UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL PROGRAMA DE … · de Bosch e Chevallard (1999) e na proposta de Robert ... Figura 12 - Medida de superfícies .....444 Figura 13 - Superfície com unidade

UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO

MESTRADO EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA

Uma análise praxeológica das tarefas referentes à

abordagem de área e perímetro nos anos finais do ensino

fundamental

DÉBORA VIRGÍLIA CANNE

Orientadora: Prof.ª Dr.ª Cintia Aparecida Bento dos Santos

Dissertação apresentada ao Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática, da Universidade Cruzeiro do Sul, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática

SÃO PAULO

2015

AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA BIBLIOTECA CENTRAL DA


C228a

Canne, Débora Virgília. Uma análise praxeológica das tarefas referentes à abordagem

de área e perímetro nos anos finais do ensino funadamental / Débora Virgília Canne. -- São Paulo; SP: [s.n], 2015.

157 p. : il. ; 30 cm. Orientadora: Cíntia Aparecida Bento dos Santos. Dissertação (mestrado) - Programa de Pós-Graduação em

Ensino de Ciências e Matemática, Universidade Cruzeiro do Sul. 1. Ensino de matemática 2. Área e perímetro (Grandezas e

medidas) 3. Matemática – Processo de ensino-aprendizagem 4. Formação de professores – Ensino fundamental. I. Santos, Cíntia Aparecida Bento dos. II. Universidade Cruzeiro do Sul. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título.

CDU: 51(043.3)


PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO

Uma análise praxeológica das tarefas referentes à

abordagem de área e perímetro nos anos finais do ensino

fundamental

Débora Virgília Canne

Dissertação de mestrado defendida e aprovada

pela Banca Examinadora em 30/03/2015.

BANCA EXAMINADORA:

Prof.ª Dr.ª Cintia Aparecida Bento dos Santos

Universidade Cruzeiro do Sul

Presidente

Prof.ª Dr.ª Norma Suely Gomes Allevato

Universidade Cruzeiro do Sul

Prof.ª Dr.ª Barbara Lutaif Bianchini

Pontifícia Universidade Católica de São Paulo

Dedico este trabalho ao meu marido

Nelson, aos meus filhos, Isabela e

Rafael, pela compreensão nas horas de

minha ausência.

AGRADECIMENTOS

À Professora Doutora Cintia Aparecida Bento dos Santos, pela orientação

deste trabalho, por todo o seu conhecimento compartilhado, pelo apoio às

minhas iniciativas e, especialmente, pela sua amizade.

À coordenadora do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e

Matemática da Universidade Cruzeiro do Sul, Prof.ª Dr.ª Norma Suely Gomes

Allevato.

À banca examinadora: Prof.ª Dr.ª Norma S. G. Allevato e Prof.ª Bárbara Lutaif

Bianchini.

A todos os professores do Programa de Pós-Graduação em Ensino de

Ciências e Matemática responsáveis pelas disciplinas que realizei e que muito

contribuíram para o meu desenvolvimento: Norma, Delourdes, Laura, Cintia,

Edda, Celi e Mauro.

Ao Ricardo, pelo seu carinho e companheirismo em todas as atividades

durante o curso, principalmente nas viagens.

Ao Marcio Lúcio, grande amigo em todos os momentos do curso, companheiro

nos trabalhos em grupo, auxiliando na parte tecnológica.

Ao amigo inseparável, Luiz Enrique Simeone, que esteve presente em todos os

momentos do curso, trazendo materiais relacionados à minha pesquisa.

À Secretaria Estadual da Educação do Estado de São Paulo, pelo incentivo

através da bolsa mestrado.

À Marizilda e à Sueli, responsáveis pelo Programa de Bolsa Mestrado/

Doutorado da Diretoria de Ensino Centro Sul, pela dedicação, apoio,

esclarecimentos em todos os momentos em que precisei.

Ao coordenador Nilson Salvetti, pelo incentivo à pesquisa, apoiando as idas

aos Congressos.

Aos amigos da Universidade Nove de Julho (UNINOVE), pela força e carinho

em todos os momentos difíceis.

Aos meus amigos da EE Seminário Nossa Senhora, que me apoiaram durante

todo esse tempo de estudos, compartilhando ideias e materiais.

Ao professor de Língua Portuguesa Marcio Jean Fialho, pelas correções.

“Um conteúdo de saber que tenha sido definido como

saber a ensinar, sofre, a partir de então, um conjunto de

transformações adaptativas que irão torná-lo apto a ocupar

um lugar entre os objetos de ensino [..]”.1

(CHEVALLARD, 1991, p. 39)

1 Traduzido do original em francês: “Un contenu de savoir ayant été designé comme savoir à

enseigner subit dès lors un ensemble de transformations adaptatives qui vont le rendre apte à prendre place parmi les objets d’enseignement. Le ‘travail’ qui d’un objet de savoir à enseigner fait un objet d’enseignement est appelé la transposition didactique”.

CANNE, D. V. Uma análise praxeológica das tarefas referentes à abordagem de área e perímetro nos anos finais do ensino fundamental. 2015. 157 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática)–Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2015.

RESUMO

A presente pesquisa teve como objetivo investigar como são institucionalizadas as

noções de área e perímetro nos anos finais do Ensino Fundamental nos Cadernos

de Matemática do Aluno e do Professor do Ensino Fundamental do Estado de São

Paulo, elaborados pela Secretaria Estadual de Educação, conforme o Currículo

vigente. A questão de investigação – O que revelam os Cadernos de Matemática do

Aluno e Professor referente aos conteúdos de área e perímetro? – orientou o

desenvolvimento da pesquisa, a escolha do método e dos instrumentos de análise.

Trata-se de uma pesquisa com abordagem qualitativa e a técnica aplicada foi a de

análise documental, sendo os Cadernos de Matemática do Aluno e do Professor

nossas fontes de dados. Os dados para a pesquisa foram constituídos a partir de

uma seleção rigorosa das tarefas apresentadas nas Situações de Aprendizagem do

Caderno de Matemática do Aluno e, suas respectivas orientações de ensino,

contidas no Caderno do Professor. Nosso referencial teórico apoia-se na Teoria

Antropológica do Didático de Chevallard (1992), objetos ostensivos e não ostensivos

de Bosch e Chevallard (1999) e na proposta de Robert (1998) referente aos níveis

de conhecimento esperado pelo educando (níveis técnico, mobilizável e disponível).

A análise das tarefas presentes nos Cadernos evidenciou que ao resolver os

diferentes tipos de tarefas, é preciso articular as organizações matemática e

didática, de acordo com a Teoria Antropológica do Didático, as quais compõem o

bloco prático-técnico (saber-fazer) [T,𝜏 ] pelos tipos de tarefas (T) e pelas técnicas

(𝜏), e o bloco tecnológico-teórico (saber) [𝜃, Θ], formado pelas tecnologias (𝜃) e

teorias (Θ). Identificou-se também a tendência de tarefas com aplicações de

fórmulas articuladas aos conteúdos de álgebra. Com relação aos níveis de

conhecimentos esperados dos educandos grande parte das tarefas contemplaram o

nível técnico e o mobilizável. Espera-se que as praxeologias pontuais das tarefas de

área e perímetro possam constituir-se em uma ferramenta que permita identificar

quais tarefas tem o potencial de influenciar na aprendizagem dos conteúdos

abordados, além de estabelecer padrões de análise, auxiliando assim, o trabalho de

outros pesquisadores.

Palavras-chave: Área e perímetro, Praxeologia, Ostensivo e não ostensivo, Níveis

de conhecimentos dos educandos.

CANNE, D. V. A praxeological analysis of assignments related to area and perimeter in the final years of elementary school. 2015. 157 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática)–Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2015.

ABSTRACT

The purpose of the present research is to analyse how notions of area and perimeter

are institutionalized along the final years of Middle School regarding the propositions

of ‘Currículo do Estado de São Paulo”. With that in mind, we intend to check what

‘Elementary School Student’s and Teacher’s Mathematics Books’ reveal about the

contents of area and perimeter. The present research has a qualitative approach and

our focus is not the amount of analysed data, but rather the revelations those data

contain. The suitable technique to our work is document analysis, and ‘Student’s and

Teacher’s Mathematics Books’ are our sources of data. The research data were built

from a serious selection of Mathematics assignments presented by ‘Student’s

Mathematics Book’ Learning Situations and their respective teaching guidelines in

‘Teacher’s Book’. Our theoretical framework is grounded on Anthropological Theory

of Didactics by Chevallard (1992), Ostensible and Non Ostensible objects by Bosch

and Chevallard (1999) and Robert’s proposition (1998) related to knowledge Levels

expected of the students: technical, mobilizable and availabe levels. The analyses of

the assignments in the ‘Books’ show that when we work on different kinds of

assignments, we have to articulate the mathematical and didactic organizations,

which make up the practical and technical block (know-how) [T,𝜏 ], composed by the

kinds of assignments (T) and techniques (𝜏), and the technological and theoretical

block (know) [𝜃, Θ], composed by technologies ( 𝜃) and theories (Θ). The

praxeologies analysed in the present research are intended to support new analyses

and to help teachers in their choices and preparation of assignments for their

students.

Keywords: Area and perimeter, Praxeology, Ostensible and non ostensible,

Knowledge levels.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1- Questão 7 da AAP de Matemática do 1º semestre de 2014 ...... 22

Figura 2 - Questão 12 da AAP de Matemática do 1º semestre de 2014 .... 22

Figura 3- Questão 5 da AAP de Matemática do 1º semestre de 2014 ...... 23

Figura 4- Questão 13 da AAP de Matemática do 1º semestre de 2014 .... 24

Figura 5- Questões de Matemática da AAP ............................................... 25

Figura 6- Diferença entre Definição e Conceito ........................................ 38

Figura 7- Polígonos em um plano quadriculado ....................................... 39

Figura 8- Retângulo .................................................................................... 40

Figura 9 - Área do círculo ........................................................................... 41

Figura 10 - Cilindro planificado .................................................................... 42

Figura 11- Pentágono e sua região pentagonal ........................................433

Figura 12 - Medida de superfícies ...............................................................444

Figura 13 - Superfície com unidade triangular ...........................................444

Figura 14 - Triângulo com medida dos lados .............................................. 47

Figura 15 - Perímetro de um polígono ......................................................... 48

Figura 16 - Comparação de área e perímetro .............................................. 49

Figura 17 - Relação entre os objetos ........................................................... 52

Figura 18 - Representação de uma vareta de madeira ............................... 52

Figura 19 - Esquema da relação entre os objetos geométricos ................ 53

Figura 20 - Blocos Temáticos ...................................................................... 61

Figura 21 - Conteúdos e Habilidades do 6º ano volume 1.......................... 62



Figura 24 - Conteúdos e Habilidades do 7º ano volume 2......................... 66





Figura 29 - Desenho esquemático de polígonos inscritos no círculo ....... 79

Figura 30 - Organização Praxeológica......................................................... 83

Figura 31 - Níveis de Organização Praxeológica (OP) ................................ 85

Figura 32- Quadrado com representação de 4 m² ..................................... 91

Figura 33 - Exemplo de tarefa associada ao nível técnico ......................... 91

Figura 34 - Exemplo de tarefa do nível mobilizável .................................... 92

Figura 35 - Exemplo de tarefa do nível disponível...................................... 94

Figura 36 - Possível solução da tarefa 1 ....................................................105

Figura 37 - Solução da tarefa 3 ...................................................................110

Figura 38 - Solução apresentada para a tarefa 6 .......................................116

Figura 39 - Solução do item “a” da tarefa 8 ...............................................120

Figura 40 - Solução do item "b" da tarefa 8 ...............................................121

Figura 41- Solução da tarefa 9 ....................................................................123

Figura 42 - Solução da tarefa 10 .................................................................125



Figura 45 - Solução para a tarefa 13 ...........................................................133

Figura 46 - Solução para a tarefa 14 ...........................................................136

Figura 47 - Solução do item "a" da tarefa 15..............................................139

Figura 48 - Solução do item "b" da tarefa 15 .............................................140

Figura 49 - Cálculos retirados do Caderno do Professor..........................141


Figura 51 - Nível de conhecimento esperado do aluno nas tarefas

analisadas ..................................................................................150

Tabela 1- Gênero de tarefas .................................................................................... 99

LISTA DE QUADROS

Quadro 1- Modelo de grade de análise ................................................................. 29

Quadro 2 - Relação pessoal e institucional.......................................................... 76

Quadro 3 - Tarefa 1 (retirada do Caderno do Aluno, 6º ano, v. 2, p. 31) ........... 103




Quadro 7 - Tarefa 5 (retirada do Caderno do Aluno, 7º ano, v. 2, p. 6) ............. 113



Quadro 10 - Tarefa 8 (retirada do Caderno do Aluno, 8º ano, v. 1, p. 50) ......... 119

Quadro 11 - Tarefa 9 (retirada do Caderno do Aluno, 8º ano, v. 1, p. 51) ......... 121

Quadro 12 - Tarefa 10 (retirada do Caderno do Aluno, 8º ano, v. 2, p. 13) ....... 124





Quadro 17 - Tarefa 15 (retirada do Caderno do Aluno, 9º ano, v.2, p. 34) ........ 137

Quadro 18 - Tarefa 16 (retirada do Caderno do Aluno, 9º ano, v.2, p. 79) ........ 142

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 166

CAPÍTULO 1

1 APRESENTAÇÃO DA PESQUISA, PROBLEMÁTICA E METODOLOGIA ..................................................................................... 200

1.1 Justificativa e motivação da pesquisa ................................................. 200

1.2 Pesquisa qualitativa e análise documental ......................................... 255

1.3 Materiais e análise dos dados ................................................................ 28

CAPÍTULO 2

2 OS CONCEITOS DE ÁREA E PERÍMETRO E SUA IMPORTÂNCIA PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM ................................................... 301

2.1 Introdução .............................................................................................. 311

2.2 Grandezas e medidas: sua relevância ................................................. 311

2.3 Área e perímetro .................................................................................... 366

2.4 Definição ou conceito de área em alguns livros didáticos................... 37

2.5 Conceitos e definições de perímetro em alguns livros didáticos ........ 46

2.6 O processo de ensino e aprendizagem de área e perímetro .............. 500

CAPÍTULO 3

3 CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL ......................................... 56

3.1 O currículo de matemática do Estado de São Paulo: sua implantação .................................................................................................................. 56

3.2 Objetivos e princípios centrais do currículo do Estado de São Paulo 58

3.3 Materiais complementares ao currículo do Estado de São Paulo ....... 59

3.4 Quadro de conteúdos de matemática para o ensino fundamental .... 611

3.5 Algumas considerações sobre a organização do currículo de matemática para o ensino de área e perímetro ................................... 711

CAPÍTULO 4

4 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ................................................................ 74

4.1 A teoria antropológica do didático de Yves Chevallard ....................... 74

4.2 Elementos primitivos da teoria antropológica do didático .................. 75

4.3 Linguagem da teoria antropológica do didático: ostensivos e não ostensivos................................................................................................ 77

4.4 Praxeologia ............................................................................................ 811

4.5 Níveis de organização praxeológica ...................................................... 85

4.6 Organização matemática ou praxeologia matemática .......................... 86

4.7 Praxeologia didática ou organização didática (OD) .............................. 88

4.8 Os três níveis de funcionamento do conhecimento delineados por Aline Robert ............................................................................................. 89

CAPÍTULO 5

5 ANÁLISE DAS TAREFAS DE ÁREA E PERÍMETRO .............................. 97

5.1 Gênero das tarefas de área e perímetro ................................................ 98

5.2 Análise das tarefas dos cadernos de matemática do 6º ano do ensino fundamental ........................................................................................... 982

CONSIDERAÇÕES ........................................................................................... 14645

REFERÊNCIAS ................................................................................................. 15553

16

INTRODUÇÃO

Sempre tive gosto pela profissão de professora. Imitava meus professores (é

claro, aqueles de quem eu mais gostava), brincava de escolinha com as amigas e

primas. Fiz o curso de Magistério em 1989, que, até pouco tempo, permitia ao

profissional lecionar no Ensino Fundamental I. Trabalhei enquanto cursava o

Magistério em escolas particulares de Educação Infantil e, ao concluí-lo, iniciei meu

trabalho na Rede Pública Estadual de Educação, como professora eventual

(professor substituto das séries iniciais).

Como eu havia feito também outro curso técnico, concomitante com o

Magistério, em 1993, abandonei a sala de aula e fui trabalhar em uma empresa

multinacional como Técnica Contábil durante três anos, para me preparar

financeiramente para cursar a faculdade. Concluí o curso de Licenciatura Plena em

Matemática em 1996, porém, já havia retornado à sala de aula em meados de 1995,

para lecionar Física, no Ensino Médio, em uma escola da Rede Pública Estadual. No

ano seguinte, fui para outra escola e lecionei Química, Física e Matemática para o

Ensino Médio, e Ciências e Matemática para o Ensino Fundamental.

No ano de 1998, participei do concurso para professores e me efetivei,

podendo escolher a escola, na qual trabalho até hoje. Em 2001, assumi a função de

Professora Coordenadora para o Ensino Fundamental I e II (1ª a 8ª série) na mesma

escola, permanecendo sete anos na mesma função. Durante esses sete anos fiz

vários cursos oferecidos pela Secretaria da Educação, referentes à Gestão Escolar,

uso das Tecnologias em sala de Aula e Formação Específica de Professores.

Em 2007, iniciei um curso de Especialização em Educação Matemática na

Universidade Nove de Julho. No último ano do curso, em 2008, resolvi voltar para a

sala de aula para poder trabalhar meio período e me dedicar à pesquisa e à escrita

da Monografia. O trabalho de pesquisa da Especialização foi focado na elaboração

de Sequência Didática para o ensino de Geometria nos primeiros anos do Ensino

Fundamental. Para a efetivação da pesquisa, trabalhei durante um ano, duas vezes

por semana, com duas turmas do Ensino Fundamental I. Os alunos gostavam das

aulas, pois usávamos vários espaços da escola, ficávamos pouco na sala de aula.

17

Ao terminar o curso de Especialização, fui convidada pela Instituição de Ensino

Superior (UNINOVE) para ministrar aulas de Cálculo Diferencial, Lógica

Computacional, Matemática, entre outras, nos cursos de Engenharias e Informática.

Atualmente, trabalho somente com os cursos de Informática: Ciência da

Computação e Sistemas de Informação e alguns cursos de Tecnologias.

Por trabalhar em uma instituição de Ensino Superior, a exigência do título de

mestre era inevitável. Em 2012, participei do processo seletivo da Universidade

Cruzeiro do Sul para o Mestrado Profissional em Ciências e Matemática, sendo

aprovada. Iniciei o curso em 2013 e vi a minha vida mudar, tantas eram as

informações, troca de experiências e professores experientes que contribuíram para

a minha formação e transformação. As minhas inquietações foram aumentando e a

vontade de estudar e pesquisar também, pois, a cada ano, nós professores estamos

enfrentando muitos problemas dentro das salas de aula da Rede Pública Estadual.

Às vezes, temos a impressão de que a maioria dos alunos se nega a aprender, mas,

ao mesmo tempo, penso se não seria a forma como estamos ensinando, ou o tipo

de atividade que está sendo trabalhada, se estão atendendo ou não às

necessidades de aprendizagem desses alunos.

Observando os resultados das avaliações externas, e mesmo as avaliações

aplicadas por mim, percebi que os alunos tinham dificuldade em resolver problemas

que envolvem noção de área e perímetro. Lendo a dissertação de Mestrado da

minha orientadora, que foi sobre a análise de livros didáticos referente aos níveis

esperados de aprendizagem pelos estudantes, em relação às noções de área e

perímetro, resolvi também trabalhar com esse assunto, porém, não analisando os

livros didáticos, mas sim, os Cadernos2 do Professor e do Aluno dos anos finais do

Ensino Fundamental. Esses Cadernos foram elaborados por uma equipe

especializada, orientada pela Secretaria Estadual de Educação e são materiais de

apoio para o trabalho do professor em sala de aula, porém, não são todos que

utilizam.

A dissertação está estruturada em cinco capítulos, descritos a seguir:

2 Cadernos dos Professores e Cadernos dos Alunos: material gratuito, distribuído por disciplina, pelo Governo do

Estado de São Paulo para as escolas da Rede Publica Estadual.

18

O Capítulo 1 apresenta a problemática da pesquisa, a motivação e a

metodologia assumida.

O Capítulo 2 destaca os estudos de Paula Baltar Bellemain e Paulo

Figueiredo Lima, no que se refere ao ensino e aprendizagem de área e perímetro e

à relevância desse ensino para os estudantes, e quais problemas são percebidos

por esses autores, entre outros.

O Capítulo 3 se refere ao Currículo de Matemática do Estado de São Paulo,

suas orientações e objetivos. Nesse capítulo, mostramos também como foi

estruturado o currículo e quais documentos o compõem. Discutimos também o

Caderno de Matemática do Aluno e do Professor, e como estão divididos os

conteúdos do Currículo ao longo dos bimestres. Apresentamos também os quadros

de conteúdos pelos quais esses Cadernos são norteados.

O Capítulo 4 se refere ao quadro teórico que sustenta a nossa pesquisa. A

Teoria Antropológica do Didático de Yves Chevallard e os objetos ostensivos e não

ostensivos de Marianna Bosch e Yves Chevallard são a base da análise

praxeológica matemática de cada tarefa apresentada. A proposta de Aline Robert

com os Níveis de conhecimentos esperados pelo educando serve para

complementarmos a análise e mostrar se os cadernos de Matemática contemplam

os três níveis defendidos pela autora: técnico, mobilizável e disponível.

O Capítulo 5 mostra as análises praxeológicas pontuais e os respectivos

níveis de conhecimento de cada tarefa. Mostramos a utilização de um quadro para

as análises das tarefas referentes às noções de área e perímetro propostas nos

Cadernos dos Alunos e Professores. Através dessas análises verificamos o tipo de

tarefa, as técnicas utilizadas para resolvê-la, as tecnologias e teorias que justificam a

utilização dessas técnicas.

Por último, nossas Considerações Finais reveladas pelas análises da

praxeologia matemática sustentada pela Teoria Antropológica do Didático de Yves

Chevallard e Marianna Bosch, e os Níveis de conhecimentos esperados pelos

educandos. Pretendemos mostrar também a importância de analisar uma tarefa

antes de aplicá-la em sala de aula, quais os conhecimentos que o professor e o

educando necessitam mobilizar para resolver a tarefa proposta, quais técnicas

19

podem ser utilizadas, quais teorias sustentam a tarefa. Será possível apontar novos

caminhos para a resolução de uma mesma tarefa, e até mesmo verificar possíveis

falhas na apresentação do enunciado de uma tarefa.

A seguir, no capítulo 1 tem-se apresentação da pesquisa, a problemática e a

metodologia escolhida.

20

CAPÍTULO 1 - APRESENTAÇÃO DA PESQUISA, PROBLEMÁTICA E METODOLOGIA

1.1 Justificativa e motivação da pesquisa

Área e perímetro são conceitos indispensáveis no ensino e aprendizagem de

Matemática e podem ser trabalhados associando-os a outros conhecimentos

matemáticos, ou seja, são utilizados como apoio para o ensino de outros conteúdos.

Dessa forma, a construção desses conceitos abrange aspectos geométricos e de

grandezas e costuma não ser explorada em sala de aula; privilegiam-se apenas os

aspectos numéricos e algébricos, ou seja, exclusivamente os cálculos, a partir de

fórmulas dadas. Por isso, muitos alunos possuem dificuldades em aprender ou

diferenciar esses conceitos, sendo confundidos inclusive entre aplicações de

fórmulas e a utilização de unidades de medida. Ao se calcular o valor numérico de

uma área ou perímetro, percebe-se a dificuldade dos alunos em usar a unidade de

medida correta para o perímetro e a área, como por exemplo, cm, cm², m, m².

Percebi que durante muitos anos de minha vida profissional, minha maior

preocupação era fazer os alunos utilizarem corretamente as fórmulas para os

cálculos de área de figuras planas e, por consequência, o cálculo do perímetro.

Aplicava os exercícios dos livros e criava outros parecidos, porém, tudo isso não

fazia sentido para a maioria dos alunos.

Nos anos finais do Ensino Fundamental, tais conhecimentos são agregados a

outras situações de ensino, como por exemplo, equações do segundo grau, função

do primeiro e segundo graus, ampliação e redução de figuras. Nesses momentos, é

possível observar as dificuldades de entendimento, ou não, desses conteúdos nas

resoluções dos problemas, e tais fatos contribuem para aumentar as dificuldades

desses alunos, sendo necessário retomar alguns pontos básicos referentes às

noções de área e perímetro.

Os baixos resultados em sala de aula e os resultados de avaliações externas

também começaram a me incomodar, pois eu queria entender qual era a razão de

os estudantes não conseguirem desenvolver exercícios que envolvessem essas

noções matemáticas. Antes de iniciar o curso de mestrado, eu comecei a ler artigos,

21

dissertações referentes ao ensino de área e perímetro e, para meu espanto, o

problema não era só meu, era mundial. Os estudos de Van de Walle (2009) indicam

que os estudantes não têm uma boa compreensão das fórmulas e um erro muito

comum é confundir as fórmulas para área e perímetro.

Essas leituras reforçaram o meu desejo de desenvolver pesquisas referentes

ao ensino e aprendizagem das noções de área e perímetro.

Atualmente, os estudantes das escolas públicas estaduais são avaliados pelo

SAEB3 (Sistema de Avaliação da Educação Básica) e SARESP4 (Sistema de

Avaliação do Rendimento Escolar de São Paulo), e o baixo índice de acertos em

questões que envolvem a noção de área e perímetro mais uma vez chamou a minha

atenção e se tornou a chave fundamental para que eu assumisse de vez esse

problema por meio desta pesquisa.

A Avaliação da Aprendizagem em Processo (AAP5) é uma avalição feita por

cada Diretoria de Ensino e o seu objetivo é ajudar no planejamento de cada

disciplina, para que os professores possam identificar as defasagens da turma e

trabalhar essas dificuldades dentro do semestre letivo. Para reforçar esse fato,

apresentaremos as questões que os alunos obtiveram baixo desempenho e o gráfico

da AAP referente ao primeiro semestre de 2014 dos estudantes do 6º ano e do 9º

ano.

A questão 7 ilustrada na figura 1, apresenta três figuras geométricas em uma

malha quadriculada. É uma questão aberta na qual os alunos tem que comparar as

áreas e os perímetros para responder os itens (I) e (II).

3 SAEB: Possui três grupos de avaliação (ANEB, ANRESC, ANA); aplicado pelo Inep a cada dois anos, o

SAEB avalia uma amostra de alunos matriculados nos 5º e 9º anos do Ensino Fundamental e 3º ano do Ensino

Médio de escolas públicas, particulares, rurais e urbanas. A mais conhecida é a Prova Brasil, de responsabilidade

do Instituto de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. 4 SARESP: Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo. Avaliação aplicada todos os

anos aos alunos do 3º, 5º, 7º e 9º anos do Ensino Fundamental e 3º ano do Ensino Médio. O SARESP é aplicado

no final de cada ano letivo. 5 AAP: Avaliação aplicada pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, via Diretoria de Ensino. São

duas avaliações por ano, uma no início do ano letivo e outra no meio do ano, para todas as séries/ anos do Ensino

Fundamental e Médio.

22

Figura 1- Questão 7 da AAP de Matemática do 1º semestre de 2014

Fonte: AAP de Matemática – 6º ano do Ensino Fundamental.

A habilidade exigida nesta questão é: calcular perímetro de figuras; calcular

área de retângulos ou quadrados. Verificamos que 89% dos alunos dessa escola

erraram esta questão. As noções matemáticas pertinentes à resolução exigem a

mobilização da noção de polígonos, área e perímetro, para que os alunos possam

fazer essas comparações e justificar a resposta.

Figura 2 - Questão 12 da AAP de Matemática do 1º semestre de 2014


Esta questão tem como habilidade o cálculo do perímetro da figura, porém,

88% dos alunos erraram a resposta. Os alunos precisavam mobilizar conhecimentos

matemáticos referentes à figura do retângulo, associando as palavras “largura” e

“comprimento” para calcular o perímetro e depois multiplicar por três.

23



A questão 5 traz como habilidade a ser avaliada: “relacionar as linguagens

algébricas, sabendo traduzir uma delas na outra, particularmente, no caso dos

produtos notáveis”. Para resolver esta questão, o estudante deveria mobilizar seus

conhecimentos matemáticos sobre a noção de área do quadrado e produtos

notáveis. O percentual de aproveitamento não foi satisfatório, pois 59% dos

estudantes erraram esta questão. A área restante poderia ser representada por Ar=

x² - 16, porém não tinha esta alternativa e era necessário fatorar para chegar na

expressão (x-4). (x+4).

