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1
UNIVERSIDADE ESTADUAL
DE CAMPINAS
CESET- CENTRO SUPERIOR DE
EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA
CURSO DE ESPECIALIZAÇÃOUNIVERSITÁRIA :
“MEIO AMBIENTE E DESENVOLVIMENTO
SUSTENTÁVEL”
D I S C I P L I N A CET-301-FUNDAMENTOS DEMODELAGEM MATEMÁTICA E TÉCNICAS DESIMULAÇÃO APLICADOS A SISTEMAS AMBIENTAIS
PROF. RENATO TAKAMI
MARÇO/2005
2
ÍNDICECapítulos 1 – Propriedades dos Fluidos e Definições............................................................................6
1.1-Definições de Fluidos..................................................................................................................61.2-Tensões de Cisalhamento e Normal..........................................................................................61.3-Principio da Aderência...............................................................................................................81.4-Sistemas de Unidades..................................................................................................................81.5-Peso Especifico............................................................................................................................91.6-Massa Especifica e Volume Específico....................................................................................10
1.6.1 – Massa Específica......................................................................................................101.6.2 – Volume Específico...................................................................................................10
1.7- Densidade de uma Substância................................................................................................101.8 Pressão de Vapor.......................................................................................................................111.9 Tensão Superficial.....................................................................................................................111.10 Capilaridade............................................................................................................................111.11-Lei de Viscosidade de Newton...............................................................................................121.12-Diagrama Reológico...............................................................................................................131.13-Viscosidade de um Fluido......................................................................................................13
1.13.1-Viscosidade Dinâmica..............................................................................................131.13.2-Viscosidade Cinemática...........................................................................................14
1.14-Gás Perfeito............................................................................................................................141.15-Modulo De Elasticidade Volumétrica...................................................................................161.16-Simplificação na Lei de Viscosidade de Newton..................................................................171.17-Unidades e Fatores de Conversão........................................................................................201.18-Fatores de Conversão de Unidades.....................................................................................211.19-Fatores de Conversão do Sistema Britânico ao Sistema Internacional..........................221.20-Exercícios - Capítulos 1.........................................................................................................231.21-Respostas dos Exercícios - Capítulos 1.................................................................................26
Capitulo 2- Manometria e Estática da Atmosfera................................................................................................272.1-Pressão.......................................................................................................................................272.2-Equação Fundamental de Equilibrio Estático.......................................................................272.3-Diferença de Pressão Entre dois Pontos em Função da Diferença de Cota.......................302.4-Variação da Pressão na Atmosfera Terrestre........................................................................312.5 –Altura de Carga.......................................................................................................................332.6-Lei de Pascal..............................................................................................................................34
2.7-Regra prática para determinação da diferença de pressão entre dois pontos ou entre dois reservatórios......................................................................................................35
2.8-Pressão Atmosférica. Vácuo e Escalas de Pressão................................................................352.8.1- Pressão Atmosférica..................................................................................................352.8.2- Vácuo..........................................................................................................................362.8.3- Escalas de Pressão.....................................................................................................36
2.9-Aparelhos de medir pressão....................................................................................................382.10-Unidades de Pressões e Pressões Equivalentes....................................................................38
2.11-Exercícios - Capítulo 2 - Estática dos Fluidos no Campo Gravitacional e Manometria...........................................................................................................................39 2.12-Respostas dos Exercícios do Capítulo 2................................................................................45
Capitulo 3 - Forças de Pressão Sobre Superfícies.Empuxo.................................................................................46 3.1-Força de Pressão Sobre Superfícies.........................................................................................46
3.1.1- Superfícies Planas.....................................................................................................46 3.1.1.1 - Modulo da Força......................................................................................46
3.1.1.2-Ponto de Aplicação da Força(Centro De Pressões).................................47
3 3.1.2-Superfícies Curvas...................................................................................................503.2-Empuxo.....................................................................................................................................52
3.2.1 - Corpo Submerso em um Fluido............................................................................52 3.2.2 - Corpo Submerso em Dois ou Mais Fluidos..........................................................53
3.3-Exercícios - ..............................................................................................................................553.4-Respostas dos Exercícios do Capítulo 3.................................................................................61
Capitulo 4 - Escoamentos de Fluidos...................................................................................................................62
4. 1-Tipos de Escoamentos.............................................................................................................634.1.1-Escoamento Permanente...........................................................................................634.1.2-Escoamento Variado.................................................................................................63
4.1.3-Escoamento Uniforme...............................................................................................63 4.1.3.1 - Escoamento Uniforme e Permanente........................................................63 4.1.3.2 - Escoamento Uniforme e Não Permanente...............................................63
4.1.4-Escoamento Laminar e Turbulento.........................................................................64 4.2-Vazão em Volume , Vazão em Massa e Vazão em Peso. Velocidade Média.
Conceitos e Unidades.................................................................................................654.2.1-Vazão em Volume......................................................................................................664.2.2- Vazão em massa........................................................................................................664.2.3- Vazão em Peso...........................................................................................................674.2.4- Velocidade Media......................................................................................................67
4.3- Equação da Continuidade.......................................................................................................70 4.3.1-Equação da Continuidade para Regime permanente............................................70
4.3.2-Equação da Continuidade para Regime Não Permanente...................................714.4-Exercícios – Capítulo 3 – Cinemática dos Fluidos.................................................................73
4.5-Respostas dos Exercícios do Capítulo 3.................................................................................78
Capitulo 5 - Conceitos Ligados Ao Escoamento De Fluido - Equações Fundamentais ..................................79 5.1-Sistemas e Volumes de Controle............................................................................................79
5.1.1-Sistema........................................................................................................................795.1.2-Volume de Controle(V.C).........................................................................................79
5.2-Relação Entre Solução por Sistema e Volume de Controle.................................................795.2.1-Grandezas Extensivas...............................................................................................795.2.2- Grandezas Intensivas...............................................................................................80
5.3-Equação da Continuidade na Forma de Integral.................................................................825.4.Equação de Bernoulli..............................................................................................................845.5-Medida de Velocidade.............................................................................................................89
5.5.1-Tubo de Pitot simples................................................................................................895.5.2-Tubo de Pitot Estático...............................................................................................90
5.6.Equação de Bernoulli em Presença de uma Máquina..........................................................915.7-Potencia e Rendimento de uma Máquina.............................................................................915.8-Equação de Bernoulli na presença de uma Máquina...........................................................925.9-Coeficiente de Energia Cinética α ........................................................................................935.10-Método de Solução de Problema..........................................................................................94
5.11-Exercícios capítulo 5 ............................................................................................................955.12-Respostas dos exercícios do capítulo 5...............................................................................100
Capitulo 6 - Equação da Quantidade de Movimento.........................................................................................101
46.1-Aplicação da equação da quantidade de movimento..........................................................101
6.1.1 Simplificações da Equação da Quantidade de Movimento....................................1026.2-Coeficiente da quantidade de movimento β.......................................................................1036.3-Força sobre superfície sólida em movimento......................................................................1076.4- Potência de uma Turbina Hidráulica.................................................................................1096.5-Exercícios do Capítulo 6 – Equação da Quantidade de Movimento...................1116.6-Respostas dos exercícios do capítulo 6....................................................................116
Capítulo 7-Transporte Difusivo de Massa........................................................................................................1177.1-Equação da Difusão de FICK...............................................................................................117
Tabela A . 10 Coeficiente de difusão de gases e vapores em ar a 25o C e 1 atm...........122Tabela A . 11 Coeficiente de difusão em líquidos a 20o C...............................................123
Capítulo 8- Estudo de Perda de Carga. Sistema Elevatório. Fórmulas Práticas de Cálculos de Perda de Carga.....................................................................................125
8.1-Definições...................................................................................................................1258.2-Estudo da Perda de Carga....................................................................................................125
8.2.1- Estudo da Perda de Carga Distribuída.................................................................126 8.2.1.1-Equação da Continuidade..........................................................................1268.2.1.2-Equação de Bernoulli(representação gráfica)..............................1268.2.1.3 - Linha de Energia ou de Carga e Linha Piezométrica...............1268.2.1.4 - Conceito de Perda de Carga....................................................................1278.2.1.4-Equação de Hagen- Poiseuille(válida para regime Laminar)..............1298.2.1.5-Fórmula Universal da Perda de Carga Distribuída..............................128
8.2.1.6-Fórmulação explícita para o Cálculo do Fator de Atrito (f) de Escoamento Forçado.....................................................................131
8.2.1.7-Equações de Swamee e Jain.....................................................................1338.2.1.8-Problemas envolvendo apenas perdas de carga distribuída..................134
8.2.1.9-Exercícios sobre Perdas de Carga Distribuída Calculada pelaFórmula Universal de Perda de Carga..........................................134
8.3-Perdas de Cargas Localizadas ou singulares......................................................................1388.3.1-Relação entre o comprimento equivalente Leq e o coeficiente Ks...................140
Tabela I - Comprimentos equivalentes em diâmetros de canalizações retilíneas..140Tabela II - Valores aproximados de Ks......................................................................140
Tabela III - Comprimento Equivalente em Metros de canalizações para Conexões de Ferro Maleável Classe 10.................................................................141 Tabela IV - Comprimento Equivalente em Metros de canalizações de Aços
Galvanizados para Válvulas , Entradas e Saídas de Canalizações.........142 Tabela V- Comprimento Equivalente em Metros de canalizações de
PVC Rígido ou Cobre..................................................................................143 8.4 - Sistema Elevatório..............................................................................................................144
8.4.1 - Altura Manometrica –Hm..................................................................................1448.4.2 - Potência Necessária para o Acionamento da Bomba.......................................145
Tabela VI - Margem de Segurança para Escolha do Motor.................................................1458.4.3-Cavitação................................................................................................................145
8.4.3.1-Pressão de vapor para a água em metro.................................................1468.4.3.2-Pressão atmosférica em função da altitude............................................146
8.4.4-Curvas Características de uma Bomba...............................................................1468.4.4.1- Variações das curvas características......................................................147
8.4.5-Curva do Sistema . Ponto de Operação..............................................................149 8.4.5.1-Curva do Sistema.....................................................................................149
8.4.5.2-Ponto de Operação....................................................................................1498.5-Fórmulas Práticas para Cálculo de Perda de Carga em Tubulações...............................150
58.5.1-Fórmula de Hazen-Willians.................................................................................150
Tabela VII– Valores de C da Fórmula de Hazen-Willians......................................1508.5.2-Fórmulas de Fair-Whipple-Hsiao e de Flamant......................................................151
8.5.2.1-Fair-Whipple-Hsiao.......................................................................................1518.5.2.2-Flamant...........................................................................................................151
8.6-Emprego de Nomogramas.........................................................................................................1528.7-Exercícios 8- Estudo da Perda de Carga. Sistema Elevatório...............................................1608.8-Respostas dos exercícios do capitulo 8.....................................................................................164
Capítulo 9-Simulação Hidráulica Utilizando o Epanet2.0...............................................................................1659.1-Configurar Projeto.......................................................................................................1659.2-Traçado Da Rede..........................................................................................................1659.3-Configurar as Propriedades dos Objetos...................................................................167
9.4-Guardar e Abrir Projetos............................................................................................1679.5-Executar uma Simulação Estática...............................................................................1679.6-Executar uma Simulação Dinâmica..........................................................................1689.7-Criar Gráfico de uma Série Temporal de Nó ou Trecho.........................................1689.8-Inserir uma Bomba.......................................................................................................168
Bibliografia.................................................................................................................................170 Anexo de Tabelas......................................................................................................................171
Tabela 1A – Propriedades Aproximadas de Alguns Gases...................................................172Tabela 1B – Algumas Propriedades do Ar à Pressão Atmosférica......................................173
Tabela 1C – Propriedades Mecânicas da Água à Pressão Atmosférica...............................174 Tabela 2 – Densidade e Viscosidade Cinemática de Alguns Líquidos.................................175
Tabela 3 – De Conversão de Unidades de Pressão.................................................................176
APENDICE A.................................................................................................................................................177Análise Dimensional e Semelhança.........................................................................................177A.1-Análise Dimensional.........................................................................................................177
A.1.1-Introdução................................................................................................................177A.1.2-Finalidades...............................................................................................................177A.1.3-Grandezas Fundamentais e Derivadas..................................................................177A.1.4- Equação Dimensional.............................................................................................177A.1.5- Principio de Homogeneidade................................................................................177A.1.6-Teorema de Buckinghan ou Teorema dos πs.......................................................178A.1.7- Principais Grandezas Físicas.................................................................................180A.1.8- Parâmetros adimensionais de transporte do momento linear............................181A.1.9- Parâmetros adimensionais de transporte de calor..............................................184A.1.10- Parâmetros adimensionais de transporte de massa..........................................186A.1.11- Vantagem da Utilização dos Adimensionais......................................................187
A.2-Semelhança.........................................................................................................................189A.2.1-Finalidades...............................................................................................................189A.2.2-Protótipo e Modelo..................................................................................................189A.2.3-Condições de Semelhança.......................................................................................189A.2.4-Escalas de Semelhança............................................................................................190A.2.5-Relações entre Escalas............................................................................................190
6CAPITULO 1 - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS E DEFINIÇÕES.
1.1-Definições de Fluidos.
Fluidos são substâncias, capazes de escoar, cujo volume toma a forma de seus recipientes. Um fluido é uma substância que se deforma continuamente quando submetida a uma tensão decisalhamento, não importando o quanto pequena possa ser essa tensão.
1.2-Tensões de Cisalhamento e Normal.
Uma forca de cisalhamento é a componente tangencial da forca que age sobre uma superfície, quedividida pela área da superfície da origem a tensão de cisalhamento média sobre a área .A tensão normalmédia é a relação entre a componente normal da força que age sobre uma superfície e a área destasuperfície. F Fn
dA Ft A
TENSÃO DE CISALHAMENTO τ
a)Tensão de cisalhamento média
Ft τ = -------- A b)Tensão de cisalhamento no ponto
dFt τ = -------- dA
TENSÃO NORMAL σ
a)Tensão de normal média
Fn σ = ------- A
b)Tensão normal no ponto
7
dFn σ = ------- dA
Unidades de Tensões
M Kf S ..........kgf/m2
M K S ...........N/m2
C G S ...........dina/cm2.Se colocarmos um fluido entre duas placas paralelas bem próximas e bem grandes, sendo a placa
inferior fixa, e aplicarmos uma força tangencial F na placa superior, esta se movimentará com velocidadeconstante Vo, independente da magnitude da força F e o fluido , se deformará continuamente. Este fatoocorre apenas quando colocamos fluido entre as placas. A figura 1.1 mostra este fato. Placa móvel a c a a’ Vo c c’ F
FLUIDO τ FLUIDO τ µ µ
b d b d Placa fixa Vo a a’ a” c c’ c” F
τ FLUIDO τ
µ τ
b d
Figura 1.1- Comportamento de um fluido quando sujeito a força tangencialAssim, um sólido sujeito a uma força tangencial terá deslocamento angular definido ou se romperá
dependendo da magnitude da força, como mostra a figura 1.2. ∆α Deformação angular definido ou se romperá F
SÓLIDO SÓLIDO
Figura 1.2 – Deformação angular definido ∆α de um sólido quando sujeito a uma força tangencial.
8 Uma substância plástica não pode preencher a definição de fluido porque a mesma tem uma tensãode cisalhamento inicial que deve ser superada para depois se ter uma deformação contínua. Umasubstancia elástica colocada entre as duas placas sofreria uma certa deformação proporcional a força , masnão continuamente em velocidade finita. Vácuo completo entre as placas não acarretaria velocidade finalconstante, mas sim uma velocidade sempre crescente. Colocando areia entre as duas placas, o atrito secoiria requerer uma força finita para causar um movimento contínuo, assim a areia não satisfaz a definiçãode fluido.
1.3-Principio da Aderência
"OS PONTOS DE UM FLUIDO EM CONTATO COM UMA SUPERFÍCIE SÓLIDA TEMA VELOCIDADE DESTA"
De acordo com o princípio da aderência a velocidade entre as placas variará de zero na placainferior(fixa) até o valor Vo na placa superior. A figura 1.3 mostra o perfil de velocidades que se formano interior do fluido. Vo τ F
FLUIDO PERFIL DE VELOCIDADES
τ µ
V=0τ Tensão de cisalhamento devido a força tangencial F.
Figura 1.3- Perfil de velocidades formado no interior do fluido.
1.4-Sistemas de Unidades
a)MKfS
GRANDEZAS DIMENSÃO UNIDADESComprimento L Metro(m)
Tempo T Segundo(s)Força F Quilogramaforça(kgf)
OBS: A unidade de massa neste sistema(derivada) é a Unidade Técnica de Massa(Utm)Da 2a Lei de Newton F = mxa m = F/a = Kgf/m/s2 (Utm)
b)MKS(SI)
GRANDEZAS DIMENSÃO UNIDADESComprimento L Metro(m)
Tempo T Segundo(s)Massa M Quilograma(kg)
OBS: A unidade de força neste sistema(derivada) é o Newton(N)Da 2a Lei de Newton F = mxa F = kgxm/s2 (Newton)
9UNIDADES NO SI
GRANDEZAS UNIDADE SÍMBOLOComprimento Metro m
Massa Quilograma KgTempo Segundo s
Unidades básicas
Temperatura Kelvin KUnidade suplementar Ângulo Radiano rd
Energia Joule(N.m) JForça Newton(kg.m.s-2) N
Potência Wat(J/s) WPressão Pascal(N/m2) Pa
Unidades derivadas
Trabalho Joule(N.m) J
PREFIXOS (Potência de dez) DE SI
Prefixo Símbolo Potência de dezTera T 1012
Giga G 109
Mega M 106
Quilo K 103
Hecto H 102
Deca Da 101
Deci D 10-1
Centi C 10-2
Mili M 10-3
Micro µ 10-6
Nano N 10-9
Pico P 10-12
c)CGS
GRANDEZAS DIMENSÃO UNIDADESComprimento L Centímetro
Tempo T SegundoMassa M Grama
OBS: A unidade de força neste sistema(derivada) é o dina(dyn)
Da 2a Lei de Newton F = mxa F = gxcm/s2 (dina)
1.5-Peso Especifico γ(gama).
É o peso da unidade de volume de uma substância . Pode ser expresso pela relação do peso de umaquantidade de uma substância pelo seu volume.
Peso γ = ----------- , ou se W = peso da substância e V = volume da substância Volume
10
W γ = ----------- V
Unidades: M Kf S ...........kgf/m3
M K S ............N/m3
C G S ............dina/cm3
1.6-Massa Especifica e Volume Específico.
1.6.1 – Massa Específica ρ(Rho)
É a quantidade de massa contida na unidade de volume de uma substância qualquer , tambémconhecida por “densidade absoluta”. Pode ser expressa pela relação da massa(m) de uma substância peloseu volume(V).
Massa m γ ρ = ----------- ou ρ = --------- ou ρ = ------ volume V g
Unidades: M Kf S ..............Utm/m3
M K S................Kg/m3
C G S................grama/cm3
1.6.2 – Volume Específico (vs)
É o inverso da massa específica ρ, isto é, é o volume ocupado pela unidade de massa de fluido.Logo:
1 Vvs = ----------- = ------------
ρ m
Unidades: M Kf S ..............m3/Utm M K S................m3/kg
C G S................cm3/grama1.7- Densidade de uma Substância(d)
É a relação entre o peso de uma quantidade de substância e o peso de igual volume de água nascondições normais . Pode ser expressa também como sendo a relação entre a massa específica ou pesoespecífico de uma substância com os da água .Assim:
Peso da substânciad = ---------------------------------------
Peso de igual volume de água
Peso específico da substância γd = -------------------------------------- ou d = ------------
Peso específico de água γH2O
11
Massa específica da substância ρd = ----------------------------------------- ou d = -------------
Massa específica de água ρH2O
1.8 Pressão de Vapor
É a pressão desenvolvida pelas moléculas de vapor em decorrência da evaporação em ambientefechado. A pressão de vapor dos líquidos depende da temperatura e aumenta com ela.
Em diversas situações , de escoamento de líquidos , as pressões podem atingir valores bastantesbaixos, em certas regiões , até menores que a pressão de vapor do líquido. Quando isto ocorrer o líquidopode-se evaporar muito rapidamente , formando uma bolsa de vapor ou “cavidade” , que se expanderapidamente , e pode se deslocar para região de maior pressão que a da pressão de vapor ,ocorrendo ocolapso da bolsa. Este é o fenômeno da cavitação . A formação e a extinção das bolhas afeta odesempenho das bombas e turbinas hidráulicas, e pode danificar as partes das máquinas onde ocorrer acavitação. A tabela 1C do anexo dá os valores da pressão de vapor da água.
1.9 -Tensão Superficial
Uma molécula no interior de um líquido está submetida a força de atração em todas as direções,cuja soma vetorial destas forças é nula. Mas uma molécula na superfície de um líquido é atraído para ointerior do mesmo, por uma força perpendicular à superfície do líquido, em razão disso, as moléculas dasuperfície tendem a se aglutinar, produzindo uma diminuição da área, deste modo, a superfície secomporta como fosse uma membrana; surge daí o conceito de tensão superficial. Logo é necessário umacerta quantidade de trabalho para deslocar moléculas para a superfície . Ao trabalho necessário paradeslocar estas moléculas para a superfície representa o que se denomina tensão superficial.
Devido a tensão superficial numa interface de um líquido com um gás forma uma películaelástica, capaz de sustentar uma agulha cuidadosamente colocada sobre ela.
A tensão superficial normalmente simbolizada por σs(sigma) pode ser definida como sendo aforça sobre a superfície líquida , por unidade de comprimento. Assim, se F for a força e L umcomprimento de membrana, pode-se escrever que:
σs = F/LA tabela 1C do anexo fornece a tensão superficial da água em contato com o ar.
