UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA - UEFS ...civil.uefs.br/DOCUMENTOS/CLEBERSON QUEIROZ DO VALE.pdf · Figura 42 Análise do Pilar P2 - 12 camadas de concreto - Caso 5C

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA - UEFS

DEPARTAMENTO DE TECNOLOGIA - DTEC

GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

CLEBERSON QUEIROZ DO VALE

ANÁLISE NÃO LINEAR DE SEÇÃO DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDA À FLEXÃO OBLÍQUA COMPOSTA

Feira de Santana – BA

2011

CLEBERSON QUEIROZ DO VALE

ANÁLISE NÃO LINEAR DE SEÇÃO DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDA À FLEXÃO OBLÍQUA COMPOSTA

Monografia apresentada como Trabalho de Conclusão de Curso ao Colegiado de Engenharia Civil, da Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS), como uma das etapas para obtenção da graduação de Bacharel em Engenharia Civil.

Orientador: Prof. Dr. José Mário Feitosa Lima

Coorientador - Prof. Dr. Paulo Roberto Lopes Lima

Feira de Santana

2011

FOLHA DE APROVAÇÃO

O presente trabalho de conclusão de curso foi julgado e aprovado como requisito

final para obtenção do título de graduado em Engenharia Civil pela Universidade

Estadual de Feira de Santana, em seção pública realizada em 05/09/2011.

COMISSÃO EXAMINADORA __________________________________________________________________

Prof. Dr José Mário Feitosa Lima (Orientador)

__________________________________________________________________ Prof. Dr. Paulo Roberto Lopes Lima (Coorientador)

__________________________________________________________________ Prof. M.Sc. Hélio Guimarães Aragão

__________________________________________________________________

M.Sc. Jodilson Amorim Carneiro

À Ângela Maria

e Kléber Rogério

AGRADECIMENTOS

A Deus pelas oportunidades que me foram dadas na vida e por ter vivido fases difíceis que serviram de matéria-prima de aprendizado

À minha vó, dona Maricles, que certamente sem ela não estaria aqui hoje redigindo um texto universitário, tornando-a infinitamente de longe a pessoa que mais contribuiu para este feito.

Ao meu tio Sérgio pelos conselhos e por ser a pessoa responsável diretamente pela escolha do meu curso.

Aos meus irmãos Anderson e Cinthia que com muito carinho não mediram esforços para que eu chegasse até essa etapa da minha vida.

Ao meu orientador José Mário Feitosa Lima pela inteligência, dedicação e paciência na orientação, ferramentas valiosas que tornaram possível a conclusão desse trabalho.

À Amanda, carinhosamente apelidada de Amandinha, ao me presentear com tanta doçura a alegria de estar diante de alguém tão especial.

A todos os meus amigos do curso de engenharia civil da UEFS em especial a Danillo, Diego B., Marcelo, Rafael, Luan, Ítalo, Saulo e Beth pelo incentivo e apoio constante.

Aos incontáveis amigos que conquistei na obra, em especial Sandro, Israel, Uillen, Danilo e aos mestres Jason e Tadeu.

Aos amigos do vôlei de João em especial o trio Brito, Junior e Ronaldo e ao meu grande amigo Riccell.

A todos que direta ou indiretamente contribuíram para a realização do trabalho aqui apresentado.

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 1

1.1 JUSTIFICATIVA .......................................................................................................................... 4

1.2 OBJETIVO GERAL ..................................................................................................................... 5

1.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ....................................................................................................... 5

1.4 QUESTÕES DE PESQUISA ....................................................................................................... 5

1.5 METODOLOGIA DE PESQUISA ................................................................................................ 6

1.6 ESTRUTURA DO TRABALHO ................................................................................................... 6

2 EQUAÇÕES GERAIS DA FLEXÃO OBLÍQUA COMPOSTA NO CONCRETO ARMADO ................................................................................................................... 8

2.1 GENERALIDADES ...................................................................................................................... 8

2.2 OCORRÊNCIA ............................................................................................................................ 8

2.3 CLASSIFICAÇÕES DOS PILARES EM EDIFÍCIOS .................................................................. 9 2.3.1 Quanto à posição ................................................................................................................. 9

2.3.1.1 PILARES INTERMEDIÁRIOS .......................................................................................... 9 2.3.1.2 PILARES DE EXTREMIDADE ....................................................................................... 10 2.3.1.3 PILARES DE CANTO .................................................................................................... 10

2.3.2 Momento nos pilares de edifícios ...................................................................................... 10

2.4 HIPÓTESES FUNDAMENTAIS DE CÁLCULO ........................................................................ 11 2.4.1 Solidariedade dos materiais concreto e aço ...................................................................... 11 2.4.2 Manutenção da forma plana da seção transversal (Hipótese de Navier) ......................... 12 2.4.3 Desconsideração da resistência à tração do concreto ...................................................... 12 2.4.4 Hipótese de pequenos deslocamentos ............................................................................. 12

2.5 CONVENÇÕES DE SINAIS ...................................................................................................... 12

2.6 EQUAÇÕES GERAIS DE EQUILÍBRIO ................................................................................... 13

3 FUNDAMENTOS PARA O CÁLCULO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO ............ 15

3.1 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA SEÇÃO TRANSVERSAL ............................................... 15

3.2 HIPÓTESES PARA CÁLCULO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO .............................................. 19 3.2.2 DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO DO CONCRETO OBTIDO EXPERIMENTALMENTE .................................................................................................................. 21 3.2.3 Diagrama tensão-deformação de cálculo do aço .............................................................. 23

3.2.3.1 AÇO CLASSE A ............................................................................................................. 23

3.3 MÉTODO SECANTE DE ITERAÇÃO ....................................................................................... 25 3.3.1 Algoritmo para a flexão composta oblíqua ........................................................................ 30 3.3.2 Discretização da seção (flexão composta plana) .............................................................. 33 3.3.3 Discretização da seção (flexão oblíqua composta) ........................................................... 33

4 ESTUDO DE CASO ........................................................................................... 35

4.1 DIMENSIONAMENTO ............................................................................................................... 35 4.1.1 Esforços Solicitantes ......................................................................................................... 40 4.1.2 Dimensionamento do pilar P5 ............................................................................................ 41 4.1.3 Dimensionamento do pilar P2 ............................................................................................ 45 4.1.4 Dimensionamento do pilar P1 ............................................................................................ 50

5 ANÁLISE NUMÉRICA ....................................................................................... 56

5.1 ANÁLISE DO PILAR P5 – COMPRESSÃO CENTRADA SIMPLES ....................................... 58

5.2 ANÁLISE DO PILAR P2 – FLEXÃO COMPOSTA RETA ........................................................ 64

5.3 ANÁLISE DO PILAR P1 – FLEXÃO OBLÍQUA COMPOSTA ................................................. 72

6 CONCLUSÃO .................................................................................................... 79

REFERÊNCIAS ........................................................................................................ 81

ANEXO A ................................................................................................................. 84

ANEXO B ................................................................................................................. 85

ANEXO C ................................................................................................................ 86

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Posição dos pilares nos edifícios.............................................................................. 9

Figura 2 Deformações num pórtico plano sob ação de cargas verticais ............................... 10

Figura 3 Diagrama de esforços solicitantes em uma barra aporticada ................................. 11

Figura 4 Convenção de sinais .............................................................................................. 13

Figura 5 Caso Geral para Flexão Oblíqua Composta ........................................................... 14

Figura 6 Domínios de deformação ....................................................................................... 15

Figura 7 - Deformação linear de uma peça de concreto armado sub armada (domínio 3) .... 17

Figura 8 - Deformação linear de uma peça de concreto armado super armada (domínio 4) 17

Figura 9 Domínios de deformações divididos em regiões .................................................... 18

Figura 10 Diagrama tensão x deformação de cálculo do concreto ....................................... 20

Figura 11 Tensões de compressão de cálculo no concreto. Diagrama simplificado ............. 21

Figura 12 Curva tensão x deformação do concreto baseada na Equação 3.6 ...................... 22

Figura 13 Diagrama tensão x deformação de cálculo do aço Classe A ................................ 23

Figura 14 Diagrama tensão x deformação do aço Classe A utilizado no programa .............. 24

Figura 15 Seção longitudinal do pilar segundo a direção Z .................................................. 26

Figura 16 Seção longitudinal do pilar segundo a direção Y .................................................. 27

Figura 17 - Módulo de elasticidade secante do concreto (Ec) .............................................. 30

Figura 18 - Módulo de elasticidade secante do aço (Es) ...................................................... 31

Figura 19 - Modelo gráfico de representação do método secante de iteração ...................... 32

Figura 20 - Representação esquemática de uma seção discretizada (flexão composta plana) ............................................................................................................................................. 33

Figura 21 Representação esquemática de uma seção discretizada, .................................... 34

Figura 22 Planta estrutural da edificação com a disposição dos elementos (viga, laje e pilar) ............................................................................................................................................. 35

Figura 23 Perspectiva da edificação..................................................................................... 36

Figura 24 Método das charneiras plásticas .......................................................................... 38

Figura 25 Representação esquemática do modelo de viga contínua (viga V1 e pilares P1-P2-P3) ....................................................................................................................................... 40

Figura 26 Representação esquemática do modelo de viga contínua (viga V5 e pilares P2-P5-P8) ....................................................................................................................................... 40

Figura 27 - Seção transversal do pilar P5 ............................................................................ 42

Figura 28 Parâmetros para calcular o valor de αs de acordo com o arranjo de armadura .... 43

Figura 29 - Detalhamento final do pilar P5 ........................................................................... 44


Figura 31 Situações de projeto e de cálculo para flexão reta composta ............................... 48



Figura 34 Situações de projeto e de cálculo para flexão oblíqua .......................................... 53


Figura 36 - Configuração de um pilar excêntrico .................................................................. 56

Figura 37 Modelo adotado para o pilar P5 – Concreto Armado ............................................ 58

Figura 38 - Gráfico Tensão X Deformação – comparação entre os casos 5A e 5B para o elemento 1 de concreto. Fonte: Próprio autor ..................................................................... 60

Figura 39 Análise do Pilar P5 considerando a seção somente de concreto ......................... 60

Figura 40 Número de iteração X Carga aplicada (compressão simples) .............................. 62

Figura 41 Gráfico Tensão X Deformação da Barra 1 ............................................................ 63

Figura 42 Análise do Pilar P2 - 12 camadas de concreto - Caso 5C .................................... 64

Figura 43 - Análise do Pilar P2 - 48 camadas de concreto - Caso 5D .................................. 65

Figura 44 - Análise do Pilar P2 - 808 camadas de concreto - Caso 5E ................................ 66

Figura 45 Gráfico Tensão X Deformação máxima na compressão entre os diferentes níveis de discretização da camada 1. Fonte: Próprio autor ............................................................ 69

Figura 46 Gráfico Tensão X Deformação da barra de aço 1 ................................................ 70

Figura 47 Comparação entre os valores máximos de deformação da NBR 6118:2003 e os encontrados neste trabalho. Fonte: Próprio autor................................................................. 71

Figura 48 - Número de iteração X Carga aplicada (flexão composta plana) ......................... 71

Figura 49 - Análise do Pilar P1 - 25 elementos discretizados - Caso 5F .............................. 72

Figura 50 - Análise do Pilar P1 - 100 elementos discretizados - Caso 5G ............................ 73

Figura 51 Análise do Pilar P1 - 400 elementos discretizados - Caso 5H .............................. 74

Figura 52 - Configuração dos elementos de concreto monitorados pelo programa – caso 5H ............................................................................................................................................. 76

Figura 53 Número de iteração X Carga aplicada (flexão oblíqua composta) ........................ 77

Figura 54 - CargaXTensão de tração da armadura 3 ........................................................... 78

Figura 55 - CargaXTensão de compressão da armadura 2 .................................................. 78

Figura 56 - Ábaco para flexão composta oblíqua ................................................................. 80

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 Valores de A e B ................................................................................................... 22

Tabela 2 Resumo das cargas permanente na edificação ..................................................... 39

Tabela 3 Resumo dos esforços solicitantes normais característicos para 02 pavimentos .... 41

Tabela 4 - Valores do coeficiente adicional γn ..................................................................... 41

Tabela 5 Resumo dos esforços solicitantes de serviço para análise .................................... 57

Tabela 7 Análise do pilar P5 - Compressão Simples – Caso 5A .......................................... 59

Tabela 8 Análise do elemento 1 (hachurado) – Caso 5B ...................................................... 61

Tabela 9 Valores de tensão e deformação máximos para o concreto e aço - 12 camadas de concreto – Caso 5C ............................................................................................................. 65

Tabela 10 Valores de tensão e deformação máximos para o concreto e aço p/ 48 camadas de concreto – Caso 5D ........................................................................................................ 66

Tabela 11 Valores de tensão e deformação máximos para o concreto e aço p/ 808 camadas de concreto – Caso 5E ......................................................................................................... 67

Tabela 12 Área e coordenada centroidal Yc do elemento de concreto de máxima tração como função da discretização da seção ............................................................................... 68

Tabela 13 Valores de tensão e deformação para o concreto e aço - 25 elementos discretizados ........................................................................................................................ 73



Tabela 16 Comparação entre os elementos mais tracionados ............................................. 77

LISTA DE SÍMBOLOS

Ac - área da seção transversal de concreto;

Acc - área comprimida de concreto;

As(i) - área da seção transversal da barra de aço i (igual Asi);

As,máx - taxa de armadura longitudinal máxima;

As,mín - taxa de armadura longitudinal mínima;

As,tot - área total de aço da armadura longitudinal;

Asi - área da seção transversal da barra de aço i;

Asw - área da seção transversal dos estribos;

bw - menor largura da seção, compreendida ao longo da altura útil d, na direção

considerada;

d - altura útil da seção, igual à distância da borda mais comprimida ao centro de

gravidade da armadura mais tracionada ou menos comprimida, na direção

considerada;

d’ - distância do eixo da barra mais distante da borda mais comprimida (superior) da

seção até aborda menos comprimida ou mais tracionada (inferior);

dA- área elementar de concreto comprimido;

e1 - excentricidade total de 1ª ordem (igual a ei + ea);

e2 - excentricidade de 2ª ordem;

ei - excentricidade inicial;

etot - excentricidade total;

Es - módulo de elasticidade do aço;

fcd - resistência de cálculo do concreto igual a fck/ γc;

fck - resistência característica do concreto à compressão;

fyd- resistência de cálculo do aço igual a fyk/ γs;

fyk - resistência característica do aço;

fywd - tensão na armadura transversal passiva;

fywk - resistência ao escoamento do aço da armadura transversal;

Fd - valor de cálculo das ações para combinação última;

hz - dimensões das faces da seção transversal paralelas ao eixo z;

hy - dimensões das faces da seção transversal paralelas ao eixo y;

le- comprimento do pilar;

M - momento fletor;

n - número (quantidade)

ntot - número total de barras de aço longitudinais;

N - esforço normal;

x - profundidade da linha neutra;

zc’ - coordenada zda área elementar de concreto comprimido, em relação ao C.G.

da seção;

zsi - coordenada zda barra de aço i, em relação ao C.G. da seção;

y’- profundidade da fibra ou barra de aço, que se deseja conhecer a deformação ε’;

yc’ - coordenada y da área elementar de concreto comprimido, em relação ao C.G.

da seção;

ysi - coordenada y da barra de aço i, em relação ao C.G. da seção;

Símbolos base

bw - base;

c - do concreto;

d - de cálculo;

i - contador: ação, combinação de carregamento, barra de aço, processo de

verificação ou vérticeda seção transversal;

k - característico;

máx - máximo;

mín - mínimo;

s - do aço;

S - solicitante;

z - direção principal z, paralela à direção de bw;

y - direção principal y, paralela à direção de h;

Letras gregas

α - ângulo de inclinação da L.N. em relação ao eixo x, variando no sentido horário;

βx - profundidade relativa da linha neutra, igual a x/h;

γc - coeficiente de minoração da resistência do concreto;

γs - coeficiente de minoração da resistência do aço;

λ - índice de esbeltez;

ν - força normal adimensional;

ε’ - deformação específica de uma fibra do concreto ou barra de aço;

εc - deformação específica do concreto;

εsd - deformação específica do aço;

σc - tensão do concreto;

σc’ - tensão da área elementar de concreto comprimido;

σcd - resistência de cálculo do concreto usada no E.L.U.;

σsd - valor de cálculo da tensão do aço;

σsd(i) - tensão de cálculo na barra de aço i;

σsi - tensão na barra de aço i;

ω - taxa mecânica;

ψz – rotação na direção de z;

ψy – rotação na direção de y.

