UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLOGICAS

PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM FISICA - PROFISICA

Estudo Analıtico de uma Memoria Quantica em Cavidade

Jefferson Lira SantosIlheus - Bahia

2017

JEFFERSON LIRA SANTOS

Estudo Analıtico de uma Memoria Quantica em Cavidade

Dissertacao apresentada ao Programa dePos-Graduacao em Fısica da Universi-dade Estadual de Santa Cruz, como partedos criterios para obtencao do tıtulo deMestre em Fısica.

Orientador: Prof. Dr. Jose GeraldoGoncalves de Oliveira Junior.

Ilheus - Bahia2017

S237 Santos, Jefferson Lira.

Estudo analítico de uma memória quântica em cavidade / Jefferson Lira Santos. – Ilhéus, BA: UESC, 2017.

vii, 93 f. : il. Orientador: José Geraldo G. de Oliveira Júnior. Dissertação (Mestrado)- Universidade Estadual de Santa Cruz. Programa de Pós-Graduação em Física. Inclui referências e apêndice.

1. Eletrodinâmica quântica. 2. Memória quântica. 3. Sistemas quânticos. I. Título.

CDD 530.143

“Uma ideia e como um vırus. Resistente e altamentecontagioso. A menor semente de uma ideia pode crescerpara definir ou destruir voce. As menores ideias, umsimples pensamento que pode mudar tudo.”

(Filme - A origem)

A minha famılia.

Agradecimentos

Primeiramente, gostaria de agradecer ao professor Jose Geraldo pela orientacao e deso-rientacao, pela motivacao e por mostrar que nem tudo sao flores, pelos conselhos (que asvezes pareciam ser puxoes de orelha), pelo cafe (que nunca bebi). Isto e, agradeco-o pelaamizade, que tornou o ambiente de trabalho muito mais agradavel e produtivo, contribuindopara minha formacao e tornando-me um profissional melhor.

A minha querida famılia, em especial minha mae Gedalva, meus irmaos Jadilson, Gessikae Giselle, meus cunhados Gilmar e Thalita. A voces, que mesmo distantes fisicamente sempreme apoiaram a cada passo tomado, deixo meus mais profundos agradecimentos que muitasvezes nao deixei transparecer. A minha bela e recatada esposa a qual tenho imensuraveladmiracao, nao tenho palavras para expressar tamanha gratidao pelo seu amor, carinho, pre-senca, incentivo e compreensao do convıvio familiar sacrificado nos ultimos anos.

Aos meus amigos e aos professores que contribuıram de alguma forma para minha formacao,tanto pessoal como profissional, deixo aquele abraco que expressa uma profunda gratidao.

Ao programa de Pos-Graduacao em Fısica, agradeco pela oportunidade. Este trabalhofoi financiado pela Fundacao de Amparo a Pesquisa do Estado da Bahia, FAPESB.

i

Resumo

Neste trabalho estudamos analiticamente experimentos tıpicos de eletrodinamica quanticade cavidades. Em seguida, propomos dois procedimentos (o primeiro por meio de um kickde fase quase instantaneo aplicado em nosso atomo, e o segundo por meio de interacoesressonates e disperssivas controladas) que preservam um qubit dos efeitos de decaimento deuma memoria quantica imperfeita. Para isso, consideramos um estado misto de Fock (com0 ou 1 fotons) no interior de uma cavidade com perdas e um feixe de N atomos de doisnıveis no estado fundamental (|g〉). O estado de Fock (qubit), inicialmente no interior dacavidade (memoria quantica), sera compartilhado com o feixe atomico. De imediato mos-tramos que, em ambos os procedimentos, o tempo de permanencia do qubit no interior dacavidade aumenta, sendo expressivamente superior para o segundo. De nossos calculos surgenaturalmente (para cada procedimento) uma relacao complementar entre a inexatidao dapreparacao do feixe atomico e a qualidade da cavidade. Este resultado inedito estabelecevınculos para a existencia de ganho no tempo de permanencia do qubit. Ademais, tambemmostramos que a dinamica de preservar o qubit e reproduzida por uma equacao mestra comamortecimento de amplitude e de fase, na qual as constantes dos amortecimentos sao funcoesde grandezas da dinamica do sistema. Entretanto, a acao do reservatorio de fase e muitodebil quando comparado com a de decaimento em experimentos tıpicos de cavidades.

Palavras-chaves: Cavidades, memoria quantica, qubit, decoerencia, interacao atomo-campo.

ii

Abstract

In this work we study analytically typical experiments in cavity quantum electrodyna-mics. Afterwards, we propose two procedures (the first by means of an controlled phasekick applied to our atom, and the second by means of controlled resonant and dispersiveinteractions) to preserve a qubit of decay effects of an imperfect quantum memory. For this,we consider a Fock state (with 0 or 1 photon) into an imperfect cavity and an atomic beamwith N two-level atoms in the ground state (|g〉). The Fock state (qubit), originally in thecavity (quantum memory) is shared with the atomic beam through controlled interactions.We immediately demonstrate that, in both procedures, the ”dwell time”of the qubit in thecavity increases significantly, being expressively higher for the second. A complementaryrelation between the inaccuracy of the preparation of the atomic beam and the quality ofthe cavity arises naturally from our calculations (for each procedure). This result is unpre-cedented and sets out the rules to increase the “dwell time”of the qubit. Moreover, we showthat the dynamics to protect the qubit is reproduced by a master equation with dampingamplitude and damping phase channels, where the constants of damping are functions ofdynamical quantities of the entire system. However, the action of the phase damping is veryweak compared to the decay in typical experiments cavities.

Keywords: Cavities, quantum memory, qubit, decoherence, atom-field interaction.

iii

Conteudo

1 Introducao 1

2 Preliminares 42.1 Estado fısico de um sistema quantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Produto tensorial e entrelacamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Operador densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4.1 Estados puros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4.2 Estado de mistura estatıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5 Sistemas quanticos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5.1 Equacao mestra para um oscilador na R.W.A. . . . . . . . . . . . . . 12

3 Interacao atomo-campo 163.1 Descricao semi-classica da interacao atomo-campo . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1.1 Interacao de um atomo de dois nıveis com um modo do campo . . . . 183.2 Descricao quantica da interacao atomo-campo . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2.1 Limite ressonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2.2 Limite dispersivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Conhecendo o experimento de memoria quantica em cavidade 244.1 Eletrodinamica quantica de cavidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1.1 Selecao da velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.1.2 Preparacao do estado circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.1.3 Zonas de Ramsey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.1.4 Cavidade supercondutora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.1.5 Detectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2 Analise de dois experimentos realizados em cavidades . . . . . . . . . . . . . 274.2.1 O decaimento de um foton em cavidades com perdas . . . . . . . . . 274.2.2 Transferencia de coerencia entre dois atomos . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Preservando a coerencia 405.1 A evolucao do qubit no modo da cavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 Monitorando e preservando a coerencia de um qubit via um kick de fase . . . 42

iv

5.2.1 Dispersao da velocidade atomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2.2 Termos de populacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2.3 Termo de coerencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.3 Monitorando e preservando a coerencia de um qubit via interacao dispersiva 575.3.1 Dispersao da velocidade atomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3.2 Termos de populacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.3.3 Termo de coerencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.4 Deteccao atomica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6 Reservatorio de fase 75

7 Fidelidade 77

8 Conclusao 80

A Modelo Jaynes-Cummings com perdas: solucao das equacoes de movi-mento 82A.1 Limite ressonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83A.2 Limite dispersivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

B Qubit em uma cavidade com perdas 87

C Interacao de um atomo com CEM classico via densidade reduzida 89

v

Lista de Figuras

3.1 Diagrama dos nıveis |e〉 (excitado) e |g〉 (fundamental) de um atomo de doisnıveis, interagindo ressonantemente com um modo do campo eletromagnetico. 22

3.2 Diagrama dos nıveis |e〉 (excitado) e |g〉 (fundamental) de um atomo de doisnıveis, interagindo dispersivamente com um modo do campo. O campo estadessintonizado por uma quantidade de δ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.1 Esquema do arranjo experimental utilizado no experimento de Paris. Figuraretirada de [33]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Trajetoria do primeiro atomo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3 Deteccao do primeiro atomo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.4 Trajetoria do segundo atomo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.5 Deteccao do segundo atomo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.6 Decaimento de um estado de Fock na cavidade: probabilidade condicional

Πge versus o “delay”τ entre os dois atomos. Na figura, utilizamos os dadosexperimentais fornecidos por X. Maıtre et al. em [12]. . . . . . . . . . . . . . 32

4.7 Trajetoria do primeiro atomo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.8 Transferencia da coerencia atomica para a cavidade. . . . . . . . . . . . . . . 344.9 Deteccao do primeiro atomo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.10 Trajetoria do segundo atomo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.11 Interferometria atomica de Ramsey. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.12 Deteccao do segundo atomo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.13 Probabilidade condicional Πge versus dessintonia δ, em unidades de Hz, apli-

cada no primeiro atomo em R1 e para o segundo atomo em R2. Na figura,utilizamos os dados experimentais fornecidos por X. Maıtre et al. em [12]. . . 39

5.1 Ganho do tempo de retencao da cavidade g(κ,Ω, T, λ) em funcao da densidadelinear λ do feixe atomico. Neste grafico, utilizamos os dados retirados de [39].Vale lembrar, que a taxa de dissipacao κ da cavidade e dado por κ = 1/2Tc(veja [43]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2 (a) Esquematiza o aparato experimental usado em CQED com atomos deRydberg. Em (b) temos a visao geral do caminho que sera percorrido por cadaatomo pertencente ao feixe, entre a saıda da caixa B e a saıda da cavidade C. 48

vi

5.3 Ganho do tempo de retencao da cavidade g′(κ,Ω, T, λ,∆v) em funcao da den-sidade linear λ e do desvio padrao da velocidade atomica ∆v do feixe. Nestegrafico, utilizamos os dados retirados de [39, 43]. . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.4 Ganho do tempo de retencao da cavidade G(κ,Ω, τ, T, λ) em funcao da den-sidade linear λ do feixe atomico. Neste grafico, utilizamos os dados retiradosde [39]. Vale lembrar, que a taxa de dissipacao κ da cavidade e dado porκ = 1/2Tc e consideramos a dessintonia mınima de δ = 3G, que nos forneceτ = 6π/Ω (veja [43]). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.5 (a) Esquematiza o aparato experimental de CQED com atomos de Rydberg.Em (b) temos a visao geral do caminho que sera percorrido por um atomopertencente ao feixe, entre a saıda da caixa B e a saıda da cavidade C. . . . 64

5.6 Ganho do tempo de retencao da cavidade G ′(κ,Ω, τ, T, λ,∆v) em funcao dadensidade linear λ e do desvio padrao ∆v do feixe atomico. Neste grafico,utilizamos os dados retirados de [39, 43]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.1 Fidelidade F (|ψ1〉 〈ψ1| , ρ2) do estado do campo no interior da cavidade emfuncao do desvio padrao ∆v da velocidade atomica e do numeros de atomosN pertencentes ao feixe atomico que transpoe a cavidade C. Neste grafico,utilizamos os dados retirados de [39]. Vale lembrar, que o tempo total do qubitno interior de C e t = N.1, 96 × 10−5s, sendo 1, 96 × 10−5s o tempo total deinteracao para cada atomo, a taxa de dissipacao κ da cavidade e dado porκ = 1/2Tc e consideramos a densidade linear do feixe λ = 1. . . . . . . . . . 78

7.2 Fidelidade F (|ψ1〉 〈ψ1| , ρ2) do estado do campo no interior da cavidade emfuncao do desvio padrao ∆v da velocidade atomica e do numeros de atomosN pertencentes ao feixe atomico que transpoe a cavidade C. Neste grafico,utilizamos os dados retirados de [39]. Vale lembrar, que o tempo total doqubit no interior de C e t = N.7, 85× 10−5s, sendo 7, 85× 10−5s o tempo totalde interacao para cada atomo, a taxa de dissipacao κ da cavidade e dado porκ = 1/2Tc, consideramos a dessintonia mınima de δ = 3G [43], que nos forneceτ = 6π/Ω e consideramos a densidade linear do feixe λ = 1. . . . . . . . . . . 79

vii

Capıtulo 1

Introducao

Para resolver um problema matematico muito complexo, que intrigava os cientistas dadecada de 30, Alan Turing criou o que e considerada a primeira maquina pensante no mundo[1]. Em 1943, sob a supervisao de Turing, foi projetado o Colossus, um computador Inglesutilizado na guerra com o objetivo de quebrar codigos alemaes ultrassecretos criados por umamaquina chamada Enigma [2]. Com esta maquina, Turing criou o princıpio para a construcaodos computadores, i.e., o conceito teorico para se desenvolver um computador programavel.Mas o hardware1 teve grande impulso ao final dos anos 40, apos o desenvolvimento de umsemicondutor feito de silıcio, chamado de transistor, desenvolvido por Bardeen, Brattain eShockley que receberam Premio Nobel de Fısica em 1956 [3]. O transistor e uma peca quepossui varias funcoes, como amplificadores e interruptores de sinais eletricos, alem de reti-ficadores eletricos em um circuito. Na computacao o transistor funciona como uma pecaque fala a mesma “lıngua”que o computador, i.e., codigo binario, que e uma linguagem queutiliza o par 0 e 1, chamado de bit, como a menor unidade de informacao.

Com o advento do circuito integrado, ou seja, a compactacao dos transistores e variosoutros componentes de um circuito em um unico chip de silıcio, ao final da decada de 50,comecou-se a condensar um grande numero de transistores em uma pequena regiao. Gor-don Moore observou que o numero de transistores da unidade central de processamento deum computador aproximadamente dobra a cada dois anos, enquanto o computador tende adiminuir de tamanho [4]. Isso indica que componentes de um computador estao se miniaturi-zando, i.e., o numero de atomos necessario para armazenar uma unidade de informacao (umbit) tambem esta sendo diminuıda a cada ano. Atualmente uma escala normal de transistorese da ordem de poucos nanometros [5, 6]. Se supormos que este crescimento continue, em al-guns anos teremos um atomo por bit, chegando em um limite onde e inevitavel nao conceberque a fısica quantica desempenhe um papel fundamental na computacao. Entretanto, nomundo quantico a fısica funciona um pouco diferente dos meios previsıveis aos quais estamosacostumados, e computadores tradicionais nao fazem sentido. No atual estado da arte, hauma barreira fısica real para o avanco tecnologico, i.e., a fronteira entre a dinamica da fısicaclassica e a da fısica quantica, chamada de interface classica-quantica. Para resolver este

1Sao as partes fısicas de uma maquina (computador).

1

problema, cientistas tentam tirar vantagem destas propriedades incomuns da fısica quanticapara, no futuro, construir computadores quanticos.

De maneira semelhante ao computador convencional (classico), o computador quanticotambem possui seu proprio bit, conhecido como qubit (do ingles quantum bit). Um qubit podeser qualquer sistema quantico de dois nıveis, desde o spin a um simples foton, e.g., atraves dapolarizacao de um unico foton podemos codificar um bit de informacao da seguinte forma: seo foton estiver oscilando horizontalmente corresponde ao valor 0 e, de maneira semelhante, seo foton oscilar verticalmente correspondera ao valor 1. Claro que esta polarizacao pode girare o angulo deste giro com o eixo vertical ou horizontal pode assumir um numero infinito devalores [7]. Entao isto significa, em princıpio, que se pode guardar uma informacao de infini-tas formas dentro da polarizacao de um foton. No mundo quantico os qubits alem de poderemassumir valores de 0 e 1, eles podem estar em uma superposicao quantica destes dois valores,que e uma verdadeira mudanca. 4 bits classicos podem estar cada um em uma de duaspossıveis configuracoes distintas ao mesmo tempo, isto equivale a 16 combinacoes possıveise pode-se usar somente uma. Ja 4 qubits em superposicao quantica podem estar em todas16 combinacoes possıveis ao mesmo tempo, o que traz um ganho significativo na quantidadede informacao processada. De modo a obtermos um crescimento exponencial com cada qubitextra, e.g., 20 qubits ja podem armazenar um milhao de valores em paralelo. Varios gruposja mostraram que se pode fazer operacoes logicas quanticas com qubits, que comparado aoperacoes logicas classicas com bits, se obtem vantagens consideraveis [8, 9, 10]. Estes gru-pos mostraram que e possıvel ter computadores capazes de resolver problemas usando as leisda mecanica quantica. No entanto, so conseguem resolver tarefas especıficas, continuandoassim a busca por um computador quantico universal. Um grande desafio e encontrar siste-mas fısicos conhecidos, i.e., hardwares, que possam realizar as operacoes logicas. Um grupo,em especial, se destaca com experimentos envolvendo interacao entre atomos e o campo ele-tromagnetico (CEM) armazenado no interior de cavidades supercondutoras (experimentosde eletrodinamica quantica em cavidades – CQED), que e o grupo do Laboratoire KastlerBrossel, em Paris [11].

Num experimento tıpico de CQED, Maıtre et al. [12] relatam que um qubit, inicialmentetransportado por um atomo de Rydberg (no quarto capıtulo descrevemos de forma mais de-talhada o que sao atomos de Rydberg) de dois nıveis, pode ser transferido para o modo doCEM no interior de uma cavidade de alto fator de qualidade. Em seguida um segundo atomo,apos um tempo de retardo τ , recolhe o qubit armazenado no modo do CEM. A transferenciado qubit entre um atomo e o campo se processa mediante uma interacao atomo-campo no li-mite ressonante2. Neste ensaio, a cavidade executou a funcao de um importante componentedo hardware de um computador quantico, a saber, a memoria quantica, i.e., um dispositivocapaz de armazenar qubits. O tempo que este dispositivo e capaz de armazenar a informacaoquantica e chamado de tempo de retencao (da expressao em ingles “holding time”). Em geral,um importante inimigo da retencao de uma memoria quantica e o ambiente em sua volta, que

2Limite em que ocorre troca de excitacoes entre os sistemas que interagem.

2

submete o sistema a processos de dissipacao e decoerencia onde ha perdas de caracterısticaquantica em uma escala de tempo relativamente curta, tornando o sistema cada vez maisclassico. Nao ha como eliminar o meio ambiente incluindo o vacuo, i.e., se tirarmos todasas partıculas nos restara o vacuo que se comporta como meio ambiente a temperatura nula,extinguindo o qubit armazenado em um dado intervalo de tempo.

O nosso objetivo e realizar um estudo teorico e detalhado do experimento realizado em[12] e propor metodos que otimizem o tempo de permanencia τ do qubit no interior da ca-vidade. Com isso estaremos melhorando a qualidade da memoria quantica. Para este fim,modelamos um feixe atomico de densidade λ contendo N atomos, que sao enviados atraves dacavidade retirando o qubit do seu interior durante um certo intervalo de tempo, no intuito desuavizar os efeitos de dissipacao e decoerencia impostos pelas imperfeicoes da cavidade. Alemdisso, estudamos os efeitos da dispersao da velocidade atomica, pois o processo de selecaonao e perfeito e existem desvios aleatorios em torno da velocidade otima. Logo, a dispersaoda velocidade atomica gerara ruıdos (semelhante a acao de um reservatorio) sobre o estadoarmazenado no interior da cavidade. Isto ocorre porque o tempo de interacao atomo-campoe “regulado”pela velocidade de voo do atomo. Portanto, se a velocidade atomica nao forotima, teremos interacoes imperfeitas que atuarao como ruıdo no estado armazenado na ca-vidade. Percebemos que a dinamica de preservacao do qubit no interior da cavidade pode serrecriada por meio de uma equacao mestra com amortecimento de amplitude e de fase. E porfim, usamos uma popular medida de distancia entre operadores densidade, conhecida comoFidelidade [13], para melhor quantificar a perda de coerencia do qubit no interior da cavidade.

O presente trabalho esta organizado da seguinte maneira. Para alcancar e compreenderquestoes relacionadas ao objetivo proposto, no capıtulo 2 apresentamos uma sucinta revisaodos fundamentos da mecanica quantica e de sistemas quanticos abertos, que sao ferramentasfundamentais utilizadas no desenvolvimento deste trabalho. No capıtulo seguinte, revisitamosa teoria que descreve a interacao atomo-campo, ressaltando suas principais caracterısticasem seus dois casos: i) o semi-classico, em que o CEM e descrito com argumentos classicose ii) o caso quantico, onde o CEM e tratado quanticamente. Ja no capıtulo 4, fazemosuma introducao a eletrodinamica quantica em cavidade (CQED), por meio da descricao dosprincipais componentes do aparato experimental utilizado e analisamos quantitativamentedois experimentos realizados por Maıtre et al. em [12], onde alem de descreverem a utilizacaode uma cavidade eletrodinamica como uma memoria quantica, os autores demonstraram umacombinacao de operacoes coerentes em sistemas de multi-qubit. O quinto, sexto e setimocapıtulos dedicamos a nossa proposta experimental para aumentar o tempo de retencaode uma memoria quantica em cavidades, i.e., monitorar a coerencia e retencao de um qubitarmazenado no modo do campo. O ultimo capıtulo conclui o trabalho resumindo os principaisresultados e fornecendo perspectivas. Incluımos tambem tres apendices contendo resolucoesde equacoes de movimento que aparecem ao longo da dissertacao.

3

Capıtulo 2

Preliminares

Este primeiro capıtulo e dedicado a uma sucinta discussao dos conceitos basicos damecanica quantica, assumindo que o leitor possui uma familiaridade com os fundamentosda mecanica quantica. Caso contrario, maiores informacoes podem ser encontradas nas re-ferencias citadas no decorrer da dissertacao.

2.1 Estado fısico de um sistema quantico

Na fısica classica, o estado de qualquer sistema pode ser bem definido quando conhecemossimultaneamente todas as posicoes e momentos de cada ponto deste sistema. Com isto,podemos reconstruir o passado e inferir sobre o futuro deste sistema com maxima precisaopossıvel. Ja na fısica quantica, tal descricao e improvavel, uma vez que quaisquer estadosaceitaveis pela mecanica quantica devem satisfazer o princıpio da incerteza de Heisenberg[14]

∆x∆p ≥ h

2. (2.1)

Portanto, enquanto a descricao classica permite prever o movimento futuro com totalprecisao, a descricao da mecanica quantica nao permite-nos fazer tais previsoes.

Na fısica classica as leis basicas sao determinısticas, e a analise estatıstica e apenas umartificio pratico para tratar sistemas mais complexos. De acordo com Heisenberg e Bohr,no entanto, a interpretacao probabilıstica e fundamental em mecanica quantica, e deve-seabandonar o determinismo [15]. A teoria quantica na descricao de Schrodinger se baseiamatematicamente em duas construcoes: funcoes de onda e operadores. Sendo a primeiraresponsavel pela representacao do estado de um sistema e os operadores representam os ob-servaveis1. As funcoes de onda satisfazem as condicoes que definem os vetores abstratos,denominados vetores de estado |ψ(t)〉2. Este vetor e um elemento de um espaco vetorial

1Observavel e toda grandeza ou quantidade fısica que pode ser medida.2Normalmente conhecidos como ket.

4

complexo chamado de espaco de Hilbert (H) [16].

O produto interno de um par de vetores |ψ〉 , |φ〉 ∈ H tera a seguinte definicao e pro-priedades:

i Definicao: 〈φ|ψ〉 =∫d3r φ∗(r)ψ(r);

ii Positividade: 〈ψ|ψ〉 > 0, |ψ〉 6= 0;

iii Linearidade: 〈ψ| (a |φ1〉+ b |φ2〉) = a 〈ψ|φ1〉+ b 〈ψ|φ2〉;

iv Simetria: 〈ψ|φ〉 = 〈φ|ψ〉∗ onde * denota conjugado complexo;

v Norma: ‖ ψ ‖=√〈ψ|ψ〉, com 0 <‖ ψ ‖<∞.

2.2 Dinamica

Ate o presente momento, nao discutimos a maneira segundo a qual sistemas fısicos evo-luem no tempo. A equacao de Schrodinger

ihd

dt|ψ(t)〉 = H(t) |ψ(t)〉 (2.2)

tem um papel fundamental na mecanica quantica, ja que e a equacao que governa a evolucaotemporal do sistema fısico, onde H(t) e o operador gerador da evolucao, denominado hamil-toniano, que e um operador hermitiano3, assim como todos os observaveis [17]. A solucaodesta equacao (2.2), que determina como o estado evolui no tempo, e dada por

|ψ(t)〉 = U(t, t0) |ψ(t0)〉 , (2.3)

onde U(t, t0) e o operador evolucao temporal que translada o vetor ket a frente no tempo, e|ψ(t0)〉 e um vetor de estado no tempo inicial t0. A propriedade da conservacao da normae muito importante na mecanica quantica, de modo que, se o ket que representa o estadoestava inicialmente normalizado em 1, ele deve permanecer normalizado para todos os temposposteriores

〈ψ(t0)|ψ(t0)〉 = 1⇒ 〈ψ(t)|ψ(t)〉 = 1 . (2.4)

Desta maneira, esta condicao sera satisfeita se tomarmos o operador como sendo unitario.Por este motivo

U †(t, t0)U(t, t0) = 1 . (2.5)

Uma outra propriedade que e exigida ao operador unitario e sua decomposicao

U(t2, t0) = U(t2, t1)U(t1, t0), (t2 > t1 > t0) . (2.6)

3Dizemos que um operador e hermitiano quando: O = O† (se ele for igual a seu adjunto).

5

Substituindo a equacao (2.3) em (2.2), temos

ihd

dtU(t, t0) = H(t)U(t, t0) . (2.7)

Se os hamiltonianos H’s para diferentes tempos comutam. A solucao formal da equacao(2.7) e

U(t, t0) = e− ih

∫ tt0dt′H(t′)

. (2.8)

Caso os hamiltonianos H’s para diferentes tempos nao comutem, o operador evolucaotera outra forma, veja [16, 17].

2.3 Produto tensorial e entrelacamento

Tomando (S1) e (S2) como dois subsistemas, com seus respectivos espacos de estados E1 eE2. O conjunto destes dois subsistemas formara um sistema fısico (S), cujo espaco de estadosE do nosso sistema global (S) e definido como o produto tensorial de E1 e E2 [16]:

E = E1 ⊗ E2 . (2.9)

Associando um vetor a cada espaco de estados, |φ〉 pertencente a E1 e |χ〉 pertencente aE2, podemos formar um vetor de E dado por

|φ〉 ⊗ |χ〉 = |φ χ〉 , (2.10)

com o produto escalar em E definido como

〈φ′χ′|φχ〉 = 〈φ′|φ〉 〈χ′|χ〉 . (2.11)

Quando dois ou mais sistemas quanticos interagem, o estado final de um dos sistemas podedepender do estado final do(s) outro(s). As correlacoes estatısticas entre os subsistemas tem,todavia, um carater nao-local, i.e., as propriedades individuais de cada subsistema nao per-mitem determinar o estado do sistema global. Este fenomeno, sem analogo na Fısica ClassicaNewtoniana, e conhecido como entrelacamento ou emaranhamento de estados quanticos [18].

Os valores esperados de dois observaveis A = A1 ⊗ 12 e B = 11 ⊗ B2 no estado (2.10)serao dados por

〈A〉 = 〈φ| A1 |φ〉 e 〈B〉 = 〈χ| B2 |χ〉 . (2.12)

Note que o valor esperado do operador composto A1 ⊗ B2 sera⟨A1 ⊗ B2

⟩= 〈φ| A1 |φ〉 〈χ| B2 |χ〉 = 〈A〉 〈B〉 . (2.13)

Algo bem diferente ocorre quando tratamos de um estado do tipo

|ψ12〉 =1√2

(|φ1〉 |χ1〉+ |φ2〉 |χ2〉

), (2.14)

6

onde |φ1〉 , |φ2〉 e |χ1〉 , |χ2〉 sao estados ortonormais associados a E1 e E2, respectivamente.Assim

〈A〉 =1

2

(〈φ1| A1 |φ1〉+ 〈φ2| A1 |φ2〉

)e 〈B〉 =

1

2

(〈χ1| B2 |χ1〉+ 〈χ2| B2 |χ2〉

). (2.15)

Logo ⟨A1 ⊗ B2

⟩=

1

2

[〈φ1| A1 |φ1〉 〈χ1| B2 |χ1〉+ 〈φ2| A1 |φ2〉 〈χ2| B2 |χ2〉

+2Re 〈φ1| A1 |φ2〉 〈χ1| B2 |χ2〉], (2.16)

que de imediato nos conduz a seguinte conclusao⟨A1 ⊗ B2

⟩6= 〈A〉 〈B〉 . (2.17)

Este resultado nos mostra que, para um estado nao fatoravel do tipo (2.14), nao e possıvelatribuir um estado puro bem definido a cada subsistema. Assim como o estado do sistemaglobal nao pode ser determinado a partir das propriedades individuais e independentes dossistemas que o compoe, i.e., existe uma correlacao quantica entre S1 e S2, devido o en-trelacamento entre eles [18].