1.10 - CapilaridadeA elevação ou descida de um líquido em um tubo capilar( ou outro meio poroso)é causada pela
tensão superficial, e depende dos valores da coesão do líquido e da adesão do líquido às paredes do tuboque o contém. Se a adesão> coesão os líquidos sobem nos tubos molhando a paredes e se coesão>adesão os líquidos descem, não molhando as paredes. A capilaridade tem importância quando usam tuboscom diâmetros menores de 10mm e é desprezível quando os diâmetros dos tubos forem maior que 12mm.
A capilaridade(subida ou descida de um líquido) em tubo pode ser determinada aproximadamentepela expressão:
2σs cosθh = ------------ , onde : - h = altura de subida ou descida capilar; γ.r - σs = tensão superficial;
-θ = ângulo da superfície do líquido com a parede do tubo. Se tubo estiver limpo θ=0° para água e cerca de 140° para mercúrio;
12 -γ = peso específico do líquido; -r = raio interno do tubo
r r
σs σs
θ
h
h Água Mercúrio θ (a) (b) σs σsFigura 1.4- Capilaridade da água (a) e do mercúrio (b).
1.11-Lei de Viscosidade de Newton.
Os fluidos se classificam em newtonianos e não newtonianos: FLUIDOS NEWTONIANOS: nestes fluidos a tensão de cisalhamento(τ) é proporcional a razão devariação da velocidade na direção normal ao escoamento(gradiente de velocidade).Todos os gases e amaioria dos líquidos se comportam como fluidos Newtonianos. A figura 1.5 mostra o comportamento deum fluido newtoniano. Para estes fluidos:
dV τ α --------- dy
y(normal) τ Vo τ F
V dV
L dy V FLUIDO
y µ
V=0Figura 1.5- Comportamento de um fluido newtoniano.
Foi o próprio Newton quem observou que o fator de proporcionalidade existente entre a tensão τ eo gradiente de velocidade(dv/dy) é a propriedade do fluido denominada viscosidade dinâmica ou absolutaµ .Logo: dV τ = µ ------ dy
13FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS : nestes fluidos não existe uma relação linear entre o valor da
tensão de cisalhamento e a velocidade de deformação(gradiente de velocidade).
1.12-Diagrama Reológico.
Os fluidos são classificados em newtonianos e não-newtonianos. No fluido newtoniano existe umarelação linear entre o valor a tensão de cisalhamento e a velocidade de deformação resultante. No fluidonão-newtoniano esta relação não é linear.A figura dada a seguir mostra o comportamento de algumassubstancias quando sujeitas a tensão de cisalhamento.
dv/dy 1 2 3 4
Fluido ideal
1 - Fluido newtoniano 2 – Fluido não newtoniano 3 – Plástico ideal 4 – Substância pseudoplástica( tinta de impressão) dv/dy –Velocidade de deformação
Tensão de Tensão de Cisalhamento (τ) Escoamento
1.13-Viscosidade de um Fluido.
1.13.1-Viscosidade Dinâmica µ
É a propriedade do fluido que determina o grau de sua resistência a força de cisalhamento. Pode-setambém ser definida como a resistência do fluido ao esforço cortante ou de cisalhamento. Esta resistênciaé decorrente basicamente da interação entre as moléculas do fluido.
Dimensão de µ. .
Da Lei de viscosidade de Newton vem: τ µ. = --------- dV/dy
[τ ] = [F L-2 ] ; [ V ] = [L T-1 ] ; [ y ] = [ L ]
14 [F L-2 ] [µ ] = ------------ ---- = [F L-2 T ] ==> [µ ] = [ F L-2 T ]. [L T-1 .L-1 ] Unidades:
M Kf S ............Kgfs/m2
M K S .............Nxs/m2
C G S..............dinaxs/cm2 =1 poise centipoise = poise/100
1.13.2-Viscosidade Cinemática ν
É a razão entre a viscosidade dinâmica µ e a massa especifica ρ. µ ν = --------- ρ
Dimensão de ν :
[ µ ] [ F L-2 T ] [ν ] = --------- = ----------------- ===> [ν ] = [ L2 T-1 ] [ ρ ] [ F L-4 T2 ]
Unidades: M Kf S ..................m2/s M K S....................m2/s C G S.....................cm2/s(stoke)
As viscosidades dos líquidos decrescem com o aumento da temperatura, mas não sofrem variaçõessensíveis com as variações de pressão. A viscosidade absoluta dos gases aumenta com a temperatura ,mas não sofre alterações sensíveis com as variações de pressão. Já a viscosidade cinemática dos gasesvaria inversamente com a pressão, pois a massa específica dos gases varia com a pressão mantendo-se atemperatura constante. As tabelas 1A, 1B, 1C e 2 do anexo fornecem as viscosidades dinâmicas ecinemáticas de alguns fluidos.
1.14-Gás Perfeito
O gás perfeito é definido como uma substância que satisfaz a Lei dos Gases Perfeitos, cujaequação é : m
P.V = n ℜ T , sendo n = ------- vem: M m P.V ℜ P.V = ------- ℜ T ===> -------- = -------- T M m M
ℜ 1 V sendo : R = ------- e ------ = ------ M ρ m
15 P Logo: ------ = R.T ; onde: ρ
P - pressão absoluta do gás; V - volume do gás; n - numero de moles do gás; ℜ - constante universal dos gases; T - temperatura absoluta do gás; R - constante característica de cada gás; m - massa do gás; M - peso molecular do gás;
ρ - massa especifica do gás.O gás perfeito não é um fluido perfeito ; um fluido perfeito não tem viscosidade e é
incompressível , já o gás perfeito tem viscosidade e pode sofrer tensões de cisalhamento e é compressível,e segue a lei dos gases perfeitos. A tabela 1A do anexo fornece os valores de R(constante característica)de alguns gases. Transformações:
a)Isobáricas(a pressão constante)
P1.V1 P2.V2 V 1 ---------- = ----------- , como v = ------- = ------ T1 T2 m ρ
Logo: P P P P -------- = --------- = --------- = ... =-------= cte ρ1.T1 ρ2.T2 ρ3.T3 ρT
ρ1.T1 = ρ2.T2 = ρ3.T3 =........= ρT = cte. ou
P . V1 P . V2 P .V3 P. V ---------- = ------------ = ------------ = .... = ---------- = cte T1 T2 T3 T
V1 V2 V3 V ---------- = ------------ = ------------ = .... = ---------- = cte T1 T2 T3 T
b)Isovolumétrica(a volume constante ou ρ =cte)
P1 P2 P3 P -------- = ------- = --------= .....= -------- =cte , ou T1.ρ T2.ρ T3.ρ T.ρ
16 P1 P2 P3 P ----- = ------ = ------- =.... = ------ = cte T1 T2 T3 T
c)Isotérmica(a temperatura constante)
P1 P2 P3 P --------- = ------- = ------- =....= -------- = cte ρ1.T ρ2.T ρ3.T ρ .T
P1 P2 P3 P ------ = ------ = -------=.....=------ = cte ou ρ1 ρ2 ρ3 ρ
P1 . V1 P2 . V2 P3 .V3 P. V ---------- = ------------ = ------------ = .... = ---------- = cte T T T T
P1.V1 = P2.V2 = P3.V3 = .....= P. V =cte
d)Adiabática (sem trocas de calor)
P1.v1k = P2.v2
k = P3.v3k =.....=Pn.vnk = cte.
1 1 1 1 Como v1 = ------ ; v2=----- ; v3 = ------ ;v = ---- ρ1 ρ2 ρ3 ρ
P1 P2 P3 P logo: ------- = -------- =--------- =... =------- =cte , onde: ρ1
k ρ2k ρ3
k ρk
K = Cp/Cv=cte = é a relação entre o calor especifico a pressão constante e o calor especifico avolume constante. Para o ar o K=1,4.
1.15-Modulo de Elasticidade Volumétrica E.
O módulo de elasticidade volumétrica (E) expressa a compressibilidade de um fluido. Pode serdefinida pela relação da variação da pressão unitária para a correspondente variação de volume porunidade de volume. A figura 1.6 mostra o comportamento de um fluido quando submetido a umacompressão. dp dp ∆p E = - --------- = ------------ = ------------- dV/Vi dρ/ρi ∆ V/Vi
Na figura 1.6 um recipiente indeformável de volume Vi, contém um líquido que foi submetido auma compressão dp e sofre uma redução de volume dV.
17
∆F dp
dV
Vi Líquido A
Recipiente indeformável
Figura 1.6- Comportamento de um líquido sujeito a uma compressão
Unidades : M Kf S ..........kgf/m2
M K S.............N/m2
C G S............ dina/cm2
A tabela 1C do anexo fornece os valores do módulo de elasticidade volumétrico(E) da água paradiversas temperaturas.
1.16-Simplificação na Lei de Viscosidade de Newton.
Quando o espaço L entre as duas placas for pequeno será admitido que o perfil de velocidades queforma no interior do fluido seja linear (AC será considerado uma reta) conforme mostra a figura 1.7. y(normal) Vo F
B V E dV C dV F E F L dy V D FLUIDO dy y µ D
A V=0Figura 1.7- Comportamento do fluido quando se considera perfil linear de velocidades.
Da figura acima, tem-se que os triângulos ABC e DEF são semelhantes, logo:
dy dV dV Vo ------ = ------- ===> -------- = ------ L Vo dy L
dV Vo τ = µ ------- e para L pequeno ===> τ = µ ------ dy L
Exemplos:
1-Transformar:a) 1N em dinas b)10Kgf em N c)100m2/s em cm2/s d)1000kg/m3 em g/m3
18e)10.000kgf/m2 em kgf/cm2 f) 10m2/s em cm2/s g)10kgf/m2 em N/m2
h)100dinas/cm2 em Ns/m2
Solução: m
a) 1N = Kg ------- = 1000g x 100xcm/s2 1N = 105gcm/s2 1N = 105dinas s2
1Kg = 1000g ; 1m = 100cm 1gcm/s2 = 1dina
b) 10kgf = 9,81x10 10 kgf = 98,1 N 1 kgf = 9,81 N
c) 100m2/s em cm2/s
1m2 = 100cmx100cm = 104cm2 100m2/s = 100x104cm2/s =106cm2/s
d)1000Kg/m3 em g/cm3
1 kg = 1000g 1m3 = 100cmx100cmx100cm =106cm3
1000x1000g 1000kg/m3 = -------------- = 1g/cm3
106cm3
e)10.000kgf/m2 em kgf/cm2
1m2 = 100cmx100cm = 104cm2
10.000kgf/m2 = 10.000kgf/104cm2 = 1kgf/cm2
f) 10m2/s em cm2/s
1m2 = 100cmx100cm = 104cm2
10m2/s = 10x104cm2/s = 105cm2/s
g)10kgf/m2 em N/m2
1 kgf= 9,81N
10kgf/m2 = 10x9,81N/m2 = 98,1N/m2 = 98,1Pa(pascal)
h)100dinas/cm2 em Ns/m2
1N = 105dinas 1dina = 10-5 N
1m2 = 100cmx100cm = 104cm2 1cm2 = 10-4m2
19100dina.s/cm2 = 100x10-5N.s/10-4m2 =10N.s/m2 =10Pas
2)Calcular o peso específico γ , o volume específico vs e a massa específica ρ , do nitrogênio a20°C e 800.000Pa(absoluta)
Da tabela 1A do Anexo , tem-se : RN2= 30,3m/K
PLei dos gases : ------- = R T em que a unidade de R é em m2/s2.K ou
ρ P
--------- = R T em que a unidade de R é em m/K γ
P 800.000Da 2a expressão vem : γ = -------- = -------------------- γ =90,11N/m3
RT 30,3x(273+20)
γ 90,11ρ = -------- = ---------- ρ = 9,18 kg/m3
g 9,81
1 1vs = -------- = --------- vs = 0.1089 m3/kg
ρ 9,183)Determinar a variação em volume de 0,030m3 de água a 30°C quando sujeito a um acréscimo
de pressão de 2100Kpa .Da Tabela 1C do anexo E = 2,25Gpa E = 2,25x106KpaDa definição de módulo de elasticidade volumétrica tem-se:
dp Vixdp 0,030x 2100E = - -------- dv = ---------- dv = ----------------- dv = 0,000028m3
dv/Vi E 2,25x106
4)Uma superfície plana bem grande é lubrificada com um óleo cuja viscosidade é de µ=0,01Ns/m2. Pretende-se arrastar sobre a superfície lubrificada uma placa plana de 1m x10m a velocidade1m/s. Pede-se para determinar a força a ser aplicada. y placa de10mx1m e=2mm Vo =1m/s F
τ τ τ
Da lei de viscosidade de Newton simplificada(perfil de velocidades linear) vem:
20 Vo 1,0
τ = µ ------ F = τ x A = 0,01x---------- x10x1,0 F = 50N e 0,002m
1.17-Unidades e Fatores de Conversão
SISTEMA INTERNACIONAL(SI)
GRANDEZAS SÍMBOLO UNIDADES DIMENSÃO
Comprimento c Metro(m) LTempo t Segundo(s) TMassa m Quilograma(kg) M
Área A m2 L2
Volume Vol m3 L3
Vazão Q m3/s L3 T-1
Velocidade V m/s L T –1
Aceleração a m/s2 L T-2
Freqüência f s-1 T-1
Força F N(kgxm/s2) M L T-2
Trabalho τ Nxm= 1 Joule(J) M L2 T-2
Potência N Nxm/s= 1 Watt(W) M L2 T-2
Pressão P N/m2(Pascal=Pa) M L-1 T-2
Tensão σ , τ N/m2(Pascal=Pa) M L-1 T-2
Viscosidadedinâmica µ Nxs/m2 M L-1 T-1
Viscosidadecinemática ν m2/s L2 T-1
21
1.18-Fatores de Conversão de Unidades
1 pe3 (ft3 ) = 7,48U.S. gallons = 28,32 litros
1 U.S. gallons = 8,338 litros de água a 60° F
1 pé cúbico por segundo(cfs) = 0,646 milhões de galões por dia(mgpd)
1 pé cúbico por segundo(cfs) = 448,8 galões por minutos
1 pé quadrado por segundo(ft2/ sec) (ν)= 0,0929 m2/s
1 libra- segundo por pé quadrado(lb-sec/ft2) (µ ) = 478,7 poises
1 horsepower(hp)= 550 libras-pé/segundo(lb-ft/sec) = 0,746 quilowatt
1KN = 1000N
1 KN/m2 = 1 KPa = 1000 Pa ; 1Psi = 1 l bf/in2 = 6894,7572931Pa ; Patm = 14,7 Psi
Patm =101,35 KPa
1 Joule = 1Nxm(J)
1 Watt = 1 J/s (Nxm/s)
1 caloria = 4,19 Joule
1 Kcaloria = 1000 calorias
1 UTM = 9,81 kg
1 kgf = 9,81N.
22
1.19-Fatores de Conversão do Sistema Britanico ao Sistema Internacional
Grandezas Sistema Britânico para SI Do sistema SI para oBritânico
Comprimento 1in(polegada)=0,0254m
1ft(pé) = 0,3048m
1m = 39,37in
1m = 3,281ft
Massa 1 slug = 14,59 kg 1kg = 0,06854 slug
Força 1 lb = 4,448 N 1N = 0,2248 Lb
Tempo 1 sec = 1s 1s = 1 sec
Peso específico 1 lb/ft3 = 1 157,1 N/m2 1 N/m2 = 0,006366 lb/ft3
Massa específica 1 slug/ft3 = 515,2 kg/m3 1 kg/m3 = 0,001941 slug/ft3
Densidade Adimensional e tem omesmo valor
Adimensional e tem omesmo valor
Viscos. Dinâmica 1 lb-sec/ft2 = 47,88Nxs/m2 1 Nxs/m2=0,02089lb-sec/ft2
Viscos. Cinemática 1 ft2/sec = 0,09290 m2/s 1m2/s = 10,76 ft2/sec
Pressão 1 lb/ft2 = 47,88Pa
1 lb/pol2 = 6,895kPa
1 Pa = 0,02089 lb/ft2
1 Kpa = 0,1450 Lb/pol2
Tensão Superficial 1 lb/ft = 14,59 N/m 1 N/m = 0,06853 lb/ft
231.20-EXERCÍCIOS - CAPÍTULO 1
1)Se a água tem módulo de compressibilidade volumétrica E= 21.000kgf/cm2, qual o acréscimo depressão requerido para reduzir seu volume de 0,5%?2)Qual o valor do volume específico em m3/kg de uma substância cuja densidade vale 0,8?3)Determinar o peso específico do ar à pressão atmosférica normal 1,033kgf/cm2 e a temperatura de 27°C . Dado constante do ar = 29,4m/K .4)A massa específica da água a 20°C e a pressão atmosférica vale 1000kg/m3.Calcular o valor da massaespecífica de um volume de água que sofreu um acréscimo de pressão de1000kgf/cm2, mantendo-se a temperatura . Dado : E= 21.000kgf/cm2.5)Determinar o valor da constante R, em m/K, para o ar atmosférico, supondo que esta seja composto de80% de nitrogênio e 20% de oxigênio .Dados:
-Massa molecular do nitrogênio = 28kg(kgmol)-Massa molecular do oxigênio = 32kg(kgmol)-Constante Universal dos gases perfeitos -ℜ =848kgfm/k.
6) Um fluido tem viscosidade igual a 4 centipoises e massa específica de 800kg/m3. Determinar suaviscosidade cinemática em stokes.7)Qual o módulo de compressibilidade volumétrica de um líquido que tem um aumento de 0,02% namassa específica para um aumento na pressão de 4800kgf/m2?8)Um balão sonda de formato esférico foi projetado para ter um diâmetro de 10m a uma altitude de45.000m. Se a pressão e a temperatura nesta altitude são respectivamente 2000kgf/m2(abs) e -60°C,determinar o volume de hidrogênio a 10.000kgf/m2(abs) e 20°C necessário para encher o balão na terra.9)Um corpo pesa 1962N, tem volume igual a 0,025m3 , determinar: γ ; ρ e d.10)A viscosidade cinemática de um fluido é 2,8x10 −2 m2/s e a densidade é 0,9.Determinar a viscosidadedinâmica nos sistemas MKS e CGS. Adotar g= 10m/s2.11)Se a massa específica de um líquido é 835 kg/m3, determine seu peso específico e a sua densidade nosistema MKS.12)Um volume de 0,056m3 de ar em pressão atmosférica é comprimido para 0,014m3.Em condiçõesisotérmicas , qual a pressão final? Dado: Patm =10.200kgf/m2
13)Determine a viscosidade absoluta do mercúrio em Ns/m2, supondo uma viscosidade em poises de0,0158.14)Uma placa quadrada de 1m de lado e 2 kgf de peso desliza sobre um plano inclinado de 30°, sobre umapelícula de óleo de 2mm. A velocidade da placa é 2m/s(cte).Qual é a viscosidade dinâmica?
1m
óleo Vo 2mm
30°
15)Um pistão cai dentro de um cilindro com velocidade constante Vo = 10/π m/s. Entre o pistão e ocilindro existe uma película de óleo de viscosidade cinemática ν = 10 −3 m2/s e γ =900kgf/m3.Sendo o diâmetro do pistão igual a 10cm, o diâmetro do cilindro 10,2cm, determinar o peso dopistão. Adotar g=10m/s2.
24
De=10,2cm óleo e L = 5cm
G
Di =10cm
16)O peso G da figura ao descer gira o eixo que está apoiado em dois mancais cilíndricos de dimensõesconhecidas, com velocidade angular ω. Determinar G, desprezando a rigidez e o atrito da corda, supondoque o diagrama de velocidade no lubrificante seja linear? Dados :D =0,02m; De= 0,102m ;Di =0,10m ; ω =20/π rd/s ; µ= 0,008kgfs/m2 e L=0,10m.. L óleo L óleo
D=0,02m De Di Di
ω G17)Admitindo o diagrama de velocidade indicada na figura na qual a parábola tem seu vértice a 10cm dofundo. Calcular o gradiente de velocidade e a tensão de cisalhamento para y=0; y=5cm e y=10cm.Adotarµ = 400centipoises. y Vo=2,5m/s
e=10cm µ
18)Determinar a viscosidade através de um viscosímetro de cilindros coaxiais. São dados: Di= 10cm ;De= 10,04cm ;n= 90 rpm; h=20cm ; Mt= 0,04kgfm= 3924000dinacm e ω = 3 rd/s.
Mt µ Di e De h
ω
19)Um eixo cilíndrico vertical de diâmetro 10cm gira no interior de um mancal de 10,05cm. A folga entreo pistão e o mancal é preenchido com óleo de viscosidade dinâmica igual 0,001kgfs/m2.Se o mancal tem25 cm de comprimento e o cilindro gira com uma rotação de 1500rpm, qual será o momento resultante.