A questão 13 ilustrada na figura 4 é uma questão aberta. O quadrado

desenhado na malha quadriculada ajuda a formar triângulos retângulos, fazendo

menção ao triângulo retângulo.

24



Na questão de número 13, apesar de a habilidade envolvida ser “Resolver

problemas envolvendo o teorema de Pitágoras”, o aluno teria que mobilizar

conhecimentos matemáticos referentes à noção de perímetro; com isso, apenas

22% dos alunos conseguiram acertar.

Esses índices de erros apresentados por alunos do 6º e 9º anos do Ensino

Fundamental nos levaram a analisar como são institucionalizadas as noções de área

e perímetro ao longo dos anos finais do Ensino Fundamental em relação ao que é

proposto no Currículo do Estado de São Paulo.

A questão levantada para a nossa pesquisa é saber o que revelam os

Cadernos de Matemática dos Alunos e Professores em relação às noções de área e

perímetro. Esses Cadernos seguem o Currículo de Matemática do Estado de São

Paulo e constitui nosso corpus de análise. Será através deles que iremos analisar

pela Teoria Antropológica do Didático como são institucionalizadas as noções de

área e perímetro nos anos finais do Ensino Fundamental.

O gráfico ilustra o rendimento dos alunos do 6º e 9º ano do Ensino

Fundamental, pois não identificamos questões no 7º e 8º com o conteúdo de área e

perímetro.

25

Figura 5- Questões de Matemática da AAP

Fonte: Diretoria de Ensino Centro Sul - EE Seminário N. S. da Glória, 1º semestre de 2014.

Cada barra vermelha representa a porcentagem de erros das questões 7 e 12

(6º ano), questões 5 e 13 (9º ano) da AAP do 1º semestre de 2014, nas quais uma

das noções matemáticas envolvidas era a de área e perímetro.

1.2 Pesquisa qualitativa e análise documental

A pesquisa que é aqui relatada é qualitativa com a técnica de análise

documental, para a qual escolhemos analisar as tarefas relacionadas ao cálculo de

área e perímetro existentes nos Cadernos de Matemática do Professor e do Aluno6

do Ensino Fundamental (6º ao 9º ano).

A pesquisa qualitativa possibilita a não preocupação com a representatividade

numérica, mas com o aprofundamento da compreensão dos dados obtidos. Esse

tipo de pesquisa parte de questões amplas que vão sendo respondidas no decorrer

da investigação. O estudo qualitativo pode, no entanto, ser conduzido através de

diferentes caminhos. Considerando que a abordagem qualitativa, enquanto exercício

de pesquisa, não se apresenta como uma proposta rigidamente estruturada permite

6 Cadernos do Aluno e do Professor: material fornecido gratuitamente aos alunos e professores da Rede Pública

Estadual. É um material de apoio às aulas de Matemática.

89% 88%

59%

72%

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

6º ano- Questão 7 6º ano- Questão 12 9º ano- Questão 5 9º ano- Questão 13

Percentual de erros da AAP de Matemática do 1º semestre de 2014

26

que a imaginação e a criatividade levem os investigadores a proporem trabalhos que

explorem novos enfoques.

De acordo com Oliveira (2007) o exame de materiais de naturezas diversas,

que ainda não receberam um tratamento analítico, ou que podem ser examinados,

buscando–se interpretações novas ou complementares, constitui o que vamos

denominar pesquisa ou técnica documental.

Antes de mostrarmos como foram feitas as análises, vamos descrever

brevemente o que é documento, pesquisa documental e sua relevância para este

trabalho.

Segundo a Norma Brasileira (NBR) 6023 (2002), documento é:

Qualquer suporte que contenha informação registrada, formando uma unidade, que possa servir para consulta, estudo ou prova. Inclui impressos, manuscritos, registros audiovisuais e sonoros, imagens, sem modificações, independentemente do período decorrido desde a primeira publicação. (NBR, 2002, p. 2)

Pardinas (1993), em seu livro Metodologia y técnicas de investigación em

ciências sociales, mostra as diferentes metodologias e técnicas de pesquisa social.

Segundo ele:

Observación Documental: este tipo de observaciones o de datos, como ya indicamos, está contenido em escritos de diversos tipos. La escritura, la imprenta, los modos de comunicación escrita, son también condutas humanas. (PARDINAS, 1993, p. 93)

Pardinas (1993) permite compreender que os documentos são todas as

realizações produzidas pelo homem, revelando indícios de suas ações e apontando

suas ideias e opiniões de vida.

De acordo com Bravo (1991), a pesquisa documental permite a investigação

de determinada problemática, não em sua interação imediata, mas de forma indireta,

por meio do estudo dos documentos que são produzidos pelo homem, e, por isso,

revelam o seu modo de ser, viver e compreender um fato social. Estudar

documentos implica fazê-lo a partir do ponto de vista de quem os produziu; isso

27

requer cuidado e perícia por parte do pesquisador para não comprometer a validade

do seu estudo.

Segundo Calado e Ferreira (2004), os documentos são fontes de dados

brutos para o investigador, e a sua análise implica um conjunto de transformações,

operações e verificações realizadas a partir dos próprios documentos com a

finalidade de ser-lhes atribuído um significado relevante em relação a um problema

de investigação.

O uso de documentos em pesquisa deve ser apreciado e valorizado. A

riqueza de informações que deles podem ser extraídas e resgatadas justifica o seu

uso em várias áreas das Ciências Humanas e Sociais, porque possibilita ampliar o

entendimento de objetos cuja compreensão necessita de contextualização histórica

e sociocultural. Por exemplo, na reconstrução de uma história vivida:

[..] o documento escrito constitui uma fonte extremamente preciosa para todo pesquisador nas ciências sociais. Ele é, evidentemente, insubstituível em qualquer reconstituição referente a um passado relativamente distante, pois não é raro que ele represente a quase totalidade dos vestígios da atividade humana em determinadas épocas. Além disso, muito frequentemente, ele permanece como o único testemunho de atividades particulares ocorridas num passado recente. (CELLARD, 2008, p. 295)

Outra justificativa para o uso de documentos em pesquisa é que eles

permitem acrescentar a dimensão do tempo à compreensão do social. A análise

documental favorece a observação do processo de maturação ou de evolução de

indivíduos, grupos, conceitos, conhecimentos, comportamentos, mentalidades,

práticas, entre outros.

A análise documental no contexto da metodologia qualitativa para Corsetti

(2005) é muito mais que localizar, identificar, organizar e avaliar textos, sons e

imagem. Funciona como expediente eficaz para contextualizar fatos, situações,

momentos. Consegue, dessa maneira, introduzir novas perspectivas em outros

ambientes, sem deixar de respeitar a substância original dos documentos.

Finalmente, de acordo com Gil (2008), a pesquisa documental apresenta

algumas vantagens por ser fonte rica e estável de dados; não implica altos custos,

28

não exige contato com os sujeitos da pesquisa e possibilita uma leitura aprofundada

das fontes. Esse tipo de pesquisa é semelhante à pesquisa bibliográfica e o que as

diferencia é a natureza das fontes, sendo material que ainda não recebeu tratamento

analítico ou que ainda pode ser reelaborado de acordo com os objetivos da

pesquisa.

1.3 Materiais e análise dos dados

Escolhemos analisar os Cadernos de Matemática dos Alunos e Professores

dos anos finais do Ensino Fundamental das escolas públicas do Estado de São

Paulo. Os documentos em análise são atuais, ou seja, a última versão publicada é

de 2014-2017.

Para que fosse possível realizar essas análises, selecionamos um Caderno

de Matemática de cada ano do Professor e do Aluno (Ensino Fundamental II). A

maior parte desse material está disponível para o professor da Rede Pública

Estadual, no site da Secretaria Estadual da Educação, no link “São Paulo faz

Escola”.

Estudaremos o documento oficial, Currículo de Matemática e suas

Tecnologias para os Ensinos Fundamental e Médio, e apontaremos as indicações

para o ensino de área e perímetro e em quais anos são trabalhados esses

conteúdos. Pretendemos mostrar também em quais anos esses mesmos conteúdos

são utilizados para o desenvolvimento de outros conteúdos.

Separaremos cada exercício apresentado nas Situações de Aprendizagem

referentes ao uso da noção de área e perímetro nos Cadernos dos Alunos e suas

respectivas orientações de ensino no Caderno do Professor. Com isso, montaremos

uma grade para fazer as análises, com aporte teórico em Chevallard (Teoria

Antropológica do Didático), Bosch e Chevallard (Objetos ostensivos e não

ostensivos) e Robert (Níveis de conhecimentos esperados dos alunos).

Para efetuarmos essas análises, utilizaremos a seguinte grade que permite

identificar parte das organizações praxeológicas existentes (bloco prático: tipos de

tarefas e técnicas), considerando que os Cadernos de Matemática dos Professores

e Alunos são fornecidos pelo Governo do Estado de São Paulo para serem

29

utilizados em sala de aula e estão de acordo com o Currículo do Estado de São

Paulo. A grade será explicada no Capítulo 5.

Quadro 1- Modelo de grade de análise

Tarefa

Técnica

Ostensivos manipulados na técnica/ Tecnologia

Não ostensivos evocados na técnica / Teoria

Nível de conhecimento esperado do estudante

Fonte: Adaptada de FONSECA, 2011, p. 7

Com base na organização dessa tabela, vamos identificar cada item do

quadro de cada atividade selecionada referente à noção de área e perímetro à luz

das teorias escolhidas para essas análises. A Teoria Antropológica do Didático

afirma que cada tarefa tem pelo menos uma técnica, e a tecnologia e teoria

garantem a existência dessa técnica.

Mediante a Teoria Antropológica do Didático de Chevallard (1992), vamos

identificar as praxeologias ou organizações praxeológicas de cada tarefa (tarefa,

técnica, tecnologia, teoria). Para justificarem cada técnica, Bosch e Chevallard

(1999) apoiam-se nos objetos ostensivos e não ostensivos manipulados em cada

técnica. O modelo proposto pela Teoria Antropológica do Didático estabelece uma

distinção dentro do conjunto de objetos que compõem os elementos das

organizações matemáticas: as tarefas, as técnicas, as tecnologias e as teorias são

feitas de objetos ostensivos e de objetos não ostensivos. O termo ostensivo tem

origem no latim ostendere, que significa mostrar, apresentar com insistência; refere-

se a todo objeto que tem uma natureza sensível e, devido a esse fato, tal objeto

pode ser aprendido pelo sujeito por ser uma realidade perceptível, enquanto que o

objeto não ostensivo não é perceptível, não se mostra por si mesmo, como as

ideias, os conceitos, as crenças.

Para explicitarmos a abordagem teórica e complementarmos nossas análises,

vamos considerar os Níveis de conhecimentos dos estudantes, delineados por

Robert (1998). A Autora. apresenta três níveis a considerar: técnico, mobilizável e

30

disponível. Essas definições serão explicadas no Capítulo 4, construídas com os

teóricos aceitos nesta pesquisa.

Segundo a proposta de Robert (1998), espera-se dos estudantes que estes

articulem conhecimentos já aprendidos com os novos, introduzidos, e que possam

utilizá-los futuramente, apresentando autonomia no momento de fazerem a escolha

a respeito da ferramenta mais adequada para se resolver a situação proposta.

Mediante a proposta de Robert (1998), vamos verificar se as tarefas atendem a

esses três níveis de conhecimentos, pois servirão para facilitar e aprimorar o

trabalho pedagógico do professor.

31

CAPÍTULO 2 - OS CONCEITOS DE ÁREA E PERÍMETRO E SUA IMPORTÂNCIA PARA O ENSINO E APRENDIZAGEM

2.1 Introdução

Neste capítulo, faremos uma abordagem dos aspectos conceituais de área e

perímetro, bem como desenvolveremos reflexões sobre sua importância no

processo de ensino e aprendizagem no Ensino Fundamental, com a visão de

pesquisadores como Douady e Perrin-Glorian (1989), Facco (2003), Santos (2008),

Van de Walle (2009) e Baltar e Lima (2010). Também situaremos o leitor quanto ao

papel das noções de área e perímetro no Ensino Fundamental de acordo com os

Parâmetros Curriculares Nacionais (1998).

2.2 Grandezas e medidas: sua relevância

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais, Grandezas e Medidas

fazem parte de um dos quatro blocos de conteúdos (Números e Operações, Espaço

e Forma, Grandezas e Medidas, Tratamento da Informação) para serem trabalhados

no 3º ciclo (6º e 7º anos) e 4º ciclo (8º e 9º anos) do Ensino Fundamental.

As Grandezas e Medidas fazem parte da nossa vida, pois estão presentes no

nosso cotidiano. Ao olharmos para um objeto, um local, ao pagarmos uma conta,

fazermos uma compra, compararmos tamanhos, pesos, distâncias, estamos lidando,

na verdade, com noções matemáticas que envolvem o eixo Grandezas e Medidas.

Este bloco caracteriza-se por sua forte relevância social devido a seu caráter prático e utilitário, pela possibilidade de variadas conexões com outras áreas do conhecimento. Na vida em sociedade, as grandezas e medidas estão presentes em quase todas as atividades realizadas. Desse modo, desempenham papel importante no currículo, pois mostram claramente ao aluno a utilidade do conhecimento matemático no cotidiano. (BRASIL, 1998, p. 51)

O trabalho com Grandezas e Medidas é de suma importância para nossos

estudantes; como já mencionamos, estão presentes nas situações do cotidiano; a

existência de grandezas de naturezas diversas e a frequente necessidade de

estabelecer comparações entre elas, ou seja, de medi-las, justificam a necessidade

do trabalho com esse conteúdo.

32

A comparação de grandezas de mesma natureza, que dá origem à ideia de

medida, e o desenvolvimento de procedimentos para o uso adequado de

instrumentos, tais como balança, fita métrica e relógio, conferem a esse conteúdo

um caráter prático.

Com base nos Parâmetros Curriculares de Matemática (BRASIL,1998), o

trabalho com medidas dá oportunidade para abordar aspectos históricos e

construção desse conhecimento, uma vez que, desde a Antiguidade, praticamente

em todas as civilizações, a atividade matemática dedicou-se à comparação de

grandezas, e era comum usar partes do corpo para fazer medições.

No mundo atual, o Sistema Internacional de Unidades (SI) fundamenta-se a

partir de unidades base, como: para massa, o quilograma; para comprimento, o

metro; para tempo, o segundo; para temperatura, o kelvin; para intensidade elétrica,

o ampère, etc.

Pesquisas no Brasil e em outros países apontam para as dificuldades no

ensino e aprendizagem, relacionadas às noções de área e perímetro, em especial.

Bellemain (2000) apresenta um recorte de sua tese de doutorado no Encontro

de Didática e Prática de Ensino no Rio de Janeiro, trazendo o estudo experimental

com a engenharia didática fundamentada da Teoria dos Campos Conceituais com

alunos franceses. A pesquisadora observou as mesmas dificuldades dos alunos em

relação à resolução de tarefas que envolviam conhecimentos de área e perímetro,

ou seja, no entendimento desses conceitos e concepções geométricas, numéricas

ou ambas, nem sempre de forma organizada.

Baltar e Lima (2010) afirmam que o estudante, mesmo antes de chegar à

escola, participa de situações do dia a dia nas quais ele próprio, seus colegas ou

familiares também lidam com essas noções matemáticas de Grandezas e Medidas.

Essa proposição pode ser presenciada nas próprias brincadeiras e nas falas das

crianças, e também nas falas dos adultos: “Quem está mais longe?”, “Qual é a

marca mais barata?”, “Quanto tempo demora para limpar o roçado?”, “Quanto

custa?”, “Quanto você pesa?”, “O meu carrinho é maior que o seu!”, “A minha

boneca é pequena”.

33

O conteúdo de Grandezas e Medidas está presente nos Parâmetros

Curriculares Nacionais (BRASIL,1998)7 e Currículo Oficial do Estado de São Paulo

(SÃO PAULO,2012), documento este que, por ser um dos nossos objetos de estudo,

trataremos mais detalhadamente adiante.

A inclusão dos conteúdos de área e perímetro no Campo de Grandezas e

Medidas desde os anos iniciais do Ensino Fundamental se justifica pelas seguintes

razões: o uso social, suas utilizações nas técnicas e nas ciências, as conexões com

outras disciplinas escolares e as articulações com outros conteúdos da Matemática.

Atualmente, percebemos que nossos alunos não conseguem relacionar as

Grandezas e Medidas com as atividades do cotidiano, por isso, reforçamos a

importância do ensino dos conteúdos desse bloco, conforme os documentos oficiais.

Parece-nos relevante compreender melhor como se tem dado o estudo de

área e perímetro nas ultimas décadas relacionado à pesquisa de Paula Baltar

Bellemain e Paulo Figueiredo Lima. Procuramos selecionar pesquisas que se

basearam nos estudos de Baltar e Lima, por serem pesquisadores renomados no

Brasil no que se refere à Grandezas e Medidas.

Pesquisas como, por exemplo, as de Baltar (1996), Facco (2003), Brito

(2003), Melo (2003) e Santos (2008), relacionadas aos processos de ensino e

aprendizagem e à formação de professores, indicam as dificuldades no ambiente

escolar em relação à institucionalização quanto às noções de área e perímetro.

Baltar (1996), em sua pesquisa, explicita a importância do trabalho do

professor para a construção do conceito de área para o aluno no Ensino

Fundamental e, mais particularmente, a aquisição das relações entre comprimentos

e áreas, indispensáveis à compreensão desse conceito como grandeza. Essa

pesquisa propõe uma classificação dos tipos de situações que dão sentido à área:

situações de comparação, de medida e de produção. Baltar (1996) depreende que

os diferentes conceitos referentes à área são identificados por meio da averiguação

da medida, da comparação de área e superfícies, da construção de superfícies de

medidas da área iguais à área de uma superfície dada, das superfícies de área

mínima para um contorno fixo e da certificação das deformações que preservam a

7 Parâmetros Curriculares Nacionais: PCN.

34

área. É importante ressaltar que nessa pesquisa, Baltar (1996) evidencia, que para

definir uma aplicação de medida entre superfícies planas e números, é necessário,

antes de construir a noção de área como grandeza autônoma8, deixar explícitas as

diferenças existentes entre área e perímetro. Pesquisas têm revelado que a

recorrência de dificuldades na aprendizagem do conceito de área e perímetro,

enquanto grandeza está relacionada às concepções geométricas e numéricas,

constituindo-se em obstáculos para a construção dos respectivos conceitos como

grandeza autônoma.

Facco (2003) também trabalhou com o conceito de área. O objetivo de sua

pesquisa foi estudar os fenômenos que interferem no ensino e aprendizagem desse

conteúdo através de uma sequência de atividades matemáticas, apoiada nas teorias

de Douady (1984) e Duval (1995). Apresenta uma proposta de ensino do conceito de

área e uma reflexão sobre a aprendizagem desse conteúdo por meio de uma

sequência didática envolvendo a composição e decomposição de figuras planas.

Essa sequência didática serve de material de apoio para professores interessados

na melhoria do ensino de área e perímetro.

Brito (2003) mostrou, em sua pesquisa, que podemos nos apoiar nas

hipóteses didáticas de Douady e Perrin-Glorian (1989) para pesquisas sobre o

ensino de comprimentos e perímetros, como uma grandeza, pois os trabalhos das

autoras são voltados especificamente para o ensino de comprimento e de área.

Segundo Brito (2003):

Douady e Perrin-Glorian sugerem que se deve iniciar a construção do conceito de comprimento, discutindo e articulando o quadro geométrico e o quadro das grandezas. Isso significa comparar comprimentos sem medir, sem intervenção do quadro numérico das unidades, ou seja, a única comparação possível advém da relação de ordem estabelecida no domínio das grandezas em jogo. (IBIDEM, p. 73-74)

O autor, em sua pesquisa, facilitou a compreensão desses quadros9

apresentados por Douady e Perrin-Glorian, da seguinte forma: o comprimento

8 Para a pesquisadora, significa distinguir claramente área e superfície, bem como área e número. O

desenvolvimento do conceito de área como grandeza para permitir aos alunos o estabelecimento das relações

entre os quadros geométricos e numéricos. 9 De acordo com Douady (1986) a palavra “quadro” é usada para designar um domínio matemático particular de

intervenção de uma noção. Quadro é um recurso constituído de ferramentas de uma parte da matemática, de

35

também é uma grandeza. Quando pensamos em comprimento de uma curva, por

exemplo, devemos considerar que curvas distintas podem ter o mesmo

comprimento, pois esses segmentos são congruentes, o que pode reforçar a

tendência de confundir o segmento, que é um ente geométrico, e o comprimento do

segmento, que é uma grandeza. Mas também é preciso lidar com linhas, que não

são segmentos e, portanto, a distinção entre o objeto geométrico e o atributo

comprimento é necessária.

O perímetro é um caso particular da grandeza comprimento, diferenciando-se

do objeto geométrico em si, que é uma linha fechada. E por fim, o quadro numérico,

que é composto das medidas de comprimento usando diferentes unidades (15 cm,

3m, 12,3 km).

O trabalho de Melo (2003) se refere ao conhecimento dos alunos de 5ª a 8ª

série (6º ao 9º ano) do Ensino Fundamental sobre o conceito de área e perímetro, ou

seja, o que os alunos sabem sobre área e perímetro. Melo (2003) mostrou que os

alunos apresentavam dificuldades em resolver tarefas que envolviam área e

perímetro. Segundo Melo (2003), essas dificuldades estão associadas à confusão

nas definições de área e perímetro e ao uso errôneo de suas fórmulas, pois

utilizavam as fórmulas erradas para calcular área e perímetro, ou seja, trocavam as

fórmulas por não saber qual usar. Para o autor, esse tipo de erro revela a

incompreensão da natureza das grandezas relacionadas.

Em seu trabalho, Santos (2008) apresenta teorias didáticas que, de forma

bem articulada, contribuem no processo de ensino-aprendizagem das noções de

área e perímetro. Apoiada na Didática Francesa, Santos (2008) ressalta os estudos

de Robert (1998), Duval (1993) e Douady (1992), e leva em consideração alguns

aspectos de Aprendizagem Significativa de Ausubel (1980). O objetivo desse

trabalho foi verificar como as noções de área e perímetro são apresentadas nos

documentos curriculares e nos livros didáticos, e também, analisar os

conhecimentos de um grupo de professores e como ensinavam essas noções.

Santos (2008) verificou, através de sua pesquisa, que muitos professores

ficavam presos às sequências de conteúdos apresentadas pelo livro didático,

relações entre objetos, suas formulações eventualmente diferentes e de imagens mentais associadas a essas

ferramentas e relações.

36

deixando de lado o currículo. Constatou que os professores possuíam saberes

matemáticos, mas seus conhecimentos didáticos e curriculares eram insuficientes

para identificarem boas situações de aprendizagem em relação ao ensino de área e

perímetro. Sua análise permite ao professor verificar em qual nível de conhecimento

está cada tipo de tarefa, fazendo com que o professor crie outras situações para

articular os conhecimentos dos alunos.

2.3 Área e perímetro

O trabalho com área e perímetro no Ensino Fundamental, segundo Baltar e

Lima (2010), por um longo período foi marcado pela ênfase no ensino de fórmulas

relacionadas às áreas das figuras geométricas usuais (triângulo, quadrado,

retângulo, trapézio, paralelogramo e losango), e também, das conversões de

unidades de medidas de área e comprimento (converter metros (m) em centímetros

(cm), metros (m) em quilômetros (km), converter resultados obtidos de áreas e

volumes).

As pesquisas desenvolvidas pela linha francesa da Didática da Matemática, mostram que a aprendizagem das grandezas e medidas envolve dificuldades intrínsecas, de um tratamento inadequado no ensino usual, mas também dificuldades intrínsecas decorrentes da complexidade dos conteúdos. (BALTAR; LIMA, 2004, p. 156)

Com base nas leituras de Baltar e Lima (2010), é perceptível a insistência na

repetição de exercícios que valorizam a utilização das fórmulas para os cálculos de

área e conversões de unidades. Esses tipos de exercícios têm se mostrado

ineficazes e geradores de entraves futuros para a aprendizagem dos alunos,

causando uma grande confusão entre as noções de área e perímetro. Os alunos

tentam decorar as fórmulas de cada figura, sem saber relacioná-la com os cálculos,

confundem área com o perímetro da figura, não sabendo diferenciar uma da outra,

ou seja, não há uma compreensão conceitual quanto a essas duas noções.

Baltar et al. (2010) afirmam que no ensino e aprendizagem de medidas é

comum a confusão entre as noções de área e de perímetro por parte dos alunos,

pois, muitas vezes, eles empregam relações errôneas, como ao compararem duas

superfícies; concluem que aquela que possui maior área necessariamente também

terá maior perímetro e vice-versa. Uma das possíveis justificativas para essas

37

conclusões por parte do aluno pode ser a ausência de situações-problema em que

essas duas concepções estejam presentes, ou seja, atividades que explorem

situações de comparação em que duas figuras tenham o mesmo perímetro e áreas

diferentes, mesma área e perímetros diferentes, ou perímetros e áreas iguais.

Baltar e Lima (2010) também atribuem a confusão entre área e perímetro ao

emprego das palavras no cotidiano com múltiplos sentidos, como, por exemplo:

“vende-se esta área”; “área de serviço”; “área da casa (varanda)”; “grande área

(campo de futebol)”; “área de atuação”. É indispensável ter muita clareza sobre os

sentidos matemáticos e sobre as possibilidades de os alunos confundi-los com

outros sentidos.

É necessário um trabalho conciso e sem a preocupação de aplicação das

fórmulas desde os anos iniciais, para que os outros professores possam dar

continuidade aos conteúdos referentes a área e perímetro. Baltar e Lima (2010)

aceitam essa perspectiva e consideram os aspectos numéricos secundários na fase

inicial da aprendizagem, já que não são feitas medições de área e perímetro, e isso

pode contribuir para distinguir as figuras geométricas das grandezas que se podem

associar a elas.

Para os autores, é importante um trabalho que leve em consideração

algumas reflexões junto aos alunos, como, por exemplo: a uma figura podem-se

associar diferentes grandezas, como sua área e seu perímetro; a área e o perímetro

de uma figura não se alteram quando a figura se desloca; figuras compostas por

partes duas a duas idênticas têm a mesma área, mas podem ter perímetros

distintos.

Logo, se o aluno for capaz de desenvolver essas conjecturas, poderá ajudar a

não confundir os conceitos de área e perímetro nos anos posteriores, como apontam

os estudos de Baltar (1996), Baltar e Lima (2010).

2.4 Definição ou conceito de área em alguns livros didáticos

Neste tópico, não temos a pretensão de analisar livros didáticos, mas sim, de

apresentar algumas definições ou conceitos sobre área, pois é material de uso dos

professores e alunos. De acordo com Bosch e Chevallard (1999), tanto para alunos

38

quanto para professores é importante o conhecimento das definições e conceitos de

forma correta.

Para situarmos o leitor, vamos explicar a diferença entre conceito e definição

dada por Arrabal (2013). Na “definição”, tenta-se dizer, ou seja, explicar o que algo é

a partir da determinação da singularidade do objeto, ou seja, busca-se descrever

aquilo que o objeto investigado tem de específico e distinto em relação aos demais.

Uma “definição” descreve a qualidade, característica ou substância sem a qual o

objeto deixa de ser o que “é”, em qualquer circunstância. O “conceito” também é

uma tentativa de delimitações, porém, nesse caso, há um esforço em estabelecer “o

ponto de vista” por meio do qual o objeto é reconhecido. Busca-se determinar um

contexto para delinear o objeto, ou seja, no “conceito”, algo “é” a partir de um

determinado meio físico, social ou teórico. A Figura 6 mostra um esquema para

simplificar a explicação teórica.

Figura 6- Diferença entre Definição e Conceito

Fonte: Autora.

De acordo com o dicionário da Língua Portuguesa (BUENO, 2007, p.82) e

Dante (2011), “Área é a medida de uma superfície”. Se o aluno não tem noção do

que é uma superfície, não compreenderá a definição dada, que também é

encontrada em vários livros didáticos.

39

Segundo Bellemain (2004), os conceitos ensinados de forma errada ou

incompleta podem causar obstáculos à aprendizagem dos alunos, e esses erros

podem perdurar ao longo da vida escolar ou, quem sabe, da vida toda.

Os autores Imenes e Lellis (2007) não oferecem mais detalhes na definição,

porém ilustram-na com as seguintes figuras:

Figura 7- Polígonos em um plano quadriculado

Fonte: Microdicionário de Matemática (2007, p. 33).

Notamos que o primeiro polígono tem em um dos quadradinhos uma

diagonal, e para calcular a área total, o aluno deverá mobilizar seus conhecimentos

referentes à área de quadrados (a diagonal mostra que a área correspondente é

metade da área de um quadrado). Aqui podemos também notar que os autores

utilizam a unidade de medida em cm para o comprimento e cm² como unidade de

área no exemplo dado.

