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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE – UFCG Av Aprígio Veloso, S/N – Bodocongó – CEP: 58109-190 – Campina Grande – PB www.ufcg.edu.br/ – Fones: (0xx83) 310 1467/1192 – Fax: (0xx83) 310 1273 DSC/CCT/UFCG rangel@dscufcgedubr/ rangeldequeiroz@yahoocombr Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz Carga Horária: 60 horas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE – UFCGAv Aprígio Veloso, S/N – Bodocongó – CEP: 58109-190 – Campina Grande – PBwww.ufcg.edu.br/ – Fones: (0xx83) 310 1467/1192 – Fax: (0xx83) 310 1273

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Prof: José Eustáquio Rangel de QueirozProf: José Eustáquio Rangel de Queiroz

Carga Horária: 60 horasCarga Horária: 60 horas

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Roteiro

Roteiro

1.1 Objetivo1.2 Motivação1.3 Definições

1.3.1 Escalar1.3.2 Vetor1.3.3 Operações sobre vetores1.3.4 Matriz1.3.5 Operações sobre matrizes1.3.6 Auto-valores e Auto-vetores

1.1 Objetivo1.2 Motivação1.3 Definições

1.3.1 Escalar1.3.2 Vetor1.3.3 Operações sobre vetores1.3.4 Matriz1.3.5 Operações sobre matrizes1.3.6 Auto-valores e Auto-vetores

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Revisar, em linhas gerais, aspectos relativos ao tratamento de matrizes e vetores, com fins à fundamentação de tópicos de PDI que se respaldam no processamento matricial e/ou vetorial.

Revisar, em linhas gerais, aspectos relativos ao tratamento de matrizes e vetores, com fins à fundamentação de tópicos de PDI que se respaldam no processamento matricial e/ou vetorial.

Objetivo

Objetivo

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Várias operações no contexto do PDI envolvem manipulações vetoriais e/ou matriciais

Exemplo 1: Filtragem Espacial IFiltragem Espacial I

Várias operações no contexto do PDI envolvem manipulações vetoriais e/ou matriciais

Exemplo 1: Filtragem Espacial IFiltragem Espacial I

Motivação I

Motivação I

====

-1-1-1-12222-1-1-1-1

-1-1-1-12222-1-1-1-1

-1-1-1-12222-1-1-1-1

TTTT

Máscara 3x3(template)

Máscara 3x3(template)

mnmn22mm11mm

nn2222222121

iiiiii

iiiiiinn11ii1212ii1111ii

II

mnmn22mm11mm

nn2222222121

iiiiii

iiiiiinn11ii1212ii1111ii

II

==i’(m,i’(m,n)n)

x=x=00

t(x,t(x,y)y)y=y=

00

i(m-x,n-i(m-x,n-y)y)

M-M-11

N-N-11

MM

NN

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Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais

Exemplo 1: Filtragem Espacial IIFiltragem Espacial II

Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais

Exemplo 1: Filtragem Espacial IIFiltragem Espacial II

Motivação II

Motivação II

for (i = 1; i < M-2; i++)for (i = 1; i < M-2; i++)for(j = 1; j < M-2; j++)for(j = 1; j < M-2; j++)

s[i][j] =s[i][j] = e[i-1][j-1]*m[0][0] +e[i-1][j-1]*m[0][0] +e[i-1][j]*m[0][1] +e[i-1][j]*m[0][1] +e[i-1][j+1]*m[0][2] e[i-1][j+1]*m[0][2]

++e[i][j-1]*m[1][0] +e[i][j-1]*m[1][0] +e[i][j]*m[1][1] +e[i][j]*m[1][1] +e[i][j+1]*m[1][2] +e[i][j+1]*m[1][2] +e[i+1][j-1]*m[2][0] e[i+1][j-1]*m[2][0]

++e[i+1][j]*m[2][1]+e[i+1][j]*m[2][1]+e[i+1][j+1]*m[2][2];e[i+1][j+1]*m[2][2];

Adaptação do Adaptação do processo de processo de convolução da convolução da máscara com a máscara com a imagem de entrada imagem de entrada para a linguagem Cpara a linguagem C

Adaptação do Adaptação do processo de processo de convolução da convolução da máscara com a máscara com a imagem de entrada imagem de entrada para a linguagem Cpara a linguagem C

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Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais

Exemplo 1: Filtragem Espacial IIIFiltragem Espacial III

Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais

Exemplo 1: Filtragem Espacial IIIFiltragem Espacial III

Motivação III

Motivação III

Imagem Corrompida com Ruído GaussianoImagem Corrompida com Ruído Gaussiano

Imagem Suavizada comFiltro de Suavização Gaussiana

Imagem Suavizada comFiltro de Suavização Gaussiana

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Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais

Exemplo 2: Rotação de Imagem IRotação de Imagem I

Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais

Exemplo 2: Rotação de Imagem IRotação de Imagem I

Motivação IV

Motivação IV

Mapeamento direto

Imagem Original (x,y)Imagem Original (x,y)

coscossensen ..++..== yyxxyy

sensencoscos ..--..== yyxxxx

Notação matricial

--==

yyxx

yyxx

coscossensensensencoscos

''''

Imagem Rotacionada (x’,y’)Imagem Rotacionada (x’,y’)

xx

yy

(x,y)(x,y)

(x’,y’)(x’,y’)

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Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais

Exemplo 2: Rotação de Imagem IIRotação de Imagem II

Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais

Exemplo 2: Rotação de Imagem IIRotação de Imagem II

Motivação V

Motivação V

Mapeamento direto

Imagem Original (x,y)Imagem Original (x,y) Imagem Rotacionada (x’,y’)Imagem Rotacionada (x’,y’)

xx

yy

(x,y)(x,y)

(x’,y’)(x’,y’)

--==

yyxx

yyxx

coscossensensensencoscos

''''

Mapeamento reverso

--==

yyxx

yyxx

coscossensensensencoscos

''''

-1-1

==

yyxx

yyxx

coscos-sen-sensensencoscos

''''

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Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais

Exemplo 2: Rotação de Imagem IIIRotação de Imagem III

Operações envolvendo manipulações vetoriais e/ou matriciais

Exemplo 2: Rotação de Imagem IIIRotação de Imagem III

Motivação VI

Motivação VI

Imagem Original (x,y)Imagem Original (x,y) Imagem Rotacionada (x’,y’)Imagem Rotacionada (x’,y’)

xx

yy

(x,y)(x,y)(x’,y’)(x’,y’)

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Escalar

Variável descrita por um número (magnitude) ou um símbolo representando um número

Temperatura TT = 20 ºC20 ºC

Densidade dd = 12 g/cm12 g/cm33

Nível de cinza de um pixel (em uma imagem) NNcc = 176176

Escalar

Variável descrita por um número (magnitude) ou um símbolo representando um número

Temperatura TT = 20 ºC20 ºC

Densidade dd = 12 g/cm12 g/cm33

Nível de cinza de um pixel (em uma imagem) NNcc = 176176

Definições I

Definições I

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Vetor

Variável descrita por magnitude e direção

Vetor

Variável descrita por magnitude e direção

Definições II

Definições II

vyvy

VV

vxvx

Vetor de LinhaVetor de Linha

pxpxPP pypy pzpz

yy

xx

vv

vvVV

Vetor de ColunaVetor de Coluna

pypyPP

pxpxpzpz

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Operações sobre Vetores I

Exemplos de transposição

Operações sobre Vetores I

Exemplos de transposição

ColunaColuna LinhaLinha

Definições III

Definições III

[[ ]]773399==TT

VV

==

77

33

99

VV

[[ ]]1144-1-1==XXTT

==

11

44

-1-1

XX

LinhaLinha ColunaColuna

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Operações sobre Vetores II

Produto interno de vetores Escalar

Operações sobre Vetores II

Produto interno de vetores Escalar

[[ ]]ii

iiii

TTyyxxyyxxyyxxyyxx

yy

yy

yy

xxxxxx ==

==++++==

==33

11333322221111

33

22

11

332211YYXX

Norma de um vetor em um espaço vetorial VV

Função que atribui a cada vetor VV um número real não negativo (norma de VV), denotado por ||||VV||||

Definições IV

Definições IV

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Operações sobre Vetores III

Condições satisfeitas pela norma

||||VV|| || > 0> 0, para VV ≠≠ 00; ||||00|| || = 0= 0 ||||ccVV|| || = = ||cc|.|||.||VV||||, para qualquer escalar e

vetor

||||V + XV + X|| || || ||VV|| || ++ || ||XX||||

Operações sobre Vetores III

Condições satisfeitas pela norma

||||VV|| || > 0> 0, para VV ≠≠ 00; ||||00|| || = 0= 0 ||||ccVV|| || = = ||cc|.|||.||VV||||, para qualquer escalar e

