Universidade de São Paulo Instituto de Física · 2014. 2. 24. · Prof. Dr. Dionísio Bazeia Filho (UFPB) ,o Corbani Ferrai são de Pós Graduçlo . S~o~)l\3 ~ 111~ P . y ,tX~t

Universidade de Satildeo Paulo

Instituto de Fiacutesica

Perturbaccedilotildees Gravitacionais em um

Meio Teacutermico iiiiiiiiiiiiiii --iiiiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiiiii

a ti)) Tese apresentada ao Instituto de Fiacutesica da )

_o Universidade de Satildeo Paulo para a obtenccedilatildeo I_~

atildei=ro ti)

iiiiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiiiii iiiiiiiiiiiiiii Fabiano Rabelo Machado--iiiiiiiiiiiiiii -

Comissatildeo Examinadora J _ JJ -shyProf Dr Fernando Tadeu Caldeira Brandt (IF-USP) - Orientador ~(WrtltlM(J Prof DI Fernando Silveira Navarra (IF-USP) Prof DI Adilson Joseacute da Silva (IF-USP) ProL DI Alfredo Takashi Suzuki (IFT-UNESP) Prof Dr Dioniacutesio Bazeia Filho (UFPB)

o Corbani Ferrai satildeo de Poacutes Graduccedillo

S~o~)l3

~ 111~ P y tX~t

FICHA CATALOGRAacuteFICA Preparada pelo Serviccedilo de Biblioteca e Informaccedilatildeo do Instituto de Fiacutesica da Universidade de Satildeo Paulo

Machado Fabiano Rabelo

Perturbaccedilotildees Gravitacionais em um Meio Teacutermico Satildeo Paulo 2003

Tese (Doutoramento) Universidade de Satildeo Paulo Instituto de Fiacutesica Departamento de Fiacutesica Experimental

Orientador Prof Dr Fernando T C Brandt Aacuterea de Concentraccedilatildeo Fiacutesica

Unitermos 1 Funccedilotildees de Green teacutermicas 2 Graacutevitons 3 Relaccedilotildees de Dispersatildeo 4 Teorias de Gauge

USPIFSBI-0392003

Abstract

We have computed the thermal one-graviton function and the self-energy in oneshyloop using a temporal gauge In order to deal with the extra poles which are present in the temporal gauge we employ an ambiguity-free technique in the imaginary-time formalismo We obtain for temperatures T high compared with the externaI momenshytum and well below the Plank scale the leading T 4 as well as the sub-Ieading T2 and log(T) contributions to the graviton self-energy We show that the extra pole conshytributions do not change the behaviour of the leading and sub-Ieading contributions from hard thermal loop region We verify that the leading contributions are gauge independent We also verify the t Hooft identities for the sub-Ieading T 2 terms and

~ show that the logarithmic part has the same structure as the residue of ultraviolet pole of zero temperature graviton self-energy We compute the dispersion relations up to GT2 order and we discuss the gauge dependence induced by sub-Ieading conshytributions T 2 bull We also compute the thermal one-graviton Greens function in the two-Ioop approximation for two distinct gauge classes

Resumo

Calculamos as funccedilotildees de Green teacutermicas de um e dois graacutevitons em um loop no gauge temporal Para tratar os polos extras que surgem neste gauge utilizamos uma teacutecnica livre de ambiguidades no formalismo de tempo imaginaacuterio Foram calshyculadas para temperaturas altas comparadas com o momento externo e menores que a escala de Plank as contribuiccedilotildees dominantes T 4 e sub-dominantes T2 e 10g(T) para a auto-energia do graacuteviton Mostramos que as contribuiccedilotildees dos polos extras natildeo modificam o comportamento das contribuiccedilotildees dominantes e sub-dominantes em altas temperaturas Verificamos que os termos dominantes T 4 natildeo dependem do paracircmetro de gauge Verificamos tambeacutem que as identidades de t Hooft satildeo satisfeitas pelos termos T 2 e mostramos que o termos log(T) tem a mesma estrutura que o resiacuteduo do polo ultravioleta da auto-energia a temperatura zero Calculamos as relaccedilotildees de dispersatildeo no plasma de graacutevitons ateacute a ordem GT2 e discutimos a dependecircncia de gauge induzida pelos termos T 2 da auto-energia Calculamos tambeacutem a funccedilatildeo de um graacuteviton em dois loops em duas classes distintas de gauge

snaqwW oqy nam 0V

Agradecimentos

Gostaria de agradecer

ao meu orientador Prof Dr Fernando Tadeu Caldeira Brandt pela oportunidade de trabalharmos juntos e por ter me introduzido nos caminhos da pesquisa

e a FAPESP pelo suporte financeiro

Sumaacuterio

1 Introduccedilatildeo 1

2 Regras de Feynman 4

21 A Lagrangiana Total 4

22 Regras de Feynman no Gauge Temporal 6

221 Propagador e Veacutertices de Auto-interaccedilatildeo do Graacutevitons 7

222 Propagador dos Ghosts e Veacutertice Ghost -Graacuteviton- Ghost 11

23 Regras de Feynman no Gauge Covariante 13

3 Funccedilotildees de um e dois Graacutevitons no Gauge Temporal 18

31 Funccedilatildeo de um Graacuteviton 18

32 Funccedilatildeo de Dois Graacutevitons 21

321 Contribuiccedilatildeo Dominante 23

322 Contribuiccedilatildeo Sub-dominante T 2 25

323 Contribuiccedilatildeo Sub-dominante log(T) 26

33 Contribuiccedilatildeo dos Poacutelos de Prescriccedilatildeo para a Funccedilatildeo do dois Graacutevitons 27

34 Conexatildeo com a Teoria Semi-claacutessica de Transporte 31

4 Funccedilatildeo de um Graacuteviton em dois Loops 35

41 A Funccedilatildeo de um Graacuteviton em dois Loops 35

42 Gauge Covariacuteante 36

43 Gauge Temporal 37

5 Relaccedilotildees de Dispersatildeo 39

51 A Accedilatildeo Efetiva Teacutermica 39

52 Fixaccedilatildeo de Gauge para as Perturbaccedilotildees da Meacutetrica 44

53 Helicidades 46

6 Conclusotildees 52

A Funccedilotildees de Green Teacutermicas para Campos Escalares 54

A1 Funccedilatildeo de Particcedilatildeo para Boacutesons 54

A2 O Campo Escalar Neutro 57

A3 Regras Diagramaacuteticas para Teoria Agrave4J4 58

B Meacutetodo de Amplitudes de Espalhamento Frontais 61

RI Funccedilotildees de Green Teacutermicas com um Propagador 61

R2 Funccedilotildees de Green Teacutermicas com Dois Propagadores 64

C Identidades de Ward Gravitacionais 68

C1 Identidades de Ward na Aproximaccedilatildeo de Aacutervore 68

C2 Identidades de Ward na Aproximaccedilatildeo de um Loop 70

D Teoria de resposta Linear 73

D1 Resposta Linear a um Campo Externo 73

D2 Oscilaccedilotildees do Plasma 75

Capiacutetulo 1

Introduccedilatildeo

o problema abordado neste trabalho envolve uma investigaccedilatildeo de teorias de gauge levando-se em conta efeitos teacutermicos o que engloba em princiacutepio todos fenocircmenos onde os efeitos quacircnticos relativiacutesticos e termodinacircmicos satildeo igualmente importantes

A inclusatildeo de efeitos teacutermicos em teorias de campos pode ser obtida a partir da integral funcional de Feynman com tempo imaginaacuterio (conhecido como formalshyismo de tempo imaginaacuterio (Kap89]) onde o funcional gerador da teoria eacute identificado com a funccedilatildeo de particcedilatildeo do sistema de partiacuteculas descrito pelo modelo de teoria de campos (mais detalhes satildeo mostrados no apecircndice A) As grandezas fiacutesicas satildeo exshypressas atraveacutes de um tratamento perturbativo convencional em termos de funccedilotildees de Green teacutermicas possuindo uma expansatildeo em diagramas de Feynman semelhanteshymente ao que eacute feito a temperatura zero (Kap89] Em particular a auto-energia teacutermica ou funccedilatildeo de Green teacutermica de dois pontos eacute de especial interesse no estudo de propriedades de um meio teacutermico tais como massas teacutermicas induzidas blindagem amortecimento ou relaccedilotildees de dispersatildeo

Do ponto de vista formal a obtenccedilatildeo das funccedilotildees de Green teacutermicas eacute semeshylhante ao tratamento feito em teorias de campos quacircnticos a temperatura T = O De fato em ambos os casos a expansatildeo perturbativa eacute expressa em termos de dishyagramas de Feynman No entanto existe uma importante diferenccedila Enquanto no caso T = O as contribuiccedilotildees de ordem mais baixa natildeo envolvem necessariamente loops os efeitos teacutermicos somente se manifestam quando levamos em conta diashygramas possuindo loops (aleacutem disso como veremos a maneira de se calcular os loops teacutermicos difere do procedimento a T O) Assim podemos dizer que os efeitos teacutermicos satildeo anaacutelogos aos efeitos de flutuaccedilotildees do vaacutecuo que ocorrem a T = O

Eacute conhecido que o caacutelculo da auto-energia teacutermica em uma dada ordem de teoria de perturbaccedilatildeo conduz em geral agrave resultados dependentes de gauge [BeI96 Kap89J Atualmente sabemos que resultados consistentes podem ser obtidos desde que as

escalas de momento envolvidas sejam identificadas de maneira adequada Existe uma escala macia onde o momento eacute da ordem de )T () eacute a constante de acoplamento) onde eacute preciso re-somar diagramas possuindo loops internos com momento duro os hard thermalloops (HTL) Uma parte importante deste procedimento envolve a demonstraccedilatildeo das propriedades de invariacircncia de gauge de todas as funccedilotildees de Green teacutermicas no limite de HTL [FT91 FT92 BP92 BFTW93]

