UNIVERSIDADE DE SÃO PAULOEscola de Engenharia de Lorena – EEL

“LOB1053 - FÍSICA III“

Prof. Dr. Durval Rodrigues Junior

Departamento de Engenharia de Materiais (DEMAR)Escola de Engenharia de Lorena (EEL)

U i id d d Sã P l (USP)Universidade de São Paulo (USP)Polo Urbo-Industrial, Gleba AI-6 - Lorena, SP 12600-970

durval@demar.eel.usp.br

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UNIDADE 5 –UNIDADE 5 –

CAPACITÂNCIA ECAPACITÂNCIA E ÉDIELÉTRICOS

Capacitância

Capacitores

Dois condutores carregados com cargas +Q e –Q e isolados, de formatos arbitrários, formam o que chamamos de um capacitor .

A sua utilidade é armazenar energia potencial no campo lé l f delétrico por ele formado .

CapacitânciaC iCapacitoresO capacitor mais convencional é o de placas paralelas . Em l d d l d ( d )geral, dá-se o nome de placas do capacitor (ou armaduras) aos

condutores que o compõem, independentemente das suas formas.

Outros capacitoresCapacitor de placas paralelas

CapacitânciaCapacitores

Como as placas do capacitor são condutoras elas formamComo as placas do capacitor são condutoras, elas formam superfícies equipotenciais. A carga nas placas é proporcional à diferença de potencial entre elas, ou seja: ç p j

CVQ =onde C é a chamada capacitância do capacitor Então:

,

onde C é a chamada capacitância do capacitor. Então:

VQC =

A constante depende apenas da geometria do capacitor.No SI a capacitância é medida em farads (F).

VC

1farad = 1F = 1coulomb/volt = 1C/V1 farad = μ F10 6−

Importante: pF/m85,80 =ε

Capacitância

Carregando o capacitor

Podemos carregar um capacitor ligando as suas placas a uma bateria que estabelece uma diferença de potencial fixa, V , ao capacitor. Assim, em função de

,CVQ =

cargas Q e –Q irão se acumular nas placas do i b l d l

,CVQ

capacitor estabelecendo entre elas uma diferença de potencial –V que se opõe à diferença de potencial da bateria e faz cessar odiferença de potencial da bateria e faz cessar o movimento de cargas no circuito.

Cálculo da Capacitância

Esquema de cálculoEm geral, os capacitores que usamos gozam de alguma simetria,

o que nos permite calcular o campo elétrico gerado em seu interior através da lei de Gauss:através da lei de Gauss:

intˆ)(φ qdAnrE =⋅= ∫rr

0εA∫

De posse do campo elétrico, podemos calcular a diferença de t i l t d lpotencial entre as duas placas como:

∫ ⋅−=−=fr

if ldrEVVV

r

rrr)(∫

irif ldrEVVV

r)(

E, finalmente, usamos o resultado anterior em , de onde CVQ =podemos extrair C.

Capacitância

Capacitor de placas paralelas

intˆ)(φ qdAnrE == ∫rr QE =

0

)(ε

φ dAnrEA

=⋅= ∫ AE

0ε=

EdV =∫ ⋅−=−fr

if ldrEVV

r

rrr)(

AC 0ε

irr

dC 0=

i i ó d d d f é d

CVQ =

Nota-se que a capacitância só depende de fatores geométricos do capacitor.

Capacitância

Capacitor cilíndrico

intˆ)(ε

φ qdAnrE =⋅= ∫rr

LrQE

2 επ=

⎟⎞

⎜⎛ bQV ln

0εA∫

∫fr

ldEVV

r

rrr)(

Lr02 επ

⎟⎠

⎜⎝

=aL

QV ln2 0πε∫ ⋅−=−

irif ldrEVV

r)(

CVQ =⎟⎞

⎜⎛

=b

LCln

2 0πε⎟⎠

⎜⎝ a

ln

Capacitância

Capacitor esférico

intˆ)(φ qdAnrE =⋅= ∫rr

24QE =

abQ −∫frr rr

0

)(ε

φA∫ 2

04 rεπ

ababQV =

04πε∫ ⋅−=−ir

if ldrEVVr

rr)(

CVQ =babC = 04πε

ab −0

Capacitância

Esfera isolada Er

++ +

+)( aR =

aa

ababC =−

=1

44 00 πεπε+

+

+

+∞→b

a

bab −1

∞→b+ ++

∞→b

aC 4πε aC 04πε=Exemplo numérico:

R=1m pF/m85,80 =ε F101,1 10−×≈C,

Capacitância

Capacitores em paralelo

VCqVCqVCq 332211 e, ===

VCCC )( VCCCqqqqq )( 321321 ++=⇒++=

Como VCq =Como VCq eq=

321 CCCCeq ++=q

∑= CCou

∑=i

ieq CC

Capacitância

Capacitores em série

332211 e, VCqVCqVCq ===

⎞⎛ VCCC

qVVVV =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⇒=++

321321

111⎠⎝ 321

Como VCq eq=

321

1111CCCC

++= ∑= CC11ou

321 CCCCeq i ieq CC

Energia no capacitor

Um agente externo deve realizar trabalho para carregar um

Energia armazenada no campo elétricog p g

capacitor. Este trabalho fica armazenado sob a forma de energiapotencial na região do campo elétrico entre as placas.

Suponha que haja e – armazenadas nas placas de um capacitor. O trabalho para se deslocar uma carga elementar de uma

l é ãqd ′

q′ q′

placa para a outra é então:

qdqqdVdW ′′

=′′=qqdqdWW

q 2

=′′

== ∫∫qdC

qdVdW == Cqd

CdWW

20∫∫

2 1 22

21

2CV

CqU ==

Energia no capacitorDensidade de energia

potencialenergia

Em um capacitor de placas paralelas sabemos que:volume

pg=u

Em um capacitor de placas paralelas sabemos que:

dAC 0ε= EdV =e

d

222 11 Aε 2202

21

21 dE

dACVU ε

==

21 EUApesar da demonstração ter sido para o capacitor d l l l t2

02E

Adu ε=≡ de placas paralelas, esta

fórmula é sempre válida!

Dielétricos

Visão atômica

Dielétricos são materiais isolantes que podem ser polares não-polares. ou

+- +- +- +-

+- +- +- +-E0=

E´E-

-

+

+

+- +- +- +-E0 0 E0 E0- +

Dielétricos

Capacitores com dielétricosAo colocarmos um material dielétrico entre

as placas de um capacitor a sua capacitância aumenta Comoaumenta. Como

CVQ =Se V é mantido constante a cargaSe V é mantido constante, a carga

nas placas aumenta; então C tem que aumentar.

0ε=Conde tem dimensão de comprimento.

,Vimos: ΔΔ

Então, na presença de um dielétricopreenchendo totalmente o capacitor:

1onde0 >= κκεdC No vácuo, 1=κΔ

DielétricosMaterial Constante dielétrica Rigidez Dielétrica (kV/mm)

Ar (1 atm) 1,00054 3

Poliestireno 2,6 24

Papel 3,5 16p

Pirex 4,7 14

Porcelana 6 5 5 7Porcelana 6,5 5,7Silício 12Etanol 25Etanol 25

Água (20º) 80,4

Á ( º)Água (25º) 78,5

Cerâmica Titânica 130

Titanato de Sr 310

Lei de Gauss com Dielétricos

AqE0

0 ε=

00 ˆ)(

εqdAnrE

S

=⋅∫rr

(a):

0

ˆ)(ε

qqdAnrES

′−=⋅∫

rr

AqqE

0ε′−

=

S

(b):0S 0

AqE

0

0

κεκ=

κqqq =′−∴=E

Aqq

0ε′−

=A0κεκ κ

Em (b): ˆ)(κεqdAnrE =⋅∫

rrA0ε

qdAnrD =⋅∫ ˆ)(rr

,0κεS

Ou:A

é o vetor de deslocamento elétrico.

l i d Dr

)()( 0 rErD rrrrκε≡onde

Então, na lei de Gauss expressa com o vetor aparecem apenas as cargas livres (das placas).

D

DielétricosExemplo

C it d l l l A 115 2 d 1 24Capacitor de placas paralelas com A=115 cm2, d=1,24 cm, V0=85,5 V, b=0,78cm, κ=2,61.

l la) C0 sem o dielétrico; 8,2pFb) li l 0 7 C

Calcule:

b) a carga livre nas placas; 0,7nCc) o campo E0 entre as placas e o dielétrico; 6900 V/mdielétrico; 6900 V/md) o campo Ed no dielétrico; 2600 V/me) a ddp V entre as placas na presença do dielétrico; 63,5 Vf) A capacitância C com o dielétrico.

C Q/V 11 FC=Q/V = 11 pF

Exercícios sugeridosExercícios sugeridos

1) N° , p. , Halliday, Física vol. 3 (4ª edição). **

2) N° , p. , Halliday, Física vol. 3 (4ª edição). **