Baltar e Lima (2010) ressaltam a importância do uso de malha quadriculada

para o ensino de área e perímetro, porém, o professor pode avançar o nível das

tarefas conforme a idade escolar dos alunos, ou seja, deve ir aprofundando os

conhecimentos.

Praticando Matemática (6º ano), de Andrini e Vasconcelos (2006), página 232,

traz a seguinte definição para área: “A medida de uma superfície chama-se área”. “O

metro quadrado (m²) é a unidade fundamental das medidas da superfície”.

40

Figura 8 – Retângulo

Fonte: Praticando Matemática (2006, p. 232)

O autor apresenta dois retângulos de mesmas dimensões, sendo que um

deles mostra apenas as medidas dos lados, e o outro retângulo aparece num

desenho quadriculado para que o aluno possa associar a quantidade de

quadradinhos com a área da figura. O objetivo é fazer com que o aluno perceba que

é possível multiplicar o valor das duas dimensões.

Praticando Matemática (9º ano), dos autores Andrini e Vasconcelos (2006),

trazem a definição de área do círculo da seguinte forma:

[..] o comprimento C de uma circunferência de raio r pode ser calculado pela

relação C= 2.𝜋. r. Juntando à circunferência os pontos do seu interior, obtemos um círculo. O círculo ocupa uma superfície. A medida dessa superfície é a área do círculo. (IBIDEM, p. 183)

A fórmula da área do círculo não é dada diretamente, e sim, através de

uma atividade prática. As orientações dadas pelos autores são:

Recorte em um papel sulfite um círculo de 5 cm de raio.

Divida-o em doze partes iguais, como vê na figura.

Recorte e cole cada uma dessas doze partes sobre uma folha de

papel, obtendo a forma abaixo.

Uma das partes deve ser cortada ao meio e encaixada nas

extremidades.

41

Figura 9 - Área do círculo

Fonte: Andrini e Vasconcelos, 2006, p. 184.

A área do círculo se aproxima da área de um retângulo. Se dividíssemos o

círculo em 24 partes iguais e fizéssemos a mesma montagem, as áreas ficariam

mais próximas. Com 48 partes iguais, ficariam mais próximas ainda, e assim

sucessivamente. A área do círculo seria igual à área de um retângulo com

comprimento 𝐶

2 (metade do comprimento da circunferência do círculo) e largura r

(raio do círculo).

A área do retângulo é obtida multiplicando a medida do comprimento pela

medida da largura, chegando à fórmula da área do círculo.

Nesse mesmo volume, os autores mostram através da planificação do cilindro

(retângulo e dois círculos) a fórmula para calcular essa área. Através de uma

atividade prática, mostram ao aluno que é possível deduzir a fórmula por

aproximação de áreas já conhecidas.

42

A Figura 10 representa o cilindro planificado, no qual identificamos as partes

das áreas que compõem a fórmula.

Figura 10 - Cilindro planificado

Fonte: http://somatematica.com.br/geometriaplana

Em Fundamentos de Matemática Elementar, de Dolce e Pompeo (1980), é

dada a definição de área de superfície plana:

Definição: área de superfície limitada é um número real positivo associado à superfície de tal forma que: 1º As superfícies equivalentes estão associadas áreas iguais (números iguais) e reciprocamente.

A ≈ B ⟺ (área de A = área de B). 2º A uma soma de superfícies está associada uma área (número) que é a soma das áreas das superfícies parcelas.

C= A + B ⟹ (Área de C = área de A + área de B). 3º Se uma superfície está contida em outra, então sua área é menor ou igual que a área da outra. B ⊂ A ⟹ Área de B ≤ Área de A. (DOLCE; POMPEO, 1980, p. 246-I)

http://somatematica.com.br/geometriaplana

43

O livro de Dolce e Pompeo (1980), escrito para alunos do Ensino Médio, traz

uma linguagem diferente da que encontramos nos livros do Ensino Fundamental.

Essa mudança é necessária para a ampliação dos conhecimentos dos alunos.

Matemática e Realidade (6º ano) tem como autores Iezzi, Dolce e Machado,

que apresentam as seguintes ideias para as áreas de alguns polígonos:

Um polígono delimita uma região do plano, que é o seu interior. O polígono e seu interior formam uma região poligonal.

A área da região poligonal pode ser medida ou calculada. Essa área será chamada simplesmente de área do polígono. (IEZZI; DOLCE; MACHADO, 2009, p. 262)

Para ilustrarem essa ideia, os autores se apropriam da figura de um

pentágono para mostrar a diferença entre um polígono e sua região poligonal.

Figura 11- Pentágono e sua região pentagonal

Fonte: IBIDEM, 2009, p. 262.

Nesse mesmo livro, no capítulo 23, o assunto abordado é unidades de área.

Os autores trazem a seguinte ideia para medidas de área: “Medir uma superfície

significa compará-la com outra, tomada como unidade, e estabelecer quantas vezes

a unidade cabe na superfície medida”. (IEZZI; DOLCE; MACHADO, 2009, p. 256)

44

Figura 12 - Medida de superfícies

Fonte: IEZZI, DOLCE e MACHADO, 2009, p. 256.

Os autores mostram que é possível encontrar a medida de uma superfície

por meio de unidades diferentes estabelecidas, no caso, como mostra a figura 12.

Essa noção é apresentada antes das unidades de medidas padronizadas, para que

os estudantes desenvolvam a noção de área.

No livro Vontade de saber Matemática, os autores Souza e Pataro (2012)

apresentam o conceito de área por meio de figuras construídas com triângulos de

mesmo tamanho, e sugerem observar primeiramente a figura para entender o

conceito de área.

Figura 13 - Superfície com unidade triangular

Fonte: SOUZA e PATARO, 2012, p. 270.

De acordo com a Figura 13, é possível observar que são necessários 15

triângulos para cobrir cada uma delas. Assim, dizemos que a área ou a medida da

superfície dessas duas figuras é de 15 triângulos. Nesse caso, a unidade de medida

45

utilizada foi o triângulo, e podemos afirmar que as figuras possuem a mesma área.

Esses tipos de exemplos ajudam o estudante na compreensão do conceito de área.

Ao analisarmos as definições e os conceitos apresentados nos livros didáticos

aprovados pelo Plano Nacional do Livro Didático (PNLD), verificamos que os

mesmos pouco diferem na apresentação do conteúdo. Percebemos que os autores

mudam o tipo de figura para ilustrar a definição ou conceito apresentados.

Segundo Van de Walle (2009), o comprimento normalmente é o primeiro

atributo que os alunos aprendem a medir, porém, não é compreendido

imediatamente pelas crianças.

O autor, em seu livro Matemática no Ensino Fundamental: Formação de

Professores e Aplicação em sala de aula, não dá a definição de área e perímetro,

mas propõe atividades e orientações para o professor construir esses conceitos com

os alunos. Apresentaremos algumas ideias importantes sobre o desenvolvimento do

conceito de medida:

1.Medir envolve uma comparação de um atributo de um objeto ou situação com uma unidade que tenha o mesmo atributo. Comprimentos são comparados às unidades de comprimento, áreas às unidades de área, intervalos de tempo, e assim por diante. [..] é necessário compreender o atributo a ser medido.

2.Medir significamente e estimar medidas dependem de uma familiaridade pessoal com a unidade de medida utilizada.

3.As fórmulas de área e volume fornecem um método de medir esses atributos, usando apenas as medidas de comprimentos.

4.Área, perímetro e volume estão relacionados um ao outro, embora não precisamente ou por meio de fórmulas.

(VAN de WALLE, 2009, p. 404)

Para Van de Walle (2009), área é o espaço bidimensional dentro de uma

região. Essa definição dada pelo autor é diferente das outras que apresentamos,

pois é a primeira vez que aparece a expressão “bidimensional”. De acordo com Van

de Walle (2009) e Souza e Pataro (2012), o estudante deve aprender primeiro o

atributo área antes de medi-lo; sendo assim, as tarefas de comparação com áreas

ajudam os alunos a distinguirem os tamanhos (áreas), formas, comprimentos e

outras dimensões.

46

Essas ideias condizem com Baltar (1996, apud Facco, 2003), que discute

área como grandeza, explicitando as ideias de Douady e Perrin-Glorian, que

evidenciam a comparação de duas superfícies do ponto de vista matemático. Trata-

se de dar um sentido à noção de área, independentemente da unidade de área

escolhida.

Vamos identificar nos Cadernos do Professor e do Aluno quais

conhecimentos são mobilizados a respeito da noção de área, ou seja, identificar o

tipo de tarefa, quais as técnicas utilizadas para resolver a tarefa e quais

conhecimentos matemáticos estão atrelados à resolução dessa tarefa.

2.5 Conceitos e definições de perímetro em alguns livros didáticos

Neste tópico, como no anterior, não pretendemos analisar ou julgar o livro

didático, mas sim, observar como é tratado o conceito de perímetro.

Van de Walle (2009) evidencia em seu livro que há pesquisas que revelam a

constante confusão que os alunos fazem em relação à noção de área e perímetro. É

de suma importância que o professor e o aluno tenham contato com informações

corretas sobre essas definições, pois, ao mobilizarem conhecimentos matemáticos,

devem ter em mente, bem clara, a diferença entre esses dois conceitos.

De acordo com o dicionário da Língua Portuguesa (BUENO, 2007, p. 589),

perímetro é definido como o “contorno de um domínio plano”; “medida desse

contorno”. A palavra vem do grego perímetros: “medida de contorno”. Além disso, a

expressão “perímetro de um polígono”, “de um círculo”, é a medida do comprimento

da fronteira desse polígono ou desse círculo.

A Figura 14 é um exemplo dado pelo microdicionário de Matemática,

mostrando o cálculo de perímetro de um polígono. Essa figura foi escolhida por ter

um erro na escrita algébrica da resolução.

47

Figura 14 - Triângulo com medida dos lados

Fonte: Microdicionário de Matemática (2007, p. 228).

A figura do triângulo possui três medidas dadas em cm, e a indicação da

adição que aparece escrita não utiliza a medida cm, a unidade é indicada somente

na resposta final, ou seja, na soma. O ideal é: perímetro = 3,8 cm + 2,7 cm + 4,1 cm

= 10,6 cm. O estudante poderá esquecer-se de escrever a unidade de medida

correspondente na resposta final.

Para Baltar e Lima (2010), quando o contorno de uma região é poligonal, o

seu perímetro pode ser obtido pela adição dos comprimentos de seus lados, e se as

extremidades de uma curva coincidem, o perímetro será o comprimento da curva

fechada, através da fórmula 𝐶 = 2. 𝜋. 𝑟 (a medida do comprimento da curva fechada

é igual a duas vezes o valor de 𝜋 (𝑝𝑖) multiplicado pela medida do raio dessa

circunferência).

O conceito de perímetro parece ser algo simples, mas ainda gera confusão

para os educadores e educandos. Vamos descrever alguns conceitos ou definições

encontradas em livros didáticos.

Segundo Andrini e Vasconcelos (2006), “Perímetro de um polígono é a soma

das medidas de seus lados” (ANDRINI; VASCONCELOS, 2010, p. 230). A definição

dada pelos autores pode provocar confusões futuras para os estudantes, pois, ao se

depararem com uma figura com linhas curvas, provavelmente não irão associar essa

definição de perímetro.

O livro Tudo é Matemática, escrito por Dante (2011), define perímetro como a

medida do comprimento de um contorno. O autor diferencia perímetro de um

polígono e perímetro de uma circunferência da seguinte forma: “para os polígonos, o

48

perímetro é obtido calculando-se a soma das medidas de comprimento de seus

lados”. O exemplo apresentado pelo autor foi resolvido de forma correta, diferente do

exemplo anterior.

Figura 15 - Perímetro de um polígono

Fonte: DANTE, 2011, p. 230.

A resolução apresentada pelo autor utiliza as unidades de medidas na escrita.

A unidade de medida não precisa aparecer na figura se ela estiver explícita no

enunciado da questão.

Perímetro do polígono ABCD: 6,5 cm + 2,0 cm + 7,0 cm + 3,5 cm = 19,0 cm =

19 cm

Nesse mesmo livro, Dante (2011) define que o perímetro ou a medida do

comprimento de uma circunferência C é dado pela fórmula 𝐶 = 2. 𝜋. 𝑟 , em que r é a

medida do raio dessa circunferência, e 𝜋 é um número irracional aproximadamente

igual a 3,14.

Baltar e Lima (2010) ressaltam que devemos tomar muito cuidado ao

definirmos “perímetro”, principalmente quando estamos trabalhando com curva

fechada.

O comprimento de uma curva fechada é o que chamamos de seu perímetro. [..] Em geral, dizemos que tal curva é o contorno da região. Assim podemos também dizer que o perímetro é o comprimento do contorno de uma região. [..] o perímetro não é o próprio contorno, mas o seu comprimento. De fato, diferentes contornos podem ter o mesmo comprimento. (Ibidem, p. 186)

A definição dada por Baltar e Lima na citação acima deixa claro que o

perímetro não é o contorno de um objeto, mas sim, a medida desse contorno. Daí

49

vem a confusão no entendimento desse conceito. É necessário que esse conceito

fique esclarecido para o estudante, para que ele possa aprimorar e aprofundar seus

estudos e não confundir com o conceito de área.

Podemos verificar a importância de se trabalharem atividades capazes de

assegurar o conhecimento da criança para evitar possíveis confusões relacionadas

às definições de área e perímetro. Conforme as ideias de Van de Walle (2009) e

Baltar e Lima (2010), é importante que o aluno desenvolva as conjecturas a partir

das observações e experimentos durante as atividades desenvolvidas pelo

professor.

Vale ressaltar que na proposta de Douady e Perrin-Glorian (1989), os alunos

mobilizam dois tipos de concepções: a numérica e a geométrica, sendo que a

concepção numérica é dita quando o aluno compreende o perímetro de uma figura

como um número, sem considerar a unidade de medida, e a concepção geométrica,

quando o aluno percebe a mudança da figura, ou seja, modifica-se o perímetro.

Figura 16 - Comparação de área e perímetro

Fonte: Autora.

A Figura 16 mostra dois retângulos de mesma área e perímetros diferentes.

Segundo Baltar e Lima (2010), ao desenvolverem exercícios desse tipo e bem

direcionados pelo professor, de forma a explorar e analisar os resultados, os

estudantes vão poder estabelecer conjecturas sobre as noções de área e perímetro,

evitando, assim, erros conceituais.

Ao analisarmos os conteúdos referentes ao ensino de perímetro nos livros

didáticos apresentados, percebemos que os autores não exploram o conceito de

perímetro e já partem para definições e uso de fórmulas. O conceito de perímetro

deve ser trabalhado de forma a propiciar aprendizagem efetiva do educando. Cabe

50

ao professor analisar a tarefa antes de aplicá-la, e prestar atenção às suas falas

para não confundir o aluno.

2.6 O processo de ensino e aprendizagem de área e perímetro

A medição de grandezas não é nada simples, pois exige a escolha de uma

unidade de medida e o emprego de procedimentos apropriados, muito deles em

instrumentos como réguas, relógios, balanças, recipientes graduados, entre outros.

A definição apresentada por Baltar e Lima (2010) em relação à medição é a

seguinte:

Medir uma grandeza é atribuir um número a esta grandeza. A medição de uma grandeza pode ser realizada em um objeto, em um fenômeno, ou ser efetuado em representações gráficas de objetos. Em todos esses casos, podemos dizer que realizamos uma medição experimental. (IBIDEM p. 178)

Significa que podemos fazer a medição de um objeto e identificar o valor

numérico que representa o comprimento do mesmo, ou seja, atribuir um valor real

positivo de acordo com o sistema de medida padrão (SI).

Baltar e Lima (2010) apontam em suas pesquisas que ainda há muitos livros

didáticos em que o estudo das Grandezas e Medidas aparece concentrado nos

últimos capítulos, e isso contribui, muitas vezes, para que esses conteúdos não

sejam estudados durante o ano letivo, ou tenham pouco tempo para serem

trabalhados. Outro agravante, também apontado pelos autores, é que vários livros

apresentam exclusivamente as unidades padronizadas de medição de grandezas,

enquanto outros dedicam excessiva importância à conversão de unidades de

medidas.

Para Baltar e Lima (2010), é nos anos iniciais que a criança deve construir os

alicerces para o aprofundamento dos conceitos na segunda etapa do Ensino

Fundamental (6º ao 9º ano), conforme dito anteriormente.

O desempenho insatisfatório dos estudantes nas questões de Grandezas e

Medidas, em especial, área e perímetro, vem chamando a atenção de muitos

pesquisadores em diferentes países, o que evidencia as dificuldades no ensino e na

51

aprendizagem desse campo, que não dizem respeito apenas a fatores ligados ao

contexto educacional, mas também à complexidade dos conceitos envolvidos.

Baltar (1996) alerta que, quando se define aplicação de medida entre

superfícies planas e números, é importante e necessário construir a área como

grandeza autônoma (sem se prender a números), fazendo observações do espaço

ocupado com a mesma quantidade de unidades de áreas, deixando bem claro para

o aluno as diferenças existentes entre área e perímetro.

As tarefas com malhas quadriculadas são necessárias para o aluno começar

a entender e perceber as diferenças existentes entre os conceitos, porém, o

professor não pode se limitar a um único tipo de atividade; deve diversificar a

atividade e o objetivo para poder avançar o conhecimento construído pelo aluno,

como por exemplo: recortes e colagens, sobreposição de figuras.

Conforme os autores, as atividades de visualização e manipulação não são

suficientes. É imprescindível que, de forma simultânea e progressiva, os

conhecimentos matemáticos sejam associados aos objetos físicos e aos desenhos

ou às imagens (às representações gráficas), sejam ensinados e aprendidos. Os

conceitos matemáticos e as relações entre eles nos fornecem modelos abstratos de

objetos do mundo físico ou de representações gráficas de objetos físicos.

Baltar e Lima (2010) mencionam que podemos distinguir três tipos de objetos:

os físicos, os gráficos e os matemáticos. Isso não significa que eles sejam

dissociados uns dos outros, pelo contrário, são estritamente inter-relacionados.

Cada um deles pode ser utilizado para representar os outros dois, no contexto da

sala de aula. A Figura 17 ilustra como os autores veem a relação desses objetos.

52

Figura 17 - Relação entre os objetos

Fonte: BALTAR e LIMA, 2010, p. 172.

Esses modelos, que são objetos matemáticos, fazem parte do conhecimento

matemático sistematizado que deve ser adquirido ao longo das várias fases da

escolaridade. Recorremos ao esquema apresentado na Figura 18 para observar

que, no estudo da geometria e das grandezas geométricas, entram em cena três

componentes: os objetos do mundo físico, as representações gráficas e as figuras

geométricas.

Para essas considerações sobre grandezas, convém não aprofundarmos aqui

a distinção entre os três componentes citados e, para simplificar, podemos

denominar qualquer um deles objeto geométrico.

Tomemos como exemplo a grandeza comprimento e vamos considerar uma

vareta de madeira. A esse objeto físico podemos associar seu desenho (ou sua

imagem) e ainda o conceito matemático de “segmento de reta AB”.

Figura 18 - Representação de uma vareta de madeira

Fonte: BALTAR e LIMA, 2010, p.173.

A esse objeto geométrico (no exemplo, o desenho de uma vareta ou

segmento de reta AB) é associada uma grandeza, seu comprimento, que é um

atributo desse objeto, intuitivamente entendido como o “tanto de espaço linear” que

53

o objeto geométrico possui. O processo de medição de comprimento em

determinada unidade permite-nos atribuir ao comprimento do objeto geométrico

(vareta ou segmento) um número, que é denominado “medida” do comprimento na

unidade escolhida.

Dessa forma, os conceitos em questão podem ser organizados em três

universos ou domínios: o do objeto geométrico, o da grandeza e o da medida da

grandeza.

Figura 19 - Esquema da relação entre os objetos geométricos

Fonte: Adaptado de BALTAR e LIMA, 2010, p. 173.

Apesar de distintos, os três componentes são estritamente ligados entre si, e

o desafio do ensino desses conceitos é, precisamente, distinguir e articular tais

componentes de forma simultânea.

Para entender melhor a Figura 19, pode-se tomar o exemplo da vareta

representada pelo segmento de reta AB e escolher uma unidade de comprimento,

como por exemplo, o centímetro (cm). A medida dessa vareta nessa unidade pode

ser o número 60 e, nesse caso, o seu comprimento será indicado pelo símbolo

composto 60 cm. Assim, o comprimento, como vai ocorrer com as demais

grandezas, pode ser representado pelo par constituído por um número (a medida) e

pelo símbolo da unidade adotada.

Objeto geométrico: é representado pelo desenho de uma vareta. O objeto

geométrico pode ser representado por uma figura conhecida (representação gráfica),

54

um desenho. Deve-se fazer uma mudança de quadro no sentido de representar

geometricamente o objeto que está sendo utilizado.

Grandeza: a grandeza em jogo neste exemplo é o comprimento da vareta.

A Grandeza pode ser explorada em razão das medidas, não o valor numérico,

mas sim, o que se deseja verificar, por exemplo: o comprimento, área, perímetro,

volume, temperatura, entre outras grandezas.

Medida: a medida referente ao exemplo utilizado é o valor obtido com a

medição, que é 60 cm. Pode-se usar um valor numérico ou uma unidade não

padrão.

Neste momento, o objetivo é encontrar um valor que represente o objeto

trabalhado, ou seja, a sua medida. Esse valor pode ser obtido utilizando

instrumentos de medição (régua, fita métrica, trena). É possível medir também com

outros objetos (lápis, borracha, caneta, livro, entre outros), que são denominadas

medidas não padrão.

Em relação ao ensino e aprendizagem, é necessário dar oportunidade para o

aluno efetuar medidas de forma intuitiva. Essas atividades podem contribuir para a

compreensão do caráter arbitrário da unidade e para desenvolver a habilidade de

adequar a unidade à grandeza a ser medida.

Segundo Baltar e Lima (2010), é importante fazer essas relações durante as

atividades, para que as crianças construam conceitos através de experiências

concretas de comparação e medição. É possível fazer comparações de grandezas

sem realizar uma medição, então, devemos estabelecer apenas uma relação de

maior, menor, igual entre essas grandezas. Aproveitando o exemplo da vareta na

Figura 18, podemos estabelecer uma relação de comparação entre duas varetas

para decidir qual é maior ou menor, mais leve ou mais pesada, mais grossa ou mais

fina, etc. Porém, devemos ressaltar que esse tipo de comparação entre grandezas

descritas é insuficiente para atender a todas as exigências do Currículo de

Matemática, sendo necessário, em outra etapa do ensino, medir grandezas.

Para os autores, esses processos de medição têm uma forte ligação com a

evolução tecnológica e científica das culturas humanas. A padronização das

55

unidades de medidas levou a humanidade ao estabelecimento do sistema métrico

decimal e, posteriormente, ao Sistema Internacional de Unidades (SI), que hoje é

amplamente utilizado.

Finalizando, Baltar e Lima (2010) nos alertam sobre a importância do ensino

de Grandezas e Medidas em todas as fases do Ensino, devendo ser aprofundado de

acordo com a fase escolar do aluno. Outro aspecto importante nos trabalhos de

Baltar e Lima (2010) é o de mostrar para o professor as possibilidades de se

trabalhar com esses conceitos, para evitar erros que possam prejudicar a

aprendizagem do educando.

56

CAPÍTULO 3 – CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO PARA O ENSINO DE MATEMÁTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL

Este capítulo mostra como se deu o processo de elaboração do Currículo

para o Estado de São Paulo, sua importância para o ensino de Matemática no

Ensino Fundamental. Vamos elencar quais são os objetivos gerais e específicos

tratados nesse documento, assim como as orientações dadas aos documentos

auxiliares ao Currículo de Matemática: Caderno do Gestor, Caderno do Professor e

Caderno do Aluno.

O nosso objetivo é verificar o que revelam os Cadernos do Professor e do

Aluno em relação à noção de área e perímetro. Para isso, vamos apresentar o

quadro de conteúdos que consta no Caderno do Professor e verificar em quais

séries e bimestre esses conteúdos são priorizados e se estão de acordo com o

Currículo do Estado de São Paulo aprovado no ano de 2010.

3.1 O currículo de matemática do Estado de São Paulo: sua implantação

Antes do documento “Currículo do Estado de São Paulo (2010)”, havia a

“Proposta Curricular (2008)” para cada área do conhecimento. Esse documento foi

analisado por um certo período por profissionais de ensino e reformulado, para

então ser aprovado como o Currículo oficial do Estado de São Paulo.

Em 2008, a Secretaria do Estado de São Paulo propôs um currículo básico

para as escolas da rede Estadual nos níveis de Ensino Fundamental (Ciclo II) e

Ensino Médio. Um dos objetivos foi apoiar e divulgar o trabalho realizado nas

escolas estaduais para os gestores e professores, e, por consequência, promover a

qualidade das aprendizagens dos alunos.

A Proposta Curricular (2008) também teve como intuito fomentar o

desenvolvimento curricular. Na época, foram tomadas duas iniciativas: a primeira foi

realizar um amplo levantamento do acervo documental e técnico-pedagógico

existente no Estado de São Paulo, e a segunda se deu por um processo de consulta

às escolas e professores, para poder identificar, sistematizar e divulgar boas práticas

57

dos trabalhos desenvolvidos e heranças pedagógicas de experiências escolares de

sucesso.

A Secretaria de Estado da Educação do Estado de São Paulo define Currículo

da seguinte forma:

Currículo é a expressão do que existe na cultura científica, artística e humanista transposto para uma situação de aprendizagem e ensino. [..], todas as atividades da escola são curriculares, caso contrário, não são justificáveis no contexto escolar. (SÃO PAULO, 2012, p. 11)

Em 2010, após muitas análises e discussões com especialistas, professores e

gestores, o Governo do Estado de São Paulo, representado pela Secretaria Estadual

de Educação e a Coordenadoria de Estudos e Normas Técnicas, apresentou a

versão definitiva dos textos-base do Currículo da Secretaria para o Ensino

Fundamental e Ensino Médio.

Este documento apresenta os princípios orientadores do currículo para uma escola capaz de promover as competências indispensáveis ao enfrentamento dos desafios sociais, culturais e profissionais do mundo contemporâneo. Contempla uma das principais características da sociedade do conhecimento e das pressões que a contemporaneidade exerce sobre os jovens cidadãos, propondo princípios orientadores para a prática educativa, a fim de que as escolas possam preparar esses alunos para esse novo tempo. Ao priorizar a competência de leitura e escrita, o Currículo define a escola como espaço de cultura e de articulação de competências e de conteúdos disciplinares. (SÃO PAULO, 2012, p. 7)

Há outro conjunto de documentos desenvolvidos para complementar o

Currículo do Estado de São Paulo, com orientações para gestores, professores

coordenadores, professores coordenadores das oficinas pedagógicas e

supervisores, intitulado Caderno do Gestor.

O Currículo se completa com outros conjuntos de documentos direcionados

aos professores e alunos, que são denominados: Caderno do Professor e Caderno

do Aluno. Esses Cadernos, até 2013, eram organizados por bimestre, sendo,

portanto, quatro volumes por ano, um para cada bimestre. A nova versão (2014-

2017) está dividida em dois fascículos anuais, cada um contendo dois bimestres,

respeitando a organização dos quadros de conteúdos do Currículo.

58

Para alcançar o sucesso, é necessário um trabalho amplo e de parcerias, pois

não dá para trabalhar isolado de outros órgãos ligados à Educação.

3.2 Objetivos e princípios centrais do currículo do Estado de São Paulo

O objetivo principal de um currículo, segundo o documento, é mapear o vasto

território do conhecimento, recobrindo-o por meio de disciplinas e articulando-as de

modo que se tornem significativas para a aprendizagem dos alunos. Com base

nisso, apresenta os princípios orientadores do currículo para que a escola seja

capaz de promover as competências indispensáveis ao enfrentamento dos desafios

sociais, culturais e profissionais do mundo contemporâneo. Então, o Currículo define

a escola como espaço de cultura e de articulação de competências e de conteúdos

disciplinares.

O documento da Secretaria Estadual da Educação também faz referência aos

princípios centrais:

[..] O Currículo da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo tem como princípios centrais: a escola que aprende; o currículo como espaço e cultura; as competências como eixo de aprendizagem; a prioridade da competência leitora e de escrita; a articulação das competências; e a contextualização do mundo do trabalho. (SÃO PAULO, 2012, p. 10)

A “escola que aprende” considera que, com o avanço desenfreado da

tecnologia, o ritmo de informações gera profundas transformações nas formas de

estrutura, organização e distribuição do conhecimento acumulado. O professor não é

o detentor do conhecimento e a escola não é a única fonte de informação, portanto,

a capacidade de aprender tem que ser trabalhada não apenas nos alunos, mas

também na própria escola como instituição educativa.