RESUMO

Neste trabalho foi desenvolvido um programa que analisa, com ênfase na não

linearidade física do concreto, seções retangulares de concreto armado submetida

aos esforços solicitantes normais, os quais englobam os momentos fletores

(direções Z e Y, no plano transversal da peça) e a força normal (direção X,

longitudinal ao eixo da peça). Nesse ínterim, foram utilizados cálculos que envolvem

quantidades enormes de operações matriciais. O método empregado para a

resolução dessas operações é denominado de método secante de iteração.

Baseado em teorias fundamentais, o método resgata conceitos como tensão normal,

deformação específica, rotação, entre outros. As etapas de dimensionamento dos

pilares quanto à sua posição na edificação será analisada pelo programa

desenvolvido em linguagem Fortran. A análise permite identificar algumas questões

quanto ao rompimento dos elementos submetidos aos diferentes esforços

solicitantes, uma vez que o processo analítico abrange a obtenção das deformações

especificas e consequentemente as tensões normais ao longo da seção transversal

do elemento estrutural. A análise leva em consideração também o estado limite

último de ruptura do concreto e/ou deformação plástica excessiva do aço, com a

determinação da resistência da seção, levando-se em conta a não linearidade física

do concreto e o comportamento elasto-plástico perfeito do aço classe A.

Palavras-chave: concreto armado, pilares, análise secional não linear,

dimensionamento.

ABSTRACT

The purpose of this work is to develop a program that allows to analyze, emphasizing

the physical nonlinearity of concrete, rectangular sections of reinforced concrete

subjected to normal strains which include the bending moments (direction Z and Y,

on the transversal plane of the piece) and the axial force (direction X, longitudinal to

the axis of the piece). In this procedure, we will use calculations which involve

enormous quantities of matrix operations. The method used for solving these

operations is called “secant method”. Based on fundamental theories, the method

rescues concepts such as, normal stress, specific deformation, and rotation, among

others.The stages of dimensioning the pillars according to its position on the

structure will be analyzed by the program developed in Fortran programming

language. The analysis lets us identify some aspects involving the breaking of the

elements subjected to specific strains, once the analytic process comprises the

obtaining of the specific deformations and consequently the normal stresses along

the transversal section of the structural element. The analysis also considers the

breaking stress limit of concrete and/or excessive plastic deformation of steel, with

the determination of the resistance of the section, considering the physical

nonlinearity of concrete and the perfect plastic-elastic behavior of class A steel.

Key words: reinforced concrete, pillars, analysis, nonlinear, dimensioning.

1

1 INTRODUÇÃO

Pode-se afirmar que a análise estrutural é uma das principais etapas do

projeto estrutural de um edifício, pois compreende a escolha de modelos

idealizados com o intuito de representar adequadamente a estrutura real, além de

levar em conta o tipo de análise, que depende principalmente do comportamento

dos materiais.

A etapa que precede a montagem do modelo estrutural de um edifício

consiste na determinação de um arranjo adequado dos vários elementos

estruturais que o compõe, de modo a atender os requisitos do projeto arquitetônico.

Portanto, esses elementos estruturais devem formar um conjunto que resista aos

esforços solicitantes, satisfazendo os critérios de segurança, economia,

durabilidade, estética e funcionalidade.

Soriano (2006) acrescenta que

a idealização de uma estrutura conduz a um modelo de análise regido por equações matemáticas, cujos resultados devem expressar comportamento próximo ao da estrutura.Nesse contexto, cabe ao engenheiro a responsabilidade de conceber esse modelo, sob o efeito das ações externas estabelecidas a partir de critérios de projeto, julgando-os com as aproximações cabíveis.

Dessa forma, o projeto de estruturas de concreto armado tem se apoiado

na utilização de modelos aproximados que simulam o comportamento dos

materiais envolvidos. É sabido que os materiais constituintes dos elementos

estruturais de concreto armado não possuem comportamento elástico linear, ou

seja, as tensões não variam de maneira linear com as deformações (BEER, 2006),

caracterizando a não linearidade física.

Fontes (2003, p.38) reforça que uma análise estrutural essencialmente não

linear exige uma grande quantidade de cálculos, em virtude dos processos

iterativos utilizados para resolver as equações não lineares associadas ao modelo.

Apesar disso, abordagens não lineares deverão ser cada vez mais rotineiras no

cálculo estrutural de peças de concreto armado.

Fusco (1981) desenvolveu uma linha de pesquisa voltada para o estado

limite último de ruptura do concreto ou deformação plástica excessiva da armadura,

sob o enfoque da flexão simples ou composta, normal ou oblíqua, empregando-se

ábacos e tabelas organizadas exclusivamente para o dimensionamento de

estruturas submetidas a esses esforços.

2

Na mesma época, Forni (1980), em um estudo mais aprofundado,

desenvolveu o FOCCA (Flexão Oblíqua Composta em Concreto Armado), um

programa em linguagem FORTRAN, que permite a determinação automática da

resistência de seções quaisquer de concreto armado à solicitação normal,

desprezando os efeitos de instabilidade, e aplicável a elementos estruturais

esbeltos comprimidos, problema que o próprio autor justifica ser também de grande

importância. Seu trabalho baseia-se na obtenção do terno de esforços solicitantes

(N,Mx,My) que equilibra a seção pela fixação da linha neutra e da deformação de

uma fibra particular fora dela (α,βx,εo), aplicando-se para qualquer seção, como por

exemplo, seções retangulares, circulares, L, T, hexagonais, etc.

Cabe esclarecer que por solicitações normais entende-se os esforços

solicitantes que produzem tensões normais no plano das seções transversais das

peças da estrutura (FORNI,1980). Em outras palavras, as solicitações normais

estão associadas aos momentos fletores e a força normal.

Modesto (1983) através da sua obra “Cálculo de Concreto Armado”

apresenta diversas tabelas para auxiliar no dimensionamento de seções

retangulares de concreto armado, submetidas à flexão normal simples,

considerando todos os aços brasileiros e uma gama extensa de resistência

característica do concreto (fck).

Mais recentemente França apud Patrícia (2000, p. 06) tratou do estudo das

relações momento-curvatura e força normal-deformação longitudinal em barras de

seção transversal qualquer, submetidas à flexão oblíqua composta. Dessa maneira,

considera-se a não linearidade para os materiais, sendo a estrutura analisada

através do estado limite último de ruptura (concreto) ou de deformação plástica

excessiva (aço).

Pereira (2006)

desenvolveu um modelo matemático capaz de simular, rigorosamente, o comportamento de pilares esbeltos de concreto armado de seção geométrica qualquer e submetidos à flexão normal composta no ELS (estado limite de serviço). Propõem-se também, fazendo-se uso deste modelo, o desenvolvimento e implementação de um sistema PAC – Projeto Assistido por Computador, aplicável às estruturas de pilares esbeltos. O modelo deverá possibilitar a determinação do estado de solicitação, tensão e deformação no pilar em qualquer idade.

3

Wang & Hsu apud Borges (1999, p. 07) apresentam um estudo completo

sobre o comportamento carga-deformação de pilares de concreto armado sujeitos

à flexo-compressão.

Borges (1999) tem como proposta estudar o comportamento de pilares

esbeltos de concreto armado, de seção qualquer, solicitados à flexo-compressão

oblíqua, que constitui o caso mais completo de solicitações normais, observando as

não-linearidades física e geométrica, a fim de investigar a validade dos processos

aproximados.

Kim & Yang (1995) apud Patricia (2000, p. 07)

também propõem um método numérico baseado nos elementos finitos, para prever o comportamento dos pilares de concreto armado, investigando os efeitos da resistência do concreto e do aço na relação força normal x momento fletor. Compararam os resultados experimentais e demonstraram a eficácia da solução proposta.

De uma maneira geral, o estudo do presente trabalho consiste na análise

não linear de seções retangulares de concreto armado em elementos estruturais

submetidos a solicitações normais. Assim, os esforços solicitantes, que são objeto

de análise quanto à capacidade portante da peça, referem-se ao momento fletor e

a força normal. Essas solicitações podem caracterizar a compressão axial, a flexão

composta plana e a flexão oblíqua composta.

O estudo abrange a obtenção do estado de deformação e

consequentemente de tensão compatíveis com os limites de resistência dos

materiais constituintes, assumindo-se, por iteração, diversos valores para

(εcg,ψz ,ψy� através da fixação do terno de esforços solicitantes (Nx,Mz,My) e da

geometria da peça. Faz-se isso até que o terno (Nx,Mz,My) obtido em

correspondência a um determinado estado de deformação assumido, coincida, a

menos de uma tolerância, com o terno (Nx,Mz,My) para o qual se está procurando o

estado de deformação. Neste caso as variáveis (εcg,ψz,ψy� da última iteração é a

resposta procurada.

4

1.1 JUSTIFICATIVA

É consenso na atual conjuntura da indústria da construção civil, que o

advento de programas computacionais para atender às exigências técnicas e,

encurtar os prazos com o objetivo de racionalizar os custos, estão cada vez mais

presentes no dia-a-dia dos engenheiros. Por conseguinte, a ausência de

procedimentos automatizados gera trabalhos mais dispendiosos, produzindo

resultados relativamente mais desfavoráveis em termos econômicos, consequência

da utilização de métodos simplificados encontrados na literatura normativa.

Desse modo, com o uso correto e consciente dos computadores e de

alguns programas comerciais tais como o TQS e o Eberick (AltoQI), pode-se

reduzir muito o tempo de cálculo e eliminar erros decorrentes do cálculo manual.

Além disso, há a possibilidade de se utilizar teorias aprofundadas para elaborar

procedimentos de cálculos que geralmente são inviáveis de serem feitos

manualmente.

Consequentemente, com a utilização de modelos que melhor representam

o comportamento das estruturas, é possível chegar-se a resultados mais verídicos,

o que torna os programas computacionais ferramentas imprescindíveis,

proporcionando economia de tempo e custo.

Portanto, tem-se como justificativa para este trabalho a necessidade de

estudos com o intuito de tornar acessíveis procedimentos de cálculo eficazes que

contribuam para um melhor aproveitamento da capacidade do material concreto

armado. A análise seccional permite, por exemplo, nas verificações de fissuração

em condições de utilização, conhecer os níveis de tensões da armadura tracionada

e do concreto comprimido, através dos correspondentes ternos de esforços

solicitantes (Nx,Mz,My)e das características dimensionais da estrutura.

5

1.2 OBJETIVO GERAL

Estudar seções retangulares de concreto armado submetidas à flexão composta

oblíqua, através de um tratamento computacional capaz de simular o

comportamento não linear físico do concreto armado.

1.3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Desenvolver um programa que permita calcular o estado de deformações de uma

seção de concreto armado, baseado em uma análise não linear, através do método

secante de iteração;

Analisar o comportamento de pilares de concreto armado, de seção retangular,

submetidos a flexão oblíqua composta e seus casos particulares;

Comparar os resultados decorrentes da aplicação da NBR 6118:2003, no caso de

pilares submetidos à flexo-compressão com os obtidos através do programa

desenvolvido no presente trabalho.

1.4 QUESTÕES DE PESQUISA

Dada uma seção retangular de concreto armado, através de sua geometria e das

características mecânicas dos materiais constituintes, submetida a um terno de

esforços solicitantes, força normal Nx, e momentos fletores Mz e My, dentro dos

limites de resistência da seção, como se obter os estados de deformações

e,consequentemente, de tensões normais da seção?

Do ponto de vista comportamental, no que se refere à resistência e a capacidade

de deformação dos materiais envolvidos (concreto e aço), de que maneira a

utilização de modelos físicos mais aproximados do real, podem influenciar a

previsão do comportamento da estrutura?

6

1.5 METODOLOGIA DE PESQUISA

Tendo em vista o atendimento dos objetivos do trabalho, foi estabelecida

uma sequência de estudos e atividades.

Em primeiro lugar foi realizada uma revisão bibliográfica versando sobre

modelos mecânicos para representar os materiais componentes do concreto

armado. Uma revisão das prescrições normativas da NBR 6118, para o

dimensionamento de pilares, foi também executada. Em seguida, buscou-se

estudar a análise secional de peças de concreto, concentrando-se na incorporação

da não linearidade física dos materiais e nas limitações deste tipo de análise

estrutural.

Após essa fase de aprofundamento teórico, passou-se à parte aplicada

sendo iniciada com a geração de uma formulação com base no equilíbrio da seção,

para o caso de pilares submetidos à flexão composta plana. Um programa em

Fortran foi desenvolvido e validado.

Passada essa etapa, foi então desenvolvida uma segunda formulação,

desta vez aplicada ao caso de pilares submetidos à flexão oblíqua composta,

formulação esta que engloba a anterior por lhe ser caso particular. Um segundo

programa foi então construído, a partir do anterior como era de se esperar, o qual

foi igualmente testado.

Visando propiciar a comparação de resultados oriundos da análise secional

com os da NBR 6118 foi concebida uma pequena edificação com os elementos

estruturais de concreto armado, os quais foram dimensionados segundo essa

norma. Três pilares dessa edificação foram escolhidos e estudados pelos dois

caminhos mencionados.

Por fim, todo esse estudo foi registrado na forma da presente monografia,

na sequência apresentada no próximo subitem.

1.6 ESTRUTURA DO TRABALHO

No primeiro capítulo é apresentado o problema estudado e, de forma

sucinta, a estratégia para resolvê-lo.

7

O segundo capítulo traz uma breve descrição dos tipos de esforços nos

pilares quanto a sua posição na edificação. Em seguida trata das hipóteses

necessárias às considerações de cálculo sob o ponto de vista das deformações no

concreto armado. Finalmente, apresenta o desenvolvimento da formulação

baseada nas equações de equilíbrio da seção submetida à flexão oblíqua

composta.

O terceiro capítulo aborda os tipos de estados limites, seja este por ruptura

do concreto ou deformação plástica excessiva. Nesse âmbito, os diversos casos

possíveis de distribuição das deformações do concreto e do aço na seção

transversal são relatados através dos domínios de deformação. Assim, a ênfase

em termos de análise não linear é detalhada através do método secante de

iteração, descrevendo todas as equações inerentes ao método.

O quarto capítulo é dedicado ao estudo de caso que engloba a análise de

uma edificação fictícia, descrevendo didaticamente todo o processo de cálculo

estrutural. Nele, será priorizado o dimensionamento dos pilares envolvidos na

análise através dos métodos normativos presentes na literatura, contribuindo para

o enriquecimento do trabalho.

O quinto capítulo traz a análise e discussão dos resultados obtidos para as

seções de concreto armado estudadas, com base no programa aqui construído

para realizar análise secional da flexão oblíqua, e na NBR 6118:2003.