O problema da renormalizaccedilatildeo da teoria da gravitaccedilatildeo pode ser tratado levando-se em conta que teorias de campos podem ser interpretadas como teorias efetivas vaacutelidas em certos intervalos de energia [Wei95] Quando as energias satildeo suficientemente altas as interaccedilotildees mudam e novos graus de liberdade aparecem modificando a natureza da teoria Os efeitos dos novos graus de liberdade satildeo suprimidos quando consideramos baixas energias e estes satildeo descritos por interaccedilotildees natildeo renormalizaacuteveis Assim na ausecircncia de uma teoria consistentemente quantizada podemos delimitar claramente a regiatildeo de interesse fiacutesico e verificar se a teoria disponiacutevel pode ser ou natildeo utilizada para se fazer algum tipo de previsatildeo

Um aspecto importante da teoria efetiva de campos eacute a ordenaccedilatildeo de cada um dos termos na lagrangiana segundo potecircncias de fatores das escalas de baixa energia divididos pelas escalas de altas energias No caso da gravitaccedilatildeo a lagrangiana pode ser ordenada em potecircncias da curvatura Por sua vez as curvaturas envolvem duas derivadas no campo gravitacional podendo ser consideradas como quantidades pequeshynas Alguns trabalhos em temperatura zero [tH75J mostraram que a inclusatildeo dos tershymos quadraacuteticos na curvatura agrave lagrangiana de Einstein torna a teoria renormalizaacutevel em um loop A accedilatildeo gravitacional incluiacutendo termos quadraacuteticos na curvatura R pode ser escrita da seguinte forma

s ~Jd4Xv=g [_1_R+aR2 +bRPvR ] (11)2 l~G ~

onde a e b satildeo constantes numencas Existem na verdade trecircs tipos de termos quadraacuteticosmas no trabalho [tH75] utilizou-se a identidade de Gauss-Bonnet para demostrar que apenas dois independentes

Uma importante delimitaccedilatildeo imposta ao tipo de problema que pretendemos estushydar eacute

T 2 laquo G-1 = GT2 laquo 1 (12)

onde T eacute a temperatura e G eacute a constante de Newton (li = c = kB = 1)

No capiacutetulo 3 mostraremos que Tpv (o tensor energia-momento) eacute da ordem de T 4bull Assim levando em conta (12) e a equaccedilatildeo de Einstein temos que

R iV GT4 laquo T 2 (13)

Podemos verificar de (11) que a razatildeo entre termos quadraacuteticos e lineares na curvatura eacute GR De () e (13) vemos que GR iV (GT2)2 laquo 1 e assim os fenocircmenos

que satisfazem (12) podem ser aproximadamente descritos utilizando a gravitaccedilatildeo como descrita pela accedilatildeo de Einstein-Hilbert

Quando Agrave ~ 1 a contribuiccedilatildeo HTL estaraacute descrevendo situaccedilotildees extremas de temperatura quando T ~ k onde k eacute o momento externo tiacutepico das funccedilotildees de Green teacutermica Assim levando-se em conta (12) a regiatildeo de interesse torna-se

IkI 2 k5laquo T 2 ~ G-1bull (14)

Um dos principais objetivos do trabalho foi investigar a dependecircncia de gauge de funccedilotildees de Green teacutermicas na gravitaccedilatildeo Em QCD esta questatildeo jaacute foi basshytante investigada [FT92 BP92 BFTW93] Dentro do que foi investigado eacute imshyportante ressaltar que foi formalmente demostrada a independecircncia de gauge das contribuiccedilotildees dominantes no regime de altas temperaturas para as funccedilotildees de Green teacutermicas [BP90a BP90b] Mas em gravitaccedilatildeo natildeo existe uma demostraccedilatildeo formal dessa independecircncia Como caacutelculos expliacutecitos das funccedilotildees teacutermicas de um e dois graacutevitons jaacute haviam sido feitos no gauge covariante calculamos entatildeo estas funccedilotildees de Green no gauge temporal e comparamos com os correspondentes resultados calshyculados no gauge covariante

O gauge temporal tem despertado recentemente bastante interesse em tempershyatura zero Mas neste gauge surgem poacutelos extres que trazem algunas dificuldades teacutecnicas Uma teacutecnica livre de ambiguidades proposta por Leibbrandt (L894] tem sido utilizada por preservar a possibilidade de se fazer rotaccedilatildeo de Wick

Investigamos tambeacutem a dependecircncia de gauge induzida pelas modificaccedilotildees da inclusatildeo das contribuiccedilotildees sub-dominantes T 2 da auto-energia do graacuteviton nas relaccedilotildees de dispersatildeo da propagaccedilatildeo de ondas no plasma de graacutevitons devido a pequenas perturbaccedilotildees

Essa tese esta organizada da seguinte maneira No proacuteximo capiacutetulo iremos derivar as regras de Feynman em duas classes distintas de gauge No capiacutetulo 3 usaremos as regras de Feynman obtidas para calcular explicitamente as funccedilotildees de Green teacutermicas de um e dois graacutevitons em um loop no gauge temporal Iremos tambeacutem obter atraveacutes de um formalismo semi-claacutessico as contribuiccedilotildees dominantes em altas tempeshyraturas para as funccedilotildees de um e dois graacutevitons No capiacutetulo 4 calcularemos a funccedilatildeo de um graacuteviton em dois loops em duas classes distintas de gauge No capiacutetulo 5 usaremos os resultados do caacutelculo das funccedilotildees de um e dois graacutevitons para a obtenccedilatildeo das relaccedilotildees de dispersatildeo No capiacutetulo 6 faremos uma conclusatildeo geral sobre os resulshytados obtidos No apecircndice A faremos uma breve introduccedilatildeo ao formalismo de tempo imaginaacuterio No apecircndice B apresentaremos o meacutetodo de amplitudes frontais usado no caacutelculo de funccedilotildees de Green teacutermicas No apecircndice C apresentaremos as identishydades de Ward que relacionam os veacutertices de interaccedilatildeo agrave niacutevel de aacutervore e tambeacutem as que relacionam as funccedilotildees de Green na aproximaccedilatildeo de um loop Finalmente no apecircndice D apresentaremos uma breve introduccedilatildeo agrave teoria de resposta linear

Capiacutetulo 2

Regras de Feynrnan

Neste capiacutetulo apresentaremos a deduccedilatildeo da lagrangiana total no gauge de Feynman e no gauge temporal Em seguida seratildeo obtidos os respectivos veacutertices e propagadores dos graacutevitons e ghosts necessaacuterios para calcular as funccedilotildees de green consideradas neste trabalho

As regras de Feynman para propagadores e veacutertices utilizadas no formalismo de tempo imaginaacuterio podem ser lidas diretamente da lagrangiana da teoria (no apecircndice A isto eacute demonstrado para o caso da teoria escalar) semelhantemente em temperatura zero

21 A Lagrangiana Total

A teoria claacutessica da gravitaccedilatildeo pode ser vista como uma teoria de gauge [Ram90] jaacute que sua accedilatildeo eacute invariante sob transformaccedilotildees do tipo

xP- -+ xl- + el-(X) (21)

Mas ao tentarmos quantizar teorias de gauge atraveacutes do formalismo funcional por exemplo surgem alguns problemas relacionados agrave invariacircncia de gauge [Ram90 Mut87] que satildeo resolvidos acrescentando agrave lagrangiana termos que reduzem os graus de liberdade da teoria No caso gravitacional o funcional gerador pode ser dado por

Z N Jd[gP-l]det I~~ Ioacute [FAtilde (gl-I)] exp i JCE d4 X

= N Jd[gl-I] d[ccedill-] d[1]I] expi J(CE - ~aF 2 [gl-l] - ccedilP-Ml-v1]V)d4x (22)

onde Fgt eacute o termo de fixaccedilatildeo de gauge tp e rl satildeo variaacuteveis de Grassmann chamadas de ghosts de Faddeev e Popov que juntamente com Mp1I = ~ constituem a Lagrangiana de Faddeev e Popov Obtemos assim uma lagrangiana efetiva dada por

cel cE+ cGF + cFP (23)

onde cE eacute a lagrangiana claacutessica de Einstein-Hilbert cGF eacute a lagrangiana de fixaccedilatildeo de gauge e cFP eacute a lagrangiana de Faddeev e Popov

Na Teoria Geral da Relatividade a densidade de lagrangianacE eacute definida como

cE 2 ( - g) 12 RpvgPV (24)2K

onde K2 = 321lG eacute a constante de acoplamento gravitacional gPV eacute o tensor meacutetrico 9 = detgpv e

Rpv r~pv - r~vp - r~vr~p + r~vr~p (25)

eacute o Tensor de Ricci com

gaw rp7 = T(g3W7 + gW7f] - gf]7W) (26)

os siacutembolos de Christoffel Neste ponto eacute conveniente introduzirmos explicitamente o campo gravitacional e assim precisamos escolher a representaccedilatildeo a ser utilizada ou seja podemos expressar o campo gravitacional por exemplo das seguintes maneiras

gPV 1]pv + K~pv (27)

gp1I - 1]pv + KCPp1I (28)

onde 1]pv eacute o tensor meacutetrico de Minkowski ~pv e CPP1I eacute o campo gravitacional nas representaccedilotildees (27) e (28) respectivamente A densidade tensorial gPV eacute dada por

gPV = v_9gp1I (29)

Dependendo do termo de fixaccedilatildeo de gauge utilizado pode ser mais conveniente do ponto de vista de caacutelculo optar por uma determinada representaccedilatildeo Mas como vereshymos adiante podemos relacionar funccedilotildees de Green teacutermicas calculadas em diferentes representaccedilotildees