25 ω óleo 10cm
25cm 10,05cm
20)Demonstrar que o conjugado necessário para manter o movimento do cone da figura tem expressão : M = πµωR3 /2e R2 + h2
R ω µ
e h
21)Um corpo cônico gira a uma velocidade angular constante ω . Uma película de óleo de viscosidade µsepara o cone do recipiente que o contém. A espessura da película é e. Qual o momento necessário paramanter o movimento . O cone tem base com R de raio e uma altura h. Utilize a distribuição linear develocidade e admitir que o fluido é newtoniano. ω
h e µ
R e
26
1.21-RESPOSTAS - CAPÍTULO 1
1-dp = 105 kgf/cm2 =10.300,5KPa; 2- v = 1,25x10-3 m3/kg ; 3- γ = 1,17kgf/m3 ;
4-1047,62kg/m3 ou 1050kg/m3; 5-R = 29,4m/K ; 6- ν =5x10 −2 stokes ; 7-2.400kgf/cm2 ;
8- Vol = 144 m3 ; 9-γ =78.480N/m3 ; ρ = 8000kg/m3=815,49UTM/m3 e d = 8 ;
10- µ = 25,2Ns/m2 e µ =252 dinaxs/cm2(poise) ; 11- γ = 8191N/m3 e d=0,835;
12-P=40.800kgf/m2 ; 13-µ =0,00158Ns/m2; 14-µ =0,001 kgfs/m2 15-G = 4,5 kgf ;
16-G = 0,8kgf ; 17-τ(0)= τmáx = 2,0kgf/m2 ; τ(5cm) =1kgf/m2 e τ(10cm)=0 ;
18- M = (3/4e)π2 µ [ De3 L + Di4 /8 ] = 0,516dinaxs/cm2 ; 19-1,23kgfxm ;
21- M = (π/ 2e) µ R3ω [ R + R2 + h2 ] ;
27CAPITULO 2 - ESTÁTICA DOS FLUIDOS NO CAMPO GRAVITACIONAL
E MANOMETRIA
2.1-Pressão (p)
Pode ser definida pela relação de uma força F uniformemente distribuída sobre uma superfície deárea A , pela área. Assim:
Fp = --------
A
2.2-Equação Fundamental de Equilibrio Estatico.
Uma partícula de fluido em repouso, sujeita a ação do campo gravitacional terrestre, estarásubmetida a forças de duas natureza :forca de massa(gravidade) e força de superfície(pressão). O equilíbrio dessas duas forças agindo sobre uma partícula de fluido elementar leva a condiçãodiferencial válida para uma massa fluida qualquer submetida ao campo da gravidade, conhecida comoequação fundamental de equilíbrio estático,conforme mostra a figura 2.1. Sendo: p - a pressão estática no ponto;
ρ - a massa especifica do fluido no ponto; g - a aceleração da gravidade no ponto; z - a cota do ponto, medida a partir de um nível de referencia arbitrário, Obtém-se as forças de pressão e a força peso conforme a seguir será mostrada. A força de pressão dF1 é a resultante das forças de pressão que atuam sobre cada uma das faces doelemento de volume.Tomando-se um elemento de volume com formato de um paralelepípedo retangular ,as três faces situadas nos planos coordenados corresponde no limite a mesma pressão p., enquanto que nasoutras faces opostas devem ser levados em conta os acréscimos havidos nas direções dos eixoscoordenados, conforme é mostrado na figura abaixo.
28
Z PPz
dz dxdy+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
∂∂
Pdydz
dz dxdzdyyPP ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂∂
k dy Y Pdxdz i j
dx
Pdxdy
X PPx
dx dydz+⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
∂∂
dF2 = ρ g dx dy dz K Figura 2.1
Então a força de pressão dF1 será dada por:
dF1 =[pdzdy - (p + ∂∂Px
dx)dydz] i +
+ [pdxdz - (p + ∂∂Py
dy)dxdz] j +
+ [pdxdy - (p + ∂∂Pz
dz)dxdy] k ,
que simplificando tem-se:
dF1 = - (∂∂Px
i + ∂∂Py
j +∂∂Pz
k )dx dy dz
A força peso dF2 corresponde ao volume elementar considerado e será dado por :
dF2 = ρg dvol k = dF2 = ρ g dxdydz K
Pela condição de equilíbrio estático vem:
29
dF1 + dF2 = 0
- (∂∂Px
i + ∂∂Py
j + ∂∂Pz
k )dxdydz - ρg dxdydz k = 0
Dividindo a expressão acima por: dvol=dxdydz fica:
(∂∂Px
i + ∂∂Py
j + ∂∂Pz
k ) + ρ g k = 0
Lembrando que a expressão entre parênteses da equação acima é o gradiente da pressão tem-seentão:
Grad p + ρg k = 0 ou
∇ p + ρg k = 0 ; que é a chamada equação fundamental de equilíbrio estático para o campo de forças de gravidade, dadasob a forma de diferencial. As componentes da equação fundamental de equilíbrio estático nas direções X , Y e Z fornece asseguintes equações escalares:
∂∂Px
= 0
pressão constante num plano horizontal.
∂∂Py
= 0
∂∂Pz
+ ρ g = 0
ou separando-se as variáveis , finalmente
dp + ρ g dz = 0
A integração da equação fundamental do equilíbrio estático dp + ρ gdz = 0 exige o conhecimentoda variação da aceleração da gravidade em função da altitude, e da relação existente entre a pressão e amassa especifica do fluido que se considere. De uma maneira geral, nas aplicações práticas a aceleração da gravidade pode ser considerada comoconstante.Assim dentro do intervalo de altitudes compreendidas entre a maior profundidade encontradanos oceanos(10km aproximadamente abaixo do nível do mar) e as camadas elevadas daestratosfera(aproximadamente 20km acima do nível do mar) a variação da aceleração da gravidade édesprezível comparada com as correspondentes variações de pressão, o mesmo da massa especifica do aratmosférico ou da água. A seguir reproduz-se a tabela da variação da aceleração da gravidade em função da latitude e daaltitude adotada como padrão nas normas internacionais.
30Variação da aceleração da gravidade “g” com a latitude e a altitude média acima do nível médio
do mar.Latitude Altitude em metros acima do nível médio do mar
0 1000 2000 4000Graus m/s2 m/s2 m/s2 m/s2
0 9,78049 9,77740 9,77432 9,7681510 9,78204 9,77896 9,77587 9,7697020 9,78652 9,78343 9,78034 9,7741730 9,79338 9,79029 9,78721 9,7810340 9,80180 9,79872 9,79563 9,7894650 9,81079 9,80770 9,80461 9,7984460 9,81924 9,81615 9,81307 9,8069070 9,82614 9,82305 9,81997 9,81380
• valor padrão internacional adotado para “g” pela Comissão Internacional de Pesos e Medidas é9,80665 m/s2 correspondente aproximadamente à latitude de 45° e ao nível do mar.
2.3-Diferença de Pressão Entre dois Pontos em Função da Diferença de Cota.
a)Para fluidos incompressíveis( ρ =cte)
A massa especifica dos líquidos pode ser considerada como constante na grande maioria dosfenômenos de equilíbrio estático.Sòmente em aplicações dinâmicas onde tenha interesse a propagação deperturbações no seio da massa de liquido é que deve sempre ser levada em conta a variação da sua massaespecifica em função da pressão(fenômeno do golpe de aríete). Para os líquidos e em algumas situações dos gases pode-se admitir massa especifica constante. Nestes casos a diferença de pressões ∆P entre dois pontos dada em função da diferença de cotas∆z é , ∆P = P1 - P2 = ρ g(Z2 - Z1) = ∆P= ρg ∆z ou ∆P = γ∆h
b)Para fluidos compressiveis.
Nos fenômenos em que a massa especifica dos fluidos não podem ser considerados constante, paraobter a diferença de pressões entre dois pontos no interior destes fluidos em função da diferença de cotasz e necessário conhecer como varia ρ = ρ (z), para pode integrar a equação fundamental de equilíbrioestático, como mostra a figura 2.2.
2 P2 1
∆Z P1 ρ = ρ (z) Z2 Z1
Figura 2.2
( )∫ ∫−=2
1
2
1dzzgdp ρ = P2 - P1 = - g ( )∫
2
1dzzρ
31 2.4-Variação da Pressão na Atmosfera Terrestre.
a)Na região da atmosfera onde a temperatura varia linearmente com a altitude.
Na região da atmosfera denominada Troposfera que fica compreendida entre o nível do mar eaproximadamente 11km acima deste nível a temperatura varia linear com a altitude. Aplicando-se à atmosfera :
- a Lei dos gases : Pρ
= RT (1)
-a equação fundamental do equilíbrio estático:
dp = - ρ g dz (2) e
-a Lei da variação da temperatura: T = T1 + K z (3)
é possível estabelecer a expressão que fornece a diferença de pressões entre dois pontos destaregião. Assim:
Da expressão (3) vem, T - T1 dT z = -------- == dz = ----- (4) k K
Substituindo (1) em (2) vem, p dp = - g ----- dz (5) RT
Substituindo (4) em (5) , fica, Z
T P
Z
T1 P1 Z1
T
Figura 2.3 p dT dP = - g ----- . ----- (6) RT k
A equação (6) pode ser escrita:
32
dp g dT ----- = ------ ----- (equação diferencial de variáveis separadas)(7) p RK T Integrando a equação (7) entre o ponto 1 e uma posição genérica vem: P T
dPP
gRK
dTTT
T
P
P= − ∫∫ 11
= Ln P = - g
RK LnT
P1 T1 g LnP - LnP1 = -------[ LnT - Ln T1 ] RK
P/P1 =(T/T1)−( )
gRK === P/P1= (T1/T)
( )g
RK
Finalmente,
T1 g/RK P = P1 ( -----------) T1 + Kz
b)Na Atmosfera Isotérmica.
A região da atmosfera aproximadamente 11km acima do nível do mar(até cerca de 80 km)denomina-se Estratosfera. Nesta região a temperatura se mantém constante em torno de -56,5 °C. Da equação fundamental de equilíbrio estático:
dp = - γ dz = - ρ g dz(1)
e da lei dos gases para temperatura constante :
P P1 P ρ1 ------ = ------ = cte = ρ = ------- (2) ρ ρ1 P1
Z
T=cte P
Z P1 T =cte 1 Z1
T
Figura 2.4
33 p dp γ1 dztem-se: dp = - ----- ρ1 g dz = ------ = - -------- (3) P1 p P1
Integrando a equação (3) entre o ponto 1 a uma posição genérica vem: P Z
dpp P
dzZ
Z
P
P= − ∫∫
γ 1
11 1
= Lnp = γ 1
1P z
P1 Z1 γ 1
P - -----(z - z1) , finalmente: ----- = e P1 P1
γ 1
- ----- (z - z1) P = P1 e P1
2.5 –Altura de Carga h
A altura de carga h representa a altura de uma coluna de fluido homogêneo que produz uma dadaintensidade de pressão p. Assim:
pp = γ h h = ---------
γ
Para melhor esclarecer este conceito vamos fazer um exemplo. Se a pressão no fundo de umreservatório contendo água é de 0,80kgf/cm2 . Pergunta-se , qual a altura de água(carga) no reservatório seγH20 = 1000 kgf/m3 ou qual a altura de coluna de água produz a pressão de 0,80kgf/cm2.
h H20 P =0,80kgf/cm2
Lembrando que 1cm2 = 10-4m2 , vem:P = 0,80kgf/cm2 = 0,80kgf/10-4m2 P = 0,8x104kgf/m2 P = 8.000kgf/m2
8.000 kgf/m2
h = ----------------- h = 8m , logo a altura de carga ou lâmina de água no reservatório é 1000kgf/m3 de 8m. Obs: Sempre é possível transformar uma determinada pressão para uma altura de carga de umdeterminado fluido(altura de coluna de fluido ) pela expressão h = p/γ . Também é possível transformaruma altura de carga h de um fluido qualquer para uma pressão através da expressão :
P = γh.
1o -Exemplo de aplicação- Determinar a pressão do reservatório A. São dados : h1 = 1,00m , h2=1,20m , γH20 = 1000kgf/m3 , γHg = 13.600khg/m3 e Patm = 720mm de Hg.
34
A
h1 h2 PA H20 Hg PM PN
PM=PN(pontos com mesma cota de um mesmo fluido em repouso) PN - Patm=h2. γ Hg PN=h2 . γHg + Patm PM - PA = γ H2O.h1 PM=PA + h1. γ H2O PM=PN PA + h1.γ H2O = h2.γ H2O + Patm
PA = h2.γ Hg + Patm - h1.γ H2O.
Numericamente tem-se:Patm = 720mm de Hg = 0,72mx13.600kgf/m3 Patm = 9792kgf/m2
PAabs = 1,2x13.600 + 9792 – 1,00x1000 PAabs =25.112 kgf/m2. A pressão PA obtida é umapressão absoluta porque nela está incluída a pressão atmosférica local.
2o -Exemplo de Aplicação- Determinar a diferença de pressão entre os reservatórios A e B.
A
d3 B γA PA d1 PB d2 γB PM PN
HgPM=PN(pontos com mesma cota de um mesmo fluido em repouso)
PM - PA = d3. γA + d2. γ Hg PM=PA + d3. γA + d2. γ Hg. PN - PB = d1. γ B PN= PB + d1. γB. PM = PN PA + d3. γA + d2. γ Hg =PB + d1. γB
PB - PA= d3. γ A + d2. γHg - d1. γB.
2.6-Lei de Pascal
"A pressão aplicada num ponto de um fluido em repouso, transmite-se integralmente a todos ospontos do fluido. A experiência da figura 2.5 mostra este fato. Se aplicamos uma pressão de 1kgf/cm2 nasuperfície livre do liquido, todos os pontos do fluido sofrerá um acréscimo na pressão de 1kgf/cm2.
35 F= 10kgf A= 10cm2
F 10 ∆p = ----- = -------- H20 H20 A 10 1m γ =1000kgf/m3 1m ∆p = 1 kgf/cm2
Pf = 1000kgf/m2 Pf = P + ∆p = 0,10 + 1 Pf = 0,10kgf/cm2 Pf = 1,10 kgf/cm2
Figura 2.5 –Verificação da Lei de Pascal
Com aplicação da força F = 10kgf na área de 10cm2 houve um acréscimo de pressão de1,00kgf/cm2 em todos os pontos do fluido e não apenas no fundo do recipiente.
2.7-Regra prática para determinação da diferença de pressão entre dois pontos ou entre doisreservatórios.
"Partindo-se da pressão de um dos reservatórios somamos as pressões das colunas descendentes esubtraímos as das ascendentes e igualamos , o resultado , a pressão do outro reservatório. As alturas sãotomadas a partir das superfícies de separação entre os fluidos". Na figura 2.6 tem-se dois reservatóriosinterligados por manômetros com diversos fluidos .Para obter a diferença de pressão entre os reservatóriosserá aplicada a regra prática anteriormente enunciada. B A γ1 γ4 h6 γ6 PB
PA h1
h3 h4 h5
h2 γ3 γ2
γ5
Figura 2.6 –Aplicação da regra prática para determinação da diferença de pressão
PA + γ1.h1 + γ2.h2 - γ3.h3 + γ4.h4 - γ5.h5 - γ 6.h6 = PB
2.8- Pressão Atmosférica. Vácuo e Escalas de Pressão
2.8.1- Pressão Atmosférica.
É a pressão exercida pela atmosfera terrestre , que varia com as mudanças das condiçõesatmosféricas e diminui com a elevação da altitude. Ao nível do mar, a pressão atmosférica média é de101,3kpa ou 760mm de Hg ou 1,033kgf/cm2 ou 10,33mca(metro de coluna de água) ou 1 atmosfera..Qualquer destes valores é considerada como “pressão atmosférica padrão”.
36A pressão atmosférica pode ser medida por aparelhos denominados barômetros. Um barômetro
simples consiste de um tubo de mais de 762mm de comprimento aberto apenas em uma de suaextremidade e um reservatório aberto para atmosfera contendo mercúrio metálico . O tubo de vidrocheio de mercúrio sendo invertido e mantido na vertical,de forma que a sua extremidade aberta fiquesubmersa no mercúrio, tem-se um barômetro. Para medir a pressão atmosférica local através destebarômetro basta fazer a leitura da coluna de mercúrio que se forma dentro do tubo, que normalmenteapresenta uma escala. O espaço acima do mercúrio contém vapor do mesmo. A figura 2.7 dada emsequência mostra este tipo de barômetro. Vapor de mercúrio
Patm = h de Hg
Hg h
Patm
Hg
Figura 2.7 - Barõmetro2.8.2- Vácuo.
É o termo utilizado para referir-se a um espaço que tem uma pressão menor que a pressãoatmosférica local.
Um vácuo indica o quanto a pressão de um ambiente está abaixo da pressão atmosférica.Por exemplo: se a pressão num recipiente for 0,60kgf/cm2 e a pressão atmosférica local de
1,00kgf/cm2 , é dito que o recipiente está com vácuo de : 1,00 – 0,60 = 0,40kgf/cm2(vácuo)
2.7.3- Escalas de Pressão.
Uma determinada pressão pode ser medida a partir de duas referências : da atmosfera local e dovácuo absoluto .
Se a pressão é medida a partir da atmosférica local , está-se utilizando a escala relativa e a pressãomedida é denominada de pressão relativa , pressão manométrica ou pressão efetiva, e se a pressão estásendo medida a partir do vácuo absoluto está-se utilizando a escala absoluta para medir a pressão e ela édenominada pressão absoluta. Na indicação das pressões absolutas para diferir das relativas , elas devemvir acompanhadas do termo abs, como índice da letra p de pressão ou entre parênteses após a unidade dapressão. Assim, para indicar que 250 Kpa é uma pressão absoluta escreve-se:
Pabs = 250 Kpa ou P = 250 Kpa(abs) Portanto, na escala relativa a pressão é medida a partir da pressão atmosférica local onde ela valezero. Em vista disso, pressões menores que Patm são negativas e pressões maiores que Patm sãopositivas.
Já na escala absoluta a pressão é medida a partir do vácuo absoluto onde ela vale zero absoluto.Na pressão absoluta está inclusa a pressão atmosférica local .Assim, pode-se escrever que:
Pabs = Prel + Patm
O esquema da figura 2.8 ilustra como medir pressões nas duas escalas.
37
Pressão Relativa + Pressão Atmosférica local (Patm = 0 - Escala relativa)
Pressão Absoluta Patm -
Vácuo Absoluto (Pabs =0) Figura 2.8 – Escalas de pressão
Exemplo de aplicação . O recipiente dado a seguir contém um fluido cuja pressão está sendomedida por um manômetro de “Bourdon” do tipo mostrado na figura e que esta pressão vale 2,0kgf/cm2.Pergunta-se: qual a pressão relativa e absoluta do fluido, sabendo-se que a pressão atmosférica localmedida por um barômetro é de 700mm de Hg . Dado: γHg = 13.600kgf/m3.
F P =2,0kgf/cm2
A pressão relativa é a própria pressão de 2,0kgf/cm2, pois o manômetro de “Bourdon” medepressão a partir da pressão atmosférica , isto é, a pressão relativa ou pressão manométrica ou pressãoefetiva. Assim, a pressão relativa será :
P = 2,0 kgf/cm2 (pressão relativa)
Já a pressão absoluta é obtida adicionando à pressão relativa a pressão atmosférica local emunidades coerentes.
Patm = 700mm de Hg = 0,70mx13.600kgf/m3 Patm = 9520 kgf/m2
Como a pressão relativa está em kgf/cm2 e a absoluta em kgf/m2, para somar as duas pressões énecessário antes mudar a unidade de uma delas. Vamos mudar a unidade da pressão atmosférica edepois somá-la a pressão relativa p. Como 1m2 = 104cm2 ou 1cm2 = 10-4m2 , então:
Patm = 9520kgf/104cm2 Patm = 0,9520kgf/cm2 e
Pabs = P + Patm = 2,0 + 0,9529 Pabs = 2,9520kgf/cm2.
2.9-Aparelhos de medir pressão
a)Manômetro de Bourdon. Tubo Metálico
Escala ligado a um sistema de ampliação
Fluido sob pressão
38 b)Manômetro de Coluna de Fluido
γ2 A PA + h2. γ2 - h1. γ1 = 0 h1 PA γ1 PA = h1. γ1 – h2. γ2 h2
c)Piezômetro Tubo transparente graduado (Piezômetro)
h P = γ . h
γ
Fluido sob pressãoObs: Os tubos piezométricos deverão ter diâmetros maior que 12mm para não sofrer o efeito da
capilaridade, e causar erros na medição de pressão.
2.10-Unidades de Pressões e Pressões Equivalentes
MKS- N/m2 ; KN/m2 = 1000N/m2
MKfS- kgf/m2; CGS - dina/cm2
1 atmosfera= teoricamente a 1,033kgf/cm2 e na prática a 1,0kgf/cm2;
1 kgf/cm2 = 104 kgf/m2
760 mm de Hg = 1 atm = 1kgf/cm2;
1 atm = 10,0 mca(metro de coluna de água) = 1kgf/cm2;
1 Lb/pol2 = 0,07kgf/cm2.
1MPA(megapascal) = 10 kgf/cm2 = 100mca.
Obs. Utilizando-se a tabela 3 do anexo é possível transformar pressões com uma determinadaunidade para outras.
392.11-EXERCÍCIOS - CAPÍTULO 2 - Estática dos Fluidos no Campo Gravitacional e
Manometria.
1)Nas medidas de pressões elevadas utiliza-se uma combinação de manômetro de peso morto commanômetro de coluna líquida de um só tubo conforme a figura . Conhecendo-se os valores dados nafigura, determinar a pressão do reservatório E. H2O óleo W1
E ∆Z3 W2
∆Z1 ∆z2 A óleo
Hg
2)A figura mostra um tubo “U “ fechado em um extremo e com o outro terminado em um cone. Enche-seo cone de mercúrio e o ar contido apenas no tubo “U “ comprime-se isotèrmicamente , qual o valor de ∆h, quando o cone está completamente cheio de mercúrio? Dados: h1; L ; γHg, b e a . Ar h1
Hg ∆h L b
a
3)A figura abaixo representa um recipiente contendo um líquido mantido a nível constante cujatemperatura varia linearmente com a altura decrescendo da superfície para o fundo onde vale 20 °C . Ataxa de variação é igual a 40 °C/m. Sabe-se que o peso específico do líquido varia linearmente com atemperatura diminuindo quando esta aumenta, com uma taxa de variação de 5kgf/m3 °C. A 20 °C o pesoespecífico do líquido vale 1200kgf/m3. Calcular a altura H da superfície livre do líquido contido norecipiente. Dados : h1=50cm ; h=10cm e γHg = 13.600 kgf/m3.