Finalmente, o sexto capítulo relata as conclusões do presente trabalho.

8

2 EQUAÇÕES GERAIS DA FLEXÃO OBLÍQUA COMPOSTA NO

CONCRETO ARMADO

2.1 GENERALIDADES

Partindo do conhecimento das relações entre tensões e deformações do

concreto armado, a solução de qualquer problema envolvendo flexão oblíqua

composta em seções de concreto armado, deve satisfazer às equações de

equilíbrio e de compatibilidade.Vale ressaltar que em elementos estruturais como

pilares, a flexão é chamada oblíqua quando o plano de ação do momento fletor

corta a seção transversal segundo uma reta que não coincide com nenhum de seus

eixos centroidais e principais de inércia.

2.2 OCORRÊNCIA

A flexão oblíqua composta no concreto armado ocorre nos seguintes

casos:

Em pilares localizados nos cantos das edificações (seção 2.3.1.3).

Em seções que, por sua forma, não apresentam plano de simetria, como as seções

em L de lados desiguais;

Em seções que, sendo simétricas quanto à forma, são armadas assimetricamente

em relação ao plano de simetria;

Em seções que, sendo simétricas quanto à forma e disposição de armadura, estão

submetidas a solicitações fora do plano de simetria;

De acordo com Forni (1980, p. 01), esse último caso é o mais frequente

pois consideram-se as excentricidades acidentais previstas em norma, levando-se

em conta a incerteza de localização da força normal e o possível desvio do eixo da

peça durante a construção em relação à posição prevista no projeto, e também às

decorrentes de uma consideração rigorosa da flambagem, assimilada a uma

compressão excêntrica.

9

2.3 CLASSIFICAÇÕES DOS PILARES EM EDIFÍCIOS

2.3.1 Quanto à posição

Segundo Alva et al. (2008) “os pilares podem ser classificados de acordo

com a sua posição na planta deforma de um pavimento tipo de edifício em: pilares

intermediários, pilares de extremidade e pilares de canto,” conforme a Figura 1.

Essa classificação permite considerar as diferentes situações de projeto e de

cálculo, em relação aos esforços solicitantes, em que cada um desses pilares se

enquadra.

Figura 1 Posição dos pilares nos edifícios Fonte: Fusco, 1981.

2.3.1.1 PILARES INTERMEDIÁRIOS

Alva et al. (2008) define os pilares intermediários como

os pilares submetidos preponderantemente às forças axiais de compressão, pois os módulos dos momentos fletores são de pequena intensidade, em relação às ações verticais apenas (as permanentes e as variáveis normais). Na situação de projeto, admite-se o pilar intermediário submetido a uma compressão centrada, isto é a excentricidade inicial é considerada igual a zero para o dimensionamento das áreas das armaduras longitudinal e transversal.

10

2.3.1.2 PILARES DE EXTREMIDADE

Em relação aos pilares de extremidade, Alva et al. (2008) sustenta que

além de estarem submetidos às forças normais de compressão, também estão sujeitos à ação de momentos transmitidos pelas vigas. Na situação de projeto, admite-se o pilar de extremidade submetido à flexão normal composta.

2.3.1.3 PILARES DE CANTO

Alva et al. (2008) também considera que

além da força normal de compressão atuante consideram-se os momentos transmitidos pelas vigas, cujos planos médios são perpendiculares às faces dos pilares, e são interrompidas nas bordas do pilar. Na situação de projeto, portanto, considera-se o pilar de canto submetido à flexão oblíqua composta.

2.3.2 Momento nos pilares de edifícios

Para melhor compreensão dos esforços que atuam em barras reticuladas de

eixo reto (pilares), em função da sua posição na edificação, a Figura 2 mostra o

estado de deformações num pórtico plano submetido a cargas essencialmente

verticais.

Figura 2 Deformações num pórtico plano sob ação de cargas verticais Fonte: Schaffer, 2006

11

Observa-se ainda na Figura 2 que os pórticos P1 e P4, definidos na seção

2.3.2.1 como pilares de extremidades, apresentam rotações nodais em decorrência

da interação com as vigas ficando sujeitos a momentos e os esforços

normais,acarretando a flexão composta normal ou reta nessas seções (Figura 3).

Figura 3 Diagrama de esforços solicitantes em uma barra aporticada Fonte: Schaffer, 2006

Por outro lado, para os pilares P2 e P3, definidos na literatura como pilares

intermediários, as rotações das seções são desprezadas, e consequentemente não

se considera a transmissão de momentos, podendo neste caso, anular o efeito de

flexão composta e dimensioná-los através da teoria da compressão centrada.

2.4 HIPÓTESES FUNDAMENTAIS DE CÁLCULO

O dimensionamento de pilares de concreto armado é realizado admitindo-

se algumas hipóteses básicas clássicas do dimensionamento de estruturas de

concreto armado, que inclusive são aceitas pela NBR 6118:2003.

2.4.1 Solidariedade dos materiais concreto e aço

A deformação em cada barra é a mesma do concreto adjacente (perfeita

aderência entre o aço e o concreto não fissurado), sendo essa condição essencial

para a existência do concreto armado.

12

2.4.2 Manutenção da forma plana da seção transversal (Hipótese de Navier)

Admite-se, até o estado limite último, a hipótese de Navier de manutenção

da forma plana, ao longo do processo de deformação, de seções transversais de

concreto armado submetido a solicitações normais.

Através dessa hipótese, consideram-se as deformações das distintas fibras

da seção, seja do concreto ou aço, proporcionais às distâncias de tais fibras à reta

de deformação nula ou linha neutra.

2.4.3 Desconsideração da resistência à tração do concreto

A NBR 6118, 2003 recomenda que o cálculo das tensões decorrentes de

flexão composta pode ser feito no estádio II, desde que seja desprezada a

resistência à tração do concreto, uma vez que a mesma corresponde a 10% da

resistência à compressão do concreto.

2.4.4 Hipótese de pequenos deslocamentos

A hipótese de pequenos deslocamentos permite considerar que as seções

permaneçam planas após ruptura, validando a hipótese de manutenção da forma

plana da seção transversal (2.4.2).

2.5 CONVENÇÕES DE SINAIS

Adota-se neste trabalho o sistema cartesiano de coordenadas representado

na Figura 4, com o eixo X longitudinal à peça e os eixos Y e Z pertencentes ao

plano da seção transversal.

Convencionam-se nesse trabalho como positivas as forças normais Nx de

compressão e negativas às de tração, de acordo com a Figura 4. Analogamente, as

deformações específicas longitudinais εx serão positivas no caso de provocarem

encurtamentos do comprimento da peça, ou negativas no caso contrário.

13

Figura 4 Convenção de sinais Fonte: Próprio autor

Os vetores momentos fletores da seção, representados pelas componentes

ortogonais Mz e My são positivos quando causam deformações positivas nos pontos

da seção que tem as coordenadas Z e Y positivas, respectivamente (ver Figura 4).

Observar que esses vetores passam pelo centro de gravidade da seção

geométrica.

A rotação da seção devido à Mz é positiva quando a seção gira de X para

Y. Por sua vez, a rotação devido à My é positiva quando a seção gira de X para Z.

2.6 EQUAÇÕES GERAIS DE EQUILÍBRIO

Considere-se uma seção qualquer de concreto armado, cheia ou vazada,

submetida à flexão oblíqua composta, através dos esforços Nx, Mz e My, resultantes

das tensões normais segundo o eixo longitudinal da peça (Figura 5). Estas tensões

equilibram os esforços solicitantes, de modo a garantir o equilíbrio da seção.

Assim, podem-se escrever as equações gerais de equilíbrio como a seguir:

14

Figura 5 Caso Geral para Flexão Oblíqua Composta Fonte: Adaptado de Fusco, 1981

Nx=�σc.dz.dy + �Asi.σsi��n

i=1Ac

(2.1.a)�Mz= ��Yc.σc.dz.dy + �Asi.σsi.Ysi��n

i=1Ac

� (2.1.b)

My= ��Zc.σc.dz.dy + �Asi.σsi.Zsi

n

i=1Ac

� ��(2.1.c)

Onde:

Ac – área de concreto da seção transversal, admitida igual à área da seção

transversal geométrica da peça;

σc – tensão normal numa fibra de concreto, de coordenadas X e Y;

Asi – área de aço;

σsi – tensão normal na barra i;

n – número de barras de aço da armadura.

15

3 FUNDAMENTOS PARA O CÁLCULO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO

3.1 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA SEÇÃO TRANSVERSAL

De acordo com Carvalho (2007), a ruína da seção transversal (peça sob

ações majoradas e materiais com resistências minoradas fcd e fyd), para qualquer

tipo de flexão no estado-limite último, fica caracterizada por deformações

específicas de cálculo do concreto (εc), na fibra menos tracionada, e do aço (εs),

próximas à borda mais tracionada, em que uma delas ou ambas atingem os valores

últimos (máximos) das deformações específicas desses materiais. Os diversos

casos possíveis de distribuição das deformações do concreto e do aço na seção

transversal definem os domínios de deformação que está ilustrado na Figura 6.

Figura 6 Domínios de deformação Fonte: NBR 6118, 2003

É válido ressaltar que para determinar a resistência de cálculo de uma

dada seção transversal, é preciso saber a priori em qual domínio está situado o

diagrama de deformações específicas de cálculo dos materiais (aço e concreto).

Na flexão, como a tração é resistida pela armadura, a posição da linha

neutra deve estar entre zero e d (domínios 2, 3 e 4), já que para x < 0 (domínio 1) a

seção está toda tracionada, e para x > d (domínio 4a e 5) a seção útil está

totalmente comprimida.

16

Domínio 1 – tração não uniforme, sem compressão.

• início: εs=10‰ e εc=10‰ ; reta a – tração uniforme;

• término: εs=10‰ e εc=0;

• o estado-limite último é caracterizado pela deformação do aço

εs=10‰;

• a seção resistente é composta por aço, não havendo participação do

concreto, que se encontra totalmente tracionado e, portanto,

fissurado.

Domínio 2 – flexão simples ou composta

A ruína se dá por deformação plástica excessiva do aço, com a

deformação máxima de 10‰, portanto, σsd = fyd. A deformação no concreto varia de

0 até 3,5‰. Logo, o concreto não trabalha com sua capacidade máxima e,

portanto, é mal aproveitado. A profundidade da linha neutra varia de 0 até 0,259.d

(0< βx< 0,259).

Por semelhança de triângulos temos:

βx23= εc

εc+ εs=

3,5

(3,5+10)=0,259 ( 3.1.a) �

Domínio 3 – flexão simples (seção subarmada) ou composta

A ruína se dá por ruptura do concreto com deformação máxima εc = 3,5‰

e, na armadura tracionada, a deformação varia de εyd até 10‰, ou seja, o aço está

em escoamento, com tensão σs = fyd. É a situação ideal de projeto, pois há o

aproveitamento pleno dos dois materiais. A ruína é dúctil, pois ela ocorre com

aviso, havendo fissuração aparente e flechas significativas. Nesse caso diz-se que

a seção é subarmada. A posição da linha neutra varia de 0,259.d até βX34 (0,259 <

βX< βX34).

17

βx34= εc

εc+εs=

3,5�3,5+ εyd� (3.1.b)

εyd= fyd

Es��(3.2)

Figura 7 - Deformação linear de uma peça de concreto armado sub armada (domínio 3) Fonte: Pinheiro et al.(2003)

Domínio 4 – flexão simples (seção superarmada) ou composta

Assim como no domínio 3 o concreto encontra-se na ruptura, com εc =

3,5‰. Porém, o aço apresenta deformação abaixo de εyd e, portanto, ele está mal

aproveitado. Quando as peças de concreto são dimensionadas nesse domínio, diz-

se que elas são superarmadas, devendo ser evitadas, pois o dimensionamento

nesse domínio é uma solução antieconômica, além de perigosa, pois a ruína se dá

por ruptura do concreto e sem escoamento do aço. É uma ruptura brusca, ou seja,

ocorre sem aviso.

Figura 8 - Deformação linear de uma peça de concreto armado super armada (domínio 4) Fonte: Pinheiro et al.(2003)

18

b) Domínio 5 – compressão não uniforme, sem tração.

O estado limite último fica caracterizado pela deformação εc = 2‰ da fibra

afastada 3/7 h da extremidade mais encurtada, estando εcu entre 2‰ e 3,5‰.A

linha neutra não corta a seção transversal, inteiramente comprimida.

Smaniotto (2005, p. 40) explica que para determinar a distribuição de

deformações em todos os pontos da seção transversal, isto é, para estabelecer as

equações de compatibilidade, não é necessário considerar os 5domínios

mostrados na Figura 6. Eles podem ser agrupados em domínios maiores,

chamados de regiões. Nesse sentido, há três regiões, correspondentes aos três

pólos de ruína conforme mostra a Figura 9.

Figura 9 Domínios de deformações divididos em regiões

Fonte: Smaniotto, 2005

Região I – correspondente ao pólo de ruína B (encurtamento limite do concreto).

Região II – correspondente ao pólo de ruína A (encurtamento limite do concreto).

Região III – correspondente ao pólo de ruína C (alongamento excessivo da

armadura).

19

3.2 HIPÓTESES PARA CÁLCULO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO

A NBR 8681:2004 define os estados limites últimos (ELU) como o estado

que pela sua simples ocorrência determinam a paralisação, no todo ou em parte,

do uso da construção, ou seja, se refere à perda da capacidade resistente (ou de

outra forma de ruína) que impossibilite o uso da estrutura, enquanto que o estado

limite de serviço (ELS) é caracterizado quanto a condição de a estrutura oferecer

condições satisfatórias de durabilidade, aparência, conforto e boa utilização

funcional.

No caso do presente trabalho, a análise das seções transversais

considerará apenas o estado limite último de ruptura do concreto e/ou a

deformação plástica excessiva do aço, culminando assim com a determinação da

resistência mecânica da seção.

A seguir serão explicitados os procedimentos para a análise de uma seção

de concreto armado levando em conta a não linearidade física do concreto, através

do método secante de iteração. Todavia, antes, será feita uma breve exposição dos

diagramas tensão-deformação do concreto e do aço, levando-se em conta as

simplificações prescritas pela NBR 6118:2003 e as utilizadas neste trabalho.

3.2.1 DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO DE CÁLCULO DO CONCRETO

Observando a Figura 10, que retrata o comportamento tensão-deformação

do concreto comprimido, verifica-se que até 2‰ de deformação, a relação é

parabólica. Essa curva exibe um trecho “quase” linear no início fazendo uma curva

no final. Embora não considere o decréscimo de tensões após as deformações de

2‰, o modelo limita a deformação de compressão do concreto a 3,5‰.

20

Figura 10 Diagrama tensão x deformação de cálculo do concreto Fonte: NBR 6118, 2003

No trecho parabólico 0 ≤ εc ≤ 0,002

σc=0,85.fcd. �1- 1-c

0,002�2� (3.3.a)

No trecho linear 0,002 ≤ εc ≤ 0,0035

σc=0,85.fcd (3.3.b)

Portanto, qualquer que seja a resistência característica do concreto (fck),

tem-se:

εc≤0 → σcd

fcd=0 �� 3.4.a)

0≤ εc≤ 0,002 →σcd

fcd= 0,85. �1- 1-

c

0,002�2� ��(3.4.b)

0,002 ≤ εc≤ 0,0035 →σcd

fcd=0,85 ��(3.4.c)

21

A relação σcd

fcd é função apenas de εc, independendo da resistência do

concreto.

