da Atividade da Professora SR – Sistemas Lineares – 1ª parte Fonte: Acervo próprio

Nota-se que está apresentada a codificação pelo sistema de equações

e, nas tabelas I e II, é feita uma investigação sobre os possíveis valores inteiros

e positivos que satisfazem cada uma das equações e, em seguida, a conclui-se

que o par que satisfaz o sistema é o (8, 4).

No entanto, ao resolver o subitem “d”, que solicitava a representação

gráfica, foi traçada a reta correspondente a cada uma das equações, como se

pode observar no protocolo abaixo. O que evidencia que foi considerado o

conjunto dos números reais e não o dos inteiros positivos.

111

Figura 22: Protocolo da Atividade da Professora SR – Sistemas Lineares – 2ª parte Fonte: Acervo próprio

Nesse momento, a seguinte discussão foi desencadeada por mim:

Quais seriam as coordenadas deste ponto? (Apontei um ponto da reta e perguntei.)

O professor DN respondeu:

Sete e meio e três e meio.

Respondi:

Leiam novamente as condições iniciais do problema.

Leram. Perguntei:

Estes números são inteiros e positivos?

A professora SU disse:

Então... não posso traçar a reta? Agora entendi.

O professor HQ disse:

Eu deixo meus alunos traçarem a reta. Eles aprenderam assim, mas lá pra frente eu

falo que estava errado.

Outro protocolo dessa atividade:

Figura 23: Protocolo da Atividade do Professor RM – Sistemas Lineares – 1ª parte Fonte: Acervo próprio

112

No caso, esse outro protocolo, do professor RM, explicita que não existe

a reta, fazendo uma justificativa.

No caso do segundo problema (a soma de dois números é 6 e a

diferença entre eles é 1), a reta foi traçada por todos os participantes, com

exceção de um deles, que traçou um segmento.

Em seguida, analisou-se o caso do protocolo a seguir:

Figura 24: Protocolo da Atividade do Professor RM – Sistemas Lineares – 2ª parte Fonte: Acervo próprio

Nesse momento, foi possível discutir no grande grupo que, quando não

está especificado o conjunto numérico, trata-se do conjunto dos números reais,

113

que a representação é uma reta e, que para traçá-la, só precisamos determinar

dois pontos.

Ao desenvolver essa atividade, foi possível identificar algumas

dificuldades dos professores concernentes ao conhecimento comum do

conteúdo (Ball et al, 2008). O encontro possibilitou discussões no sentido de

auxiliar a (re)construção de conhecimentos sobre o conteúdo de equações.

2) Existe a intersecção das representações gráficas de cada

equação?

Outra reflexão promovida ao longo do desenvolvimento da situação de

aprendizagem foi relativa à solução do sistema. No caso, obtida pela interseção

das retas que representam cada equação do sistema.

No caso do primeiro problema, o par (8, 4) foi apontado por todos como

solução, o mesmo ocorrendo com os pares (3, 5; 2, 5) apontado como solução

do segundo problema. Contudo, nesse último caso, o professor RM entendeu

que o problema não estava bem formulado. Ele encontrou os pares ordenados

(1, 5), (2, 4) e (3, 3) para a reta de equação x + y = 6 e os pares (2, 1), (3, 2),

(4, 3) para a reta de equação x – y = 1 solicitados na tabela, localizando-os no

plano cartesiano e traçando “segmentos” e não retas. Então indicou na tabela

que “deveria ter os pontos (4, 2)” para que pudesse ter uma intersecção.

No item “d” dessa atividade, ele indicou o ponto de intersecção

corretamente, mas considerou o problema mal formulado, pois ligou os pontos,

contudo não traçou a reta e sim os segmentos, que, no caso, não se

interceptam.

Figura 25: Protocolo da Atividade do Professor RM – Sistemas Lineares – 3ª parte Fonte: Acervo próprio

Novamente foi possível discutir no grupo tais questões.

Percebemos aqui alguns indícios de que existem falhas no

conhecimento do conteúdo específico, que podem, consequentemente, ter

114

implicações no conhecimento do conteúdo pedagógico (Shulman, 1986), uma

vez que um não se dissocia de outro.

Encontro 5

Nesse encontro, foi proposta a segunda atividade de análise de itens do

Saresp, a ser desenvolvida em grupos. A atividade foi composta pelos itens 4, 5 e

6 (vide Planejamento do Módulo, seção 4.2), e o conteúdo neles abordado foi

equações e sistemas de equações.

A diferença entre a atividade de análise de itens agora proposta e a

primeira atividade é que, na segunda, foi solicitada a identificação da habilidade

de cada item, observando as habilidades constantes na Matriz de Referência

do Saresp (2009), além da analise desses itens, apresentando as soluções que

os alunos fariam e identificando as alternativas que não estão corretas e o

comportamento das respostas dos alunos.

Analisou-se o item 4, com o enunciado a seguir:

O valor de x que satisfaz a equação

é:

a. – 1 b. 5 c.

d.

Sendo que 23,2% assinalaram a alternativa a, 21,7% a b, 29,2% a c e 25,6% a d (correta).

Observou-se que, na classificação do item de acordo com a Matriz de

Referência do Saresp, todos os grupos o classificaram corretamente como

Grupo II – competências para realizar e habilidade H14 – resolver equações do

1º grau.

Quanto às soluções que os alunos teriam encontrado, as reflexões dos

grupos centraram-se na solução da equação e conjecturaram sobre os

possíveis procedimentos que os alunos teriam adotado.

Conjecturas que surgiram:

Calcularam o mmc (3, 2) encontrando frações equivalentes:

” (Grupo 4 – registro textual)

Os alunos fizeram multiplicação em cruz:

115

2(x+1) = 3(1-x)

x =

” (Grupo 1 – registro textual)

Quanto aos distratores, os grupos levantaram conjecturas sobre as

possibilidades de resolução ou raciocínio que levariam o aluno a assinalar as

alternativas erradas.

Conjecturas que surgiram:

Podem fazer tudo certo e chegar ao resultado x =

e dizer que isso é igual a 5. (Grupos 1 e

2 – registros textuais)

Podem cancelar os x e os 1 sobrando 3 e 2, daí fariam 3+2 = 5 ou 2 – 3 = -1. (Grupo 1 –

registro textual)

Cancelaram a variável x e optaram por

por não ter alternativa com

. (Grupo 4 – registro

textual)

Substituiu x por -1 e calculou erroneamente e deu zero nos dois membros ou x por 5 e tudo

fica igual a 2 (Grupo 5 – registro textual)

Quanto às reflexões, gerais surgiu a seguinte:

Os alunos possuem imaginação e podem criar outras soluções e dar a resposta errada.

Há ainda a possibilidade de “chutar” uma resposta. (Grupos 1 e 2 – registros textuais)

O item 5, com o enunciado a seguir. foi analisado:

“Numa gincana de Matemática, Hélio calculou mentalmente dois números de modo que sua soma fosse igual a 12 e sua diferença 2. Lúcia utilizou outra estratégia, determinando esses dois números algebricamente. Dessa forma, um possível sistema de equações para indicar o raciocínio de Lúcia é:

a.

b.

c.

d.

Assinalaram a alternativa a 13,9% dos alunos, a b 13,8%, a c 14,4% e a d(correta) 57,6%.

116

Na classificação do item de acordo com a Matriz de Referência do

Saresp, todos os grupos classificaram-no corretamente como Grupo I –

competências para observar e habilidade H06 (da 8ª série/9º ano) – Identificar

um sistema de equações do 1º grau que expressa um problema.

Quanto às soluções que os alunos teriam encontrado, as reflexões dos

grupos centraram-se na resposta com maior frequência, nesse caso, a correta

(d) e conjecturaram sobre as possíveis causas do acerto.

Conjecturas que surgiram:

Leram e interpretaram corretamente, principalmente pela informação no problema –

soma e diferença de dois números. (Grupo 4 – registro textual)

Comparação de dois métodos, o mental e o experimental. (Grupo 3 – registro textual)

Leram corretamente o enunciado e escreveram expressões algébricas

correspondentes ao texto do problema. (Grupo 5 – registro textual)

Quanto aos distratores, os grupos levantaram conjecturas sobre as

possibilidades de resolução ou raciocínio que levariam o aluno a assinalar as

alternativas erradas.

Conjecturas que surgiram:

Como o texto diz “dois números” podem pensar em 2x e escolherem a alternativa a ou

b ou leem “12 e sua diferença 2”, fazendo 12 – 2 = 10 e escolherem a alternativa b.

Podem pensar “5 + 7 = 12 e 7 – 5 = 2” e escolher a alternativa c. (Grupo 2 – registro

textual)

Não conseguem transcrever para a linguagem matemática a complexidade do

problema e buscam nas alternativas uma possível resposta. (Grupo 3 – registro textual)

Os alunos que escolheram a alternativa c confundiram a soma e a diferença dos dois

números com as soluções 5 e 7. (Grupo 4 – registro textual)

Os alunos que assinalaram as alternativas incorretas mostram que não conseguem

interpretar corretamente a linguagem escrita para a linguagem matemática. (Grupo 5 –

registro textual)

Quanto às reflexões gerais:

Dificuldade de leitura e interpretação, mas a maioria entendeu o texto e acertou. (Grupo

1 – registro textual)

O enunciado é claro e consegue traduzir a conexão entre linguagem e matemática.

(Grupo 3 – registro textual)

Analisou-se o item 6, com o enunciado a seguir:

117

Considere o sistema de equações abaixo:

O valor do produto x.y é igual a: a. 4 b. 6 c. 8 d. 10 Assinalaram a alternativa a (correta) 35.0% dos alunos, a b 21,8%, a c 24,9% e a d 18,2%”.

Na classificação do item de acordo com a Matriz de Referência do

Saresp, todos os grupos classificaram-no corretamente como Grupo III –

competências para compreender e habilidade H18 (da 8ª série/9º ano) –

Resolver sistemas de equações (métodos da adição e da substituição).

Quanto às soluções que os alunos teriam encontrado, os grupos

analisaram a alternativa assinalada com a maior frequência, nesse caso, a

correta (a) e resolveram o sistema por adição ou por substituição.

Quanto aos distratores, os grupos levantaram conjecturas sobre as

possibilidades de resolução ou raciocínio que levariam o aluno a assinalar as

alternativas erradas.

