34
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Escola de Engenharia de Lorena EEL Rodovia Itajubá-Lorena, Km 74,5 - Caixa Postal 116 CEP 12600-970 - Lorena - SP Fax (12) 3153-3133 Tel. (Direto) (12) 3159-5007/3153-3209 USP Lorena www.eel.usp.br Polo Urbo-Industrial Gleba AI-6 - Caixa Postal 116 CEP 12600-970 - Lorena - SP Fax (12) 3153-3006 Tel. (PABX) (12) 3159-9900 “LOB1021 - FÍSICA IV“ Prof. Dr. Durval Rodrigues Junior Departamento de Engenharia de Materiais (DEMAR) Escola de Engenharia de Lorena (EEL) Universidade de São Paulo (USP) Polo Urbo-Industrial, Gleba AI-6 - Lorena, SP 12600-970 [email protected] www.demar.eel.usp.br/docentes ou www.eel.usp.br (Página dos professores)

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULOEscola de Engenharia de Lorena – EEL

Rodovia Itajubá-Lorena, Km 74,5 - Caixa Postal 116CEP 12600-970 - Lorena - SP Fax (12) 3153-3133Tel. (Direto) (12) 3159-5007/3153-3209

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“LOB1021 - FÍSICA IV“

Prof. Dr. Durval Rodrigues Junior

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Universidade de São Paulo (USP)Polo Urbo-Industrial, Gleba AI-6 - Lorena, SP 12600-970

[email protected]/docentes ou www.eel.usp.br (Página dos professores)

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UNIDADE 8c -

Fótons e Ondas de Matéria III

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A função de onda

),( trrψ

),(),(),( 21 trtrtr rrr ψψψ +=

2|),(|),( trtr rr ψρ =

• Princípio da superposição:

• Interpretação probabilística:(Max Born)

1),( 3 =∫V

rdtrrρ

A nossa conclusão sobre tudo o que foi dito até agora é que, dada uma partícula atômica ou um fóton, este objeto pode ser descritopela chamada amplitude de probabilidade , ou função de onda, à qual podemos aplicar:

A função de onda carrega a informação máximaque podemos ter sobre o sistema em questão.

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Dualidade e complementaridadeAssim, as propriedades ondulatórias e corpusculares coexistem.

Esta é a chamada dualidade onda-partícula.

Entretanto, não há nenhuma forma destas duas propriedades serem testadas simultaneamente. Ou fazemos um esquema de medida onde o aspecto corpuscular seja evidenciado ou um que revele o caráter ondulatório do sistema em questão.

Este é o princípio da complementaridade, que ficou bem claro na experiência de Young que analisamos.

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• Embora tenha obtido alguns sucessos notáveis, a velha teoria quântica (1900 ~ 1920) tinha sérios defeitos. Era uma mistura arbitrária de física clássica com novos postulados, alheios e contraditórios à própria física clássica.

A equação de Schrödinger

Alguns meses depois, Schrödinger apresentou a equação de onda, dando início a mecânica quântica moderna.

• Em 1926, Schrödinger foi convidado a dar um seminário na Universidade de Zurich sobre a teoria de De Broglie.

Durante o seminário um dos ouvintes perguntou como ele podia falar abertamente sobre uma onda associada ao elétron,se não havia nenhuma equação de onda !

Erwin Schrödinger

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A equação de Schrödinger não pode ser deduzida, assim como não podem ser deduzidas as equações da dinâmica de Newton. Ela só pode ser postulada.

A forma escolhida deveria incorporar o sucesso das teorias anteriores. Fatalmente, ela também levaria a novas previsões(e interpretações) que poderiam ser testadas.

“ Nossa mecânica clássica talvez seja completamente análoga à óptica geométrica e por isso falha, estando em desacordo com a realidade… Portanto é preciso estabelecer uma mecânica ondulatória…” - Schrödinger, 1926.

A equação de Schrödinger

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• Os fenômenos ondulatórios, independentemente da sua origem, têm a sua evolução temporal descrita por equações de onda do tipo:

0),(),(1 22

2

2 =∇−∂

∂ trFt

trFc

rrrr

onde é a variável dinâmica de interesse; Por exemplo: o campo elétrico ou o campo magnético da radiação EM, ou a função de onda .

),( trF rr

• Se quisermos investigar a evolução temporal da densidade de probabilidade , devemos estudar como varia no tempo. No que segue, vamos fazer essa análise apenas para partículas massivas!