2.4 Operador densidade

Quando se tem informacoes incompletas sobre um sistema, normalmente recorre-se aoconceito de probabilidade. A informacao incompleta que se tem sobre o sistema, geralmenteapresenta-se na mecanica quantica da seguinte forma: o estado desse sistema pode ser oestado |ψ1〉 com probabilidade p1, o estado |ψ2〉 com probabilidade p2, etc, onde p1+p2+.... =∑

k pk = 1. Da mesma forma que a caracterizacao de um sistema e realizado por seu vetorde estado, podemos tambem caracterizar este mesmo sistema por um determinado operadorno espaco de estados, o operador densidade [16].

2.4.1 Estados puros

Se o estado do sistema e perfeitamente conhecido, ou seja, todas as probabilidades pk saozero, exceto uma, o sistema e dito estar em um estado puro.

O operador densidade do estado puro e definido como

ρ(t) = |ψ(t)〉 〈ψ(t)| , (2.18)

onde ρ(t) e o operador de projecao para o estado |ψ(t)〉. Mas |ψ(t)〉 nao e o unico vetorde estado que caracteriza um estado puro, qualquer vetor da forma eiα |ψ(t)〉 (com α realarbitrario), e fisicamente equivalente. O operador densidade ρ(t) deve obedecer as seguintespropriedades [19]:

7

i Condicao de normalizacao: tr[ρ(t)] = 1;

ii Hermiticidade: ρ(t) = ρ†(t);

iii Positividade semidefinida: ρ(t) > 0;

iv Idempotencia: ρ2(t) = ρ(t).

Como ambos |ψ(t)〉 e ρ(t) representam o mesmo estado fısico, e natural que tambemexista uma equacao de evolucao para o operador densidade. E de fato ha, sendo conhecidacomo equacao de Liouville-von Neumann. Diferenciando ambos os lados de (2.18) e fazendouso da equacao (2.2), conseguimos mostrar que ela e expressa como

d

dtρ(t) =

1

ih[H(t), ρ(t)] . (2.19)

2.4.2 Estado de mistura estatıstica

Deixe-nos agora retornar ao caso geral, considerando um sistema para o qual (num dadoinstante) as diversas probabilidades p1, p2, ..., pk sao arbitrarias, desde que satisfacam asrelacoes:

a) 0 ≤ p1, p2, ..., pk ≤ 1;

b)∑

k pk = 1.

Pode-se entao definir o operador densidade de mistura estatıstica, que descreve o estadodo sistema, atraves de uma mistura probabilıstica de estados puros, como

ρ(t) =∑k

pk |ψk(t)〉 〈ψk(t)| =∑k

pkρk(t) , (2.20)

onde os coeficientes pk sao reais, ρ(t) e obviamente um operador hermitiano, assim comocada um dos ρk(t). Podemos calcular o traco de ρ(t) e comprovar que ele e unitario

tr[ρ(t)] =∑k

pktr[ρk(t)] =∑k

pk = 1 . (2.21)

Se calcularmos o traco de ρ2(t) percebemos que

tr[ρ2(t)] =∑k

p2ktr[ρ

2k(t)] =

∑k

p2k ≤ 1 , (2.22)

donde concluımos que ρ(t) 6= ρ2(t). Se o hamiltoniano H(t) do sistema for completamenteconhecido, entao as probabilidades pk nao mudarao com o passar do tempo, e a evolucaotemporal do sistema sera dada pela equacao de Liouville-von Neumann [16, 20].

8

2.5 Sistemas quanticos abertos

Em sistemas quanticos isolados, tambem conhecidos como sistemas quanticos fechados,a evolucao dos estados quanticos dos sistemas fısicos e dada pela Equacao de Schrodinger.Com a crescente pesquisa voltada a area de computacao e informacao quantica, surgiu ointeresse no estudo de sistemas quanticos abertos, aqueles nos quais o objeto de interesse naose encontra isolado do ambiente. Em particular, ha o interesse de se descrever a evolucaodinamica de um numero pequeno de partıculas sujeitas a algum tipo de ruıdo ou interferenciacausado pelo meio que as rodeiam. Ao contrario do que acontece com um sistema fechado,a dinamica quantica de um sistema aberto nao pode ser representada em termos de umaevolucao unitaria. Nestas circunstancias, precisamos de uma equacao que forneca a dinamicado sistema, levando em conta o ambiente/meio em que o mesmo esta imerso. Uma equacaodeste tipo e conhecida como equacao mestra [21, 22].

Partiremos dos seguintes pressupostos [20, 21]:

i O sistema de interesse A interage com o ambiente R que possui um numero muitogrande de graus de liberdade;

ii A capacidade termica de R e muito grande. Desta maneira, nao ha modificacaomacroscopica do estado de R sob a influencia do acoplamento com A (R pode serconsiderado um reservatorio);

iii Temos uma escala de tempo muito curta τc, caracterizando as flutuacoes da perturbacaoexercida por R sobre A ;

iv Temos tambem uma escala de tempo muito longa TR, caracterizando a taxa de variacaode A , i.e., o tempo de evolucao;

v Considera-se o acoplamento entreA eR de fraco efeito durante o tempo de correlacaoτc das flutuacoes de R.

O hamiltoniano do sistema global (ambiente R mais sistema de interesse A ) e

H(t) = HA ⊗ 1R + 1A ⊗ HR + HI , (2.23)

onde HA e o hamiltoniano do sistema de interesse, HR o hamiltoniano do reservatorio, otermo HI e quem carrega toda informacao a respeito da interacao entre o sistema e o reser-vatorio, 1A e 1R sao os respectivos operadores identidade do sistema e do reservatorio.

Por simplicidade vamos ignorar o sımbolo ⊗. A evolucao temporal do estado do sistemaglobal ρg(t) e dada pela equacao de Liouville-von Neumann (2.19). Substituindo (2.23) em(2.19), obtemos

d

dtρg(t) =

1

ih[HA + HR + HI , ρg(t)] , (2.24)

9

que por conveniencia vamos passar para a representacao de interacao. Assim

d

dtρg(t) =

1

ih[HI(t), ρg(t)] , (2.25)

onde ρg(t) = ei(HA+HR)t/hρg(t)e−i(HA+HR)t/h e HI(t) = ei(HA+HR)t/hHI(t)e

−i(HA+HR)t/h.

Integrando (2.25) de t0 ate t teremos

ρg(t) = ρg(t0) +1

ih

∫ t

t0

dt′[HI(t′), ρg(t

′)] (2.26)

que, por sua vez, pode ser substituıda na propria equacao (2.25) nos fornecendo

d

dtρg(t) =

1

ih[HI(t), ρg(t0)] +

(1

ih

)2 ∫ t

t0

dt′[HI(t), [HI(t

′), ρg(t′)]]. (2.27)

A equacao acima pode ser integrada novamente para um intervalo de tempo posterior, ouseja, de um tempo inicial t0 a um tempo final t1, com t1 > t. Logo

ρg(t1) = ρg(t0) +1

ih

∫ t1

t0

dt′[HI(t′), ρg(t0)] +

(1

ih

)2 ∫ t1

t0

dt′′∫ t

′′

t0

dt′[HI(t

′′), [HI(t′), ρg(t

′)]].

(2.28)Repetindo esta operacao n vezes para tempos posteriores, e fazendo algumas trocas de

variaveis iremos encontrar

ρg(t) = ρg(t0)+∞∑n=1

(1

ih

)n ∫ t

t0

dt1

∫ t1

t0

dt2...

∫ tn−1

t0

dtn

[HI(t1),

[HI(t2), ...,

[HI(tn), ρg(tn)

]...]],

(2.29)onde t > t1 > t2 > ... > tn > t0 .

Este resultado pode novamente ser substituıdo em (2.25), chegando finalmente a equacao

d

dtρg(t) =

1

ih

[HI(t), ρg(t0)

]+∞∑n=1

(1

ih

)n+1 ∫ t

t0

dt1

∫ t1

t0

dt2... (2.30)

...

∫ tn−1

t0

dtn

[HI(t),

[HI(t1), ...,

[HI(tn), ρg(tn)

]...]]

,

obedecendo a desigualdade t > t1 > t2 > ... > tn > t0 .

No entanto, estamos interessado na evolucao do sistema A, entao devemos fazer aoperacao traco sobre as variaveis do reservatorio. Encontrando

d

dtρA(t) =

1

ihtrR

[HI(t), ρg(t0)

]+∞∑n=1

(1

ih

)n+1 ∫ t

t0

dt1

∫ t1

t0

dt2... (2.31)

...

∫ tn−1

t0

dtn trR

[HI(t),

[HI(t1), ...,

[HI(tn), ρg(tn)

]...]]

.

10

Sem perda de generalidade podemos fazer algumas consideracoes relativas ao reservatorio[21]:

i Em t = 0 a interacao foi ligada, logo inicialmente nao existe correlacao entre A e R, i.e., podemos escrever ρg = ρA ⊗ ρR;

ii A variacao de R com o acoplamento e desprezıvel, de modo que o banho R podeser considerado como um reservatorio em um estado estacionario ρR(t) ' ρR(0) = ρR.Isto e [ρR, HR] = 0. Em outras palavras, ρR so possui elementos na diagonal principal;

iii Podemos supor que HI(t) nao tem elementos na diagonal principal na representacaoem que HR e diagonal. Logo trR[HI(t), ρg(t0)] = 0.

Estas consideracoes permitem reescrever a equacao (2.31) da seguinte forma

d

dtρA(t) =

∞∑n=1

(1

ih

)n+1 ∫ t

t0

dt1

∫ t1

t0

dt2... (2.32)

...

∫ tn−1

t0

dtn trR

[HI(t),

[HI(t1), ...,

[HI(tn), ρA(tn)⊗ ρR

]...]]

.

Esta e uma equacao diferencial exata para a evolucao do sistema A, porem de difıcilsolucao, que nos conduz a necessidade de algumas aproximacoes [20, 21, 22, 23]:

I Aproximacao de Born: Esta aproximacao considera o acoplamento entre o sistemaA e o reservatorio R, fraco o suficiente para que a dinamica de interesse seja descritapelo primeiro termo da equacao (2.32);

d

dtρA(t) =

(1

ih

)2 ∫ t

t0

dt′ trR

[HI(t),

[HI(t

′), ρA(t′)⊗ ρR]]

; (2.33)

II Aproximacao de Markov: A equacao (2.33) ainda possui uma solucao complicada,em particular por nao ser Markoviana, ou seja, a evolucao futura de ρA(t) dependeda sua historia passada ρA(t′). Em outras palavras, como corolario, isso define umsistema Markoviano onde o comportamento futuro de um sistema depende apenas doseu estado atual. No intuito de tornar a equacao (2.33) Markoviana, faremos a seguintesubstituicao ρA(t′) −→ ρA(t), que tem como justificativa o seguinte fato: o tempo dememoria do reservatorio (i.e. a escala de tempo sobre a qual o reservatorio preservaa informacao acerca do estado passado do sistema) e extremamente pequeno em com-paracao a tıpica escala de tempo para evolucao do sistema de interesse. Assim podemosreescrever a equacao acima como

d

dtρA(t) =

(1

ih

)2 ∫ t

t0

dt′ trR

[HI(t),

[HI(t

′), ρA(t)⊗ ρR]]. (2.34)

11

Esta equacao ainda nao e verdadeiramente Markoviana, uma vez que a evolucao notempo de ρA(t) ainda depende de uma escolha explıcita na preparacao inicial no tempot0. No intuito de contornar isto, faremos as seguintes mudancas de variaveis i) t′ −→t − t′; ii) t0 = 0 na equacao (2.34) e deixar o limite superior de integracao tender ainfinito. Isto e permitido desde que o integrando desapareca suficientemente rapidapara t′ τc, onde τc e o tempo de correlacao das flutuacoes do reservatorio. Logo

d

dtρA(t) =

(1

ih

)2 ∫ ∞0

dt′ trR

[HI(t),

[HI(t− t′), ρA(t)⊗ ρR

]]. (2.35)

A aproximacao Markoviana e portanto justificavel, se a escala de tempo TR sobre aqual o estado do sistema varia e apreciavelmente grande quando comparada ao tempode escala τc sobre a qual a funcao de correlacao do reservatorio decai.

A equacao (2.35) esta na forma geral, pois nao fazemos nenhuma suposicao sobre o sis-tema e a forma da sua interacao com o ambiente. Logo ela e o ponto de partida para aobtencao de uma equacao mestra particular, i.e., vamos agora restringir a equacao (2.35)para nosso sistema de interesse e a forma que ele esta interagindo com o reservatorio.

2.5.1 Equacao mestra para um oscilador na R.W.A.

O decaimento de um atomo, inicialmente preparado no estado excitado, pode ser compre-endido a partir de um modelo em que o atomo esta acoplado a um reservatorio de osciladoresharmonicos simples a temperatura nula. De um modo muito semelhante, a troca de excitacoesdo campo de radiacao no interior de uma cavidade pode ser descrita por um modelo, no qualo modo do campo de interesse esta acoplado a um conjunto de modos do reservatorio [23, 24].A evolucao de tais sistemas pode ser representada por meio de uma equacao mestra para umoscilador na aproximacao de ondas girantes (Rotating Wave Aproximation - R.W.A.)4. Ohamiltoniano total do sistema na R.W.A. e

H = HA + HR + HI , (2.36)

comHA = hω0(a†a+ 1/2) (2.37)

HR = h∑k

ωk(b†kbk + 1/2) (2.38)

HI = h∑k

(g∗ka†bk + c.h.) , (2.39)

sendo ω0 a frequencia do nosso sistema de interesse, ωk a frequencia do n-esimo osciladorpertencente ao reservatorio, os operadores a†(a) e b†(b) sao os conhecidos operadores criacao

4No proximo capıtulo sera apresentado de maneira mais detalhada o que consiste esta aproximacao.

12

e (destruicao) referentes ao sistema de interesse e ao reservatorio respectivamente, e gk e umaconstante de acoplamento entre o oscilador de interesse e o n-esimo oscilador do reservatorio.

Passando o hamiltoniano (2.39) para a representacao de interacao, temos

HI = h∑k

(g∗keiω0ta†bke

−iωkt + c.h.) . (2.40)

Fazendo as seguintes substituicoes A(t) = e−iω0ta e B(t) =∑

k g∗k bke

−iωkt, podemos rees-crever a equacao acima como

HI = h(A†(t)B(t) + c.h.) . (2.41)

Substituindo este nosso hamiltoniano (2.41) na equacao de movimento (2.35) para osistema de interesse, obtemos

d

dtρA(t) =

(1

ih

)2 ∫ ∞0

dt′ trR

[h(A†(t)B(t)+c.h.),

[h(A†(τ)B(τ)+c.h.), ρA(t)⊗ρR

]], (2.42)

onde por simplicidade fizemos t − t′ = τ . Expandindo os comutadores da equacao acima eusando as propriedades da operacao do traco, teremos

d

dtρA(t) = −

∫ ∞0

dt′[A†(t), A†(τ)ρA(t)

] ⟨B(t)B(τ)

⟩R

+[A†(t), A(τ)ρA(t)

] ⟨B(t)B†(τ)

⟩R

+[ρA(t)A†(τ), A†(t)

] ⟨B(τ)B(t)

⟩R

+[ρA(t)A†(τ), A(t)

] ⟨B(τ)B†(t)

⟩R

+ c.h.

,

onde⟨O(t)O(τ)

⟩R

= trR

[O(t)O(τ)ρR

]= trR

[O(τ)O(t)ρR

], desde que O(t), O(τ) e ρR sejam

operadores pertencentes ao reservatorio.

Assumimos que o reservatorio e um estado em equilıbrio termico para multi-modos, cujooperador densidade reduzida e representado por [24]

ρR =∏k

[1− exp

(− hωkkBT

)]exp

(− hωkb

†kbk

kBT

), (2.43)

onde kB e a constante de Boltzmann e T e a temperatura. Para o estado de equilıbrio termicoacima, o valor medio dos operadores do reservatorio sao⟨

bkbk′⟩R

=⟨b†kb†k′

⟩R

= 0 (2.44)⟨bkb†k′

⟩R

= (nk + 1)δkk′ (2.45)⟨b†kbk′

⟩R

= nkδkk′ , (2.46)

13

onde nk e o numero medio de excitacoes do n-esimo oscilador

nk =1

exp(

hωk

kBT

)− 1

. (2.47)

Levando em consideracao as equacoes (2.43) - (2.47), a equacao de evolucao para ρA(t)torna-se

d

dtρA(t) = −

∫ ∞0

dt′[A†(t), A(τ)ρA(t)

]∑k

|gk|2 e−iωk(t−τ)(nk + 1) +[A(t), A†(τ)ρA(t)

]∑k

|gk|2 eiωk(τ−t)nk +[ρA(t)A†(τ), A(t)

]∑k

|gk|2 eiωk(t−τ)(nk + 1)

+[ρA(t)A(τ), A†(t)

]∑k

|gk|2 e−iωk(t−τ)nk

, (2.48)

onde usamos o fato que B(t) =∑

k g∗k bke

−iωkt .

Retornando para a representacao de Schrodinger e substituindo τ = t− t′, obtemos

d

dtρA(t) =

1

ih

[HA, ρA(t)

]−∫ ∞

0

dt′[aρA(t), a†

]∑k

|gk|2 ei(ω0−ωk)t′(nk + 1)

+[a†ρA(t), a

]∑k

|gk|2 e−i(ω0−ωk)t′nk +[a, ρA(t)a†

]∑k

|gk|2 e−i(ω0−ωk)t′(nk + 1)

+[a†, ρA(t)a

]∑k

|gk|2 ei(ω0−ωk)t′nk

. (2.49)

Uma vez que o reservatorio possui um numero muito grande de graus de liberdade, po-demos considera-lo infinito e fazer as seguintes mudancas [20, 23]∑

k

−→∫ ∞

0

D(ω)dω

gk −→ g(ω)

nk −→ n(ω) ,

onde D(ω) e a densidade dos modos no reservatorio.

14

Ao levarmos em conta essas observacoes, podemos reescrever (2.49) da seguinte maneira

d

dtρA(t) =

1

ih

[HA, ρA(t)

]+

[aρA(t), a†

] ∫ ∞0

dt′∫ ∞

0

dωD(ω) |g(ω)|2 ei(ω0−ωk)t′(n(ω) + 1)

+[a†ρA(t), a

] ∫ ∞0

dt′∫ ∞

0

dωD(ω) |g(ω)|2 e−i(ω0−ωk)t′n(ω)

+[a, ρA(t)a†

] ∫ ∞0

dt′∫ ∞

0

dωD(ω) |g(ω)|2 e−i(ω0−ωk)t′(n(ω) + 1)

+[a†, ρA(t)a

] ∫ ∞0

dt′∫ ∞

0

dωD(ω) |g(ω)|2 ei(ω0−ωk)t′n(ω)

. (2.50)

Resolvendo as integrais, finalmente encontramos a bem conhecida forma da equacao mes-tra para um oscilador interagindo com um banho de osciladores na R.W.A. [20, 22].

d

dtρ(t) =

1

ih

[H, ρ(t)

]+ κ(1 + n)

[aρ(t), a†

]+[a, ρ(t)a†

] + κn

[a†ρ(t), a

]+[a†, ρ(t)a

] , (2.51)

em que fizemos κ = πD(ω0) |g(ω0)|2 que e conhecida como constante de amortecimento,n = n(ω0) que e o numero de fotons termicos e ρA(t) = ρ(t). Vale a pena ressaltar que (2.51)e uma equacao mestra markoviana, sendo muito importante para o tratamento de processosirreversıveis e nao-unitarios de dissipacao e decoerencia, de modo que a positividade e o tracosao preservados.

15

Capıtulo 3

Interacao atomo-campo

A interacao de um atomo com um campo eletromagnetico e algo de extrema importancia,a saber: (i) devido ao fato que uma grande parte do nosso conhecimento sobre os atomossao obtidos por meio de um estudo da radiacao que eles absorvem e emitem, e (ii) que ainteracao com a materia modifica a propagacao do proprio campo eletromagnetico, particu-larmente devido a absorcao, refracao ou espalhamento. As interacoes de atomos com a luz,portanto, abrangem uma vasta gama de efeitos fısicos que nao serao abordados todos nestecapitulo, mas que podem serem revistos em [21, 25].

Neste capıtulo apresentamos as caracterısticas fundamentais da interacao de um atomo,descrito pela mecanica quantica, com um campo eletromagnetico classico. Posteriormentetrataremos da interacao atomo-campo levando em conta a natureza quantica do campo. Estesdois tratamentos sao de grande interesse para experimentos de eletrodinamica quantica emcavidades - CQED.

3.1 Descricao semi-classica da interacao atomo-campo

A descricao apresentada nesta secao se aproxima das ideias presentes em [25, 26]. Partindodo hamiltoniano para um eletron no potencial do nucleo

H0 =P2

2m+ V (r) , (3.1)

onde P e o operador momento e V (r) e um potencial eletrostatico. Na presenca de um campoeletromagnetico externo o hamiltoniano torna-se

H =1

2m

[P + eA(r, t)

]2+ eU(r, t) + V (r) , (3.2)

16

em que A(r, t) e o potencial vetor e U(r, t) e o potencial escalar do campo eletromagnetico,que e invariante sob as conhecidas transformacoes de calibre

A(r, t) −→ A(r, t) +∇χ(r, t)

U(r, t) −→ U(r, t)− ∂

∂tχ(r, t) ,

onde χ(r, t) e um campo escalar arbitrario. Podemos simplificar nosso hamiltoniano usandoo calibre de Coulomb (ou calibre da radiacao)

∇.A = 0 . (3.3)

Se nao houver cargas adicionais proximas do atomo, o potencial escalar se reduz aopotencial do nucleo V (r). Neste caso, temos que o potencial vetor ira satisfazer a equacaode onda

∇2A(r, t)− 1

c2

∂2

∂t2A(r, t) = 0 (3.4)

que, na base de ondas planas, possui solucao na forma

A(r, t) = A0ei(k.r−ωt) + c.c. (3.5)

O calibre de Coulomb nao e relativisticamente invariante, o que fica evidente uma vezque o potencial escalar e dado pela distribuicao de cargas instantanea (∇2U(r, t) = −ρ/ε0).Mas a otica quantica e, na maioria das vezes, nao relativıstica, de modo que a simplificacaode que o campo de radiacao e determinado completamente pelo potencial vetor, nos permiteescrever o hamiltoniano no calibre de Coulomb como

H =1

2m

[P + eA(r, t)

]2+ V (r) . (3.6)

A fim de simplificar ainda mais a interacao atomo-campo, notemos primeiro que a ex-tensao espacial da nuvem de eletrons em um atomo e da ordem de poucos angstrons (A),enquanto o comprimento de onda λ do campo, em experimentos de interesse, e tipicamenteda ordem de algumas centenas de nanometros. Colocando a origem r = 0 do sistema de coor-denadas no nucleo do atomo, nos concluımos que k.r 1. Assim, consideramos o potencialvetor espacialmente uniforme A(r, t) ≈ A(t) que e conhecida como a aproximacao de dipolo.Finalmente nos usamos uma transformacao de calibre χ(r, t) = −A(t).r. Assim

∇χ(r, t) = −A(t)

∂χ(r, t)

∂t= −r.

∂

∂tA(t) = r.E(t) ,

onde E(t) e um campo eletrico externo ao atomo. Finalmente, o hamiltoniano da interacaoatomo-campo na aproximacao de dipolo e

H =P2

2m+ V (r) + er.E(t) = H0 − p.E(t) , (3.7)

onde p representa o operador momento de dipolo.

17

3.1.1 Interacao de um atomo de dois nıveis com um modo docampo

Consideremos a interacao de um unico modo do campo de frequencia ν com um atomo dedois nıveis, onde |e〉 e |g〉 representam os autoestados excitado e desexcitado do hamiltonianonao perturbado H0 com autovalores hωe e hωg, respectivamente [20, 24]. Usando a relacao

de completeza |e〉 〈e|+ |g〉 〈g| = 1 podemos escrever H0 como

H0 = 1H01 = hωe |e〉 〈e|+ hωg |g〉 〈g| . (3.8)

Deste modo, na aproximacao de dipolo o hamiltoniano do sistema atomo-campo sera

H = hωe |e〉 〈e|+ hωg |g〉 〈g| − p.E(t) . (3.9)

Assumindo que o campo eletrico e linearmente polarizado ao longo do eixo x e usando arelacao de completeza, podemos reescrever o hamiltoniano de interacao da seguinte forma

HI = −pxE(t)

= −1px1E(t)

= −(℘eg |e〉 〈g|+ ℘ge |g〉 〈e|)E(t) , (3.10)

onde ℘ge = ℘∗ge = 〈e| px |g〉 e o elemento de matriz do operador momento de dipolo. Einteressante notarmos que o operador momento de dipolo e inteiramente fora da diagonal,isto devido a sua paridade ımpar [27, 28]. Levando em consideracao (3.10) e utilizando aspseudo-matrizes de Pauli [16] podemos reescrever (3.9) como segue

H =1

2hωegσz − (℘egσ+ + ℘geσ−)E(t) +

h

2(ωe + ωg)1 , (3.11)

onde ωeg = (ωe − ωg) e a diferenca de frequencia entre os nıveis atomicos excitados e desex-citados. Expressando o campo como E(t) = E cos(νt). Sem perda de generalidade, podemosdesprezar o ultimo termo da equacao acima por ser proporcional a identidade e reescrevendoo elemento de matriz do dipolo como ℘ge = |℘ge|eiφ, teremos

H =1

2hωegσz − |℘ge|E

(σ+e

−iφ cos(νt) + σ−eiφ cos(νt)

)= H0 + HI . (3.12)

De modo arbitrario, o estado de um atomo de dois nıveis num instante t tera a forma

|ψ(t)〉 = Ce(t) |e〉+ Cg(t) |g〉 , (3.13)

onde Ce(t) e Cg(t) sao os coeficientes que fornecem as probabilidades de encontrar o atomono estado |e〉 e |g〉, respectivamente. A equacao que nos dara a dinamica deste estado e aconhecida equacao de Schrodinger (2.2) que, na representacao de interacao, assume a forma

ihd

dt|Ψ(t)〉 = HI(t) |Ψ(t)〉 , (3.14)

18

em que

|Ψ(t)〉 = eiH0t/h |ψ(t)〉 = ce(t) |e〉+ cg(t) |g〉 (3.15)

HI(t) = −|℘ge|E(σ+e

i(ωeg−φ) cos(νt) + σ−e−i(ωeg−φ) cos(νt)

). (3.16)

Como podemos escrever cos(νt) = (eiνt + e−iνt)/2, o hamiltoniano de interacao torna-se

HI = −|℘ge|2E[σ+e

−iφ(ei(ωeg+ν)t + ei(ωeg−ν)t)

+ σ−eiφ(e−i(ωeg−ν)t + e−i(ωeg+ν)t

)]. (3.17)

Em nosso hamiltoniano de interacao surgem dois termos que oscilam com frequenciasdistintas, de modo que, podemos avaliar quais os termos que colaboram de maneira maissignificativa para nossa interacao atomo-campo. Uma maneira de avaliar estes termos efazendo uma media temporal

1

t′

∫ t′

0

e±i(ωeg±ν)tdt =e±i(ωeg±ν)t′ − 1

±i(ωeg ± ν)t′. (3.18)

Assim, proximo a condicao de ressonancia (ωeg ≈ ν) a media temporal e superior paraos termos que oscilam com frequencia ωeg − ν, estes termos sao conhecido como termosressonantes (ou girantes). Por outro lado, os termos que oscilam com frequencia ωeg + ν,conhecidos como termos anti-ressonantes (ou contra-girantes), sao muito oscilantes em medianao contribuindo consideravelmente para a dinamica de nosso sistema e sendo, desta forma,desprezados. Esta aproximacao e conhecida como aproximacao de ondas girantes (do inglesrotating wave approximation-RWA) [24, 29], que nos permite reescrever (3.17) da seguintemaneira

HI = −|℘ge|2E[σ+e

−iφei(ωeg−ν)t + σ−eiφe−i(ωeg−ν)t

]. (3.19)

Substituindo nosso estado arbitrario (3.15) e nosso hamiltoniano de interacao (3.19) em(3.14), obtemos as equacoes de movimento para os coeficientes ce(t) e cg(t)

d

dtce(t) = i

ΩR

2cg(t)e

i(δt−φ) (3.20)

d

dtcg(t) = i

ΩR

2ce(t)e

−i(δt−φ) , (3.21)

onde fizemos ΩR = |℘ge|E/h que e conhecida como frequencia de Rabi e δ = ωeg − ν que ea dessintonia entre a frequencia de transicao atomica e a do campo. As equacoes (3.20) e(3.21) possuem as seguintes solucoes:

ce(t) =

ce(0)

[cos(Ωt/2)− i δ

Ωsin(Ωt/2)

]+ i

ΩR

Ωe−iφcg(0) sin(Ωt/2)

eiϑt/2 (3.22)

cg(t) =

cg(0)

[cos(Ωt/2) + i

δ

Ωsin(Ωt/2)

]+ i

ΩR

Ωeiφce(0) sin(Ωt/2)

e−iϑt/2 , (3.23)

em que definimos Ω =√

Ω2R + δ2 e as amplitudes de probabilidade satisfazem a relacao

|ce(t)|2 + |cg(t)|2 = 1, que e uma simples confirmacao da conservacao da probabilidade.