Conjecturas que surgiram:

Podem pensar se x + y = 5, então x = 3 e y = 2 daí x.y = 6. (Grupo 1– registro textual)

Por não conseguir resolver o sistema, os alunos podem ter associado as alternativas

incorretas aos números que aparecem no sistema, no caso 6, 2 e 5. A alternativa b tem

6, a alternativa c poderiam ter somado 6 + 2; na d, poderiam multiplicar 2 . 5. (Grupo 4

– registro textual)

Quanto às reflexões gerais:

O sistema está simples de resolver, mesmo assim sempre há dúvidas por parte dos

alunos. (Grupo 1 – registro textual)

É necessário saber interpretar e compreender o enunciado para resolvê-lo. (Grupo 3 –

registro textual)

Na socialização da atividade, durante a discussão das análises, vale

enfatizar que os professores relataram o quanto foi interessante poder levantar

com os pares as conjecturas sobre as maneiras pelas quais os alunos

resolvem as questões, inclusive fazer o levantamento dos supostos raciocínios

que levam ao erro.

118

Tais reflexões explicitam o conhecimento pedagógico do conteúdo

(Shulman, 1986) e o conhecimento especializado do conteúdo, que é

específico do professor (Ball et al, 2008).

Encontro 6

Nesse encontro, com relação à nossa pesquisa, houve a proposta do

desenvolvimento, em grupos, da atividade do CA com a Situação de

Aprendizagem 3 abordando grandezas proporcionais – Volume 2 – 8ª série/9º

ano (Vide Planejamento do Módulo, seção 4.2.1.).

Inicialmente, foi analisada a questão exposta na figura a seguir:

Figura 26: Trecho de Situação de Aprendizagem envolvendo grandezas proporcionais Fonte: CA – Matemática – 8ª. série/9º. ano – Volume 2, p.34, 2009

Surgiram as seguintes reflexões:

1) O que são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais e como estabelecer uma sentença que as relacione?

Ao procurar escrever a sentença algébrica que relacionasse x e y, foram

feitas as seguintes conjecturas:

Fazendo por tentativa e erro, tentamos y = x + 9, vale para o primeiro valor, mas não

vale para os próximos. Tentamos multiplicar por 2, mas não dava certo; mas, se fizer y

sobre x igual a 10 e y igual a 10x, daí x é igual a y sobre 10. Vamos ver se dá certo. 10

sobre 10 dá 1. É, dá certo. (Grupo 5)

Existe uma razão de proporcionalidade, no caso 10, que foi estabelecida

empiricamente.

Na mesma atividade, para as seguintes grandezas,

119

Figura 27: Trecho de Situação de Aprendizagem envolvendo grandezas proporcionais - B Fonte: CA – Matemática - 8ª.série/9º.ano – Volume 2, p.35, 2009

a professora SU comentou:

Os dois aumentam então é diretamente proporcional, só que não na mesma proporção.

A professora SR respondeu:

É diretamente proporcional, mas não dá pra fazer a sentença.

Aqui foi possível discutir com o grupo o conceito de grandezas

diretamente proporcionais e da existência da razão de proporcionalidade.

Para a socialização da atividade do CA, vale destacar uma reflexão da

professora SR:

No início da atividade, estava com dúvidas para reconhecer se as grandezas eram

diretamente, inversamente proporcionais ou mesmo nenhuma delas. Esqueci da

constante de proporcionalidade.

Novamente foi possível observar que, ao longo das análises das

atividades, aspectos do conhecimento específico do conteúdo (Shulman, 1986)

ou do conhecimento do comum do conteúdo, segundo (Ball et al, 2008),

estavam sendo construídos pelos professores por meio das reflexões com o

grupo.

2) Reflexões sobre o próprio conhecimento matemático e didático

Uma reflexão surgida, nesse encontro, foi a ilustrada pela fala da

professora SU:

É difícil você ensinar para eles aquilo que você não sabe, você tem o conhecimento,

mas [não de todo o conteúdo]. Como avaliar aqui. Está muito mais fácil agora. Avaliar

uma questão como o aluno se sai. Qual a posição dele. Algumas situações são difíceis

120

e como ele conseguiu aquele resultado, ninguém sabe, só perguntando para ele. Mas,

muitas vezes, a gente percebe. “Ah! ele somou”, etc. (registro em vídeo)

Esse depoimento da professora nos remete a Jaworski (1993), a qual

alerta que, nos processos de reflexão compartilhada com seus pares, os

professores ficam mais conscientes da necessidade de eles conhecerem mais

matemática para ensinar, de forma que consigam analisar e elaborar tarefas

diferentes e envolver os alunos nas atividades matemáticas.

No contexto desse encontro, no qual foi discutido o Marco Referencial do

PISA, surgiram reflexões sobre o conhecimento matemático e didático, tais

como as reveladas pela fala da Professora SU:

Então seria aconselhável que, na minha prova, fizesse um balanceado entre questões

destes três tipos: reflexão, conexão e reprodução? (Registro em vídeo)

Respondi:

Isso.

A PCOP RS disse:

O Saresp não utiliza o mesmo padrão do PISA, não tem esta mesma classificação de

reprodução, conexão e reflexão, mas precisamos analisar como temos feito nossas

avaliações, será que fazemos apenas de reprodução ou apenas de conexão?

Precisamos olhar isso e aqui é um momento nosso de reflexão. Que tipo de avaliação

eu levo para minha sala de aula? Que cuidado eu tenho ao elaborá-la?

A Professora SU acrescentou:

Bem, RS, eu acho interessante esse assunto que estamos agora abordando, que não é

passado assim para nós. Não estou criticando aqui nenhuma escola não; mas, se nós

tivéssemos esta base, ficaria muito mais fácil. Bem, por exemplo, eu tenho que fazer

atividades ou provas diversificadas, mas porque assim eu vou ter vários momentos

para avaliar, mas, em nenhum momento, eu entendia que seria reprodução, conexão

ou reflexão, em nenhum momento. Então, eu falo mesmo, eu sabia que tinha que

colocar um exercício um pouco mais fácil, outro mais difícil, médio, mas eu não tinha

esse domínio, né?

121

Constatamos algumas reflexões sobre a prática pedagógica que foram

impulsionadas nesse encontro, especialmente sobre a avaliação do professor

em sala de aula e sobre os tipos de atividades que são propostas por ele aos

alunos no processo de ensino e de aprendizagem.

Encontro 7

Esse encontro, com relação à nossa pesquisa, foi dividido em duas partes:

a primeira, com a elaboração e classificação de itens e a segunda, com a

apresentação dos grupos sobre o resultado dos Estudos Complementares, que

consistiam em uma análise de Situação de Aprendizagem.

Na primeira parte, conforme planejamento (seção 4.2.4), propusemos a

criação de um item por grupo e, na sequência, a classificação dele a partir de

critérios indicados, quais sejam, a situação ou contexto, o conteúdo matemático

envolvido, o agrupamento de competências e o tipo de questão19.

Os cinco grupos formados elaboraram itens, sendo que três deles

relacionados à nossa pesquisa.

O item criado e classificado pelo Grupo 1 está no protocolo indicado na

figura a seguir:

Figura 28: Protocolo de item produzido pelo Grupo 1 Fonte: Acervo próprio

19

Nesse encontro, foram utilizados, para a classificação dos itens, o marco teórico do PISA – ver seção 4.2.4.

122

O item criado pelo Grupo 2 está na figura abaixo:

Figura 29: Protocolo de item produzido pelo Grupo 2 Fonte: Acervo próprio

O item elaborado e classificado pelo Grupo 3 foi o seguinte:

“Em um determinado dia faltaram 7 rapazes numa sala de aula ficando o número de moças igual ao dobro do número de rapazes. Sabe-se que se retirarmos 13 moças da sala o número de moças fica igual ao número de rapazes. Quantos alunos possui a sala?“

Classificação:

Situação ou contexto: educacional/ocupacional

Ideia estruturadora: Quantidade.

Agrupamento de competências: conexão

Tipo de resposta de itens: aberta

Figura 30: Item produzido e classificado pelo Grupo 3 (registro em vídeo) Fonte: Acervo próprio

Reflexões que surgiram durante a socialização no grande grupo sobre

os três itens construídos:

1) Reflexões sobre a construção da questão.

Neste aspecto, as reflexões quanto ao item criado pelo grupo 1 foram

sobre a clareza do enunciado e coerência com as alternativas dadas. No caso,

o item solicita que sejam determinadas as raízes da equação dada. Assim

sendo, não haveria necessidade de apresentar as alternativas por meio de

conjunto solução. Os professores entenderam que, para as alternativas

descritas, uma maneira mais rigorosa matematicamente seria a de solicitar a

123

determinação do conjunto solução. Tal reflexão envolve conhecimento do

conteúdo comum na acepção de Ball (2008).

Quanto ao item criado pelo Grupo 2, a redação gerou discussão. O

professor MA entendia que o quadrado tinha comprimento e largura e, portanto,

ao aumentar o comprimento, estaria mudando a figura para um retângulo de

lados x e (x + 3).

O grupo refletiu, a partir de sugestão dada por mim, sobre como mudar a

redação para que ficasse claro o que era solicitado.

Primeira alteração sugerida:

Em um quadrado de lado x, aumentando o comprimento de dois lados paralelos em 3

metros, a área final fica com 10 m2. Qual é o valor da medida do lado? (Professor MA

– registro em vídeo)

Segunda alteração:

Em um quadrado de lado x, aumentando, em 3 metros, o comprimento de dois lados

paralelos, sua área passa a ser 10 m2. Qual é o valor da medida do lado? (Professora

SR – registro em vídeo)

Terceira alteração:

Em um quadrado de lado x, aumentando a medida de dois lados paralelos em 3

metros, sua área passa a ser 10 m2. Qual é o valor da medida do lado? (Professor

MA – registro em vídeo)

O professor MA comentou:

Nossa! A gente pensa que está sendo tão claro. (Referindo-se à redação da questão

– registro em vídeo).

Nesse momento, esteve em jogo tanto o conhecimento do conteúdo

matemático quanto o conhecimento pedagógico do conteúdo (Shulman, 1986).

O compartilhamento com os pares auxiliou o professor a construir

conhecimentos.

2) Reflexões sobre a matemática que o aluno deverá utilizar para

resolver a questão

124

Para subsidiar as reflexões do grupo sobre a matemática envolvida no

item, foi discutido, nesse encontro, o termo síntese da tarefa, ou seja, em

síntese, o que se pretende que o aluno faça para resolver a questão.

Ao discutirem qual era a tarefa a ser realizada pelo aluno, quanto ao

item criado pelo grupo 1, os professores refletiram sobre os procedimentos

para a resolução do item. No caso, utilizar a fórmula de Bháskara ou a relação

entre os coeficientes e as raízes.

Quanto ao item elaborado pelo grupo 2 (ver figura 29), houve dúvida se

a classificação, quanto ao conteúdo envolvido, seria “espaço e forma”. Após

debate, os professores chegaram a um consenso de que a habilidade a ser

avaliada era a resolução de uma equação de segundo grau, logo a ideia

estruturadora é “mudanças e relações”.

Quanto ao item elaborado pelo grupo 3 (ver figura 30), novamente houve um

debate sobre se a ideia estruturadora seria “quantidade” ou “mudanças e relações”.