A expansatildeo da lagrangiana (24) utilizando as representaccedilotildees (27) ou (28) eacute conhencida como expansatildeo de campo fraco Uma propriedade interessante eacute que esta expansatildeo nos leva a uma lagrangiana com um nuacutemero infinito de veacutertices Podemos notar tambeacutem que em ambas as representaccedilotildees estamos expandindo sobre campos de fundo plano considerando assim um sistema com espaccedilo-tempo plano Eacute claro que a forma mais geral da expansatildeo deveria ser feita sobre campos de fundo curvos mas calcular regras de Feynman em espaccedilo-tempo curvo eacute algo difiacutecil de se fazer principalmente sob o ponto de vista teacutecnico

22 Regras de Feynman no Gauge Temporal

Em teorias de gauge natildeo abelianas frequentemente satildeo utilizados os gauges natildeo covariantes A escolha mais usada eacute aquela do gauge axial geral

nLAL(x) = O p = O 1 23 n2 = n~ - ii2

onde AL estaacute representando o campo de gauge e nL = (no fi) eacute um vetor constante arbitraacuterio que define uma direccedilatildeo preferencial no espaccedilo daiacute o nome de gauge axial

Diferentes formas funcionais da densidade de lagrangiana [GF acopladas com diferentes valores de n2

geram alguns gauges axiais particularmente convenientes No presente trabalho seraacute usado o gauge temporal axial e vamos considerar o caso n2 gt O Assim seguindo nossa notaccedilatildeo

F) KnLltpL) (210)

Eacute conveniente escrevermos o quadrivetor nL em termos do quadrivetor velocidade do banho teacutermico uL =(1 O O O) da seguinte forma nL = nOuL e vamos optar pela convenccedilatildeo

2 I _ no (LA- )2I-GF - 23 U fL) (211)

onde estamos chamando de 3 o paracircmetro de fixaccedilatildeo de gauge Com essa escolha eacute conveniente usar a representaccedilatildeo KltPLv = gLV - LV para mantermos F na categoria de gauges lineares Escrevendo o tensor de Ricci em termos de gLV e gLV obtemos da lagrangiana (24)

) 12(I _ -g [_ Lv pw LV Pw LV Pw _ LV Pw I-E - - l 9 9 vgwpL 9 9 gwpLV 9 9 pgLVW 9 9 gLVwp

2 LV pw 2 LV Pw 1 LV P7+ 9 9 pgLW 1 9 9 gjLWVp 2g Lvg wguwgP7g u (212)

1 uw 117 + P7 vu + 110 7P ]-2g g7v o-gw 9 g7vo-g p 9 Ig ug7P

fazendo integrais por partes nos termos com derivadas duplas e usando

(F9)a -~v-ggpOgPO a (213)

que resulta da definiccedilatildeo do determinante obtemos de (212)

) 12([ _ -g [ LI a3 )p a3 )p 2 70)PE - 2K2 g3pga)g 9 vg L 2ga )g pg 3 g7ug pg )

)p 7U LV]-g)pg Lg70-g vg (214)

Podemos notar que todos os termos da expressatildeo (214) possuem duas derivadas simples o que eacute evidente devido agrave estrutura do tensor de Riccci (25) Desta forma a expansatildeo no campo gravitacional comeccedila com ordem zero em K

221 Propagador e Veacutertices de Auto-interaccedilatildeo do Graacutevitons

Para acharmos as regras de Feynman para o propagado r e as auto-interaccedilotildees dos graacutevitons precisamos expressar a lagrangiana (214) em termos do campo CPf11I usando (28) e a inversa desta definiccedilatildeo a saber

gf1V = 7Jf1V _ ycPf1V + y2rcp~ _ y3cpwxcpapqJv + 0(y4) (215)

assim como a expansatildeo para J=9

g detgf1v

expTr[ln(1Jf1V + ycPf1v)]

det 1Jf1a expTr[ln(6~ + ycP~)] y2

~ det 1Jf1a expTr[ycp~ shy 2CPpcpen

- exp ycP~ shy ~ CPBcp~ 2

-1 yA-afa

~(A-aA-P _2 f3 fa A-aA-P)fa fP

de onde obtemos

F9 ~ 1 ~cP~ ~2 (~cp~cP~ CPBCP~) 0(y3) (216)

Substituindo as equaccedilotildees (28) (215) e (216) na lagrangiana (214) obtemos uma seacuterie em potecircncias de y A parte quadraacutetica da expansatildeo que eacute o termo de ordem zero mais o termo de fixaccedilatildeo de gauge constituiratildeo a parte quadraacutetica em cP~ da lagrangiana efetiva que no espaccedilo dos momentos eacute dada por

2 () [(I 2 1 2 1n~ )Vf1vaP k = 21Jf1v1Japk - kf1ka1Jvp + 21Jf1a1Jvpk kf1kv1Ja3 2 S 1Jvpuf1ua + L f-7 li

+ a f-7 8] + (L li) +-+ (a 8)

o propagador eacute o inverso da parte quadraacutetica e para obte-Io podemos escrever-lo em termos de uma base tensorial da seguinte forma

PffvPCT = L Ci rVPCT (217) i=l

0t~PCT 1Jf1p1JvCT +1Jf1(iacute1Jvp

TVP(iacute 1Jf1pUvU(iacute + 1Jf1CiacuteUVUP 1JvpUf1U(iacute + 1JV(iacuteUf1UP

Tvpu - UfLUVUpUU

Tp~pu I]fLVJ]pu

rvpu J]fLVUpuu + J]pUUfLUV

T(jvPu (J]fLpkv + J]VpkfL)uu + (J]fLUkv + J]vukfL)Up +

+(J]fLPUV + J]vpufL)ku (J]fLUUV + J]vuufL)kp

-vpu kfLUVUpUU + kVUfLUpuu + kpUfLuvuu + kuUfLUVUp

Tpu J]fLpkvku + J]fLukvkp + J]VpkfLku + J]VUkfLkp

Tvpu - kfLkvupuu + kpkuUfLUV

710fLVpu (kfLUV + kVUfL)(kpuu kuup)

711fLvpu ~~~~+~~~~+~~~~+~~~~

712 kfLkVkpkufLVpu

713fLvpu J]fLvkpku + J]PUkfLkv

714fLVpu - J]fLvkpUu J]fLvupku + J]pUkfLUV + J]puufLkv (218)

A base (218) eacute a base tensorial mais simples que se pode construir com J]fLV )

kp e up levando-se em conta as propriedades de simetria por troca de iacutendices do propagador

Multiplicando (217) pela parte quadraacutetica obtemos a identidade e resolvendo este sistema de equaccedilotildees em termos dos coeficientes Ci obtemos o propagador substituindo os respectivos valores em (217)

O caacutelculo do propagador bem como os dos veacutertices cuacutebico e quaacutertico que seratildeo utilizados a seguir envolvem um nuacutemero grande de termos e por isso foi usado um programa em Maple [Hec93] utilizando o pacote HIP [HY92] que calcula as regras de Feynman para graacutevitons a partir da lagrangiana de Einstein dadas as definiccedilotildees da meacutetrica e a sua inversa os siacutembolos de Christoffel e o escalar de Ricci

Finalmente o propagador obtido para uma dimensatildeo arbitraacuteria D pode ser escrito como segue

Pfrpu(k) -1

I)3pu 1 2

D _ )fJpu k 2

n5 (k bull U)2 [0~pu+ 1 12 I )3puTIl ]

+ (kU)2 0fJpu - T (219)

1 1 I fLvpu = 4(dfLKdv) + dfL)dvK) (dpKdu ) + dp)duK)

kfLUV 12vpu = dfLKdvKdp)du ) dfLV = J]fLV - k U

era 7 11 e 7 12 pertencem agrave base tensorial (218) Este propagador concorda com o obtido na referecircncia [CL82] O propagador (219) possui aleacutem de poacutelos em k 2 poacutelos em k bull u = ko Aleacutem disso devemos ressaltar que para os poacutelos do tipo 1k2 temos apenas poacutelos simples Estas propriedades ocorrem tambeacutem na QCD [Mut87] sendo caracteriacutesticas do gauge temporal

Os termos de ordem 1 2 e 3 em nos datildeo os veacutertices de trecircs quatro e cinco graacutevitons respectivamente a saber

V8pAgraveOacute(k1 k 2 k 3 ) 4 ([k2 bull k 3(1]a8(1]pgt1]oacute -1]poacute1]gt) + 41]aoacute(1]8p1]gt -1]pgt1]8))

+2k2a (k38(1]gt1]Poacute -1]pgt1]oacute) 2k3p(1]8gt1]oacuteY - 21]8oacute1]gtY))

+2k2p(2k3a1]8gt1]oacute k 3gt(21]8Y1]aoacute -1]a81]oacuteY)) 2k2oacutek 3p

(1]a81]gtY - 21]8gt1]Ct1)] + simet sobre (o ++ 3) (p ++ Agrave) (oacute ++ Y) permuto de (kl 0 3) (k2l p Agrave) (k3 oacute 1) (220)

Vd8pAgraveOacuteTO(kI k2 k3 k4) = 16 ([k3 bull k4laquo17a817pgt 217op178gt)(17oacute17T0 - 17OacuteT17O) + 8(17aoacute178p

+17op178oacute - 17o817oacutep)(17)Y17TO 170Y17Tgt) + 817pT17aoacute(178170gt 178u17gt))

+ 4k3a(2k4p178gt k4817pgt)(17oacuteY17T0 17OacuteT17YO) + 16(k3p k4a178oacute - k 3a k4817oacutep)

(17u17gtT - hgt17T0) + 8(k3a k 4J + k 3oacute k4a)(17pgt178 - 217gt178p)17TO

+ 16k30k4oacute17pr(2178017Ygt - 17817ugt) + 17u217pT178gt 17pgt 178T))

