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UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE – UNESC

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO

MESTRADO EM EDUCAÇÃO

KRISTIAN MADEIRA

O USO DO SOFTWARE MATEMÁTICO GEOGEBRA NA FORMAÇÃO INICIAL DO PROFESSOR: MANIFESTAÇÕES DE CONSTITUIÇÃO DE ZDP NA

APRENDIZAGEM DAS FUNÇÕES POLINOMIAIS DO TERCEIRO GRAU

CRICIÚMA, 2009.

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KRISTIAN MADEIRA

O USO DO SOFTWARE MATEMÁTICO GEOGEBRA NA FORMAÇÃO INICIAL DO PROFESSOR: MANIFESTAÇÕES DE CONSTITUIÇÃO DE ZDP NA

APRENDIZAGEM DAS FUNÇÕES POLINOMIAIS DO TERCEIRO GRAU

Dissertação apresentada ao Programa de Pós Graduação em Educação da Universidade do Extremo Sul Catarinense – UNESC, Estado de Santa Catarina, em atendimento a um dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Educação.

Orientador: Prof. Dr. Ademir Damazio

CRICIÚMA, 2009.

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UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE – UNESC UNIDADE DE HUMANIDADES, CIÊNCIAS E EDUCAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO MESTRADO EM EDUCAÇÃO

“O uso do software matemático geogebra na formação inicial do professor:

manifestações de constituição de zdp na aprendizagem das funções polinomiais do terceiro grau”

Dissertação apresentada ao Programa de Pós Graduação em Educação da Universidade do Extremo Sul Catarinense – UNESC, Estado de Santa Catarina, como um dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Educação.

APROVADA PELA COMISSÃO EXAMINADORA EM 23/12/2009:

_________________________________________________________________

Dr. ADEMIR DAMAZIO (Orientador – UNESC)

__________________________________________________________________

Dr. GILVAN LUIZ MACHADO COSTA (Examinador Externo – UNISUL)

__________________________________________________________________

Dr. PAULO RÔMULO DE OLIVEIRA FROTA (Examinador Interno – UNESC)

__________________________________________________________________

Dr. VIDALCIR ORTIGARA (Suplente – UNESC)

__________________________________________________________________

Prof. Dr. Ademir Damazio

Coordenador do PPGE – UNESC

__________________________________________________________________

Kristian Madeira

Mestrando

Criciúma, Santa Catarina, dezembro de 2009.

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AGRADECIMENTOS

A minha esposa, Sabrina, que acompanhou todas as minhas angústias e felicidades

provocadas quando da elaboração dessa pesquisa, sempre me apoiando e dando forças para

seguir a diante.

A minha família, pela compreensão dos momentos em que não estive presente, em função do

engajamento nesse trabalho.

Ao professor orientador, Dr. Ademir Damazio, que participou de forma ímpar na caminhada

da minha formação desde a graduação, passando pela especialização e agora no mestrado,

sempre dedicado e atencioso, um exemplo a ser seguido.

Aos componentes da banca, professor Dr. Gilvan Luiz Machado Costa e professor Dr. Paulo

Rômulo de Oliveira Frota, por contribuírem de forma significativa com essa pesquisa.

Aos professores do curso de mestrado em Educação, por proporcionar debates ricos e

momentos de reflexão.

Aos colegas com quem tive contato no decorrer da realização do curso, pelas trocas

significativas de conhecimento.

Aos alunos da segunda fase do curso de licenciatura em matemática do Centro Universitário,

por terem gentilmente aceitado participar dessa pesquisa.

Ao professor e amigo Msc. Antônio Fernando Noceti Bahia, que sempre me incentivou e

apoiou na realização desse projeto, contribuindo sempre que podia com trocas de

experiências.

A professora Gislaine Marcolino, por ter reservado horas do seu escasso tempo livre para

prontamente fazer as correções ortográficas que se fizeram necessárias.

Por fim, a Universidade do Extremo Sul Catarinense – UNESC, pela oportunidade de

aprimoramento profissional.

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Descabida é a pretensão que aqui me proponho. Se fosse pensar nisso, não saberia fugir de um sentimento de certa infantilidade e afoiteza. Todavia, justifico-me pela necessidade de forjar alternativas, dentro de um contexto social que, tal qual a vida, já sabe de sua morte. Cada vez mais avoluma-se a certeza de que a sociedade industrial carrega em si uma ambigüidade fatal: de um lado, jamais houve tamanho progresso e de outro, jamais conseguimos nos autodestruir tanto.”

Pedro Demo

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RESUMO

As novas ferramentas tecnológicas apontam novos instrumentos para a educação, que levam o professor a refletir sobre a prática em sala de aula. Entretanto, o pressuposto é de que o uso didático de meios tecnológicos na educação matemática tem seu valor se galgados em base teórica da psicologia, pedagogia e da epistemologia. No presente estudo, parto da base teórica histórico-cultural ao dizer que as diferenças no âmbito coletivo é que se constitui entre os indivíduos a zona de desenvolvimento próximo ou proximal. Esta é anunciadora de necessidade de auxílio mútuo entre quem sabe e aquele em processo de aprendizagem. Assim, a indagação principal da pesquisa é: Como se caracteriza a Zona de Desenvolvimento Proximal – ZDP que se constitui, entre alunos do curso de licenciatura de Matemática, em situações de interações mediadas pelo software geogebra e conceito de Função Polinomial? A opção pelo referido software ocorreu por reunir as características para a realização da atividade proposta, por possibilitar a construção de gráficos de funções polinomiais do terceiro grau. A pesquisa de cunho qualitativo envolveu treze alunos da segunda fase de um curso de licenciatura em Matemática. A análise dos dados empíricos ocorreu em três instâncias: com base em um questionário preliminar respondido pelos estudantes; pela observação dos alunos ao desenvolver questões de função polinomial em interação com o geogebra; e com base nos relatórios produzidos pelos alunos. O estudo aponta que as interações dos alunos entre si mediadas pelo software e o conceito matemático constitui zona Zonas de Desenvolvimento Proximal (ZDP). Porém, para seu desenvolvimento, elas carecem da presença do professor para indicar os caminhos da aprendizagem do conhecimento em questão. Consequentemente, por si só, o geogebra não propiciou as condições suficientes para apreender a lógica das ações a serem desenvolvidas e a consequente apropriação das significações conceituais.

Palavras-chave: Aprendizagem, Zona de Desenvolvimento Proximal, Software Geogebra, Função Polinomial do Terceiro Grau, Formação inicial.

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ABSTRACT

The news technological instrument put for-ward the new agent for the education, that accomplish the teacher of reflect about practice in classroom. How-ever, the presuppose of that for use didactic of the technological in mathematics education has your valour if editied in theoretical base of psychology, education and of epstemoligy. In present work , beginning of theoretical base historical-cultural of say that the difference in collective scope is that constitute between individual zone of Development approached. This is advertise necessity of mutual assistance between who to know and that in process off learning..Like this ,the primcipal inquire of research is: What about when the Zone of Proximal Development - ZPD that is, among students of undergraduate mathematics in situations of interactions mediated by the software GeoGebra and concept of Polynomial Function? The choice for reported software because for congregate the cachet for the performance of the work offer, for make possibilty the contruction of charte function algraic third degree. The delve with intention qualitative wraped thirteen student of the second stage of course the mathematics degree. The assay of the empirical fact ocurred in three instance:whit base in a preliminary questionry responded for the student; for the note of the pupil in a developed function algraic menagement in interaction with the geogebra; wiht the base in transactions make for de students. The study concluied that the interaction of the students between their mediated of the software and the mathematics concept it is the Zone of Development approached( ZDP).But, for your development they necessitate of the presence the teacher for indicate on the way of learning.Nevertheless, alone, the geogebra doesn’t proplitade adequate condition for learn the logical of decision to be develop and the consequent appropriation of the concept significance.

Word-key: apprenticeship, Zone of Development Approached, Software Geogebra, Function algraic third degree. Initial training.

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SUMÁRIO

1 TRAJETÓRIA DA CONSTRUÇÃO DO PROBLEMA E CONISIDERAÇÕES METODOLÓGICAS 09

1.1 Trajetória da Construção do objeto da Pesquisa ............................................................. 09 1.2 Considerações Metodológicas ......................................................................................... 16

�2 REVISITANDO A LITERATURA SOBRE O OBJETO DE ESTUDO 21

2.1 Educação Matemática e as Novas Tecnologias de Informação e Comunicação ............. 21 2.2 O Conceito Científico de Função Polinomial do Terceiro Grau ..................................... 25 2.3 A Psicologia Histórico-Cultural ..................................................................................... 38 2.3.1 Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP) ................................................................. 39 2.3.2 Mediação ...................................................................................................................... 43 2.3.3 O Processo da Formação de Conceitos ........................................................................ 46

�3 IMPRESSÕES INICIAIS DOS ACADÊMICOS SOBRE FUNÇÕES POLINOMIAIS DO TERCEIRO GRAU.........................................................................................................52 4 O PROCESSO DE APROPRIAÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO POLINOMIAL DO TERCEIRO GRAU..........................................................................................................62 �� Os estudantes em contato com o software geogebra...........................................................62

4.2 As produções escritas dos estudantes..................................................................................81

CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................................. 86

REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 89

APÊNDICE I 93

APÊNDICE II 96

ANEXO I 100

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1 TRAJETÓRIA DA CONSTRUÇÃO DO PROBLEMA E CONSIDERAÇÕES METODOLÓGICAS

1.1 Trajetória da Construção do objeto da Pesquisa

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A escolha do tema é algo fundamental para qualquer tipo de pesquisa, por

estabelecer as delimitações do contexto em que o estudo será desenvolvido. Naturalmente,

preocupações quanto à originalidade, à importância e à viabilidade do estudo permeiam as

decisões do pesquisador:

Um tema deve ser trabalhado se: 1) Merecer estudo, isto é, um bom tema de pesquisa deve despertar o interesse tanto pela importância do seu estudo com relação a um contexto maior bem como por se considerar o tema novo e precioso; 2) Trouxer proveito para o pesquisador; 3) Existir correspondência entre si e a capacidade do estudioso; e, 4) ser praticável. (RAUEN, 1999, p. 37)

O tema eleito para se investigar nesse trabalho foi o uso das tecnologias

educacionais no processo de ensino-aprendizagem, cujos fundamentos teóricos incorporados

por mim residem na perspectiva histórico-cultural. Os motivos geradores de inquietações, que

acabaram por despertar o desejo de estudar o assunto, estão ligados diretamente as minhas

experiências com a docência e formação profissional, que, ao longo de onze anos, se diluíram

entre os ensinos fundamental, médio e superior.

Nessa trajetória se apresentaram teorias, proposições ou tendências pedagógicas

que advogam perspectivas e concepções distintas para o processo educativo matemático.

Algumas delas enfatizam o uso das tecnologias no ato pedagógico de ensinar e aprender

matemática.

A tecnologia historicamente esteve presente na vida do homem, materializando-se

por meio do trabalho em ferramentas, desde as mais simples como o machado e a enxada, até

as mais complexas, como os computadores. Embora muitos povos ainda não tenham tido

contato com as tecnologias desenvolvidas nos últimos cinqüenta anos, podemos afirmar que,

no Brasil, ocorre uma grande expansão da diversidade tecnológica que acompanham os

lançamentos de produtos oriundos de países mais desenvolvidos. O fato é que as tecnologias

se espalharam para os diversos setores existentes em nossa sociedade, como as indústrias,

comércios, domicílios, entre outros, e a escola não poderia ficar alheio a esse contexto. Afinal

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de contas, ela é também um segmento da sociedade, portanto deve acompanhar as evoluções

tecnológicas incorporadas socialmente.

É perfeitamente normal que, depois de atuar nas áreas estratégicas governamentais, servir aos bancos e empresas públicas, as novas tecnologias cheguem à escola, um tanto atrasadas, mas, com certeza, ainda a tempo de que a nova geração possa apropriar-se dela, condição para enfrentar o Século XXI. (FROTA; ALVES, 2000, p. 23)

Nesse sentido, o uso das tecnologias na educação implica numa nova concepção

de ensino e aprendizagem, pois o pressuposto é de que elas se apresentam com uma nova

linguagem que, cada vez, evolui, aperfeiçoa e cria mecanismos novos que necessitam de

inserção na escola.

Particularmente, sua inserção na educação matemática, acarretou em desafios para

novas aprendizagens profissionais, pois a preocupação é uma leitura e o debate com

referencial da psicologia da educação e da aprendizagem. Portanto, como fonte de apoio e de

mecanismos explicativos coerentes para receber criticamente as mudanças tecnológicas.

O contato com a psicologia da educação, mais precisamente com a psicologia

russa de Vygotsky, iniciou-se muito timidamente pela aproximação que tive com alunos de

instituições públicas das cidades de Urussanga-SC, Cocal do Sul-SC, Criciúma-SC e Orleans-

SC, onde atuei como docente na educação básica e superior. Naquelas condições, participei de

cursos de capacitação e formação continuada promovidos pelas instituições de ensino e/ou

órgãos administrativos da educação, em que o debate deixou meus pensamentos acerca da

prática pedagógica, tomados de inquietações. Estas foram provocadas por pressupostos,

principalmente, da psicológica histórico-cultural que fora difundida no Brasil, a partir do final

da década de 1980. Perpetuada no meio educacional público catarinense há quase vinte anos

pela Proposta Curricular estadual, tem sua difusão nas capacitações de professores

promovidas pelas diversas instituições de ensino. A incitação de forma ímpar da referida

Proposta é:

É importante registrar, portanto, que o pensar a educação numa ótica histórico-cultural, no Brasil, nas últimas décadas, está fortemente marcado pela compreensão da ligação da educação com a política e da conseqüente importância da educação das camadas populares como um dos caminhos para a criação de uma nova hegemonia, ligada aos seus interesses. (SANTA CATARINA, 1998, p. 12)

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Percebe-se, então, que a base psicológica adotada a época pelo Estado, vai muito

além dos muros das instituições de ensino, ou seja, há que se extrapolar essa teoria para fora

das escolas e alcançar de fato a dimensão política, manifestada por uma nova conduta, uma

nova forma de pensar, um novo ser humano. Sendo que essa foi a premissa adotada por

Vygotsky na formulação da psicologia histórico-cultural no bojo da constituição da sociedade

russa, após revolução de 1917.

Na concepção histórico-cultural, o homem se desenvolve intelectualmente pelas

mediações que, a princípio, podem ser através do uso e fabricação de instrumentos, e pelo

conhecimento adquirido tanto informalmente – fora das escolas -, quanto formalmente –

dentro das escolas.

Concretamente, Vygotsky denominará o seu método de trabalho de “método instrumental”, porque, durante um tempo, centrará suas pesquisas evolutivas e educacionais na comprovação de como a capacidade resolutiva de uma tarefa pelo sujeito aumenta se fazermos intervir um instrumento psicológico – por exemplo, cartões com figuras ou “tokens” icônicos em uma atividade de categorização e memória – que, sem alterar estruturalmente a tarefa, permitem uma mediação dos estímulos, que melhora a representação e, com isso, o controle e execução externos, por parte do sujeito, de suas próprias operações mentais. (ALVAREZ; DEL RIO, 1996, p. 84)

Diante dos motivos geradores de se estudar a temática, ligados diretamente às

experiências adquiridas com a docência exercida, surge a questão: Mas, por que o uso de

tecnologias no processo de ensinar e aprender matemática tem sua relevância?

Para responder esse questionamento, que se apresentou no processo de formação

do objeto e problema da pesquisa, busco respaldo na literatura em duas instâncias. A primeira

se refere à própria teoria que fundamenta a pesquisa, cujo fragmento é buscado em Leontiev

(1978, p. 94), quando afirma que o homem, por ser sócio-histórico “está ao mesmo tempo

armado e limitado pelas representações e conhecimentos de sua época e da sua sociedade. A

riqueza da sua consciência não se reduz à única riqueza de sua experiência individual”.

A segunda instância diz respeito às pesquisas que se voltaram para a mesma

temática. Nesse sentido, revisitei as produções científicas correlatas e encontrei vários

trabalhos relacionados ao uso do software geogebra, no entanto, cada qual com suas

especificidades e preocupações. Contudo, todos têm algo em comum: defendem e atribuem

significados positivos ao seu uso no ensino da matemática.

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Mas por que matemática? Afinal ela é um corpo de conhecimento tão antigo

quanto à história da humanidade, não na forma que a conhecemos hoje, mas como uma forma

de pensar, contar e organizar de maneira simples, porém matemática.

Também, porque no meu envolvimento profissional fui entendendo que,

historicamente, o ensino da matemática está subordinado a um grande conjunto de ideias

educativas e políticas, que servem para reproduzir e reconstruir constantemente a sociedade

em que vivemos (D’AMBRÓSIO, 1999). Dessa forma, as instituições de ensino que se

propõe a perpetuar e a produzir conhecimento científico tem como tema de suas discussões e

pesquisas entre outros a matemática no contexto educativo.

A matemática é, desde os gregos, uma disciplina de foco nos sistemas educacionais, e tem sido a forma de pensamento mais estável da tradição mediterrânea que perdura até nossos dias como manifestação cultural que se impôs, incontestada, às demais formas. Enquanto nenhuma religião se universalizou, nenhuma língua se universalizou, nenhuma culinária nem medicina se universalizaram, a matemática se universalizou, deslocando todos os demais modos de quantificar, de medir, de ordenar, de inferir e servindo de base, se impondo, como o modo de pensamento lógico e racional que passou a identificar a própria espécie. (D’AMBRÓSIO, 1998, p. 10).

A matemática passou a receber um olhar especial por mim apenas no final do

ensino médio – mais precisamente no quarto bimestre do terceiro ano -, quando tive pela

primeira vez contato com os números complexos, o que de fato fez estremecer minhas

concepções a respeito de matemática, em discussões promovidas em sala de aula pelo

professor. Naquele momento, comecei a entender os níveis de abstração que ela atingiu, até

então não percebidos por mim. Cabe dizer, entretanto, que ainda eram muito superficiais essas

primeiras reflexões. Mais tarde, durante o curso de licenciatura em Ciências, habilitação

Matemática, agreguei elementos que viriam fundamentar o “corpo teórico (técnico)” da minha

prática docente. No período de realização da especialização em Educação Matemática,

encontrei os indicativos propulsores para percorrer caminhos de formação de pesquisador na

área. Foi nessa fase que realizei minha primeira pesquisa e escrevi o primeiro trabalho,

resultado de uma investigação em aulas de matemática numa turma de sexta série do ensino

fundamental.

Naquela oportunidade, tive um contato mais enfático com as teorias de Vygotsky

e pude produzir uma síntese inicial de seus pressupostos, que contribuiu para a minha adesão

ao atual tema de pesquisa: a aprendizagem se dá num processo coletivo, isto é, primeiro o

conceito é social, para depois, ser pessoal. Como diz Damazio (2000, p. 46), a “dinamicidade

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dessas relações traz evidência de que a formação de um conceito matemático não tem apenas

um caráter internalista, mas forçosamente passa por uma etapa externa. O externo, aqui, quer

dizer que é social.”

De certa maneira, naquele estágio das minhas elaborações intelectuais, a formação

de conceitos era percebida por mim apenas nos níveis de ensino fundamental e médio. Porém,

essa provisoriedade teórica é reconstruída ao ingressar, como docente, no ensino superior, o

que revelou outra fase, com o acréscimo de diferentes desafios e possibilidade de um novo

campo para pesquisa. Dessa vivência, surge a oportunidade aguardada de lecionar uma

disciplina “Matemática Aplicada na Informática”, no curso de licenciatura em Matemática de

um Centro Universitário.

O momento foi oportuno para entender a interação de um elemento humano

universal, a matemática, com outro que está em vias de atingir o mesmo status, a informática.

Assim, as condições objetivas para a realização da pesquisa se apresentaram em dois níveis: o

amadurecimento de uma concepção teórica e um laboratório de informática para o

desenvolvimento da disciplina mencionada bem como da própria pesquisa.

Acresce-se ainda que a vivência profissional, em sala de aula, permitiu-me

observar a existência de pessoas do contexto escolar com diferentes níveis no que diz

respeito: ao domínio das ferramentas que se relacionam com o uso do computador,

desenvolvimento intelectual, domínio das linguagens matemáticas e às capacidades de

interpretação de textos e problemas.

Para efeito do presente estudo, parto de outro pressuposto da perspectiva

histórico-cultural: essas diferenças no âmbito coletivo é que se constitui entre os indivíduos a

zona de desenvolvimento próximo ou proximal (Vigotski, 2001, p. 331), que é anunciadora de

necessidade de auxílio mútuo entre quem sabe e aquele em processo de aprendizagem. Na

escola, o aluno aprende aquilo “que ainda não sabe e lhe vem a ser acessível em colaboração

com o professor e sob sua orientação”. Genericamente, o que é denominado nos meios sociais

de dificuldades de aprendizagem pode ser entendido como a possibilidade de convívio dos

indivíduos menos experientes com o outro mais experiente.

Nesse sentido, no presente estudo foi decisiva a compreensão, de minha parte, de

que no âmbito do processo ensino e aprendizagem, são fundamentais as mediações sociais

com o envolvimento do conhecimento matemático e instrumentos. São elas, de acordo com

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abordagem histórico-cultural, que denotam as manifestações das condições didáticas de ações

educativas. Uma de suas possibilidades que se apresenta na atualidade é o uso de tecnologias.

Entretanto, a especificidade que se apresenta para a investigação são as condições efetivas

para o processo de elaboração conceitual quando um dos instrumentos de ensino é o software.

Estudos (FONTES, 2009; HASCH, 2008; BRANDT, 2007; BORBA E PENTEADO, 2005)

mostram de forma persuasiva o potencial das tecnologias e softwares para a aprendizagem de

conceitos matemáticos. Por exemplo, Ferreira, Soares e Lima (2009, p.187) afirmam que:

Esses ambientes computacionais são direcionados à aprendizagem da Geometria oferecendo recursos que viabilizam as ações mentais dos alunos e podem ajudar na superação de dificuldades inerentes ao processo de aprendizagem, tais como: visualização, construção, raciocínio geométrico. Neles é possível criar condições para que se aprenda investigando, conjecturando, testando, analisando e concluindo acerca de um fenômeno estudado, transformando-se o aluno de mero expectador em agente do processo educativo,em alguém que pensa, reflete, dirige, decide, atua.