A professora EL disse:

A gente montou um sistema (...) meu grupo classificou como Quantidade, pois, a todo

o momento, estamos falando de quantidade, quantidade de moças, quantidade de

rapazes.

No debate, estimulado por mim, a professora CL disse:

Seria mudanças e relações e comentou que a professora EL escreveu na solução

M = 2R (moças é igual ao dobro de rapazes).

A professora SR argumentou:

Se fosse resolvido como equação. seria mudanças e relações e não quantidade. Ele

(o aluno) teria que relacionar rapazes, neste caso, R, com moças e construir a

equação. (registro em vídeo)

A professora CL disse que

os alunos da 8ª série resolveriam traduzindo o problema para uma equação e

resolvendo-a. (registro em vídeo)

Nesse momento, perguntei ao grupo qual seria a síntese da tarefa, isto

é, o que eles queriam que o aluno fizesse para resolver essa questão.

125

Houve novas colocações e, finalmente, o grupo concluiu que se trata da

ideia estruturadora de mudanças e relações.

Novamente o compartilhamento das ideias pôde auxiliar o professor a

desenvolver o conhecimento especializado do conteúdo, que, segundo Ball et

al (2008), é aquele necessário apenas para quem ensina.

3) Reflexões sobre a situação ou contexto e sobre o agrupamento

de competências em jogo no item

Na discussão relativa ao item criado pelo grupo 1, surgiu uma polêmica

em relação à classificação feita pelo grupo (ver figura 28) quanto à

competência em jogo. No caso, o grupo classificou como “modelagem”,

argumentando que utilizaram as competências por área da Matriz de

Referência do Saresp e colocaram esse termo20. Na verdade, a interpretação

do que é modelagem pôde ser discutida.

A partir dessas discussões, tornou-se evidente para o grupo que a forma de

classificar itens depende de critérios e não há uma uniformidade nos “olhares”.

Quanto à situação ou contexto do item, na discussão relativa ao item

criado pelo grupo 2 (ver figura 29), houve debate sobre a precisão dos termos

“pessoal”, “educacional/ocupacional”, “pública”, “científica”.

A professora CL disse:

É complicado definir o que faz parte do universo do aluno. Se aquele contexto é

pessoal ou não. Por exemplo, para um aluno brasileiro, o futebol está no dia a dia dele;

mas, para um aluno de outro país, talvez não. Fica difícil imaginar o contexto que está

ou não mais próximo do aluno. (registro em vídeo)

O grupo refletiu sobre a pertinência da classificação e que toda

classificação envolve certa subjetividade.

Nesse momento, entendemos que, quanto ao conhecimento matemático

para a docência, esteve em ação o conhecimento do conteúdo e ensino,

segundo a classificação feita por Ball et al(2008) para o conhecimento

20

Competência de Área 1 – Desenvolver o raciocínio quantitativo e o pensamento funcional, isto é, o pensamento em termos de relações e a variedade de suas representações, incluindo as simbólicas, as algébricas, as gráficas, as tabulares e as geométricas. Aplicar expressões analíticas para modelar e resolver problemas.

126

pedagógico do conteúdo. Isto é, o conhecimento sobre as maneiras pelas quais

os alunos tendem a desenvolver uma compreensão.

Na segunda parte do encontro 7, os grupos apresentaram o resultado

dos Estudos Complementares.

A proposta para os Estudos Complementares, conforme já descrito no

planejamento (seção 4.2.1), foi a de preparar uma apresentação em PPT a

partir da análise de uma Situação de Aprendizagem que envolvesse álgebra,

com o seguinte roteiro:

I – Introdução – apresentação da situação II – Identificação das competências e habilidades em jogo. III – Identificação das estratégias de resolução. IV – Identificação dos pontos facilitadores para a aplicação da Situação de Aprendizagem. V – Identificação dos pontos dificultadores para a aplicação da Situação de Aprendizagem. VI – Identificação dos conhecimentos prévios para realização da Situação de Aprendizagem. VII – Pesquisar recursos de multimídia para o conteúdo da Situação de Aprendizagem

Em relação às equações e sistemas de equações, foco de nosso estudo,

quatro dos cinco grupos escolheram Situações de Aprendizagem centradas

nesses conteúdos. São eles:

Apresentação 1 - sobre a Situação de Aprendizagem (SA) 4 – Equações

Trigonométricas – 2ª. série do Ensino Médio. (Vide Anexo B) – grupo da

professora CL (CL, CP, FT, MA).

Apresentação 2 – sobre a Situação de Aprendizagem (AS) 4 – As

múltiplas faces das potências e dos logaritmos: problemas envolvendo

equações e inequações em diferentes contextos – 1ª. série do Ensino Médio

(Ver anexo B) - grupo da professora SR (SR, SU e RI).

Apresentação 3 – sobre a Situação de Aprendizagem 3 – Equações e

polinômios: divisão por x – k e redução do grau da equação – 3ª. série do

Ensino Médio (Ver Anexo B) - grupo do professor MS (MS, RM e RI).

Apresentação 4 – sobre a Situação de Aprendizagem 1 – A equação de

3º. grau e o aparecimento natural dos números complexos – 3ª. série do Ensino

Médio (Ver Anexo B) - grupo da professora MC (MC, CG, YR, FB).

Reflexões que surgiram ao longo das discussões sobre as

apresentações:

4) Reflexões sobre as competências e habilidades envolvidas na

tarefa

127

Quanto à apresentação 1, as competências e habilidades envolvidas na

Situação de Aprendizagem analisada, de acordo com a Matriz de Referência

do Saresp, foram classificadas como do Grupo II – Competências para realizar

e envolvendo a habilidade H13 (3º. ano) – Resolver equações trigonométricas

simples, compreendendo o significado das condições dadas e dos resultados

obtidos. O grande grupo concordou com a classificação, contudo houve a

seguinte ressalva:

No Caderno do Professor, as competências e habilidades são mais abrangentes que

as do Saresp. (professora CL – registro em vídeo)

O conhecimento pedagógico do conteúdo esteve em jogo,

especificamente o conhecimento do currículo, ou seja, das finalidades e

estruturação curricular segundo Ball et al (2008).

Nesse tópico, competências e habilidades na Apresentação 3, de acordo

com a matriz de referência do Saresp, a classificação foi Grupo III –

competências para compreender; habilidade H 08 – resolver problemas que

envolvem equações do 2º. grau.

A reflexão do grupo foi a seguinte:

Chegamos à conclusão, porém não concordamos com essa competência para

avaliação do Saresp para esse tema que estamos abordando, pois tinha que

acrescentar equações do 3º. grau. (protocolo – Grupo 3)

As reflexões compartilhadas com o grande grupo, tanto ao longo da

Apresentação 3 quanto da 1, foram relacionadas às competências e

habilidades avaliadas no Saresp, as quais não abrangem todo o conteúdo.

Novamente, o conhecimento pedagógico do conteúdo esteve em jogo,

especificamente o conhecimento do currículo, ou seja, das finalidades e

estruturação curricular segundo Ball.

Quanto à apresentação 4, em relação às competências e habilidades, a

classificação, feita de acordo com a Matriz de Referência do Saresp, foi Grupo I

– Competências para observar, H 16 – Identificar resultados de operações

entre números complexos representados no plano de Argand-Gauss.

128

Na análise de todos os grupos, o conhecimento pedagógico do conteúdo,

em especial o conhecimento do currículo (Ball et al, 2008) esteve em evidência,

quando os professores apresentaram as finalidades especificadas para cada

item.

5) Reflexões sobre os pontos facilitadores e dificultadores para

desenvolver a atividade

Ao longo da apresentação 1, no que se refere aos pontos facilitadores e

dificultadores para desenvolver a atividade, o debate está ilustrado pelos

registros a seguir:

O nosso grupo resolveu os exercícios para perceber quais as dúvidas e dificuldades

que os alunos poderiam ter e, também, se há outro caminho para a solução. (...) Os

alunos resolvem uns ajudando os outros nos encaminhamentos das soluções.

(Professora CL – Registro em vídeo)

O grupo fez um levantamento das dificuldades e dificuldades da

atividade, concluindo que eles são os seguintes:

Pontos facilitadores:

Apresenta textos sobre diversos assuntos, mostrando a periodicidade de alguns

fenômenos cotidianos, que todas as atividades já vêm com as expressões

trigonométricas e que é importante mostrar essa passagem para os alunos, da língua

materna em linguagem matemática. (Professora CL – registro em vídeo)

Pontos que dificultam:

Em todas as atividades, são necessárias, principalmente, a leitura e interpretação do

texto para se entender os fenômenos periódicos apresentados. A leitura pode facilitar

ou dificultar a resolução das atividades. (protocolo do Grupo 1)

Quanto à apresentação 2, no que se refere aos pontos facilitadores e

dificultadores para desenvolver a atividade, foram relatadas as seguintes

conclusões:

Pontos facilitadores:

Domínio da competência leitora: o que garantirá a correta compreensão da situação

proposta e o que dela se espera. Situações de caráter informativo e que estimulem a

129

curiosidade do aluno. Utilização de situações dinâmicas sintonizadas com as expectativas

dos alunos e que explorem as possibilidades de resolução por meio de um raciocínio

logarítmico. (Protocolo – Grupo 2)

Pontos que dificultam: Precisa ter muita atenção para resolver estes exercícios do Caderno do Aluno, pois

um é totalmente diferente do outro. O professor terá que ter muita paciência para

fazer muitos questionamentos aos alunos, meio que conduzindo e abrindo os olhos

dos alunos para os dados ou dicas de cada exercício. (Professora SR – Grupo 2 –

registro em vídeo)

Situações desconectadas da expectativa dinâmica de vida do aluno, atividades que

não tenham aplicabilidade clara, atividades que abordam aspectos puramente

abstratos da matemática. (Protocolo – Grupo 2)

Quanto à Apresentação 4, no que se refere aos pontos facilitadores e

dificultadores para desenvolver a atividade, houve o seguinte relato:

O grupo fez os exercícios desta SA. Para introduzir este, tema mostraria o Vídeo “Um

sonho complexo”. Utilizaria o CA, complementando com o livro didático. A SA trabalha

com uma fórmula diferente, e é este o termo utilizado para resolver alguns exercícios

e conduzindo a desenvolver a fórmula de Tartaglia – Cardano e que o professor

precisará complementar com atividades do livro didático. (professora MC Registro em

vídeo)

Ao longo das discussões, evidenciou-se que o grupo refletiu sobre as

atividades. colocando em ação seu conhecimento pedagógico do conteúdo e

ensino na categorização de Ball et al (2008).