Currículo como espaço e cultura salienta que a cultura é, muitas vezes,

associada ao que é local, ao passo que o conhecimento é frequentemente

associado a um saber inalcançável. Em nossos tempos, não cabe mais essa

dicotomia. Com o auxílio das tecnologias, temos as informações em tempo real e de

qualquer lugar do planeta. As pessoas podem conversar em tempo real, vivenciar

uma situação por simulação com o recurso da tecnologia em 3D ou 4D.

59

Competência como eixo de aprendizagem afirma que o currículo deve auxiliar

a promover competências, articulando as disciplinas e as atividades escolares com

aquilo que se espera que os alunos aprendam ao longo dos anos. A atuação do

professor, os conteúdos, as metodologias disciplinares e a aprendizagem requerida

pelos alunos são alguns dos fatores principais para que tudo isso aconteça.

Competência leitora e escritora almeja o poder de transformar, as linguagens

incorporam as produções sociais que se estruturam mediadas por códigos

permanentes, passíveis de representação do pensamento humano e capazes de

organizar uma visão de mundo mediada pela expressão, comunicação e informação.

Cabe ao professor trabalhar e explorar todos os tipos de linguagens durante a vida

escolar do aluno, pois tais linguagens favorecem a aprendizagem de todas as outras

disciplinas.

Articulação das competências ressalta que dentro da instituição de ensino,

cabe ao professor promover conhecimentos que possam ser mobilizados em

competências e habilidades que instrumentalizem os alunos para enfrentarem os

problemas do mundo.

Contextualização do mundo do trabalho afirma que a escola tem um papel

fundamental na formação e preparação do aluno para o mundo do trabalho, e no

incentivo para a continuidade de seus estudos para sua qualificação no mercado

que cada vez mais exige pessoas críticas, criativas, capazes de aprender e ensinar.

3.3 Materiais complementares ao currículo do Estado de São Paulo

Além do Currículo oficial, existem outros materiais que complementam a

documentação básica para a gestão do Currículo na escola, que são: Caderno do

Gestor, Caderno do Professor e Caderno do Aluno.

O Caderno do Gestor dirige-se especialmente às unidades escolares públicas

estaduais, aos professores coordenadores, diretores, professores coordenadores

das oficinas pedagógicas e supervisores. O material em si não trata da gestão em

geral, porém, tem a finalidade de apoiar o gestor para que ele possa atuar como um

líder capaz de estimular e orientar a implementação do Currículo nas escolas

públicas estaduais de São Paulo.

60

O Caderno do Professor é direcionado especialmente aos professores da

Rede Pública Estadual de São Paulo. É organizado por disciplinas/série/ano. A nova

versão (2014-2017) está dividida em dois volumes, cada volume concentra os

conteúdos de dois bimestres. O material é o mesmo do ano anterior, que vinha

dividido por bimestre, ou seja, eram quatro volumes por ano de cada disciplina.

Nesses Cadernos, são apresentadas as “Situações de Aprendizagem” para orientar

o trabalho do professor no ensino dos conteúdos disciplinares específicos e na

aprendizagem dos alunos.

Segundo a Secretaria da Educação (2012), os conteúdos, habilidades e

competências são organizados por série/ano e acompanhados de orientações para

a gestão da aprendizagem em sala de aula, facilitando o trabalho do professor. O

material traz também orientações para a avaliação e recuperação dos conteúdos

abordados, bem como sugestões de métodos e estratégias para trabalhar

determinado conteúdo em aula.

O Caderno do Aluno vem com os exercícios impressos e espaços para

resolvê-los. Sempre traz um texto relacionado ao tema, valorizando a História da

Matemática, ou um texto mostrando uma aplicação do dia a dia de determinado

conteúdo. A nova versão (2014-2017) está dividida em dois volumes, sendo que

cada um corresponde a dois bimestres: volume 1 (primeiro e segundo bimestres) e

volume 2 (terceiro e quarto bimestres). O aluno recebe o Caderno referente a cada

disciplina. No final de cada Situação de Aprendizagem, há um espaço reservado

para o aluno escrever o que ele aprendeu; isso estimula não só a escrita, mas

também a auto avaliação.

Nossa pesquisa tem o objetivo de analisar também as tarefas relacionadas às

noções de área e perímetro, de acordo com a TAD10 de Bosch e Chevallard (1986),

e os níveis de conhecimentos esperados, segundo a proposta de Robert (1988). Por

isso, o trabalho é considerado relevante por nós e deve servir de apoio ao trabalho

de outros pesquisadores ou pessoas interessadas pelo assunto abordado. Nossa

análise focará somente as tarefas que apresentam noções de área e perímetro,

articuladas a outros conteúdos matemáticos e específicos do Currículo.

10

T.A.D.: Teoria Antropológica do Didático.

61

3.4 Quadros de conteúdos de matemática para o ensino fundamental

Os conteúdos básicos estão organizados em três blocos temáticos: Números,

Geometria e Relações.

Figura 20 - Blocos Temáticos

Fonte: SÃO PAULO, 2012, p.39.

Podemos verificar nessa figura a não existência de um bloco para Grandezas

e Medidas, como encontramos nos Parâmetros Curriculares Nacionais

(BRASIL,1998), pois os conteúdos referentes às noções de área e perímetro,

segundo as orientações, devem permear os três blocos, perpassando por outros

conteúdos matemáticos, ou seja, de acordo com o Currículo do Estado de São

Paulo, os conteúdos de Grandezas e Medidas devem ser trabalhados dentro dos

três eixos apresentados na Figura 20.

Analisando os oito volumes, dois volumes de cada ano, encontramos o

conteúdo referente à área e perímetro somente no volume 2 do 6º ano, referente ao

terceiro bimestre e quarto bimestre, dentro do bloco Geometria e Relações. Nos

outros volumes e bimestres, encontramos algumas tarefas de área e perímetro

utilizadas como apêndice para o ensino e aprendizagem de outros conteúdos, ou

seja, a noção de área e perímetro aparece articulada em outros conteúdos

matemáticos de todos os anos.

62

As figuras a seguir mostram como foram distribuídos os conteúdos por

ano/bimestres para o ensino de Matemática no Ensino Fundamental, de acordo com

o documento oficial da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo.

Figura 21 - Conteúdos e Habilidades do 6º ano volume 1

Fonte: SÃO PAULO, 2012, p. 57.

A Figura 21 mostra quais são os conteúdos matemáticos que devem ser

trabalhados e as habilidades desenvolvidas no 6º ano do Ensino Fundamental

durante o primeiro e o segundo bimestre.

63

É possível observar que no 6º ano, nos dois primeiros bimestres, não são

abordados conceitos de área e perímetro. No final do segundo bimestre, conforme

destacado na Figura 21, os alunos iniciam os estudos de Sistemas de Medidas e

não há referência à noção de perímetro e nem de área nessa etapa da escolaridade,

pois o objeto é desenvolver a noção de medida e saber realizar medidas usando

padrões e unidades não convencionais, permitindo o conhecimento de diversos

sistemas de medidas.



64

A Figura 22 corresponde aos conteúdos que devem ser trabalhados no

terceiro e no quarto bimestre do 6º ano do Ensino Fundamental, bem como as

habilidades a serem desenvolvidas.

O terceiro bimestre do 6º ano tem como foco de ensino o bloco

Geometria/Relações. Destacamos na figura a parte específica dos conteúdos de

área e perímetro. Além disso, os alunos têm tarefas de reconhecer formas

geométricas planas e espaciais, bem como de classificá-las de acordo com a

quantidade de lados (planas). Após essas atividades de reconhecimento e

classificação, inicia-se o tópico “Perímetro e Área”. As tarefas apresentadas serão

analisadas no capítulo 5, referente às análises.

A próxima figura indica quais conteúdos matemáticos devem ser trabalhados

nos dois primeiros bimestres do 7º ano, correspondentes ao volume 1 do Caderno

do Aluno e Caderno do Professor.

65



O quadro referente à Figura 23 não mostra nenhum conteúdo relativo à área e

perímetro, porém, destacamos a expressão “Números negativos”, que deveria ser

escrita como “Números Inteiros”. É necessária muita atenção por parte do professor

para não reproduzir esses erros. Os conteúdos de área e perímetro não aparecem

articulados aos conteúdos propostos, ficando, assim, focados no trabalho de

medidas de ângulos, simetrias, classificação de polígonos e planificações de

algumas figuras espaciais.

66



Observando o quadro da Figura 24, percebemos que o enfoque são Números

e Relações. As proporcionalidades, variação de grandezas diretamente ou

inversamente proporcionais, são bem exploradas nesse bimestre, articulando as

noções de área e perímetro nas tarefas presentes no Caderno do Aluno. Ao

apresentar o significado do número 𝜋 (pi), o Caderno traz tarefas que solicitam o

cálculo da medida do comprimento da circunferência, de onde a noção de perímetro

da circunferência começa a emergir. No quarto bimestre, há a introdução ao estudo

de Álgebra com a utilização de letras para representar um valor desconhecido.

67

Algumas tarefas de Álgebra vão mencionar a palavra área ou perímetro para que o

aluno possa representar a situação por meio de uma equação algébrica, porém o

objetivo não é o ensino das noções de área e perímetro.


Fonte: SÃO PAULO, 2012, p. 61

Os conteúdos de área e perímetro não estão explícitos no quadro da Figura

25, conforme o destaque na figura, mas estão articulados aos estudos das

expressões algébricas, equivalências de expressões, produtos notáveis e fatoração.

A noção de área é necessária para que o aluno consiga resolver as tarefas, pois a

maioria dessas tarefas está relacionada a uma figura geométrica plana (quadrado ou

68

retângulo), em que o aluno deverá escrever a expressão correspondente à área da

figura, ou desenhar uma figura de acordo com a expressão algébrica dada.

Figura 26 – Conteúdos e Habilidades do 8º ano volume 2

Fonte: SÃO PAULO, 2012, p. 62

Destacamos na Figura 26 os conteúdos matemáticos que devem ser

trabalhados no 3º bimestre do 8º ano do Ensino Fundamental e que estão

articulados aos conceitos de área e perímetro. As tarefas com equações do primeiro

grau, inequações do primeiro grau e coordenadas no plano cartesiano se encontram

no Caderno do Aluno, tarefas essas que necessitam da noção de área e perímetro

para a resolução das equações e inequações. O plano cartesiano é apresentado

sobre uma malha quadriculada para facilitar a leitura dos pares ordenados (vértice

69

de cada figura plana) e, por consequência, calcular a área de cada uma das figuras

apresentadas.

Ao adentrar o quarto bimestre, conforme a Figura 26 volta o conceito de área

de polígonos regulares como conteúdo específico, porém, os cálculos estão mais

voltados à utilização e aplicação de fórmulas, e não ao trabalho de desenvolvimento

de conceitos. Como apontado no quadro da Figura 22, o ensino de área e perímetro

é dado por meio de recursos de contagem e de decomposição de figuras com a

utilização de malha quadriculada. O aluno inicia o contato com fórmulas de área e

perímetro a partir do 8º ano.



70

Área e perímetro reaparecem nas “Situações de Aprendizagem”, não como o

objetivo principal, mas sim, como um articulador de conteúdos algébricos. A

importância dada às tarefas é a resolução de equação do segundo grau, a escrita

correta de uma expressão de acordo com a situação proposta dos problemas. No

Caderno do Aluno, há muitas tarefas que envolvem principalmente a noção de área

para chegar a uma solução.



71

O conceito de semelhança é trabalhado principalmente com figuras de

triângulos retângulos. No volume 2 do Caderno do Aluno, encontram-se tarefas que

articulam as noções de área e perímetro com o conteúdo de semelhança no

triângulo retângulo, explorando o Teorema de Pitágoras, que farão parte das

análises do Capítulo 5.

Os conteúdos envolvendo área e perímetro no 9º ano do Ensino Fundamental

encerram-se no quarto bimestre, como ilustra a Figura 28, com o estudo dos corpos

redondos. O comprimento da circunferência é trabalhado por meio de fórmula. A

área do círculo é calculada, de início, por estimativa (falta e excesso), usando uma

malha quadriculada, para depois utilizar a fórmula para o cálculo de área. O

Teorema de Pitágoras é explorado em diversas situações, para provar que a medida

da hipotenusa elevada ao quadrado é igual à soma dos quadrados das medidas dos

catetos, ou seja, a noção de área de figuras planas é importante para a resolução

dessas tarefas.

À luz das teorias de Chevallard (1996), Bosch e Chevallard (1998), vamos

analisar os objetos ostensivos e não ostensivos e em qual nível de conhecimento

podemos classificar cada tarefa relacionada à noção de área e perímetro encontrada

no Caderno do Professor e no Caderno do Aluno. Essas análises estão no Capítulo

5 deste trabalho.

3.5 Algumas considerações sobre a organização do currículo de matemática

para o ensino de área e perímetro

Como visto até aqui, o Currículo do Estado de São Paulo aborda o assunto

área e perímetro especificamente no 3º bimestre do 6º ano (composição e

decomposição de figuras com malha quadriculada), no 4º bimestre do 8º ano (área e

perímetro de polígonos utilizando as fórmulas) e no 4º bimestre do 9º ano

(circunferência e círculo). Através dos quadros de conteúdos de cada ano que

apresentamos anteriormente, destacamos conteúdos onde área e perímetro

aparecem articulados aos outros conteúdos do Currículo de Matemática.

Aparentemente, área e perímetro deveriam ser bem trabalhados pelos

professores por aparecerem muitas vezes articulados aos outros conteúdos.

72

Grandezas e Medidas são conteúdos importantes para a formação dos educandos;

no entanto, o ensino desses conteúdos não é bem explorado pelos professores. De

acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais:

[..] as medidas têm tido pouco destaque nas aulas de Matemática, em especial nos últimos anos do Ensino Fundamental, pois muitos professores, apesar de reconhecerem sua importância, preferem que elas sejam estudadas de forma mais detalhada em Ciências Naturais. (BRASIL, 1998, p. 129)

Significa que os professores sabem e reconhecem a importância do ensino de

medidas, mas preferem que sejam aprofundadas em outras disciplinas que também

abordam o assunto, como, por exemplo: a temperatura, nas aulas de Ciências; as

escalas, nas aulas de Geografia.

Segundo o Currículo de Matemática do Estado de São Paulo (2012, p. 52),

cada tema apresentado serve de mote para o desenvolvimento dos demais. É

fundamental que o professor apresente todos os conteúdos abordados no Caderno

do Aluno, mesmo que de uma maneira incipiente. O pressuposto subjacente é que

os diversos assuntos se apoiam mutuamente, e que é preferível tratar um pouco de

cada um deles a passar o ano inteiro explorando um determinado assunto, ou seja,

sugere que o professor trabalhe todos os conteúdos propostos, dando profundidade

ao tema que achar mais relevante para seus alunos. Pois, de acordo com as

orientações do Currículo, o professor não deve ficar trabalhando muito tempo um

mesmo conteúdo; o aluno precisa perceber que o avanço dos conteúdos deve

ocorrer durante os bimestres, e a escola deverá proporcionar ambientes de estudo

para que o estudante possa recuperar o que não conseguiu aprender.

De acordo com o Currículo de Matemática do Estado de São Paulo (2012),

vimos que:

A escolha de diferentes escalas de aprofundamento para vários assuntos é natural e esperado constituindo a competência máxima do professor, do ponto de vista da didática. Um bom professor não se excede em pormenores que não podem ser compreendidos pelos alunos, nem subestima a sua capacidade de compreensão. (SÃO PAULO, 2012, p. 50)

Então, cabe ao professor pensar o planejamento sobre “o que”, “como” e

“com que grau de profundidade” quanto aos conteúdos sugeridos na grade curricular

73

bimestral, destacando que a ideia de escala, anteriormente referida, é

absolutamente decisiva para a compreensão daquilo a que se propõe o documento.

Assim, fica explícita a importância do trabalho do professor em sala de aula,

na administração dos conteúdos delineados pelo Currículo de Matemática do Estado

de São Paulo (2012). Com isso, consideramos que nossa pesquisa será de grande

valia para os professores, pois poderá auxiliar nas análises das tarefas, permitindo

uma visão mais ampla dos conceitos a serem trabalhados e como trabalhá-los para

poder obter melhor rendimento de seus alunos.

Reiteramos a importância das análises das tarefas por meio das

praxeologias matemáticas de Bosch e Chevallard (1999), complementadas pela

proposta de Robert (1998) com os Níveis de conhecimentos esperados do

educando.

74

CAPÍTULO 4 - FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

As análises que nos propomos a fazer nos Cadernos de Matemática do

Professor e do Aluno dos anos finais do Ensino Fundamental da Rede Pública do

Estado de São Paulo, em relação às noções de área e perímetro, são pautadas na

Didática da Matemática11, e dentro dessa linha, escolhemos como abordagens

teóricas os estudos de Yves Chevallard (1992), Marianna Bosch e Yves Chevallard

(1999), e Aline Robert (1998). Esses teóricos seguem a vertente da Didática

Francesa.

De acordo com Pais (2011, p. 12), a Didática da Matemática visa

compreender as condições de produção, registro e comunicação do conteúdo

escolar da Matemática e de suas consequências didáticas, favorecendo as

conexões entre a teoria e a prática.

Vamos apresentar neste capítulo as teorias que sustentam a nossa pesquisa.

4.1 A Teoria antropológica do didático de Yves Chevallard

Yves Chevallard é um pesquisador francês da área de Educação Matemática,

que mostrou a necessidade de associar a análise do conhecimento matemático com

o estudo das práticas institucionais em que seus elementos são criados,

desenvolvidos, usados, ensinados e aprendidos.

Essa teoria considera os objetos matemáticos, não como existentes em si,

mas como entidades que emergem de sistemas de práticas que existem em dadas

instituições. Esses sistemas ou praxeologias são descritos em termos de tarefas

específicas (exercícios) daquele objeto, das técnicas que permitem resolvê-las e

através dos discursos que servem para explicar e justificar as técnicas.

11

A Didática da Matemática é uma das tendências da grande área de Educação Matemática, cujo objeto de

estudo é a elaboração de conceitos e teorias que sejam compatíveis com a especificidade educacional do saber

escolar matemático, procurando manter fortes vínculos com a formação de conceitos matemáticos, tanto em

nível experimental da prática pedagógica, como no território teórico da pesquisa acadêmica. (PAIS, 2001, p. 11)

75

Segundo Chevallard (1992), a didática de ciências, como todas as didáticas,

inscreve-se no campo da antropologia social, ou seja, no campo do estudo do

homem.

Nosso estudo toma como aporte teórico a Teoria do Antropológico do Didático

(TAD), de Chevallard (1992), que situa a atividade matemática e,

consequentemente, a atividade de estudo em Matemática no conjunto das

atividades humanas e das instituições sociais: [..] falar validamente de Didática da

Matemática, por exemplo, supõe falar de certos objetos distintos - a Matemática, de

início, e, em seguida, solidariamente os alunos, os professores, os livros, etc.

(CHEVALLARD, 1998, p. 91).

A TAD ajuda-nos a pensar a dimensão técnica e instrumental do trabalho matemático, que, nas análises didáticas, é frequentemente deixada no segundo plano, em proveito de análises de natureza mais conceitual. (CHEVALLARD, 1992, p. 9)

O ponto de partida dessa teoria é que “tudo é objeto”. O autor distingue, no

entanto, os tipos de objetos específicos: instituições (I), pessoas (X) e as posições

que ocupam as pessoas nas instituições, de que trataremos mais adiante.

Utilizamos a Teoria Antropológica do Didático (TAD) na análise das relações

institucionais existentes no processo atual de ensino e aprendizagem, que

emergiram das noções de área e perímetro propostas nos Cadernos do Aluno e do

Professor do Ensino Fundamental do Estado de São Paulo.

Segundo Chevallard (1992), para determinado tema de estudo, deve-se

considerar, em primeiro lugar, a realidade Matemática que pode ser construída, a

qual chama de Praxeologia Matemática ou Organização Matemática (OM); em

segundo lugar, a maneira como essa realidade pode ser estudada, que será

denominada Organização Didática (OD).

4.2 Elementos primitivos da teoria antropológica do didático

De acordo com o autor, os elementos primitivos são: Instituição (I), Pessoa

(X) e Objeto (O), e fazem parte da relação institucional e pessoal ao objeto. O objeto

é toda entidade, material ou não, que existe para ao menos um indivíduo. Os objetos

(O) são os elementos de base da teoria, e como exemplos de objetos matemáticos,

76

podemos citar o quadrado, a noção de perímetro, área, a equação do 2º grau, entre

outros.

A partir das noções primitivas, Chevallard (1992) define relação pessoal

(R(X,O)) da pessoa (X) ao objeto (O), e analogamente define a relação institucional

de (I) a (O), denotada (R(I,O)). Um objeto (O) do saber existe na medida em que

uma pessoa (X) ou uma instituição (I) o reconhece e o aceita como existente, ou

seja, se existir uma relação pessoal de (X) com o objeto (O), ou instituição (I) com o

objeto (O). A pessoa (X) ou a instituição (I) conhece (O) se existir R(X,O). A relação

pessoal de (O) determina a maneira como (X) conhece (O). De maneira análoga,

define uma relação institucional de (I) a (O), denotada R(I,O), que exprime o

reconhecimento do objeto (O) pela instituição (I). Essas relações podem ser

representadas da seguinte maneira:

Quadro 2 - Relação pessoal e institucional

R(X,O) Relação pessoal de X a O ⇔ X conhece O

R(I,O) Relação instituição de I a O ⇔ I conhece O

Fonte: Autora.

Segundo Chevallard (1996):

Os objetos ocupam, contudo, uma posição privilegiada: são o “material de base” da construção teórica considerada. Da mesma maneira que, no universo matemático contemporâneo, fundado na teoria dos conjuntos, tudo é conjunto (os próprios números inteiros são conjuntos), assim, também, no universo que estou a considerar, todas as coisas são objetos. As pessoas X e as Instituições I, bem como as restantes entidades que serei levado a introduzir, são pois objetos de um tipo particular. (CHEVALLARD, 1996, p. 127, grifo do autor)

Nesse sentido, o autor introduz a noção de conhecimento, ou seja, conhecer

um objeto é, tanto para uma instituição como para uma pessoa, ter uma relação com

esse objeto. De acordo com esse autor, a instituição (I) pode ter várias

representações, uma escola é uma instituição, tal como é uma sala de aula; mas

existe igualmente a instituição “trabalhos orientados”, a instituição “cursos”, a

instituição “família”. A vida cotidiana é uma instituição (num dado meio social), o

mesmo acontecendo ao estado amoroso (numa dada cultura), etc.

77

Segundo Chevallard (1992), existem quatro tipos de instituições: Produção,

Utilização, Ensino e Transpositivas. As universidades são exemplos de instituições

de produção de saberes científicos. Uma empresa de construção civil é uma

instituição de utilização dos saberes produzidos pela engenharia. As escolas

funcionam, prioritariamente, como instituições de ensino. E, por fim, as instituições

transpositivas são as noosferas. Noosfera é o conjunto das fontes de influência que

atuam na seleção dos conteúdos que deverão compor os programas escolares e

que determinam o funcionamento do processo didático.

Bosch (2000) segue a linha de Chevallard, e juntos desenvolveram uma

pesquisa usando as praxeologias, complementando com os estudos dos objetos

ostensivos e não ostensivos.

4.3 Linguagem da teoria antropológica do didático: ostensivos e não

ostensivos

Segundo a Teoria Antropológica do Didático, na cultura escolar, ocorre o

desenvolvimento de uma infinidade de atividades de estudo, onde é verificada a

existência de uma pluralidade de registros das mesmas. Esses registros podem se

apresentar sob a forma escritural, gráfica, verbal, gestual, etc., e são denominados

linguagens dos objetos ostensivos, visto que a Teoria Antropológica assume o seu

valor semiótico (simbólico). Assim, podemos dizer que as linguagens dos objetos

ostensivos podem ser escritural (linguagem escrita), figural (representação de

figuras), verbal (quando a pessoa fala ou explica determinado assunto), gestual (ao

gesticular por exemplo a forma de uma parábola, de uma reta), gráfica (utilização de

gráficos) entre outras.

O modelo proposto pela TAD estabelece uma distinção dentro do conjunto de

objetos que compõem os elementos das organizações matemáticas: as tarefas, as

técnicas, as tecnologias e as teorias são feitas de objetos ostensivos e de objetos

não ostensivos. As tarefas, técnicas, tecnologias e teorias, vamos abordar mais

adiante.

Segundo Bosch (2000), a palavra “ostensivo” tem sua origem na palavra

latina ostendere, que é tudo aquilo que se mostra, que se percebe, que se vê e

78

ouve, dotado de certa materialidade, como as escritas, os gráficos, os desenhos, os

experimentos, os sons, os gestos, os discursos, dentre outros, que faz parte da

cultura humana corrente e que pode ser manipulado12.

Os objetos não ostensivos são aqueles que existem institucionalmente, mas

que não podem ser percebidos, não se mostram por si mesmos. Exemplos deles

são as ideias, os conceitos, as crenças. Esses objetos emergem da manipulação de

objetos ostensivos, que será sempre controlada por objetos não ostensivos.

A dialética entre os ostensivos e não ostensivos provavelmente é conduzida

pelo professor por meio dos registros oral e escrito; por exemplo, ao registrar no

quadro a//b, suponhamos que ele diga para os alunos que se trata do conceito de

paralelismo (não ostensivo) entre as retas a e b.

Para esclarecer essa dialética, Bosch e Chevallard (1999) afirmam que:

[..] Nossa relação com os objetos ostensivos, em particular a nossa própria capacidade intelectual de identifica-los, antes de manipulá-los, resulta de uma construção institucional. Eles são frutos de uma aprendizagem (não ostensivo). (BOSCH; CHEVALLARD, 1999, p. 88)

Conforme os teóricos, em uma determinada tarefa, os ostensivos constituem

a parte visível, que podem ser observados por qualquer pessoa, especificamente

pelos atores envolvidos diretamente com a tarefa. Em outras palavras, esses objetos

fazem parte do real empírico, acessível aos sentidos.

Quando o professor anota, por exemplo, “3x é a medida da largura e (2x+1) é

a medida do comprimento de um retângulo, quando representa a medida da área

desse retângulo”, no estudo de expressões, ele está fazendo um registro algébrico

que requer a manipulação de ostensivos escritos, como letras e números. Pode

utilizar também registros orais, como, por exemplo, ao afirmar que a área do

retângulo é calculada multiplicando a medida da largura pela medida do seu

comprimento; por outro lado, é necessário evocar o conceito de área do retângulo

(não ostensivo) para poder realizar a tarefa.

Em qualquer atividade humana, mais especificamente, em toda atividade

Matemática, conforme Bosch e Chevallard (1999), existe a coativação de objetos

12

Manipulado: designa os diversos usos possíveis, pelo ser humano, dos objetos ostensivos, ou seja, aqueles

objetos que podem ser percebidos, vistos. (BOSCH e CHEVALARD, 1999).

79

ostensivos e não ostensivos. Na abordagem antropológica, podemos dizer que o

cumprimento de toda tarefa envolve necessariamente a manipulação de ostensivos

regulados pelos não ostensivos (ALMEIDA, 2012).

O objetivo disso é que um objeto ostensivo pode ser também pensado,

imaginado por um sujeito, ou estar implícito no discurso matemático, por exemplo, o

símbolo da divisão ou adição em uma notação algébrica (GODINO; BATANERO;

FONT, 2008).

Bosch e Chevallard (1999) chamam a atenção para a crença de alguns

professores de que bastaria apresentar um objeto ostensivo para o aluno

compreender o seu significado (o não ostensivo). Esse fato é muito comum no

ensino de Ciências Biológicas, que lança mão de objetos ostensivos a todo

momento (desenhos, esquemas, gráficos, peças modeladas, etc.).

Vamos apresentar um exemplo dado por Almeida (2012), em sua dissertação

de mestrado, sobre a construção de polígonos inscritos no círculo, com a seguinte

tarefa: ”Construir polígonos inscritos em uma circunferência e calcular a medida do

seu perímetro para encontrar a medida do comprimento dessa circunferência.”

O professor faz um desenho esquemático no quadro, ou utiliza esquema do

livro didático de polígonos inscritos, conforme exemplificado adiante, com o intuito

de alunas e alunos observarem as estruturas e descreverem as diferenças entre

ambas, primeiramente por meio da escrita e, posteriormente, da oralidade.

Conforme a Figura 29:

Figura 29 - Desenho esquemático de polígonos inscritos no círculo

Fonte: ALMEIDA, 2012, p. 105.