19

3.2 Descricao quantica da interacao atomo-campo

Na secao anterior foi analisada a interacao atomo-campo, assumindo os aspectos classicosdo campo. Em muitas situacoes este pressuposto e valido, no entanto, existem muitos casosem que um campo classico nao consegue explicar os resultados observados experimentalmente,trazendo em si uma necessaria descricao quantizada do campo, e.g., mesmo em sistemas maissimples que envolvem a interacao de um campo de radiacao de modo unico com um atomode dois nıveis, as previsoes para a dinamica do atomo sao bastante diferentes na teoria semi-classica comparada com a teoria quantica. Na ausencia do processo de decaimento, a teoriasemi-classica preve oscilacoes de Rabi para a inversao atomica, ao passo que a teoria quanticapreve fenomenos de colapso e renascimento em virtude dos aspectos quanticos do campo [30].

Nos agora iremos considerar um atomo de dois nıveis acoplado com um oscilador harmonicoquantico. Esta e uma tıpica situacao da eletrodinamica quantica em cavidades (do ingles ca-vity quantum electrodynamics-CQED), quando um unico atomo e acoplado a um modo dacavidade. A teoria que descreve este sistema foi desenvolvida pela primeira vez por Jaynes eCummings em (1963) [31], como uma idealizacao do acoplamento radiacao-materia no espacolivre. Embora simples, o modelo Jaynes-Cummings (MJC) apresenta uma dinamica extre-mamente rica, e na aproximacao de ondas girantes RWA possui solucao analıtica [32].

Considere um atomo de dois nıveis interagindo com um unico modo do campo eletro-magnetico [24, 29]. O hamiltoniano e dado por

HJC = HA + Hc + HI

= H0 + HI , (3.24)

em que

H0 =hωeg

2σz + hωc

(a†a+ 1/2

)(3.25)

representa o hamiltoniano livre do sistema global, onde cada modo do campo e quantizadocomo um oscilador harmonico. Aqui ωeg representa a frequencia de transicao atomica, σz euma das matrizes de Pauli, ωc a frequencia do CEM e a† (a) e o respectivo operador bosonicode criacao (destruicao). O hamiltoniano de interacao na aproximacao de dipolo e

HI = −p.E , (3.26)

onde p e o operador dipolo atomico e E o operador campo eletrico. Estes operadores podemser representados da seguinte forma:

p = |℘|(|e〉 〈g|+ |g〉 〈e|

)= |℘|

(σ+ + σ−

), (3.27)

E = iE0

(f(r)a+ f ∗(r)a†

), E0 =

√hωc2ε0V

. (3.28)

Aqui |℘| e o elemento de matriz do operador dipolo, f(r) a funcao que descreve a estruturaespacial do modo do campo, E0 e um fator de normalizacao com a dimensao de um campo

20

eletrico e V =∫|f(r)|2d3r e o volume do modo. Podemos agora reescrever o hamiltoniano de

interacao da seguinte forma:

HI = −iE0|℘||f(r)|(σ+ + σ−

)(a+ a†

)= hG

(aσ+ + a†σ+ + aσ− + a†σ−

). (3.29)

Notemos que o hamiltoniano acima, assim como no caso classico, possui os termos girantes(aσ+ e a†σ−), onde ocorre a emissao de um foton pelo campo seguida da excitacao atomica,sendo o inverso tambem valido. E possui tambem os termos contra-girantes (aσ− e a†σ+),que representam a absorcao de um foton pelo campo seguido pela excitacao atomica e vice-versa. Na aproximacao de ondas girantes (RWA) os termos contra-girantes sao desprezadose o hamiltoniano (3.29) torna-se [24, 29]

HI = hG(aσ+ + a†σ−

). (3.30)

Existe um operador Nexc = a†a + σ+σ− que representa o numero total de excitacoes dosistema atomo-campo, tal que, comuta com HJC . Se o numero de excitacoes e conservado,i.e., o atomo esta no estado |e〉 (|g〉) se o campo estiver com 0 (1) fotons, respectivamente.Esta conservacao e uma consequencia do nosso hamiltoniano de interacao HI , que acopla osestados |e, n〉 e |g, n+ 1〉 quando o sistema compartilha n+ 1 excitacoes [18, 33].

O hamiltoniano HJC pode ser diagonalizado na base |e, n〉 , |g, n+ 1〉, fornecendo-nosos seguinte autoestados:

|+, n〉 = sin θn |e, n〉+ cos θn |g, n+ 1〉 (3.31)

|−, n〉 = cos θn |e, n〉 − sin θn |g, n+ 1〉 , (3.32)

onde

sin θn =Ωn√

(∆n − δ)2 + Ω2n

e cos θn =∆n − δ√

(∆n − δ)2 + Ω2n

. (3.33)

Aqui fizemos ∆n =√δ2 + Ω2

n, sendo δ = ωeg−ωc a dessintonia e Ωn = 2G√n+ 1 a frequencia

de Rabi generalizada. Estes estados sao geralmente emaranhados e sao denominados de “es-tados vestidos”do sistema atomo-campo [33], que estao associados aos seguintes autovalores:

E±n = hωc(n+ 1)± h∆n

2(3.34)

Nao foi citado acima, mas podemos ter tambem o estado fundamental |g, 0〉, representandoo atomo no seu estado mais baixo e o campo no vacuo. Este nao e um estado emaranhado,pois nao e afetado pelo hamiltoniano de interacao.

Nos experimentos de interacao atomo-campo em CQED as frequencias dos modos docampo no interior da cavidade e as frequencias de transicoes entre os nıveis atomicos sao deextrema importancia, pois podem ser ajustadas de modo a obter dois tipos de interacoes:interacao ressonante ou interacao dispersiva.

21

3.2.1 Limite ressonante

Na interacao ressonante, a frequencia de transicao atomica (no nosso caso |e〉 e |g〉) eigual a frequencia do modo do campo eletromagnetico, i.e., ωeg = ωc ⇒ δ = 0 (vide Fig 3.1),permitindo que ocorra a troca de excitacoes entre o atomo e o modo do campo [18, 20].

Figura 3.1: Diagrama dos nıveis |e〉 (excitado) e |g〉 (fundamental) de um atomo de doisnıveis, interagindo ressonantemente com um modo do campo eletromagnetico.

Os autoestados (3.31) e (3.32) de nosso hamiltoniano, neste limite, tornam-se

|±, n〉 =1√2

(|e, n〉 ± |g, n+ 1〉

), (3.35)

com os seguintes autovalores:

E±n = hωc(n+ 1)± hΩn

2. (3.36)

Na ausencia de interacao (G = 0), nossos estados tornam-se autoestados degenerados dohamiltoniano livre H0. Subtraindo os autovalores E+n−E−n = hΩn, i.e., os autoestados comenergia nao nula (estado fundamental |g, 0〉) sao separados por hΩn.

3.2.2 Limite dispersivo

Por outro lado, de forma pouco rigorosa, se a frequencia de transicao atomica for diferenteda frequencia do modo do campo eletromagnetico (vide Fig 3.2), estaremos no chamado:regime de interacao dispersiva atomo-campo. Neste regime de interacao, a probabilidade deocorrer troca de excitacoes entre o atomo e o campo e praticamente nula, pois δ Ωn [18],de modo que

∆n ≈ |δ|+1

2

Ω2n

|δ|. (3.37)

22

Figura 3.2: Diagrama dos nıveis |e〉 (excitado) e |g〉 (fundamental) de um atomo de doisnıveis, interagindo dispersivamente com um modo do campo. O campo esta dessintonizadopor uma quantidade de δ.

Com o auxılio da equacao acima e analisando os dois limites relevantes: i) δ > 0 e ii)δ < 0, obtemos os seguintes autoestados:

i) Para δ > 0

|+, n〉 = sin θn |e, n〉+ cos θn |g, n+ 1〉 ≈ |e, n〉 (3.38)

|−, n〉 = cos θn |e, n〉 − sin θn |g, n+ 1〉 ≈ − |g, n+ 1〉 ; (3.39)

ii) Ja para δ < 0

|+, n〉 = sin θn |e, n〉+ cos θn |g, n+ 1〉 ≈ |g, n+ 1〉 (3.40)

|−, n〉 = cos θn |e, n〉 − sin θn |g, n+ 1〉 ≈ − |e, n〉 . (3.41)

Associados a estes autoestados, temos os seguintes autovalores:

E±n = hωc(n+ 1)± h

2

(|δ|+ 1

2

Ω2n

|δ|

). (3.42)

E interessante notar, que no limite dispersivo, os autoestados voltam a ser fatorados, i.e.,a interacao nao emaranha o sistema. Podemos interpretarmos o termo de interacao comouma pequena perturbacao que desloca os nıveis de energia. O hamiltoniano efetivo que iragerar esta interacao e

Hef =hωeg

2σz + hωc

(a†a+ 1/2

)+ hω

[(a†a+ 1

)|e〉 〈e| − a†a |g〉 〈g|

], (3.43)

onde fizemos ω = Ω2n/4δ(n+ 1) = G2/δ.

23

Capıtulo 4

Conhecendo o experimento dememoria quantica em cavidade

Neste capıtulo descreveremos de forma sucinta a conhecida eletrodinamica quantica emcavidades, tendo como foco os experimentos realizados pelo grupo do Laboratoire KastlerBrossel, em Paris. Posteriormente, focaremos na descricao analıtica de dois experimentospropostos por X. Maıtre et al. em [12], onde basicamente sao analisadas as propriedades deuma cavidade de alto fator de qualidade Q1, que se comporta como uma possıvel memoriaquantica.

4.1 Eletrodinamica quantica de cavidades

Os avancos tecnologicos tem permitido realizar experimentalmente varias situacoes fısicasidealizadas por Bohr, Einstein, Schrodinger, dentre outros, nas conhecidas experiencias depensamento. A area de Otica Quantica, em particular a chamada Eletrodinamica Quanticaem Cavidades (Cavity Quantum Electrodynamics - CQED), tem sido bastante fertil na rea-lizacao destas experiencias. A primeira discussao de uma CQED e feita em uma pequena notapor Purcell (1946) [34], em que ele prediz que as taxas de emissao espontanea dos atomospodem ser aumentadas nas proximidades de paredes metalicas [33].

O objetivo inicial da CQED foi entao analisar as propriedades radioativas dos atomosno vacuo “modificado” por espelhos. A primeira vista suas ideias fundamentais sao relativa-mente simples, mas implementa-las em um laboratorio nao e nada facil, por conta de todas asperturbacoes causadas pelo ambiente a nossa volta. As primeiras medidas de modificacoes daemissao espontanea (inibir ou aumentar) de atomos proximos a superfıcies refletoras foramrealizadas na decada de 80 no domınio das microondas. Na decada de 90, com a melhora dascavidades, a realizacao de experimentos no chamado “regime de acoplamento forte”foram

1Q e um fator adimensional definido pelo produto da frequencia da cavidade ωc com o tempo de retencaoTc da cavidade, ou seja, Q = ωcTc. Este fator ira quantificar quao boa a cavidade e. Cavidades com Qmaiores que 106 sao consideradas de alto fator de qualidade [33].

24

possıveis. Nestes experimentos, investiga-se a interacao de um atomo de dois nıveis com umunico modo do campo [35]. Em particular, tais avancos foram obtidos principalmente pelogrupo de pesquisa da Laboratoire Kastler Brossel, em Paris. Vamos descrever de maneirasucinta, os componentes envolvidos em tais experimentos (setup esquematizado na Figura4.1).

Figura 4.1: Esquema do arranjo experimental utilizado no experimento de Paris. Figuraretirada de [33].

4.1.1 Selecao da velocidade

Nestes experimentos, atomos alcalinos (geralmente de Rubıdio) sao ejetados do forno Oem uma distribuicao de velocidades Maxwelliana. No entanto, conhecer a posicao dos atomose essencial quando desejamos ter um controle efetivo da sequencia experimental. Este controleda posicao atomica e obtido por meio de dois lasers L1 e L′1, que selecionam os atomos nadirecao e velocidade desejadas, passando somente atomos que estejam dentro de uma estreitajanela em torno de v0 (velocidade otima) [33]. A posicao de cada atomo pode ser determinadaem qualquer tempo entre a preparacao e a deteccao, com uma precisao melhor que 1 mm [36].

4.1.2 Preparacao do estado circular

Apos ter sua velocidade selecionada, o atomo entra na caixa B, onde um laser de diodopulsado L2 excita o atomo ate um estado circular de Rydberg. Neste estado o eletron devalenca e excitado proximo ao limite de ionizacao, com numero quantico principal n bastanteelevado (tipicamente n ∼ 50). Por diversos motivos os atomos de Rydberg sao ferramentasideais para os experimentos propostos: i) eles podem ser cerca de 10 mil vezes maiores que um

25

atomo no estado fundamental; ii) possuem um longo tempo de vida radioativa (20 ms paran = 50); iii) suas grandes dimensoes implicam em um grande momento de dipolo, permitindoque os atomos sejam utilizados para estudos de interacoes atomo-campo; iv) por possuıremnumero quantico grande, a maioria das suas caracterısticas podem ser explicadas por ar-gumentos classicos, de acordo com o princıpio da correspondencia de Bohr; dentre outrascaracterısticas [33]. Maiores detalhes sobre esta preparacao do estado circular de Rydbergpodem ser encontradas em [37].

4.1.3 Zonas de Ramsey

Ao avancar em sua trajetoria, o atomo passa por R1, que e alimentada por uma fonteS ′, que por sua vez alimenta tambem R2. R1 e R2 sao conhecidas como zonas de Ramsey,cavidades eletrodinamicas de microondas de baixo fator de qualidade (Q ∼ 103). Devido aobaixo fator de qualidade da cavidade, o campo injetado por S ′ nas zonas de Ramsey possuium tempo de relaxacao muito curto (da ordem de nanosegundos). Por conta desta e de outrascaracterısticas, o campo no interior das zonas de Ramsey pode ser tratado por argumentosclassicos. Desta forma, nas zonas de Ramsey temos uma interacao atomo-campo classica [38].

4.1.4 Cavidade supercondutora

Em seguida, ao sair de R1, o atomo evolui ate C, que tambem e uma cavidade eletro-dinamica alimentada por uma fonte S. No entanto, ao contrario das zonas de Ramsey, acavidade C possui um alto fator de qualidade (Q ∼ 108, em cavidades mais recentes ja sealcanca Q ∼ 1010 [39]). C e uma cavidade aberta em uma configuracao do tipo Fabry-Perot,feita de espelhos esfericos de Niobio altamente polidos, um frente ao outro (distancia entreos espelhos ∼ 2,7 cm). Os espelhos da cavidade sao resfriados abaixo de 1 K, com o intuitode reduzir o numero de fotons termicos e tornar a cavidade supercondutora [12]. Devido atodas estas caracterıstica de C, sao observados estados nao-classicos da luz no seu interior,sendo necessario levar em conta o comportamento quantizado do campo dentro da cavidade[30]. E interessante notar que em C, temos uma interacao do atomo de dois nıveis com omodo do campo eletromagnetico quantizado [33].

4.1.5 Detectores

Por fim, temos o detector de ionizacao seletiva D, onde os atomos sao medidos. O detectore constituıdo de duas placas metalicas, em que e aplicado um campo eletrico capaz de ionizaro atomo a depender do estado em que ele se encontre. Este detector nao possui uma altaeficiencia (∼ 80%), tendo que ser repetido diversas vezes o experimento a fim de se colherdados estatisticamente relevantes [40].

26

4.2 Analise de dois experimentos realizados em cavida-

des

Nesta secao iremos analisar analiticamente dois experimentos realizados por X. Maıtre etal. em [12]. No primeiro experimento, os autores observaram o decaimento de um estado deFock com zero ou um foton [41] do campo eletromagnetico no interior da cavidade C. Nesteexperimento, eles puderam examinar e medir o tempo em que a cavidade consegue reter ainformacao (qubit) do estado quantico. No segundo experimento, eles conseguiram transferiruma superposicao coerente entre dois atomos usando a cavidade C como mediadora.

4.2.1 O decaimento de um foton em cavidades com perdas

O primeiro atomo e preparado em B num estado excitado (|e〉) e enviado atraves do apa-rato experimental (vide Fig. 4.2). Como o objetivo do experimento e observar o decaimentode um foton no interior da cavidade C, as zonas de Ramsey serao desativadas. Logo, oatomo em R1 nada sofre. Em seguida, interage ressonantemente com o estado de vacuo docampo eletromagnetico dentro da cavidade C. Desta forma, o estado global atomo+campoimediatamente antes do atomo entrar em C, e

ρg1(0) = |e〉 〈e| ⊗ |0〉 〈0| . (4.1)

Figura 4.2: Trajetoria do primeiro atomo.

Sabemos que o campo eletromagnetico no interior de C possui caracterısticas nao-classicas.Desta forma, precisamos de um modelo matematico que descreva a interacao atomo-campoquanticamente. Para analisar esta interacao, uma vez que estamos interessados em descreveranaliticamente um sistema que interagi trocando excitacoes entre si, utilizaremos o modeloJaynes-Cummings (MJC) no limite ressoante [32], visto no capıtulo anterior. A cavidade Cpossui um alto fator de qualidade Q. No entanto, este fator de qualidade nao e infinito, oque significa a existencia de perdas. Podemos modelar este processo de perdas por meio deuma equacao mestra, onde o reservatorio representa a propria cavidade [18, 20]. Utilizandoa equacao mestra (2.51) para temperaturas muito baixas, isto e, fazendo n ≈ 0, podemos

27

encontrar a evolucao do estado (4.1) no interior da cavidade com perdas. A equacao quedescreve a dinamica da interacao ressonante atomo-campo e dada por

d

dtρg1(t) =

1

ih

[hω

2(2a†a+ 1 + σz) + hG(a†σ− + aσ+), ρg1(t)

]+ κ [aρg1(t), a†

]+[a, ρg1(t)a†

] , (4.2)

que, por conveniencia, passando para a representacao de interacao, temos

d

dtρg1(t) = −iG

[(a†σ− + aσ+), ρg1(t)

]+ κ [aρg1(t), a†

]+[a, ρg1(t)a†

] . (4.3)

A solucao geral desta equacao e formalmente determinada pelo metodo de superopera-dores que possuem uma algebra de Lie fechada [18]. Entretanto, nosso interesse e resolve-laquando o sistema atomo-campo, inicialmente, compartilha apenas uma excitacao. Com estacondicao inicial, a solucao fica bem simplificada e pode ser encontrada por metodos simples.Em nosso apendice A.1, determinamos a solucao geral para uma equacao do tipo (4.3) viaelementos de matriz. Portanto, o estado (4.1) evolui para

ρg1(t) = ρ2,2(t) |e, 0〉 〈e, 0|+ ρ3,3(t) |g, 1〉 〈g, 1|+ ρ4,4(t) |g, 0〉 〈g, 0|+[ρ2,3(t) |e, 0〉 〈g, 1|+ c.h.

], (4.4)

onde

ρ2,2(t) = e−κt[cos(Ωt/2) +

κ

Ωsin(Ωt/2)

]2

;

ρ2,3(t) = iΩ0

Ωe−κt

[cos(Ωt/2) +

κ

Ωsin(Ωt/2)

]sin(Ωt/2) ;

ρ3,3(t) = e−κt[

Ω0

Ωsin(Ωt/2)

]2

;

ρ4,4(t) = 1− [ρ2,2(t) + ρ3,3(t)] .

Em que Ω0 = 2G, que e a frequencia de Rabi no vacuo e Ω =√

Ω20 − κ2 e a frequencia

de Rabi modificada pelo acoplamento com o reservatorio/banho. Apos o atomo ter suavelocidade selecionada de modo a interagir com o modo do campo no interior da cavidadepor um tempo t = π/Ω, i.e., o sistema sofre um pulso π, o estado do sistema atomo+camposera

ρg1(π/Ω) =κ2

Ω2e−κπ/Ω |e, 0〉 〈e, 0|+ Ω2

0

Ω2e−κπ/Ω |g, 1〉 〈g, 1| (4.5)

+

[1− e−κπ/Ω

(1 + 2

κ2

Ω2

)]|g, 0〉 〈g, 0|+

[iκΩ0

Ω2e−κπ/Ω |e, 0〉 〈g, 1|+ c.h.

].

Logo apos sair da cavidade, o atomo nada sofre em R2, sendo medido em D os atomosque encontram-se no estado fundamental |g〉 (vide Fig. 4.3). Reduzindo o estado do campono interior da cavidade a

28

Figura 4.3: Deteccao do primeiro atomo.

ρC(π/Ω) =Ω2

0

Ω2e−κπ/Ω |1〉 〈1|+

[1− e−κπ/Ω

(1 + 2

κ2

Ω2

)]|0〉 〈0| . (4.6)

E interessante notar que, inicialmente, a cavidade encontrava-se no estado de vacuo, aposa passagem do primeiro atomo, o campo no interior da cavidade passa para um estado demistura estatıstica dos estados de Fock, com zero ou um foton. Este armazenamento deinformacao quantica no CEM dentro da cavidade ocorre da seguinte forma: devido a confi-guracao geometrica de seus espelhos supercondutores, e selecionado um determinado mododo CEM e nele “guardada”a informacao. Entretanto, este modo interage diretamente com asparedes da cavidade, levando o estado armazenado a processos de dissipacao e decoerenciacom o passar do tempo.

Este tempo que o estado do campo evolui no interior da cavidade sujeito a dissipacao edecoerencia e chamado de delay τ , que e o tempo de atraso referente a passagem de dois(ou mais) atomos sucessivos, i.e., e o tempo que o campo no interior da cavidade evoluilivremente. Podemos modelar este processo de evolucao sujeito a perdas por meio de umaequacao mestra, onde o nosso sistema de interesse e o estado do campo dentro da cavidadee o reservatorio e a propria cavidade.

Sabemos que o hamiltoniano de evolucao livre do campo de frequencia ω0 pode ser ex-presso como

H = hω0(a†a+ 1/2) . (4.7)

Este hamiltoniano conduz a uma equacao mestra do tipo

d

dτρC(π/Ω + τ) =

1

ih

[hω0(a†a+ 1/2), ρc(π/Ω + τ)

]+ κ [aρc(π/Ω + τ), a†

]+[a, ρc(π/Ω + τ)a†

] , (4.8)

que na representacao de interacao, para o estado inicial (4.6), possui a seguinte solucao (videapendice B):

ρC(π/Ω + τ) = ρ3,3(π/Ω + τ) |1〉 〈1|+ ρ4,4(π/Ω + τ) |0〉 〈0| , (4.9)

29

com ρ3,3(π/Ω+τ) =Ω2

0

Ω2 e−κ(π+2τΩ)/Ω e ρ4,4(π/Ω+τ) =

1−e−κ(π+2τΩ)/Ω

[1+ κ2

Ω2 (1+e2kτ )]

.

Dando prosseguimento ao experimento, um segundo atomo e enviado atraves do aparatoexperimental no estado fundamental (|g〉), como exemplificado na Fig. 4.4. O atomo naosofre nada em R1. Imediatamente antes da entrada do segundo atomo na cavidade C, oestado global do sistema atomo+campo e

ρg2(π/Ω + τ) = ρ3,3(π/Ω + τ) |g, 1〉 〈g, 1|+ ρ4,4(π/Ω + τ) |g, 0〉 〈g, 0| . (4.10)

Figura 4.4: Trajetoria do segundo atomo.

De maneira analoga ao primeiro atomo, o segundo atomo interage com o modo do campono interior da cavidade durante um certo intervalo de tempo t, saindo da cavidade no estado

ρg2(π/Ω + τ + t) = ρ2,2(π/Ω + τ + t) |e, 0〉 〈e, 0|+ ρ3,3(π/Ω + τ + t) |g, 1〉 〈g, 1| (4.11)

+ρ4,4(π/Ω + τ + t) |g, 0〉 〈g, 0|+ [ρ2,3(π/Ω + τ + t) |e, 0〉 〈g, 1|+ c.h.] ,

onde

ρ2,2(π/Ω + τ + t) = ρ3,3(π/Ω + τ)e−κt

Ω2Ω2

0 sin2(Ωt/2) ;

ρ2,3(π/Ω + τ + t) = −iρ3,3(π/Ω + τ)Ω0

Ωe−κt

[cos(Ωt/2)− κ

Ωsin(Ωt/2)

]sin(Ωt/2) ;

ρ3,3(π/Ω + τ + t) = ρ3,3(π/Ω + τ)e−κt[cos(Ωt/2)− κ

Ωsin(Ωt/2)

]2

;

ρ4,4(π/Ω + τ + t) = ρ3,3(π/Ω + τ) + ρ4,4(π/Ω + τ)−[ρ2,2(π/Ω + τ + t) + ρ3,3(π/Ω + τ + t)

].

Se a velocidade atomica for selecionada de maneira que o atomo interaja com o modo docampo no interior da cavidade por um tempo t = π/Ω, i.e., o sistema sofre um pulso π. Oestado global do sistema sera

ρg2(π/Ω + τ + π/Ω) = ρ2,2(π/Ω + τ + π/Ω) |e, 0〉 〈e, 0|+ ρ3,3(π/Ω + τ + π/Ω) |g, 1〉 〈g, 1|+ρ4,4(π/Ω + τ + π/Ω) |g, 0〉 〈g, 0|+ [ρ2,3(π/Ω + τ + π/Ω) |e, 0〉 〈g, 1|+ c.h.] . (4.12)

30

Para determinar o estado do segundo atomo antes do mesmo ser detectado em D, toma-remos o traco parcial sobre as variaveis do campo em (4.12). Esta operacao nos fornece oestado do segundo atomo ao sair da cavidade C

ρA2(π/Ω + τ + π/Ω) = trc[ρg(π/Ω + τ + π/Ω)]

= ρ2,2(π/Ω + τ + π/Ω) |e〉 〈e|+ [ρ3,3(π/Ω + τ + π/Ω)

+ρ4,4(π/Ω + τ + π/Ω)] |g〉 〈g|

=Ω4

0

Ω4e−2κπ/Ωe−2κτ |e〉 〈e|

+

[1− κ2

Ω2e−κπ/Ω − Ω4

0

Ω4e−2κπ/Ωe−2κτ

]|g〉 〈g| . (4.13)

A probabilidade de encontrar o segundo atomo em |e〉, uma vez que o primeiro foi medidoem |g〉, sera

Πge =tr[ρA2(π/Ω + τ + π/Ω) |e〉 〈e|

]tr[ρA2(π/Ω + τ + π/Ω)

] =

Ω40

Ω4 e−2κπ/Ωe−2κτ

1− κ2

Ω2 e−κπ/Ω(4.14)

Figura 4.5: Deteccao do segundo atomo.

Podemos notar, que a probabilidade condicional decai exponencialmente a medida que otempo de atraso τ aumenta, evidenciando as perdas da cavidade.

31

Figura 4.6: Decaimento de um estado de Fock na cavidade: probabilidade condicional Πge

versus o “delay”τ entre os dois atomos. Na figura, utilizamos os dados experimentais forne-cidos por X. Maıtre et al. em [12].

4.2.2 Transferencia de coerencia entre dois atomos

Neste segundo experimento, o primeiro atomo e preparado em B num estado excitado(|e〉) e enviado atraves do aparato experimental (vide Fig. 4.7). Ao passar pela primeirazona de Ramsey (R1), o atomo no estado excitado interage com o CEM do interior de R1.Como dito no inıcio da secao, as zonas de Ramsey sao cavidades de baixo Q, onde o CEMno seu interior possui caracterısticas classicas. Assim, dentro de R1, teremos uma interacaodo atomo com um campo classico.

Figura 4.7: Trajetoria do primeiro atomo.