A NBR 6118:2003 permite a substituição do diagrama da Figura 10 pelo

retângulo de profundidade y = 0,8. x (Figura 11), com a seguinte tensão:

σc=0,85.fcd= fck

γc

(3.5)�

Figura 11 Tensões de compressão de cálculo no concreto. Diagrama simplificado Fonte: Süssekind, 1981

3.2.2 DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO DO CONCRETO OBTIDO

EXPERIMENTALMENTE

Ahmad (1979) sugere a seguinte relação tensão-deformação graficamente

representada pela Figura 12 e pela equação 3.6. Este diagrama reproduz mais

fielmente o comportamento do concreto e tem a vantagem de ser válido para

concretos de alta resistência.

σc

fc=

A . εc

εo+ B-1�.( εc

εo)2

1+ A-2�. �εc

εo�+B.(

εc

εo)2 ��(3.6)

22

O ponto (fc,εo) depende de vários fatores: gradiente de deformações,

velocidade de carregamento, tipo de agregado, confinamento, etc.

Ahmad (1979) sugeriu valores para os parâmetros A e B diferentes para os

ramos ascendente e descendente. Para A são indicados, no ramo ascendente,

valores variando de 1,6 a 1,3 e, no ramo descendente, de 1,5 a 0,1. Para B são

dados valores variando de 0,6 a 0,2 para o ramo ascendente e entre 0,9 e 1,0 para

o ramo descendente (ver Tabela 1).

A deformação de pico do concreto é dada por:

εo=1,65+0,0165. fc

1000 (3.7)

Tabela 1 Valores de A e B

Ramo ascendente Ramo descendente �� A B A B 27,6 1,6 0,66 1,5 0,88 34,5 1,51 0,47 0,79 0,95 48,3 1,41 0,3 0,37 0,98 62 1,36 0,23 0,22 0,99

75,8 1,33 0,2 0,14 0,99 89,6 1,32 0,19 0,09 1

Fonte: Ahmad,1979

Figura 12 Curva tensão x deformação do concreto baseada na Equação 3.6 Fonte: Bastos, 2004

23

3.2.3 Diagrama tensão-deformação de cálculo do aço

As barras podem ser fabricadas por laminação a quente, denominadas Aço

Classe A e laminadas a quente e encruamento a frio, Aço Classe B. Essa

classificação dos aços está também associada ao tipo de diagrama tensão-

deformação que se observa. Os aços laminados a quente (classe A) apresentam

um diagrama que possui um patamar de escoamento bem definido, o que não se

verifica com os aços Classe B.

3.2.3.1 AÇO CLASSE A

Para efeito de dimensionamento, tem-se um diagrama simplificado (Figura

13) típico de material elasto-plástico perfeito. As limitações são originadas perante

o concreto que, para o alongamento acima de 10‰ causa fissuração excessiva e

encurtamento maior que 3,5‰ causa esmagamento do material.

Para o caso de tração:

Figura 13 Diagrama tensão x deformação de cálculo do aço Classe A Fonte: NBR 6118, 2003

24

Representando matematicamente os intervalos da Figura 13:

No trecho elástico0 ≤ εsd ≤εyd

σs= Es . εs → Es=2,1.105 N

mm2 (3.8.a)

No trecho plástico εsd ≥εyd (regime de compressão)

σs= fy → Esecante=fyεsd

(3.8.b)

No trecho plástico εsd ≤εyd (regime de tração)

σs= fy → Esecante=fyεsd

(3.8.b)

Porém, como um dos objetivos desse trabalho é analisar o comportamento

do aço em sua totalidade, ou seja, nos limites -0,01 ≤εsd ≤0,01, o diagrama utilizado

para tal análise está representado na Figura abaixo:

Figura 14 Diagrama tensão x deformação do aço Classe A utilizado no programa Fonte: Adaptado da NBR 6118, 2003

25

3.3 MÉTODO SECANTE DE ITERAÇÃO

Nas integrações a seguir, conforme a seção (2.4.3) será desprezada a

resistência do concreto à tração uma vez que ela contribui muito pouco para a

resistência do conjunto concreto-aço. Em tese, segundo (FORNI, 1980), essa

hipótese é evidentemente uma simplificação útil ao cálculo, pois na realidade a

tensão depende, entre outros parâmetros:

- da posição da linha neutra;

- da velocidade de aplicação das cargas;

- da duração das cargas;

- da forma geométrica da seção comprimida;

As equações (2.1.a), (2.1.b) e (2.1.c) podem ser colocadas na forma de

somatório para fins de integração numérica. Assim:

Nx= � (σci.∆Aci) + i

� (σsj.∆Asj) (3.9.a) j

Mz= � (σci.∆Aci.yci) + i

� (σsj.∆Asj.ysj) (3.9.b) j

My= � (σci.∆Aci.Zci) + i

� (σsj.∆Asj.Zsj) (3.9.c) j

onde,

i= 1,2,............n elementos de concreto em compressão

j= 1,2,............k barras de aço.

Admitindo a hipótese de que a seção se mantém plana durante a flexão

oblíqua, conforme seção 2.4.2, a deformação εx num ponto genérico P(z, y) da

seção pode ser determinada pela seguinte relação:

26

εx= εcg- ψy.Z- ψz.Y (3.10)

Com εcg representando a deformação do centróide da seção de concreto, e

os parâmetros ψy eψz associados às rotações da seção em torno dos eixos y e z,

respectivamente (ver Figuras 15 e 16).

Figura 15 Seção longitudinal do pilar segundo a direção Z Fonte: Próprio autor

Dada a hipótese de deformações relativamente pequenas, na Figura 14

pode-se assumir que:

tan ψy ~ ψy=X'

Z → ψy. Z=X' ��(3.11)

Como, εx= X' + εcg tem-se:

εx= εcg- ψy.Z (3.12)

27

Figura 16 Seção longitudinal do pilar segundo a direção Y Fonte: Próprio Autor

Utilizando o mesmo raciocínio anterior para a Figura 16, faz-se:

tan ψz ~ ψz=X'

Y → ψy. Y=X' ��(3.13)

Assim,

εx= εcg- ψzY (3.14)

Combinando as equações (3.12) e (3.14) a deformação específica total fica

expressa por:

εx= εcg- ψy.Z�-ψz.Y (3.15)

Combinando a equação (3.15) com as relações constitutivas dos materiais,

têm-se as tensões do concreto e do aço respectivamente:

σci= Ecis .εci= Eci

s .(εcg- ψy.Zci-ψz.Yci) (3.16.a)

28

σsj= Esjs .εsj= Esj

s .(εcg- ψy.Zsi-ψz.Ysi) (3.16.b)

Substituindo (3.16.a) e (3.16.b) em (3.9.a), (3.9.b) e (3.9.c) resulta:

Nx= � (Ecis . �εcg- ψy.Zci – ψz.Yci� .∆Aci)+

i

� (Esjs . �εcg- ψy.Zsi- ψz.Ysi� .∆Asj)

j

��(3.17.a)

Mz= � (Ecis . �εcg�-ψy.Zci�-ψz.Yci� .∆Aci.Yci)+

i

� (Esjs . �εcg-ψy.Zsi-ψz.Ysi� .∆Asj.Ysj)�

j

��(3.17.b)

My= ��Ecis . �εcg- ψy.Zci- ψz.Yci� .∆Aci.Zci�+

i

��Esjs . �εcg- ψy.Zsi- ψz.Ysi� .∆Asj.Zsj�

j

(3.17.c)

As equações (3.17.a) a (3.17.c) podem ser reorganizadas assumindo as

seguintes formas:

Nx= k11.εcg- k12. ψz-k13. ψy (3.18.a)

-Mz= k21.εcg+ k22. ψz+k23. ψy (3.18.b)

-My= k31.εcg+ k32. ψz+k33. ψy (3.18.c)

Definindo as rigidezes:

k11= � (Ecis .∆Aci) +

i

� (Esjs .∆Asj)

j

(3.19.a)

k12= -(� (Ecis .Yci.∆Aci) +

i

� (Esjs .Ysj.∆Asj) ) � (3.19.b)

j

k13= -(� (Ecis .Zci.∆Aci) +

i

� (Esjs .Zsj.∆Asj) ) (3.19.c)

j

29

k22= � (Ecis .Yci

2.∆Aci) + i

� (Esjs .Ysj

2.∆Asj) j

(3.19.d)

k23= � (Ecis .Yci.Zci. ∆Aci) +

i

� (Esjs .Ysj.Zsj.∆A

sj) ��

j

(3.19.e)

k33= � (Ecis .Zci

2.∆Aci) + i

� (Esjs .Zsj

2.∆Asj) (3.19.f) j

Observando-se a ocorrência da simetria:

k12= k21

k13= k31

k23= k32

Podem-se reescrever as equações (3.18) na forma matricial a seguir:

�� Nx

-Mz

-My

�� = �Kij� . ��εcg

ψzψy

�� (3.20)

Onde�kij�é a matriz de rigidez da seção, dado por:

�Kij�= �k11 k12 k13

k21 k22 k23

k31 k32 k33

� (3.21)

A solução do sistema de equações (3.20), para determinar as incógnitas

εcg,ψz e ψy, é obtida de:

��εcg

ψzψy

�� = �Fij� . �� Nx

-Mz

-My

�� (3.22)

Sendo�Fij�= �kij�-1definida como a matriz de flexibilidade da seção, cujos elementos

são:

�Fij�= �F11 F12 F13

F21 F22 F23

F31 F32 F33

� (3.23)

30

3.3.1 Algoritmo para a flexão composta oblíqua

O método secante de iteração será utilizado como processo iterativo para

obter o estado de deformação da seção sob uma combinação de ações externas M

(momento fletor) e N (esforço normal).

As etapas de montagem do algoritmo utilizado no programa para a

obtenção do cálculo do estado de deformação de uma seção de concreto armado é

o seguinte:

1) Cálculo da matriz de rigidez inicial �ko� da seção considerando

queεcg=0,ψz=0 e ψy=0.

2) Cálculo da matriz de flexibilidade inicial �Fo�

3) Determinação da primeira solução εcg,1=0, ψz,1=0 e ψy,1=0

�εcg,1 ψ1,z��ψ1,y�=��Fo� .� �� Nx

-Mz

-My

�� 4) Atualizar o módulo de elasticidade secante dos materiais concreto e aço. Os

gráficos para obter o módulo de elasticidade secante do concreto e do aço

estão representados respectivamente nas Figuras 17 e 18.

Figura 17 - Módulo de elasticidade secante do concreto (Ec) Fonte: Notas de aula

31

De acordo com a NBR 6118:2003 para tensões de compressão menores

que 0,5.fc pode-se admitir uma relação linear entre tensões e deformações,

adotando-se para o módulo de elasticidade secante o valor de Ec,s = 0,85.Eci sendo

Eci= tan�Ec,secante�=fcεc

=5600.�fck�

Figura 18 - Módulo de elasticidade secante do aço (Es) Fonte: Notas de aula

O módulo de elasticidade secante do aço, segundo a NBR 6118:2003, pode ser admitido igual a 210GPa.

5) Com a solução anterior, a matriz de rigidez é atualizada, passando a ser [k1],

e as ações externas associadas com este estado de deformação são

calculadas fazendo:

� Nx

-Mz

-My

�= �k1� . �εcg1

ψz1ψy1

� 6) A condição que define se a solução anterior é verdadeira ou não é:

�|Nx|

|Mz||My|

� - �|Nx1|

|Mz1|

|My1|�= � !

32

O que gera um resíduo RES= �∆Nx

∆Mz

∆My

�

Sendo�∆Nx = |Nx| - |Nx1|, ∆Mz = |Mz| - |Mz1| e ∆My = |My| - |My1|.

7) O critério de convergência calculado pelo programa depende de uma

constante inteira alimentada pelo usuário, indicando a tolerância necessária

para a condição anterior, ou seja:

"RES"= #∆Nx2+∆Mz

2+ ∆My

2

|RES| ≤ tolerância

Onde: 0 < tolerância ≤ 0,0001

8) Se o passo 7 não for atendido, isto é, se |RES|≤ tolerância volta-se ao passo

2, atualizando a matriz de flexibilidade e prosseguindo com os passos

ulteriores até atingir o critério de convergência. O procedimento gráfico da

solução pode ser visualizado na Figura 19.

Figura 19 - Modelo gráfico de representação do método secante de iteração Fonte: Notas de aula

33

3.3.2 Discretização da seção (flexão composta plana)

Para calcular o estado de deformação da seção usando o método de

solução iterativo deve-se a princípio arbitrar a quantidade de camadas de concreto

e aço que será distribuída igualmente ao longo da seção transversal,

caracterizando o que a literatura designa de discretização da seção. Por

conseguinte, se apropriando das integrações numéricas (Eq. 3.1 e 3.2),

determinam-se as deformações de cada camada, tanto para o concreto quanto

para o aço.

A Figura 20 mostra a disposição das camadas e o gráfico linear de

deformações na flexão composta plana.

Figura 20 - Representação esquemática de uma seção discretizada (flexão composta plana) Fonte: Notas de aula

3.3.3 Discretização da seção (flexão oblíqua composta)

Com base no procedimento anterior é realizada uma discretização da

seção transversal com elementos retangulares, mas dispostos em ambas as

direções (Y e Z), formando uma malha (Figura 21a), tendo em vista o

posicionamento (em geral) inclinado da linha neutra, no âmbito da flexão composta

oblíqua.

34

Figura 21 Representação esquemática de uma seção discretizada, sendo A) Modelo Real e B) Modelo Adotado Fonte: Próprio autor

No programa será adotado um modelo aproximado para a discretização da

seção, representado pela Figura 21B, em que as barras de aço de seção circular

serão tratadas como área quadradas de lado igual ao seu diâmetro original,

possibilitando assim reproduzir toda a seção (real) somente com elementos

quadrangulares (observa-se que há um incremento da área de aço, mas que não

alteram em termos práticos os resultados do programa).

35

4 ESTUDO DE CASO

4.1 DIMENSIONAMENTO

Neste capítulo apresenta-se o dimensionamento de três pilares, dando

ênfase à determinação das armaduras longitudinais presentes nas respectivas

seções de concreto armado, segundo as recomendações da NBR 6118:2003.

Para o estudo de caso foi idealizada uma edificação com geometria

simples e arranjo simétrico dos elementos estruturais (Figuras 22 e 23).

Figura 22 Planta estrutural da edificação com a disposição dos elementos (viga, laje e pilar) Fonte: Próprio autor

36

Figura 23 Perspectiva da edificação Fonte: Próprio autor

A análise, por sua vez, deverá agrupar os três tipos de pilares quanto à sua

posição na edificação, conforme mencionado na seção (2.3). Essas Figuras

mostram a disposição simétrica dos pilares.

A edificação possui um pavimento com laje de cobertura. O pé direito é da

ordem de 2,80 metros e laje com formato quadrangular de dimensões 11 x 11

metros.

Elementos estruturais como vigas e lajes serão pré-dimensionados de

acordo com as recomendações da literatura técnica. Cabe informar que será

desprezado o efeito do vento na edificação. Considera-se que as seções das vigas

de canto possuem dimensões 15 x 50 e as centrais seções de 20x50, medidas em

centímetros, conforme especificado na Figura 22. As lajes têm espessura de 12

cm.

