Universidade do Estado do Rio de Janeiro - labbas … de Souza da Ponte Estudo do comportamento e otimização do projeto estrutural de edifícios de concreto armado. Dissertação

Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Centro de Tecnologia e Ciências

Faculdade de Engenharia

Davi de Souza da Ponte

Estudo do comportamento e otimização do projeto estrutural de

edifícios de concreto armado.

Rio de Janeiro

2015

Davi de Souza da Ponte

Estudo do comportamento e otimização do projeto estrutural de edifícios de

concreto armado.

Dissertação apresentada, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre, ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, da Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Área de concentração: Estruturas.

Orientadores: Prof. Dr. Francisco José da Cunha Pires Soeiro

Prof. Dr. José Guilherme Santos da Silva

Rio de Janeiro

2015

CATALOGAÇÃO NA FONTE

UERJ / REDE SIRIUS / BIBLIOTECA CTC/B

Autorizo, apenas para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial

desta dissertação, desde que citada à fonte.

Assinatura Data

P813 Ponte, Davi de Souza da.

Estudo do comportamento e otimização do projeto estrutural de edifícios de concreto armado / Davi de Souza da Ponte - 2015.

153f.

Orientador: Francisco José da Cunha Pires Soeiro, José Guilherme Santos da Silva.

Dissertação (Mestrado) - Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Faculdade de Engenharia.

1. Engenharia Civil. 2. Estruturas de concreto armado - Dissertações. 3. Estruturas - Modelos matemáticos - Dissertações. I. Soeiro, Francisco José da Cunha Pires II. Silva, José Guilherme Santos da. III. Universidade do Estado do Rio de Janeiro. IV. Título.

CDU 624.012.45

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho aos meus pais Judite e Milton (in memoriam), que sempre

acreditaram e fizeram tudo por mim; e a Karolyne por estar sempre ao meu lado.

AGRADECIMENTOS

A Deus por me permitir chegar ao fim desta jornada.

Aos meus pais, pela dedicação e apoio, e principalmente por sempre

acreditarem em mim.

A Karolyne, minha melhor amiga, noiva e companheira de todas as horas,

pela compreensão diante dos sacrifícios necessários à conquista deste sonho.

Aos meus orientadores, Professor Francisco José da Cunha Pires Soeiro e

Professor José Guilherme Santos da Silva, pela atenção, amizade, incentivo,

disponibilidade, paciência e conhecimentos transmitidos durante todo o curso de

mestrado.

Aos professores e funcionários do Programa de Pós-Graduação em

Engenharia Civil da Universidade do Estado do Rio de Janeiro (PGECIV - UERJ),

pelos ensinamentos e pela atenção dispensada.

Ao engenheiro Cassio Gaspar, pela ajuda, por estar sempre disposto a ajudar

na hora do sufoco com o ANSYS.

Ao engenheiro Moacir Muniz pela paciência, colaboração e grande troca de

experiências.

Aos amigos da pós-graduação pelo companheirismo e apoio durante todo o

curso.

A UERJ porque sem ela não poderia ter chegado até aqui.

As pessoas podem tirar tudo de você, menos o seu conhecimento.

Albert Einstein

RESUMO

PONTE, Davi de Souza da. Estudo do comportamento e otimização do projeto estrutural de edifícios de concreto armado. 2015. 153f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) - Faculdade de Engenharia, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2015.

Com base no crescimento exponencial das populações urbanas, a demanda por espaço para habitação tem crescido vertiginosamente. Para atender a estas necessidades, edificações cada vez mais altas e mais esbeltas são projetadas e vãos cada vez maiores são utilizados. Novos materiais são criados e aprimorados para que seja extraído o máximo de desempenho com o menor custo. Deste modo, esta dissertação tem como objetivo o estudo do comportamento e otimização do projeto estrutural de edifícios. Para tal, considera-se ao longo do estudo o projeto de uma edificação de concreto armado com 47 metros de altura e 15 pavimentos, submetida às ações das cargas usuais de projeto atuantes sobre edifícios residenciais, além das cargas de vento. No que tange ao desenvolvimento do modelo computacional são empregadas técnicas usuais de discretização, via método dos elementos finitos, por meio do programa ANSYS. Inicialmente, a resposta estática e dinâmica do modelo estrutural é obtida e comparada com base nos valores limites propostos por normas de projeto. A partir de análises qualitativas e quantitativas desenvolvidas sobre a resposta estrutural do modelo em estudo são utilizadas técnicas de otimização com o objetivo de modificar e aprimorar o desempenho estrutural do edifício analisado. Palavras-chave: Edifícios de concreto armado; Otimização estrutural; Comportamento estrutural; Modelagem via elementos finitos.

ABSTRACT

Based on the exponential growth of urban populations, the demand for space for housing has grown dramatically. To meet these needs, building ever higher and more slender are designed and increasing spans has been used. New materials are created and improved to be extracted maximum performance at the lowest cost. Thus, this research work aims to study the behaviour and optimization of buildings structural design. To do this, it is considered throughout the study the design of a reinforced concrete building with 47 meters high and 15 floors, subjected to the actions of usual design loadings on residential buildings in addition to wind loads. Regarding the development of the computational model, usual mesh refinement techniques are used, based on the finite element method simulations, and implemented in the ANSYS program. Initially, the structural model static and dynamic response is obtained and compared, based on the limiting values proposed by design standards. Based on the developed qualitative and quantitative analyses on the investigated structural model response, optimization techniques are used in order to modify and improve the structural performance of the analysed building. Keywords: Reinforced concrete buildings; Structural optimization; Structural behaviour; Finite element modelling.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Edifícios mais altos do mundo (2010) [1]. ................................................ 19

Figura 2 – Terceiro edifício mais alto da atualidade – Torre Taipei 101. ................... 20

Figura 3 – Sistema de amortecimento de massa sintonizada do Taipei 101. ........... 20

Figura 4 - Isopletas de velocidade básica V0 (m/s) no Brasil (NBR 6123 [22]). ......... 33

Figura 5 – Coeficiente de amplificação dinâmica (ξ) para Categoria V (NBR 6123

[22]). .......................................................................................................................... 41

Figura 6 – Principais medidas da edificação (Dimensões em metros). ..................... 44

Figura 7 – Planta baixa da edificação – Pavimento Tipo (Dimensões em cm). ......... 45

Figura 8 – Seção transversal [51]. ............................................................................. 46

Figura 9 – Locação das vigas (Dimensões em cm). .................................................. 48

Figura 10 – Locação dos pilares (Dimensões em cm). ............................................. 49

Figura 11 – Esquema de aplicação de forças para modelo dinâmico discreto NBR

6123 [22]. .................................................................................................................. 51

Figura 12 – Forças do vento ao longo da altura. ....................................................... 53

Figura 13 – Modelo computacional em ANSYS [61]. ................................................ 54

Figura 14 – Características do modelo em elementos finitos. ................................... 55

Figura 15 – Perspectiva da estrutura em elementos finitos. ...................................... 56

Figura 16 – Elemento BEAM44 e suas referências (ANSYS [61]). ........................... 57

Figura 17 – Elemento SHELL63 e suas referências (ANSYS [61]). .......................... 57

Figura 18 - Excentricidade entre as linhas neutras da laje e da viga. ....................... 58

Figura 19– Modelo computacional em SAP 2000 [37]. ............................................. 58

Figura 20 – Características do modelo em elementos finitos. ................................... 59

Figura 21 – Perspectiva da estrutura em elementos finitos. ...................................... 60

Figura 22 – Modos de vibração (1º e 2º). .................................................................. 62

Figura 23 – Modos de vibração (3º ao 6º). ................................................................ 63

Figura 24 – Modos de vibração (7º ao 10º). .............................................................. 64



Figura 27 – Modos de vibração (9º e 10º). ................................................................ 68

Figura 28 – Modos de vibração (1º e 2º). .................................................................. 69


Figura 30 – Modos de vibração (7º ao 10º). .............................................................. 71



Figura 33 – Modos de vibração (9º e 10º). ................................................................ 75

Figura 34 – Desenho esquemático dos parâmetros geométricos [54]. ..................... 78

Figura 35 – Índices de esbeltez de corpo rígido. ....................................................... 79

Figura 36 – Aplicação da força unitária [60]. ............................................................. 80

Figura 37 – Esquema dos deslocamentos no edifício. .............................................. 84

Figura 38 – Deslocamento devido à sobrecarga. ...................................................... 86

Figura 39 - Deslocamentos em cada pavimento. ...................................................... 86

Figura 40 – Deslocamento devido ao vento frontal. .................................................. 88


Figura 42 – Deslocamento devido ao vento lateral. .................................................. 90


Figura 44 – Deslocamento devido ao vento frontal e lateral combinados. ................ 92


Figura 46 - Regiões de domínio viável e inviável [77]. .............................................. 98

Figura 47 – Mínimo local e global [77]. ...................................................................... 99

Figura 48 – Fluxograma do algoritmo para um Projeto Ótimo. ................................ 108

Figura 49 – Variação dos parâmetros nas iterações. .............................................. 114





Figura 54 – Comparativo das seções dos pilares (projeto original x estrutura não

otimizada x estrutura otimizada). ............................................................................. 127

Figura 55 – Deslocamento devido à sobrecarga. .................................................... 129

Figura 56 - Deslocamentos em cada pavimento. .................................................... 129







LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Parâmetros meteorológicos (NBR 6123 [22]). .......................................... 34

Tabela 2- Valores mínimos do fator estatístico S3 (NBR 6123 [22]). ........................ 35

Tabela 3 – Coeficientes de arrasto para alta turbulência, baixa turbulência e valor

médio. ....................................................................................................................... 37

Tabela 4 – Parâmetros para determinação de efeitos dinâmicos (Tabela 19-NBR

6123 [22]). ................................................................................................................. 39

Tabela 5 - Parâmetros b e p (Tabela 20 - NBR 6123 [22]). ....................................... 40

Tabela 6 – Resumo dos fatores a serem aplicados na equação de pressão dinâmica.

.................................................................................................................................. 41

Tabela 7 – Variação da pressão dinâmica de acordo com a altura. .......................... 42

Tabela 8 – Forças Resultantes da ação do vento Lateral e Frontal. ......................... 43

Tabela 9 – Seções de Projeto para as vigas ............................................................. 47

Tabela 10 – Seções de projeto para os pilares ......................................................... 47

Tabela 11 - Resultantes de forças devido ao vento frontal e lateral. ......................... 52

Tabela 12 - Total de nós, elementos e graus de liberdade aplicados no modelo. ..... 56

Tabela 13 – Frequências naturais da estrutura. ........................................................ 62




Tabela 17 – Frequências em cada modelo desenvolvido. ........................................ 75

Tabela 18 – Modos de vibração em cada modelo desenvolvido. .............................. 76

Tabela 19– Relação da Esbeltez de Corpo Rígido para a estrutura em estudo. ....... 79

Tabela 20– Rigidez Efetiva Global para a estrutura em estudo. ............................... 80

Tabela 21– Esbeltez Efetiva Global para a estrutura em estudo............................... 81

Tabela 22– Limites de deslocamentos para a estrutura em estudo. ......................... 84

Tabela 23– Deslocamento por andar devido à sobrecarga (medidas em cm). ......... 87

Tabela 24 – Deslocamento por andar devido ao vento frontal (medidas em cm). .... 89

Tabela 25 - Variação do deslocamento por andar devido ao vento lateral (medidas

em cm). ..................................................................................................................... 91

Tabela 26 - Deslocamento por andar devido ao vento frontal e lateral (medidas em

cm). ........................................................................................................................... 93

Tabela 27 - Deslocamentos translacionais estáticos máximos. ................................ 94

Tabela 28 – Valores do coeficiente adicional para pilares e pilares-parede ............ 102

Tabela 29– Limites das alturas das vigas para a estrutura em estudo. ................... 103

Tabela 30 – Limites das variáveis de projeto para as vigas. ................................... 104

Tabela 31 – Limites das variáveis de projeto para os pilares. ................................. 104

Tabela 32 – Dimensões fixadas. ............................................................................. 105

Tabela 33 – Valores do projeto original para as vigas e pilares. ............................. 110

Tabela 34 – Valores após analise de sensibilidade para as vigas e pilares. ........... 112

Tabela 35 – Frequências naturais da estrutura não otimizada. ............................... 113

Tabela 36 – Melhor resultado da otimização. .......................................................... 114

Tabela 37 – Variáveis de projeto para as vigas. ...................................................... 115









Tabela 46 – Frequências naturais da estrutura. ...................................................... 124

Tabela 47 – Comparativo das variáveis da estrutura original, não otimizada e

otimizada. ................................................................................................................ 125

Tabela 48 – Comparativo das áreas das seções transversais dos elementos da

estrutura original, não otimizada e otimizada e frequência fundamental. ................ 126

Tabela 49 – Valores da estrutura otimizada para as vigas e pilares. ...................... 128

Tabela 50 - Deslocamentos translacionais estáticos máximos na estrutura otimizada.

................................................................................................................................ 133

Tabela 51 – Comparativo dos deslocamentos máximos na estrutura original x

otimizada. ................................................................................................................ 133

Tabela 52– Rigidez Efetiva Global para a estrutura em estudo. ............................. 134

Tabela 53– Esbeltez Efetiva Global para a estrutura otimizada. ............................. 134

Tabela 54 – Comparativo de frequências e áreas. .................................................. 135



Tabela 57 – Comparativo das Frequências naturais da estrutura otimizada x

alternativa 4. ............................................................................................................ 137

Tabela 58 – Deslocamentos translacionais estáticos máximos devido ao vento. ... 141


................................................................................................................................ 142

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

UERJ Universidade do Estado do Rio de Janeiro

ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas

ANSYS Swanson Analysis Systems

APDL ANSYS Parametric Design language

GUI Graphical User Interface

PGECIV Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil

MEF Método dos Elementos Finitos

NBR Norma Brasileira

LISTA DE SÍMBOLOS

A área efetiva da estrutura sujeita à ação do vento

a vetor das acelerações

d diâmetro da estrutura

Ca coeficiente de arrasto

ºC Grau Celsius

dk direção de busca na iteração

F força do vento

Fr parâmetro meteorológico da norma

Fg força global do vento

f frequência da estrutura

f(x) função objetivo

f(j-1) configuração da iteração anterior

f(b) melhor configuração encontrada

configuração da iteração seguinte

G módulo de elasticidade transversal

GPa Gigapascal

gj restrição de desigualdade

h altura do edifício

hk restrição de igualdade

K matriz de rigidez do sistema

kN Kilonewton

M matriz de massa do sistema

m Metro

mm Milímetro

MPa Megapascal

m/s metro por segundo

N Newton

N/m2 newton por metro quadrado

p parâmetro da norma

escalar adimensional

q pressão dinâmica do vento

ql pressão dinâmica distribuída do vento

q(z) variação da pressão dinâmica do vento

rad/s radianos por segundo

S1 fator topográfico

S2 fator de rugosidade do terreno

S3 fator estatístico

Sj valor mínimo do escalar adimensional

t Tempo

U vetor dos deslocamentos

V0 velocidade básica do vento

Vk velocidade característica do vento

velocidade de projeto

z altura do edifício

Zr altura de referência

x vetor das variáveis de projeto

X0 projeto inicial

Xk configuração de iteração

Xk+1 próxima configuração de projeto

Q

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 19

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA. .................................................................................... 22

1 AÇÃO DO VENTO EM ESTRUTURAS ................................................................. 31

1.1 Efeitos dinâmicos devido à turbulência atmosférica. .................................... 32

1.1.1 Caracterização da estrutura. ............................................................................ 32

1.1.2 Velocidade básica do vento (V0)....................................................................... 33

1.1.3 Fator topográfico (S1). ...................................................................................... 34

1.1.4 Fator de rugosidade e classe (S2). ................................................................... 34

1.1.5 Fator estatístico (S3). ........................................................................................ 35

1.1.6 Velocidade característica (Vk). ......................................................................... 36

1.1.7 Pressão dinâmica (q). ....................................................................................... 36

1.1.8 Coeficiente de arrasto (Ca). .............................................................................. 36

1.1.9 Força estática global (Fg). ................................................................................ 37

1.1.10 Velocidade de Projeto ( ). ............................................................................ 38

1.2 Modelo contínuo simplificado de acordo com a NBR 6123 [22]. .................. 38

1.2.1 Pressão dinâmica no modelo contínuo (q). ...................................................... 39

1.2.2 Força estática equivalente. ............................................................................... 42

2 MODELO ESTRUTURAL INVESTIGADO ............................................................. 44

2.1 Características geométricas. ............................................................................ 44

2.2 Patologias apresentadas. ................................................................................. 50

2.3 Carregamentos de vento aplicado ao modelo. ............................................... 51

3 MODELO NUMÉRICO-COMPUTACIONAL .......................................................... 54

3.1 Modelo numérico desenvolvido no programa ANSYS [61]. .......................... 54

3.2 Modelo numérico desenvolvido no programa SAP 2000 [37]. ...................... 58

4 ANÁLISE DE AUTOVALORES E AUTOVETORES .............................................. 61

4.1 Modelo 1. ............................................................................................................ 61

4.2 Modelo 2. ............................................................................................................ 65

4.3 Modelo 3. ............................................................................................................ 68

4.4 Modelo 4. ............................................................................................................ 72

4.5 Comparativo entre os modelos. ....................................................................... 75

5 ESTABILIDADE GLOBAL ..................................................................................... 77

5.1 Classificação do edifício quanto à esbeltez de corpo rígido. ........................ 78

5.2 Rigidez Efetiva Global. ...................................................................................... 79

5.3 Esbeltez Efetiva Global. .................................................................................... 81

6 ANÁLISE ESTÁTICA ............................................................................................. 82

6.1 Introdução. ......................................................................................................... 82

6.2 Carregamentos. ................................................................................................. 82

6.3 Limites para deslocamentos. ........................................................................... 83

6.4 Casos de carregamentos e deslocamentos. ................................................... 85

6.4.1 Caso de carregamento 1. ................................................................................. 85




6.4.5 Deslocamentos máximos. ................................................................................ 94

7 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO ............................................ 95

7.1 Introdução. ......................................................................................................... 95

7.2 Histórico da otimização estrutural. .................................................................. 96

7.3 Problema de otimização estrutural. ................................................................. 97

7.4 Domínio da função: viável e não viável. .......................................................... 97

7.5 Otimização de projeto. ...................................................................................... 99

7.6 Variáveis de projeto. ....................................................................................... 100

7.7 Restrições de projeto. ..................................................................................... 100

7.7.1 Restrição lateral. ............................................................................................ 101

7.7.2 Restrição de desigualdade. ............................................................................ 101

7.7.3 Restrição de igualdade. .................................................................................. 101

7.7.4 Limitação normativa. ...................................................................................... 102

7.7.5 Limitação arquitetônica e geométrica. ............................................................ 103

7.7.6 Restrições global e lateral local adotada para este estudo. ........................... 104

7.8 Função objetivo. .............................................................................................. 105

7.9 Formulação do problema de otimização. ...................................................... 106

7.10 Algoritmo utilizado para a otimização estrutural em estudo. .................... 107

8 RESULTADOS DA OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL .............................................. 109

8.1 Características, critérios e parâmetros adotados. ....................................... 109

8.2 Descrição da análise de sensibilidade. ......................................................... 111

8.3 Resultados Obtidos......................................................................................... 112

8.3.1 Análise de sensibilidade. ................................................................................ 112

8.3.2 Otimização 1. ................................................................................................. 113

8.3.3 Otimização 2. ................................................................................................. 115

8.3.4 Otimização 3. ................................................................................................. 117

8.3.5 Otimização 4. ................................................................................................. 119

8.3.6 Otimização 5. ................................................................................................. 121

8.3.7 Análise comparativa. ...................................................................................... 124

8.4 Verificação do comportamento estático da estrutura otimizada. ............... 128

8.4.1 Caso de carregamento 1. ............................................................................... 129





8.5 Verificação da Estabilidade Global da estrutura otimizada. ........................ 134

8.5.1 Rigidez Efetiva Global. ................................................................................... 134

8.5.2 Esbeltez Efetiva Global. ................................................................................. 134

8.6 Propostas de novas geometrias. ................................................................... 135

8.6.1 Geometria alternativa 1. ................................................................................. 135




9 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................. 139

9.1 Introdução. ....................................................................................................... 139

9.2 Conclusões. ..................................................................................................... 140

9.2.1 Análise Modal. ................................................................................................ 140

9.2.2 Estabilidade Global......................................................................................... 140

9.2.3 Análise Estática. ............................................................................................. 140

9.2.4 Otimização Estrutural. .................................................................................... 141

9.3 Sugestões para trabalhos futuros. ................................................................ 143

REFERÊNCIAS ....................................................................................................... 144

19

INTRODUÇÃO

A tecnologia desenvolve-se a passos largos, junto com ela, a necessidade

humana pela ocupação do espaço evolui e se aprimora. A engenharia civil e áreas

correlatas apresentam um papel de grande importância na garantia do pleno

atendimento destas necessidades, provendo de forma coerente os meios para o

avanço tecnológico, muitas vezes ousado, entretanto não menos seguro; seja

infraestrutura para atender indústrias; como habitação e saneamento para atender

diretamente ao homem.

