UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA FACULDADE DE ... · equilíbrio de placas delgadas, também conhecida como equação de Lagrange, obtida pelo ... considerações pode-se estabelecer

UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA

FACULDADE DE ENGENHARIA

CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

ELABORAÇÃO DE UM PROGRAMA COMPUTACIONAL

PARA O CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DE LAJES MACIÇAS

SANDER DAVID CARDOSO JÚNIOR

JUIZ DE FORA

FACULDADE DE ENGENHARIA DA UFJF

2008

UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA

FACULDADE DE ENGENHARIA

CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL




JUIZ DE FORA

FACULDADE DE ENGENHARIA DA UFJF

2008




Trabalho Final de Curso apresentado ao

Colegiado do Curso de Engenharia Civil da

Universidade Federal de Juiz de Fora, como

requisito parcial à obtenção do título de

Engenheiro Civil.

Área de Conhecimento: Estruturas

Orientador: Luis Paulo da Silva Barra

Co-orientadores: Miguel Paoliello Pimenta

Carlos José Barreto

Juiz de Fora

Faculdade de Engenharia da UFJF

2008




Trabalho Final de Curso submetido à banca examinadora constituída de acordo com o Artigo

9o do Capítulo IV das Normas de Trabalho Final de Curso estabelecidas pelo Colegiado do

Curso de Engenharia Civil, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de

Engenheiro Civil.

Aprovado em: 05 / 12 / 2008

Por:

_____________________________________

Prof. Luis Paulo da Silva Barra.

_____________________________________

Prof. Miguel Paoliello Pimenta.

_____________________________________

Prof. Flávio de Souza Barbosa.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente agradeço aos meus pais, cujo esforço fez-se presente em todas as

formas, para que algumas de minhas aspirações fossem realizadas e outras tantas estejam se

concretizando. Agradeço também aos meus professores do departamento de estruturas pela

atenção prestada. E, posteriormente, ofereço os meus resultados, frutos de tamanho trabalho, a

meu filho João Pedro.

RESUMO

O presente trabalho visa não só atender o lado teórico com a análise de lajes maciças,

isto é, obtendo os esforços, dimensionando e detalhando estruturas de concreto armado; mas

também, o lado educacional dando uma visão geral do cálculo de placas. Comumente, nos

cursos de concreto armado, a obtenção dos esforços se faz por meio de tabelas, sem que haja a

clara compreensão dos conceitos e fundamentos que governam a teoria das placas. Desta

forma, busca-se elaborar um programa computacional para resolver lajes maciças

retangulares, oferecendo uma ferramenta que dê ao usuário não só uma forma de análise, mas

um meio de comparação de resultados, acompanhados por um embasamento teórico.

Ainda, são apresentados resultados numéricos obtidos do programa computacional.

Esses resultados são bastante próximos a valores analíticos tomados como referência,

atestando a eficiência dos cálculos realizados computacionalmente.

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO .....................................................................................................................1

2. TEORIA DA FLEXÃO DE PLACAS ...................................................................................3

2.1 Introdução ..........................................................................................................................3

2.2 Equação de equilíbrio das placas delgadas ........................................................................3

2.3 Deformação .......................................................................................................................5

2.4 Deslocamentos ..................................................................................................................6

2.5 Relações entre deformações – deslocamentos ..................................................................7

2.6 Relações entre tensão – deformação ...............................................................................10

2.7 Relações entre esforços – deslocamentos .......................................................................10

2.8 Equação diferencial da placa ...........................................................................................13

2.9 Condições de contorno ....................................................................................................14

3. MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS PARA RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO

DIFERENCIAL DE PLACAS DELGADAS ..........................................................................15

3.1 Introdução ........................................................................................................................15

3.2 Equação de diferenças correspondente a equação das placas de Kircchoff ....................16

3.3 Momentos fletores ............................................................................................................18

3.4 Esforços cortantes ............................................................................................................20

3.5 Condições de contorno .....................................................................................................21

3.6 Compatibilidade de um conjunto de placas .....................................................................23

3.7 Malha de diferenças finitas ..............................................................................................27

4. DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DE LAJES MACIÇAS ..........................29

4.1 Introdução ........................................................................................................................29

4.2 Dimensionamento de lajes maciças .................................................................................29

4.3 Detalhamento de lajes maciças ........................................................................................43

5. DESNVOLVIMENTO DO PROGRAMA COMPUTACIONAL PARA O CÁLCULO,

DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DE LAJES MACIÇAS...............................48

5.1 Introdução ........................................................................................................................48

5.2 Entrada de dados ..............................................................................................................49

5.3 Cálculo dos deslocamentos (flechas) ...............................................................................50

5.4 Cálculo dos esforço ..........................................................................................................50

5.5 Dimensionamento ............................................................................................................50

5.6 Detalhamento ..................................................................................................................51

5.7 Fluxograma do programa computacional elaborado.......................................................52

6. RESULTADOS NUMÉRICOS ...........................................................................................53

6.1 Introdução ........................................................................................................................53

6.2 Validação do método .......................................................................................................53

6.3 Exemplo complementar ..................................................................................................73

CONCLUSÃO .........................................................................................................................99

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................................................100 APÊNDICE I – TUTORIAL DE UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE .....................................101

1

Capítulo 1

INTRODUÇÃO

Atualmente, o projeto de lajes maciças é feito por softwares sofisticados e, em cursos

de concreto armado são utilizadas tabelas para obtenção dos esforços solicitantes. É

imprescindível que o projetista entenda o fundamento do método adotado para a resolução,

pois assim, poderá ter uma análise crítica dos resultados obtidos.

Para resolver o problema de placas planas é necessário conhecer os deslocamentos da

superfície média deformada (flechas), que são governados pela equação diferencial do

equilíbrio de placas delgadas, também conhecida como equação de Lagrange, obtida pelo

equilíbrio infinitesimal de um elemento de placa juntamente com relações da teoria da

elasticidade. Com a solução desta equação, podem ser obtidos os esforços solicitantes na

placa. Assim, no segundo capítulo tem-se uma abordagem sobre a teoria das placas.

A equação de Lagrange tem solução analítica apenas para casos particulares, sendo

necessária a utilização de métodos aproximados para a solução de geometrias mais

complexas. Foi adotado como método de discretização é utilizado o MDF (método das

diferenças finitas), no terceiro capítulo é encontrado uma introdução do método aplicado a

resolução de placas. Fazendo posteriormente, sua validação, comparando os resultados

encontrados com as respectivas soluções analíticas.

Encontrados os esforços solicitantes a placa, pode-se dimensionar uma armadura para

resistir juntamente com o concreto atais esforços. O dimensionamento é feito de acordo com o

critério dos estados limites últimos (ruptura) e verificando os estados limites de utilização

(serviço), e devem atender aos aspectos econômicos, estéticos, de segurança, de utilização e

durabilidade, respeitando as prescrições da NBR 6118 (2003) [2]. Com o dimensionamento

efetuado deve-se ter o cuidado de detalhar as armaduras, visando à praticidade na execução e

minimizando as interferências no local. Uma visão mais ampla sobre o dimensionamento e

detalhamento de estruturas de concreto armado é encontrada no quarto capítulo.

2

Com o embasamento teórico exposto nos primeiros capítulos, é possível fazer um

programa computacional para resolução de lajes maciças, assim, o quinto capítulo trata de

alguns aspectos do programa implementado em linguagem Java, apresentado facilidades

gráficas na entrada de dados e saída de resultados.

No sexto e último capítulo são encontrados resultados numéricos obtidos

computacionalmente, estes são comparados com valores analíticos tomados como referência

com uma análise da diferença encontrada. Há ainda um exemplo complementar que mostra o

cálculo completo de uma laje maciça, isto é, desde a obtenção dos esforços até o detalhamento

das armaduras.

3

Capítulo 2

TEORIA DA FLEXÃO DE PLACAS

2.1 Introdução

Placas são elementos estruturais planos, cuja espessura é muito menor que as

dimensões medidas no seu plano. Em muitos casos no âmbito da engenharia civil é razoável

considerar algumas simplificações, chamadas de hipóteses de Kirchhoff. Com essas

considerações pode-se estabelecer a teoria de placas finas.