Entretanto, a questão que se apresentou foi: os ambientes computacionais em si,

sem a presença do outro social (professor) possibilitam as mediações necessárias para o

processo de apropriação dos conceitos matemáticos e o desenvolvimento das funções

especificadas na citação anterior? Ou seja, permite um processo caracterizado por

possibilidades de aprendizagem, ou como diz Vigotski (2001), a constituição de zona de

desenvolvimento proximal?

É nesse contexto de questionamentos que procuro formular o objeto e o

consequente problema de pesquisa. Assim sendo, dois elementos do fazer pedagógico

matemático escolar exigiram contornos. O primeiro deles requereu uma opção pelo conceito

de Funções Polinomiais, pelos equívocos conceituais manifestados pelos alunos das fases

iniciais de cursos de graduação. Além disso, a possibilidade de algum deles ter tido, mesmo

que superficial, um contato com esse tipo de função é mínima, haja vista a pouca preocupação

dada a esse tema nos livros didáticos, principalmente no que tange ao estudo da sua

representação gráfica.

O segundo elemento, de ordem instrumental, por demandar a escolha de um

software com a preocupação primeira de obter um do tipo educativo voltado à Matemática,

cuja aquisição fosse gratuita e pudesse ser usado no ensino superior. Após análise entre

aqueles que atendessem tais critérios, a opção foi em adotar o software geogebra, pois

permite a representação gráfica instantânea. Também, por possuir uma interface amigável,

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janelas de álgebra e plotagem1 gráfica muito bem definidas e de fácil manuseio. Além disso,

possibilita que o aluno realize comparações e tire suas conclusões sobre o comportamento das

funções polinomiais do terceiro grau, no plano cartesiano.

No âmbito dessas reflexões e delimitações é que defini a indagação principal da

pesquisa: Como se caracteriza a Zona de Desenvolvimento Proximal – ZDP que se constitui,

entre alunos do curso de licenciatura de Matemática, em situações de interações mediadas

pelo software geogebra para aquisição do conceito de Função Polinomial?

Portanto, a centralidade do problema de pesquisa está nas relações inerentes à

elaboração conceitual em cenário pedagógico de interações que envolve a tríade alunos -um

conhecimento matemático – computador/software. Sendo assim, o papel do

pesquisador/professor foi apenas orientar os procedimentos necessários à pesquisa, eximindo-

se da função de promover o diálogo mediador próprio de uma situação de ensino

aprendizagem. Ou seja, as interações humanas ocorreram basicamente entre os alunos que

desenvolveram em dupla as ações que foram sugeridas. Nesse sentido, surgiram questões

auxiliares: O computador e o software substituem o professor? Os alunos necessitam do

professor? Em que circunstâncias?

Como forma de evitar a dispersão do foco do problema e de estabelecimento de

ações para atingir o fim determinado, alguns objetivos foram traçados:

Objetivo Geral

Analisar as manifestações de constituição de Zona de Desenvolvimento Proximal

– ZDP entre o grupo de estudantes de ensino superior quando colocados em situação de

aprendizagem com outro aluno, mediados pelo software matemático geogebra na aquisição do

conceito de função polinomial do terceiro grau.

���������������������������������������� �������������������1 Desenhar (uma imagem, especialmente um gráfico) baseando-se em informação fornecida como uma série de coordenadas. (MICHAELIS, 2009)�

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Objetivos Específicos

a) Determinar o nível de desenvolvimento real dos alunos a respeito das significações do conceito de função polinomial do terceiro grau;

b) Identificar a manifestação de constituição de ZDP’s nos acadêmicos quando colocados

em situação de aprendizagem;

c) Verificar a importância do uso do software matemático geogebra como ferramenta

para o estudo das funções polinomiais do terceiro grau.

1.2 Considerações Metodológicas

O método foi fundamentalmente o que conduziu para a obtenção de respostas ao

problema elencado anteriormente, por isso faz-se necessário enfatizar a sua importância numa

pesquisa científica.

Para que isto ocorra de um modo adequado, é preciso que se acrescente um método de trabalho, ou seja, um “conjunto de atividades sistemáticas e racionais que, com maior segurança e economia, permita alcançar o objetivo – conhecimentos válidos e verdadeiros – traçando o caminho a ser seguido, detectando erros e auxiliando as decisões do cientista”. (RAUEN, 1999, p. 10)

Nesse sentido, o caráter eleito como base para a realização da pesquisa foi o

qualitativo, pois segundo Cardoso (2001, p. 77), com base em Triviños, esse tipo de

abordagem traduz a crença de que o ambiente exerce grande influência sobre o pensamento e

a ação humana2. Na presente pesquisa, tal pressuposto se manifestou quando os acadêmicos se

depararam com o laboratório de informática, um ambiente que disponha de computadores

munidos de softwares educacionais que serviram como ferramentas para a resolução de uma

atividade.

Dentre as pesquisas qualitativas, procurei um método que se adequasse aos

objetivos dessa pesquisa e, além disso, proporcionasse ao pesquisador um melhor ���������������������������������������� ���������������������Essa influência não se traduz como único estímulo responsável para que ocorra a formação de pensamentos ou

uma ação humana, mas sim como algo indissociável aos indivíduos, que por sua natureza locomove-se, comunica-se e se relaciona dialeticamente “com” e “em” algum lugar. Muitas vezes, valendo-se dos objetos e ferramentas que ali se encontram para a execução de uma determinada atividade.��

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entendimento sobre a unidade escolhida para a realização da investigação, revelando o estudo

de caso como sendo fundamentalmente o delineador desse trabalho.

Um estudo de caso pode ser caracterizado como um estudo de uma entidade bem definida como um programa, uma instituição, um curso, uma disciplina, um sistema educativo, uma pessoa ou uma unidade social. (PONTE, 1994)

Esse tipo de abordagem possui forte cunho descritivo, portanto, o desejo está em

compreender a situação tal como ela se dá, no âmago da leitura qualitativa, exigindo do

pesquisador certo distanciamento para que as interrogações possam acontecer livremente.

Entretanto, um estudo de caso pode ir além e confrontar as percepções com as teorias

existentes, o que se manifestou nesse trabalho quando os dados foram analisados à luz da

Teoria Histórico-Cultural.

Um argumento para adoção dessa modalidade de pesquisa foi buscado em

ANDRÉ (2005, p. 93), que diz que “os Estudos de Caso podem ser usados em avaliação ou

pesquisa educacional para descrever e analisar uma unidade social, considerando suas

múltiplas dimensões e sua dinâmica natural”.

Outra característica de um estudo de caso, segundo Ponte (1994), é sua base em

trabalho de campo ou em análise documental, ou seja, “estuda uma dada entidade no seu

contexto real, tirando todo o partido possível de fontes múltiplas de evidência como

entrevistas, observações, documentos e artefatos”.

Entretanto, vale ressaltar que estudiosos (MONTEIRO E SAVEDRA, 2001, p.66)

ressalvam que o estudo de caso, embora sendo uma técnica relevante de pesquisa, entendem

que seus resultados servem apenas de base para outras pesquisas. Porém, não fragiliza o seu

valor, uma vez que “pode constituir uma contribuição importante para o desenvolvimento

científico”. (DUARTE, 2008, p. 113).

Nessa direção, a pesquisa foi realizada com os licenciandos da segunda fase do

curso de Matemática de um Centro Universitário situado no sul de Santa Catarina, no segundo

semestre do ano de 2008, cujo olhar a todo o momento foi subsidiado teoricamente pela

perspectiva histórico-cultural.

Na sua grande maioria, os estudantes sujeitos da pesquisa são do sexo feminino

(91,7%). Um grupo de alunos jovens, entre 18 e 20 anos, provenientes de famílias que

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apresentam uma renda média de R$ 1.637,67 ± R$ 630,65DP3, o que denota diferentes classes

econômicas, mesmo assim, passaram (100%) parte significativa de suas vidas nos bancos das

escolas públicas.

Nessa perspectiva (histórico-cultural), o método de análise usado na pesquisa

combina a palavra com o material, superando o método de definição, que lida com o conceito

pronto e acabado negligenciando o processo ativo da formação de conceitos. E supera

também o método da abstração, que não considera o importante papel desempenhado pelo

simbólico (a palavra) nesse processo. (VIGOTSKY, 1996)

No método proposto por Vigotsky (1996), introduzi algumas funções polinomiais

do terceiro grau que de início não possuíam significado geométrico para o aluno – o que foi

comprovado com a aplicação de um questionário de identificação da Zona de

Desenvolvimento Real (ZDR) do sujeito, mas que com a estimulação do campo visual por

meio do uso do computador e o software geogebra sendo executado, além do diálogo exercido

com seu interlocutor (colega de classe), constituíram um estado de formação conceitual, que

por sua natureza não é fossilizado e sim ativo do processo intelectual do sujeito.

A operacionalização da pesquisa, no que diz respeito à identificação da ZDR nos

alunos, ocorreu primeiramente com aplicação de um questionário4 estruturado com questões

abertas e fechadas em que o acadêmico respondeu, individualmente, sem o auxílio de

qualquer material de consulta. O questionário foi estruturado com questões socioculturais e

outras acerca da avaliação do conhecimento do aluno sobre funções polinomiais do terceiro

grau.

Em seguida, para identificar a constituição da Zona de Desenvolvimento Proximal

– ZDP, os acadêmicos foram encaminhados a um laboratório de informática, onde os

computadores estavam equipados com o software geogebra. Apresentei-lhes uma lista de

situações sobre funções polinomiais do terceiro grau que deveria ser desenvolvida em duplas

e com supervisão do professor. Essas questões tinham como característica a inserção de novos

termos algébricos a cada nova função proposta, além da troca de sinais dos coeficientes

numéricos, chamando a atenção do aluno para a reflexão do papel de cada coeficiente e sua ���������������������������������������� �������������������3 DP = desvio padrão = s = raiz quadrada do somatório dos quadrados dos desvios em relação à média dividido por uma unidade a menos do que o número total de elementos da amostra (BARBETTA, 2005, p. 104). Quanto maior o valor do desvio padrão, maior será a dispersão dos dados em relação à média.

��APÊNDICE 01�

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relação com a representação gráfica da função. Os acadêmicos registraram todas as ações

propostas por eles para solucionar os problemas lançados, além das justificativas de

raciocínios e procedimentos adotados, com comentários nos espaços adequados existentes na

própria lista de tarefas.

Ao término da atividade, as listas com as anotações de cada dupla foram

recolhidas. Os arquivos dos computadores – com o produto da caminhada trilhada para

resolução das situações propostas, ou ainda, o produto gerado – foram salvos nos

computadores e enviados para o e-mail do professor pesquisador5.

Os dados do questionário foram tabulados e tratados com o auxílio do software

estatístico SPSS (Statistical Package for the Social Sciences), que permitiu a visualização

gráfica e a construção de tabelas. Esse recurso permitiu a identificação e agrupamento de

questões abertas bem como de frases distintas com o mesmo significado, que contribuiu na

análise.

A coleta de dados, diretamente com os acadêmicos, ocorreu em um único dia,

uma vez que atendia ao objetivo desse trabalho, isto é, ser o tempo necessário e suficiente. O

dia eleito foi um sábado pela manhã e pela tarde, por ser o horário de aula regular. Dessa

forma, os estudantes permaneceram sob o olhar atento do professor pesquisador, não havendo

sequer consulta a qualquer material que fosse relacionado com o tema proposto nesse

trabalho. Com isso, garantiu a fidedignidade das respostas fornecidas pelos mesmos, além das

reações e percepções epistemológicas. Todo desenvolvimento das ações da parte experimental

da pesquisa, que envolveu os alunos, foi gravado (áudio) e filmado (áudio e vídeo) com o

devido consentimento e autorização.

De posse de todo o material produzido, iniciei as análises em diálogo – sempre

que possível - com meu professor orientador6, que acompanhou atentamente minhas

construções e percepções, com intervenções e reflexões.

As análises ocorreram à luz de uma leitura sobre o uso do computador no

processo de aprendizagem, não no sentido de substituição, suplementação, reorganização ou

modelagem como afirma Borba (2005). Em vez dessa percepção, procurei entendê-lo como

���������������������������������������� �������������������5 Kristian Madeira - kma@unesc.net

6 Prof. Dr. Ademir Damazio

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um instrumento capaz de auxiliar na constituição da ZDP, por se tratar de um elemento do

processo de mediação para apropriação das significações do conhecimento matemático, como

advoga a perspectiva histórico-cultural.

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2. REVISITANDO A LITERATURA SOBRE O OBJETO DE ESTUDO

No presente capítulo, discorro sobre as questões teóricas que entendo constituir o

foco conceitual da pesquisa, qual seja: tecnologia, função do terceiro grau e aprendizagem.

Divido-o em três seções. A primeira às proposições ou leituras referentes à relação entre

Educação Matemática e o uso de tecnologias como ênfase ao computador. Na segunda seção,

tratei das principais ideias do conceito de função cúbica. Finalmente, a terceira em que são

apresentados os principais pressupostos da abordagem histórico-cultural, mais

especificamente as interfaces do processo de aprendizagem.

2.1 Educação Matemática e as Novas Tecnologias de Informação e Comunicação

As novas tecnologias de comunicação e informação mostram seu pico de

desenvolvimento atual com a invenção e reinvenção do computador, cujo capítulo é recente

na história da humanidade, o que prediz que há muito que aprender e discutir sobre o tema. A

história dessa ferramenta tecnológica começa no seu uso em guerras que acabam por colocar

em cheque o quanto existe de racionalidade no homem, ou seja, o quanto ele possui da

capacidade de ser razoável.

[...] o computador surgiu na década de 1940, momento em que o mundo estava em guerra. Sua função principal era fazer cálculos rápidos e complexos, sob pressão de tempo e com máxima precisão possível, com o objetivo de criar poderosas armas ou descobrir códigos secretos do inimigo. Após a guerra, tal instrumento deixou de ser privilégio da alta ciência e do exército e passou a fazer parte de um universo mais amplo, como o dos negócios e da pesquisa industrial e universitária. No início da década de 1960, surgia a idéia de usar o computador também na educação, embora ainda não existissem softwares apropriados. (PEREIRA et al, 2005, p. 59-60)

Com o término da guerra, os computadores começaram a se expandir para

vários segmentos da sociedade e, aos poucos, chegaram também nas instituições de ensino,

que precisaram se adaptar a essa nova tecnologia, com a característica de ser também

educacional. Assim, o local destinado aos computadores de uso dos alunos passou a ser

chamado de laboratório de informática.

Entretanto, o espaço tem se caracterizado por ser um local separado dos

demais, ou seja, existem muitas salas de aula tradicionais nas escolas, mas somente uma com

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computadores. No início, era uma ilha de difícil acesso, mas aos poucos se tornou um espaço

de ocupação e de uso das ferramentas tecnológicas que nele estão disponíveis para a maioria

das disciplinas do currículo escolar.

Para o funcionamento do laboratório de informática, as instituições de ensino

tiveram que contratar um técnico da área que, em outros tempos, conviveu com restrições, por

não ter formação na área da educação. As objeções ocorriam por parte dos professores que

tinham o receio de que seria mais um profissional a ocupar o espaço das suas aulas, ou ainda,

atrapalhar o ensino. Outra contestação tem seu argumento no número insuficiente de

máquinas para atender com condições, no mínimo razoável, a todos os alunos. Tal limitação

obriga o professor de informática a trabalhar com uma sala superlotada. Nessas

circunstâncias, a alternativa adotada é dividir a sala em dois grupos: um deles fica na sala de

aula com o professor da classe e o outro se dirige ao laboratório de informática sob

responsabilidade de técnicos ou monitores. “Pode-se imaginar quanta confusão!” No entanto,

o entendimento dado é que toda mudança gera um estado de desequilíbrio. Como exemplo,

cita-se as reações idênticas quando começaram a disseminação pelo mundo de novas teorias

educacionais, que estimulavam trabalhos em grupos. Na época, as carteiras eram aparafusadas

no chão... Como fazer?

Entretanto, a questão principal que se apresenta como foco de reflexão é a

necessidade de uma nova pedagogia ou uma nova teoria que traga ao professor elementos

subsidiadores para a sua prática, galgados nessa nova realidade.

Para nós, porém, não bastam os argumentos mais óbvios, como o de que cada aluno estuda em seu ritmo, de que o computador nunca se cansa de explicar e corrigir, de que os feedbacks são imediatos... Esses são argumentos verdadeiros, válidos e importantes, mas não suficientes para uma pedagogia comprometida com teorias atuais de aprendizagem. As teorias socioconstrutivistas e mesmo outras têm defendido já há algum tempo a idéia de que a troca com o meio e especialmente a troca com o outro é fundamental para a promoção de processos de aprendizagem. (ALMEIDA; FONSECA, 2000, p. 72-73)

Outro aspecto relevante é o espaço físico. Nesse sentido, existem propostas

pedagógicas defensoras de que a quantidade de computadores da escola é suficiente para

atender a demanda. Porém, reclama por uma sala maior e manutenção dos aparelhos de forma

constante para que o professor, embasado teoricamente, possa conduzir aulas de forma que

proporcionem a aprendizagem.

Dessa forma busca-se superar práticas antigas com a chegada desse novo ator informático. Tal prática está também em harmonia com uma visão de

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construção de conhecimento que privilegia o processo e não o produto-resultado em sala de aula, e com uma postura epistemológica que entende o conhecimento como tendo sempre um componente que depende do sujeito. (BORBA e PENTEADO, 2005, p. 46)

A introdução do computador no contexto escolar formal traz a necessidade de

pensar em uma nova postura. Nesse sentido, apresentam-se pelo menos três tendências de

entendimento sobre a inserção de novas tecnologias - mais precisamente o computador - na

educação. Borba (1999), com base nos estudos de Tikhomirov (1981), diz que uma delas é a

Teoria da Substituição em que um grupo de pessoas pensa que o computador irá robotizar a

educação. Temem que o professor possa ser substituído pelo computador, isto é, apresentaria

ao aluno os mesmos conteúdos que eram ensinados antes da chegada das máquinas na escola,

porém de maneira mais dinâmica e com menos erros.

De acordo com o autor, essa teoria não deve ser incorporada, pois afinal de contas,

o computador opera com softwares específicos por assunto, que fragmenta o processo de

resolução de um determinado problema. Ou seja, não considera o complexo processo psíquico

do pensamento humano como elemento fundamental para a resolução de um problema e a

construção de um novo saber.

Um segundo grupo entende que os computadores devem resolver algumas partes

de um problema - Teoria da Suplementação - que em tese seria de difícil solução para o

homem. Em seguida, numa outra etapa, o homem toma as rédeas do processo ensino e

aprendizagem. O resultado ocorre como somatório das duas etapas: computador e o homem.

Borba (1999) é de opinião que esse pensamento também deve ser criticado, pois apresenta

uma visão extremamente quantitativa, que reduz o pensamento humano a vários fragmentos

para a solução do problema. Portanto, nega a dimensão qualitativa, característica fundamental

do pensamento humano, por propiciar a eleição de um problema e mudar seus caminhos

durante o processo de resolução, valores que uma máquina seria incapaz de fornecer.

A terceira teoria - Teoria da Reorganização - que defende a informática na

educação por entender que seu papel é semelhante aquele exercido pela linguagem, conforme

a teoria vygotskyana, principalmente pelos feedbck’s intermediários da atividade humana, que

seria impossível ser emitido por um observador externo.

Para além dessas, Borba(1999) propõe a teoria da modelagem recíproca, em que o

computador é visto como algo que molda o ser humano e, ao mesmo tempo, é moldado por

ele.

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Para Fontes (2009), além da reflexão sobre o papel dos atores em sala de aula, ao

se inserir o computador no meio escolar, é importante que se repense também o currículo e a

dinâmica da sala de aula. No entanto, Rocha (2008) alerta para o fato de que grande parte dos

professores ainda é resistente ao uso das novas tecnologias na educação. Na sua pesquisa, o

software geogebra é usado como uma ferramenta virtual de aprendizagem no sentido de levar

professores e alunos a pensarem sobre a necessidade da reflexão em relação ao ensino e a

aprendizagem frente ao surgimento e aprimoramento das novas tecnologias educacionais.

Vale ressaltar que a leitura sobre educação matemática incorporada pelo autor é a da

Seqüência Fedathi7.

Hasch (2008) afirma ser de extrema importância à capacitação pedagógica do

professor para que possa observar os sinais apontados pelo computador de forma crítica, com

o intuito de promover a aprendizagem do aluno. Ressalta que tal instrumento não é um

elemento em si, mas um meio que contribua para que o aluno sinta a necessidade de revisitar

a teoria, consequentemente, aprimorar o seu conhecimento científico. Em seguida, retornar à

máquina com novos olhares sobre as representações matemáticas que estão presentes nas

situações propostas pelo professor. A perspectiva psicológica adotada pelo autor é a

piagetiana.

Para Brandt (2007), os softwares se traduzem em instrumentos contemporâneos a

serem usados didaticamente pelo professor. As escolas são equipadas com laboratórios de

informática, o que revela uma tendência pedagógica que foca os esforços do educador para

adoção dos diferentes recursos da computação no processo de aprendizagem.

Portanto, há esforços de pesquisadores no sentido de entender as manifestações do

uso das novas tecnologias educacionais em sala de aula, que apontam para um repensar da

prática pedagógica docente. Intrinsecamente ao processo de adoção de elementos informáticos

no processo educacional, estão as reflexões sobre o papel dos atores (professores e alunos)

nesse contexto.

���������������������������������������� ���������������������O Grupo de Pesquisa em Educação Matemática (Grupo Fedathi), existe desde 1996 e tem na sua composição básica, desde sua origem, professores da Universidade Federal do Ceará (UFC), Universidade Estadual do Ceará (UECE), alunos do curso de Mestrado e Doutorado da Faculdade de Educação – FACED/UFC, além de graduandos do curso de licenciatura e bacharelado em Matemática da UFC e UECE. (ROCHA, 2008) �

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Atualmente, os instrumentos tecnológicos mais presentes na sociedade, e que se

difundem no meio educacional são os computadores, que munidos de softwares educacionais

– ou até mesmo de editores de textos, planilhas de cálculos e internet - procuram auxiliar no

desenvolvimento intelectual dos sujeitos envolvidos no processo de aprendizagem. Com o

auxílio dessas máquinas, buscam solucionar tarefas propostas pelos professores, cada qual

com seu nível de intimidade com os comandos específicos do software adotado.

