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UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES

INSTITUTO DE PESQUISAS SÓCIO -PEDAGÓGICAS

PÓS-GRADUAÇÃO "LATO SENSU"

A IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

NO APRENDIZADO

Por: Norma Sueli Soares da Costa Bragança

Tutor ou orientador Prof. Ms. Marco A . Lorosa

Rio de Janeiro

2001

9

UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES

INSTITUTO DE PESQUISAS SÓCIO-PEDAGÓGICAS

PÓS-GRADUAÇÃO "LATO SENSU"

A IMPORTÂNCIA DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

NO APRENDIZADO

Apresentação de monografia ao Conjunto

Universitário Candido Mendes como

condição prévia para conclusão do

Curso de Pós-Graduação"Lato Sensu" em

Docência do Ensino Superior.

Por: Norma Sueli Soares da Costa Bragança

II

10

AGRADECIMENTOS

A Universidade Candido Mendes, a todo o corpo

docente e, em especial ao Ms. Marco A .

Larosa. Agradeço também, aos professores

Eduardo e Lúcia Helena por seu grande apoio e

amizade e a professora e amiga Elizabeth por

sua ajuda e dedicação.

III

11

DEDICATÓRIA

Dedico esta monografia as minhas filhas,

Lorena e Thamires e ao meu marido Irlan, por

toda dedicação, apoio e carinho.

Dedico também ao meu grande amigo Marcos

Otávio, pela presença marcante e pelo grande

incentivo.

IV

12

RESUMO

Os números surgiram na Antigüidade por necessidades da vida

cotidiana e converteu-se em um imenso sistema de variadas e extensas

disciplinas.

Os números são conceitos abstratos e para demonstrá-los houve

a necessidade de se utilizar símbolos para representá-los. Diversas

populações criaram símbolos ou gestos utilizando a relação corporal para

demonstrar à idéia de quantidade.

A matemática desempenha papel decisivo, pois permite resolver

problemas da vida cotidiana, tem muitas aplicações no mundo do trabalho e

funciona como instrumento essencial para a construção de conhecimentos em

outras áreas. De mesmo modo interfere fortemente na formação e na

agilização do raciocínio dedutivo do aluno.

Os números são de grande importância na construção da

cidadania na medida em que a sociedade se utiliza, cada vez mais, de

conhecimentos científicos e recursos tecnológicos, dos quais os cidadãos

devem se aprimorar.

O indivíduo deve ser levado a "falar"e a "escrever"sobre os

números para que chegue ao entendimento de seu verdadeiro significado,

compreendendo que a matemática e um conhecimento historicamente

construído e em permanente evolução.

V

13

METODOLOGIA

A metodologia empregada nesta monografia, foi feita através de

pesquisas em livros de matemática, mais precisamente livros de História da

matemática, que na verdade, não possuem muitos cálculos, mas apenas

narram como aconteceu, quem foi o responsável por aquele ou por outro

cálculo e principalmente, demonstram que todos os cálculos que apareceram

há muitos e muitos anos atrás, continuam novos, ou seja, na matemática

conceitos e valores, não se tornam ultrapassados.

VI

14

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO 08

CAPÍTULO I

Os Números na História da Civilização. 11

CAPÍTULO II

Origens 28

CAPÍTULO III

Personagens que fizeram a História da Matemática 43

CAPÍTULO IV

Diferentes Abordagens do ensino da matemática para crianças. 61

CONCLUSÃO 70

BIBLIOGRAFIA 72

ÍNDICE 73

VII

15

INTRODUÇÃO A matemática é um aspecto único do pensamento humano, e sua

história difere na essência de todas as outras histórias, e com o passar do

tempo, quase todo campo de esforço humano é marcado por mudanças que

podem ser consideradas como correção e/ ou extensão. Assim as mudanças

na história de acontecimentos políticos e militares são sempre caóticos ; não há

como prever o surgimento de um Genghis Khan, por exemplo, ou as

conseqüências do pouco duradouro Império Mongol. Outras mudanças são

questão de moda e opinião subjetiva. As pinturas das cavernas de há 25.000

anos são geralmente consideradas como grande arte, e embora a arte tenha

mudado continuamente, até caoticamente.

Nos milênios subseqüentes, há elementos de grandeza em todas

as modas. Semelhantemente, cada sociedade considera seus próprios

costumes naturais e racionais, e acha os de outras sociedades estranhos,

ridículos ou repulsivos, mas isso não acontece entre as ciências, pois somente

entre elas existe o verdadeiro progresso, só aí existe o registro de contínuos

avanços a alturas sempre maiores.

E no entanto em quase todos os ramos da ciência o progresso de

avanço é tento de correção quanto de extensão. Aristóteles, uma das maiores

mentes que jamais contemplaram leis físicas, estava completamente errado em

16

suas idéias sobre corpos em queda e teve que ser corrigido por Galileu por

volta de 1590.Galeno, o maior dos médicos da antigüidade, não foi autorizado

a estudar cadáveres humanos e estava completamente errado em suas

conclusões anatômicas e fisiológicas. Teve que ser corrigido por Vesalius em

1543 e por Harvey em 1628. Até Newton, o maior de todos os cientistas,

estava errado em sua visão sobre a natureza da luz, a acromaticidade das

lentes e não percebeu a existência de linhas espectrais. Sua obra máxima, as

Leis de moviemento e teoria da gradatividade universal, tiveram que ser

modificadas por Eintein em 1916.

Agora vemos o que torna a matemática única.Só na matemática

não há correção significativa, só extensão. Uma vez que os gregos

desenvolveram o método dedutivo, o que fizeram estava correto para todo o

sempre. Euclides foi incompleto e sua obra foi enormemente estendida, mas

não teve que ser corrigida. Seus teoremas, todos eles, são válidos até hoje.

Ptolomeu pode ter desenvolvido uma representação errônica do sistema

planetário, mas o sistema de trigonometria que ele criou para ajudá-lo em seus

cálculos permanece correto para sempre.

Cada grande matemático acrescenta algo ao que veio antes, mas

nada tem que ser removido. Por tudo isso, podemos dizer que a matemática

desempenha papel decisivo, pois permite resolver problemas da vida cotidiana,

tem muitas aplicações no mundo do trabalho e funciona como instrumento

essencial para a construção de conhecimentos em outras áreas. De mesmo

modo interfere fortemente na formação e na agilidade do raciocínio dedutivo do

aluno.

Assim, esse trabalho tem como objetivos,estudar as relações

entre quantidades,magnitudes e propriedades ,e das operações lógicas

utilizadas para deduzir quantidades, magnitudes e propriedades

17

desconhecidas. Mostrar que no passado, a matemática era considerada a

ciência da quantidade, aplicada às magnitudes ( como na Geometria), aos

números ( como na Aritmética) ou à generalização de ambos ( como na

Álgebra).

Outro objetivo e conhecer a história dos números de vários povos,

enfatizar a situação _ problema no aprendizado da matemática; repensar a

concepção da matemática, situando-a como elemento indispensável para o

exercício da cidadania.

18

CAPÍTULO I

OS NÚMEROS NA HISTÓRIA DA

CIVILIZAÇÃO

UM MUNDO REPLETO DE NÚMEROS

19

Os números estão presentes o tempo todo à nossa volta, embora

nem sempre a gente os perceba. Eles fazem parte das nossas vidas. entre

ontem e hoje, quantas vezes você já se envolveu com eles? Faça um

levantamento de todos os momentos e situações em que ele pode ser usado.

Será que sempre foi assim? com certeza não! No passado, as

pessoas não tinham telefone em suas casas nem havia automóveis nas ruas.

Em poucos lugares as casas tinham número, e o comércio não tinha a

intensidade de hoje.No Brasil havia poucas indústrias e as cidades eram muito

menores do que as de agora.

Podemos concluir então que, hoje, nossa dependência dos

números é bem maior do que em tempos atrás. Quanto mais voltamos no

tempo, podemos observar que menor era a presença dos números na vida das

pessoas.

1.1- Desvendando o passado

Desde quando os números existem? Quando e como eles foram

criados?

A origem dos números perde-se no tempo, numa época em que

ainda não existia a linguagem escrita. Então, em que os historiadores se

apóiam para contar a história dos números?

Na verdade, a história dos números é apenas uma parte da

história da humanidade. Investigar a sua origem é investigar a pré-história

20

humana. Neste trabalho os historiadores são auxiliados por cientistas de várias

áreas.

Fazendo escavações, o arqueólogo estuda as ruínas de antigas

civilizações e, através dos objetos encontrados, procura desvendar o passado,

já os antropólogos e os sociólogos, ao estudar certos grupos humanos, como

os índios brasileiros ou os aborígenes australianos, podem avaliar como teria

sido a vida do homem de milhares de anos atrás .

1.1.1 - No tempo em que as casas eram buracos nas pedras.

Há 50 mil anos, o modo de vida era muito diferente do de hoje. As

pessoas viviam em grupos pouco numerosos e alimentavam -se da caça e da

coleta de frutos e raízes. Habitando cavernas, abrigavam -se do tempo e

protegiam -se dos inimigos.

Em 1940, na França, foi descoberta uma dessas cavernas, cujo

estudo trouxe muitas informações sobre a vida de seus antigos habitantes. É

curioso que essa descoberta tenha se dado por acaso.

Alguns garotos passeavam pelo campo, quando um cãozinho caiu

num buraco. Alargando a abertura, os meninos descobriram uma gruta enorme.

Nas suas paredes havia pinturas coloridas de cavalos, veados, bisões e até

rinocerontes.

21

Investigando-a, os cientistas determinaram a idade aproximada

daquelas pinturas: 25 mil anos e os objetos e ossos ali encontrados, permitiram

conhecer um pouco mais a respeito do homem que a habitou.

Supõe-se que o seu tipo fósico tenha sido bastante semelhante

ao nosso e que, se fosse possível vestir um deles com as roupas que usamos

hoje e cortar-lhe o cabelo e a barba, ele não seria notado ao passear por

nossas ruas.

A descoberta de algumas sepulturas mostrou que eles

dedicavam atenção aos mortos, o que sugere que eles deveriam ter alguma

preocupação com a vida espiritual.

Alguns estudiosos acham que, se fosse possível trazer um bebê

daquela época para os dias de hoje e educá-lo à nossa maneira, ele

aprenderia tudo que nossas crianças aprendem. Essa opinião é interessante

porque combate uma crença, muito comum entre as pessoas, de que o homem

das cavernas erra "burro", "tacanho", enquanto nós somos "inteligentes". Isto

não é verdade. Não é aí que está a diferença entre os nossos antepassados e

os homens de hoje. A diferença, que é profunda, está nas maneiras de viver.

Eles não comerciavam: não compravam ou vendiam e não

usavam dinheiro. Não plantavam, não criavam animais e nem construíam suas

casas. Compreendendo o seu modo de vida podemos entender por que eles

não conheciam os números. Em suas vidas, nada havia que levasse à

necessidade de contar. Não contavam, simplesmente, porque não precisavam.