H h =10cm
h1=50cm Hg
4)Calcule a altura manométrica correspondente à diferença de pressões entre as tubulações de recalque ede sucção de uma bomba hidráulica a partir dos níveis manométricos observados na figura abaixo.
40 Ps sucção H2O recalque H2O Pr B
h1 H2O H2O
h2 h3 h4 h5 h6
Hg Hg Hg5)Achar a diferença de pressão entre os tanques A e B da figura, se : d1=30cm ; d2=45cm e d3= 20cm ;γH20 = 1000kgf/m3 e γHg = 13.600kgf/m3. d3 Ar H2O B 45° A
d1 d2 Hg
6)Qual é a pressão PA da figura abaixo. Dado densidade do óleo d=0,8 ; γH2O=1000kgf/m3 e γHg =13.600kgf/m3. PA Ar
óleo 3m 4,5m Hg
H2O 0,30m
7)Qual a pressão no centro do recipiente A da figura abaixo. Dados: γH2O= 1000kgf/m3 e γHg=13.600kgf/m3 e dol = 0,8.
H2O óleo 2,60m A 0,20m 0,30m 0,2m Hg
418)Para uma leitura manométrica em A de –0,175kgf/cm2, determinar: a)a elevação dos líquidos nascolunas piezométricas abertas :E;F e G b)deflexão do mercúrio no manômetro em “U “ da figura. Dados :γH2O = 1000kgf/m3 e γHg =13.600kgf/m3. A Ar E F G 14,7m
11,4m d=0,7
7,8m H2O
4,2m 6,0m d=1,6
h Hg
9)Um avião munido de um barômetro sobrevoa uma região do Atlântico cuja distribuição média detemperatura é indicada na figura. O barômetro indica uma pressão de0,275kgf/cm2 .Calcular a sua alturaconhecendo-se a expressão : P/ρ =RT , sendo R=287m2/s2K. Z(m) -17,5°C 5000m
T Z=0 15°C
10)Tem-se um tubo barométrico situado ao nível da superfície de uma represa na cota Z1=520m,indicando pressão atmosférica local de 716mm de Hg. Numa seção da tubulação na cota Z2=20m tem-seoutro barômetro indicando pressão atmosférica local de 760mm de Hg. Pergunta-se qual é a pressãorelativa no eixo da tubulação na cota Z2= 20m sabendo-se que não há escoamento. 520m
H2O
20m Tubulação
11)Dois reservatórios com níveis diferentes contém o mesmo líquido (de peso específico γ) e são ligadospor dois manômetros conforme indicado na figura abaixo. Obtenha uma relação para γ em função dasleituras manométricas A e B , e de γA γB.
42 A γA
γ
γ
γB B
12)Qual é a diferença de pressões entre os pontos A e B dos depósitos da figura abaixo?
Hg d2
H2O d1 H2O A d3 B
13)Suponhamos unidos dois depósitos por um tubo de seção constante em forma de “U “, como mostra afigura. Os depósitos estão cheios de água e as suas cotas piezométrica são h1 e h2(h1 - h2). Osmanometros contém mercúrio e água. Pede-se determinar a diferença de cotas (h1 - h2) entre osreservatórios. Dados: γ H2O , h e γ Hg. h1 h2 H2O H2O
H2O h h H2O
Hg Hg
14)Na medida de pequenas pressões de ar, utiliza-se um manômetro de tubos “U “ cujo planos é inclinadode um ângulo α relativamente à horizontal. Sabendo-se que o fluido manométrico é álcool , de massaespecífica ρ =7,65x10 2 kg/m3, qual é a diferença de pressões ∆p medida pelo manômetro, expressa emmm de coluna de água, quando a distância entre os dois meniscos, medida segundo a linha de maiordeclive do plano do manômetro for igual a L = 0,45m. Adotar α = arc sen1/2.
L ∆P Álcool
α
4315)Nas medidas de pressões com grande precisão, utiliza-se um micromanômetro; a figura mostra umdeterminado tipo. Neste sistema empregam-se dois líquidos imiscíveis de pesos específicos γ1 e γ2respectivamente. Supondo que nos recipientes A e B temos gases de pesos específicos desprezíveis,calcular Pa-Pb em função dos dados: d ; γ1 ; γ2 e δ. Se a área de seção reta do tubo é a , e a dosdepósitos C e D é A, determinar δ em função de d, e justificar porque quando a/A for muito pequeno eγ1 quase igual a γ2, uma pequena diferença de pressão Pa-Pb produzirá uma grande variação de d, o quedará por sua vez um instrumento muito sensível.
Área A A Área A B δ
γ1 γ1 área a d área a
γ2
16)Determinar analiticamente a diferença de pressões PA-PB entre os eixos dos dois reservatórios A e Bindicados na figura. Considerar como grandezas conhecidas:γHg; γH2O;∆h ; ∆h1 e ∆h2 ; ∆h1 e ∆h.
B ∆h A H2O ∆h1 H2O H2O ∆h2 Hg Hg17)Determinar as pressões efetivas e absolutas:1)do ar , 2)do ponto M, da configuração abaixo.Dados: leitura barométrica local 735mmHg; densidaderelativa do óleo 0,85 e γHg = 13.600kgf/m3
Ar 30cm H2O M óleo 150cm 70cm H2O 70cm 30cm Hg18)Em uma atmosfera adiabática a pressão varia com o volume específico da seguinte forma: Pv K = cte,onde K é uma constante igual a relação dos calores específicos Cp e Cv .Mostrar que a expressão querelaciona a pressão p e a elevação Z para esta atmosfera , utilizando como referência o nível dosolo(índices zero) é:
γ K - 1p= -----po - -------- γ ( Z - Zo).
γo K
4419)Determinar ρa ; Po e Poabs na configuração abaixo sendo, dados : hb=0,1m ; ha= 0,2m; ρb=1000kg/m3; Pa=Pb=1atm; 1 atm= 101,3kPa. Ar Po
ha hb Patm Pa Pb ρa ρb20)Uma atmosfera tem uma temperatura ao nível do mar de 27°C e cai 1°C para cada 275m de elevação.Se a constante do ar é 29,3m/k, qual é a elevação sobre o nível do mar onde a pressão é 70% de que existesobre o nível do mar?
452.12-Respostas dos Exercícios do Capítulo 2
W1 + W21 – PE = ------------- + ∆z2.γHg - ∆z1.γH2O - ∆z3.γol A
Patm(-2b –a) + .γHg h1 (L – b)2- ∆h = --------------------------------------- ; 3- H = 1,91m Patm - .γHg(L – b)
4- Pr – Ps = .γHg(h2 + h4 + h6) - .γH2O(h2 + h3 +h5) ; 5)PA –PB =7743,33kgf/m2
6-PArel = 180kgf/m2 ;7-PArel = - 1440 kgf/m2 ; 8-hE = 0,80m ; hF = 4,16m ; hG =4,40m e - A.γA + BγB
h=0,614m; 9-z =9642m ; 10-P1=499,401kgf/m2 ; 11- .γ = -------------------- ; A + B 2h(γHg. - γH2O)12-PA-PB=d2γHg-γH2O(d2 + d3) ; 13- ∆h = -------------------------- ;14– h =17,2cmde H2O γH2O a15-Pa – Pb = d.γ2 + δ.γ1 - d.γ1 ; δ = ------ d ; A16- PA – PB =(∆h1 + ∆h2)( γHg - γH2O) + γH2O ∆h ; 17-Par = 0,34 kgf/cm2(rel) ;
Par= 1,34 kgf/cm2(abs) ; PM= 0,365kgf/cm2 (rel) e PM=1,3655kgf/cm2 (abs);19-Po=- 100kgf/m2;
Poabs=10.230kgf/m2;ρa =500kg/m3. ; 20-z =3069m ;
46Capitulo 3 - Forças de Pressão Sobre Superfícies.Empuxo.
3.1-Força de Pressão Sobre Superfícies.
O cálculo da força resultante das pressões estáticas exercida por fluidos em repouso sobresuperfícies sólidas , apresenta interesse para um grande número de aplicações. Para fins de análise dividiremos o estudo de forças sobre superfícies submersas em dois casos: a)forças sobre superfícies submersas planas b)forças sobre superfícies submersas curvas.
3.1.1- Superfícies Planas
É a determinação da força resultante das pressões estáticas sobre uma superfície plana genérica ,que pode ser uma das paredes de um recipiente que contem fluido de massa especifica constante.
3.1.1.1 - Modulo da Força
Adotando-se os sistemas de coordenadas OXYZ e Oxoyozo(com origem no centróde da superfícieconsiderada)tem-se a força elementar sobre o elemento de área dA, conforme mostra a figura 3.1 dadapor: X
α h γ =ρg=cte dF y hG x
F
O X dA CG XCP CP YCP YG
Y XG
yo A xo
Figura 3.1- Superficie Plana Genérica.
dF = PdA = dF = γ ysen α dF = γ y senα. dA (1)
F y dA F y dAA A
= ⇒ =∫ ∫γ α γ α. .sen . . .sen . . ( )2
47
Da Mecânica Geral e dos elementos da figura 3.2 dada a seguir tem-se: Y yo XG dA
x
xo CG Y YG A X 0 Figura 3.2 - Mostra os elementos do centro de gravidade.
Substituindo (3) em (2) vem:
F = γ senα.YG.A (4)
Da figura 1 tem-se:
senα .YG = hG (5)
Substituindo (5) em (4) vem:
F = γ . hG .A - MODULO DA FORÇA (6)
3.1.1.2-Ponto de Aplicação da Força(Centro de Pressões)
Pela equação dos momentos das forcas em relação aos eixos X e Y será determinada as coordenadasdo centro de pressões CP(Xcp;Ycp).
a)Determinação do Ycp
dMx=dF.y dMx = γ h. dA..y dMx = γ y.sen α .dA .y (7)
YGy dA
dAYG A y dAA
AA
= ⇒ =∫
∫ ∫.
. . ( )3
Mx y dA y Mx y dAA A
= ⇒ =∫ ∫γ α γ α. .sen . . . sen . . (8)2
48 Da Mecânica Geral tem-se as seguintes relações para uma área plana, como mostra a figura 3.3:
Y yo XG dA
x
xo CG Y YG A X 0
Figura 3.3 - Elementos de uma área plana para cálculo de Jxx E Jxy.
MOMENTO DE INERCIA Jxx
PRODUTO DE INERCIA Jxy
onde: Jxo = momento de inércia da figura em relação ao eixo que passa pelo centro de gravidade xo Jxoyo = é o produto de inércia da figura em relação aos eixos xo e yo que passam pelo centro de gravidade.
Substituindo (9) em (8) tem-se:
Mx = γ senα. .Jxx Mx = γ sen α (Jxo + AYG2 ) (11)
O momento Mx pode ser calculado por:
Mx = F.Ycp (12)
Substituindo (4) em (12) vem:
Mx = γ. YG . senα. .A.Ycp (13)
Igualando (13) e (11) tem-se:
Mx = Mx
Jxx y dA Jxx Jxo A YGA
= ⇒ = +∫ 2 2 9. . ( )
Jxy x y dA Jxy Jxoyo A XG YGA
= ⇒ = +∫ . . . . ( )10
49
γ.YG.senα .A.Ycp = γ sen α .(Jxo + A.YG2 ) que pode ser escrita:
γ.sen α .(Jxo + A.YG2 )
Ycp = ------------------------------- finalmente γ.YG.A .sen α
Jxo Ycp = YG + --------- (14) YG.A
b)Determinação de Xcp.
dMy = dF x = dMy = γ . h.dA .x = dMy = γ. y. sen α .dA. .x (15)
Substituindo (10) em (16) fica:
My = γ sen α .(Jxoyo + A.XG.YG) (17)
O momento My pode ser calculado por:
My = F .Xcp (18)
Substituindo (4) em (18) fica :
My = γ. YG.senα. .A.Xcp (19)
Igualando (19) com (17) tem-se : My = My
γ. YG.sen α .A.Xcp = γ. senα (Jxoyo + A.XG.YG) , que pode escrita:
γ. sen α (Jxoyo + A.XG.YG) Xcp = ------------------------------------------- ou finalmente: γ. YG.sen α .A
Jxoyo Xcp = XG + ------------ (20) YG..A
My x ydA My x ydA My JxyA A
= ⇒ = ⇒ =∫ ∫γ α γ α γ αsen . . . .sen . . .sen . ( )16
50 3.1.2-Superfícies Curvas.
De forma semelhante ao caso anterior procura-se a força resultante das pressões estáticas sobre umasuperfície curva genérica, que pode ser uma das paredes de um recipiente que contem fluido de massaespecifica constante. Adotando-se o sistema de eixos coordenados OXYZ conforme é mostrado na figura 3.4, tem-se aforça elementar sobre o elemento de área dA dada por:
dF = -PdA en , sendo en dado por
en = cos i + cos j + cos k. onde: α ; β e γ são os ângulos formados pela normal comos eixos X,Y e Z respectivamente. Z
dAz
π γ =cte
h dAx dAy en A dF dA k Ax Ay o J Y i Az A
X
Figura 3.4 - Superficie Curva Generica.
Logo pode-se escrever que:
dF = - PdA(cos α i + cosβ j + cos γ K) ou
dF = -PdAcosα i - PdAcos β j - PdAcos γ k (1)
A resultante é obtida integrando a expressão (1), que fica:
F PdA i PdA j PdA k ouA
= − + +∫( .cos . .cos . .cos . )α β γ
51
dAx = dAcosα ; ;dAy = dAcos β e dAz = dAcos γ. .
A expressão (2) pode ser considerada nas suas componentes nas direções dos três eixoscoordenados, assim:
F = - Fx i - Fy j - Fz k (3)
De (2) e (3) pode-se escrever que:
Logo, projetando a superfície A nos planos YZ e XZ ou em planos paralelos a estes, tem-se assuperfícies planas Ax e Ay respectivamente e as componentes Fx e Fy serão analisadas como forças sobresuperfícies submersas planas, como no caso anterior.
A componente Fz será obtida da figura 3.5:
Z
dAz
π
h
γ = cte
A Y O
X Figura 3.5 - Componente Fz
F P dA i P dAy j P dAz K ondexAzAyAx
= − − − ∫∫∫ . . . . . . ( ); :2
Fx P dAx h dAx ou Fx h AxGAxAx
Ax= = =∫∫ . . . . . . . ( )γ γ 4
Fy P dAy h dAy ouFy h AyGAyAy
Ay= = =∫∫ . . . . . . (5)γ γ
52
O termo hdAz é o volume de fluido contido no cilindro de área dAz limitado entre a superfície A ea superfície livre.
Logo pode-se escrever que:
A componente Fz é o peso de fluido contido entre a superfície A e a superfície livre.
3.2.Empuxo.
É a força resultante exercida por um ou mais fluidos em repouso num corpo nele submerso ouflutuando.Esta forca age sempre verticalmente dirigido de baixo para cima. .A componente horizontal daresultante é sempre nula. O empuxo num corpo submerso é dado pela diferença entre a componente vertical da força depressão que age na sua parte inferior e a componente vertical da mesma que atua na sua parte superior.
3.2.1 - Corpo Submerso em um Fluido.
Na figura 3.6 tem-se um corpo de volume Vol imerso num fluido com peso específico γ.
γ = cte P1.dA
dE h dA
P2.dA
Figura 3.6 - Corpo Submerso em um Fluido.
Fz P dAz h dAzAzAz
= = ∫∫ . . .γ
Fz dvol Fz VolAz
= ⇒ =∫γ γ. . . ( )6
53
O elemento de empuxo dE que age no elemento cilíndrico de área dA é dado por:
dE =(P2 - P1)dA = dE = γ. h .dA , onde: hdA = dVol então:
dE = γ.dVol
O empuxo no corpo todo será dado por:
3. 2.2 - Corpo Submerso em Dois ou Mais Fluidos.
Tomemos, inicialmente, um corpo submerso em apenas dois fluidos com pesos específicos γ1 eγ2 , cujos volumes submersos em cada fluidos são respectivamente V1 e V2.
ho P1.dA γ1
h1 V1 A1
dA
A2
h2 dE V2 γ2
P2.dA
Figura 3.7 - Corpo Submerso em dois ou mais fluidos.
O elemento de Empuxo dE que age no elemento cilíndrico de área dA é dado por:
dE = P2.dA - P1dA ou dE = (ho γ1 + h1. γ1 + h2. γ2 – ho. γ1)
dE = (γ1h1 + γ2h2 )dA ou dE = γ1.h1.dA + γ2.h2.dA
O Empuxo no corpo todo será dado por:
h1dA =dV1(volume do elemento cilíndrico submerso no fluido 1) e h2dA =dV2(volume do elemento cilíndrico submerso no fluido 2 ), então:
E dVol E VolA
= ⇒ =∫γ γ. . ( )1
E h dA h dA comoAA
= + ∫∫γ γ1 1 2 221
. . . ; :
54
E = γ1. V1 + γ2 .V2 (2)
Generalizando para um corpo submerso em n fluidos de pesos específicos γ1; γ2; γ3;...; γn-1 e γn ,cujos volumes submersos em cada fluidos são respectivamente V1; V2 ;V3 ;...;Vn-1 e Vn , o Empuxofica:
E = γ1V1 + γ2V2 + γ3V3 +...+ γn-1.Vn-1 + γ n.Vn (3)
E dV dV ou finalmenteAA
= + ∫∫γ γ1 1 2 2 221
. ( ). . :
553.3-Exercícios do Capítulo 3-Forças Sobre Superfícies Submersas. Empuxo.
1)Calcular a força que atua na comporta de fundo de 4m de largura por 2m de altura de uma barragem deconcreto. Determinar também o ponto de aplicação da força .Dado γH20 =9,79kN/m3.
30° 4m H20
x •
y 4m
x
y 2m
2)Calcular as componentes horizontal e vertical da força que atua sobre a superfície submersa ABCD dafigura abaixo.Dado : γ H20 = 9,79 KN/m3
X Y Y X
2m H20 4m
A=C A C
2m 2m
Z B=D Z B D
3)Calcular o empuxo que atua sobre o cilindro de 2m de diâmetro por 4m de comprimento imerso emágua .Dado: γ H20=9,79 KN/m3.
56 4m 1,5m
H20 1m 2m 1m
4)Calcular o empuxo que atua no cilindro abaixo, sabendo-se que ele mede 4m de comprimento.
2m γol = 7,848 KN/m3
1m
γ H20 =9,79 KN/m3
1m
2m
5)Calcular a força que atua numa barragem de concreto e o ponto de aplicação .Dado :γH20
H20 h H b
6)Calcular as componentes horizontal e vertical da força que atua na barragem abaixo, bem como ascoordenadas do centro de pressões. Dado: γH20
H H20 H b R
R R
7)Calcular as componentes horizontal e vertical da força que atua na comporta ABCD, assim como, ascoordenadas do centro de pressões. Dado: γH20.
57
H H20 H b R
R R
8)Sobre a alavanca AB se exerce uma força de N como mostra a figura abaixo. O extremo B estáconectado a um pistão que se move dno interior de um cilindro de 5cm de diâmetro .Qual a força que deveatuar sobre o pistão de maior diâmetro para impedir seu movimento sabendo-se que seu diâmetro é de25cm. 490,5N A
20m d=5cm D=25cm
F2
10m F1 óleo B9)A figura abaixo é um depósito que contém água, sobre a qual atua uma pressão PA.Determinar a forçaque atua sobre a comporta ABCD para os casos:PA= Patm; b)PAabs = 125,56 KN/m2 .Dadoscomprimento da comporta igual a 3m e Patm =98,10 KN/m3. X PA C 1,5m
D AR 1m A 3m
B
H20 30°
Y
10)Qual a altura máxima que o nível de água pode alcançar no esquema abaixo, desprezando-se o atrito eo peso da comporta? Dado: comprimento da comporta igual a 1m e γH20 =9,79KN/m3.
58
35,316KN h 9m H20 60°
11)A adufa AB da figura é articulada em A e apoiada em B e mede 3m normalmente ao plano dodesenho. Determinar as reações em A e B quando: a)a água está nivelada em A e Patm do lado direito;b)quando estiver com 1,20m acima de A à esquerda e nivelada com A à direita. Dado: γH20=9,79KN/m3.
3m R A H20 R 1,80m
B12)Determinar as componentes horizontal e vertical da resultante do empuxo sobre a superfície cilíndricada figura cujo raio é 1m e cuja geratriz é 4m.
3m
D =2m
H20 45°
12)Determine o módulo da força que atua sobre a superfície ABC da figura abaixo sabendo-se que sualargura é 1m. Dado: γH20=9,79KN/m3.
59
1m 1m 3m A H20 B 1m 2m 1m C
13)O cilindro de 1,20m de diâmetro é solicitada por água à esquerda e por óleo de densidade 0,8 à direita.Determinar: a)a força normal em B se o cilindro pesa 19,62KN e b)a força horizontal devido o óleo e aágua se o nível do óleo cair de 0,30m.
1,20m 0,60m
H20 1,20m 1,20m óleo
B14)Achar a força resultante que atua na superfície submersa da figura e determinar as coordenadas docentro de pressões. X 60° 3m
1,2m 1,2m H20 X
0,3m 60° 0,3m Y
6015)Verificar a estabilidade da barragem quanto ao tombamento. São dados: γcon= 23,544 KN/m3 eγH20=9,79KN/m3. 2m
60° H20
30m
O 18,5m 8m 6m
P= 20γH20 Subpressão
16)Verificar a estabilidade em relação ao tombamento da barragem dada abaixo. São dados:γH20=9,79KN/m3 e γcon= 23,544 KN/m3 .