Passando-se ao dimensionamento dos pilares, Alva et al. (2008)

recomenda os seguintes métodos de dimensionamento: para o pilar P5,

considerado por definição um pilar intermediário, será dimensionado através do

método de compressão centrada simples. Para o pilar P4, considerado como pilar

37

de extremidade, empregar-se-á o método do pilar padrão com curvatura

aproximada, utilizando o ábaco de Venturini para flexão normal composta. Para o

pilar P1 submetido à flexão oblíqua composta pode-se considerar o método do pilar

padrão com curvatura aproximada, com aplicação de ábacos adimensionais para a

obtenção das taxas mecânicas. Será desprezada, para efeito de cálculo, a

excentricidade acidental em todos os pilares.

Segundo a NBR 6118, 2003 o método do pilar-padrão com curvatura

aproximada pode ser empregado apenas no cálculo de pilares com λ≤90, seção

constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. A não-

linearidade geométrica é considerada através de uma expressão aproximada,

supondo-se que a deformação da barra seja senoidal. A não-linearidade física é

considerada através de uma expressão aproximada da curvatura na seção crítica.

Consideram-se as estruturas como sendo de nós fixos, para efeito de

cálculo, quando os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos e, por

decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são desprezíveis, aplicando-se apenas

os efeitos locais e localizados de 2ª ordem (NBR 6118, 2003). Além disso, as

excentricidades acidentais serão desprezadas neste trabalho.

Para a composição das cargas nas vigas utilizou-se do método empírico

das charneiras plásticas (Figura 24), com valores de cargas definidos a partir da

NBR 6120:1980 (Cargas para cálculo de estruturas de edificações), considerando a

edificação para uso comercial com previsão de carga para escritório de 2 KN/m²

(sobrecarga). Através da equação (4.1) calcula a contribuição das lajes para que se

obtenha carregamento distribuído nas vigas (unidade de força por unidade de

comprimento).

�Pplaje+ Revestimento+Sobrecarga�×Área plástica

Vão da viga a ser descarregada=carga

KN

m (4.1)

38

Figura 24 Método das charneiras plásticas Fonte: Próprio autor

Para a definição dos carregamentos críticos, deverá ser feito um estudo de

todas as combinações possíveis. No presente trabalho, as ações serão

combinadas a partir do Estado Limite Último, caracterizado pela ruptura ou

deformação excessiva dos materiais (domínio 3), considerando a combinação mais

desfavorável para a estrutura.

A NBR 8681:2004 (Ações e segurança nas estruturas – procedimentos)

prescreve que as combinações últimas normais são dadas pela seguinte

expressão:

Fd= � γgi.FGi,k+ γq.[FQ1,k+ � ψ0j.n

j=2

m

i=1FQj,k] ��(4.2)

Onde:FGi,ké o valor característico das ações permanentes;

FQ1,k�é o valor característico da ação variável considerada como ação

principal para a combinação;

39

ψ0j. FQj,ké o valor reduzido de combinação de cada uma das demais

variáveis.

Será previsto alvenaria em tijolo furado com espessura de 10 cm sob todas

as vigas, cujo valor do seu peso específico é de 13KN/m³ e fixada carga

permanente de revestimento de 1KN/m² e peso específico do concreto armado de

25KN/m³.

A Tabela 2 resume os tipos e valores das cargas permanentes utilizadas no

cálculo do dimensionamento.

Tabela 2 Resumo das cargas permanente na edificação

Local Carga

Peso próprio da laje 0,12 x 25 = 3 KN/m²

Peso próprio da alvenaria 13 x 0,1 x 2,80 = 3,64 KN/m

Peso próprio das vigas centrais 25x 0,20 x 0,50 = 2,5 KN/m

Peso próprio das vigas de canto 25 x 0,15 x 0,50 = 1,88 KN/m

Revestimento (piso+revestimento) 1 KN/m²

Fonte: Próprio autor

De acordo com a equação (4.1) e a Tabela 2 o carregamento de cada viga

no pavimento resulta em:

• Vigas V5=V2

q1= ( 3+1+2�.9,60

5,5).2=(20,94+Pp,viga+Pp,alvenaria)=27 KN/m

• Vigas V1=V3=V4=V6

q2= 3+1+2�.5,54

5,5= (6,04+ Pp,viga+Pp,alvenaria)=11,60 KN/m

40

4.1.1 Esforços Solicitantes

Após a distribuição das cargas nas vigas parte-se para a etapa da análise

estrutural. Nessa etapa, será calculado os esforços solicitantes por intermédio de

um modelo estrutural adotado. No presente trabalho, adotar-se-á o modelo de viga

contínua, que de acordo com Soriano (2007),

são elementos que possui barras dispostas sequencialmente em uma mesma linha reta horizontal, sob carregamento que a solicita no plano vertical, de maneira que desenvolva apenas o momento fletor de vetor normal a esse plano, o esforço cortante vertical e o esforço normal.

Nas Figuras abaixo pode ser visualizado as reações nos pilares obtidas

através do modelo de viga contínua, realizado por meio do programa Ftool,

desenvolvido por Martha (2001).

a) Pilares P1-P2-P3 e Viga V1

Figura 25 Representação esquemática do modelo de viga contínua (viga V1 e pilares P1-P2-P3) Fonte: Próprio autor

b) Pilares P2-P5-P8 e Viga V5

Figura 26 Representação esquemática do modelo de viga contínua (viga V5 e pilares P2-P5-P8) Fonte: Próprio autor

41

Tabela 3 Resumo dos esforços solicitantes normais característicos para 02 pavimentos

PILAR POSIÇÃO NORMAL

P1 CANTO 23,9x2x2 pav = 95,6 KN + $%&'()

P2 EXTREMIDADE (79,8+55,7)x2 pav = 271 KN + $%&'()

P5 INTERMEDIÁRIO 185,6x2x2 pav = 743 KN + $%&'()


A NBR 6118:2003 estabelece que a menor dimensão da seção transversal

do pilar não deve ser inferior a 19cm. Esta recomendação visa evitar um

comportamento inaceitável para os elementos estruturais e propiciar condições

adequadas de construção.

De acordo com ALVA et al. (2008) apud NBR 6118:2003 em casos

especiais, permite-se que a menor dimensão do pilar esteja compreendida entre

19cm e 12cm. Nestes casos, é preciso multiplicar os esforços finais de cálculo

empregados no dimensionamento dos pilares por um coeficiente adicional γn, de

acordo com a Tabela 4:

Tabela 4 - Valores do coeficiente adicional γn

Menor dimensão

≥ 19 18 17 16 15 14 13 12

Valor de γn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 Fonte: NBR 6118, 2003

4.1.2 Dimensionamento do pilar P5

Dados considerados:

fck=25 MPa

Aço CA50

Grau de agressividade II

Método de dimensionamento: Compressão Centrada Simples

O roteiro de cálculo será empregado de acordo com a sequência adotada

pela NBR 6118:2003.

a) Peso próprio do pilar: Ppilar= 0,20. 0,40.2,8.25.2=11,20 KN

42

Com base na equação (4.2) a combinação para que o esforço normal de

cálculo atenda ao estado limite último é igual a:

Nxd= 743+11,20�.1,40=1055 KN

Figura 27 - Seção transversal do pilar P5 Fonte: Próprio autor

b) Índice de esbeltez

λy=3,46 . lehy

=3,46 . 280

40= 24,22

λz=3,46 . lehz

=3,46 . 280

20=48,44

O cálculo será efetuado na direção mais desfavorável, ou seja, na direção Z.

c) Excentricidade de 1ª ordem

e1zmin=1,5+0,03.hz=1,5+0,03.20=2,1cm

d) Excentricidade de 2ª ordem

Força normal reduzida:

43

νd=Nd

Ac . fcd=

1055

20.40.2,5

1,4

=0,74>0,7 (ok)

Critérios para dispensa dos efeitos de 2ª ordem:

λz ≤ λ1=25+12,5 . e1y

min

h, com 35≤λ1≤90

λ1=25+12,5 . 2,1

20=26,31

λz>λ1 → e2z= le2

10 .

0,0055 νd+0,5�.h =2802

10.

0.0055 0,92+0,5�.20=1,52cm

Portanto, a excentricidade total na direção z é o somatório dos efeitos de 1ª e 2ª ordem:

ez,total= e1z+ e2z=2,1+1,52=3,62cm

e) Valores do parâmetro αs

De acordo com a Figura abaixo o valor de αs depende da distribuição e da

quantidade de armaduras nas duas direções.O arranjo de armadura pré-

selecionado envolve a distribuição de 6 barras (3 x 2) conforme a equação abaixo:

αs=(nh-1)

(nv-1)=

2-1

3-1=0,5→ α = -

1

αs=-2 (para seções retangulares, αs<1)

Figura 28 Parâmetros para calcular o valor de αs de acordo com o arranjo de armadura Fonte: NBR 6118, 2003

44

f) Força normal solicitante de cálculo equivalente

β= 1 0,39+0,01. α�-0,8.

d'

h

=1 0,39+0,01.(-2)�-0,8.

4

20

=4,76

NSd,eq=NSd . �1+ β. ez,total

h�= 1055. 1+4,76.

3,62

20�= 1964 KN

g) Área da armadura longitudinal comprimida

A's=(NSd,eq- f'cd . A'

c)

f'yd=

1964-(0,85.2,5

1,4.20.40)

50

1,15

=17,24 cm²

h) Valores limites para armaduras longitudinais

A's,min≥ 0,004.A'c=0,004.20.40=3,2 cm²�

A's,max= 0,08.A'c=0,08.20.40=64cm²

Logo, 3,2<17,24<64 (ok)

i) Armadura longitudinal

Φ20.0↔ π.2,0²

4=3,14.6=18,84cm²

Areaefetiva=18,84 cm²

Arranjo↔*N1 = 6Φ20.0 � j) Detalhamento

Figura 29 - Detalhamento final do pilar P5 Fonte: Próprio Autor

45


Dados considerados:

fck=25 MPa

Aço CA50


Método de dimensionamento: Curvatura aproximada ou Pilar Padrão Simplificado

O mesmo procedimento visto anterior pode ser aplicado nesse tipo de pilar.

As reações obtidas através do modelo de viga contínua gera um esforço normal no

pilar P2 por meio das vigas V1 e V5. O momento fletor que atua no pilar tem origem

na ligação com a viga V5, visto que a viga V1 se limita na contribuição do esforço

normal, situação esta que denominamos de flexão normal ou reta composta.



Com base na equação (4.2) a combinação para que o esforço normal de cálculo

atenda ao estado limite último é igual a:

46

Nxd= 271+11,20�.1,40.1,0=396,00 KN

b) Índice de esbeltez

λy=3,46 . lehy

=3,46 . 280

40= 24,22

λz=3,46 . lehz

=3,46 . 280

20= 48,44

c) Momentos na ligação viga-pilar

A rigidez do pilar no tramo superior e inferior é igual a:

• na direção z

rinf=rsup=6.E.I

le=

6.E.40.203

12.280=571.E�

• na direção y

rinf=rsup=6.E.I

le=

6.E.40³.20

12.280=2286.E�

A rigidez da viga é igual a:

rviga=4.E.I

lviga=

4.E.50³.20

12.550=1515.E

O momento de engastamento perfeito para a viga V5 é igual a:

Meng=q.l²

12=

27.5,5²

12 =68 kN.m=6800kN.cm

Logo, os momentos fletores solicitantes no tramo superior e inferior é igual a:

• na direção z

Msup= Minf=Meng. + rsup

rviga+ rsup+ rinf,=6800. 571.E

1515.E+571.E+571.E �=1462 kN.cm

• na direção y

Msup= Minf=Meng. + rsup

rviga+ rsup+ rinf,=6800. 2286.E

1515.E+2286.E+2286.E �=2554 kN.cm

47

d) Excentricidade inicial

• na direção z

eiz=Msup= Minf,d

Nd=

1462.1,4

396=5,17cm

• na direção y

eiy=Msup= Minf,d

Nd=

2554.1,4

396=9,02 cm

�e) Excentricidade mínima

• na direção z

ez,min=1,5+0,03.hz=1,5+0,03.20=2,10 cm

• na direção y

ey,min=1,5+0,03.hy=1,5+0,03.40=2,70 cm

f) Excentricidade devido ao desvio do eixo da viga V1 com o eixo do pilar P1

(Figura 30):

M1y,V1=NV1 . 12,5= 23,9+11,2�.1,4.12,5=615 KN.cm

eiy,1=615

396=1,55 cm → ey,min = 2,70cm

eiy,1=9,02+2,70=11,72cm

g) Verificação dos efeitos de 2ª ordem

A força normal reduzida é igual a:

νd=Nd

Ac . fcd=

396

20.40.2,5

1,4

=0,28

• na direção z

λ1z=25+12,5 . e1z

hz=25+12,5.

5,17

20=28,3 →λ1z=35<48,44, com 35≤λ1≤90

λz>λ1z-e2z≠0

48


10 .

0,0055 νd+0,5�.hz=

2802

10.

0.0055 0,18+0,5�.20=3,17cm

ez,total= e1z+ e2z=5,17+3,17 = 8,34 cm

• na direção y

λ1y=25+12,5 . e1y

hy=25+12,5.

11,72

40=28,66=35 →λ1y=35, com 35≤λ1≤90

λy<λ1y-e2y=0

ey,total= e1y+ ey,min =e1y = 11,72cm

Figura 31 Situações de projeto e de cálculo para flexão reta composta Fonte: Adaptado de Bastos, 2005

h) Determinação da área da armadura

d'zhz

=4,0

20=0,2→Ábaco A - 4 (ANEXO C)

d'yhy

=4,0

40=0,1 → Ábaco A - 2 (ANEXO B)

νd=0,28

µz= νd.ez,total

hz=

0,35.8,34

20=0,14

ω = 0,19�µy=

νd.ey,total

hy=

0,35.11,72

40=0,10

ω�.� �

49

i) Determinação da área da armadura

As=ω.Ac.fcd

fyd=

0,18.20.40.2,5

1,450

1,15

=5,91 cm²�j) Valores limites para armaduras longitudinais de pilares

A's,min≥ 0,004.A'c=0,004.20.40=3,2 cm²�

A's,max= 0,08.A'c=0,08.15.40=48cm²�

Logo:3,2<5,91<48 (ok)

l) Armadura longitudinal

Nº de barras= A's

Areacomercial

Φ16.0↔ π.1,60²

4=2,01.4=8,04cm²

Areaefetiva=8,04cm²

Arranjo ↔*N1 = 4Φ16.0 � m) Detalhamento

Figura 32 - Detalhamento final do pilar P2

50


Dados:

fck=25 MPa

Aço CA50


Método de dimensionamento: Curvatura aproximada ou Pilar Padrão Simplificado

Por meio das reações obtidas através do modelo de viga contínua pode-se

determinar o esforço normal utilizando-se do somatório das reações das vigas V1 e

V4. O momento fletor que atua no pilar tem origem nas ligações com as viga V1 e

V4, gerando flexão no pilar nas duas direções, situação esta que denominamos de

flexão oblíqua composta.



b) O esforço normal de cálculo é:

Nd= γn.γf.Nk-hz=20 cm ↔ γn=1,00 (Tabela 4).