Mas as coisas foram mudando!

22

1.1.2 - Novas maneiras de viver

Do habitante das cavernas até nossos dias, passaram-se

milhares de anos e o modo de vida foi mudando lentamente. À medida que se

aperfeiçoavam na caça e aprendiam a se proteger melhor de seus predadores,

os pequenos grupos humanos, aos poucos, tornaram-se mais numerosos. A

natureza também sofreu mudanças: algumas regiões ficaram frias, cobertas de

gelo; outras viraram desertos; muitas espécies de animais e plantas

desapareceram. Todas essas modificações trouxeram como conseqüência

uma mudança na forma de vida de nossos antepassados: eles passaram a

cultivar a terra e criar animais.

O homem foi deixando de ser apenas caçador e coletor de

alimento e, como agricultor, fixou-se no solo. Deixou gradativamente a vida

nômade e tornou-se, aos poucos, cada vez mais sedentário. Aprendeu a

construir moradias em pedra, barro, madeira ou tijolo, agrupadas em núcleos

cada vez maiores, que vieram a formar as primeiras aldeias.

Capturando animais selvagens para tê-los como reserva de

alimento, o homem aprendeu a domesticá-los e a aproveitar-se do que eles

ofereciam, como a lã e o leite. Há 6 mil anos já estavam domesticados o

cachorro, o carneiro, a cabra, o porco, o boi e o cavalo, entre outros animais.

Desse modo, além de agricultor, o homem tornou-se criador, desenvolvendo o

pastoreio.

A agricultura e o pastoreio provocaram profundas modificações na

vida humana.Originaram uma existência mais organizada; estimularam a

cooperação entre grupos e a divisão do trabalho entre homens e mulheres,

velhos e moços. Os grupos humanos passaram a contar com reservas de

23

alimento para entender à população que crescia. Iniciou-se um tipo primitivo de

comércio baseado em trocas. Surgiu então no homem e desenvolveu-se o

sentimento de propriedade sobre os animais, a terra e os produtos dela

extraídos.

A criação de animais, a agricultura, a construção das casas e o

comércio rudimentar trouxeram consigo a necessidade da contagem. A

agricultura, por exemplo, passou a exigir o conhecimento do tempo, das

estações do ano, das fases da Lua. Foi preciso contar a sucessão dos dias e

das noites para que surgissem os primeiros calendários. Além disso, quem

possui bens preocupa-se em controlar o que tem. O sentimento de

propriedade, e também as novas formas de vida, trouxeram consigo a

necessidade de contar. É daí que vêm os números.

1.1.3 - A capacidade de perceber pequenas quantidades

Um dos recursos usados para desvendar o nosso passado

consiste em estudar os grupos humanos que, ainda hoje, apresentam um

modo de vida semelhante ao dos homens de milhares de anos atrás. Este

estudo, realizado por antropólogos, revelou que todo ser humano possui um

sentido numérico, isto é, possui a capacidade de distinguir pequenas

quantidades.

Para entender o que é sentido numérico, podemos fazer a

seguinte experiência: dê quatro bolas iguais a uma criança de uns dois anos de

idade. Depois de deixá-la brincar por algum tempo, retire duas bolas, sem que

ela perceba.Você verá que ela sente falta dos brinquedos.

24

Será que ela contou para saber que faltam duas bolas? É claro

que não! Ela apenas usou o seu sentido numérico. Certamente, se lhe

déssemos quinze bolas iguais e retirássemos duas, ela não notaria.

Essa capacidade de distinguir pequenas quantidades não é

exclusiva do ser humano. Experiências realizadas com animais demonstraram

que alguns deles também têm esta capacidade.

1.1.4 - O pastoreio : ovelhas e pedrinhas

Um pastor precisa controlar seu rebanho. Precisa saber se

nenhuma ovelha se perdeu ou se nasceram novos animais. Quando o rebanho

é pequeno, é possível conhecer um a um todos os bichinhos. Mas, e quando o

rebanho é grande?

Ao que parece, as primeiras contagens foram realizadas pelos

pastores, usando pedrinhas.

De manhãzinha, quando as ovelhas saíam para o pasto, o pastor

separava uma pedrinha para cada animal, formando assim um montinho, ao

final do dia, o pastor retirava do monte uma pedrinha para cada ovelha que

retornava ao pasto.

Se sobrassem pedrinhas no monte, era porque alguns animais

haviam ficado para trás. Assim, ele tratava de procurá-los , assim como, se

faltassem pedrinhas no monte, era porque o rebanho havia aumentado, ou

talvez algum animal de outro rebanho tivesse se juntado ao seu.

25

Uma das evidências que os historiadores apontam para a versão

da origem da contagem por meio de pedrinhas está, mais uma vez, na

linguagem. A palavra cálculo originou-se da palavra latina calculus, que

significa "pedrinha" Essa deve ser a origem da palavra calcular: contar com

pedrinhas, por isso, ainda hoje dizemos que se um fulano está com cálculo

renal, ele na verdade está com pedra no rim.

1.1.5- Marcas e dedos

Além das pedrinhas, o homem usou outros recursos para auxiliá-

lo nas contagens, inclusive nosso corpo teve papel importante ao longo dos

milhares de anos que se levou para criar os números.

Na língua falada por algumas tribos, para referir-se à quantidade

cinco, eles dizem mão. Para referir-se ao dez, dizem duas mãos. Em alguns

casos ainda, para dizer vinte, dizem um homem completo, indicando que,

depois de contar com os dedos das mãos, passaram a usar os dedos dos pés.

A associação entre dedos e números até hoje está presente na

palavra dígito. De fato, esta palavra, sinônimo de "algarismo", provém de

digitus,que em latim significa "dedo".

1.2- As grandes civilizações do passado

Já foi dito que a agricultura e o pastoreio modificaram

profundamente a vida dos homens, dando origem às primeiras aldeias que,

lentamente, transformaram-se nas primeiras cidades. Algumas destas cidades

cresceram e abrigaram as primeiras grandes civilizações.

26

Apesar das diferenças, há características comuns a estas

civilizações. Muitas desenvolveram -se em vales de rios, que sempre tiveram

grande importância na vida dos homens. Os rios são fontes de vida, pois

fornecem água e alimento, é, além disso, são estradas naturais, e em todas as

grandes civilizações, a agricultura teve um papel importante.

O desenvolvimento da agricultura trouxe consigo a necessidade

de calendários precisos. Para organizá-los foi necessário desenvolver os

conhecimentos de astronomia e matemática.

O comércio também desempenhou um papel importante na

organização daquelas civilizações e estimulou o contato entre elas. Por volta

do ano 2600 a . C., barcos de comércio egípcios, carregados com lentilhas,

tecidos e papiros ( uma espécie de papel), navegavam pelo Mar Vermelho e

pelo Mar Mediterrâneo, vendendo seus produtos. Outros comerciantes

viajavam por terra.

As antigas civilizações atingiram um elevado grau de organização.

Isto trouxe uma série de problemas, cuja solução exigia o conhecimento e o

domínio dos números. Nas construções de casas, templos, estradas e

aquedutos, nas atividades comerciais, na navegação, na elaboração do

calendário e no estudo dos astros há problemas que exigem contagens e

cálculos. Assim como cada uma destas grandes civilizações criou a sua própria

linguagem escrita, elas também desenvolveram diferentes maneiras de

representar quantidades.

27

1.2.1 - A Numeração Egípcia

Os egípcios escreviam os números usando esses sinais:

um traço vertical representava a unidade;

um sinal em forma de alça indicava a dezena;

um sinal, parecido com um pedaço de corda enrolada, valia cem;

esta flor de lótus com seu talo representava mil ( lótus era uma

planta sagrada no Egito Antigo);

este desenho, representando um dedo quebrado indicava dez

mil

com um girino eles representavam cem mil;

esta figura ajoelhada, com as mãos para o alto, representava

um milhão.

Eles contavam formando grupos de dez, como nós fazemos hoje,

no nosso sistema de numeração: dez unidades formam a dezena; dez dezenas

formam a centena; dez centenas formam o milhar, também o sistema egípcio é

decimal ou, com outras palavras, dizemos que ele tem base dez.

28

1.2.2 -O sistema de numeração da Mesopotâmia

Nas escavações arqueológicas realizadas nas cidades da

Mesopotâmia foram encontrados milhares de placas de barro, contendo

numerosas inscrições. Em algumas delas, os registros referiam-se a números.

Usando um bastonete, os escribas da Mesopotâmia escreviam

sobre placas de barro, com o barro ainda mole. Depois eles eram cozidas no

fogo ou apenas secas ao sol.

No sistema numérico da Mesopotâmia, a unidade era

representada por este sinal ∇, parecido com uma cunha. Vejamos como

eram escrito os números de um a nove.

ɲ

ɲ

ɲ

Para escrever dez, eles usavam o mesmo símbolo, porém em

posição horizontal. ɳ

Por exemplo, os números 13 e 23 eram escritos respectivamente,

assim:

ɳ ɲɲɲ ( 13 ) ɳɳ ɲɲɲ (23)

29

A numeração dos mesopotâmicos é de base sessenta. Na

numeração egípcia, ȸȿȿ significa um grupo de dez mais dois. Na numeração

mesopotâmica, ɲ ɲɲɲ significa um grupo de sessenta mais três. O símbolo

da esquerda, separado dos outros três, vale sessenta.

1.2.3 - A numeração na Grécia antiga

Os gregos usavam as vinte e quatro letras de seu alfabeto

acrescido de três outros sinais para representar os números.

Letra Nome da letra Valor

α alfa 1

β beta 2

γ gama 3

δ delta 4

ε epsílon 5

ς digama 6

ȟ dzeta 7

Ș eta 8

ș teta 9

Ț iota 10

ț capa 20

Ȝ lambda 30

µ mi 40

Ȟ ni 50

ȟ csi 60

Ƞ ômicron 70

ʌ pi 80

copa 90

ȡ ro 100

ı sigma 200

30

IJ tau 300

ȣ ípsilon 400

ij fi 500

Ȥ qui 600

ȥ psi 700

Ȧ omega 800

Ȏ sã 900

Para representar os múltiplos de mil, até nove mil, eles usavam

novamente as primeiras letras do alfabeto, acompanhadas de um pequeno

risco.

,İ ( 5000).

1.2.4- O sistema numérico romano

Na antigüidade, os romanos escreviam os números usando estes

sinais:

Símbolos I V X L C D M

Valor 1 5 10 50 100 500 1000

Estes são os atuais números romanos, que sofreram algumas

modificações com o passar dos tempos .

EX: O número 4 era representado desta maneira por IIII e agora é

representado por IV.

31

Em vários aspectos, o sistema romano de numeração se parece

com o sistema egípcio. Trata-se de um sistema de base dez, em que

comparecem novos símbolos para o cinco, o cinqüenta e o quinhentos.Isso

facilita a escrita de alguns números. É mais fácil escrever setenta e sete assim

LXXVII do que assim XXXXXXXIIIIIII.