A evolucao do estado atomico inicial |ψ(0)〉 = |e〉 e dada pela equacao de Schrodinger(2.2)

ihd

dt|ψ(t)〉 = H(t) |ψ(t)〉 ,

32

com H(t) = H0(t) + HI(t), onde H0(t) e HI(t) representam os hamiltonianos das partesnao-perturbada e de interacao, respectivamente. Na representacao de interacao, a equacaoanterior assume a forma

ihd

dt|ψ(t)〉 = HI |ψ(t)〉 , (4.15)

onde HI e o hamiltoniano de interacao (3.19) de um atomo de dois nıveis interagindo com umcampo classico nas aproximacoes de dipolo e RWA. Substituindo (3.19) na equacao (4.15) eassumindo que o atomo interage com campo no interior de R1 quase ressonantemente duranteum tempo t, o estado inicial |ψ(0)〉 = |e〉 evoluira para

|ψ(t)〉 =

[cos(Ωt/2)− i δ

Ωsin(Ωt/2)

]eiδt/2 |e〉+ i

ΩR

Ωsin(Ωt/2)eiφe−iδt/2 |g〉 . (4.16)

Como as zonas de Ramsey estao muito proximas da ressonancia, i.e., δ ΩR, temos queΩ ≈ ΩR. Logo

|ψ(t)〉 ≈ cos(ΩRt/2)eiδt/2 |e〉+ i sin(ΩRt/2)eiφe−iδt/2 |g〉 . (4.17)

Se o atomo teve sua velocidade selecionada de modo a interagir com R1 durante um tempot = π/2

ΩR, ou seja, o atomo sofreu um pulso π/2, entao

|ψ (π/2ΩR)〉 ≈ 1√2

[eiδπ/4ΩR |e〉+ ieiφe−iδπ/4ΩR |g〉

]. (4.18)

O termo δπ/4ΩR e muito pequeno, pois ΩR e da ordem de 105 [30], o que possibilita fazere±iδπ/4ΩR ≈ 1. Dessa forma,

|ψ (π/2ΩR)〉 ≈ 1√2

[|e〉+ ieiφ |g〉

]. (4.19)

Como o estado de um sistema de dois nıveis pode ser representado por um ponto sobre aesfera de Bloch2, a funcao de um campo classico ao interagir com o atomo e “girar”o estadoatomico.

Logo apos sair da primeira zona de Ramsey R1, o atomo encontra a cavidade C de altofator de qualidade no estado de vacuo, como exemplificado na Fig. 4.8. Desta forma, oestado inicial do sistema global (atomo+campo), imediatamente antes do atomo entrar emC, e

ρg1(0) = ρA1(π/2ΩR)⊗ ρC(0) (4.20)

=1

2

[|e, 0〉 〈e, 0|+ |g, 0〉 〈g, 0|

]− 1

2

[ie−iφ |e, 0〉 〈g, 0|+ c.h.

].

2Representacao geometrica do espaco de Hilbert de um sistema de dois nıveis [33].

33

Figura 4.8: Transferencia da coerencia atomica para a cavidade.

O atomo interage com o CEM no interior da cavidade C, que nao possui fator de qua-lidade infinito, estando sujeita a perdas. Modelando novamente, a interacao atomo-campono interior de C por meio de uma equacao mestra a temperaturas muito baixas (n ≈ 0),onde o reservatorio representa a propria cavidade (vide apendice A.1), o estado inicial (4.20)evoluira para

ρg1(t) = ρ2,2(t) |e, 0〉 〈e, 0|+ ρ3,3(t) |g, 1〉 〈g, 1|+ ρ4,4(t) |g, 0〉 〈g, 0|+[ρ2,3(t) |e, 0〉 〈g, 1|

+ρ2,4(t) |e, 0〉 〈g, 0|+ ρ3,4(t) |g, 1〉 〈g, 0|+ c.h.], (4.21)

onde

ρ2,2(t) =e−κt

Ω2

Ω2

2+

[Ω2

0

2− Ω2

]sin2(Ωt/2) + κ Ω cos(Ωt/2) sin(Ωt/2)

;

ρ2,3(t) =e−κt

Ω2

iΩ0κ

2sin2(Ωt/2) +

iΩ0

2Ω cos(Ωt/2) sin(Ωt/2)

;

ρ2,4(t) =e−κt/2

Ω2

−ie−iφ

2Ω2 cos(Ωt/2)− ie−iφ

2κ Ω sin(Ωt/2)

;

ρ3,3(t) =e−κt

Ω2

Ω2

0

2sin2(Ωt/2)

;

ρ3,4(t) =e−κt/2

Ω2

−e−iφ

2Ω Ω0 sin(Ωt/2)

;

ρ4,4(t) = 1− [ρ2,2(t) + ρ3,3(t)] .

Se o tempo t que o sistema atomo-campo passa evoluindo ressonantemente for equivalentea um pulso π, ou seja, t = π/Ω. Ao termino deste pulso nosso estado global (4.21) sera:

ρg1(π/Ω) =κ2

2Ω2e−κπ/Ω |e, 0〉 〈e, 0|+ Ω2

0

2Ω2e−κπ/Ω |g, 1〉 〈g, 1|

+

1− 1

2

[1 +

2κ2

Ω2

]e−κπ/Ω

|g, 0〉 〈g, 0|+

[iκΩ0

2Ω2e−κπ/Ω |e, 0〉 〈g, 1|

34

−iκe−iφ

2Ωe−κπ/2Ω |e, 0〉 〈g, 0| − Ω0e

−iφ

2Ωe−κπ/2Ω |g, 1〉 〈g, 0|+ c.h.

]. (4.22)

E relevante notar que este e um estado emaranhado, tambem conhecido na literatura comoestado vestido, i.e., o atomo encontra-se “vestido”pelo campo [33]. Com isto, se fizermos umamedida em um dos subsistemas, podemos saber o estado do outro que esta correlacionadoquanticamente. Apos sair da cavidade C, o atomo nada sofre na segunda zona de Ramsey R2

e, finalmente, sao medidos no detector D os atomos que encontram-se no estado fundamental(|g〉), como exemplificado na Fig. 4.9. Assim, o estado do campo no interior da cavidadetorna-se

ρC(π/Ω) =Ω2

0

2Ω2e−κπ/Ω |1〉 〈1|+

1− 1

2

[1 +

2κ2

Ω2

]e−κπ/Ω

|0〉 〈0|

−[

Ω0e−iφ

2Ωe−κπ/2Ω |1〉 〈0|+ c.h.

]. (4.23)

Figura 4.9: Deteccao do primeiro atomo.

Podemos observar que o estado do campo no interior da cavidade, que inicialmente seencontrava no estado de vacuo, agora encontra-se numa superposicao coerente dos estados deFock. Da mesma forma que o experimento anterior, existe um tempo de atraso τ , chamadode delay, referente ao tempo entre a passagem de dois ou mais atomos sucessivos. Duranteeste tempo o campo no interior da cavidade evolui livremente sujeito a perdas.

Desta forma, podemos modelar a evolucao livre do campo no interior da cavidade pormeio de uma equacao mestra para um oscilador interagindo com o ambiente a sua volta (videapendice B). Tendo como condicao inicial o estado (4.23), obtemos

ρC(π/Ω+τ) = ρ3,3(π/Ω+τ) |1〉 〈1|+ρ4,4(π/Ω+τ) |0〉 〈0|+[ρ3,4(π/Ω+τ) |1〉 〈0|+c.h.

], (4.24)

onde

ρ3,3(π/Ω + τ) =Ω2

0

2Ω2e−κπ/Ωe−2κτ ;

ρ3,4(π/Ω + τ) = −Ω0e−iφ

2Ωe−κπ/2Ωe−κτ ;

35

ρ4,4(π/Ω + τ) =

1− 1

2

[κ2

Ω2+

Ω20

Ω2e−2κτ

]e−κπ/Ω

.

Apos este delay τ , o segundo atomo preparado em B no estado fundamental (|g〉) e enviadoatraves do aparato experimental (vide Fig. 4.10). Nada sofre na primeira zona de Ramsey(R1) e ao entrar na cavidade C, depara-se com o campo numa superposicao de estados deFock. O estado global do sistema (atomo+campo), neste caso, sera

ρg2(π/Ω + τ) = ρA2(0)⊗ ρC(π/Ω + τ)

= ρ3,3(π/Ω + τ) |g, 1〉 〈g, 1|+ ρ4,4(π/Ω + τ) |g, 0〉 〈g, 0| (4.25)

+[ρ3,4(π/Ω + τ) |g, 1〉 〈g, 0|+ c.h.

].

Figura 4.10: Trajetoria do segundo atomo.

De maneira identica ao primeiro atomo, o segundo atomo ira interagir com o modo docampo no interior de C durante um intervalo de tempo t = π/Ω, encontrando-se ao terminoda interacao no estado

ρg2(π/Ω + τ + π/Ω) = ρ2,2(π/Ω + τ + π/Ω) |e, 0〉 〈e, 0|+ ρ3,3(π/Ω + τ + π/Ω) |g, 1〉 〈g, 1|

+ρ4,4(π/Ω + τ + π/Ω) |g, 0〉 〈g, 0|+[ρ2,3(π/Ω + τ + π/Ω) |e, 0〉 〈g, 1|

+ρ2,4(π/Ω + τ + π/Ω) |e, 0〉 〈g, 0|+ ρ3,4(π/Ω + τ + π/Ω) |g, 1〉 〈g, 0|

+c.h.], (4.26)

com

ρ2,2(π/Ω + τ + π/Ω) =Ω4

0

2Ω4e−2κπ/Ωe−2κτ ;

ρ2,3(π/Ω + τ + π/Ω) =iΩ3

0κ

2Ω4e−2κπ/Ωe−2κτ ;

ρ2,4(π/Ω + τ + π/Ω) =iΩ2

0κ

2Ω2e−iφe−κπ/Ωe−κτ ;

ρ3,3(π/Ω + τ + π/Ω) =Ω2

0κ2

2Ω4e−2κπ/Ωe−2κτ ;

ρ3,4(π/Ω + τ + π/Ω) =Ω0κ

2Ω2e−iφe−κπ/Ωe−κτ ;

36

ρ4,4(π/Ω + τ + π/Ω) = 1− κ2

2Ω2e−κπ/Ω − Ω2

0

2Ω4

(Ω2

0 + κ2)e−2κπ/Ωe−2κτ .

Como podemos notar na Fig. 4.11, ao sair da cavidade, antes de ser detectado em D, osegundo atomo passa pela segunda zona de Ramsey R2. O atomo interage com o campo nointerior de R2 durante um tempo t = (π/2)/ΩR, i.e., o sistema experimenta um pulso π/2.O objetivo de R2 e examinar a coerencia que a cavidade C consegue armazenar durante umcerto intervalo de tempo τ , por meio de um metodo conhecido como interferometria atomicade Ramsey3. No entanto, podemos notar que o estado (4.26) e um estado emaranhado, ouseja, possui um entrelacamento entre o atomo e o campo, de modo que, para sabermos oestado do atomo ao sair da cavidade, sera necessario tomar o traco parcial sobre as varaveisdo campo na equacao (4.26). Logo

ρA2 = trc

[ρg2(π/Ω + τ + π/Ω)

]= ρ2,2(π/Ω + τ + π/Ω) |e〉 〈e|+

[ρ3,3(π/Ω + τ + π/Ω) + ρ4,4(π/Ω + τ + π/Ω)

]|g〉 〈g|

+[ρ2,4(π/Ω + τ + π/Ω) |e〉 〈g|+ c.h.

]. (4.27)

Figura 4.11: Interferometria atomica de Ramsey.

Note que (4.27) nao e um estado puro, i.e., possui alguma mistura estatıstica devido aperda de coerencia da cavidade C. Desta forma, temos que fazer a evolucao do estado atomicodentro de R2 via densidade reduzida. Partindo da equacao de Liouville-von Neumann (2.19),que na representacao de interacao assume a forma

d

dtρA2(t) =

1

ih

[HI , ρA2(t)

]. (4.28)

Como nas zonas de Ramsey o campo pode ser tratado classicamente, o nosso hamiltonianode interacao HI sera o hamiltoniano de um atomo de dois nıveis interagindo com o CEM

3Esse metodo, que e amplamente utilizado, consiste em fazer com que os atomos interajam com doiscampos classicos em duas regioes separadas espacialmente. Em cada regiao, o tempo de interacao e reguladode forma que o atomo, inicialmente no estado excitado |e〉 ou fundamental |g〉, tenha a mesma amplitude deprobabilidade apos a interacao [35].

37

classico (3.19). No entanto, as zonas de Ramsey R1 e R2 sao alimentadas pela mesma fonteS’, de modo que o campo dentro de R2 e evoluıdo por uma fase proporcional a T comparadocom o campo de R1, onde T e o tempo que o atomo leva para sair de R1 e chegar em R2.E relevante notar que o tempo de delay τ entre a saıda de um atomo e a entrada do seusucessor, na qual o campo no interior da cavidade evolui livremente, tambem deve ser levadoem conta. Isto devido ao fato que a cavidade possui um tempo de retencao limitado, ouseja, quando o estado de Fock do interior da cavidade decai antes do segundo atomo entrar,o atomo encontrara o estado de vacuo no interior da cavidade e ira sair de C no estadofundamental |g〉. Apos passar por R2, o segundo atomo podera ser detectado em D nosestados |e〉 ou |g〉 com igual probabilidade, causando uma perda de coerencia. Desta forma,o hamiltoniano de interacao em R2 tem a seguinte forma

HI = − hΩR

2

[σ+e

−iφei(δt+δT−ωegτ) + σ−eiφei(δt+δT−ωegτ)

]. (4.29)

Substituindo a equacao (4.29) em (4.28), encontramos que, apos o nosso segundo atomoter interagido com R2 durante um intervalo de tempo t = π/2ΩR, o estado do nosso sistemasera (Para maiores detalhes vide apendice C)

ρA2(π/2ΩR) = ρe,e(π/2ΩR) |e〉 〈e|+ ρg,g(π/2ΩR) |g〉 〈g|+[ρe,g(π/2ΩR) |e〉 〈g|+ c.h.

], (4.30)

onde

ρe,e(π/2ΩR) =1

2

1− e−κπ/Ω

Ω2

[κ2

2− Ω2

0e−κτ cos(δT − ωegτ)

];

ρe,g(π/2ΩR) = − i2ei(δT−ωegτ)e−iφ

− 1 +

e−κπ/Ω

Ω2

(Ω4

0

Ω2e−κπ/Ωe−2κτ +

κ2

2

+iΩ20e−κτ sin(δT − ωegτ)

);

ρg,g(π/2ΩR) =1

2

1− e−κπ/Ω

Ω2

[κ2

2+ Ω2

0e−κτ cos(δT − ωegτ)

].

A probabilidade condicional de medir o segundo atomo em |e〉, uma vez que o primeirofoi medido em |g〉, sera

Πge =tr[ρA2(π/2ΩR) |e〉 〈e|

]tr[ρA2(π/2ΩR)

] =1

2

[1 + V (κ,Ω, τ) cos(δT − ωegτ)

], (4.31)

onde V (κ,Ω, τ) e a visibilidade das franjas de interferencia, dada por

V (κ,Ω, τ) =

(1 + κ2

Ω2

)e−κπ/Ω(

1− κ2

2Ω2 e−κπ/Ω)e−κτ . (4.32)

38

Figura 4.12: Deteccao do segundo atomo.

Repetindo o experimento muitas vezes, variando a dessintonia δ por alguns poucos kHze o tempo de atraso τ , foram obtidas curvas da probabilidade condicional de se detectar osegundo atomo em |e〉, sendo que o primeiro foi detectado em |g〉 (vide Fig. 4.13). Estascurvas exibem franjas de interferencia atomica, revelando a coerencia transmitida ao segundoatomo.

Figura 4.13: Probabilidade condicional Πge versus dessintonia δ, em unidades de Hz, aplicadano primeiro atomo em R1 e para o segundo atomo em R2. Na figura, utilizamos os dadosexperimentais fornecidos por X. Maıtre et al. em [12].

A existencia destas franjas demonstra que o sistema composto por dois atomos+cavidadese comporta como um unico objeto quantico, em que a coerencia foi injetada em um atomoe finalmente detectada no outro. O que revela esta coerencia transmitida sao as franjasque diminuem com o aumento do atraso entre os dois impulsos Ramsey, como pode serverificado por uma mera inspecao da Fig. 4.13. A observacao destas franjas revela a operacaocoerente de uma memoria quantica em CQED, com as suas devidas limitacoes, demonstrandoa possibilidade da combinacao de operacoes coerentes em sistemas multi-qubit.

39

Capıtulo 5

Preservando a coerencia

Em seus trabalhos sobre manipulacao de fotons em cavidades atraves do acoplamentoatomo-campo no limite dispersivo, M. Brune et al. [42, 43], alem de descreverem a medidaquantica nao-demolidora (QND), analisaram alguns parametros experimentais e os limitesque envolvem a geracao de fase no sistema sujeito a esse tipo de interacao. Alem disso,perceberam que o atomo de dois nıveis deve cruzar a cavidade em um tempo maximo daordem de 10−4s, nesse limite, o decaimento atomico nao e considerado apreciavel. Em geral,os trabalhos de eletrodinamica quantica em cavidades (CQED), efetuados antes do ano de2007, sao realizados com apenas um ou dois atomos, a depender do objetivo experimental,e a repeticao ocorre unicamente para colher dados estatısticos. Esse modo de proceder sedeve a decoerencia que o estado do CEM e submetido durante o tempo de realizacao do ex-perimento. Apesar de relativamente pequena, essa perda se mostra relevante e impossibilitaa realizacao experimental contendo muitos atomos sobre o mesmo estado do campo. Comisto, os efeitos danosos de origem atomica nao vinham a tona e resultados que apontam nessadirecao sao desconhecidos ate o momento.

No entanto, uma nova fronteira experimental foi alcancada com a construcao de uma ca-vidade [39] com fator de qualidade duas ordens de grandeza superior as demais, conduzindoa um novo tempo de amortecimento Tc para a cavidade da ordem de 10−1 segundos e osefeitos de decoerencia sobre o estado do CEM tornam-se mais debeis. Atualmente, com essacavidade, os experimentos de CQED podem ser realizados preparando-se um determinadoestado do CEM e por ele passam centenas (as vezes, milhares) de atomos sem a necessidadede se preparar um novo estado do CEM, e.g., em um trabalho, S. Gleyzes et al. [44] conse-guiram observar saltos quanticos com essas cavidades. Nesse experimento, eles prepararama cavidade no estado de vacuo |0〉 e em seguida mandam um feixe atomico (no total de35.700 atomos) com cada um deles na superposicao coerente (|e〉+ |g〉)/

√2. Atraves de uma

medida QND conseguiram medir o atomo em |g〉 (|e〉) se o CEM esta em |0〉(|1〉), respectiva-mente. Ocorrendo medidas sucessivas do atomo em |e〉 eles puderam atestar o salto quantico|g〉 −→ |e〉, valendo tambem para o caso inverso.

Meses depois o mesmo grupo publicou outro trabalho onde muitos atomos atravessam o

40

mesmo estado do CEM [45], em que eles conseguiram observar passo a passo (via medidaQND) os colapsos do numero de fotons armazenados na cavidade. Nesse trabalho, os autorespreparam o CEM no interior da cavidade em um estado coerente |α〉 com |α|2 ∼ 3.82. Emseguida mandam um feixe atomico (no total de 2.900 atomos) com cada um deles em umasuperposicao coerente (|e〉 + |g〉)/

√2. Atraves de uma medida QND mediram, aproximada-

mente, os primeiros 50 atomos do feixe e colapsaram o estado coerente em um determinadoestado de Fock. Em seguida, atraves da mesma medida QND, observaram os saltos quanticossucessivos entre os estados de Fock ate chegar no estado de vacuo.

5.1 A evolucao do qubit no modo da cavidade

Para fins de informacao quantica e essencial preservar os termos de coerencia do operadordensidade do estado armazenado. Uma boa memoria quantica deve ser apta a guardar oqubit, preservando sua coerencia por um longo intervalo de tempo, quando comparado coma dissipacao imposta pelo meio. Em vista disso, define-se o tempo de retencao Tc de umamemoria quantica como o tempo caracterıstico de amortecimento dos elementos nao diagonaisdo estado quantico armazenado durante a evolucao em seu interior, e.g., considere um qubitinicialmente preparado no estado

|ψ〉 = eiξ[cos(α) |0〉+ eiβ sin(α) |1〉

](5.1)

e armazenado no modo do CEM selecionado pela cavidade C. Devido as perdas da cavidade oestado do campo evoluira sujeito a dissipacao, desta forma, como ja mostrado anteriormente,podemos modelar a evolucao deste estado a partir da equacao mestra (2.51)

d

dtρc(t) =

1

ih

[H, ρc(t)

]+ κ [aρc(t), a

†]+[a, ρc(t)a

†] , (5.2)

onde o hamiltoniano de evolucao livre do campo e H = hω(a†a + 1/2) e o estado inicial docampo dado por ρc(0) = cos2(α) |0〉 〈0|+ sin2(α) |1〉 〈1|+ eiβ sin(α) cos(α) |1〉 〈0|.

Se o qubit evolui livremente no interior da cavidade C durante um certo intervalo detempo t = ∆t, ao termino desta evolucao ele encontra-se no estado

ρc(∆t) =[1− sin2(α)e−2κ∆t

]|0〉 〈0|+ sin2(α)e−2κ∆t |1〉 〈1| (5.3)

+ sin(α) cos(α)e−κ∆t[eiβ |1〉 〈0|+ c.h.

].

Para determinar o tempo de retencao, faremos

κ∆t =∆t

Tc, (5.4)

onde ∆t e o intervalo de tempo que o qubit evolui no interior da memoria quantica e Tc econhecido como tempo caracterıstico, que corresponde ao tempo de retencao da cavidade.

41

Por simples comparacao, do lado esquerdo com o direito da equacao acima, fica claro que otempo de retencao da cavidade e o inverso da sua constante de amortecimento, i.e.,

Tc =1

κ. (5.5)

Para aumentarmos o tempo de permanencia do qubit no interior da cavidade, precisamosdiminuir o modo como o decaimento atua sobre os elementos de coerencia do estado docampo. Nas secoes que seguem, implementaremos analiticamente dois procedimentos quepermitem monitorar o tempo de retencao Tc de uma memoria quantica em cavidades demicroondas.

5.2 Monitorando e preservando a coerencia de um qu-

bit via um kick de fase

No ano de 2002, Morigi et al. em [46] mostraram teoricamente que a evolucao unitariade um oscilador harmonico acoplado a um sistema de dois nıveis pode ser desfeita por umamanipulacao adequada do sistema de dois nıveis, especificamente, por uma quase instantaneamudanca (ou comumente conhecido como kick) de fase. Este kick de fase quase instantaneopermite isolar a evolucao dissipativa a qual o oscilador possa ser exposto. Tres anos depois,Meunier et al. em [47] implementaram esta tecnica em CQED, mostrando que o colapso deuma oscilacao atomica de Rabi em um campo coerente e reversıvel, i.e., o kick de fase quaseinstantaneo aplicado no atomo, induz fenomenos de revival em instantes de tempo diferentesdo que ocorreria espontaneamente.

A par disto, aplicamos este metodo como uma forma de monitorar e preservar a coerenciade um qubit armazenado no modo do CEM de uma cavidade C. Para isto, considere umaamostra de atomos no estado fundamental |g〉, enviados em forma de feixe, transpondo acavidade com velocidade atomica v0 ajustada para que cada atomo interaja com o campo dointerior da cavidade C por um tempo T = T1 + kick+ T2, sofrendo tres evolucoes sucessivas:

i A primeira ressonante, durante um intervalo de tempo T1;

ii A segunda e o kick de fase quase instantaneo no atomo;

iii E a terceira novamente ressonante, durante um intervalo de tempo T2.

Assim, cada atomo que adentra a cavidade primeiro ira interagir ressonantemente duranteum intervalo de tempo T1, sofrendo um pulso π. Com isso, mapeamos o estado do campo noatomo. Ao fim deste intervalo de tempo T1 o atomo sofre um kick de fase quase instantaneocorrespondente a operacao unitaria Ukick = |e〉 〈e| − |g〉 〈g| = σz, o hamiltoniano geradordeste kick de fase quase instantaneo e Hkick = hπσ−σ+δ(t − T1). Logo, o efeito do kick aotermino de T1 sera: ρ(T1)kick = Ukickρ(T1)U−1

kick = σzρ(T1)σz, i.e., ele colocara um fator defase eiπ em alguns dos termos de coerencia, revertendo efetivamente a dinamica. Em seguida,

42

retornamos a interacao ressonante por um intervalo de tempo T2 e o atomo sofre um novopulso π, devolvendo o estado para o modo da cavidade.

Desta maneira, considere o estado inicial do campo no interior da cavidade C dado por

ρC(0) = ρ1,1(0) |1〉 〈1|+[1− ρ1,1(0)

]|0〉 〈0|+

[ρ1,0(0) |1〉 〈0|+ c.h.

]. (5.6)

O atomo que, inicialmente, encontra-se no estado fundamental (|g〉) depara com o campodo interior da cavidade C no estado acima, tal que o estado global do sistema atomo+campoimediatamente antes do atomo entrar em C, e

ρg(0) = ρ1,1(0) |g, 1〉 〈g, 1|+[1− ρ1,1(0)

]|g, 0〉 〈g, 0|+

[ρ1,0(0) |g, 1〉 〈g, 0|+ c.h.

]. (5.7)

O atomo interage ressonantemente com o campo do interior de C durante um intervalode tempo T1 = π/Ω, i.e., o sistema sofre um pulso π. Assim, o estado do sistema evolui para

ρg(T1) = ρ2,2(π/Ω) |e, 0〉 〈e, 0|+ ρ3,3(π/Ω) |g, 1〉 〈g, 1|+ ρ4,4(π/Ω) |g, 0〉 〈g, 0| (5.8)

+[ρ2,3(π/Ω) |e, 0〉 〈g, 1|+ ρ2,4(π/Ω) |e, 0〉 〈g, 0|+ ρ3,4(π/Ω) |g, 1〉 〈g, 0|+ c.h.

],

com

ρ2,2(π/Ω) =e−κπ/Ω

Ω2

ρ1,1(0)Ω2

0

;

ρ2,3(π/Ω) =e−κπ/Ω

Ω2iρ1,1(0)Ω0κ ;

ρ2,4(π/Ω) =e−κπ/2Ω

Ω2−iρ1,0(0)Ω0Ω ;

ρ3,3(π/Ω) =e−κπ/Ω

Ω2

ρ1,1(0)κ2

;

ρ3,4(π/Ω) =e−κπ/2Ω

Ω2−ρ1,0(0)Ωκ ;

ρ4,4(π/Ω) = 1−[ρ2,2(π/Ω) + ρ3,3(π/Ω)

].

Apos evoluir por um intervalo de tempo T1, o atomo entao sofre o kick de fase quaseinstantaneo, correspondente ao operador unitario Ukick = |e〉 〈e| − |g〉 〈g| = σz. Logo, o efeitodo kick ao termino de T1 sera: ρg(T1)kick = Ukickρg(T1)U−1

kick = σzρg(T1)σz, ou seja,

ρg(T1)kick = ρ2,2(π/Ω) |e, 0〉 〈e, 0|+ ρ3,3(π/Ω) |g, 1〉 〈g, 1|+ ρ4,4(π/Ω) |g, 0〉 〈g, 0| (5.9)

+[− ρ2,3(π/Ω) |e, 0〉 〈g, 1| − ρ2,4(π/Ω) |e, 0〉 〈g, 0|+ ρ3,4(π/Ω) |g, 1〉 〈g, 0|+ c.h.

].

Em seguida, o sistema interage ressonantemente por mais um intervalo de tempo T2 =π/Ω, isto e, o sistema sofre um novo pulso π. Levando em consideracao que T1 + T2 = T ,

43

temos que

ρg(T )kick = ρ1,1(0)[%2(κ,Ω, T ) |e, 0〉 〈e, 0|+ η2(κ,Ω, T, 0) |g, 1〉 〈g, 1|

]+

1− ρ1,1(0)

[%2(κ,Ω, T ) + η2(κ,Ω, T, 0)

]|g, 0〉 〈g, 0|

+[iρ1,1(0)%(κ,Ω, T )η(κ,Ω, T, 0) |e, 0〉 〈g, 1|+ iρ1,0(0)%(κ,Ω, T ) |e, 0〉 〈g, 0|

+ρ1,0(0)η(κ,Ω, T, 0) |g, 1〉 〈g, 0|+ c.h.], (5.10)

em que definimos

η(κ,Ω, T, t) ≡(

1 + 2κ2

Ω2

)e−κ(T+2t)/2 ;

%(κ,Ω, T ) ≡ 2Ω0κ

Ω2e−κT/2 .

Nesta proposta experimental nao sera feita a deteccao atomica inicialmente, ou seja, oestado atomico nao sera medido no momento em que os atomos saem da cavidade C. Assimsendo, tracando fora o estado atomico apos a interacao, o estado do campo no interior de Capos a passagem do primeiro atomo e

ρC(T )kick = trA[ρg(T )kick]

= ρ1,1(0)η2(κ,Ω, T, 0) |1〉 〈1|+[1− ρ1,1(0)η2(κ,Ω, T, 0)

]|0〉 〈0|

+[ρ1,0(0)η(κ,Ω, T, 0) |1〉 〈0|+ c.h.

]. (5.11)

Entre a saıda do primeiro atomo e a entrada do segundo, pode existir uma janela detempo t1 que o campo no interior de C evolui livremente, sujeito a perdas. Desta forma, aoentrar na cavidade o segundo atomo encontrara o campo no seguinte estado

ρC(T + t1)kick = ρ1,1(0)η2(κ,Ω, T, t1) |1〉 〈1|+[1− ρ1,1(0)η2(κ,Ω, T, t1)

]|0〉 〈0|

+[ρ1,0(0)η(κ,Ω, T, t1) |1〉 〈0|+ c.h.