-16k3oacutek 4a17pr178170gt + 2(k3Tk4oacute170 - k3oacutek 417Tu)(17a817pgt - 217op178gt)

+8k3T k4oacute17Ygt - k 3oacute k 417gtT)(2178u17ap - 17pu17o8)]

+siacutemet sobre (a ~ fi) (p ~ Agrave) (8 ~ )) (T ~ a) +permut de (kl 0 fi) (k2 p Agrave) (k3 8 )) (k4 Ta) (221)

V8PAgraveOacuteYTupv(k b k 2 k 3 k 4 k 5)

96 [-121]pu k 4v 1]a8 1]gtp 1]YT k 5oacute - 12 k 5u k 4v 1]08 1]gtp 1]T foacutep - 481]YT k4u 1]a8 1]pp k 5oacute 17gtv

-6 fOT 1]pv 1]a8 1]gtp k5Y k 4oacute - 96 foacuteu 1]Yv k 5a 1]8T 1]gtp k 4p + 48 k 5u k 4v 1]a8 1]pp 1]YT fOacutegt

+481]p0 k 4v 1]a8 1]pT k5Y 1]oacutegt + 96 k 5oacute 17Yu 1]ap 1]8v 1]gtT k 4p - 96 fpu k 4v 1]aT 1]8p k 5 1]Oacutegt

+48 fp k 4v 1]a8 fpr k 5oacute fM 96 fv ksu 1]ap f8T k 4oacute fgtp k4 bull k5 (( -120 1]Yu 1]pp 1]oacutev 1]gtT

-48 fvu 1]pT 1]p 1]oacutegt + 241]0T 1]oacutep 1]Yv fgtp - 6 fpv 1]oacutep 1]UT 1]gt + 241]pv 1]pr1]u 1]oacutegt

+961]10 1]pr foacutev 1]gtp + fpv 1]gtp fUT foacute - 6 fUT 1]gtp 1]Yv 1]oacutep - 1]vu 1]gtp 1]pT 1]oacuteY

+6 fvu 1]oacutep 1]pT 1]1gt) 1]a8 + (-241]vO f8gt 1]p 1]OacuteT + 121]uT 1]8gt 1]v 1]oacutep - 1921]Yu f8p 1]oacutev fgtT

-481]vO f8oacute 1]T 1]gtp - 96 fu 1]8p 1]67 1]gtv 481]0T 1]8oacute 1]Yv 1]gtp + 12 fpv 1]8gt fu 1]OacuteT

+48 fJpv 1]8T 1]u 1]Oacutegt + 96 fO 1]8T foacutev fJgtp) fop + ( -48 fpv 1]8T 1]gt fp(1 48 fJ(1 1]8T 1]gtv 1]pp

+8 fJtv 1]f3p 1]UT 1]gt 481](1T fJ8p fJv 1]gtp + 1441](1 1]f3p 1]gtv fPT - 8 fV(1 1]f3p fpT 1]gt

-48 fJ(1 1]pv ff3p 1]gtT) faoacute + (48 f(1 1]f3p 1]gtv foacutep + 96 fv 1]f3p foacutegt 1]p(1 - 961]0 1]f3p foacutev 1]gtp

-14411iu 113p l1oacuteAgrave l1vp + 14411iv l13oacute 11gtp l1pu - 9611iv 113p 11M l1oacutep - 9611pv l13p l1iu l1oacuteAgrave

+ 48 11pv l13oacute l1igt l1pu) l1aT (9611iu l13p l1oacutev l1gtT + 9611vu l13p l1iT l1oacutegt 9611iu l13v l1gtT l1oacutep

-96 11UT l13p l1iv l1oacutegt - 9611iu l13p l1OacuteT l1gtv + 4811UT l13oacute l1igt l1vp) l1ap) (961hT l1vu l1Agravep l1oacutep

-4811iv l1uT l1oacutegt l1pp 4811iu l1pv l1gtT l1oacutep - 4811iT l1vu l1oacuteAgrave l1pp + 19211oacuteu l1iv 11gtp l1PT

- 192 11oacuteu l1iv l1gtT l1pp + 14411vu l1pr l1iP l1oacutegt) k4a k5fJ - 48 k5u k4v l1afJ l1pr l1imu l1Oacutegt

+9611iu k4v l1ar l1fJoacute 11gtp k5p - 9611iP k5v l1ap l1fJT k4oacute l1Agraveu + 96 k5u k4v l1a3 l1oacutep l1iT 11gtp

+4811iv k5u l1afJ k4p l1OacuteT fJgtp 48 fJUT fJpv k4a fJfJp k5i fJoacutegt + 19211w l1vO k4a fJ3p l1OacuteT k5gt

+96 fJiT k5u l1ap fJfJv l1Oacutegt k4p 24 fJOT fJpv fJaf3 k4p k5i l1OacuteAgrave 9611iu k4v l1aoacute fJfJT fJgtp k5p

-48 k5oacute k4i fJap fJfJv fJM l1pr - 2411PT fJvO l1af3 k4p k5i l1Oacutegt - 48 fJiO l1pv l1afJ k4p k5oacute l1gtT

-96 fJiv k5u fJap fJf3p fJOacuteT k4) 96 fJiu k4v l1afJ k5p fJOacuteT fJgtp 48 k50 k4v l1a3 fJoacutep l1iP fJgtT

-96 fJiO k4v k5a fJf3T fJgtp fJoacutep 96 k4i k5u fJap fJf3T fJoacutegt l1vp - 12 fJpO k4v fJafJ fJoacutep k5T fJigt

+96 k5u k4v l1aT fJ3p fJiP fJOacutegt - 12 fJpr fJvu fJap fJf3gt k5i k4oacute - 19211iT k50 fJap fJ3p l1oacutev k4Agrave

-48 k40 fJpv fJa3 l1PT k5i fJoacutegt 48 fJiT fJvO fJaf3 k4p k5oacute fJgtp 48 k4oacute k5i fJap fJf3T 11gt0 fJvp

+9611iT k5u l1a3 k4p fJoacutev fJAgravep + 9611oacutep l1iv k5a k43 fJM fJPT - 192 k5u k4v l1aoacute fJfJp fJiT 11gtp

+4811iT fJvu fJa3 k4p l1oacutep k5Agrave + 24 k50 k4v fJap fJf3Agrave l1iT fJoacutep - 96 fJiP fJvO fJafJ k4p fJOacuteT k5gt

-48 fJiv k5u l1a3l1pp k4oacute fJgtT + 12 k40 l1pv l1a3 fJgtp l1iT k5oacute + 48 k5T fJvO fJafJ fJpp k4i fJOacuteAgrave

-48 k50 l1pv l1a3 k4p fJiT l1Oacutegt + 12 k5u l1pv fJafJ l1Agravep fJitau k45 96 k5u l1pv k4a l1fJp fJiT fJOacuteAgrave

+96 fJiv k50 fJap fJfJp k4oacute l1gtT - 96 k5i l1vu k4a 11f3p fJOacutegt fJPT 96 fJiT l1vO l1ap l1f3p k5oacute k4)

-96 fJiT k5u k4a fJfJp l1OacuteAgrave fJvp - 48 fJiO l1pv k4a l1fJp l1OacuteT k5gt 96 k4oacute fJiv l1aT 11f3p 11gt0 k5p

+96 k5i fJpv k4a l1fJT fJOacutegt l1pO + (96 fJiu fJpv l1f3p l1gtT - 96 fJiO 113p l1AgraveT l1vp 48 fJUT fJpv fJ3p fJoacutegt

-96 fJvu fJf3p fJOacutegt fJPT + 9611pv fJf3T fJoacutegt l1pu) k4a k5oacute 48 k4T k50 fJap l13v 11gt0 l1pr

-48 k4T k50 fJap fJ3T fJgtO fJvp - 12 k4T k5u l1UT fJpv fJap fJfJgt 6 k4T k50 l1PT l1vu fJa3l1Agravep

+96 k4a k5oacute fJvO fJ3p fJoacutegt fJPT - 96 k4a k5oacute l1pv l1f3T fJoacutegt l1pO (- 96 11ap fJfJoacute l1igt l1vp

+96 fJaoacute l1fJp fJigt fJvp 12 fJaf3 fJgtp l1iv fJoacutep + 192 fJap l1fJp l1iv fJoacutegt - 9611ap l1fJp l1iv l1oacutegt

+12 fJpv fJafJ fJoacutep fJigt - 24 fJap fJfJgt fJiv fJoacutep - 96 fJap fJf3oacute fJiv fJgtp - 1611pv fJaoacute l1fJp l1igt

-48 fJa3l1pp fJiv fJoacutegt - 6 fJOT fJpv fJaf3 fJAgravep + 6 fJPT fJvO fJaf3 fJgtp 12 fJUT fJpv fJap 11f3gt

+ 48 11ap l13T fJAtildeO l1vp) k4T k50 + 48 k4a k5oacute fJOT fJpv fJ3p l1Oacutegt 48 k4a k5oacute fJPT fJvu fJf3p fJoacutegt

- 24 k40 fJpv fJap 113gt fJiT k5oacute + 1611pu k4v fJaoacute fJ3p k5T fJiAgrave 48 fJiO fJpv k5a fJf3p fJOacuteT k4Agrave

-9611iv k50 fJaoacute l13T fJgtp k4p + 24 k5T fJvO l1ap fJ3gt fJiP k4oacute - 12 k5T fJvu fJaf3l1gtp fJiP k4oacute

- 96 11oacutep fJiv k4a k5311gt0 l1PT + 96 k4u fJpv l1aT l13p k5i fJOacutegt + 96 fJiO k5v fJaT fJ3oacute fJAgravep k4p

+24 fJpu k4v l1ap 113gt l1iT k5oacute + 9611iO k5v fJaoacute fJ3T fJgtp k4p 9611iT fJvO k4a fJ3p fJoacutep k5gt