51

Nxd=1,00.1,4. 95,6+11,20�=150 KN�

c) Índice de esbeltez

λy=3,46 . lehy

=3,46 . 280

40= 24,22

λz=3,46 . lehz

=3,46 . 280

20= 48,44

d) Momentos na ligação viga-pilar

A rigidez do pilar no tramo superior e inferior é igual a:

• na direção z

rinf=rsup=6.E.I

le=

6.E.40.203

12.280=571.E

�• na direção y

rinf=rsup=6.E.I

le=

6.E.40³.20

12.280=2286.E�

A rigidez da viga é igual a:

rviga=4.E.I

lviga=

4.E.50³.15

12.550=1137.E�


Meng=q.l²

12=

11,6.5,5²

12 =29,3kN.m=2930kN.cm�


Meng=q.l²

12=

11,6.5,5²

12 =29,3kN.m=2930kN.cm�

Logo, os momentos fletores solicitantes no tramo superior e inferior é igual a:

52

• na direção z

Msup=Minf=Meng.+ rsup

rviga+rsup+rinf,=2930. 571.E

1137.E+571.E+571.E�=734 kN.cm�

• na direção y

Msup=Minf=Meng.+ rsup

rviga+rsup+rinf,=2930. 2286.E

1137.E+2286.E+2286.E�=1174 kN.cm�

e) Excentricidade inicial

• na direção z

eiz=Msup=Minf,d

Nd=

734.1,4

150=6,85cm �

• na direção y

eiy=Msup=Minf,d

Nd=

1174.1,4

150=10,96 cm �

�f) Excentricidade devido ao desvio do eixo da viga V1 com o eixo do pilar P1

(Figura 29):

M1y,V1=NV1 . 12,5= 23,9+11,2�.1,4.12,5=615 KN.cm

eiy,1=615

150=4,1 cm

eiy,total=4,1+10,96=15,06 cm

g) Excentricidade devido ao desvio do eixo da viga V4 com o pilar P1 (Figura

29):

M1y,V1=NV1 . 2,5= 23,9+11,2�.1,4.2,5=123 KN.cm

eiz,1=123

150=0,82 cm

eiz,total=0,82+6,85=7,67 cm

h) Excentricidade mínima

• na direção z

53

ez,min=1,5+0,03.hz=1,5+0,03.20=2,10 cm

• na direção y

ey,min=1,5+0,03.hy=1,5+0,03.40=2,70 cm

i) Verificação dos efeitos de 2ª ordem

νd=Nd

Ac . fcd=

150

20.40.2/01,4

=0,11

• na direção z

λ1z=25+12,5 . e1z

hz=25+12,5.

7,67

20=29,80 →λ1z=35<48,44, com 35≤λ1≤90

λz>λ1z-e2z≠0


10 .

0,0055 νd+0,5�.hz=

2802

10.

0.0055 0,11+0,5�.20=3,37cm�

ez,total= e1z+ e2z=7,67+ 3,37 =11,05 cm

• na direção y

λ1y=25+12,5 . e1y

hy=25+12,5.

15,06

40= 29,70 = 35 → λ1y= 35 < 24,22, com 35 ≤ λ1 ≤90

λy<λ1y-e2y= 0

ey,total= e1y,total =15,06 cm

Figura 34 Situações de projeto e de cálculo para flexão oblíqua Fonte: Adaptado de Bastos, 2005

54

j) Determinação da área da armadura (ANEXO A)

d'zhz

=4,0

20= 0,2

d'yhy

=4,0

40=0,1

νd=0,11

µz= νd.ez,total

hz=

0,11.11,05

20=0,06�

µy= νd.e1,total

hy=

0,11.15,06

40=0,04

Por interpolação:

P/ νd=0→ ω=0,17

P/ νd=0,11→ x

P/ νd=0,2→ ω=0,11

0,17-0,05

0-0,2=

x-0,05

0,11-0,2→ x=0,104

i) Determinação da área da armadura

As= ω.Ac.fcd

fyd=

0,104.20.40.2,5

1,450

1,15

=3,42 cm²

j) Valores limites para armaduras longitudinais de pilares

A's,min≥ 0,004.A'c=0,004.20.40=3,2 cm²�

A's,max= 0,08.A'c=0,08.20.40=64cm²�

Logo:3,2<3,42<64 (ok)

l) Armadura longitudinal

Φ12.5↔ π.1,25²

4=1,227.4=4,91cm²

Areaefetiva=4,91 cm²

Arranjo ↔*N1 = 4Φ12.5 �

55

m) Detalhamento

Figura 35 - Detalhamento final do pilar P1

56

5 ANÁLISE NUMÉRICA

Neste capítulo serão apresentadas as análises dos três tipos de pilares

apresentados na etapa anterior, focalizando a avaliação dos resultados obtidos a

partir do programa de análise secional aqui proposto.

A análise baseia-se na obtenção dos parâmetros de deformação da seção, a

partir dos quais são calculadas as tensões normais nos elementos de concreto e

aço, individualmente, levando-se em consideração a discretização utilizada. De

fato, fixando-se o terno de valores de serviço (Nx,Mz,My), definidos no processo de

dimensionamento e mostrados resumidamente na Tabela 5, obtém-se

iterativamente o terno (εcg,ψz ,ψy� que equilibra a seção e as correspondentes

deformações e tensões dos materiais envolvidos.

Figura 36 - Configuração de um pilar excêntrico ‘ Fonte: Notas de aula

De acordo com a Figura acima, os momentos fletores de serviço para

análise dos pilares P1 e P2 são respectivamente:

57

a) Esforços solicitantes de serviço do pilar P1

eP1,y,total=4,1+10,96=15,06 cm→15,06

1,4=10,76 cm

eP1,z,total= e1z+ e2z=6,67+ 3,37 =11,04 cm→11,04

1,4=7,89 cm

• NP1,x= 95,6+11,20�=107 KN�• MP1,y=NP1,x.eP1,y,total=107. 10,76= 1151KN.cm

• MP1,z=NP1,x.eP1,z,total=107 . 7,89= 844 KN.cm

b) Esforços solicitantes de serviço do pilar P2

eP2,z,total= e1z+ e2z=5,17+2,54 =7,71 cm

• NP2,x= 271+11,20�= 283 KN

• MP2,z=NP1,x.eP2,z,total=283 . 7,71=2182 KN.cm

Tabela 5 Resumo dos esforços solicitantes de serviço para análise

Pilar Esforço Normal Nx

(KN)

Momento Fletor Mz

(KN.cm)

Momento Fletor MY

(KN.cm)

P1 107 -844 1151

P2 283 2182 0

P5 754 0 0

58

5.1 ANÁLISE DO PILAR P5 – COMPRESSÃO CENTRADA SIMPLES

A seção do pilar P5 foi discretizada em elementos retangulares conforme

mostra a Figura 37.

Figura 37 Modelo adotado para o pilar P5 – Concreto Armado Fonte: Próprio autor

Na Tabela 7 foram apresentados os resultados obtidos com o programa,

para diversos valores de esforço normal de compressão atuando no pilar.

Como era de se esperar, tendo em vista a simetria da seção, para todos os

níveis de carga o programa determinou compressão uniforme para a seção, com os

dois parâmetros de rotação resultando nulos, estando todos os elementos

retangulares da seção sujeitos à mesma deformação linear específica. Nesse

sentido, foram então destacados dois elementos da seção, um associado à região

de concreto e outro a uma das armaduras de aço, para os quais são mostradas as

respectivas deformações e tensões, estas avaliadas sempre no centróide dos

elementos.

Na Tabela, focalizando-se o elemento de concreto constata-se o aspecto

não linear da resposta com o crescimento da carga, o que é confirmado na Figura

38, onde foram plotadas as tensões e deformações calculadas pelo programa para

o elemento de concreto.

59

Nas seções inteiramente comprimidas, como é o caso do pilar P5, a NBR

6118:2003 admite que o encurtamento da borda mais comprimida, na ocasião da

ruptura varia de 3,5 a 2‰. No entanto, percebe-se claramente na Tabela que a

armadura absorve parte do esforço solicitante, auxiliando o concreto a resistir ao

esforço normal. O intervalo de deformações variou de 0 a 0,874‰, contido na

região do domínio 5 que corresponde a reta b (reta uniforme).

Tabela 6 Análise do pilar P5 - Compressão Simples – Caso 5A

ANÁLISE DO PILAR P5 - COMPRESSÃO SIMPLES – Seção Concreto-Aço

Tolerância admitida no ciclo de iteração = 0,001

ELEMENTO 1 DE CONCRETO BARRA 1

NÍVEL DE CARGA Nx (KN) DEF. (‰) TENSÃO (KN.cm²) DEF.(‰) TENSÃO (KN.cm²) Nº ITERAÇÃO

0,1 75,4 0,036 0,076 0,036 0,756 2

0,2 150,8 0,073 0,152 0,073 1,533 2

0,3 226,2 0,110 0,228 0,110 2,310 2

0,4 301,6 0,148 0,303 0,148 3,108 2

0,5 377 0,187 0,379 0,187 3,927 2

0,6 452,4 0,226 0,453 0,226 4,746 3

0,7 527,8 0,266 0,528 0,266 5,586 3

0,8 603,2 0,307 0,600 0,307 6,447 3

0,9 678,6 0,348 0,675 0,348 7,308 4

1 754 0,391 0,749 0,391 8,211 4

1,1 829,4 0,433 0,822 0,433 9,093 4

1,2 904,8 0,478 0,894 0,478 10,038 4

1,3 980,2 0,523 0,966 0,523 10,983 5

1,4 1055,6 0,569 1,037 0,569 11,949 5

1,5 1131 0,617 1,108 0,617 12,957 5

1,6 1206,4 0,665 1,178 0,665 13,965 6

1,7 1281,8 0,715 1,248 0,715 15,015 6

1,8 1357,2 0,767 1,317 0,767 16,107 6

1,9 1432,6 0,819 1,385 0,819 17,199 7

2 1508 0,874 1,452 0,874 18,354 7


60

Figura 38 - Gráfico Tensão X Deformação – comparação entre os casos 5A e 5B para o elemento 1 de concreto. Fonte: Próprio autor

Visando testar a formulação foi apresentada uma situação hipotética (e

particular) onde a seção foi simulada sem a presença de armaduras de aço,

conforme representado na Figura 39.

Figura 39 Análise do Pilar P5 considerando a seção somente de concreto Fonte: Próprio autor

61

Os resultados obtidos com o programa foram registrados na Tabela 8 e

representados graficamente na Figura 39, para um elemento de concreto situado

na mesma região da seção de concreto armado anteriormente estudada:

Tabela 7 Análise do elemento 1 (hachurado) – Caso 5B

ANÁLISE DO ELEMENTO 1 DE CONCRETO (hachurado)

NÍVEL DE CARGA

ESFORÇO NORMAL

(KN) DEF. (‰) TENSÃO (KN.cm²) ITERAÇÃO

0,1 75,4 0,045 0,094 2

0,2 150,8 0,091 0,188 2

0,3 226,2 0,138 0,283 3

0,4 301,6 0,186 0,377 3

0,5 377 0,235 0,471 4

0,6 452,4 0,287 0,565 4

0,7 527,8 0,339 0,660 4

0,8 603,2 0,393 0,754 5

0,9 678,6 0,449 0,848 5

1 754 0,508 0,942 6

1,1 829,4 0,569 1,040 6

1,2 904,8 0,632 1,131 7

1,3 980,2 0,698 1,225 8

1,4 1055,6 0,769 1,320 9

1,5 1131 0,843 1,414 10

1,6 1206,4 0,922 1,508 11

1,7 1281,8 1,00 1,600 12

1,8 1357,2 1,10 1,690 13

1,9 1432,6 1,21 1,790 15

2 1508 1,33 1,890 18


Retirando o aço da seção pura de concreto (caso 5B), nota-se que nos

últimos níveis de carga o número de iteração tende a aumentar com o incremento

do carregamento (Tabela 8). Fica evidente que esse fato está relacionado a menor

resistência à compressão do concreto, frente ao aço. Porém, em se tratando do

carregamento de serviço (754kN) a deformação é de 0,508‰ e a tensão 0,942

KN/cm², valores bem abaixo dos limites propostos pela norma.

Outra observação, com base nas duas Tabelas anteriores, é que a

contribuição do aço é preponderante nos resultados, visto que no nível de carga 2 -

caso 5A a tensão atinge o valor de 1,452

concreto puro (caso 5B) nesse mesmo nível de carregame

de 1,89 KN/cm².

Vale ressaltar que para os casos acima, a quantidade de elementos de

concreto utilizada para d

encontrados, por se tratar o problema de compressão uniforme.

Para seções inteiramente comprimidas, mas sob compressão uniforme, o

encurtamento de ruptura do concreto cai para 2‰ (reta b,Figura 6 p.15).

seções inteiramente comprimidas, mas sob compressão uniforme, o encurtamento

de ruptura do concreto cai para 2‰ (reta b,Figura 6 p.15). Assim, analisando o

gráfico abaixo, observa-se que a quantidade de iteração está diretamente

associada a capacidade resist

valores (Nx, My, Mz), ou seja, quanto menor essa capacidade maior o esforço

computacional para encontrar a solução do sistema, uma vez que para o caso 5B

as deformações se aproximam do valor máximo admitido

explica os picos de iterações(Figura 40).

Figura 40 Número de iteração X Carga aplicada (compressão simples) Fonte: Próprio autor

Analisando agora os resultados apresentados para uma das barras

da seção de concreto armado (Tabela

Figura 41 mostra que o aço não alcançou seu patamar de escoamento, não sendo,

0

2

4

6

8

10

12

14

16

75,4

150

,8

226

,2

301

,6

377

452

,4

Nº

de

Iter

ação

a tensão atinge o valor de 1,452KN/cm², enquanto para a seção de

concreto puro (caso 5B) nesse mesmo nível de carregamento a tensão é da ordem


concreto utilizada para discretização da seção não afeta os resultados

encontrados, por se tratar o problema de compressão uniforme.


encurtamento de ruptura do concreto cai para 2‰ (reta b,Figura 6 p.15).

ções inteiramente comprimidas, mas sob compressão uniforme, o encurtamento


se que a quantidade de iteração está diretamente

associada a capacidade resistente da seção transversal em relação ao terno de



as deformações se aproximam do valor máximo admitido pela norma (2‰), o que

explica os picos de iterações(Figura 40).

Número de iteração X Carga aplicada (compressão simples)Fonte: Próprio autor

Analisando agora os resultados apresentados para uma das barras

ção de concreto armado (Tabela 6), a linearidade bem definida no gráfico da


452

,4

527

,8

603

,2

678

,6

754

829

,4

904

,8

980

,2

105

5,6

113

1

120

6,4

128

1,8

135

7,2

143

2,6

150

8

Carga (KN)

62

KN/cm², enquanto para a seção de

nto a tensão é da ordem


iscretização da seção não afeta os resultados


encurtamento de ruptura do concreto cai para 2‰ (reta b,Figura 6 p.15). Para

ções inteiramente comprimidas, mas sob compressão uniforme, o encurtamento


se que a quantidade de iteração está diretamente

ente da seção transversal em relação ao terno de



pela norma (2‰), o que

Número de iteração X Carga aplicada (compressão simples)

Analisando agora os resultados apresentados para uma das barras de aço

), a linearidade bem definida no gráfico da


CASO 5A

CASO 5B

63

portanto, aproveitado na sua totalidade. A máxima tensão obtida nesse caso foi de

18,354 KN/cm², bem abaixo da sua correspondente (minorada) de cálculo

50KN/cm²/1,15 = 43,48KN/cm². Todavia pode, entre outros casos, ser utilizado

para proteção contra a flambagem e juntamente com o concreto atuar no sentido

de resistir aos esforços de compressão, porém sem escoamento na região

comprimida.

Figura 41 Gráfico Tensão X Deformação da Barra 1 Fonte: Próprio autor

64

5.2 ANÁLISE DO PILAR P2 – FLEXÃO COMPOSTA RETA

Seguindo a metodologia empregada na análise do pilar anterior,

apresenta-se na Figura 42 a discretização escolhida para representar a seção de

concreto armado do pilar P2, sujeito à flexão composta plana. Como se vê, trata-se

de uma discretização bastante pobre de elementos de concreto. Na Tabela 8 estão

listados os resultados obtidos com o programa para dois dos elementos de

concreto e para dois elementos associados às armaduras superior e inferior da

seção, para diversos patamares do carregamento combinado (força e momento).