As hipóteses de Kirchhoff são:

i – O material da placa é elástico linear, homogêneo e isotrópico;

ii – A superfície média da placa é indeformável;

iii– As linhas normais à superfície média permanecem normais à superfície fletida;

iv – As tensões normais ao plano médio são desprezíveis e,

v – Regime de pequenas deformações.

Com estas hipóteses, juntamente com relações da teoria da elasticidade linear [6], é

estabelecida a equação de equilíbrio das placas delgadas [7].

2.2 Equação de equilíbrio das placas delgadas

Também conhecida como equação de Lagrange, é estabelecida fazendo-se o equilíbrio

de um elemento infinitesimal, genérico de placa com carregamento normal ao plano, que está

submetido aos esforços mostrados na figura (2.1), a seguir:

4

Fig.2.1 – Equilíbrio do elemento de placa.

Desprezando os infinitésimos de ordem superior, têm-se as seguintes equações de

equilíbrio:

- Equilíbrio dos momentos fletores em torno do eixo y,

(2.1)

- Equilíbrio dos momentos fletores em torno do eixo x,

(2.2)

- Equilíbrio das forças verticais,

yx QQ px y

(2.3)

yxxx

MM Qx y

y xyy

M MQ

y x

5

- Diferenciando as equações (2.1) e (2.2), em relação à x e y respectivamente,

(2.4)

(2.5)

- Substituindo as equações (2.4) e (2.5) em (2.3), lembrando que, xy yxM M resulta,

(2.6)

Para deixar a equação diferencial acima, em função dos deslocamentos (flechas), são

necessárias algumas relações da teoria da elasticidade [5], apresentadas nos próximos itens.

2.3 Deformação:

É a mudança de forma e dimensão sofrida pelo corpo e, uma maneira de se quantificar

essas mudanças é definindo os seguintes conceitos:

- Deformação linear especifica ( s ): é a relação entre o alongamento sofrido e o

comprimento inicial. De maneira exagerada para uma melhor visualização, na figura (2.2)

tem-se então:

Fig.2.2 – deformação linear especifica.

Em que: ds é a distância (infinitesimal) entre dois pontos na configuração inicial.

'ds é a distância (infinitesimal) entre dois pontos na configuração deformada.

22

2yxx xMM Q

x y xx

2 2

2y xy yM M Q

x y yy

2 22

2 22 xy yx M MM px yx y

6

A deformação linear entre dois pontos quaisquer de um corpo é definida como:

(2.7)

Permitindo que se escreva:

(2.8)

- Deformação angular ( st ), é a redução do ângulo originalmente reto entre dois

segmentos infinitesimais. Assim, na figura (2.3) tem-se:

Fig.2.3 – deformação angular especifica.

Em que: é o ângulo inicialmente reto na configuração deformada.

Tendo em vista a figura (Fig.2.3), análoga a figura (Fig.2.2), tem-se, também de

maneira exagerada, a deformação angular entre dois pontos quaisquer de um corpo. Assim

pode-se estabelecer,

(2.9)

2.4 Deslocamentos:

Quando um corpo se desloca, um ponto qualquer de coordenadas , e x y z passa a ter

as coordenadas , e ,x u y v z w sendo , e u v w os deslocamentos nas direções , e x y z

respectivamente, sendo os deslocamentos expressos por:

(2.10)

'ss

ds dsds

' 1 sds ds

2st

, ,

, ,

, ,

u u x y z

v v x y z

w w x y z

7

2.5 Relações entre deformações e deslocamentos

Para relacionar deformação e deslocamento [8], admite-se a hipótese básica de se estar

no regime de pequenas deformações e deslocamentos, podendo-se assim assumir que certas

distâncias são aproximadamente iguais às suas projeções.

Fig.2.4 – Deslocamento e deformação de um elemento infinitesimal.

Considerando dois elementos infinitesimais na configuração inicial AB e AC, e

deformada, A’B’ e A’C’ respectivamente, (Fig.2.4), têm-se as seguintes igualdades:

(2.11)

(2.12)

' 'cosudx u dx u A Bx

' 'cosvdy v dy v A Cy

8

Pela hipótese básica de pequenas rotações,

(2.13)

(2.14)

Relacionado ' 'A B e ' 'A C nas expressões acima, com a deformação linear específica,

utilizando a equação (2.8), e substituindo nas equações (2.11) e (2.12) com AB e AC iguais

a dx e dy respectivamente, tem-se:

(2.15)

(2.16)

Definindo assim a deformação linear específica nas direções x e y como sendo,

xux

(2.17)

yvy

(2.18)

Ainda pode-se escrever a deformação angular:

xy (2.19)

Pela hipótese básica de pequenas deformações,

sen e sen (2.20)

Da figura (2.4),

(2.21)

' 'cos ' 'A B A B

' 'cos ' 'A C A C

1 xudx dx dxx

1 yvdy dy dyy

' '

v dxxsen

A B

9

(2.22)

Utilizando novamente a equação (2.8), obtém-se:

(2.23)

(2.24)

Pela hipótese básica de pequenas deformações, x e y são muito pequenos em

relação à unidade, assim,

(2.25)

Por similaridade, são obtidas nos outros dois planos coordenados as expressões.

yvy

zwz

(2.26)

xzu wz x

yzv wz y

Assim, têm-se como relações deformação-deslocamento:

xux

yvy

zwz

(2.27)

xyu vy x

xzu wz x

yzv wz y

' '

u dyysen

A C

1 x

v dxx

dx

1 y

u dyy

dy

xyu vy x

10

2.6 Relações entre tensão e deformação

A lei de Hooke [6], válida para material elástico linear, homogêneo e isótropo,

estabelece a relação entre tensão e deformação:

21x x y zE

(2.28)

21y y x zE

21z z x yE

xy xyG xz xzG yz yzG

Em que: E é o módulo de elasticidade longitudinal.

é o coeficiente de Poisson.

,2 1

EG

é o módulo de elasticidade transversal.

2.7 Relações entre esforços e deslocamentos

Para obter a relação entre esforços e deslocamentos [8], imagina-se uma seção

genérica paralela ao eixo x, que mostra a superfície média deformada da placa (Fig.2.5).

Considerando um ponto genérico “A”, será analisado seu deslocamento.

Fig.2.5 – Seção transversal genérica da placa deformada.

11

O ponto A, sofre deslocamentos nas três direções. No plano xz , tem-se:

(2.29)

(2.30)

Analogamente, têm-se como deslocamentos no plano yz . Sendo v o deslocamento na

direção y e y a rotação no plano yz do ponto A,

ywv z zy

(2.31)

Aplicando-se as relações deformação - deslocamento, dadas nas equações (2.27), tem-

se:

2

2xwz

x

2

2ywz

y

2

2xywz

x y

(2.32)

Considerando as tensões normais à superfície desprezíveis ( 0z ), têm-se as

seguintes relações da lei de Hooke:

21x x yE

21y y x

E

2 1xy xyE

(2.33)

Substituindo as equações (2.32) na equação acima, tem-se:

2 2

2 2 21xE w wz

x y

(2.34)

2 2

2 2 21yE w wz

y x

(2.35)

2

1xyE wz

x y

(2.36)

( , )w w x y

xwu z zx

12

As tensões normais e tangenciais geram momentos fletores e torçores que, podem ser

determinados analisando-se um elemento de placa genérico submetido a um carregamento

normal à superfície, conforme a figura abaixo (Fig. 2.6).

Fig.2.6 – Tensões em um elemento de placa.

As tensões normais x e y , geram momentos fletores que, são determinados pelas

seguintes integrais:

2

2

h

x xh

dM z dz dx

2

2

h

y yh

dM z dz dy

(2.37)

Substituindo as equações (2.34) e (2.35) nas integrais acima, têm-se os momentos por

unidade de comprimento:

2 2

2 2xw wM D

x y

(2.38)

2 2

2 2yw wM D

y x

(2.39)

13

Em que,

3

212 1EhD

, o módulo de rigidez a flexão da placa.

