UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS DE SINOP FACULDADE DE …sinop.unemat.br/site_antigo/prof/foto_p_downloads/fot... · 2016-10-13 · HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais

Aula 01 – Teoria das Tensões

Eng. Civil Augusto Romanini

Sinop - MT

2016/2

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO

CAMPUS DE SINOP

FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGIAS

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

MECÂNICA DOS SÓLIDOS II

Mecânica dos Sólidos II

Aula 01 – Teoria das Tensões

Aula 05 – Flambagem de Colunas

Aula 06 – Torção Simples/Pura

13/10/2016 2

AULAS

Aula 00 – Apresentação/Revisão

Aula 02 – Critérios de Resistência

Aula 04 – Teoria das Deformações

Aula 03 – Vasos de Pressão de Paredes Finas

Mecânica dos Sólidos II13/10/2016 3

Objetivos

Conceitos

Equações

Circulo de Mohr


Objetivos

Objetivo Geral: Apresentar a teoria das tensões aplicadas em estruturas civis usuais e afins.

Objetivo Especifico:

• Definir e aplicar o estado plano de tensões em quaisquer direções.

• Mostrar como transformar as componentes de tensão, associados a um sistema de coordenadas particular, em

componentes associadas a um sistema de orientação diferente.

• Estabelecer as equações de transformação e obter as tensões normal máxima e de cisalhamento máxima determinando a

orientação dos elementos sobre os quais atuam.


Conceitos

O conceito de tensão se origina do conceito elementar de pressão,

como, por exemplo, a hidrostática que consiste numa força normal por

unidade de área. Por tensão, entende-se uma extensão dessa ideia

para os casos em que a força por unidade de área pode não ser,

necessariamente, normal.

Definição (1) : A relação entre a força infinitesimal aplicada em uma

área infinitesimal é denominada tensão.

𝜎𝑎 =𝑅𝛼𝐴

𝜏𝑎 =𝑇𝛼𝐴

Definição (2) : Os esforços aplicados em uma massa infinitesimal

podem apresentar duas resultantes na direção normal (𝑅𝛼 ) e

Tangencial (𝑇𝛼 ), a partir das quais definem – se os estados de

tensões normais e cisalhante, 𝜎𝑎 e 𝜏𝑎.

Tensão


Conceitos Tensor de tensões

A partir das tensões obtidas da relação anterior pode – se definir “o estado de tensão em um ponto". O estado de tensão

de um ponto pode ser caracterizado a partir do conhecimento dos componentes normal e tangencial do vetor de tensão em

relação a três planos mutuamente ortogonais (geralmente são empregadas as direções do sistema de coordenadas de

referência do corpo).

Assim como foi feito para os esforços internos solicitantes,

define-se uma orientação desses componentes em relação à

porção do corpo analisada. Normalmente x,y e z. Os

componentes do vetor de tensão em relação aos três planos

mutuamente ortogonais serão organizados para formar o

denominado tensor de tensão.



Atenção: Apesar desta visão

volumétrica do estado de tensão, o

mesmo corresponde às informações

de um ponto do sólido analisado.

Índices dos componentes:

O 1º índice indica a direção normal à face de atuação

e o 2º índice indica a direção do componente.



Tensão Uniaxial Tensão bi-axial Tensão tri-axial



Estado Geral de Tensão Estado Plano de Tensão

𝜎𝑥𝑥 = 𝜎𝑥

𝜎𝑦𝑦 = 𝜎𝑦

𝜎𝑧𝑧 = 𝜎𝑧

Tensões Normais

Tensões Cisalhantes

𝜏𝑥𝑦; 𝜏𝑥𝑧 Plano YZ

𝜏𝑦𝑧; 𝜏𝑦𝑥 Plano XZ

𝜏𝑧𝑦; 𝜏𝑧𝑥 Plano XY

OBSERVAÇÃO: Conforme o teorema de Cauchy ( 1798 – 1857) , também conhecido como Teorema do Tetraedro que

a partir do equilíbrio de um elemento cúbico infinitesimal , tem – se que 𝝉𝒙𝒚 e 𝝉𝒚𝒙. O mesmo ocorre com os outros

planos que compõem o tensor de tensões.


Conceitos Convenção de sinalTensor de tensões

Tensão Normal Tensão Cisalhante Ângulo de rotação

Tração ( + )

Compressão ( - )

Vertical para cima face direita (+)

Vertical para baixo face direita (-)

Anti-horário (+)

Horário (-)


Conceitos Transformação de tensão

Definição (1) : O estado plano de tensão em um ponto é

representado exclusivamente por três componentes que agem

sobre um elemento que uma orientação especifica neste ponto.