-96 fJiP k4v l1ap fJfJT k5oacute fJgtO + 24 fJiO fJpv fJafJ k4p fJOacuteT k5gt 96 fJiP k4v fJaT l13oacute l1gtu k5p

+211p0 k4v fJafJ fJgtp k5T fJoacutei + 12 k4T k5u 11pr fJvO l1ap 113gt 6 k4T k50 l1UT fJpv fJafJ l1Agravep

+12 fJUT fJpv fJap 113gt k5i k4oacute + 48 fJPT l1vu k4a fJ3p k5i l1Oacutegt 96 k50 k4v l1ap fJf3p fJT fJoacuteAgrave]

+simet sobre (a f-+ 3) (p f-+ Agrave) (oacute f-+ Y) (T f-+ a) (p f-+ v) +permut de (k1 a 3) (k2 p Agrave) (k3 oacute Y) (k4)T a) (k5)p v) (222)

As expressotildees (219) (220) (221) e (222) estatildeo relacionadas por identidades de Ward que satildeo obtidas a partir da invariacircncia da accedilatildeo sob transformaccedilotildees gerais dos campos Estas relaccedilotildees estatildeo deduzidas no apecircndice C

222 Propagador dos Ghosts e Veacutertice Ghost-GraacutevitonshyGhost

A fim de obtermos as de regras de Feynman para os ghosts precisamos escrever a lagrangiana de Faddeev e Popov em termos do campo gravitacional Para isto primeiro vamos calcular a variaccedilatildeo de gW por transformaccedilotildees de gauge Usando a lei de transformaccedilatildeo para tensores

oxP oxlY gJLV = oxJL oxV

onde x JL = x JL euroJL (x)

Assim _ lp l1Y

gJLV - gJLV - ueuro gpv - UVeuro gJLIY O(euro2) (223)

Expandindo em seacuterie o termo da esquerda

g~v(XAgrave) = g~v(xAgrave) + euroAgraveoAgraveg~v + O(euro2) (224)

onde no segundo termo do lado direito podemos aproximar em primeira ordem g~v ~ gJLI

Substituindo (223) e (224) na definiccedilatildeo de OacutegJLV = g~v(xAgrave) gJLv(XAgrave) temos

oacutegJLV = -Oeuropgpv - OveuropgJLP - euroAgraveoAgravegv (225)

Introduzimos agora o campo gravitacional covariante ifgtJLV mediante a relaccedilatildeo (28) entatildeo

OacutegJLV = -oJLeurov Oveuro - K(oJLeuroPifgtpv + OveuroPifgtJLP euroAgraveifgtvAgrave) (226)

Achando a variaccedilatildeo de (210) OacuteFv = KnouJLOacuteifgtW para obter M Agravev e como KOacuteifgtJLV =

oacutegV) temos

OacuteFAgrave = -no[umiddot Or]Agravev uAgraveov K(ifgtAgravevu 0+ uJLifgtJLAgraveov uJLifgtJLVAgrave)]EAgrave

Assim M Agravev seraacute dado por

M Agravev = -no[u 0rJAgravev uAgraveov + K(ifgtAgravevu 0+ uJLifgtJLAgraveov uifgtJLVAgrave)]

e o funcional det I~ seraacute

det I~~ I= Jd[6]d[rJv] exp-iJno [uorJAgravev+uAgraveov+K(ifgtAgravevuo+uJLifgtJLAgraveov+uJLifgtJLvAgrave)]6dx

Finalmente o funcional gerador (22) seraacute

Z = N Jd[gltvJd[ccedilJd[rJJ exp[i J(CE CGF - noccedil[(umiddot ocirc)rJ)v + u)ocircv +

+K(1)vU Ocirc + ult 1gtlt)ocircv + ult1gtltv)JrJ)dx] (227)

onde C E e CGF estatildeo dados por (24) e (211) respectivamente e o uacuteltimo termo da exponencial eacute a lagrangiana de Faddeev e Popov

CFP = nOrJv[u ocircrJv uocircv + K(1)vU Ocirc ult 1gtltocircv + ult1gtltv))]6 (228)

Optamos pela convenccedilatildeo de escolher a lagrangiana com sinal positivo e acrescentar o fator -1 em cada loop dos fantasmas

O operador proveniente do termo quadraacutetico nos campos de fantasmas eacute

no [(umiddot ocirc)rJv + uocircv]

Expressando no espaccedilo dos momentos

ino [(umiddot k)rJv + ukv]

Vamos achar o inverso deste operador multiplicando-o pela combinaccedilatildeo linear de uma base de tensores formados a partir da meacutetrica plana rJltV o vetor axial u e o momento k carregado pelos fantasmas e fazendo o resultado igual agrave delta quadri-dimensional Assim teremos que

no (iumiddot krJ)v + iukv)(ArJ1t Buult + Ckklt + Duklt + Eultk) = oacutet

no [iAumiddot koacutet + iAultkv iacuteBu kuvult + iacuteBkvult iC(umiddot k)kvklt + iC(umiddot k)kvklt +iD(u k)uvklt + iDkvklt iEumiddot kullkv + iE(umiddot k)kvull] = oacute~

Juntando termos semelhantes chegamos agraves seguintes equaccedilotildees

inoAu k - 1 = O

iA iB + 2iE(u k) O

iB(umiddotk) =0

2iacuteC(umiddotk)+iD=0

iacuteD(umiddotk)=O

Das quais obtemos

A= __iacute noumiddotk

B=O C=O D=O E= __iacute

no 2(umiddot k)2

Entatildeo o propagador do ghost eacute

9()_ i [ 1 1 1 (229)PAtilde1 k - no(27f)4 2(uk)2kAtildeu1- uk TJAtilde1

o propagado r (229) como no caso da QCD [Mut87] possui apenas poacutelos do tipo l(kmiddot u) Como veremos no proacuteximo capiacutetulo este fato implica em uma propriedade particular do gauge temporal O veacutertice graacuteviton-ghost-ghost vem do termo proshyporcional a K na lagrangiana de Faddeev e Popov (228) o qual expressado no espaccedilo dos momentos eacute

V~~(k k2 k3) = (21r)4inoK[TJp1TJau k2 + TJpaU1k2 TJaU1k1p + J-L f-+ 0] (230)

23 Regras de Feynman no Gauge Covariante

Um gauge frequentemente utilizado em gravitaccedilatildeo eacute o gauge de Feynman-De Donder onde

F = 8191 f _ (8 -1)2

JGF - - 12 1e 1g (231 )

Com esta escolha eacute conveniente usar a representaccedilatildeo 91 assim a funccedilatildeo F fica restrita agrave categoria dos gauges lineares e o termo de fixaccedilatildeo de gauge adquire uma forma bilinear nos campos gravitacionais Assim precisamos obter a lagrangiana de Einstein em termos de 91 e 91 De (29) temos que

1g1 = --91 (232)

Derivando ambos os lados de (232) obtemos

1 = _l_g_1 + (_g)-32g g-1g (233)a V-ga 2 a

Usando a definiccedilatildeo de determinante - -afjgp = ggafjgp (234)

Finalmente usando (234) em (233) obtemos

1 1 -1 1 - -afj -1 ga rgga - 2=ggafjgag (235)

Usando (235) e o inverso de (232) obtemos da lagrangiana (214) apoacutes simplificarmos alguns termos

C 1 r- - -1-afj-Atildep 2- -afj-AtildepE 2K2 gfjpgaAtildeg g g1 - gaAtildegp gfj

1_ - Atildep - -afj -1]2gAtildePg gafjg1 9 (236)

que eacute a equaccedilatildeo (A14) da referecircncia [CLM73]

Para obtermos os veacutertices e propagador expressamos (236) em termos do campo Jpv usando (27) e a sua inversa a saber

- _ - 2 - - Ct 3 - - Ctf3 - 4 gpv - 77pv - CPpv + CPPCtCPv - CPPCtCP CPf3v + 0( ) (237)

Para invertermos o termo quadraacutetico de (236) mais o termo (231) e obter assim o propagador como natildeo temos neste caso a presenccedila do quadrivetor up precisamos apeshynas de uma base com os cinco tensores da base (218) que natildeo contem esse quadrivetor e o propagador pode ser escrito como

pG 1 4 g 7 12 713 pvpu = Cl I pvpu + C4 I pvpu + Cs I pvpu + C12 pvpu + C13 pvpu (238)

Invertendo o termo quadraacutetico de (236) mais o termo (231) usando (238) obtemos para o propagador [BF98]

pG 1 (1 - ccedil)pvpu ()~4(z2 ~ r 77pp77vu + 77pu77vp - 77pv77pu + 1_ _ (2kpkv77pu

+ 2kpku77pv - 77pv77pu k2 - kpkp77vu - kv kp77pu - kp ku77vp - kvku77pp)

o propagador (239) diferentemente do caso do gauge temporal possue apenas poacutelos do tipo 1k2 mas agora temos poacutelos simples e poacutelos duplos Desta forma o meacutetodo de amplitudes frontais apresentado no apendice B para o caacutelculo de funccedilotildees de Green teacutermicas neste gauge precisa ser generalizado

Os termos de ordem 1 2 e 3 em de (236) datildeo respectivamente [BF98]

Vf3pAgraveOtildeI(k1 k2 k3) 4 [-4k2oacute k3)77CtP77f31 - k2 bull k377Ctoacute77f3177p) + 2k2 k377Ct)77f3177poacute

+2k2 k377CtP77f3oacute77)1 - k2 k377CtP77(3)77oacutel - 2k2Ctk3f3 77poacute77)1 + k2Ct k3f377p)77h

+ (simet sobre (a f-+ 13) (p f-+ Agrave) (15 f-+ ))]

+permut de (k1 a 13) (k2 p Agrave) (k3 15 ) (240)