Com o crescimento exponencial das populações urbanas, a demanda por

espaço para habitação cresce vertiginosamente. Para atender a estas necessidades,

edificações cada vez mais altas e mais esbeltas são projetadas e vãos cada vez

maiores são utilizados. Novos materiais são criados e alguns antigos são

aprimorados para que seja extraído o máximo de desempenho com o menor gasto e

consequentemente o menor custo.

O Burj Khalifa (Emirados Árabes Unidos), chamado anteriormente de Burj

Dubai (inaugurado em janeiro de 2010) e o Abraj Al Bait Towers (Arábia Saudita)

ocupam o primeiro e segundo lugar, conforme Figura 1, na listagem de edifícios mais

altos do mundo, com seus 818 metros e 595 metros de altura, respectivamente, e

ilustram esta nova tendência na evolução da engenharia moderna.

Figura 1 – Edifícios mais altos do mundo (2010) [1].

20

Como comparação, pode-se citar a torre Taipei 101 (Taiwan), Figura 2,

bastante conhecida entre os estudiosos de dinâmica por seu sistema de

amortecimento, Figura 3, baseado em uma massa acoplada a um conjunto de

amortecedores que atuam quando o edifício oscila com a ação do vento reduzindo a

amplitude dos deslocamentos. Esta torre possui o terceiro lugar na colocação atual

de edifícios mais altos com seus 508 metros de altura.

Figura 2 – Terceiro edifício mais alto da atualidade – Torre Taipei 101.

(a) Massa suportada por cabos de aço.

(b) Amortecedores abaixo da massa.

Figura 3 – Sistema de amortecimento de massa sintonizada do Taipei 101.

21

Esta tendência mostra cada vez mais consciência dos profissionais em

racionalização dos recursos disponíveis utilizando técnicas cada vez mais apuradas

de otimização em consonância com os interesses econômicos e ambientais.

À frente deste desenvolvimento está à pesquisa, com a contribuição na

criação de novos materiais, desenvolvimento de novas técnicas de projeto e

construção; além do aprofundamento dos conceitos abordados há décadas pela

engenharia tradicional.

O avanço da computação, que permite a análise cada vez mais realista do

comportamento da estrutura, possui uma contribuição fundamental, que merece

destaque, no avanço da engenharia como um todo.

O desafio maior no campo da engenharia civil, em especial na área de

projetos está no âmbito das grandes estruturas. Com elas grandes carregamentos

são aplicados e um profundo estudo do comportamento da estrutura na etapa de

projeto se torna extremamente importante ao prever problemas e corrigi-los antes da

construção, minimizando-se assim a possibilidade de falhas ou patologias futuras.

A principal rotina de um engenheiro civil, em especial os que se dedicam a

projetos de estruturas está relacionada aos princípios estáticos da estrutura, ainda

que as solicitações sejam notadamente dinâmicas, utiliza-se o artifício de converter a

análise dinâmica em uma análise estática equivalente.

No projeto de edificações, tradicionalmente admite-se que as cargas atuantes

são imóveis ou aplicadas lentamente podendo assim ser consideradas de caráter

puramente estático. Com isto, conduz-se naturalmente a uma análise estática da

estrutura.

Entretanto, existem outros carregamentos de diversas naturezas que

introduzem nas estruturas efeitos dinâmicos; como por exemplo, a ação do vento em

torres e edifícios e as ações sísmicas (induzidos pela natureza), o efeito de pessoas

dançando nas academias, pulando ou torcendo nos ginásios esportivos e estádios,

frenagem e aceleração de veículos em pontes, o caminhar humano em passarelas

de pedestres, entre outros.

Estes carregamentos combinados às estruturas cada vez mais esbeltas

conduzem à necessidade do projetista de verificar alguns indicadores básicos do

comportamento da estrutura, como por exemplo, a frequência natural, a esbeltez e

rigidez efetiva global, a análise dos efeitos do vento ou demais carregamentos

dinâmicos sobre a estrutura.

22

Revisão bibliográfica.

A análise dinâmica de edifícios de concreto armado submetidos à ação de

esforços oriundos de cargas de vento é um tema investigado há certo tempo, o que

nos remete a um acervo bibliográfico extenso.

A seguir, relacionam-se alguns trabalhos de pesquisa, desenvolvidos ao longo

do tempo, relacionados ao tema tratado por esta dissertação.

Davenport [2] foi um dos pioneiros na contribuição para a dinâmica na

engenharia, com seu estudo relacionado aos ventos, desenvolveu teorias a respeito

dos turbilhoes de ventos, introduziu o método que leva em consideração o fator de

rajada para a contribuição de pico da resposta dinâmica, incluindo-se os efeitos de

ressonância. Contribuiu também em campos correlatos como a meteorologia, a

dinâmica estrutural relativa a terremotos, a estatística aplica a engenharia,

desenvolvendo métodos probabilísticos para estimativa do carregamento e da

resposta dinâmica baseado nos conceitos de admitância aerodinâmica (relacionada

às dimensões da estrutura), admitância mecânica (relacionada à razão entre a

resposta permanente e a excitação) e espectro de energia.

Em 1965, Davenport [2] fundou o Boundary Layer Wind Tunel Laboratory, um

laboratório para realização de testes em túnel de vento, realizando as primeiras

simulações de vento para edificações e estruturas.

Vinte anos mais tarde, em 1985, Blessmann [3] analisou as solicitações do

vento sobre edifícios vizinhos de mesma altura. Foram realizadas simulações em

túnel de vento no laboratório da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, e seus

resultados serviram como fundamento para a avaliação dos efeitos dinâmicos da

posição relativa entre as edificações; que mais tarde fundamentaria a determinação

de parâmetros da norma brasileira de ventos.

Ferraro et al. [4] analisaram a influência de duas abordagens semiempíricas

para a estimativa de acelerações induzidas pelo vento em edifícios altos e

compararam com os valores obtidos em túnel de vento.

Snaebjornsson e Reed [5] analisaram o comportamento do vento em edifícios,

instrumentados, de múltiplos andares na Islândia. Os resultados demonstraram uma

maior sensibilidade dos edifícios ao efeito de torção.

Fonte [6] realizou análise não linear geométrica em edifícios altos de concreto

armado em sua tese de doutorado. Esta análise permitiu suas conclusões a respeito

23

das matrizes não lineares adotadas, do desempenho do programa desenvolvido, do

comportamento da estrutura e da necessidade e viabilidade da realização de

análises não lineares em projetos de edifícios altos no Brasil.

Davenport e Sparling [7] verificaram que o método do fator de rajada

demonstrou-se adequado para o cálculo dos esforços cortante e momento fletor

máximo em torres estaiadas; exceto para as regiões centrais dos vãos enquanto o

método de carregamento por trechos permitiu obter-se de forma mais precisa as

respostas dinâmicas em todas as seções.

Kareem et al. [8] relataram diversos trabalhos a respeito de medidas de

amortecimento para redução da resposta estrutural de edifícios excitados pela ação

do vento. Exemplos detalhados foram descritos.

Zhou et al. [9] exemplificam através de uma ponte e um edifício alto uma

formulação teórica para o vento de rajada.

Repetto e Solari [10] propuseram um modelo matemático para analisar a

fadiga em uma estrutura esbelta sob a ação de ventos longitudinais. Estruturas sob

o efeito de vibrações devido ao vento acumulam danos devido à fadiga podendo

levar à falha estrutural.

Solari e Repetto [11] apresentaram um método para classificação de

estruturas verticais submetidas à ação do vento levando em consideração as forças

internas da estrutura e os deslocamentos máximos.

Zhou et al. [12] estudaram os carregamentos de vento longitudinal e seus

efeitos em edifícios altos. Apresentaram um exemplo numérico para destacar

diferenças e semelhanças entre diversas normas internacionais, a saber: ASCE 7-98

(ASCE 1999) [13], AS1170.2-89 (Australian Standards 1989) [14], NBC-1995 (NRCC

1995) [15], RLB-AIJ-1993 (AIJ 1996) [16], e a Eurocode-1993 (Eurocode 1995) [17]).

Lazanha [18] utilizou um modelo de estrutura plana, elastoplástico, em aço,

levando-se em consideração o comportamento não linear da estrutura. Neste

modelo foram introduzidos os esforços aleatórios do vento através do método de

Monte Carlo.

Gu e Quan [19] verificaram em seus estudos que os ventos transversais

possuem maior influência sobre a resposta dinâmica do que os ventos longitudinais

atuantes em edifícios altos. Foram realizados testes em túnel de vento, em um

modelo aeroelástico, com um grau de liberdade, para investigar os efeitos do vento

24

transversal. Os resultados obtidos indicaram grande influência do amortecimento

estrutural na resposta dinâmica da estrutura.

Filho et al [20] verificaram em uma análise dinâmica elástica de uma estrutura

semirrígida submetida aos efeitos do vento, que a semi-rigidez das conexões dos

seus elementos estruturais podem alterar de forma significativa as frequências

naturais, modos de vibração e os deslocamentos máximos obtidos.

Carpeggiani [21] realizou diversos ensaios em túnel de vento e estudou em

sua dissertação de mestrado a resposta torcional estática devido ao vento em

modelos reduzidos com diversas geometrias. Os resultados foram comparados com

estimativas teóricas da norma brasileira, canadense e alemã além de um trabalho de

pesquisa realizado por Isyumov, no Canadá. Verificou em seu estudo que a

recomendação para calculo do momento torçor da NBR 6123 [22] subestima a

indicação para excentricidades em edificação isolada e atende à maioria dos casos

para edificações com efeitos de vizinhança.

Li et al [23] realizaram testes em túnel de vento com um modelo em escala

reduzida do edifício Jin Mao Building, em Shangai, na China. Os testes do

comportamento dinâmico foram comparados às medições realizadas no edifício

durante a passagem do furacão Rananim em agosto de 2004. Neste estudo,

verificou-se que os resultados dos efeitos dinâmicos obtidos em túnel de vento foram

satisfatórios quando comparados aos resultados medidos. Assim, conclui-se que os

testes em túnel de vento apresentam previsões satisfatórias para os efeitos

dinâmicos da ação do vento.

Auta [24] realizou um estudo comparativo entre normas e recomendações

para estimativa do carregamento dinâmico para edifícios altos, baseados no

comportamento dinâmico da estrutura, para a Rússia e Nigéria. Os resultados

indicam o código da Nigéria como mais conservador em relação ao Russo.

Burton et al [25] estudaram a resposta biodinâmica da vibração do corpo

humano submetido a excitações de baixa frequência e a movimentos de acelerações

senoidais de amplitude constante em edifícios. Os resultados apontam que na faixa

de variação de frequência de 0,15 Hz a 1,0 Hz de vibração da estrutura, a

aceleração na cabeça humana sofre amplificação. Assim, este efeito deve ser

considerado na avaliação dos critérios de aceitação e conforto humano em edifícios

altos.

25

Carassale e Solari [26] apresentaram em sua publicação uma metodologia

para simulação de campos de velocidade de vento em regiões com topografia

complexa. A modelagem da turbulência do vento em regiões de fluxo não

homogêneo e os aspectos computacionais envolvidos são discutidos; são propostas

algumas estratégias para redução do tempo de cálculo. O procedimento proposto é

aplicado na simulação de um caso real para a ponte do estreito de Messina.

Chavez [27] analisou em sua dissertação de mestrado os efeitos do

carregamento aleatório do vento em edifícios altos, verificou os deslocamentos,

acelerações e esforços através de análises dinâmicas no domínio do tempo. Os

resultados obtidos foram comparados com a NBR 6123 [22] e o conforto humano

avaliado com base nos índices de percepção de acelerações.

Chen [28] apresentou um método analítico para quantificar a resposta

dinâmica em edifícios altos sobre efeito da ação do vento longitudinal não

estacionário no domínio da frequência.

Obata [29] apresenta os procedimentos para análise da característica

aleatória e instável do vento atuante em torres, estruturas leves, construções altas,

entre outras. São descritos o método do vento sintético (séries históricas de

carregamento) e de Monte Carlo (séries aleatórias de carregamento).

Huang et al [30] apresentaram um estudo de um modelo de um edifício de 60

pavimentos, assimétrico de aço e concreto, em túnel de vento. Foi realizada uma

análise dinâmica do vento que gera efeitos de torção e verificados os efeitos das

relações entre os modos variando a excitação do vento.

Borges et al [31] realizaram análise linear elástica e não linear geométrica

para ações de serviço, não lineares geométricas e físicas para ações de cálculo,

além de análise do comportamento dinâmico, para um edifício de 42 pavimentos. Os

resultados apontam a necessidade de um tratamento mais aprofundado para

edifícios altos, partindo da concepção arquitetônica até a análise do comportamento

estático e dinâmico, linear e não linear geométrica e física.

Mitra [32] investigou a oscilação de ventos longitudinais em um edifício alto de

seção retangular e propôs soluções para problemas de ventos transversais a partir

de relações empíricas experimentais. Os resultados demonstraram maiores

oscilações devido ao vento transversal em comparação ao longitudinal. O conforto

humano foi avaliado para o último andar, onde se obteve os deslocamentos

26

máximos. Determina-se a partir da avaliação do conforto humano e do deslocamento

obtido, a altura máxima para um edifício de uma determinada seção retangular.

Kumar e Swami [33] analisaram estruturas de diversas alturas e

apresentaram um estudo sobre a eficácia do método do fator de rajada para a

análise de estruturas esbeltas e flexíveis além de torres altas considerando-se o

carregamento computacional dinâmico. Os resultados demonstram que as pressões

do vento pelo método do fator de rajada apresentam-se mais seguras e realistas

quando comparada aos demais métodos.

Smith e Caracoglia [34] elaboraram um protótipo, em laboratório, do edifício

Commonwealth Advisory Aeronautical Research Council, na Austrália, para

validação de um algoritmo numérico, proposto em seus estudos, para simulação da

resposta dinâmica de edifícios altos sobre a ação do vento longitudinal em condição

de tufões, utilizando o método de Monte Carlo. Os resultados foram comparados a

valores da literatura e o algoritmo considerado adequado para avaliação do

comportamento dinâmico.

Li et al [35] investigaram o comportamento dinâmico do edifício citado na

introdução desta dissertação, a torre Taipei 101 em Taiwan na China, construído em

uma região onde a ocorrência de terremotos e furacões é comum. A estrutura foi

monitorada durante três furacões (Matsa, Talim e Krosa) e um terremoto

(Wenchuan) por trinta acelerômetros instalados na torre e as características

dinâmicas determinadas. Os resultados do monitoramento foram comparados aos

resultados do modelo computacional em elementos finitos da estrutura.

Malekinejad e Rahgozar [36] apresentaram um método analítico para a

obtenção das frequências naturais e modos de vibração em edifícios de múltiplos

andares, fundamentado em um modelo contínuo equivalente desenvolvido. As

equações fundamentais e condições de contorno se baseiam no método de energia

e no princípio de Hamilton. Foram utilizados exemplos numéricos para comprovar a

eficiência do método. Os resultados foram comparados a modelos elaborado em

elementos finitos no programa SAP2000 [37] e demonstraram que o método

proposto é eficaz e fornece resultados razoavelmente precisos, de forma mais

simples e imediata; contribuindo para obtenção destas características de forma

simplificada, o que é essencial na etapa inicial do projeto.

Shimura e Nobrega [38] analisaram as diversas normas brasileiras relativas a

projetos de estruturas de concreto, destacando as considerações das ações

27

dinâmicas em cada norma e comentando as prescrições da NB-1/2001 em relação a

este tema.

Viana e Araújo [39] propuseram a representação de rajadas de vento através

de pulsos triangulares consecutivos analisando um edifício de concreto armado

comparando-se as cargas obtidas com as cargas de projeto. Verificou-se por uma

analise de pórticos que as ações causadas pela turbulência provocam na estrutura

esforços superiores aos das ações estáticas, ou seja, que a turbulência amplificou os

esforços. Sugeriu-se a avaliação tridimensional para confirmação.

Borges et al [40] apresentaram análises do comportamento estrutural de um

edifício de 42 pavimentos. Concluíram que edifícios esbeltos merecem tratamento

especial desde a sua concepção até o projeto com análises detalhadas, estática e

dinâmica, linear e não linear geométrica e física.

Neto e Corrêa [41] avaliaram o comportamento global do sistema de

contraventamento de edifícios em alvenaria estrutural. Utilizaram um modelo

numérico mais preciso onde se avalia a deformabilidade por cisalhamento das

paredes e os efeitos de torção do edifício.

Miguel e Riera [42] apresentam três modelos diferentes de amortecedores de

vibração por atrito (características e testes); ensaiados na Universidade Federal do

Rio Grande do Sul. Descreveram técnicas de cálculo da resposta dinâmica em

programas computacionais. Os resultados da análise de um edifício e uma torre de

transmissão confirmam a eficiência deste tipo de amortecedor para excitações

sísmicas e de vento. Para o modelo apresentado estimou-se a redução para

excitação de vento em 60%.

Kwok et al [43] abordam a percepção e o conforto humano submetido à

vibração em edifícios provocada pela ação do vento. Critérios de conforto e

aceitabilidade são descritos.

Correa e Pirnia [44] apresentam um estudo sobre o conforto humano em

estrutura excitada pelo vento. O estudo considera a contribuição da forma da onda,

os níveis de energia e a frequência de oscilação para a estimativa das frequências

limites de conforto para edifícios altos.

Silva [45] apresenta, em suas notas de aula, um extenso e detalhado material

a respeito de otimização, desde seu histórico, passando por definições, métodos

matemáticos e exposição de exemplos clássicos.

28

Rodrigues Júnior [46] propôs, em sua tese de Doutorado, uma formulação

para o projeto ótimo de pilares de edifícios altos de concreto armado, utilizando

solução multinível e subdividindo um problema global em séries de subproblemas

individuais de otimização. São considerados os carregamentos permanentes,

acidentais e devido ao vento além de restrições, relativas ao estado limite último e

de utilização.

Chaves [47] em sua dissertação de mestrado desenvolveu um programa

computacional que se utiliza de técnicas de otimização matemática e conceitos

estatísticos, para determinação de seções transversais de pilares de concreto

armado com o menor custo juntamente com a determinação do índice de

confiabilidade da estrutura para um estado limite.

Pires [48] desenvolveu em sua tese de doutorado, uma ferramenta para

otimização de seções transversais de pilares de concreto armado submetidos à

flexão oblíqua considerando a não linearidade física e geométrica com base em

algoritmos Genéticos. Produziu um procedimento sistematizado que escolhe, dentro

de um conjunto de soluções possíveis, o pilar que melhor atende os requisitos de

segurança, de economia e normativos.

Maia [49] apresenta uma revisão dos conceitos e métodos de otimização. São

avaliados duas implementações de projeto ótimo para vigas: uma para viga em

balanço com seção escalonada e outra com seção contínua. Utiliza o método

Simplex e do Gradiente Reduzido Generalizado, de acordo com o problema, através

da ferramenta computacional Solver para redução de seções e de custo.

Motivação e objetivos

Considerando-se o crescimento exponencial das populações urbanas, a

demanda crescente espaço para habitação tem aumentado de maneira vertiginosa.

Para atender a estas necessidades, atualmente, os edifícios têm sido projetados

cada vez mais altos e mais esbeltos, com vãos livres cada vez maiores, no que diz

respeito à prática corrente de projeto, o que torna o desenvolvimento do projeto

estrutural destas edificações uma tarefa cada vez mais complexa. Assim sendo, de

modo a contribuir, na direção associada ao projeto e dimensionamento de edifícios,

esta dissertação de mestrado tem como objetivo avaliar o comportamento e otimizar

29

o projeto estrutural de um edifício de concreto armado, referente a um projeto real,

com 15 pavimentos e 47 metros de altura, quando submetido às ações das cargas

usuais de projeto atuantes sobre edifícios residenciais, além das cargas de vento.