6) Reflexões sobre os conhecimentos prévios para a realização da

tarefa

Quanto à apresentação 1, o grupo apontou como conhecimentos

prévios:

Como orienta o caderno do professor, o aluno precisa estabelecer uma ligação entre

o eixo geometria e medidas e o eixo número e funções, pois irá determinar

fenômenos e a possibilidade de representá-los por intermédio de uma equação

matemática. (Protocolo do Grupo 1)

130

7) Reflexões sobre recursos auxiliares para o ensino do conteúdo

em jogo nas atividades

O grupo responsável pela Apresentação 1, o sugeriu o seguinte recurso:

o software Ondas trigonométricas21

que poderá ser desenvolvido juntamente ou após

as atividades da SA.(Professora CL – registro em vídeo)

O grupo responsável pela Apresentação 2, sugeriu os seguintes

recursos:

O que é exponencial (áudio), Fraude 171 (áudio), O que é logaritmo? (áudio), O

sonho (vídeo), A aparição (vídeo), Os suspeitos (vídeo), Eliminando quadrados

(experimento), Baralho mágico (experimento), Crescimento populacional (software).

(Protocolo – grupo 2)

Quanto à Apresentação 4, o grupo responsável sugeriu o seguinte

recurso:

Mostraria o vídeo “Um sonho complexo” (Professora MC – registro em vídeo).

Encontro 8

Nesse encontro, a proposta foi a de desenvolver a 3ª. atividade de

análise de itens do Saresp, com o seguinte roteiro: apresentação da solução

para o item, síntese da tarefa a ser feita pelo aluno e comentários gerais do

grupo. Os itens para análise foram os de número 7 a 11 (vide planejamento,

seção 4.2.1)

Em relação ao item 7,

João, Sandra e marcos têm ao todo 100 reais. Juntando-se a quantia de Marcos ao dobro da soma das quantias de João e Sandra, totalizaqm-se 150 reais. Por outro lado, somando-se o dinheiro de João com o dobro da soma das quantias de Sandra e Marcos, obtêm-se 180 reais. Portanto, as quantias de João, sandra e marcos são respectivamente: a. 20, 30 e 50. b. 10, 35 e 55. c. 35, 10 e 55. d. 10, 55 e 35. e. 30, 50 e 20. Assinalaram a alternativa a(correta), 45,9% dos alunos, a b, 11,8%, a c 16,6%, a d, 9,1% a e, 16,3%.

as reflexões relevantes foram relativas à:

21

Pesquisa no site http://m3.ime.unicamp.br/portal/ conforme indicado no Planejamento do Módulo (ver seção 4.2)

131

1) Qual o tipo de tarefa a ser realizada pelo aluno para responder à

questão?

A solução apresentada (grupo da professora SR) refere-se à alternativa

“a”, correta, com a maior frequência (45,9%):

Substituindo y + z = 80 em (I):

x + y + z = 100 daí x = 20

Fazendo (III) – (I):

x + y = 50, daí y =30 e z = 50

A síntese da tarefa, portanto, foi:

Resolução de um problema de determinação das quantias de dinheiro de cada

pessoa. (Grupo da professora SR)

Comentário:

Para responder a esse item, o aluno deve ler, interpretar a situação problema,

entender as relações entre as quantias de dinheiro do João, Sandra e Marcos para

compará-las algebricamente, realizar os cálculos e estabelecer a conclusão.

Uma estratégia pode ser a de utilizar a linguagem simbólica para traduzir a situação

que envolve razões por um sistema de equações lineares, identificando a que satisfaz

a relação indicada na questão.

Indica uma habilidade de reflexão, pois envolve leitura, análise e informações

contidas no enunciado. (Grupo da professora SR)

O grupo, ao analisar a tarefa, trouxe reflexões sobre as estratégias

possíveis etc., evidenciando que os critérios de classificação e as análises

feitas nos encontros anteriores começam a ser utilizadas pelos professores ao

fazerem suas próprias análises.

Classificaram-na como:

Ideia estruturadora: mudanças e relações

132

Conteúdo: Sistemas de equações do 1o grau com 2 incógnitas como tradução

de uma situação.

Agrupamento de competências: reflexão

Situação: pessoal

Com relação à nossa análise prévia do item (ver seção 4.2.3),

consideramos que esse grupo elaborou uma análise consistente do item,

utilizando um marco referencial diferenciado da Matriz de Referência do

Saresp, mostrando que as análises anteriores auxiliaram na construção desse

conhecimento. Nos comentários do grupo, evidenciam-se as reflexões sobre

quais os conhecimentos que o aluno deve articular para responder a essa

questão, reflexões estas feitas a partir do conhecimento pedagógico do

conteúdo (Shulman, 1986) e do conhecimento do conteúdo e ensino (Ball et al,

2008).

Em relação ao item 8,

A solução da equação é: a. 5 b. 8 c. 10 d. 18 e. 20 Assinalaram a alternativa a, 5,0%, a b(correta), 19,3%, a c 31,9%, a d 17,4% e a e, 26,2%

O grupo 5 apresentou a seguinte solução:

Figura 31: Protocolo do Item 8 Grupo 5 Fonte: Acervo próprio

Nesse momento, houve discussões, no grande grupo, relacionadas à

solução apresentada e às propriedades envolvidas (multiplicação de potências

de mesma base, logaritmos de base 10 etc.). Alguns professores relataram que

tinham algumas dificuldades nesse conteúdo. Assim sendo, conhecimentos

foram compartilhados de modo a auxiliar a construção do conhecimento do

133

conteúdo da disciplina (conhecimento comum do conteúdo na classificação de

Ball),

O grupo 5 apresentou a seguinte classificação para esse item:

GII – Competências para realizar

Habilidade H12 (3º ano) – Resolver equações simples usando propriedade de

potências e logaritmos.

Com relação à nossa análise prévia do item (Ver seção 4.2.3),

consideramos que o grupo 5, ao ter dificuldade na solução da questão, fez uma

análise superficial do item, no entanto identificou corretamente as

competências e habilidades apresentadas no Relatório Pedagógico do Saresp.

Em relação ao item 9,

Uma lata cheia de achocolatado em pó pesa 400 gramas. A lata, com apenas metade da quantidade de achocolatado, pesa 250 gramas. Quanto pesa a lata vazia? a. 100 gramas. b. 150 gramas. c. 160 gramas. d. 180 gramas. e. 200 gramas. Assinalaram a alternativa a 53,3% dos alunos, a b, 37,9%, a c, 2,9%, a d, 2,1%, a e 3,6%.

Foi apresentada a seguinte solução:

L lata

C chocolate em pó

Como síntese da tarefa:

O aluno vai transformar na linguagem matemática e resolver o sistema por adição ou

por substituição.

134

A classificação:

Ideia estruturadora: mudanças e relações

Grupo III – competência para compreender

H18 (da 8ª série/9º ano)– resolver sistemas lineares (métodos da adição e da

substituição)

Agrupamento de competências: conexão

Situação: pessoal

Com relação ao que previmos quanto à análise do item (ver seção

4.2.3), consideramos que o grupo fez uma análise consistente, apresentou

tanto a síntese da tarefa, quanto a habilidade, H18 (da 8ª. série/9º ano) e H14

(da 3ª. série do EM) – as quais são similares, o que consideramos válido. Vale

enfatizar que, embora a Matriz de Referência do Saresp mencione que as

competências e habilidades são cumulativas, as habilidades não são

apresentadas na Matriz em uma sequência única e contínua, em termos de

numeração, trazendo essa dicotomia quando se classifica um item.

No quesito “Comentários”, este grupo, (grupo2), observou que

a maioria dos alunos acertou, 53,3%. Muitos (37,9%) optaram pela alternativa b, pois

fizeram 400 - 250 = 150. Então convém retomar o entendimento do enunciado da

questão. (Protocolo – Grupo 2)

As reflexões e a análise feita pelo grupo foram embasadas pelo

conhecimento do conteúdo e estudantes (na acepção de Ball), especialmente

quanto à necessidade de o professor retomar pontos nos quais percebe que o

aluno está com dificuldades de aprendizagem.

Em relação ao item 10,

“O valor de x para o qual tem-se é:

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 9

Assinalaram a alternativa a, 7,4% dos alunos, a b, 13,0% , a c, 15,6% a d(correta), 39,7%, a e,

24,1%.

A solução apresentada pelo Grupo 4 (ver abaixo) refere-se à alternativa

com maior frequência, a correta (39,7%):

135

Para síntese da tarefa, foi explicitado:

Determinar o valor de um número desconhecido em uma equação exponencial.

(protocolo - Grupo 4)

Continuando em comentários:

O aluno deve utilizar habilidades adquiridas com potências para resolver uma

equação exponencial. (protocolo – Grupo 4)

Classificaram-na como:

Ideia estruturadora: mudança e relações

Conteúdo: Equação e inequação exponencial.

Agrupamento de competências: reprodução

Situação: Educacional/ocupacional

Com relação à nossa análise prévia do item (ver seção 4.2.3),

consideramos que essa análise foi adequada, esse grupo também observou o

que o aluno precisa saber para realizar esta tarefa, nestes comentários

evidenciam-se o Conhecimento Pedagógico do conteúdo (Shulman) e,

especificamente o Conhecimento do Conteúdo e Ensino (Ball).

Em relação ao item 11

Carla está calculando o custo de uma viagem de carro. Ela sabe que, para andar 120 km, seu carro consome 15 litros de combustível, cujo preço é R$ 2,00 o litro. Para uma viagem de 960 km, Carla gastará, apenas com combustível, a. R$ 120,00 b. R$ 128,00 c. R$ 220,00 d. R$ 240,00 Assinalaram a alternativa a, 20% dos alunos, a b, 22%, a c, 23% e a d(correta), 34%.

O grupo 5 resolveu esta questão utilizando regra de três simples.

136

Classificaram como:

Grupo III – competências para compreender

Habilidade H20 (8ª série/9º ano) – Resolver problemas que envolvam relações de

proporcionalidade direta entre duas grandezas por meio de funções do 1º grau.

Com relação à nossa expectativa (vide análise prévia do item na seção

4.2.3), consideramos que essa análise foi superficial, embora o grupo tenha

apontado corretamente as competências e habilidades presentes no Relatório

Pedagógico do Saresp.

Nessas análises, a classificação quanto às competências e habilidades

foi adequada, mostrando que o professor tem o conhecimento do currículo

(Ball) onde apontam as finalidades de cada conteúdo dos itens.

5.1 ANÁLISE GLOBAL

Feita a análise dos episódios dos encontros e a tabulação das

informações do questionário, retornamos aos referenciais teóricos para

identificar as categorias de reflexões que emergiram.

Definimos quatro categorias, cada uma delas englobando um

agrupamento de reflexões. São elas: Reflexões sobre as avaliações externas

(R1); Reflexões sobre o ensino de álgebra (R2); Reflexões sobre a

matemática envolvida (R3); Reflexões sobre a formação docente (R4).