O sistema de numeração romano, criado na Antigüidade, foi

usado na Europa durante muitos séculos. Nesta época não havia imprensa e

os livros eram copiados manualmente. É natural então que, com o passar do

tempo, os símbolos sofressem modificações. O quinhentos, que era

representado assim I ⊃,

passou a ter esta representação : D. Além disso, o mil passou de C I ⊃ para

M. Foi também introduzida uma nova regra: o quatro passou a ser escrito

assim IV, significando que o um deverá ser subtraído do cinco.

Nove IX

quarenta XL

noventa XC

Quatrocentos CD

novecentos CM

32

1.2.5- O sistema de numeração dos Maias

Os diversos sistemas de numeração apresentados aqui foram

criados por povos que habitavam a Europa, o Oriente e o Oriente Médio. o

sistema que será apresentado agora foi desenvolvido pelos maias, que viveram

mais próximos de nós. Durante mais de mil anos eles habitaram a região onde

hoje se localiza o sul do México e a América Central.

Vejam como eram os números maias de um a dez.

1- . 2- .. 3- ... 4- .... 5- ___ 6- .

7- .. 8- ... 9- .... 10- ----

1.2.6- A origem da numeração indo-arábica

A origem do nosso sistema de numeração é bastante antiga. Ele

surgiu na Ásia, há muitos séculos, no vale do rio Indo, onde hoje é o

Paquistão.Existem algumas informações importantes para que possamos

compreender melhor essa história.

No vale do rio Indo, há mais de quatro mil anos, desenvolveu-se

uma das primeiras civilizações indianas, que chegou a implantar uma rede de

cerca de cem povoados, incluindo algumas cidades.

As ruínas de uma dessas cidades, hoje conhecida como Mohenjo

Daro, revelam a existência de ruas calçadas, casas com tijolos de barro,

piscinas para banhos públicos e até sistemas de fornecimento de água e

canalização de esgoto.

33

Nessas ruínas descobriram-se também alguns registros escritos,

embora até o momento este sistema de escrita não tenha sido decifrado Por

todas essas indicações permitem entrever que essa civilização tenha atingido

um alto grau de organização.

No entanto por volta de 1.500 ªC., esta cultura desapareceu,

possivelmente devido às invasões dos povos arianos e as civilizações que

floresceram posteriormente nesta região também desenvolveram sua própria

escrita, além de um sistema que foi a base para o nosso.

Numeração Indiana não -posicional ( segundo um registro do século I)

_ = =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 100

200

Neste sistema, não existia o símbolo zero.

Até que fosse desenvolvida a numeração decimal posicional,

ainda se passariam alguns séculos, parece que o sistema de numeração

indiano se configurou apenas por volta do século v.

Numeração indiana decimal posicional ( segundo um registro do

século IX)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 20

34

Devemos conhecer a História dos números, considerando como

essência para um bom caminhar no ensino da matemática, porque apresentar

apenas cálculos soltos no espaço e no tempo, passam a não ter forma para o

educando que muito dificulta o processo ensino-aprendizagem .

35

CAPÍTULO II

ORIGENS

36

ORIGENS

Os matemáticos do século xx desempenham uma atividade

intelectual altamente sofisticada, o que não é fácil de definir, mas boa parte do

que se chama matemática deriva de idéias que originalmente estavam

centradas nos conceitos de número, grandeza e forma. Definições antiquadas

da matemática como uma "ciência do número e grandeza" já não são válidas;

mas sugerem as origens dos diversos ramos da matemática. Noções primitivas

relacionadas com os conceitos dos números, grandeza e forma podem ser

encontradas nos primeiros tempos da raça humana, e vislumbres de noções

matemáticas se encontram em forma de vida que podem datar de milhões de

anos antes da humanidade. Darvin no Descent of Man (1871) observou que

alguns animais possuem capacidades como memória e imaginação, e hoje é

ainda mais claro que as capacidades de distinguir número, tamanho, ordem e

forma - rudimentos de um sentimento matemático -não são propriedades

exclusivas da humanidade. Experiências com corvos, por exemplo, mostraram

que pelo menos alguns pássaros podem distinguir conjuntos contendo até

quatro elementos. Uma percepção de diferenças de padrões em seus

ambientes claramente existe em muitas formas inferiores de vida, e isso tem

parentesco com a preocupação dos matemáticos com forma e relação.

Em certa época pensou-se que a matemática se ocupava do

mundo que nossos sentidos percebem e foi somente no século dezenove que a

matemática pura se libertou das limitações sugeridas por observações da

natureza. ë claro que a matemática originalmente surgiu como parte da vida

diária do homem, e se há validade no princípio biológico da "sobrevivência do

mais apto"a persistência da raça humana provavelmente tem relação com o

desenvolvimento de conceitos matemáticos. A princípio as noções primitivas de

37

número, grandeza e forma podiam estar relacionadas com contrastes mais do

que semelhantes -- a diferença entre um lobo e muitos, a desigualdade de

tamanho entre uma sardinha e uma baleia, a dessemelhança entre a forma

redonda da lua e a retilínea de um pinheiro. Gradualmente deve ter surgido, da

massa de experiências caóticas, a realização de que há analogias: e dessa

percepção de semelhanças em número e forma nasceram a ciência e a

matemática. As próprias diferenças parecem indicar semelhanças, pois o

contraste entre um lobo e muitos, entre um carneiro e um rebanho, entre uma

árvore e uma floresta, sugerem que um lobo, um carneiro e uma árvore têm

algo em comum -- sua unicidade . Do mesmo modo se observaria que certos

grupos, como os pares, podem ser postos em correspondência um a um. As

mãos podem ser relacionadas com os pés, os olhos e as orelhas ou as narinas.

Essa percepção de uma propriedade abstrata que certos grupos têm em

comum e que nós chamamos número, representa um grande passo no

caminho para a matemática moderna. É improvável que isso tenha sido a

descoberta de um indivíduo ou de uma tribo; é mais provável que a percepção

tenha sido gradual, desenvolvido tão cedo no desenvolvimento cultural do

homem quanto o uso do fogo talvez há 300.000 anos. Que o desenvolvimento

do conceito de número foi um processo longo e gradual é sugerido pelo fato de

que certas línguas, o grego inclusive, conservaram na sua gramática uma

distinção tripartite entre um e dois e mais de dois, ao passo que a maior parte

das línguas atuais só faz a distinção em " número"entre singular e plural.

2.1 - Zero: uma conquista difícil.

Estamos tão habituados com o nosso sistema de numeração, que

ele nos parece muito simples e natural. No entanto, desde os tempos em que

38

foram realizadas as primeiras contagens até o aparecimento de nosso sistema

numérico, decorreram milhares de anos.

Provavelmente a razão dessa demora tenha sido a dificuldade

para se inventar o zero, pois o zero nos é tão familiar que não sentimos a

menor estranheza em raciocinar com ele. Entretanto, nem sempre foi assim,

pois passou muito tempo para que o zero fosse inventado e, mesmo depois,

esse símbolo não foi aceito com facilidade.

Os números foram criados a partir de necessidades concretas,

nas diversas contagens que se apresentavam no dia - a dia. Os números

surgiram como resposta à pergunta: "Quantos?". Ora, quem não tem coisa

alguma, que necessidade pode ter de contar o que não tem?

Por outro lado, num sistema de numeração que procura retratar o

que se passa, é imprescindível que haja um símbolo para representar as casas

vazias. Neste sentido podemos dizer que o zero viabilizou, isto é, tornou

possível o sistema de numeração posicional que usamos hoje.

2.2- A origem da geometria

Afirmações sobre a origem da matemática, seja da aritmética,

seja da geometria, são necessariamente arriscadas, pois os primórdios do

assunto são mais antigos que a arte de escrever. Foi somente nos últimos seis

milênios, numa carreira que pode ter coberto milhares de milênios, que o

homem se mostrou capaz de pôr seus registros e pensamentos em forma

escrita. Para informações sobre a pré-história dependemos de interpretações

baseadas nos poucos artefatos que restaram, de evidência fornecida pela

moderna antropologia, e de extrapolação retroativa, conjetural, a partir dos

documentos que sobreviveram.

39

Heródoto e Aristóteles não quiseram se arriscar a propor origens

mais antigas que a civilização egípcia, mas é claro que a geometria que tinham

em mente possuía raízes mais antigas. Heródoto mantinha que a geometria se

originava no Egito., pois acreditava que tinha surgido da necessidade prática

de fazer novas medidas de terras após cada inundação anual no vale do rio.

Aristóteles achava que a existência no Egito de uma classe sacerdotal com

lazeres é que tinha conduzido ao estudo da geometria. Podemos considerar as

idéias de Heródoto e Aristóteles como representando duas teorias opostas

quanto às origens da matemática, um acreditando que a origem fosse a

necessidade prática, outro que a origem estivesse no lazer sacerdotal e ritual.

O fato dos geômetras egípcios serem às vezes chamados de "estiradores de

corda"( ou agrimesores) pode ser tomado como apoio de qualquer das duas

teorias, pois cordas eram indubitavelmente usadas tanto para traçar as bases

de templos como para realinhar demarcações apagadas de terras. Não

podemos contradizer com segurança nem Heródoto nem Aristóteles quanto à

motivação que produziu a matemática, mas é claro que ambos subestimaram a

idade do assunto. O homem neolítico pode ter tido pouco lazer e pouca

necessidade de medir a terras, porém seus desenhos e figuras sugerem uma

preocupação com relações espaciais que abriu caminho para a geometria.

Seus potes, tecidos e cestas mostram exemplos de congruência e simetria, que

em essência são partes da geometria elementar. Além disso, seqüências

simples em desenhos, segurem uma espécie de teoria dos grupos aplicada,

bem como proposições geometrias e aritméticas. O esquema torna evidente

que as áreas dos triângulos estão entre si como os quadrados sobre um lado,

ou por contagem, que a soma dos números ímpares consecutivos, começados

com a unidade, são quadrados perfeitos. Para o período pré histórico, não há

40

documentos, portanto é impossível acompanhar a evolução da matemática

desde um desenho específico até um teorema familiar. Mas idéias são como

sementes resistentes, e às vezes presumida de um conceito pode ser apenas a

reaparição de uma idéia muito mais antiga que ficara esquecida.

A preocupação do homem pré-histórico com configurações e

relações pode ter origem no seu sentimento estético e no prazer que lhe dava a

beleza das formas, motIvos que muitas vezes propelem a matemática de hoje.