2.2. O Conceito Científico de Função Polinomial do Terceiro Grau

Entre os anos 1800 e 1600 a.C., pode-se observar a existência de alguns traços de

problemas matemáticos que envolviam cúbicas. Conforme Boyer (1974), nos manuscritos

babilônicos a tabulação de valores de n3 + n2 para valores inteiros de n entre um e 30, era

considerada uma tabela essencial para a álgebra, pois servia para auxiliar na resolução de

equações da forma x3 + x2 = a8.

É possível reduzir cúbicas da forma ax3 + bx2 = c à forma babilônica normal se

multiplicar tudo por a2/b3, para obter a equação (ax/b)3 + (ax/b)2 = ca2/b3 de incógnita ax/b.

Por exemplo, na equação 2x3 + 3x2 = 540, os métodos babilônicos, provavelmente, eram

assim empregados9:

2x3 + 3x2 = 540 x(4)

8x3 + 12x2 = 2160

(2x)3 + 3.(2x)2 = 2160

Se substituirmos “2x” por “y”, teremos:

y3 + 3y2 = 2160

Se substituirmos “y” por “3z”, obteremos:

27z3 + 27z2 = 2160 ÷(27)

���������������������������������������� �������������������8 Equação na forma babilônica normal.

9 BOYER, Carl. B. História da Matemática.

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z3 + z2 = 80

Em seguida, o procedimento era procurar nas tabelas os valores – ou o valor - de

“z” que tornassem a igualdade verdadeira.

Uma cúbica geral de quatro termos ax3 + bx2 + cx = d, pela resolução de uma

quadrática, pode ser transformada em px3 + qx2 = r, e ser reduzida à forma babilônica normal.

Entretanto, não há indícios de que isso tenha ocorrido naquele tempo.

Não há evidências de que os babilônios fossem capazes de reduzir as equações gerais de quatro termos da forma ax3 + bx2 + cx = d para a sua forma conhecida de três termos. É admirável que eles tenham chegado a esse nível de desenvolvimento matemático, já que sua álgebra é retórica, isto é, todos os cálculos e problemas são expressos através de palavras, o que provavelmente torna o desenvolvimento mais difícil. (LIMA, 1999, p. 26)

Segundo Boyer (1974), na Grécia, por volta de 300 a 200 anos a.C., Apolônio

mostrou que pontos para a parábola y2 = 2px, cujas coordenadas satisfazem a equação cúbica

27py2 = 8(x - p)3, são posições limites do ponto de intersecção de normais à parábola em

pontos p e p’, quando p se avizinha de p’. Ou seja, pontos sobre essa cúbica são os centros de

curvatura para pontos sobre a cônica. Esse interesse dos gregos por equações cúbicas,

segundo Lima (1999), teve como elemento suscitador os problemas relacionados ao volume

de sólidos.

Como exemplo, cita-se o problema da duplicação dos cubos, que consiste em

encontrar a medida da aresta que faça com que o volume aumente o dobro. Conforme Eves

(2005), para solucionar esse problema, Menaecmus10 cria as secções cônicas. Antes dele,

outros geômetras encontraram a solução a partir das idéias de Hipócrates (440 a.C.). Este

afirma que dado um cubo de aresta “a”, se encontrar dois seguimentos x e y tais que a/x = x/y

= y/b, então o cubo tem volume ampliado na razão b/a 11.

Entre os avanços dos matemáticos gregos no que diz respeito às cúbicas ou

questões relacionadas ao cubo, cita-se Diophante (250 a.C.) que tratava de problemas do tipo:

“Encontrar dois cubos cuja soma é um quadrado”, “encontrar dois cubos cuja diferença é um

���������������������������������������� �������������������10 Menaecmus viveu por volta de 350 anos a.C.

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quadrado”, “encontrar dois quadrados cuja soma é um cubo” e “encontrar dois quadrados cuja

diferença é um cubo”. Isso mostra que ele conhecia a expansão da expressão (x±y)3.

Também, por volta do século XVIII e XIX, percebe-se entre os chineses o ápice

da álgebra com o estudo de equações simultâneas e de grau até quatorze. Isso quer dizer que

as equações do terceiro grau também foram alvo de seus estudos, embora de forma breve,

naquele momento histórico.

Os árabes deram contribuições decisivas para o desenvolvimento da matemática12,

e não deixaram de fora o estudo das cúbicas. Omar Khayyam (cerca de 1050 – 1112)

generalizou um método – com uso das cônicas - para cobrir todas as equações de terceiro grau

com raízes positivas13 e, ainda, sugeriu um procedimento para solucionar equações de grau

superior a três.

O processo que Omar Khayyam aplicou tão tortuosamente – e orgulhosamente – às equações cúbicas pode ser anunciado com brevidade muito maior em notação e conceitos modernos como segue. Seja a cúbica x3 + ax2 + b2x + c3 = 0. Então se nessa equação substituirmos x2 por 2py obtemos (lembrando que x3 = x2.x) o resultado 2pxy + 2apy + b2x + c3 = 0. Como a equação resultante representa uma hipérbole, e a igualdade x2 = 2py representa uma parábola, é claro que se traçarmos a parábola e a hipérbole sobre o mesmo conjunto de eixos e coordenadas, então as abscissas dos pontos de intersecção das duas curvas serão as raízes da equação cúbica. (BOYER, 2001, p. 175)

Seu sucessor, o matemático árabe Sharaf al-Din al-Tusi (1201-1274), contribuiu

para os estudos da álgebra que superou o seu predecessor no que diz respeito à inserção de

discussões sobre os motivos que levam às intersecções entre as cônicas estudas.

O matemático Fibonacci (aproximadamente 1170–1240) combinou algoritmos e

lógica para dar tratamento matemático à equação cúbica x3 + 2x2 + 10x = 20 (equação

proposta pelo imperador Frederico II como um desafio à Fibonacci). Como decorrência,

demonstra a impossibilidade da existência de raiz no sentido euclidiano. Isso significa que

���������������������������������������� �������������������12 Al-Karkhî (c. 1020) escreveu um trabalho sobre álgebra chamado de Fakhrî, em homenagem a seu patrono Fakhr al-Mulk, o grão-vizir de Bagdá à época. O problema 1 as Seção 5 dessa obra pede que se achem dois números racionais cuja soma dos cubos seja o quadrado de um número racional. (EVES, 2004, p. 275)

13 A idéia de usar cônicas que se cortam para resolver cúbicas tinha sido usada antes por Menaecmus, Arquimedes e Alhazen.

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não se podem achar raízes exatas com uso da régua e do compasso. Mesmo assim, Fibonacci

chegou a um valor aproximado com nove casas decimais: 1,3688081075 14.

Um estudioso das anotações do árabe Al-Khowarizmi, Gerônimo Cardano (1501

– 1576), esboçou uma solução para equações cúbicas na forma x3 + px = q pela substituição

de x por u – v. Ainda, por manipulações algébricas adequadas15, isola a incógnita pretendida

que transforma numa igualdade em que são atribuídos os valores de “p” e “q”, que faz com

chega-se ao valor de “x”.

Segundo Lima (1999), os bastidores anteriores à publicação de Cardano foram

deveras conturbados. Quem de fato descobriu a solução para equações do tipo x3 + px = q foi

Scipione del Ferro (1465-1526), matemático italiano, que não publicou sua descoberta, pois

na época costumava-se guardar esse tipo de informação para desafiar publicamente seus

colegas. Sua descoberta somente foi apresentada para seus discípulos, Antônio Maria Fior e

Annibale della Nave. Após a morte de del Ferro, Maria Fior desafia o matemático Tartaglia -

Niccoló Fontana (1499 a 1557), que no dia anterior ao debate descobre uma maneira de

resolver equações na forma x3 + px = q, que o faz vencedor na disputa. Passado o evento,

Tartaglia é procurado por Cardano que lhe pede para revelar os segredos da resolução daquele

tipo de equação cúbica. Tal solicitação só atendida na segunda visita, com a condição da não

divulgação. O desfecho dessa história segue na citação abaixo:

Em 1545, quando Cardano publicou Ars Magna, o mundo obteve a solução de mais um problema em mãos, e Tartaglia viu-se lesado pelo autor. Em sua obra, Cardano diz que, apesar de Tartaglia conhecer esse método, todo o crédito deve ser dado a Scipione del Ferro. Cardano consegue que Della Nave lhe mostre as anotações do mestre e, assim, sente-se desobrigado da promessa que fez a Tartaglia. Este ainda tenta desafiar publicamente Cardano, mas quem comparece ao debate é Ludovico Ferrari (1522-1565), um discípulo de Cardano, já ganhando fama de grande matemático. Não há vencedor, pois os dois não chegam a debater, mas sim discutir em público. Hoje conhece-se o método de resolução de cúbicas descoberto por Tartaglia como “Método de Cardano” ou “Fórmula de Cardano”. (LIMA, 1999, p. 30)

A resolução de equações cúbicas, dada por Cardano na sua obra “Ars Magna”,

segundo Eves (2005), adota o seguinte procedimento:

���������������������������������������� �������������������14 Número apresentado na página 29 da obra “O Romance das Equações Algébricas” de Gilberto G. Garbi.

15 Para verificar exemplos e uma discussão mais profunda sobre o método de Cardano aqui citado, consultar a obra “História da Matemática” de Carl Boyer p. 209.�

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Considere a seguinte identidade:

Escolhe-se a e b de modo que 3ab = m, a3 – b3 = n, então x é dado por a-b.

Resolvendo para a e b o sistema formado pelas duas últimas equações obtém-se:

e, assim, determina-se x.

Rafael Bombelli (1526-1572), ao aplicar o Método de Cardano, percebe que a

resolução de equações cúbicas sempre revela, além de raízes reais, outras raízes estranhas.

Isso deu origem aos primeiros esboços de um novo campo numérico, os complexos. Cardano

também havia se deparado com tal situação, mas sem aprofundamento do tema, ao contrário

de Bombelli que, inclusive, estudou formas de operações com esse tipo de número.

Mais tarde, François Viète (1540-1603) sugeriu um novo método para encontrar

as raízes das equações polinomiais de terceiro grau (ou cúbicas). O processo consiste em

reduzir uma equação cúbica para a forma x3 + 3ax = b e inserir uma nova quantidade “y”,

relacionada com “x”, obtendo-se a equação y2 + xy = a. Dessa forma, é possível resolvê-la,

pois se transforma em uma equação quadrática, cujo método de resolução a conhecido a muito

tempo.

René Descartes (1596-1650), ao promover a união geometria/álgebra, dá um

tratamento especial para a determinação de raízes de equações valendo-se de suas

representações geométricas.

[..] se a constante de proporcionalidade no problema de Papusé tomada como sendo essa mesma constante a, então o lugar é dado por (a + x)(a - x)(2a - x) = axy, uma cúbica que Newton mais tarde chamou a parábola ou tridente de Descartes –- x3 – 2ax – a2x + 2a3 = axy. Essa curva aparece repetidamente em La Géométrie, no entanto Descartes não deu em parte alguma um esboço completo dela. Seu interesse pela curva era triplo: (1) obter sua equação como um lugar de Papus, (2) mostrar sua geração pelo movimento de curvas de grau inferior e (3) usá-la por sua vez para construir as raízes de equações de grau superior. (BOYER, 2001, p. 249)

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Outro matemático europeu, Fermat, revelou sua curiosidade referente ao cubo, ao

usar um método para provar que nenhum cubo é igual à soma de outros dois, ou seja, sendo x,

y e z, números inteiros positivos, a igualdade x3 + y3 = z3 não existe.

Isaac Newton (1642 – 1727), entre suas inúmeras contribuições para a física e a

matemática, enumerou setenta e duas das setenta e oito formas que uma curva cúbica pode

assumir, além de enunciar vários teoremas.

Muitos de seus teoremas são apenas enunciados, sem demonstração. O mais fascinante de todos, e também o mais frustrador, é o que afirma que, assim como todas as cônicas podem ser obtidas como projeções centrais de uma circunferência, assim também todas as cúbicas podem ser obtidas como projeções centrais das curvas y2 = ax3 + bx2 + cx + d. Esse teorema permaneceu como um quebra-cabeça até 1731, quando por fim foi provado. (EVES, 2004, p. 440)

Em 1658, Heinrich van Heuraet descobriu que a parábola semi-cúbica ay2 = x3

pode ser retificada por meios euclidianos, o que mais uma vez mostra o fascínio dos

matemáticos ao longo da história por equações cúbicas.

Outros matemáticos, ao estudar a solução de raízes de equações de quinto grau ou

superior, desenvolveram outras formas de resolver equações cúbicas, como foi o caso de

Joseph Louis Lagrange (1736–1813) e, em 1770, Gianfrancesco Malfatti.

Não é intenção dessa pesquisa, navegar pelas contribuições desses grandes

matemáticos na história humana, portanto nos restringimos apenas no registro de seus nomes.

A partir desse momento os acontecimentos históricos darão lugar aos conceitos propriamente

ditos de equações e funções, que servirão de base científica para a análise dos dados

coletados.

Segundo Lima (1999a), uma função f: A � B é constituída por três partes: a

primeira trata-se do conjunto A, definido como o domínio da função, a segunda é o

contradomínio, conjunto B, em que a função toma valores e a terceira é uma regra que

permite a associação de cada elemento x pertencente a A um único elemento f(x) pertencente

a B, chamado o valor que a função assume em x.

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O gráfico de uma função f: A � B é o subconjunto G(f) do produto cartesiano

AxB formado pelos pares ordenados (x, f(x)), em que x pertencente ao conjunto A é

arbitrário, ou seja,

Para Iezzi e Murakami (1993), uma função polinomial é definida por uma

seqüência de números complexos (a0, a1, a2, ..., an) associados a uma função f: C � C dada

por f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn, em que cada elemento a0, a1, a2, ..., an é denominado de

coeficiente e as parcelas a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn são chamadas de termos do polinômio f.

Seja uma função polinomial não nula f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn, chama-se

grau de f, cuja representação é f ou gr f, o número natural p tal que ap � 0 e ai = 0 para todo i

> p, dessa forma o grau de um polinômio f é o índice do último termo não nulo de f.

Dessas definições, infere-se que uma função polinomial do terceiro grau, na sua

forma completa, é representada por f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, com a � 0. Também, pode ser

apresentada nas seguintes formas incompletas f(x) = ax3 + cx + d, f(x) = ax3 + bx2 + d, f(x) =

ax3 + bx2 + cx, f(x) = ax3 + bx2, f(x) = ax3 + d, f(x) = ax3 + cx e f(x) = ax3.

A função f(x) = x3, definida de R em R, que associa cada elemento x pertencente

ao conjunto dos números reais ao seu cubo que também deve pertencer a esse mesmo

conjunto numérico, é tratada da seguinte forma16, conforme Iezzi e Murakami (1993):

���������������������������������������� �������������������16 O esboço gráfico da função f(x) = x3 foi realizado com o auxílio do software geogebra.

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Observa-se, a partir do esboço do gráfico, algumas características:

a) É uma função crescente em R, isto é: ( x1 R, x2 R) (x1 < x2 � (x1)3 <

(x2)3);

b) Tem imagem Im = R, pois, qualquer que seja o y R, existe x R tal que y =

x3, isto é,.

A seguir será analisada a função f: R � R, definida por f(x) = x3 + px + q. Nota-

se que o gráfico ao tocar o eixo x, indica que aquela abscissa é o seu zero. A função

polinomial do terceiro grau apresenta no máximo três raízes reais e distintas. Esse assunto

será discutido, posteriormente, em um espaço destinado ao estudo das raízes desse tipo de

função.

Uma análise dos gráficos possíveis para f(x) = x3 + px + q e suas decorrências,

segundo Lima (1987), observa-se:

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�

a) Quando p>0 teremos uma única raiz real e duas complexas conjugadas. Como

exemplo, será traçado17 o gráfico da função f(x) = x3 + 2x + 1, que apresenta uma raiz

real negativa.

b) Quando p=0 e q�0, tem-se uma raiz real e duas complexas. O gráfico da função f(x) =

x3 - 1, é um exemplo e apresenta como solução uma raiz real positiva.

���������������������������������������� �������������������17 Todos os gráficos desse texto foram traçados com o auxílio do software geogebra.

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c) Quando p = 0 e q = 0, tem-se uma raiz tripla real (igual a zero). Um exemplo é o

gráfico da função f(x) = x3 em que é possível observar que a curva intercepta o eixo x

na origem.

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d) Quando p<0, a função pode apresentar: uma raiz real e duas complexas, uma raiz real

simples e uma dupla ou três raízes reais distintas. A seguir os esboços gráficos dos três

casos, respectivamente.

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Portanto, a função x3 + px + q = 0, com p<0, tem ponto de mínimo e de máximo

relativo, consequentemente, ora decresce e, por conseguinte, passa novamente a crescer.

Outra questão a considerar são os zeros de uma função polinomial do terceiro

grau. Se for completa, quando é feita a substituição de x, em f(x), por “0” (zero), ou seja, f(x

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= 0), chega-se à equação ax3 + bx2 + cx + d = 0, que ao se aplicar algum método disponível na

literatura – conforme a disposição dos dados na equação – obtém-se os valores das raízes.

A toda igualdade da forma P(x) = a0xn + a1x

n-1 + ... + an-1x + an = 0, obtida igualando um polinômio inteiro a zero, chama-se uma equação algébrica; o grau do polinômio diz-se grau da equação. Por exemplo: x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0 é uma equação algébrica do grau 3. (CARAÇA, 1984, p. 143).

Ainda sobre o valor numérico de um polinômio e sua raiz, pode-se, segundo Iezzi

(2000), afirmar que se for dado um número complexo “a” e o polinômio f(x) = a0 + a1x + a2x2

+ ... + anxn, chama-se o valor numérico de f em “a” a imagem de “a” pela função f, isto é, f(a)

= a0 + a1a + a2a2 + ... + anan. Em particular, se “a” é um número complexo e f é um polinômio

tal que f(a)=0, dizemos que “a” é um zero de f.

Retomamos a uma das formas – apresentada anteriormente - de se encontrar a raiz

da equação do terceiro grau:

Vale lembrar que fica definida uma raiz dessa equação x = a + b. Lima (1987),

destaca o radicando D = (n/2)² + (m/3)³ ou D = n2/4 + m3/27 – nota-se que foram

determinadas as potências da fórmula - e mostra que: se D>0, a equação tem uma raiz real e

duas raízes complexas conjugadas; se D=0, obtém-se três raízes reais, sendo uma repetida; e

se D<0 todas as raízes são reais e distintas.

Quando D<0, a fórmula exprime x = u + v como soma de duas raízes cúbicas de números complexos. No entanto, é este o caso em que a equação possui três raízes reais distintas. Este é chamado tradicionalmente o “caso irredutível” porque, ao tentar eliminar os radicais, recai-se noutra equação do terceiro grau. (LIMA, 1987)

Em nosso trabalho optamos em usar as letras “a” e “b” ao invés de “u” e “v”,

apenas por conveniência, mantendo o mesmo significado dos textos originais.

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2.3 A Psicologia Histórico-cultural

A psicologia histórico-cultural parte do princípio que o ser humano é produto e

produtor de uma sociedade formada por grupos, castas e costumes, cada qual com suas

tendências culturais. Quando analisado o espaço-tempo evolutivo desse ser histórico ou

comunidades diferentes, podem ser observadas características distintas e, ao mesmo tempo,

traços universais entre elas.

Em outras palavras, os traços sociais universais são a presença da divisão do trabalho, da organização social, da linguagem e do uso de instrumentos, à parte de quaisquer qualidades específicas que tenham em determinada sociedade. (RATNER, 1995, p. 98)

No presente estudo, por exemplo, consideramos os alunos neles envolvidos que,

mesmo estudando em uma mesma Universidade e em um mesmo curso, pertencem a

comunidades diferentes, marcadas por peculiares níveis potenciais do intelecto dos sujeitos

nelas imersos. Essa compreensão pode ser decisiva para vislumbrar a co-existência de seres

humanos mais “humanos” do que outros, ou seja, mais afastados dos seus antepassados

primitivos.

Portanto, nessa abordagem psicológica, o ser humano é entendido como um ser

que possui consciência da sua historicidade entende o presente, procura se aprofundar nas

produções científicas e com possibilidades de contribuir para o futuro. A evolução da

sociedade e, consequentemente, do homem se deu historicamente pelo aperfeiçoamento de

suas relações de trabalho.

O instrumento de trabalho e o signo lingüístico objetivizam a relação homem-natureza e homem-homem, sendo produtos sociais tanto pela sua origem (plasmados por incontáveis gerações anteriores), quanto pelo seu uso. Com eles a transmissão da experiência de uma geração a outra deixa de ser biológica (genética) e passa a ser sociocultural. (DAMASCENO; GUERREIRO, 2000, p. 17)

Pelo uso de instrumentos e, portanto de atividades mais elaboradas, o ser humano

sentiu a necessidade de se comunicar com o outro – desenvolvimento da linguagem -, pois

dessa forma ,a realização do trabalho seria mais produtiva, ou ainda, o que não era possível

fazer sozinho. Com auxílio do outro, isto é, com a necessidade da divisão técnica do trabalho,

as ações humanas se tornam realizáveis. Consequentemente, surge à expansão do

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conhecimento do sujeito, o desenvolvimento de novas habilidades e aprendizagem de novos

conceitos.

A fala possui um papel fundamental na organização das funções superiores.

Muitas experiências foram realizadas com macacos antropóides para verificar como eles

utilizavam instrumentos e, diferentemente dos seres humanos, pode-se perceber que não

entendiam, nem operavam com símbolos ou signos. Ou seja, os animais seriam incapazes de

“imaginar” que um pedaço de pau poderia se tornar um cabo de uma enxada, que um

indivíduo teria visto dias atrás por uma pessoa.

Em seus experimentos clássicos com macacos, Kohler demonstrou a inutilidade da tentativa de se desenvolver em animais as formas mais elementares de operações com signos e simbólicas. Ele concluiu que o uso de instrumentos entre macacos antropóides é independente da atividade simbólica. (VIGOTSKY, 1994, p. 31)

É pelas relações sociais (uso da fala e outras linguagens) e com a utilização de

instrumentos que o homem, diferentemente dos outros animais, se desenvolve e perpetua sua

cultura para seus descendentes.