A seguir, detalhamos essas quatro categorias.

R1 - Reflexões sobre as avaliações externas

Essa categoria, relacionada às avaliações externas, engloba as

reflexões sobre os sistemas de avaliação da educação no Brasil.

Ao refletirem sobre as avaliações externas nas discussões do grupo, as

reflexões surgidas podem ser resumidas nas seguintes:

as avaliações externas vêm ao encontro da necessidade de

identificar as características e a qualidade do ensino;

a avaliação externa é um reflexo do ensino e da escola de hoje,

que é voltada para todos e não mais elitizada como foi há tempos;

137

reflexões, a partir da análise das questões e dos relatórios

pedagógicos do Saresp, sobre a visão do que é avaliar;

em relação à avaliação externa Saresp, embora reconheçam a

validade do exame, criticam a indexação dos resultados dos

alunos ao trabalho docente e o “rankeamento” das escolas.

R2 - Reflexões sobre o ensino de álgebra

Nessa categoria, as reflexões surgidas podem ser resumidas nas

seguintes:

reflexões sobre a defasagem dos alunos que pode dificultar a

aprendizagem e a resolução dos itens;

reflexões sobre a construção de questões de álgebra. (aspectos

tais como precisão do enunciado, escolha criteriosa dos números

envolvidos etc.);

reflexões sobre a necessidade de apresentar os problemas aos

alunos com enunciados precisos, corretos gramaticalmente, de

modo a não criar dificuldades na compreensão e,

consequentemente, na resolução;

reflexões sobre a matemática que o aluno deverá utilizar para

resolver a questão, isto é, elaborar uma síntese da tarefa com o

que se pretende que o aluno faça para resolver a questão. (Se os

procedimentos que levam ao resultado podem ser desenvolvidos

por alunos daquela série etc.);

reflexões sobre a situação ou contexto e sobre o agrupamento de

competências em jogo no item, com a constatação de que

existem diferentes critérios de classificação de itens;

reflexões sobre os pontos facilitadores e dificultadores para o

aluno desenvolver uma atividade de álgebra;

reflexões sobre os conhecimentos prévios necessários para

realização de uma tarefa de álgebra;

reflexões sobre os recursos auxiliares para o ensino do conteúdo

em jogo nas atividades.

138

R3 - Reflexões sobre a matemática envolvida

Nessa categoria, estão as reflexões sobre as possibilidades de

resolução de situações de aprendizagem, dos itens ou a identificação do

raciocínio que levou o aluno à resposta (correta ou não). São elas:

reflexões sobre as dificuldades dos alunos quanto à leitura e

interpretação do enunciado das questões;

reflexões sobre o domínio da linguagem matemática e sua

interferência na resolução da equação;

reflexões sobre as possíveis estratégias de resolução;

reflexões sobre os conhecimentos prévios, ou seja, matemática

básica envolvida na resolução de equações e sistemas

(operações em Z, em Q, em R, mmc, fatoração etc.);

reflexões sobre a habilidade envolvida no item e percepção de

que nem sempre apenas uma habilidade está envolvida;

reflexões sobre as competências e habilidades envolvidas na tarefa.

R4 - Reflexões sobre a Formação Docente.

Em relação à formação docente, ao longo das discussões, depoimentos

do grupo apontam para o seguinte:

constatação de que a formação inicial do grupo foi deficiente quanto

ao preparo para ensinar, especialmente para ensinar geometria;

reflexões sobre a matemática envolvida nas situações de

aprendizagem propostas ao longo da formação, tais como: na

representação gráfica do sistema, é possível traçar uma reta

correspondente a cada equação? Existe a intersecção das

representações gráficas de cada equação? O que são grandezas

diretamente ou inversamente proporcionais e como estabelecer

uma sentença que as relacione? etc.;

reflexões sobre o próprio conhecimento matemático e didático,

constatando a necessidade de conhecer mais matemática para

ensinar e para construir tarefas significativas para os alunos;

139

reflexões sobre a prática pedagógica que foram desencadeadas

no processo formativo.

No próximo capítulo, apresentamos as considerações finais de pesquisa.

140

CONSIDERAÇÕES FINAIS

O objetivo desta pesquisa foi investigar a compreensão evidenciada por

professores de Matemática, relativamente a resultados de avaliações externas

num contexto de formação continuada envolvendo o ensino de álgebra, em

particular o de equações e sistemas de equações, na Educação Básica.

Para atingir o objetivo de pesquisa, elaboramos um processo formativo,

alojado em um módulo de álgebra, incluindo estudos sobre resultados de

avaliações externas do Saresp em Matemática. A seguir, desenvolvemos esse

processo formativo com um grupo de professores e analisamos as reflexões

feitas por eles.

A seguinte questão orientou a investigação:

Quais são as reflexões dos professores que emergem a partir da

análise de Situações de Aprendizagem do Caderno do Aluno e de itens

contidos em avaliações do Saresp, relativos a equações e a sistemas de

equações?

Após a análise dos episódios dos encontros e da tabulação das

informações do questionário, retornamos aos referenciais teóricos para

identificar as categorias de reflexões que emergiram. Definimos, então, um

agrupamento das reflexões em quatro categorias, a saber: Reflexões sobre as

avaliações externas; Reflexões sobre o ensino de álgebra; Reflexões sobre a

matemática envolvida e Reflexões sobre a formação docente.

Reflexões sobre as avaliações externas

Acreditamos que as discussões ocorridas em relação aos textos

apresentados promoveram reflexões no sentido de validar a necessidade de

entender a avaliação externa como mais um instrumento para indicar o

desenvolvimento da aprendizagem do aluno e, a partir disso, utilizar seus

resultados de forma a auxiliar o aluno em suas dificuldades.

Reflexões sobre o ensino de álgebra

As análises das Situações de Aprendizagem e dos itens possibilitaram

reflexões sobre o ensino de álgebra no sentido de repensar nas atividades

desenvolvidas em sala de aula, como, por exemplo, para elaborar questões

utilizadas em aula ou questões para avaliar a aprendizagem do aluno, há a

necessidade de observar a clareza dos enunciados, as dificuldades que os

141

alunos poderão apresentar com o contexto, os conhecimentos prévios

envolvidos, as competências e habilidades em jogo.

Reflexões sobre a matemática envolvida

As análises das Situações de Aprendizagem e dos itens permitiram

reflexões sobre a matemática envolvida para resolver essas questões, como

conjecturar sobre possíveis estratégias utilizadas pelos alunos, os

conhecimentos prévios, as dificuldades de leitura e interpretação dos

enunciados, o grau de domínio da linguagem matemática, as competências e

habilidades envolvidas para resolver uma questão.

Reflexões sobre a formação docente.

As atividades propostas no módulo de álgebra possibilitaram reflexões

sobre a formação docente, no sentido de os professores apontarem para o

grupo sua formação inicial deficiente e a necessidade de procurar suprir,

nessas oportunidades, essas deficiências e, assim, conseguir desenvolver o

conhecimento do conteúdo comum e o conhecimento do conteúdo específico.

A figura 32 sintetiza essas reflexões.

Foi possível constatar que, na percepção dos professores, muitas das

questões propostas nas avaliações do Saresp estão inadequadas, sendo

muito difíceis para os alunos das séries para as quais são propostos. Isso

também foi apontado na pesquisa de Bauer (2008). Segundo a pesquisadora,

seus sujeitos afirmaram que “os conteúdos das questões estão adequadas

aos PCNs, porém várias questões não estão de acordo com a realidade em

que está inserido o aluno” (p.489).

142

Figura 32: Categorias Emergentes quanto às Reflexões Fonte: Acervo próprio

Ficou evidente que o grupo de professores teve dificuldade em resolver

algumas das questões propostas na formação. Isso é um indício de que

provavelmente o grupo não desenvolve, em sala de aula, a diversidade de

problemas e questões ligadas aos conteúdos algébricos que são focados nas

avaliações externas. Dessa forma, constata-se a necessidade do

conhecimento específico do conteúdo (como diz Shulman,1986), o qual é

fundamental para que o professor possa explorar adequadamente as situações

em que ele pode ser apresentado aos alunos, isto é, o conhecimento

pedagógico do conteúdo se funda no conhecimento específico também.

Avaliações Externas

Identificar as

características e a qualidade

do ensino

Reflexo do ensino e da

escola hoje

Saresp – validade e

crítica sobre a indexação dos

resultados

Ensino de Álgebra

Defasagem dos alunos

Construções de questões

Enunciados precisos

Síntese da tarefa

Situação ou contexto

Competências e

habilidades

Conhecimentos prévios

Recursos auxiliares para

o ensino

Formação Docente

Formação inicial

deficiente

Matemática

envolvida

Próprio

conhecimento

matemático e

didático

Matemática Envolvida

Dificuldades de leitura

e interpretação

Domínio da linguagem

matemática

Conhecimentos prévios

Habilidades envolvidas

além das apontadas

nos relatórios

Competências e

habilidades envolvidas

REFLEXÕES

143

Outra constatação foi que analisar as questões e discuti-las com o grupo

(conteúdo da questão, possíveis erros dos alunos, quais as competências e

habilidades em jogo, qual o tipo de situação está sendo enfocada) auxiliou o

professor a apurar o olhar para a análise pedagógica das questões.

As reflexões compartilhadas no grupo parecem ter impulsionado o

desenvolvimento do conhecimento profissional docente. Contudo, vale ressaltar

que a amostra na pesquisa foi pequena e que não se pode generalizar, isto é,

as reflexões aqui analisadas foram as desse grupo particular e ocorridas no

contexto específico dessa formação, a partir das tarefas propostas ao grupo.

No entanto, os resultados obtidos poderão subsidiar futuras formações,

enfatizando análise de itens para proporcionar reflexões que auxiliem os

professores em sua prática pedagógica.

Os encontros favoreceram a aprendizagem profissional, o

desenvolvimento do conhecimento específico do conteúdo e a reflexão

compartilhada sobre como propiciar situações para favorecer a aprendizagem

dos alunos.

A pesquisa permitiu vislumbrar que todas as temáticas que impulsionaram

as reflexões foram induzidas pela formadora, ou seja, o formador foi o

responsável por fazer aflorar as reflexões. Uma vez que o conjunto de reflexões

foi induzido pelo formador, fica visível a importância da intencionalidade do

formador, na função de mediador, para estimular as reflexões. Assim sendo, o

formador deve contemplar a utilização dos conhecimentos dos professores

envolvidos, valorizando suas práticas letivas como ponto de partida para as

discussões ao longo da formação (Serrazina, 2010).