5m
60°
15m H20
10m 8m
P=15γH20 Subpressão
613.4-Respostas dos Exercícios do Capítulo 3
1-F = 353,16 KN ; Ycp= 9,04m e Xcp =2,0m 2)Fy = FH =235,44KN; Xcp =2,0m e
Zcp =3,11m; Fz=Fv = 190,64 KN, Xcp= 2,0m; Ycp =0,9m e Zcp= 1,26m; 3-E= 123,27 KN; γ b 2 4-E = 479,84 KN ; 5-F = γ bh2/2 ; Ycp = 2h/3 e Xcp =b/2; 6-FH = ------(h + R)2 ;;Zcp = ----(h + R) 2 3
π R2 2 3hR + 2R2
e Xcp = b/2; Fz = γ b(-------- + hR) ; Xcp =b/2 e Ycp = ----(----------------) 4 3 4h + π R
1 6h2 + 3π R h + 4 R2 2H + R 2 3H2 +3HR+R2
Zcp = ----- ( --------------------------- ) ; 7- FH=Fy = γ bR (-------------) ; Zcp = -----(-------------------) 3 4 h + π R 2 3 2 H + R
2 3HR + 2R2
e Ycp = b/2 ; Fz = γ b(R H + πR2/4) ; Xcp= b/2 ; Ycp = -----( -----------------) e 3 4 H + π R
1 6H2 + 3πR H + 4R2
Zcp = ------( -------------------------) ; 8-F2= 24,525KN ; 9- a)F = 60,625 KN ; Xcp = 1,5m; 3 4 H + π R
e Ycp = 2,82m ; b) F = 184,31KN ; Xcp = 1,5m e Ycp = 2,77m ; 10-h = 5,26m ; 11- a)VA = 0;
HÁ= 47,68KN e VB = 75,04 KN ; b)VB = 63,56KN ; HÁ= 63,56KN e HÁ =0 ; 12- FH=185,63N
e Fz=267,35KN; 13-R =59,67KN ; 14-24,44KN ; Ycp = 4,03m e Xcp = 0,353m;
15-∑Mo =160.652,05KNxm>0(estável) ;16-∑Mo65.007,04KNxm>0(estável);
62 CAPITULO 4 - ESCOAMENTOS DE FLUIDOS.
4. 1-Tipos de Escoamentos
4.1.1-Escoamento Permanente.
É aquele em que as condições do fluido são invariáveis em cada ponto em relação ao tempo. Ascondições podem variar de um ponto para o outro ou de seção para outra seção. Um exemplo deste tipode escoamento é mostrado na figura 4.1, em que se tem um reservatório contendo um fluido mantido anível constante, isto é , a quantidade de fluido que sai do reservatório é reposta de alguma forma. Pode-seobservar que em cada seção escolhida as velocidades (grandezas escolhidas para análise) não variam como decorrer do tempo , ou seja, os perfis de velocidades : V1 , V2 e V3 se mantém constantes. Porém, se forfeita uma comparação entre estes perfis nos mesmos instantes, observa-se que eles são diferentes(V1≠ V2≠V3). Conclusão: a condição de permanente está relacionada apenas com o parâmetro tempo. Ncte
(1) (2) (3)
V1=cte V2=cte V3=cte Figura 4.1- Escoamento Permanente
4.1.2-Escoamento Variado.
É aquele em que as condições do fluido variam em relação ao tempo em um ponto, numa seçãoou região do escoamento. Nvariável (diminui)
V1(t1)
(1) V2(t1) V3(t1) (2) (3)
V1(t2) V2(t2) V3(t2) Figura 4.2- Escoamento Variado
Na instalação da figura 4.2, em que de um reservatório contendo um fluido , cujo nível varia
63no decorrer do tempo, sai uma quantidade variável de fluido na unidade de tempo, tem-se um exemplo deescoamento variado ou não permanente. Pode-se observar nesta instalação que em cada uma das trêsseções tomadas para análise os perfis de velocidades variam com o decorrer do tempo, isto é,V1(t1)≠V1(t2) ; V2(t1)≠V2(t2) e V3(t1)≠V3(t2). Neste exemplo foi admitido que o nível de fluido noreservatório diminui , mas se poderia admitir que o nível aumentaria e se teria também um escoamentovariado, a diferença é que neste caso as velocidades aumentam, ao invés de diminuir.
4.1.3-Escoamento Uniforme.
É aquele em que as condições do fluido não variam de ponto para ponto, podendo variar emrelação ao tempo. Tem-se dois tipos de escoamento uniforme:
a)Escoamento uniforme permanente eb)Escoamento uniforme não permanente.
4.1.3.1 - Escoamento Uniforme Permanente.
É aquele em que as condições do fluido não variam de seção para seção e em relação ao tempo.Na figura 4.3, é mostrado um exemplo de escoamento uniforme e permanente, em que de um reservatóriocontendo um fluido com nível constante sai uma quantidade fixa do fluido. Observa-se que nas seçõesescolhidas para análise os perfis são idênticos e não variam com o decorrer do tempo, isto é, V1 = V2 =V3. Ncte
(1) (2) (3)
V1=cte V2=cte V3=cte
Figura 4.3- Escoamento Uniforme e Permanente.
4.1.3.2 - Escoamento Uniforme e Não Permanente.
É aquele em que as condições do fluido não variam de seção para seção mas variam em relação aotempo. A instalação da figura 4.4, mostra um exemplo deste tipo escoamento, em que de um reservatóriocontendo um fluido com nível variável , sai uma quantidade variável de fluido. Pode-se observar que nasseções escolhidas em cada instante os perfis de velocidades são idênticos , isto é , V1(t1)=V2(t1)=V3(t1) eV1(t2)=V2(t2)=V3(t2) , mas os perfis de velocidades diferem de instante para instante ou seja :V1(t1)=V2(t1)=V3(t1) ≠ V1(t2)=V2(t2)=V3(t2)
64 Nváriável(aumenta)
(1) V1(t2)=cte V2(t2)=cte V3(t2)=cte (2) (3)
V1(t1)=cte V2(t1)=cte V3(t1)=cteFigura 4.4- Escoamento Uniforme e Não Permanente.
4.1.4-Escoamento Laminar e Turbulento.
Experiência de Reynolds.
Líquido Colorido(H20 + Corante) H20 Filete Colorido Tubo transparente
Registro de Controle de Vazão
Realizando a experiência acima Osborne Reynolds observou os seguintes comportamento da água: a)Para vazões pequenas o filete colorido permanecia bem definido no escoamento. É o regime deescoamento que denominou de laminar ou lamelar. b)Para vazões maiores o filete colorido se misturava com a água .É o regime de escoamento quedenominou de turbulento.
Escoamento Laminar.
É aquele em que as partículas fluidas apresentam trajetórias bem definidas, que não se cruzam e ofluido escoam em laminas ou lamelas, conforme mostra a figura 4.5. Lâminas ou Camadas
Figura 4.5- Escoamento Laminar.
65 Escoamento Turbulento.
É aquele em que partículas fluidas apresentam movimento desordenado, tendo a velocidade emqualquer instante uma componente transversal a direção do escoamento, conforme ilustra a figura 4.6.
Vn V
Vt
Figura 4.6- Escoamento Turbulento
Pelo adimensional denominado NUMERO DE REYNOLDS(Re) dado por: ρ V D V D Re = ---------- = ------ , caracterizamos se um escoamento em tubos é Laminar ou µ ν
Turbulento. Onde : ρ = massa especifica do fluido V= velocidade média do escoamento D= diâmetro do tubo µ =viscosidade dinâmica do fluido; ν =viscosidade cinemática do fluido
Se Rey ≤ 2000 , tem-se regime laminarSe 2000 < Rey< 4000 , tem-se regime de transição, que é uma zona critica , na qual não se pode
determinar com segurança a perda de carga nas canalizações. Se Rey ≥ 4000 , tem-se regime turbulento.
4.2-Vazão em Volume , Vazão em Massa e Vazão em Peso.Velocidade Média.Conceitos eUnidades.
Para definir os conceitos de vazão em volume ,massa e peso, vamos tomar um conduto genéricocuja seção transversal tem área A, por onde escoa um fluido de massa específica ρ e peso específico γ .Sobre este conduto , delimitaremos um elemento de volume cilíndrico(dvol) de área transversal dA ecomprimento ds, conforme mostra a figura 4.7, dado por:
dvol = dsxdA
ds dA
V (s)
A
dVol= ds.dA
Figura 4.7- Escoamento genérico.
66 4.2.1-Vazão em Volume (Q)
É definida como sendo o volume de fluido que atravessa uma seção na unidade de tempo e ésimbolizada por Q. Logo :
volume Q = ------------- Tempo
A vazão dQ que passa pela seção dA é dada por: V- velocidade dvol ds . dA dQ= ------- = ---------- = V.dA dQ = Vda (4.2.1) dt dt
Para obter a vazão Q , basta fazer a integração da expressão (4.2.1) na área A. Integrando vem:
Q = ∫ V.dA (4.2.1a) A
Unidades:
m3/s ; L/s ; L/h e m3/h
4.2.2- Vazão em massa (G)
Definida pela relação da massa de fluido que atravessa uma seção na unidade de tempo , e ésimbolizada por G . Assim: massa G = -------------- Tempo
A vazão em massa dG que passa pela seção dA é dada por:
V- velocidade dm ρ dvol ρ ds . dA dG= -------- = ------------ = -------------- = ρV. dA dG = ρ.V.dA (4.2.2) dt dt dt
Integrando a expressão (4.2.2) na área transversal A , obtém-se a vazão em massa G. Logo:
G = ∫ ρ V.dA (4.2.2a) A
Unidades:
Kg/s , kg/h , Utm/s e g/s
674.2.3- Vazão em Peso (W)
Definida pela relação do peso de fluido que atravessa uma seção na unidade de tempo , e ésimbolizada por W . Assim:
Peso W= ----------- tempo
A vazão em peso dW que passa pela seção dA é dada por:
V - velocidade dP ρgdvol ρg ds . dA dW = ------- = ---------- = ------------------ = ρg V.dA dW = ρ gV.dA (4.2.3) dt dt dt
Integrando a expressão (4.2.3) na área transversal A , obtém-se a vazão em peso W.Logo:
W = ∫ ρg V.dA (4.2.3a) A
Unidades:
kgf/s ; N/s, N/h , kgf/h e dina/s
4. 2.4- Velocidade Media (Vm)
A velocidade média Vm ou simplesmente V, pode ser definida pela relação da vazão em volumeQ e a área da seção transversal A do conduto. Ela pode ser definida como sendo a velocidade quemultiplicada pela área fornece a vazão em volume Q . Assim:
QVm = ------- ou Q = Vm .A (4.2.4)
APara determinar a expressão matemática da velocidade média, consideremos um conduto qualquer
por onde está escoando um fluido incompressível qualquer, conforme mostra a figura 4.8. Seja A aseção transversal e dA o seu elemento de área . V A
Q
Vm
Figura 4.8- Conduto Qualquer para Determinar a Expressão de Vm.
A vazão Q pode ser calculada por:
68
Q = ∫ V.dA A donde vem : Vm.A= ∫ V.dA , que fica: Q= Vm.A A
1 Vm = ----- ∫ V. dA (4.2.4a) A A
Exemplo de aplicação: No escoamento de um óleo de densidade d através de um conduto circularde raio R , a velocidade em cada ponto é expressa pela equação :
v = Vmax[ 1 - (r/R)2] – perfil parabólico de velocidades, onde:v- velocidade em cada ponto da seção em m/s;Vmax – velocidade máxima que ocorre no centro do conduto em m/s;r- raio genérico quando a velocidade for v em m;R- raio do conduto em m.
Determinar:a)a expressão da velocidade média , a vazão em volume , massa e peso. b) para d =0,80, ρH20 =1000kg/m3 , R = 0,20m , g = 10m/s2 e Vmax = 2,4m/s os
valores numéricos da velocidade média e das vazões em volume , massa e peso. v dA= 2πrdr dr
r R Q r Vmax R
1 1 Ra) Vm = ----- ∫ vdA = ----------∫ Vmax[ 1 – (r/R)2] 2πrdr
A A πR2 0
2πxVmax R r3 2xVmax r2 r4 R Vm = --------------- ∫ [ r – ------ ] dr Vm = ---------- [ ----- - ------]
π R2 0 R2 R2 2 4R2 0 2xVmax R2 R4 2 2Vmax 2R2 - R2
Vm = ---------------[ ------- - --------] = ----------- [ --------------] R2 2 4R2 R2 4
2Vmax R2 Vmax Vm = ------------ [ -----------] Vm = --------- (1)
R2 4 2 2
Obs: sempre que o conduto for cilíndrico e o perfil de velocidades parabólico , a velocidade médiaé dada pela expressão :
Vmax Vm = ------------ 2
69A vazão em volume Q pode ser calculada pela expressão (4.2.1a), mas vamos calcular a vazão
utilizando Vm, logo:
Q = VmxA , substituindo a expressão (1) e da área A = πR2 , vem:
Vmax Q = ---------- πR2 ou Q = Vm A (2)
2
A vazão em massa G será calculada pela expressão:
G = ∫ ρ V.dA , como o fluido é incompressível (ρ =cte), vem A
G = ρ ∫V.dA , onde a integral é a vazão Q , então: A
G = ρ . Q , substituindo a expressão (2) vem :
VmaxG = ρ . π R2 ---------- ou G = ρ A Vm ou G = ρ Q
2
A vazão em peso W será calculada pela expressão:
W = g ∫ ρ V.dA , como o fluido é incompressível (ρ =cte), vem A
W = g.ρ ∫V.dA , onde a integral é a vazão Q , então: A
W = ρg . Q , substituindo a expressão (2) vem :
VmaxW = ρg . π R2 ---------- ou W = ρg.VmxA ou W =ρgQ ou W = γQ (4)
2
b) Vmax 2,40Vm = V = ---------- = --------- Vm = V = 1,20m/s
2 2 ρol ρol
d = ---------- 0,80 = --------- ρol = 800kg/m3
ρH20 10000γol = gρol = 10x800 γol = 8000N/m3
Cálculo de Q
Vmax 2,40Q = ---------- πR2 = ---------π x0,202 Q = 0,1508m3/s ou
2 2Q = VmxA = 1,20xπ.0,202 Q = 0,1508m3/s
70Cálculo de G
Vmax 2,40G = ρ . π R2 ---------- = 800xπx0,202x --------- G = 120,64kg/s ou
2 2simplesmente G = ρQ = 800x0,1508 G = 120,64kg/s
Cálculo de W
Vmax Vmax 2,40W = ρg . π R2 --------- = γ πR2---------- = 8000xπx0,202 x--------- W = 1206,40N/s
2 2 2
ou W = ρg Q = γ.Q = g G = 10x120,64 W = 1206,40 N/s
4.3- Equação da Continuidade.
É a equação que faz o balanço de massa de um escoamento, também conhecida como equação daconservação da massa.
4.3.1-Equação da Continuidade para Regime Permanente.
Para determinar a expressão da equação da continuidade em regime permanente num volumecom uma entrada e uma saída, vamos considerar a situação da figura 4.9. No volume entra uma vazãoem massa G1 pela seção (1) e sai pela seção (2) uma vazão em massa G2. Como o regime é permanente ,vem:
(1)
(2)
G1 G2
` ρ2 , V2, A2
ρ1, V1 , A1
Figura 4.9- Conduto Qualquer com uma Entrada e uma Saída.
G1=G2 = ρ1.V1.A1 = ρ2.V2.A2
Para fluidos incompressíveis ρ1= ρ2 = ρ ; logo:
ρ V1A1 = ρ V2A2 ===> Q1 = Q2
Para o volume da figura 4.10, com duas entradas e duas saídas a equação da continuidade emregime permanente, terá a seguinte expressão:
71
(3) ρ3;V3;A3 G3
(1) (4)
G1 G4
ρ1;V1;A1 ρ4;V4;A4
(2) ρ2;V2;A2
G2Figura 4.10- Um Volume com duas Entradas e duas Saídas.
G1 + G2 -G3 -G4=0 , como G = ρ.V.A, logo:
ρ1.V1.A1 + ρ2.V2.A2 - ρ3.V3.A3 - ρ4.V4.A4=0;
Se o fluido for incompressível , então : ρ1= ρ2= ρ3= ρ4=ρ Logo: ρ. V1.A1+ ρ. V2.A2 - ρ. V3.A3 - ρ . V4.A4 = 0 ,ou
Q1 + Q2 - Q3 - Q4 = 0. Q1 + Q2 = Q3 + Q4
4.3.2-Equação da Continuidade para Regime Não Permanente.
Para determinar a equação da continuidade para regime não permanente vamos tomar um volumecom uma entrada e uma saída, mostrado na figura 4.11. Seja G1 a vazão em massa que entra pela seção(1) e G2 a vazão em massa que sai pela seção (2) e dm/dt ou dG a massa que varia no volume em relaçãoao tempo . 1 2 Vol dm G1 ρ ; -------- G2 dt
ρ1;V1;A1 ρ2;V2;A2
Figura 4.11
Então podemos escrever que: dG= G1 - G2 = dm/dt
Sendo m a massa do fluido , logo : m = ρ Vol , que derivando em relação ao tempo vem:
72 dm dρ dVol ----- = Vol ----- + ρ. ------- dt dt dt que substituída na expressão anterior fica:
dρ dVol G1 - G2 = Vol ----- + ρ -------- (4.3.2) dt dt
Para regime permanente(que não varia com o tempo)podemos escrever:
dG =0 G1=G2 ρ1 V1 A1 = ρ2 V2 A2
Exemplo de aplicação: Num reservatório de abastecimento de água de 500m3, pela seção (1)chega uma vazão de 150 L/s e pela seção (2) sai a vazão de 100L/s . Utilizando a equação dacontinuidade para regime não permanente determinar o tempo de enchimento do reservatório , sabendo-se que ele está vazio. (1)
Q1 500m3
(2) Q2
Utilizando a expressão (4.3.2) dρ dVol G1 - G2 = Vol ----- + ρ --------- ; dt dt
A água pode ser considerada um fluido incompressível ρ = cte , logo : dρ/dt =0 0
dρ dVol dVol G1 - G2 = Vol ----- + ρ -------- ρV1 A1 - ρ V2 A2 = ρ ---------- , sendo: dt dt dt dVol V1 A1 = Q1 ; V2A2 = Q2 e --------- = Q(vazão que efetivamente enche o reserva- dt tório)
Logo: Q1 – Q2 = Q Q = 150 – 100 Q = 50L/s
O tempo t de enchimento do reservatório será de: Volume do reservatório 500.000L
t = -------------------------------- = -------------- t = 10.000s Q 50L/s
734.4-Exercícios – Capítulo 4 – Cinemática dos Fluidos
1)Determinar a relação entre a velocidade máxima e a velocidade média correspondente a vazão Q nosescoamentos dados:a)escoamento bidimensional com distribuição parabólica de velocidades;b)escoamento com simetria axial e distribuição parabólica de velocidades. y v
R r Q Vmax h Q v Vmax y
2)Determinar a relação entre a velocidade média e a velocidade máxima, para os dois escoamentosbidimensionais, cujos perfis de velocidade são os mostrados.
Vmax Q Q 2a Círculo a
3)Por um longo conduto circular de 0,30m de diâmetro escoa água em regime permanente , comum perfil de velocidade v= 0,0225 – r2 (m/s).Determinar a velocidade média com que a água sai pelastubulações de 0,05m de diâmetro. v 0,05m
r Vmax 0,3m 0,05m
4)No dispositivo mostrado na figura, através da tubulação A se introduz uma vazão de 140 L/s de água,enquanto que pela tubulação B se introduz 28L/s de óleo de densidade relativa 0,8 . Se os líquidos sãoincompressíveis e formam uma mistura homogênea de gotículas de óleo em água , qual é a velocidademédia e a massa específica da mistura que abandona o dispositivo pela tubulação C de 30cm de diâmetro.Admitir uma massa específica média constante para a mistura.
óleo Mistura
C B E D
A
H2O
5)Se no problema anterior o pistão D se move para a esquerda com velocidade de 30cm/s e seu diâmetro éigual a 15cm, qual é a velocidade média do fluido que sai para C.
746)Por um conduto uniformemente convergente escoa água em regime permanente . Na seção 1 dediâmetro igual a 0,60m o perfil de velocidades é dado por: r 2v = 2[1 – (-------) ](m/s), e na seção 3 de diâmetro igual a 0,40m o perfil de velocidades tem 0,30distribuição cônica. Determinar a velocidade máxima na seção 3 e a velocidade média na seção 2 quedista L/6 da seção 1. (1) L
(3) Q
(2) L/6
7)Ar escoa por um tubo de seção constante de 5cm de diâmetro . Numa seção (1) a massa específica é1,668 kg/m3 e a velocidade de 20m/s .Sabendo-se que o regime é permanente e que o escoamento éisotérmico, determinar:a)a velocidade do ar na seção (2), sabendo-se que a pressão na seção (1) é 9,81N/cm2(abs) e na seção (2) é7,85N/cm2(abs). b)a vazão em massa c)a vazão em volume nas seções (1) e (2).
8)Determinar a velocidade média do escoamento na seção 3, conhecendo-se as distribuições develocidades nas (1) e (2) e sabendo-se que o fluido é incompressível. r Seção 1 – distribuição parabólica v1= Vmax1[ 1 – (----)2 ] R1Seção 2- distribuição cônica v2 = Vmax2( 1 – r/R2). Dado: o raio da seção (3) igual a R3.