]. (5.12)

E interessante notar, que a funcao η(κ,Ω, t1) fornece toda informacao sobre a dissipacaoe decoerencia sofrida pelo estado do campo durante o tempo T + t1 de evolucao no interiorda cavidade. Observando esta ultima equacao, por recorrencia, apos a passagem do N-esimoatomo do feixe atraves da cavidade, o estado do CEM no seu interior, torna-se

ρC(NT + T )kick = ρ1,1(0)N∏i=1

η2(κ,Ω, T, ti) |1〉 〈1|+[1− ρ1,1(0)

N∏i=1

η2(κ,Ω, T, ti)

]|0〉 〈0|

+

[ρ1,0(0)

N∏i=1

η(κ,Ω, T, ti) |1〉 〈0|+ c.h.

], (5.13)

44

onde T =∑N−1

i=1 ti, salvo que, ti e o intervalo temporal que o CEM evolui livremente sujeitoas perdas, logo apos a saıda do i-esimo atomo e a entrada do seu sucessor. Para obter-mos o tempo de amortecimento dos termos de populacao T pr e dos termos de coerencia T cr ,explicitaremos o decaimento por meio do fator e−∆t/Tr , sendo ∆t o tempo de evolucao docampo no interior da cavidade e Tr o tempo caracterıstico, que e comumente conhecido comotempo de retencao ou de amortecimento. Deste modo, o tempo de retencao para os termosde coerencia, e

e−∆t/T cr =N∏i=1

η(κ,Ω, T, ti)

−(NT + T )

T cr=

N∑i=1

ln [η(κ,Ω, T, ti)]

T cr =NT + T∑N

i=1 ln [η−1(κ,Ω, T, ti)]

T cr =2NT + 2T

κ(NT + 2T )− 2N ln[1 + 2 κ

2

Ω2

] , (5.14)

e similarmente, o tempo de retencao para os termos de populacao, e

e−∆t/T pr =N∏i=1

η2(κ,Ω, T, ti)

T pr =NT + T

κ(NT + 2T )− 2N ln[1 + 2 κ

2

Ω2

] . (5.15)

Quando mais de um atomo esta presente no feixe que transpoe a cavidade, efeitos dinamicosdevido ao coletivo acoplamento atomico com o modo do campo no interior da cavidade de-vem ser levados em consideracao [33]. Para evitar tais efeitos, a densidade λ do feixe atomicoe reduzida a um valor inferior a unidade1. Tendo isto em mente, um feixe com N atomospossuira em media λN atomos atravessando a cavidade e outros (1− λ)N atomos ausentes.Tornando-se relevante examinar os efeitos que os “atomos ausentes”exercem sobre o proce-dimento experimental.

As janelas de tempos ti entre a passagem dos atomos sucessivos estao diretamente re-lacionadas com a ausencia atomica, i.e., T =

∑N−1i=1 ti contem todo intervalo de tempo,

na qual, o campo do interior da cavidade passa evoluindo livremente sujeito apenas a dis-sipacao. Levando em conta a densidade do feixe atomico λ, podemos reescrever T como(1− λ)Ntpulson = (1− λ)N(T ). Assim, fazendo as substituicoes:

1Esta densidade corresponde a probabilidade de ter um atomo presente no feixe. Ela e limitada pelosseguintes extremos 0 ≤ λ ≤ 1, assumindo o valor 0 quando nao ha atomos presentes no feixe interagindo comC e assumi o valor 1 quando sempre ha atomos presentes no feixe interagindo com C.

45

i. N −→ λN

ii. T −→ (1− λ)N(T ) .

Obtemos os seguintes novos tempos de retencao

T cr =1

κ

2λNT + 2(1− λ)NT(λNT + 2(1− λ)NT

)− 2λN

κln[1 + 2 κ

2

Ω2

]=

1

κ

2NT

2NT − λNT + 2

κln[1 + 2 κ

2

Ω2

]=

1

κ

1

1− λ2T

T + 2

κln[1 + 2 κ

2

Ω2

]=

1

κ

1

1− λ α(κ,Ω, T ), (5.16)

e

T pr =1

2κ

2λNT + 2(1− λ)NT(λNT + 2(1− λ)NT

)− 2λN

κln[1 + 2 κ

2

Ω2

]=

1

2κ

1

1− λ α(κ,Ω, T ), (5.17)

onde por simplificacao fizemos

α(κ,Ω, T ) =1

2T

T +

2

κln

[1 + 2

κ2

Ω2

].

E interessante notar, que o tempo de retencao da cavidade neste nosso procedimentoexperimental se diferencia de (5.5) pelo fator 1/(1− λ α(κ,Ω, T )), que sera responsavel pelamelhora do tempo de retencao da cavidade. Levando isto em consideracao, podemos definiruma funcao de ganho g(κ,Ω, T, λ), que quantificara o aumento que o tempo de retencaoobteve nesta proposta experimental.

g(κ,Ω, T, λ) =

1

1− λα(κ,Ω, T )− 1

× 100% (5.18)

A Fig. 5.1 mostra-nos que quando λ tender a 1, isto e, quando sempre tivermos um atomopresente no feixe, podemos ter um ganho de ate 100% em nosso procedimento experimental.Dobrando assim o tempo de permanencia do qubit no interior da cavidade.

46

Figura 5.1: Ganho do tempo de retencao da cavidade g(κ,Ω, T, λ) em funcao da densidadelinear λ do feixe atomico. Neste grafico, utilizamos os dados retirados de [39]. Vale lembrar,que a taxa de dissipacao κ da cavidade e dado por κ = 1/2Tc (veja [43]).

5.2.1 Dispersao da velocidade atomica

Os procedimentos experimentais em CQED sao pulsados, tornando a selecao da veloci-dade atomica um ingrediente essencial para um bom controle da sequencia experimental, jaque devemos conhecer a posicao atomica durante todo experimento. O controle da velocidadeatomica e feita com muita precisao, mas ha sempre uma dispersao aleatoria durante o pro-cesso de selecao que varia entre 0 e ±2 m/s em torno da velocidade otima v0 [36]. Em nossaproposta o tempo de interacao total e T ≈ 1, 96×10−5 s. O comprimento efetivo de interacaoatomo-campo e

√πw0 ≈ 1 cm, onde w0 e a “cintura”do modo eletromagnetico transverso no

interior de C e e da ordem de 6mm [36]. Isto nos fornece uma velocidade otima de interacaov0 ≈ 510 m/s. Nessa velocidade a interacao do atomo com o modo do campo e perfeita,de modo que os dois pulsos π ocorrem completamente. Entretanto, como discutido acima,pequenos desvios podem ocorrer no processo de selecao atomica e isso implica em prejuızosno estado do campo, pois as interacoes desejadas passam a ocorrer de maneira incompleta.

Dado que o atomo possui velocidade otima v0 e foi preparado na posicao x = 0 (vide a Fig.5.2 (b)), entao ele levara um tempo de |b|/v0 para sofrer o kick de fase quase instantaneo. Noentanto, a velocidade atomica possui leves desvios e isso traz algumas consequencias, e.g.,o i-esimo atomo pertencente ao feixe que possui velocidade vi = v0 + ∆vi tera percorridouma distancia de |b|+ |b|∆vi/v0 no momento que for sofrer o kick, acarretando um pulso πimperfeito.

47

Figura 5.2: (a) Esquematiza o aparato experimental usado em CQED com atomos de Ryd-berg. Em (b) temos a visao geral do caminho que sera percorrido por cada atomo pertencenteao feixe, entre a saıda da caixa B e a saıda da cavidade C.

Considerando que o i-esimo atomo do feixe possua um desvio na velocidade de ∆vi, entaoa janela de tempo que o atomo passa interagindo ressonantemente entre |a| e |b|, e

tiπ1=

(v0 + ∆vi)T1 + |a|∆vi/v0

v0 + ∆vi= T1 +

∆viv0 + ∆vi

|a|v0

. (5.19)

Similarmente, o tempo de interacao entre |b| e |c| sofre influencia do desvio da velocidade,tornando-se

tiπ2=

(v0 −∆vi)T2 − |a|∆vi/v0

v0 + ∆vi=v0 −∆viv0 + ∆vi

T2 −∆vi

v0 + ∆vi

|a|v0

. (5.20)

Devemos notar, que os desvios na velocidade atomica sao muito pequenos e a desigualdade|∆vi| v0 ⇒ |∆vi|/v0 1 sera valida. Expandindo os denominadores de tiπ1

e tiπ2, temos

que

tiπ1= T1 +

|a|v0

∆viv0

= T1 + ∆tiπ1(5.21)

tiπ2= T2 −

|c|v0

∆viv0

= T2 −∆tiπ2, (5.22)

onde por simplicidade fizemos

∆tiπ1=|a|v0

∆viv0

(5.23)

∆tiπ2=|c|v0

∆viv0

, (5.24)

salvo que |∆tiπj | Tj, com j = 1, 2. Ao levar em consideracao os desvios da velocidadeatomica em nossa proposta experimental, obtem-se os seguintes novos tempos de interacao:

48

i) T1 −→ T1 + ∆tiπ1;

ii) T2 −→ T2 −∆tiπ2.

Partindo do estado inicial (5.6) e realizando um procedimento similar ao da secao anteriorpara estes novos tempos de interacao, obtemos que, apos o atomo ser selecionado e entrar nacavidade C interagindo ressonantemente por um intervalo de tempo T1 + ∆t1π1

, em que T1

equivale a um pulso π, o sistema evoluira para o estado

ρg(T1 + ∆t1π1) = ρ2,2(T1 + ∆t1π1

) |e, 0〉 〈e, 0|+ ρ3,3(T1 + ∆t1π1) |g, 1〉 〈g, 1|

+ρ4,4(T1 + ∆t1π1) |g, 0〉 〈g, 0|+

[ρ2,3(T1 + ∆t1π1

) |e, 0〉 〈g, 1|

+ρ2,4(T1 + ∆t1π1) |e, 0〉 〈g, 0|+ ρ3,4(T1 + ∆t1π1

) |g, 1〉 〈g, 0|

+c.h.], (5.25)

onde

ρ2,2(T1 + ∆t1π1) =

e−κ(T1+∆t1π1)

Ω2

ρ1,1(0)Ω2

0 cos2(Ω∆t1π1/2)

;

ρ2,3(T1 + ∆t1π1) =

e−κ(T1+∆t1π1)

Ω2

iρ1,1(0)Ω0κ cos2

(Ω∆t1π1

/2)

+ iρ1,1(0)Ω0Ω cos(Ω∆t1π1

/2)

sin(Ω∆t1π1

/2)

;

ρ2,4(T1 + ∆t1π1) =

e−κ(T1+∆t1π1)/2

Ω2

−iρ1,0(0)Ω0Ω cos

(Ω∆t1π1

/2)

;

ρ3,3(T1 + ∆t1π1) =

e−κ(T1+∆t1π1)

Ω2

ρ1,1(0)Ω2 +

[ρ1,1(0)Ω2

0 − 2ρ1,1(0)Ω2]

cos2(Ω∆t1π1

/2)

+2ρ1,1(0)κΩ cos(Ω∆t1π1

/2)

sin(Ω∆t1π1

/2)

;

ρ3,4(T1 + ∆t1π1) =

e−κ(T1+∆t1π1)/2

Ω2

− ρ1,0(0)Ω2 sin

(Ω∆t1π1

/2)− ρ1,0(0)Ωκ cos

(Ω∆t1π1

/2)

;

ρ4,4(T1 + ∆t1π1) = 1−

[ρ2,2(T1 + ∆t1π1

) + ρ3,3(T1 + ∆t1π1)].

Ao termino deste intervalo de tempo T1 + ∆t1π1, o atomo entao sofre o kick de fase quase

instantaneo, correspondente ao operador unitario Ukick = |e〉 〈e| − |g〉 〈g| = σz. Logo, o efeitodo kick sera: ρg(T1 + ∆t1π1

)kick = Ukickρg(T1 + ∆t1π1)U−1

kick = σzρg(T1 + ∆t1π1)σz, ou seja,

ρg(T1 + ∆t1π1)kick = ρ2,2(T1 + ∆t1π1

) |e, 0〉 〈e, 0|+ ρ3,3(T1 + ∆t1π1) |g, 1〉 〈g, 1|

+ρ4,4(T1 + ∆t1π1) |g, 0〉 〈g, 0|+

[− ρ2,3(T1 + ∆t1π1

) |e, 0〉 〈g, 1| (5.26)

−ρ2,4(T1 + ∆t1π1) |e, 0〉 〈g, 0|+ ρ3,4(T1 + ∆t1π1

) |g, 1〉 〈g, 0|+ c.h.].

Apos sofrer o kick, o sistema evolui ressonantemente por mais um intervalo de tempoT2 −∆t1π2

, onde T2 equivale a um novo pulso π. Levando em consideracao que T1 + T2 = T

49

e por simplicidade fazendo T + ∆t1π1−∆t1π2

= T1, temos

ρg(T1)kick = ρ2,2(T1) |e, 0〉 〈e, 0|+ ρ3,3(T1) |g, 1〉 〈g, 1|+ ρ4,4(T1) |g, 0〉 〈g, 0| (5.27)

+[ρ2,3(T1) |e, 0〉 〈g, 1|+ ρ2,4(T1) |e, 0〉 〈g, 0|+ ρ3,4(T1) |g, 1〉 〈g, 0|+ c.h.

],

Assim como tratado anteriormente, nao sera feita a deteccao atomica, ou seja, o estadode cada atomo ao sair da cavidade C nao sera medido. Assim sendo, tracando fora o estadodo primeiro atomo apos a interacao, obtemos finalmente

ρC(T1)kick = trA[ρg(T1)kick]

= ρ3,3(T1) |1〉 〈1|+[1− ρ3,3(T1)

]|0〉 〈0|+

[ρ3,4(T1) |1〉 〈0|+ c.h.

],(5.28)

onde

ρ3,3(T1) = e−κ(T+∆t1π1−∆t1π2

)ρ1,1(0)

[sin(Ω∆t1π1

/2) +κ

Ωcos(Ω∆t1π1

/2)]2

+[ κ2

Ω2− 1 +

(4κ4

Ω4

+2κ2

Ω2+ 2)

cos2(Ω∆t1π1/2) + 4

κ3

Ω3sin(Ω∆t1π1

/2) cos(Ω∆t1π1/2)]

cos2(Ω∆t1π2/2)

+[− 2

κ

Ω− 4

κ3

Ω3cos2(Ω∆t1π1

/2)−(

6κ2

Ω2+ 2)

cos(Ω∆t1π1/2) sin(Ω∆t1π1

/2)]

cos(Ω∆t1π2/2) sin(Ω∆t1π2

/2)

= e−κ(T+∆t1π1

−∆t1π2)ρ1,1(0) B(κ,Ω,∆t1π1

,∆t1π2) , (5.29)

ρ3,4(T1) = e−κ(T+∆t1π1−∆t1π2

)/2ρ1,0(0)

−[

sin(Ω∆t1π1/2) +

κ

Ωcos(Ω∆t1π1

/2)]

sin(Ω∆t1π2/2)

+[ κ

Ωsin(Ω∆t1π1

/2) + 2κ2

Ω2cos(Ω∆t1π1

/2) + cos(Ω∆t1π1/2)]

cos(Ω∆t1π2/2)

= e−κ(T+∆t1π1

−∆t1π2)/2ρ1,0(0) C(κ,Ω,∆t1π1

,∆t1π2) . (5.30)

Por recorrencia, apos a passagem do N-esimo atomo do feixe atraves da cavidade C, oestado do campo em seu interior sera

ρC(TN)kick = ρ3,3(TN) |1〉 〈1|+[1− ρ3,3(TN)

]|0〉 〈0|+

[ρ3,4(TN) |1〉 〈0|+ c.h.

], (5.31)

onde TN = NT+∑N

i=1(∆tiπ1−∆tiπ2

)+Υ, sendo Υ o tempo total que o CEM evolui livrementesem interacao com o atomo,

ρ3,3(TN) = e−κ(NT+∑Ni=1(∆tiπ1

−∆tiπ2)+2Υ)ρ1,1(0)

N∏i=1

B(κ,Ω,∆tiπ1,∆tiπ2

)

e

ρ3,4(TN) = e−κ(NT+∑Ni=1(∆tiπ1

−∆tiπ2)+2Υ)/2ρ1,0(0)

N∏i=1

C(κ,Ω,∆tiπ1,∆tiπ2

) .

Podemos agora analisar de forma independente os termos de populacao e coerencia doestado acima.

50

5.2.2 Termos de populacao

O novo tempo de retencao dos termos de populacao T pR, levando em consideracao adispersao da velocidade atomica, sera

e−(NT )/T pR = e−κ(NT+∑Ni=1(∆tiπ1

−∆tiπ2)+2Υ)

N∏i=1

B(κ,Ω,∆tiπ1,∆tiπ2

)⇒

T pR =NT

κ[NT + 2Υ +

∑Ni=1(∆tiπ1

−∆tiπ2)]−∑N

i=1 ln[B(κ,Ω,∆tiπ1

,∆tiπ2)] ⇒

T pR =1

2κ.

2T

T + 2 ΥN

+ 1N

∑Ni=1(∆tiπ1

−∆tiπ2)− 1

κ. 1N

∑Ni=1 ln

[B(κ,Ω,∆tiπ1

,∆tiπ2)] . (5.32)

Tendo em vista que a distribuicao de velocidade atomica e simetrica em relacao a velo-cidade otima “v0”, o valor medio do desvio da media e o valor medio do desvio quadratico,sao respectivamente

1

N

N∑i=1

∆vi −→ 0 e1

N

N∑i=1

∆v2i −→

⟨v2i

⟩− 〈vi〉2 = ∆V , (5.33)

onde ∆V e a dispersao ou tambem conhecida como variancia de vi .

Desta maneira, lembrando que ∆tiπ1= |a|

v0.∆viv0

e ∆tiπ2= |c|

v0.∆viv0

, temos que

1

N

N∑i=1

(∆tiπ1−∆tiπ2

) = −|c| − |a|v0

1

N

N∑i=1

∆vi = 0 . (5.34)

E interessante notar, que ∆tiπj com j = 1, 2 sao muito pequenos. Logo, podemos expandiros argumentos das funcoes trigonometricas de (5.29) em serie. Obtendo que

1

N

N∑i=1

ln[B(κ,Ω,∆tiπ1

,∆tiπ2)]≈ 4

κ2

Ω2− 3

4κ2 (|a|2 + |c|2)

v20

∆V

v20

− 1

4Ω2 (|a|2 + |c|2)

v20

∆V

v20

− 3

2κ2 |a||c|

v20

∆V

v20

−1

2Ω2 |a||c|

v20

∆V

v20

Como visto no comeco da secao, o comprimento efetivo de interacao e√πw0, com isto

temos a igualdade |c| − |a| =√πw0. Portanto, podemos reescrever a equacao acima da

seguinte maneira

1

N

N∑i=1

ln[B(κ,Ω,∆tiπ1

,∆tiπ2)]≈ 4

κ2

Ω2− κD(κ,Ω, |a|, w0, v0)

(∆v

v0

)2

, (5.35)

51

com ∆v =√

∆V sendo o desvio padrao e

D(κ,Ω, |a|, w0, v0) =3

4κ

(|a|2 + (|a|+√πw0)2)

v20

+1

4

Ω2

κ

(|a|2 + (|a|+√πw0)2)

v20

+3

2κ|a|(|a|+

√πw0)

v20

+1

2

Ω2

κ

|a|(|a|+√πw0)

v20

.

Ao Substituirmos as equacoes (5.34) e (5.35) em (5.32). O tempo de retencao T pR assumea forma:

T pR =1

2κ

2T

T + 2 ΥN− 2

κln[1 + 2 κ

2

Ω2

]+D(κ,Ω, |a|, w0, v0)

(∆vv0

)2 . (5.36)

Note que, a equacao acima nao carrega nenhuma influencia da densidade do feixe atomico.Assim sendo, para levar em consideracao o efeito da densidade do feixe atomico, i.e., o efeitodo atomo ausente. Faremos as seguintes trocas: N −→ λN e Υ −→ γ na equacao acima,fornecendo-nos

T pR =1

2κ

2T

T + 2γλN− 2

κln[1 + 2 κ

2

Ω2

]+D(κ,Ω, |a|, w0, v0)

(∆vv0

)2 . (5.37)

Uma sucinta analise da equacao acima, aponta que conhecer o termo 2γ/λN e de extremaimportancia para uma boa compreensao do tempo de retencao T pR. Uma maneira de fazeristo, e usar o fato que o tempo de retencao deve ser uma funcao continua e suave. Comoconsequencia, temos que, quando ∆v −→ 0 a equacao (5.37) deve convergir em (5.17), i.e.,

lim∆v→0

T pR = T pr ⇒ 2γ

λN= (1− λ)

T +

2

κln[1 + 2

κ2

Ω2

]. (5.38)

Ao substituirmos a equacao acima em (5.37), concluımos que

T pR = 12κ

2T

T− 2κ ln

[1+2 κ

2

Ω2

]+(1−λ)

T+ 2

κ ln

[1+2 κ

2

Ω2

]+D(κ,Ω,|a|,w0,v0)(∆v

v0 )2. (5.39)

E interessante notar, que o denominador da equacao acima tras de forma independente ostermos que carregam as informacoes correspondentes a presenca atomica, ao atomo ausentee da dispersao da velocidade atomica, respectivamente.

5.2.3 Termo de coerencia

O nosso procedimento tem por finalidade monitorar e preservar as correlacoes quanticasdo nosso sistema, de maneira que aumente o tempo de permanencia do qubit no interior dacavidade. Os termos de coerencia sao quem guardam estas correlacoes quanticas. Logo, o

52

novo tempo de retencao dos termos de coerencia T cR, levando em consideracao a dispersao davelocidade atomica, sera

e−(NT )/T cR = e−κ(NT+∑Ni=1(∆tiπ1

−∆tiπ2)+2Υ)/2

N∏i=1

C(κ,Ω,∆tiπ1,∆tiπ2

)⇒

T cR =NT

κ2

[NT + 2Υ +

∑Ni=1(∆tiπ1

−∆tiπ2)]−∑N

i=1 ln[C(κ,Ω,∆tiπ1

,∆tiπ2)] ⇒

T cR =1

κ

2T

T + 2 ΥN

+ 1N

∑Ni=1(∆tiπ1

−∆tiπ2)− 2

κ. 1N

∑Ni=1 ln

[C(κ,Ω,∆tiπ1

,∆tiπ2)] . (5.40)

Assim como visto anteriormente, os argumentos ∆tiπj com j = 1, 2 das funcoes trigo-nometricas de (5.30) sao muito pequenos. De modo que, ao fazermos uma expansao emserie levando em consideracao os desvios da media (5.33). Podemos reescrever o termo1N

∑Ni=1 ln

[C(κ,Ω,∆tiπ1

,∆tiπ2)]

do tempo de retencao T cR da seguinte forma:

1

N

N∑i=1

ln[C(κ,Ω,∆tiπ1

,∆tiπ2)]≈ 2

κ2

Ω2− 1

4κ2 (|a|2 + |c|2)

v20

∆V

v20

− 1

8Ω2 (|a|2 + |c|2)

v20

∆V

v20

−1

4Ω2 |a||c|

v20

∆V

v20

,

como |c|− |a| =√πw0 e o comprimento efetivo de interacao e ∆v =

√∆V e o desvio padrao.

Podemos reescrever a equacao acima da seguinte maneira:

1

N

N∑i=1

ln[C(κ,Ω,∆tiπ1

,∆tiπ2)]≈ 2

κ2

Ω2− κ

2G(κ,Ω, |a|, w0, v0)

(∆v

v0

)2

, (5.41)

com

G(κ,Ω, |a|, w0, v0) =1

2κ

(|a|2 + (|a|+√πw0)2)

v20

+1

4

Ω2

κ

(|a|2 + (|a|+√πw0)2)

v20

+1

2

Ω2

κ

|a|(|a|+√πw0)

v20

= D(κ,Ω, |a|, w0, v0)− 1

4κ

(|a|2 + (|a|+√πw0)2)

v20

− 3

2κ|a|(|a|+

√πw0)

v20

= D(κ,Ω, |a|, w0, v0) +W (κ,Ω, |a|, w0, v0) .

Levando em consideracao as equacoes (5.34) e (5.41) em (5.40). O tempo de retencao T cRassume a forma:

T cR =1

κ

2T

T + 2 ΥN− 2

κln[1 + 2 κ

2

Ω2

]+[D(κ,Ω, |a|, w0, v0) +W (κ,Ω, |a|, w0, v0)

] (∆vv0

)2 .

(5.42)

53

Assim como no caso anterior, a equacao acima nao carrega nenhuma influencia da den-sidade do feixe atomico. Assim sendo, para levar em consideracao o efeito da densidade dofeixe atomico, i.e., o efeito do atomo ausente. Faremos as seguintes trocas N −→ λN eΥ −→ γ na equacao acima, obtendo

T cR =1

κ

2T

T + 2γλN− 2

κln[1 + 2 κ

2

Ω2

]+[D(κ,Ω, |a|, w0, v0) +W (κ,Ω, |a|, w0, v0)

] (∆vv0

)2 . (5.43)

Para encontrar o valor do fator 2γ/λN na equacao acima, usaremos a mesma tecnicamostrada anteriormente: quando ∆v −→ 0 a equacao (5.43) deve convergi em (5.16). Logo

lim∆v→0

T cR = T cr ⇒ 2γ

λN= (1− λ)

T +

2

κln[1 + 2

κ2

Ω2

]. (5.44)

Que ao substituirmos na equacao (5.43), temos que

T cR = 1κ

2T

T− 2κ ln

[1+2 κ

2

Ω2

]+(1−λ)

T+ 2

κ ln

[1+2 κ

2

Ω2

]+

[D(κ,Ω,|a|,w0,v0)+W (κ,Ω,|a|,w0,v0)

](∆vv0 )

2. (5.45)

Para fins de informacao quantica, devemos preservar o termo de coerencia do nosso estadopelo maior intervalo de tempo possıvel. Logo, a seguinte desigualdade deve ser satisfeita

2T

T− 2κ ln

[1+2 κ

2

Ω2

]+(1−λ)

T+ 2

κ ln

[1+2 κ

2

Ω2

]+

[D(κ,Ω,|a|,w0,v0)+W (κ,Ω,|a|,w0,v0)

](∆vv0 )

2> 1 , (5.46)

que nos conduz a desigualdade

λ

(T +

2

κln[1 + 2

κ2

Ω2

])>[D(κ,Ω, |a|, w0, v0) +W (κ,Ω, |a|, w0, v0)

](∆v

v0

)2

.

Conforme ja havıamos salientado, e possıvel observar de forma independente do ladoesquerdo da desigualdade acima o termo responsavel pela contribuicao do atomo ausente edo lado direito o termo responsavel pela contribuicao da dispersao da velocidade atomica. Afim de facilitar a analise desta desigualdade, podemos expandir o lado esquerdo em torno deκ/Ω 1 e similarmente expandido o lado direito em torno de |a|/v0 1

2λπ

Ω+

4λ

Ω

( κΩ

)>

[π2

κ+

2π2

κ

( κΩ

)2

+ 2π( |a|v0

)(Ω

κ

)+ 2π

( |a|v0

)( κΩ

)+ κ( |a|v0

)2(Ω

κ

)2](

∆v

v0

)2

+ ...

Desprezando termos que nos darao contribuicoes muito pequenas. Concluımos que, paraobtermos ganhos expressivos no tempo de retencao a seguinte desigualdade deve ser satisfeita

1 >π

2λ

(1 +

2Ω

π

|a|v0

)(Ω

κ

)(∆v

v0

)2

. (5.47)

Esta equacao indica-nos, que somente a melhora de nossa cavidade C nao e o suficientepara obtermos um aumento expressivo do nosso tempo de retencao T cR, i.e., se nao houver

54

um melhoramento na selecao da velocidade atomica diminuindo seu desvio padrao ∆v, naoteremos ganhos expressivos no tempo de permanencia do qubit no interior da cavidade. Esteresultado inedito estabelece vınculos para a existencia de ganho no tempo de permanenciado qubit no interior da cavidade.

Ao fim da passagem do N-esimo atomo do feixe atraves da cavidade, o estado do campoem seu interior sera

ρC(∆t)kick = ρ1,1(0)e− ∆t

TpR |1〉 〈1|+

[1−ρ1,1(0)e

− ∆t

TpR

]|0〉 〈0|+

[ρ1,0(0)e

− ∆tTcR |1〉 〈0|+c.h.

], (5.48)

onde ∆t e o tempo total de evolucao do campo no interior da cavidade,

1

T pR= 2κ.