As tensões tangenciais xy e yx , geram momentos torçores, que são determinados

pelas seguintes integrais:

2

2

h

xy xyh

dM z dz dx

2

2

h

yx yxh

dM z dz dx

(2.40)

Substituindo a equação (2.36) nas integrais acima, lembrando que xy yx , têm-se os

momentos torçores por unidade de comprimento:

2

1xy yxwM M D

x y

(2.41)

2.8 Equação diferencial da placa

Estabelecida a relação entre esforço e deslocamentos, podem-se substituir na equação

(2.6) as equações (2.38), (2.39) e (2.41), chegando à equação diferencial de equilíbrio das

placas delgadas:

4 4 4

4 2 2 42w w w pDx x y y

(2.42)

Esta é uma equação diferencial parcial de quarta ordem, cuja solução é a superfície

deformada da placa ,w x y . Para que o problema possa ser resolvido devem ser satisfeitas as

condições de contorno. A superfície – solução satisfaz simultaneamente a equação de

equilíbrio (2.42) e as condições de contorno da placa.

14

2.9 Condições de contorno

A equação diferencial (2.42) de quarta ordem requer para a sua solução duas

condições de contorno para cada borda da placa, podendo ser geométricas (deslocamentos ou

rotações prescritos), mecânicas (Esforços prescritos) ou mistas. No presente trabalho foram

utilizadas inicialmente as seguintes condições de contorno:

a) Bordo simplesmente apoiado:

Nestes se tem condições de contorno mistas, que são os deslocamentos (flechas) e

momentos nulos na borda. Por exemplo, para uma borda perpendicular ao eixo x, tem-se:

0w e 2 2

2 2 0yw wM D

x y

(2.43)

b) Bordo engastado:

Nestes se tem condições de contorno geométricas, que são os deslocamentos (flechas)

e as rotações nulas na borda. Por exemplo, para uma borda perpendicular ao eixo x, tem-se:

0w e 0wx

(2.44)

A condição de bordo engastado pressupõe um engaste perfeito, na verdade existe a

condição de um engaste elástico, em que, seu nível de engastamento depende da placa

adjacente ao bordo engastado.

Como foi mencionado anteriormente, no presente trabalho a equação (2.42) é

resolvida pelo método das diferenças finitas, mostrado resumidamente no próximo capítulo.

15

Capítulo 3

MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS PARA RESOLUÇÃO DA

EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE PLACAS DELGADAS

3.1 Introdução

O método das diferenças finitas resolve equações diferenciais de maneira aproximada,

substituindo as derivadas da função, por aproximações envolvendo diferenças entre avaliações

pontuais dos deslocamentos.

Por ser avaliada pontualmente, espera-se que o erro seja inversamente relacionado ao

número de pontos, isto é, quanto maior o número de pontos melhor é a aproximação. Estes

pontos são chamados de pontos nodais e formam uma malha, que é denominada malha de

diferenças finitas.

Fig.3.1 – Malha de diferenças finitas.

16

As equações de diferenças finitas correspondentes ao problema foram retiradas das

referências [3] e [4].

3.2 Equação de diferenças correspondentes a equação das placas segundo as hipóteses

de Kirchhoff

A equação diferencial das placas de Kircchoff (2.42), vista no capítulo 2 e mostrada

novamente,

4 4 4

4 2 2 42w w w pDx x y y

Sendo a equação de diferenças correspondentes à equação acima (2.42),

413

1i i

i

q xwD

(3.1)

Em que, na figura (3.2) tem-se a numeração local correspondente às flechas iw da

equação acima (3.1), e as expressões (3.2) correspondendo aos coeficientes de diferenças i .

Fig.3.2 – Numeração local para os coeficientes relativos à

determinação dos deslocamentos.

17

(3.2)

Assim, efetuando o somatório (3.2) e referenciando os elementos na numeração

global, tem-se o seguinte sistema, de equações algébricas lineares com o número de

incógnitas igual ao número de deslocamentos a serem determinados:

.K w f (3.3)

Em que,

K - matriz que acumula as contribuições dos coeficientes i , posicionados no

referencial global.

w - flechas nodais a serem determinadas.

4qf xD

.

O sistema (3.3) tem como solução as flechas de todos os pontos nodais com

deslocamento a serem determinados. Conhecidas as flechas, para se encontrar os esforços

solicitantes, basta substituir-las nas equações diferenciais que correlacionam esforços e

deslocamento, na figura abaixo (Fig. 3.3), têm-se os esforços em um elemento da placa, cuja

forma aproximada é mostrada a seguir.

4 2 2

1 2 4

2 2 2

3 5 6 7 8 9

4

10 12

6 6. 8. 4. 1

4. . 1 2.

x x xy y y

x x xy y y

xy

11 13 1

18

Fig.3.3 – Momentos fletores e esforços cortantes em um elemento da malha.

3.3 Momentos fletores

Das equações (2.38) e (2.39), tem-se:

2 2

2 2xM w w

D x y

2 2

2 2yw wM D

y x

Em que,

3

212 1EhD

, é o módulo de rigidez a flexão da placa.

Equação de diferenças correspondentes à equação (2.38):

5

1

xiMx i

i

MwD

(3.4)

Em que, na figura (3.4) têm-se a numeração local correspondente as flechas iw , e as

expressões (3.5) correspondem aos coeficientes i , da equação acima (3.4).

19


determinação dos momentos fletores.

(3.5)


5

1

yiMy i

i

Mw

D

(3.6)

Em que, na figura (3.4) tem-se a numeração local correspondente as flechas iw , e as

equações (3.7) correspondendo aos coeficientes i , da equação acima (3.6).

(3.7)

1 2 2

2 4 2

3 5 2

2 2

1

My

My My

My My

y x

x

y

+

1 2 2

2 4 2

3 5 2

2 2

1

Mx

Mx Mx

Mx Mx

x y

x

y

+

20

3.4 Esforços cortantes

Diferenciando a equação (2.38) e (2.39) em relação à x e y respectivamente, têm-se os

esforços cortantes:

3 3

3 2xQ w w

D y y x

(3.8)

3 3

3 2yQ w w

D x x y

(3.9)

Equação de diferenças finitas correspondentes à equação (3.8):

13

1

xiQx i

i

QwD

(3.10)

Em que, na figura (3.5) tem-se a numeração local correspondente as flechas iw , e a

equação (3.11) correspondendo aos coeficientes 1 , da equação acima (3.10).


determinação dos esforços cortantes.

21

(3.11)


13

1

yiQy i

i

Qw

D

(3.12)

Em que, na figura (3.5) tem-se a numeração local correspondente as flechas iw , e a

equação (3.13) correspondendo aos coeficientes 2 , da equação acima.

(3.13)

3.5 Condições de contorno

Quando se avalia a equação (2.42) em um ponto nodal, na vizinhança do contorno da

placa, como mostrado na figura abaixo (3.6), a expressão aproximada faz referência a valores

da função fora do domínio da mesma.

1 3 5 10 12

2 4 3 2

6 7 8 9 2

11 13 3

0

2 22

12

1

Qx Qx Qx Qx Qx

Qx Qx

Qx Qx Qx Qx

Qx Qx

x x y

x y

x

1 2 4 11 13

3 5 3 2

6 7 8 9 2

10 12 3

0

2 22

12

1

Qy Qy Qy Qy Qy

Qy Qy

Qy Qy Qy Qy

y y x

x y

x

22

Fig.3.6 – Detalhe do ponto virtual para determinação dos deslocamentos.

Uma das maneiras de se resolver esse problema é relacionar os valores das flechas dos

pontos virtuais com valores dos pontos nodais internos a malha, de acordo com as condições

de contorno do problema, como mostrado a seguir:

a) bordo simplesmente apoiado:

A imposição da condição de contorno de apoio simples é feita estipulando para as

flechas “virtuais” valores opostos aos das flechas internas simétricas a elas. Assim, têm-se

xM nulo, isto é representado na figura a seguir (Fig.3.7) e demonstrado a seguir,

Fig.3.7 – Condição de apoio simples.

23

Das equações (3.4) e (3.5):

2 42 42 2 0x

w wM w wx x

b) bordo engastado:

A imposição da condição de contorno de engaste perfeito é feita estipulando para as

flechas “virtuais” valores iguais aos das flechas internas simétricas a elas. Assim, têm-se a

rotação sobre o apoio nula, isto é representado na figura a seguir (Fig.3.8):

Fig.3.8 – Condição de engaste perfeito.

No presente trabalho foram considerados nulos os deslocamentos dos pontos nodais

sobre o contorno, sendo esta uma das condições de contorno do problema.