),( trrψ

A equação de Schrödinger

2|),(|),( trtr rr ψρ =

0)t,r(Fzyxt

)t,r(Fc1

2

2

2

2

2

2

2

2

2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

∂∂

+∂∂

+∂∂

−∂

∂ rrrr

ou

),( trrψ

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Em geral podemos dizer que para uma onda plana temos:

( )tirki00 ee)trk(iexp)t,r( ωψωψψ −⋅=−⋅=

rrrrr

Derivando com relação a t :

),(),( trit

tr rr

ωψψ−=

∂∂

Tomando o gradiente de e depois a sua divergência

)t,r(k)t,r()]t,r([

)t,r(ki)t,r(r

)t,r(

22 rrrrr

rrrr

rr

ψψψ

ψψψ

−=∇=∇⋅∇

⇒=∂∂

=∇

),( trrψ

),( trrψ

A equação de Schrödinger

PROVAR que é solução da equação diferencial da página anterior!

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),(),(),( trEtrt

tri rrh

rh ψωψψ

==∂

∂Então:

e

),(),(2

),(2

),(2

2222

2

trEtrm

ptrmktr

mrrrhrh ψψψψ ===∇−

),(2

),( 22

trmt

tri rhr

h ψψ∇−=

∂∂

Equação de Schrödinger da partícula livre (E = Ek ; V = 0) :

A equação de Schrödinger

kc

hfp poisr

hr

==

)(exp),( 0 trkitr ωψψ −⋅= rrr

ωππ

h=== )f2(2hhfE pois

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Mas, no caso geral não relativístico:

),()(),(2

),()(2

22

trrVtrm

ptrErVm

pE rrrrr ψψψ +=⇒+=

),()(),(2

),( 22

trrVtrmt

tri rrrhr

h ψψψ+∇−=

∂∂

Equação de Schrödinger (Postulada!)

A equação de Schrödinger

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Onda estacionária:

)exp()(),( tirtr ωϕψ −=rr

),()(),(2

),( 22

trrVtrmt

tri rrrhr

h ψψψ+∇−=

∂∂

)()()(2

)()( 22

rrVrm

rEr rrrhrrh ϕϕϕωϕ +∇−==

substituindo na Eq. de Schrödinger:

obtemos:

Equação de Schrödinger independente do tempo.

A equação de Schrödinger

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Aplicações da Equação de Schrödinger

1) A partícula livre em 1-D2) O potencial degrau3) A barreira de potencial

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1) A partícula livre em 1-D

0)(;)()(2 2

22

==− rVxEdx

xdm

ϕϕh

Para encontrar a solução geral de:

2

22 ),(2

),(x

txmt

txi∂

∂−=

∂∂ ψψ h

h

devemos resolver inicialmente:

ou:2

222

2 2onde;0)()(h

mEkxkdx

xd==+ ϕϕ

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1) A partícula livre em 1-D Solução geral: )exp()exp()( ikxBikxAx −+=ϕ

)(';)('com;sincos)( BAiBBAAkxBkxAx −=+=′+′=ϕ

como: θθθ sincos)exp( ii ±=±

)](exp[),( tkxitx ωψ +−∝ Onda propagante para a esquerda:

)(exp),( tkxitx ωψ −∝ Onda propagante para a direita:

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1) A partícula livre em 1-D

Façamos: A = ϕ0 e B = 0 )exp()( 0 ikxx ϕϕ =

e mkktkxitx

2)(onde)(exp),(

2

0h

==−= ωωωϕψ

mk

mp

22

222 hh ==ωpois:

+∞<<∞=== x-paraConstante!|),(|),( 20

2 ϕψρ txtx

A densidade de probabilidade para encontrar a partícula será:

),( txρ

x0

20ϕ

• Ou seja, uma partícula livre pode ser encontrada em qualquer ponto sobre o eixo x, com a mesma probabilidade.

(p/ direita)

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⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ−

−Δ

== 2

20

2

2

)]([2))((exp

)]([21|),(|),(

txtxx

txtxtx

πψρ

tmkxtx 0

00 )( h+=

40

2

22

0 )(41)(

xmtxtx

Δ+Δ=Δ

h

x)(0 tx

)(txΔ

2|),(| txψ

2))((21

txΔπ

• Seja um “pacote de ondas”:

kx

Δ=Δ

21

0

wavemechanics-freepacketO princípio da incerteza∫∞

∞−

−= dktkkxikAtx ])([exp)(21),( ωπ

ψ

Densidade de probab.:

onde:

e

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Propriedade da distribuição gaussiana:

O princípio da incerteza

221

21

000h

=ΔΔ⇒=ΔΔ⇒Δ

=Δ pxkxk

x

Como: xtxx Δ≡Δ≤Δ )(0

2h

≥ΔΔ px

• Relação conhecida como princípio da incerteza de Heisenberg!