Vale frisar que esta pesquisa desenvolveu-se dentro de um módulo de

formação, planejado para oito encontros, totalizando 24 horas presenciais e 36

horas a distância e que esse tempo mostrou-se curto, ou seja, a formação deve

ser um processo contínuo e não modular para que seja possível uma maior

interação e, dessa forma, indicamos, para pesquisas futuras, que esse fator

deva ser considerado. Além disso, pesquisas podem ser desenvolvidas,

envolvendo um movimento de o professor ir para a sala de aula, aplicar as

atividades elaboradas na formação e voltar com resultados para a discussão.

Indicamos, também, que sejam empreendidas investigações em

processos formativos de professores, as quais abordem a temática das

144

avaliações externas e suas possíveis implicações para sala de aula de uma

forma mais ampla, uma vez que este estudo focou uma formação ligada às

avaliações do Saresp. Enfatizamos a necessidade de estudos e pesquisas

sobre processos formativos que envolvam avaliações internacionais, tais como

o PISA. Nesses processos, é fundamental que sejam analisadas pelos

professores a concepção de avaliação, o que é letramento matemático, o

formato dos itens etc. Tais processos formativos devem ser objeto de estudo de

modo a ampliar o conhecimento que temos sobre o modo como o professor

avalia, percebe a avaliação externa e utiliza resultados de avaliações externas

no exercício profissional.

Finalizando, destacamos a importância da inclusão do tema avaliação nos

processos de formação inicial e/ou continuada e, em particular, do tema

avaliação externa, pois ele pode fornecer suporte à prática pedagógica do

professor de matemática. Acreditamos que uma pesquisa não termina por si só

e sim que é o início de outras indagações, de outras inquietações e de outra

caminhada. Na caminhada por uma formação contínua de professores, sempre

haverá pedras no caminho; e nós, pesquisadores e formadores, devemos

esmerar-nos para retirá-las.

145

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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SÃO PAULO (ESTADO) SECRETARIA DA EDUCAÇÃO. Caderno do Aluno:

matemática, ensino fundamental – 7ª série, volume 3/ Secretaria da Educação;

coordenação geral, FINI, M. I; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos

GRANJA, C. E. S. C; MELLO, J. L. P.; MACHADO, N. J.; MOISÉS, R. P.;

SPINELLI, W. São Paulo, SEE, 2009.

______. Caderno do Aluno: matemática, ensino fundamental – 8ª série,

volume 2/ Secretaria da Educação; coordenação geral, FINI, M. I; equipe,

Carlos Eduardo de Souza Campos GRANJA, C. E. S. C; MELLO, J. L. P.;

MACHADO, N. J.; MOISÉS, R. P.; SPINELLI, W. São Paulo, SEE, 2009.

149

______. Caderno do Aluno: matemática, ensino médio – 1ª série, volume 3/

Secretaria da Educação; coordenação geral, FINI, M. I; equipe, Carlos Eduardo

de Souza Campos GRANJA, C. E. S. C; MELLO, J. L. P.; MACHADO, N. J.;

MOISÉS, R. P.; SPINELLI, W. São Paulo, SEE, 2009.

______. Caderno do Aluno: matemática, ensino médio – 2ª série, volume 1/

Secretaria da Educação; coordenação geral, FINI, M. I; equipe, Carlos Eduardo

de Souza Campos GRANJA, C. E. S. C; MELLO, J. L. P.; MACHADO, N. J.;

MOISÉS, R. P.; SPINELLI, W. São Paulo, SEE, 2009.

______. Caderno do Aluno: matemática, ensino médio – 3ª série, volume 2/

Secretaria da Educação; coordenação geral, FINI, M. I; equipe, Carlos Eduardo

de Souza Campos GRANJA, C. E. S. C; MELLO, J. L. P.; MACHADO, N. J.;

MOISÉS, R. P.; SPINELLI, W. São Paulo, SEE, 2009.

______. Caderno do Professor: matemática, ensino fundamental – 7ª. série,

volume 3/ Secretaria da Educação; coordenação geral, FINI, M. I; equipe,

Carlos Eduardo de Souza Campos GRANJA, C. E. S. C; MELLO, J. L. P.;

MACHADO, N. J.; MOISÉS, R. P.; SPINELLI, W. São Paulo, SEE, 2009.

______. Caderno do Professor: matemática, ensino fundamental – 8ª. série,

volume 2/ Secretaria da Educação; coordenação geral, FINI, M. I; equipe,

Carlos Eduardo de Souza Campos GRANJA, C. E. S. C; MELLO, J. L. P.;

MACHADO, N. J.; MOISÉS, R. P.; SPINELLI, W. São Paulo, SEE, 2009.

______. Caderno do Professor: matemática, ensino médio – 1ª série, volume

3/ Secretaria da Educação; coordenação geral, FINI, M. I; equipe, Carlos

Eduardo de Souza Campos GRANJA, C. E. S. C; MELLO, J. L. P.; MACHADO,

N. J.; MOISÉS, R. P.; SPINELLI, W. São Paulo, SEE, 2009.

______. Caderno do Professor: matemática, ensino médio – 2ª série, volume

1/ Secretaria da Educação; coordenação geral, FINI, M. I; equipe, Carlos

150

Eduardo de Souza Campos GRANJA, C. E. S. C; MELLO, J. L. P.; MACHADO,

N. J.; MOISÉS, R. P.; SPINELLI, W. São Paulo, SEE, 2009.

______. Caderno do Professor: matemática, ensino médio – 3ª série, volume

2/ Secretaria da Educação; coordenação geral, FINI, M. I; equipe, Carlos

Eduardo de Souza Campos GRANJA, C. E. S. C; MELLO, J. L. P.; MACHADO,

N. J.; MOISÉS, R. P.; SPINELLI, W. São Paulo, SEE, 2009.

______. Currículo do Estado de São Paulo: Matemática e suas tecnologias /

Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; coordenação de

área, Nilson José Machado. – São Paulo : SEE, 2010.

______. Currículo do Estado de São Paulo: Matemática e suas tecnologias

/Secretaria da Educação; coordenação geral Maria Inês Fini; coordenação de

área, Nilson José Machado. – São Paulo: SEE, 2010. Disponível em:

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Helena Guimarães de Castro, Maria Eliza Fini, Zuleika de Felice Murrie. São

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______. Saresp: Relatório Pedagógico do Saresp 1996. São Paulo: FDE,

1996.

______. Saresp: Relatório Pedagógico do Saresp 1997. São Paulo: FDE,

1998.

151

______. Saresp: Relatório Pedagógico do Saresp 1998. São Paulo: FDE,

2000.

______. Saresp: Relatório Pedagógico do Saresp 2000. São Paulo: FDE,

[2001?].

______. Saresp: Relatório Pedagógico do Saresp 2001. São Paulo: FDE,

[2002?].

______. Saresp: Relatório Pedagógico do Saresp 2002. São Paulo: FDE,

[2003?].

______. Saresp: Relatório Pedagógico do Saresp 2003. São Paulo: FDE,

2005.

______. Saresp: Relatório Pedagógico do Saresp 2004. São Paulo: FDE,

[2005 ou 2006].

______. Saresp: Relatório Pedagógico do Saresp 2005. São Paulo: FDE,

[2006?].

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152

ANEXOS

Anexo A: Parecer da Comissão de Ética da Universidade Bandeirante de São Paulo

153

Anexo B – Atividades do Caderno do Aluno Atividade do Caderno do Aluno 6ª série/7o.ano - Volume 4 - 2009 -pág. 08 a 11- Parte da situação de aprendizagem 1: Investigando sequências por aritmética e álgebra. A atividade aborda a investigação de sequências por aritmética e álgebra. O professor ao realizá-la deverá observar o processo pelo qual o aluno é conduzido para encontrar os termos das sequências e analisar os padrões apresentados para representá-los algebricamente por uma fórmula, e apontar dificuldades que os alunos provavelmente terão ao desenvolvê-las e quais intervenções poderiam fazer.

154

155

Atividade do Caderno do Aluno 7ª série/8o. ano - Volume 3 - 2009 -pág. 40 a 49 - Situação de aprendizagem 3. - Equações, tabelas e gráficos.

156

157

158

159

Atividade do Caderno do Aluno – Volume 2 – 8ª.série/9º.ano – 2009 – Situação de Aprendizagem 3 - Grandezas Proporcionais: Estudo funcional, significados e contextos.

A situação de aprendizagem apresenta uma série de atividades com o

conteúdo de grandezas proporcionais com o objetivo de que o professor as

desenvolva e perceba possíveis dificuldades que o aluno poderia ter e quais as

sugestões para saná-las.

160

161

162

163

Atividade do Caderno do Aluno – Volume 3 – 1ª. Série do Ensino Médio – 2009 –pag. 43 a 48– Situação de Aprendizagem 4 –As múltiplas faces das potências e dos Logaritmos: problemas envolvendo equações e inequações em diferentes contextos

164

165

166

Atividade do Caderno do Professor – Volume 1 – 2ª. Série do Ensino Médio – 2009 - pag. 49 a 55 – Situação de Aprendizagem 4 – Equações trigonométricas

167

168

169

170

171

Atividade do Caderno do Aluno – Volume 2 – 3ª. Série do Ensino Médio – 2009 – pag. 3 a 13 - Situação de Aprendizagem 1 – A equação de 3º. Grau e o aparecimento natural dos números complexos

172

173

174

175

Atividade do Caderno do Aluno – Volume 2 – 3ª. Série do Ensino Médio – 2009 – pag. 24 a 20 - Situação de Aprendizagem 2 –– “Das fórmulas à análise qualitativa: relação entre coeficientes e raízes”.

A Situação de aprendizagem explora a relação entre coeficientes e

raízes, enfatizando particularmente a equação do 3º. Grau com uma incógnita.

176

177

178

Atividade do Caderno do Aluno - Volume 2 – 3ª. Série do Ensino Médio ––2009 – pag. 22 a 29 - Situação de Aprendizagem 3 – Equações e polinômios: divisão por x – k e redução do grau da equação

179

180

APÊNDICES

Apêndice A: Questionário QUESTIONÁRIO DO PROFESSOR

1) Dados:

Nome_______________________________________________ Idade__________ Telefone _________________ e-mail ___________________________________

2) Formação Acadêmica:

Ensino Superior/Curso: ___________________ Ano de conclusão: _______________ Instituição ______________________________________________ Licenciatura Curta ( ) Licenciatura Plena ( )

3) Cursos de Pós Graduação?

( ) Não ( ) Sim - ( ) Lato Sensu ( ) Strito Sensu Nome do curso: ____________________________________ Ano de conclusão _____________________ Instituição ___________________________________________

4) Quais os procedimentos que você costuma adotar para melhorar o rendimento escolar em Matemática dos alunos?