Na abordagem histórico-cultural, ao se falar em desenvolvimento humano, é

imprescindível dizer que Vygotsky dedicou-se ao estudo do desenvolvimento das funções

psicológicas superiores. Ele criou o conceito de Zona de Desenvolvimento Proximal, para o

qual dediquei a subseção, a seguir.

2.3.1 Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP)

O desenvolvimento do sujeito tem vinculação com o lugar que ocupa no contexto

da atividade social. Uma das características fundamental é que na atividade humana – interna

e externa - ocorre um processo de aprendizagem que, segundo Vygotsky, acontece na relação

com o outro, mediada por instrumentos psicológicos. Estes podem ser representados

materialmente, como um nó em um lenço para lembrar algo a fazer, ou ainda não se

materializar, como é o caso da linguagem.

Na vida escolar – e também cotidiana – os indivíduos humanos se deparam com

problemas que conseguem resolver sozinhos, mas existem momentos em que há necessidade

de interações com outra pessoa que os ajude, caso contrário não encontra meios para atingir o

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fim necessário. Vygotsky concentrou boa parte dos seus esforços no estudo dessa relação. Diz

que, a partir do momento em que o sujeito que resolve um determinado problema apenas com

a ajuda de outrem, passa a resolvê-lo sozinho, posteriormente. Isso significa dizer que o

indivíduo se desenvolve em um processo de aprendizagem que necessitou da interação com o

outro, mediado por instrumentos e conhecimentos.

Para Vygotsky (2001), o desenvolvimento tem vínculos com o processo de uso de

ferramentas intelectuais, em interação social com outros mais experientes. Uma dessas

ferramentas é a linguagem. “A essa luz, a interacção social mais efetiva é aquela na qual

ocorre a resolução de um problema em conjunto, sob a orientação do participante mais apto a

utilizar as ferramentas intelectuais adequadas.” (FINO, 2001, p. 277)

Quando o indivíduo consegue desenvolver algo sozinho, Vygotsky diz que ele está em

um nível de desenvolvimento real, ou seja, não precisa realizar esforço extra, ou ainda, se

apropriar de novos conceitos para obter sucesso na resolução do seu problema. Afinal de

contas, o que ele sabe é suficiente para garantir a execução da tarefa com êxito. Caso o sujeito

necessite de outro indivíduo que tenha passado por experiências similares e, conjuntamente,

possam solucionar a situação problema, é indicativo de que ele encontra-se em outro nível

intelectual. Ou seja, há um esforço do sujeito que, com seu par, consegue realizar a tarefa, o

que individualmente não conseguiria realizar. Nessas circunstâncias, diz-se então, segundo a

teoria de Vygotsky, que o sujeito está em um nível intelectual denominado de zona de

desenvolvimento chamada potencial.

A distância entre as duas zonas de desenvolvimentos mencionadas é conhecida como a

zona de desenvolvimento proximal (ZDP).

Os estudos vygotskianos levaram-no a estabelecer, não apenas o limite inferior, chamado nível de desenvolvimento real – quando um sujeito resolve sozinho uma tarefa – mas, também, um superior, nível de desenvolvimento potencial – quando o sujeito resolve problemas com a ajuda do professor ou de colegas experientes, compondo o sistema conceitual do que foi designado por Zona de Desenvolvimento Proximal – ZDP.(ANGOTTI; FROTA, 2002, p. 01)

Em outra situação, como diz Vigotski (2001), ao compararmos dois indivíduos de

mesma idade cronológica, mas de idade mental diferente, podemos dizer que a diferença entre

as idades mentais é o que chamamos de zona de desenvolvimento proximal. Ou seja, ela é a

distância entre a zona de desenvolvimento real ou atual (quando o indivíduo soluciona seu

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problema sozinho) e a zona de desenvolvimento potencial (em que o indivíduo consegue

resolver seus problemas em parceria com um companheiro mais capaz).

A zona de desenvolvimento potencial de um determinado estágio passa ser a zona

de desenvolvimento real em momento posterior, ou seja, o que hoje o indivíduo consegue

fazer com auxílio de outrem, amanhã ele fará sozinho.

Se dermos por boa, mesmo que provisoriamente, a tese que a aprendizagem não segue simplesmente o desenvolvimento, mas que é, pelo contrário, aquilo que o impulsiona, como sustentava Vygotsky, será justamente essa aprendizagem que se dá a partir dos desenvolvimentos já estabelecidos – ou seja, a aprendizagem que se produza partindo de uma ZDA (Zona de Desenvolvimento Atual) -, até alcançar os limites de autonomia possível a partir desta base, definidos pela ZDP (Zona de Desenvolvimento Próximo), o que nos permitirá desvendar a estrutura e características da aprendizagem humana. (ALVAREZ; DEL RÍO, 1996, p. 96)

Portanto, os estudos de Vygotski indicam que em determinados momentos existem

funções em estado de dependência na zona de desenvolvimento proximal, mas em ambiente

social marcadamente colaborativo elas passam para estado independente. Vale expressar a

definição de ZDP nas próprias palavras de Vygotski (1993, p. 239):

As divergências entre a idade mental e o nível de desenvolvimento real que se determina com ajuda das tarefas resolvidas de forma independente, e o nível que alcança a criança ao resolver as tarefas, não por sua conta, mas em colaboração, é o que determina a zona de desenvolvimento proximal.

Dessa forma, o conceito de zona de desenvolvimento proximal traz, entre outras,

uma implicação significativa para o processo educativo escolar, qual seja: as proposições

didáticas para o ensino e aprendizagem de um determinado conceito devem atender as

delimitações do campo das graduações e das possibilidades do aluno.

No que diz respeito a questões práticas relacionadas à educação e aprendizagem,

Vygotski (1996, p. 265-272) estabelece duas tarefas básicas com teor de diagnóstico. A

primeira é estabelecer o nível real de desenvolvimento, ou seja, os seus frutos, aquilo que

atingiu determinado nível de maturação intelectual, consequência da culminância de um ciclo.

Entretanto, esse tipo de diagnóstico não diz tudo, por isso entra em cena a segunda

tarefa: determinar a zona de desenvolvimento proximal. Assim sendo, dirigir-se-á a atenção

para os processos em estado de maturação. Nesse caso, o diagnóstico tem um sentido de

esclarecimento das possibilidades dos estudantes para realizar suas ações de aprendizagem em

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colaboração e, ao mesmo tempo, é estabelecido à área das funções intelectuais em processo de

maturação que culminarão no próximo estágio de desenvolvimento.

Como diz Vygotski (1996, p. 268): “ao investigar o que uma criança pode fazer

por si mesma, investigamos o desenvolvimento do dia anterior, porém quando investigamos o

que pode fazer em colaboração, determinamos o seu desenvolvimento de amanhã.” E

reafirma: “A esfera dos processos imaturos, porém em via se maturação, configura azona de

desenvolvimento proximal”

Observa-se, então, que o conceito de ZDP requer dupla disposição: a do aluno para

aprendizagem de algo que tem condições e a do professor para auxiliá-lo. Como diz Damazio

(2000, p.59):

Assim, a zona de desenvolvimento proximal é à disposição de uma pessoa para a aprendizagem, com a presença de alguém com quem estabelece interlocução. A disposição explicita a atividade da pessoa que, por sua vez, está sendo impulsionada pela vontade que manifesta, implicitamente, um motivo, um objetivo e um fim.

O mesmo autor diz que, na escola, a ZDP se constitui em um grupo de estudantes,

desde que a característica fundamental e indispensável ao perfil do professor seja “a

compleição para a cooperação, isto é, a disposição para ajudar e desenvolver mediações

pedagógicas”.

Nesse contexto, outro predicado exigido ao processo pedagógico é a visão

prospectiva, pois segundo Vygotski (1993, p.242), “o ensino deve orientar-se não pelo ontem,

mas pelo amanhã do desenvolvimento do aluno”. Isso porque o desenvolvimento é

direcionado pela instrução, com foco para os conceitos científicos que, se apropriados, dão

subsídios para a ascensão dos conceitos cotidianos elaborados nas ações executadas fora da

escola.

É na relação entre conceitos cotidianos e conceitos científicos que Leontiev

discute as zonas de desenvolvimento e as define como sendo “o grau em que a criança domina

os conceitos cotidianos mostra seu nível presente de desenvolvimento, enquanto o grau em

que adquire conceitos científicos mostra a zona de desenvolvimento proximal”. (apud

DAMAZIO, 2000, p.60).

Dessa forma, a aprendizagem precede o desenvolvimento, e que a mesma ocorre

pelo alargamento da zona de desenvolvimento proximal do sujeito. Como diz Vygotski (1993,

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p. 243), a instrução escolar só tem sua razão de ser, isto é, frutífera, “se atender aos limites do

período que determina a zona de desenvolvimento proximal.” Nesse caso, ela faz despertar as

funções em estado de maturação.

Percebe-se também que a aprendizagem dá-se no meio social, pela relação do

sujeito com o meio e seu par mais experiente. Dito de outra forma, a aprendizagem ocorre

quando o indivíduo, mediado pelo uso de instrumentos psicológicos e com o auxílio de outro

sujeito, consegue realizar determinada tarefa ou resolver determinado problema.

Na próxima subseção tratarei do conceito de mediação na teoria histórico-cultural

e também dos tipos de mediação existentes e sua implicação no desenvolvimento intelectual

do sujeito na busca da hominização.

2.3.2 Mediação

De acordo com Vigotski (2001), percepção, memória e pensamento são as funções mentais

superiores, porque necessitam das relações sociais, que são desenvolvidas pelo homem nas interações

com o meio sociocultural, mediadas por signos. Em seu processo interativo, o ser humano, ao

executar sua atividade intelectual, primeiramente interna e depois externa, consegue expandir

seu intelecto com o uso de um instrumento mediador e com ajuda do outro. Dessa forma,

relação sujeito-objeto é mediada social e semioticamente. Pino (2001, p. 41) destaca o papel mediador

da linguagem no processo de apropriação cultural e chama a atenção para o fato de que:

Não é na mera manipulação de objetos que a criança vai descobrir a lógica dos conjuntos, das seriações e das classificações; mas é na convivência com os homens que ela descobrirá a razão que os levou a conceber e organizar dessa maneira as coisas. Evidentemente, nesse processo de apropriação cultural o papel mediador da linguagem (a fala e outros sistemas semióticos) é essencial.

Uma interpretação do conceito vigotskiano de mediação é dada por Oliveira (2002),

quando diz que se trata da intervenção de um elemento em uma relação que deixa de ser

direta. Nesse mesmo contexto teórico, Pino (1991, p.32) diz que, em sentido amplo: “a

mediação é toda a intervenção de um terceiro ‘elemento’ que possibilita a interação entre os

‘termos’ de uma relação”. Acrescenta:

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Os processos mediadores multiplicam-se na vida social dos homens, em razão, sobretudo da complexidade das suas relações sociais. Diferentemente dos animais, sujeitos aos mecanismos instintivos de adaptação, os seres humanos criaram instrumentos e sistemas de signos cujo uso lhes permite transformar e conhecer o mundo, comunicar suas experiências e desenvolver novas funções psicológicas. (PINO, 1991, p. 33).

Alvarez e Del Rio (1996, p. 84) analisam o conceito de mediação na ótica

vygotskiana e estabelecem dois tipos: social (principalmente a semiótica como a linguagem) e

instrumental (uso de instrumento). Entretanto, há uma relação de convergência entre ambas:

[...] a mediação instrumental converge para outro processo de mediação, que a torna possível, e sem o qual o homem não haveria desenvolvido a representação externa com instrumentos. Vygotsky distingue entre a mediação instrumental interpessoal, entre duas ou mais pessoas que cooperam em uma atividade conjunta ou coletiva, o que constrói o processo de mediação, que o sujeito passa a empregar mais tarde como atividade individual.

Para Vygotsky, a mediação assume um papel fundamental na aprendizagem e é

condição para que haja a internalização de conceitos, pelo sujeito. Este, na qualidade de ser

social está em constantes possibilidades de entrar em um estado de aprendizagem ao estar em

interação com outras pessoas, mediada por instrumentos psicológicos, entre eles os conceitos.

Alvarez e Del Río (1996, p. 96) fazem a seguinte interpretação do que Vigostki

denomina de instrumentos psicológicos:

[...] todos aqueles objetos cujo uso serve para ordenar e reposicionar externamente a informação, de modo que o sujeito possa escapar da ditadura do aqui e agora, utilizando sua inteligência, memória ou atenção, no que poderíamos chamar de uma situação de situações, uma representação cultural dos estímulos que podemos operar, quando queremos tê-los em nossa mente, e não só quando a vida real nos oferece.

A posição de Vygotsky é totalmente adversa à posição comportamentalista

skneriana de programação de um estímulo forçado e proposital para que um determinado

indivíduo emita uma resposta correspondente. Seu entendimento é de que os estímulos são

produzidos socialmente a partir de necessidades concretas.

Vygotsky, ao explicar seu entendimento de mediação simbólica, adotou como

referência a invenção e ao uso de instrumentos que, segundo a sua base teórica - materialismo

histórico-dialético - foi um dos fatores determinante para o surgimento do gênero humano.

Por exemplo, cita um nó em um lenço, o mediador, como forma do sujeito

lembrar que possui algo a realizar gerado por um estímulo/necessidade em um momento

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anterior. Isso ocorre pela característica do ser humano usar sua inteligência para se relacionar

de forma mútua e transformadora com a realidade. Atualmente, pode-se perceber como

instrumentos psicológicos a agenda (seja ela eletrônica ou não), o celular na sua função

“despertador”, que lembra o sujeito de algum compromisso, ou ainda de uma medicação que

precisa ser ingerida em determinado momento, entre outros.

Vygotsky (1996) apresenta também como instrumentos psicológicos os sistemas

de signos que são definidos como: “o conjunto de instrumentos fonéticos, gráficos, táteis, etc.,

que constituímos como grande sistema de mediação instrumental: a linguagem.”

Oliveira (2002, p. 30) contribui na interpretação dos pressupostos de Vygotski:

A invenção e o uso de signos como meios auxiliares para solucionar um dado problema psicológico (lembrar, comprar coisas, relatar, escolher, etc.) é análoga à invenção e uso de instrumentos, só que agora no campo psicológico. O signo age como um instrumento da atividade psicológica de maneira análoga ao papel de um instrumento no trabalho. Os instrumentos, porém, são elementos externos ao indivíduo, voltados para fora dele; sua função é provocar mudanças nos objetos, controlar processos da natureza. Os signos por sua vez, também chamados por Vygotsky de “instrumentos psicológicos”, são orientados para o próprio sujeito, para dentro do indivíduo; dirigem-se ao controle de ações psicológicas, seja do próprio indivíduo, seja de outras pessoas. São ferramentas que auxiliam nos processos psicológicos e não nas ações concretas, como os instrumentos.

Embora a mediação instrumental se articule com o conceito de instrumento

psicológico, ela é apenas o início do que Vygotsky irá chamar de mediação para o

alargamento da ZDP. Vale salientar que a linguagem é um instrumento psicológico e seu uso,

em um momento de aprendizagem, ocorrerá somente por meio da relação com o outro mais

experimentado, que proporciona o desenvolvimento do intelecto do sujeito menos experiente.

No momento em que aparece o outro nas interações interpessoais, que ocorre a mediação

social galgada em falas com significações conceituais, com convergência da mediação

instrumental. Sendo assim, os instrumentos psicológicos se constituíram no processo de

afastamento do homem primitivo, isto é, no processo de hominização.

As escolas e universidades são locais onde se discute conhecimento científico e,

portanto, exige esforço intelectual dos sujeitos. No processo de apropriação das significações

conceituais historicamente produzidas e sistematizadas pela humanidade - isto é, no processo

de ensino e aprendizagem - é que se constituem ZDP e, portanto, o desenvolvimento

intelectual dos estudantes. Dessa forma, os educandários são locais que proporcionam a

mudança e o desenvolvimento de instrumentos psicológicos.

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Da mesma forma, para Vygotski, a instrução é uma atividade humana necessária ao

processo de desenvolvimento intelectual. Assim, no processo pedagógico, é fundamental o

papel da mediação para a internalização das trocas sociais entre professores e alunos com teor

conceitual.

Ou seja, são pelas mediações que o aluno adquire os instrumentos psicológicos

transformadores das suas funções mentais. Na escola, as interações professor-aluno têm uma

característica fundamental: são mediadas por conceitos.

Os elementos didáticos (cartazes, materiais instrucionais, livros, cadernos, lápis,

computador) são elementos de mediação, pois com eles o professor, via linguagem, promove

o diálogo que propícia aos alunos à análise e a síntese referentes ao conceito em

aprendizagem. Neste caso, o papel exercido pelo professor caracteriza a mediação social.

2.3.3 O Processo da Formação de Conceitos

Nos primeiros anos de vida, o sujeito passa a maior parte do tempo em um

contexto familiar e, aos poucos, amplia seus espaços para as proximidades da residência e

mais adiante se insere na escola. O adolescente ganha o mundo pela expansão do meio físico

e, consequentemente, social que possibilita e exige-lhe a transitar em um ambiente amplo de

desafios e muitas trocas – com o outro e com o meio – isto é, passa a participar ativamente da

produção cultural.

Segundo Vigotski (1993), a metodologia tradicional para o estudo da formação de

conceitos se divide em dois grupos. O “método da definição” é característico do primeiro

grupo, sendo muito usado para a investigação de conceitos que se formaram pelo estudo da

definição verbal anunciada pelo investigado, ou seja, é um método centrado no que o

indivíduo sabe – produto. Portanto, deixa o processo fora da análise e ainda não leva em

consideração a origem do conceito na sua relação com o meio, ficando apenas “a palavra pela

palavra”.

O segundo grupo abrange métodos relativos ao estudo da abstração pela

percepção de algum traço comum em uma série de impressões concretas. Também não leva

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em consideração o uso de símbolos e signos (palavra), o que de fato acaba tornando o estudo

incompleto.

Um novo método – sintético-genético - desenvolvido e experimentado combina o

material que serve de base para a formação do conceito e a palavra pela qual ele surge. Esse

método pode ser aplicado à criança, ao adolescente e adulto, por não pressupor nenhum

conhecimento anterior. Aqui, o conceito é entendido como sendo dinâmico e parte ativa do

processo intelectual do sujeito. Nesse método, é percebido que a simples memorização de

palavras não garante a formação de conceitos, o que de fato deve ocorrer é que um problema

tem que ser lançado de tal maneira que apenas a formação de um novo conceito o tornará

solúvel.

De acordo com Vygotski (1993), os estudos que adotaram o método sintético-

genético superaram a concepção mecanicista de formação conceitual. Porém, não

conseguiram revelar a efetiva natureza genética, funcional e estrutural, além do que a

explicação para a formação das funções psicológica superiores é puramente teleológica. As

afirmações garantem que o objetivo, com o auxílio das tendências determinantes, é o gerador

de uma atividade correspondente voltada para um fim. Além disso, o problema em si contém

a solução.

Vygotski (1993) chama seu processo de estudo da formação de conceito de

“método funcional de dupla estimulação”, por adotar duas séries de estímulos: uma

desempenha a função do objeto da atividade do sujeito experimental; a segunda, a função dos

signos por meio do qual a atividade se organiza.

Embora as crianças, os adolescentes e os adultos possam solucionar um mesmo

problema, eles o fazem internamente de maneira diferente. Isso significa dizer que o processo

do pensamento, em cada uma das três fases do desenvolvimento humano, opera de maneira

distinta e evolutiva. O uso da palavra – signo essencial na formação de conceitos – pode

processar-se internamente de maneira distinta, mas convergir para o mesmo objeto concreto, o

que proporciona a comunicação entre a criança, o adolescente e o adulto. Vygotski (1993, p.

40-50) salienta:

[...] o desenvolvimento dos processos que finalmente resultam na formação de conceitos começa na fase mais precoce da infância, mas as funções intelectuais que, numa combinação específica, formam a base psicológica do processo da formação de conceitos amadurece, se configura e se desenvolve somente na puberdade.

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Mas esse processo, segundo Vygotski (1993), não é mecanicamente sucinto,

construído pela transição gradual do concreto ao abstrato. Pelo contrário, ele é marcado tanto

pelo duplo movimento de cima para baixo, do geral e do particular e do topo da pirâmide para

a base quanto do processo inverso, isto é ascensão aos apogeus do pensamento abstrato.

Mas como se inicia e de que forma ocorre a formação do pensamento conceitual?

A formação de conceitos inicia-se em uma fase tenra da infância, em que a criança

começa a agrupar objetos de forma desorganizada, sob o significado de uma determinada

impressão ocasional. Essa fase é conhecida como fase do pensamento sincrético18. Mais tarde,

ele passa a agrupar objetos segundo algumas características que lhe vem à mente. Esse tipo de

pensamento de nível muito mais avançado do que a anterior é chamado de “pensamento por

complexos”. A criança pensa concretamente e factualmente, ou seja, os objetos pertencerão a

determinado grupo, se possuírem alguma característica concreta que os assemelhe, por

exemplo, a cor, a forma. Ou ainda, se algum fato ocorrer que faça com que o objeto pertença a

esse grupo, por exemplo, o fato de o pai pintar o brinquedo antes azul, de amarelo fará com

que a criança reagrupe o brinquedo ao grupo dos brinquedos amarelos. Ainda nessa fase, a

criança pode agrupar objetos não semelhantes, mas com características complementares,

como por exemplo, a louça do café, composta pela xícara, pires e colher.

A criança, no decorrer da formação da sua coleção de objetos agrupados de

acordo com a cor, na ação do agrupamento, pode ter sua atenção voltada para as formas, passa

a reunir objetos não mais pela cor e sim pela forma. Essa mudança de atenção ainda pode

ocorrer outras vezes durante o desenvolvimento da atividade. Esse tipo de pensamento é

conhecido como complexo em cadeia.

Também, pode escolher objetos com características ainda mais subjetivas, como

colecionar objetos pontiagudos, colocando em um mesmo grupo triângulos, trapézios e

paralelogramos, por exemplo. Esse tipo de pensamento é chamado complexo difuso.

O estágio final e mais elevado desenvolvido no pensamento por complexos é a

formação de pseudoconceitos, o que de fato é muito diferente do pensamento conceitual, mas

sem a sua existência a criança não chegaria a dar o salto qualitativo para a verdadeira

formação de conceitos.