3.6 Compatibilidade de um conjunto de placas

Existem várias maneiras de fazer a compatibilidade entre um conjunto de placas, por

facilidade de implementação, foi utilizado no trabalho um processo iterativo, apresentado a

seguir:

24

Como na visto seção (3.5), para impor as condições de contorno, adotou-se o recurso

de flechas “virtuais”, assumindo a existência de apoios simples e engastes perfeitos. Porém,

quando existe uma continuidade em algum dos lados da placa, esta apresenta certo nível de

engastamento, não sendo necessariamente um engastamento perfeito.

As condições de contorno no método de diferenças finitas são inseridas como uma

continuidade da função fora do domínio do problema, ou seja, dependendo da condição de

contorno, são estipulados valores para fazer a compatibilidade dos deslocamentos (seção 3.5

do capítulo 3). Portanto, o problema consiste em determinar esses valores de forma que

atendam simultaneamente todas as placas.

Suponha duas placas adjacentes L1 e L2 conforme a figura (3.9), sabe-se que a

superfície deformada das placas, em conjunto, deve ser uma função contínua. Isto é notado no

corte AA’, perpendicular ao bordo de encontro das duas Placas (Fig. 3.10).

Fig.3.9 – Placas adjacentes L1 e L2.

Fig.3.10 – Seção AA’.

25

As flechas das placas L1 e L2 são interdependentes, ou seja, para obter uma delas é

necessário conhecer as flechas da outra. Sendo o problema resolvido por um processo

iterativo.

3.6.1 Processo iterativo

Simplificadamente pode-se analisar dois pontos nodais da seção AA’, sendo o

raciocínio expandido para todo o problema. Imagine dois pontos nodais i e j, internos às lajes

L1 e L2 respectivamente, e adjacentes ao bordo de encontro entre as duas lajes (Fig 3.11).

Fig.3.11 – Pontos nodais i e j.

O método de diferenças finitas utiliza o artifício de valores virtuais para dar

continuidade a função fora do domínio. Portanto, considerando cada uma das placas

isoladamente, a flecha wj é ponto “virtual” para placa L1 e a flecha wi é ponto “virtual” para

placa L2, conforme visto na figura anterior.

Sendo o vínculo entre L1 e L2 um engaste perfeito (Fig. 3.12). obtém-se para a placa

L1 wi-1, que é a flecha no ponto nodal i. Segundo a consideração inicial, a flecha do ponto

nodal j (wj-1), tem o mesmo valor ao da flecha do ponto i.

26

Fig.3.12 – Primeira iteração - Solução da placa L1.

Agora, pode-se analisar a placa L2 utilizando wi-1 como flecha virtual. Com isso,

encontra-se wj-2, que é a flecha no ponto nodal j. Isto pode ser visto a seguir (Fig.3.13):

Fig.3.13 – Primeira iteração – solução da Placa L2.

A flecha verdadeira no ponto nodal j está entre as duas flechas wj-1 e wj-2. Assim,

utiliza-se como flecha virtual para a solução da placa L1 a flecha wj-3, que é a média

aritmética entre as flechas wj-1 e wj-2, encontrando assim a flecha para o ponto nodal i

(wi-2). Isto pode ser visto a seguir (Fig.3.14):

27

Fig3.14 – Segunda iteração – solução da placa L1.

Da mesma forma, a flecha verdadeira do ponto nodal i está entre as duas flechas wi-1 e

wi-2. Assim, utiliza-se como flecha virtual para a solução da placa L2 a flecha wi-3, que é a

média aritmética entre as flechas wi-1 e wi-2. Encontrando assim a flecha para o ponto nodal j

(wj-4).

Nota-se que se inicia um processo iterativo, convergindo para uma solução que resolve

simultaneamente as duas placas. Como dito no inicio da seção, o raciocínio pode ser

expandido para a compatibilidade dos outros pontos nodais adjacentes ao encontro das placas.

Assim pode-se estabelecer a compatibilidade de um conjunto de placas.

3.7 Malha de diferenças finitas

Como a equação diferencial é aproximada por relações entre os valores da função nos

pontos nodais, estes precisam estar correlacionados, isto é, um ponto nodal tem que estar

relacionado com seus pontos nodais vizinhos por alguma estrutura. Com isso tem-se uma

malha estruturada.

28

No presente trabalho, adotou-se a seguinte estrutura para a numeração da malha

bidimensional retangular (Fig.3.15):

Fig.3.15 – Malha estruturada – numeração global.

Na figura (3.15), nx e ny são os números de eixos perpendiculares a x e y

respectivamente. Nota-se que a numeração começa pelos pontos nodais com flecha a ser

determinada e depois são numerados os pontos nodais que estão sobre os bordos.

29

Capítulo 4

DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO DE LAJES MACIÇAS

4.1 Introdução

Nos capítulos anteriores, foram apresentados métodos para se obter os esforços

solicitantes em placas delgadas. Agora, será apresentado o dimensionamento e detalhamento

de lajes maciças [1].

Tanto o dimensionamento, quanto ao detalhamento de lajes maciças devem respeitar

as disposições da NBR 6118 (2003) [2].

4.2 Dimensionamento de lajes maciças

São admitidas as seguintes hipóteses:

i – As linhas normais à superfície média permanecem normais à superfície fletida. Isto

resulta em uma distribuição linear das deformações ao longo da espessura da laje;

ii – Admite-se uma aderência perfeita entre o concreto e o aço, com isso, as armaduras

vão estar sujeitas a mesma deformação do concreto que as envolve.

iii – A resistência do concreto à tração é desprezada, pois o concreto apresenta uma

resistência à tração muito menor que à compressão. O dimensionamento é feito no estado

limite último ou estádio III.

4.2.1 Diagrama tensão - deformação dos materiais

a) Concreto:

O diagrama obtido no ensaio de compressão não é linear. Em uma expressão

desenvolvida por Hognestad, admite-se, que o digrama tensão-deformação obtido

30

experimentalmente no ensaio de compressão simples do concreto, pode ser representado por

um trecho em parábola do segundo grau, e outra linear. A NBR-6118 (2003) permite adotar

esse tipo de diagrama (Fig.4.1) ou o diagrama simplificado (Fig.4.2).

Fig.4.1 – diagrama parábola - retângulo para

tensão-deformação do concreto a compressão simples.

Em que: c é a tensão no concreto.

c é a deformação específica do concreto.

ckf é a resistência característica à compressão do concreto.

cdf é a resistência de cálculo à compressão do concreto.

Simplificadamente é possível se utilizar o diagrama retangular de compressão no

concreto (Fig.4.2).

Fig.4.2 – diagrama simplificado para

tensão-deformação do concreto a compressão simples

31

Em que: c é tensão no concreto.

c é a deformação específica do concreto.

cdf é a resistência de cálculo à compressão do concreto.

x é a profundidade da linha neutra.

Este diagrama retangular (Fig.4.2) simplifica significativamente as equações para o

dimensionamento. Quando se está no chamado domínio 3, o erro cometido quando

comparado com o diagrama parábola-retângulo, é mínimo. Para situação de dimensionamento

no domínio 2 perde-se a precisão quando para valores de c muito pequenos. Uma abordagem

sobre os domínios de deformação será visto na próxima seção.

b) Aço:

O diagrama tensão - deformação para aços, adotado pela NB-6118 (2003), indicado na

figura abaixo (Fig.4.3), pode ser utilizado para os aços com ou sem patamar de escoamento.

Fig.4.3 – diagrama tensão-deformação para o aço.

Em que: s é tensão no aço.

s é a deformação específica no aço.

32

ydf é resistência de escoamento do aço, valor de cálculo.

yd é a deformação específica de cálculo do aço. .

sE é a o módulo de elasticidade longitudinal do aço.

Como pode ser visto na figura (4.3), o aço apresenta comportamento na compressão

idêntico ao da tração.

4.2.2 Domínios de dimensionamento

Quando uma peça de concreto está submetida à flexão simples, sua ruptura pode se dar

nos domínios 2, 3 e 4. Em função do domínio, a peça pode estar subarmada, normalmente

armada ou superarmadas.

Fig.4.4 – Domínios de dimensionamento na flexão simples.

Em que: h é a altura da peça.

d é a altura útil da peça.

yd é a deformação específica de cálculo do aço.

Os valores 10‰ e 3,5‰ da figura (4.4) são respectivamente, o limite de deformações

para o aço e para o concreto.