5) O que você prioriza quando corrige uma avaliação? 6) Como você prepara seus alunos para participar de avaliação externa (Saresp,

Prova Brasil)? 7) Nas suas Reuniões Pedagógicas como são analisados os resultados

das Avaliações Externas? 8) Nas suas Reuniões Pedagógicas as Matrizes de Referência do Saresp que

fundamentam as classificações de itens das avaliações externas foram discutidas pelo corpo docente de Matemática?

9) Quais os conteúdos da série que você leciona que, em sua opinião, os alunos teriam mais facilidade nas avaliações externas?

10) Quais os conteúdos da série que você leciona que, em sua opinião, os alunos teriam mais dificuldades nas avaliações externas

Sobre Álgebra...

11) Como você avalia seu aprendizado de Álgebra quando estudante na Educação Básica?

12) Como você avalia seu aprendizado de Álgebra quando estudante no Ensino Superior?

13) Quando você era aluno (a), durante as aulas de Álgebra, eram utilizados materiais concretos? Quais? E outros recursos didáticos?

14) Você tem alguma dificuldade para ensinar Álgebra? Comente: 15) Quais as principais dificuldades que você identifica nos seus alunos durante o

processo de aprendizagem de Álgebra? 16) Você gostaria de acrescentar alguma informação sobre sua prática docente?

181

Apêndice B: Termo de Consentimento Livre e Esclarecido

TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO

Tema da Pesquisa: “Desenvolvimento Profissional Docente e Ensino de

Matemática: Investigando a Apropriação dos Resultados de Avaliações

Externas por Professores da Educação Básica”

Nome do (a) Pesquisador (a): Rosangela de Souza Jorge Ando

Nome do (a) Orientador (a): Nielce Meneguelo Lobo da Costa

O sra (sr.) está sendo convidada (o) a participar desta pesquisa que tem

como finalidade contribuir com subsídios para a área da educação matemática,

em particular com a formação do professor que ensina matemática, bem como

enriquecer meus conhecimentos sobre formação e práticas didáticas que

auxiliarão meus colegas de disciplina, para que a prática docente se torne

sempre melhor.

Ao participar deste estudo a sra (sr) permitirá que a pesquisadora utilize

as atividades desenvolvidas ao longo da pesquisa, bem como as gravações

das seções e filmagens. A sra (sr.) tem liberdade de se recusar a participar e

ainda se recusar a continuar participando em qualquer fase da pesquisa, sem

qualquer prejuízo para a sra (sr.). Sempre que quiser poderá pedir mais

informações sobre a pesquisa através do telefone da pesquisadora do projeto

e, se necessário através do telefone do Comitê de Ética em Pesquisa.

Riscos e desconforto: a participação nesta pesquisa não traz

complicações legais. Os procedimentos adotados nesta pesquisa obedecem

aos Critérios da Ética em Pesquisa com Seres Humanos conforme Resolução

no. 196/96 do Conselho Nacional de Saúde. Nenhum dos procedimentos

usados oferece riscos à sua dignidade.

Confidencialidade: todas as informações coletadas neste estudo são

estritamente confidenciais. Somente a pesquisadora e a orientadora terão

conhecimento dos dados.

182

Benefícios: ao participar desta pesquisa a sra (sr.) não terá nenhum

benefício direto. Entretanto, esperamos que este estudo traga informações

importantes sobre formação e práticas didáticas, de forma que o conhecimento

que será construído a partir desta pesquisa possa auxiliar nas metodologias

utilizadas em sala de aula, onde a pesquisadora se compromete a divulgar os

resultados obtidos.

Pagamento: a sra (sr.) não terá nenhum tipo de despesa para participar

desta pesquisa, bem como nada será pago por sua participação.

Após estes esclarecimentos, solicitamos o seu consentimento de forma

livre para participar desta pesquisa. Portanto preencha, por favor, os itens que

se seguem: Confiro que recebi cópia deste termo de consentimento, e autorizo

a execução do trabalho de pesquisa e a divulgação dos dados obtidos neste

estudo.

Obs: Não assine esse termo se ainda tiver dúvida a respeito.

Tendo em vista os itens acima apresentados, eu, de forma livre e

esclarecida, manifesto meu consentimento em participar da pesquisa.

____________________________________________________ Nome e Assinatura do Participante da Pesquisa

__________________________________ Rosangela de Souza Jorge Ando

___________________________________ Nielce Meneguelo Lobo da Costa

183

Apêndice C – Apresentação em Power Point do 1º. e 2º. Encontro - Avaliações externas. Analisando a Avaliação

184

185

186

187

188

Apêndice D- Apresentação em Power Point do 6º. Encontro – Avaliações Externas – PISA

189

190

191

192

193

194

195

196

197

198

199

200

Apêndice E - Atividades de Análise de Itens 1ª. Atividade de análise de itens – O Exemplo 10 da pág 124 do Relatório Pedagógico do Saresp 2009–– Habilidade

Avaliada - H12: Ler e escrever expressões algébricas correspondentes a textos

matemáticos escritos em linguagem corrente e vice-versa.

Este item apresentou um alto índice de erro e embora tenha sido

aplicado na 6ª.série e na 8ª. série o índice de acerto não mudou muito e nos

remete que o aluno não tenha desenvolvido nestes dois anos a habilidade H12

– ler e escrever expressões algébricas correspondentes a textos matemáticos

escritos em linguagem corrente e vice-versa. Apenas de interpretação.

Relatório Pedagógico do Saresp 2009 - Exemplo 10 – pág 124 – H12

Discutir em grupo: 1) Apresentar as soluções que os alunos fariam. 2) Identificar as alternativas que não estão corretas e o comportamento das respostas dos alunos. 3) Analisar a aderência do item com a habilidade citada. 4) Acrescentar os comentários do grupo.

201

Relatório Pedagógico do Saresp 2009 - Exemplo 14 – pág 127 – H15

Discutir em grupo: 1) Apresentar as soluções que os alunos fariam. 2) Identificar as alternativas que não estão corretas e o comportamento das respostas dos alunos. 3) Analisar a aderência do item com a habilidade citada. 4) Acrescentar os comentários do grupo.

Relatório Pedagógico do Saresp 2009 - Exemplo 13 – pág 158 – H16

Discutir em grupo: 1) Apresentar as soluções que os alunos fariam. 2) Identificar as alternativas que não estão corretas e o comportamento das respostas dos alunos. 3) Analisar a aderência do item com a habilidade citada. 4) Acrescentar os comentários do grupo.

202

Relatório Pedagógico do Saresp 2009 - Exemplo 20 – pág 127 – H15

Discutir em grupo: 1) Apresentar as soluções que os alunos fariam. 2) Identificar as alternativas que não estão corretas e o comportamento das respostas dos alunos. 3) Analisar a aderência do item com a habilidade citada. 4) Acrescentar os comentários do grupo.

203

2ª. Atividade de Análise de Itens

Relatório Pedagógico do Saresp 2009 – Exemplo2 – pág 148 – 8ª.série/9º.ano - EF

1) Classificar o item de acordo com a Matriz de Referência do Saresp (Grupo e habilidade) 2) Apresentar as soluções que os alunos fariam. 3) Identificar as alternativas que não estão corretas e o comportamento das respostas dos alunos. 4) Acrescentar os comentários do grupo.

Relatório Pedagógico do Saresp 2009 - Exemplo 22 – 6ª. Série/7º.ano –EF - pág 134

1) Classificar o item de acordo com a Matriz de Referência do Saresp (Grupo e habilidade) 2) Apresentar as soluções que os alunos fariam. 3) Identificar as alternativas que não estão corretas e o comportamento das respostas dos alunos. 4) Acrescentar os comentários do grupo.

204

Relatório Pedagógico do Saresp 2009 - Exemplo 16 – pág 160 – 8ª.série/9º.ano -EF

1) Classificar o item de acordo com a Matriz de Referência do Saresp (Grupo e habilidade) 2) Apresentar as soluções que os alunos fariam. 3) Identificar as alternativas que não estão corretas e o comportamento das respostas dos alunos. 4) Acrescentar os comentários do grupo.

205

3ª. Atividade de classificação de itens Exemplo 4 da pag.190 do Relatório Saresp 2009 – 3º. Ensino Médio

Cada análise desta atividade tem este formato: O item, espaço para solução,

espaço para comentários e espaço para a síntese da tarefa.

Solução: Comentários:

Síntese da tarefa:

206

Exemplo 27 – pag.212 do Relatório Saresp 2009 – 3ª.EM

Exemplo 20 – pag. 164 do Relatório Saresp 2009 – 3ª. EM

Exemplo 2 – pag. 188 do Relatório Saresp 2009 – 3ª. EM

207

Exemplo 3 - pag.189 do Relatório Saresp 2009 – 3ª.EM

Exemplo 10 – pag.195 do Relatório Saresp 2009 – 3ª. EM

208

Exemplo 16 – pag. 201 do Relatório Saresp 2009 – 3ª. EM

Exemplo 18 – pag. 203 do Relatório Saresp 2009 – 3ª. EM

Exemplo 20 – pag 205 do Relatório Saresp 2009 – 3ª. EM

209

Pag. 119 do Relatório Pedagógico Saresp 2008 – 3ª. EM

Pag.117 do Relatório Pedagógico Saresp 2008 – 3ª. EM

210

Pag. 123 do Relatório Pedagógico Saresp 2008 – 3ª. EM

Pag.101 do Relatório Pedagógico Saresp 2008 – 8ª.Série/9º.Ano – EF

211

Apêndice F –

Quadro 2 – Tabulação do Questionário para caracterização dos sujeitos parte 2

Questionário – Sobre Álgebra...

Codinome

Como você avalia seu aprendizado de Álgebra quando estudante na Educação Básica?

Como você avalia seu aprendizado de Álgebra quando estudante no Ensino Superior?

Quando você era aluno(a), durante as aulas de Álgebra, eram utilizados materiais concretos? Quais? E outros recursos didáticos?

Você tem alguma dificuldade para ensinar Álgebra? Comente.

Quais as principais dificuldades que você identifica nos seus alunos durante o processo de aprendizagem de Álgebra?

Você gostaria de acrescentar alguma informação sobre sua prática docente?

AP Regular Bom Sim Não Parte literal Não

CG Livros – pesquisa na biblioteca...

Não

CL Quando começam as letrinhas as dificuldades aumentam

Eu gostava, mas sinto que amadureci meu aprendizado ao longo do curso.

Não, tive muita dificuldade, só fui entender muito tempo depois.

Não, mas sinto muita dificuldade por parte dos alunos.

Os alunos não conseguem entender as letras, isso é muito abstrato para eles, a proposta da SEE vai inserindo essa ideia (e conteúdo) aos poucos (em espiral).

Divido minhas 5 aulas da semana em lógica, geometria e matemática e para a 5ª. série/6º/ano acrescento origami.

DN Regular Bom Não Creio que a parte que corresponde a polinômios, frações algébricas é muito complicado quando temos que calcular as somas utilizando o mmc dos denominadores.