R1 (1) R3
(2) R2
(3)
9)Determinar a velocidade média na seção (3), sabendo-se que na seção (1) de diâmetro 2D oescoamento é unidimensional e na seção (2), de diâmetro D, o perfil de velocidade é dado por:v = k - r2 , onde k é uma constante e r dimensão linear marcada a partir do eixo do conduto. Fazer ashipóteses necessárias.
75
D
(2) 2D
(1) V1 D (3)
10)Determinar o volume específico do fluido compressível em escoamento permanente na seção dediâmetro d3=15cm sabendo-se que a velocidade média V3= 30m/s e que as vazões em peso valemw1=0,3kgf/s e w2=0,2kgf/s .
w1
d=15cm w3
W2 (3)
11)Por um conduto convergente escoa água com uma vazão de 10L/s. A maior seção do conduto tem20cm de diâmetro e a menor 10cm. Determinar, em m/s , a expressão da velocidade média em uma seçãogenérica do conduto, de abscissa x, sendo L o comprimento do conduto.
Q=10L/s x
L
12)Água escoa através de um duto longo cujo diâmetro é D =1,5m .A velocidade da água em relação aoduto é dada por: v = 2,25 - 4 r2 (m/s) . Qual é a velocidade média da água que sai pelo pequeno tubo dediâmetro interno de 0,30m?
r D=1,5m 0,30m
7613)Determinar V3 e Q3 da situação abaixo. Dados: Q; A1; A2 e A3. O fluido é incompressível.
Q A2 A3 A1
14)Um duto retangular de 0,30m por 0,50m conduz um fluido com γ = 19,62N/m3 sendo a vazão igual a0,45m3/s .Calcular a velocidade média do fluido no duto. Se o duto se estreita para 0,15m por 0,50m ,e seo peso específico for igual a 14,72N/m3, determinar a velocidade média nesta seção.15)Na figura abaixo está mostrada uma seringa para injeção com as respectivas dimensões. Se avelocidade do êmbolo é 0,25cm/s e se a velocidade do líquido na agulha é 24,97cm/s , qual a porcentagemdo líquido que é desperdiçado através da folga entre o êmbolo e o cilindro? Desprezar o volume contidona agulha. De=0,61cm
Ve=0,25cm/s Da=0,06cm Dc=0,62cm Va= 24,97cm/s
1,15cm
16)No escoamento turbulento de um fluido em condutos circulares o diagrama de velocidades é dado pelaequação: v = Vmax(1 - r/R)1/7 , onde as grandezas têm os seguintes significados:Vmáx- velocidade no eixo do conduto ; R- é o raio do conduto e r- é um raio genérico para o qual avelocidade é v genérica. Verificar que : Vm/Vmáx= 49/60.17)Ar escoa num tubo convergente . A área da maior seção do tubo é 20cm2 e a de menor seção é 10cm2.A massa específica do ar na seção (1) é 1,18kg/m3 enquanto que na seção (2) é 0,88kg/m3. Sendo avelocidade na seção (1) 10m/s , determinar a velocidade na seção (2) e a vazão em massa.
G
(1) (2)18)Tem-se um escoamento de fluido compressível em regime permanente em uma convergência de seçãocircular . Conhecendo-se a vazão em peso w = 1,8N/s , os diâmetros d1=15cm(6”) e d2=7,5cm(3”) etambém os volumes específicos v1= 1,0 m3/kg e v2 = 0,61m3/kg , pedem-se as velocidades médias doescoamento nas seções transversais (1) e (2) e as vazões. Adotar g=10m/s2
Q
(1) (2)19)Uma piscina de 20mx9mx2m é alimentada através de um sistema, como mostra o esquema abaixo. Osistema consta de um poço cilíndrico de 1,20m2 de área transversal, alimentado por uma vazão constanteQo = 10L/s , do qual uma bomba recalca a água com uma vazão constante Q1=14L/s através de uma
77tubulação de recalque. Uma bóia convenientemente instalada no poço provoca o funcionamento da bombano instante t =0 , quando o nível d’água atinge o ponto (1) e a desliga quando atinge o ponto(2).Admitindo que uma válvula de retenção evita o esvaziamento da tubulação de recalque , e que a piscinaestá vazia no tempo t=0 , determinar:a)O intervalo de tempo entre o início e o fim de funcionamento da bomba, em cada ciclo , em minutos.b)O intervalo de tempo que a bomba permanece desligada, em cada ciclo , em minutos.c)O tempo necessário para o enchimento total da piscina em horas.d)O número de vezes que a bomba é ligada até encher a piscina.e)Traçar o gráfico Q(L/s)xt(min) correspondente ao funcionamento da bomba.
Qo=10L/s 2m
1 Q1=14L/ 9m 2m
2 A=1,2m2 B
20)Para simular o escoamento de um rio construiu-se uma canaleta por onde escoa água com uma vazãovariável em função do tempo , conforme mostra o gráfico abaixo. A canaleta alimenta um reservatórioregularizador cuja comporta é comandada de tal forma a fornecer para jusante uma vazão constante igual avazão média do intervalo de tempo considerado . Tem-se disponível para o reservatório a altura de 2,0m euma área horizontal limitada. Determinar:a)a vazão média no intervalo de tempo de 24 horas.b)a área mínima para a execução do reservatório para que este nunca extravase, observando que noinstante inicial t=0 o nível d’água no reservatório é 1,0m.c)o nível mínimo que ocorre no reservatório.d)traçar a curva volumextempo , para o reservatório. Q Canaleta (m3/s) Q 4,0
Área=? Comporta 2m 1,0 h 6 24 t(hora)
784.5-Respostas dos Exercícios do Capítulo 4
1)a)Vm/Vmax=2/3 ; b)Vm/Vmax=1/2 ; 2) a)Vm/Vmax= π/4 ; b)Vm/Vmax=3/4 ; 3)V=0,20m/s;
4)ρm= 967,26 kg/m3 e Vm = 2,37m/s ; 5)Vm = 2,45m/s ; 6)Vmáx = 6,75m/s e Vm1=1,12m/s ;
7)a)V2=25m/s ; b)G = 0,06551kg/s ; c)Q1 = 39,3L/s e Q2 = 49,1 L/s.
4
9)Vm = 4V1 – K/2 ;10) v =1,06 m3/kg ; 11) v = --------------- (m/s) ; 12)Vm = 28,12m/s π (2 – x/L)2
A2 A2 Q13)Q3 = ----------- Q ; V3 = ------------- -------- ;14)Vm1 = 3m/s e Vm2 = 8m/s; 15)3,3% ; A2 - A1 A2 – A1 A3
17)V2= 26,82m/s e G = 0,0236 kg/s ; 18)V1 = 10,19m/s ; V2= 24,86m/s ; Q1= 0,18m3/s e
Q2=0,109m3/s 19)a)t = 10 min b)t =4min c)t = 10 horas e d)n = 43 vezes 20)a)Q =2,5m3/s
b)Amin=24300m2 c)hmin= 0,67m ;
)max3
max2
(1)8 22
2
1
21
23
VRVR
RVm +=
79CAPITULO 5 - CONCEITOS LIGADOS AO ESCOAMENTO DE FLUIDO -
EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS
5.1-Sistemas e Volumes de Controle.
5.1.1-Sistema:
É uma quantidade fixa de matéria .A forma e o volume de um sistema pode variar, porém a suamassa é sempre a mesma. Por exemplo, podemos escolher como sistema o vapor do cilindro de motor decombustão após fechada a válvula de admissão , conforme mostra a figura 5.1. À medida que o embolo semove, o volume do sistema varia, mas a quantidade e a identidade da massa não sofre alteração. Admissão
SISTEMA
Vapor de Combustível Figura 5.1 – Exemplo de sistema
5.1.2-Volume de Controle(V.C):
E um volume arbitrário escolhido em relação a um dado referencial. No volume de controle aquantidade de matéria pode variar, mas a sua forma e seu volume e fixo. Por exemplo para estudar oescoamento de descarga de um bocal, podemos escolher como volume de controle a parte interna dobocal. A superfície que envolve o volume de controle é denominada superfície de controle(S.C). A figura5.2 mostra exemplo de volume de controle. Bocal
VOLUME DE CONTROLE(V.C.)
Superfície de Controle(S.C.)
Figura 5.2- Exemplo de Volume de Controle(V.C.)
5.2-Relação Entre Solução por Sistema e Volume de Controle.
5.2.1-Grandezas Extensivas:
São grandezas que dependem da massa do sistema. Por exemplo: peso; quantidade de movimento,energia; massa ; etc,. As grandezas extensivas podem ser expressas pelo produto da sua grandeza especifica e a massa.Por exemplo:
1 1 a)Energia cinetica -Ec= η. m = ----V2. m = η= --- V2
2 2
80 b)Energia Potencial- Ep = η. m = gh.m = η =gh
c)Massa - m = η. m == η = 1
d)Peso - P = η. m =g.m = η = g
e)Quantidade de movimento = η. m =V.m = η = V
5.2.2- Grandezas Intensivas:
São grandezas que independem da massa do sistema. Por exemplo: temperatura e pressão.
Seja N uma grandeza extensiva qualquer e η o valor dessa grandeza por unidade de massa. Se dN = η .dm , então : dN= ηρ dVol , logo:
Considere um campo de escoamento arbitrário V(x,y,z,t) , observado de OXYZ nos instantes t e t +∆ t, como mostra a figura 5.3:
Z Sistema no instante t +∆t
II III
I V.C.
O Y
N Sistema no instante t X Figura 5.3- Campo de Escoamento
Seja calcular a razão de variação de N em relação ao tempo para o sistema:
Rearranjando os termos vem:
N dvolvol
= ∫ η ρ. .
( ) ( )( . . . . ) ( . . . . )
Nsist Nsistt
dV dV dV dV
tt t t
t t tIIIIIIII+
+−=
+ − +∫∫∫∫∆
∆
∆ ∆
η ρ η ρ η ρ η ρ
81
Passando ao limite fazendo ∆t => 0 ,vem:
Combinando os limites c) e d) acima vem:
Agrupando os limites acima vem:
( ) ( )( . . ) ( . . ) ( . . )
Nsist Nsistt
dV dV
t
dV
tt t t
t t tIIII
t tIII+
+ +−=
−+ −
∫∫ ∫∆
∆ ∆
∆ ∆ ∆
η ρ η ρ η ρ
−∫( . . )η ρ dV
tI
t
∆
a LimNsit Nsist
tdNdtt
t t tsist) .
( ) ( )( )−
−⎡⎣⎢
⎤⎦⎥
=⇒
+
∆
∆
∆0
b LimdV dV
t tdV
t
t tII
t
V C
)( . . ) ( . . )
. .. .
∆
∆
∆⇒
+∫∫
−⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
=0
η ρ η ρ∂∂
η ρ
c LimdV
tV dA V dA fluxo de saida
t
t tIII
AS A S
)( . . )
. . . . cos . ..
∆
∆
∆⇒
+ → →∫∫ ∫
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
= • = =0
η ρη ρ η ρ α
d LimdV
tV dA V dA fluxo de entrda
t
tI
A E A E
)( . . )
. . . . . cos . . .. . . .
∆ ∆⇒
→ →∫∫ ∫
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
= = =0
η ρη ρ η ρ α
η ρ η ρ η ρ. . . . . . . . . . . .. . . ..
V dA V dA V dA fluxo pela S CA S A E S C
→ → → → → →
∫ ∫ ∫+ = =
82
A equação( I) afirma que a taxa de variação da grandeza N do sistema é igual a taxa de variação dagrandeza N no volume de controle, mais o fluxo de N através da superfície de controle.
5.3-Equação da Continuidade na Forma de Integral.
Como a massa de qualquer sistema por hipótese é constante , então:
onde: m= massa do sistema
Se na equação ( I) a grandeza N for a massa do sistema , então η será a massa por unidade demassa , portanto igual a unidade (η =1 ). Substituindo em ( I) as considerações acima vem:
A expressão (2) é a equação da continuidade na forma de integral. ∂ρPara regime permanente(------) = 0
∂t
Logo:
Para fluido Incompressível ( ρ =cte)
1o-Exemplo de aplicação: Considerando escoamento permanente aplicar a equação da continuidadena forma de integral na situação da figura a seguir.
( ) . . . . . ( ). . . .
dNdt t
dV V dA IsistV C S C
= +∫ ∫→ →∂
∂η ρ η ρ
N m cte dmdt
dNdt
= = ⇒ = =0
0 2= +→ →
∫∫∂∂
ρ ρt
dV V dAS CV C
. . . ( ). .. .
ρ . .. .
V dAS C
→ →
∫ = 0
ρ. .. .
V dAS C
→ →
∫ = 0
83
(2) ρ2;V2;A2
dA
ρ1;V1;A1 V.C. dA
(1)
dA V1 d A V2
(1) V1 • dA = -V1dA (2) V2 • dA = V2dA
∂ρ Para regime permanente (------ = 0) ∂t
2o-Exemplo de Aplicação :Aplicar a equação da continuidade na forma de integral na situação aseguir , admitindo escoamento permanente.
(1) (3)
dA ρ3;V3;A3
dA V.C. dA
ρ1;V1;A1 S.C. (2) ρ2;V2:A2
0= + •→ →
∫∫∂∂
ρt
dV V dAS CV C
. . .. .. .
ρ ρ ρ ρ. . . . . .. . . .
V dA V dA V dA V dAS C S C AA
→ → → →
• = ⇒ • =− + =∫ ∫ ∫∫0 01 1 2 221
ρ ρ ρ ρ1 1 2 2 1 1 1 2 2 221
. . . . . . . .V dA V dA V A V AAA
= ⇒ =∫∫
84
5.4.Equação de Bernoulli.
No escoamento da figura 5.4 entre as seções (1) e (2) vamos tomar um elemento de volume dadopor dvol= dA.ds e determinar a Equação de Bernoulli, válida para as seguintes hipóteses: a)regime permanente; b)fluido ideal(escoamento sem atrito); c)fluido incompressível; d)sem trocas de calor; e)propriedades uniformes na seção; f)sem presença de máquinas. ds dA V+dV (2) V V2;P2 P α dz (1) V1 dA P+dp P1
dw=ρ.g.ds.dA z1 z z z2
Plano Horizontal de Referência(PHR)Figura 5.4- Um Escoamento Qualquer
Aplicando a 2a Lei de Newton na direção do escoamento vem:
dF = dm.a dz PdA - (PdA + dpdA) – dW .----- = dm.a ds dz
P.dA – P.dA –dp.dA -ρd ds.dA ---- = ρ.ds.dA.a (1) ds
A velocidade é dada por: V dV ds dV
V= V(s,t) ; logo a = --------. -------- = V. ------- ds dt ds dV
a = V. ------ (2) ds
Substituindo (2) em (1), vem:
dV-dp . dA -ρ.g.dA.dz = ρ.ds.dA.V -------
ds
85-dp - ρ . g.dz =ρ.V.dV (3)
Dividindo (3) por : -ρ.g = - γ , vem :
dp V.dV ------ + dz + --------- = 0 (4)
γ g
Integrando a expressão (4) entre os pontos 1 e 2 vem: 2 2 2 2 2 2 2 dp V.dV P V
------- + dz + ----------- = 0 = -------- + z + -------- γ g γ 2g 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 P2 – P1 V2 - V1 P1 V1 P2 V2 ------------ + Z2 – Z1 + -------------- ------- + Z1 + ------- = -------- + ------- = H γ 2g γ 2g γ 2g
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Significado de cada termo da Equação de Bernoulli.
Z = energia potencial por unidade de peso(m) P -------- = energia de pressão por unidade de peso(m) γ V2
-------- = energia cinética por unidade de peso (m) 2g
H = energia total por unidade de peso(m)
V2 POs termos : Z ; ------ e -------- têm a dimensão de comprimento. 2g γ
Estes termos são normalmente denominados de:
Z= carga potencial ;
V2
--------- = carga cinética ou de velocidade; 2g
P --------- = carga de pressão e
γ
86 H = carga total
V2
-------- = energia cinética por unidade de peso (m) 2g
H = energia total por unidade de peso(m)
V2 POs termos : Z ; ------ e -------- têm a dimensão de comprimento. 2g γ
Estes termos são normalmente denominados de:
Z= carga potencial ;
V2
--------- = carga cinética ou de velocidade; 2g
P --------- = carga de pressão e H= carga total.
γ
Se o escoamento for permanente , fluido incompressivel e ideal, sem presença de máquinas e nemtrocas de calor as cargas totais se mantém constantes em qualquer seção, não havendo , nem ganhos enem perda de carga.
1)Exemplo de Aplicação – Determinar a velocidade de saída e a vazão da água que escoa atravésdo bocal da figura a seguir. Ncte
(1)
6m H20
φ 0,10m PHR
(2)
Solução: aplicando a Equação de Bernoulli entre (1) e (2), vem: P1 V1
2 P2 V22
----- + Z1 + ----- = -----+ Z2 + ------ ; onde:P1=Patm=0; γ 2g γ 2g P2=Patm(jato livre)=0; V1=0(A1>>>A2) e Z2=0 Logo:
87 V2
2
----= Z1 == V2= 2.Z1 .g = 2x6x9,81 2g V2= 10,85m/s
π. 0,102
Q= V.A = 10,85---- -------- === Q= 0,085m3/s 4
2o-Exemplo de Aplicação: Calcular a vazão Q do vertedor retangular da figura dada a seguir:
(1)
h h dh (2) H H
b dA =b.dh H20
Bernoulli entre (1) e (2)
P1 V12 P2 V2
2
---- + Z1 + ----- = ---- + Z2 + ----- onde : γ 2g γ 2g
P1=Patm=0 ; Z1=h ; V1=0(A1>>>A2) e Z2=0.
Logo : V22
---- = h V2 = 2gh 2g
Para o elemento de área dA = b.dh , tem-se :
H dQ= V.dA = 2gh . bdh⇒ Q= 2g . b.h1/2 . dh 0
h3/2 H 2 b Q = 2g .b.----- ⇒ Q= ------. 2g H3/2
3/2 0 3
883o-Exemplo:Calcular a vazão Q de um vertedor triangular da figura dada a seguir:
(1) H H
h h x (2) dh H H
dA=X.dh H20
Aplicando a Equação de Bernoulli entre as seções (1) e (2) obtém-se:
V= 2gh (1) e dQ = V. dA (2)
H H
h dA= x dh x dh H
Da figura acima tem-se : dA = x.dh e por semelhança de triângulos vem: H H - h ----- =- ---------⇒ x =2(H - h), logo dA=2(H-h).dh(3) 2H x Substituindo em (1) e (3) em (2) tem-se:
dQ=V. dA = 2gh . 2(H - h).dh
H Q= 2. 2g. h1/2 .(H - h)dh 0 H h3/2 h5/2
Q= 2. 2g [----- H - ------ ] 3/2 5/2 0 2 2 Q= 2. 2g [-----H5/2 - ------ H5/2 ] 3 5
8 Q = ----- . 2g . H5/2
15
895.5-Medida de Velocidade
A medida de velocidade de fluidos geralmente é feita através de aparelhos denominados Tubo dePitot. Tem-se o Tubo de Pitot Simples e Tubo de Pitot Estático.
5.5.1-Tubo de Pitot simples
Pode ser um tubo com uma curva em angulo reto, tendo as extremidades abertas, conforme se vêna figura 5.5. Uma partícula no centro da seção (1) animada com velocidade V1, ao atingir a seção (2) éfreada e sua energia cinética transforma-se em pressão, que é denominada pressão dinâmica. O Tubo dePitot mede a pressão da seção (2), que é denominada pressão total e é a soma das pressões estática edinâmica. A pressão estática é aquela obtida por uma tomada de pressão instalada perpendicularmente adireção do escoamento. A diferença das pressões total e estática é a pressão dinâmica. Com a pressãodinâmica determina-se a velocidade V1, através da fórmula que será deduzida, a seguir, a partir daEquação de Bernoulli .Na figura dada a seguir num trecho de um conduto, tem-se instalados um Tubo dePitot simples e uma tomada de pressão estática. Tubo de Pitot ∆h γ
ho
(1) (2) Z1=Z2 PHR
Figura 5.5 – Tubo de Pitot simples Aplicando a Equação de Bernoulli entre as seções (1) e (2) vem:
Bernoulli entre (1) e (2) 2 = 2 0 = P1 V1 P2 V2 ---- + ----- + Z1 = ----- + ----- + Z2 γ 2g γ 2g Z1=Z2-tem a mesma cota ;
V2=0(ponto de estagnação , a velocidade pode ser considerada nula).
2 P1 V1 P2 (P1- P2)2g Logo : ----- + ----- = ----- = V1 = --------------- (1) γ 2g γ γ
Aplicando a equação manométrica vem:
P1 = hoγ + Patm (-1) P2 - P1 = ∆h γ(2) P2= (∆h + ho)γ + Patm
Substituindo (2) em (1):
90
∆h. γ .2g V1= ----------- = V1 = 2g . ∆h (4.4.1) γ
5.5.2-Tubo de Pitot Estático
O Tubo de Pitot Estático é um instrumento que possui as duas tomadas pressão : estática edinâmica , fazendo de uma só vez a leitura destas duas pressões, conforme mostra da figura 5.6. Avelocidade V1, pode ser obtida através da fórmula que será deduzida, a seguir, utilizando a Equação deBernoulli. γ
γ γ
ho ∆h (1) (2)
Z1=Z2
PHR γm
Figura 5.6 – Tubo de Pitot Estático
Aplicando a Equação de Bernoulli entre as seções (1) e (2) vem :
Bernoulli entre (1) e (2) 2 = 2 0 = P1 V1 P2 V2 ----- + ----- + Z1 = ----- + ----- + Z2 γ 2g γ 2g Z1=Z2-pontos de mesma cota; V2=0-ponto de estagnação.