No que diz respeito à análise do comportamento do modelo estrutural, inicialmente,

desenvolve-se uma análise estática, linear-elástica, na qual são analisados os

valores dos deslocamentos máximos do edifício. Em seguida, procede-se a uma

avaliação acerca da estabilidade global da estrutura, de forma a identificar os níveis

de esbeltez do sistema, e, por fim, uma análise modal completa é desenvolvida,

objetivando a obtenção das frequências naturais e dos modos de vibração do

edifício em estudo. Com base nas grandezas associadas à resposta do modelo,

objetiva-se, também, otimizar o projeto, de maneira a modificar e, bem como,

aprimorar o desempenho estrutural do edifício investigado.

Estrutura da dissertação

No primeiro capítulo, são apresentados os critérios adotados para modelagem

da ação do vento a ser investigado na edificação em concordância com as

prescrições da norma ABNT NBR 6123 [22].

O segundo capítulo apresenta os dados da edificação em estudo nesta

dissertação, suas características principais e dimensões bem como os parâmetros

representativos para efeito de modelagem computacional em elementos finitos.

O terceiro capítulo apresenta os modelos computacionais realizados em dois

softwares distintos, com a estrutura discretizada em elementos finitos, utilizados para

o estudo da edificação.

O quarto capítulo apresenta uma análise de Autovalores (frequências

naturais) e Autovetores (modos de vibração) para os modelos em elementos finitos

desenvolvidos no capítulo 3.

O quinto capítulo aborda uma análise do comportamento estrutural da

edificação em estudo com base nas normas e na boa prática de projetos, obtendo–

se a classificação segundo suas características estruturais e uma avaliação

qualitativa da estabilidade da estrutura e do seu comportamento global.

30

O sexto capítulo aborda uma análise estrutural preliminar estática,

considerando-se o efeito da ação do vento e da sobrecarga de utilização em relação

às suas implicações nos deslocamentos da estrutura.

O sétimo e oitavo capítulos apresentam respectivamente: a formulação do

problema de otimização (histórico, teoria e definições) e sua aplicação na ferramenta

computacional (modelos gerados e resultados obtidos).

Por fim, no capítulo nove, são apresentadas as conclusões deste estudo e

sugestões para trabalhos futuros.

31

1 AÇÃO DO VENTO EM ESTRUTURAS

Neste estudo consideraram-se na avaliação da resposta estática da estrutura,

os efeitos dos carregamentos provenientes da ação do vento, além das ações das

cargas usuais de projeto (peso próprio e sobrecarga de utilização) para edifícios

residenciais com base na norma ABNT NBR 6120 [50] (2,0 kN/m² para sobrecarga

residencial).

O vento, produzido pelo deslocamento das massas de ar da atmosfera, gera

diferenças de pressões que podem causar variações destas massas desde leves

brisas a grandes furacões. Estas diferenças podem exercer nos edifícios efeitos de

pressões e sucções, dependendo da direção do vento e da posição da face da

estrutura em análise, causando muitas vezes efeitos indesejáveis.

Vento a barlavento (direcionado da origem para o obstáculo ou estrutura)

produz sobre a estrutura um esforço de pressão empurrando-a na direção e sentido

em que sopra. O vento a sotavento (direcionado do obstáculo ou estrutura para a

corrente) produz um esforço de sucção, puxando-a na mesma direção e sentido do

fluxo.

A ação do vento é composta por uma parcela constante, chamada velocidade

média, e por uma parcela flutuante, chamada de rajada, sendo sua velocidade

variável em torno da velocidade média. A velocidade média do vento é obtida

considerando-se a ação constante durante aproximadamente 10 minutos,

produzindo nas estruturas efeitos puramente estáticos, designados como resposta

média. As flutuações da velocidade ou rajadas, ao redor da velocidade média,

também denominada como resposta flutuante, podem induzir oscilações

consideráveis, na direção da velocidade média, em estruturas com menor rigidez

(geralmente estruturas altas e esbeltas).

Em edificações cuja frequência fundamental da estrutura encontre-se maior

ou igual a 1,0 Hz, a influência da resposta flutuante é pequena e seus efeitos já são

considerados na determinação do fator S2. Já em uma estrutura que apresente a

frequência fundamental abaixo de 1,0 Hz, a resposta flutuante apresenta

contribuição considerável.

Para efeito de projeto, recomenda-se, portanto, manter a concepção da

estrutura com frequência fundamental acima de 1,0 Hz para se evitar a contribuição

32

da resposta flutuante em uma análise inicial ou em uma análise mais aprofundada,

recomenda-se analisar as frequências naturais e afasta-las da frequência

perturbadora do vento.

O vento pode não representar um problema em estruturas baixas e pesadas,

entretanto em estruturas altas e esbeltas torna-se uma das ações mais importantes

a ser determinada e considerada durante a realização do seu projeto.

Para realização da análise dos efeitos estáticos provocados pela ação do

vento na estrutura, utilizaram-se como referência as recomendações da norma

brasileira NBR 6123 [22] para o modelo de carregamento proveniente desta ação,

utilizando-se do método simplificado para a determinação da resposta dinâmica

equivalente na direção do vento. A análise deste estudo baseia-se no

comportamento de uma estrutura reticulada, representada em sua modelagem

computacional por elementos de barras retas.

1.1 Efeitos dinâmicos devido à turbulência atmosférica.

Neste estudo considerou-se apenas o efeito estático do carregamento devido

ao vento, com sua modelagem baseada no método simplificado da NBR 6123 [22] e

aplicada ao modelo utilizando-se o conceito básico de carregamento equivalente.

1.1.1 Caracterização da estrutura.

Para a modelagem da ação do vento foram adotados os seguintes

parâmetros de projeto:

a) Velocidade básica do vento: V0 = 35 m/s (Região do Rio de Janeiro)

b) Fator topográfico: S1 = 1,0

c) Categoria do terreno: S2 Categoria V (centros de grandes cidades)

d) Classe do terreno: B (com fatores b =0,73 e p = 0,16)

e) Fator estatístico: S3 = 1,0 (Grupo 2)

f) Altura do edifício: H = 47 m

g) Coeficiente de arrasto lateral: Ca = 0,87

h) Coeficiente de arrasto frontal: Ca = 1,36

33

1.1.2 Velocidade básica do vento (V0).

A NBR 6123 [22] determina as forças estáticas devido ao vento a partir da

velocidade básica do vento que é estabelecida de acordo com a localização da

edificação no território brasileiro.

A velocidade básica (V0) é a velocidade de uma rajada de 3 segundos, que

ultrapassa em média esse valor uma vez em 50 anos, medida a 10m de altura em

um terreno aberto e plano.

Os valores das velocidades básicas (V0) do vento no Brasil são fornecidos

através de curvas de igual velocidade denominadas isopletas, conforme a Figura 4,

em intervalos de 5 m/s.

Os dados utilizados na elaboração das curvas foram avaliados

estatisticamente e obtidos em estações meteorológicas do Serviço de Proteção ao

Voo do Ministério da Aeronáutica com base nos valores de velocidades máximas

anuais medidas em 49 cidades brasileiras conforme o anexo C da norma.

Figura 4 - Isopletas de velocidade básica V0 (m/s) no Brasil (NBR 6123 [22]).

34

1.1.3 Fator topográfico (S1).

O fator topográfico S1, considera as variações do relevo do terreno onde a

estrutura está localizada.

Para terrenos planos ou fracamente acidentados, como o caso do edifício

objeto deste estudo, considera-se S1 = 1,0. Para terrenos que apresentem morros ou

taludes, o fator S1 pode ser determinado conforme a formulação do item 5.2 da NBR

6123 [22] em uma aproximação inicial. Caso seja necessária maior precisão,

recomenda-se o uso de túneis de vento para um estudo mais aprofundado. Para

vales profundos protegidos de vento em qualquer direção, S1 = 0,9.

1.1.4 Fator de rugosidade e classe (S2).

O fator S2 leva em consideração a combinação da rugosidade do terreno, a

variação da velocidade do vento e a altura do edifício e pode ser calculado

extraindo-se os parâmetros (b e p) da Tabela 1 de acordo com a Classe e Categoria

da edificação.

Tabela 1 - Parâmetros meteorológicos (NBR 6123 [22]).

Categoria Zg

(m) Parâmetro

Classe

A B C

I 250 b 1,1 1,11 1,12

p 0,06 0,065 0,070

II 300

b 1,00 1,00 1,00

Fr 1,00 0,98 0,95

p 0,085 0,09 0,10

III 350 b 0,94 0,94 0,93

p 1,10 1,105 0,115

IV 420 b 0,86 0,85 0,84

p 0,12 0,125 0,135

V 500 b 0,74 0,73 0,71

p 0,15 0,16 0,175

35

Aplicando-se os fatores b e p na expressão (1) a seguir, calcula-se o fator S2.

(

)

(1)

Onde: b, Fr e p são parâmetros meteorológicos de acordo com a Tabela 1 e z

representa a cota acima do nível geral do terreno. Considerar o fator de rajada Fr

igual a 1,0 para edifícios enquadrados em uma categoria diferente da categoria II.

1.1.5 Fator estatístico (S3).

O fator S3 baseia-se em conceitos estatísticos e considera a vida útil da

edificação e o grau de segurança necessário. Este fator depende da utilização da

edificação e os valores mínimos que podem ser adotados estão definidos na Tabela

2 abaixo.

Tabela 2- Valores mínimos do fator estatístico S3 (NBR 6123 [22]).

Grupo Descrição S3

1

Edificações cuja ruína total ou parcial pode afetar a segurança ou possibilidade de socorro a pessoas após

uma tempestade destrutiva (hospitais, quartéis de bombeiros e de forças de segurança, centrais de

comunicação, etc.).

1,10

2 Edificações para hotéis e residências. Edificações para

comércio e indústria com alto fator de ocupação. 1,00

3 Edificações e instalações industriais com baixo fator de

ocupação (depósitos, silos, construções rurais, etc.). 0,95

4 Vedações (telhas, vidros, painéis de vedação, etc.). 0,88

5 Edificações temporárias. Estruturas dos grupos 1 a 3

durante a construção. 0,83

36

1.1.6 Velocidade característica (Vk).

A velocidade característica do vento (Vk), obtida pelo produto da velocidade

básica (V0) pelos fatores S1, S2 e S3 definidos anteriormente, pode então ser

determinada, conforme a equação (2) abaixo.

(2)

1.1.7 Pressão dinâmica (q).

A pressão dinâmica, resultante do vento característico, pode ser obtida

através da equação (3) abaixo.

(3)

Onde:

= Pressão dinâmica (em N/m²);

= Velocidade do vento característico (em m/s).

1.1.8 Coeficiente de arrasto (Ca).

De acordo com a NBR 6123 [22], os valores do coeficiente de arrasto (Ca)

são definidos para a face frontal e para a face lateral da estrutura. Estes valores são

adimensionais e se aplicam aos ventos de baixa turbulência e de alta turbulência

(Figuras 4 e 5 da norma, respectivamente) de acordo com as características dos

obstáculos, edificações presentes na região e direção da ação do vento.

Neste estudo será adotado, em favor da segurança, o caso de incidência de

vento em baixa turbulência considerando-se a localização do edifício em região de

poucos obstáculos.

37

Tabela 3 – Coeficientes de arrasto para alta turbulência, baixa turbulência e valor médio.

Incidência Ca Regime de vento Valores Médios

Lateral (0º)

0,87 Baixa Turbulência

0,84

0,81 Alta Turbulência

Frontal (90º)

1,36 Baixa Turbulência

1,26

1,16 Alta Turbulência

1.1.9 Força estática global (Fg).

A força global atuante sobre o edifício é obtida pela soma vetorial das forças

estáticas do vento para a variação da altura z da estrutura. Esta força pode ser

obtida pela expressão (4) a seguir.

(4)

Onde:

= Força estática global (em N);

= Pressão dinâmica (em N/m²);

Ae = Área efetiva do edifício a receber a pressão do vento atuante (em m²);

Ca = Coeficiente de arrasto para ventos de alta ou baixa turbulência.

Para a face frontal da edificação em estudo, teremos, portanto uma força

estática no topo (máxima) da ordem de 25,82 kN/m e na face lateral da edificação da

ordem de 6,21 kN/m.

38

1.1.10 Velocidade de Projeto ( ).

A velocidade de projeto representa a velocidade média do vento atuante

em uma estrutura há uma altura de 10 metros do solo durante um intervalo de 10

minutos. Em um terreno de Categoria II pode ser obtida pela expressão (5) a seguir.

(5)

Onde:

= Velocidade de projeto (em m/s);

V0 = Velocidade básica do vento (em m/s);

S1 = Fator topográfico;

S3 = Fator estatístico.

1.2 Modelo contínuo simplificado de acordo com a NBR 6123 [22].

De acordo com a norma de ventos NBR 6123 [22], o modelo contínuo

simplificado pode ser adotado para edifícios nos quais a seção seja constante e que

a distribuição de massa da estrutura seja aproximadamente uniforme. O edifício em

análise deve ser apoiado exclusivamente na base e ter altura total inferior a 150 m.

Apenas o modo fundamental contribui para a resposta dinâmica da estrutura,

o que resulta, em geral, em erros menores do que 10% em relação à resposta

dinâmica do modelo investigado.

A norma de vento estabelece para cada tipo de estrutura parâmetros para

determinação dos efeitos dinâmicos: período fundamental (T1), razão de

amortecimento crítico (ζ), e o parâmetro (), expressos na Tabela 4.

A edificação investigada neste trabalho diz respeito a um edifício de concreto

armado de seção constante apoiado exclusivamente na base conforme

recomendação da norma e, portanto pode ser calculada utilizando-se o método

contínuo simplificado.

39

Tabela 4 – Parâmetros para determinação de efeitos dinâmicos (Tabela 19-NBR 6123 [22]).

Tipo de edificação T1 = 1/f1

(h em metros)

Edifícios com estrutura aporticada de concreto, sem cortinas.

1,2 0,020 0,05+0,015h

Edifício com estrutura de concreto, com cortinas para a absorção de

forças horizontais. 1,6 0,015 0,05+0,012h

Torres e chaminés de concreto, seção variável.

2,7 0,015 0,02h

Torres, mastros e chaminés de concreto, seção uniforme.

1,2 0,010 0,015h

Edifícios com estrutura de aço soldada.

1,7 0,010 √

Torres e chaminés de aço, seção uniforme.

- 0,008 -

Estruturas de madeira. - 0,030 -

Com base na Tabela 4, obtém-se o valor da frequência fundamental f1 (em

Hz) para diversos tipos de edificações.

Para a estrutura em análise, o valor da frequência fundamental resultante da

Tabela 4 é de 0,33 Hz e a forma modal (parâmetro ) de 1,2; correspondente à

formulação de um edifício com estrutura aporticada de concreto sem cortina.

1.2.1 Pressão dinâmica no modelo contínuo (q).

Uma vez obtida à velocidade de projeto ( , pode-se obter a variação da

pressão dinâmica com a altura, q(z), resultante da ação do vento, através das

equações (6) e (7) abaixo; com em N/m² e em em m/s.

(6)

40

[(

)

(

)

(

)

] (7)

Onde:

O primeiro termo dentro dos colchetes corresponde à resposta média e o

segundo representa a amplitude máxima da resposta flutuante.

O valor dos coeficientes p e b dependem da categoria de rugosidade do

terreno, conforme indicado na Tabela 5 a seguir.

Tabela 5 - Parâmetros b e p (Tabela 20 - NBR 6123 [22]).

Categoria de rugosidade I II III IV V

b 0,095 0,15 0,185 0,23 0,31

p 1,23 1,00 0,86 0,71 0,50

Os fatores z, zr e h representam respectivamente: a cota acima do terreno; a

cota de referência a 10 metros (zr = 10 m); e a altura da edificação acima do terreno

medida até o topo da platibanda ou nível do beiral (h = 47 m).

O coeficiente de amplificação dinâmica é obtido em função das dimensões

do edifício, da razão de amortecimento crítico e da frequência f (através da relação

adimensional sendo L=1800) através dos gráficos das figuras 14 a 18 da

norma. Para a edificação em estudo, podem ser calculadas as relações (8) e (9) a

seguir.

(8)

(9)

Onde:

L1 = Maior largura do edifício perpendicular à ação do vento (31,71 metros),

h = Altura total da estrutura (47 metros),

= Velocidade de projeto (24,15 m/s)

f = Frequência fundamental obtida na Tabela 4 (0,33 Hz);

41

Portanto, para a categoria V, com o amortecimento crítico igual a 0,02 e a

relação L1/h=0,68 (com L1 e h em metros) o gráfico que se aplica a este caso, é o da

figura 18 da norma, reproduzido a seguir na Figura 5; resultando no valor

aproximado do coeficiente de amplificação dinâmica .

Figura 5 – Coeficiente de amplificação dinâmica (ξ) para Categoria V (NBR 6123 [22]).

Assim, aplicando-se os valores obtidos resumidos na Tabela 6 na equação (7)

da pressão dinâmica (q) em função da altura (z), temos a distribuição da pressão

dinâmica ao longo de cada andar da edificação conforme disposto na Tabela 7.

Tabela 6 – Resumo dos fatores a serem aplicados na equação de pressão dinâmica.

V0 35,00

S1 1,00

S3 1,00

Vp 24,15

q0 357,52

P 0,31

b 0,5

1,2

1,6

42

Tabela 7 – Variação da pressão dinâmica de acordo com a altura.

Pavimento Altura (z)

(m)

Pressão Dinâmica q(z)

(N/m²)

Térreo 2,94 53,05

1º 5,88 90,08

2º 8,81 124,63

3º 11,75 158,08

4º 14,69 190,94

5º 17,63 223,47

6º 20,56 255,81

7º 23,50 288,04

8º 26,44 320,22

9º 29,38 352,39

10º 32,31 384,58

11º 35,25 416,80

12º 38,19 449,08

13º 41,13 481,41

14º 44,06 513,81

15º 47,00 546,29

1.2.2 Força estática equivalente.

A força estática equivalente, representativa da ação estática combinada com

a ação dinâmica simplificada do vento, pode ser obtida pela expressão (10) a seguir

ao longo da variação da altura (z) do edifício.

(10)

43

Onde:

L1 = Largura do edifício perpendicular à ação do vento;

Ca = Coeficiente de arrasto para ventos de alta ou baixa turbulência.

Calcula-se então a força estática equivalente, para a variação de altura do

edifício, de acordo com a equação (10). Considerando-se as larguras frontal (31,71

m) e lateral (11,92 m), obtém-se então, a distribuição de forças para cada face da

edificação, em cada pavimento, conforme a Tabela 8.

Tabela 8 – Forças Resultantes da ação do vento Lateral e Frontal.

Pavimento

Distribuição de Forças nas fachadas

Lateral

(N)

Frontal

(N)

Térreo 531,22 2119,77

1º 901,98 3599,21

2º 1247,87 4979,46

3º 1582,78 6315,84

4º 1911,83 7628,89

5º 2237,55 8928,62

6º 2561,35 10220,67

7º 2884,08 11508,49

8º 3206,32 12794,34

9º 3528,45 14079,74

10º 3850,73 15365,79

11º 4173,38 16653,25

12º 4496,52 17942,69

13º 4820,26 19234,55

14º 5144,69 20529,12

15º 5469,86 21826,66

44

2 MODELO ESTRUTURAL INVESTIGADO

2.1 Características geométricas.

Este estudo utiliza como base, um conjunto de edifícios em concreto armado,

formado por quatro torres idênticas, construídas simultaneamente, com 47 metros de

altura e uma área em planta de 31,71 metros de extensão por 11,92 metros de

largura, conforme ilustrado na Figura 6 e Figura 7 a seguir.

Figura 6 – Principais medidas da edificação (Dimensões em metros).

45

Figura 7 – Planta baixa da edificação – Pavimento Tipo (Dimensões em cm).

46

A Figura 8 abaixo, do livro do professor Cunha [51], ilustra a seção transversal

do edifício e as distâncias em metros, de eixo a eixo dos pilares, na direção

longitudinal.