vetor

||||V + XV + X|| || || ||VV|| || ++ || ||XX||||

Tamanho de um vetor

X = (xX = (x1122+ x+ x22

22 ) )½½

X = (xX = (x1122+ x+ x22

22 + x+ x3322 ) )½½

XXTT X =x X =x1122+ x+ x22

22 +x +x3322 = ( X ) = ( X )22

xx11

xx22XX

Definições V

Definições V

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Operações sobre Vetores IV

Norma 22 ou EuclidianaEuclidiana

Definição do espaço para um vetor VV no mm real

Operações sobre Vetores IV

Norma 22 ou EuclidianaEuclidiana

Definição do espaço para um vetor VV no mm real

Comprimento de um vetor

Definições VI

Definições VI

X = (xX = (x112 2 + x+ x22

2 2 + … + x+ … + xmm22 ) )½½

xx11

xx22XX

X X = (x= (x1122+ x+ x22

22))½½

XXTT X = ((x X = ((x1122+ x+ x22

22))½½))22 = ( = (

X )X )22

ou

X X = (X= (XTT X) X)½½

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Vetores OrtogonaisVetores Ortogonais

XXTTY = 0Y = 0

sensen YYyyyy//==

Operações sobre Vetores V Ângulo entre 2 Vetores

Operações sobre Vetores V Ângulo entre 2 Vetores

coscos YYyyxx//==

sensen XXxxyy//== coscos XXxxxx//==

||X||||X||

yxyx

yyyy

||Y||||Y||

xxxx

xyxy

++==coscos

== cos(cos(--)) coscoscoscos sensensensen

=/2=/2||X||||X||

||Y||||Y||

coscos

== XXXXTTYY// YY coscos

XX YY== XXTTYY== XXxxxxyyxx// YY ++ XXxxyyyyyy// YYcoscos

cos(/2)X Y=XTY = 0

Definições VII

Definições VII

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Operações sobre Vetores VI Desigualdade de Cauchy-Schwartz

Ortogonalidade Se e somente se o produto interno for

nulo

XXTTY = 0Y = 0 Ortonormalidade

Ortogonalidade Ortogonalidade dos vetores Comprimento de cada vetor unitáriounitário

XX YYXXTT

YY

Definições VIII

Definições VIII

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Matriz ll×cc (“ll por cc")

Arranjo retangular de entradas ou elementos (números ou símbolos representando números) encerrados tipicamente por colchetes

ll Número de linhas cc Número de colunas

Matriz ll×cc (“ll por cc")

Arranjo retangular de entradas ou elementos (números ou símbolos representando números) encerrados tipicamente por colchetes

ll Número de linhas cc Número de colunas

Definições IX

Definições IX

lclc22ll11ll

cc2222222121

mmmmmm

mmmmmmcc11mm1212mm1111mm

MM

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Matriz ll×cc QuadradaQuadrada ll = cc

DiagonalDiagonal QuadradaQuadrada na qual mmlclc = 00

para ll ≠ cc e nem todos os elementos diagonais são nulos

IdentidadeIdentidade DiagonalDiagonal e todos os elementos diagonais são unitários

NulaNula mmlclc = 00, ll,,cc

Matriz ll×cc QuadradaQuadrada ll = cc

DiagonalDiagonal QuadradaQuadrada na qual mmlclc = 00

para ll ≠ cc e nem todos os elementos diagonais são nulos

IdentidadeIdentidade DiagonalDiagonal e todos os elementos diagonais são unitários

NulaNula mmlclc = 00, ll,,cc

Definições X

Definições X

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.br

Matriz ll×cc Transposta de MxNTransposta de MxN (MMTT) Intercâmbio

de linhas por colunas (nova matriz cc×ll) SimétricaSimétrica QuadradaQuadrada para a qual MMTT=MM InversaInversa Qualquer matriz II para a qual

XX..MM=II e MM..XX=II Múltiplo EscalarMúltiplo Escalar Produto de um número

real ou complexo (denominado escalar) kk e uma matriz MM

Notação kk..MM Resultado da multiplicação de todos os

elementos de MM por kk

Matriz ll×cc Transposta de MxNTransposta de MxN (MMTT) Intercâmbio

de linhas por colunas (nova matriz cc×ll) SimétricaSimétrica QuadradaQuadrada para a qual MMTT=MM InversaInversa Qualquer matriz II para a qual