(P1- P2)2g V1= (1) γ Pela equação manométrica da seção(1) a (2) vem: P1- ho.γ + ∆h.γm - ∆h.γ + ho .γ = P2,que fica: P2 - P1 = ∆h(γm - γ ) (2)
Substituindo (2) em (1), vem:
Logo: ∆h(γm - γ)2g V1 = ------------------ (4.4.2) γ
91Obs: Para medir a velocidade com qualquer dos dois instrumentos , após a sua instalação, basta fazer aleitura do ∆h e calcular V1 através das expressões 4.4.1 ou 4.4.2 conforme seja um Tubo de Pitotsimples ou Estático.
5.6.Equação de Bernoulli em Presença de uma Máquina.
A figura 5.7 mostra um escoamento em que entre as seções (1) e (2), existe uma máquinahidráulica(bomba ou turbina hidráulica).
(1) Hm (2)
M P1;V1 P2;V2
Z1 Z2 PHR
Figura 5.7 –Escoamento com a presença de uma máquina
Se na Equação de Bernoulli, tivermos H1=H2(energia total igual nas seções 1 e 2 )não há entreestas seções presença de máquina, onde :
P1 V12 P2 V2
2
H1 = ----- + ----- + Z1 e H2 = ----- + ----- + Z2. γ 2g γ 2g
Bombas Hidráulicas: São máquinas que fornecem energia ao fluido(se há presença debomba tem-se H1<H2)
Turbinas Hidráulicas: São máquinas que retiram energia do sistema(se ha presença deturbina H1> H2)
Chamando de Hm a carga manométrica das maquinas(bombas ou turbinas) a Equação de Bernoullipassa a ter a seguinte expressão:
P1 V12 P2 V2
2
------ + ----- + Z1 + Hm = ----- + ----- + Z2. γ 2g γ 2g
H1 + Hm = H2 ; onde:
Para as turbinas: Hm = - HT(carga manométrica das Turbinas) Para as bombas: Hm = HB(carga manométrica das bombas)
5.7-Potencia e Rendimento de uma Máquina.
a)Potência de uma maquina (P)
Energia PesoxHm VolxHm P= ------------ = -------------- = -------------- tempo t t
92 γ Q .Hm P= Q.Hm (KW) e P= --------------- ( CV) 75 onde: γ =peso especifico do fluido em kN/m3
Q =vazão em m3/s Hm =carga manométrica em m. b)Rendimento das Máquinas η
Potência Útil η =------------------------------ Potência posto em jogo
Como nem toda a potência de uma bomba é fornecida ao fluido e nem toda potência do fluido éabsorvida pela turbina, devido as perdas por atrito do fluido no interior das máquinas e as perdas por atritonas partes movéis das máquinas, por isso a potência útil não coincide com a potência posto em jogo. Dai anoção de rendimento. No caso das bombas a potência útil fornecida ao fluido é menor que a potênciada maquina(potência posto em jogo) , enquanto que na turbina a potência útil da máquina é menor que apotência fornecida pelo fluido(potência posto em jogo).Daí a noção de rendimento. Para as bombas tem-se: P P γ Q .Hm γ Q .Hm ηB =--------- ⇒ PB= --------- PB = -------------(KW) ou PB = -------------(CV) PB η B ηB 75ηB
Para as turbinas tem-se: PT γ Q.HT. ηTηT= ------- ⇒ PT= P. ηT ⇒ PT= ------------------ (CV) ou PT = γ Q.HT. ηT (KW) P 75 onde: PB= potência da bomba em CV ou KW PT= potência da turbina em CV ou KW
5.8-Equação de Bernoulli na presença de uma Máquina.
Na figura 5.8 tem-se um escoamento por onde escoa um fluido real, de forma que quando ele escoade (1) para (2) parte de sua energia é dissipada no trecho. A energia dissipada simbolizada por HP1,2, éconhecida por perda de carga entre as seções (1) e (2). HP1,2 (2)
H2
Z2 (1)
H1 Z1 PHR Figura 5.8- Escoamento de um fluido real.
Na Equação de Bernoulli para fluido ideal tem-se:
93
P1 V12 P2 V2
2
H1 = H2 ⇒ ----- + ----- + Z1 = ----- + -----+ Z2 γ 2g γ 2g Para fluidos reais , existe atritos durante o transporte e consequente dissipação de energia, entãonesse caso H1> H2. Para haver igualdade nos membros da equação, adicionamos a energia dissipada(perdas)HP1,2 , nosegundo membro .Logo:
H1 = H2 + Hp1,2 , que desenvolvida fica:
P1 V12 P2 V2
2
---- + ----- + Z1 = ---- + ------ + Z2 + HP1,2
γ 2g γ 2g
Na presença de máquina a Equação de Bernoulli passa a ter a seguinte expressão:
P1 V12 P2 V2
2
---- + ---- + Z1 + Hm = ---- + ---- + Z2 + Hp1,2(perdas) γ 2g 2g γ
A potência dissipada pode ser calculada pela expressão:
Pat= Q.Hp1,2 (KW)
γ Q.Hp1,2 Pat=--------------- (CV) 75 5.9-Coeficiente de Energia Cinética α .
Se a distribuição de velocidade numa mesma seção fosse uniforme e a energia cinética calculadacom esta velocidade, então ela seria verdadeira. Mas acontece que a distribuição de velocidade na seçãonem sempre e uniforme, por isso, é necessário introduzir nestes casos, um fator de correção no cálculo daenergia cinética do escoamento. Na figura 5.9 tem um escoamento em que o perfil de velocidades na seçãonão é uniforme, que será utilizado para determinar a expressão do coeficiente de energia cinética α. A v
Vm
Figura 5.9 A energia cinética real que passa pela seção A na unidade de tempo é igual a:
ρ V2 . dG ρ V2. dQ ρ V2 .V.dA Ec1= ----------- = ------------- = ---------------- A 2 A 2 A 2
94
A energia cinética que passa na unidade de tempo calculada com a velocidade media Vm é igual a :
ρVm3 .A
Ec2 =----------- 2
Introduzindo o fator de correção α , pode-se escrever :
ρ Vm3.A ρ.V3 .dA
. α ----------- = ---------- donde vem: 2 A 2
1 V α ρVm
3 .A = ρV3 .dA ⇒ α = ---- . ( ----- )3 .dA A A A Vm
A Equação de Bernoulli passa a ter a seguinte expressão ao introduzir os fatores de correções α1 eα2 ,nas seções (1) e (2).
P1 V12 P2 V2
2
----- + α1------ + Z1 + Hm = ---- + α2------ + Z2 + Hp1,2
γ 2g γ 2g
5.10-Metodo de Solução de Problema.
a)escolher um único Plano Horizontal de Referencia(PHR), cotando o CG das seções a partir desteplano;
b)verificar as seções nas quais a velocidade e conhecida ou possa ser adotada. Para reservatório degrande dimensões , pode-se adotar velocidade nula para a superfície livre.
c)verificar as seções onde a pressão é conhecida ou possa ser adotada .Num liquido em repouso apressão varia com a Lei de Stevin e num gás em repouso pode adotar pressão constante em qualquer pontoOs pontos de superfície livre de um reservatório e os jatos tem pressão do ambiente.
d)aplicar a equação de Bernoulli entre as duas seções. Uma das seções pode conter uma incógnita aoutra não. No caso da incógnita ser a potência da maquina, ou a perda de carga as seções não podem terincógnitas nas duas seções.
95
5.11-Exercícios Capítulo 5
1)Determinar a velocidade e a vazão do bocal da situação abaixo. Ncte
6m H20
φ0,10m
2)Calcular a vazão Q do vertedor retangular abaixo.
H H
b
3)Determinar a vazão Q do vertedor triangular abaixo.
H H 90°
4)Determinar a velocidade e a vazão do líquido que sai pelo orifício do tanque do grandes dimensões dafigura abaixo.
h d
5)Uma bomba deve recalcar 0,15m3/s de óleo γ = 760kgf/m3 para o reservatório C. Adotando que a perdade carga seja de 2,5m de (A) até (1) e 6m de (2) a (C), determinar a potência da bomba supondo seurendimento de 75%.
96
(C)
60m (A) 15m óleo (1) (2) B‘6)A pressão no ponto S do sifão da figura não deve cair abaixo de 0,25kgf/cm2(abs). Desprezando asperdas, qual é a máxima altura do ponto s em relação ao ponto A. s
(A)
H20 1,2m
(B) Patm
7)O óleo de γ = 760kgf/m3 escoa do tanque A para E , como é mostrado na figura .Determinar:a)a vazãob)a pressão em C. são dadas as perdas de carga : 2 2 2 2 VB VB VD VDHpA,B= 0,6------; HpB,C =9 ------ ; HpC,D = 0,4 ------ e HpD,E = 9 ------- 2g 2g 2g 2g
(D) (A) (C) 0,60m
φ15cm 12m oleo (E) (B) D=30cm oleo
9)Na instalação da figura são dados : HpB,C=0 ; Q =3,14m3/s ;D=2m ; PB=4 kgf/cm2; γ = 1000kgf/m3
.Determinar: a)as cargas totais em: A, B e C; b)o sentido de escoamento ; c)o tipo de máquina ;d)a perdade carga entre A e B e e)a potência da máquina se o rendimento é de 80%.
97
(A)
30m
H20 M (B) 5m
( C) PHR
H2010)Na instalação abaixo pede-se :a)altura manométrica ;b)a potência fornecida ao fluido pela bomba ;c)admitindo-se η=83%, a potência dissipada na bomba. Dados: Q=30m3/h ;γ =1000kgf/m3 ; Pe= 3mca e Ps =10mca.
Pe Ps B 0,5m
11)Um tubo de Pitot é preso num barco que viaja a 45km/h de tal forma que a tomada do tubo de Pitot ficaa uma profundidade pequena . Qual será a altura alcançada pela água no ramo vertical.
Tubo de Pitot
h
H20
12)Desprezando-se os atritos no pistão na situação abaixo, determinar:a)a potência da bomba em CV se seu rendimento for 70% b)a força que o pistão pode equilibrar com ahaste .Dados: Hp1,2= 0,5m ;Hp3,4=0,5m; Hp4,5=0;Hp5,6=1m; Q=5L/s;A1=A2=10cm2;A3=A4=A5=A6=5cm2; AG=21,5cm2 ; g=10m/s2 ; γ = 1000kgf/m3;Ap=10cm2 ;AH=5cm2.Supor o cilindro num plano horizontal a 2m acima da referência.
Ap (6) (2) (3) 10m
2m B (1) (4) (G) (5)
AH
9813)Óleo com densidade d=0,9 escoa num tubo de 150mm de diâmetro à velocidade de 3m/s , passandopor um Venturi como mostrado na figura. O diâmetro da garganta do medidor é 75mm . Qual será o níveldo óleo no piezometro ligado à garganta do Venturi ?Desprezar as perdas .
1,20m
0,90m
(2) φ 75mm φ 150mm φ150mm (1)
14)Na instalação abaixo , o eixo da turbina transmite uma potência de 15CV.Sendo a vazão de 20L/s , e apressão na entrada 6 kgf/cm2 e na saída 0,2kgf/cm2 , tendo o tubo de entrada uma seção de área de 10cm2
e o de saída de 20cm2 , determinar o rendimento da turbina .Desprezar as perdas nos condutos entre (1) e(2).
TURBINA 15CV eixo (1) 5m PHR (2)15)Água escoa na tubulação da figura abaixo, saindo ao ar livre na seção 4. O recipiente é de grandedimensões transversais e o nível de água é mantido constante. Conhecem-se Z1=80m ; Z2=40m ;Z3=30m;Z4 =20m ;d2=0,60m ;d3=d4=0,30m e g=10m/s2.Supondo que a água seja um fluido ideal , calcular:a)a vazão b)a altura atingida pela água nos tubos piezométricos.
(1)
(2)
Z1 Z 4 Z2 (3) (4) Z3 PHR
16)A bomba da figura recalca 84L/s de água. Um manômetro diferencial acusa um desnível de 20cm deHg. Determinar a potência da bomba se seu rendimento é 70% e que γ = 1000kgf/m3 e dHg = 13,6.
99
D1=25cm (2) D2=15cm B (1)
20cm Hg
17)Desprezando o atrito no tubo calcular a potência desenvolvida na turbina pela água proveniente doreservatório. Dado: γH20 = 1000kgf/m3
30,5m φ75mm H20 φ150mm φ150mm T Vj=9,15m/s
18)Desprezando-se os atritos no pistão da figura, determinar: a)a potência da bomba se seu rendimento for80%; b)a força que o pistão pode equilibrar com a haste. Dados: A2 =A3 =A4 =A5 =A6 =10cm², AG =8cm², Ap=20cm², AH =10cm², Hp1,2=0,5m;Hp3,4=0,5m. ;Hp4,5=0 eHp5,6=1m, g=10m/s²; γ= 1000kgf/m³. Supor o cilindro no plano de referencia.
(1) Ap
4m AH
PHR (4) V=10m/s B (2) (3) G (5) (6)19)Dada a instalação na figura por onde escoa água, pedem-se: a)a pressão reinante no interior da câmaraacima da superfície da água. b)a pressão na entrada da bomba.Dados: Q=25L/s;Hp1,3 =3mca; Hp1,2=0,5mca;g=10m/s²;γ=1000kgf/m³ e P=1CV (potência fornecida àágua).
Ar (1) 3m A=0,005m2
B 7m (2) (3)
1005.12-Respostas dos exercícios do capítulo 5
1)V=10,8m/s;Q=0,085m³/s; 2) Q=2/3.b 2g H2/3 ; 3)Q=8/15 2g H5/2
4)V = 2gh ; Q = 2gh . π d2/4 5)PB =108CV 6)Z=6,3m 7) a)Q = 86,20 L/s
b)PC = -1010kgf/m2 ; 8)a)HA= 35m ; HB= 45,05m e HC = 0 ; b)sentido de escoamento
de C para A; c)HpB,A = 10,05m; PB= 2358CV; 10)a)HB = 7,5m ; b)P=083CV ; c)0,17CV;
11)h = 7,81m ; 12)a)PB=1,62CV; b)F =12kgf ; 13)P2/γ = - 4,56m(o piezometro não funciona);
14)ηT=72%; 15)Q =2,45m3/s; h2= 36,25m; h3= -10m ; 16)PB = 5,6CV ; 17)PT = 14,14CV;
18)a)PB =0,5CV ; b) F =3,8kgf ;19)P1 = - 8750kgf/m2 e P2= - 7500kgf/m2.
101CAPITULO 6 - EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO.
Na figura 6.1 tem-se um campo de escoamento por onde escoa um fluido qualquer.
Z
V.C.
S.C. Y O X N = m. V Figura 6.1
dN ∂ Se na equação (----) = ---- ∫ η ρ dV + ∫ ηρ V • dA , dt sist ∂ t V.C S.C
a grandeza N for a quantidade de movimento (m V) e η a quantidade de movimento por unidade demassa: m V η = ------ = V , então temos que: m
dN ∂ (----) = ---- ∫ η ρ dV + ∫ ηρ V • dA , dt sist ∂ t V.C S.C
d ∂ ---(m V) = ---- ∫ V ρ dV + ∫ Vρ V • dA (1), dt ∂ t V.C S.C
Da 2a Lei de Newton vem: d ΣFext = ---(m V )= força de superfície(pressão + atrito) +força de campo(peso) (2) dt Substituindo (2) em (1) vem:
∂ ΣFext = ---- ∫ V ρ dV + ∫ Vρ V • dA (3), ∂ t V.C S.C
6.1-Aplicação da equação da quantidade de movimento.
102Utilizando-se uma curva redução da figura 6.2 vamos determinar a expressão da equação da
quantidade de movimento válida para regime permanente e propriedades uniformes nas seções de entradae saída.
(2)
A2 (1) dA P V2 P2 (2) τ A1 P P τ τ
P1 dA V1 τ Ry R (1) P
W Rx Figura 6.2
Chamando de R a resultante das tensões normais e cisalhantes da superfície sólida(curva) sobre ofluido e W o peso da massa de fluido contido na curva, então temos:
ΣFext = - ∫ P1 dA - ∫ P2 dA + R + W (4) A1 A2
Substituindo (4) em (3) , vem: ∂ -∫ P1 dA - ∫ P2 dA + R + W = ---- ∫ ρ V dV + ∫ V ρ V •dA (5) A1 A2 ∂t V.C S.C A equação (5) é a Equação da Quantidade Movimento aplicada na curva redução.
6.1.1 Simplificações da Equação da Quantidade de Movimento.
Forma Geral: ∂ - ∫ P1 dA - ∫ P2 dA + R + W = --- ∫ V dV + ∫ ρ V V •. dA A1 A2 ∂t V.C S.C
103 ∂ Para regime permanente: ---- ∫ ρ V dV = 0 , logo: ∂ t V.C
- ∫ P1 dA - ∫ P2 dA + R + W = ∫ ρ V V •. dA. A1 A2 S.C Para propriedades uniformes nas seções e seções pequenas e planas, pode-se escrever:
- P1 ∫ dA - P2 ∫ dA +R + W = ρ1 Vm12. ∫ dA + ρ2 Vm2
2 ∫ dA A1 A2 A1 A2
R + W = P1 ∫ dA + P2 ∫ dA + ρ1 Vm12 ∫ dA + ρ2 Vm2
2 ∫ dA A1 A2 A1 A2
Para seções planas e sendo n1 e n2 os seus versores normais e unitários, vem:
R + W = P1.A1 n1 + P2.A2 n2 + ρ1 Vm12 A1 n1 + ρ2 Vm2
2 A2 n2
6.2-Coeficiente da quantidade de movimento β
A distribuição de velocidades numa seção de escoamento nem sempre é uniforme(constante), comoestá mostrado na figura 6.3.Por isso ao calcular a quantidade de movimento a partir das velocidade médias, dependendo do regime de escoamento podemos estar introduzindo um erro. O coeficiente β daquantidade de movimento faz justamente a correção deste erro. V A
Vm
Figura 6.3 ρ Vm
2 A = ∫ ρ v 2 dA A Introduzindo o coeficiente β pode-se escrever:
∫ ρ v2 dA = β ρ Vm2 A e para ρ =cte , vem:
A
1 v β = ---- ∫ (------)2 dA A A Vm
104 Valores de β : a) para regime turbulento β =1 b) para regime laminar β = 4/3
Introduzindo os coeficientes β1 e β2 da quantidade de movimento nas seções (1) e (2) , a equaçãoda quantidade de movimento passa a ter a seguinte expressão:
R + W = P1.A1 n1 + P2.A2 n2 + β1 ρ1 Vm12A1 n1 + β2 ρ2 Vm2
2.A2 n2
1o-Exemplo de Aplicação: Calcular a força que atua num redutor escoando água no seu interior emregime permanente com velocidade constante nas seções (1) e (2)( β1= β2=1,0)
Q n1 n2 D1 V.C. d2
W P τ τ P
n1 V.C. n2 P2
P1 τ τ P P W
( i • )R + W =P1.A1 n1 + P2.A2 n2 + β1 ρ1 Vm12 A1 n1+ β2 ρ2 Vm2
2 A2 n2
i • n1 = -1 ; i • n2 = 1 ; i • R =Rx e i • W =0
Rx=- P1.A1 + P2.A2 - ρ1 Vm12 A1 + ρ2 Vm2
2 A2 , onde:
Q 4 Q Q 4 Q Vm1= ---- = ---------- e Vm2 = ------ = --------- A1 πD1
2 A2 πD22
Logo: Q2 Q2
Rx = -P1.A1 + P2.A2 - ρ1 ---- + ρ2 ----- A1 A2
Chamando de Kx= - Rx a força do fluido sobre o redutor temos que:
105
Q2 Q2
Kx=- Rx = P1.A1 -P2.A2 + ρ1----- - ρ2------ A1 A2
( j • ) R + W =P1.A1 n1 + P2.A2 n2 + β1 ρ1Vm12A1 n1 + β2 ρ2Vm2
2A2 n2
j • n1 = 0 ; j • n2 =0 ; j • R= Ry e j • W = -W logo:
Ry -W =0 = Ry = W
Chamando Ky= - Ry vem : Ky = - W
A resultante K será dada por:
2 2 K = Kx + Ky2o-Exemplo de Aplicação: Calcular a força que atua numa curva redução , escoando um fluidoincompressível de massa especifica ρ , em regime permanente e turbulento. Dimensionar o bloco deancoragem.