Figura 8 – Seção transversal [51].

Para este estudo, a estrutura em concreto armado foi considerada no regime

linear-elástico, com fck de 30 MPa, com módulo de elasticidade de 2,6 x 1010 N/m²,

coeficiente de Poisson igual a 0,2 e densidade do concreto equivalente a 2500

kg/m³.

47

As seções do projeto original para as vigas apresentam-se na Tabela 9

parametrizadas em função da base (B) e altura (H) da seção transversal de cada

elemento estrutural com sua respectiva locação detalhada na Figura 9.

Tabela 9 – Seções de Projeto para as vigas

VIGAS B (m) H (m) Área da

Seção (m²)

V1 e V12 B1 =0,11 H1 =1,20 0,13

V13 e V21 B2=0,18 H2 =0,40 0,07

V14, V15, V16, V18, V19 e V20 B3 =0,18 H3 =0,50 0,09

V2, V4, V8 e V11 B4 =0,11 H4 =0,40 0,04

V3, V9, V5 e V10 B5 =0,11 H5 =0,50 0,06

V6 e V7 B6 =0,16 H6 =0,50 0,08

V17 B7 =0,10 H7 =0,30 0,03

Área seccional total 1,53

Analogamente, as seções transversais dos pilares foram descritas de forma

parametrizada em função de suas larguras maior (L) e menor (E) na Tabela 10 com

sua respectiva locação detalhada na Figura 10.

Tabela 10 – Seções de projeto para os pilares

PILARES B (m) H (m) Área da

Seção (m²)

P1 a P3, P6 a P8, P11 a P13 e P16 a P18 L8 = 1,50 E8 = 0,18 0,27

P4 e P5 L9 = 2,46 E9 = 0,14 0,34

P9 e P10 L10 = 1,00 E10 = 0,18 0,18

P14 e P15 L11 = 0,80 E11 = 0,18 0,14

Área seccional total 4,57

48

Fig

ura

9 –

Loca

ção d

as v

igas (

Dim

ensõ

es e

m c

m).

49

Fig

ura

10 –

Loca

ção d

os p

ilare

s (

Dim

ensõ

es e

m c

m).

50

2.2 Patologias apresentadas.

Ao final de sua construção, o edifício apresentou problemas de ordem

estrutural; necessitando de intervenção e reforço a fim de evitar o seu colapso

iminente. Em todos os andares, nas quatro torres construídas, surgiram fissuras

diagonais nos quatro cantos da edificação, visíveis na face inferior das lajes e

atravessando-a por completo. Os fatos eram conhecidos há meses, e somente

quando os apartamentos foram entregues aos proprietários, que passaram a

reclamar das fissuras, foi dada a devida atenção. Investigações mais cuidadosas

foram realizadas, e uma vistoria inicial constatou o progresso do padrão de

fissuração com o passar do tempo, apresentando além das já conhecidas fissuras de

canto, fissuras verticais de deslizamento dos pilares em relação às alvenarias,

rupturas localizadas e em cruzamentos de alvenarias.

Todo este padrão sugeria que tal problema seria decorrente das forças de

contraventamento dadas pelo apoio horizontal promovido pelos pilares centrais

localizados na caixa da escada e no poço dos elevadores aos demais pilares.

Devido à gravidade dos padrões encontrados, as torres foram submetidas a

uma observação permanente; verificando-se no oitavo dia que o padrão de fissuras

se alterou completamente; as fissuras pré-existentes agravaram-se e surgiram

novas. Em alguns andares ocorreram as primeiras rupturas localizadas no eixo de

simetria da estrutura. Apenas 48 horas após as rupturas iniciais, constatadas na

vistoria anterior, o padrão das fissuras agravou-se ainda mais e em uma das torres a

fissura se estendeu por 4 pavimentos sucessivos. As vigas da fachada frontal

apresentaram seccionamento total indicando o risco iminente de perder sua função

de tirante na edificação.

Segundo os relatos do Professor Fusco [51], este edifício apresentou

problemas de ordem estrutural e conceptiva; apresentando ausência de elementos

adequados de contraventamento que garantam a estabilidade global da estrutura.

A fissuração se agravou progressivamente até que o reforço provisório foi

aplicado a cada 3 pavimentos, assumindo-se a possibilidade de cada andar

reforçado equilibrar os andares adjacentes (acima e abaixo); único recurso viável

para a rapidez necessária nesta intervenção. Fissurações novas surgiram indicando

a eficiência da hipótese assumida. Assim, reforçou-se os andares adjacentes numa

segunda etapa, impedindo o progresso da fissuração e evitando-se assim o colapso

51

global iminente. Com a estabilização da fissuração, reforçou-se a região central da

estrutura; possibilitando que os pilares da fachada buscassem o equilíbrio através

das lajes e não mais pelas vigas longitudinais.

2.3 Carregamentos de vento aplicado ao modelo.

De acordo com a metodologia apresentada no Capítulo anterior, os valores

das forças de vento por andar, em cada fachada, dispostos na Tabela 8, podem

então ser redistribuídos, de acordo com a geometria apresentada, para que sejam

aplicados no modelo computacional de forma discretizada, conforme a Figura 11 a

seguir.

Figura 11 – Esquema de aplicação de forças para modelo dinâmico discreto NBR 6123 [22].

A força resultante em cada fachada foi distribuída vetorialmente,

considerando-se a área de influência envolvida, em seis forças para a fachada

frontal, representando o vento frontal, denominadas F1, F2, F3, F7, F8 e F9,

posicionadas respectivamente nos eixos 1, 2, 3, 7, 8 e 9; e duas forças para a

fachada lateral, representando o vento lateral, denominadas Fb e Ff, posicionadas

nos eixos B e F, para cada pavimento.

52

Estas forças foram aplicadas em nós de interesse, selecionados de forma a

garantir a melhor distribuição dos esforços na estrutura, localizados nos

alinhamentos dos pilares principais.

A Tabela 11 a seguir apresenta o resumo das forças estáticas equivalentes,

obtidas no modelo contínuo simplificado, para serem aplicadas em cada nó

distribuído em cada pavimento, dos eixos 1 a 3 e 7 a 9 para a fachada frontal e eixos

B e F para a fachada lateral, para o vento frontal e lateral respectivamente. Foi

utilizado o conceito de áreas de influência para a conversão das forças distribuídas

em áreas, apresentadas na Tabela 8, para as forças concentradas em nós,

apresentadas na Tabela 11.

É importante salientar que este processo com base na velocidade de projeto

do modelo contínuo simplificado em comparação ao processo estático, apresenta

resultados mais próximos da realidade uma vez que considera tanto a parcela media

do vento quanto a parcela flutuante.

Tabela 11 - Resultantes de forças devido ao vento frontal e lateral.

Pavimento

Vento Frontal

(N)

Vento Lateral

(N)

F1

Eixo 1

F2

Eixo 2

F3

Eixo 3

F7

Eixo 7

F8

Eixo 8

F9

Eixo 9

FB

Eixo B

FF

Eixo F

15 7201,97 11697,74 15516,97 15516,97 11697,74 7201,97 8320,78 8320,78

14 6773,83 11002,34 14594,53 14594,53 11002,34 6773,83 7826,13 7826,13

13 6346,67 10308,53 13674,19 13674,19 10308,53 6346,67 7332,61 7332,61

12 5920,41 9616,18 12755,79 12755,79 9616,18 5920,41 6840,13 6840,13

11 5494,94 8925,11 11839,10 11839,10 8925,11 5494,94 6348,56 6348,56

10 5070,13 8235,11 10923,82 10923,82 8235,11 5070,13 5857,76 5857,76

9 4645,78 7545,87 10009,54 10009,54 7545,87 4645,78 5367,49 5367,49

8 4221,65 6856,98 9095,73 9095,73 6856,98 4221,65 4877,47 4877,47

7 3797,37 6167,84 8181,60 8181,60 6167,84 3797,37 4387,28 4387,28

6 3372,43 5477,65 7266,06 7266,06 5477,65 3372,43 3896,33 3896,33

5 2946,11 4785,19 6347,52 6347,52 4785,19 2946,11 3403,78 3403,78

4 2517,24 4088,61 5423,51 5423,51 4088,61 2517,24 2908,29 2908,29

3 2083,99 3384,90 4490,04 4490,04 3384,90 2083,99 2407,73 2407,73

2 1643,03 2668,68 3539,98 3539,98 2668,68 1643,03 1898,27 1898,27

1 1187,60 1928,96 2558,74 2558,74 1928,96 1187,60 1372,09 1372,09

Térreo 699,44 1136,07 1506,98 1506,98 1136,07 699,44 808,10 808,10

53

O gráfico da Figura 12, a seguir, ilustra a variação das forças concentradas

nos nós, para cada eixo, ao longo da altura do edifício.

Figura 12 – Forças do vento ao longo da altura.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

PA

VIM

ENTO

FORÇA DO VENTO (kN)

Eixo 1 e 9

Eixo 2 e 8

Eixo 3 e 7

Eixo B e F

54

3 MODELO NUMÉRICO-COMPUTACIONAL

Neste capítulo, são apresentados os modelos computacionais da edificação

em estudo, respeitando-se as dimensões estruturais originais de projeto, utilizando-

se os softwares ANSYS [61] e SAP 2000 [37], ambos baseados no método dos

elementos finitos. O material que constitui a estrutura foi considerado trabalhando no

regime linear-elástico. As condições de contorno foram definidas na base do edifício

de forma a restringir a deslocabilidade dos pilares tridimensionalmente (nas direções

dos eixos globais X, Y e Z) representando apoios de segundo gênero, nos modelos

1 em ANSYS [61] e 3 em SAP 2000 [37]; e terceiro gênero (engaste) no modelo 2,

em ANSYS [61] e 4 em SAP 2000 [37], apresentados neste capítulo.

3.1 Modelo numérico desenvolvido no programa ANSYS [61].

A edificação foi modelada com sua planta longitudinalmente na direção do

eixo global X, transversalmente na direção do eixo global Z e sua elevação na

direção do eixo global Y conforme ilustra a Figura 13 abaixo.

Figura 13 – Modelo computacional em ANSYS [61].

x

y

z

55

A Figura 14 apresenta as características do modelo em diferentes vistas.

(a) Vista frontal

(b) Vista lateral

(c) Vigas em elementos finitos de barras (BEAM44)

(d) Laje em elementos finitos de casca (SHELL63)

Figura 14 – Características do modelo em elementos finitos.

x

z

56

Foram utilizados elementos finitos de barras para a modelagem das vigas e

pilares e elementos finitos de placas/cascas para a modelagem da laje maciça.

(a) Vigas e pilares

(b) Estrutura completa

Figura 15 – Perspectiva da estrutura em elementos finitos.

Os elementos de barra foram modelados no software através do elemento

tridimensional BEAM44 onde se consideram os efeitos de torção e flexão. Os

elementos de casca foram modelados através do elemento SHELL63.

O elemento BEAM44 é um elemento uniaxial definido internamente por dois

nós de seis graus de liberdade em cada um (translações e rotações em x, y e z). O

elemento SHELL63 é definido internamente por quatro nós com seis graus de

liberdade em cada nó (translações e rotações em x, y e z).

A Tabela 12 apresenta o total de nós, elementos e graus de liberdade do

modelo elaborado.

Tabela 12 - Total de nós, elementos e graus de liberdade aplicados no modelo.

Nós 40.756

Elementos 46.346

BEAM44 11.384

SHELL63 34.962

Graus de Liberdade 278.076

57

Figura 16 – Elemento BEAM44 e suas referências (ANSYS [61]).

Figura 17 – Elemento SHELL63 e suas referências (ANSYS [61]).

A malha de elementos finitos do modelo foi adequadamente refinada

considerando-se a geometria da estrutura com uma dimensão da ordem de 50

centímetros para cada elemento, permitindo, assim, uma boa representação do

comportamento da estrutura, tanto estaticamente quanto dinamicamente.

Neste modelo considera-se a excentricidade (e) entre as linhas neutras das

vigas e das lajes, representada no desenho esquemático da Figura 18, de maneira a

garantir a melhor representação da estrutura real e a compatibilidade das

deformações entre os nós dos elementos de viga e de placas.

X, Y, Z define a orientação do sistema de coordenadas.

Se o nó K for omitido, o eixo Y do elemento será paralelo ao plano X-Y.

Centro de Cisalhamento

58

Figura 18 - Excentricidade entre as linhas neutras da laje e da viga.

3.2 Modelo numérico desenvolvido no programa SAP 2000 [37].

O modelo em elementos finitos desenvolvido no software SAP 2000 [37],

considerou a geometria original de projeto, fazendo uso do recurso de offset

(deslocamento do nó de inserção).

A edificação foi modelada com sua planta longitudinalmente na direção do

eixo global X, transversalmente na direção do eixo global Y e sua elevação na

direção do eixo global Z conforme ilustra a Figura 19 abaixo.

Figura 19– Modelo computacional em SAP 2000 [37].

x y

z

59

(a) Vista frontal

(b) Vista lateral

(c) Vigas em elementos finitos de barras (BEAM44)

(d) Laje em elementos finitos de casca (SHELL63)

Figura 20 – Características do modelo em elementos finitos.

x

y

60

Foram utilizados elementos finitos de barras (“Frames”) para a modelagem

das vigas e pilares e elementos finitos de placas/cascas (“Shell”) para a modelagem

da laje maciça.

(a) Vigas e pilares

(b) Estrutura completa

Figura 21 – Perspectiva da estrutura em elementos finitos.

61

4 ANÁLISE DE AUTOVALORES E AUTOVETORES

O objetivo desta análise é o de estabelecer o comportamento dinâmico da

estrutura, no que tange às suas frequências naturais (autovalores) e aos seus

modos de vibração (autovetores), obtidos através dos modelos computacionais

descritos no capítulo anterior.

As frequências naturais representam a taxa de oscilação livre da estrutura

após o fim da ação da força responsável pelo movimento, ou seja, demonstra o

quanto a estrutura vibra quando cessada a aplicação das forças. Esta frequência é

inversamente proporcional à raiz quadrada da massa da estrutura e diretamente

proporcional à raiz quadrada da sua rigidez, sendo designada por um numero real

positivo cuja unidade mais comum é o Hertz (Hz). Os modos de vibração

representam a forma de vibrar da estrutura, isto é, o deslocamento ou deformação

que a estrutura apresenta ao vibrar em cada frequência natural.

Para uma análise inicial, modelou-se a estrutura em dois softwares, conforme

descrito anteriormente. Em cada modelo foram consideradas duas condições de

contorno distintas para a fundação; uma considerando a base da estrutura como

apoiada e a outra considerando como engastada, totalizando quatro modelos em

elementos finitos descritos a seguir.

4.1 Modelo 1.

O modelo 1 foi desenvolvido em elementos finitos no programa ANSYS [61]

considerando a base dos pilares, localizados no pavimento térreo, com vinculação

de segundo gênero (apoio), restringindo-se as translações e liberando-se as

rotações nas três direções (X, Y e Z).

A Tabela 13 a seguir apresenta as dez primeiras frequências naturais da

estrutura e as Figuras 22 a 24 os respectivos modos de vibração. Observa-se que o

primeiro modo apresenta predominância dos efeitos de flexão em torno do eixo Z. O

segundo, o terceiro, o sexto e o oitavo modos apresentam predominância dos efeitos

de torção em torno do eixo Y e por fim o quarto, o quinto, o sétimo, o nono e o

décimo modo apresentam a predominância da flexão em torno do eixo Z.

62

Tabela 13 – Frequências naturais da estrutura.

Modo de Vibração Frequência (Hz)

f01 0,27

f02 0,52

f03 0,59

f04 0,80

f05 1,36

f06 1,72

f07 1,95

f08 1,99

f09 2,59

f10 3,26

(a) 1º modo de vibração

Flexão em torno do eixo Z (f01 = 0,27 Hz)

(b) 2º modo de vibração

Torção em torno do eixo Y (f02 = 0,52 Hz)

Figura 22 – Modos de vibração (1º e 2º).

63





(c) 5º modo de vibração


(d) 6º modo de vibração


Figura 23 – Modos de vibração (3º ao 6º).

64










65

4.2 Modelo 2.

O modelo 2, assim como no modelo anterior, também foi desenvolvido no

programa ANSYS [61], considerando-se a base do pilar com vinculação de terceiro

gênero (engaste), restringindo-se os deslocamentos e as rotações nas três direções

(X, Y e Z).

A Tabela 14 abaixo apresenta as dez primeiras frequências naturais da


primeiro modo apresenta a predominância dos efeitos de flexão em torno do eixo Z.

O segundo e o sexto modo apresentam predominância dos efeitos de torção em

torno do eixo Y, o terceiro e o oitavo apresentam flexão em torno do eixo X; e por fim

o quarto, o quinto, o sétimo o nono e o décimo modo apresentam a predominância

da flexão em torno do eixo Z.



f01 0,27

f02 0,58

f03 0,62

f04 0,81

f05 1,37

f06 1,89

f07 1,96

f08 2,16

f09 2,59

f10 3,27

66

(e) 1º modo de vibração

Flexão em torno do eixo Z (f01 = 0,27 Hz).

(f) 2º modo de vibração

Torção em torno do eixo Y (f02 = 0,58 Hz).

(g) 3º modo de vibração

Flexão em torno do eixo X (f03 = 0,62 Hz).

(h) 4º modo de vibração



67




Torção em torno do eixo Y (f06 = 1,89 Hz).






68






4.3 Modelo 3.

O modelo 3 foi desenvolvido em elementos finitos no programa SAP 2000 [37]

e assim como no modelo 1, considerou-se a base do pilar com vinculação de

segundo gênero (apoio), restringindo-se as translações e liberando-se as rotações

nas três direções (X, Y e Z). É importante ressaltar que a orientação dos eixos

globais do modelo em SAP 2000 é distinta do modelo em ANSYS.



primeiro modo apresenta predominância dos efeitos de flexão em torno do eixo Y. O

segundo e o sexto modo apresentam predominância dos efeitos de torção em torno

do eixo Z, o terceiro e o oitavo modos apresentam flexão em torno do eixo X, e por

fim o quarto, o quinto, o sétimo, o nono e o décimo modos apresentam a

predominância da flexão em torno do eixo Y.

69



f01 0,21

f02 0,39

f03 0,49

f04 0,64

f05 1,11

f06 1,36

f07 1,61

f08 1,69

f09 2,16

f10 2,75


Flexão em torno do eixo Y (f01 = 0,21 Hz).


Torção em torno do eixo Z (f02 = 0,39 Hz).


70










71










72

4.4 Modelo 4.

O modelo 4 foi desenvolvido em elementos finitos no programa SAP 2000 [37]

e assim como no modelo 2, considerou-se a base do pilar com vinculação de terceiro

gênero (engaste), restringindo-se os deslocamentos e as rotações nas três direções

(X, Y e Z). É importante ressaltar que a orientação dos eixos globais do modelo em

SAP 2000 é distinta do modelo em ANSYS.



primeiro modo apresenta predominância dos efeitos de flexão em torno do eixo Y. O

segundo e o sexto modo apresentam predominância dos efeitos de torção em torno

do eixo Z, o terceiro e o oitavo modos apresentam predominância dos efeitos de

flexão em torno do eixo X e por fim, o quarto, o quinto, o sétimo, o nono e o décimo

modos apresentam a predominância da flexão em torno do eixo Y.



f01 0,24

f02 0,47

f03 0,57

f04 0,71

f05 1,21

f06 1,60

f07 1,74

f08 1,97

f09 2,31

f10 2,92

73










74

(e) 5º modo de vibração


(f) 6º modo de vibração


(g) 7º modo de vibração


(h) 8º modo de vibração



75

(i) 9º modo de vibração


(j) 10º modo de vibração



4.5 Comparativo entre os modelos.

A seguir apresenta-se um breve resumo, qualitativo, dos resultados das

frequências naturais, obtidas para cada um dos quatro modelos descritos

anteriormente, conforme a Tabela 17.

Tabela 17 – Frequências em cada modelo desenvolvido.