Gostaríamos de pensar que ao menos alguns dos antigos geômetras

trabalharam pela pura satisfação de fazer matemática, não como auxílio prático

à mensuração; mas há outras alternativas. Uma é que a geometria, como a

contagem, tivesse origem em rituais primitivos. Os mais antigos resultados

geométricos encontrados na Índia formam o que se chamou Sulvasutras, ou

"regras da corda". Tratava-se de relações simples, que aparentemente se

aplicavam à construção de templos e altares. Pensa-se usualmente que a

motivação geométrica dos "estiradores de corda"no Egito era mais prática que

a dos seus colegas na Índia mas sugeriu-se que tanto a geometria da Índia

como a egípcia podem provir de uma fonte comum, uma protogeometria

relacionada com ritos mais ou menos do modo como a ciência se desenvolveu

a partir da mitologia e a filosofia da teologia. Devemos ter em mente que a

teoria da origem da geometria numa secularização de práticas rituais não está

de modo nenhum provada. O desenvolvimento da geometria pode também ter

sido estimulado por necessidades práticas de construção e demarcação de

terras, ou por sentimentos estéticos em relação a configuração e ordem.

Podemos fazer conjeturas sobre o que levou os homens da Idade da Pedra a

contar, medir, e desenhar. Que os começos da matemática são mais antigos

que as mais antigas civilizações é claro. Ir além e identificar categoricamente

41

uma origem determinada no espaço e no tempo, no entanto, é confundir

conjetura com história. É melhor suspender o julgamento nessa questão e ir

adiante, ao terreno mais firme da história da matemática encontrada em

documentos escritos que chegaram até nós.

2.2.1- A Geometria Plana: breve introdução

histórica

A Geometria( que significa medida da terra) sempre preocupou e

interessou os homens de ciências, entretanto, os primeiros estudos de

geometria partiram deu ma hipótese falsa: a Terra era uma superfície plana,

imaginava-se. Mas esse fato não impediu o desenvolvimento da geometria, até

porque, muito freqüentemente, as aplicações dessa ciência se fazem em

regiões limitadas, quase planas.

A geometria nasceu entre os séculos IV e II a. C., durante o

reinado de Ptolomeu I, em plena cultura clássica grega, pelas mãos de

Euclides, mestre da Escola de Alexandria. Euclides trabalhou exaustiva e

extensivamente, a ponto de alguns historiadores duvidarem de que a autoria de

uma obra de tal porte tenha sido de um único homem. As controvérsias, no

entanto, não tiraram o mérito de quem propôs uma primeira sistematização dos

estudos matemáticos. Em Euclides, ela recebeu o nome de método axiomático,

que se desenvolve a partir de poucos conceitos básicos ( ponto, reta e plano) e

de algumas premissas simples, aceitas como verdadeiras pelo senso comum

ou admitidas como tal quando não muito evidentes.

42

Aos principiantes, vale a pena repetir que as teorias da geometria

se baseiam em noções simples e intuitivas e em princípios aceitos como

verdadeiros pelo senso comum. Por noções simples e intuitivas entendam-se

conceitos básicos não definidos, oriundos de outros quaisquer; os princípios

chamados de Postulados ou Axiomas, compreendem aqueles conceitos

básicos, aceitos e conhecidos pela intuição ou pela experiência dos indivíduos.

A geometria plana ou elementar trabalha com postulados

expressos pelas seguintes proposições:

I- Dois pontos determinam uma reta.

II- Por um ponto passam infinitas retas.

III- Três pontos não-colineares determinam um plano.

IV- Se uma reta tem dois pontos comuns com o plano, então ela está contida

nesse plano.

O desenvolvimento da geometria, bem como o de toda

matemática, baseia-se em dois métodos: o indutivo e o dedutivo. No método

indutivo, o conhecimento ocorre a partir do estudo de sucessivos exemplos e

casos particulares bem-sucedidos, em relação aos quais se pode concluir uma

regra geral para casos semelhantes; é o caminho que conduz ao conhecimento

partindo do particular para o geral.

No método dedutivo, o conhecimento ocorre em caminho inverso

ao indutivo, ou seja, do geral para o particular. De princípios gerais, como

axiomas ou postulados, por exemplo, aplicáveis a entes fundamentais como

pontos, retas e planos, obtêm-se conclusões particulares, aplicáveis a figuras

geométricas quaisquer, como triângulos e polígonos.

43

2.3- A origem da álgebra

O primeiro século do Império mulçumano fora destituído de

realizações científicas. Esse período ( de cerca de 650 a 750) foi na verdade, o

nadir do desenvolvimento da matemática, pois os árabes ainda não tinham

entusiasmo intelectual, e o interesse pela cultura, tinha quase desaparecido no

resto do mundo.Não fosse o súbito despertar cultural do Islam na segunda

metade do oitavo século, certamente muito mais se teria perdido da ciência e

da matemática antigas.

A Bagdá, nesse tempo, foram chamados estudiosos da Síria e

Mesopotâmia, inclusive judeus e cristãos, estes estudiosos estabeleceram

várias novidades em relação à matemática, inclusive uma "Casa da

Sabedoria" ( Bait al-hikma) comparável ao antigo Museu de Alexandria,

Mohaammed ibu-Musa al-Khowarizmi , escreveu vários livros sobre aritmética

e álgebra, que tiveram papéis muito importantes na história da matemática.

Através de sua aritmética, o nome de al-khowarizmi tornou-se

uma palavra vernácula, através do título do seu livro mais importante Al-jabr

Wa'l muqabalah, ele nos deu uma palavra mais familiar. Desse título veio o

termo álgebra pois foi por esse livro que mais tarde a Europa aprendeu o ramo

da matemática que tem esse nome.

Al-jabr chegou a nós em duas versões, latina e árabe, mas a

tradução latina, Líber algebrae et almucabiola falta uma parte considerável do

texto árabe. Na tradução latina, por exemplo, não há prefácio, talvez porque o

prefácio de autor em árabe elogiasse profundamente o profeta Maomé e al-

Mamum, "o Comendador dos Crentes ". Al-khowarizmi escreve que esse

último o tinha encorajado a

44

"Compor uma breve obra sobre cálculos por ( regras de)

complementação e redução, restringindo-a ao que é mais fácil e

útil essa aritmética, tal como os homens constantemente

necessitam em casos de herança, legados, partições, processos

legais e comércios, e em todas as sua transações uns com os

outros, ou onde se trata de medir terras, escavar canais,

computação geométrica e de outras coisas vários tipos e

espécies".[ Karpinski, 1915. p. 96]

Não se sabe bem o que significam os termos al-jabr e muqabalah,

mas a interpretação usual é semelhante à que a tradução acima implica. A

palavra al-jabr presumidamente significa algo como "restauração"ou

"completação" e parece referir-se à transposição de termos subtraídos para o

outro lado da equação, a palavra muqabalah, ao que se diz, refere-se a

"redução"ou "equilíbrio", isto é, ao cancelamento de termos semelhantes, em

lados opostos da equação.

2.3.1- Álgebra

A álgebra caracteriza-se pelo conjunto de conceitos, propriedades

de procedimentos que empregam letras e expressões literais para estabelecer

relações e. realizar operações.

Nas expressões algébricas, as letras podem cumprir funções

muito diferentes, podem representar um número qualquer, um número

desconhecido, uma relação entre conjuntos de números ou símbolos arbitrários

45

de uma estrutura estabelecida por certas propriedades. Essas várias funções

das expressões algébricas estão relacionadas com as várias interpretações

que temos da álgebra:

- Álgebra como generalização da Aritmética;

- Álgebra como estudo de procedimentos para resolver certos problemas;

- Álgebra como estudo de relações entre quantidades;

- Álgebra como estudo das estruturas.

Na concepção da álgebra como generalização da aritmética, as

letras formam partes de modelos que permitem generalizar propriedades. Elas

são generalizadoras de modelos aritméticos, onde o uso das letras facilita

pensar em i déias matemáticas e permite representar,para qualquer número,

idéias ou relações que valem para números específicos. Por exemplo,

sabemos que se 10 + 6 = 16, então 16 - 6 = 10 ou 16 - 10 = 6. Se usarmos a,

b, e c para representar quaisquer números,podemos dizer que se a + b = c,

então c - b = a ou c - a = b.

Na concepção que temos da álgebra como estudo de

procedimentos para resolver certos problemas, o tema central é a resolução de

equações. Neste caso, as letras são incógnitas específicas..

Na concepção da álgebra como estudo de relações entre

quantidades, as letras não são incógnitas. Elas descrevem certos aspectos de

um objeto ou um fenômeno, para compreender seu funcionamento e mesmo

deduzir novas propriedades. Nesta interpretação, as letras assumem o sentido

completo de variável, isto é, as variáveis variam. Existem as noções de variável

independente e variável dependente e a relação é uma função.

Por exemplo:

46

- A fórmula da área de um retângulo é uma relação entre as variáveis

comprimento e largura;

- Na função representada pela expressão y = 5x - 3, o valor de y depende de x.

Na concepção da álgebra como estudo das estruturas, as letras

são consideradas símbolos arbitrários de de uma estrutura estabelecida por

certas propriedades. Ou seja, as letras constituem elementos pretencentes a

estruturas algébricas, tais como grupos, anéis ou corpos, que fundamentam a

teoria da álgebra.

Uma característica desta interpretação consiste em ter em mente

referenciais ( geralmente números reais), quando utilizamos as letras, e operar

com elas sem ter de voltar a esses referenciais.

Por exemplo: simplifique a expressão ( x- 2 ) 2 - x2, para resolver esta questão,

calcula-se ( x - 2) 2, considerando ( x - 2 ) um número e, portanto:

( x - 2 ) 2 = ( x - 2) . ( x- 2).

2.4 - Aritmética

Aritmética, literalmente, arte de contar. A palavra do grego

arithmetike, que combina arithmos, que significa"número", e techne, que se

refere a uma arte ou habilidade.

2.4.1- Definições fundamentais

A aritmética estuda a modo com que os números podem ser

combinados da adição, subtração, multiplicação e divisão. Aqui a palavra

número refere-se também aos negativos, irracionais, algébricos e às frações.

47

As propriedades aritméticas da soma e da multiplicação são as mesmas da

álgebra. A operação aritmética da adição ( soma) é indicada com o sinal mais

( + ) e é uma maneira de contar usando incrementos maiores que 1. A

subtração ( diferença) é representada pelo sinal menos ( - ) e é a operação

oposta, ou inversa, da adição. O cálculo da subtração aritmética não é difícil,

desde que o subtraendo seja maior do que o minuendo. No entanto, se a

relação por inversa, a única maneira de encontrar um resultado para a

subtração é a introdução do conceito de números negativos. A reta numérica

que se mostra em seguida, representa os números negativos.

Direção negativa Direção positiva

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

A multiplicação é indicada pelo sinal ( X) , que se lê como "por".

Algumas vezes, utiliza-se um ponto para indicar a multiplicação de dois ou mais

números, outras vezes usa-se parênteses. A multiplicação é simplesmente

uma soma repetida. A divisão é a operação recíproca ou inversa da

multiplicação.