���������������������������������������� �������������������18 Claparède deu o nome de “sincretismo” a esse traço bem conhecido do pensamento infantil.

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É fato que os estudos experimentais para a indução da formação de conceitos não

traduzirão como isso ocorre espontaneamente na vida real do sujeito. Entretanto, servirá como

base de comparação e análise. Também, vale ressaltar que as fases aqui relatadas, segundo

Vigotski (1993), só puderam ser anunciadas graças a experimentos, dado que na vida real a

formação de complexos ocorre muitas vezes de forma mista.

O pensamento por complexos é o berço da lingüística, por indicar que as palavras,

no decorrer da evolução humana, mudam o seu significado, muitas vezes, para coisas muito

diferentes.

Coisas tão diferentes como uma costura, um canto19, o crepúsculo e 24 horas são agregadas num único complexo ao longo da evolução de uma palavra, da mesma forma que a criança incorpora coisas diferentes em um grupo com base na formação concreta de imagens. (VIGOTSKI, 1993, p. 64)

As mudanças de significado ocorrem sempre atreladas a situações ou objetos

concretos, mas com o passar do tempo, a imagem que deu origem à palavra tende a

desaparecer, restando na mente humana o seu real conceito.

O pensamento por complexos não é exclusivo das crianças, pois os adultos

recorrem, muitas vezes, a ele também, por meio de relações fortes com o concreto, desviando-

se assim do pensamento conceitual.

A formação de conceitos ocorre, portanto, em três etapas distribuídas ao longo da

formação do indivíduo, que são a fase do pensamento sincrético, a do pensamento por

complexos e, finalmente, a formação conceitual propriamente dita. Embora a formação de

conceitos seja dependente da fase do pensamento por complexos, existe outra raiz,

independente desta, que se origina muito antes de ser concluída a fase do pensamento por

complexos, observada nos experimentos de Vigotski (1993). Isso ocorre quando a criança

consegue agrupar objetos pelo maior número de características semelhantes possíveis, porém,

ainda de maneira muito arraigada ao concreto. Portanto, com níveis de abstração ínfimos, que

demonstra a incapacidade de realizar as operações de análise e síntese nesse tipo de

pensamento (por complexos). Gera, inicialmente, os pseudoconceitos e, posteriormente, os

conceitos potenciais.

���������������������������������������� �������������������19 Nesse caso, a palavra “canto” refere-se à junção de duas paredes�

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Todos os seres humanos tendem a viver a fase da adolescência de forma plena, a

não ser que sofram de alguma patologia que lhes privem do desenvolvimento orgânico ou

intelectual, ainda que parcialmente. Se assim for, a fase da adolescência fica condicionada a

acontecer de maneira especial de acordo com a patologia manifestada. A fase da adolescência,

vivida de forma plena, permite o reconhecimento do sujeito como um ser pensante e que se

encontra em um processo de formação da personalidade, posição reforçada por sua conduta

perante os outros, sendo esta atrelada à sociedade e época em que vive.

De acordo com Vygotski (1996), o adolescente possui características peculiares, o

que o torna um indivíduo reflexivo que se manifestam em suas indagações, muitas vezes

intrapessoais, sobre: política, regime social, ciência, natureza, religião (De onde vim? Quem

sou? Para onde vou? São indagações clássicas), ciências e matemática (embora não se

apropriem tão facilmente dos conceitos). Outrossim, cabe nesse contexto, um sujeito

contraditório, pois a cada conteúdo novo estabelece uma relação reflexiva com uma forma de

pensar sobre ele. Ainda é característico do adolescente o romantismo nas idéias, a

manifestação do seu pensamento com alternativas geralmente objetivas, que é superado com o

desenvolvimento do pensamento dialético, ao término da fase conceitual.

É na adolescência que as estruturas intelectuais adquiridas ao longo da infância

cedem espaço a novas estruturas, pressupondo uma maturação intelectual do indivíduo, que

fará com que ele vislumbre o mundo de forma diferente, com uma nova percepção. Nessa

fase, o uso da linguagem e do pensamento será tratado de uma maneira mais afastada do

sensório-direto e do visual-direto – característicos da fase sincrética e do pensamento em

complexo que, segundo Vygotski, caracterizam o desenvolvimento intelectual infantil.

Dessa forma, abrem-se, na adolescência, as possibilidades de aproximação do

pensamento abstrato que o capacita para operar com conceitos. Ou seja, o adolescente que na

infância havia superado a fase sincrética e passou operar por complexo, passa agora a operar

por conceitos.

Mas o que é conceito?

El concepto, como ya hemos dicho, es el reflejo objetivo de las cosas em sus aspectos esenciales y diversos; se forma como resultado de la elaboración racional de las representaciones, como resultado de haber descubierto los nexos y las relaciones de dicho objeto con otros, incluye en si, por tanto, un largo proceso de pensamiento y conocimiento que, diríase, está concentrado en él. (VYGOTSKI, 1996, p. 81)

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De acordo com Vygotski (1996), o pensar por conceitos, abre para o adolescente o

mundo da consciência social e objetiva e, também, da ideologia social. Nessa fase do

desenvolvimento intelectual humano entram em transição os costumes, regras de conduta,

inclinações, ideais, que antes eram externos, e passam a ser internos, próprios do sujeito. Com

tais internalizações, o adolescente consegue executar novas ações antes inexecutáveis. Além

disso, passa a compreender – consequência de um longo e complexo processo de

desenvolvimento do pensamento - plenamente os conceitos científicos, das artes e cultura, até

então tangenciados por noções marcadamente cotidianas e empíricas.

A formação de conceitos é o que de fato qualifica a fase da adolescência,

momento em que é percebido o desenvolvimento do pensamento abstrato e o surgimento da

autoconsciência. Vygotski (1996) diz que a formação de conceitos é justamente o núcleo

fundamental que aglutina todas as trocas que produzem o pensamento do adolescente, que não

ocorre na fase da infância.

Os conceitos verdadeiros surgem quando há o domínio do pensamento abstrato,

que, geralmente, ocorre na fase da adolescência, não indicando o abandono total das formas

primitivas de pensamento.

Segundo Vygotski (1993), o adolescente forma e utiliza o conceito em uma

situação concreta, mas tem dificuldade de explicá-lo verbalmente - essa discrepância também

ocorre com o adulto – e ainda de usá-lo em uma situação diferente daquela que o originou.

A maior dificuldade é a aplicação de um conceito, finalmente apreendido e formulado a um nível abstrato, a novas situações concretas que devem ser vistas nesses mesmos termos abstratos – um tipo de transferência que em geral só é dominado no final da adolescência. A transição do abstrato para o concreto mostra-se tão árdua para o jovem como a transição primitiva do concreto para o abstrato. (VIGOTSKI, 1993,p. )

A capacidade de atenção, a abstração de determinados traços, a síntese e a

representação por meio de um signo, caracterizam a formação de um conceito, formado por

processos complexos, não como um processo estático, e sim como um movimento do

pensamento que oscila entre o geral e o particular.

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3. IMPRESSÕES INICIAIS DOS ACADÊMICOS SOBRE FUNÇÕES POLINOMIAIS

DO TERCEIRO GRAU

Como mencionado na seção referente à metodologia, inicialmente aplicamos um

questionário – que foi respondido individualmente e sem auxilio do pesquisador - aos

acadêmicos. O instrumento continha questões que proporcionavam a obtenção de dados

referentes a aspectos socioeconômicos e também sobre as funções polinomiais do terceiro

grau, que serão referenciados no presente capítulo.

Assim, o foco é a análise das evidências das respostas referentes às indagações

que visavam obter o entendimento dos estudantes sobre funções polinomiais do terceiro grau.

Portanto, o objetivo é identificar a manifestação do nível real de desenvolvimento de cada

acadêmico, que segundo Frota (2002) é aquilo que o sujeito consegue realizar sozinho.

O pressuposto é de que na universidade os alunos, até aquele momento, ainda não

haviam tido contato com a função polinomial do 3º grau. Caso eles o tivessem,

provavelmente, seria oriundo do ensino fundamental ou médio. Entretanto, tinham algum

conhecimento de polinômios e funções, bem como do esboço gráfico de funções do primeiro

ou do segundo grau, pois estes são conteúdos da educação básica, conforme indica a Proposta

Curricular de Santa Catarina.

Ler e interpretar textos de Matemática; Ler, interpretar e utilizar representações matemáticas (tabelas, gráficos, expressões etc.); Transcrever mensagens matemáticas da linguagem corrente para linguagem simbólica (equações, gráficos, diagramas, fórmulas, tabelas etc.) e vice-versa. Exprimir-se com correção e clareza, tanto na língua materna, como na linguagem matemática, usando a terminologia correta; Produzir textos matemáticos adequados; Utilizar adequadamente os recursos tecnológicos como instrumentos de produção e de comunicação. Utilizar corretamente instrumentos de medição e de desenho. (SANTA CATARINA, 1998, p. 43)

Quando os alunos foram perguntados sobre “o que é uma função polinomial do

terceiro grau”, 75% deles apresentaram respostas aparentemente com algumas significações

conceituais satisfatórias, do tipo: “possui mais de três termos, dentre eles números e letras” ou

“seria uma função que abrange três letras e um número e que alguma dessas letras esteja

elevada à terceira potência [...]”.

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Essas noções se confirmam nas respostas dadas à questão seguinte: “escreva como

você imagina que seja a representação de uma função polinomial do terceiro grau completa na

sua forma algébrica”. 91,7% indicaram que apresentaria uma variável elevada ao cubo.

Essas noções se confirmam nas respostas dadas à questão seguinte: “escreva como

você imagina que seja a representação de uma função polinomial do terceiro grau completa na

sua forma algébrica”. 91,7% indicaram que apresentaria uma variável elevada ao cubo.

Entretanto, vale acrescer algumas discussões, dada à diversidade com que se manifestam. Para

tal são explicitadas, no quadro 01, as respostas dadas pelos acadêmicos na última coluna e, na

segunda coluna, a característica algébrica dos respectivos exemplos.

Quadro 01 – Representação de uma Função Polinomial do Terceiro Grau

� Grupo

Característica Representação

Algébrica �

�

1

Expressões polinomiais particulares do 3º grau

x³+x²+x+3 x³+2x²+2x+1 �

�

2

Forma geral da equação do 3º grau

ax³+bx²+cx+d=0 �

�

3

Formas particularizadas da equação do 3º grau completa

x³+x²+x+2=0 x³+x²+x-3=0 �

�

4

Formas particularizadas da equação do 3º grau incompleta

x³+6x+2=0 �

�

5

Equação do 3º grau com três incógnitas

x³ + y² + z + 1 = 0 �

� 6 Forma geral da equação do 2º Grau ax²+bx+c=0 �

�

7

Expressão do 1º grau com um parâmetro do 3º grau

a³+bx+c �

� 8 Expressão polinomial genérica do 3º grau ax³+bx²+cx+d �� 9 Igualdade do 3º grau genérica x³ = a² + b + c �

Fonte: Elaborado pelo autor.

A seguir serão discutidas as respostas de cada grupo, alguns deles incluídos

indivíduos que expressaram aproximações conceituais. Entretanto, vale antecipar que nenhum

dos indivíduos apresentou corretamente, na forma algébrica, um exemplo de função

polinomial do terceiro grau, por não estabelecer uma relação de igualdade entre uma variável

dependente e outra independente expressa por somas algébricas nos quais em um dos termos

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ela se apresenta obrigatoriamente com expoente três. Suas representações denotam noções de

polinômios, por eximir o sinal de igualdade, ou de equação. A leitura prévia que pode ser feita

é de que os acadêmicos em questão ainda não adquiriram como almejávamos o pensamento

inferencial a respeito das funções polinomiais. Como eles haviam estudado no ensino

fundamental e médio as funções lineares, afins e do segundo grau, a expectativa era de que

expandissem espontaneamente para o terceiro grau. Além disso, chama a atenção que os

estudantes são oriundos de escolas e cidades diferentes, porém os equívocos conceituais são

unânimes, o que leva a pensar na existência de similaridades no processo educativo

matemático da educação básica naquela região.

Na seqüência, são apresentadas e elaboradas algumas discussões sobre as

definições ou exemplos de funções do terceiro grau expressas pelos universitários. Para tal

foram agrupados, quando possível, por terem algumas características similares.

Grupo1: Expressões polinomiais particulares do 3º grau - Indivíduo 01: x³ + x² + x + 3 /

Indivíduo 05: x³ + 2x² + 2x + 1

Os dois indivíduos, na verdade, apresentam apenas um exemplo de polinômio do

terceiro grau completo. Entretanto, esse tipo de representação mostra a fragilidade do

conhecimento dos dois acadêmicos sobre funções, principalmente quando eles ignoram o

sinal de igualdade, que expressaria a relação com outra variável, por exemplo, “y”. Sendo

assim, torna-se impossível compor os “n” pares ordenados necessários à representação

geométrica da função no plano cartesiano. Outro ponto que precisa ser destacado é a

priorização do particular em detrimento do geral, manifestado quando eles apresentam como

coeficientes dos termos algébricos números naturais, ao invés de letras.

Grupo 2: Forma geral da equação do 3º grau - Indivíduo 02 / Indivíduo 08: ax³ + bx² +

cx + d = 0

Essa foi a manifestação mais próxima de uma função polinomial do terceiro grau

completa, pois representou corretamente a definição científica da equação do terceiro grau.

Portanto, em vez de estabelecer igualdade com a variável dependente “y”, os indivíduos

particularizaram atribuindo-a o valor “0” (zero). Tal representação fornece parâmetro

pedagógico de análise no momento do estudo da referida função para que os estudantes

possam perceber diferenças e aproximações entre os conceitos de função e equação

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polinomiais do terceiro grau. Tais comparações só são possíveis porque os dois conceitos se

apresentam no que Vygotski (1995) denomina de sistema conceitual. Entretanto, as sutilezas

entre equação e função só são percebidas e apropriadas pelos alunos em um processo escolar,

muitas vezes, marcado por interações, dificuldades e superações.

Grupo 3: Formas particularizadas da equação do 3º grau completa - Indivíduo 09: x³ +

x² + x + 2 = 0 / Indivíduo 11: x³ + x² + x – 3 = 0

Esses são casos particulares de equações completas do terceiro grau. Trata-se

apenas de um exemplo que evidencia a fragmentação do conhecimento, por explicar o geral a

partir do particular. Contudo, a iniciativa revela noções intuitivas dos estudantes que refletem

o significado apropriado, como conseqüência do projeto pedagógico matemático vivido na

trajetória escolar. As representações apresentadas obscurecem o conceito de função na medida

em que não há após o sinal de igualdade outra variável, por exemplo, “y”.

Grupo 4: Formas particularizadas da equação do 3º grau incompleta - Indivíduo 07: x³

+ 6x + 2 = 0

Além de apresentar uma equação ao invés de uma função, o exemplo elaborado

pelo indivíduo 07 demonstra que não atendeu ao enunciado da questão, uma vez que

solicitava para representar uma função polinomial completa do terceiro grau. Nota-se a falta o

termo algébrico da variável elevada ao quadrado.

Grupo 5: Equação do 3º grau com três incógnitas - Indivíduo 03: x³ + y² + z + 1 = 0

Essa representação é preocupante, uma vez que não atende a definição de função

polinomial apresentada na literatura que, conforme Iezzi (2000) é definida como uma

seqüência de números complexos (a0, a1, a2,..., an) associados a uma função f: C � C dada por

f(x) = a0 + a1x + a2x2 ++... + anxn, em que cada elemento a0, a1, a2,..., an é denominado de

coeficiente e as parcelas a0 + a1x + a2x2 +... + anxn são chamadas de termos da função

polinomial f. Em outras palavras, deve-se existir um par ordenado composto por uma variável

dependente e outra independente, e não três variáveis distintas como apresentado no exemplo

apresentado pelo aluno (x, y e z). Além disso, ocorre o erro da particularização em relação à

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variável dependente. Entretanto, vale destacar o reconhecimento desse indivíduo do grau da

função, qual seja: a um termo em que a variável “x” apresenta-se com o expoente três.

Grupo 6: Forma geral da equação do 2º Grau - Indivíduo 06: ax² + bx + c = 0

O indivíduo 06 mostrou-se preso ao conhecimento adquirido nos níveis de ensino

antecedentes à graduação que é a equação do segundo grau. Sendo assim, há demonstração

de um conceito em referência, porém não generalizável para outras situações do próprio

sistema conceitual como é o caso da função do terceiro grau. Pelo exemplo dado, observa-se

que atenção pontual a um conteúdo sem a evidência de uma inter-relação com os demais que

faz com o aluno não faça a transferência de princípios e idéias de um conceito para outro.

Permanece a estrutura da forma geral sem acréscimo do termo identificador do grau da nova

equação. Note-se, ainda, que o foco é a equação em da função.

Grupo 7: Expressão do 1º grau com um parâmetro do 3º grau - Indivíduo 04: a³ + bx +c

Essa representação mostra além dos problemas da falta do sinal de igualdade e

também da variável dependente, a não apropriação do significado de coeficiente numérico e

variável da função. A compreensão expressa pelo aluno é de que basta elevar uma letra ao

expoente três (a³) - não importando se ela for um parâmetro/coeficiente ou variável - a função

passa a ser cúbica. Pelo exemplo, a leitura possível de fazer é de que a, b, c são coeficientes

numéricos e x a variável, o que dá margem para a afirmação de que ocorreu, entre outros, o

equívoco conceitual de admitir uma expressão algébrica do primeiro grau como sendo cúbica.

Grupo 8: Expressão polinomial genérica do 3º grau - Indivíduo 10: ax³ + bx² + cx + d

Essa representação embora mostre certo grau de conhecimento algébrico por parte

do aluno, peca quando não manifesta o sinal de igualdade e também, como consequência, a

variável dependente, explicitando na verdade um polinômio ao invés de uma função

polinomial.

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Gropo 9: Igualdade do 3º grau genérica - Indivíduo 12: x³ = a² + b + c

Nesse esboço pode-se observar uma única variável, o que indica a compreensão

do grau três, expoente da variável x, no primeiro membro da igualdade. Os três termos no

segundo membro dão margem para tripla interpretação. A primeira em que a, b, c, são

consideradas constantes (termos independentes da variável x) e se constituem em somas

algébricas. A segunda é que as referidas letras também são incógnitas, porém com graus

inferiores, definidos pelo expoente em ordem decrescente. A terceira que se trata de uma

função x do terceiro grau de quatro variáveis, que depende de a, b, e c.

Portanto, pela análise do conjunto de exemplos dado pela totalidade dos

estudantes, pode-se observar que nenhum deles produziu a resposta ao questionamento que

manifestasse a compreensão ou tradução da definição da função polinomial do terceiro grau.

No entanto, um elemento conceitual explicitado, unanimemente, foi a identificação do grau

três, pois mesmo que as expressões ou igualdades elaboradas não caracterizem uma relação

funcional, em todas aparecem uma letra elevada ao cubo. Trata-se de uma noção, embora

necessária, porém não reflete a idéia essencial da relação entre duas variáveis em que uma

delas, a independente, se insere em um polinômio de grau três.

A precariedade conceitual demonstrada pelos universitários abre a possibilidade

para que, no seu segundo momento, possa ser identificada a constituição de ZDP referente ao

processo de formação do conceito de função polinomial cúbica, com o uso do software

geogebra e a presença do outro para a troca de significados.

Continuando a discussão dos dados obtidos com a aplicação dos questionários,

apresentamos as respostas fornecidas pelos acadêmicos referentes ao número máximo de

raízes que uma função polinomial do terceiro grau pode assumir. Vale lembrar a pergunta que

gerou esses dados: No máximo, quantos zeros a função polinomial do terceiro grau pode ter?

A seguir, são apresentadas as respostas dadas pelos acadêmicos que responderam

que uma função polinomial do terceiro grau possui no máximo dois zeros.

Indivíduo 02 - “No máximo não sei, mais no mínimo creio que seja dois”

Indivíduo 03 - “Eu acredito que tenha dois da mesma forma que a forma, pois se existe uma

raiz na questão existirá a raiz positiva e a negativa”

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Indivíduo 04 – “Acho que pode possuir dois zeros, pois penso que seja igual à função do

segundo grau”

Indivíduo 06 – “Dois, eu imagino”

Indivíduo 07 – “No máximo dois raízes, pois a resolução de uma equação possui dois

termos”

Indivíduo 11 – “Dois, pois toda função só possui dois zeros”

Indivíduo 12 – “Dois, pois possui um termo elevado ao cubo, que é raiz, e um elevado ao

quadrado, sendo outra raiz”

A maioria dos acadêmicos, que respondeu “três zeros”, apresentou como

argumento a relação com o grau da função. O indivíduo 09 foi o único que fez referência da

relação número de zeros da função e a representação geométrica no plano cartesiano, porém

sem explicar sua afirmação de que “O gráfico passa três vezes pelo plano cartesiano”. A

inferência do indivíduo 10 tem como referência a função do segundo grau, o que apresenta

um teor de generalização.

Indivíduo 01 – “Três, porque a função é do terceiro grau.”

Indivíduo 05 – “Três zeros, pois se trata de uma função do terceiro grau.”

Indivíduo 08 – “Três. O expoente da função determina o número de zeros.”

Indivíduo 09 – “Três zeros, pois na função do terceiro grau deve conter três zeros. O gráfico

passa três vezes pelo plano cartesiano.”

Indivíduo 10 – “Três zeross: Pois a do segundo grau tem dois zeros, acho que a do terceiro

grau tem que ter três zeros.

Na questão número quatro, os acadêmicos foram indagados sobre os tipos de

raízes da função polinomial do terceiro grau, no que diz respeito ao campo numérico a que

pertencem – real e/ou complexo. Percentualmente: 91,7% dos acadêmicos responderam

“ambas” e um (8,3%) apenas os “reais”. As respostas, a seguir, chamaram a atenção por

apresentarem sinais de significações de número real e de número complexo, enquanto que os

demais acabaram por fornecer respostas ainda inconsistente:

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Indivíduo 05 – “Podem ser reais, pois o conjunto dos reais compreende todos os números e

também complexos se ocorrer a raiz de números negativos. Logo podem ser ambas.”

Indivíduo 12 – “Ambas, pois pode ser que o número que estará na raiz pode ser negativo.”