80

Segundo Almeida (2012), para a resolução da questão, os alunos utilizaram

os seguintes ostensivos: desenho esquemático de polígonos inscritos no círculo,

onde utilizaram as técnicas de observar e identificar suas estruturas; a escrita, com o

emprego da técnica de nomear os polígonos e pontuar as diferenças entre ambas; a

oralidade, com a técnica de interagir e argumentar coletivamente, e com o professor,

sobre o tema, além de apresentar os resultados dos cálculos para a classe,

percebendo quanto maior a quantidade de lados de polígono, mais próximo do

comprimento da circunferência o valor estará. Ao manipularem esses ostensivos, os

alunos e o professor trouxeram à superfície os objetos não ostensivos.

Os alunos, ao manejarem os objetos ostensivos da tarefa, observaram que ao

aumentar a quantidade de lados dos polígonos, mais próximo do valor do

comprimento da circunferência chegará e esse procedimento é infinito. Assim surgiu,

então, a ideia da exaustão e uma maneira também de se aproximar do valor

numérico de “pi” e sua relação com os cálculos de comprimento da circunferência e

área do círculo.

Bosch e Chevallard (1999) delimitam a noção de tarefa em Matemática, o que

diferencia a atividade matemática das demais atividades humanas, pois, diante de

uma tarefa, é preciso saber como resolvê-la. Esse “como resolver a tarefa” é o que

impulsiona a praxeologia. É preciso ter ou construir uma técnica13 que deve ser

justificada por uma tecnologia, a qual, por sua vez, precisa ser justificada por uma

teoria.

A ostensividade que Bosch e Chevallard (1999) sustentam se refere, mais

geralmente, ao conjunto dos sentidos ou significações, no qual a visão e a audição

desempenham um papel fundamental. Chevallard utiliza o termo manipulação, como

já explicamos anteriormente, para designar os diversos usos possíveis de objetos

ostensivos pelo homem. É através dessa manipulação concreta que se permite

distinguir os objetos ostensivos dos não ostensivos.

Para Bosch e Chevallard (1999):

13

A técnica será utilizada como processo estruturado e metódico, às vezes algorítmico, que é um caso muito

particular da técnica.

81

[..] na análise do trabalho matemático, os objetos ostensivos fazem parte do real empírico por significação. Por contraste, a presença de tal ou qual não ostensivo, numa prática determinada, só pode ser induzida ou suposta a partir de manipulação de ostensivos, institucionalmente associadas. [..] A intervenção dos não ostensivos na “práxis” manipulativa de objetos ostensivos pode proporcionar aos não ostensivos o estatuto de condição de uma manipulação adequada dos instrumentos ostensivos. (Ibidem, p. 93)

Podemos observar, através das ideias dos autores, que a Teoria

Antropológica do Didático (TAD) procura explicar a origem dos conceitos

matemáticos (não ostensivos) e sua relação com os objetos que representam

(ostensivos). De acordo com Bosch (2000), os conceitos surgem do trabalho com os

ostensivos, isto é, em resposta a certas questões e tarefas em um dado entorno

tecnológico-teórico.

Finalizando, os autores afirmam que toda prática institucional14 pode ser

analisada de diferentes pontos de vista e de distintas maneiras, num sistema de

tarefas bem definidas que se desenvolvem no fluxo da prática. A realização de toda

tarefa resulta em colocar em ação uma técnica. As condições e exigências que

permitem a produção e a utilização de tarefas e técnicas nas instituições implicam a

existência de um discurso descritivo e justificativo das tarefas e técnicas, que se

chama discurso prático-técnico. Por consequência, toda tecnologia precisa de uma

justificativa, que se denomina teoria da técnica, a qual chamaremos de discurso

tecnológico-teórico.

4.4 Praxeologia

O significado de praxeologia pode ser traduzido por: prática calcada em

conhecimentos, ou seja, na junção das palavras gregas práxis (prática, ação) e

logos (fundamentos, conhecimentos). Conforme a TAD, a práxis é constituída pelas

tarefas (questões/atividades) e pelas técnicas (maneira de fazer algo), e o logos,

pelo discurso matemático que justifica e interpreta a prática, sendo denominados

tecnologias e teorias (CHEVALLARD, 1996; BOSCH; GASCÓN, 2003), conforme

detalharemos a seguir.

14

Para Yves Chevallard, uma instituição pode ser um órgão governamental, uma escola, uma classe, um curso, a

família, a sociedade, os programas de ensino.

82

Uma organização praxeológica sempre surge como resposta a uma questão

ou a um conjunto de questões. Desse modo, estabelece-se um processo em que se

deve buscar ou criar meios para respondê-la(s). Essa questão é denominada,

segundo a TAD, uma tarefa problemática ou não. A praxeologia atua justamente

nesse momento, tentando encontrar uma ou mais formas de resolvê-la(s),

regularmente e com sucesso (CHEVALLARD et al., 2001).

Desse modo, estabelece-se um processo que para responder a uma tarefa,

ou a um tipo de tarefa, é necessário que a(s) resposta(s) seja(m) segura(s),

sistemática(s) e rotineira(s). Isso pode ocorrer por meio de uma ou mais técnicas.

Elas devem parecer ao mesmo tempo corretas, compreensíveis e justificáveis. Além

disso, necessitam possuir uma tecnologia capaz de compreender e validar a sua

utilização, e uma teoria que fundamente essa tecnologia (CHEVALLARD et al.,

2001). Esses elementos, agrupados, procedem a uma organização praxeológica

(OP) na forma de um bloco prático-técnico, no qual encontramos o tipo de tarefa e a

técnica, e um bloco tecnológico-teórico, através da tecnologia e da teoria (BOSCH e

CHEVALLARD, 1999).

Para Chevallard (1996), toda atividade humana consiste em quatro conceitos

básicos, que são: tarefa (Τ), técnica (𝜏), tecnologia (𝜃) e teoria (Θ). Nesse sentido,

pode-se dizer que toda atividade humana coloca em ação uma organização

envolvendo [Τ, 𝜏, 𝜃, Θ ], a qual Chevallard (1999) nomeia praxeologia, ou organização

praxeológica.

Conforme mostra a Figura 30, cada elemento da praxeologia é nomeado por

uma letra do alfabeto grego, a saber: o tipo de tarefa é representado pela letra Τ

(Tau maiúscula); a técnica, pela letra 𝜏 (tau minúscula); a tecnologia, pela letra 𝜃

(theta minúscula); e a teoria, pela letra Θ (theta maiúscula).

83

Figura 30 - Organização Praxeológica

Fonte: Autora.

Uma organização praxeológica é composta de um bloco prático-técnico

[T/𝝉 ], identificado pelo autor como um saber fazer, e de um bloco tecnológico-

teórico [𝜽/𝚯], normalmente identificado como um saber. Nessa perspectiva, no

estudo do conceito de área e perímetro, não se pergunta mais o que é área ou o que

é perímetro, mas sim, quais são os tipos de tarefas a serem executadas e de

técnicas envolvidas e quais são as respectivas justificativas tecnológicas e teóricas.

O conceito de área e perímetro emerge dessas praxeologias. A ideia de perímetro

emerge quando precisamos saber a medida do contorno de um determinado objeto,

e a ideia de área, do espaço ocupado por tal objeto.

É importante enfatizar que, conforme a TAD, o bloco tecnológico-teórico

viabiliza a compreensão da técnica utilizada, pois, a partir dele podem-se agregar

elementos para modificar a técnica empregada, se preciso for, ou até mesmo

produzir uma nova técnica. Salientamos, então, que a tecnologia justifica e explica a

técnica, e a teoria fundamenta a tecnologia. O bloco tecnológico-teórico representa

nesse contexto o saber, e o bloco prático-técnico é denominado saber fazer.

Essas quatro noções (tarefa, técnica, tecnologia e teoria) permitem a

modelação das práticas sociais em geral, e das atividades matemáticas em

particular, desenvolvidas a seguir.

Na noção praxeológica de Tarefa, é adotado o símbolo 𝛵 para representar

uma tarefa identificada numa praxeologia, contendo ao menos um tipo de tarefa t.

Essa noção supõe um objeto relativamente preciso; “abrir uma torneira”, por

exemplo, é um tipo de tarefa, mas abrir, assim isolado, não o é. Da mesma forma,

84

“calcular a área de um quadrado de lado 15 cm” é um tipo de tarefa, mas calcular,

assim isolado, é um gênero que requer um determinativo. Assim, tarefas, tipos de

tarefas, gênero de tarefas não são dados da natureza; são artefatos, obras,

construtos institucionais, cuja reconstrução em tal instituição é um problema

inteiramente objeto da didática.

Técnica, denotada por 𝜏, é uma maneira de fazer ou realizar um tipo de tarefa

Τ. Uma praxeologia relativa a Τ necessita de maneiras de realizar as tarefas 𝑡 ∈ Τ,

isto é, de uma técnica (saber fazer). Assim, para um dado tipo de tarefa Τ existe, em

geral, uma única técnica ou um conjunto de técnicas reconhecidas

institucionalmente (com exceção das possíveis técnicas alternativas, que podem

existir, mas em outras instituições) que permitem realizar a tarefa.

Tecnologia, denotada por 𝜃, é um discurso racional (o logos) tendo por

objetivo justificar a técnica 𝜏, garantindo que esta permita realizar as tarefas do tipo

Τ. A segunda função da tecnologia é explicar, tornar compreensível a técnica. Se a

primeira função “justificar a técnica” consiste em assegurar que a técnica permita

alcançar o pretendido, a segunda função “explicar” consiste em expor por que é

daquela maneira. É notável que as duas funções, justificação e explicação, são

assumidas diferentemente por uma dada tecnologia. Tradicionalmente, no contexto

matemático, a função de justificação carrega consigo a função de explicação pelo

viés das exigências demonstrativas. Vejamos o exemplo: um aluno memoriza uma

determinada tecnologia (teorema ou fórmula), chega a resolver certos tipos de

tarefas com essa tecnologia, mas, às vezes, não sabe explicar o porquê do

resultado encontrado, logo a técnica utilizada não faz sentido, pois não consegue

justificar através da tecnologia.

Teoria, representada por Θ, tem a função de justificar e tornar compreensível

uma tecnologia 𝜃. De acordo com a TAD, podemos dizer que a teoria Θ é a

tecnologia de sua tecnologia.

85

4.5 Níveis de organização praxeológica

Uma organização praxeológica (OP) pode se apresentar em níveis

diferenciados, segundo as necessidades de resolução do problema apresentado.

Baseando-nos na descrição de Chevallard (1999, p. 226), temos os níveis de

organização praxeológica (OP) pontual, local, regional e global, que estão

intimamente relacionados aos níveis de co-determinação didática. O nível global

está situado nos níveis de co-determinação didática mais abrangentes, de civilização

ou até de disciplina, pois se encontra em um patamar de atividades mais genéricas e

complexas, assim como o nível regional, que pode se encontrar nos níveis de

determinação didática área/domínio e setor. Já o nível local se encontra no âmbito

do estudo em que existe um tema mais específico, e, nessa mesma direção, o nível

pontual é voltado à resolução de um assunto/questão.

A seguir, apresentaremos um esquema dos níveis de OP relacionados aos

níveis de co-determinação didática, para melhor esclarecimento:

Figura 31 - Níveis de Organização Praxeológica (OP)

Fonte: Adaptado de MACHADO, 2011, p. 90

Para exemplificarmos o funcionamento desses níveis de organização

praxeológica, vamos usar uma tarefa (Τ5) de nossas análises: “O perímetro de um

quadrado é diretamente proporcional ao seu lado?”

86

As técnicas empregadas para a resolução da mesma constituem uma OP

pontual. Dizemos que é pontual porque, para resolver essa tarefa, foi preciso lançar

mão de técnicas consideradas satisfatórias para a obtenção da resposta, como

testar, observar, identificar, relacionar e demonstrar, com relação direta entre o

“saber fazer” e o “saber”. Isso significa dizer que ocorreu a posse de certos

conhecimentos e informações, ou até mesmo de saberes sobre grandezas

proporcionais e perímetro, justificando, dessa forma, as técnicas empregadas,

baseando-se em tecnologias e teorias presentes no currículo escolar de Matemática,

materializadas através dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), Currículo de

Matemática do Estado de São Paulo, dos livros didáticos e Cadernos de Matemática

dos Alunos e Professores.

Esclarecemos que essa OP pontual está institucionalizada na aula de

Matemática do professor, ou talvez também na sala de aula de outros docentes de

Matemática de outras escolas que utilizam o mesmo livro didático, o mesmo

Caderno do Aluno e do Professor.

Uma OP pontual passa a ser local quando surgem novas técnicas associadas

ao tipo de tarefa, como no exemplo dado, porém utilizamos as mesmas tecnologias

e teorias. E conforme muda a abrangência, a OP também muda.

Nossa pesquisa tem como foco a organização praxeológica pontual, por isso,

vamos analisar como são institucionalizadas as noções de área e perímetro

presentes nos Cadernos de Matemática dos Alunos e Professores da rede Pública

do Estado de São Paulo.

4.6 Organização matemática ou praxeologia matemática

A Teoria Antropológica do Didático (TAD), de Chevallard (1999), fornece

instrumentos para investigar e modelar a atividade matemática, sendo um

instrumento adequado para a nossa análise de tarefas.

As praxeologias matemáticas ou organização matemática, dizem respeito aos

objetos matemáticos em termos de tarefa, técnica, tecnologia e teoria.

87

Segundo a TAD, uma praxeologia é constituída de dois blocos: um bloco

prático-técnico [T, 𝜏] e um bloco tecnológico-teórico [𝜃, Θ]. O bloco prático-técnico

constitui o saber fazer, e o tecnológico-teórico, o saber.

O emprego da TAD, em particular, a organização matemática proposta por

Chevallard (1996) se justifica nesta pesquisa por ser uma teoria que tem por objetivo

fornecer princípios de base que podem ser empregados no estudo dos conteúdos de

Grandezas e Medidas, especificamente os de área e perímetro, contidos nos

Cadernos de Matemática do Aluno e Professor dos anos finais do Ensino

Fundamental.

Segundo Chevallard, Bosch e Gascón (2001), uma obra matemática surge

sempre como resposta a uma questão ou a um conjunto de questões. Conforme os

autores, poderíamos dizer que a resposta matemática para uma questão se

cristaliza em um conjunto organizado de objetos ligados entre si por diversas inter-

relações, isto é, em uma organização matemática. Essa organização é o resultado

final de uma atividade matemática que, como toda atividade humana, apresenta dois

aspectos inseparáveis: a prática matemática ou “práxis”, que consta de tarefas e

técnicas, e o discurso fundamentado ou “logos” sobre essa prática, que é constituído

por tecnologias e teorias.

Para esses autores, elaborar uma praxeologia matemática supõe para

qualquer “estudante”, seja matemático pesquisador ou aluno de Matemática, entrar

em um processo de estudo que, como tal, não “é um processo homogêneo, mas

está estruturado em diferentes momentos”.

Cada momento do processo de estudo faz referência a uma dimensão ou aspecto da atividade de estudo, mais do que a um período cronológico preciso. Portanto, os momentos estão distribuídos de uma forma dispersa ao longo do processo de estudo e não podem ser vividos “de uma só vez”. (ALMEIDA, 2012, p. 93)

Reiteramos que para o nosso estudo nos apoiaremos nos conceitos previstos

da TAD, os quais serão empregados na análise do nosso objeto de pesquisa, pois a

Teoria Antropológica do Didático tem seu foco nos três temas primitivos, que são: os

objetos (O), as pessoas (X) e as instituições (I).

88

O objeto (O) da pesquisa: entendemos que são os conteúdos de área e

perímetro contidos nos Cadernos de Matemática do Aluno e do Professor dos anos

finais do Ensino Fundamental.

As pessoas (X): de acordo com a TAD, podem ser representadas por alunos e

professores que utilizam esses Cadernos de Matemática.

As instituições (I): de acordo com a TAD, podem ser representadas por um

curso, escola, os autores desses Cadernos de Matemática usados pelos alunos e

professores.

4.7 Praxeologia didática ou organização didática (OD)

A praxeologia didática tem por objetivo permitir a existência de uma

praxeologia matemática relativa a um determinado saber, isto é, ela permite a

(re)construção de uma determinada praxeologia matemática, articulando-se também

em torno de tipos de tarefas, de técnicas, de tecnologias e de teorias.

De acordo com Chevallard (1999), as praxeologias didáticas ou organizações

didáticas (OD) são as respostas às questões do tipo: Como realizar o estudo do

objeto área e perímetro nos Cadernos de Matemática da Rede Pública do Estado de

São Paulo? Quais critérios se devem usar para selecionar as tarefas de área e

perímetro? Como podemos montar o quadro de análise para facilitar a compreensão

dos dados mostrados?

Dessa forma, o que possibilita a realização do estudo de determinado tema e

o conjunto de tipos de tarefas, de técnicas, de tecnologias nessa praxeologia

didática.

De acordo com Chevallard (1999), qualquer que seja o caminho de estudo,

certo tipos de situações estão necessariamente presentes, que serão chamadas de

momentos de estudo ou momentos didáticos, porque qualquer que seja o caminho

seguido, o objetivo de ensinar deve ser concretizado.

A noção de momento foi introduzida por Chevallard (1999) para descrever

uma organização didática, e remete, apenas aparentemente, à estrutura temporal do

processo de estudo. O sentido da palavra “momento” é, de início, multidimensional,

89

um fator no processo multifatorial. Os momentos didáticos são, primeiramente, uma

realidade funcional do estudo, antes de serem uma realidade cronológica. Segundo

a Teoria Antropológica do Didático (TAD), quando se pretende descrever uma

organização didática em torno de um objeto matemático, qualquer que seja o

caminho desse estudo, certos tipos de situações, momentos de estudo ou

momentos didáticos podem ocorrer simultaneamente, pois, como não existe uma

sequência pré-definida para sua ocorrência, podem-se repetir no decorrer do estudo.

Em seguida, iremos apresentar a proposta da pesquisadora francesa Aline

Robert (1998) referente aos três Níveis de conhecimentos esperados pelos

estudantes, a saber: nível técnico, nível mobilizável e nível disponível. Vale

relembrar que Aline Robert não tem uma teoria, e sim, uma proposta que é aceita

por pesquisadores da área de Educação Matemática.

4.8 Os três níveis de funcionamento do conhecimento delineados por Aline Robert

Consideramos importante identificar os níveis de conhecimentos esperados

dos estudantes, presentes nos Cadernos de Matemática, referentes às tarefas de

área e perímetro.

Para compreendermos melhor as expectativas institucionais em relação ao

trabalho matemático desenvolvido, iremos utilizar também como referencial teórico

de apoio a noção de níveis de conhecimentos esperados pelos estudantes, segundo

a proposta de Aline Robert (1998).

Robert (1998) propõe uma ferramenta de análise que permite a nós,

pesquisadores e professores, considerarmos os conhecimentos que poderão ser

esperados pelos estudantes em uma determinada etapa escolar. Dessa forma, é

esperado que o estudante mobilize conhecimentos para a resolução de tarefas

propostas, respeitando o nível de escolaridade em que se encontra.

Essa abordagem teórica é importante para esta pesquisa, uma vez que, por

meio dela, tentamos buscar indicativos do que se exige em termos de mobilização

de conhecimentos matemáticos em relação aos conteúdos de área e perímetro

presentes nas tarefas selecionadas dos Cadernos de Matemática do Aluno e do

90

Professor. Assim, a abordagem teórica da autora, articulada à TAD, nos permitirá

uma análise didática sobre o que é solicitado aos alunos e quais exigências de

mobilização de conhecimentos matemáticos estão presentes nas tarefas em análise.

Em algumas pesquisas, como as de Santos (2008, 2010), verificamos que os

níveis de conhecimento podem figurar como um forte elemento no momento de

professores e futuros professores compreenderem as dificuldades de seus alunos,

ou seja, como ocorre a aquisição de conhecimento e o trabalho com as noções

matemáticas aprendidas anteriormente no momento em que os alunos precisam

resolver tarefas que nem sempre apresentam, de forma explícita, a noção em jogo.

Concordamos com Santos (2008) que “os estudos de Robert não representam uma

teoria de aprendizagem e sim um caminho para possibilitar uma nova estratégia

didática para o ensino” (Ibidem, p.23).

Vamos explicitar o que Robert (1998) considera a respeito do funcionamento

dos níveis de conhecimento dos educandos quando se espera que estes articulem

conhecimentos já aprendidos com os novos, introduzidos, e que possam utilizá-los

futuramente, apresentando autonomia no momento de fazer a escolha a respeito da

ferramenta mais adequada para se resolver a situação proposta.

Segundo Robert (1998), os três níveis de conhecimentos esperados dos

educandos são: nível técnico, nível mobilizável e nível disponível.

O nível técnico corresponde a um trabalho único e simples, ou seja, a um

trabalho mais restrito e não muito rebuscado. Nesse nível, os elementos são claros,

explicitam aplicações imediatas, que podem ser teoremas, fórmulas, propriedades,

definições, etc. Nele, o estudante seria capaz de saber responder corretamente uma

tarefa sem a intervenção do professor, em que relaciona às definições ou conceitos

já conhecidos para a realização da tarefa. Segundo Robert (1988), as

contextualizações se fazem de forma simples e não requerem etapas, trabalho

preliminar de reconhecimento ou adaptações.

Exemplo: Calcular a área do quadrado indicado na figura, sabendo que cada

unidade corresponde a 1m²

91

Figura 32- Quadrado com representação de 4 m²

Fonte: Autora.

É possível perceber que a noção em jogo - calcular a área do quadrado - está

explícita na tarefa. Os alunos precisam apenas contar a quantidade de quadradinhos

que formam o quadrado maior.

Vejamos outro exemplo dado por Teixeira (2013), em sua dissertação

referente à análise de questões do Saresp:

Figura 33 - Exemplo de tarefa associada ao nível técnico

Fonte: TEIXEIRA, 2013, p. 58

Segundo Teixeira (2013), nessa tarefa, é possível perceber que a noção em

jogo - identificação de um sistema de equações de 1º grau - está explícita, ou seja,

os alunos precisam apenas fazer o reconhecimento do sistema de equações do 1º

grau que melhor representa a situação. Este item pode ser classificado no nível

técnico por apresentar nas alternativas os sistemas já elaborados; isso torna mais

simples a contextualização e também não exige adaptações para a resolução do

item.

O nível mobilizável corresponde ao início de justaposição de saberes de um

domínio de certos conhecimentos, podendo até corresponder a uma organização.

92

Segundo Robert (1988), esse nível permite ao aluno reconhecer o elemento

matemático, ou seja, o que é solicitado ainda é claro, e esse aluno deve mobilizar

conhecimentos matemáticos de forma a adaptá-los para a resolução da situação

proposta. Se um saber estiver bem identificado e for bem utilizado pelo aluno,

mesmo que seja necessária a adaptação ao contexto particular, ele é considerado

mobilizável. Vejamos o exemplo:

A área de um quadrado mede 81 cm². Quanto mede o perímetro desse

mesmo quadrado?

A noção em jogo está explícita, porém, cabe ao estudante reconhecê-la, ou

seja, identificar a figura mencionada no enunciado da tarefa, buscar em seus

conhecimentos anteriores o conceito de área do quadrado para efetuar o que foi

solicitado.

Este outro exemplo foi dado por Teixeira (2013) em sua pesquisa, para

exemplificar o nível mobilizável.

Figura 34 - Exemplo de tarefa do nível mobilizável

Fonte: TEIXEIRA, 2013, p. 59.

De acordo com a pesquisadora, é possível observar nesta tarefa que o

solicitado - soma dos ângulos internos de um polígono - ainda está explícito, porém,

antes da resolução é necessário que os alunos realizem certa adaptação. Na

93

resolução desta tarefa, o aluno precisa retomar a ideia de que um quadrado é um

quadrilátero que possui cada um de seus ângulos internos com medida de 90º, uma

vez que a indicação de ângulo reto não se encontra na figura fornecida. A partir da

verificação que o ângulo em C mede 90º, precisa ainda verificar que esse ângulo é

alterno interno ao triângulo, e que, por consequência, um dos ângulos conhecidos do

triângulo é 90º. Com base nesse reconhecimento e considerando que a soma dos

ângulos internos de um triângulo equivale a 180º, o aluno teria ˆˆ 90º 180ºa b que

resulta em 90º, que é a soma dos ângulos ˆa b .

Entendemos que a solução para esta tarefa não é imediata e não depende

apenas da soma dos ângulos internos de um triângulo. Ocorre todo um processo de

mobilização de conhecimentos anteriores que o aluno precisa retomar para resolver

a tarefa proposta. Esses conhecimentos devem estar disponíveis na mente do aluno.

A autora afirma a estrita relação da construção da disponibilidade com o nível

mobilizável:

[..] a disponibilidade de conhecimentos está intimamente ligada à organização de conhecimentos [..]: essa organização traduz e ao mesmo tempo implica essa organização. Esta disponibilidade se constrói e se ancora, sem dúvida, no funcionamento do nível mobilizável, e mesmo técnico. Concordamos muito de fato com a importância desta dimensão, que nos serve para referenciar o grau de organização de conhecimentos (solicitados ou a construir), pois pensamos que não é preciso negligenciar qualquer desses três níveis no ensino. (ROBERT, 1998, p. 30)

Percebemos que na citação acima, Robert (1988) mostra a importância da

dimensão dos níveis de funcionamento do conhecimento esperado do aluno com

relação à organização desses conhecimentos, além de evidenciar como o

funcionamento do nível mobilizável é necessário para a construção da

disponibilidade dos conhecimentos necessários.

Para Robert (1988), o nível disponível se refere a um saber em que o

estudante responde corretamente o que lhe é proposto, sem indicações, isto é, ele é

capaz de buscar outros caminhos para resolver a tarefa e dar contra- exemplos para

justificar a sua ideia, articular diferentes noções matemáticas, fazendo as relações

necessárias entre elas. Nesse nível, existe a familiaridade com o conhecimento de

situações de referência diferentes.

94

Exemplo:

Em um terreno retangular com 20 m de largura e 15 m de comprimento, será

construída uma quadra para a prática de esportes. Deseja-se deixar uma faixa de

largura constante para a calçada. A área interna à faixa deverá ter 216 m². Qual a

largura da faixa?

Esse tipo de tarefa se torna um desafio para o aluno, uma vez que precisa

mobilizar outros conhecimentos matemáticos para resolvê-la. A questão em jogo não

está explícita e necessita buscar outras representações, transpor métodos para

articular os conteúdos envolvidos. O aluno deve retomar a ideia de retângulo e suas

dimensões, bem como determinar a medida de sua área, esboçar ou imaginar a

situação apresentada pela tarefa, para poder encontrar uma equação apropriada

para a resolução.

Para melhor ilustrar o nível disponível, vamos utilizar outro exemplo do

trabalho de Teixeira (2013):

Figura 35 - Exemplo de tarefa do nível disponível

Fonte: TEIXEIRA, 2013, p. 60.

Neste exemplo da Figura 35, segundo Teixeira (2013), é possível perceber

que a noção em jogo - ideia de proporcionalidade - que pode ser obtida pelo

Teorema de Tales, não está explícita. O Teorema de Tales é determinado pela

intersecção entre retas paralelas e transversais, que formam segmentos

proporcionais. Temos três retas paralelas cortadas por uma transversal. Como a

95

igualdade entre duas razões forma uma proporção, o cálculo será resolvido através

de uma simples multiplicação, ou de acordo com a propriedade das proporções: o

produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Sendo assim:

É preciso que o aluno busque em seus conhecimentos construídos

anteriormente a ferramenta mais útil para a solução do item, ou seja, existe uma

justaposição de saberes que precisam estar organizados para serem mobilizados.

Segundo Santos (2008, 2010), com base em Robert (1998), a aprendizagem

deve estar associada à articulação dos três níveis, ou seja, o aluno deve mobilizar

conhecimentos do nível técnico, que é a ferramenta explícita para a solução das

tarefas em que a noção em jogo deve ser utilizada. Porém, para mobilizar

conhecimentos do nível mobilizável ou disponível, é preciso buscar situações de

referência que poderão auxiliar no reconhecimento da noção em jogo, assim como a

representação mais adequada do objeto para o desenvolvimento da tarefa proposta.

É importante relembrar que para os estudantes mobilizarem esses níveis de

conhecimentos, faz-se necessário o domínio de diferentes representações de

objetos matemáticos e o uso da linguagem própria desse domínio.

Ao propor os níveis de funcionamento do conhecimento, Robert (1998)

evidencia uma ferramenta de análise em relação às dificuldades dos alunos. Alguns

professores ainda aplicam questões de resolução imediata, nível técnico, ou

questões padronizadas. Repetem o mesmo tipo de exercício inúmeras vezes. Dessa

forma, e também por vários outros motivos, não conseguem descobrir quais são as

reais dificuldades de seus alunos.