T− 2κ ln

[1+2 κ

2

Ω2

]+(1−λ)

T+ 2

κ ln

[1+2 κ

2

Ω2

]+D(κ,Ω,|a|,w0,v0)(∆v

v0 )2

2T,

1

T cR= κ.

T− 2κ ln

[1+2 κ

2

Ω2

]+(1−λ)

T+ 2

κ ln

[1+2 κ

2

Ω2

]+

[D(κ,Ω,|a|,w0,v0)+W (κ,Ω,|a|,w0,v0)

](∆vv0 )

2

2T.

Podemos reescrever a equacao (5.48) da seguinte maneira:

ρC(∆t)kick = ρ1,1(0)e−2κ∆t |1〉 〈1|+[1−ρ1,1(0)e−2κ∆t

]|0〉 〈0|+

[ρ1,0(0)e−κ∆te−F∆t |1〉 〈0|+c.h.

],

(5.49)com

κ = κ.T − 2

κln[1 + 2 κ

2

Ω2

]+ (1− λ)

T + 2

κln[1 + 2 κ

2

Ω2

]+D(κ,Ω, |a|, w0, v0)

(∆vv0

)2

2T,

F = κ.W (κ,Ω, |a|, w0, v0)

(∆vv0

)2

2T≈ −κ2

(|a|v0

)(1 +

1

T

|a|v0

)(∆v

v0

)2

.

E interessante notar, que diferente do resultado obtido na secao 5.1 em que fizemos aevolucao livre de um qubit no modo da cavidade, em nossa proposta experimental ao levar-mos em conta os danos que o atomo pode impor ao estado do campo, surgem nos termos decoerencia um fator que decai exponencialmente e−F∆t. No entanto, ao tomarmos as devidasaproximacoes (κ/Ω 1, |a|/v0 1 e ∆v/v0 1) nota-se que a grandeza dinamica F 1nao exercendo influencia em nossa dinamica de interesse.

Para melhor compreender quao influente as dispersoes na velocidade atomica pode ser nosexperimentos de CQED, definimos uma nova funcao de ganho g′(κ,Ω, T, λ,∆v) para nossotempo de retencao como funcao de λ e ∆v, a partir da equacao (5.45)

g′(κ,Ω, T, λ,∆v) =

O(κ,Ω, T, λ,∆v)− 1

× 100% , (5.50)

onde

O(κ,Ω,T,λ,∆v)= 2T

T− 2κ ln

[1+2 κ

2

Ω2

]+(1−λ)

T+ 2

κ ln

[1+2 κ

2

Ω2

]+

[D(κ,Ω,|a|,w0,v0)+W (κ,Ω,|a|,w0,v0)

](∆vv0 )

2.

55

Figura 5.3: Ganho do tempo de retencao da cavidade g′(κ,Ω, T, λ,∆v) em funcao da densi-dade linear λ e do desvio padrao da velocidade atomica ∆v do feixe. Neste grafico, utilizamosos dados retirados de [39, 43].

A Fig. 5.3 confirma nossas conclusoes sobre os resultados obtidos, onde a dispersao davelocidade atomica desempenha um papel fundamental nos experimentos de CQED. Assimsendo, mesmo quando a densidade linear λ do feixe atomico tende a um, so iremos dobrarnosso tempo de retencao quando o desvio padrao ∆v na selecao da velocidade atomica tendera zero.

Na proposta experimental apresentada, conseguimos dobrar o tempo de permanencia doqubit no interior da cavidade C, por meio do kick de fase quase instantaneo. Entretanto, esteganho ainda mostra-se ınfimo, precisando ser melhorado. Uma outra maneira de suavizara acao das perdas e inibir o processo de decoerencia do qubit armazenado na cavidade, ecompartilhando a informacao (qubit) com um sistema auxiliar. Na secao que segue, apre-sentaremos um procedimento em que compartilhamos o qubit que inicialmente encontra-seno estado do campo no interior da cavidade com um atomo de dois nıveis, via interacoescontroladas.

56

5.3 Monitorando e preservando a coerencia de um qu-

bit via interacao dispersiva

Considere uma amostra de atomos no estado fundamental |g〉, enviados em forma de feixe,transpondo a cavidade com velocidade atomica v0 ajustada para que cada atomo interajacom o campo do interior de C por um tempo T1 + τ + T2 (nesta mesma ordem e comT1 + T2 = T = 2π/Ω). Neste procedimento ocorre tres evolucoes sucessivas:

i A primeira ressonante, durante um intervalo de tempo T1;

ii A segunda dispersiva, durante um intervalo de tempo τ ;

iii E terceira novamente ressonante, durante um intervalo de tempo T2.

Assim, cada atomo que adentra a cavidade primeiro ira interagir ressonantemente duranteum intervalo de tempo T1, sofrendo um pulso π. Com isso, mapeamos o estado do campono atomo. Logo em seguida, levantamos a interacao ressonante via efeito Stark2 e deixamoso sistema evoluir dispersivamente por um tempo τ , a interacao dispersiva esconde o estadoatomico dos efeitos de perdas da cavidade. Seguidamente, retornamos a interacao ressonantepor um intervalo de tempo T2 e o atomo sofre um novo pulso π, devolvendo o estado para omodo da cavidade. Pode-se observar que o tempo total da interacao atomo-campo e um pulsode 2π acrescido de um tempo τ correspondente a interacao dispersiva. Devido ao tempo deinteracao T um fator de fase eiπ e adquirida pelo estado |g, 1〉, sendo responsavel por umainversao do sinal nos termos coerentes. De maneira semelhante, esse mesmo estado duranteo tempo τ acumula uma fase eiωτ procedente do acoplamento dispersivo. Logo, uma maneirade reverter a alteracao do estado provocado por fatores de fase, e calibrar o tempo τ demaneira que o estado |g, 1〉 ganhe um novo fator de fase eiπ (totalizando ei2π). Com esse fim,escolhemos τ = π/ω.

Considerando novamente o estado inicial (5.6) para campo no interior da cavidade C, quee dado por

ρC(0) = ρ1,1(0) |1〉 〈1|+[1− ρ1,1(0)

]|0〉 〈0|+

[ρ1,0(0) |1〉 〈0|+ c.h.

]. (5.51)

O atomo que inicialmente encontra-se no estado fundamental (|g〉) depara com o campodo interior da cavidade C no estado acima, tal que, o estado global do sistema atomo+campoimediatamente antes do atomo entrar na cavidade C, e

ρg(0) = ρ1,1(0) |g, 1〉 〈g, 1|+[1− ρ1,1(0)

]|g, 0〉 〈g, 0|+

[ρ1,0(0) |g, 1〉 〈g, 0|+ c.h.

]. (5.52)

O atomo interage ressonantemente com o campo do interior de C durante um intervalode tempo T1 = π/Ω, i.e., o sistema sofre um pulso π. Deste modo, o estado do sistema evolui

2Um campo eletrico e aplicado nas paredes da cavidade, obtendo-se um alargamento entre os nıveis deenergia do atomo.

57

para

ρg(T1) = ρ2,2(π/Ω) |e, 0〉 〈e, 0|+ ρ3,3(π/Ω) |g, 1〉 〈g, 1|+ ρ4,4(π/Ω) |g, 0〉 〈g, 0|+[ρ2,3(π/Ω)

|e, 0〉 〈g, 1|+ ρ2,4(π/Ω) |e, 0〉 〈g, 0|+ ρ3,4(π/Ω) |g, 1〉 〈g, 0|+ c.h.], (5.53)

com

ρ2,2(π/Ω) =e−κπ/Ω

Ω2

ρ1,1(0)Ω2

0

;

ρ2,3(π/Ω) =e−κπ/Ω

Ω2iρ1,1(0)Ω0κ ;

ρ2,4(π/Ω) =e−κπ/2Ω

Ω2−iρ1,0(0)Ω0Ω ;

ρ3,3(π/Ω) =e−κπ/Ω

Ω2

ρ1,1(0)κ2

;

ρ3,4(π/Ω) =e−κπ/2Ω

Ω2−ρ1,0(0)Ωκ ;

ρ4,4(π/Ω) = 1−[ρ2,2(π/Ω) + ρ3,3(π/Ω)

].

Ao termino de T1 e aplicado uma pequena voltagem entre os espelhos, com intuito deseparar os nıveis atomicos (conhecido como efeito Stark), sessando assim, a interacao res-sonante e o sistema passa a evoluir dispersivamente durante um intervalo de tempo τ . Aevolucao dispersiva sera descrita por meio da equacao mestra (2.51) a temperatura muitobaixa (n ∼ 0), onde em particular, o hamiltoniano gerador da evolucao do sistema de inte-resse sera o hamiltoniano do MJC no limite dispersivo (3.43). De modo que

d

dtρg(T1 + τ) = −iω

[(a†a+ 1

)|e〉 〈e| − a†a |g〉 〈g| , ρg(t1 + τ)

]+ κ

[aρg(t1 + τ), a†

]+[a, ρg(t1 + τ)a†

]. (5.54)

Para o estado inicia (5.53) a equacao de movimento acima possui a seguinte solucao: (videapendice A.2)

ρg(T1 + τ) = ρ2,2(π/Ω + τ) |e, 0〉 〈e, 0|+ ρ3,3(π/Ω + τ) |g, 1〉 〈g, 1|+ ρ4,4(π/Ω + τ) |g, 0〉 〈g, 0|

+[ρ2,3(π/Ω + τ) |e, 0〉 〈g, 1|+ ρ2,4(π/Ω + τ) |e, 0〉 〈g, 0|

+ρ3,4(π/Ω + τ) |g, 1〉 〈g, 0|+ c.h.], (5.55)

58

onde

ρ2,2(π/Ω + τ) =e−κπ/Ω

Ω2

ρ1,1(0)Ω2

0

;

ρ2,3(π/Ω + τ) =e−κπ/Ω

Ω2

iρ1,1(0)Ω0κe

−(2iω+κ)τ

;

ρ2,4(π/Ω + τ) =e−κπ/2Ω

Ω2

−iρ1,0(0)Ω0Ωe−iωτ

;

ρ3,3(π/Ω + τ) =e−κπ/Ω

Ω2

ρ1,1(0)κ2e−2κτ

;

ρ3,4(π/Ω + τ) =e−κπ/2Ω

Ω2

−ρ1,0(0)Ωκe−(iω+κ)τ

;

ρ4,4(π/Ω + τ) = 1− [ρ2,2(π/Ω + τ) + ρ3,3(π/Ω + τ)] .

Como discutido no inıcio da secao, neste processo de interacao dispersiva um dos termosde coerencia do estado global (atomo+campo) adquire uma fase, uma maneira de revertera alteracao do estado provocado pela fase adquirida e fazermos τ = π/ω. Desta forma,podemos rescrever o estado acima como

ρg(T1 + τ) = ρ2,2(π/Ω + π/ω) |e, 0〉 〈e, 0|+ ρ3,3(π/Ω + π/ω) |g, 1〉 〈g, 1|

+ρ4,4(π/Ω + π/ω) |g, 0〉 〈g, 0|+[ρ2,3(π/Ω + π/ω) |e, 0〉 〈g, 1| (5.56)

+ρ2,4(π/Ω + π/ω) |e, 0〉 〈g, 0|+ ρ3,4(π/Ω + π/ω) |g, 1〉 〈g, 0|+ c.h.],

com

ρ2,2(π/Ω + π/ω) =e−κπ/Ω

Ω2

ρ1,1(0)Ω2

0

;

ρ2,3(π/Ω + π/ω) =e−κπ/Ω

Ω2

iρ1,1(0)Ω0κe

−κτ ;

ρ2,4(π/Ω + π/ω) =e−κπ/2Ω

Ω2iρ1,0(0)Ω0Ω ;

ρ3,3(π/Ω + π/ω) =e−κπ/Ω

Ω2

ρ1,1(0)κ2e−2κτ

;

ρ3,4(π/Ω + π/ω) =e−κπ/2Ω

Ω2

ρ1,0(0)Ωκe−κτ

;

ρ4,4(π/Ω + π/ω) = 1−[ρ2,2(π/Ω + π/ω) + ρ3,3(π/Ω + π/ω)

].

Ao termino deste intervalo de tempo τ que o sistema evolui dispersivamente, e aplicadonovamente uma diferenca de potencial entre os espelhos da cavidade, de modo que, via efeitoStark regula-se a frequencia de transicao atomica fazendo o sistema retornar a interacaoatomo-campo ressonante durante um intervalo de tempo T2 = π/Ω, i.e., o sistema sofre um

59

novo pulso π. Salvo que T = T1 + T2, temos que o estado global do sistema atomo+campoantes do primeiro atomo sair da cavidade sera:

ρg(T + τ) = ρ1,1(0)[ζ2(κ,Ω, τ, T ) |e, 0〉 〈e, 0|+ Γ2(κ,Ω, τ, T, 0) |g, 1〉 〈g, 1|

]+

1− ρ1,1(0)

[ζ2(κ,Ω, τ, T ) + Γ2(κ,Ω, τ, T, 0)

]|g, 0〉 〈g, 0|

+[iρ1,1(0)ζ(κ,Ω, τ, T )Γ(κ,Ω, τ, T, 0) |e, 0〉 〈g, 1|+ iρ1,0(0)ζ(κ,Ω, τ, T ) |e, 0〉 〈g, 0|

+ρ1,0(0)Γ(κ,Ω, τ, T, 0) |g, 1〉 〈g, 0|+ c.h.], (5.57)

em que definimos

f(κ,Ω, τ) ≡ κ

Ω

(1− e−κτ

);

Γ(κ,Ω, τ, T, t) ≡[1 +

κ

Ωf(κ,Ω, τ)

]e−κ(T+2t)/2 ;

ζ(κ,Ω, τ, T ) ≡ Ω0

Ωf(κ,Ω, τ)e−κT/2 .

Assim como na proposta experimental anterior, nesta, nao sera feita a deteccao atomicainicialmente, ou seja, o estado atomico nao sera medido no momento em que os atomos saemda cavidade C. Com isso, tracando fora o estado do primeiro atomo, o estado do campo aposa evolucao T + τ , torna-se

ρC(T + τ) = trA[ρg(T + τ)]

= ρ1,1(0)Γ2(κ,Ω, τ, T, 0) |1〉 〈1|+[1− ρ1,1(0)Γ2(κ,Ω, τ, T, 0)

]|0〉 〈0|

+

[ρ1,0(0)Γ(κ,Ω, τ, T, 0) |1〉 〈0|+ c.h.

]. (5.58)

Entre a saıda do primeiro atomo e a entrada do segundo, pode existe uma janela de tempot1, a qual, campo no interior de C evolui livremente, sujeito a perdas. Sendo assim, ao entrarna cavidade o segundo atomo encontrara o campo no seguinte estado

ρC(T + τ + t1) = ρ1,1(0)Γ2(κ,Ω, τ, T, t1) |1〉 〈1|+[1− ρ1,1(0)Γ2(κ,Ω, τ, T, t1)

]|0〉 〈0|

+

[ρ1,0(0)Γ(κ,Ω, τ, T, t1) |1〉 〈0|+ c.h.

]. (5.59)

E interessante notar, que a funcao Γ(κ,Ω, τ, t1) fornece toda informacao sobre a dissipacaoe decoerencia sofrida pelo estado do campo durante o tempo T+τ+t1 de evolucao no interiorda cavidade. Observando esta ultima equacao, por recorrencia, apos a passagem do N-esimo

60

atomo do feixe atraves da cavidade, o estado do CEM no seu interior, torna-se

ρC(NT +Nτ + T ) = ρ1,1(0)N∏i=1

Γ2(κ,Ω, τ, T, ti) |1〉 〈1|+[1− ρ1,1(0)

N∏i=1

Γ2(κ,Ω, τ, T, ti)

]

|0〉 〈0|+[ρ1,0(0)

N∏i=1

Γ(κ,Ω, τ, T, ti) |1〉 〈0|+ c.h.

], (5.60)

onde T =∑N−1

i=1 ti, salvo que, ti e o intervalo temporal que o CEM evolui livremente sujeitoas perdas, logo apos a saıda do i-esimo atomo e a entrada do seu sucessor. Para obtermos otempo de amortecimento dos termos de populacao T pr e dos termos de coerencia T cr , explici-taremos novamente o decaimento por meio do fator e−∆t/Tr , sendo ∆t o tempo de evolucaodo campo no interior da cavidade e Tr o tempo caracterıstico, que e comumente conhecidocomo tempo de retencao ou de amortecimento. Sendo assim, o tempo de retencao para ostermos de coerencia, e

e−∆t/T cr =N∏i=1

Γ(κ,Ω, τ, T, ti)

−(NT +Nτ + T )

T cr=

N∑i=1

ln [Γ(κ,Ω, τ, T, ti)]

T cr =NT +Nτ + T∑N

i=1 ln [Γ−1(κ,Ω, τ, T, ti)]

T cr =2N(T + τ) + 2T

κ(NT + 2T )− 2N ln

[1 + κ

Ωf(κ,Ω, τ)

] , (5.61)

e similarmente, o tempo de retencao para os termos de populacao, e

e−∆t/T pr =N∏i=1

Γ2(κ,Ω, τ, T, ti)

T pr =N(T + τ) + T

κ(NT + 2T )− 2N ln

[1 + κ

Ωf(κ,Ω, τ)

] . (5.62)

Do mesmo modo como discutido na secao anterior, para evitar o coletivo acoplamentoatomico com o modo do campo no interior da cavidade [33], a densidade λ do feixe atomicoe reduzida a um valor inferior a unidade. Portanto, um feixe com N atomos possuira emmedia λN atomos atravessando a cavidade e outros (1 − λ)N atomos ausentes. Tornando-se relevante examinar os efeitos que os “atomos ausentes”exercem sobre o procedimentoexperimental. Como as janelas de tempos ti entre a passagem dos atomos sucessivos estaodiretamente relacionados com a ausencia atomica, i.e., T =

∑Ni=1 ti contem todo intervalo de

61

tempo, na qual, o campo do interior da cavidade passa evoluindo livremente sujeito apenasa dissipacao. Levando em conta a densidade do feixe atomico λ, podemos reescrever T como(1− λ)Ntpulson = (1− λ)N(T + τ). Assim, fazendo as substituicoes:

i. N −→ λN

ii. T −→ (1− λ)N(T + τ) ,

obtemos os seguintes novos tempos de retencao

T cr =1

κ

2λN(T + τ) + 2(1− λ)N(T + τ)(λNT + 2(1− λ)N(T + τ)

)− 2λN

κln

[1 + κ

Ωf(κ,Ω, τ)

]=

1

κ

2(T + τ)

2(T + τ)− λ

(2τ + T ) + 2κln

[1 + κ

Ωf(κ,Ω, τ)

]=

1

κ

1

1− λT+τ

τ + T

2+ 1

κln

[1 + κ

Ωf(κ,Ω, τ)

]=

1

κ

1

1− λ ς(κ,Ω, τ, T ), (5.63)

e

T pr =1

2κ

2λN(T + τ) + 2(1− λ)N(T + τ)(λNT + 2(1− λ)N(T + τ)

)− 2λN

κln

[1 + κ

Ωf(κ,Ω, τ)

]=

1

2κ

1

1− λ ς(κ,Ω, τ, T ), (5.64)

em que por simplificacao fizemos

ς(κ,Ω, τ, T ) =1

T + τ

τ +

T

2+

1

κln

[1 +

κ

Ωf(κ,Ω, τ)

].

Note que, o tempo de retencao da cavidade neste nosso procedimento experimental sediferencia de (5.5) pelo fator 1/(1 − λ ς(κ,Ω, τ, T )), que sera responsavel pelos ganhos dotempo de retencao da cavidade. Levando isso em conta, podemos definir uma funcao deganho G(κ,Ω, τ, T, λ), que quantificara o aumento que o tempo de retencao obteve nestaproposta experimental.

G(κ,Ω, τ, T, λ) =

1

1− λς(κ,Ω, τ, T )− 1

× 100% (5.65)

A Fig. 5.4 mostra-nos que quando λ tender a 1, isto e, quando sempre tivermos um atomopresente no feixe, podemos ter um ganho de ate 700% nesta nova proposta experimental. Quee um aumento expressivo no tempo de permanencia do qubit no interior da cavidade.

62

Figura 5.4: Ganho do tempo de retencao da cavidade G(κ,Ω, τ, T, λ) em funcao da densidadelinear λ do feixe atomico. Neste grafico, utilizamos os dados retirados de [39]. Vale lembrar,que a taxa de dissipacao κ da cavidade e dado por κ = 1/2Tc e consideramos a dessintoniamınima de δ = 3G, que nos fornece τ = 6π/Ω (veja [43]).

5.3.1 Dispersao da velocidade atomica

Em nossa proposta experimental o atomo funciona como uma gaveta, onde o qubit earmazenado temporariamente protegendo-o dos efeitos de decoerencia, ja em outros proce-dimentos experimentais, o atomo atua como uma sonda extraindo informacoes. No entanto,independente da proposta desejada, ao interagir com o campo o atomo pode impor prejuızosao mesmo a depender do primor de como o estado atomico foi preparado. Logo, quanto maisrefinado for a preparacao atomica melhor sera a observacao do fenomeno desejado.

Como os procedimentos experimentais em CQED sao pulsados, a selecao da velocidadeatomica torna-se um ingrediente essencial para um bom controle da sequencia experimental.O controle da velocidade atomica e feita com muita precisao, mas ha sempre uma dispersaoaleatoria durante o processo de selecao que variam entre 0 e ±2 m/s em torno da velocidadeotima v0 [36]. Em nossa proposta o tempo de interacao total e 4T ≈ 7, 85 × 10−5 s, consi-derando δ = 3G. O comprimento efetivo de interacao atomo-campo e

√πw0 ≈ 1 cm, onde

w0 e a “cintura”do modo eletromagnetico transverso no interior de C que e da ordem de6mm. Isto nos fornece uma velocidade otima de interacao v0 ≈ 127, 5 m/s. Nessa velocidadea interacao do atomo com o modo do campo e perfeita, de modo que, tanto os pulsos πquanto a interacao dispersiva sao completas. Entretanto, como discutido acima, pequenosdesvios podem ocorrer no processo de selecao atomica e isso implica em prejuızos no estado

63

do campo, pois as interacoes desejadas passam a ocorrer de maneira incompleta.

Dado que o atomo possui velocidade otima v0 e foi preparado na posicao x = 0 (videa Fig. 5.5 (b)), entao levara um tempo de |b|/v0 para liga o efeito Stark e suspender ainteracao ressonante, em seguida, retornamos a interacao ressonante em x = |c|. No entanto,a velocidade possui leves desvios e isso traz algumas consequencias, e.g., o i-esimo atomo quepossui velocidade vi = v0 +∆vi tera percorrido uma distancia de |b|+ |b|∆vi/v0 no momentoque a interacao ressonante for suspensa, acarretando em um pulso π imperfeito.

Figura 5.5: (a) Esquematiza o aparato experimental de CQED com atomos de Rydberg. Em(b) temos a visao geral do caminho que sera percorrido por um atomo pertencente ao feixe,entre a saıda da caixa B e a saıda da cavidade C.

Considerando que o i-esimo atomo possua um desvio na velocidade de ∆vi, entao a janelade tempo que o atomo passa interagindo ressonantemente entre |a| e |b|, e

tiπ1=

(v0 + ∆vi)T1 + |a|∆vi/v0

v0 + ∆vi= T1 +

∆viv0 + ∆vi

|a|v0

. (5.66)

Note que os desvios na velocidade atomica sao muito pequenos e a desigualdade |∆vi| v0

sera valida. Como os desvios na fase ocasionados pela dispersao da velocidade atomicadurante a interacao dispersiva serao muito pequenos, os mesmos podem ser desprezados, i.e.,o tempo de interacao τ entre |b| e |c| permanece inalterado. Ja o tempo de interacao entrec e d sofre influencia do desvio da velocidade, tornando-se

tiπ2=

(v0 −∆vi)T2 −∆vi(|a|/v0 + τ)

v0 + ∆vi=v0 −∆viv0 + ∆vi

T2 −∆vi

v0 + ∆vi

(|a|v0

+ τ

). (5.67)

Ao fazermos uso da desigualdade |∆vi| v0 ⇒ |∆vi|/v0 1, podemos expandir os

64

denominadores de tiπ1e tiπ2

, obtendo

tiπ1= T1 +

∆viv0 + ∆vi

|a|v0

= T1 +|a|v0

∆viv0

= T1 + ∆tiπ1(5.68)

tiπ2=

v0 −∆viv0 + ∆vi

T2 −∆vi

v0 + ∆vi

(|a|v0

+ τ

)= T2 −

|d|v0

∆viv0

= T2 −∆tiπ2, (5.69)

onde por simplicidade fizemos

∆tiπ1=|a|v0

∆viv0

(5.70)

∆tiπ2=|d|v0

∆viv0

, (5.71)

salvo que, |∆tiπj | Tj, com j = 1, 2. Ao levar em consideracao os desvios da velocidadeatomica em nossa proposta experimental, obtem-se os seguintes novos tempos de interacao:

i) T1 −→ T1 + ∆tiπ1;

ii) T2 −→ T2 −∆tiπ2.

Partindo do mesmo estado inicial (5.51) e realizando um procedimento similar ao da secaoanterior para estes novos tempos de interacao, obtemos que, apos o atomo ser selecionado eentrar na cavidade interagindo ressonantemente por um tempo T1 +∆t1π1

, em que T1 equivalea um pulso π, o sistema evoluira para o estado

ρg(T1 + ∆t1π1) = ρ2,2(T1 + ∆t1π1

) |e, 0〉 〈e, 0|+ ρ3,3(T1 + ∆t1π1) |g, 1〉 〈g, 1|

+ρ4,4(T1 + ∆t1π1) |g, 0〉 〈g, 0|+

[ρ2,3(T1 + ∆t1π1

) |e, 0〉 〈g, 1|

+ρ2,4(T1 + ∆t1π1) |e, 0〉 〈g, 0|+ ρ3,4(T1 + ∆t1π1

) |g, 1〉 〈g, 0|

+c.h.], (5.72)

onde

ρ2,2(T1 + ∆t1π1) =

e−κ(T1+∆t1π1)

Ω2

ρ1,1(0)Ω2

0 cos2(Ω∆t1π1/2)

;

ρ2,3(T1 + ∆t1π1) =

e−κ(T1+∆t1π1)

Ω2

iρ1,1(0)Ω0κ cos2

(Ω∆t1π1

/2)

+ iρ1,1(0)Ω0Ω cos(Ω∆t1π1

/2)

sin(Ω∆t1π1

/2)

;

ρ2,4(T1 + ∆t1π1) =

e−κ(T1+∆t1π1)/2

Ω2

−iρ1,0(0)Ω0Ω cos

(Ω∆t1π1

/2)

;

ρ3,3(T1 + ∆t1π1) =

e−κ(T1+∆t1π1)

Ω2

ρ1,1(0)Ω2 +

[ρ1,1(0)Ω2

0 − 2ρ1,1(0)Ω2]

cos2(Ω∆t1π1

/2)

+2ρ1,1(0)κΩ cos(Ω∆t1π1

/2)

sin(Ω∆t1π1

/2)

;

ρ3,4(T1 + ∆t1π1) =

e−κ(T1+∆t1π1)/2

Ω2

− ρ1,0(0)Ω2 sin

(Ω∆t1π1

/2)− ρ1,0(0)Ωκ cos

(Ω∆t1π1

/2)

;

ρ4,4(T1 + ∆t1π1) = 1−

[ρ2,2(T1 + ∆t1π1

) + ρ3,3(T1 + ∆t1π1)].

65

Ao termino deste intervalo de tempo T1 +∆tiπ1, a interacao ressonante e sessada via efeito

Stark e o sistema passa a evoluir dispersivamente por um intervalo de tempo τ , encontrando-se ao fim deste tempo no estado

ρg(T1 + ∆t1π1+ τ) = ρ2,2(T1 + ∆t1π1

+ τ) |e, 0〉 〈e, 0|+ ρ3,3(T1 + ∆t1π1+ τ) |g, 1〉 〈g, 1|

+ρ4,4(T1 + ∆t1π1+ τ) |g, 0〉 〈g, 0|+

[ρ2,3(T1 + ∆t1π1

+ τ) |e, 0〉 〈g, 1|+ρ2,4(T1 + ∆t1π1

+ τ) |e, 0〉 〈g, 0|+ ρ3,4(T1 + ∆t1π1+ τ) |g, 1〉 〈g, 0|

+c.h.], (5.73)

com

ρ2,2(T1 + ∆t1π1+ τ) =

e−κ(T1+∆t1π1)

Ω2

ρ1,1(0)Ω2

0 cos2(Ω∆t1π1/2)

;

ρ2,3(T1 + ∆t1π1+ τ) =

e−κ(T1+∆t1π1+τ)

Ω2

iρ1,1(0)Ω0κ cos2

(Ω∆t1π1

/2)

+ iρ1,1(0)Ω0Ω

cos(Ω∆t1π1

/2)

sin(Ω∆t1π1

/2)

;

ρ2,4(T1 + ∆t1π1+ τ) =

e−κ(T1+∆t1π1)/2

Ω2

iρ1,0(0)Ω0Ω cos

(Ω∆t1π1

/2)

;

ρ3,3(T1 + ∆t1π1+ τ) =

e−κ(T1+∆t1π1+2τ)

Ω2

ρ1,1(0)Ω2 +

[ρ1,1(0)Ω2

0 − 2ρ1,1(0)Ω2]

cos2(Ω∆t1π1

/2)

+2ρ1,1(0)κΩ cos(Ω∆t1π1

/2)

sin(Ω∆t1π1

/2)

;

ρ3,4(T1 + ∆t1π1+ τ) =

e−κ(T1+∆t1π1+2τ)/2

Ω2

ρ1,0(0)Ω2 sin

(Ω∆t1π1

/2)

+ ρ1,0(0)Ωκ cos(Ω∆t1π1

/2)

;

ρ4,4(T1 + ∆t1π1+ τ) = 1−

[ρ2,2(T1 + ∆t1π1

+ τ) + ρ3,3(T1 + ∆t1π1+ τ)

].