Além disso, visando fazer um estudo do efeito do refinamento da malha de

elementos retangulares, sobre a resposta do pilar em estudo, foram apresentadas

mais duas simulações para o problema ampliando-se o número de elementos de

concreto, conforme Figuras 43 e 44 e as respectivas Tabelas 9 e 10.

Figura 42 Análise do Pilar P2 - 12 camadas de concreto - Caso 5C Fonte: Próprio autor

65

Tabela 8 Valores de tensão e deformação máximos para o concreto e aço - 12 camadas de concreto – Caso 5C

ANÁLISE DO PILAR P2 - FLEXÃO COMPOSTA RETA – CASO 5C

ESFORÇOS ELEMENTO DE CONCRETO BARRA 1 Ø 10.0 BARRA 4 Ø 16.0

1 12 Compressão Tração

NÍVEL DE CARGA Nx (KN)

Mz (KN.cm) DEF. (‰)

TENSÃO (KN/cm²) DEF. (‰) DEF. (‰)

TENSÃO(KN/cm²)

TENSÃO(KN/cm²) DEF. (‰)

Nº DE ITER.

0,1 28,3 218,2 0,031 0,066 0,015 0,029 0,61 0,015 0,001 2

0,2 56,6 436,4 0,063 0,130 0,030 0,058 1,23 0,028 0,001 2

0,3 84,9 654,6 0,095 0,197 0,045 0,088 1,856 0,041 0,002 3

0,4 113,2 872,8 0,127 0,260 0,060 0,118 2,488 0,052 0,003 3

0,5 141,5 1091 0,160 0,326 0,076 0,149 3,128 0,063 0,003 3

0,6 169,8 1309,2 0,193 0,390 0,092 0,180 3,775 0,073 0,004 4

0,7 198,1 1527,4 0,226 0,454 0,107 0,211 4,43 0,081 0,004 4

0,8 226,4 1745,6 0,260 0,517 0,123 0,241 5,09 0,088 0,004 4

0,9 254,7 1963,8 0,295 0,580 0,139 0,275 5,77 0,094 0,005 4

1 283 2182 0,330 0,640 0,156 0,307 6,447 0,099 0,005 5

1,1 311,3 2400,2 0,365 0,705 0,172 0,340 7,137 0,100 0,005 5

1,2 339,6 2618,4 0,400 0,766 0,189 0,373 7,837 0,104 0,005 5

1,3 367,9 2836,6 0,437 0,827 0,206 0,407 8,547 0,104 0,005 5

1,4 396,2 3054,8 0,474 0,927 0,220 0,441 9,267 0,103 0,005 6

1,5 424,5 3273 0,511 0,948 0,240 0,476 9,998 0,099 0,005 6

1,6 452,8 3491,2 0,549 1,000 0,258 0,511 10,74 0,095 0,004 6

1,7 481,1 3709,4 0,588 1,065 0,276 0,547 11,49 0,088 0,004 6

1,8 509,4 3927,6 0,627 1,124 0,294 0,584 12,26 0,080 0,004 7

1,9 537,7 4145,8 0,667 1,181 0,312 0,621 13,04 0,068 0,003 7

2 566 4364 0,708 1,238 0,330 0,658 13,83 0,056 0,002 7 Fonte: Próprio autor

Figura 43 - Análise do Pilar P2 - 48 camadas de concreto - Caso 5D Fonte: Próprio Autor

66

Tabela 9 Valores de tensão e deformação máximos para o concreto e aço p/ 48 camadas de concreto – Caso 5D

ANÁLISE DO PILAR P2 - FLEXÃO COMPOSTA RETA – CASO 5D


1 48 Compressão Compressão

NÍVEL DE

CARGA Nx (KN) Mz

(KN.cm) DEF. (‰) TENSÃO (KN/cm²)

DEF. (‰) DEF. (‰)

TENSÃO (KN/cm²)

TENSÃO (KN/cm²) DEF. (‰)

Nº DE ITER.

0,1 28,3 218,2 0,031 0,058 0,000 0,028 0,580 0,047 0,002 2

0,2 56,6 436,4 0,061 0,120 0,000 0,055 1,170 0,094 0,004 2

0,3 84,9 654,6 0,090 0,194 -0,002 0,084 1,770 0,140 0,007 3

0,4 113,2 872,8 0,120 0,258 -0,004 0,110 2,370 0,180 0,009 3

0,5 141,5 1091 0,160 0,322 -0,005 0,140 2,980 0,230 0,010 3

0,6 169,8 1309,2 0,190 0,380 -0,006 0,170 3,590 0,275 0,013 4

0,7 198,1 1527,4 0,223 0,450 -0,007 0,200 4,220 0,319 0,015 4

0,8 226,4 1745,6 0,256 0,510 -0,008 0,230 4,850 0,360 0,017 4

0,9 254,7 1963,8 0,290 0,570 -0,009 0,261 5,490 0,400 0,019 4

1 283 2182 0,321 0,634 -0,011 0,290 6,140 0,447 0,021 5

1,1 311,3 2400,2 0,359 0,695 -0,012 0,323 6,790 0,490 0,023 5

1,2 339,6 2618,4 0,395 0,756 -0,014 0,355 7,460 0,530 0,025 5

1,3 367,9 2836,6 0,430 0,816 -0,016 0,387 8,130 0,570 0,027 5

1,4 396,2 3054,8 0,470 0,870 -0,018 0,420 8,820 0,607 0,029 6

1,5 424,5 3273 0,503 0,930 -0,020 0,450 9,510 0,644 0,030 6

1,6 452,8 3491,2 0,531 1,003 -0,020 0,476 10,021 0,699 0,033 6

1,7 481,1 3709,4 0,565 1,065 -0,021 0,506 10,658 0,742 0,035 6

1,8 509,4 3927,6 0,599 1,128 -0,023 0,537 11,295 0,785 0,036 7

1,9 537,7 4145,8 0,657 1,170 -0,029 0,590 12,400 0,780 0,037 7

2 566 4364 0,697 1,220 -0,032 0,626 13,150 0,810 0,039 7 Fonte: Próprio autor

Figura 44 - Análise do Pilar P2 - 808 camadas de concreto - Caso 5E Fonte: Próprio autor

67

Tabela 10 Valores de tensão e deformação máximos para o concreto e aço p/ 808 camadas de concreto – Caso 5E

ANÁLISE DO PILAR P2 - FLEXÃO COMPOSTA RETA – CASO 5E


1 808 Compressão Compressão

NÍVELDE CARGA Nx (KN) Mz (KN.cm) DEF. (‰)

TENSÃO (KN/cm²) DEF. (‰) DEF. (‰)

TENSÃO (KN/cm²)


Nº DE ITER.

0,1 28,3 218,2 0,031 0,065 -0,001 0,028 0,583 0,047 0,002 2

0,2 56,6 436,4 0,062 0,130 -0,002 0,056 1,170 0,094 0,005 2

0,3 84,9 654,6 0,095 0,194 -0,003 0,084 1,767 0,141 0,007 3

0,4 113,2 872,8 0,125 0,259 -0,004 0,113 2,369 0,187 0,009 3

0,5 141,5 1091 0,158 0,322 -0,005 0,142 2,978 0,232 0,011 3

0,6 169,8 1309,2 0,191 0,386 -0,007 0,171 3,594 0,277 0,013 4

0,7 198,1 1527,4 0,224 0,449 -0,008 0,200 4,218 0,321 0,015 4

0,8 226,4 1745,6 0,231 0,512 -0,009 0,231 4,849 0,365 0,017 4

0,9 254,7 1963,8 0,292 0,574 -0,010 0,261 5,488 0,408 0,019 4

1 283 2182 0,326 0,636 -0,012 0,292 6,130 0,450 0,021 5

1,1 311,3 2400,2 0,361 0,697 -0,014 0,323 6,792 0,490 0,023 5

1,2 339,6 2618,4 0,396 0,758 -0,016 0,355 7,457 0,530 0,025 5

1,3 367,9 2836,6 0,432 0,819 -0,018 0,387 8,130 0,570 0,027 5

1,4 396,2 3054,8 0,459 0,879 -0,020 0,420 8,815 0,611 0,029 6

1,5 424,5 3273 0,505 0,938 -0,022 0,452 9,508 0,649 0,031 6

1,6 452,8 3491,2 0,543 0,997 -0,024 0,486 10,210 0,685 0,033 6

1,7 481,1 3709,4 0,581 1,055 -0,026 0,520 10,928 0,720 0,034 6

1,8 509,4 3927,6 0,619 1,113 -0,029 0,555 11,656 0,755 0,036 7

1,9 537,7 4145,8 0,659 1,169 -0,031 0,590 12,395 0,788 0,038 7

2 566 4364 0,699 1,226 -0,034 0,626 13,147 0,820 0,039 7 Fonte: Próprio autor

A comparação entre os resultados fornecidos pelas Tabelas 8 a 10 revela

que, diferentemente dos casos 5D e 5E, o caso 5C (de discretização pobre) foi o

único que determinou compressão na última camada de concreto (situada na fibra

inferior). Em relação à região tracionada (fibra inferior), de acordo com a

formulação, quanto mais próxima for o centróide da camada de concreto (Tabela

11) em relação ao centro de gravidade menor será a capacidade da camada

rotacionar e gerar a tração necessária para equilibrar a seção. Assim, como o

esforço de compressão é preponderante na seção, a camada tende a se comportar

de forma comprimida, ficando evidente que com a melhoria da discretização da

seção, o comportamento da camada passa a ser tracionado (casos 5D e 5E).

68

Para que o aço atinja seu alongamento máximo, é necessário que a seção

seja solicitada por tensões de tração capazes de produzir na armadura uma

deformação específica da ordem de 1%. Observa-se em todos os casos que o aço

em estudo (barra4) não absorve a tração gerada nas camadas de concreto

imediatamente abaixo, o que de acordo com a hipótese da solidariedade dos

materiais concreto e aço, garante que a deformação em cada barra da armadura

seja igual à do concreto que lhe é adjacente. Todavia, o programa atém-se as

análises de maneira individual, efetuando as leituras de cada material de acordo

com suas propriedades, tais como módulo de elasticidade secante e resistência à

compressão e tração (aço).

Para o caso 5C, conforme a Tabela 8, na medida em que há acréscimos de

carga, a barra 4, juntamente com o concreto, absorvem os esforços de compressão

até 1,5 da carga de serviço, resistindo-os com folga. A partir deste passo, começa-

se um decréscimo nos valores de deformação, indicando que para certo nível de

carregamento passa-se a ter um comportamento de natureza tracionada, ou seja,

com a evolução do carregamento as fissuras caminham no sentido do elemento

mais tracionado ao centro de gravidade da seção, onde o aço atua com o objetivo

de conter esse avanço de fissuras, proporcionando um aumento na tensão da

armadura com ou sem escoamento (regime de tração).

Tabela 11 Área e coordenada centroidal Yc do elemento de concreto de máxima tração como função da discretização da seção

Camada de concreto Área Centróide (Yc)

12 69 cm² -12,70 cm

808 0,32 cm² -19,99 cm

48 6,4 cm² -19,84 cm


Ainda analisando o elemento retangular de concreto na seção, foram

plotadas as curvas tensão X deformação (Figura 45) obtidas para os três níveis de

discretização estudados. Da observação dessas curvas conclui-se que os valores

69

para deformações e tensões foram muito próximos entre si, com um desvio

superior mínimo de 2% para a seção com discretização mais pobre.

Figura 45 Gráfico Tensão X Deformação máxima na compressão entre os diferentes níveis de discretização da camada 1. Fonte: Próprio autor

Destaca-se ainda, na Figura 45, que a deformação específica máxima para

o concreto está bem abaixo (0,708E-03 cm/cm ou 0,708‰, Caso 5C) do máximo

permitido pela norma (3,5‰), resistindo com folga as solicitações externas e,

consequentemente, garantindo a segurança da estrutura.

70

Figura 46 Gráfico Tensão X Deformação da barra de aço 1 Fonte: Próprio autor

Voltando-se para o comportamento previsto pelo programa para o aço, vê-

se que não escoa, conforme ilustra graficamente a Figura 46. Comparando os

resultados com a norma, em todos eles a deformação da barra 4 situa-se na região

do domínio 4a, flexão composta com armadura comprimida, contrariando os

cálculos de dimensionamento que foram desenvolvidos no domínio 3. Já o concreto

está situada na região do domínio 2 sem ruptura à compressão, conforme

elucidado na Figura 47.

Figura 47 Comparação entre os valores máximos de deformação da NBR 6118:encontrados neste trabalho. Fonte: Próprio autor

Por fim, a quantidade de iterações nas análises do presente pila

apresentou um crescimento suave com o acréscimo de carga, observando

que a discretização não afetou esse número de iterações (ver Figura 4

Figura 48 - Número de iteração X Carga aplicada (flexão composta plana) Fonte: Próprio autor

0

1

2

3

4

5

6

7

28,3 84,9 141,5 198,1

Nº

de

Iter

ação

Comparação entre os valores máximos de deformação da NBR 6118:encontrados neste trabalho. Fonte: Próprio autor

Por fim, a quantidade de iterações nas análises do presente pila

apresentou um crescimento suave com o acréscimo de carga, observando

não afetou esse número de iterações (ver Figura 4

Número de iteração X Carga aplicada (flexão composta plana)Fonte: Próprio autor

198,1 254,7 311,3 367,9 424,5 481,1 537,7

Carga (KN)

12 elementos

48 elementos

808 elementos

71

Comparação entre os valores máximos de deformação da NBR 6118:2003 e os

Por fim, a quantidade de iterações nas análises do presente pilar,

apresentou um crescimento suave com o acréscimo de carga, observando-se ainda

não afetou esse número de iterações (ver Figura 48).

Número de iteração X Carga aplicada (flexão composta plana)

12 elementos

48 elementos

808 elementos

72

5.3 ANÁLISE DO PILAR P1 – FLEXÃO OBLÍQUA COMPOSTA

Para o pilar P1, submetido a flexão oblíqua composta, foram concebidas três

discretizações da seção, em função da quantidade de elementos retangulares de

concreto, conforme representado nas Figuras 49 a 51. Nas Tabelas 12 a 14 foram

registradas as respostas computacionais para elementos de concreto e de aço,

para diversos níveis de carregamento combinado (força e os dois momentos). A

escolha das armaduras 3 e 2, sob solicitações distintas (tração e compressão), foi

proposital visando um enriquecimento das análises efetuadas.