V2 n2 (2) θ d2 (1)
D1 n1 Ry R Rx V1
Y P2 n2 P θ
j P τ P Vm2
x τ i Vm1 P1 P τ
n1 W P τ P P
106
( i •) R + W = P1.A1 n1 + P2.A2 n2 + ρ1Vm12A1 n1 + ρ2Vm2
2A2 n2
i • n1 = -1 ; i. • n2 = cos θ ; i • R =Rx ; i •.W =0
Rx= - P1.A1 + P2.A2 cosθ - ρ1Vm12A1 + ρ2Vm2
2.A2 cosθ
Kx=-Rx=P1A1 + ρ1Vm12A1 - P2A2 cosθ - ρ2Vm2
2A2 cosθ
Kx= A1(P1 + ρ1 Vm12) - A2 cosθ (P2 + ρ2 Vm2
2)
( j • ) R + W =P1.A1 n1 + P2.A2 n2 + ρ1Vm12A1 n1 + ρ2Vm2
2A2 n2
j • n1 = 0 ; j • n2 =sen θ ; j • R= Ry e j • W = -W logo:
Ry -W = (P2.A2 + ρ2 Vm22A2)senθ
Ky = -Rx =-W - (P2.A2 + ρ2 Vm22.A2)sen θ
2 2 K = Kx + Ky
Dimensionamento do bloco de ancoragem (curva no plano horizontal)
A área da seção do concreto para resistir K:
K K fck = ------ Acon = ------- Acon fck
A área do solo para resistir a resultante K é dada por:
k K σadmSolo= ------- Asolo = ----------- Asolo σadmSolo
Acon
Kx
Asolo
Ky K Bloco de Ancoragem
107 3o-Exemplo:Calcular a força que age no desviador de jato fixo.
n2 V2 θ2
V1 (2)
n1 θ1 (1)
n2 θ2 P τ P P τ τ τ P τ τ Ry n1 θ1 P R P W
Rx 2 2
( i •) R + W = P1A1 n1 + P2A2 n2 + ρ1Vm12A1 n1 + ρ2Vm2
2A2 n2
i • n1 = - cosθ1 ; i. • n2 = cos θ2 ; i • R =Rx e i •.W =0 0 0 Rx= - P1A1 + P2A2 - ρ.Vm1
2A1 cosθ1 + ρ.Vm22A2 cosθ2
Kx= - Rx= ρ.Vm12.A1.cosθ1 - ρ.Vm2
2.A2. cosθ2 0 0( j • ) R + W =P1A1 n1 + P2A2 n2 + ρVm1
2A1 n1 + ρVm22A2 n2
j • n1 = 0 ; j • n2 =sen θ ; j • R= Ry e j • W = -W logo:
Ry -W = - ρ.Vm12.A1.senθ1 + ρ Vm2
2A2 .senθ2
Ky = -Rx =-W + ρVm12.A1.senθ1 - ρ Vm2
2 A2 .sen θ2
2 2 K = Kx + Ky
108 6.3-Força sobre superficie sólida em movimento.
u2
Vabs
z u1 W Vs
O y x
Na figura acima tem-se que:
-Vs - velocidade do anteparo em relação ao sistema fixo; -Vabs - velocidade absoluta do jato; - u - velocidade relativa do jato. Sendo:
Vabs = Vs + u u = Vabs - Vs
Substituindo a expressão da velocidade relativa na equação da quantidade de movimento vem:
R + W = P1.A1 n1 + P2.A2 n2 + ρ1u12A1 n1 + ρ2 u2
2A2 n2.
1o-Exemplo de Aplicação: Calcular a forca que atua no anteparo curvo dado a seguir , sabendo-seque ele se move com velocidade constante Vs. P n2 P θ (2) P P V.C. Vj n1 S.C. P (1) P z Aj W Vs P
O y x
R + W = (P1A1 + ρ1u12 A1) n1 + (P2A2 + ρ2 u2
2 A2) n2
P1=P2=Patm=0 ; u =Vj - Vs ;A1=A2=Aj e ρ1 = ρ2= ρ
109
( .i • ) R + W = ρ u12 A1 n1 + ρ u2
2 A1 n2
i • n1= -1 ; i • n2= cos θ ; i • W= 0 e i • R =Rx
Rx = - ρ (Vj - Vs)2 Aj + ρ (Vj - Vs)2Aj cosθ
Kx= - Rx= ρ (Vj -Vs)2Aj(1 - cos θ)
( .j • )R + W = u2 Aj n1 + u2 Aj n1
j •. R = Ry ; j .• W = -W ; j .• n1 = 0 e j •. n2 =senθ
Ry - W = ρ(Vj - Vs)2Aj sen θ
Ky= -Ry = -W - ρ(Vj -Vs)2Aj sen θ
2 2 K = Kx + Ky
2o-Exemplo de Aplicação :Calcular a força exercida pelo jato de água incidindo sobre uma placaplana.
P2=Patm n2
V2 Patm (1)
V.C. n1 P1=Patm V2 Patm n2 P2=Patm
Na direção radial as componentes se cancelam restando apenas força na seção (1).
( i • ) R + W =(P1A1 + ρV12 A1) n1
i • R =Rx e i •.n1 = -1; P1=Patm =0 , logo: Rx= - ρV1
2A1 Kx= -Rx= ρV12 A1 Kx= ρ Q V1
6.4- Potencia de uma Turbina Hidraulica.
110 A potência pode ser obtida do produto de uma força com uma velocidade Neste caso a forca será acomponente da forca(Kx) que age sobre as pás da turbina e a velocidade e a velocidade tangecial daspás(Vs) da turbina.
H20 h ω
n2 (Vj –Vs) n1 (2) θ r
Vs ω
Vj=Vabs
P= força x velocidade PT= Kx .Vs
Kx =força do fluido sobre a pá na direção do movimento
Vs= W r= velocidade das pás da turbina(velocidade tangencial)
PT= Kx.Vs = ρVj(Vj - Vs)Aj(1 - cos θ)Vs
PT= ρQ(Vj - Vs)(1 - cos θ)Vs
PT= ρQ(Vj - ωr)(1 - cos θ) ωr
111
6.5-Exercícios do Capítulo 6 – Equação da Quantidade de Movimento
1)Calcular a força que atua num redutor escoando água no seu interior em regime permanente comvelocidade constante nas seções (1) e (2). P1 P2 Q D1 V.C. d2
ρ2 ρ1
W2)Calcular a força que atua numa curva redução, escoando um fluído impossível de massa específica ρ,em regime permanente e turbulento. Dimensionar o bloco de ancoragem.
V2 (2) θ d2 (1)
D1
V13)Calcular a força que age no desviador do jato fixo. Dados:ρ1, ρ2, Vml, Vm2, θ1 e θ2.
Vm2 θ2
Vm1 (2)
θ1 (1)
4)Calcular a força que atua no anteparo curvo abaixo sabendo-se que ele se move com velocidade ‘cte Vs.São dados- W, Vj, Aj, ρ e θ.
112
θ (2) . Vj
(1) Aj W Vs
5)Calcular a força exercida pelo jato de água incidindo numa placa plana. São dados: ρ, V1 e A1.
Vj
Aj
6) Calcular as componentes horizontal e vertical da força que o jato de água exerce sobre o desviador. Dados: ρ=1000kg/m3,Q=20L/s, Dj=10cm. θ = 45°
Dj
7)Calcular o esforço horizontal sobre a estrutura do ventilador da figura e a potência transmitido ao fluidopelo mesmo. Desprezar as perdas de cargas entre as seções (1) e (2). Dados: D2=0,38m, V2=30m/s, γ=12,75N/m3 e V1≅ 0
(2) (1)
1138)Um jato de água saí de um bocal com velocidade de 6m/s e atinge uma placa estacionária, normal aojato. A seção de saída do bocal tem uma área de 6,25cm². Qual a força horizontal sobre a placa?ρ=1000kg/m³.
Vj = 6m/s
Aj
9)Refazer o problema anterior quando a placa desloca para a direita com uma velocidade de 1,5m/s. Vj =6m/s Vs=1,5m/s
Aj
10) A água contida no tanque 1 é descarregada através do bocal sem atrito. Seu nível h1 pode serconsiderado cte. O jato incide sobre a placa de grandes dimensões que cobre a saída do bocal do tanque 2que contém água a uma h2 acima do orifício. Os bocais são iguais. Se h2 for conhecido, determinar h1 talque a força do jato seja suficiente para anular a resultante das forças horizontais que agem sobre a placa.
h1 h2
11)Determinar as componentes da força que atua sobre a curva de uma canalização conforme a figura. Acurva encontra-se num plano horizontal e o líquido que escoa tem ρ=1000kg/m³, são dados θ =30°,A2=A1=0,1m², V1=2m/s P2=137,34KN/m2 e P1=147,15KN/m2. Desprezar o peso do fluido e da curva.
θ=30°
(2)
(1)12)A água que sai de um reservatório de grandes dimensões penetra num conduto de 15cm de diâmetro eincide sobre uma pá refletora fixa que desvia o jato de 90º conforme a figura. Sabendo-se que o empuxohorizontal desenvolvido sobre a pá é 981N, determinar a potência da turbina. Dados: ρ=1000kg/m³, perdade carga desprezível e η =70%.
114
30m
T
13) O tubo BC da figura está ligado ao tanque por meio de uma junta elástica de borracha que impede atransferência de esforços, entre o tanque e o tubo. Calcular a altura h do nível de água do, tanque para quea força horizontal sobre o suporte D seja anula. Dados:g=10m/s², ρ=1000kgm/m³ e HpA,B=0.
PB=49,05 KN/m2
AB=80cm2
h B 60°
Ac=20cm2
14) Dados o esquema da figura, sabendo-se que a seção do jato tem uma área de 520cm² e que a área dopistão é 20cm², determinar a vazão do bocal. Dado γH2O=9,81KN/m³, g=10m/s². Obs. O sistema está emequilíbrio. 60°
H20
2m
1,2m
Hg
15)O cotovelo da figura está preso por duas luvas elástica de forma não é influenciado pelo resto dainstalação. Sendo a área de sua seção 20cm²a vazão de 20L/s, qual será a força causada pelo escoamentodo fluido se a perda é 1m(γ=9,81KN/m³).
115
1m
1m (2)
(1) P=196,2KN2
16) A turbina da figura “extrai” a potência de 5,3KW(3,9CV) da água em escoamento. Desprezando asperdas na redução, calcular as forças exercidas pela água sobre a redução e sobre a turbinarespectivamente. Dados: g=10m/s2e γ H20=9,81KN/m³. P= 82,40 KN/m2
Redução D2=15cm
V1=3m/s D1=30cm
Turbina
17) Na instalação esquematizada na figura, T é turbina e o fluido que escoa é água de γ=9,812KN/m³. Avazão que escoa é 314L/s e as pressões em (1)e (2) são respectivamente: P1=176,58KN/m2 e P2= -19,62KN/m2. Desprezando-se as perdas, pedem-se.a)a potência consumida pela turbinab)esforço segundo x que atua na base da turbina. Adotar g=10m/s²;A1=0,0314 m² e A2=0,126m².
T
(1) 1m D1=0,20m (2)
D2=0,40m
116
6.6-Respostas dos exercícios do capítulo 6
1)Kx=P1πD12 /4 – P2πd2
2 /4 + ρ1.4Q²/π D1²- ρ2.4Q²/π d2² ; ky=-W2)Kx=(P1=ρV1²) π D1² /4 – (P2-ρV2²) πd2² cosθ/4;
Ky=-W- (P2+ρV2²) πd2² senθ/4
3)Kx=(P1 +ρ1Vm1²)A1 cosθ1 – (P2+ρ2Vm2²)A2 senθ2
4)Kx=ρ(Vj-Vs)²Aj(1-cosθ); Ky=-W-ρ(Vj-Vs)²Aj senθ; 5)Kx=ρV1²A1
6)Kx=15,10N;Ky=-36,49N ;7)Kx=-130,08N e P=1,95KW(2,65CV);
8)Kx=-38,16KN ; 9)kx=12,36N; 10)h1=h2/2;11)kx=2,88KN e Ky=-7,07KN
12)Nt=24,84KW(33,75CV); 13)h=7,5m; 14)Q=0,233m ³/s; 15)K=8805,10N;
16)KxR= 3,66KN e KxT=0,24KN; 17)a)NT=79,16KW(107,56CV) b)Kx=8,62KN
117
CAPÍTULO 7-TRANSPORTE DIFUSIVO DE MASSA
7.1-Equação da Difusão de FICK.
A Figura 7.1-a representa duas placas paralelas de grandes dimensões, separadas por umadistância b, e contendo ar seco entre elas. A placa superior é feita de material poroso e pode ser saturadacom água e mantida nesse estado. A placa inferior é recoberta com material dissecante, como sílica-gel,que pode absorver continuamente toda a água(vapor)que a atingir, mantendo o ar sempre seco nas suasvizinhanças. No instante t= 0 a placa superior é saturada com água e mantida nesse estado. Imediatamenteapós, aparecerá no espaço entre as placas um campo (perfil) de concentração de vapor de água parecidocom aquele indicado na figura 7.1-b por t≅0. Um mecanismo de transporte de massa na direção y édesencadeado pelo estado de desequilíbrio criado pelas placas.
Figura 7.1
Nesta discussão, por razões de simplicidade, está sendo examinado o caso de um sistema binário ,ou seja, composto de dois componentes. De uma maneira geral, quando houver interesse em estudar-se amistura entre dois gases diferentes, um deles pode ser designado como o componente A e outro como B.Casos mais complexos, como por exemplo , a mistura entre água do mar e água doce, podem ser tratadoscom boa aproximação como um sistema binário, muito embora a água do mar seja, na verdade um sistemaconstituído de muitos componentes. Entretanto, se admitirmos que a concentração de cloreto de sódio éum parâmetro representativo da concentração da água do mar, o processo pode ser considerado binário,com o cloreto de sódio escolhido como sendo o componente A e a água doce como o componente B.
Antes de iniciar uma análise quantitativa do mecanismo de difusão é necessário definir algumasgrandezas:
A massa específica parcial de um componente ou simplesmente massa específica é definida comoa relação entre a massa do componente e o volume da mistura. Assim:
massa do componente AρA= ------------------------------------- = massa específica do componente A
volume da mistura de A e B
massa do componente BρB= ------------------------------------- = massa específica do componente B
118 volume da mistura de A e B
A massa específica da mistura é dada por:
massa de A + massa de Bρ = ---------------------------------------
volume da mistura de A e B
As definições acima são válidas para meios homogêneos. Se houver diferença em massa específicade um ponto para outro, como por exemplo em um fluido estratificado, é preciso que os volumesconsiderados sejam elementares, e as definições são substituídas por limites dos mesmos quocientesquando os volumes da mistura tendem para um valor pequeno.
A massa específica ρ da mistura é igual a:
ρ = ρA + ρB
As concentrações de A e B são definidas respectivamente, como : ρA
cA = -------- ρ
ρBcB = --------
ρ
A soma das concentrações cA e cB é igual a:
cA + cB = 1
Existem outras definições para concentração um pouco diferentes destas aqui apresentadas, comopor exemplo : chamar de concentração a massa específica parcial.
O fato de se utilizar uma ou outra definição não traz dificuldade, porém é necessário observar quea massa específica parcial é uma grandeza dimensional cuja unidade pode ser: µg/litro; µg/m3; g/cm3, etc.Aqui, concentração é uma grandeza adimensional, pois é uma relação entre massas. Se, por exemplo , 20gde sal de cozinha forem dissolvidas em 100kg de água, a concentração de NaCl na mistura será de: 20g 20
cA = ------------------- ≅ ------------ = 2x10-4 ou cA = 0,02% NaCl (em massa) (100x103 +20g) 100x103
Ou utilizando a unidade ppm(partes por milhão)
cA = 200 ppm(em massa) de NaCl em água.
Isto significa que uma massa de 200g de NaCl está dissolvida em uma massa de 106g de água.Esta unidade de medida (ppm em massa) é muito usada pelos técnicos da área de saneamento para avaliarproblemas de poluição, dosagem de produtos químicos na água de abastecimento.
Vale a pena dizer que é comum utilizar-se a unidade ppm volumétrica ao analisarem misturas degases. Nos dados de poluição atmosférica, por exemplo, 2ppm de NO no ar significa que em 106 litros dear estão dissolvidos em 2 litros de NO, ambos nas condições de 25oC de temperatura e á pressãoatmosférica.
119Fica assim bem evidente que a unidade ppm quando não claramente definida pode criar dúvidas
pois a medida de uma concentração ppm volumétrica é diferente da mesma medida em ppm mássica emgeral. Aqui a concentração será sempre relações entre massas(adimensionais).
Exemplo 1.1:A massa específica parcial de 4mg/m3 de SO2 no ar corresponde que concentração em
ppm(massa)?
ρA= 4mg/m3; ρ ≅ρar= 1,18kg/m3 a 25oC e 1 atm. ρA 4mg/m3
cA = ------- = --------------------- = 3,39x10-6 = 3,39ppm(massa) ρ 1,18x106mg/m3
Exemplo 1.2: No caso anterior, qual é a concentração em ppm volumétrica?
cA = 3,39 ppm(massa) 3,39kg de SO2
cA = -------------------- 106 kg de ar
1 mol de SO2 = 32 + 2x16 =64kg
1 mol de ar = 28,8kg 3,39kg
Logo: 3,39 kg de SO2 = ---------------- = 5,3x10-2 moles 64kg/mol
106 kg106 kg de ar = ----------------- = 3,47x104 moles
28,8kg/mol
Nas condições normais de temperatura (0oC) e pressão (1 atm) 1mol de um gás ocupa um volumede 22,4 litros. A temperatura de 25o C o volume será maior , e de acordo com a lei dos gases perfeitos:
273+ 25 298V25oC= V0oC -------------= 22,4 x---------- V25oC= 24,45litros.
273 273
Logo:3,39 kg de SO2 = 5,3x10-2 moles = 5,3x10-2moles x24,45 litros/mol
= 1,3litros de SO2
106 kg de ar =3,47x104 moles = 3,47x104 molesx24,45 litros/mol=8,48x105 litros.
E finalmente, 1,3 litros de SO2cA =------------------------------ = 1,53x 10-6 = 1,53 ppm(vol) 8,48x 105 litros de ar
120A figura 7.1-b ilustra a variação em função do tempo do perfil de concentração cA do vapor
de água no espaço compreendido entre as duas placas. Nos instantes iniciais (t=0) haverá umgrande gradiente de concentração nas camadas anexas à placa superior, pois nesta região haveráuma diferença grande de concentração de uma camada de fluido para a camada vizinha. Nascamadas subsequentes(inferiores) a concentração cai rapidamente para zero, o mesmo acontecendocom o gradiente.
Em conseqüência, nas camadas superiores surgirá um grande fluxo de massa, pois adiferença de concentração entre camadas adjacentes será muito grande, enquanto que nasinferiores o fluxo será nulo.
Com o passar do tempo, o perfil de concentração evolui, como representado na figura, atéatingir a situação estacionária em que o perfil é linear(t=∞).
O perfil do fluxo de massa na direção y, Jy modifica-se como na figura 7.1-c .No início(t=0) há um grande fluxo nas camadas superiores, e um fluxo nulo nas inferiores. A situação evoluino sentido de se eliminar esta discrepância. No final (t=∞) o fluxo de massa será constante atravésde todas as camadas. O regime de transferência de massa torna-se permanente, ou seja, a descargade massa liberada pela placa superior é a mesma que a absorvida pela placa inferior.
Experimentalmente verifica-se que existe uma proporcionalidade entre o fluxo de massa e ogradiente de concentração. Quando o regime permanente é alcançado o gradiente de concentraçãoé dado simplesmente por cAo/b . Nesse caso,
m cAo
Jy = ------- = - D ρ -------(1.1) , onde: A b
m = é a descarga de massa , com dimensões: MT-1 (kg/s);Jy = é a componente do fluxo de massa na direção y, com dimensões: ML-2T-1 (kg/m2s);D = é a difusividade ou coeficiente de difusão, com as dimensões : L2T-1(m2/s);ρ= é a massa específica da mistura binária com dimensões ML-3(kg/m3);cAo = é a concentração da camada superior.
O sinal negativo indica que o fluxo se dá no sentido oposto ao eixo y , isto é,da região de maior concentração para a de menor concentração. Durante o período transiente uma equação semelhante à equação (7.1) pode ser escrita para
uma fatia bem fina , de espessura ∆y, localizada numa posição genérica y, como mostra a figura 7.2.
∆y ∆c
y
c
cAoFigura 7.2
121
O fluxo através do plano horizontal na altura y é dado aproximadamente por:
∆(ρ c)Jy = - D ----------- ou, mais precisamente por:
∆y ∆c ∆(ρ c)
Jy = - D lim ρ ------ Jy = -D lim ------------, ou ∆y 0 ∆y ∆y 0 ∆y ∂(ρ c)
Jy = - D --------(7.2) ∂y ∂c Jy = - Dρ ------, quando ρ não (ou varia muito pouco) de um ponto ∂y para outro.
A equação 7.2 é conhecida como a equação da difusão de Fick. O parâmetro D é o coeficiente dedifusão para um sistema binário e quantifica o processo de difusão. Sua unidade no sistema MKS é o m2/s. Valores elevados de D indicam processos em que a difusão é rápida, enquanto que valores baixosidentificam processos lentos de difusão. A equação 7.2 afirma que um componente por exemplo o vaporde água difunde na mistura(vapor de água e ar ) na direção do decréscimo da concentração do componente.
As tabelas A .10 e A .11 fornecem respectivamente os coeficientes de difusão de gases e vaporesem ar a 25o C e atm , e de líquidos a 20o C.
122
123
Exemplo. Uma descarga m = 0,2kg/h de dióxido de carbono é liberada de uma superfíciepermeável com 5m2 de área e difunde no ar atmosférico à temperatura de 30o C. A concentração de CO2no ar junto a superfície é co= 0,04, e a uma distância de 5cm é praticamente desprezível. Determine adifusividade do CO2 no ar. Hipótese: suponha que o perfil de concentração seja quase linear junto àsuperfície , logo: ∂c ∆c 0,04
- -------- ≅ -------- = ---------- = 0,8m-1
∂y ∆y 0,05
124O fluxo de CO2 será:
m 0,2Jy = ------- = ---------- Jy = 0,04kg/h.m2
A 5
Como a porcentagem de CO2 é pequena , a massa específica da mistura é praticamente igual amassa específica do ar a 30o C, que vale ρ = 1,165kg/m3. Jy 0,04
Logo : D = -------------= -------------- D =4,3x10-2m2/h (-∂ρc/∂y) 1,165x0,8