Vf3pAgraveOtildelru(k1 k2 k3 k4) 16 [k3p k4)( -277CtI77f3u77roacute + 77Ct177f3oacute77ru + 77Ctr77f3u77oacutel - 277Ctoacute77f3u77rl)

-4k3uk4177Ctoacute77(3)77pr + k3 k477Ctoacute(277f3)77pr77Iu - 77(3)77ru77Ip

+277(3)77rI77pu - 77f3177rp77gtu + 277f3u77n77rgt) - k3 bull k477Ctr77(3)77pu77oacutel

+ (simet sobre (a f-+ 13) (p f-+ Agrave) (15 f-+ ) (T f-+ a))] +permut de (k1 a 13) (k2 p Agrave) (k3 15 ) (k4T a) (241)

tPpAgraveaacute7TU~v(klk2k3k4k5) 4 [(-f]UT f]a~ f]pp f]aacuteAgrave f]7v - f]7v f](XT f]3u f]pP f]aacuteAgrave 2 rhv f]aT f]pp f]Agravep f]aacuteu

-f]7v f]aT f]3p f]Agraveu f]oacute~ 2 f]7v f]aT f]p~ f]pu f]aacuteAgrave + 4 f]vu f](XT f]pp f]aacuteAgrave f]7~

-f]pv f]aT f]pp f]aacuteAgrave f]7U) k4 bull k5 - 2 f]oacuteu f]7v k 5a k 4p f]pr f]Agrave~

-4 k 5u k 4v f]aT f]pp f]aacuteAgrave f]7~ + f]7u f]pv k 4a k 53 f]PT f]aacuteAgrave

+f]7u f]~v k 5a k 43 f]pr f]aacuteAgrave + f]oacutep f]7v k 5a k 43 f]PT f]Agraveu

-4 f]7T f]vu k 4a k 5p f]~p f]aacuteAgrave]

+simet sobre (a ++ 13) (p ++ Agrave) (oacute +7 Y) (7 ++ 0) (1 ++ v)

+permut de (k1 a 13) (k2 p Agrave) (k3 oacute Y) (k4 7 0) (k5 1 v) (242)

Podemos ver comparando os resultados (240) (241) e (242) obtidos na represhysentaccedilatildeo ~v com os correspondentes (220) (221) e (222) obtidos na representaccedilatildeo ltgtpv que na representaccedilatildeo ~pv os veacutertices possuem nuacutemeros de termos bem menores Isso eacute faacutecil de entender uma vez_que a raiz de - 9 eacute expandida na representaccedilatildeo ltgt~v enquanto que na representaccedilatildeo ltgtpv estaacute embutida no campo de graacutevitons

As equaccedilotildees (239) (240) (241) e (242) tambeacutem obedecem as identidades de Ward mostradas no apecircndice C

Para calcular a matriz M que aparece em (22) e assim encontrarmos o propagador e o veacutertice dos ghosts no gauge covariante onde o termo de fixaccedilatildeo F eacute dado por (231) vamos achar a variaccedilatildeo de g~V ao fazer uma transformaccedilatildeo de gauge

x~ = xp f~(X) (243)

Sabemos que g~V transforma-se como um tensor gti I~gti Iv

I~V( IAgrave) _ uX uX UP( Agrave)9 X - ----g x oxu oxP

(Oacute~ + Ouf~)(Oacute~ + OpfV)gUP

= g~V + opfvg~P + ouf~gUV O(f2) (244)

g~V(XAgrave) = g~V(XAgrave + f Agrave (x))

= g~V (xAgrave) f Agrave (x)OAgraveg~v (xAgrave) O(f2) (245)

o segundo termo da direita pode aproximar-se em primeira ordem em f como

fAgrave( X)OAgraveg~V (xAgrave)

[BP92] E Braaten and R D Pisarski Simple effective lagrangian for hard thermalloops Phys Rev D451827-1830 (1992)

[CL82] D M Capper and G Leibbrandt On ward identities in a general axial gauge quantum gravity Phys Rev D251009 (1982)

[CLM73] D M Capper G Leibbrandt and R Medrano Calculation of the gravishyton self-energy using dimensional regularization Phys Rev D84320shy4331 (1973)

[CWMW73] K S Thorne C W Misner and J A Weeler Gravitation Freeman NY (1973)

[Dir96] P A M Dirac General Theory of Relatiacutevity Princeton Univertity Press New Jersey (1996)

[DM85] R Delbourgo and T Matsuki Gravitational counterterms and brs symshymetry Phys Rev) D322579 (1985)

[FT91] J Frenkel and J C Taylor Hard thermalloops in a gravitational field Z Phys C49515-520 (1991)

[FT92] J Frenkel and J C Taylor Hard thermal QCD forward scattering and effective actions Nucl Phys B374156 (1992)

[FTBM99] J Frenkel F T Brandt and F R Machado Finite temperature gluon self-energy in a class oftemporal gauges Phys Rev D61125014 (2000)

[FW71] A L Fetter and J D Walecka Theory of Many-Partiacutecle Systems McGraw-Hill (1971)

[GDH89] P S Gribosky J F Donoghue and B R Holstein The stability of hot curved space Ann Phys 190149 (1989)

[GPY82] D J Gross M J Perry and L G Yaffe Instability of flat space at finite temperature Phys Rev D25330 (1982)

[GR80] L S Gradshteyn and M Ryzhik Tables of Integral Series and Products Academic New York (1980)

[Hec93] A Heck Introduction to Maple Springer-Vedag NY (1993)

[HV74] G t Hooft and M J G Veltman Ann Inst Henri Poicareacute A2069 (1974)

[HY92] A Hieh and E Yehudai Hip Symbolic high-energy physics calculations Computo Phys 6253-261 (1992)

[Kap89]

[KKR90]

[KKR91]

[KLLM94]

[KMT84]

(KR91]

[LS94)

[Mut87)

[Ram90]

[Reb91)

[Reb92)

[tH75]

[Wei72)

[Wei95]

J L Kapusta Finite Temperature Field Theory Cambridge University Press Cambridge England (1989)

R Kobes G Kunstatter and A Rebhan QCD plasma parameters and the gauge dependent gluon propagator Phys Rev Lett 642992-2995 (1990)

R Kobes G Kunstatter and A Rebhan Gauge dependence identities and their application at finite temperature Nucl Phys B3551-37 (1991)

P F Kelly Q Liu C Lucchesi and C Manuel Classical transport theory and hard thermalloops in the quark - gluon plasma Phys Rev D504209-4218 (1994)

Y Kikuchi T Moriya and H Tsukahara Gravitational instability and curvature effect at finite temperature Phys Rev D292220 (1984)

U Krammer and A Rebhan Selfconsistent cosmological perturbations from thermal field theory Phys Rev Lett 67793-796 (1991)

G Leibbrandt and M Staley Finite temperature calculations in the temporal gauge Nucl Phys B428469-484 (1994)

T Muta Foundations 01 Quantum Chromodynamiacutecs World Scientific Singapore (1987)

P Ramond Field Theory A Modem Primer Addison-Wesley Menlo Park (1990)

A Rebhan Collective phenomena and instabilities of perturbative quanshytum gravity at nonzero temperature Nucl Phys B351706-734 (1991)

A Rebhan Analytical solutions for cosmological perturbations with relativistic collisionless matter Nucl Phys B368479-508 (1992)

G t Hooft Quantum Gravity H Rolnick and K Pietz Springer-Verlag (1975)

S Weinberg Gravitatiacuteon and Cosmol09Y Principles and Applications 01 the General Theory 01 Relativity John Wiley amp Sons NY (1972)

S Weinberg The Quantum Theory 01 Fields Cambridge University Press Cambridge England (1995)

S~o~)l3

~ 111~ P y tX~t

FICHA CATALOGRAacuteFICA Preparada pelo Serviccedilo de Biblioteca e Informaccedilatildeo do Instituto de Fiacutesica da Universidade de Satildeo Paulo

Machado Fabiano Rabelo

Perturbaccedilotildees Gravitacionais em um Meio Teacutermico Satildeo Paulo 2003

Tese (Doutoramento) Universidade de Satildeo Paulo Instituto de Fiacutesica Departamento de Fiacutesica Experimental

Orientador Prof Dr Fernando T C Brandt Aacuterea de Concentraccedilatildeo Fiacutesica

Unitermos 1 Funccedilotildees de Green teacutermicas 2 Graacutevitons 3 Relaccedilotildees de Dispersatildeo 4 Teorias de Gauge

USPIFSBI-0392003

Abstract

Resumo

snaqwW oqy nam 0V

Agradecimentos

Sumaacuterio

53 Helicidades 46

Capiacutetulo 1

Capiacutetulo 2

Regras de Feynrnan

xP- -+ xl- + el-(X) (21)

cE 2 ( - g) 12 RpvgPV (24)2K

gaw rp7 = T(g3W7 + gW7f] - gf]7W) (26)

gPV = v_9gp1I (29)

nLAL(x) = O p = O 1 23 n2 = n~ - ii2

F) KnLltpL) (210)

2 I _ no (LA- )2I-GF - 23 U fL) (211)

g detgf1v

-1 yA-afa

de onde obtemos

F9 ~ 1 ~cP~ ~2 (~cp~cP~ CPBCP~) 0(y3) (216)

+ a f-7 8] + (L li) +-+ (a 8)

Tvpu - UfLUVUpUU

Tp~pu I]fLVJ]pu

711fLvpu ~~~~+~~~~+~~~~+~~~~

712 kfLkVkpkufLVpu

Pfrpu(k) -1

I)3pu 1 2

D _ )fJpu k 2

+ (kU)2 0fJpu - T (219)

Assim _ lp l1Y

oacutegV) temos

inoAu k - 1 = O

iA iB + 2iE(u k) O

iB(umiddotk) =0

iacuteD(umiddotk)=O

Das quais obtemos

no 2(umiddot k)2

F = 8191 f _ (8 -1)2

JGF - - 12 1e 1g (231 )