Posteriormente a interacao dispersiva, o atomo volta a interagir ressonantemente com omodo do campo da cavidade durante um tempo T2 −∆t1π2

, onde T2 corresponde a um novopulso π, salvo que T1 +T2 = 2π/Ω = T e por simplicidade fazendo T + ∆t1π1

−∆t1π2+ τ = T1.

Temos finalmente o estado global do sistema atomo+campo antes do primeiro atomo sair dacavidade

ρg(T1) = ρ2,2(T1) |e, 0〉 〈e, 0|+ ρ3,3(T1) |g, 1〉 〈g, 1|+ ρ4,4(T1) |g, 0〉 〈g, 0|+[ρ2,3(T1) |e, 0〉 〈g, 1|

+ρ2,4(T1) |e, 0〉 〈g, 0|+ ρ3,4(T1) |g, 1〉 〈g, 0|+ c.h.]. (5.74)

Como a deteccao atomica nao esta sendo realizada, tracando fora o estado do primeiroatomo, o campo no interior da cavidade assume o estado

ρC(T1) = trA[ρg(T1)]

= ρ3,3(T1) |1〉 〈1|+[1− ρ3,3(T1)

]|0〉 〈0|+

[ρ3,4(T1) |1〉 〈0|+ c.h.

],

66

onde

ρ3,3(T1) = e−κ(T+∆t1π1−∆t1π2

)ρ1,1(0)

[(sin(Ω∆t1π1

/2) +κ

Ωcos(Ω∆t1π1

/2))e−κτ

]2

+[(

1 +κ2

Ω2

)(

1 + f 2(κ,Ω, τ))

cos2(Ω∆t1π1/2) +

[κ2

Ω2

(2− sin2(Ω∆t1π1

/2))−(

sin(Ω∆t1π1/2)

+2κ

Ωcos(Ω∆t1π1

/2))2]e−2κτ − 2

(1 +

κ2

Ω2

)f(κ,Ω, τ) sin(Ω∆t1π1

/2) cos(Ω∆t1π1/2)

e−κτ]

cos2(Ω∆t1π2/2) +

[2(

1 +κ2

Ω2

)cos2(Ω∆t1π1

/2)f(κ,Ω, τ)e−κτ + 2κ

Ωe−2κτ

(2 cos2(Ω∆t1π1

/2)− 1)

+ 2 cos(Ω∆t1π1/2) sin(Ω∆t1π1

/2)e−κτ(

1 +κ2

Ω2

(1− 2e−κτ

))]sin(Ω∆t1π2

/2) cos(Ω∆t1π2/2)

= e−κ(T+∆t1π1

−∆t1π2)ρ1,1(0) K(κ,Ω, τ,∆t1π1

,∆t1π2) , (5.75)

ρ3,4(T1) = e−κ(T+∆t1π1−∆t1π2

)/2ρ1,0(0)

−( κ

Ωcos(Ω∆t1π2

/2)− sin(Ω∆t1π2/2))(

sin(Ω∆t1π1/2)

+κ

Ωcos(Ω∆t1π1

/2))e−κτ + cos(Ω∆t1π1

/2) cos(Ω∆t1π2/2)

(κ2

Ω2+ 1

)= e−κ(T+∆t1π1

−∆t1π2)/2ρ1,0(0) Y (κ,Ω, τ,∆t1π1

,∆t1π2) . (5.76)

Por recorrencia, apos a passagem do N-esimo atomo do feixe atraves da cavidade C, oestado do campo em seu interior sera

ρC(TN) = ρ3,3(TN) |1〉 〈1|+[1− ρ3,3(TN)

]|0〉 〈0|+

[ρ3,4(TN) |1〉 〈0|+ c.h.

], (5.77)

onde TN = NT +∑N

i=1(∆tiπ1−∆tiπ2

) + Nτ + Υ, sendo Υ o tempo total que o CEM evoluilivremente sem interacao com o atomo,

ρ3,3(TN) = e−κ(NT+∑Ni=1(∆tiπ1

−∆tiπ2)+2Υ)ρ1,1(0)

N∏i=1

K(κ,Ω, τ,∆tiπ1,∆tiπ2

) (5.78)

e

ρ3,4(TN) = e−κ(NT+∑Ni=1(∆tiπ1

−∆tiπ2)+2Υ)/2ρ1,0(0)

N∏i=1

Y (κ,Ω, τ,∆tiπ1,∆tiπ2

) . (5.79)

Podemos agora analisar de forma independente os termos de populacao e de coerencia doestado acima.

67

5.3.2 Termos de populacao

O novo tempo de retencao dos termos de populacao T pR, levando em consideracao adispersao da velocidade atomica, e

e−(NT+Nτ)/T pR = e−κ(NT+∑Ni=1(∆tiπ1

−∆tiπ2)+2Υ)

N∏i=1

K(κ,Ω, τ,∆tiπ1,∆tiπ2

)⇒

T pR =NT +Nτ

κ[NT + 2Υ +

∑Ni=1(∆tiπ1

−∆tiπ2)]−∑N

i=1 ln[K(κ,Ω, τ,∆tiπ1

,∆tiπ2)] ⇒

T pR =1

2κ.

2(T + τ)

T + 2 ΥN

+ 1N

∑Ni=1(∆tiπ1

−∆tiπ2)− 1

κ. 1N

∑Ni=1 ln

[K(κ,Ω, τ,∆tiπ1

,∆tiπ2)] . (5.80)

Assim como visto na secao anterior, a distribuicao de velocidade atomica e simetrica emrelacao a velocidade otima “v0”, assim o valor medio do desvio da media e o valor medio dodesvio quadratico, sao respectivamente

1

N

N∑i=1

∆vi −→ 0 e1

N

N∑i=1

∆v2i −→

⟨v2i

⟩− 〈vi〉2 = ∆V , (5.81)

onde ∆V e a dispersao ou tambem conhecida como variancia de vi .

Consequentemente, lembrando que ∆tiπ1= |a|

v0.∆viv0

e ∆tiπ2= |d|

v0.∆viv0

temos que

1

N

N∑i=1

(∆tiπ1−∆tiπ2

) = −|d| − |a|v0

1

N

N∑i=1

∆vi = 0 . (5.82)

E interessante notar, que ∆tiπj com j = 1, 2 sao muito pequenos. Logo, podemos expandiros argumentos das funcoes trigonometricas de (5.75) em serie. Obtendo que

1

N

N∑i=1

ln[K(κ,Ω, τ,∆tiπ1

,∆tiπ2)]≈ 2

κ

Ωf(κ,Ω, τ)− Ω2

4

(|a|2 + |d|2 − 2|a||d|e−κτ

)∆V

v40

+κ2

4

[(|a|2 + |d|2

)(− 2 + e−2κτ + 2e−κτ

)+2|a||d|

(e−κτ − 2e−2κτ

)]∆V

v40

.

Como visto anteriormente, o comprimento efetivo de interacao e√πω0 (veja [36]), com

isto temos a igualdade |d| − |a| =√πω0. Sendo assim, podemos reescrever a equacao acima

da seguinte maneira

1

N

N∑i=1

ln[K(κ,Ω, τ,∆tiπ1

,∆tiπ2)]≈ 2

κ

Ωf(κ,Ω, τ)− κΛ(κ,Ω, τ, |a|, ω0, v0)

(∆v

v0

)2

,(5.83)

68

com ∆v =√

∆V sendo o desvio padrao e

Λ(κ,Ω, τ, |a|, ω0, v0) =1

Ωf(κ,Ω, τ)

Ω2

4

[ |a|2 + (|a|+√πω0)2

v20

]+

Ω4

2κ2

|a|(|a|+√πω0)

v20

+

Ω2

4κ

(√πω0

v0

)2

+Ω

2f(κ,Ω, τ)

[|a|2 + (|a|+

√πω0)2

2v20

−|a|(|a|+√πω0)

v20

e−κτ]− κ

4

(√πω0

v0

)2

e−2κτ .

Ao Substituirmos as equacoes (5.82) e (5.83) em (5.80). O tempo de retencao T pR assumea forma:

T pR =1

2κ

2(T + τ)

T + 2 ΥN− 2

κln[1 + κ

Ωf(κ,Ω, τ)

]+ Λ(κ,Ω, τ, |a|, ω0, v0)

(∆vv0

)2 . (5.84)

Note que, a equacao acima nao carrega nenhuma influencia da densidade do feixe atomico.Para levar em consideracao o efeito da densidade do feixe, i.e., o efeito do atomo ausente.Faremos as seguintes trocas: N −→ λN e Υ −→ γ na equacao acima, fornecendo-nos

T pR =1

2κ

2(T + τ)

T + 2γλN− 2

κln[1 + κ

Ωf(κ,Ω, τ)

]+ Λ(κ,Ω, τ, |a|, ω0, v0)

(∆vv0

)2 . (5.85)

Uma breve analise da equacao acima, aponta que conhecer o termo 2γ/λN e de extremaimportancia para uma boa compreensao do tempo de retencao T pR. Uma maneira de fazeristo, e usar o fato que o tempo de retencao deve ser uma funcao continua e suave. Comoresultado disto, temos que, quando ∆v −→ 0 a equacao (5.85) deve convergir em (5.64), i.e.,

lim∆v→0

T pR = T pr ⇒ 2γ

λN= (1− λ)

T + 2τ +

2

κln[1 +

κ

Ωf(κ,Ω, τ)

]. (5.86)

Desta forma, ao substituirmos a equacao acima em (5.85), concluımos que

T pR = 12κ

2(T+τ)

T− 2κ ln

[1+ κ

Ωf(κ,Ω,τ)

]+(1−λ)

T+2τ+ 2

κ ln

[1+ κ

Ωf(κ,Ω,τ)

]+Λ(κ,Ω,τ,|a|,ω0,v0)(∆v

v0 )2. (5.87)

E interessante notar, que similar ao procedimento tratado na secao anterior, o denomi-nador da equacao acima tambem traz de forma independente os termos que carregam asinformacoes correspondentes a presenca atomica, ao atomo ausente e da dispersao da veloci-dade atomica, respectivamente.

5.3.3 Termo de coerencia

Ja para os termos de coerencia, o novo tempo de retencao T cR, levando em consideracaoa dispersao da velocidade atomica. Tera a seguinte forma:

e−(NT+Nτ)/T cR = e−κ(NT+∑Ni=1(∆tiπ1

−∆tiπ2)+2Υ)/2

N∏i=1

Y (κ,Ω, τ,∆tiπ1,∆tiπ2

)⇒

69

T cR =NT +Nτ

κ2

[NT + 2Υ +

∑Ni=1(∆tiπ1

−∆tiπ2)]−∑N

i=1 ln[Y (κ,Ω, τ,∆tiπ1

,∆tiπ2)] ⇒

T cR =1

κ

2(T + τ)(T + 2 Υ

N+ 1

N

∑Ni=1(∆tiπ1

−∆tiπ2))− 2

κ. 1N

∑Ni=1 ln

[Y (κ,Ω, τ,∆tiπ1

,∆tiπ2)] . (5.88)

Assim como visto anteriormente, os argumentos ∆tiπj com j = 1, 2 das funcoes trigo-nometricas de (5.76) sao muito pequenos. De modo que, ao fazermos uma expansao em serielevando em consideracao os desvios da media (5.81). Obtemos que

1

N

N∑i=1

ln[Y (κ,Ω, τ,∆tiπ1

,∆tiπ2)]≈ −1

8

Ω2∆V

v40

(|d| − |a|

)2+κ

Ωf(κ,Ω, τ)

[1− 1

8

Ω2∆V

v40

(|a|2

+|d|2)− 1

4

Ω4∆V

κ2v40

|a||d|], (5.89)

como |d|−|a| =√πω0 e o comprimento efetivo de interacao e ∆v =

√∆V e o desvio padrao.

A equacao acima pode ser reescrita da seguinte maneira:

1

N

N∑i=1

ln[Y (κ,Ω, τ,∆tiπ1

,∆tiπ2)]≈ κ

Ωf(κ,Ω, τ)− κ

2Θ(κ,Ω, τ, |a|, ω0, v0)

(∆v

v0

)2

, (5.90)

com

Θ(κ,Ω, τ, |a|, ω0, v0) =1

Ωf(κ,Ω, τ)

Ω2

4

[ |a|2 + (|a|+√πω0)2

v20

]+

Ω4

2κ2

|a|(|a|+√πω0)

v20

+

Ω2

4κ

(√πω0

v0

)2

= Λ(κ,Ω, τ, |a|, ω0, v0)− Ω

2f(κ,Ω, τ)

[ |a|2 + (|a|+√πω0)2

2v20

−|a|(|a|+√πω0)

v20

e−κτ]

+κ

4

(√πω0

v0

)2

e−2κτ

= Λ(κ,Ω, τ, |a|, ω0, v0) + ξ(κ,Ω, τ, |a|, ω0, v0) .

Levando em consideracao as equacoes (5.82) e (5.90) em (5.88). O tempo de retencao T cRpode ser reescrito como

T cR =1

κ

2(T + τ)

T + 2 ΥN− 2

κln[1 + κ

Ωf(κ,Ω, τ)

]+[Λ(κ,Ω, τ, |a|, ω0, v0) + ξ(κ,Ω, τ, |a|, ω0, v0)

] (∆vv0

)2 .

(5.91)

Assim como no caso anterior, a equacao acima nao carrega consigo nenhuma influencia dadensidade do feixe atomico. Sendo assim, para levar em consideracao o efeito da densidade

70

do feixe (efeito do atomo ausente). Faremos novamente as trocas N −→ λN e Υ −→ γ naequacao acima, fornecendo-nos

T cR =1

κ

2(T + τ)

T + 2γλN− 2

κln[1 + κ

Ωf(κ,Ω, τ)

]+[Λ(κ,Ω, τ, |a|, ω0, v0) + ξ(κ,Ω, τ, |a|, ω0, v0)

] (∆vv0

)2 .

(5.92)Para encontrar o valor do fator 2γ/λN na equacao acima, usaremos a mesma tecnica

mostrada anteriormente: quando ∆v −→ 0 a equacao (5.92) deve convergi em (5.63). Assim

lim∆v→0

T cR = T cr ⇒ 2γ

λN= (1− λ)

T + 2τ +

2

κln[1 +

κ

Ωf(κ,Ω, τ)

]. (5.93)

Que ao substituirmos em (5.92), obtemos

T cR = 1κ

2(T+τ)

T− 2κ ln

[1+ κ

Ωf(κ,Ω,τ)

]+(1−λ)

T+2τ+ 2

κ ln

[1+ κ

Ωf(κ,Ω,τ)

]+

[Λ(κ,Ω,τ,|a|,ω0,v0)+ξ(κ,Ω,τ,|a|,ω0,v0)

](∆vv0 )

2. (5.94)

Do mesmo modo como no tempo de retencao dos elementos de populacao, o denomina-dor da equacao acima tras de forma independente os termos que carregam as informacoescorrespondentes ao atomo presente, ao atomo ausente e da dispersao da velocidade atomica,respectivamente. Comparando a equacao acima com a equacao (5.5), percebemos que paraobtermos algum ganho no tempo de retencao da cavidade, a seguinte desigualdade deve sersatisfeita

2(T+τ)

T− 2κ ln

[1+ κ

Ωf(κ,Ω,τ)

]+(1−λ)

T+2τ+ 2

κ ln

[1+ κ

Ωf(κ,Ω,τ)

]+

[Λ(κ,Ω,τ,|a|,ω0,v0)+ξ(κ,Ω,τ,|a|,ω0,v0)

](∆vv0 )

2> 1 , (5.95)

que conduz a desigualdade

λ

(T + 2τ +

2

κln[1 +

κ

Ωf(κ,Ω, τ)

])>[Λ(κ,Ω, τ, |a|, ω0, v0) + ξ(κ,Ω, τ, |a|, ω0, v0)

](∆v

v0

)2

.

Conforme ja foi salientado, e possıvel observar de forma independente do lado esquerdoda desigualdade acima o termo responsavel pela contribuicao do atomo ausente e do ladodireito o termo responsavel pela contribuicao da dispersao da velocidade atomica. No intuitode facilitar a analise desta desigualdade, podemos expandir o lado esquerdo em torno deκ/Ω 1 e similarmente expandido o lado direito em torno de |a|/v0 1

14λπ

Ω+

12λπ

Ω

(κ

Ω

)2

− 36λπ2

Ω

(κ

Ω

)3

+ ... >16π2

Ω

(Ω

κ

)(∆v

v0

)2

+ 3πΩ

(|a|v0

)2(∆v

v0

)2

+24π2

(|a|v0

)(∆v

v0

)2

− 9π2Ω

(|a|v0

)2(κ

Ω

)(∆v

v0

)2

+ ... (5.96)

Desprezando termos que nos darao contribuicoes muito pequenas. Concluımos que, paraobtermos ganhos expressivos no tempo de retencao a seguinte desigualdade deve ser satisfeita

7λ >

(2 + 3κ.

|a|v0

)4π

(Ω

κ

)(∆v

v0

)2

⇒

71

1 >8π

7λ

(1 +

3κ

2

|a|v0

)(Ω

κ

)(∆v

v0

)2

. (5.97)

Esta equacao confirma e reforca o resultado obtido na secao anterior, apontando quesomente a melhora de nossa cavidade C nao e o suficiente para obtermos um aumento ex-pressivo do nosso tempo de retencao T cR, i.e., se nao houver um melhoramento na selecaoda velocidade atomica diminuindo seu desvio padrao ∆v, nao teremos ganhos expressivos notempo de permanencia do qubit no interior da cavidade.

Ao fim da passagem do N-esimo atomo do feixe atraves da cavidade, o estado do campoem seu interior sera

ρC(∆t) = ρ1,1(0)e− ∆t

TpR |1〉 〈1|+

[1− ρ1,1(0)e

− ∆t

TpR

]|0〉 〈0|+

[ρ1,0(0)e

− ∆tTcR |1〉 〈0|+ c.h.

], (5.98)

onde ∆t e o tempo total de evolucao do campo no interior da cavidade,

1

T pR= 2κ.

T− 2κ ln

[1+ κ

Ωf(κ,Ω,τ)

]+(1−λ)

T+2τ+ 2

κ ln

[1+ κ

Ωf(κ,Ω,τ)

]+Λ(κ,Ω,τ,|a|,ω0,v0)(∆v

v0 )2

2(T+τ),

1

T cR= κ.

T− 2κ ln

[1+ κ

Ωf(κ,Ω,τ)

]+(1−λ)

T+2τ+ 2

κ ln

[1+ κ

Ωf(κ,Ω,τ)

]+

[Λ(κ,Ω,τ,|a|,ω0,v0)+ξ(κ,Ω,τ,|a|,ω0,v0)

](∆vv0 )

2

2(T+τ).

Podemos reescrever a equacao (5.98) da seguinte maneira:

ρc(∆t) = ρ1,1(0)e−2κ′∆t |1〉 〈1|+[1−ρ1,1(0)e−2κ′∆t

]|0〉 〈0|+

[ρ1,0(0)e−κ

′∆te−F′∆t |1〉 〈0|+c.h.

],

(5.99)com

κ′ = κ.T− 2

κ ln

[1+ κ

Ωf(κ,Ω,τ)

]+(1−λ)

T+2τ+ 2

κ ln

[1+ κ

Ωf(κ,Ω,τ)

]+Λ(κ,Ω,τ,|a|,ω0,v0)(∆v

v0 )2

2(T+τ),

F ′ = κ.ξ(κ,Ω,τ,|a|,ω0,v0)(∆v

v0 )2

2(T+τ)≈κ.πe−3κτ( κΩ)

(∆vv0

)2.

Ao compararmos o estado do campo (5.99) com o resultado obtido na secao 5.1 em quefizemos a evolucao livre de um qubit no modo da cavidade, nota-se assim como na propostaexperimental anterior, que ao levarmos em consideracao os danos que o atomo pode imporno estado do campo, surge um fator que decai exponencialmente e−F

′∆t, que ao tomarmosas devidas aproximacoes (κ/Ω 1, |a|/v0 1 e ∆v/v0 1) tambem mostra-se desprezıvel,nao contribuindo para nossa dinamica de interesse.

Para melhor compreender quao influente as dispersoes na velocidade atomica pode sernos experimentos de CQED, definimos uma nova funcao de ganho G ′(κ,Ω, τ, T, λ,∆v) parao tempo de retencao como funcao de λ e ∆v, a partir da equacao (5.94)

G ′(κ,Ω, τ, T, λ,∆v) =

H(κ,Ω, τ, T, λ,∆v)− 1

× 100% , (5.100)

onde

H(κ,Ω,τ,T,λ,∆v)=2(T+τ)

T− 2κ ln

[1+ κ

Ωf(κ,Ω,τ)

]+(1−λ)

T+2τ+ 2

κ ln

[1+ κ

Ωf(κ,Ω,τ)

]+

[Λ(κ,Ω,τ,a,ω0,v0)+ξ(κ,Ω,τ,a,ω0,v0)

](∆vv0 )

2.

72

Figura 5.6: Ganho do tempo de retencao da cavidade G ′(κ,Ω, τ, T, λ,∆v) em funcao dadensidade linear λ e do desvio padrao ∆v do feixe atomico. Neste grafico, utilizamos osdados retirados de [39, 43].

5.4 Deteccao atomica

Em nossos procedimentos experimentais descritos acima, nao foi realizada a deteccaoatomica, i.e., os atomos apos saırem da cavidade C nao eram medidos. Aqui nesta secao, ire-mos analisar o quao influente a deteccao atomica pode ser em nossas propostas experimentais.

Partindo do estado inicial (5.6) para o campo no interior da cavidade C. O estado glo-bal do sistema atomo+campo, imediatamente antes do primeiro atomo (que inicialmenteencontrava-se no estado fundamenta |g〉) sair da cavidade, tendo sofrido as evolucoes suces-sivas, e

ρg(T1) = ρ2,2(T1) |e, 0〉 〈e, 0|+ ρ3,3(T1) |g, 1〉 〈g, 1|+ ρ4,4(T1) |g, 0〉 〈g, 0|+[ρ2,3(T1) |e, 0〉 〈g, 1|

+ρ2,4(T1) |e, 0〉 〈g, 0|+ ρ3,4(T1) |g, 1〉 〈g, 0|+ c.h.], (5.101)

onde T1 corresponde ao intervalo de tempo que o primeiro atomo passa interagindo com ocampo do inteiro de C. Apos sair da cavidade, o atomo e medido no estado fundamental |g〉

73

e o campo do interior da cavidade colapsa no estado de Fock

ρ′C(T1) = ρ3,3(T1) |1〉 〈1|+ ρ4,4(T1) |0〉 〈0|+[ρ3,4(T1) |1〉 〈0|+ c.h.

]. (5.102)

Este estado nao esta normalizado. Desta forma, ao normalizarmos, temos que

ρ′C(T1)

tr(ρ′C(T1))=

ρ3,3(T1)

1− ρ2,2(T1)|1〉 〈1|+

[1− ρ3,3(T1)

1− ρ2,2(T1)

]|0〉 〈0|+

[ρ3,4(T1)

1− ρ2,2(T1)|1〉 〈0|+ c.h.

].

(5.103)

Por conveniencia, podemos definir os elementos de matriz do estado acima arbitrariamentecomo:

ρ2,2(T1) = eg1ρ1,1(0) Ψ1 ;

ρ3,3(T1) = eg1ρ1,1(0) Ξ1 ;

ρ3,4(T1) = eg1/2ρ1,0(0) Φ1 ;

onde por simplicidade inibimos a dependencia de nossas variaveis.

Repetindo o procedimento para os atomos sucessores, por recorrencia, ao termino dapassagem do N-esimo atomo do feixe atraves da cavidade C, o estado do campo em seuinterior reduz-se a

ρ′C(TN) =ρ1,1(0)

∏Ni=1 e

gi Ξi

1− ρ1,1(0)∑N

i=1

∏i−1j=0 e

gj Ξj(egi Ψi)|1〉 〈1|

+

[1− ρ1,1(0)

∏Ni=1 e

gi Ξi

1− ρ1,1(0)∑N

i=1

∏i−1j=0 e

gj Ξj(egi Ψi)

]|0〉 〈0|

+

[ρ1,0(0)

∏Ni=1 e

gi/2 Φi

1− ρ1,1(0)∑N

i=1

∏i−1j=0 e

gj Ξj(egi Ψi)|1〉 〈0|+ c.h.

]. (5.104)

Note que, a diferenca entre o estado do campo ao termino da passagem do N-esimo atomodo feixe com deteccao atomica mostrado acima e sem deteccao atomica expresso nas equacoes(5.31) e (5.77), e justamente o termo

1

1− ρ1,1(0)∑N

i=1

∏i−1j=0 e

gj Ξj(egi Ψi). (5.105)

Particularmente, em ambas das nossas propostas experimentais apresentadas nas secoesanteriores, ao tomarmos as devidas aproximacoes κ/Ω 1, |a|/v0 1 e ∆v/v0 1 o termoρ1,1(0)

∑Ni=1

∏i−1j=0 e

gj Ξj(egi Ψi) mostra-se 1. O que nos permite escrever

1

1− ρ1,1(0)∑N

i=1

∏i−1j=0 e

gj Ξj(egi Ψi)= 1 + ρ1,1(0)

N∑i=1

i−1∏j=0

egj Ξj(egi Ψi) + ... ≈ 1 . (5.106)

Mostrando que a deteccao atomica nao exibe influencia expressiva sob os resultados ob-tidos.

74

Capıtulo 6

Reservatorio de fase

Em ambos dos procedimentos experimentais apresentados no capıtulo anterior, o atomode dois nıveis pode ser tratado como um sistema auxiliar (ansila), onde o qubit que inicial-mente encontra-se armazenado no estado do campo no interior da cavidade C e compartilhadodurante um certo intervalo de tempo. Independente do intervalo de tempo em que o qubitfica armazenado no estado atomico, i.e., na ansila. No instante em que o atomo de doisnıveis acopla com o campo do interior de C e recolhe a informacao (qubit) armazenada emseu interior, ele diminui a perda de coerencia causada pelo amortecimento do campo sobre oqubit. No entanto, o atomo ao mesmo tempo pode impor novos ruıdos semelhante a acao deum reservatorio de fase, que ocasionam novos processos de decoerencia [48].

Ate o momento, tratamos a interacao de um atomo de dois nıveis com o campo eletro-magnetico do interior de uma cavidade eletrodinamica C, por meio de uma equacao mestrapara um oscilador que percebe o ambiente a sua volta, submetendo-o a um amortecimentode amplitude. Em nosso sistema o oscilador corresponde ao modo do campo eletromagneticoe o ambiente/reservatorio a cavidade eletrodinamica que possui perdas. No entanto, comodiscutido anteriormente, em um tratamento mais realıstico este oscilador sofre um amorte-cimento de fase tambem, devido ao acoplamento atomo-campo. Portanto, por conseguintepodemos recriar a dinamica de preservacao do qubit por meio de uma equacao metra comamortecimento de amplitude e de fase, do tipo [49]

d

dtρ(t) = β

[aρ(t), a†

]+[a, ρ(t)a†

]+ ε[a†aρ(t), a†a

]+[a†a, ρ(t)a†a

], (6.1)

onde ρ(t) e o operador densidade do sistema de interesse, a† (a) e o operador bosonico criacao(destruicao), ja β e ε sao as respectivas constantes de amortecimento de amplitude e de fase.

Como estamos trabalhando a temperatura muito baixa, menor que 1K, o numero de fotonstermicos n ≈ 0. Este vinculo sugere que o ambiente seja tratado como infinitos osciladores,todos a temperatura nula. Desta forma, a atuacao sobre o sistema sera de retirar energiadurante a evolucao. Logo, para estados que compartilham uma excitacao inicialmente, tere-mos uma evolucao limitada pelo numero de fotons “zero” e “um”. Fornecendo-nos o seguinte

75

sistema de equacoes diferenciais

d

dtρ1,1(t) = −2βρ1,1(t) (6.2)

d

dtρ1,0(t) = −(β + ε)ρ1,0(t) (6.3)

d

dtρ0,0(t) = 2βρ1,1(t) , (6.4)

onde ρ1,1(t) = 〈1| ρ(t) |1〉, ρ1,0(t) = 〈1| ρ(t) |0〉 e ρ0,0(t) = 〈0| ρ(t) |0〉.