Estado Plano de Tensão

Tensor de tensões

Definição (1) : O estado plano de

tensão em um ponto é representado

exclusivamente por três componentes

que agem sobre um elemento que uma

orientação especifica neste ponto.

Importante(1): Para transformar as

tensões são necessários duas

condições. A primeira é que o equilíbrio

do elemento cúbico infinitesimal

naquele ponto e as tensões normais e

cisalhantes conhecidas.

Importante(2): A transformação dos

componentes de tensão é diferente pois

lembre – se que tensão leva em conta o

valor e a direção ( vetorização), além da

orientação da área sobre este

componente age.


Equações Tensor de tensões Transformação de tensão

𝜎𝑥′ =𝜎𝑥+𝜎𝑦

2+

𝜎𝑥−𝜎𝑦

2∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 (1)

𝜎𝑦′ =𝜎𝑥+𝜎𝑦

2−

𝜎𝑥−𝜎𝑦

2∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝜏𝑥𝑦 ∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 (2)

𝜏𝑥𝑦′ = −𝜎𝑥−𝜎𝑦

2∙ 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 (3)

Equações Gerais de tensões


Tensor de tensões Transformação de tensão

Tensões (normais) Principais

𝜎1,2 =𝜎𝑥+𝜎𝑦

2±

𝜎𝑥−𝜎𝑦

2

2+ 𝜏𝑥𝑦

2 (4)

As tensões principais ocorrem nos planos principais e tem

tensão cisalhante igual a zero. Apresentam a maior e menor

tensão normal que atuam em determinado ponto de análise.

Planos Principais

𝑇𝑔2𝜃1,2 =2∙𝜏𝑥𝑦

𝜎𝑥−𝜎𝑦(5)

Importante:

• Sempre é valido: 𝝈𝟏 ≥ 𝝈𝟐• A soma das tensões é invariante entre si:𝝈𝟏 + 𝝈𝟐 = 𝝈𝒙 + 𝝈𝒚 = 𝝈𝒙′ + 𝝈𝒚′• 𝜽𝟐 = 𝜽𝟏 + 𝟗𝟎º

Equações


Tensor de tensões Transformação de tensão

Tensões de cisalhamento máxima e mínima

Planos Principais

Importante:

• 𝜽𝟑 é o ângulo de inclinação da tensão normal

associada (𝝈𝒄) a tensão de cisalhamento máxima

• 𝜽𝟒 é o ângulo de inclinação da tensão normal

associada (𝝈𝒄) a tensão de cisalhamento mínima

• Aplicando os valores de 𝜽𝟑 e 𝜽𝟒 na equação (3)

pode – se encontrar o valor das cisalhantes

máximas e mínimas.

𝜏𝑚á𝑥,𝑚í𝑛 = ±𝜎𝑥−𝜎𝑦

2

2+ 𝜏𝑥𝑦

2 (6)

𝑇𝑔2𝜃3,4 = −𝜎𝑥−𝜎𝑦

2∙𝜏𝑥𝑦(7)

Os planos para tensão de cisalhamento máxima (mínima)

podem ser determinados orientando um elemento a 45º em

relação á posição de um elemento que define os planos da

tensão principal.

Tensão Associada

𝜎𝑐 =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2

Equações


Conceitos Tensor de tensões Transformação de tensão

Tração Pura Compressão Pura Cisalhante pura

Estado duplo Compressão Hidrostática

Estado tri-axial


Círculo de Mohr

I. Defina o eixo das tensões normais conforme o eixo

x(+) e eixo das tensões cisalhantes de acordo com

o eixo y(+) , vertical para cima.

II. A partir do sistema cartesiano definido, o primeiro

ponto, que é denominado POLO (P), utilizando o

par de tensões da face “direita” do EPT.

III. No mesmo sistema cartesiano, deve se plotar os

demais pontos que são 𝑻𝒙 , 𝑻𝒚𝟏 ,𝑻𝒚𝟐 . 𝑻𝒙 é por de

tensões da face esquerda; 𝑻𝒚𝟏 𝒆 𝑻𝒚𝟐 são os pares

de tensões nas faces superior e inferior do EPT.

IV. Unir os pontos opostos, 𝑻𝒙 𝒆 𝑻𝒚𝟐 , diretamente

opostos determinando o centro do círculo.

V. Determinar o raio do círculo. O raio pode ser

determinado ligando o centro determinado no item

anterior ao POLO.