MODELO ANALISADO FREQUÊNCIAS NATURAIS (Hz)

f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10

Modelo 1 - ANSYS [61] (Apoiado)

0,27 0,52 0,59 0,80 1,36 1,72 1,95 1,99 2,59 3,26

Modelo 2 - ANSYS [61] (Engastado)

0,27 0,58 0,62 0,81 1,37 1,89 1,96 2,16 2,59 3,27

Modelo 3 - SAP 2000 [37] (Apoiado)

0,21 0,39 0,49 0,64 1,11 1,36 1,61 1,69 2,16 2,75

Modelo 4 - SAP 2000 [37] (Engastado)

0,24 0,47 0,57 0,71 1,21 1,60 1,74 1,97 2,31 2,92

76

Conforme pode ser verificado; entre os modelos, as faixas de frequências

modais atingidas são bastante próximas e demostram uma pequena colaboração da

variação das condições de apoio para base engastada ou apoiada em relação à

estrutura em estudo.

Tabela 18 – Modos de vibração em cada modelo desenvolvido.

Modo

Modelo 1 - ANSYS [61] (Apoiado)

Modelo 2 - ANSYS [61] (Engastado)

Modelo 3 - SAP 2000 [37] (Apoiado)

Modelo 4 - SAP 2000 [37]

(Engastado)

Efeito Eixo Efeito Eixo Efeito Eixo Efeito Eixo

f1 Flexão Z Flexão Z Flexão Y Flexão Y

f2 Torção Y Torção Y Torção Z Torção Z

f3 Torção Y Flexão X Flexão X Flexão X



f6 Torção Y Torção Y Torção Z Torção Z


f8 Torção Y Flexão X Flexão X Flexão X



Verifica-se, também que a frequência fundamental da estrutura apresenta-se

na faixa de 0,27 Hz, valor bastante baixo em comparação às estruturas usuais de

concreto. É importante ressaltar que nestes modelos não foi considerada a

colaboração da alvenaria na rigidez global.

77

5 ESTABILIDADE GLOBAL

Com o avanço da engenharia e a evolução das necessidades humanas por

espaços cada dia mais eficientes e inteligentes; a concepção estrutural tradicional

modificou-se; dando origem a novas estruturas, mais amplas, altas e esbeltas.

O aumento dos vãos a serem vencidos pelas vigas e lajes nas edificações, o

conceito de ambientes abertos e integrados resultando em cada vez menos

alvenarias; a substituição do tijolo maciço por novos materiais, como o gesso, por

exemplo, e até mesmo o posicionamento de alvenarias diretamente sobre as lajes,

entre outras práticas, contribuiu diretamente para a mudança do comportamento

global das estruturas.

Tais modificações contribuíram para a perda da colaboração de cada

elemento na rigidez estrutural, antes pesada, robusta e travada por blocos, que por

consequência destas mudanças se tornaram esbeltas e mais leves, concentrando-se

a rigidez estrutural cada vez mais no esqueleto básico: pilar, viga e laje. Com isto,

tornaram-se necessárias novas abordagens em relação à maneira de se projetar.

Entre os processos que podem auxiliar o projetista na concepção estrutural

mais adequada, por exemplo, estão os indicadores de comportamento estático

global tais como índice de esbeltez efetiva, coeficiente de rigidez efetiva global, além

de indicadores dinâmicos como a frequência fundamental e modos de vibração.

Tornou-se importante durante a realização do projeto, portanto, a verificação

mais cuidadosa da estrutura tanto através dos indicadores citados como também

através da verificação do equilíbrio estrutural pelos efeitos de primeira e segunda

ordem. Em uma análise de primeira ordem, o equilíbrio da estrutura é estudado na

configuração geométrica inicial, sem considerar deformações. Os efeitos de segunda

ordem correspondem às deformações da própria estrutura que somada às

excentricidades naturais do processo construtivo ou do próprio material, amplificam

as deformações globais. Este efeito pode ser desprezado quando representar

menos de 10% de acréscimo nas reações e solicitações da estrutura.

Neste capítulo serão apresentados os procedimentos de análise do

comportamento estrutural de edifícios utilizando os indicadores de esbeltez de corpo

rígido, rigidez efetiva global e esbeltez efetiva global.

78

5.1 Classificação do edifício quanto à esbeltez de corpo rígido.

Considerando-se as características geométricas da edificação, pode se

classifica-la em relação a sua Esbeltez de Corpo Rígido, através da relação

expressa pela equação (11) e (12) abaixo.

(11)

(12)

Onde: H é a altura da edificação e Lx e Ly são as larguras da edificação na

direção da análise conforme ilustrado na Figura 34.

Figura 34 – Desenho esquemático dos parâmetros geométricos [54].

Sua esbeltez pode ser classificada de acordo com os seguintes limites,

segundo Borges [54]:

a) Pequena esbeltez β 4

b) Média esbeltez 4 < β 6

c) Alta esbeltez β > 6

Para a edificação em estudo em que a altura é de 47 metros e as larguras

frontal e lateral são 31,71 e 11,72 metros, correspondentes aos valores dos

parâmetros Lx e Ly respectivamente; a esbeltez pode ser obtida conforme disposto

na Tabela 19 e comparativamente na Figura 35 a seguir.

79

Tabela 19– Relação da Esbeltez de Corpo Rígido para a estrutura em estudo.

Figura 35 – Índices de esbeltez de corpo rígido.

Os valores em ambas as direções encontram-se abaixo do limite estabelecido

(β 4 [54]). O edifício classifica-se, portanto, como sendo de pequena esbeltez.

5.2 Rigidez Efetiva Global.

O coeficiente de Rigidez Efetiva Global, associado a cada direção pode ser

calculado pela expressão (13) a seguir.

(13)

Sendo Δx,y,z os deslocamentos absolutos generalizados do topo da edificação,

provocados por aplicação de uma força unitária, conforme as orientações ilustradas

na Figura 36.

80

(a) Força em X.

(b) Força em Z.

(c) Momento em Y.

Figura 36 – Aplicação da força unitária [60].

Calculando-se a rigidez através da equação (13) supracitada, considerando o

deslocamento devido à força virtual unitária, para a direção longitudinal da edificação

(direção X da coordenada global adotada), direção transversal da edificação (direção

Z da coordenada global adotada) e rotacional (plano X-Z com resultante em Y da

coordenada global adotada); temos, respectivamente, os valores de Kx, Kz e Ky,

dispostos na Tabela 20.

Tabela 20– Rigidez Efetiva Global para a estrutura em estudo.

Pode-se verificar nesta análise que a rigidez transversal (Kz) da estrutura

apresenta-se inferior à rigidez longitudinal (Kx).

81

5.3 Esbeltez Efetiva Global.

Segundo o CEB [56], a esbeltez efetiva global pode ser calculada para a

estrutura de acordo com a expressão (14) a seguir.

√

(14)

Onde:

= Esbeltez Efetiva Global;

Ecs = Módulo de elasticidade secante do concreto (em N/m²);

= Deslocamento lateral do topo sob a ação de força unitária (em m);

Ap = Soma das áreas das seções transversais dos pilares (em m²);

h = Altura do edifício (em m);

Segundo o CEB [56] e Fonte [57], de acordo com o valor de , temos:

a) Podem ser desprezados os efeitos de 2ª ordem

b) Esbeltez Moderada

c) Esbeltez Media

d) Esbeltez Alta

e) Esbeltez Muito Alta

Considerando os deslocamentos unitários, um concreto com fck de 30 MPa,

com um módulo de elasticidade secante de 2,68x107 N/m² e todos os elementos

estruturais trabalhando em regime elástico (com rigidez plena); pode-se calcular a

esbeltez através da equação (14) supracitada para a edificação conforme a Tabela

21 abaixo.

Tabela 21– Esbeltez Efetiva Global para a estrutura em estudo.

De acordo com a classificação de Fonte [57] para os valores de obtidos,

os efeitos de 2ª ordem podem então ser desprezados.

82

6 ANÁLISE ESTÁTICA

6.1 Introdução.

O principal objetivo de uma análise estática é a obtenção da resposta da

estrutura quando submetida às combinações de carregamentos estaticamente

aplicados.

Partindo-se de um modelo numérico-computacional adequadamente

desenvolvido para representar, da forma mais próxima possível, a realidade das

condições da estrutura original; submetendo este modelo aos carregamentos

estáticos, podem ser obtidos os esforços internos, reações nos apoios,

deslocamentos e até mesmo tensões dependendo de como a estrutura foi

modelada.

O concreto, material abordado neste estudo, nos permite duas abordagens

diferentes em relação ao seu comportamento: linear e elástico ou não linear e

elastoplástico. No funcionamento linear e elástico do concreto, admite-se que o

material trabalhe sob um regime de tensões inferior ao escoamento e com as

deformações, segundo a Lei de Hooke, progredindo proporcionalmente à evolução

das tensões. No funcionamento não linear e elastoplástico, admite-se a plastificação

de alguns pontos da estrutura, permitindo a redistribuição dos esforços conduzindo a

não linearidade da relação tensão-deformação ocasionada pelo próprio material

submetido à plastificação, deslocamentos excessivos ou condições de contorno.

Neste estudo, para a análise em questão, não será considerada a não

linearidade do material ou física. Considera-se, portanto, o concreto trabalhando em

regime linear e elástico, homogêneo e isotrópico.

6.2 Carregamentos.

Este capítulo apresenta o estudo dos deslocamentos e a configuração

deformada, obtidos em uma análise estática realizada para o sistema estrutural

investigado, considerando-se os seguintes carregamentos:

83

a) Peso próprio da estrutura:

Será considerado o peso dos pilares, vigas e lajes em concreto, calculados

internamente pelo programa com base na densidade do material e seções dos

elementos estruturais modelados.

b) Sobrecarga de utilização:

Considera-se uma sobrecarga de 2,0 KN/m² para carregamento vertical, em

pisos de edificações residenciais, em concordância com a NBR 6120 [50]

c) Ação do vento:

Considera-se o vento atuante na face frontal e lateral da edificação

isoladamente e simultaneamente, através do modelo de carregamento do método

simplificado da NBR 6123 [22] descrito no capítulo 1 deste estudo.

A análise estática executada para obtenção dos deslocamentos utiliza o

conceito de carregamento nodal equivalente [66] aplicado por meio do programa de

elementos finitos ANSYS [61].

O conceito de carregamento nodal equivalente [66] é bastante utilizado na

modelagem computacional utilizando o método dos elementos finitos (MEF), onde a

discretização da estrutura se apresenta através de elementos de barras. Consiste,

essencialmente, em aplicar aos nós de cada elemento os valores de forças e

momentos equivalentes ao carregamento distribuído que atuaria na peça da

estrutura real, de maneira a garantir o mesmo estado de equilíbrio e compatibilidade

de deformações do carregamento real. Utiliza-se para obtenção das forças e

momentos equivalentes, os princípios do trabalho virtual e os conceitos de equilíbrio

de energia.

6.3 Limites para deslocamentos.

A NBR 6118 [59] recomenda, em seu item 13.3, limites de deslocamentos

horizontais de edificações, provocados pela ação do vento na combinação

frequente, para o deslocamento global da estrutura e para o deslocamento entre

pavimentos, conforme ilustrado na Figura 37.

84

Figura 37 – Esquema dos deslocamentos no edifício.

Onde:

Altura total da estrutura (em metros);

Altura entre pavimentos (em metros);

Deslocamento total da estrutura (em metros);

Deslocamento relativo (para o andar i em metros);

Deslocamento relativo (para o andar superior ao i em metros).

Os limites de deslocamentos podem ser verificados, conforme a norma [59],

pelas equações (15) e (16) a seguir:

(15)

(16)

Para a edificação em estudo, podem-se determinar então os deslocamentos

máximos conforme a Tabela 22.

Tabela 22– Limites de deslocamentos para a estrutura em estudo.

Portanto, o deslocamento máximo, a ser estabelecido como restrição de

deslocamento, no topo do edifício é de 2,77 cm e entre pavimentos de 0,35 cm.

85

6.4 Casos de carregamentos e deslocamentos.

Apresentam-se a seguir, para cada caso de carregamento na edificação

estudada, os valores dos deslocamentos estáticos translacionais horizontais. Estes

deslocamentos translacionais ou laterais relacionam-se com os efeitos de flexão em

torno do eixo global horizontal X, para a face frontal ou Z para a face lateral da

estrutura.

O comportamento da estrutura foi analisado estaticamente considerando-se

as combinações de carregamentos descritas a seguir, com o objetivo de se obter os

deslocamentos máximos em cada direção analisada.

a) Caso 1: Peso próprio + Sobrecarga

b) Caso 2: Peso próprio + Sobrecarga + Vento atuando na face frontal.

c) Caso 3: Peso próprio + Sobrecarga + Vento atuando na face lateral.

d) Caso 4: Peso próprio + Sobrecarga + Vento atuando nas faces frontal e

lateral simultaneamente.

As combinações de carregamentos foram aplicadas ao modelo 2, no

programa ANSYS [61], desenvolvido através do MEF, com condição de apoio

considerada como engaste, analisado de forma estática, linear e elástica, descrito no

capítulo 4. Os deslocamentos resultantes são então comparados aos deslocamentos

máximos recomendados pela norma (2,77 cm e 0,35 cm para o deslocamento total e

entre pavimentos, respectivamente) [59]. Estes deslocamentos são medidos e

descritos em relação aos eixos estruturais caracterizados no capítulo 2.

6.4.1 Caso de carregamento 1.

A Figura 38 e a Figura 39 apresentam os deslocamentos nodais, verticais, da

estrutura ao longo da altura (máximos no topo), para o caso de carregamento 1. São

combinados neste carregamento o peso próprio da estrutura (vigas, pilares, lajes e

alvenaria periférica), a sobrecarga de utilização de 2 kN/m². O deslocamento obtido

será comparado ao limite de 2,77cm [59].

86

(a)Deslocamentos nodais

Perspectiva.

(b)Deslocamentos

Vista Frontal.

(c)Deslocamentos

Vista lateral.

Figura 38 – Deslocamento devido à sobrecarga.

Figura 39 - Deslocamentos em cada pavimento.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

PA

VIM

ENTO

DESLOCAMENTO (cm)

Eixo 1

Eixo 2

Eixo 3

Eixo 7

Eixo 8

Eixo 9

Eixo B

Eixo F

87

Tabela 23– Deslocamento por andar devido à sobrecarga (medidas em cm).

Pavimentos Eixos (Conforme Figura 7)

1 2 3 7 8 9 B F

15 0,93 0,79 0,71 0,71 0,79 0,92 0,74 0,92

14 0,92 0,78 0,70 0,70 0,78 0,92 0,73 0,92

13 0,91 0,77 0,69 0,69 0,77 0,90 0,72 0,90

12 0,89 0,76 0,68 0,68 0,76 0,89 0,71 0,89

11 0,87 0,74 0,66 0,66 0,74 0,87 0,69 0,87

10 0,84 0,72 0,64 0,64 0,72 0,84 0,66 0,84

9 0,81 0,69 0,62 0,62 0,69 0,81 0,63 0,81

8 0,77 0,66 0,59 0,59 0,66 0,77 0,59 0,77

7 0,73 0,63 0,56 0,56 0,63 0,73 0,54 0,73

6 0,68 0,59 0,53 0,53 0,58 0,68 0,50 0,68

5 0,63 0,54 0,49 0,49 0,54 0,62 0,44 0,62

4 0,57 0,49 0,44 0,44 0,49 0,56 0,38 0,56

3 0,50 0,43 0,40 0,40 0,43 0,49 0,32 0,49

2 0,43 0,37 0,35 0,34 0,37 0,42 0,25 0,42

1 0,35 0,31 0,29 0,29 0,31 0,34 0,17 0,34

Térreo 0,27 0,24 0,23 0,21 0,14 0,00 0,09 0,00

Verifica-se um deslocamento máximo inferior a 1,0 cm, verticalmente, quando

levado em consideração as ações somente do peso próprio da estrutura, da

alvenaria e a sobrecarga de utilização.


A Figura 40 e a Figura 41 apresentam, respectivamente, os deslocamentos

nodais da estrutura ao longo da altura (máximos no topo), para o caso de

carregamento 2. São combinados neste carregamento o peso próprio da estrutura

(vigas, pilares, lajes e alvenaria periférica), a sobrecarga de utilização de 2 kN/m² e a

ação do vento atuando na face frontal da estrutura. O deslocamento obtido será

comparado ao limite de 2,77cm.

88


Perspectiva.

(b)Deslocamentos

Vista Frontal.

(c)Deslocamentos

Vista lateral.

Figura 40 – Deslocamento devido ao vento frontal.


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

PA

VIM

ENTO

DESLOCAMENTO (cm)

Eixo 1

Eixo 2

Eixo 3

Eixo 7

Eixo 8

Eixo 9

Limite (2,77cm)

89

Tabela 24 – Deslocamento por andar devido ao vento frontal (medidas em cm).


1 2 3 7 8 9

15 2,79 2,77 2,76 2,74 2,73 2,71

14 2,66 2,65 2,63 2,61 2,60 2,59

13 2,52 2,51 2,50 2,47 2,47 2,45

12 2,37 2,36 2,35 2,32 2,31 2,30

11 2,21 2,19 2,18 2,16 2,15 2,13

10 2,03 2,01 2,00 1,98 1,97 1,95

9 1,84 1,82 1,81 1,79 1,78 1,76

8 1,63 1,62 1,61 1,58 1,58 1,56

7 1,42 1,41 1,39 1,37 1,36 1,35

6 1,20 1,19 1,18 1,15 1,15 1,13

5 0,98 0,97 0,96 0,93 0,93 0,91

4 0,76 0,75 0,74 0,72 0,71 0,69

3 0,55 0,54 0,53 0,51 0,50 0,48

2 0,35 0,34 0,33 0,31 0,31 0,29

1 0,18 0,17 0,16 0,15 0,14 0,12

Térreo 0,04 0,04 0,04 0,04 0,03 0,00

O deslocamento máximo no topo da edificação devido às forças de vento

frontais é de 2,79 cm; sendo o limite recomendado por norma de 2,77 cm. Portanto,

o deslocamento devido à ação frontal está ligeiramente acima do limite

recomendado.



nodais da estrutura ao longo da altura (máximos no topo), para o caso de

carregamento 3. São combinados neste carregamento o peso próprio da estrutura

(vigas, pilares, lajes e alvenaria periférica), a sobrecarga de utilização de 2 kN/m² e a

ação do vento atuando na face lateral da estrutura. O deslocamento obtido será

comparado ao limite de 2,77cm.

90


Perspectiva.

(b)Deslocamentos

Vista Frontal.

(c)Deslocamentos

Vista lateral.

Figura 42 – Deslocamento devido ao vento lateral.


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50

PA

VIM

ENTO

DESLOCAMENTO (cm)

Eixo B

Eixo F

Limite (2,77 cm)

91

Tabela 25 - Variação do deslocamento por andar devido ao vento lateral (medidas em cm).


B F

15 3,22 3,24

14 3,18 3,20

13 3,11 3,12

12 3,00 3,01

11 2,86 2,87

10 2,69 2,70

9 2,50 2,51

8 2,28 2,29

7 2,04 2,05

6 1,78 1,79

5 1,50 1,51

4 1,21 1,22

3 0,90 0,91

2 0,59 0,60

1 0,27 0,29

Térreo 0,02 0,03


laterais é de 3,24 cm. Portanto, o deslocamento devido à ação lateral está acima do

limite de 2,77 cm.



translacionais nodais da estrutura ao longo da altura (máximos no topo), para o caso

de carregamento 4. São combinados neste carregamento o peso próprio da

estrutura (vigas, pilares, lajes e alvenaria periférica), a sobrecarga de utilização de 2

kN/m² e a ação do vento atuando na face frontal (F1 a F9) e lateral (Fb e Ff) da

estrutura simultaneamente. O deslocamento obtido será comparado ao limite de

2,77cm.

92


Perspectiva.

(b)Deslocamentos

Vista Frontal.

(c)Deslocamentos

Vista lateral.

Figura 44 – Deslocamento devido ao vento frontal e lateral combinados.


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50

PA

VIM

ENTO

DESLOCAMENTO (cm)

Eixo 1

Eixo 2

Eixo 3

Eixo 7

Eixo 8

Eixo 9

Eixo B

Eixo F

Limite (2,77 cm)

93

Tabela 26 - Deslocamento por andar devido ao vento frontal e lateral (medidas em cm).