Essa abordagem teórica nos desperta interesse, pois indica implicitamente

que, quando professores compreendem as dificuldades de seus alunos, o processo

de ensino e aprendizagem ocorre de outra forma. O fato pode não ser que os alunos

não aprendam, e sim, que talvez não saibam o que fazer com as ferramentas

matemáticas em situações distintas daquelas habituais trabalhadas nas aulas de

Matemática (SANTOS, 2010).

96

Conforme Teixeira (2013), a proposta de Robert (1998) introduz elementos

auxiliares na reflexão sobre a abordagem das questões matemáticas a fim de

melhorar a qualidade de ensino e aprendizagem, e possibilitar formas de os

estudantes alcançarem os três níveis de funcionamento.

Em nossa pesquisa, pretendemos verificar se nas diferentes etapas da

escolaridade dos anos finais do Ensino Fundamental (6º ao 9º), as tarefas atendem

aos três níveis delineados por Robert (1998), em particular, as que abordam as

noções de área e perímetro.

97

CAPÍTULO 5 - ANÁLISE DAS TAREFAS DE ÁREA E PERÍMETRO

Neste capítulo, será apresentada a análise do nosso objeto de estudo contido

em oito Cadernos de Matemática do Aluno (6º ano ao 9º ano do Ensino

Fundamental), aceitos nas escolas Públicas do Governo do Estado de São Paulo.

Analisaremos também os Cadernos dos Professores, nos quais identificamos as

técnicas, tecnologias e teorias sugeridas aos professores como suporte pedagógico,

com o objetivo de responder à nossa questão de pesquisa: O que revelam os

Cadernos de Matemática do Aluno e Professor em relação às noções de área e

perímetro nos anos finais do Ensino Fundamental? Uma vez que a nossa

pergunta de pesquisa é “Como são institucionalizadas as noções de área e

perímetro de acordo com o Currículo do Estado de são Paulo para os anos finais do

Ensino Fundamental?”

Para respondermos a essa questão de pesquisa, analisamos nesses

Cadernos de Matemática do Aluno e do Professor todas as Situações de

Aprendizagem15, em particular, as que tratam do estudo de área e perímetro,

especificamente ou articulado com outros conteúdos. Com a análise dos gêneros de

tarefas, tipos de tarefas, de técnicas, tecnologias e das teorias aplicadas nessa

abordagem, temos o objetivo de descrever como se articulam as organizações

matemáticas, as quais constituem as praxeologias pontuais que modelam o estudo

do nosso objeto de pesquisa, que são as noções de área e perímetro. De acordo

com a Teoria Antropológica do Didático, a praxeologia matemática está diretamente

ligada ao saber-fazer no sentido de produzir; porém, a praxeologia didática se refere

ao fazer no sentido de agir. Nesse contexto, para elaborar uma praxeologia

matemática, o matemático ou a pessoa interessada precisa de uma praxeologia

didática (CHEVALLARD, 2001, p. 254). Vale relembrar que os objetos ostensivos e

não ostensivos fazem parte das praxeologias e que esses objetos ostensivos estão

associados à tarefa e à técnica utilizada (linguagens da praxeologia: escritural,

figural, gráfica, verbal, gestual entre outras).

15

Situações de Aprendizagem: é o nome dado à cada sequência didática referente a um determinado conteúdo a

ser trabalhado.

98

Para complementarmos a análise, vamos nos apoiar na proposta de Aline

Robert (1998), referente aos níveis de conhecimentos esperados dos estudantes, e

analisar se as tarefas contemplam os três níveis, conforme a autora sugere. De

acordo com Robert (1988), espera-se que os alunos articulem conhecimentos já

aprendidos com os novos, e que possam utilizá-los futuramente, apresentando

autonomia no momento de fazerem a escolha a respeito da ferramenta mais

adequada para resolverem a situação proposta.

Essa abordagem teórica nos desperta interesse, pois indica implicitamente

que, quando professores compreendem as dificuldades de seus alunos, o processo

de ensino e aprendizagem ocorre de outra forma, ou seja, o fato pode ser de que

talvez os alunos não consigam manipular as ferramentas matemáticas adequadas

em situações distintas (SANTOS, 2010).

Chevallard, Bosch e Gáscon (2001) afirmam que o fato de se ensinar

Matemática nas escolas responde a uma necessidade ao mesmo tempo individual e

social, ou seja, cada um de nós tem o dever de saber um pouco de Matemática para

poder resolver, ou quando muito, reconhecer os problemas com os quais nos

deparamos na convivência com os demais. A presença da Matemática na escola se

torna uma consequência de sua presença na sociedade e, portanto, as

necessidades matemáticas que surgem na escola deveriam estar subordinadas às

necessidades matemáticas da vida em sociedade.

Respeitamos as ideias dos autores acima, porém, não concordamos que o

ensino de Matemática na escola tenha que ser subordinado somente às

necessidades matemáticas da vida em sociedade, e sim, também, para a vida em

sociedade e para um conhecimento maior que permite inserir na pesquisa científica.

5.1 Gênero das tarefas de área e perímetro

De acordo com a Teoria Antropológica do Didático (TAD), a noção de tarefa

supõe um objetivo relativamente preciso, por exemplo: ligar a televisão é um tipo de

tarefa; da mesma forma, calcular o perímetro de um terreno retangular é também um

tipo de tarefa. Nesse sentido, “ligar” assim como “calcular” são gêneros de tarefas.

99

De acordo com Chevallard (1999), as tarefas desempenham um papel

importante na aquisição de um conteúdo conceitual; a análise das tarefas propostas

pelos Cadernos de Matemática do Aluno e do Professor assume um papel

fundamental no estudo das práticas humanas que influenciam no processo de

aprendizagem da Matemática, pois, segundo o autor, essas tarefas, além de

promoverem a interação e colaboração entre alunos e professores, podem

determinar parte da organização praxeológica a respeito do conteúdo a ser

estudado.

Para selecionar as tarefas dos oito Cadernos de Matemática dos Alunos, foi

necessário ler com atenção cada uma delas. Observou-se os verbos explícitos ou

implícitos envolvidos nas tarefas e com isso, agrupamos os dados em uma tabela.

Na tabela, (CA) significa Caderno do Aluno e os pares de números (a,b)

representam o ano e o volume respectivamente. É importante identificar o gênero da

tarefa (verbo), pois ele indica o que tem que ser feito.

Na tabela abaixo, encontram-se os gêneros utilizados nas tarefas dos oito

Cadernos de Matemática do Aluno de Ensino Fundamental (6º ao 9º ano). Foram

selecionadas as tarefas desses Cadernos de Matemática que dependiam da noção

ou conceito de área e perímetro para resolvê-las, e foram anotados os verbos que

apareceram no enunciado de cada tarefa.

Tabela 1- Gênero de tarefas

Gênero de

Tarefas dos

CAn,p16

CA6,1

CA6,2

CA7,1

CA7,2

CA8,1

CA8,2

CA9,1

CA9,2

Calcular 0 0 0 4 1 3 7 0 15

Comparar 0 0 0 0 0 3 0 0 3

Deduzir 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Demonstrar 0 0 0 0 0 1 0 0 1

Desenhar 0 8 0 0 1 0 0 0 1

Determinar 0 1 0 2 3 4 3 2 15

16

CAn,p- Caderno do Aluno. n corresponde ao ano/ série (6º ano, 7º ano, 8º ano e 9º ano) e p corresponde ao

volume 1 ou 2.

100

Escrever 0 0 0 3 2 2 3 0 10

Representar 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Verificar 0 0 0 0 2 0 0 1 3

TOTAL 0 9 0 10 9 13 13 3

Fonte: Autora

Os dados numéricos do quadro se referem às quantidades de tarefas

exclusivas ou articuladas ao conceito de área e perímetro encontradas no Caderno

de Matemática do Aluno. O importante aqui não é a quantidade, e sim, quais os

gêneros utilizados pelo nosso objeto de análise e o que eles representam para a

resolução de cada tarefa.

Os verbos utilizados nas tarefas dos Cadernos de Matemática do Aluno

foram: calcular, comparar, deduzir, demonstrar, desenhar, determinar, escrever,

representar e verificar. Nos Cadernos de Matemática do 6º ano e do 7º ano, volume

1 (CA6,1 e CA7,1), não encontramos tarefas exclusivas nem articuladas às noções de

área e perímetro. As tarefas exclusivas aos conteúdos de área e perímetro,

conforme o Currículo de Matemática, estão nos Cadernos de Matemática do 6º ano,

8º ano e 9º ano, todos no volume 2 referentes aos 3º e 4º bimestres. Os Cadernos

de Matemática dos 8º e 9º anos, volume 1 apresentam as noções de área e

perímetro articuladas a outros conteúdos específicos do Currículo de Matemática.

Com a descrição dos gêneros de tarefas apresentados na tabela, percebemos

que na maioria dos casos, o tipo de tarefa é definido por um verbo: calcular,

comparar, deduzir, descrever, mostrar, desenhar, descrever, determinar, entre

outros. A identificação desses gêneros (verbos) ajuda a facilitar a compreensão do

enunciado da tarefa.

A noção de tarefa supõe um objetivo relativamente preciso, como, por

exemplo, subir uma rampa; mas subir, somente, não é tarefa. Calcular a área ou o

perímetro de um quadrado de lado l é um tipo de tarefa, mas calcular, somente, não

é.

Vamos apresentar um quadro individual para cada tarefa selecionada,

separada por série/ano e volume, com uma análise posterior embasada na Teoria

101

Antropológica do Didático (TAD), objetos ostensivos e não ostensivos, e por fim, os

níveis de conhecimentos esperados dos alunos, de acordo com a proposta de

Robert (1998).

As técnicas aplicadas na resolução dessas tarefas constituem o bloco prático-

técnico (saber fazer), e as tecnologias e teorias empregadas nas aplicações dessas

técnicas constituem o bloco tecnológico-teórico (saber).

Bloco prático-técnico: nesse bloco, pretendemos mostrar quais técnicas foram

associadas para a resolução da tarefa. De acordo com Chevallard (1999), uma

praxeologia relativa à tarefa T precisa (em princípio) de uma maneira de realizar, ou

seja, uma forma de executar determinada tarefa.

Bloco tecnológico-teórico: é nesse bloco que justificamos as técnicas

empregadas para a realização de um determinado tipo de tarefa. Para Chevallard

(1999), uma tecnologia é um discurso racional, que tem como primeira função

justificar a técnica, de modo que ela permita executar tarefas do tipo T i. Assim,

definimos o bloco tecnológico-teórico como sendo aquele que justifica a técnica em

uma tarefa.

De acordo com a Teoria Antropológica do Didático (TAD), os objetos

ostensivos são as ferramentas das técnicas, tecnologias e teorias, pois sem o

emprego dessas ferramentas a ação não pode ser realizada. A identificação dos

objetos ostensivos (linguagem escritural, figural, gráfica) nas tarefas pode ser

percebida em seus enunciados, ou seja, pela forma como a tarefa é apresentada.

Os objetos não ostensivos estão relacionados aos conhecimentos teóricos

envolvidos na resolução de cada tarefa, ou seja, as ideias, os conceitos, as noções.

Todo discurso tecnológico se concretiza pela manipulação de objetos ostensivos e

não ostensivos. Os objetos ostensivos permitem materializar as explicações e

justificativas necessárias ao desenvolvimento da tarefa.

Em relação à classificação dos Níveis de conhecimentos esperados, de

acordo com a proposta de Robert (1997): técnico, mobilizável e disponível, poderá

ter outra classificação pelo leitor, pois dependerá do nível de conhecimento do

mesmo em relação ao nosso objeto de estudo.

102

As análises apresentadas foram feitas por série/ano para que os resultados

fossem mais significativos, ou seja, não vamos misturar as tarefas do 6º ano com as

do 9º ano, por exemplo.

5.2 Análise das tarefas dos cadernos de matemática do 6º ano do ensino

fundamental

As tarefas a serem utilizadas nas análises foram retiradas dos Cadernos de

Matemática (6º ao 9º ano). O volume 1 se refere aos conteúdos matemáticos

contidos na grade do primeiro e segundo bimestres, e o volume 2, aos conteúdos do

terceiro e quarto bimestres, conforme os quadros de conteúdos contidos nos

Cadernos do Professor e Currículo de São Paulo, apresentados no Capítulo 3. Para

que as análises não ficassem repetitivas, optamos por selecionar tarefas que

pudessem contribuir para o conhecimento de outros pesquisadores a partir da

abordagem teórica escolhida para esta pesquisa.

As tarefas foram selecionadas a partir das seguintes perguntas:

- Envolve o conhecimento de área ou perímetro para resolver a tarefa?

- As outras tarefas envolvem o mesmo gênero ou técnica, ou seja, são

semelhantes utilizando apenas valores diferentes?

- A tarefa valoriza o conteúdo de área ou perímetro?

- A tarefa apresenta algum problema no enunciado envolvendo o conteúdo de

área ou perímetro?

- A tarefa pode ser classificada em qual nível de conhecimento esperado pelo

aluno?

- Qual a técnica, tecnologia e teoria estão associadas à tarefa?

Essas questões nortearam a seleção das tarefas, para que a análise não

parecesse repetitiva e pudesse contribuir para a compreensão e percepção da

abordagem teórica escolhida para esta pesquisa.

103

As tarefas 1, 2 e 3 fazem parte da “Situação de Aprendizagem 3”17, cujo tema

é Geometria e frações . No Caderno do Professor, página 37, encontram-se as

orientações para essas tarefas. Essa Situação de Aprendizagem trata da

classificação de figuras geométricas e introduz a discussão sobre área e perímetro

utilizando como suporte o geoplano ou a malha quadriculada. O geoplano ou a

malha quadriculada é também utilizado como recurso auxiliar para o estudo de

frações através de figuras geométricas.

Quadro 3 - Tarefa 1 (retirada do Caderno do Aluno, 6º ano, v. 2, p. 31)

Tarefa (Τ)1 Geral: Geometria e frações com Geoplano ou malha

quadriculada.

Técnica (𝜏)

Ostensivos

Desenhar em uma malha quadriculada ou geoplano figuras

que ocupam 4 quadradinhos.

Linguagem18: escritural e figural.

Tecnologia (𝜃) Manipulação de malha quadriculada ou geoplano.

Não ostensivos

Teoria (Θ)

Fração. Conceito de área.

Nível de

Conhecimento

Nível Mobilizável.

Fonte: Autora.

Para Baltar e Lima (2010), o trabalho com malha é um excelente contexto

para o estudo do conteúdo de área e perímetro, e está muito presente nos livros

17

Situação de Aprendizagem: refere-se às sequências de atividades separadas por temas presentes no Caderno de

Matemática do Aluno e suas devidas orientações no Caderno do Professor. 18

Linguagem dos objetos ostensivos: De que forma a tarefa é apresentada e como pode ser resolvida.

104

didáticos e no nosso material de análise. No entanto, esse trabalho pode ser bem

mais diversificado quando articulado com outros conceitos matemáticos, pois ajuda

a facilitar a compreensão dos alunos em distinguir área de perímetro.

De acordo com a Teoria Antropológica do Didático, uma obra matemática

surge sempre como uma resposta a uma tarefa T ou a um conjunto de tarefas Ti. De

acordo com essa teoria, podemos dizer que a resposta matemática para um tipo de

tarefa se cristaliza em um conjunto de objetos ligados entre si por diversas inter-

relações, as quais constituem as técnicas.

Discurso prático-técnico [T1,𝜏1]: a tarefa T1 faz uso da malha quadriculada

para que o aluno desenhe figuras geométricas, ocupando apenas 4u². Para que esta

tarefa seja realizada com sucesso, é necessário mobilizar o conceito de área (ou

espaço ocupado), conhecer diferentes figuras geométricas possíveis de ser

desenhadas com área igual a 4 e deduzir que a diagonal divide a área de um

“quadradinho” ao meio; do contrário, de nada adiantaria a tecnologia empregada na

tarefa. De acordo com a praxeologia matemática, o conjunto tecnologia-teoria deve

justificar a técnica.

Discurso tecnológico-teórico [𝜃1, Θ1]: na resolução do tipo de tarefa T1, o

gênero da tarefa é “desenhar” e emprega o conceito de área já estudado em anos

anteriores, articulado com o estudo de frações, pois nem todas as figuras ocupam

um quadradinho inteiro, surgindo, então, a ideia de metade. É aplicada apenas uma

técnica, que é a utilização da malha quadriculada, com base no fato de que ela seja

suficiente para a visualização das frações. Os objetos ostensivos e não ostensivos

garantem a existência da tecnologia e teoria nesta T1, pois, além de mobilizarem

seus conhecimentos referentes às figuras geométricas para poder reproduzi-las,

devem evocar o conceito de área e frações (ou a ideia de metade) para não limitar a

resolução.

O nível de conhecimento esperado pelo estudante, segundo nossa análise, é

o mobilizável, pois mesmo que o aluno não precise desenvolver cálculos, faz-se

necessário articular outros conhecimentos, como, por exemplo, a noção de

“metade”, referente ao estudo de frações, que são conteúdos desse bimestre, para

desenhar as figuras. Está explícito no enunciado da tarefa o que deverá ser feito.

105

Cabe salientar que, se professores e alunos não atentarem ao objetivo da tarefa,

nossa análise será passível de mudanças, considerando a possibilidade de serem

trabalhados apenas quadriláteros.

A figura abaixo mostra uma das possíveis soluções:

Figura 36 - Possível solução da tarefa 1

Fonte: Caderno do Professor, 6º ano, v. 2, p. 41.

Existem muitas possibilidades diferentes, e é importante que os alunos

possam compartilhar e discutir os resultados. É fundamental que o professor

estimule seus alunos a criarem figuras diferentes, podendo explorar as ideias de

fração, conforme sugere o Caderno do Professor. O Caderno do Professor não é

uma “receita”, apenas mostra caminhos para o professor se orientar e adaptar as

técnicas de acordo com a necessidade de seus alunos.

Sabe-se que o Caderno do Aluno é um material não muito utilizado pelos

professores, talvez pela falta de conhecer mais afundo ou pela forma que foi

apresentado, porém é um material, em nossa opinião, muito bom.

106


Tarefa (Τ)2 Geral: Geometria e frações com Geoplano.

Técnica (𝜏)

Ostensivos

Desenhar em uma malha quadriculada ou geoplano quadrados que

ocupem 2 unidades de lado e 6 unidades de lado.

Linguagem: escritural e figural.

Tecnologia (𝜃) Desenhar em uma malha quadrados com as medidas solicitadas e

comparar as imagens obtidas.

Não

ostensivos

Teoria (Θ)

Medidas de comprimento. Área.

Nível de

Conhecimento

Nível Técnico.

Fonte: Autora.

Na resolução do tipo de tarefa T2, identificamos a ideia de comprimento,

medida do lado de um polígono. A utilização da malha quadriculada está presente

nesta tarefa como um meio para resolver e comparar as medidas. A técnica é

semelhante à T1.

Discurso prático-técnico [T2,𝜏2]:o discurso racional aplicado na resolução

deste tipo de tarefa T2 mobiliza alguns conceitos matemáticos a fim de garantir a

imagem desejada da figura para posterior comparação. O emprego dessa técnica

leva à ampliação da figura por meio do desenho em uma malha quadriculada, onde

o aluno poderá contar a quantidade de quadradinhos utilizados sem necessidade de

107

usar fórmulas. A aplicação dessa técnica deve levar o aluno a multiplicar os valores

do comprimento pela largura, para chegar mais rápido ao resultado esperado. A

parte visual também contribui para o aluno perceber as diferenças entre as figuras e

estabelecer conjecturas para diferenciá-las.

Discurso tecnológico-teórico [𝜃2, Θ2]: o discurso que fundamenta o tipo de

técnica 𝜏2 baseia-se no fato de que um quadrado tem lados de mesma medida, e

para desenhar outro quadrado com o triplo da medida do lado, não teremos o triplo

da área, e sim, nove vezes o valor da área anterior, pois temos a razão 3 elevado ao

quadrado.

A classificação da tarefa T2 nos Níveis de conhecimentos esperados pelos

estudantes analisados por nós também está no nível técnico, segundo a definição de

Robert (1998). A tarefa é apresentada na linguagem escrita e é oferecida a malha

quadriculada para que o aluno desenvolva a atividade. Ao pedir o triplo da medida

do lado do quadrado anterior, já mostra o valor correto, que é seis. Não há

necessidade de fórmula para calcular a área; basta contar os quadradinhos ou

multiplicar as duas dimensões dos lados do quadrado, obtendo a partir de um

quadrado de lado 2u uma área de 4u², e do quadrado de lado 6u, uma área

correspondente a 36u².

De acordo com as orientações presentes no Caderno do Professor, página

41, os alunos deverão repetir a tarefa com outras medidas do quadrado inicial e

outros comandos para o lado no novo quadrado (“o dobro do anterior”, “o quádruplo

do anterior”, “a metade do anterior”); pode-se pedir a eles que formulem uma

hipótese sobre o que acontece com a área de um quadrado se multiplicar seu lado

por certo número. Registrando e comparando o padrão dos resultados, os alunos

poderão perceber que a área será multiplicada pelo quadrado do número. Com isso,

a tarefa que estava no nível técnico poderá passar para o nível mobilizável ou

disponível.

108


Tarefa (Τ)3 Geral: Geometria e frações com Geoplano.

Técnica (𝜏)

Ostensivos

Desenhar em uma malha quadriculada ou geoplano

polígonos como retângulo, triângulo, hexágono, com as

medidas dadas em u² para cada um.


Tecnologia (𝜃) Identificar cada polígono pedido e desenhar cada um com a

área solicitada em uma malha quadriculada.

Não ostensivos

Teoria (Θ)

Polígonos e Área.

Nível de

Conhecimento

Nível Técnico para os itens a, b, d e f.

Nível Mobilizável para os itens c e e.

Fonte: Autora.

Na resolução do tipo de tarefa T3 (conjunto de tarefas) apresentada no

Caderno do Aluno, são empregados também conceitos de área de polígonos

109

regulares, com a ideia de espaço ocupado. Identificamos ainda que é aplicada

apenas uma técnica para resolver a tarefa.

Discurso prático-técnico [Τ3, 𝜏3]: o discurso racional aplicado na resolução

deste tipo de tarefa T3 mobiliza o conceito de área a partir da ideia de espaço

ocupado. Isso pode garantir a representação correta da figura solicitada com sua

respectiva área em u². Ao empregar essa técnica, o aluno deverá ficar atento às

medidas solicitadas, pois o triângulo, o paralelogramo e o hexágono ocupam metade

de alguns quadradinhos. O emprego dessa técnica deve levar o aluno a deduzir

posteriormente a fórmula para calcular a área. A aplicação dessa técnica mostra que

para calcular a área de um retângulo, por exemplo, deve-se multiplicar a medida do

comprimento pela largura, e que a área de um triângulo corresponde à metade da

área de um retângulo ou paralelogramo. Outro modo de executar a tarefa T3 é contar

a quantidade de quadradinhos e perceber que a metade de um quadradinho mais a

metade de outro quadradinho corresponde a um inteiro.


técnica 𝜏3 baseia-se no fato de que a área ocupada por cada polígono corresponde

à quantidade de quadradinhos que compõem a figura, aplicando-se os

conhecimentos já adquiridos para cada polígono apresentado.

No Caderno do Professor, não identificamos outras técnicas para a resolução

das tarefas, mas sim, sugestões de como explorar as figuras para somar e subtrair

frações, através da malha quadriculada e posteriormente relacionar os eixos (x,y).

De acordo com a proposta de Robert (1998), esta tarefa em nossas análises

foi considerada nível técnico para os itens a, b, d e f, pois não é necessário

mobilizar e adequar outros conhecimentos matemáticos para resolvê-la. Os itens c e

e foram classificados como nível mobilizável, pois há necessidade de adequação de

conhecimentos matemáticos para a representação correta da figura. Apesar de estar

explícito no enunciado da tarefa o que é para ser feito na malha quadriculada, os

itens não podem ser considerados todos como pertencentes ao nível técnico.

A Figura 37 mostra a solução encontrada no Caderno do Professor, cuja

única orientação dada é que a tarefa pode ser usada para o estudo de adição e

110

subtração com frações, desde que se estabeleça uma orientação semelhante ao

plano cartesiano (SÃO PAULO, 2014, p. 42).

Figura 37 - Solução da tarefa 3

Fonte: Caderno do Professor, 6º ano, v.2, p. 42.

De acordo com Baltar e Lima (2010), as atividades relacionadas ao ensino de

área e perímetro devem ser diversificadas, ou seja, apresentadas de outras

maneiras. As tarefas trabalhadas até o momento só utilizaram desenhos em malhas;

são necessários outros tipos de técnicas para que o aluno possa comparar e

formular conjecturas e estabelecer relações mais concisas dos conceitos

explorados.

A tarefa 4 encontra-se no grupo de tarefas presentes na Situação de

Aprendizagem 4 com o tema “Perímetro, área e arte usando malhas geométricas”.

As ideias de perímetro e área são apresentadas nessa Situação de Aprendizagem

por meio da composição e da decomposição de figuras na malha geométrica.

111


Tarefa (Τ)4 Geral: Área e perímetro.

Técnica (𝜏)

Ostensivos

Usar a medida do lado do triângulo como unidade de

comprimento.


Tecnologia (𝜃)

Determinar o perímetro e a área de figuras através de uma

malha triangular.

Não ostensivo

Teoria (Θ)

Comprimento. Perímetro. Área.

Nível de

Conhecimento

Nível Técnico.

Fonte: Autora.

Na resolução do tipo de tarefa T4 presente no Caderno do Aluno,

identificamos a continuidade da utilização do conceito de área e perímetro das

figuras em um determinado tipo de malha. O material apresenta apenas a técnica da

utilização da malha triangular. A unidade de medida utilizada para o cálculo de área

112

é a de um triângulo, e para o comprimento, a medida do lado do triângulo, a qual

garante resolver este tipo de tarefa.


deste tipo de tarefa mobiliza os conceitos de área e perímetro já trabalhados nas

outras tarefas, porém, explora outro tipo de malha a fim de garantir a resolução

desta tarefa e mostrar que podemos adotar formas diferentes como unidade de

medidas.


técnica baseia-se no cálculo do perímetro e área de cada figura dada, tendo como

medida o triângulo da malha. Com isso, a malha é um facilitador para o

entendimento do conceito de área e perímetro.

Os objetos ostensivos presentes nesta tarefa aparecem no momento da

utilização da malha para representar o perímetro e a área, enquanto os objetos não

ostensivos estão presentes na evocação dos conceitos para distinguir área de

perímetro.

A tarefa pode ser classificada como técnica, de acordo com a proposta de

Robert (1998), pois não requer a mobilização de outros conhecimentos matemáticos

para sua resolução. Os perímetros das figuras 1, 2, 3, 4 e 5 são respectivamente:

4u, 6u, 6u, 8u e 6u. As áreas das figuras são respectivamente: 2u², 4u², 4u², 6u² e

6u².

Encontra-se no Caderno do Professor, página 50, a sugestão de explorar esta

tarefa para comparar área e perímetro de figuras diferentes, para que o aluno

perceba que podemos ter figuras de mesmo perímetro com áreas diferentes e de

mesma área com perímetros diferentes. A praxeologia de Chevallard e Bosch (1999)

nos permite olhar para uma tarefa e buscar outras técnicas para sua resolução, bem

como adaptar para a aprendizagem do aluno.

A tarefa 5 foi retirada do Caderno do Aluno, 7º ano, v.2, p. 6, pertencente à

Situação de Aprendizagem 1, e traz como conteúdo a ser abordado a

proporcionalidade, a variação diretamente proporcional, a variação inversamente

proporcional e razão de proporcionalidade. Através dessa Situação de

113

Aprendizagem 1, pretende-se que o aluno seja capaz de identificar situações em

que existe proporcionalidade entre grandezas, e de se apropriar da competência

leitora para interpretar os problemas (tarefas dadas).


Tarefa (Τ)5 Geral: Grandezas diretamente e inversamente proporcionais.

Técnica (𝜏)

Ostensivos

Analisar a tarefa com base na proporcionalidade.

Linguagem: escritural, verbal.

Tecnologia

(𝜃)

Compreender a relação de proporção articulada à noção de

perímetro de um quadrado.

Não

ostensivos

Teoria (Θ)

Grandezas diretamente proporcionais.

Nível de

Conhecimento


Fonte: Autora.

Na resolução do tipo de tarefa T5 do Caderno de Matemática do Aluno, a

noção de perímetro está articulada ao conteúdo de Grandezas Diretamente

Proporcionais. O aluno pode verificar essa proporção através de uma tabela ou

gráfico.


deste tipo de tarefa T5 mobiliza conhecimentos de proporção e perímetro, garantindo

a resolução da tarefa. O emprego dessa técnica leva à dedução da fórmula do

114

perímetro do quadrado. A aplicação dessa técnica mostra que o perímetro equivale

a quatro vezes a medida do seu lado.