XX..MM=II e MM..XX=II Múltiplo EscalarMúltiplo Escalar Produto de um número

real ou complexo (denominado escalar) kk e uma matriz MM

Notação kk..MM Resultado da multiplicação de todos os

elementos de MM por kk

Definições XI

Definições XI

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2121

DSC/CCT/UFCGDSC/CCT/UFCG

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om

.br

Matriz ll×cc NegativoNegativo Múltiplo escalar de kk=-1 e

uma matriz MM

TraceTrace Soma dos elementos da diagonal principal

Igualdade de matrizesIgualdade de matrizes MM = XX se tiverem o mesmo número de linhas e colunas e mmlclc = xxlclc

Matriz ll×cc NegativoNegativo Múltiplo escalar de kk=-1 e

uma matriz MM

TraceTrace Soma dos elementos da diagonal principal

Igualdade de matrizesIgualdade de matrizes MM = XX se tiverem o mesmo número de linhas e colunas e mmlclc = xxlclc

Definições XII

Definições XII

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2222

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.br

Operações sobre Matrizes I Exemplos de transposição

Operações sobre Matrizes I Exemplos de transposição

Definições XIII

Definições XIII

====

444455556666

333344445555

222233334444

MMMMTTTT====

444433332222

555544443333

666655554444

MMMM

====

444400003333

3333-1-1-1-15555

2222-2-2-2-27777

YYYY

-1-1-1-1

0000

1111

TTTT====

0000-1-1-1-1-2-2-2-2

333355557777

-1-1-1-100001111

YYYY

444433332222

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om

.br

Definições XIV

Definições XIV

Operações sobre Matrizes II Adição/ Subtração Matrizes de

mesmas dimensões

Propriedades

Comutativa

II ±± JJ == JJ ±± II Associativa

(I(I ±± J)J) ±± KK == II ±± (J(J ±± K)K)

Operações sobre Matrizes II Adição/ Subtração Matrizes de

mesmas dimensões

Propriedades

Comutativa

II ±± JJ == JJ ±± II Associativa

(I(I ±± J)J) ±± KK == II ±± (J(J ±± K)K)

±±==±±

ii44ii33

ii22ii11JJII

jj44jj33

jj22jj11 ==

ii3 3 ± ± jj33

ii1 1 ± ± jj11 ii4 4 ± ± jj44

ii2 2 ± ± jj22

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.br

Definições XV

Definições XV

Operações sobre Matrizes III Multiplicação Número de colunas da

primeira matriz igualigual ao número de linhas da segunda matriz

Propriedades Associativa

(I(I J)KJ)K == I(JK)I(JK) Distributiva

I(II(I ±± K)K) == IJ ± IKIJ ± IK

Operações sobre Matrizes III Multiplicação Número de colunas da

primeira matriz igualigual ao número de linhas da segunda matriz

Propriedades Associativa

(I(I J)KJ)K == I(JK)I(JK) Distributiva

I(II(I ±± K)K) == IJ ± IKIJ ± IK

KK = = II JJ((mm xx pp) = () = (mm xx nn) () (nn xx pp))

KKijij = = produto interno da produto interno da ii-ésima-ésima linha de linha de II pela pela jj-ésima-ésima coluna de coluna de JJ

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DSC/CCT/UFCGDSC/CCT/UFCG

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om

.br

Definições XVI

Definições XVI

Operações sobre Matrizes IV Multiplicação

Propriedades Não comutativa

(I(I J)J) ≠≠ (JI) (JI) !!!!!! Produto transposto

(IJ)(IJ)TT == JJTTIITT

Operações sobre Matrizes IV Multiplicação

Propriedades Não comutativa

(I(I J)J) ≠≠ (JI) (JI) !!!!!! Produto transposto

(IJ)(IJ)TT == JJTTIITT

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DSC/CCT/UFCGDSC/CCT/UFCG

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.br

Operações sobre Matrizes V

Produto externo

Operações sobre Matrizes V

Produto externo

Definições XVII

Definições XVII

[ ]yy33yy22yy11==TT

YY

==

xx33

xx22

xx11

XX

==

yy33

yy22

yy11

YY

==

xx33

xx22

xx11

XX[[ ]]yy33yy22yy11

TTYY ==

xx33yy11xx33yy11

xx22yy11xx22yy11

xx11yy11xx11yy11

xx33yy22xx33yy22

xx22yy22xx22yy22

xx11yy22xx11yy22

xx33yy33xx33yy33

xx22yy33xx22yy33

xx11yy33xx11yy33

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AA-1-1 A = AA = A AA-1-1 = I = IAA-1-1 A = AA = A AA-1-1 = I = I

Definições XVIII

Definições XVIII

Operações sobre Matrizes VI Matriz Inversa I

Exemplo

Operações sobre Matrizes VI Matriz Inversa I

Exemplo

AA-1-1AA ==

11//770000

0011//5500

000011//33

770000005500000033

==

110000001100000011

= I= I

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Operações com Matrizes VII Matriz Inversa II