1 2 3 7 8 9 B F

15 2,74 2,74 2,74 2,74 2,75 2,75 3,23 3,24

14 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 2,62 3,19 3,20

13 2,48 2,48 2,48 2,48 2,48 2,48 3,11 3,12

12 2,33 2,33 2,33 2,33 2,33 2,33 3,00 3,01

11 2,17 2,17 2,17 2,16 2,16 2,16 2,86 2,87

10 1,99 1,99 1,99 1,98 1,98 1,98 2,69 2,70

9 1,81 1,80 1,80 1,79 1,79 1,78 2,49 2,51

8 1,61 1,60 1,59 1,58 1,58 1,58 2,27 2,29

7 1,40 1,39 1,38 1,37 1,37 1,36 2,03 2,05

6 1,18 1,17 1,17 1,15 1,15 1,14 1,77 1,79

5 0,97 0,96 0,95 0,93 0,93 0,92 1,49 1,51

4 0,75 0,74 0,73 0,71 0,71 0,70 1,19 1,22

3 0,54 0,53 0,52 0,50 0,50 0,49 0,89 0,91

2 0,34 0,34 0,33 0,31 0,30 0,29 0,57 0,60

1 0,17 0,17 0,16 0,15 0,14 0,12 0,26 0,28

Térreo 0,04 0,04 0,04 0,03 0,03 0,00 0,01 0,00


frontal e lateral combinadas é de 3,2 cm na direção longitudinal e 2,8 cm na direção

transversal. Portanto, o deslocamento devido à ação combinada está acima do

limite.

Verifica-se que os valores obtidos neste caso são semelhantes aos casos 2 e

3, pois cada ação tem influência exclusivamente na direção de sua atuação devido à

simetria geométrica da estrutura.

94

6.4.5 Deslocamentos máximos.

A Tabela 27 apresenta os deslocamentos translacionais máximos, localizados

no topo do edifício, medidos nos nós periféricos para cada caso de carregamento

descrito anteriormente. O Caso de Carregamento 1 apresenta somente

deslocamento vertical pois não foi considerado, neste caso, a incidência do vento.

Tabela 27 - Deslocamentos translacionais estáticos máximos.

CASO DE CARREGAMENTO

DESLOCAMENTOS MÁXIMOS

LIMITE DE NORMA [59]

SITUAÇÃO

Caso 1 0,93 cm - -

Caso 2 2,90 cm

2,77 cm

Não passa

Caso 3 3,36 cm Não passa


Pode-se verificar que os deslocamentos laterais máximos foram obtidos na

direção do eixo X onde o índice de esbeltez efetiva global apresentou-se menor (27)

do que na direção Z (33). Verificou-se também que os maiores deslocamentos

devido ao vento ocorreram na direção de maior rigidez efetiva global (Kx).

Os deslocamentos entre pavimentos, para os casos de carregamento de 1 a 4

não apresentaram valores superiores ao limite [59] sendo considerados, portanto,

adequados.

Os resultados indicam a ausência de um correto contraventamento na direção

longitudinal do edifício (eixo X), onde ocorreram os maiores deslocamentos, e na

direção transversal (eixo Z) em menor proporção. Sugere um lançamento estrutural

inapropriado, onde os efeitos dos esforços horizontais não são adequadamente

absorvidos pela estrutura.

95

7 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE OTIMIZAÇÃO

7.1 Introdução.

Otimizar, por definição, significa tornar ótimo ou ideal. É extrair o melhor

rendimento possível, empregando técnicas para selecionar as melhores alternativas,

valores ou resultados para se atingir os objetivos desejados.

O termo otimização ou programação matemática está relacionado ao estudo

de problemas cujo propósito é minimizar ou maximizar uma determinada função

através da escolha sistemática dos valores de variáveis reais ou inteiras dentro de

um conjunto viável.

Em problemas de engenharia, de administração, de logística ou de outras

ciências, quando se consegue elaborar modelos matemáticos razoavelmente

representativos do problema em estudo, torna-se possível aplicar as técnicas

matemáticas de otimização para minimizar ou maximizar uma determinada função,

descritiva deste problema. Esta função, previamente definida, permite que os

modelos matemáticos forneçam uma "solução ótima", ou seja, obtendo-se o melhor

desempenho ou resultado possível dentro de limites previamente estabelecidos.

Na engenharia civil, busca-se constantemente gerar a melhor qualidade de

vida possível com os recursos e materiais disponíveis. Neste contexto a otimização

numérica representa uma ferramenta importante na tomada de decisões por um

projeto mais eficiente.

Este capítulo tem por objetivo apresentar uma análise do modelo estrutural e

computacional descritos anteriormente utilizando-se das técnicas de otimização

matemática para a otimização do projeto original, com o auxílio do programa de

elementos finitos ANSYS [61] [72].

São apresentados a seguir os conceitos básicos da otimização de projeto e

do método de primeira ordem; utilizados na ferramenta de otimização do programa.

A formulação do problema a ser estudado é apresentada, com suas devidas

simplificações.

No capítulo seguinte, aplicam-se as técnicas de otimização na ferramenta

para obter-se uma estrutura otimizada e apresentam-se os resultados e as

verificações.

96

7.2 Histórico da otimização estrutural.

Os métodos de otimização tiveram sua base fundamentada nos dias e teorias

de Newton, Lagrange e Cauchy.

Newton e Leibnitz contribuíram para o desenvolvimento dos métodos de

cálculo diferencial, fundamento básico da otimização.

Bernoulli, Euler, Lagrange e Weirstrass lançaram os fundamentos do cálculo

variacional, que lida com a minimização de funções.

Maxwell foi o primeiro a aplicar o conceito de otimização estrutural em 1872,

seguindo uma linha de pesquisa diferente da tendência da época, em que os

engenheiros se empenhavam em calcular com precisão as tensões em diversos

projetos de pontes, ele buscou um projeto de ponte com a menor quantidade de

material possível e que estivesse estruturalmente aceitável.

Três décadas depois, em 1904, Michell retomou a estratégia adotada por

Maxwell, minimizando volumes de estruturas constituídas por barras treliçadas

sujeitas a carregamentos e restrições aplicados em pontos do domínio. Os

resultados obtidos são referência até hoje na teoria da otimização e são amplamente

utilizados para validar e aferir os programas comerciais de otimização estrutural.

Anos se passaram sem evoluções significativas depois dos valiosos

resultados apresentados por Michell; até Schmit publicar o seu trabalho na década

de 60.

Um grande marco na utilização da otimização estrutural ocorreu com o

surgimento dos computadores, o desenvolvimento do método dos elementos finitos

e o uso da programação matemática na computação. Tais ferramentas permitiram a

criação de técnicas de solução de problemas de otimização.

Com o avanço destas técnicas, problemas que antes eram abordados em

soluções analíticas com derivadas de equações diferenciais, passaram a ser

modelados em elementos finitos e implementados computacionalmente para

resolução.

Na década de 70 com algoritmos para soluções não lineares, em 80 com os

primeiros programas comerciais de otimização e módulos incorporados aos

programas de elementos finitos. De 1990 até hoje, os métodos de otimização

tornaram-se mais conhecidos e disponíveis nos mais variados softwares comerciais

sendo aplicados em outras áreas além da engenharia mecânica usual.

97

7.3 Problema de otimização estrutural.

Entre as diversas atividades cotidianas de um engenheiro de projetos

encontra-se a busca por métodos e processos que melhorem o desempenho ou

gerem resultados mais eficientes.

A metodologia tradicional do projeto de estruturas ainda baseia-se muito na

experiência e conhecimento do profissional, algumas vezes utilizando-se de tentativa

e erro, sendo a eficiência do projeto dependente deste processo subjetivo e

empírico. Desta forma não se pode garantir que a melhor solução foi adotada.

A otimização estrutural utiliza-se de processos matemáticos para encontrar a

melhor solução para um conjunto de variáveis. Assim, introduzem-se métodos de

controle e modelagem matemática para obter a melhor solução utilizando

indicadores que garantem um resultado ótimo.

Segundo Santos [72] três abordagens distintas podem ser realizadas para

otimização estrutural:

a) Topológica: aperfeiçoa-se a distribuição do material, dando origem a

uma topologia nova.

b) Forma: aperfeiçoa-se a forma, alterando o contorno interno e externo

da estrutura.

c) Paramétrica: também conhecida por dimensional; aperfeiçoam-se os

parâmetros discretos mantendo-se a forma pré-determinada.

7.4 Domínio da função: viável e não viável.

A partir da determinação do problema de otimização, pode-se caracterizar o

Domínio da Função que é o espaço onde se encontra o conjunto de valores da

solução do problema.

A viabilidade da solução é determinada por uma fronteira, denominada

Restrição de Projeto, dentro da qual estão as possíveis soluções do problema em

um domínio chamado Viável e fora da qual os valores não atendem ao problema,

dito, portanto, não viável ou inviável.

98

A Figura 46 apresenta uma representação desta fronteira (h=0), que

caracteriza a viabilidade da função em um espaço de projeto bidimensional, onde

cada eixo de coordenada representa uma variável de projeto X1 e X2.

Figura 46 - Regiões de domínio viável e inviável [77].

Todo ponto no espaço é um candidato à solução. Por este motivo, há a

grande importância de uma adequada definição da fronteira entre o domínio viável e

o não viável, diretamente caracterizada pelas restrições do projeto para obter-se a

solução ótima.

A maioria dos problemas de otimização apresenta o mínimo da função na

fronteira entre os dois domínios (viável e não viável). No domínio viável todas as

restrições são atendidas e ao menos uma está ativa. No domínio não viável, uma ou

mais restrições não são atendidas.

A Figura 47 apresenta a curva da função f, que sujeita às restrições, define o

mínimo local, em uma cavidade secundária e o mínimo global em uma cavidade

mais acentuada.

De maneira geral, os problemas de otimização apresentam diversos mínimos

locais dentre os quais, algumas vezes, os algoritmos estacionam em uma dessas

cavidades.

99

Figura 47 – Mínimo local e global [77].

7.5 Otimização de projeto.

A otimização de projeto tem por objetivo a melhoria das peças estruturais,

buscando um projeto ideal, isto é, que atenda a todos os requisitos especificados,

mas com um gasto mínimo de alguns fatores, tais como peso, superfície, volume,

custos, etc.; sempre obedecendo aos limites impostos, como por exemplo, as

tensões máximas admissíveis. Em outras palavras, o projeto ideal ou ótimo, é

geralmente aquele que é tão eficaz quanto for possível.

Este estudo aborda especificamente o campo de aplicação da engenharia civil

estrutural, em que corriqueiramente faz-se necessário reduzir as dimensões das

peças sem que sejam violadas as normas e limites de segurança pré-estabelecidos,

objetivando a redução do consumo de matéria prima (e custos de produção

indiretamente) sem que haja detrimento da qualidade e da segurança.

O programa ANSYS [72] permite que praticamente todos os tipos de

elementos sejam otimizados de alguma forma, contanto que possam ser expressos

em forma de parâmetros.

100

7.6 Variáveis de projeto.

Variáveis de projetos são grandezas cujos valores numéricos definem um

projeto. Em otimização são os parâmetros a serem variados para obtenção de um

projeto ótimo. Estes parâmetros devem ser escolhidos cuidadosamente para que se

obtenha êxito na otimização.

As variáveis podem ser descritas sob a forma de um vetor (X) conforme a

equação (17).

(17)

Recomenda-se utilizar sempre o menor número possível de variáveis para

descrever a estrutura a ser otimizada. No programa ANSYS [61] recomenda-se não

ultrapassar o limite de 20 variáveis afim de garantir o bom funcionamento da

ferramenta.

As variáveis de projeto podem ser classificadas como discretas (limitadas a

valores específicos e isolados) ou como contínuas (assumindo qualquer valor do

domínio). Processos de otimização envolvendo variáveis discretas são mais

complexos de serem resolvidos e modelados do que os de variáveis contínuas. O

modelo utilizado na otimização deste estudo considera variáveis contínuas.

7.7 Restrições de projeto.

Restrições de projeto são limitações impostas ao problema que determinam o

espaço de domínio da otimização; ou seja, representam limites para a busca da

solução ótima, viável e exequível.

As restrições dependem das variáveis escolhidas e podem ser orientadas

pelas normas técnicas, propriedades dos materiais, limitações geométricas e

arquitetônicas, entre outras; de acordo com os critérios estabelecidos para o projeto.

As restrições são classificadas como laterais, de igualdade e de

desigualdade, descritas a seguir. Também podem ser classificadas como locais

(deslocamento) por serem impostas em pontos discretos da estrutura e globais

(frequência natural).

101

Recomenda-se evitar um número grande de restrições no problema de

otimização, pois representaria um consumo computacional elevado dentro do

processo.

7.7.1 Restrição lateral.

A restrição lateral, aplicada nesta dissertação, apresenta o limite superior e

inferior para os valores das variáveis do projeto. Delimita a fronteira dentro da qual

se encontram os possíveis valores da solução ótima.

Considerando o conjunto de variáveis paramétricas deste problema, a

restrição lateral pode ser descrita segundo a equação (18) abaixo.

(18)

Onde:

= Possíveis soluções para o problema;

= Restrição inferior definida pelo dimensionamento estrutural;

= Restrição superior definida pelas limitações geométricas e arquitetônicas.

7.7.2 Restrição de desigualdade.

As restrições de desigualdade são utilizadas para restringir valores em pontos

específicos, por exemplo, tensão ou deslocamento.

Uma restrição de desigualdade pode ser descrita por uma equação do tipo:

(19)

Onde gj(x) é a função de restrição.

7.7.3 Restrição de igualdade.

As restrições de igualdade representam as equações de equilíbrio, por

exemplo, em que a estrutura deverá satisfazer através das variáveis de projeto.

102

Uma restrição de igualdade pode ser descrita por uma equação do tipo:

(20)

Onde hk(x) é a função de restrição.

7.7.4 Limitação normativa.

Conforme determinação da norma NBR 6118 [59] (item 13.2.3.) a seção

transversal dos pilares não deve ser inferior a 19 cm e caso seja, faz-se necessário

considerar o coeficiente adicional, conforme tabela 13.1 da referida norma,

majorando os esforços solicitantes finais de cálculo.

Tabela 28 – Valores do coeficiente adicional para pilares e pilares-parede

(NBR 6118 [59] – Tabela 13.1).

b

(cm) ≥ 19 18 17 16 15 14

n 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25

Onde

n = 1,95-0,05 b;

b é a menor dimensão da seção transversal, expressa em centímetros (cm).

NOTA: O coeficiente n deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo

quando de seu dimensionamento.

No projeto original a largura adotada para os pilares foi de 18 cm sendo

necessária a majoração de esforços pelo coeficiente 1,05 (não temos a informação

se este parâmetro foi atendido no projeto original); sendo assim, adotou-se a largura

mínima de norma de 19 cm para que não seja necessária esta majoração.

103

7.7.5 Limitação arquitetônica e geométrica.

Os valores limites também devem ser fundamentados nos limites impostos

pela arquitetura, desde que não ofereçam risco à estrutura ou violação de normas

pertinentes. Para valores de larguras de vigas, por exemplo, objetiva-se durante a

fase de projeto, dimensioná-la de maneira a obter uma largura próxima da largura da

alvenaria de fechamento para que desta forma, a viga não fique visível.

Para determinação das alturas de vigas devemos considerar também as

alvenarias com janelas, uma vez que a altura do peitoril e da janela combinados

tenham aproximadamente 1,90 metros de altura, a viga para um pé direito de 2,94

metros, como o deste estudo, não poderá apresentar altura superior a 1,04 metros.

Em um caso mais extremo em que se necessite de mais altura de viga, pode-

se considerar sua altura parcialmente invertida, ou seja, parte estará posicionada no

andar de cima.

Podemos formular estas limitações, portanto, de acordo com a equação (21) a

ser aplicada para as vigas internas, limitadas pelas alturas das portas e para as

vigas periféricas, limitadas pelas alturas das esquadrias, resultando nas dimensões

dispostas na Tabela 29.

(21)

Tabela 29– Limites das alturas das vigas para a estrutura em estudo.

Os pilares de edifícios altos dificilmente são limitados à largura da alvenaria,

para que fiquem embutidos, uma vez que suas dimensões mínimas necessárias

frequentemente ultrapassam estes limites. Opta-se então, nestes casos, por

posicioná-los nos cantos ou nos encontros das alvenarias e compartimentações

internas para que sua posição fique a mais discreta possível.

104

7.7.6 Restrições global e lateral local adotada para este estudo.

Baseando-se nas limitações de norma, arquitetônicas e no dimensionamento

do projeto original, podemos estabelecer os valores limitantes das medidas de base

(B) e altura (H) das vigas e de larguras dos pilares (L e E), tomando como valores

mínimos os de projeto sempre que possível. A seguir, são listados na Tabela 30 os

valores dos limites superiores e inferiores das variáveis para as vigas, bem como a

tolerância considerada na otimização e na Tabela 31 os valores dos limites

superiores e inferiores das variáveis para os pilares, além da tolerância adotada.

Tabela 30 – Limites das variáveis de projeto para as vigas.

VARIÁVEIS

RESTRIÇÕES DE PROJETO

(m) TOLERÂNCIA

Mínimo Máximo

B1 0,11 0,30 0,02

H1 1,20 1,90 0,02

B2 0,18 0,30 0,02

H2 0,40 1,90 0,02

B3 0,18 0,30 0,02

H3 0,50 0,80 0,02

B4 0,11 0,30 0,02

H4 0,40 0,80 0,02

B5 0,11 0,30 0,02

H5 0,50 0,80 0,02

B6 0,16 0,30 0,02

H6 0,50 0,80 0,02

Tabela 31 – Limites das variáveis de projeto para os pilares.

VARIÁVEIS


(m) TOLERÂNCIA

Mínimo Máximo

L8 1,50 3,00 0,02

E8 0,19 0,50 0,02

E9 0,19 0,50 0,02

L10 1,00 1,59 0,02

E10 0,19 0,50 0,02

L11 0,80 1,59 0,02

E11 0,19 0,50 0,02

105

A Tabela 32 apresenta os valores do projeto original que foram fixados, como

constantes, por não contribuírem no processo de otimização devido à localização do

elemento estrutural e os limites geométricos impostos pela arquitetura.

Tabela 32 – Dimensões fixadas.

VARIÁVEIS VALOR FIXO

(m)

B7 0,10

H7 0,30

L9 2,46

A restrição global estabelecida para este modelo é a frequência fundamental

mínima de 1,0 Hz. O objetivo desta restrição é limitar a ferramenta de otimização

fazendo com que a busca de valores ideais para as variáveis de projeto permitam

que a frequência natural da estrutura se aproxime ao máximo deste valor.

7.8 Função objetivo.

A função objetivo é uma função das variáveis do projeto, sendo aplicada na

análise como ferramenta para se medir sua eficiência.

Neste estudo, a função objetivo estabelecida possui o propósito de reduzir o

volume; com a redução do consumo de matéria prima e de forma indireta do custo

de execução da estrutura, através da redução das áreas seccionais dos elementos

estruturais de vigas e pilares. A equação (22) a seguir, apresenta uma formulação

para a função objetivo.

∑

∑

(22)

Onde:

= Função objetivo;

v e p = Contadores das seções de vigas e pilares da estrutura por pavimento;

B e H = Variáveis base e altura da seção transversal das “v” vigas da estrutura;

L e E = Variáveis largura e espessura da seção transversal dos “p” pilares da

estrutura.

106

7.9 Formulação do problema de otimização.

Um problema de otimização pode ser formulado basicamente minimizando ou

maximizando a Função Objetivo, a qual dependente de parâmetros que são

alterados durante o processo de otimização, chamados de Variáveis de Projeto.

A viabilidade do projeto geralmente está condicionada a alguma Restrição de

Projeto, mais comumente de origem física, financeira e normativa, entre outras.

Maiores detalhes sobre estes conceitos podem sem encontrados nos

trabalhos de Arora [78]

O problema de otimização de uma estrutura sujeito a restrições pode ser

descrito pela expressão (23) a seguir

Minimizar

(23) Sujeito a {

Onde:

x = Vetor das variáveis de projeto;

f(x) = Função a ser maximizada ou minimizada;

= Funções das restrições de desigualdade impostas ao problema;

= Funções das restrições de igualdade impostas ao problema.

Propõe-se minimizar o volume, através da variação das seções de vigas e

pilares, de maneira a garantir as seções mínimas de dimensionamento e as

restrições de norma [59], quanto aos deslocamentos, além de elevar a frequência

natural da estrutura originalmente projetada.

A equação (23) pode então ser reescrita para o problema em estudo

conforme a equação (24) abaixo.