Na questão cinco, foi fornecido o plano cartesiano com o eixo das abscissas (x) e

das ordenadas (y). O acadêmico deveria esboçar de que forma ele imaginaria que o gráfico de

uma função polinomial do terceiro grau se comportaria.

Quanto à representação gráfica de uma função polinomial do terceiro grau, a

maioria dos acadêmicos (33,3%) esboçou uma reta e uma parábola. A justificativa é de que a

função do terceiro grau se constitui pela junção de uma função do primeiro com uma do

segundo grau,. 25% dos acadêmicos esboçaram uma curva que corta o eixo x em três pontos,

com o argumento que uma função desse tipo corta o eixo “x” em três pontos, por analogia que

a função do segundo grau em que a parábola intercepta duas vezes a reta das abscissas.

Observa-se que, mesmo sendo a resposta que explicita uma lógica conceitual, traz limitações

por considerar apenas zeros reais e desconsidera os zeros complexos que não têm relação com

a intersecção da curva representativa da função com o eixo x do plano ortogonal.

As demais respostas foram: circunferências (8,3%), retas (24,9%) e uma curva

“estranha” (8,3%)20.

A última questão era relacionada ao conhecimento do acadêmico sobre o software

geogebra: “Você já utilizou o software geogebra? Em caso afirmativo, indique o motivo que

levou você a utilizá-lo e, em caso negativo, escreva o que você imagina que ele possa fazer.”

A maioria (75%) dos indivíduos entrevistados nunca utilizou o software geogebra,

enquanto que (16,7%) preferiu não responder e apenas um (8,3%) respondeu afirmativamente,

isto é, utilizou o referido recurso. Aqueles (75%) que desconheciam o software imaginavam

que sua utilidade estava na realização de cálculos e gráficos de forma instantânea. Um

indivíduo supõe que ele faça algo relacionado a figuras geométricas.

Terminada a descrição dos dados coletados com a aplicação do primeiro

questionário, vale relembrar que ele deu elementos para o conhecimento prévio sobre as

características socioeconômicas (descritas na metodologia), o conceito de função polinomial

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do terceiro grau e conhecimento/expectativa sobre o software geogebra, que constituem os

elementos fundamentais do objeto de pesquisa.

Entretanto, importa dizer que a situação em que os indivíduos se expuseram –

questionário – ocorreu em um contexto pedagógico individual sem a oportunidade de diálogo

conceitual entre si e com um professor. Isso significa que não se tratava de um processo de

elaboração de conceito, mas apenas uma tomada de consciência, por parte do pesquisador das

condições e possibilidades do grupo.

Esse expor-se inicial traduz-se, nessa etapa do estudo, o esboço do nível de

desenvolvimento real dos sujeitos envolvidos no processo. Pelas respostas apresentadas,

houve praticamente a manifestação de níveis de desenvolvimento diferentes, porém nenhum

deles com a elaboração das idéias e princípios conceituais da função polinomial de grau 3.

O estágio de desenvolvimento desses estudantes de Matemática possibilita

reflexões, também iniciais, com base no referencial teórico. Durante nossas vidas nos

relacionamos de forma individual com o meio e com o outro, modificando a natureza e a nós

mesmos de forma única.

As forças de que seu corpo é dotado, braços e pernas, cabeça e mãos, ele as põe em movimento a fim de assimilar as matérias dando-lhes uma forma útil à sua vida. Ao mesmo tempo que age por este movimento sobre a natureza exterior e a modifica, ele modifica a sua própria natureza também e desenvolve as faculdades que nele estão adormecidas. (LEONTIÉV, 2000, p. 74)

Esse pressuposto da abordagem histórico-cultural justifica as diferentes

manifestações de diferentes níveis de desenvolvimento, entre sujeitos humanos sobre um

determinado conceito produzido historicamente. Portanto, é tipicamente humano que em um

grupo de 12 pessoas se apresentem diferentes níveis de elaboração para um mesmo conceito.

Embora essa distinção possa ser tênue, ela existe.

Para que ocorra o desenvolvimento das funções psicológicas superiores é preciso

de estímulos oriundos da relação dialética do indivíduo com o meio que poderá caracterizar

diferentes níveis de desenvolvimento, de acordo com aquilo que ele possui interiorizado.

É nesse contexto que a manifestação do particular em detrimento do geral,

observado no significado de equação ou polinômio do terceiro grau, expresso pelos

estudantes, não é a manifestação de uma aprendizagem significativa.

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A aprendizagem significativa, da perspectiva aberta por Vygotsky, fixa suas raízes na atividade social, na experiência externa compartilhada, na ação como algo inseparável da representação – e vice-versa. Daí que Vygotsky se preocupe mais o sentido das palavras do que com seu significado, porque o sentido incorpora o significado da representação e o significado da atividade conjuntamente. Um significado é, assim, mais uma ação mediada e interiorizada (re-presentada) do que uma idéia ou representação codificada em palavras, no ato de escrever no exame. É, pois, preciso recuperar a conexão da mente com o mundo, se quisermos recuperar o sentido e não só o significado de conceitos em educação. (ALVAREZ, 1996, p. 87).

É com esse entendimento que desenvolvemos o segundo momento da pesquisa em

que os alunos trabalharam em duplas sob o olhar do professor e auxílio do software geogebra.

Procuramos vislumbrar o potencial desses alunos quando interagem socialmente com o

auxílio de um instrumento tecnológico atual e, a posteriori, também observar sinais entre a

aplicação do questionário e a resolução da atividade que possam indicar a constituição de

Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP).

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4. O PROCESSO DE APROPRIAÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO POLINOMIAL DO TERCEIRO GRAU

Se no capítulo anterior o foco foi às manifestações iniciais de possíveis

elaborações dos estudantes sobre o conceito de função polinomial do terceiro grau, no

presente, o esforço volta-se para o processo de formação do pensamento conceitual com a

mediação do software geogebra, em duas seções: os estudantes em contato com o software

geogebra e as produções escritas dos estudantes.

4.1 Os estudantes em contato com o software geogebra

Inicialmente, apresento alguns procedimentos adotados para colocar os alunos

diante de situação de aprendizagem do referido conceito.

Os estudantes foram encaminhados para o laboratório de informática do Centro

Universitário para o desenvolvimento das proposições didáticas planejadas. Inicialmente, eles

foram agrupados em quatro duplas e um trio, escolhidos entre si, por afinidades pessoais.

Cada estudante recebeu a sequência de ensino composta de questões a serem desenvolvidas

com auxílio do software geogebra – instalado previamente nas máquinas. Ao término de cada

proposição didática, os grupos deveriam relatar suas considerações na folha que lhes foram

entregues. Ao concluírem toda a tarefa, eles tinham que enviar-me, por e-mail, os gráficos

construídos.

Cada dupla teve autonomia para adotar a dinâmica para desenvolver a sequência

proposta. Entretanto, a distribuição das tarefas foi organizada da seguinte forma: um estudante

leu a função a ser estudada, enquanto o outro digitava, mas no momento das análises,

observações e sínteses houve participação da cada componente do grupo. Na maioria das

vezes, os estudantes procuraram estabelecer diálogo comigo, pois me mantive sempre em

circulação entre todas as duplas e com a preocupação de mantê-los atentos no

desenvolvimento da representação gráfica das funções. Essa presença é uma característica

espontânea de minha prática docente. Ou seja, está atrelada ao posicionamento teórico

assumido, com a consciência de que, subjacente ao conceito zona de desenvolvimento

proximal está a “disposição de uma pessoa para a aprendizagem, com a presença de alguém

com quem estabelece interlocução” (DAMAZIO, 2000, p. 59).

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Porém, no presente estudo, o envolvimento com o grupo foi planejado para ser de

forma comedida, pois se trata de um elemento do processo pedagógico que não será

determinante na pesquisa, mas com necessária precaução para não tomar o espaço reservado

ao papel do computador e do geogebra focos das análises. Por isso, esforcei-me para não

intervir nas questões conceituais, uma vez que eram para elas que se voltavam o papel da

díade computador/software. Vale, então, reafirmar que a preocupação na pesquisa, isto é, o

contexto da sua problemática é a possibilidade de constituição de zona desenvolvimento

proximal no estudo da equação polinomial do terceiro grau, com a mediação dos referidos

instrumentos tecnológicos.

Mesmo com essa compreensão e decisão em comum acordo, os alunos ficaram,

inicialmente, um pouco agitados com a presença da filmadora. Aos poucos, a atenção se

voltou exclusivamente para o computador e ao estudo das funções do terceiro graus, o que fez

com ficassem descontraídos.

Assim, iniciam-se os diálogos21:

A – Professor, a minha resposta pode ser igual à dela?

P - Sim, vocês deverão discutir e produzir.

A fala do aluno A tem conotação de permissão para conferir o raciocínio adotado

com o desenvolvimento apresentado pelo colega. Esse gesto é expressão de uma história de

vida estudantil marcada por trabalhos individuais, em que o compartilhamento de idéias era

exceção em vez de usualidade. Tal questionamento também era alertador de que uma vivência

pedagógica como a pretendida era algo que merecia atenção para que o diálogo, que lhe é

característico, fosse substituído por tímidas perguntas e respostas, respectivamente do aluno e

do professor. A evidência inicial era do predomínio da prática de vida escolar em que fora

negado, no mínimo, dois pressupostos de Vgotski (2001): a dimensão primeira da mente é

social; o processo de aprendizagem e desenvolvimento ocorre por ações partilhadas

socialmente mediadas por significações de conceitos.

Nesse momento, vem à tona uma situação contraditória: ao mesmo tempo em que

os estudantes manifestam um sentimento de submissão, sentem necessidade de apoio do

���������������������������������������� �������������������21 Nesse texto utilizaremos a partir de agora “A” e “A1” para designar os alunos pertencentes a uma determinada dupla, sem nos preocuparmos com quem são os alunos ou a dupla, mas muito mais com suas falas e “P” para identificar o professor/pesquisador�

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professor. Este é a referência de auxílio para as possibilidades, ZDP, que se constituía diante

da relação que estabelecia com o computador, o software e as significações referentes à

representação gráfica do conceito de função do terceiro grau.

Vale destacar, então, que os instrumentos – computador/software – abrem

caminhos para a apropriação das significações do conceito. Porém, por si só não garantem as

condições necessárias para o pleno desenvolvimento do pensamento conceitual, uma vez que

os estudantes não submetem suas dúvidas ao computador, mas ao professor. O que chama a

atenção é que o software tem uma organização e estrutura estabelecida por princípios lógicos

humanos voltados para a representação conceitual de função, ou seja, sua linguagem se volta

para aquela especificidade matemática desprovida de contexto social explícito. Mesmo assim,

não consegue comunicar-se de forma a explicitar todas as noções e ações aos licenciandos.

Por isso, buscam interações sociais com o professor.

Outros questionamentos com expressões de consentimento e receio se repetiram

durante a pesquisa, pois os acadêmicos precisam se certificar de que poderia ou não adotar de

terminado procedimento ou se era correto o entendimento desejado na sequência de ensino.

Para ilustrar essa afirmação destaco, a seguir, algumas dessas manifestações:

A - Professor tem que fazer os gráficos em um só plano ou podemos fazer separados?

P - Podem fazer conforme acharem melhor.

A - É para relatar a diferença entre as funções?

P - É para relatar as diferenças, semelhanças, ou seja, o que vocês forem observando.

A - Pode entregar um só documento por turma?

P - Sim, a não ser que vocês divirjam em algum ponto e não cheguem a um consenso.

A - É para colocar nome?

P - É interessante que não se coloque.

A preocupação dos alunos com o ‘certo ou errado’, ‘pode ou não’, isto é, com a

permissividade também se traduzia em dificuldade em expressar no papel aquilo que

observavam na tela do computador. Mesmo com as discussões promovidas entre si, nem

sempre chegavam a um consenso e recorriam ao professor para resolver o impasse ou

esclarecer dúvidas.

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Daí vinha o prenúncio das referências vigotskianas de que a solicitação da

presença do professor era uma das manifestações que caracterizam a constituição da zona de

desenvolvimento proximal. Existia entre os estudantes a possibilidade de desenvolver ideias

ou raciocínios referentes à representação gráfica da função polinomial do terceiro grau. Eles

dispunham de um instrumento da informática – o computador - e um software (geogebra)

estruturado para esse fim, interdependentes entre si, que hes possibilitavam execuções,

análises e sínteses do conceito matemático. Mesmo que esses recursos davam-lhes condições

para realizar as ações solicitadas – por ensaio ou erros, leituras das instruções contidas no

próprio geogebra ou discussões entre as duplas –, os acadêmicos solicitavam a ajuda do

professor. Novamente, vale a recorrência às interpretações do conceito de ZDP dado por

Damazio (2000, p. 60) que diz tratar-se de um processo mediatizado com significações e

envolve sujeitos sociais. Por isso, estabelece como característica fundamental e indispensável

ao perfil do professor: “a compleição para a cooperação, isto é, a disposição para ajudar e

desenvolver mediações pedagógicas que constituam ZDPs”. Para argumentar em favor da

referida qualidade docente, o autor fundamenta-se na idéia de prospectividade da educação

dada por Vygotski (1993:242) ao afirmar que “o ensino deve orientar-se não pelo ontem, mas

pelo amanhã do desenvolvimento do aluno”.

De acordo com Damazio (2000, p. 60):

A visão prospectiva exige a disponibilidade do professor em auxiliar o aluno nas tarefas escolares que lhes são destinadas. O auxílio só se efetivará caso o professor propicie contextos interativos em que, via interlocução com os muitos outros do ambiente escolar, as relações se produzem.

A dinâmica do software chamou a atenção dos alunos, pois podiam perceber:

“movimentos” nas representações gráficas e a velocidade com que as imagens apareciam na

tela, cada vez que se mudava um valor dos coeficientes de uma determinada função. Isso pode

ser percebido logo de inicio, quando os instiguei:

P - O que vocês percebem a cada função que insere?

P - Cada vez que entra um elemento novo na função, o que vocês percebem?

A - Os gráficos se mechem!!!

P - Justamente, é esse movimento!

P - Quando você acrescentou o x² o que aconteceu?

P - Quando você acrescentou o x o que aconteceu?

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P - E assim por diante...

A - Mas como descrever esse movimento?

Sua colega interfere:

A1 - Esse ficou só no zero, já esse outro foi no -1 e no zero, já esse outro ficou só no zero de

novo.

Em decorrência desses questionamentos que lhes dirigi, o foco caracterizador da

zona de desenvolvimento proximal é a necessidade de ajuda para a interpretação do gráfico

das funções em dois conceitos do sistema: o papel desempenhado pelos coeficientes dos

termos da função e o ponto de intersecção da curva com o eixo das abcissas.

Na fala de A1, as expressões “no zero”, “no -1 e no zero” e “só no zero de novo”

se referem à abscissa do ponto onde a curva representativa das funções corta o eixo x do plano

cartesiano. São elas: f(x) = x³ e f(x) = x³ + 1.

A linguagem adotada por A1 não difere da maioria do grupo pesquisado. Por isso,

passou a ser alvo de atenção para que, em cada intervenção solicitada, fosse feita referência

aos termos conceituais concernentes àquele conhecimento matemático. A primeira vista, as

referidas expressões podem causar impacto reprovador e incrédulo, pois o conceito de função

e suas representações gráficas fazem parte do currículo escolar nos anos finais do ensino

fundamental e no decorrer do ensino médio. Além disso, o contexto era um curso de formação

de professores que, em um momento posterior, não muito distante, estariam habilitados para

ensinar.

Entretanto, tal percepção pode mudar com tomada de consciência de que a

finalidade do desenvolvimento das situações didáticas é a elaboração conceitual, por parte dos

estudantes. Assim, é possível identificar a parcialidade das significações apresentadas pelos

alunos a respeito da intersecção da curva representativa da função com o eixo das abscissas.

Por exemplo, A1 ao dizer “no zero” ou “no -1” se refere aos números em si. Isso quer dizer

que ele não entende a intersecção em seu real significado em nível científico, isto é, em um

ponto de par ordenado (x,y). Naquele caso específico, localiza-se na reta horizontal x, em

(x,0). Dessa forma, um aluno com pensamento conceitual elaborado, em vez das expressões

de A1, diria em termos matemáticos que as funções interceptam, respectivamente, nos pontos

(0,0); (-1,0), (0,0); e (0,0).

As colocações de A1 são provocativas por dois motivos. Um deles é por expressar

fragilidades conceituais, uma vez que a linguagem adotada tem um predomínio de teor de

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conceito cotidiano em detrimento do pensamento científico. Nesse sentido, os estudos de

Vygotski (1993, p. 183) mostram que a debilidade dos conceitos cotidianos é geradora da

“incapacidade para a abstração e no modo arbitrário de operar com eles”. Por isso, é incisivo

ao propor como meta da escola o desenvolvimento do pensamento com base em conceitos

científicos que têm como peculiaridades marcantes a independência de contextos empíricos.

Como diz Vygotski (1993, p. 254): “... a força dos conceitos científicos se manifesta em uma

esfera que está por completo determinada pelas propriedades superiores dos conceitos: o

caráter consciente e a voluntariedade.” No entanto, serve sua advertência de que a maior

debilidade dos conceitos científicos é o perigo de cair no verbalismo utilizado apenas em

algumas situações escolares. Isso acontece quando os alunos não identificam ou usam

conceitos matemáticos, tidos como elaborados, em situações-problema.

O outro motivo gerador de inquietações pelas respostas de A1 também é produzido

com base teórica. Trata-se da referência Vygotski ao papel da linguagem no desenvolvimento

do pensamento conceitual.

Como decorrência, no processo de análise do desenvolvimento da sequência de

ensino, abriu-se mais um foco de atenção: a linguagem. Com isso, passou ser visível a

singeleza das falas matemáticas cotidianas e, concomitantemente, tornou-se imperativo a

interferência mediada por significações do conceito científico.

Na interlocução requerida, naquele momento das ações dos alunos, entre

conceitos cotidianos e científicos, também se mostrava à fragilidade do software no que diz

respeito à linguagem tradutora das significações de função polinomial do terceiro grau. É

inegável sua contribuição para que os alunos observassem que mudanças de valores nos

coeficientes da variável independente da função, acarretariam em movimento da curva no

plano cartesiano. Também é admissível que o geogebra propiciava apreensão das idéias e de

lógicas pertinentes ao referido conceito matemático. Porém, não explicita a linguagem

precisa, como por exemplo: função, ponto, zero da função, domínio, imagem,

comportamento, entre outros.

Sendo assim, ao considerarmos as circunstâncias e os objetivos do papel do

software naquelas situações de ensino e aprendizagem, foi possível identificar em termos do

processo de elaboração do pensamento conceitual: lacuna e possibilidade. A lacuna se

apresenta de forma abrupta por negligenciar a linguagem conceitual. Como diz Vigotski

(2001) um conceito se manifesta na palavra. Em seus estudos o autor observou que a palavra

desempenha o papel decisivo no surgimento de um conceito. Ela é utilizada deliberadamente

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para orientar todos os processos parciais do estádio superior da gênese dos conceitos. É com a

palavra que se “sintetiza e simboliza o conceito abstrato e se opera com ele como lei suprema

entre todas aquelas criadas pelo pensamento humano” (VIGOTSKI, 2001, p.226).

Decorrente da lacuna apresentou-se a possibilidade de intensificar a contribuição

do professor com informações e apresentação de algumas definições e significações do

sistema conceitual. Ou seja, emergiu o princípio traduzido no silogismo: se o geogebra

prioriza a representação gráfica, então cabe ao professor enfatizar a linguagem característica

do sistema de conceito.

As intervenções do professor foram sinalizadoras de um processo gradual de

refinamento da linguagem, como poderá ser observado nas falas dos estudantes que serão

ainda expostas no presente texto. Isso pode ser observado na exposição de uma dupla que

ainda não havia se manifestado:

A - A primeira, nesse caso aqui, a função bate no ponto zero e zero, é isso?

P - É o que está parecendo.

Observa-se que a resposta evita expressões inerentes ao conceito. Em situações

dessa natureza, nas aulas que leciono, no mínimo responderia: “Sim, o ponto de intersecção

da curva com a reta x é (0,0).”

A - Só que eles não se encostam a nenhum outro ponto.

Sua colega interfere:

A1 - Então ela só tem uma raiz.

P- Mas pode ter função do terceiro grau cuja resposta é apenas o número zero?

Em situação regular de aula de Matemática, em vez de pergunta, estabeleceria

diálogo afirmativo do questionamento de P e acresceria outra significação lingüística à

expressão emitida pelo estudante “uma raiz”, qual seja: ‘raiz’ ou ‘zero’ da função.

A1- Pode, porque que não?

P - Isso, então vocês vão escrevendo, semelhanças e diferenças que vão encontrando na

representação gráfica de uma e outra função.

A leitura dos diálogos anteriores entre A, P e A1 acena para uma evolução no

desenvolvimento da linguagem. Embora A ainda use expressões do cotidiano, como ‘bate’ e

‘encostam’ em vez de ‘intersecção’, no entanto, usa corretamente a linguagem referente ao

ponto. Por sua vez, na objetividade da fala de A1, está a demonstração do seu nível de

desenvolvimento em conceito, propriamente dito, referente ao significado do ponto de

intersecção do gráfico da função com o eixo x.

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Nesse momento percebo que um dos grupos se dispersam, então me aproximo e

digo aos dois estudantes que necessito da análise deles como forma de identificar a ocorrência

de manifestações de aprendizagem. Eles responderam-me com ar de brincadeira:

A - O professor pediu para nós observarmos, então estamos observando!

Esta cena, de certo modo inesperada, reporta-me a ocorrências similares e

comuns, vivenciadas na prática docente da Educação Básica. A estranheza da postura daquela

dupla de acadêmicos pode ser explicada por dois motivos, advindos de expectativas pré-

concebidas na definição do objeto de estudo e delimitação dos sujeitos. O primeiro pela

oportunidade de estarem envolvidos em situação de ensino-aprendizagem com interações

mediadas por conhecimento científico e pelo computador com o uso de um software. Afinal,

nos meios acadêmicos e científicos, a proposição é que vivências pedagógicas com tais

características deveriam ser adotadas. O segundo motivo é por se tratar de alunos de um curso

de formação docente em Matemática, que se pressupõe tenham inspiração e estejam abertos

para enfrentar as mais diversas experiências que visem qualificar a prática pedagógica.