33

Classificação da peça segundo os domínios:

- Peça subarmada: Correspondente ao domínio 2. São peças que rompem por

deformação excessiva do aço sem que o concreto chegue a sua deformação máxima.

Tem uma ruptura com aviso prévio, pelo elevado grau de deformação da armadura, o

concreto tracionado apresenta uma intensa fissuração e flechas elevadas.

- Peça normalmente armada: Corresponde ao domínio 3. São peças que rompem por

esmagamento do concreto à compressão, com escoamento da armadura. O tipo de

ruptura é semelhante ao das peças subarmadas.

- Peça superarmadas: Corresponde ao domínio 4. São peças que rompem por

esmagamento do concreto, sem que a armadura entre no estado de escoamento. Deve-

se evitar dimensionar neste domínio, pois a peça apresenta uma ruptura brusca, ou

seja, sem aviso prévio.

4.2.3 Determinação do momento limite

Como visto anteriormente, deve-se evitar dimensionar no domínio 4. Com isso, deve-

se garantir que a armadura esteja com alongamento maior que yd , ou seja, tenha atingido o

escoamento. Então, pode-se determinar a posição da linha neutra limite entre os domínios 3 e

4, denominada limx , como visto na figura (4.5).

Fig.4.5 – Diagrama de deformações entre o domínio 3 e 4.

34

Em que: h é a altura da peça.

d é a altura útil da peça.

limx é a altura da linha neutra entre os domínios 3 e 4.

yd é a deformação específica de cálculo do aço.

Empregando semelhança de triângulos da figura (6.5), tem-se:

(4.1)

Isolando o termo limx na equação acima, tem-se:

(4.2)

Assim, define-se a grandeza lim :

(4.3)

Observe que a grandeza adimensional lim só depende do tipo de aço empregado.

Assim, fixa-se uma altura limite da linha neutra, para que se tenha o dimensionamento nos

domínios 2 ou 3.

Com limx fixado, pode-se estabelecer um momento limite ,limdM , para que a peça

não atinja no domínio 4. Para uma seção retangular normalmente armada de largura igual a

100 cm e espessura h, como na figura (4.6):

Fig.4.6 – Seção da peça com armadura simples.

lim lim3,5‰

3,5‰ ydx d d

lim 3,5‰3,5‰ yd

xd

lim3,5‰

3,5‰ ydx d

35

Em que: ,limSdM é o momento solicitante de cálculo na situação limite entre os

domínios 3 e 4.

h é a espessura da seção transversal.

d é a altura útil da seção transversal.

wb é a largura da seção transversal.

O momento ,limSdM é equilibrado pelo momento resistente gerado pelo binário entre a

força resultante de compressão do concreto e a resultante de tração no aço, indicado na figura

(4.7).

Fig.4.7 – Equilíbrio do momento ,limdM .

Em que: cd é tensão de cálculo à compressão do concreto.

,limSdM é o momento solicitante de cálculo na situação limite entre os

domínios 3 e 4.

,limccR é a resultante de compressão no concreto na situação limite entre o

domínio 3 e 4.

,limstR é a resultante de tração no aço na situação limite entre o domínio 3 e 4.

0,4z d x , é distância entre as forças resultantes de tração e compressão.



limx é a profundidade da linha neutra na situação limite entre os domínios 3 e

4.

36

A resultante de compressão no concreto na situação limite entre os domínios 3 e 4, é

determinada utilizando o diagrama simplificado de tensão - deformação mostrado na figura

(4.2).

(4.4)

Do equilíbrio de momentos, tem-se:

(4.5)

Substituindo as equações (4.4) e a expressão para limz (Fig.4.7) na equação acima (4.5),

(4.6)

Dividindo a equação por 2d :

,lim 2limlim2 2

0,8 0,4d

cd

M x d xbd d

(4.7)

Para limlim

xd

, tem-se:

,limlim lim2 0,8 1 0, 4d

cd

Mbd

(4.8)

Como visto anteriormente lim só depende do tipo de aço. Assim, pode-se estabelecer

o primeiro termo da equação como sendo o momento limite reduzido ,limlim 2

d

cd

Mbd

, e

com isso, estabelecer valores para lim .

- CA-50:

Para o aço CA-50: tensão de escoamento de cálculo é igual a:

(4.9)

,lim lim0,8cc w cdR x b

,lim ,lim limd ccM R z

,lim lim lim0,8 0, 4d cdM x b d x

50 43,478 ²1,15fyk kNfyd cms

37

E, o módulo da elasticidade longitudinal igual a:

(4.10)

Com isso, na figura (4.3) pode-se determinar a deformação correspondente ao início

do patamar de escoamento yd :

(4.11)

Assim, pode-se definir a grandeza lim da equação (4.3):

(4.12)

Com a equação (4.8), determina-se para o aço CA-50, um momento limite reduzido

lim :

(4.13)

Dado um momento solicitante SdM , calcula-se o momento reduzido . Assim, têm-

se as seguintes situações:

Se lim , a peça não estará no domínio 4, ou seja, será subarmada ou normalmente

armada.

Se lim , a peça estará no domínio 4, ou seja, será superarmada, como visto

anteriormente deve-se evitar este tipo de dimensionamento. Pode-se adotar a utilização de

armadura dupla, isto reduziria a altura da linha neutra e aumentaria a deformação da armadura

inferior. Para o dimensionamento feito com a seção deformada na ruptura nos domínios de

deformação 3 ou 4, o valor de cd iguala-se à 0,85fcd, onde cd ck cf f .

221.000skNE

cm

43,478 2,07‰21.000yd

s

fydE

lim3,5‰ 0,628

3,5‰ 2,07‰

0,8 0,628 1 0,4 0,628

0,376lim

lim

38

4.2.4 Dimensionamento da armadura longitudinal para lajes

Como as lajes geralmente apresentam espessura reduzida, não é comum a utilização de

armadura dupla, assim, se lim , é conveniente redimensionar a laje. Para calcular a área

de armadura, considera-se uma seção de 100 cm de largura e espessura h, conforme a figura

(4.9).

Fig.4.9 – Seção da laje com armadura simples.

Em que: SdM é o momento solicitante de cálculo.



wb é a largura da seção transversal.

sA é a soma das áreas das seções da armadura longitudinal.

O momento dM é equilibrado pelo momento resistente gerado pelo binário entre a

força resultante de compressão do concreto e a resultante de tração no aço, indicado na figura

(4.10).

39

Fig.4.10 – Equilíbrio do momento dM .

Em que: cd é tensão de cálculo à compressão no concreto.

SdM é o momento solicitante de cálculo.

ccR é a força resultante de compressão no concreto.

stR é a força resultante de tração no aço.

0,4z d x , é distância entre as forças resultantes.



A resultante de compressão no concreto é determinada utilizando o diagrama

simplificado de tensão – deformação, mostrado na figura (4.2).

(4.14)

A resultante de tração no aço nos domínios 2 e 3, é determinada utilizando o digrama

da figura (4.3).

(4.15)

Do equilíbrio de momentos,

(4.16)

0,8cc cdR bx

st yd sR f A

0,8 0, 4 0d cdM bx d x

40

Dividindo a equação acima por 2cdbd ,

(4.17)

Como 2d

cd

Mbd

e xd

, tem-se:

(4.18)

Chega-se a uma equação do segundo grau que possui duas raízes. Porém, apenas uma

destas raízes indica que a linha neutra corta a seção transversal. Portanto, tem-se como

solução para a equação acima (4.18):

(4.19)

Isolando x na equação acima,

(4.20)

Pelo equilíbrio de forças indicado na figura (4.10),

(4.21)

Substituindo as equações (4.14) e (4.15),

(4.22)

Isolando sA na equação, e substituindo os valores de x

(4.23)

Para lajes, pode-se dimensionar uma armadura fazendo b = 100 cm, assim encontra-se

uma área de aço por metro.

2

2 2 20,8 0,8 0,4 0d

cd

M xd xbd d d

20,32 0

1,25 1 1 2xd

cc stR R

0,8 cd yd sbx f A

1, 25 1 1 2x d

0,8. 1, 25 1 1 2 cdsA d bd

fyd

41

(4.24)

Em que: sA é área de armadura longitudinal por metro, em 2cm .