Minimizar

(24) Sujeito a {

Onde:

x Vetor que contém as variáveis de projeto;

f(x) Função a ser maximizada ou minimizada;

Limite inferior (Dimensionamento e normas - Tabela 30 e Tabela 31);

Limite Superior (Geometria e arquitetura - Tabela 30 e Tabela 31);

Restrição Global (Frequência fundamental de 1,0 Hz ou superior).

107

7.10 Algoritmo utilizado para a otimização estrutural em estudo.

O processo de otimização realizado neste estudo utiliza o algoritmo do

método de primeira ordem disponível no módulo de otimização de projeto do ANSYS

[61]. Maiores detalhes sobre o método de primeira ordem e o de subproblemas

podem ser encontrados na dissertação de mestrado de Santos [73].

A programação matemática aplicada à otimização objetiva minimizar ou

maximizar a função objetivo. Os problemas podem ser de natureza linear ou não

linear.

A primeira etapa objetiva modelar o problema através da definição das

variáveis e restrições do projeto e a função a ser matematicamente maximizada ou

minimizada.

Com os valores iniciais das variáveis devidamente definidos, o projeto inicial

(X0) é gerado. Partindo-se deste projeto, inicia-se o processo de otimização com o

cálculo da função objetivo e verificação das restrições em loops até que o projeto

apresente convergência para um valor mínimo ou máximo atendendo aos critérios

pré-estabelecidos dentro de limites de tolerância definidos.

Utiliza-se, então, para os loops de iterações, uma equação recursiva na forma

da equação (25).

(25)

Onde:

Xk = configuração de iteração;

Xk+1 = próxima configuração do projeto;

t = tamanho do passo na direção;

dk = direção de busca na iteração.

A Figura 48 apresenta um fluxograma simplificado do processo iterativo de

otimização estrutural realizado neste estudo no programa ANSYS [72].

108

Figura 48 – Fluxograma do algoritmo para um Projeto Ótimo.

Modelagem do Problema

Definir:

Variáveis de Projeto

Restrições de Projeto

Função Objetivo

Coleta de dados

Definição do Projeto Inicial (X0)

Análise do Projeto

Cálculo das funções e restrições (Xk)

Verificação dos indicadores

Projeto Ótimo?

SIM

Fim do processo. Atingido o projeto

Ótimo

NÃO

Modificação do Projeto

XK X

k+1

K K+1

109

8 RESULTADOS DA OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL

Para realização da otimização estrutural, inicialmente, foram realizados testes

de sensibilidade no modelo previamente elaborado em elementos finitos no ANSYS

[61]. O objetivo destes testes é o de determinar a sensibilidade da estrutura em

relação à variação das seções transversais dos seus elementos estruturais (vigas e

pilares). Desta forma é possível determinar quais seções mais contribuem, quando

variadas, para a modificação do comportamento avaliado, neste caso, a frequência

natural.

A partir do resultado destes testes, as seções de maior contribuição podem

então ser transformadas nas variáveis do projeto, que maximizadas de acordo com

as restrições laterais estabelecidas, dão origem à estrutura na qual será aplicada a

ferramenta de otimização, chamada neste estudo, de estrutura “não otimizada”.

O objetivo das otimizações deste estudo fundamenta-se na minimização do

volume de concreto da estrutura, através da redução das seções transversais,

reduzindo seu custo de forma indireta, com imposição de restrições de projeto e

avaliação de comportamento global, dinâmico (frequências naturais) e

deslocamentos de topo e entre pavimentos.

8.1 Características, critérios e parâmetros adotados.

Utilizou-se para a otimização estrutural o modelo 2 descrito no capítulo 4, em

elementos finitos, no ANSYS [61], com as condições de apoio da fundação de

terceiro gênero (engaste), e as principais características descritas a seguir:

a) 47 metros de altura com 11,92 por 31,71 metros de projeção em planta;

b) Modelagem na ferramenta de otimização de projeto do ANSYS [61];

c) Utilizados elementos finitos de barras e casca;

d) Realização de análise modal para caracterização do comportamento

dinâmico;

e) Realização de análise estática linear elástica para verificação dos

deslocamentos máximos

110

No projeto original, foram estabelecidos como valores para as dimensões de

pilares e vigas, de acordo com o dimensionamento estrutural, os dispostos na

Tabela 33 a seguir.

Para iniciar o processo de otimização foram adotados valores para as

variáveis com base nas restrições de projeto (dimensionamento e tensões) e

arquitetônica (uso e conforto humano) para as seções transversais das vigas e

pilares, gerando uma estrutura não otimizada a ser matematicamente melhorada até

alcançar valores otimizados. Estes valores baseiam-se também em uma análise de

sensibilidade executada preliminarmente.

Tabela 33 – Valores do projeto original para as vigas e pilares.

Elemento estrutural Variáveis (m)

VIG

AS

V1 e V12 B1 = 0,11 H1 = 1,20

V13 e V21 B2= 0,18 H2 = 0,40

V14, V15, V16, V18, V19 e V20 B3 = 0,18 H3 = 0,50

V2, V4, V8 e V11 B4 = 0,11 H4 = 0,40

V3, V9, V5 e V10 B5 = 0,11 H5 = 0,50

V6 e V7 B6 = 0,16 H6 = 0,50

V17 B7 = 0,10 H7 = 0,30

PIL

AR

ES

P1aP3, P6aP8, P11aP13 e P16aP18 L8 = 1,50 E8 = 0,18

P4 e P5 L9 = 2,46 E9 = 0,14

P9 e P10 L10 = 1,00 E10 = 0,18

P14 e P15 L11 = 0,80 E11 = 0,18

FREQUÊNCIA NATURAL 0,27 Hz

ÁREA SECCIONAL TOTAL DE 1 PAVIMENTO TIPO 6,11 m²

Esta etapa não necessita de maior preocupação com exatidão para os valores

das variáveis uma vez que o programa tenderá as melhores seções para a função

objetivo determinada.

111

8.2 Descrição da análise de sensibilidade.

O objetivo da análise de sensibilidade desenvolvida neste estudo é verificar o

comportamento da estrutura diante da variação de determinados parâmetros além

do impacto desta variação sobre o seu comportamento. Desta forma, podem-se

identificar quais parâmetros possuem maior ou menor contribuição na alteração das

características da edificação e assim priorizar as modificações das variáveis mais

convenientes ao resultado que se deseja obter na otimização.

Como abordagem inicial desta análise, foram adotados 3 grupos principais de

parâmetros: lajes, pilares e vigas. Com o auxilio da programação da ferramenta de

otimização do ANSYS foi estabelecida a variação dos parâmetros exclusivamente

dentro de cada grupo e mantido constantes os demais; ou seja, em um primeiro

modelo permitindo-se a variação dos parâmetros relativos às vigas e mantidos os

valores dos parâmetros das lajes e colunas constantes; em um segundo modelo

permitindo-se a variação dos parâmetros relativos às colunas e mantidos os valores

das vigas e lajes constantes e em um terceiro modelo, variando-se os parâmetros

relativos às lajes e mantidos constantes os parâmetros relativos às vigas e colunas.

Assim, pôde-se identificar qual grupo apresentou maior colaboração na modificação

do comportamento do edifício em relação às frequências naturais e aos modos de

vibração.

Uma segunda etapa de análise foi realizada variando-se individualmente cada

conjunto de parâmetros relativos a cada elemento estrutural do modelo, dentro de

cada grupo (pilares, vigas ou lajes). Desta forma identificam-se quais elementos de

pilares, vigas ou panos de lajes representam, quando potencializados, maior

contribuição para a melhoria do desempenho da estrutura.

Na terceira etapa, com base nos resultados das etapas anteriores

estabeleceram-se quais parâmetros poderiam ser potencializados para se obter

ainda de forma não otimizada o melhor desempenho da estrutura variando-se os

parâmetros convenientemente.

Os conhecimentos de engenharia e a experiência em elaboração de projetos

em combinação às técnicas de análise descritas anteriormente, de forma

simplificada, são favoráveis neste caso à obtenção de uma estrutura potencializada,

ideal para aplicação no processo de otimização estrutural. O resultado desta

combinação é apresentado a seguir.

112

8.3 Resultados Obtidos.

Apresentam-se a seguir os resultados das diversas simulações da ferramenta

de otimização. Os valores que extrapolam as restrições estabelecidas serão

marcados com a cor amarela, nas tabelas, para facilitar sua identificação.

8.3.1 Análise de sensibilidade.

Como resultado da análise de sensibilidade, realizada sobre a estrutura

original do projeto, obtivemos a geometria de uma estrutura de dimensões maiores,

não otimizada, com suas variáveis descritas na Tabela 34.

Tabela 34 – Valores após analise de sensibilidade para as vigas e pilares.


VIG

AS

V1 e V12 B1 = 0,30 H1 = 1,80

V13 e V21 B2= 0,30 H2 = 1,80

V14, V15, V16, V18, V19 e V20 B3 = 0,30 H3 = 0,80

V2, V4, V8 e V11 B4 = 0,30 H4 = 0,80

V3, V9, V5 e V10 B5 = 0,30 H5 = 0,80

V6 e V7 B6 = 0,30 H6 = 0,80

V17 B7 = 0,10 H7 = 0,30

PIL

AR

ES


P4 e P5 L9 = 2,46 E9 = 0,40

P9 e P10 L10 = 1,50 E10 = 0,40

P14 e P15 L11 = 1,50 E11 = 0,40

FREQUÊNCIA FUNDAMENTAL 0,58 Hz

ÁREA SECCIONAL TOTAL DE 1 PAVIMENTO TIPO 24,80 m³/m

Na geração da estrutura não otimizada, buscou-se de forma semi-empírica,

aumentar a rigidez da estrutura e consequentemente sua frequência fundamental,

113

sem maiores preocupações com dimensões ótimas, apenas respeitando-se as

limitações oriundas do dimensionamento do projeto original e da arquitetura

estabelecida.

A Tabela 35 apresenta as frequências naturais da estrutura não otimizada;

resultado da análise de sensibilidade. Verifica-se que a frequência fundamental

passou a ser de 0,58 Hz.

Tabela 35 – Frequências naturais da estrutura não otimizada.


f01 0,58

f02 0,99

f03 1,27

f04 1,78

f05 3,10

f06 3,58

f07 4,36

f08 4,49

f09 5,99

f10 7,60

A partir desta estrutura, uma segunda etapa de otimizações pode ser

realizada, buscando-se obter as dimensões ótimas dentro do espaço viável da

função de otimização.

8.3.2 Otimização 1.

A Figura 49 apresenta os gráficos das variações dos parâmetros frequência

fundamental, áreas seccionais de vigas e pilares e a área seccional total; no decorrer

das iterações. A Tabela 36 apresenta um comparativo entre a estrutura não

otimizada e a estrutura resultante da otimização 1, para a frequência fundamental e

a área seccional total; bem como o percentual de redução destes parâmetros.

114

(a) Variação da área seccional total em cada iteração.

(b) Variação da frequência x área seccional total em cada iteração.

(c) Variação da frequência fundamental em cada iteração.

(d) Variação das áreas seccionais das vigas, dos pilares e total em cada

iteração.

Figura 49 – Variação dos parâmetros nas iterações.

Tabela 36 – Melhor resultado da otimização.

PARÂMETRO NÃO

OTIMIZADA OTIMIZADA REDUÇÃO

Frequência fundamental 1,43 Hz 0,66 Hz 53,85 %

Área seccional total 85,50 m² 23,88 m² 72,07 %

Domínio Viável? NÃO NÃO

Área Seccional

Frequência

Total

Pilar

Viga

115

A Tabela 37 apresenta os valores resultantes da otimização 1, para as

variáveis do projeto, bem como as restrições estabelecidas.

Tabela 37 – Variáveis de projeto para as vigas.

Elemento Variável Restrição

Otimizada Mínimo Máximo

VIG

AS

B1 0,11 0,30 0,11

H1 1,20 1,90 2,00

B2 0,18 0,30 0,35

H2 0,40 1,90 2,00

B3 0,18 0,30 0,35

H3 0,50 0,80 0,80

B4 0,11 0,30 0,18

H4 0,40 0,80 0,79

B5 0,11 0,30 0,35

H5 0,50 0,80 0,79

B6 0,16 0,30 0,16

H6 0,50 0,80 0,78

PIL

AR

ES

L8 1,50 3,00 1,80

E8 0,19 0,50 0,55

E9 0,19 0,50 0,36

L10 1,00 1,59 1,45

E10 0,19 0,50 0,55

L11 0,8 1,59 1,27

E11 0,19 0,50 0,54

Esta otimização apresentou diversas variáveis acima do limite máximo

estabelecido (marcadas com a cor amarela), classificando o resultado como não

viável, conforme a Tabela 36, indicando a necessidade de aumentar ainda mais as

dimensões da estrutura para garantir a restrição imposta.





116







iteração.



PARÂMETRO NÃO




Domínio Viável? NÃO NÃO -

Área Seccional

Total

Pilar

Viga

Frequência

117






VIG

AS

B1 0,11 0,30 0,11

H1 1,20 1,90 2,00

B2 0,18 0,30 0,35

H2 0,40 1,90 2,00

B3 0,18 0,30 0,35

H3 0,50 0,80 0,80

B4 0,11 0,30 0,18

H4 0,40 0,80 0,79

B5 0,11 0,30 0,35

H5 0,50 0,80 0,79

B6 0,16 0,30 0,16

H6 0,50 0,80 0,78

PIL

AR

ES

L8 1,50 3,00 1,80

E8 0,19 0,50 0,55

E9 0,19 0,50 0,34

L10 1,00 1,59 1,00

E10 0,19 0,50 0,53

L11 0,8 1,59 1,03

E11 0,19 0,50 0,54

Os resultados desta otimização ratificam a inviabilidade (Tabela 38) de uma

estrutura não otimizada, inicializada fora dos limites laterais das variáveis.







118





iteração.



PARÂMETRO NÃO




Domínio Viável? NÃO NÃO -



Total

Pilar

Viga

119




VIG

AS

B1 0,11 0,30 0,29

H1 1,20 1,90 1,88

B2 0,18 0,30 0,30

H2 0,40 1,90 2,00

B3 0,18 0,30 0,30

H3 0,50 0,80 0,58

B4 0,11 0,30 0,30

H4 0,40 0,80 0,43

B5 0,11 0,30 0,30

H5 0,50 0,80 0,52

B6 0,16 0,30 0,30

H6 0,50 0,80 0,50

PIL

AR

ES

L8 1,50 3,00 3,00

E8 0,19 0,50 0,50

E9 0,19 0,50 0,40

L10 1,00 1,59 1,50

E10 0,19 0,50 0,40

L11 0,8 1,59 1,50

E11 0,19 0,50 0,40

Verifica-se que somente uma variável (H2) extrapolou o limite máximo

imposto, por uma diferença pequena, o que indica uma possível proximidade da

solução otimizada, apesar de classificada como não viável conforme a Tabela 40.







120





iteração.



PARÂMETRO NÃO




Domínio Viável? SIM SIM -



Total

Pilar

Viga

121




VIG

AS

B1 0,11 0,30 0,11

H1 0,18 0,3 0,19

B2 0,18 0,30 0,20

H2 0,11 0,30 0,13

B3 0,11 0,30 0,11

H3 0,16 0,30 0,16

B4 1,20 1,90 1,20

H4 0,40 1,90 0,40

B5 0,50 0,80 0,52

H5 0,40 0,80 0,41

B6 0,50 0,80 0,50

H6 0,50 0,80 0,50

PIL

AR

ES

L8 1,50 3,00 1,50

E8 1,00 1,59 1,00

E9 0,80 1,59 0,80

L10 0,19 0,50 0,19

E10 0,19 0,50 0,19

L11 0,19 0,50 0,19

E11 0,19 0,50 0,19

Os resultados obtidos apresentaram-se dentro dos limites da função (domínio

viável conforme a Tabela 42), com restrição inferior de frequência reduzida para 0,30

Hz e atendida. Recomenda-se neste caso, realizar um teste com frequência limite

mais próxima da inicial como restrição (0,58 Hz).







122





iteração.



PARÂMETRO NÃO




Domínio Viável? SIM SIM -

Total

Pilar

Viga

123






VIG

AS

B1 0,11 0,30 0,12

H1 1,20 1,90 1,47

B2 0,18 0,3 0,25

H2 0,40 1,90 1,76

B3 0,18 0,30 0,30

H3 0,50 0,80 0,80

B4 0,11 0,30 0,21

H4 0,40 0,80 0,76

B5 0,11 0,30 0,17

H5 0,50 0,80 0,76

B6 0,16 0,30 0,25

H6 0,50 0,80 0,73

PIL

AR

ES

L8 1,50 3,00 1,50

E8 0,19 0,50 0,33

E9 0,19 0,50 0,19

L10 1,00 1,59 1,27

E10 0,19 0,50 0,38

L11 0,8 1,59 1,12

E11 0,19 0,50 0,26

Verifica-se nesta otimização que as variáveis resultantes encontram-se no

espaço viável, conforme a Tabela 44, com pequena redução da frequência quando

comparada a grande redução de volume. A frequência otimizada atendeu à restrição

imposta em 0,53 Hz. Podendo este valor ser considerado otimizado dentro dos

limites estabelecidos.

124

8.3.7 Análise comparativa.

A Tabela 46 apresenta um comparativo entre as frequências fundamentais da

estrutura original (projetada) com a estrutura não otimizada (resultado da análise de

sensibilidade) e a estrutura otimizada (resultado da otimização 5).


Modo de Vibração

Frequências naturais (Hz)

Estrutura original Estrutura não otimizada Estrutura otimizada

f01 0,27 0,58 0,53

f02 0,58 0,99 0,90

f03 0,62 1,27 1,06

f04 0,81 1,78 1,62

f05 1,37 3,10 2,77

f06 1,89 3,58 3,15

f07 1,96 4,36 3,74

f08 2,16 4,49 3,95

f09 2,59 5,99 5,17

f10 3,27 7,60 6,39

A Tabela 47 apresenta uma comparação entre os valores originais da

estrutura projetada, da estrutura não otimizada e dos valores obtidos na otimização;

além dos valores das restrições laterais impostas.

Uma comparação das áreas das seções transversais de cada elemento

estrutural, a área seccional total para um pavimento tipo e a frequência fundamental,

é apresentada na Tabela 48.

Verifica-se uma redução de 48,8 % da área seccional total ou volume total,

pois os comprimentos dos elementos estruturais são constantes. Houve também

uma redução de 8,6 % da frequência após a otimização.

Considera-se, portanto, que a otimização proporcionou uma redução

considerável da área seccional total em comparação a estrutura não otimizada com

125

pouca redução da frequência fundamental da estrutura. Em relação à estrutura

original a otimização possibilitou que o aumento de seção dos elementos fosse o

menor possível para permitir a estabilização da frequência fundamental dentro da

faixa estabelecida.

Tabela 47 – Comparativo das variáveis da estrutura original, não otimizada e otimizada.

VARIÁVEIS


(m)

VARIÁVEIS DE PROJETO

(m)

Mínimo Máximo Original Não

Otimizada Otimizada

B1 0,11 0,30 0,11 0,30 0,12

H1 1,20 1,90 1,20 1,80 1,47

B2 0,18 0,3 0,18 0,30 0,25

H2 0,40 1,90 0,40 1,80 1,76

B3 0,18 0,30 0,18 0,30 0,30

H3 0,50 0,80 0,50 0,80 0,80

B4 0,11 0,30 0,11 0,30 0,21

H4 0,40 0,80 0,40 0,80 0,76

B5 0,11 0,30 0,11 0,30 0,17

H5 0,50 0,80 0,50 0,80 0,76

B6 0,16 0,30 0,16 0,30 0,25

H6 0,50 0,80 0,50 0,80 0,73

B7 FIXO 0,10 0,10 0,10

H7 FIXO 0,30 0,30 0,30

L8 1,50 3,00 1,50 3,00 1,50

E8 0,19 0,50 0,18 0,40 0,33

L9 FIXO 2,46 2,46 2,46

E9 0,19 0,50 0,14 0,40 0,19

L10 1,00 1,59 1,00 1,50 1,27

E10 0,19 0,50 0,18 0,40 0,38

L11 0,80 1,59 0,80 1,50 1,12

E11 0,19 0,50 0,18 0,40 0,26

126

Tabela 48 – Comparativo das áreas das seções transversais dos elementos da estrutura

original, não otimizada e otimizada e frequência fundamental.