Figura 49 - Análise do Pilar P1 - 25 elementos discretizados - Caso 5F Fonte: Próprio autor

73

Tabela 12 Valores de tensão e deformação para o concreto e aço - 25 elementos discretizados

ANÁLISE DO PILAR P2 - FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA – CASO 5F

ESFORÇOS ELEMENTO DE CONCRETO BARRA 2 BARRA 3


NÍVELDE CARGA

Nx (KN)

Mz (KN.cm)

My (KN.cm) DEF. ( ‰)

TENSÃO (KN/cm²) DEF. ( ‰) DEF. (‰)


TENSÃO (KN/cm²)

Nº DE ITER

0,1 10,7 -84,4 115,1 0,036 0,060 -0,067 0,026 0,539 -0,057 -1,195 729

0,2 21,4 -168,8 230,2 0,072 0,119 -0,134 0,052 1,086 -0,114 -2,397 439

0,3 32,1 -253,2 345,3 0,108 0,179 -0,202 0,078 1,641 -0,172 -3,606 319

0,4 42,8 -337,6 460,4 0,145 0,238 -0,270 0,105 2,205 -0,230 -4,822 251

0,5 53,5 -422 575,5 0,183 0,296 -0,338 0,132 2,777 -0,288 -6,040 208

0,6 64,2 -506,4 690,6 0,221 0,357 -0,407 0,160 3,359 -0,346 -7,276 177

0,7 74,9 -590,8 805,7 0,259 0,412 -0,477 0,188 3,95 -0,405 -8,515 154

0,8 85,6 -675,2 920,8 0,299 0,469 -0,547 0,217 4,550 -0,465 -9,761 136

0,9 96,3 -759,6 1036 0,338 0,527 -0,617 0,246 5,163 -0,525 -11,017 121

1 107 -844 1151 0,379 0,583 -0,688 0,276 5,786 -0,585 -12,280 109

1,1 117,7 -928,4 1266 0,420 0,639 -0,760 0,306 6,420 -0,645 -13,555 99

1,2 128,4 -1013 1381 0,462 0.694 -0,832 0,337 7,067 -0,797 -14,839 91

1,3 139,1 -1097 1496 0,504 0,749 -0,905 0,368 7,727 -0,768 -16,130 83

1,4 149,8 -1182 1611 0,548 0,804 -0,978 0,400 8,400 -0,830 -17,437 76

1,5 160,5 -1266 1727 0,592 0,858 -1,050 0,433 9,089 -0,893 -18,750 71

1,6 171,2 -1350 1842 0,637 0,911 -1,113 0,466 9,790 -0,956 -20,080 65

1,7 181,9 -1435 1957 0,683 0,963 -1,202 0,500 10,510 -1,020 -21,420 61

1,8 192,6 -1519 2072 0,730 1,020 -1,279 0,536 11,250 -1,084 -22,414 56

1,9 203,3 -1604 2187 0,778 1,060 -1,356 0,572 12 -1,150 -22,770 52

2 214 -1688 2302 0,828 1,116 -1,435 0,609 12,785 -1,215 -25,527 49 Fonte: Próprio autor

Figura 50 - Análise do Pilar P1 - 100 elementos discretizados - Caso 5G Fonte: Próprio autor

74


ANÁLISE DO PILAR P2 - FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA – CASO 5G



NÍVELDE CARGA

Nx (KN)

Mz (KN.cm)


TENSÃO (KN/cm²) DEF. ( ‰) DEF. (‰)

TENSÃO (KN/cm²) DEF. ( ‰)

TENSÃO (KN/cm²)

Nº DE ITERAÇÃO

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0,1 10,7 -84,4 115,1 - - - - - - - -

0,2 21,4 -168,8 230,2 - - - - - - - -

0,3 32,1 -253,2 345,3 - - - - - - - -

0,4 42,8 -337,6 460,4 - - - - - - - -

0,5 53,5 -422 575,5 - - - - - - - -

0,6 64,2 -506,4 690,6 - - - - - - - -

0,7 74,9 -590,8 805,7 1,11 1,367 -1,178 0,011 0,236 -0,074 -1,565 53

0,8 85,6 -675,2 920,8 - - - - - - - -

0,9 96,3 -759,6 1035,9 0,799 1,087 -0,896 0,077 1,624 -0,174 -3,654 136

1 107 -844 1151 0,825 1,11 -0,908 0,100 2,153 -0,185 -3,890 154

1,1 117,7 -928,4 1266,1 1,050 1,310 -1,230 0,081 1,700 -0,262 -5,500 103

1,2 128,4 -1012,8 1381,2 1,070 1,335 -1,240 0,107 2,250 -0,273 -5,737 109

1,3 139,1 -1097,2 1496,3 1,100 1,358 -1,255 0,135 2,830 -0,287 -6,030 115

1,4 149,8 -1181,6 1611,4 0,911 1,190 -1,120 0,205 4,300 -0,422 -8,860 104

1,5 160,5 -1266 1726,5 0,953 1,230 -1,170 0,235 4,494 -0,458 -9,613 106

1,6 171,2 -1350,4 1841,6 - - - - - - - -

1,7 181,9 -1434,8 1956,7 1,080 1,340 -1,370 0,274 5,765 -0,564 -11,858 99

1,8 192,6 -1519,2 2071,8 0,835 1,120 -1,320 0,529 11,110 -1,020 -21,430 63

1,9 203,3 -1603,6 2186,9 0,891 1,177 -1,408 0,565 11,860 -1,080 -22,736 55


Figura 51 Análise do Pilar P1 - 400 elementos discretizados - Caso 5H Fonte: Próprio autor

75


ANÁLISE DO PILAR P2 - FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA – CASO 5H



NÍVELDE CARGA

Nx (KN)

Mz (KN.cm)


TENSÃO(KN/cm²) DEF. ( ‰) DEF.(‰)

TENSÃO(KN/cm²) DEF. ( ‰)

TENSÃO(KN/cm²)

Nº DE ITER.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0,1 10,7 -84,4 115,1 - - - - - - - -

0,2 21,4 -168,8 230,2 - - - - - - - -

0,3 32,1 -253,2 345,3 - - - - - - - -

0,4 42,8 -337,6 460,4 0,849 1,137 -0,916 0,018 -0,374 0,049 -1,020 92

0,5 53,5 -422 575,5 1,081 1,340 -1,190 0,027 -0,566 -0,082 -1,712 52

0,6 64,2 -506,4 690,6 0,850 1,138 -0,916 0,016 -0,334 -0,082 -1,720 82

0,7 74,9 -590,8 805,7 - - - - - - - -

0,8 85,6 -675,2 920,8 1,068 1,330 -1,190 0,025 0,524 -0,149 -3,125 110

0,9 96,3 -759,6 1035,9 - - - - - - - -

1 107 -844 1151 - - - - - - - -

1,1 117,7 -928,4 1266,1 0,951 1,230 -1,052 0,115 2,408 -0,216 -4,530 156

1,2 128,4 -1012,8 1381,2 1,110 1,367 -1,280 0,108 2,270 -0,274 -5,747 112

1,3 139,1 -1097,2 1496,3 - - - - - - - -

1,4 149,8 -1181,6 1611,4 1,086 1,344 -1,266 0,176 3,689 -0,357 -7,492 101

1,5 160,5 -1266 1726,5 - - - - - - - -

1,6 171,2 -1350,4 1841,6 1,200 1,428 -1,439 0,218 4,468 -0,455 -9,572 123

1,7 181,9 -1434,8 1956,7 1,159 1,399 -1,438 0,269 5,640 -0,548 -11,509 112

1,8 192,6 -1519,2 2071,8 1,206 1,430 -1,492 0,300 6,350 -0,589 -12,370 105

1,9 203,3 -1603,6 2186,9 1,140 1,385 -1,518 0,382 8,020 -0,760 -15,970 77


Em relação ao caso 5H, a quantidade de elementos de concreto

comprimidos e tracionados alterava a cada passo, de modo que quanto maior o

carregamento aplicado maior era a quantidade de elementos tracionados e mais

inclinada era a linha neutra (Figura 52).

76

Figura 52 - Configuração dos elementos de concreto monitorados pelo programa – caso 5H Fonte: Próprio autor

Outro fenômeno que ocorreu durante as análises refere-se à divergência

no ciclo de iteração durante o processamento do programa. As Tabelas 13 e 14

permitem visualizar a carência de resultados para certos níveis de tensão, sejam

estes baixos ou altos. Durante o ciclo é comum que a matriz de rigidez tenha uma

tendência decrescente, já que à medida que a seção é solicitada há elementos de

concreto comprimidos e tracionados. Assim, como é desprezada a contribuição do

concreto na tração (σci= Ecis .εci . �, retira-se da integração numérica o módulo de

elasticidade desse elemento, reduzindo a rigidez e buscando o equilíbrio da seção.

Para os casos 5G e 5H, durante o monitoramento do ciclo iterativo percebeu-se

que para estes carregamentos a quantidade de elementos de concreto tracionados

não foi suficiente para a solução do problema. Destarte, faz-se necessário que o

usuário teste várias discretizações, de maneira que se possa atender ao critério de

convergência da solução.

Uma análise intrínseca aos problemas de flexão oblíqua baseia-se no

comportamento concomitante dos momentos fletores. No quadrante mais solicitado

na tração (inferior esquerdo) My e Mz vão atuar de tal forma que nessa região as

solicitações de tração podem fazer com que a seção não encontre equilíbrio. Isso

explica os valores não preenchidos nos casos 5H e 5G, posto que como o nível de

discretização é maior, as coordenadas centroidais dos elementos ficam mais

próximas da borda mais tracionada da seção, gerando esforços de tração maiores

em relação à seção com pequena discretização (ver Tabela 15) e, portanto não

encontrando uma solução de equilíbrio.

Tabela 15 Comparação entre os elementos mais tracionados

Casos

5F – 25 elementos5G – 100 elementos5H – 400 elementos

Fonte: Próprio Autor

Ao contrário das análises dos casos anteriores

se revelou mais rica em detalhes e dificuldades

para o número de iterações, ocorrendo picos já nos primeiros passos de carga,

quando se utiliza carregam

discretização.Observou-se ainda que a

sofreu uma espécie de alternância nos valores

espécie de sensibilidade nos r

combinação de ações simultâneas entre os ternos de

53).

Figura 53 Número de iteração X Carga aplicada (flexão oblíqua composta) Fonte: Próprio autor

As Figuras 54 e 55

estado de tensões da seção em relação aos diferentes níveis de discretização. Os

valores maiores de tensões para os casos 5F e 5G em relação ao caso 5H foi

0

100

200

300

400

500

600

700

800

10,7 32,1 53,5

Nº

de

Iter

ação

Comparação entre os elementos mais tracionados

Deformação do elemento mais tracionado (Passo 2)

25 elementos -1,435E-03 100 elementos -1,491E-03 400 elementos -1,593E-03

óprio Autor

Ao contrário das análises dos casos anteriores, a flexão oblíqua

se revelou mais rica em detalhes e dificuldades, como constatado


quando se utiliza carregamentos inferiores ao de serviço, e com níveis baixos de

se ainda que a seção com mais elementos discretizados

de alternância nos valores de iteração, demonstrando uma

sensibilidade nos resultados para a flexão oblíqua, em face da

combinação de ações simultâneas entre os ternos de esforços solicitantes(Figura

úmero de iteração X Carga aplicada (flexão oblíqua composta)Fonte: Próprio autor

permitem solucionar algumas questões relacionadas ao



74,9 96,3 117,7 139,1 160,5 181,9 203,3

Carga (KN)

400 elementos

25 elementos

100 elementos

77

, a flexão oblíqua composta

como constatado por exemplo


entos inferiores ao de serviço, e com níveis baixos de

seção com mais elementos discretizados

demonstrando uma

esultados para a flexão oblíqua, em face da

esforços solicitantes(Figura

úmero de iteração X Carga aplicada (flexão oblíqua composta)

permitem solucionar algumas questões relacionadas ao



400 elementos

25 elementos

100 elementos

interpretado da seguinte forma: como os elementos de concreto são maiores e,

portanto, envolvem um espaço maior na seção transversal, com a “retirada” dos

elementos tracionados na

absorver uma maior área tracionada, passando

resistência à tração, o que explica também o porquê do maior valor de compressão

na barra 2. De acordo com as equações de equilíbrio

aumento na tração da barra 3 é necessário que a resistência à compressão da

barra 2 acompanhe o aumento daquela, forçando o equilíbrio.

Figura 54 Fonte: Próprio autor

Figura 55 - Fonte: Próprio autor

-30,000

-25,000

-20,000

-15,000

-10,000

-5,000

0,000

107

117,

7

Ten

são

KN

/cm

²

0,000

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

107

117

,7

Ten

são

KN

/cm

²



elementos tracionados na formulação, a armadura estudada (barra 3) tende a

absorver uma maior área tracionada, passando-a a exigir mais em termos de


na barra 2. De acordo com as equações de equilíbrio da seção, para compensar o


barra 2 acompanhe o aumento daquela, forçando o equilíbrio.

54 - CargaXTensão de tração da armadura 3 Fonte: Próprio autor

CargaXTensão de compressão da armadura 2 Fonte: Próprio autor

117,

7

128,

4

139,

1

149,

8

160,

5

171,

2

181,

9

192,

6

203,

3

214

Carga (KN)

400 elementos

25 elementos

100 elementos

128

,4

139

,1

149

,8

160

,5

171

,2

181

,9

192

,6

203

,3

214

Carga (KN)

400 elementos

25 elementos

100 elementos

78



formulação, a armadura estudada (barra 3) tende a

a a exigir mais em termos de


da seção, para compensar o


400 elementos

25 elementos

100 elementos

400 elementos

25 elementos

100 elementos

79

6 CONCLUSÃO

De acordo com os capítulos precedentes, foi possível fazer uma previsão do

comportamento de pilares de concreto armado, através de uma análise secional,

considerando relações constitutivas mais realísticas para os materiais da seção,

que aquelas previstas pela Lei de Hooke Generalizada. Além disso, foi possível

comparar essa previsão do comportamento com o estabelecido nos critérios de

dimensionamento estabelecidos na NBR 6118:2003. Cabe ressaltar aqui que isso

foi possível mediante a utilização de uma ferramenta computacional desenvolvida

para possibilitar a resolução do sistema de equações não lineares de equilíbrio,

resultante do modelo físico-matemático escolhido para efetuar a análise secional

de pilares sob flexão composta oblíqua. Entretanto, as conclusões obtidas neste

trabalho foram:

Os coeficientes de segurança revelam um certo conservadorismo frente a

análise não linear.

Diferenças nos níveis de discretização para cada caso específico, implica

no ganho comportamental dos materiais (mais realístico);

Resultados coerentes encontrados com atendimento do equilíbrio da

seção.

Dificuldade na previsão do comportamento do pilar sob flexão oblíqua

composta, provavelmente pela proximidade dos elementos de concreto em relação

a borda mais tracionada da seção.

Por fim, apresentam-se a seguir algumas sugestões para trabalhos futuros:

• Efetuar o dimensionamento da seção com relação às três posições

indicadas no ábaco abaixo, listadas como posição 1 (seção dimensionada

com segurança, porém com excesso de material (concreto ou aço)), posição

2 (correspondente à condição limite de segurança) e a posição 3 (seção

fora dos limites de segurança) e em seguida analisar o seu comportamento

através do método secante de iteração.

80

Figura 56 - Ábaco para flexão composta oblíqua Fonte: Vanderlei, 2008

• Montar um banco de entrada de dados das demais seções, tais como

seções circulares, trapezoidais, L, T, etc., e analisá-las utilizando este

método;

• Testar a eficiência do método tangente de iteração;

• Incluir na formulação numérica o comportamento real do concreto através

do estudo experimental proposto por AHMAD (1999) e comparar com as

análises encontradas no presente trabalho;

• Reproduzir as análises para os aços Classe B.

81

REFERÊNCIAS

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VENTURINI, W. S.; RODRIGUES, R. O. (1987) Dimensionamento de peças

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84

ANEXO A – Ábaco para flexão oblíqua composta (PINHEIRO,1994)

85

ANEXO B – Ábaco A-2 para flexão reta composta(VENTURINI, 1987)

86

ANEXO C – Ábaco A-4 para flexão reta composta (VENTURINI, 1987)

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA - UEFS ...civil.uefs.br/DOCUMENTOS/CLEBERSON QUEIROZ DO VALE.pdf · Figura 42 Análise do Pilar P2 - 12 camadas de concreto - Caso 5C