2100d

cd

Md

, momento solicitante reduzido.

d é altura útil da laje, em cm .

cd é tensão de compressão de cálculo do concreto, em 2kN

cm

.

fyd é tensão de escoamento de cálculo do aço, em 2kN

cm

.

4.2.4 Verificação ao cisalhamento

Geralmente, as forças cortantes nas lajes são resistidas pelo concreto, não necessitando

de uma armadura transversal.

Contudo, deve-se fazer uma verificação quanto à necessidade de dimensionar uma

armadura transversal. A NBR 6118 (2003) prescreve que a laje pode prescindir de armadura

transversal, quando a força cortante de cálculo SdV for menor que a força cortante resistente

de cálculo 2RdV , portanto, tem-se a condição:

(4.25)

Em que: 2RdV é a força cortante resistente de cálculo para laje sem armadura transversal

sdV é a força cortante solicitante de cálculo.

Determina-se 2RdV pela seguinte expressão, com 1,6 1d ,

(4.26)

2100 1 1 2 cdsA d

fyd

2Sd RdV V

32 1 50 1,6 100Rd qV fck l d d

42

Em que: ckf é a resistência característica à compressão do concreto.

l é o comprimento do menor lado da laje.

d é espessura útil da laje.

100As

d é taxa de geométrica de armadura longitudinal de tração que chega

ao apoio.

q é um coeficiente que depende da natureza do carregamento, que vale

0,141 3d

l para carregamento distribuído, podendo ser adotado 0,17q

quando 20ld .

4.2.5 Módulo de elasticidade longitudinal do concreto

A NBR 6118 (2003) determina que, para as analises estáticas de projeto seja utilizado

o módulo de elasticidade secante CSE , que corresponde a 85% do módulo de elasticidade

do concreto CE , isto é,

(4.27)

O módulo de elasticidade do concreto CE , deve ser obtido segundo ensaio descrito

na NM 05:03-0124. Quando não forem feitos ensaios e não existirem dados mais precisos

sobre o concreto usado, pode-se estimar o valor do módulo de elasticidade inicial aos 28 dias,

usando a expressão:

(4.28)


0,85sc cE E

1

25600cE fck

43

4.3 Detalhamento de lajes maciças

Dimensionadas as armaduras principais, que resistem aos momentos fletores, deve-se

ter o cuidado nas disposições das barras, de modo que facilitem a execução, não interfiram na

concretagem, respeitem um cobrimento mínimo para proteção da armadura, etc. A norma

NBR 6118 (2003) estabelece prescrições para o detalhamento de lajes maciças.

4.3.1 Cobrimento

A durabilidade das estruturas depende da qualidade do concreto e do cobrimento para

as armaduras, este cobrimento é uma espessura de concreto que protege as armaduras de

ataques químicos. A NBR 6118 (2003) estabelece cobrimentos mínimos de acordo com a

classe de agressividade ambiental. A tabela (4.1) mostra a classificação da agressividade

ambiental e a tabela (4.2) mostra os cobrimentos nominais mínimos para lajes maciças de

acordo com a classe de agressividade.

Classe de agressividade ambiental Agressividade Risco de deterioração

da estrutura I fraca insignificante II média pequeno III forte grande IV muito forte elevado

Tabela 4.1 - Classe de agressividade ambiental:

Tabela 4.2 - Cobrimentos nominais mínimos para lajes: Classe de agressividade I II III IV

Cobrimento nominal (mm) 20 25 35 45

44

4.3.2 Espessura mínima para lajes

A NBR 6118 (2003) estabelece os seguintes limites mínimos para a espessura de lajes:

a) 5 cm para lajes de cobertura não em balanço;

b) 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço;

c) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;

d) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN;

4.3.3 Armadura mínima para lajes

A NBR 6118 (2003), estabelece uma armadura longitudinal mínima para lajes

(4.29)

Em que: minAs é área de armadura longitudinal mínima por metro, em 2cm

m

.

min é a taxa de armadura, fornecida pela tabela (4.3).

h é espessura da laje, em cm .

Para as lajes armadas em duas direções é permitido reduzir a armadura inferior

longitudinal mínima nas duas direções. Neste caso adota-se min 0,10% .

ckf MPa

20 25 30 35

min % 0,15 0,15 0,17 0,19

Tabela 4.3 – taxas de armadura mínima min % :

min min100As h

45

4.3.4 Diâmetro máximo das barras longitudinais

O diâmetro máximo é fixado em 18 da espessura da laje.

4.3.5 Espaçamento máximo das armaduras longitudinais

A NBR 6118 (2003) estabelece que as barras da armadura principal de flexão, devem

apresentar na região dos maiores momentos fletores espaçamento máximo igual a 2h ou 20

cm, prevalecendo o menor.

4.3.6 Comprimento de ancoragem

As armaduras longitudinais precisam ser ancoradas na estrutura, esta ancoragem pode

ser feita por aderência. A NBR 6118 (2003) fornece um comprimento bl , para que a barra

seja ancorada dentro da estrutura.

(4.30)

Em que: bl é o comprimento de ancoragem.

é o diâmetro das barras da armadura longitudinal .

ydf é a resistência de escoamento de cálculo do aço.

bdf é tensão de aderência de cálculo da armadura.

bdf é calculado pela seguinte expressão:

(4.31)

Sendo,

ctdf a resistência à tração de cálculo do concreto, igual a:

4bfydlfbd

1 2 3bd ctdf f

46

(4.32)

a

1

1,0 para barras lisas 1, 4 para barras entalhadas 2, 25 para barras nervuradas

21,0 para situações de boa aderência 0,7 para situações de má aderência

3

1,0 se, 32 132 se, 32

100

mm

mm

4.3.6.1 Ancoragem necessária

A NBR 6118 (2003) permite reduzir o comprimento de ancoragem bl , para um

comprimento de ancoragem necessário ,b necl , em que:

(4.33)

Em que: bl é o comprimento de ancoragem.

,s calcA é área da armadura calculada para resistir o esforço solicitante.

,s efA é área de armadura existente.

1

1,0 para barras sem gancho 0,7 para barras com gancho

Sendo,

2

3,inf 0,211,4

ck ckctd

c

f ff

,, 1 ,min

,

s calcb nec b b

s ef

Al l l

A

47

,min

0,310

10

b

b

ll

cm

4.3.7 Decalagem do diagrama de momentos fletores

Segundo a NBR 6118 (2003), quando a armadura longitudinal de tração for

determinada através do equilíbrio de esforços na seção normal ao eixo da peça, permite-se

substituir os efeitos provocados pela fissuração obliqua por um deslocamento do diagrama de

momentos fletores, paralelo ao eixo da peça. Como as lajes têm geralmente uma pequena

espessura, pode-se adotar simplificadamente um deslocamento do diagrama la igual a

espessura útil da laje d , pois o máximo valor que la pode assumir é o valor de d .

4.3.8 Armadura de fissuração

Nas bordas da laje quando se tem esta ligada monoliticamente às vigas de apoio, é de

boa técnica adicionar uma armadura de fissuração para combater um engastamento parcial

existente entre a laje e a viga, porém não considerado no cálculo dos esforços na laje. Esta

armadura deve ter o comprimento de 20% do menor vão e área de aço ,s fissA , igual a:

(4.34)

Em que: ,s posA é a área de aço da armadura positiva na direção perpendicular ao bordo.

fyd é a resistência de escoamento de cálculo do aço.

fbd é tensão de aderência de cálculo da armadura.

h é a espessura da laje, em cm .

,

,

0, 25

0,9 ²

1,8

s pos

s fiss

A

A cmfcd hfyd

48

Capítulo 5

DESNVOLVIMENTO DO PROGRAMA COMPUTACIONAL

PARA O CÁLCULO, DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO

DE LAJES MACIÇAS

5.1 Introdução

Nos capítulos anteriores foi demonstrado como obter os esforços em placas e

dimensionar lajes maciças de concreto armado. Neste capítulo será apresentado alguns

aspectos de um programa implementado na linguagem Java para a resolução de lajes maciças.

Para uma melhor interface do usuário com o “software” utilizou-se a plataforma NetBeans

IDE 6.1, que possui vários recursos de fácil implementação para esta interface. O

detalhamento é feito gerando um arquivo DXF, sendo acessado pelo “software” AutoCAD.