VARIÁVEIS

ÁREA SECCIONAL

(m²)

Original Não Otimizada Otimizada

B1 x H1 0,13 0,54 0,18

B2 x H2 0,07 0,54 0,44

B3 x H3 0,09 0,24 0,24

B4 x H4 0,04 0,24 0,16

B5 x H5 0,06 0,24 0,13

B6 x H6 0,08 0,24 0,18

B7 x H7 0,03 0,03 0,03

L8 x E8 0,27 1,20 0,50

L9 x E9 0,34 0,98 0,48

L10 x E10 0,18 0,60 0,48

L11 x E11 0,14 0,60 0,29

Total para 1 pavimento (m²)

6,11 24,80 12,69

Frequência Fundamental (Hz)

0,27 0,58 0,53

A Figura 54 apresentada a seguir ilustra a superposição das dimensões dos

pilares da estrutura original (hachura preta), da estrutura inicial (não otimizada)

resultado da análise de sensibilidade (cor vermelha) e da estrutura otimizada (cor

azul). A variação das larguras das vigas foi pequena, conforme pode ser verificado

na Tabela 47 através das variáveis B1 a B7, não obtendo boa representação em

planta e por isto suprimida.

127

Figura 54 – Comparativo das seções dos pilares (projeto original x estrutura não otimizada x

estrutura otimizada).

128

8.4 Verificação do comportamento estático da estrutura otimizada.

A Tabela 49 apresenta os valores otimizados para as variáveis do projeto, que

dão origem às novas seções da estrutura otimizada.

Tabela 49 – Valores da estrutura otimizada para as vigas e pilares.


VIG

AS

V1 e V12 B1 = 0,12 H1 = 1,47

V13 e V21 B2= 0,25 H2 = 1,76

V14, V15, V16, V18, V19 e V20 B3 = 0,30 H3 = 0,80

V2, V4, V8 e V11 B4 = 0,21 H4 = 0,76

V3, V9, V5 e V10 B5 = 0,17 H5 = 0,76

V6 e V7 B6 = 0,25 H6 = 0,73

V17 B7 = 0,10 H7 = 0,30

PIL

AR

ES


P4 e P5 L9 = 2,46 E9 = 0,19

P9 e P10 L10 = 1,27 E10 = 0,38

P14 e P15 L11 = 1,12 E11 = 0,26

FREQUÊNCIA FUNDAMENTAL 0,53 Hz

ÁREA SECCIONAL TOTAL DE 1 PAVIMENTO TIPO 12,69 m³/m

A estrutura otimizada foi submetida aos mesmos casos de carregamento

estático realizado no capítulo 6, com o propósito de se verificar seu novo

comportamento. Os resultados desta análise são detalhados a seguir, nos itens

8.3.1 a 8.3.4 e comparados ao limite de deslocamento de 2,77 cm.

129


A Figura 55 e a Figura 56 apresentam os deslocamentos nodais da estrutura

ao longo da altura (máximos no topo), para o caso de carregamento 1. São

combinados neste carregamento o peso próprio da estrutura e a sobrecarga de

utilização de 2 kN/m². O deslocamento obtido é comparado ao limite de 2,77 cm.


Perspectiva.

(b)Deslocamentos

Vista Frontal.

(c)Deslocamentos

Vista lateral.



0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80

PA

VIM

ENTO

DESLOCAMENTO (cm)

Eixo 1

Eixo 2

Eixo 3

Eixo 7

Eixo 8

Eixo 9

Eixo B

Eixo F

130




combinados neste carregamento o peso próprio da estrutura, a sobrecarga de

utilização de 2 kN/m² e a ação do vento frontal.


Perspectiva.

(b)Deslocamentos

Vista Frontal.

(c)Deslocamentos

Vista lateral.



0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

PA

VIM

ENTO

DESLOCAMENTO (cm)

Eixo 1

Eixo 2

Eixo 3

Eixo 7

Eixo 8

Eixo 9

Limite (2,77cm)

131





utilização de 2 kN/m² e a ação do vento lateral.


Perspectiva.

(b)Deslocamentos

Vista Frontal.

(c)Deslocamentos

Vista lateral.



0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

PA

VIM

ENTO

DESLOCAMENTO (cm)

Eixo B

Eixo F

Limite (2,77 cm)

132





utilização de 2 kN/m² e a ação do vento frontal e lateral combinados.


Perspectiva.

(b)Deslocamentos

Vista Frontal.

(c)Deslocamentos

Vista lateral.



0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

PA

VIM

ENTO

DESLOCAMENTO (cm)

Eixo 1

Eixo 2

Eixo 3

Eixo 7

Eixo 8

Eixo 9

Eixo B

Eixo F

Limite (2,77 cm)

133


Verificou-se nos quatro casos de carregamentos a melhora significativa do

comportamento estático da estrutura em relação aos deslocamentos máximos

apresentados comparativamente aos resultados da estrutura original. A Tabela 50

apresenta os deslocamentos máximos, no topo do edifício, para cada caso de

carregamento da estrutura otimizada analisado anteriormente.





SITUAÇÃO

Caso 1 0,75 cm - -

Caso 2 1,10 cm

2,77 cm

OK

Caso 3 0,83 cm OK

Caso 4 1,26 cm OK

Todos os deslocamentos apresentaram-se abaixo do limite previsto pela

norma, após o processo de otimização, tanto o deslocamento total quanto o

deslocamento relativo entre pavimentos.

A Tabela 51 apresenta uma comparação entre os deslocamentos

translacionais estáticos máximos obtidos nas análises da estrutura originalmente

projetada e da estrutura otimizada.

Tabela 51 – Comparativo dos deslocamentos máximos na estrutura original x otimizada.


DESLOCAMENTOS MÁXIMOS REDUÇÃO

(%) LIMITE DE

NORMA [59] Original Otimizada

Caso 1 0,93 0,75 19,4 -

Caso 2 2,90 1,10 62,1

2,77 cm Caso 3 3,36 0,83 75,3

Caso 4 4,32 1,26 70,8

134

8.5 Verificação da Estabilidade Global da estrutura otimizada.

A estrutura otimizada foi submetida à verificação da estabilidade global

descrita no capítulo 5, com o propósito de se verificar seu novo comportamento. Os

resultados desta verificação são detalhados a seguir.

8.5.1 Rigidez Efetiva Global.

Calculando-se a rigidez através da equação (13) descrita no capítulo 5 e

considerando o deslocamento devido à força virtual unitária aplicada no topo da

estrutura, para a direção longitudinal, transversal e rotacional da edificação; temos,

respectivamente, os valores de Kx, Kz e Ky, dispostos na Tabela 52.

Tabela 52– Rigidez Efetiva Global para a estrutura em estudo.

Verifica-se que a rigidez transversal (Kz) da estrutura apresenta-se inferior à

rigidez longitudinal (Kx).

8.5.2 Esbeltez Efetiva Global.

Considerando os deslocamentos unitários da estrutura otimizada; pode-se

recalcular a esbeltez através da equação (14) descrita no capítulo 5, para a

edificação conforme a Tabela 53 abaixo.

Tabela 53– Esbeltez Efetiva Global para a estrutura otimizada.

135

Verificou-se um aumento da esbeltez, na direção transversal, em comparação

à estrutura original e uma redução na direção longitudinal. O edifício classifica-se,

portanto, segundo o CEB [56] como sendo de pequena esbeltez longitudinal e muito

alta transversalmente.

8.6 Propostas de novas geometrias.

Verificou-se que mesmo otimizando a estrutura a frequência máxima obtida

não alcançou a frequência objetivo de 1,0 Hz.

O modo de vibração da frequência fundamental indica a direção transversal

como sendo preferencial à vibração e os indicadores da análise de estabilidade

global demonstram a maior necessidade de travamento nesta direção.

Novas geometrias são propostas a seguir objetivando-se elevar a frequência

fundamental a partir de concepções estruturais mais favoráveis.

8.6.1 Geometria alternativa 1.

Na direção longitudinal foram adicionados diafragmas rígidos sob a forma de

pilares (variáveis L13 e E13), tanto para a escada quanto para o poço do elevador,

como já é usualmente praticado em projetos deste porte; criando-se um núcleo

rígido central na edificação, o que melhora bastante o desempenho estrutural. Os

resultados obtidos apresentam-se resumidamente na Tabela 54.

Tabela 54 – Comparativo de frequências e áreas.

Variável Estrutura Otimizada

Geometria 1 Aumento relativo

Frequência fundamental 0,53 Hz 0,64 Hz 21 %

Área seccional total 12,69 m² 22,38 m² 76 %

136


A segunda proposta de geometria alternativa considera o acréscimo de 6

pilares centrais longitudinalmente (eixo D) para geração de pórticos duplos no

sentido transversal (eixos 1, 2, 3, 7, 8 e 9). Os resultados obtidos apresentam-se

resumidamente na Tabela 55.






Foram adicionadas duas novas variáveis (L14 e E14) para permitir o acréscimo

dos novos pilares. Foram mantidas as variáveis que representam os pilares

diafragmas do elevador e escada (variáveis L13 e E13), com valores fixos por

limitações geométricas.


Para esta geometria alternativa foram introduzidos mais 4 pilares formando 4

pórticos triplos na direção transversal (eixos 1, 2, 8 e 9), onde se encontra a direção

preferencial de vibração da frequência fundamental. O núcleo rígido foi mantido para

contribuição na rigidez global da estrutura. Pórticos duplos da alternativa anterior

foram mantidos nos eixos 3 e 7 e não foram convertidos em pórticos triplos por

limitações geométricas. As variáveis iniciais foram estabelecidas, em seus valores

limites máximos, e as vigas periféricas consideradas invertidas, com 0,85 m para

baixo, 0,10 embutido na laje e 0,95 m invertido, totalizando 1,90 m de altura. Este

artifício foi utilizado para possibilitar a maior altura possível sem prejuízo dos

espaços disponíveis para as esquadrias.

A Tabela 56 apresenta uma comparação entre a estrutura otimizada e a nova

geometria proposta, em relação à frequência fundamental e a área seccional total;

bem como o percentual de aumento gerado pela nova geometria.

137







A Tabela 57 apresenta um comparativo entre as frequências da estrutura

otimizada e as da nova geometria proposta.

Tabela 57 – Comparativo das Frequências naturais da estrutura otimizada x alternativa 4.

MODOS DE

VIBRAÇÃO

FREQUÊNCIAS

Estrutura

Otimizada

(Hz)

Geometria 1

(Hz)

Geometria 2

(Hz)

Geometria 3

(Hz)

f01 0,53 0,64 0,77 0,85

f02 0,90 0,96 1,06 1,14

f03 1,06 1,20 1,30 1,57

f04 1,62 2,16 2,48 2,70

f05 2,77 3,45 4,08 4,15

f06 3,15 4,08 4,56 4,89

f07 3,74 4,14 4,93 5,27

f08 3,95 5,81 5,81 5,81

f09 5,17 5,94 5,96 5,97

f10 6,39 6,13 6,33 6,36

Apesar de representar um ganho na rigidez com consequente aumento da

frequência fundamental, as novas geometrias propostas apresentaram ganhos

volumétricos proporcionalmente superiores aos ganhos de frequência. Recomenda-

138

se aplicar a otimização estrutural na nova geometria para melhoria da distribuição do

volume utilizado.

Verifica-se que apesar de utilizados os recursos de projeto na melhoria do

comportamento estrutural, inclusive com uma pequena alteração da geometria

original (mantidas as principais características arquitetônicas) além da aplicação da

otimização estrutural; ainda assim, não se atingiu o valor objetivo de 1 Hz para a

frequência fundamental da estrutura. Tal resultado foi limitado pela concepção inicial

do projeto e suas restrições. A aplicação destas técnicas durante a elaboração do

projeto certamente contribuiriam para um comportamento estrutural global otimizado.

139

9 CONSIDERAÇÕES FINAIS

9.1 Introdução.

O objetivo desta dissertação é o de avaliar o comportamento e otimizar o

projeto estrutural de um edifício de concreto armado, referente a um projeto real,

com 15 pavimentos e 47 metros de altura, submetido às ações das cargas usuais de

projeto para edifícios residenciais, além da carga de vento. Ao longo do estudo

foram desenvolvidos modelos em elementos finitos para a realização da análise

estrutural (estática e dinâmica), com base na utilização do programa de elementos

finitos ANSYS [61].

No que diz respeito à análise do comportamento do modelo estrutural,

inicialmente, uma análise modal completa é desenvolvida, objetivando a obtenção

das frequências naturais e dos modos de vibração do edifício em estudo. Em

seguida, procede-se a uma avaliação acerca da estabilidade global da estrutura, de

forma a identificar os níveis de esbeltez do sistema, e, por fim, desenvolve-se uma

análise estática, linear-elástica, na qual são analisados os valores dos

deslocamentos máximos do edifício. Com base nas grandezas associadas à

resposta do modelo, objetiva-se, também, otimizar a estrutura, considerando-se

todas as restrições de projeto, de forma a modificar e, bem como, aprimorar o

desempenho estrutural da edificação investigada.

Cabe ressaltar que, de acordo com relatos do Professor Fusco [51], este

edifício apresentou problemas de ordem estrutural e conceptiva; apresentando

ausência de elementos adequados de contraventamento que garantam a

estabilidade global da estrutura. Em todos os andares surgiram fissuras diagonais

nos quatro cantos da edificação, visíveis na face inferior das lajes e atravessando-a

por completo. Com o passar do tempo o padrão de fissuração progrediu,

apresentando também fissuras verticais de deslizamento dos pilares em relação às

alvenarias e rupturas localizadas em cruzamentos de alvenarias. Todo este padrão

sugeria que tal problema seria decorrente das forças de contraventamento. A

fissuração se agravou progressivamente até que os reforços estruturais foram

aplicados evitando-se assim o colapso global iminente.

140

9.2 Conclusões.

Na sequência do estudo, são apresentadas as principais conclusões

alcançadas com base na realização das análises de autovalores (frequências

naturais) e de autovetores (modos de vibração), de estabilidade global, estática, e,

também, da otimização estrutural desenvolvida.

9.2.1 Análise Modal.

Realizou-se uma analise de vibração livre com o objetivo de caracterizar o

comportamento dinâmico da edificação. Verificou-se que a estrutura apresentou uma

frequência fundamental muito baixa, da ordem de 0,27 Hz, valor este que se

encontra abaixo do valor limite de 1,0 Hz recomendado pela norma brasileira [22],

para projetos de edifícios. Observou-se, ainda, que o primeiro modo de vibração

(modo fundamental de vibração), de importância significativa para a resposta

dinâmica da estrutura, apresentou predominância dos efeitos de flexão, na direção

transversal da edificação, em torno do eixo global X, tanto nos modelos

desenvolvidos no programa ANSYS [61] quanto no SAP2000 [37].

9.2.2 Estabilidade Global.

Uma análise de estabilidade global foi realizada para caracterização

qualitativa do edifício, onde os indicadores demonstraram uma estrutura de pequena

esbeltez [54]. A rigidez efetiva global transversal (Kz = 28,57 kN/m) apresentou-se

menor do que a longitudinal (Kx = 45,46 kN/m) e a esbeltez efetiva global na direção

transversal ( = 33) maior do que a longitudinal ( = 27). De acordo com o CEB

[56], trata-se de uma estrutura em que os efeitos de segunda ordem podem ser

desprezados, pois sua esbeltez efetiva global apresenta-se abaixo do limite [57].

9.2.3 Análise Estática.

Na análise estática, a estrutura foi submetida às cargas usuais de projeto de

um edifício residencial e ao carregamento do vento. As cargas de vento foram

estudadas e implementadas no modelo, de maneira simplificada (determinística),

141

com o propósito de simular as forças horizontais de vento atuantes na estrutura,

para verificação de seu comportamento global em relação aos deslocamentos

máximos recomendados por norma [59].

Foi verificado que os valores dos deslocamentos translacionais horizontais

máximos do edifício, provocados pela ação do vento, apresentaram-se superiores ao

limite recomendado pela norma brasileira [59], conforme pode ser verificado na

Tabela 58, exceção feita para o Caso 1, o qual apresenta somente deslocamentos

translacionais verticais, pelo fato de que nesta situação de carregamento não foi

considerada a incidência do vento. Em relação aos deslocamentos entre

pavimentos, todos os valores obtidos ao longo da análise apresentaram-se de

acordo com o limite da norma [59].

Tabela 58 – Deslocamentos translacionais estáticos máximos devido ao vento.




SITUAÇÃO

Caso 2 2,90 cm

2,77 cm

Não passa



9.2.4 Otimização Estrutural.

As variáveis de projeto consideradas na otimização foram as dimensões de

base e altura de vigas e as larguras de pilares. A restrição de projeto considerada foi

o valor da frequência fundamental (1,0 Hz [22]), além das restrições laterais locais

das variáveis determinadas pelas limitações normativas, arquitetônicas e pelo

dimensionamento estrutural. A função objetivo estipulada foi a minimização do

volume total através das áreas seccionais. No processo de otimização foram

comparadas: a estrutura original, a estrutura não otimizada e a estrutura otimizada.

A estrutura não otimizada foi resultado de uma análise de sensibilidade que

aumentou as dimensões dos seus elementos estruturais.

A otimização estrutural obteve boa resposta em relação à redução de volume,

da ordem de 49% e pequena redução de frequência fundamental, da ordem de 9%,

142

em relação à frequência melhorada da análise de sensibilidade, com base no

emprego da estrutura não otimizada.

Em comparação à estrutura original projetada, a otimização apresentou

aumento de volume, da ordem de 100%, necessário para melhoria do

comportamento estrutural e elevação da frequência fundamental de 0,27 Hz para

0,53 Hz. Ou seja, a estrutura otimizada apresentou redução das seções em relação

a não otimizada e aumento em relação à original. Entretanto, não foi possível elevar

o valor da frequência fundamental para valores iguais ou superiores a 1,0 Hz devido

às restrições impostas. Foram propostas, então, alterações da geometria original,

que apesar de elevar o valor da frequência para 0,85 Hz, ainda assim, não atingiu o

valor objetivo; reforçando a importância de uma boa concepção inicial do projeto

estrutural para melhoria do desempenho.

Verificou-se, também, que a estrutura otimizada apresentou redução dos

deslocamentos máximos, comparados aos da estrutura original, conforme ilustrado

na Tabela 59. Adicionalmente, verificou-se que esta redução possibilitou o

enquadramento dos deslocamentos abaixo do limite estabelecido por norma [59].



DESLOCAMENTOS MÁXIMOS LIMITE DE

NORMA [59] SITUAÇÃO

Estrutura Original

Estrutura Otimizada

Caso 2 2,90 cm 1,10 cm

2,77 cm

OK

Caso 3 3,36 cm 0,83 cm OK

Caso 4 4,32 cm 1,26 cm OK

Conclui-se, portanto, que a otimização estrutural pode auxiliar de forma

racional e eficiente, no que diz respeito à melhoria do projeto estrutural, e que a

realização adicional das verificações de estabilidade global, a caracterização

dinâmica (análise das frequências naturais e dos modos de vibração), além das

considerações da ação do vento, demonstraram-se muito importantes para garantir

uma concepção estrutural mais adequada.

143

9.3 Sugestões para trabalhos futuros.

A seguir, apresentam-se algumas sugestões para a continuidade e

desenvolvimento de trabalhos futuros sobre o tema abordado, de forma itemizada:

a) Resolver o problema de forma inversa, descrevendo a função objetivo

por meio de uma função de erro.

b) Verificar o comportamento da estrutura em relação às tensões

máximas.

c) Verificar o comportamento sobre a ação de carregamento dinâmico

humano e de vento.

d) Verificar o comportamento da estrutura submetida à excitação aleatória

do vento pelo Método de Monte Carlo.

e) Realizar um estudo utilizando funções objetivo alternativas,

considerando o custo dos materiais, de fabricação, de mão de obra ou

mesmo de uma modelagem multiobjetivo;

f) Analisar a interação solo-estrutura;

g) Realizar o processo de otimização em ferramenta computacional que

permita uma modelagem mais robusta e com algoritmos que não

dependam do processo de derivadas.

144

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro - labbas … de Souza da Ponte Estudo do comportamento e otimização do projeto estrutural de edifícios de concreto armado. Dissertação