Porém, esses motivos e expectativas deixam de ser frustrantes com entendimento

de que o grupo de estudantes tem dezoito anos de idade e está nas fases iniciais de um curso

de formação profissional. Portanto, vive um processo de aprendizagem marcadamente por

características de transitoriedade em que se confluem a consciência de um estado de

dependência do professor e familiares, como a desenvolvida na qualidade de estudante da

educação básica, e aquela em desenvolvimento de autonomia para o exercício da docência em

Matemática. Isso significa dizer que, mesmo na educação superior, por se tratar de um

processo de ensinar e aprender, a relação entre professor e aluno é marcada por atitudes

tipicamente humanas de atenção e desatenção.

A situação de distração da referida dupla e o questionamento de alerta que lhe fora

dirigido ilustra a importância do papel do professor em sala de aula, não como um facilitador,

mas com a incumbência de direcionar o processo de aprendizagem de forma intencional de

acordo com os seus princípios educativos. (SAVIANI, 1996).

Na eminência de evitar a dispersão das falas do foco conceitual e para apreendê-

las para análise, visitava constantemente todos os grupos. Essa atitude foi decisiva para que os

diálogos entre os estudantes, com teor de ensino e aprendizagem do conceito em foco,

predominassem naquele ambiente escolar. Assim, a atenção voltou-se exclusivamente para as

falas conceituais.

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A - Já sei! Não importa se a função é positiva ou negativa, o gráfico fica igual!

Sua colega argumenta:

A1- Não! Não fica igual! O gráfico muda de lado.

A - Faz de novo.

A1- Ok. Presta a atenção: olha o gráfico positivo... e agora o negativo.

A – Ah! É mesmo.

A conversa de A e A1 dessa dupla é eminentemente analítica e marcada por

posicionamentos contrários no que diz respeito à representação gráfica das funções y = x3 e

y = -x3. Para A, não há diferença entre os gráficos das duas funções, o que é contestado por

A1. As discussões, entre ambas, centram-se não no tipo de curva daquelas funções, mas na

posição no plano cartesiano. Ao refazer os gráficos, A se convence da diferença explicitada

por A1 que se traduz em síntese de que “muda de lado”. Há de ressalvar de que a linguagem

matemática referente ao plano cartesiano ainda é algo a ser apropriada pela dupla, pois a

expressão “muda de lado”, mesmo que revele uma compreensão conceitual, não traduz a o

conceito científico de posição em “quadrantes diferentes” e “mudança de concavidade”.

A interação dos dois alunos, supervisionados pelo professor e mediados por

significações gráficas do conceito de função do terceiro grau e pelo software, promove um

debate caracterizado por análise e síntese. Kalmykova (1991) traz contribuições ao se referir

sobre o efeito das palavras no processo de análise e síntese, por considerá-las como

"estímulos multiformes". Sua explicação é de que a mesma palavra - em situação de análise e

síntese no contexto de aprendizagem de conceitos matemáticos e resolução de problemas - em

uma determinada situação está ligada a uma ação mental, e noutra, a uma ação mental

diferente. Por isso, a análise e síntese não se dão isoladamente, mas em uma relação dialética,

pois uma síntese cria uma nova realidade, que é submetida a uma nova análise. Portanto, cria

novas relações entre fatos anteriores e aqueles em processo de síntese. Nesse sentido, chama a

atenção:

[...] as tentativas de isolar artificialmente a análise e a síntese no processo de ensino estão condenados ao fracasso. A base psicológica necessária para uma correta formação dos conceitos é uma assimilação tal que permita criar condições entre as componentes abstratas e concretas do pensamento, entre a palavra e a imagem

(KALMYKOVA, 1991, p.12).

Observa-se que esse processo de análise permitiu que o estudante A chegasse ao

nível de síntese de A1. Entretanto, não foi um processo direto nem com o computador e entre

os dois estudantes, mas mediado. Como diz Vigotski (2001), na qualidade de sujeito do

conhecimento, o homem não tem acesso imediato aos objetos, mas mediado por recortes do

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real. �ortanto, o processo de formação de um pensamento em conceito ocorre em interação

com outro social. Este se apresenta não só em pessoa, mas também por meio de objetos

humanos, da organização do ambiente, do mundo cultural que rodeia o indivíduo.

A representação gráfica das funções polinomiais do terceiro grau é a referência

entre os grupos de estudantes que, diante do computador, fazem observações, conjecturam,

comparam e expressam síntese. Tal dinâmica analítica empreendida pelas duplas ocorria em

virtude das características das proposições que tinham que analisá-las e desenvolvê-las. Uma

das peculiaridades das ações em execução era o estabelecimento da relação de comparação

entre uma função em que o coeficiente de x3 era positivo, outra com valor positivo.

Subjacente a tal relação estava o chamamento para a investigação de um questionamento que

pode ser traduzido como: Funções com coeficientes de sinais contrários do termo de maior

grau têm a mesma representação gráfica ou são diferentes?

A temática oportunizara compreensões distintas e até com persistências de idéias e

significações de outros conceitos enfatizados na trajetória escolar dos estudantes. É com tal

percepção que outra dupla explicita que ao traçar os gráficos de f(x) = x3 e f(x) = -x3 no

mesmo plano cartesiano, a imagem esboçada na tela se parece “com duas parábolas opostas

pelo vértice”. A expressão síntese - que está entre aspas - desses dois alunos precisa ser

traduzida, pois o significado por eles elaborado, até aquele momento das suas análises,

explicita apenas uma percepção da figura formada pelos dois gráficos que, aparentemente, se

constitui em duas parábolas, conforme representação a seguir.

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y = x3 e y = -x3

Fonte: Elaborado pelo autor.

Portanto, não houve um reportar-se para a curva de cada função, isto é, para as

partes que compuseram o todo comum visual de duas parábolas simétricas entre si.

Consequentemente, a simetria não foi percebida entre as duas curvas de cada função, mas da

figura (parábolas) que se apresentou na representação em um mesmo plano. Portanto, a

impressão visual sobrepôs às idéias e noções conceituais.

Outras interrogações referentes ao conceito foram apontadas pelos dois

componentes da referida dupla. Elementos lógicos conceituais se prospectavam e careciam de

mediações a serem explicitadas pelo professor ou outro meio social com teor conceitual, pois

o computador, o geogebra e os estudantes não dão conta de promover o debate necessário. As

dúvidas que possibilitaram a ampliação da zona de desenvolvimento proximal apontam para a

necessidade de novas significações referentes ao: ponto de partida da construção do gráfico,

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conceito de infinito e de ponto de máximo e mínino da função. Os diálogos a seguir

apresentados são expressões das limitações do geogebra para responder questionamentos que

conduziriam a elaborações conceituais que aumentariam o espectro do sistema conceitual.

A - Aonde que se origina a curva?

A1 - No ponto zero e zero!

A - Então quer dizer que toda função se origina no ponto zero e zero?

P - Depende, como é que você traça o gráfico de uma função do segundo grau?

A - É uma parábola.

P - Tudo bem, mas como você traça o gráfico?

A - Começo do x traçando uma linha e vou indo.

A1 - Em geral uma função do segundo grau tem x uma linha e x duas linhas.

A - Daí tem os valores de y.

A - E essa aqui tem três pontos olha (aponta para a tela).

A1 - Os valores de x vão ser o x mínimo e o x máximo.

Pelas falas, reafirma-se o papel mediador do geogebra, pois promove uma

discussão marcadamente matemática na especificidade do gráfico da função. Em

contrapartida, também é notório o predomínio de perguntas, como expressão de querer saber

mais por parte dos dois estudantes e, consequentemente, busca de uma referência que os

oriente, os informe, os ensine. Isso quer dizer que o software provoca o debate, mas não

participa dele; abre o caminho para a aprendizagem, mas não orienta como prosseguir. Enfim,

expande a constituição da zona de desenvolvimento proximal, porém sem a intervenção que

conduz ao potencial intelectual dos alunos. Ele faz o gráfico da função, mas não ensina

construí-lo e interpretá-lo. Permite com que a representação geométrica funcional se apresenta

ao estudante, porém não diz por onde e como começar e qual sua extensão, traduzidas nas

perguntas: “Aonde que se origina a curva?” “Então quer dizer que toda função se origina no

ponto zero e zero?”

Os questionamentos não são respondidos mesmo com a proposição de que

buscassem de certa forma, subsídios interpretativos nas experiências ou conhecimentos

anteriores relacionados com a função do segundo grau. A única inferência foi do licenciando

A, que observou acertadamente a existência de três zeros da função polinomial do terceiro

grau pela análise do gráfico produzido com auxílio do software geogebra. Todavia, é evidente

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que A1 não se apropriou do conceito de zero de funções polinomiais e, consequentemente, o

de máximo e mínimo de uma função.

Outra dupla voltou à questão, anteriormente, discutida por outros colegas:

A - O que eu devo dizer: que tenho uma parábola negativa e outra positiva ou que existe um

ponto de intersecção entre elas?

P - O que vocês acharem ser mais significativo dizer.

A - Acho que é parábola.

P - Por que vocês acham que é parábola ao invés de ponto de intersecção?

A - Vamos colocar os dois.

Como não houve uma contribuição, de minha parte, com ênfase nos aspectos

conceituais, a decisão do acadêmico A -“Vamos colocar os dois” – reflete apenas o

cumprimento de uma tarefa que lhe fora solicitado, qual seja: apresentar-me a escrita de suas

observações. Desse modo, silenciaram-se as interpretações sobre questões do sistema

conceitual que: determinam à rotação da curva, conforme o sinal do coeficiente do termo de

expoente três; indicam o eixo de simetria em torno do qual se realiza o referido movimento;

apresentam os significados e sentidos dos pontos de interseção entre as duas curvas.

Dissemina, então, em mais uma dupla de estudante a concepção errônea de que o

gráfico das funções f(x) = x3 e f(x) = -x3 são parábolas com concavidades, respectivamente,

voltadas para cima e para baixo. O pensamento elaborado se volta para a figura conhecida da

função do segundo grau, um conhecimento anterior, e não a totalidade da curva do terceiro

grau. Assim, aquilo que seria uma demonstração de possibilidade em potencial de maturação

com a presença do professor fica em um estado de desenvolvimento real (VYGOTSKI, 1993).

Dessa forma, a ZDP, que se constitui entre os estudantes, tem outra característica: a

transferência ou associação da ideia elaborada de um conhecimento (parábola) para um

pensamento conceitual em elaboração (curva polinomial do terceiro grau ou parábola cúbica).

Entretanto, cabe a precaução pedagógica de não ficar somente nesse nível, pois segundo

Vygotski (1993, p. 184), um “conceito não é simplesmente um conjunto de conexões

associativas que se assimila com ajuda da memória, não é um hábito mental automático,

senão um autêntico e complexo ato do pensamento”. Portanto, solicitar que o computador

represente em um mesmo plano cartesiano duas funções simétricas entre si e, os alunos - ao

analisar a figura - associá-la ao gráfico de uma função trazida de experiências de

aprendizagem anterior, não é a manifestação de uma verdadeira aprendizagem. Vygotski

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(1993, p. 184) auxilia nessa análise quando acrescenta à citação anterior de que um conceito

não é dominado por simples aprendizagem, mas requer que o pensamento se eleve em “seu

desenvolvimento interno a um grau mais elevado para que o conceito surja na consciência”.

Ou seja, um conceito é um ato de generalização que se exprime nos significados da palavra.

E, como tal, a essência do seu desenvolvimento, é “a transição de uma estrutura de

generalização a outra.” Portanto, não é somente a identificação de duas parábolas no

computador que garante a transferência de um raciocínio da função quadrática para a

polinomial do terceiro grau.

Ao visitar outra dupla, deparei-me com uma indagação pertinente à interpretação

de um dos enunciados da atividade proposta, que também conclama por orientações:

A - Aqui é para comentar o que há de comum entre os dois, ou o que há de diferente?

P - Pode comentar as duas coisas, tudo o que vocês forem observando, diferenças

semelhanças, relações,...

Os dois alunos ficam minutos a observar o gráfico com atenção para perceberem

suas semelhanças e diferenças.

A - Como é que eu chamo esse gráfico?

A - Pode ser gráfico de uma função polinomial?

P - De que grau?

A1 - Do terceiro grau.

Coloco-me à distância e observo que os alunos gesticulam muito, apontam para a

tela, chegam a um consenso manifestado da linguagem verbalizada e, por fim, registram suas

considerações no documento escrito, o que ocorre na maioria das vezes apenas após me

chamarem para discutir o problema, apontando aqui a necessidade da ajuda de alguém mais

experiente para resolver o problema.

Mesmo se tratando de questionamento, as intervenções verbais de A têm,

implicitamente, uma afirmação generalizadora, pois entende que o gráfico de função

específica recebe um determinado nome. Contudo, a nomenclatura solicitada não lhe foi dita

diretamente, mas em forma de resposta interrogativa, o que proporcionou o acréscimo de A1,

“do terceiro grau”, à suposição de A, “Pode ser gráfico de uma função polinomial”. Contudo,

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algo que poderia ser conclusivo em termos conceituais, o nome matemático da curva, fora

aceito de modo incerto pela ausência de alguém ou outra forma de comunicação que

garantisse a explicitação da nomenclatura solicitada.

Outro grupo me chama:

A - Olha só a nossa conclusão: O cubo do x é o que determina a quantidade de raízes, então se

existe apenas um termo algébrico acompanhado de x tem uma raiz, se colocar outro termo

com x ele vai ter duas raízes e se for três termos com x, três raízes. Está certo?

P - Note que os expoentes do x mudam.

P - Observe também que o cubo sempre esteve presente.

A - Claro, é uma função do terceiro grau!

P - Então não sei se dá para aceitar o que vocês concluíram.

Também é de se destacar os esforços interpretativos dessa dupla de acadêmicos

para emitir o parecer conclusivo da quantidade de zeros de uma função do terceiro grau. O

raciocínio elaborado estabelece uma relação equivocada entre a quantidade de zero da função

e o seu número de termo com x. Para os dois alunos dessa dupla, o expoente 3 é indicador de

que o polinômio é formado de três termos com variável – x3, x2 e x – e, por extensão,

determina a quantidade de zeros. Essa síntese, não é a mesma apresentada em alguns livros

didáticos ao dizerem que o maior expoente da variável, independente do grau da função, é que

define o seu grau, consequentemente, a quantidade de raízes. O equívoco dos estudantes

ocorre em admitir o cubo de x como quantidade de termo e não como x3 = x . x. x.

Não resistindo a questionamentos convidativos para um campo propício de

elaborações conceituais, quebrei um pouco a vigilância da não intervenção com idéias

conceituais e, de certo modo indiretamente, propus para observarem que em um mesmo

polinômio “os expoentes do x mudam” e, em todas as funções, “o cubo sempre esteve

presente”. Em seguida retirei-me para que eles continuassem a discussão.

Ao aproximar-me de outro grupo... sou interpelado:

A - Esse gráfico não é uma reta... Como posso chamar?

P - Simplesmente gráfico ou curva.

Com essa dupla fui complacente e anunciei uma nomenclatura para o gráfico que

aparecia no monitor. É de se destacar, no entanto, que A expressa uma compreensão

preliminar do gráfico de uma função, pois, pela pergunta, sua expectativa era de que surgiria

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no visor uma reta em vez da curva. Para a dupla em referência, a discussão ainda não tinha

chegado ao nível de estabelecer a relação entre os três focos conceituais que emergiram no

grupo como um todo, quais sejam: gráfico, maior expoente de x e zeros da função.

Naquele momento, estava centrado na discussão da dupla que, anteriormente,

discutiam sobre o número de zeros de uma função do terceiro grau. Aproximei-me dela que,

imediatamente, um de seus componentes indagou-me:

A - Professor todas as curvas passam pelo zero, certo?

Ao observar que uma das curvas não passa pela origem, pergunto:

P - Até aquela de fora passou?

A - Não.

P - Pois é...

P - Qual a diferença dessa que não passou para aquelas que passaram?

Novamente retirei-me e deixei-os a pensar, instante que outra dupla também

solicita minha presença:

A - Professor eu não entendi a três...

P - Pode ler o enunciado novamente então...

A - Sabendo que a forma algébrica de uma função polinomial do terceiro grau completa é f(x)

= ax3 + bx2 + cx + d, e após ter analisado algumas representações gráficas dessas funções no

exercício 2, o que você pode dizer sobre o papel dos coeficientes a, b, c e d nesse tipo de

função?

P - Por exemplo, numa função do segundo grau, o que acontece quando você troca o sinal do

coeficiente “a”?

A - Se a parábola está para cima e troca o sinal ela vai ficar para baixo.

P - Então, nessa situação é o mesmo tipo de análise, como é a curva quando “a” é positivo? E

o que acontece com ela se eu mudo o sinal de “a”? Depois é continuar fazendo a mesma coisa

com o coeficiente “b”.

Ainda com a preocupação de não explicitar princípios e propriedades referentes às

especificidades conceituais da função do terceiro grau, detinha-me, no mínimo, a propor que

buscassem similaridades e referências na função do segundo grau. O ambiente de necessidade

de orientação era altamente chamativo para dar minha contribuição de professor naquele

contexto de ensino e aprendizagem. Diante das circunstâncias e evidências do “querer a

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presença do professor, refletia sobre meu posicionamento em favor do uso do computador nas

ações pedagógicas de sala de aula”. Perguntas sobressaiam: Por que os alunos do curso

superior, em breve professores de Matemática, ainda requerem o apoio do professor para o

entendimento para apropriação de significados da relação entre os coeficientes dos termos e a

representação do gráfico? Qual a real contribuição do software geogebra, ou outro, no

processo de aprendizagem do conceito de função? Economia de tempo, uma vez que constrói

um gráfico em questões de segundos, enquanto manualmente se dedicaria a uma grande parte

das aulas que poderia destinada ao debate interpretativo?

A dupla ficou discutindo e eu fui atender outra que havia me chamado. Para esta,

como havia escutado nas suas conversas uma desenvoltura sobre elementos do conceito,

antecipei-me com um questionamento diretivo ao foco da aula. Além disso, a quebra parcial

da postura anti-diretiva, assumida para efeito da pesquisa ocorreu pela observação, ao

caminhar pela sala/laboratório que os grupos estavam concluindo as representações gráficas

propostas e as anotações que deveriam ser enviada para mim.

De modo algum, deixaria de aproveitar a oportunidade instigar pelo menos uma

dupla de forma que direcionassem para a apropriação de algumas significações do conceito.

Por isso, a pergunta:

P - O que vocês observaram sobre o coeficiente “a”?

A - Ele define se a função é crescente ou decrescente.

P - E quando vocês trocaram o sinal do “b” o que aconteceu com o gráfico?

A - A gente ainda não trocou o sinal do “b”.

A - Quando a gente troca o sinal do “a”, se a função começa de cima para baixo ela vai iniciar

de baixo para cima.

As duas interferências conduzem à elucidação, por A, de elementos conceituais

sobre o comportamento das funções: inicialmente, numa linguagem científica, “crescente e

decrescente”; posteriormente, de forma coloquial, “de cima para baixo e “de baixo para

cima”. Essas manifestações, como consequência das intervenções, não passam de acenos

conceituais, pois, como diz Vygotski (1987, p. 130): “Para compreender a fala de outrem não

basta entender as suas palavras – temos que compreender o seu pensamento. Mas nem isso é

suficiente – também é preciso que conheçamos a sua motivação. Nenhuma análise psicológica

de um enunciado estará completa antes de se ter atingido esse plano".

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Ao caminhar pela sala percebi que todos estavam concluindo a atividade no

computador e as suas anotações. Então, para dirimir qualquer dúvida se era a primeira vez que

eles entraram em contato com geogebra, resolvi investigar pelo menos com uma das duplas:

P - Vocês já conheciam o software?

A - Não

P - O que você achou do software?

A - Legal. Interessante.

P - Dá pra usar na escola pública porque é gratuito.

A - É verdade.

P – Tem outro, o cabri, que é muito bom, só que é pago.

Essa segunda parte da pesquisa, em que os alunos entraram em contato com o

computador e o software geogebra, foi concluída quando sou chamado por uma dupla que

estava procedendo à escrita de suas últimas interpretações.

A - Professor é para comentar sobre o x³ ou sobre o “a”.

P - Sobre o “a”, ou seja, quando ele é pequeno o que acontece com a função? Quando ele fica

grande? E quando muda o sinal? Ou seja, o que vocês podem observar.

Apresentadas as manifestações da segunda parte da pesquisa, vale trazer à tona

algumas características e reflexões. Essa etapa se revestiu de importância, pois se tratava do

momento em que entravam em cena os objetos do estudo: os alunos em interação entre si

(duplas), mediados pelo software geogebra e o conceito de função polinomial do terceiro

grau, com suas significações que emergiam dos gráficos do monitor. O ponto marcante dessa

etapa foi à necessidade dos estudantes do curso de licenciatura em Matemática de contar com

a presença do professor para indicar os caminhos da aprendizagem do conhecimento em

questão. A interação com o colega e as mediações com o geogebra - que tem uma estrutura

com base em princípios conceituais - não propiciavam as condições suficientes para apreender

a lógica das ações a serem desenvolvidas e a consequente apropriação das significações

referentes ao papel dos coeficientes dos termos da função do terceiro grau na sua

representação gráfica, do seu comportamento e dos zeros.

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O diálogo entre os componentes das duplas, a conclamação pela atuação do

professor, a relação das funções a serem representadas graficamente e analisadas são

componentes de um contexto de ensino e aprendizagem que levam à concordância com

abordagem histórico-cultural quando diz que o conhecimento é primeiro social, coletivo, para

somente depois tornar-se individual, intrapessoal, ou seja, do próprio sujeito. Como afirma

Damazio (2000, p. 46): “a dinamicidade dessas relações traz evidência de que a formação de

um conceito matemático não tem apenas um caráter internalista, mas forçosamente passa por

uma etapa externa. O externo, aqui, quer dizer que é social.”.

No entanto, é notório que o software foi decisivo para a promoção das discussões

entre os estudantes componentes de cada dupla e, por extensão, do surgimento da necessidade

da imprescindível atuação do professor. Afinal, o geogebra, ao receber as informações

(funções) colocadas no computador pelos estudantes, construía o gráfico das funções que se

constituíam no foco da atividade. Mesmo assim, nesse sentido, há de se ter precaução para

evitar apologias a esse recurso computacional, pois o conteúdo das falas matemáticas que se

produziu com a sua interação teve, basicamente, noções do sistema conceitual elaboradas no

percurso da trajetória escolar.