Não podemos determinar a posição e o momento linear de uma partícula quântica com precisão arbitrária em ambas as medidas!

Werner Heisenberg

khp h== λ

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• Apesar de termos mostrado essa propriedade partindo de uma distribuição gaussiana (pacote de ondas), ela é inerente à mecânica quântica. Ela se aplica sempre aos pares das chamadas variáveis incompatíveis. Essas são variáveis que não podem ser medidas simultaneamente!

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

≥ΔΔ

≥ΔΔ

≥ΔΔ

2

2

2

h

h

h

z

y

x

pz

py

pxEm 3-D:

O princípio da incerteza

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• Também pode ser escrito como:

O princípio da incerteza

( )

2vxE2

2vmm2

m2p x

2m2m2

ppp x

2

h

h

h

ΔΔΔ

ΔΔΔ

ΔΔΔΔ

2t E h≥ΔΔ

2h

≥ΔΔ px

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Prob.1:

a) Uma bola de gude, com 25 g, está numa caixa que tem 10 cm de lado. Achar a incerteza mínima no seu momento linear p e na sua velocidade v.b) Resolver o mesmo problema, para um elétron confinado numa região de comprimento de 1 Å , que é da ordem de grandeza do diâmetro de um átomo.

)/(1028.5)(40

).(1063.6 2927

min, scmgcm

sergpbx

−−

×≈×

=Δπ

min,min, bx

bbx vmp Δ=Δ )/(1011.2

)(25)(40).(1063.6 30

27min, scm

gcmsergvb

x−

×≈×

×=Δ→

π

)10(4).()10(

210 min,

cmserghppcmpxcmx b

xbx

bx

bb

π=Δ→Δ≤ΔΔ≤→≤Δ

ha)

b) elétron num átomo:

e

bxe

xbx

ex

e

mpvp

cmserghpcmx

min,9min,min,9

8min,8 10;10

)10(4).(10 Δ

=ΔΔ==Δ→≤Δ −−

π

cs

cmg

scmg

vs

cmgp ex

ex 019.0)(108.5

)(101.9

)(1028.5;)(1028.5 7

28

11

min,20min, ≈×≈×

×≈Δ×≈Δ −

vmL

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Prob. 2:

Mostre que o número de onda angular k, de uma partícula livre não-relativística de massa m, pode ser escrito na forma abaixo, onde K é a energia cinética da partícula.

hmKk 22π

=

mk

mpKkp

22;

222 hh ===

hmKmKkmKk 2222

22 π

==→=hh

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2) O potencial degrau

I) E > V0 :

202

22222

22

2211

212

12

)(2onde;0)()(;0se

2onde;0)()(;0se

h

h

VEmkxkdx

xdx

mEkxkdx

xdx

−==+>

==+<

ϕϕ

ϕϕ

0V

1 2

E

0 x

1

2

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E > V0 :

202

2222

221111

)(2onde;)exp()exp()(

2onde;)exp()exp()(

h

h

VEmkxikDxikCx

mEkxikBxikAx

−=−+=

=−+=

ϕ

ϕ

2) O potencial degrau

1 20

x

Soluções gerais:

x < 0 :

x > 0 :

mas : D = 0 , pois não há onda refletida para x > 0.

I R

T R2

1

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21

1

21

21

2kk

kAC

kkkk

AB

+=

+−

= ; amplitude de reflexão

; amplitude de transmissão

mkvvCJvBJvAJ i

ih

==−== onde||,||,|| 22

trans12

ref12

inc

221

212

1

2

inc

trans

2

21

212

inc

ref

)(4

kkkk

AC

kk

JJT

kkkk

AB

JJR

+===

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−

==−=1=+TR

2) O potencial degrau→contínuasfunçõessão

dxdeComo ψψ

daí:

⎪⎩

⎪⎨

=

=

−→+→

−→+→

0x0x

0x0x

dxd

dxd ψψ

ψψ

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0V

1 2

E

202

22222

22

2211

212

12

)(2onde;0)()(;0se

2onde;0)()(;0se

h

h

EVmxdx

xdx

mEkxkdx

xdx

−==−>

==+<

κϕκϕ

ϕϕ

2) O potencial degrau

0 x

II) E < V0 :