Tomando o mesmo estado inicial arbitrario (5.6). A solucao do nosso sistema de equacoesdiferenciais sera:

ρ1,1(t) = ρ1,1(0)e−2βt , (6.5)

ρ1,0(t) = ρ1,0(0)e−βte−εt , (6.6)

ρ0,0(t) = 1− ρ1,1(0)e−2βt . (6.7)

Logo, quando um sistema caracterizado pelo estado inicial (5.6) evolui sobre a acao deum reservatorio com amortecimento de amplitude e de fase, ao termino de um certo intervalode tempo o mesmo encontra-se no estado

ρ(t) = ρ1,1(0)e−2βt |1〉 〈1|+[1− ρ1,1(0)e−2βt

]|0〉 〈0|+

[ρ1,0(0)e−βte−εt |1〉 〈0|+ c.h.

]. (6.8)

Uma sucinta analise da equacao acima mostra que o canal de amortecimento de fase atuasobre os termos fora da diagonal principal, i.e., termos de coerencia do operador densidadedo sistema de interesse ρ(t), por meio do fator e−εt, tornando-se completamente desprezıvelpara t ε−1. Desta forma, ao compararmos o estado final do operador densidade evoluıdopor meio de uma equacao mestra com amortecimento de amplitude e de fase (6.8) com osestados finais do campo no interior da cavidade C ao fim da passagem do N-esimo atomodo feixe (5.49) e (5.99), percebe-se que as constantes de amortecimento β e ε sao respectiva-mente correspondentes as funcoes de nossas grandezas dinamica κ (κ′) e F (F ′) do sistema.No entanto, a acao do reservatorio de fase mostra-se muito debil quando comparado ao dedecaimento, tornando-se desprezıvel nos experimentos tıpicos de cavidades.

76

Capıtulo 7

Fidelidade

Uma maneira de quantificar quao proximo nosso estado evoluıdo esta do estado inicial epor meio de uma medida chamada fidelidade [13], tambem conhecida em alguns casos comotransicao de probabilidade. A fidelidade e uma popular medida de distancia entre operadoresdensidade, i.e., uma forma de quantificar quao similar dois estados sao um do outro. Pordefinicao esta medida e limitada pela seguinte fronteira

0 ≤ F (ρ1, ρ2) ≤ 1 , (7.1)

onde sera 1 para estados identicos (ρ1 = ρ2) e 0 para estados completamente distintos(ρ1 6= ρ2). Para nosso sistema de interesse este limites podem ser analisados da seguintemaneira: a fidelidade sera 1 quando os estados inicial e evoluıdo estao o mais proximo um dooutro, ou seja, quando a informacao que inicialmente estava armazenada no estado do campofoi preservada; por outro lado, a fidelidade pode ser 0 quando os estados inicial e evoluıdoestao o mais distantes possıvel um do outro, conduzindo-nos a uma perda da informacao queestava inicialmente armazenada no estado do campo.

Para o caso especial, onde ρ1 e ρ2 sao ambos estados puros sob um espaco de Hilbert dedimensao finita, a fidelidade pode ser apresentada da seguinte forma [50]

F (|ψ1〉 〈ψ1| , |ψ2〉 〈ψ2|) = |〈ψ1|ψ2〉|2 . (7.2)

Isto corresponde a proximidade de estados na geometria do espaco de Hilbert. A forma(7.2) de representar a fidelidade para estados puros pode ser facilmente generalizada para ocaso onde um dos estados e impuro, assumindo a forma

F (|ψ1〉 〈ψ1| , ρ2) = 〈ψ1| ρ2 |ψ1〉 . (7.3)

A equacao (7.3) e apenas a media da equacao (7.2) sobre qualquer ensemble de estadospuros com uma matriz densidade ρ2. Para nosso sistema de interesse, que inicialmente possuium estado puro (5.6) e apos sofrer as evolucoes sucessivas finda-se num estado impuro (5.49)ou (5.99). A fidelidade pode ser representada por meio da equacao (7.3).

77

Assumindo um estado inicial do tipo

|ψ1〉 =1√2

[|0〉+ eiφ |1〉

], (7.4)

que corresponde a um caso particular do estado inicial do campo (5.6). O estado inicialmostrado acima evolui sobre a acao de um reservatorio com amortecimento de amplitude ede fase, que como vimos no capıtulo anterior, recria a dinamica de preservacao de um qubitno interior de C. Logo, ao fim da evolucao o estado (7.4) torna-se

ρ2 =1

2e−2βt |1〉 〈1|+

[1− 1

2e−2βt

]|0〉 〈0|+

[eiφ

2e−βte−εt |1〉 〈0|+ c.h.

]. (7.5)

Desta forma, a fidelidade para nosso sistema de interesse e

F (|ψ1〉 〈ψ1| , ρ2) = 〈ψ1| ρ2 |ψ1〉 =1

2

(1 + e−βte−εt) .

Para a nossa primeira proposta experimental, em que um kick de fase quase instantaneoe utilizado como forma de monitorar e preservar a coerencia de um qubit armazenado nointerior da cavidade C, as constantes de amortecimento β e ε correspondem as respectivasgrandezas dinamicas κ e F do estado (5.49). Desta forma, a fidelidade para este caso tera ocomportamento como mostrado na Fig. 7.1 .

Figura 7.1: Fidelidade F (|ψ1〉 〈ψ1| , ρ2) do estado do campo no interior da cavidade em funcaodo desvio padrao ∆v da velocidade atomica e do numeros de atomos N pertencentes ao feixeatomico que transpoe a cavidade C. Neste grafico, utilizamos os dados retirados de [39]. Valelembrar, que o tempo total do qubit no interior de C e t = N.1, 96×10−5s, sendo 1, 96×10−5so tempo total de interacao para cada atomo, a taxa de dissipacao κ da cavidade e dado porκ = 1/2Tc e consideramos a densidade linear do feixe λ = 1.

78

Uma simples analise da Fig. 7.1 mostra-nos que enquanto a passagem de 3000 atomosatraves da cavidade imprime uma perca de fidelidade mınima, o aumento da dispersao davelocidade atomica conduz a uma perca exponencial de fidelidade. Mostrando o quao influ-ente a selecao da velocidade atomica e nos experimentos de CQED.

Para a segunda proposta experimental, onde utilizamos interacoes ressonantes e disper-sivas controladas como forma de preservar e monitorar o qubit do interior da cavidade C, asconstantes de amortecimentos β e ε correspondem as respectivas grandezas dinamicas κ′ e F ′

do estado (5.99). Sendo assim, a fidelidade para este caso tera o seguinte comportamento.

Figura 7.2: Fidelidade F (|ψ1〉 〈ψ1| , ρ2) do estado do campo no interior da cavidade em funcaodo desvio padrao ∆v da velocidade atomica e do numeros de atomos N pertencentes ao feixeatomico que transpoe a cavidade C. Neste grafico, utilizamos os dados retirados de [39]. Valelembrar, que o tempo total do qubit no interior de C e t = N.7, 85×10−5s, sendo 7, 85×10−5so tempo total de interacao para cada atomo, a taxa de dissipacao κ da cavidade e dado porκ = 1/2Tc, consideramos a dessintonia mınima de δ = 3G [43], que nos fornece τ = 6π/Ω econsideramos a densidade linear do feixe λ = 1.

Que assim como para o caso anterior. A Fig. 7.2 mostra-nos que enquanto a passagemde 3000 atomos atraves da cavidade imprime uma perca de fidelidade mınima, o aumento dadispersao da velocidade atomica conduz a uma perca exponencial de fidelidade. Mostrandoo quao influente a selecao da velocidade atomica e nos experimentos de CQED.

79

Capıtulo 8

Conclusao

Em suma, neste trabalho apresentamos um estudo teorico detalhado da dinamica deprotecao de um qubit armazenado em um ambiente/reservatorio dissipativo. No contexto daEletrodinamica Quantica de Cavidades o ambiente/reservatorio e representado por uma ca-vidade supercondutora de microondas C, que devido as suas imperfeicoes conduz o modo docampo eletromagnetico do seu interior, em que o qubit encontra-se armazenado, a processosde dissipacao e decoerencia.

No Capıtulo 4, foi feita uma descricao analıtica de dois experimentos tıpicos de cavidadesrealizados por X. Maıtre et al. em [12]. No primeiro experimento, foi observado o decaimentode um estado de Fock do campo eletromagnetico no interior da cavidade C, evidenciandoassim as perdas da cavidade. Por conseguinte, foi realizado um segundo experimento, ondepode ser observado a transferencia de coerencia entre dois atomos por intermedio da cavidadeC, mostrando que o sistema de dois atomos+cavidade se comporta como um unico objetoquantico, em que a coerencia foi injetada no primeiro atomo e por intermedio da cavidadefoi detectada no segundo.

Nos experimentos realizados por X. Maıtre et al. a cavidade C funciona como uma especiede “memoria quantica”, onde o qubit e armazenado durante um certo intervalo de tempo.No entanto, o tempo de retencao, i.e., o tempo em que a cavidade supercondutora conseguearmazenar o qubit protegendo-o dos efeitos de dissipacao e decoerencia, e muito curto. Emvista disto, no capıtulo 5 foi proposto teoricamente dois procedimentos experimentais de pre-servacao do qubit armazenado no interior da cavidade C.

No primeiro procedimento experimental, foi utiliza um kick de fase quase instantaneo noatomo como forma de reverter a interacao dissipativa. Desta nossa proposta experimental foiobservado um ganho de ate 100% no tempo de permanencia do qubit no interior da cavidade.Entretanto, este ganho ainda mostra-se ınfimo precisando ser melhorado. Sendo assim, foifeita uma segunda proposta experimental, onde usamos interacoes atomo-campo ressonantee dispersiva, controladas, como forma de proteger o qubit armazenado no interior da cavi-dade C dos efeitos de dissipacao e decoerencia. Da nossa segunda proposta experimental foi

80

observado um ganho bastante significativo no tempo permanencia do qubit no interior dacavidade C, podendo chegar a 700%.

Neste mesmo capıtulo tambem foi analisado a influencia que a dispersao da velocidadeatomica pode exercer em nossas propostas experimentais. Das nossas contas surge natu-ralmente, para cada proposta experimental, uma relacao entre o primor de como o estadoatomico e preparado, e o fator de qualidade da cavidade. Este resultado e inedito e estabeleceum vınculo para a existencia de ganhos expressivos no tempo de permanencia do qubit nointerior da cavidade C. Em seguida, no capıtulo 6, foi observado que no instante que ocorreo acoplamento atomo-campo, o atomo pode impor novos ruıdos para o estado do camposemelhante a acao de um reservatorio de fase. Desta forma, foi mostrado que a dinamicade preservacao de um qubit pode ser reproduzida por meio de uma equacao mestra comamortecimento de amplitude e de fase. Entretanto, a acao do reservatorio de fase torna-sedesprezıvel quando comparada com a acao do reservatorio de decaimento em experimentostıpicos de cavidades. Por ultimo, no capıtulo 7, foi calculado para cada proposta experimen-tal a medida de distancia entre operadores de estado, conhecida como fidelidade, como formade solidificar os resultados obtidos.

81

Apendice A

Modelo Jaynes-Cummings comperdas: solucao das equacoes demovimento

Devido a inevitavel presenca da dissipacao nos experimentos em CQED, a dinamica quedescreve a evolucao do sistema composto por um atomo de dois nıveis interagindo comum modo do campo quantizado, confinado no interior de uma cavidade eletrodinamica comperdas, torna-se algo irreversıvel. Fazendo-se necessario o uso de uma equacao que descrevaa evolucao nao-unitaria deste sistema. Equacoes deste tipo sao conhecidas como equacoesmestra [21, 22], que para nosso sistema de interesse possuira a seguinte forma

d

dtρ(t) =

1

ih

[H, ρ(t)

]+ κ(1 + n)

[aρ(t), a†

]+[a, ρ(t)a†

] + κn

[a†ρ(t), a

]+[a†, ρ(t)a

] , (A.1)

onde κ e a constante de amortecimento, n representa a quantidade de fotons termicos pre-sente no sistema, a† (a) e o operador bosonico criacao (destruicao) e H e o hamiltoniano quegoverna a dinamica deste sistema.

Para o caso da interacao atomo-campo, o modelo que constitui a descricao mais elementarcompletamente quantizada e o modelo Jaynes-Cummings [31], que como ja discutido, possuidois limites extremos (ressonante e dispersivo). Portanto, para cada limite nosso sistema iraevoluir de maneira diferente, i.e., possuira uma equacao mestra distinta. A solucao geraldestas equacoes e formalmente determinada pelo metodo de superoperadores, que possuemuma algebra de Lie fechada [18]. No entanto, nosso interesse e resolve-la quando o sistemacompartilha inicialmente um numero finito de excitacoes. Com esta condicao, podemos en-contrar a solucao via metodos auxiliares, como elementos de matriz.

82

A.1 Limite ressonante

Nesta secao, descrevemos o metodo conhecido como elementos de matriz, utilizando-opara obter a solucao da equacao mestra (A.1) de um sistema global (atomo+campo), evo-luindo por meio do modelo Jaynes-Cummings no limite ressonante com dissipacao a tempe-ratura quase nula, i.e., n ≈ 0. Neste limite, a equacao mestra (A.1) assume a forma

d

dtρ(t) =

1

ih

[H0 + HI , ρ(t)

]+ κ [aρ(t), a†

]+[a, ρ(t)a†

] , (A.2)

onde ˆρ(t) e o estado do sistema global evoluıdo, H0 representa o hamiltoniano livre do sistemaglobal (3.25) e HI e o hamiltoniano de interacao (3.30). Por conveniencia, passando para arepresentacao de interacao, podemos reescrever a equacao acima como

d

dtρ(t) = −iG

[(a†σ− + aσ+), ρ(t)

]+ κ [aρ(t), a†

]+[a, ρ(t)a†

] . (A.3)

Como o sistema e composto por um atomo dois nıveis |e〉 (excitado) e |g〉 (fundamental),compartilhando inicialmente somente uma excitacao com o modo do campo eletromagnetico,a solucao torna-se mais simples, fornecendo o seguinte conjunto de equacoes de movimentoacopladas:

d

dtρ2,2(t) = −iG

[ρ3,2(t)− ρ2,3(t)

](A.4)

d

dtρ2,3(t) = −iG

[ρ3,3(t)− ρ2,2(t)

]− κρ2,3(t) (A.5)

d

dtρ2,4(t) = −iGρ3,4(t) (A.6)

d

dtρ3,3(t) = −iG

[ρ2,3(t)− ρ3,2(t)

]− 2κρ3,3(t) (A.7)

d

dtρ3,4(t) = −iGρ2,4(t)− κρ3,4(t) (A.8)

d

dtρ4,4(t) = 2κρ3,3(t) , (A.9)

onde

ρ1,1(t) = 〈e, 1| ρ(t) |e, 1〉 ρ1,2(t) = 〈e, 1| ρ(t) |e, 0〉 ρ1,3(t) = 〈e, 1| ρ(t) |g, 1〉ρ1,4(t) = 〈e, 1| ρ(t) |g, 0〉 ρ2,2(t) = 〈e, 0| ρ(t) |e, 0〉 ρ2,3(t) = 〈e, 0| ρ(t) |g, 1〉ρ2,4(t) = 〈e, 0| ρ(t) |g, 0〉 ρ3,3(t) = 〈g, 1| ρ(t) |g, 1〉 ρ3,4(t) = 〈g, 1| ρ(t) |g, 0〉ρ4,4(t) = 〈g, 0| ρ(t) |g, 0〉 .

Note que, os elementos da primeira linha e coluna ρ1,l(t) (com l = 1, 2, 3 e 4) serao nulos,pelo fato de compartilharem mais de uma excitacao. Para um estado inicial arbitrario, do

83

tipo

ρ(0) =

0 0 0 00 a b c0 b∗ d h0 c∗ h∗ f

,

com a+ d+ f = 1, a solucao do nosso sistema de equacoes diferenciais acopladas sera:

ρ2,2(t) =e−κt

Ω2

aΩ2 +

[(a+ d)Ω2

0 + iΩ0κ(b− b∗)− 2aΩ2]

sin2(Ωt/2)

+Ω[2aκ+ iΩ0(b− b∗)

]sin(Ωt/2) cos(Ωt/2)

(A.10)

ρ2,3(t) =e−κt

Ω2

bΩ2 + iΩ0

[(a+ d)κ+ iΩ0(b− b∗)

]sin2(Ωt/2) + iΩ0Ω(a

−d) sin(Ωt/2) cos(Ωt/2)

(A.11)

ρ2,4(t) =e−κt/2

Ω2

cΩ2 cos(Ωt/2) + Ω

[cκ− ihΩ0

]sin(Ωt/2)

(A.12)

ρ3,3(t) =e−κt

Ω2

dΩ2 +

[(a+ d)Ω2

0 + iΩ0κ(b− b∗)− 2dΩ2]

sin2(Ωt/2)

−Ω[2dκ+ iΩ0(b− b∗)

]sin(Ωt/2) cos(Ωt/2)

(A.13)

ρ3,4(t) =e−κt/2

Ω2

hΩ2 cos(Ωt/2)− Ω

[hκ+ icΩ0

]sin(Ωt/2)

(A.14)

ρ4,4(t) = 1− ρ2,2(t)− ρ3,3(t) , (A.15)

onde Ω0 = 2G e a frequencia de Rabi no vacuo e Ω =√

Ω20 − κ2 sera a frequencia de Rabi

modificada pelo acoplamento com o banho. Logo, a solucao geral da equacao (A.3) quandoo sistema global (atomo+campo) inicialmente compartilha uma excitacao, e

ρ(t) = ρ2,2(t) |e, 0〉 〈e, 0|+ ρ3,3(t) |g, 1〉 〈g, 1|+ ρ4,4(t) |g, 0〉 〈g, 0|+[ρ2,3(t) |e, 0〉 〈g, 1|

+ρ2,4(t) |e, 0〉 〈g, 0|+ ρ3,4(t) |g, 1〉 〈g, 0|+ c.h.]. (A.16)

A.2 Limite dispersivo

Ja no limite dispersivo do modelo Jaynes-Cummings, a equacao mestra de um sistemaglobal (atomo+campo) a temperatura quase nula (n ≈ 0) e sua respectiva solucao via ele-mentos de matriz, terao aspectos diferentes do caso anterior. Neste limite, a equacao mestra(A.1) assume a forma

d

dtρ(t) =

1

ih

[Hef , ρ(t)

]+ κ [aρ(t), a†

]+[a, ρ(t)a†

] , (A.17)

84

onde ˆρ(t) e o estado do sistema global evoluıdo e Hef representa o hamiltoniano efetivo queira gerar a interacao dispersiva (3.43). Por conveniencia, passando para a representacao deinteracao, podemos reescrever a equacao acima como

d

dtρ(t) = −iω

[(a†a+ 1) |e〉 〈e| − a†a |g〉 〈g| , ρ(t)

]+ κ [aρ(t), a†

]+[a, ρ(t)a†

] , (A.18)

em que ω = G2/δ, com δ representado a diferenca entre a frequencia de transicao atomica ea do campo, comumente conhecida como dessintonia e 1 e a identidade.

Como nosso sistema e composto por um atomo de dois nıveis |e〉 (excitado) e |g〉 (funda-mental), compartilhando inicialmente somente uma excitacao com o modo do campo eletro-magnetico. A solucao torna-se mais simples, fornecendo o seguinte conjunto de equacoes demovimento acopladas:

d

dtρ2,2(t) = 0 (A.19)

d

dtρ2,3(t) = −(2iω + κ)ρ2,3(t) (A.20)

d

dtρ2,4(t) = −iωρ2,4(t) (A.21)

d

dtρ3,3(t) = −2κρ3,3(t) (A.22)

d

dtρ3,4(t) = −(iω + κ)ρ3,4(t) (A.23)

d

dtρ4,4(t) = 2κρ3,3(t) , (A.24)

onde

ρ1,1(t) = 〈e, 1| ρ(t) |e, 1〉 ρ1,2(t) = 〈e, 1| ρ(t) |e, 0〉 ρ1,3(t) = 〈e, 1| ρ(t) |g, 1〉ρ1,4(t) = 〈e, 1| ρ(t) |g, 0〉 ρ2,2(t) = 〈e, 0| ρ(t) |e, 0〉 ρ2,3(t) = 〈e, 0| ρ(t) |g, 1〉ρ2,4(t) = 〈e, 0| ρ(t) |g, 0〉 ρ3,3(t) = 〈g, 1| ρ(t) |g, 1〉 ρ3,4(t) = 〈g, 1| ρ(t) |g, 0〉ρ4,4(t) = 〈g, 0| ρ(t) |g, 0〉 .

Assim como no caso anterior, os elementos de nossa primeira linha e coluna ρ1,l(t) (coml = 1, 2, 3 e 4) serao nulos, pelo fato de compartilharem mais de uma excitacao. Para umestado inicial arbitrario, do tipo

ρ(0) =

0 0 0 00 a b c0 b∗ d h0 c∗ h∗ f

,

85

com a+ d+ f = 1, a solucao do nosso sistema de equacoes diferenciais acopladas sera:

ρ2,2(t) = a (A.25)

ρ2,3(t) = b e−(2iω+κ)t (A.26)

ρ2,4(t) = c e−iωt (A.27)

ρ3,3(t) = d e−2κt (A.28)

ρ3,4(t) = h e−(iω+κ)t (A.29)

ρ4,4(t) = f + d(1− e−2κt) . (A.30)

Logo, a solucao geral da equacao (A.18) quando o sistema global atomo+campo inicial-mente compartilham uma excitacao, e

ρ(t) = a |e, 0〉 〈e, 0|+ d e−2κt |g, 1〉 〈g, 1|+[f + d(1− e−2κt)

]|g, 0〉 〈g, 0| (A.31)

+[b e−(2iω+κ)t |e, 0〉 〈g, 1|+ c e−iωt |e, 0〉 〈g, 0|+ h e−(iω+κ)t |g, 1〉 〈g, 0|+ c.h.

].

86

Apendice B

Qubit em uma cavidade com perdas

Neste apendice, descrevemos a evolucao de um qubit armazenado no modo do campo deuma cavidade eletrodinamica, submetido a perdas, devido a interacao do modo do campocom as paredes da cavidade (reservatorio). A equacao mestra que rege esta dinamica, e dadapor

d

dtρ(t) =

1

ih

[H0, ρ(t)

]+ κ [aρ(t), a†

]+[a, ρ(t)a†

] , (B.1)

onde ρ(t) e o estado do sistema de interesse evoluıdo (em nosso caso, campo do interior dacavidade) e H0 representa o hamiltoniano de evolucao livre do sistema. Por conveniencia,passando para a representacao de interacao, podemos reescrever a equacao acima da seguinteforma

d

dtρ(t) = κ

[aρ(t), a†

]+[a, ρ(t)a†

] . (B.2)

Como o sistema de interesse esta a uma temperatura muito baixa, menor que 1K, i.e.,n ≈ 0. O ambiente pode ser considerado como infinitos osciladores todos a temperatura nula.De modo que, a atuacao sobre o sistema sera de retirar energia durante a evolucao. Logo,para estados que compartilham uma excitacao inicialmente, teremos uma evolucao limitadapelo numero de excitacoes “zero” e “um”. Fornecendo-nos o seguinte sistema de equacoesdiferenciais:

d

dtρ1,1(t) = −2κρ1,1(t) (B.3)

d

dtρ1,0(t) = −κρ1,0(t) (B.4)

d

dtρ0,0(t) = 2κρ1,1(t) , (B.5)

onde ρ1,1(t) = 〈1| ρ(t) |1〉, ρ1,0(t) = 〈1| ρ(t) |0〉 e ρ0,0(t) = 〈0| ρ(t) |0〉.

Para um estado inicial arbitrario, do tipo

ρ(0) = ρ1,1(0) |1〉 〈1|+ ρ0,0(0) |0〉 〈0|+ ρ1,0(0) |1〉 〈0|+ ρ∗1,0(0) |0〉 〈1| (B.6)

87

ou na representacao matricial

ρ(0) =

(ρ1,1(0) ρ1,0(0)ρ∗1,0(0) ρ0,0(t)

),

com ρ1,1(0) + ρ0,0(0) = 1. A solucao do nosso sistema de equacoes diferenciais, sera

ρ1,1(t) = ρ1,1(0)e−2κt (B.7)

ρ1,0(t) = ρ1,0(0)e−κt (B.8)

ρ0,0(t) = ρ1,1(0)(1− e−2κt

)+ ρ0,0(0) . (B.9)

Logo, quando um sistema caracterizado pelo estado inicial (B.6) evolui sobre a acao deum reservatorio com amortecimento de amplitude do tipo (B.1), ao termino de sua evolucaoo mesmo encontra-se no estado

ρ(t) = ρ1,1(0)e−2κt |1〉 〈1|+[ρ1,1(0)

(1− e−2κt

)+ ρ0,0(0)

]|0〉 〈0|+

[ρ1,0(0)e−κt |1〉 〈0|+ c.h.

].

(B.10)

88

Apendice C

Interacao de um atomo com CEMclassico via densidade reduzida

Quando um atomo inicialmente preparado em um estado puro, interagi com um campo,sua evolucao pode ser resolvida facilmente via equacao de Schrodinger [17]. Entretanto,quando nosso estado possui algum tipo de mistura estatıstica, a equacao de Schrodingertorna-se insuficiente na descricao da dinamica atomo-campo. Nesta situacao, a dinamicade evolucao obedecera a equacao de Liouville-von Neumann (2.19), que na representacao deinteracao possui a forma

d

dtρ(t) =

1

ih[HI(t), ρ(t)] , (C.1)

sendo ρ(t) o estado de nosso sistema de interesse evoluıdo e HI(t) o hamiltoniano da interacao.

Para o caso onde, o sistema de interesse e um atomo de dois nıveis interagindo com umCEM classico, dado por (3.19), a equacao acima assumira a forma

d

dtρ(t) =

iΩR

2

[σ+e

−iφeiδtρ(t) + σ−eiφe−iδtρ(t)− ρ(t)σ+e

−iφeiδt − ρ(t)σ−eiφe−iδt

]. (C.2)

Como estamos tratando de um atomo de dois nıveis, podemos resolver a equacao acimaencontrando a equacao de movimento para cada elementos de matriz de (C.2)

d

dtρe,e(t) =

iΩR

2

[ρg,e(t)e

−iφeiδt − ρe,g(t)eiφe−iδt]

(C.3)

d

dtρg,e(t) =

iΩR

2

[ρg,g(t)− ρe,e(t)

]e−iφeiδt (C.4)

d

dtρg,g(t) =

ΩR

2i

[ρg,e(t)e

−iφeiδt − ρe,g(t)eiφe−iδt], (C.5)

onde ρe,e(t) = 〈e| ρ(t) |e〉 , ρe,g(t) = 〈e| ρ(t) |g〉 , ρg,e(t) = ρ∗e,g(t) , ρg,g(t) = 〈g| ρ(t) |g〉.

Para um estado inicial misto e arbitrario, do tipo

ρ(0) = p |e〉 〈e|+ q |g〉 〈g|+[u |e〉 〈g|+ c.h.

], (C.6)

89

com p+ q = 1. A solucao do nosso sistema de equacoes diferenciais, e

ρe,e(t) = p+ΩR

Ω2sin2(Ωt/2)

[ΩR(q − p)− δ(ueiφ + u∗e−iφ)

]− iΩR

2Ωsin(Ωt)(ueiφ − u∗e−iφ)

(C.7)

ρe,g(t) =ΩR

Ω2eiδte−iφ sin2(Ωt/2)

[δ(q − p) + ΩR(ueiφ − u∗e−iφ)

]+ ueiδt

[cos(Ωt)

−i δΩ

sin(Ωt)]

+ iΩR

2Ωeiδte−iφ(q − p) sin(Ωt) (C.8)

ρg,e(t) = ρ∗e,g(t) (C.9)

ρg,g(t) = q +ΩR

Ω2sin2(Ωt/2)

[ΩR(p− q) + δ(ueiφ + u∗e−iφ)

]+ i

ΩR

2Ωsin(Ωt)(ueiφ − u∗e−iφ) ,

(C.10)

onde fizemos Ω =√

Ω2R + δ2, sendo ΩR a frequencia de Rabi e δ a dessintonia. Portanto, a

solucao geral da equacao (C.2), sera

ρ(t) = ρe,e(t) |e〉 〈e|+ ρg,g(t) |g〉 〈g|+[ρe,g(t) |e〉 〈g|+ c.h.

]. (C.11)

90

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