No contexto de interações e necessidade de presença de quem tem certo domínio

intelectual do referido conceito que também se explicitavam as diferenças de nível conceitual

entre os sujeitos, o que condiz com a perspectiva histórico-cultural ao afirmar que nessas

diferenças no âmbito coletivo que se constitui, entre os indivíduos humanos, a zona de

desenvolvimento próximo ou proximal (Vygotski, 2001, p. 331). Portanto, anunciadora de

necessidade de auxílio mútuo entre quem sabe e aquele em processo de aprendizagem.

A emergência de necessidade da presença de outros sociais traz outro componente

para o processo educativo matemático: o papel da linguagem. As duplas não requeriam o

professor em si, fisicamente, mas a sua comunicação. Somente com o uso da linguagem é que

foi possível a realização da atividade pelos sujeitos e a elucidação de ideias do conceito. Os

alunos não me chamaram para orientação no manuseio do computador ou para questionar algo

sobre o software, mas para explicitar raciocínios e significações conceituais.

De acordo com Vygotski (1993), a linguagem, como sistema simbólico dos

grupos humanos, é a base na formação dos conceitos e das formas de organização do real,

pois promove a mediação entre o sujeito e o objeto do conhecimento. Ela cria e ao mesmo

tempo transmite ao indivíduo a cultura e os sistemas simbólicos de representação da

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realidade. Também é a geradora do processo de internalização do conceito, isto é, das

apropriações das significações historicamente produzidas pela humanidade e,

consequentemente, para o desenvolvimento intelectual humano. Dessa forma, a

internalização requer dupla atividade: uma externa que se modifica para tornar-se interna. Ou

seja, é interpessoal e se torna intrapessoal. Portanto, a interação social e os instrumentos

linguísticos são fatores humanos fundamentais para a aprendizagem e para o desenvolvimento

das funções psicológicas superiores.

4.2. As produções escritas dos estudantes

Após o término da atividade os alunos entregaram suas produções escritas, que

passaremos a discuti-las. Para efeito organizativo, identificamos os grupos, com a numeração

de 01 a 05.

A primeira questão solicitava o esboço do gráfico de cada função polinomial do terceiro grau abaixo relacionadas:

a) f(x) = x3 b) f(x) = x3 + x2 c) f(x) = x3 + x2 + x d) f(x) = x3 + x2 + x + 1

Liste tudo o que você observou, comparando todas as funções entre si.

As observações relatadas para essa questão foram bastante pertinentes, por

explicitarem de alguma forma significações matemáticas, condizentes ou não com o conceito

em estudo. Apenas o grupo 03 relatou que o gráfico da função polinomial do terceiro grau

f(x) = x³ passa pela origem do sistema cartesiano ortogonal. Também assinala que, à medida

que se acrescentam novos termos algébricos às funções (f(x) = x³, f(x) = x³ + x², f(x) = x³ + x²

+ x e f(x) = x³ + x² + x + 1), o intervalo dos valores de “x” diminuía e o de “y” aumentava.

Esta segunda afirmativa não é verdadeira, pois os valores da função possuem imagem infinita

em ambos os casos. E, ao se acrescentar o termo x2, ou seja, passar de (f(x) = x³) para (f(x) =

x³ + x²), aumenta o intervalo do domínio aumenta em extensão.

O grupo 02 percebeu apenas que o desenho apresentado pelas curvas mantinha

certa semelhança. Os alunos do grupo 04 preocuparam-se em observar as intersecções dos

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gráficos com os eixos “x” e “y”, que mostraram a presença do ponto (-1,0) no segundo caso, e

no último, além deste, o ponto (0,1). O grupo 01 percebeu que todas as funções são

crescentes, algumas possuem raízes reais e outras complexas. Conclusões que podem ser

aceitas com ressalvas, pois em cada função há intervalos crescentes e decrescentes. Os grupos

05 e 06 observaram que, do primeiro para o segundo caso, a curva que passava pela origem,

cortava o eixo x no segundo quadrante. Mas, deste para o terceiro quadrante, a curva deixa de

interceptar o referido eixo x na parte negativa que avança para o terceiro quadrante. No último

caso, do terceiro para o quarto caso a curva corta o eixo x e y.

Na segunda questão os alunos precisavam construir gráficos em pares no mesmo

plano e analisar diferenças e semelhanças existentes entre eles (a.f(x) = x³ e f(x) = -x³; b.f(x) =

x³ +x² e f(x) = x³ - x²; c.f(x) = x³ + x² + x e f(x) = x³ + x² - x; d.f(x) = x³ + x² + x + 1e f(x) = x³

+ x² + x -1).

No item a, a conclusão dos grupos 01, 05 e 06 é que, se o coeficiente de x

elevado ao cubo for positivo, a função caracteriza-se como crescente e, quando negativo, a

função passa a ser decrescente. Os grupos 02 e 03, ao traçarem as duas funções polinomiais

no mesmo plano de coordenadas cartesianas ortogonal, tiveram a impressão de se formarem

duas parábolas que se intersectam em um ponto, sendo uma de concavidade voltada para

baixo e a outra para cima. O grupo 04 verificou que as funções são inversas, conclusão que

não corresponde aos princípios da relação entre aquelas duas funções que faz com que elas se

diferenciam apenas no traçado de suas curvas que são simétricas em relação ao eixo x.

Quanto ao item “b”, os grupos 01 e 02 observaram, incorretamente, um

paralelismo entre os gráficos, mesmo que, visualmente, percebe-se um ponto de intersecção

entre eles. A observação dos grupos 03 e 04 foi de que o gráfico f(x) = x³ + x² intercepta a

curva no ponto (0, -1), enquanto o gráfico f(x) = x³ - x² corta o eixo x no ponto (0, 1). A

análise dos grupos 05 e 06 dize que: quando o termo elevado ao quadrado possui sinal

positivo, a curva avança para a parte negativa de “x”; quando o sinal é negativo, o gráfico

avança na parte positiva do eixo “x”.

Sobre a comparação dos gráficos das funções f(x) = x³ + x² + x e f(x) = x³ + x² - x,

o entendimento do grupo 01 foi de que essas funções não possuem raízes complexas, o que é

verídico apenas para o segundo caso, em que os zeros da função são apenas números reais. O

grupo 02 percebeu que os gráficos se intersectam na origem do sistema cartesiano ortogonal.

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É correto o destaque dos grupos 03, 04, 05 e 06 de que o número de vezes que o gráfico

intersecta o eixo das abscissas difere entre as funções.

Na comparação dos gráficos produzidos pelas funções f(x) = x³ + x² + x + 1 e f(x)

= x³ + x² + x – 1, os alunos dos grupos 01 e 02 perceberam que as curvas tendem a se

intersectar no mais e no menos infinito do eixo “y”. Percebe-se que esses grupos não

compararam as semelhanças e diferenças dos dois gráficos, mas sim analisaram a situação

representada num todo. Os grupos 03, 04, 05 e 06 perceberam que as raízes das funções

representadas pelos dois gráficos são distintas.

A questão 03 tinha como objetivo verificar a percepção dos alunos quanto ao

papel dos coeficientes numéricos a, b, c e d em uma função polinomial do terceiro grau na

forma f(x) = ax³ + bx² + cx + d.

Os grupos 01, 02, 04, 05 e 06 relacionaram o sinal do coeficiente “a” com o

crescimento e decrescimento da função, o que não confere com a literatura, pois uma função

polinomial do terceiro grau possui em suas variantes momentos de crescimento e

decrescimento em uma mesma curva. O grupo 03 concluiu erroneamente que, quanto menor

o valor do coeficiente “a”, maior será a distância do gráfico em relação ao eixo “y”. Na

verdade, o que ocorre é justamente o contrário, pois o gráfico se aproxima do eixo “y”.

Ao investigar o papel do coeficiente “b”, o grupo 01 percebeu que o zero da

função muda, porém o valor que o gráfico intersecta o eixo y permanece o mesmo, o que de

fato é verdadeiro, pois quando o valor que “x” assume é zero, o que resta é o termo

independente, indicador da intersecção do gráfico no eixo “y”. Para o grupo 02, “b” também

é responsável pelo crescimento ou decrescimento de uma função. Portanto, um erro

conceitual, pois, por exemplo, os gráficos das funções f(x) = x³ + x² + x + 1 e f(x) = x³ - x² + x

+ 1, elas continuam crescentes, mesmo trocando-se o sinal do coeficiente “b”. O grupo 03

afirma de forma incorreta que o sinal do coeficiente “b” interfere diretamente no sinal dos

zeros das funções polinomiais do terceiro grau. Por sua vez, o grupo 04 comenta que o sinal

de “b” determina o número de raízes reais e complexas de uma função polinomial do terceiro

grau. Essa afirmação não pode ser generalizável, pois se aplica para casos particulares com

combinações de valores de outros coeficientes. Os grupos 05 e 06 preferiram não responder a

essa questão.

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No que diz respeito ao sinal do coeficiente numérico “c”, o grupo 01 afirma,

acertadamente, que os zeros das funções mudam e “c” modifica o sinal, porém a intersecção

do gráfico com o eixo “x” permanece a mesma. De acordo com o grupo 02, o sinal do

coeficiente “c” ao passar de positivo para negativo, faz com que as concavidades da curva

ficam mais acentuadas, o que de fato é perceptível nesse caso. O grupo 03 verificou um caso

particular em que o coeficiente “c” negativo produziu uma curva que intersectou o eixo “x”

em dois pontos, quando modificado o sinal de “c” para positivo, o gráfico passou pela origem

do sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. O grupo 04 não percebeu nada de

consistente que pudesse levar a uma generalização, manifestada por eles da seguinte forma:

“não conseguimos chegar a um conceito lógico”. Os grupos 05 e 06 deixaram em branco

essa questão.

Quanto à análise do coeficiente numérico “d”, os grupos 01 e 04 destacaram,

corretamente, que ele indica a intersecção do gráfico com eixo “y”. Equivocadamente, o

grupo 02 afirma ter percebido apenas um afastamento do gráfico em relação á origem. O

grupo 03 teve uma percepção diferente, ao dizer que o papel do coeficiente numérico “d”

determina o crescimento ou decrescimento de uma função, o que conceitualmente não é

verdadeiro.

Os grupos 05 e 06 não responderam a essa questão.

A última questão requeria que os participantes emitissem opinião sobre a

importância do uso do software geogebra para a realização dos exercícios propostos.

Os grupos 01, 02, 03, 04, 05 e 06 afirmaram que o software ajudou para a

construção e observação dos gráficos, pontos de intersecção e comparações entre eles. Para o

grupo 01: “a falta de conhecimento sobre as funções polinomiais do terceiro grau impediram

uma boa interpretação dos mesmos”.

Em síntese, pelos relatórios, foram restritas as elaborações conceituais dos

estudantes. Ou seja, as interações entre si e a mediação com software geogebra, sem a

presença do professor ou outro meio instrumental/social para diálogo e outras formas de

interação não garantem um processo e efetivo de formação do conceito de função polinomial

do terceiro grau. Entretanto, esse instrumento tecnológico computacional não pode ser

descartado ou considerado inútil para o processo didático da aprendizagem matemática. Tem

suas limitações se considerarmos com a pré-concepção mercadológica de que o computador e

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seus recursos substituiriam o homem nas atividades que lhes são próprias. Seu valor

pedagógico está no papel que ele desempenha como um elemento, entre outros, a ser adotado

nas aulas de matemática para promover a aprendizagem de algumas especificidades

conceituais como foi o caso do conceito de função. É, pois, um instrumento didático com suas

particularidades, como são os materiais manipulativos, os jogos estruturados, o livro didático,

entre tantos, presentes no cotidiano escolar, que são adotados com a crença da melhoria do

ensino da matemática.

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CONSIDERAÇÕES FINAIS

Conforme análise das ações dos estudantes, voltadas ao conceito de função

polinomial do terceiro grau, é possível dizer que as situações pedagógicas - inerentes à

pesquisa - propostas e vivenciadas pelos estudantes, propiciaram a constituição de Zona de

Desenvolvimento Proximal (ZDP). Essa afirmação tem por base a constante solicitação da

presença do professor que, por sinal, não estava prevista para elucidar questões referentes ao

conceito.

Necessidade de ajuda é indício de potencial que se desenha a mercê de

contribuições que podem emergir, conforme (PALINCSAR, 1999), da gama de possibilidades

de artefatos culturais, incluindo-se elementos da própria tarefa, que estão presentes e mediam

a aprendizagem no contexto da ZDP. O computador, o software geogebra e a oportunidade de

dialogar com um colega – que desempenhou o importante papel do outro social para que

houvesse trocas de significados - sobre o conceito em foco, tiveram suas contribuições, porém

não o suficiente para as elaborações conceituais de forma mais expressivas que aquelas

apresentadas no questionário inicial. Eles permitiram que os estudantes entrassem em contado

com a temática do conceito e analisassem características da sua representação no plano, mas

frustraram expectativas de possibilidades de expandir a apropriação de significações e

desenvolver um pensamento caracterizado pela lógica do referido conceito.

Como o contexto que produziu esse estado de sentir-se em condições de aprender

(ZDP), não ofereceu outros elementos interativos que indicassem o caminho para atingir o

nível de intervenções pessoais e até por percursos históricos, os alunos recorriam à

interlocução do professor. A sua presença não teve sentido para os estudantes somente por

considerá-lo alguém experiente e com domínio do conceito científico, mas também como a

pessoa que evita a dispersão dos envolvidos.

Em termos conceituais a ZDP se caracterizou pela necessidade dos estudantes em

entender significados da relação do gráfico com: a quantidade de zeros da função, as

intersecções da curva com os eixos x e y, o papel de cada coeficiente, o comportamento da

função (crescente, decrescente), o intervalo do domínio com implicações no intervalo da

imagem e aquisição da linguagem pertinente ao conceito.

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Além dos resultados e do esforço desprendido, a realização da pesquisa foi

impulsionadora de reflexões pontuais relacionadas tanto da prática científica quanto docente.

O referencial teórico cumpriu um papel fundamental, pois deu segurança para um

posicionamento a cada interlocução com os licenciandos. Nessas situações, também vinham

em mente cenas do cotidiano da prática docente, não só minha, mas de professores que estão

em processo de formação docente no próprio exercício da profissão. Quantas vezes deparei-

me em circunstâncias comumente denominadas de problemas e dificuldades da relação

professor – conhecimento matemático – aluno que me exigiram decisões que, posteriormente,

cobrava-me se eram corretas ou equivocadas.

Atualmente, entendo que esse julgamento traduzia a insegurança por vivenciar a

construção de uma entidade profissional sem uma base teórica definida e entendida. Portanto,

não tinha a compreensão histórico-cultural de que as dúvidas e as dificuldades anunciavam a

constituição de zona de desenvolvimento proximal, isto é, um despontar de possibilidade de

aprendizagem que necessita de colaborações e mediações sociais que a própria humanidade

produziu historicamente. Portanto, não se trata de ponderar os posicionamentos adotados em

certos ou errados, mas admitir as situações de dificuldades pedagógicas como uma

necessidade de interações sociais (outros professores ou literatura) mediadas pelos

conhecimentos que aquela situação requer. Em outras palavras, trata-se de uma situação

anunciadora de necessidade de um processo de elaboração conceitual.

Outra consideração importante é que o computador por si só não se mostrou como

elemento essencial para a aprendizagem, mas como mais um instrumento que vem a colaborar

no sentido de ferramenta pedagógica. Da mesma forma, o software educativo geogebra tem

seu valor, não por ser um produto cultural da humanidade, mas pela sua estruturação que

permite momentos reservados da especificidade conceitual da representação gráfica da função

em destaque. Contudo, seu uso não substitui de forma alguma a linguagem verbalizada do

professor que os estudantes conclamavam insistentemente. Subjacentes às suas manifestações

estavam reivindicações por diálogo síncrono e presencial entre os alunos também com o

professor, que era a todo o tempo solicitado para intervenções que clamavam por orientações

conceituais. Nesse sentido o computador aparece como mais uma recurso para somar no ato

educativo, mas não deve ser usado como única ferramenta sob pena de limitar o aluno a

preocupar-se apenas com o produto, deixando de lado o processo que é o indicador de

manifestação da ZDP.

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Quanto aos conceitos de funções polinomiais do terceiro grau, percebi que os

alunos apresentaram muitas dificuldades, fundadas principalmente em conceitos mal

formulados oriundos do ensino básico, que revelaram confusão quanto à distinção entre zero

de uma função polinomial e raiz de equação polinomial, além de dúvidas referentes ao esboço

dos gráficos. Além disso, a preocupação exagerada com o produto ao invés do processo,

manifestada quando os alunos foram solicitados a comparar duas funções polinomiais do

terceiro grau, cujos gráficos deveriam ser esboçados no mesmo plano cartesiano ortogonal

com auxilio do software geogebra. Contudo não se pode desconsiderar seu valor pelas suas

possibilidades pedagógicas e na dinâmica das representações geométricas.

Os alunos não apresentaram dificuldades em operar com o software que por si só

é bastante intuitivo. Destacam elogios quanto à dinamicidade na construção de gráficos,

possibilitando comparações praticamente instantâneas e a resolução de uma atividade que se

fosse realizada sem o auxilio do software, iria necessitar de alguns dias de construção,

resolução e análise.

Deixo como sugestão para trabalhos futuros de pesquisas, com outros softwares e

outros conceitos, como também, expandindo para outras áreas além da matemática. Isso teria

sentido se focasse para a constituição de Zonas de Desenvolvimento quando as interações e

mediações ocorressem num contexto de ensino aprendizagem que oportunizasse interações

dos alunos, além do componente computacional e da ação do professor-pesquisador, outros

elementos que possibilitassem atingir um novo estágio de desenvolvimento real.

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APÊNDICE I

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ANEXO I

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O software GEOGEBRA foi desenvolvido pelo austríaco Ph.D. Markus

Hohenwarter, no ano de 2002. Ele é professor e pesquisador na área de informática aplicada à

educação matemática. O GEOGEBRA é um software com funções educativas com uma janela

especificamente voltada para as construções geométricas, aliada a outra janela de expressões

algébricas das funções (paramétricas e não-paramétricas) acrescidas de objetos geométricos

(ponto, vetores, entre outros). As construções de ambas as janelas podem ser alteradas em

qualquer uma das instâncias de utilização do software.

O software, segundo Hohenwarter (2002), é gratuito e pode ser adquirido

diretamente nos sites www.geogebra.at ou www.geogebra.org. Ele possui um sistema de

multilinguagens, inclusive em português, o que facilita o entendimento de suas funções e

proporciona ao usuário – seja ele professor ou aluno – a possibilidade de investigação de

forma científica e não apenas exploratória. Pode ser instalado em um microcomputador que

utilize um sistema operacional compatível com o software, por exemplo, qualquer sistema

UNIX, ambiente Win32 ou Mac OS X. Porém, desde que tenha máquina virtual JAVA, pois

utiliza esta linguagem de programação. Outra opção é usar apenas um navegador de internet

(IE, Mozilla, Opera ou outros) que contenha um plugin Java, pois tem a opção de salvar os

arquivos do GEOGEBRA em formato de hipertexto (html), podendo assim publicá-los na

web ou até mesmo acessá-los da própria máquina.

A seguir serão apresentados os principais elementos de sua estrutura:

• Janelas

a) Janela de construção – onde, inicialmente, aparece um plano cartesiano com os eixos

x e y numa escala de x : y = 1 : 1.

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b) Janela de álgebra – local em que são descritos algebricamente três grupos de objetos

(pastas): os objetos livres, os objetos dependentes e os objetos auxiliares.

c) Entrada de comandos – é o campo que possibilita a inserção de comandos que

resultam em objetos da janela de construção e janela de álgebra.

d) Barra de Ferramentas – local das ferramentas para construção de objetos. Há nove

botões (caixas de ferramentas) que, individualmente, ativa um menu suspenso com um

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conjunto de novas opções (ferramentas), desde que mantenha pressionado o botão

esquerdo do mouse no triângulo pequeno localizado no canto direito inferior.

• Botões

1º Botão – serve para mover um objeto (ponto, reta, segmento, etc.)

2º Botão - insere pontos na janela de construção.

Um ponto também pode ser definido na janela entrada de comandos, com o

seguinte comando:

A = (a,b)

O par ordenado tem que ser separado com vírgula, pois o ponto é caracterizado

como o separador das casas decimais.

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3º Botão – serve para criar retas na janela de construção.

Uma idéia importante é que a reta se torna um objeto dependente (inclusive fica

situada dentro do campo de objetos dependentes na janela de álgebra), pois sua construção

fica associada aos dois pontos que a definiu. Ao movimentar os pontos - clicando no primeiro

botão do menu de comandos, que se chama Mover – é possível arrastar os pontos e, assim,

alterar a reta.

A definição de uma reta também ocorre pela janela entrada de comandos, com a

seguinte sintaxe:

r: ax+by+c = 0 (equação geral) ou r:y = mx+n (equação reduzida)

Sendo “r” qualquer letra maiúscula ou minúscula.

Ainda no botão 3, tem a opção Segmento. Escolhe-se, então, Segmento definido

por dois pontos. Ao clicar a Janela de construção, traçam-se segmentos determinados por dois

pontos quaisquer. O segmento que é marcado vem sempre expresso na janela de álgebra como

um número positivo, pois ele caracteriza a distância entre os dois pontos no plano cartesiano.

Para marcar segmentos pela entrada de comandos usa-se a seguinte sintaxe:

Segmento [A,B],

A e B são pontos previamente marcados ou então no próprio comando se insere os

pares ordenados que representem os pontos. Por exemplo, Segmento[(1,2),(3,7)].

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4º Botão – cria retas perpendiculares, paralelas, etc.

5ºBotão - constrói circunferências e arcos na janela de construção.

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6° Botão - determina ângulos e cálculo de distâncias.

7° Botão - tem funções de reflexão e homotetia.

8° Botão - inserção de textos e imagens.

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9° Botão - funções de formatação.

Portanto, o software possui diversos recursos que podem ser aproveitados para o

estudo de vários conteúdos de matemática em diversos graus de ensino. Utilizaremos, nessa

pesquisa, para o estudo das funções polinomiais do terceiro grau.

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