Propriedades

Existência de AA-1-1 AA quadradaquadrada

Se AA-1-1 existe AA é não singularnão singular (inversívelinversível)

(AB)-1 = B-1A-1; B-1A-1AB = B-1B = I

(AT)-1 = (A-1)T; (A-1)TAT = (AA-1)T = I

Operações com Matrizes VII Matriz Inversa II

Propriedades

Existência de AA-1-1 AA quadradaquadrada

Se AA-1-1 existe AA é não singularnão singular (inversívelinversível)

(AB)-1 = B-1A-1; B-1A-1AB = B-1B = I

(AT)-1 = (A-1)T; (A-1)TAT = (AA-1)T = I

AA-1-1 A = AA = A AA-1-1 = I = IAA-1-1 A = AA = A AA-1-1 = I = I

Definições XIX

Definições XIX

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.br

Operações sobre Matrizes VIII Determinante de uma Matriz Quadrada

Número associado à matriz AAn,nn,n, representado por AA ou detdet AA, definido por:

aa1111, se n=1n=1

, se n>1n>1

AA1j1j é a submatriz obtida da matriz AA eliminando a linha 11 e a coluna jj

AA == 00 se e somente se AA não for inversívelinversível

Operações sobre Matrizes VIII Determinante de uma Matriz Quadrada

Número associado à matriz AAn,nn,n, representado por AA ou detdet AA, definido por:

aa1111, se n=1n=1

, se n>1n>1

AA1j1j é a submatriz obtida da matriz AA eliminando a linha 11 e a coluna jj

AA == 00 se e somente se AA não for inversívelinversível

Definições XX

Definições XX

nn

++

--==jjjj

jjaaAA

==jj 11,,1111

11..))11(( AA

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Auto-valores e Auto-vetores I Auto-valores de uma matriz real MM

Números reais para os quais há um vetor não nulonão nulo tal que

Me = Me = ee

Auto-vetores de uma matriz real MM Vetores não nulos enão nulos e para os quais há

um número real tal que Me =Me = ee Se Me = Me = ee para ee ≠ 0≠ 0

ee é um auto-vetor de MM associado ao auto-valor e vice-versa

Auto-valores e Auto-vetores I Auto-valores de uma matriz real MM

Números reais para os quais há um vetor não nulonão nulo tal que

Me = Me = ee

Auto-vetores de uma matriz real MM Vetores não nulos enão nulos e para os quais há

um número real tal que Me =Me = ee Se Me = Me = ee para ee ≠ 0≠ 0

ee é um auto-vetor de MM associado ao auto-valor e vice-versa

Definições XXI

Definições XXI

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Auto-valores e Auto-vetores II Auto-sistema de uma matriz real MM

Auto-vetores e auto-valores associados de MM

Exemplo Seja MM a matriz

Constata-se que, para 11 = 11 e 22 = 22,

MeMe11 = = ee11, MeMe22 = = ee22 e

Auto-valores e Auto-vetores II Auto-sistema de uma matriz real MM

Auto-vetores e auto-valores associados de MM

Exemplo Seja MM a matriz

Constata-se que, para 11 = 11 e 22 = 22,

MeMe11 = = ee11, MeMe22 = = ee22 e

Definições XXII

Definições XXII

==

22000011

MM

==

0011

ee11 ==

1100

ee22

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE – UFCGAv Aprígio Veloso, S/N – Bodocongó – CEP: 58109-190 – Campina Grande – PBwww.ufcg.edu.br/ – Fones: (0xx83) 310 1467/1192 – Fax: (0xx83) 310 1273

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE – UFCGAv Aprígio Veloso, S/N – Bodocongó – CEP: 58109-190 – Campina Grande – PBwww.ufcg.edu.br/ – Fones: (0xx83) 310 1467/1192 – Fax: (0xx83) 310 1273

DSC/CCT/UFCGDSC/CCT/UFCG

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José Eustáquio Rangel de QueirozJosé Eustáquio Rangel de QueirozProfessor Adjunto DSC/UFCGProfessor Adjunto DSC/UFCG

E-mail:E-mail: [email protected]@dsc.ufcg.edu.br

[email protected]@yahoo.com.br

Site departamental:Site departamental: www.ufcg.edu.br/~rangelwww.ufcg.edu.br/~rangel

Fone:Fone: 1119/1120 Ramal 2141119/1120 Ramal 214