Java é uma linguagem de programação orientada a objeto desenvolvida na década de

90 pela empresa Sun Microsystems. Tem como vantagem o fato do programa poder ser

utilizado em qualquer sistema operacional. Isto é, ao se fazer um programa em Java ele

poderá funcionar em qualquer computador. Esta independência de plataforma é uma das

razões da crescente programação na linguagem Java.

Netbeans é um ambiente de desenvolvimento integrado (IDE) gratuito e de código

aberto para desenvolvedores de software na linguagem Java, é uma ferramenta que auxilia

programadores a escrever, compilar e debugar códigos fontes. A escolha do Netbeans foi

devido aos seus recursos gráficos, possibilitando uma boa interface entre o programa e seu

usuário.

Maiores informações sobre esta linguagem de programação e downloads do ambiente

de desenvolvimento são encontradas no site http://java.sun.com .

49

5.2 Entrada de dados

A entrada de dados constitui a troca de informação entre o usuário e a máquina. São de

fundamental importância o conhecimento e a função de todas as variáveis do problema, para

que o usuário não utilize o “software” apenas como uma ferramenta e sim, conheça sua

estrutura e funcionamento. A entrada de dados é feita em duas fases:

A primeira é referente aos dados da própria placa, que são:

- Dimensões: são as larguras e a espessura da placa retangular

- Carregamento: é informado o carregamento devido ao revestimento e a

sobrecarga, obtidos pela NBR 6120 (1980) – (Cargas para o Cálculo de

Estruturas). O peso próprio é calculado pelo programa, com a espessura e o

peso específico do concreto (conforme NBR 6118 (2003)).

- Condições de bordo: é inserida para cada bordo a condição engastada ou

simplesmente apoiada, sendo utilizada como condição de contorno para a

resolução da equação diferencial (2.42). Com isso, pode-se fazer a

compatibilidade entre as placas, conforme a sessão (3.4) do capítulo 3.

- Dados para o dimensionamento: é informada a resistência característica à

compressão do concreto ckf e o cobrimento das armaduras. O módulo de

elasticidade, que é obtido por correlações com o ckf (conforme NBR 6118

(2003)).

A segunda é referente aos dados das lajes adjacentes aos bordos com continuidade.

Para cada um são inseridos os seguintes dados:

- Dimensões: são as larguras e a espessura das placas associadas à placa principal.

- Carregamento: é informado o carregamento devido ao revestimento e a sobrecarga,

sendo o peso próprio calculado conforme o da placa principal.

- Condições de bordo: são inseridas para cada bordo a condição engastada ou

simplesmente apoiada.

50

Os dados das placas adjacentes são utilizados apenas no estudo da compatibilidade

entre os elementos de placas, sendo que estas não dimensionadas.

5.3 Cálculo dos deslocamentos (flechas)

Conforme visto anteriormente, os deslocamentos são encontrados resolvendo a

equação diferencial das placas delgadas. Esta é resolvida numericamente pelo método das

diferenças finitas. A seguir, são mostrados os passos para montagem das equações de

diferenças (3.1), correspondentes a equação diferencial (2.42), e a obtenção dos

deslocamentos.

Para montagem das equações de diferenças é preciso referenciar a numeração local

com a global dos pontos nodais, assim, pode-se montar o sistema alocando os coeficientes de

diferenças finitas na matriz de diferenças. Resolvendo o sistema, encontram-se os

deslocamentos dos pontos nodais.

Com os deslocamentos encontrados, efetua-se um processo iterativo resolvendo a

placa em questão e as placas adjacentes a ela, substituindo as flechas virtuais, conforme visto

no capítulo 3.

5.4 Cálculo dos esforços

Com os deslocamentos da placa encontrados, calculam-se os esforços por relações

diretas. Conforme visto no capítulo 4.

5.5 Dimensionamento

Com os esforços encontrados, pode-se dimensionar a laje à flexão. Conforme visto no

capítulo 4.

51

5.6 Detalhamento

Como resultado do dimensionamento, é apresentado ao usuário um conjunto de opções

para as armaduras. Assim, escolhe-se a mais viável e praticamente executável, com isso pode-

se fazer o detalhamento.

Com isso tem-se uma metodologia para implementação de um programa para

resolução de lajes maciças. Na próxima sessão é apresentado um fluxograma das etapas

descritas nas seções anteriores. Encontra-se ainda, no final deste trabalho um apêndice que é

um pequeno tutorial para a utilização do programa.

52

5.7 Fluxograma do programa computacional elaborado

A figura abaixo (5.1) representa o fluxograma do programa computacional para

resolução de placas.

Fig.5.1 – Fluxograma do processo de cálculo.

53

Capítulo 6

RESULTADOS NUMÉRICOS

6.1 Introdução

Como visto no capítulo 3, o método de diferenças finitas resolve numericamente a

equação diferencial de equilíbrio das placas delgadas (2.42). Por se tratar de um processo

aproximado, serão mostrados neste capítulo resultados para alguns problemas e seus

respectivos erros, fazendo assim a validação do método comparando estes erros com

resultados analíticos, obtidos da referência [7]. Com o método validado, será mostrado um

exemplo explicativo e complementar.

6.2 Validação do método

Para uma melhor visualização gráfica dos resultados, foi adotada uma malha com um

número elevado de pontos (1681), ou seja, possui 41 eixos em cada direção. Como pode ser

visto na análise de convergência do método ao final do exemplo 1 (seção 6.2.1.1), uma malha

de 400 pontos apresenta erros da mesma ordem de grandeza. A seguir, estão os dados comuns

aos exemplos desta seção:

6225 10c

kNEm

; módulo de elasticidade longitudinal.

0,3 ; coeficiente de Poisson.

10h cm ; espessura da laje.

210,0kNpm

; carregamento.

3 6 3

2 225 10 0,10 2289

12 1 12 1 0,3EhD kNm

; rigidez a flexão da placa.

54

6.2.1 Exemplos

Exemplo 1 – Placa quadrada e simplesmente apoiada com dimensões mostradas na

figura abaixo (Fig.6.1):

Fig.6.1 – Placa do exemplo 1.

- Resultados numéricos do Exemplo 1:

Resultados numéricos

Resultados analíticos Erro (%)

2,5; 2,5x yw mm 11,089 11,086 0,03

2,5; 2,5x x yM kNm 11,964 11,974 0,08

2,5; 2,5y x y

M kNm

11,964 11,974 0,08

Como se pode ver, os resultados apresentam-se satisfatórios, ocorrendo erros

percentuais muito pequenos. A seguir encontram-se resultados gráficos dos deslocamentos e

momentos fletores (Figuras 6.2 a 6.6), os momentos torçores e esforços cortantes não foram

analisados neste trabalho.

55

- Resultados gráficos do Exemplo 1:

Fig.6.2 – Vista superior dos deslocamentos da placa do exemplo 1 (mm).

Fig.6.3 – Plano (xz;y=2,5): deslocamentos da placa do exemplo 1 (mm).

Fig.6.4 – Plano (yz;x=2,5): deslocamentos da placa do exemplo 1 (mm).

56

Fig.6.5 – Vista tridimensional do momento fletor xM da placa do exemplo 1 (kNm).

Fig.6.6 – Vista tridimensional do momento fletor yM da placa do exemplo 1 (kNm).

57

6.2.1.1 Convergência do método

Estabelecendo o erro cometido como sendo o módulo da diferença entre o resultado

analítico e o numérico. Tem-se uma análise da convergência para a flecha medida nas

coordenadas x e y iguais a 2,5 m.

0123456789

10

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

n° de pontos nodais

Resí

duo

(mm

E-3

)

Fig.6.7 - Gráfico Erro x n° de pontos nodais.

Como pode ser visto, o método apresenta uma convergência rápida, não

necessitando de um número muito grande de pontos nodais.

58

Exemplo 2 - Placa quadrada com um lado engastado e os outros três simplesmente

apoiados, com dimensões mostradas na figura abaixo (Fig.6.8):





2,5; 2,5x yw mm 7,617 7,645 0,37

2,5; 2,5x x yM kNm 9,792 9,750 0,43

2,5; 2,5y x y

M kNm

8,478 8,500 0,26

5,0; 2,5x x yM kNm -20,898 -21,000 0,49



momentos fletores (Figuras 6.9 a 6.13).