2.5 - Origem do termo cálculo

A palavra cálculo vem do latim calculus, que significa pedrinhas

ou pequenas pedras. Acredita-se que a muitos milhares de anos, quando o

homem não dominava nenhum sistema de contagem os pastores para

controlar a quantidade de ovelhas de seus rebanhos utilizavam essas

pequenas pedras.

48

Pela manhã o procedimento era o seguinte: para cada ovelha que

saia do cercado guardava-se uma pedra num saquinho. No fim do dia cada

pedrinha guardada no saquinho pela manhã era retirada assim cada ovelha

retornava ao aprisco, dessa forma eles podiam saber se todas as ovelhas

tinham retornado. Essa prática desenvolvida pelos pastores para fazer contas

utilizando pedras, deu origem a palavra calcular, que é tanto utilizada na

matemática e que significa, contar.

2.6- Origem do termo grau

Em qualquer livro de matemática encontra-se afirmações que o

ângulo reto mede 900 e que o ângulo raso mede 1800. Mas qual a razão para

os valores serem justamente 900 e 1800.

Para entendermos isso, retornaremos ao ano 4.000 a . C. quando

egípcios e árabes, estavam tentando elaborar um calendário. Nessa época,

acreditava-se que o sol girava em torno da terra numa órbita que levava 360

dias para completar uma volta. Desse modo, a cada dia o sol percorria uma

parcela dessa órbita. A esse arco fez-se corresponder um ângulo cujo vértice

era o Centro da terra e cujos os lados passavam pela extremidade de tal arco.

Assim esse ângulo passou a ser uma unidade de medida e foi

chamado grau ou ângulo de um grau. Assim, pode-se concluir, que para os

antigos egípcios e árabes o grau era medida do arco que o sol percorria em

torno da terra durante o dia.

49

2.7 - Origem do termo "Frações Decimais".

Todos os anos nomes de julho, as águas do rio Nilo inundavam

uma vasta região ao longo de suas margens. Fertilizavam os campos,

beneficiando a agricultura do Egito.Cada pedaço de terra às margens desse

rio, era precioso e tinha que ser bem cuidado. Por isso, por volta do ano 3.000

a .C. o Faraó Sesóstris repartiu essas terras entre uns poucos agricultores

privilegiados.

Só que todos os anos em setembro quando as águas baixavam,

funcionários do governo faziam a marcação do terreno de cada agricultor.

Esses funcionários eram chamados de agrimensores ou estivadores de corda.

Isso se explica pelo fato de que usavam cordas com uma unidade de medida

assinalada, essa corda era esticada para que se verificasse quantas vezes

aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno.Mas na maioria

das vezes acontecia da unidade de medida escolhida não caber um número

inteiro de vezes no lado do terreno.Para solucionar o problema de medição de

terras, os egípcios criaram um novo número, o número fracionário.

Este capítulo, apresentou algumas origens dos termos

matemáticos, e também das divisões da matemática, pois sem este

conhecimento, fica difícil o entendimento da origem da matemática, ou seja, da

história da matemática.

50

CAPÍTULO III

PERSONAGENS QUE FIZERAM A HISTÓRIA

DA MATEMÁTICA

51

29 de maio de 1832. Angustiado, nervoso, um jovem de apenas

vinte anos escrevia apressadamente uma carta a um amigo, pedindo-lhe que

publicasse as descobertas que havia feito na Matemática, pois havia se

envolvido com uma mulher e por causa dela, como era o costume daquela

época, não pudera evitar um duelo com pistolas que iria acontecer no dia

seguinte e durante aquela mesma noite, provavelmente teria refletido

amargamente nos duros obstáculos que a vida sempre colocava no seu

caminho.

Nascido na Aldeia de Bourg-la-Raine, nas proximidades de Paris,

o seu desinteresse pelos trabalhos escolares de rotina impediu que seus

professores vissem que ali estava, na verdade, o mais jovem gênio que a

Matemática havia produzido.

Aos dezesseis anos, sonhava entrar para a Escola Politécnica,

que tivera tantos matemáticos célebres como alunos. Mas as muitas horas de

estudo que dedicava às descobertas matemáticas que fazia impediram-no de

se preparar mais eficientemente e, por duas vezes, teve recusado o seu

ingresso nessa escola.

Aos dezessete anos, entregou um artigo com as descobertas que

fizera a um matemático chamado Cauchy, para que este o apresentasse à

Academia de Ciências de Paris, Cauchy simplesmente perdeu o artigo !

Aproximadamente dois anos mais tarde, tentou apresentar dois

novos artigos à Academia. Um foi entregue ao próprio secretário da Academia,

Fourier; o outro foi apresentado a outro célebre matemático chamado

Poisson.

52

Fourier morreu logo depois, e este artigo se perdeu. Poisson

devolveu o outro dizendo que era "incompreensível". As descobertas relatadas

nesse artigo"incompreensível" influenciam a Matemática até hoje.

O interesse apaixonado que dedicava à Matemática não o

impediu de participar ativamente das lutas políticas do seu tempo. Assim, a

revolução burguesa de 1830 foi encontra-lo lutando nas barricadas de Paris,

junto com milhares de cidadãos franceses, contra o absolutismo de Carlos X.

As suas idéias e atividades políticas levaram-no várias vezes à

prisão. As mesmas idéias que provocaram a sua expulsão da Escola Normal

de Paris, na qual havia ingressado depois das tentativas frustradas na Escola

Politécnica.

Na manhã de 30 de maio de 1832, um camponês encontrou-o

caído nas cercanias de Paris com uma bala no corpo. Levou-o a um hospital,

onde morreu no dia seguinte.

Todo estudante tem uma dívida de gratidão para com esse jovem matemático.

As suas idéias influenciaram toda uma geração de matemáticos.

Seu nome?

Évariste Galois ( 1811- 1832)

3.1- Tales de Mileto

Tales, matemático grego da Antigüidade clássica, nasceu em

Mileto, região bastante rica, e viveu de 640 a 550 a . C. Consta que, depois de

enriquecer como comerciante, retirou-se dos negócios para se dedicar aos

53

estudos, especialmente à matemática.Ainda em vida, Tales foi reconhecido

o"pai da astronomia, da geometria e da aritmética" e considerado o primeiro

dos sete sábios da Grécia.

Tales viajou muito, oportunidade em que conheceu os progressos

matemáticos dos pensadores egípcios. Cabe a ele o mérito de ter contribuído

para a base de desenvolvimento científico da geometria, seja fazendo

demonstração originais para algumas propriedades, seja utilizando o processo

dedutivo.

No entanto, ele é sempre lembrado pelo fato histórico de ter

medido a altura da pirâmide de Quéops mediante a semelhança de dois

triângulos.No plano que se assenta a pirâmide, Tales fincou uma estaca em

posição vertical e observou simultaneamente a sombra da estaca e a sombra

da pirâmide projetadas pela luz do sol.

54

Deste modo, pôde medir a altura da estaca, a sombra projetada

por ela e a sombra projetada pela pirâmide. Com esses elementos, calculou a

altura da pirâmide. uma vez que os triângulos eram semelhantes.

A opinião antiga é unânime em considerar Tales como um homem

de rara inteligência e como o primeiro filósofo, por acordo geral o primeiro dos

Sete Sábios. Era considerado um "discípulo dos egípcios e caldeus", hipótese

que parece plausível. a proposição agora conhecida como Teorema de Tales,

que um ângulo inscrito num semicírculo é um ângulo reto -- pode ter sido

aprendida por Tales durante suas viagens à Babilônia. No entanto, a tradição

vai mais longe e lhe atribui uma espécie de demonstração do Teorema. Por

isso Tales foi freqüentemente saudado como o primeiro matemático

verdadeiro-- originador da organização dedutiva da geometria. esse fato, ou

lenda, foi ornamentado acrescentando-se a esse teorema quatro outros, que se

dizia provados por Tales.

1- Um círculo é bissectado por um diâmetro.

2- Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais.

3- Os pares de ângulos opostos formados por duas retas que se cruzam são

iguais.

4-Se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado são iguais

respectivamente a dois ângulos e um lado de outro, então os triângulos são

congruentes.

Não há documento antigo que possa ser apontado como prova

desse feito, no entanto, a tradição é persistente. O mais perto que se pode

chegar de evidência digna de confiança nesse ponto é por uma menção

datando de 1.000 anos depois do tempo de Tales. Um discípulo de Aristóteles

55

chamado Eudemo de Rodes ( viveu por volta de 320 a . C.) escreveu uma

história da matemática.Essa perdeu-se, mas antes de desaparecer alguém

resumiu ao menos parte dela. O original desse resumo também se perdeu,

mas, durante o quinto século de nossa era, informação extraída do sumário foi

incorporada pelo filósofo neoplatônicco Proclus ( 410-485) nas páginas iniciais

de seu comentário sobre o primeiro livro de Os elementos de Euclides.

Após observações introdutórias sobre a origem da geometria no Egito, o

centário de Proclus diz que Tales.

... primeiro foi ao Egito e de lá introduziu esse estudo na Grécia.

Descobriu muitas proposições ele próprio, e instruiu seus

sucessores nos princípios que regem muitas outras, seu método

de ataque sendo em certos casos mais geral, em outros mais

empírico. [ Hearth 1981, Vol. 1. p. 128.]

3.2- Pitágoras de Samos

Pitágoras nasceu na ilha de Samos, na Grécia, por volta do ano

500 a . C. O interesse pela matemática aproximou-o de Tales, a conselho de

quem viajou para o Egito em busca de novos conhecimentos. Do Egito foi

levado como escravo para a Babilônia, onde viveu muitos anos.

Diferentemente de Tales, que interessou apenas pelas idéias de

matemática, da astronomia e particularmente da geometria, Pitágoras voltou

para a Grécia, dotado de um conhecimento místico-religioso adquirido no Egito

e na Babilônia, o que lhe trouxe dificuldades para conviver com os gregos.

56

Aos 50 anos mudou-se para Crotona, uma colônia grega no sul da

Itália, onde fundou uma escola filosífico-matemática. Foi uma escola conhecida

como Ordem dos Pitagóricos e chegou a ter cerca de 300 jovens estudantes,

cujos resultados se propagaram por toda a Grécia. O conhecimento científico-

religioso adquirido nela era privativo de seus membros e a divulgação dele,

sempre atribuída ao próprio Pitágoras. Os pitagóricos acreditavam na

reencarnação dos humanos em outros humanos, ou mesmo em animais. Há

uma história bastante conhecida de Pitágoras, que diante de um homem

maltratando um cão protestou:

- Pare de maltratar esse pobre cão ! É a alma de um amigo que eu reconheço

pelos lamentos.

Por outro lado, o conhecimento científico teve grandes

progressos na escola dos pitagóricos. Consta que, graças à observação da

sombra da Terra projetada na Lua, eles tinham convicção de que a terra era

redonda, assim como descobriram a relação entre o comprimento de uma

corda de um instrumento e a altura da nota musical emitida. Essa descoberta

entusiasmou tanto Pitágoras, que ele passou a atribuir aos números a essência

de todas as coisas.