1g1 = --91 (232)

1 = _l_g_1 + (_g)-32g g-1g (233)a V-ga 2 a

x~ = xp f~(X) (243)

[Kap89]

[KKR90]

[KKR91]

[KLLM94]

[KMT84]

(KR91]

[LS94)

[Mut87)

[Ram90]

[Reb91)

[Reb92)

[tH75]

[Wei72)

[Wei95]

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xP- -+ xl- + el-(X) (21)

cE 2 ( - g) 12 RpvgPV (24)2K

gaw rp7 = T(g3W7 + gW7f] - gf]7W) (26)

gPV = v_9gp1I (29)

nLAL(x) = O p = O 1 23 n2 = n~ - ii2

F) KnLltpL) (210)

2 I _ no (LA- )2I-GF - 23 U fL) (211)

g detgf1v

-1 yA-afa

de onde obtemos

F9 ~ 1 ~cP~ ~2 (~cp~cP~ CPBCP~) 0(y3) (216)

+ a f-7 8] + (L li) +-+ (a 8)

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+ (kU)2 0fJpu - T (219)

Assim _ lp l1Y

oacutegV) temos

inoAu k - 1 = O

iA iB + 2iE(u k) O

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iacuteD(umiddotk)=O

Das quais obtemos

no 2(umiddot k)2

F = 8191 f _ (8 -1)2

JGF - - 12 1e 1g (231 )

1g1 = --91 (232)

1 = _l_g_1 + (_g)-32g g-1g (233)a V-ga 2 a

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[Kap89]

[KKR90]

[KKR91]

[KLLM94]

[KMT84]

(KR91]

[LS94)

[Mut87)

[Ram90]

[Reb91)

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xP- -+ xl- + el-(X) (21)

cE 2 ( - g) 12 RpvgPV (24)2K

gaw rp7 = T(g3W7 + gW7f] - gf]7W) (26)

gPV = v_9gp1I (29)

nLAL(x) = O p = O 1 23 n2 = n~ - ii2

F) KnLltpL) (210)

2 I _ no (LA- )2I-GF - 23 U fL) (211)

g detgf1v

-1 yA-afa

de onde obtemos

F9 ~ 1 ~cP~ ~2 (~cp~cP~ CPBCP~) 0(y3) (216)

+ a f-7 8] + (L li) +-+ (a 8)

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712 kfLkVkpkufLVpu

Pfrpu(k) -1

I)3pu 1 2

D _ )fJpu k 2

+ (kU)2 0fJpu - T (219)

Assim _ lp l1Y

oacutegV) temos

inoAu k - 1 = O

iA iB + 2iE(u k) O

iB(umiddotk) =0

iacuteD(umiddotk)=O

Das quais obtemos

no 2(umiddot k)2

F = 8191 f _ (8 -1)2

JGF - - 12 1e 1g (231 )

1g1 = --91 (232)

1 = _l_g_1 + (_g)-32g g-1g (233)a V-ga 2 a

x~ = xp f~(X) (243)

[Kap89]

[KKR90]

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xP- -+ xl- + el-(X) (21)

cE 2 ( - g) 12 RpvgPV (24)2K

gaw rp7 = T(g3W7 + gW7f] - gf]7W) (26)

gPV = v_9gp1I (29)

nLAL(x) = O p = O 1 23 n2 = n~ - ii2

F) KnLltpL) (210)

2 I _ no (LA- )2I-GF - 23 U fL) (211)

g detgf1v

-1 yA-afa

de onde obtemos

F9 ~ 1 ~cP~ ~2 (~cp~cP~ CPBCP~) 0(y3) (216)

+ a f-7 8] + (L li) +-+ (a 8)

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Assim _ lp l1Y

oacutegV) temos

inoAu k - 1 = O

iA iB + 2iE(u k) O

iB(umiddotk) =0

iacuteD(umiddotk)=O

Das quais obtemos

no 2(umiddot k)2

F = 8191 f _ (8 -1)2

JGF - - 12 1e 1g (231 )

1g1 = --91 (232)

1 = _l_g_1 + (_g)-32g g-1g (233)a V-ga 2 a

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[Kap89]

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[Reb92)

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xP- -+ xl- + el-(X) (21)

cE 2 ( - g) 12 RpvgPV (24)2K

gaw rp7 = T(g3W7 + gW7f] - gf]7W) (26)

gPV = v_9gp1I (29)

nLAL(x) = O p = O 1 23 n2 = n~ - ii2

F) KnLltpL) (210)

2 I _ no (LA- )2I-GF - 23 U fL) (211)

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de onde obtemos

F9 ~ 1 ~cP~ ~2 (~cp~cP~ CPBCP~) 0(y3) (216)

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Assim _ lp l1Y

oacutegV) temos

inoAu k - 1 = O

iA iB + 2iE(u k) O

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Das quais obtemos

no 2(umiddot k)2

F = 8191 f _ (8 -1)2

JGF - - 12 1e 1g (231 )

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1 = _l_g_1 + (_g)-32g g-1g (233)a V-ga 2 a

x~ = xp f~(X) (243)

[Kap89]

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xP- -+ xl- + el-(X) (21)

cE 2 ( - g) 12 RpvgPV (24)2K

gaw rp7 = T(g3W7 + gW7f] - gf]7W) (26)

gPV = v_9gp1I (29)

nLAL(x) = O p = O 1 23 n2 = n~ - ii2

F) KnLltpL) (210)

2 I _ no (LA- )2I-GF - 23 U fL) (211)

g detgf1v

-1 yA-afa

de onde obtemos

F9 ~ 1 ~cP~ ~2 (~cp~cP~ CPBCP~) 0(y3) (216)

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Pfrpu(k) -1

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Assim _ lp l1Y

oacutegV) temos

inoAu k - 1 = O

iA iB + 2iE(u k) O

iB(umiddotk) =0

iacuteD(umiddotk)=O

Das quais obtemos

no 2(umiddot k)2

F = 8191 f _ (8 -1)2

JGF - - 12 1e 1g (231 )

1g1 = --91 (232)

1 = _l_g_1 + (_g)-32g g-1g (233)a V-ga 2 a

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[KKR90]

[KKR91]

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(KR91]

[LS94)

[Mut87)

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xP- -+ xl- + el-(X) (21)

cE 2 ( - g) 12 RpvgPV (24)2K

gaw rp7 = T(g3W7 + gW7f] - gf]7W) (26)

gPV = v_9gp1I (29)

nLAL(x) = O p = O 1 23 n2 = n~ - ii2

F) KnLltpL) (210)

2 I _ no (LA- )2I-GF - 23 U fL) (211)

g detgf1v

-1 yA-afa

de onde obtemos

F9 ~ 1 ~cP~ ~2 (~cp~cP~ CPBCP~) 0(y3) (216)

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Assim _ lp l1Y

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inoAu k - 1 = O

iA iB + 2iE(u k) O

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iacuteD(umiddotk)=O

Das quais obtemos

no 2(umiddot k)2

F = 8191 f _ (8 -1)2

JGF - - 12 1e 1g (231 )

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1 = _l_g_1 + (_g)-32g g-1g (233)a V-ga 2 a

x~ = xp f~(X) (243)

[Kap89]

[KKR90]

[KKR91]

[KLLM94]

[KMT84]

(KR91]

[LS94)

[Mut87)

[Ram90]

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[Reb92)

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[Wei72)

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xP- -+ xl- + el-(X) (21)

cE 2 ( - g) 12 RpvgPV (24)2K

gaw rp7 = T(g3W7 + gW7f] - gf]7W) (26)

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F) KnLltpL) (210)

2 I _ no (LA- )2I-GF - 23 U fL) (211)

g detgf1v

-1 yA-afa

de onde obtemos

F9 ~ 1 ~cP~ ~2 (~cp~cP~ CPBCP~) 0(y3) (216)

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Pfrpu(k) -1

I)3pu 1 2

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Assim _ lp l1Y

oacutegV) temos

inoAu k - 1 = O

iA iB + 2iE(u k) O

iB(umiddotk) =0

iacuteD(umiddotk)=O

Das quais obtemos

no 2(umiddot k)2

F = 8191 f _ (8 -1)2

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1 = _l_g_1 + (_g)-32g g-1g (233)a V-ga 2 a

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[Kap89]

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[KLLM94]

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(KR91]

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[Ram90]

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cE 2 ( - g) 12 RpvgPV (24)2K

gaw rp7 = T(g3W7 + gW7f] - gf]7W) (26)

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g detgf1v

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Pfrpu(k) -1

I)3pu 1 2

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oacutegV) temos

inoAu k - 1 = O

iA iB + 2iE(u k) O

iB(umiddotk) =0

iacuteD(umiddotk)=O

Das quais obtemos

no 2(umiddot k)2

F = 8191 f _ (8 -1)2

JGF - - 12 1e 1g (231 )

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1 = _l_g_1 + (_g)-32g g-1g (233)a V-ga 2 a

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[Reb92)

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gaw rp7 = T(g3W7 + gW7f] - gf]7W) (26)

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inoAu k - 1 = O

iA iB + 2iE(u k) O

iB(umiddotk) =0

iacuteD(umiddotk)=O

Das quais obtemos

no 2(umiddot k)2

F = 8191 f _ (8 -1)2

JGF - - 12 1e 1g (231 )

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1 = _l_g_1 + (_g)-32g g-1g (233)a V-ga 2 a

x~ = xp f~(X) (243)

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F) KnLltpL) (210)

2 I _ no (LA- )2I-GF - 23 U fL) (211)

g detgf1v

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Pfrpu(k) -1

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inoAu k - 1 = O

iA iB + 2iE(u k) O

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no 2(umiddot k)2

F = 8191 f _ (8 -1)2

JGF - - 12 1e 1g (231 )