Discurso tecnológico-teórico [𝜃5, Θ5]:o discurso que fundamenta o tipo de

técnica 𝜏5 baseia-se no fato de que todo quadrado possui lados com a mesma

medida. O cálculo de seu perímetro pode ser simplificado em quatro vezes a medida

do lado l, validando a proporcionalidade. Nesse sentido, o conceito de proporção

justifica a fórmula do perímetro do quadrado.

Segundo a proposta de Robert (1998), a tarefa pode ser classificada como

nível mobilizável, pois o aluno deve buscar caminhos para poder resolver e validar a

resposta. Este tipo de tarefa valoriza o conceito de proporção articulado ao conceito

de perímetro, mostrando ao aluno a importância de saber os conceitos matemáticos.

Para o aluno poder resolver esta tarefa, deverá saber que o perímetro de um

quadrado é igual a quatro vezes a medida de seu lado. Se o lado aumenta, o

perímetro aumenta proporcionalmente, concluindo que o perímetro de um quadrado

é diretamente proporcional à medida de seu lado, sendo a constante de

proporcionalidade igual a 4.

O Caderno do Professor, página 14, alerta o docente para o fato de que é

importante discutir com os alunos que a proporcionalidade direta ocorre quando a

variação resulta de um processo multiplicativo, e não aditivo, ou seja, ambas as

grandezas são multiplicadas pelo mesmo fator.

Vamos analisar a tarefa 6 representada no Quadro 8. Esta tarefa foi retirada

do Caderno do Aluno, 7º ano, v. 2, fazendo parte das tarefas (exercícios) da

Situação de Aprendizagem 6, cujos temas são Equações e Fórmulas, com o objetivo

de mostrar que as letras servem para representar números ou grandezas.


Tarefa (T)6

Geral: Equações e Fórmulas na Geometria.

115

Técnica (𝜏)

Ostensivos

Calcular o perímetro através de fórmula.


Tecnologia (𝜃) Compreender a aplicação da fórmula do perímetro de um

retângulo.

Não ostensivo

Teoria (Θ)

Perímetro do retângulo.

Nível de

Conhecimento

Nível Técnico.

Fonte: Autora.

Na resolução do tipo de tarefa T6 apresentada no Caderno de Matemática do

Aluno, espera-se que o aluno utilize as fórmulas apresentadas anteriormente para

calcular o perímetro da figura.


deste tipo de tarefa T6 mobiliza o conceito de perímetro do retângulo. A tarefa

fornece a figura e as medidas dos lados, facilitando a parte visual. O emprego dessa

técnica leva à aplicação da fórmula do perímetro ou ao conceito do perímetro de um

polígono, em específico, o do retângulo. A aplicação dessa técnica mostra que para

calcular o perímetro de qualquer retângulo, basta fazer “duas vezes a medida da

largura, mais duas vezes a medida do comprimento”, e algebricamente, pode ser

escrito por uma equação ou função: P= 2x + 2y.


técnica 𝜏6 baseia-se no fato de que o retângulo possui quatro lados, dois pares de

lados paralelos; sendo assim, suas medidas são congruentes. Com isso, é possível

116

escrever a equação ou função do perímetro do retângulo como: P=2x+2y ou P=

2.(x+y). Nesse sentido, esse conceito representa o discurso racional e justificativo da

técnica a qual garante a realização da tarefa.

A tarefa requer uma aplicação imediata de um conhecimento, sendo, então,

classificada como nível técnico em relação aos níveis de conhecimentos esperados.

Robert (1998) alerta que, ao privilegiar apenas tarefas no nível técnico, corre o risco

de, por exemplo, ao alterar um detalhe no enunciado de uma tarefa, fazer com que

os alunos não mais reconheçam a noção em jogo ou os procedimentos necessários

de resolução.

Identificamos na solução dada no Caderno do Professor e constatamos um

erro de escrita.

Figura 38 - Solução apresentada para a tarefa 6

Fonte: Caderno do Professor, 2014, 7º ano, v.2, p. 70.

Primeiramente, a tarefa traz em seu enunciado que está partindo de uma

situação concreta, a qual não conseguimos identificar. Ao mostrar a resolução da

tarefa, não utiliza as unidades de medidas dos lados do retângulo, sendo que a

escrita correta para o cálculo do perímetro é: P= 4 cm + 4 cm + 6 cm + 6 cm = 20

cm. Salientamos aqui a importância da escrita correta para que os alunos não

desenvolvam obstáculos na aprendizagem, pois a unidade de medida tem que

constar na resposta da tarefa.

117

Conforme o Caderno do Professor, página 68, o docente deverá alertar seus

alunos para o fato de que as letras servem para representar um valor numérico

qualquer. A fórmula do perímetro do quadrado pode ser escrita como P= 4.l e o

aluno deve perceber que substituindo a letra l por qualquer valor numérico positivo,

que representa a medida do lado de um quadrado, obterá como resultado o

perímetro desse quadrado.

A tarefa 7 também faz parte das tarefas (exercícios) da Situação de

Aprendizagem 6, trazendo em seu enunciado a fórmula para calcular a área de um

triângulo retângulo. É a primeira vez que essa fórmula é apresentada ao aluno,

como também as nomenclaturas cateto e hipotenusa.

Para melhor visualização da tarefa, ela será escrita também fora do Quadro 9,

antes do início da análise apresentada. Segue o enunciado: “A fórmula para o

cálculo da área de um triângulo qualquer é 𝐴 = 𝑙.ℎ

2, onde A representa a medida da

área; l, a medida de um lado; e h, a medida da altura de um triângulo em relação a

esse lado. Considere o triângulo ABC, de catetos a e b e hipotenusa c, representado

ao lado” (ver a figura do triângulo).


Tarefa (T)7

Geral: Fórmulas na Geometria.

118

Técnica (𝜏)

Ostensivos

Utilização da fórmula para calcular a área do triângulo.

Linguagem: escritural, algébrica19 e figural.

Tecnologia (𝜃) Desenvolver a fórmula que permite calcular a área de um

triângulo retângulo.

Não ostensivos

Teoria (Θ)

Área de triângulo. Triângulo retângulo.

Nível de

conhecimento

Nível Técnico para os itens b e c.

Nível Mobilizável para o item a (perpendicular e catetos).

Fonte: Autora.

Na resolução do tipo de tarefa T7 do Caderno do Aluno, usa-se a fórmula para

calcular a área de um triângulo retângulo. O texto que faz parte da tarefa mostra a

expressão algébrica e a figura associada para explicar a fórmula. Essa técnica é

oferecida de modo a garantir a resolução da tarefa.


deste tipo de tarefa T7 mobiliza conhecimentos relacionados ao cálculo de área de

um triângulo, em especial para esta tarefa. O emprego dessa técnica leva à dedução

da fórmula através da relação com o triângulo retângulo dado. A aplicação dessa

técnica mostra que os catetos do triângulo retângulo podem representar a base e a

altura dessa figura.


técnica 𝜏7 baseia-se no fato de que é possível deduzir a fórmula e calcular a área do

triângulo através da comparação. É necessário que o aluno mobilize conhecimentos

sobre o cálculo de áreas de triângulos, especificamente, do triângulo retângulo.

19

Linguagem algébrica: utilização de formulas, expressões, equações.

119

O nível de conhecimento esperado nesta tarefa pode ser classificado como

nível técnico para os itens b e c, pois requer uma aplicação imediata da fórmula

apresentada. Para o item b, o aluno vai multiplicar as duas medidas dadas e dividir o

resultado por dois, obtendo 𝐴 = 3 𝑐𝑚 .4 𝑐𝑚

2= 6 𝑐𝑚² e, respectivamente, para o item c,

obtendo 𝐴 = 28 𝑐𝑚 .32 𝑐𝑚

2= 448 𝑐𝑚². O item a foi considerado nessa análise como

sendo nível mobilizável, pois, apesar de aparentar uma aplicação imediata, envolveu

conhecimentos matemáticos não vistos pelos alunos até o momento e, como

verificamos, não faz parte dos conteúdos desse ano. Apesar de o aluno ter de

comparar uma fórmula com os lados da figura, esse item deixa de ser uma aplicação

imediata devido às possíveis dificuldades em entender os significados das palavras

“perpendicular”, “cateto” e “hipotenusa”.

A tarefa 8 faz parte da Situação de Aprendizagem 6, que está no volume 1 do

8º ano. Essa Situação de Aprendizagem tem como conteúdos e temas: produtos

notáveis; trinômio quadrado perfeito; diferença de quadrados; área e perímetro de

figuras planas. O uso de letras para representar as medidas dos lados de uma figura

geométrica é um recurso importante na formação algébrica dos alunos.


Tarefa (T)8

Geral: Produtos Notáveis: significados geométricos.

“Observe as figuras a seguir e represente a área de cada

retângulo por duas expressões algébricas equivalentes:”

Técnica (𝜏) Escrever uma expressão algébrica que represente a área de

120

Ostensivos

cada retângulo, por composição e decomposição de figuras.

Linguagem: escritural, algébrica e figural.

Tecnologia

(𝜃)

Verificar que x é fator comum permitindo escrever x(a+7+y) que

é igual a ax+7x+yx. Generalização de determinadas

propriedades relacionadas ao perímetro ou à área dessas

figuras.

Não

ostensivos

Teoria (Θ)

Produtos Notáveis. Área de retângulo.

Níveis de

Conhecimento


Fonte: Autora.

A resolução do tipo de tarefa T8 presente no Caderno do Aluno utiliza-se de

conhecimentos de área do retângulo e multiplicação de polinômios. O Caderno do

Professor prioriza o trabalho com os polinômios, pois é o conteúdo em foco a ser

trabalhado, porém, solicita que o professor retome conceitos necessários para a

resolução da tarefa.


deste tipo de tarefa T8 mobiliza conceitos de área do retângulo, produtos notáveis,

multiplicação de um monômio por um trinômio. O emprego dessa técnica leva à

utilização da multiplicação e soma de polinômios para encontrar a equação que

represente a área da figura apresentada. A aplicação dessa técnica favorece o uso

da fatoração e escritas diferentes de uma mesma situação.


técnica 𝜃8 baseia-se no fato de que para determinar a área de um retângulo,

conforme mostrado na tarefa, é necessário multiplicar a medida do comprimento

pela medida da largura. O conceito de área é usado para articular a aplicação dos

produtos notáveis e multiplicações de polinômios, como a escrita de uma expressão

ou equação algébrica.

A tarefa é classificada no nível mobilizável de acordo com os níveis de

conhecimentos esperados pelos alunos, defendidos por Robert (1998), pois a noção

121

matemática, que é a representação da área de figuras geométricas por meio de

equações algébricas, apesar de estar explícita no enunciado da tarefa, exige outras

noções matemáticas, como a multiplicação e soma de polinômios e a equivalência

das expressões obtidas. Para que os alunos possam fazer uso dessa técnica, é

necessário que eles conheçam a fórmula da área de figuras geométricas básicas,

como o quadrado e o retângulo.

No Caderno do Professor, páginas 54 são fornecidas as seguintes soluções

apresentadas na Figura 39.

Figura 39 - Solução do item “a” da tarefa 8


Assim, essa situação nos permite escrever que x.(a + 7 + y) = ax + 7x + yx.

De maneira análoga para a solução do item b.

Figura 40 - Solução do item "b" da tarefa 8

122


A tarefa 9 ainda aborda o conteúdo de produtos notáveis articulados à área

de um retângulo.


Tarefa (T)9

Geral: Produtos Notáveis.

Técnica (𝜏)

Ostensivos

Representar através de figuras geométricas a área equivalente do

retângulo definida pela expressão x(y-3).


Tecnologia (𝜃) Interpretar enunciados, transpor ideias relacionadas à Álgebra para a

Geometria.

Não ostensivos

Teoria (Θ)

Área do retângulo. Representação de uma figura geométrica.

Níveis de Técnico

123

Conhecimento

Fonte: Autora.

Na resolução do tipo de tarefa T9, verificamos a manipulação do conceito de

área para a representação geométrica através da expressão algébrica dada. É

importante que o aluno saiba relacionar a fórmula do cálculo da medida da área com

a expressão fornecida, definindo o que representa o comprimento e a largura.

Discurso prático-técnico [Τ9, 𝜏9]:o discurso racional aplicado na resolução

deste tipo de tarefa T9 mobiliza o conceito de área e expressão equivalente à

expressão algébrica dada a fim de garantir o conteúdo matemático abordado, ou

seja, a multiplicação de polinômios. A representação geométrica da área do

retângulo é um meio de o aluno encontrar outras formas de escrever a área da

figura. O emprego dessa técnica leva o educando a visualizar expressões

equivalentes através do cálculo da área do retângulo. A aplicação dessa técnica

mostra que é possível compor e decompor a figura e escrever suas expressões

equivalentes sem alterar a área final.


técnica 𝜏9 baseia-se no fato de que podemos compor ou decompor uma imagem e

calcular a sua área final sem alterar os resultados através das expressões algébricas

dadas envolvendo as noções de produtos notáveis e multiplicação de polinômios.

Nesse sentido, o conteúdo abordado representa um discurso racional e justificativo

da técnica, a qual garante a realização da tarefa em jogo.

Podemos observar na tarefa analisada que a noção matemática -expressão

da área de um retângulo - está explícita, e que para representar geometricamente

essa expressão, o aluno precisa apenas identificar que os termos da multiplicação

se referem às medidas da base e da altura da figura, o que nos permite classificar

esta tarefa no nível técnico. Nesse caso, o aluno deve perceber que o fator comum é

o x, portanto, ele será a medida do lado comum na construção do retângulo, e que a

outra medida deve ser (y-3). Esta tarefa pode ser resolvida da seguinte maneira:

Figura 41- Solução da tarefa 9

124


Com base na área do retângulo de lados x e y, podemos observar que

𝑥. (𝑦 − 3) = 𝑥𝑦 − 3𝑥, o que evidencia a propriedade distributiva da multiplicação com

relação à subtração.

A tarefa 10 encontra-se no volume 2 do 8º ano na Situação de Aprendizagem

1, cujo tema é: “Expandindo a linguagem das equações”. A inequação do primeiro

grau é um dos conteúdos contemplados nessa Situação de Aprendizagem.

Para facilitar a leitura, apresentamos o enunciado da tarefa 10, conforme o

Quadro 12: “A figura indica uma folha de latão que será usada na montagem de uma

peça (as medidas estão em metros). Determine todos os valores possíveis de x (em

metros) para que o perímetro da folha seja maior ou igual a 64 m.”


Tarefa (T)10

Geral: Equações e Inequações.

Determinar valores para uma variável x, de modo que o perímetro

seja maior ou igual a 64m.

125

Técnica (𝜏)

Ostensivos

Escrever uma inequação de acordo com os dados da tarefa.

Somar as medidas da figura por composição ou decomposição

de retângulos.


Tecnologia (𝜃) Resolução da inequação do primeiro grau articulada ao conceito

de perímetro.

Não ostensivos

Teoria (Θ)

Soma de polinômios. Noção de inequação. Perímetro.

Níveis de

Conhecimento

Mobilizável.

Fonte: Autora.

Na resolução do tipo de tarefa T10, empregam-se conceitos de soma de

polinômios, inequações do primeiro grau e perímetro. Identificamos também que é

possível usar mais de uma técnica para escrever o perímetro dessa figura usando a

decomposição.

Discurso prático-técnico [T10,𝜏10]: o discurso racional aplicado neste tipo de

tarefa T10 mobiliza diversos conceitos matemáticos a fim de garantir o emprego da

inequação do primeiro grau para encontrar um intervalo de valores que satisfaça a

situação apresentada. O emprego dessa técnica leva à soma de polinômios para

determinar os possíveis valores de x para que o perímetro seja maior ou igual a

64m. A aplicação dessa técnica mostra que é possível encontrar um intervalo de

números reais para que a solução seja verdadeira.

126


técnica 𝜏 baseia-se no fato de que é possível compor ou decompor a figura em

retângulos e somar as medidas dadas para escrever a inequação que dará suporte à

resolução da tarefa. A inequação é escrita em função do perímetro dessa figura,

tornando-se um articulador entre os conteúdos abordados para esta tarefa. Nesse

sentido, a noção de perímetro e inequação do primeiro grau representa o discurso

racional e justifica a técnica utilizada, a qual garante a realização da tarefa.

O nível de conhecimento esperado, segundo nossas análises, está

classificado como mobilizável, pois o aluno precisa mobilizar diversos

conhecimentos matemáticos e adaptá-los para chegar a um valor e interpretá-lo.

Verificamos que é necessário saber como calcular o perímetro da figura apresentada

e identificar a aplicação de inequação do primeiro grau para chegar à resposta

esperada.

A Figura 42 mostra a solução dada à tarefa analisada. Percebemos que a

parte destacada em vermelho pode levar o aluno ao erro, pois não é para calcular o

valor de x para o perímetro da peça, e sim, os possíveis valores de x para o

perímetro da placa.


Fonte: Caderno do Professor, 2014, v.2. p. 22.

Dois aspectos devem ser destacados pelo professor na introdução ao estudo

das inequações. Em primeiro lugar, é importante que o professor evite a formulação

de regras, como “multiplica por negativo e troca o sinal da desigualdade”, sem que

antes tenha sido trabalhada com segurança uma compreensão significativa de tal

127

“regra prática”. Em segundo lugar, deve procurar, na medida do possível,

problematizar o uso das inequações em situações concretas de resolução de

problemas.

A tarefa 11 foi retirada do volume 2 do 8º ano da Situação de Aprendizagem 2

com os conteúdos e temas referentes a: coordenadas; plano cartesiano; pares

ordenados; transformações geométricas. Através dessa Situação de Aprendizagem

2, pretende-se que o aluno seja capaz de localizar pontos e figuras geométricas no

plano cartesiano e conhecer as principais características do plano cartesiano.


Tarefa (T)11

Geral: Coordenadas no Plano Cartesiano: representação de

figuras.

“Observe as figuras geométricas representadas no plano a

seguir. Podemos localizá-las por meio de coordenadas

horizontais e verticais. Por exemplo, os vértices do quadrado

ABCD têm as coordenadas A (6;5), B (4;7), C (2;5) e D (4;3)”

Técnica (𝜏)

Ostensivos

Calcular a área de cada uma das figuras contando os

quadradinhos e, em determinados casos, aplicando a fórmula

de área da figura.


128

Tecnologia (𝜃) Identificação de cada figura através das coordenadas.

Utilização da malha quadriculada para o cálculo de algumas

áreas.

Não

ostensivos

Teoria (Θ)

Noção de par ordenado. Plano cartesiano. Área de figuras

geométricas no plano.

Níveis de

Conhecimento


Fonte: Autora.

Na resolução do tipo de tarefa T11, empregam-se conceitos de par ordenado e

sua representação no plano cartesiano. Um conjunto de pares ordenados formam as

figuras geométricas no plano, conforme mostra a tarefa T11. O objetivo da tarefa é

calcular a área de cada figura plana em um plano cartesiano representado em uma

malha quadriculada. A utilização de malhas quadriculadas, segundo Baltar (2000), é

um facilitador para o aluno visualizar e reconhecer cada par ordenado, bem como

buscar técnicas para encontrar a área das figuras apresentadas.

Discurso prático-técnico [T11,𝜏11]: o discurso racional aplicado na resolução

deste tipo de tarefa T11 mobiliza conceitos matemáticos relacionados ao plano

cartesiano, como a representação de um ponto (x,y), a representação de uma figura

geométrica no plano através da união desses pontos, formando segmentos de retas

limitados por dois pontos. O emprego dessa técnica leva ao cálculo das áreas por

meio de contagem dos quadradinhos para três figuras ou aplicação de fórmulas para

todas as quatro. A aplicação dessa técnica mostra que é possível calcular a área

das figuras por contagem de quadradinhos ou por aplicação de fórmulas, porém,

para aplicar as fórmulas, além de conhecê-las, é necessário calcular as medidas de

comprimento e altura dadas pela distância de dois pontos.


técnica 𝜏 baseia-se no fato de que é possível calcular a área das quatro figuras

através de suas medidas obtidas no plano cartesiano; vimos que também é possível

calcular as áreas com a aplicação de fórmulas; com o auxílio da malha quadriculada

torna-se mais fácil encontrar as medidas dos lados dessas figuras. O triângulo (LMN)

necessita da aplicação da fórmula da área de triângulo, pois fica difícil de deduzir as

129

partes não inteiras. Nesse sentido, essa aplicação de fórmulas facilita o cálculo de

áreas de determinadas figuras planas, pois a técnica de contar os quadradinhos não

é suficiente para resolver toda a tarefa.

O nível de conhecimento esperado pelos alunos nesta tarefa foi classificado

como nível mobilizável. Consideramos em nossas análises que para calcular a área

do quadrado, do triângulo retângulo e do retângulo, basta contar os quadradinhos,

porém, a superfície da figura cobre a parte quadriculada do plano cartesiano,

dificultando a contagem dos quadradinhos da figura do quadrado, por exemplo. Para

calcular a área do triângulo escaleno (cor roxa), o aluno necessita um pouco mais de

conhecimento matemático, pois a contagem dos quadradinhos não garante o valor

correto da área, devendo recorrer não só à fórmula, mas também aos valores da

base e da altura da figura.

O Caderno do Professor traz apenas o resultado da área de cada figura e não

consta nenhuma orientação específica para o trabalho do professor, contendo

algumas falhas, segundo nossa análise.


Fonte: Caderno do Professor, 2014, v.2, p. 32.

Para o quadrado ABCD, foi dado como resposta de medida da área o valor

numérico 8, sem a unidade de medida correspondente, e assim sucessivamente,

para a figura do triângulo EFG, retângulo HIJK e triângulo LMN. A forma correta

seria 8 u², 12 u², 18 u² e 12 u², considerando cada quadradinho com 1 u², já que não

foi definida a unidade de medida a ser utilizada.

A tarefa 12 encontra-se na Situação de Aprendizagem 5 no Caderno do

Aluno, conforme indicação do Quadro 14. Os conteúdos e temas relacionados a

essa Situação de Aprendizagem são: áreas de figuras planas representadas em

malhas; áreas de triângulos e quadriláteros. Essa Situação de Aprendizagem tem

por objetivo explorar e ampliar as ideias e processos aprendidos para o cálculo da

130

área de figuras, refinando o olhar do aluno sobre a identificação dos termos

essenciais para esse cálculo (medidas da base, da altura e das diagonais).


Tarefa (T)12

Geral: Áreas de figuras Planas.

“Trapézio é todo quadrilátero convexo que tem apenas dois

lados paralelos. No trapézio GALO, dado a seguir, B é a

medida da base GA (base maior) e b, a medida da base LO

(base menor). A altura do trapézio é indicada por h e

representa a distância entre as bases. A área do trapézio é

representada pela expressão: 𝐴 = (𝐵+𝑏).ℎ

2 . Encontre

uma maneira de demonstrá-la, tomando a figura como

referência”

Técnica (𝜏)

Ostensivos

Composição de figuras.


Tecnologia (𝜃)

Desenvolver a noção intuitiva da equivalência de polígonos,

servindo de apoio às deduções das fórmulas para o cálculo da

área do paralelogramo e do trapézio.

Não ostensivos

Teoria (Θ)

Equivalência de área. Área de trapézio e paralelogramo.

Níveis de

Conhecimento


Fonte: Autora.

Na resolução do tipo de tarefa T12, empregam-se conceitos de área do

trapézio e área do paralelogramo, apesar de ser dada a fórmula. O objetivo da tarefa

131

não é calcular a área, mas sim, provar a fórmula através da composição de figuras

pela equivalência de polígonos.


deste tipo de tarefa T12 mobiliza conhecimentos matemáticos referentes à

congruência de figuras, noção de área de um trapézio e paralelogramo para a

compreensão da fórmula dada. Para garantir o desenvolvimento desta tarefa, a

noção intuitiva da equivalência de polígonos se apresenta como central, servindo de

apoio às deduções das fórmulas para o cálculo das áreas. O emprego dessa técnica

leva à dedução da fórmula da área do trapézio, que permite calcular a área dessa

figura. A aplicação dessa técnica mostra que é possível compor uma figura e deduzir

a fórmula a partir de outra já conhecida.


técnica 𝜏 baseia-se no fato de que podemos compor a figura do trapézio e formar um

paralelogramo. A área do trapézio corresponde à metade da área desse

paralelogramo, sendo possível relacionar as medidas das bases e da altura, obtendo

a fórmula (𝐵+𝑏).ℎ

2. Nesse sentido, a prova dessa fórmula representa o discurso

racional e justificativo da técnica, a qual garante a realização da tarefa.

Consideramos que esta tarefa se enquadra no nível mobilizável, pois, apesar

de parecer simples, requer habilidades de provar as fórmulas através da composição

de figuras, noção de equivalência de polígonos, conhecimentos matemáticos de

figuras e fórmulas de áreas.

De acordo com o Caderno do Professor, página 81, uma das possibilidades

de resolver a tarefa é compor um paralelogramo a partir da justaposição de um

trapézio congruente ao lado, segundo a figura:


132

Fonte: Caderno do Professor, 2014, v. 2, p. 81.

Com base no paralelogramo formado, o aluno pode verificar que a área

procurada corresponde à metade da área do paralelogramo, deduzindo a fórmula da

área do trapézio: 𝐴 = (𝐵+𝑏).ℎ

2.

As tarefas a seguir, de números 13 a 16, foram retiradas dos volumes 1 e 2

do 9º ano, conforme as indicações de cada quadro utilizado para as análises. A

tarefa 13 se encontra na Situação de Aprendizagem 5, seus conteúdos e temas

relacionados são: solução de equações do 2º grau; solução geral da equação do 2º

grau; desenvolvimento da fórmula de Bháskara. Esta tarefa foi selecionada por usar

o cálculo de área como conteúdo articulador para a aprendizagem das equações do

2º grau.


Tarefa (T)13

Geral: Equações do 2º grau.

“Um canteiro na forma de um quadrado foi reduzido de modo a

ser contornado por uma calçada com 2 m de largura, conforme a

figura a seguir. Com isso, sua área passou a ser de 144 m².

Qual era a medida da área original desse canteiro?”

133

Técnica (𝜏)

Ostensivos

Encontrar a medida do lado do quadrado por meio da equação

do 2º grau.


Tecnologia (𝜃) Encontrar a medida do lado do quadrado maior.

Não

ostensivos

Teoria (Θ)

Produtos notáveis. Equação do 2º grau. Raiz quadrada. Área do

quadrado.

Níveis de

Conhecimento


Fonte: Autora.

Na resolução do tipo de tarefa T13, empregam-se conhecimentos da noção de

área do quadrado, produtos notáveis, equação do 2º grau e cálculo de raiz

quadrada. O Caderno do Professor sugere apenas uma técnica, que é por meio de

equação, porém, a tarefa pode ser resolvida por outra técnica, sem a utilização de

uma equação do 2º grau.


deste tipo de tarefa T13 mobiliza diversos conceitos matemáticos a fim de garantir o

emprego da equação do 2º grau para o cálculo da área total, a partir da área

mostrada na figura. O emprego dessa técnica leva à utilização do cálculo de raízes

quadradas e aplicação da fórmula da área de um quadrado. Outra técnica que

observamos é calcular a medida do lado do quadrado menor e somar 4 m (2 m de

cada lado), obtendo 16 m, então, a área do quadrado maior é 16 m vezes 16 m, que

é igual a 256 m². Essa técnica não é sugerida no Caderno do Professor, pois o

134

objetivo da tarefa apresentada é a aplicação da equação do 2º grau. Os empregos

dessas técnicas levam à resolução da tarefa articulados ao conceito de área de

figuras planas.


técnica 𝜏 baseia-se na área do quadrado (lado x lado), ou seja, um valor x

multiplicado por ele mesmo representa a área de um quadrado, e para encontrarmos

a medida desse lado, basta calcular a raiz quadrada dessa medida. A área total

também pode ser obtida através de uma equação do 2º grau; se x for considerado a

medida do quadrado maior, com a redução de 2 m de cada lado, o quadrado menor

terá (x-4) de lado. Portanto, é possível escrever a equação (x-4)² = 144. Para

encontrar a solução da equação, o aluno poderá recorrer a várias técnicas: cálculo

mental; extrair a raiz quadrada dos dois membros da igualdade; resolver usando a

fórmula geral de resolução de uma equação do 2º grau. Nesse sentido, o conceito

de área e a equação do 2º grau representam um discurso racional e justificativo da

técnica, a qual garante a realização da tarefa.

A tarefa T13 foi classificada em nossa análise como sendo do nível

mobilizável, pois, mesmo sabendo o que precisa ser calculado, o aluno necessita

encontrar uma técnica para resolver a tarefa, adequando seus conhecimentos

matemáticos. Por exemplo: calcular a raiz quadrada do número 144 m² (área do

quadrado é igual a l x l = l²), pois esse valor representa a medida do lado desse

quadrado menor. Se a calçada tem 2 m de largura, o aluno deverá somar o valor de

4 m (2 m + 2 m) com os 12 m (medida do lado do quadrado menor), obtendo a

medida de 16 m para o lado do quadrado maior. Fazendo o produto de 16 m x 16 m,

encontrará a resposta de 256 m².