A principal conquista dos pitagóricos no campo da matemática foi

o desenvolvimento do raciocínio dedutivo na geometria, iniciado e estimulado

por Tales. Certamente coube a Euclides o aperfeiçoamento definitivo desse

recurso. O pitagóricos deixaram para a geometria elementar algumas

propriedades, como o Teorema de Pitágoras, bem como o fracasso no campo

da teoria dos números ou da medida de grandezas. Elas atribuíram uma

dimensão e uma unidade de medida chamada mônada para que eles

consideram ser o menor segmento. A partir dela, todo e qualquer segmento

57

seria sempre mensurável por um número inteiro de mônadas. Zenão de Elea,

filósofo e matemático grego ( 495 a 435 a . C. ), propôs alguns paradoxos que

derrubaram definitivamente a teoria das mônadas. A Ordem Pitagórica entrou

em declínio, mas deixou incontáveis progressos na Antigüidade clássica, dos

quais a humanidade se serve até hoje.

3.2.1- Os números Pitagóricos

Chama-se Pitagóricos os três números inteiros que servem de

medidas para os lados de um triângulo retângulo. e somente os números

pitagóricos formam triângulos retângulos. Como encontrá-los?

b a

Onde:

c

a= hipotenusa ( Maior lado do triângulo retângulo)

b= cateto

c= cateto

Como c e b são catetos do triângulo e a é a hipotenusa, esse

resultado se enuncia: Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é

igual a soma dos quadrados dos catetos. Por exemplo:

58

5

4

a2 = b2 +c2 3

52= 42 + 32

25= 16 + 9

25 = 25 ( verdadeiro)

10

8

6

6

a2 = b2 + c2

102 = 82 + 62

100= 64 + 36

100 = 100 ( verdadeiro)

3.3- Euclides de Alexandria

A morte de Alexandre, o Grande, levou a disputas entre os

generais do exército grego; mas em 306 a . C. o controle da parte egípcia do

Império estava firmemente nas mãos de Ptolomeu I, e esse governante pode

59

voltar a atenção para esforços construtivos. Entre seus primeiros atos está a

criação em Alexandria de uma escola ou instituto conhecido como Museu,

insuperado em seu tempo. Como professores ele chamou um grupo de sábios

de primeira linha, entre eles Euclides, o autor do texto de matemática mais bem

sucedido de todos os tempos - Os elementos ( Sttoichia). Considerando a fama

do autor e de seu best seller, sabe-se notavelmente, pouco sobre a vida de

Euclides. Tão obscura ficou sua vida que nenhum lugar de nascimento é

associado a seu nome. Embora edições de Os elementos freqüentemente

identificassem o autor como Euclides de Megara, e um retrato de Euclides em

Megara freqüentemente apareça em histórias da matemática, trata-se de um

erro de identidade. O verdadeiro Euclides de Megara era um discípulo de

Sócrates, embora se preocupasse com lógica, não se sentia mais atraído pela

matemática de seu mestre. Nosso Euclides, em contraste, é conhecido como

Euclides de Alexandria, porque foi chamado para lá ensinar matemática. Da

natureza de seu trabalho, podemos presumir que tivesse estudado com

discípulos de Platão, se não na própria Academia. Lendas associadas com

Euclides o pintam como um bondoso velho. A estória contada acima em

relação a Alexandre , o Grande, que desejava uma introdução fácil à geometria

é repetida no caso de Ptolomeu, a quem se diz que Euclides garantiu que "não

há uma estrada real para a geometria". Evidentemente Euclides não dava

ênfase aos aspectos práticos do assunto, pois há uma estória contada sobre

ele que diz que quando um estudante perguntou para que servia o estudo da

geometria. Euclides disse a seu escravo que desse três moedas ao estudante,

"pois ele precisa ter lucro com o que aprende".

Euclides e Os elementos são freqüentemente considerados

sinônimos; na realidade o homem escreveu cerca de uma dúzia de tratados,

cobrindo tópicos vaiados, desde óptica, astronomia, música e mecânica até um

60

livro sobre cônicas. Com exceção de A esfera de Autólico, os livros de

Euclides que sobreviveram são os mais antigos tratados gregos existentes; e

no entanto, do que Euclides escreveu mais da metade se perdeu, inclusive

algumas das obras mais importantes, como o tratado sobre as cônicas.

3.4 - Arquimedes de Siracusa

Durante toda a Idade Helenística o centro da atividade

matemática permaneceu em Alexandria, mas o maior matemático desse tempo

e de toda Antigüidade, não nasceu nessa cidade. Arquimedes pode ter

estudado por algum tempo em Alexandria com os estudantes de Euclides, e

manteve a comunicação com os matemáticos de lá, mas viveu e morreu em

Siracusa. Conhecem-se poucos fatos de sua vida, mas tem-se algumas

informações tiradas na narração de Plutarco da vida de Marcelo, o general

romano. Durante a segunda guerra Púnica a cidade de Siracusa se viu

envolvidas entre Roma e Cartago; tendo-se associado a essa última, a cidade

foi sitiada pelos romanos durante aos anos de 214 a 212 a . C. Lemos que

durante o cerco Arquimedes inventou engenhosas máquinas de guerra para

conservar o inimigo à distância - catapultas para lançar pedras; cordas, polias e

ganchos para levantar e espatifar os navios romanos; invenções para queimar

os navios. Por fim, no entanto, Siracusa caiu devido a uma "quinta coluna",

durante o saque da cidade Arquimedes foi morto por um soldado romano,

apesar das ordens de Marcelo para que o geômetra fosse poupado. Como se

diz que Arquimeses tinha então setenta e cinco anos,provavelmente nasceu

em 287 a . C. Seu pai era um astrônomo, e Arquimedes também adquiriu uma

reputação em astronomia. Diz-se que Marcelo reservou para si, como parte do

saque, engenhosos planetários que Arquimeses tinha construído para retratar

61

os movimentos dos corpos celestes. Todas as narrações da vida de

Arquimedes, no entanto, concordam que ele dava pouco valor a seus

engenhos mecânicos, em comparação com o produto de seus pensamentos.

Mesmo quando lidava com alavancas e outras máquinas simples, ele estava

muito mais interessado em princípios gerais que em aplicações práticas.

A obra de Arquimedes sobre a lei da alavanca é parte de seu

tratado, em dois livros, sobre o equilíbrio de planos. Não é o mais antigo livro

existente sobre o que se pode chamar de ciência física, pois, cerca de um

século antes, Aristóletes tinha publicado uma obra em oito volumes, chamada

Física, que foi muito influente; mas ao passo que a obra de Aristóteles era

especulativa e não-matemática, o desenvolvimento de Arquimedes se

assemelhava à geometria de Euclides. De um conjunto de postulados simples

Arquimedes extraia algumas conclusões bastante abstrusas, estabelecendo a

relação estreita entre a matemática e a mecânica que deveria vir a ser tão

significativa, tanto para a física quanto para a matemática. O primeiro livro no

Equilíbrio de planos trata de figuras retilíneas e termina com os centros de

gravidade do triângulo e do trapezóide. O livro II concreta a atenção no centro

de gravidade de um segmento parabólico e contém o fato de que esse centro

jaz sobre o diâmetro do segmento e divide esse diâmetro em segmentos, na

razão de 3 para 2.

3.4.1-O princípio hidrostático

Arquimedes pode bem ser chamado de pai da física matemática,

não só por seu Sobre o equilíbrio de planos como também por outro tratado,

em dois livros, Sobre corpos flutuantes. De novo, começamos com um simples

62

postulado sobre a natureza da pressão dos fluídos, ele obtém resultados muito

profundos. Entre as primeiras proposições estão duas que exprimem o bem

conhecido princípio de Arquimedes.

"Todo sólido mais leve que um fluido, se colocado nele, ficará

imerso o suficiente para que o peso do sólido seja igual ao do

fluido deslocado. Um sólido mais pesado que um fluido, se

colocado nele, descerá até o fundo do fluido, e o sólido, se pesado

dentro do fluido, pesará menos que seu peso real de um tanto

igual ao peso do fluido deslocado".

3.4.2- Arquimedes e o cálculo do número ɥ

Em Alexandria, cidade situada no Egito, fundada por Alexandre

Magno, floresceu o melhor da cultura grega e do vizinho Oriente. Lá viveu

Euclides, de 330 a cerca de 275 a . C., que escreveu Elementos, um tratado

em 13 livros sobre geometria e teoria dos números.

Não muito tempo depois de Euclides, chegava a Alexandria, para

estudar e aperfeiçoar-se, o jovem Arquimedes ( 287 a 212 a . C. ), nascido em

Siracusa, na Sicília. Ele tornou-se um gênio e grande construtor de máquinas e

aparatos bélicos. Mas Arquimedes trabalhou muito com um cálculo bem

aproximado do número ɥ. Ele sabia que a razão entre o comprimento de uma

circunferência e o seu diâmetro é um número constante, razão essa que é

sempre a mesma, seja qual for o tamanho da circunferência.

63

Para calcular o valor de ɥ, Arquimedes usou o método da

exaustão, que consistia em calcular o comprimento da circunferência por

aproximação, servindo-se de polígonos inscritos e circunscritos à

circunferência.

C= comprimento da circunferência

2p = perímetro do polígono inscrito

2P= perímetro do polígono circunscrito

C 2P

2p 2p

2P C

Arquimedes usou o seguintes método para o cálculo da razão C.

2r

Num círculo de raio r, vamos inscrever e circunscrever um quadrado:

r = ½

l= r 2

l = ½ 2

Se o quadrado circunscrito tiver lado unitário ( 1 cm), o seu perímetro 1P será

4cm e o perímetro do quadrado inscrito 2p será 2,8 cm.

2P= 4 . 1 = 4cm

2p= 4.½ 2 = 2,8 cm

64

Sendo C o comprimento da circunferência, temos:

2P < C < 2p ou 2,8 < C < 4

1 2r 1 2r

Arquimedes foi duplicando o número de lados dos polígonos

inscritos e circunscritos até obter uma figura de 96 lados. Nesse ponto, ele

chegou às seguintes razões para os perímetros dos polígonos e o diâmetro da

circunferência:

2P = 220 = 3,14286

2r 70 e

2p = 223 = 3,14085

2r 71

Ou seja: 3,14085 < C < 3,14286. Logo, C = 2ɥr

2r

Hoje, a aproximação usual do número ɥ é 3,1416, valor bastante

próximo a que Arquimedes chegou. Há aproximadamente 100 anos o

matemático William Sharks calculou ɥ com 707 cifras decimais. Consta que ele

trabalhou 15 anos nesse projeto, mas enganou-se nas 100 últimas cifras...Hoje,

pelo computador, calcula-se alguns minutos o ɥ com 10.000 decimais.