VI. Extrair as informações do círculo que são as

tensões principais, tensões cisalhantes e planos de

atuação.


Círculo de Mohr


Referências

GERE, J. M. Mecânica dos Materiais. Tradução de Luiz Fernando de Castro Paiva, Revisão Técnica de Marco Lucio Bittencourt. 5 ed.

São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003. 689 p.

HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. Tradução de Arlete Simille Marques; Revisão Técnica de S. S.da Cunha Junior.7 ed. São

Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 641 p.

Mecânica dos Sólidos II

Obrigado pela atenção.

Perguntas?

13/10/2016 19


Exemplos

Exemplo 01 – Para o Estado Plano de Tensão ( EPT) de um determinado ponto é apresentado na figura

abaixo. Determine o que é solicitado.

a) Tensões Principais e os Planos Principais

b) Tensão de Cisalhamento máxima e Tensão associada.

c) Tensões normais e Tensão de Cisalhante para um plano orientado a +45,00º

EPT

𝜎𝑥 = 50,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²𝜎𝑦

𝜎𝑥

𝜎𝑦 = −10,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²𝜏𝑥𝑦

𝜏𝑥𝑦′ = 40,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²

Nível: Fácil


Exemplos

Exemplo 02 – Para o Estado Plano de Tensão ( EPT) de um determinado ponto é apresentado na figura

abaixo. Apresente o circulo de Mohr.

EPT

𝜎𝑥 = 50,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²𝜎𝑦

𝜎𝑥

𝜎𝑦 = −10,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²𝜏𝑥𝑦

𝜏𝑥𝑦′ = 40,00 𝑘𝑁/𝑐𝑚²

Nível: Fácil


Exemplos

Exemplo 03 – Uma viga de madeira foi construída para vencer determinado vão e suportar um respectivo

carregamento. Deseja – se obter algumas informações sobre como se comporta o elemento estrutural e

sua seção, para que assim se possa determinar imposições executivas. A seção de análise está a 4,00

metros do apoio fixo. O ponto de análise da seção está indicado como “P”.

a) Tensões Normais Principais

b) Tensões Cisalhantes

c) Plano de atuação das tensões

d) Tensões atuantes no ponto , sabendo que as fibras da madeira

estão inclinadas com um ângulo de +23º, com a horizontal.

e) Círculo de Mohr para o EPT

Nível: Fácil

45

15 15

12

38

10

P

cm


Exemplos

Exemplo 04 – A construção de uma passarela utilizara diversos elementos de aço. Devido ao tamanho do

vão a ser vencido será necessário soldar estes elementos para confeccionar a viga principal. A viga

principal será composta por duas vigas de 6,00 metros soldadas no meio do vão. Foi escolhido utilizar uma

viga de formato “T” robusta pois a mesa superior da viga já servirá como um tabuleiro. O plano de

carregamento ficará situado no meio da mesa. O esquema de carregamento e a seção geométrica são

apresentadas abaixo, assim como os pontos de análise. São solicitada duas seções de análise:

I. Seção no meio do vão ( 4,00 metros do apoio móvel)

II. Seção imediatamente a direita do apoio móvel

Nível: Médio

45

20 20

5

5 cm

1

2

.


Exemplos

Exemplo 04 – Solicita – se para a situação anterior.

a) EPT atuante no ponto

b) Tensões principais e plano de atuação.

c) Tensões cisalhante e plano de atuação.

d) Circulo de Mohr para cada EPT

e) Para a Seção “I” – Qual o EPT atuante para um plano inclinado a 35º

f) Para a Seção “II” – Qual o EPT atuante para um plano situado a 60º

g) Analise as características das tensões nos pontos e seções pera o carregamento apresentado. Qual a

situação mais crítica?

Sugestão de Exercício Continuado: Analise a Seção imediatamente a esquerda do Apoio móvel. Analise a

seção imediatamente a direita do Apoio fixo.

Nível: Médio


Exercícios Sugeridos

Hibeller 7ed – Capitulo 9 – Pag.321 – Disponível na biblioteca.

9.10, 9.11, 9.16, 9.25, 9.26, 9.43, 9.77


Circulo de Mohr Eixos


Circulo de Mohr Escala e Polo


Circulo de Mohr Tx e Ty’s


Circulo de Mohr Centro do Circulo


Circulo de Mohr Raio


Circulo de Mohr Traçar Circulo






Circulo de Mohr Tensões Principais






Circulo de Mohr Planos Principais









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