A solução encontrada no Caderno do Professor é a seguinte:

Figura 45 - Solução para a tarefa 13

135


O valor para x= -8 não pode ser a medida do lado de um quadrado, mesmo

satisfazendo a equação. A resposta correta será 16 cm.

O objetivo aqui não é encontrar erros, porém, é importante que o professor

fique atento às respostas dadas. Durante a resolução da equação não foi utilizada a

unidade de medida metros (m), e na apresentação do resultado final, mostrou o

valor de 16 cm, e na verdade, o valor da medida da área do quadrado maior seria

igual a 256 m².

A tarefa a seguir se encontra no volume 2 do 9º ano e faz parte das tarefas da

Situação de Aprendizagem 3. Os conteúdos e temas dessa Situação de

Aprendizagem são: Teorema de Pitágoras; relações métricas nos triângulos

retângulos. As fórmulas são mostradas através das semelhanças de triângulos.

136


Tarefa (T)14

Geral: Relações métricas no triângulo retângulo e Teorema de

Pitágoras.

“Uma embalagem de pizza tem a forma de um prisma

hexagonal regular de 3 cm de altura, tendo o lado do hexágono

da base de 18 cm. Qual é a área de papelão para construir a

parte de baixo da caixa em que a pizza vem acomodada?”

Técnica (𝜏)

Ostensivos

Calcular a área de um triângulo equilátero. Encontrar a área de

um prisma de base hexagonal a partir da área de um triângulo

equilátero.


Tecnologia (𝜃) Aplicar as relações métricas entre as medidas dos elementos

de um triângulo retângulo.

Não ostensivos

Teoria (Θ)

Prisma. Área do triângulo equilátero. Relações métricas em um


Níveis de

Conhecimento

Nível Disponível.

Fonte: Autora.

Na resolução do tipo de tarefa T14, emprega-se a noção de prisma, articulada

ao conceito de área por meio das relações métricas em um triângulo retângulo. O

137

Caderno do Professor apresenta apenas uma técnica de resolução, que é a

aplicação das relações métricas já apresentadas anteriormente aos alunos.


deste tipo de tarefa T14 mobiliza diversos conceitos matemáticos a fim de garantir o

emprego da aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo equilátero que forma o

hexágono representado pelo fundo da caixa de pizza. O emprego dessa técnica leva

à dedução da fórmula da altura de um triângulo equilátero: 𝑙√3

2, necessária para

calcular a área do triângulo. A aplicação dessa técnica mostra que é possível

calcular a área de um hexágono regular através da área de um triângulo equilátero,

ou seja, essa área é seis vezes o valor da medida da área de um de seus triângulos.

A lateral total da caixa é formada por seis retângulos, já que a figura é um prisma. A

área total do fundo da caixa é a soma da área do hexágono regular com a área da

lateral.


técnica 𝜏 baseia-se no fato de que todo hexágono regular possui seis triângulos

equiláteros em sua formação. Conhecendo a medida do lado desse triângulo, com a

aplicação do Teorema de Pitágoras, encontra-se a medida da altura para calcular a

área de um triângulo. O procedimento é necessário para calcular a área da figura

hexagonal. As laterais da caixa de pizza são formadas por retângulos, cujas

dimensões foram dadas no enunciado da tarefa. Nesse sentido, esse Teorema

representa o discurso racional e justifica a técnica, a qual garante a realização da

tarefa.

Esta tarefa foi classificada em nossa pesquisa como nível disponível, de

acordo com os níveis de conhecimentos esperados, pois o aluno deve transpor os

dados escritos no enunciado e também da figura. A caixa tem um fundo hexagonal e

as laterais retangulares, informações estas que não estão explícitas no enunciado. O

aluno deve mobilizar conhecimentos matemáticos e buscar caminhos para resolver a

tarefa, chegando a um valor aproximado de 1166 cm², ou expressar a resposta sem

substituir o número irracional √3.

A Figura 46 mostra a solução encontrada no Caderno do Professor:

138

Figura 46 - Solução para a tarefa 14


Percebe-se que na tarefa 14, a figura apresentada é plana e o aluno tem que

calcular a área da parte de um prisma, pois não inclui a área da tampa dessa caixa.

Consideramos que a representação figural pode induzir o aluno ao erro durante a

resolução.

A tarefa 15 faz parte das tarefas (exercícios) presentes na Situação de

Aprendizagem 3, em que o objetivo é trabalhar as relações métricas no triângulo

retângulo.

Quadro 17 - Tarefa 15 (retirada do Caderno do Aluno, 9º ano, v.2, p. 34)

Tarefa (T)15

Geral: Relações métricas no triângulo retângulo.

“Um terreno tem a forma de um retângulo de catetos 30 m e 40

m. Seu proprietário deseja construir uma casa na região

retangular representada na figura a seguir, deixando livre o

restante da área.”

139

Pergunta-se:

a) Qual é a área total do terreno?

b) Qual é a área da região retangular do terreno?

Técnica (𝜏)

Ostensivos

Calcular as áreas de retângulos e triângulos.

Linguagem: escritural, figural.

Tecnologia (𝜃) Aplicar as relações métricas nos triângulos retângulos para

calcular áreas.

Não ostensivos

Teoria (Θ)

Área de triângulo e retângulo. Relações métricas em um


Níveis de

Conhecimento

Item a: Nível Técnico.

Item b: Nível Mobilizável.

Fonte: Autora.

Na resolução do tipo de tarefa T15, empregam-se conceitos de área de figuras

planas articuladas às relações métricas no triângulo retângulo. O Caderno do

Professor apresenta duas técnicas de resolução, que são a aplicação da fórmula da

área do triângulo e a aplicação dessas relações métricas para a resolução do item

“b”.

Discurso prático-técnico [T15,𝜏15]: o discurso racional aplicado na resolução da

tarefa T15 do item “a” mobiliza apenas o conhecimento da aplicação da fórmula da

área de um triângulo: 𝐴 =𝑏.ℎ

2. Essa área corresponde ao total do terreno

representado na figura. O discurso racional aplicado na resolução da tarefa do item

“b” mobiliza conhecimentos matemáticos referentes à noção de área de retângulo

associada às relações métricas em um triângulo retângulo. A aplicação dessa

140

técnica mostra a necessidade de conhecer essas relações métricas, identificar e

escolher qual deverá ser usada para resolver a tarefa dada.


técnica desta tarefa baseia-se no fato de que um triângulo retângulo possui três

alturas relativas, logo, um dos lados desse retângulo pode representar uma altura e

o outro lado, a base, sendo possível calcular sua área através da fórmula 𝐴 =𝑏.ℎ

2. O

discurso que fundamenta o tipo de tarefa do item “b” baseia-se no fato de que

através da semelhança de triângulos chegamos às fórmulas das relações métricas

utilizadas na resolução deste tipo de tarefa. Nesse sentido, as relações métricas

representam o discurso racional e justificativo da técnica utilizada.

Ao classificarmos esta tarefa em relação aos níveis de conhecimentos

esperados, por ter dois itens, vamos classificá-los separadamente: item “a” - Qual é

a área total do terreno? Como o terreno apresenta a forma de um triângulo retângulo

e as medidas estão indicadas juntamente com a figura, basta aplicar a fórmula da

área do triângulo (𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

2) para calcular essa medida, logo, classificamos como

nível técnico. A tarefa do item “b” foi classificada como nível disponível, pois requer a

mobilização de vários conhecimentos matemáticos e dedução de fórmulas para

chegar às relações métricas e encontrar as medidas dos lados do retângulo para,

em seguida, calcular a sua área.

O item “a” da tarefa 15 pode ser resolvido de forma simples; ao girar a

imagem, é possível identificar uma base e uma altura.

Figura 47 - Solução do item "a" da tarefa 15

141


Por se tratar de cálculo de área, a escrita da resolução deveria apresentar a

palavra área ou a letra “A” antes da fórmula. Sugerimos a utilização da unidade de

medida de cada valor na fórmula. O ideal é apresentar sempre uma escrita completa

para não confundir o aluno. Ao efetuar o produto de duas medidas, a unidade

aparecerá elevada ao quadrado. Essa confusão referente ao uso das unidades de

medidas pode ser um causador dos obstáculos epistemológicos do aluno, segundo

Bellemain (2004).

Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 . 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

2=

30 𝑚 .40 𝑚

2= 600 𝑚²

O item “b” requer uma maior habilidade com os cálculos e seleção das

fórmulas a serem utilizadas. É preciso analisar cada situação para saber escolher o

melhor caminho a seguir nessa resolução. A Figura 48 mostra a solução encontrada

no Caderno do Professor, e a resolução desta tarefa será feita detalhadamente para

mostrar a complexidade dessa resolução.

Figura 48 - Solução do item "b" da tarefa 15

142


A região retangular representada tem como lados as alturas h1 e h2 dos dois

triângulos, em que o triângulo dado é dividido pela altura h relativa à hipotenusa. O

valor de h pode ser calculado da seguinte maneira:

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑥 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

A medida da hipotenusa pode ser calculada pelo Teorema de Pitágoras:

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎2 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜2 + 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜2 ⟹ ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = √𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜2 + 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜2

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = √(30𝑚)2 + (40𝑚)2 = √900𝑚² + 1600𝑚² = √2500 𝑚² = 𝟓𝟎 𝒎

Voltando ao cálculo de h e substituindo na fórmula, temos:

40 𝑚 . 30 𝑚 = 50 𝑚 . ℎ

1200𝑚2 = 50𝑚 . ℎ

𝒉 =𝟏𝟐𝟎𝟎𝒎²

𝟓𝟎𝒎= 𝟐𝟒𝒎

As relações métricas conhecidas permitem calcular diretamente os valores de

m e n:

(30𝑚)2 = 50𝑚. m ⟹ 𝐦 = 𝟗𝟎𝟎𝒎𝟐

𝟓𝟎𝒎= 𝟏𝟖𝒎

143

(40𝑚)2 = 50𝑚. n ⟹ 𝐧 = 𝟏𝟔𝟎𝟎𝒎𝟐

𝟓𝟎𝒎= 𝟑𝟐𝒎

Determinando agora h1 e h2:

ℎ. 𝐦 = 30m. ℎ1 ⟶ ℎ1 = 24𝑚 . 18𝑚

30𝑚= 𝟏𝟒, 𝟒𝒎

ℎ. 𝐧 = 40m. ℎ2 ⟶ ℎ2 = 24𝑚 . 32𝑚

40𝑚= 𝟏𝟗, 𝟐𝒎

A área da construção é calculada pela fórmula da área do retângulo:

𝐴 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑥 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 ⟶ 𝐴 = 14,4𝑚 . 19,2𝑚 = 276,48 𝑚²

A área da construção é de 276, 48 m².

Observa-se que no Caderno do Professor, não são utilizadas as unidades de

medidas durante os cálculos, conforme mostra a figura.

Figura 49 - Cálculos retirados do Caderno do Professor


As unidades de medidas podem ou não ser escritas junto com os valores

numéricos. Acredito que a utilização dessas unidades de medidas juntamente com

os valores numéricos, facilita na distinção das grandezas associadas à tarefa (área

ou perímetro).

O Quadro 18 se refere à última tarefa a ser analisada nesta pesquisa. A tarefa

16 foi retirada da Situação de Aprendizagem 6 do Caderno do Aluno, conforme a

144

indicação no quadro. Essa Situação de Aprendizagem traz como conteúdo o estudo

da razão 𝜋 no cálculo do perímetro e área do círculo. O objetivo das tarefas dessa

Situação de Aprendizagem é fazer com que o aluno entenda o significado de 𝜋 como

razão entre o comprimento da circunferência e seu diâmetro, e calcular a área do

círculo.

Quadro 18 - Tarefa 16 (retirada do Caderno do Aluno, 9º ano, v.2, p. 79)

Tarefa (T)16

Geral: Teorema de Pitágoras.

“Na figura a seguir, os círculos foram construídos sobre os

lados de um triângulo retângulo. Verifique se, analogamente ao

que ocorre no Teorema de Pitágoras, a área do círculo

construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos

círculos sobre os catetos. (Medidas: a= 5 cm; b= 3 cm; c= 4

cm)”.

Técnica (𝜏)

Ostensivos

Através dos valores das medidas dos lados do triângulo

retângulo calcular a área dos círculos.


Tecnologia (𝜃) Aplicar o Teorema de Pitágoras para provar a relação entre as

áreas dos círculos e o Teorema.

Não ostensivos

Teoria (Θ)

Teorema de Pitágoras. Área do círculo.

Níveis de

Conhecimento

Nível Disponível.

Fonte: Autora.

145

Na resolução do tipo de tarefa T16, empregam-se conceitos do Teorema de

Pitágoras e área do círculo; identificamos a aplicação de uma técnica que garante a

resolução da tarefa. Percebemos que no Caderno do Professor, a resolução

apresentada não utiliza a unidade de medida (cm) durante os cálculos, nem na

comparação dos resultados; essa falha pode passar despercebida pelo professor,

que também poderá mostrar de forma incompleta a resolução para seus alunos.


deste tipo de tarefa T16 mobiliza conceitos matemáticos a fim de garantir o emprego

do Teorema de Pitágoras e da área de círculos. O emprego dessa técnica leva à

dedução de que a soma das áreas projetadas sobre os catetos é igual à área da

figura projetada sobre a hipotenusa.


técnica baseia-se no fato de que a área obtida é igual à área referente ao círculo de

diâmetro igual ao lado do triângulo retângulo, descrito na tarefa. Nesse sentido, a

tarefa com sua técnica mostra que as áreas de figuras construídas com base nos

lados de um triângulo retângulo obedecem à relação de Pitágoras. É possível provar

que isso vale para quaisquer figuras, desde que elas sejam semelhantes entre si.

A tarefa foi classificada no nível disponível em relação aos níveis de

conhecimentos esperados, pois exige habilidade no trabalho com o Teorema

juntamente com os procedimentos algébricos (potência, fração, 𝜋). O aluno, ao

mobilizar os conhecimentos matemáticos, deve organizá-los para poder aplicá-los na

resolução da tarefa.

A Figura 50 mostra a resolução fornecida no Caderno do Professor, na qual

não foram utilizados os valores das medidas dadas no enunciado da tarefa (em cm).

Para encontrar um valor numérico correspondente, o aluno deve substituí-lo nas

equações encontradas. A não utilização das unidades de medidas na escrita da

resolução pode prejudicar no entendimento ao associar o resultado à situação

apresentada. Em relação a esta tarefa, é preciso muita atenção por parte do

professor para não cometer equívocos e comprometer a aprendizagem do aluno.

146



147

CONSIDERAÇÕES

Vamos apresentar as considerações das análises feitas referentes às 16

tarefas retiradas do Caderno de Matemática do Aluno e as orientações dadas aos

professores no Caderno de Matemática do Professor do 6º ao 9º ano do Ensino

Fundamental. Essas tarefas foram selecionadas cuidadosamente conforme descritas

no capítulo 5.

As tarefas foram selecionadas a partir das seguintes perguntas:

- Envolve o conhecimento de área ou perímetro para resolver a tarefa?

- As outras tarefas envolvem o mesmo gênero ou técnica, ou seja, são

semelhantes utilizando apenas valores diferentes?

- A tarefa valoriza o conteúdo de área ou perímetro?

- A tarefa apresenta algum problema no enunciado envolvendo o conteúdo de

área ou perímetro?

- A tarefa pode ser classificada em qual nível de conhecimento esperado pelo

aluno?

- Qual a técnica, tecnologia e teoria estão associadas à tarefa?

Com isso chegamos ao número de dezesseis tarefas, do contrário teríamos

em média quarenta com muitas repetições.

Esta pesquisa teve como objetivo identificar como são institucionalizadas as

noções de área e perímetro presentes nas Situações de Aprendizagem dos

Cadernos do Aluno e do Professor nos anos finais do Ensino Fundamental da rede

Pública Estadual de São Paulo, sob a ótica da Teoria Antropológica do Didático de

Yves Chevallard e seus colaboradores, e da proposta de Robert, referente aos

níveis de conhecimentos esperados do estudante.

Segundo a Teoria Antropológica do Didático, a análise das organizações

praxeológicas promovidas pelos tipos de tarefas propostas nos Cadernos de

148

Matemática do Aluno e do Professor nos permitiu identificar quais delas têm

potencial de influenciar na aprendizagem de área e perímetro em relação aos

conteúdos matemáticos, além de estabelecer padrões e práticas de ensino.

Entendemos que os diferentes tipos de tarefas (T) apresentadas nos

Cadernos de Matemática podem sugerir distintas formas de se trabalharem esses

conteúdos matemáticos, por exemplo, se não for possível construir ou adquirir um

geoplano, o professor poderá utilizar os diferentes tipos de malhas para explorar

tarefas que não necessitem de um valor numérico agregado. O professor deve

explorar cada tarefa de acordo com a necessidade de seus alunos, abrir discussões

e compartilhar conhecimentos.

Percebemos que os tipos de tarefas T, quando bem apresentadas, podem

valorizar diversos conteúdos matemáticos e proporcionar uma melhor abordagem do

conteúdo estudado. As noções de área e perímetro aparecem em maior proporção

como articuladoras de outros conteúdos matemáticos, como, por exemplo em

álgebra, as equações.

As análises praxeológicas ajudam a pensar em tipos de técnicas para resolver

determinada tarefa e se a técnica escolhida é significativa para a resolução do tipo

de tarefa, além de verificar quais conhecimentos (teorias) são necessários para a

validação da técnica agregada.

A investigação proposta por nossa pesquisa, em analisar como se

institucionalizam as organizações matemáticas (Caderno do Aluno) em relação à

noção de área e perímetro e as organizações didáticas (Caderno do Professor) na

abordagem do objeto de pesquisa, levou-nos a um estudo preliminar de como os

autores de livros didáticos abordam os conceitos ou definições desse conteúdo

como recurso didático, pois geralmente o professor os utiliza como material de apoio

em suas aulas, além do Caderno do Aluno.

A partir do nosso objetivo de pesquisa, identificamos em trabalhos, como os

de Bellemain (2000), Baltar e Lima (2010), o apontamento para algumas dificuldades

com relação às grandezas geométricas, comprimento, perímetro e área. Algumas

delas são: construir o conceito de área e perímetro de figuras planas usando o papel

quadriculado; diferenciar a superfície da área de uma figura plana; considerar que o

149

perímetro só é possível se for de figuras poligonais; comparar comprimentos de

caminhos fechados; dissociar a grandeza área de sua medida; verificar que figuras

diferentes podem ter a mesma área; confundir as unidades de medida de área e

perímetro.

A abordagem de Baltar e Lima (2010) mostra a importância da aplicação

desses conteúdos de área e perímetro na vida social desses alunos, o que reflete o

aspecto da evolução desse saber como criação do homem em diferentes culturas e

momentos históricos.

Nesse sentido, destacamos a importância do conteúdo de área e perímetro

nos anos finais do Ensino Fundamental, na análise do objeto de pesquisa, tanto do

ponto de vista da teoria, quanto como recurso didático utilizado pelos autores desses

Cadernos de Matemática, pois a Teoria Antropológica do Didático estuda o homem

perante o saber matemático, ou seja, entende o estudo da Matemática dentro do

conjunto de atividades humanas e de instituições sociais por meio de interações

entre os sujeitos, as instituições e os saberes.

Quanto à abordagem do objeto de pesquisa (área e perímetro) nos Cadernos

de Matemática do Aluno e do Professor analisados, o estudo mostra a importância

desse conteúdo no ensino da geometria, da álgebra e da aplicação desse saber no

estudo de outros tópicos da Matemática, como: equações do primeiro e segundo

graus, operações com polinômios, produtos notáveis, Teorema de Pitágoras, entre

outros.

O estudo aponta que dos oito Cadernos de Matemática (do Aluno)

analisados, dois deles, 6º ano, volume 1 e 7º ano, volume 1, não abordam os

conteúdos de área e perímetro de forma específica e nem articulados a outros

conteúdos. Os demais abordam esses conteúdos e os diferenciam quanto ao seu

emprego no estudo de outros assuntos matemáticos. Por outro lado, as análises

apontam uma ênfase na abordagem do conteúdo de área articulado a outros

conteúdos.

Quanto à análise das organizações matemáticas e das organizações

didáticas, permitiu-nos identificar que no estudo do objeto de pesquisa, os autores

desses Cadernos de Matemática apresentam esse conteúdo com diferentes

150

abordagens, pois as escolhas didáticas aplicadas na resolução das tarefas contidas

nesses Cadernos se diferenciam quanto aos tipos de técnicas (𝜏), tecnologias (𝜃) e

teorias (Θ), o que privilegia o estudo desse objeto de pesquisa com a aplicação de

diferentes tipos de praxeologias pontuais [T,𝜏, 𝜃, Θ].

Nossa análise foi realizada em torno dessas praxeologias pontuais, as quais

modelam o estudo do conteúdo de área e perímetro nos Cadernos de Matemática

do 6º ao 9º ano do Ensino Fundamental. A análise se deu em torno desses

Cadernos de Matemática do Aluno e do Professor, uma vez que foram esses os

materiais disponibilizados para professores e alunos das Escolas Públicas Estaduais

do Estado de São Paulo.

A análise das tarefas presentes no Caderno do Aluno nos permitiu observar

algumas tendências:

- o foco da maioria das discussões envolve a medida, trazendo uma lacuna

nas discussões envolvendo as grandezas.

- o campo numérico é o mais privilegiado no 6º e 7º anos, apesar de

percebermos indícios de melhora nos tipos de tarefas envolvendo a interação com

outros campos.

- as situações de comparação ainda permanecem com um quantitativo

preocupante, principalmente se essas situações não envolvem medida.

- erros nas escritas das resoluções das tarefas no Caderno do Professor.

- uma ênfase nas aplicações algébricas envolvendo o cálculo de área de

retângulos e quadrados.

Quanto às organizações matemáticas e didáticas, entendemos que são

apresentadas de forma clara e bem definida, e são pertinentes na constituição das

praxeologias pontuais aplicadas no estudo de área e perímetro. Quanto às técnicas

aplicadas, são elaboradas, fidedignas e confiáveis no cumprimento das tarefas (T)

analisadas. Quanto às tecnologias utilizadas nas justificativas dessas técnicas em

seus argumentos matematicamente válidos, podem conduzir à elaboração de novas

técnicas para resolver essas tarefas, pois, de acordo com a TAD, toda organização

151

praxeológica é formada por um conjunto de técnicas, de tecnologias e de teorias

articuladas por objetos ostensivos na resolução de um tipo de tarefa.

Durante as análises observamos algumas falhas na apresentação da

resolução presente no Caderno do Professor, pois é necessário escrever a unidade

de medida nas respostas após os cálculos, para que o aluno possa entender e

diferenciar essas unidades. Muitas vezes, os estudantes não compreendem a

diferença entre m, m² e m³, ou seja, não sabem associar à grandeza

correspondente. Esperamos que os professores, pesquisadores ou pessoas

interessadas neste trabalho, observem com mais rigor as respostas e resoluções

dadas pelos livros ou Cadernos de Matemática, no caso da nossa pesquisa. O

material é muito bom e traz várias sugestões de trabalho para o professor, mas deve

ser estudado antes de aplicar qualquer tarefa para seus alunos. A organização

didática ou praxeologia didática fornece caminhos e critérios para que o professor

possa fazer esses estudos e observações.

Os Cadernos de Matemática, por ser um material de apoio e não obrigatório

nas Escolas Públicas Estaduais de São Paulo, os alunos e professores quase não

os utilizam. Percebemos que as sequências didáticas, cujo nome aparece como

Situações de Aprendizagem, não contemplam os três níveis de conhecimentos

esperados pelos alunos. As tarefas apresentadas nesses Cadernos20 deveriam

contemplar os três níveis de conhecimentos esperados pelo estudante com as

orientações pertinentes ao professor, para que ele pudesse fazer essas adaptações

que o Caderno do Professor sugere.

Segundo Robert (1998), essas tarefas ou tipos de tarefas deveriam passar

pelos três níveis de conhecimentos: técnico, mobilizável e disponível. No Caderno

do Professor, em cada Situação de Aprendizagem, fica explícito que é de

responsabilidade do mesmo criar outras tarefas, aumentando o grau de

complexidade, atendendo, assim, aos três níveis de conhecimentos esperados, de

acordo com a proposta de Robert (1998).

20

Cadernos: Material de apoio denominado Caderno de Matemática do Aluno.

152

Cabe ao professor, então, elaborar tarefas que explorem os outros níveis de

conhecimento não trabalhados, para garantir o desenvolvimento do ensino e

aprendizagem dos educandos.

Na análise em nossa pesquisa, observamos que a maior parte das tarefas se

encontram no nível mobilizável. Precisa haver um equilíbrio; não podemos dar mais

ênfase a um determinado nível de conhecimento esperado sem trabalhar os outros.

Quando o aluno apresenta domínio no nível técnico, o professor deve explorar

tarefas do nível mobilizável e disponível. Não podemos nos esquecer de que, se um

aluno erra uma tarefa, não significa necessariamente que ele não saiba fazê-la, e

sim, que ele não tenha, naquele momento, as ferramentas disponíveis para resolver

a situação apresentada. A Figura 51 ilustra a quantidade de cada nível presente nas

análises das tarefas apresentadas. São 16 tarefas analisadas, sendo que 3 delas

foram subdivididas, por isso, temos um total de 19 tarefas no gráfico.

Figura 51 - Nível de conhecimento esperado do aluno

Fonte: Autora.

A nosso ver, a pesquisa contribui para mostrar como os Cadernos de

Matemática do Aluno e do Professor dos anos finais do Ensino Fundamental

abordam o conteúdo de área e perímetro, quais as técnicas, tecnologias e teoria que

estão associadas na resolução de uma tarefa.

Os dados e análise obtidos na pesquisa são parciais e nos levam a outros

questionamentos, tais como:

153

- As organizações praxeológicas analisadas no estudo se fazem presentes

nos demais livros didáticos de Matemática utilizados pelos professores, referentes

aos anos finais do Ensino Fundamental?

- As praxeologias analisadas na pesquisa podem favorecer aos professores

realizarem um trabalho significativo quanto à abordagem do conteúdo de área e

perímetro em sala de aula?

- O trabalho em sala de aula relativa às articulações entre as organizações

matemáticas e didáticas dos conteúdos de área e perímetro, contidos em livros

didáticos de Matemática e nos Cadernos do Aluno, pode favorecer aos alunos dos

anos finais do Ensino Fundamental uma aprendizagem significativa?

Ao estudar a Teoria Antropológica do Didático, pude compreender como é

importante analisar cada tarefa antes de aplicar em sala de aula. A TAD permite ao

pesquisador ser mais crítico, cauteloso e identificar se o tipo de tarefa está de

acordo com o que se pretende ensinar; se a tarefa contribuirá na aprendizagem do

conteúdo trabalhado; quais as técnicas associadas na resolução; quais tecnologias e

teorias terão que ser mobilizadas; a linguagem ostensiva facilita a compreensão da

tarefa.

A análise praxeológica fez mudar a minha prática em sala de aula, no sentido

de prestar atenção na forma falar, explicar a teoria, buscar outras técnicas para

resolver uma determinada tarefa.

Ao compreender os níveis de conhecimentos esperados pelos alunos,

proposto por Robert (1998), passei a prestar atenção nas tarefas do livro didático e

do Caderno do Aluno para fazer as adaptações e contemplar os três níveis (técnico,

mobilizável e disponível). Muitas vezes reproduzimos as tarefas propostas nos livros

ou material de apoio sem prestar atenção na qualidade deles para a aprendizagem

dos alunos.

O Mestrado favoreceu para mim, amadurecimento para o estudo e critérios

para as leituras, como a importância de buscar as informações na fonte, ou seja, no

autor. Percebi o quanto é importante estar informado e saber o que está sendo

154

discutido dentro da área acadêmica, quais os assuntos que estão em evid6encia,

qual a tendência teórica do momento.

Esperamos que este trabalho possa contribuir para outras pesquisas no

campo da Educação Matemática, e acreditamos que outros trabalhos possam

agregar novos elementos a esta pesquisa de modo a favorecer uma melhor análise

da abordagem dos conteúdos de área e perímetro nos Cadernos do Aluno e do

Professor e em livros didáticos de Matemática do 6º ao 9º ano do Ensino

Fundamental.

155

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UNIVERSIDADE CRUZEIRO DO SUL PROGRAMA DE … · de Bosch e Chevallard (1999) e na proposta de Robert ... Figura 12 - Medida de superfícies .....444 Figura 13 - Superfície com unidade