3.5 - René Descartes

René Descartes, nasceu na França , de família nobre, recebeu

suas primeiras instruções no Colégio Jesuíta de La Fleche, graduando em

Direito, em Poitier. Durante o período em que Descartes permaneceu com o

65

exército bávaro em 1619, descobriu a fórmula do poliedro que usualmente leva

o nome de Euler V + F a + 2, onde v, F, e a são respectivamente o número de

vértices, faces e arestas de um poliedro simples.

Em 1628, já estava de posse de Geometria Cartesiana que hoje

se confunde com a Analítica, embora os objetivos do autor fossem diferentes

tanto que em seu "Discurso" se mostra imparcial quando discute os méritos da

Geometria e da Álgebra. Logo depois, em 1649, foi convidado pela Rainha

Cristina da Suécia, estabeleceu uma Academia de ciência em Estolcomo e

como nunca gozou de uma boa saúde, não suportou o inverno escandinavo,

morrendo prematuramente em 1650.

3.6- Blaise Pascal

Matemático, físico, escritor e filósofo francês.Desde muito jovem,

contando apenas 16 anos, demonstrou notável vocação para a ciência. com 17

anos incompletos, escreveu Ensaios sobre as cônicas. Aos 20 anos de

idade, inventou uma máquina de aritmética para ajudar o pai. Em Paris, Pascal,

publicou a descrição de suas primeiras experiências sobre o vácuo. Na

oportunidade escreveu seu importante Prefácio para um tratado de vácuo.

Nasceu em Clermont-Ferrand. 1623. Faleceu em Paris, 1662.

3.7 - Isaac Newton

Físico e matemático inglês. Filho de agricultor, começou sua

carreira científica aos dezoito anos de idade, quando ingressou no Trinity

College de Cambridge. Presenteou a humanidade com três grandes

66

descobertas.A primeira delas, foi a do cálculo infinitesimal, descoberta que

obrigou Newton, já no fim de sua vida, a entrar em controvérsia com Leibniz,

pois este se considerava o inventor do mesmo. Mas, nem por isso Newton

deixou de ter méritos pois foi o primeiro que, sintetizou todas estas raízes,

ampliando o cálculo diferencial e integral, enunciou as regras do novo cálculo.

A segunda e grandiosa descoberta de Newton foi a Lei da

gravitação universal. Finalmente, o terceiro descobrimento a teoria corpuscular

da luz, que prevaleceu durante todo o século XVIII, cedendo até a teoria

ondulatória, de Huygens, em meados do século XIX.

Além de astrônomo,matemático, filósofo e físico. Newton foi

professor, funcionário da Casa da Moeda, representante da Universidade

perante o Parlamento e presidente da Sociedade Real, desde 1703, sendo em

1705, honrado com o título de Sir. E, além das três valiosas invenções acima

citadas, Newton construiu telescópios de refração e reflexão; formulou o

teorema do binômio, que leva seu nome; fundou o verdadeiro sistema científico

da óptica, com sua nova teoria sobre a luz e a cor, fundamentada nos

resultados obtidos das medidas de anéis coloridos, mais tarde denominados

anéis de Newton; formulou o Princípio da Massa, elaborando um sistema de

navegação aérea, enfim, fundou boa parte da física moderna. Escreveu vários

livros, sendo que os mais importantes: Óptica e os Princípios Matemáticos da

Filosofia Natural. Nasceu em 1642, morrendo 85 anos depois, em 1727.

3.8- Leibniz

Matemático, e filósofo alemão. Estudou Matemática em Viena, e

Jurisprudência em Aldorf. Em 1672, em missão diplomática, foi enviado a Paris,

67

onde permaneceu até 1675; nesse período, manteve contato com os grandes

cientistas da época; aí aprofundou seus estudos de matemática, descobrindo,

independentemente de Newton, os princípios de cálculo diferencial. Suas

principais obras são: Diacurso de Metafísica, DePrimo, De Ipsa Natura, entre

outras. Sua mais importante obra matemática é Teoria do Movimento Abstrato

e do Movimento Concreto. Nasceu em Leipzig, em 1646; morreu em 1716.

68

CAPÍTULO IV

DIFERENTES ABORDAGENS DO ENSINO

DA MATEMÁTICA PARA CRIANÇAS

69

A avaliação é algo mais do que buscar um resultado. É um

processo de observação e verificação de como os alunos aprendem os

conhecimentos matemáticos e o que pensam sobre a matemática.É parte

integrante do próprio processo de ensino-aprendizagem e tem como objetivo

aprimorar a qualidade dessa aprendizagem. A avaliação deve ser contínua,

dinâmica e, com freqüência, informal, para que através de uma série de

observações sistemáticas possamos emitir um juízo valorizado sobre a

evolução do aluno no aprendizado da matemática.

A avaliação do desempenho dos alunos tem as seguintes

finalidades:

a) em relação ao estudante:

- verificar e medir seu conhecimento matemático;

- acompanhar o desenvolvimento de seus procedimentos matemáticos;

- observar sua postura frente à Matemática;

- possibilitar reflexão sobre seus êxitos e dificuldades.

b) em relação ao professor:

- colher informações para orientação e para tomada de decisões em relação à

atuação docente;

- identificar as áreas que apresentam dificuldades para alguns alunos.

A avaliação centrada basicamente em provas, nas quais os

alunos devem mostrar suas destrezas nas técnicas e a capacidade de

memorizar regras, fatos e definições, tem função seletiva e promocional e não

oferece informações sobre a aprendizagem efetiva do aluno.

70

Avaliar não é só construir um instrumento de verificação, mas

transformá-lo em registro adequado para poder acompanhar e comprovar o

grau de aquisição da aprendizagem, tornando-se, também uma referência

para a reflexão e conscientização dos alunos e dos professores.

4.1- A criança e a matemática

As noções matemáticas são constituídas pelas crianças a partir

das experiências proporcionadas pelas interações com o meio, pelo

intercâmbio com outras pessoas que possuem interesses, conhecimentos e

necessidades que podem ser compartilhados. As crianças têm e podem ter

várias experiências com o universo matemático e outros que lhes permitem

fazer descobertas, tecer relações, organizar o pensamento, o raciocínio lógico,

situar-se e localizar-se espacialmente. Configura-se desse modo um quadro

inicial de referências lógicos-matemáticos que requerem outras, que podem ser

ampliadas. são manifestações de competências, de aprendizagem advindas de

processos informais, da relação individual e cooperativa da criança em diversos

ambientes e situações de diferentes naturezas. entretanto, a continuidade da

aprendizagem matemática não dispensa a intencionalidade e o planejamento.

Reconhecer a potencialidade e a adequação de uma dada situação para a

aprendizagem, tecer comentários, formular perguntas, solucionar desafios,

incentivar a verbalização pela criança, etc., são atitudes indispensáveis do

adulto. Representa, vias a partir das quais as crianças elaboram o

conhecimento em geral e o conhecimento matemático particular.

Deve-se considerar o rápido e intenso processo de mudança

vivido pelas crianças. elas apresentam, possibilidades de estabelecer vários

tipos de relação (comparação, expressão de quantidade), representações

mentais gestuais e indagações, deslocamentos no espaço.

71

Diversas ações intervêm na construção dos conhecimentos

matemáticos, como recitar a seu modo a seqüência numérica, fazer

comparações entre quantidades e entre notações numéricas e localizar-se

espacialmente. Essas ações ocorrem fundamentalmente no convívio social e

no contato das crianças com histórias, contos, músicas, jogos, brincadeiras,

etc.

As respostas de crianças pequenas à perguntas de adultos que

contenham a palavra "quantos"? podem ser aleatoriamente "três", "cinco", para

se referir a uma suposta quantidade. O mesmo ocorre as perguntas que

contenham "quanto"?. Nesse caso, respostas como "terça-feira" são para

indicar um dia qualquer ou "amanhã " no lugar de "ontem"são freqüentes.

Esses exemplos de respostas são muito precisas mas que já revelam algum

discernimento sobre o sentido do tempo e quantidade. São indicadores da

permanente busca da criança em construir significados, em aprender e

compreender o mundo.

À medida que crescem, as crianças conquistam maior autonomia

e conseguem levar adiante, por um tempo maior, ações que tenham uma

finalidade, como atividades e jogos. As crianças conseguem formular questões

mais elaboradas, aprendem a trabalhar diante de um problema, desenvolvem

estratégias, criam ou mudam regras de jogos, revisam o que fizeram e

discutem entre pares as diferentes propostas.

4.2- A importância da vivência

Assim como os povos não evoluíram com a mesma velocidade,

também as crianças não amadurecem do mesmo modo, e os conceitos não

72

são interiorizados simultaneamente. Depende, de diversos fatores. A

experiência de vida, na idade apropriada, é fator decisivo; em casa, no clube,

na escola, na rua, em todo lugar. E há sempre uma idade mais fecunda para

cada experiência.

Na idade certa,é preciso regar plantas com uma mangueira para

ter o visual da parábola de água e a sensação da reação da mangueira ao

jato; da transformação do esguicho contínuo em gotas; do arco-íris na bruma

que orla o jato; das variações do chuveiro provocadas pelo dedo na saída da

água .

Na idade certa, é preciso serrar madeiras para sentir a textura, as

fibras que não podem ser cortadas com faca, as variações de dureza e

resistência. É preciso cavar buracos no solo, sentir a terra, a variação de

umidade com a profundidade, observar raízes, minhocas, formigas.

Na idade certa, é preciso cozinhar, lidar com fogo, sentir o calor e

a luz. Notar a mudança que a cozedura provoca nos alimentos, a evaporação,

a condensação. Encostar a mão no cabo da colher de madeira e de metal

dentro da panela, para adquirir noção de condutibilidade. É preciso costurar,

tecer, pregar botões. Dissolver, misturar, saturar. Usar detergentes, solventes,

óleos, cera. É preciso praticar esportes, artes.

São milhares de experiências que desenvolvem os sentidos,

possibilitando, logo depois, o aprendizado de artes, ciências e técnicas.

Brincar e fazer experiências é construir a base concreta para todas as

disciplinas.

73

Esta é a fase pré-histórica do desenvolvimento da inteligência

sensório-motora. É a fase necessária para as posteriores operações concretas,

acumulando conhecimentos que serão organizados na etapa das operações

formais. Os brinquedos pedagógicos podem, em parte, substituir a riqueza

dessas experiências. E muito brinquedos pedagógicos podem ser elaborados

na escola, com materiais disponíveis.

4.3- Repetição, memorização e associação

Há uma idéia de que as crianças aprendem não só a matemática,

mas todos os outros conteúdos, por repetição e memorização por meio de uma

seqüência linear de conteúdos do mais fácil para o mais difícil. São comuns as

situações de memorização de algarismos, por exemplo,. ensinam-se 1, depois

2 e assim sucessivamente. Propõe-se exercícios de escrita dos algarismos

em situações como:passar lápis sobre os numerais pontilhados, colagem de

bolinhas de papel crepom sobre numerais, escrita repetida da sucessão

numérica, cópias repetidas de um mesmo número. Também é comum enfeitar

os algarismos, grifando-os com figuras de bichos ou dando-lhes um aspecto

humano com olhos, bocas e cabelos ou promovendo associação entre os

algarismos e desenhos. Acredita-se que, dessa forma a criança está

construindo o conceito de número.