A utilização da letra e número na mesma equação.

Não

212

EL Muito bom, é uma das partes da matemática que eu mais gosto.

Muito bom também.

Não Não Os alunos apresentam um certo receio em tirar dúvidas, no geral, pois tem “medo”que os colegas os banalizem.

FB Regular Regular Não Um pouco Resolver equações.

FT Com dificuldade, por isso tento facilitar para o meu aluno

Sempre com dificuldade

Não Não. É difícil, mas dá para explicar. Os cadernos dos alunos facilitam.

As propriedades das potências, tem que ser recordadas sempre. Produtos notáveis, divisão de polinômios, fatoração são os mais difíceis de entendimento.

HQ Decoreba, fórmulas e regras.

Não Sim, o aluno não tem a prática da leitura, isso dificulta muito.

Interpretação e conhecimentos básicos.

MA Adequado e suficiente.

Adequado e suficiente.

Não. Conceitos e exercícios.

Não Equações, funções, trabalhar com operações inversas, soma ou subtração, multiplicação ou divisão.

Sim, em aulas livres são abordados outros assuntos relacionados com as metodologias de ensino, é preciso aprender a pensar.

MS Regular Regular Não Não, porém necessito de atualizar-me Sempre vejo essa necessidade (Urgente)>

Equações 1º. e 2º graus. Não

213

MC Regular Defasado. Não tivemos muito tempo.

Não Não Regras de sinais, regras de multiplicação, divisão e soma envolvendo fração.

PL Regular Regular Não Não Equações, produtos notáveis e fatoração.

Não

RM Bom Bom Não Não Habilidades e competências que não foram adquiridas pelos alunos em séries anteriores.

SR Regular Regular Não Eu acho que tenho mas consigo me virar. o uso de letras no início é complicado o aluno entender o uso de letras nas operações.

Vide resposta anterior.

SU Muitas vezes as questões foram trabalhadas superficialmente

Tenho dificuldade

Não Sim, tenho necessidade de me atualizar mais.

Falta de aplicação dos exercícios em questões do dia a dia

Não, nesse momento gostaria de aprender mais.

TN Muito bom. No Ensino superior tive dificuldades mas superei

Não Não “Mistura número com letra”, como eles dizem.

não

Fonte: Acervo próprio

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Apêndice G Quadro 3 – Tabulação do Questionário para caracterização dos sujeitos parte 3

Questionário – Atuação Profissional

Codinome

Quais os procedimentos que você costuma adotar para melhorar o rendimento escolar em Matemática dos alunos?

O que você prioriza quando corrige uma avaliação?

Como você prepara seus alunos para participar de avaliação externa (Saresp, Prova Brasil)?

Nas suas Reuniões pedagógicas como são analisados os resultados das Avaliações Externas?

Nas suas Reuniões Pedagógicas, as Matrizes de Referência do Saresp, que fundamentam as classificações de itens das avaliações externas, foram discutidas pelo corpo docente de Matemática

Quais os conteúdos da série que você leciona que, em sua opinião, os alunos teriam mais facilidade nas avaliações externas?

Quais os conteúdos da série que você leciona que, em sua opinião, os alunos teriam mais dificuldade nas avaliações externas?

AP Buscando questões que fazem parte do dia a dia do aluno.

Participação em sala, se o aluno realmente está aprendendo, o interesse do aluno.

Trabalhando com questões anteriores, e revendo a matéria para determinadas questões.

Não tem avaliação externa.

Não Geometria

CG Fazer com que o aluno desenvolva o exercício (exemplo) junto com o mestre para ter seu conhecimento até onde ele pode alcançar.

Desenvolvimento de cada passagem do exercício.

Estudando e resolvendo exercícios extraclasses junto dos mesmos.

O aluno interessado sempre consegue seus objetivos, os outros costumam copiar, é dar mais apoio aos alunos sem interesse.

Não Eles têm dificuldade de ler as questões.

215

CL Fazer atividades em duplas, porque os alunos se ajudam. Depois de alguns dias de matéria nova dar exercícios para entregar

Verifico as questões que mais erraram para corrigir e esclarecer as dúvidas sobre aquele conteúdo

Não faço nada de especial, meu planejamento é de acordo com o da SEE. Costumo aplicar algumas questões de anos anteriores durante o ano.

Geralmente, a escola que estou tem índices acima da média em relação as outras escolas da Diretoria. Conversamos sobre o que temos dado em sala e o que precisa mudar ou esclarecer melhor os alunos

Não que me lembre

Exercícios de lógica e origami como ferramenta para ajudar a entender a Geometria

Leitura de problemas, pois apresentam dificuldade de leitura e interpretação.

DN Diversificar exercícios/conteúdos. Usar a História da Matemática como atrativo e cultura. Explorar a etmologia.

O raciocínio, interpretação, organização.

Nunca tive a oportunidade

Não Geometria Plana e conjuntos numéricos

Frações algébricas, frações e potências.

EL A cada conteúdo novo procuro resgatar as dúvidas de anos anteriores para que a defasagem do conhecimento de cada aluno seja cada vez menor

O raciocínio lógico e dedutivo do aluno, as maneiras com as quais ele trabalhou para solucionar os problemas pedidos.

Através de problemas e situações do dia a dia (reais) que envolvam os conteúdos em tais avaliações

Sempre são colocados e discutidos entre todos os professores.

Não Área de figuras planas, raízes e cálculos numéricos em geral.

Comprimento e área de circunferência, probabilidade e teorema de Tales.

FB Faço recuperação contínua com exercícios.

O raciocínio que o aluno fez

Não tem um momento específico.

Não Não Números e operações

Geometria e álgebra

FT Interpretação de textos matemáticos, vídeos, DVDs, leituras de paradidáticos/

Raciocínio lógico, conteúdo mais prático.

Sim, questões dos anos anteriores.

Não são analisados

Não discutimos Números inteiros, equação e funções.

Geometria e álgebra.

216

HQ Fazer a ligação do conteúdo ensinado, com outras disciplinas

O conhecimento do aluno através de um raciocínio lógico e coerente.

Aplicando testes e leitura.

São apresentados aos professores nos HTPC, e se propôs um trabalho para as séries que serão avaliadas no ano seguinte.

Sim

MA Pesquisa sobre os temas abordados. Conteúdo abordado, exercícios sobre os temas abordados.

O que o aluno conseguir fazer. Provas livres com consultas e atividades desenvolvidas em grupo.

Orientando sobre procedimentos básicos: como fazer uma prova.

Através do nível de pontuação obtida pelos alunos.

Sim 2º. e 3º. do Ensino Médio: Matrizes, sistemas lineares, triângulo de Pascal, Binômio de Newton, Números Complexos, Equações polinomiais

Geometria analítica, limites e derivadas, trigonometria, análise combinatória, probabilidades.

MS Procuro verificar as maiores dificuldades dos alunos e sanar suas dúvidas esclarecendo da melhor forma possível.

A forma com que o aluno desenvolve a maneira dos exercícios e considerando formas matemáticas desenvolvidas.

Procuro verificar suas dúvidas e saná-las conforme seus conhecimentos matemáticos e procuro orientá-lo da melhor maneira possível.

São discutidos e procuramos analisar os erros para corrigi-los e não cometer nos anos seguintes.

Sim, procuramos discutir formas diferentes, para desenvolver aulas mais eficazes.

Em minha opinião devemos tentar ideias novas pois a Matemática é complexa, por isso não vejo facilidades em nenhuma série sem trabalho.

Álgebra, Geometria, raciocínio lógico.

217

MC Fazemos atividades diferenciadas de vez em quando, como bingo da tabuada, calc draw recortes de figuras, tangran, jogos, ...

Participação e desempenho nas aulas e tarefas feitas em casa.

Costumo levar questões de provas anteriores, como por exemplo, todas as aulas corrigimos e comentamos pelo menos 1 questão das olimpíadas de Matemática. A escola também oferece provão.

A coordenadora sempre comenta os resultados em HTPC, faz gráficos dos rendimentos...

Não Nas 8ª. séries/9º.ano – equações do 2º. grau.

Frações

PL Exercícios que refletem o dia a dia do aluno

O raciocínio do aluno

Não preparo Sim Não Cálculos numéricos, perímetro.

Álgebra e geometria

RM Atencioso e procuro ouvir os alunos. Aproximo-me do aluno e procuro tirar suas dúvidas. O aluno sente-se a vontade para fazer perguntas. Explico de várias maneiras para pode atingir o aluno. Uso materiais didáticos e algumas aulas lúdicas.

Se os cálculos (raciocínio) tem lógica. Conhecimento do conteúdo. Domínio das operações. Retorno do que vou trabalhar no futuro (dificuldades).

Trabalho com a proposta curricular Trabalho com exercícios do Saresp dos anos anteriores.

Os resultados são expostos para os professores Fazemos um estudo e traçamos plano para os anos subsequentes.

Não 8ª. série 6ª. série

SR Proponho situações problema usando o raciocínio lógico pois, alguns problemas fazem somente uso das quatro operações e a regra de três.

Eu avalio todo o procedimento, mesmo as “continhas”(eu peço para os alunos deixarem na prova e não apagar) para

Normalmente, a escola promove provões e/ou simulados visando o “treinamento” destes alunos

O coordenador pedagógico costuma promover nos HTPC a análise destes resultados e sempre nos

Sim, pelo menos em alguns HTPC o coordenador pedagógico promove discussões com

No momento não tenho salas que fazem Saresp

Idem resposta anterior

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saber como ele chegou ao resultado, porque num raciocínio lógico com um bom procedimento ele acerta a solução do problema mas pode até errar nos cálculos.

para a participação da avaliação externa, e temos tido bons resultados.

orienta para tentar ver onde o aluno não vai bem. Por exemplo, falta de leitura, o aluno lê um problema mas não entende o que é pedido – palavras desconhecidas

o corpo docente de todas as disciplinas, sobre as Matrizes de Referência do Saresp, mas a discussão fica um pouco superficial.

SU Práticas diversificadas Atividades/jogos

Desenvolvimento do argumento lógico do aluno até chegar ao resultado.

Avaliação e reavaliação das provas anteriores e discussão dos resultados obtidos. Análise em grupo dos resultados.

Com base nos índices alcançados e metas a serem atingidas, discussão em grupo e propostas.

Sim, serviram de subsídios para nortear a prática docente.

Geometria é mais prático quando próximo da realidade deles

Geometria e Álgebra

TN Correção coletiva de todas as atividades aplicadas.

Desenvolvimento do raciocínio no rascunho.

Atividades de provas dos anos anteriores adequadas ao conteúdo que está sendo trabalhado.

Sim Não Geometria plana e cálculo algébrico

Análise combinatória, trigonometria, geometria espacial, frações (todas as operações)

Fonte: Acervo próprio

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