1

2

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202

2222

221111

)(2:onde;)exp()exp()(

2onde;)exp()exp()(

h

h

EVmxDxCx

mEkxikBxikAx

−=+−=

=−+=

κκκϕ

ϕ

E < V0 :

2) O potencial degrau

0x

x < 0 :

x > 0 :

1 2

02

1

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⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−=

+−

= −

1

21

21

21 tan,)2exp(k

iikik

AB κ

ηηκκ ; amplitude de reflexão

mkvvBJvAJ i

ih

=−== onde,||,|| 12

ref12

inc

0=T;12

inc

ref ==−=AB

JJ

R

⇒−= )exp()( 22 xCx κϕ

Comprimento de penetração

)(2 0

12 EVm −== − hκλ

wavemechanics-step

2) O potencial degrau2) O potencial degrau→contínuasfunçõessão

dxdeComo ψψ

⎪⎩

⎪⎨

=

=

−→+→

−→+→

0x0x

0x0x

dxd

dxd ψψ

ψψ

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3) A barreira de potencial

0V

1 2

E

L

3

221

233

232

32

202

22222

22

2211

212

12

2onde;0)()(

;se

)(2onde;0)()(;0se

2onde;0)()(;0se

h

h

h

mEkkxkdx

xdLx

VEmkxk

dxxdxL

mEkxkdx

xdx

===+>

−==+>>

==+<

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

0 x

I) E > V0 :

1

2

3

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E > V0 :

221

23333

202

2222

221111

2onde;)exp()exp()(

)(2onde;)exp()exp()(

2onde;)exp()exp()(

h

h

h

mEkkxikFxikEx

VEmkxikDxikCx

mEkxikBxikAx

==−+=

−=−+=

=−+=

ϕ

ϕ

ϕ

3) A barreira de potencial

1 2 3

0

1

2

3

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0V

1 2

E

L

3

221

233

232

32

202

22222

22

2211

212

12

2onde;0)()(

;se

)(2onde;0)()(;0se

2onde;0)()(;0se

h

h

h

mEkkxkdx

xdLx

EVmx

dxxdxL

mEkxkdx

xdx

===+>

−==−>>

==+<

ϕϕ

κϕκϕ

ϕϕ

3) A barreira de potencial

0 x

II) E < V0 :

1

2

3

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E < V0 :

221

23333

202

2222

221111

2onde;)exp()exp()(

)(2onde;)exp()exp()(

2onde;)exp()exp()(

h

h

h

mEkkxikFxikEx

EVmxDxCx

mEkxikBxikAx

==−+=

−=+−=

=−+=

ϕ

κκκϕ

ϕ

3) A barreira de potencial

1 2 3

0

1

2

3

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)2(exp LT κ−≈ 20 )(2h

EVm −=κ

)2exp(11 LTR κ−−=−=

Coeficiente de transmissão ou taxa de tunelamento:

; onde

wavemechanics-barrier

3) A barreira de potencial

Coeficiente de reflexão

→contínuasfunçõessãodxdeComo ψψ

⎪⎩

⎪⎨

=

=

−→+→

−→+→

0x0x

0x0x

dxd

dxd ψψ

ψψ

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Prob. 3:a) Um feixe de prótons de 5,0 eV incide em uma barreira de energia potencial de 6,0 eV de altura e 0,70 nm de largura, com uma intensidade correspondente a uma corrente elétrica de 1000 A. Quanto tempo é preciso esperar (em média) para que um próton atravesse a barreira?b) Quanto tempo é preciso esperar se o feixe contém elétrons em vez de prótons?

No tempo de espera t* para 1 próton tunelar: r t* T = 1 ; )2(exp LT κ−≈

anosst 104111* 101037,3 ≈×≈ (maior que a idade do universo ! )

Taxa de incidência de prótons: r = 1000(C/s) / 1,6×10-19(C) ≈ 6,25×1023 s-1a)

b) Feixe de elétrons: 2/511.0 cMeVme =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

π×

= − )56)(511.0(8).(1240)70,0(2exp

)(1025,61

123* eVeVMev

nmeVnm

ste

ste9* 101.2 −×≈ !

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

×=

⎟⎟

⎜⎜

⎛ −= − )56)(938(8

).(1240)70,0(2exp

)(1025,61)(8

2exp11232

2* eVeVMev

nmeVnm

shEVm

Lr

t bp ππ

onde: mp = 938 MeV/c2 ; me = 0.511 MeV/c2

hc = 1240 eV nm

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O microscópio de varredura por tunelamento (STM)

wavemechanics-stm

Nobel Laureates 1986: Heinrich Rohrer , Gerd Binnig e Ernst Ruska