A ampliação dos estudos sobre o desenvolvimento infantil e

pesquisas, realizadas no campo da educação matemática, permitem

questionar essa concepção de aprendizagem.

74

4.3.1- Do concreto ao abstrato

Outra idéia bastante presente é que a partir da manipulação de

objetos a criança chega a desenvolver um raciocínio abstrato. A função do

professor se restringe a auxiliar o desenvolvimento infantil por meio de

organização de situação de aprendizagem onde os materiais pedagógicos

cumprem um papel de auto - instrução. Essa concepção resulta da idéia de

que primeiro trabalha o seu conceito no concreto para depois trabalhar no

abstrato.

O concreto e o abstrato se caracterizam como duas realidades

dissociadas, em que o concreto é o identificado com o manipulado e o abstrato

com as definições e sistematizações. Essa concepção porém dissocia ação

física da ação intelectual, dissociação que não existe no ponto de vista do

sujeito.Na realidade toda ação física supõe a ação intelectual. A manipulação

observada de fora do sujeito está dirigida por uma finalidade e tem um sentido

do ponto de vista da criança. Como aprender e construir significados e atribuir

sentidos, as ações representam momentos importantes na aprendizagem na

medida em que a criança realiza uma intenção.

4.3.2-Atividades pré- numéricas

Algumas interpretações das pesquisas psicogenéticas concluíram

que o ensino da matemática seria beneficiado por um trabalho que incidisse no

desenvolvimento de estruturas do pensamento lógico-matemático. Assim,

consideram -se experiências -chave para o processo de desenvolvimento do

raciocínio lógico e para a aquisição da noção de número as ações de

classificar, ordenar, seriar, e comparar objetos em função de diferentes

critérios.

75

A classificação e a seriação têm papel fundamental na construção

de conhecimento em qualquer área, não só em matemática. Quando o sujeito

constrói conhecimento sobre conteúdos matemáticos, as operações de

classificação e seriação necessariamente são exercidas e se desenvolvem sem

que haja um esforço didático para isso.

4.4- Jogos matemáticos

O jogo tornou-se o objeto de interesse de psicólogos, educadores

e pesquisadores como decorrência de sua importância para a criança e da

idéia de que é uma prática que auxilia o desenvolvimento infantil, a construção

ou potenciação de conhecimentos. A educação infantil, historicamente,

configurou-se com o espaço natural do jogo e da brincadeira, o que favoreceu

a idéia de que a aprendizagem de conteúdos matemáticos se da

principalmente por meio destas atividades. A participação ativa da criança e a

natureza lúdica e prazerosa inerente a diferentes tipos de jogos tem servido de

argumento para fortalecer essa concepção, segundo a qual aprende-se

matemática brincando.

Vários tipos de brincadeiras e jogos que possam interessar à

criança pequena constituem-se rico contexto em que idéias matemáticas

podem ser evidenciadas pelo adulto por meio de perguntas, observações e

formulações de propostas.

76

Os jogos numéricos permitem às crianças utilizarem números e

suas representações, ampliarem a contagem, estabelecem correspondências e

trabalhar com as operações. Cartões, dados, dominós, baralhos, permitem às

crianças se familiarizarem com pequenos números, como a contagem,

comparação e adição. Os jogos com pistas ou tabuleiros numéricos, em que

se faz deslocamento de um objeto, permitem fazer correspondências, contar de

um em um, de dois em dois, etc. Jogos de cartas permitem a distribuição,

comparação de quantidades, a reunião de coleções e de familiares com

resultados aditivos. Os jogos espaciais permitem às crianças observarem as

figuras e suas formas, identificar propriedades geométricas dos objetos, fazer

representações, modelando, compondo , decompondo ou desenhando.

Por seu caráter coletivo, os jogos e as brincadeiras, permitem que

o grupo se estruture, que as crianças estabeleçam relações de troca,

aprendam a esperar sua vez, se acostumem a lidar com regras,

conscientizando-se que podem ganhar ou perder.

77

CONCLUSÃO

Desde a antiguidade que a utilização dos números se faz

presente em nosso cotidiano, tendo sua representação, tanto através de

símbolos, como através de gestos, para demonstrara idéia de quantidade.

Em algum momento da história, o homem aprendeu o contar, e foi

a contagem que produziu extraordinários efeitos na evolução do conhecimento

científico e não- científico acumulado em sua história, e os números constituem

ferramentas fundamentais nessa evolução.

Que alguns cálculos matemáticos de a . C. são trabalhados até os

nossos dias, como a geometria, que inicialmente era tratada como o

conhecimento imediato da nossa relação com o espaço, mas com o passar dos

tempos descobriu-se também que ela possibilita a integração e a aplicação em

outros campos de conhecimento,instigando idéias propondo aplicações

práticas para que possamos enfrentar problemas reais, que são em geral de

natureza interdisciplinar.

Com o passar do tempo muitos foram os personagens que

fizeram a história dos números. Podemos citar como exemplo, Pitágoras, Tales

de Mileto, Euclides de Alexandria, René Descartes entre outros. Assim, através

de vários matemáticos e de vários estudos, foi se aprimorando o conhecimento

da mesma, e novas técnicas no ensino da matemática continuam sendo

apresentadas e demonstradas até os dias de hoje.

78

Devemos sempre mostrar ao aluno de onde surgiram os cálculos

matemáticos, pois se eles perceberem como se formaram os conceitos

matemáticos, o meio social e a época em que se deu essa formação e a vida e

a obra dos matemáticos responsáveis por essa criação, com certeza, a

matemática ficaria muito mais interessante e tornaria mais fácil o aprendizado.

Estamos rumo ao um novo século, e é cada vez mais assustador

o avanço tecnológico, tendo em vista que a cada amanhecer novos métodos

informatizados são jogados ao nosso mundo. Mesmo assim, nota-se que as

nossas crianças estão, cada vez mais cedo, desenvolvendo suas atividades

intelectuais com o uso de aplicações matemáticas.

Na maioria das escolas, o aluno começa logo cedo a desenvolver

a prática da matemática, através de jogos didáticos e outras aplicações. Dessa

forma os alunos poderão tomar decisões, agindo como produtoras de

conhecimento e não apenas como executoras instruções. Estimulando assim, a

vontade de solucionar problemas e achar saídas para as diversas situações em

que se encontrar.

Além do mais, a criança aprendendo logo cedo a ter noções de

soma, subtração. divisão e multiplicação, conseguem também raciocinar em

situações adversas. Exercitar a mente utilizando meios matemáticos

proporciona não só a criança, mas também a todas as pessoas, a capacidade

de atingir índices elevados de raciocínio lógico, que podem ser aplicados em

outras áreas.

Em virtude do que foi mencionado, percebe-se que apesar de

todo avanço tecnológico, a matemática pura, ainda é uma grande ferramenta

que pode ser usada em benefício do aprendizado atual.

79

BIBLIOGRAFIA

CENTURIÓN, Marilia. Conteúdo eMetodologia da Matemática . Série Didática-

Classes de Magistério 2a edição. São Paulo. Scipione, 1995.

DANTE, Luiz Robert. Didática da Resolução de Problemas de Matemática 3a

edição. São Paulo . Ática, 1991.

FONSECA, Solange. Metodologia do Ensino da Matemática . Belo Horizonte.

Editora Lê. Fundação Helena Antipoff., 1997.

IFRAH, Georges. Os números: História de uma grande invenção. Rio de

Janeiro. Editora Globo, 1989.

KAMIL, A criança e o número . Tradução Regina A. de Assis . 17a edição.

Campinas. Papirus, 1993.

RAMOS, Luzia Faraco.O Segredo os Números. Editora Ática, 1991.

IMENES, Luiz Marcio. A Numeração Indo-arábica. - Editora Scipione . 1998.

GUELLI, Oscar. Contando a História da Matemática. 3a edição. Editora Ática

2000.

80

ÍNDICE

AGRADECIMENTOS III

DEDICATÓRIA IV

RESUMO V

METODOLOGIA VI

SUMÁRIO VII

INTRODUÇÃO 08

CAPÍTULO I

Os Números na História da Civilização 11

1.1- Desvendando o Passado 12

1.1.1- No tempo em que as casas eram buracos

nas pedras.

1.1.2-Novas maneiras de viver 15

1.1.3- A capacidade de perceber pequenas

quantidades. 16

1.1.4- O Pastoreiro:Ovelhas e Pedrinhas. 17

1.1.5- Marcas e dedos. 18

1.2- As Grandes civilizações do passado 18

1.2.1- A numeração Egípcia 20

1.2.2- O Sistema de Numeração da

Mesopotâmia 21

1.2.3- A Numeração na Grécia Antiga 22

1.2.4- O Sistema Numérico Romano 23

1.2.5-O Sistema de Numeração dos Maias 25

1.2.6- A Origem da Numeração Indo-arábica 25

81

CAPÍTULO II

Origens 28

2.1- Zero: Uma conquista difícil 30

2.2- A Origem da Geometria 31

2.2.1- A Geometria Plana: breve introdução

histórica. 34

2.3- A origem da Álgebra 36

2.3.1- Álgebra 37

62.4- Aritmética 39

2.5- Origem do Termo Cálculo 40

2.6- Origem do Termo Grau 41

2.7- Origem do termo "Frações Decimais" 42

CAPÍTULO III

Personagens que fizeram a História da Matemática 43

3.1- Tales de Mileto 45

3.2- Pitágoras de Samos 48

3.2.1- Os números Pitagóricos 50

3.3- Euclides de Alexandria 51

3.4- Arquimedes de Siracusa 53

3.4.1- O Princípio Hidrostático 54

3.4.2-Arquimedes e o cálculo do π 55

3.5- René Descartes 57

3.6- Blaise Pascal 58

3.7- Isaac Newton 58

3.8- Leibniz 59

CAPÍTULO IV

Diferentes abordagens do ensino de matemática para crianças 61

82

4.1- A Criança e a Matemática 63

4.2- A importância da vivência 64

4.3- Repetição, memorização e associação 66

4.3.1- Do concreto ao abstrato 67

4.3.2- Atividades pré-numéricas 67

4.4- Jogos Matemáticos 68

CONCLUSÃO 70

BIBLIOGRAFIA 72

ANEXOS 77

83

FOLHA DE AVALIAÇÃO

EX: UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES

Instituto de Pesquisa Sócio-Pedagógicas

Pós-Graduação “Latu Sensu”

Título da Monografia:

______________________________________________________

______________________________________________________

______________________________________________________

______________________________

Data da Entrega:______________________________________

Avaliado

por:__________________________________Grau_____________

_.

Rio de Janeiro_____de_______________de 20___

____________________________________________

Coordenador do Curso

84

ANEXOS