1g1 = --91 (232)

1 = _l_g_1 + (_g)-32g g-1g (233)a V-ga 2 a

x~ = xp f~(X) (243)

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gaw rp7 = T(g3W7 + gW7f] - gf]7W) (26)

gPV = v_9gp1I (29)

nLAL(x) = O p = O 1 23 n2 = n~ - ii2

F) KnLltpL) (210)

2 I _ no (LA- )2I-GF - 23 U fL) (211)

g detgf1v

-1 yA-afa

de onde obtemos

F9 ~ 1 ~cP~ ~2 (~cp~cP~ CPBCP~) 0(y3) (216)

+ a f-7 8] + (L li) +-+ (a 8)

Tvpu - UfLUVUpUU

Tp~pu I]fLVJ]pu

711fLvpu ~~~~+~~~~+~~~~+~~~~

712 kfLkVkpkufLVpu

Pfrpu(k) -1

I)3pu 1 2

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+ (kU)2 0fJpu - T (219)

Assim _ lp l1Y

oacutegV) temos

inoAu k - 1 = O

iA iB + 2iE(u k) O

iB(umiddotk) =0

iacuteD(umiddotk)=O

Das quais obtemos

no 2(umiddot k)2

F = 8191 f _ (8 -1)2

JGF - - 12 1e 1g (231 )

1g1 = --91 (232)

1 = _l_g_1 + (_g)-32g g-1g (233)a V-ga 2 a

x~ = xp f~(X) (243)

[Kap89]

[KKR90]

[KKR91]

[KLLM94]

[KMT84]

(KR91]

[LS94)

[Mut87)

[Ram90]

[Reb91)

[Reb92)

[tH75]

[Wei72)

[Wei95]

nLAL(x) = O p = O 1 23 n2 = n~ - ii2

F) KnLltpL) (210)

2 I _ no (LA- )2I-GF - 23 U fL) (211)

g detgf1v

-1 yA-afa

de onde obtemos

F9 ~ 1 ~cP~ ~2 (~cp~cP~ CPBCP~) 0(y3) (216)

+ a f-7 8] + (L li) +-+ (a 8)

Tvpu - UfLUVUpUU

Tp~pu I]fLVJ]pu

711fLvpu ~~~~+~~~~+~~~~+~~~~

712 kfLkVkpkufLVpu

Pfrpu(k) -1

I)3pu 1 2

D _ )fJpu k 2

+ (kU)2 0fJpu - T (219)

Assim _ lp l1Y

oacutegV) temos

inoAu k - 1 = O

iA iB + 2iE(u k) O

iB(umiddotk) =0

iacuteD(umiddotk)=O

Das quais obtemos

no 2(umiddot k)2

F = 8191 f _ (8 -1)2

JGF - - 12 1e 1g (231 )

1g1 = --91 (232)

1 = _l_g_1 + (_g)-32g g-1g (233)a V-ga 2 a

x~ = xp f~(X) (243)

[Kap89]

[KKR90]

[KKR91]

[KLLM94]

[KMT84]

(KR91]

[LS94)

[Mut87)

[Ram90]

[Reb91)

[Reb92)

[tH75]

[Wei72)

[Wei95]

g detgf1v

-1 yA-afa

de onde obtemos

F9 ~ 1 ~cP~ ~2 (~cp~cP~ CPBCP~) 0(y3) (216)

+ a f-7 8] + (L li) +-+ (a 8)

Tvpu - UfLUVUpUU

Tp~pu I]fLVJ]pu

711fLvpu ~~~~+~~~~+~~~~+~~~~

712 kfLkVkpkufLVpu

Pfrpu(k) -1

I)3pu 1 2

D _ )fJpu k 2

+ (kU)2 0fJpu - T (219)

Assim _ lp l1Y

oacutegV) temos

inoAu k - 1 = O

iA iB + 2iE(u k) O

iB(umiddotk) =0

iacuteD(umiddotk)=O

Das quais obtemos

no 2(umiddot k)2

F = 8191 f _ (8 -1)2

JGF - - 12 1e 1g (231 )

1g1 = --91 (232)

1 = _l_g_1 + (_g)-32g g-1g (233)a V-ga 2 a

x~ = xp f~(X) (243)

[Kap89]

[KKR90]

[KKR91]

[KLLM94]

[KMT84]

(KR91]

[LS94)

[Mut87)

[Ram90]

[Reb91)

[Reb92)

[tH75]

[Wei72)

[Wei95]

Tvpu - UfLUVUpUU

Tp~pu I]fLVJ]pu

711fLvpu ~~~~+~~~~+~~~~+~~~~

712 kfLkVkpkufLVpu

Pfrpu(k) -1

I)3pu 1 2

D _ )fJpu k 2

+ (kU)2 0fJpu - T (219)

Assim _ lp l1Y

oacutegV) temos

inoAu k - 1 = O

iA iB + 2iE(u k) O

iB(umiddotk) =0

iacuteD(umiddotk)=O

Das quais obtemos

no 2(umiddot k)2

F = 8191 f _ (8 -1)2

JGF - - 12 1e 1g (231 )

1g1 = --91 (232)

1 = _l_g_1 + (_g)-32g g-1g (233)a V-ga 2 a

x~ = xp f~(X) (243)

[Kap89]

[KKR90]

[KKR91]

[KLLM94]

[KMT84]

(KR91]

[LS94)

[Mut87)

[Ram90]

[Reb91)

[Reb92)

[tH75]

[Wei72)

[Wei95]

Assim _ lp l1Y

oacutegV) temos

inoAu k - 1 = O

iA iB + 2iE(u k) O

iB(umiddotk) =0

iacuteD(umiddotk)=O

Das quais obtemos

no 2(umiddot k)2

F = 8191 f _ (8 -1)2

JGF - - 12 1e 1g (231 )

1g1 = --91 (232)

1 = _l_g_1 + (_g)-32g g-1g (233)a V-ga 2 a

x~ = xp f~(X) (243)

[Kap89]

[KKR90]

[KKR91]

[KLLM94]

[KMT84]

(KR91]

[LS94)

[Mut87)

[Ram90]

[Reb91)

[Reb92)

[tH75]

[Wei72)

[Wei95]

Assim _ lp l1Y

oacutegV) temos

inoAu k - 1 = O

iA iB + 2iE(u k) O

iB(umiddotk) =0

iacuteD(umiddotk)=O

Das quais obtemos

no 2(umiddot k)2

F = 8191 f _ (8 -1)2

JGF - - 12 1e 1g (231 )

1g1 = --91 (232)

1 = _l_g_1 + (_g)-32g g-1g (233)a V-ga 2 a

x~ = xp f~(X) (243)

[Kap89]

[KKR90]

[KKR91]

[KLLM94]

[KMT84]

(KR91]

[LS94)

[Mut87)

[Ram90]

[Reb91)

[Reb92)

[tH75]

[Wei72)

[Wei95]

Assim _ lp l1Y

oacutegV) temos

inoAu k - 1 = O

iA iB + 2iE(u k) O

iB(umiddotk) =0

iacuteD(umiddotk)=O

Das quais obtemos

no 2(umiddot k)2

F = 8191 f _ (8 -1)2

JGF - - 12 1e 1g (231 )

1g1 = --91 (232)

1 = _l_g_1 + (_g)-32g g-1g (233)a V-ga 2 a

x~ = xp f~(X) (243)

[Kap89]

[KKR90]

[KKR91]

[KLLM94]

[KMT84]

(KR91]

[LS94)

[Mut87)

[Ram90]

[Reb91)

[Reb92)

[tH75]

[Wei72)

[Wei95]

inoAu k - 1 = O

iA iB + 2iE(u k) O

iB(umiddotk) =0

iacuteD(umiddotk)=O

Das quais obtemos

no 2(umiddot k)2

F = 8191 f _ (8 -1)2

JGF - - 12 1e 1g (231 )

1g1 = --91 (232)

1 = _l_g_1 + (_g)-32g g-1g (233)a V-ga 2 a

x~ = xp f~(X) (243)

[Kap89]

[KKR90]

[KKR91]

[KLLM94]

[KMT84]

(KR91]

[LS94)

[Mut87)

[Ram90]

[Reb91)

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[tH75]

[Wei72)

[Wei95]

F = 8191 f _ (8 -1)2

JGF - - 12 1e 1g (231 )

1g1 = --91 (232)

1 = _l_g_1 + (_g)-32g g-1g (233)a V-ga 2 a

x~ = xp f~(X) (243)

[Kap89]

[KKR90]

[KKR91]

[KLLM94]

[KMT84]

(KR91]

[LS94)

[Mut87)

[Ram90]

[Reb91)

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[tH75]

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[Wei95]

x~ = xp f~(X) (243)

[Kap89]

[KKR90]

[KKR91]

[KLLM94]

[KMT84]

(KR91]

[LS94)

[Mut87)

[Ram90]

[Reb91)

[Reb92)

[tH75]

[Wei72)

[Wei95]

x~ = xp f~(X) (243)

[Kap89]

[KKR90]

[KKR91]

[KLLM94]

[KMT84]

(KR91]

[LS94)

[Mut87)

[Ram90]

[Reb91)

[Reb92)

[tH75]

[Wei72)

[Wei95]

[Kap89]

[KKR90]

[KKR91]

[KLLM94]

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[Ram90]

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[tH75]

[Wei72)

[Wei95]

[Kap89]

[KKR90]

[KKR91]

[KLLM94]

[KMT84]

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[Ram90]

[Reb91)

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[tH75]

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[Wei95]

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Universidade de São Paulo Instituto de Física · 2014. 2. 24. · Prof. Dr. Dionísio Bazeia Filho (UFPB) ,o Corbani Ferrai são de Pós Graduçlo . S~o~)l\3 ~ 111~ P . y ,tX~t