59





60



61

Exemplo 3 - Placa quadrada com dois lados engastados e os outros dois simplesmente

apoiados, com dimensões mostradas na figura abaixo (6.14):





2,5; 2,5x yw mm 5,254 5,242 0,23

2,5; 2,5x x yM kNm

6,111 6,100 0,18

2,5; 2,5y x y

M kNm

8,311 8,300 0,13

2,5; 0y x y

M kNm

-17,410 -17,425 0,09




62





63

Fig.6.18 – Vista tridimensional do momento fletor xM do exemplo 3 (kNm).


64

Exemplo 4 - Placa retangular simplesmente apoiada e com dimensões mostradas na

figura abaixo (Fig.6.20):





4; 2x yw mm 11,325 11,329 0,04

4; 2x x yM kNm 7,448 7,424 0,27

4; 2y x y

M kNm

16,258 16,272 0,09




65



Fig.6.22 – Plano (xz;y=2): deslocamentos da placa do exemplo 4 (mm).

Fig.6.23 – Plano (yz;x=4): deslocamentos da placa do exemplo 4 (mm).

66



67

Exemplo 5 - Placa quadrada com um lado engastado e os outros três simplesmente

apoiados, com dimensões mostradas na figura abaixo (Fig.6.26):





4; 2x yw mm 10,376 10,401 0,24

4; 2x x yM kNm 15,063 15,040 0,15

4; 2y x y

M kNm

7,493 7,520 0,36

8; 2x x yM kNm -19,240 -19,520 1,43




68



Fig.6.28 – Plano (xz;y=2): deslocamentos da placa do exemplo 5 (mm).

Fig.6.29 – Plano (yz;x=4): deslocamentos da placa do exemplo 5 (mm).

69



70

Exemplo 6 - Placa retangular com dois lados engastados e os outros dois simplesmente

apoiados, com dimensões mostradas na figura abaixo (6.32):





4; 2x yw mm 2,933 2,908 0,86

4; 2x x yM kNm 2.084 2,000 4,2

4; 2y x y

M kNm

6,735 6,672 0,94

4; 0y x y

M kNm

-13,468 -13,328 1,05


percentuais muito pequenos, com exceção ao momento yM que, apresenta erro percentual

maior devido à geometria da placa. A seguir encontram-se resultados gráficos dos

deslocamentos e momentos fletores (Figuras 6.33 a 6.37).

71



Fig.6.34 – Plano (xz;y=2): deslocamentos da placa do exemplo 6 (kNm).

Fig.6.35 – Plano (yz;x=2): deslocamentos da placa do exemplo 6 (kNm).

72

Fig.6.36 – Vista tridimensional dos momentos fletores xM da placa do exemplo 6 (kNm).

Fig.6.37 Vista tridimensional dos momentos fletores yM da placa do exemplo 6 (kNm).

Obs.: O número de eixos da malha de diferenças finitas foi sempre impar e igual nas

duas direções, com isso tem-se um ponto nodal na posição de avaliação do erro.

73

6.3 Exemplo complementar

É dado o seguinte caso:

Uma laje retangular L1, que possui vãos teóricos com 5 e 7 metros de comprimento,

largura do apoio igual a 20 cm, com dois lados engastados e os outros dois simplesmente

apoiados, conforme a figura abaixo (Fig.6.38):

Fig.6.38 – Laje L1

- Dados:

20ckf MPa ; resistência característica à compressão do concreto.

Aço tipo 50CA , resistência característica igual a 500 MPa.

Cobrimento nominal igual a 2 cm.

6225 10 kNE

m ; módulo de elasticidade longitudinal.

0, 2 ; coeficiente de Poisson.

15h cm ; Espessura da laje.

1 21,0kNgm

; sobrecarga de revestimento.

23,0 kNqm

; Sobrecarga acidental.

74

6.3.1 Cálculo dos deslocamentos e esforços

6.3.1.1 Definição da malha

Será adotada uma malha com 6 eixos em cada direção (Fig.6.39), gerando 36 pontos

nodais, conforme a estrutura mostrada na figura (3.2) do capitulo 3:

Fig.6.39 – Estrutura da malha para laje L1.

75

6.3.1.2 Montagem do sistema linear

Como visto no capítulo 3, a equação diferencial de equilíbrio das placas (2.42), tem

como solução numérica da placa por diferenças finitas a equação (3.1):

413

1i i

i

p xwD

Em que, na figura (6.40) tem-se a numeração local, correspondentes as flechas iw da

equação acima.

Fig.6.40 – Numeração local

Em que, 1, 4x .

1,0y .

Na tabela (6.1), têm-se as relações entre a numeração local e a global dos pontos

nodais. Existem vários elementos nulos nesta tabela, que representam pontos nodais sobre o

apoio, que segundo a condição de contorno possui as suas flechas nulas. Estes não entram na

montagem da matriz dos coeficientes de diferenças finitas K , pois não são incógnitas do

problema. Há ainda elementos que se repetem, estes são pontos “virtuais”, que também

estabelecem uma condição de contorno à placa. Tais pontos “virtuais” podem ter sinais

positivos ou negativos, isto se deve ao tipo de condição de contorno existente, como visto no

capítulo 3.

76

Tabela 6.1 – Relações entre a numeração local e global dos pontos nodais: PT1 PT2 PT3 PT4 PT5 PT6 PT7 PT8 PT9 PT10 PT11 PT12 PT13

1 2 5 0 0 0 6 0 0 -1 3 9 -1 2 3 6 1 0 0 7 5 0 -2 4 10 0 3 4 7 2 0 0 8 6 0 -3 0 11 1 4 0 8 3 0 0 0 7 0 -4 4 12 2 5 6 9 0 1 2 10 0 0 0 7 13 -5 6 7 10 5 2 3 11 9 1 0 8 14 0 7 8 11 6 3 4 12 10 2 0 0 15 5 8 0 12 7 4 0 0 11 3 0 8 16 6 9 10 13 0 5 6 14 0 0 1 11 0 -9

10 11 14 9 6 7 15 13 5 2 12 0 0 11 12 15 10 7 8 16 14 6 3 0 0 9 12 0 16 11 8 0 0 15 7 4 12 0 10 13 14 0 0 9 10 0 0 0 5 15 13 -13 14 15 0 13 10 11 0 0 9 6 16 14 0 15 16 0 14 11 12 0 0 10 7 0 15 13 16 0 0 15 12 0 0 0 11 8 16 16 14 17 0 0 0 0 -1 -1 1 0 0 0 0 0 18 0 1 0 -1 -2 2 0 0 -5 0 5 0 19 0 2 0 -2 -3 3 1 -1 -6 0 6 0 20 0 3 0 -3 -4 4 2 -2 -7 0 7 0 21 0 4 0 -4 0 0 3 -3 -8 0 8 0 22 0 0 0 0 0 4 4 -4 0 0 0 0 23 4 0 4 0 0 8 8 0 0 3 0 3 24 8 0 8 0 4 12 12 4 0 7 0 7 25 12 0 12 0 8 16 16 8 0 11 0 11 26 16 0 16 0 12 0 0 12 0 15 0 15 27 0 0 0 0 16 0 16 16 0 0 0 0 28 0 16 0 16 0 0 15 15 12 0 12 0 29 0 15 0 15 16 16 14 14 11 0 11 0 30 0 14 0 14 15 15 13 13 10 0 10 0 31 0 13 0 13 14 14 0 0 9 0 9 0 32 0 0 0 13 13 0 -13 0 0 0 0 0 33 13 0 -13 0 9 0 0 -9 0 14 0 -14 34 9 0 -9 0 5 13 -13 -5 0 10 0 -10 35 5 0 -5 0 1 9 -9 -1 0 6 0 -6 36 1 0 -1 0 0 5 -5 0 0 2 0 -2

77

Para montar um sistema linear com as relações entre numeração local e global, é

preciso determinar os valores para os coeficientes i da equação (3.1), que são obtidos pelas

expressões (3.2):

O segundo membro 4p x

D

da equação (3.1) é uma constante, sendo necessário

determinar seu valor para resolver o sistema linear:

- Carregamento da estrutura p

- Peso próprio 0g :

(6.1)

Em que, h é a espessura da placa.

c é o peso específico do concreto armado.

4 2 4 2

1

2 2

2 4

2 2

3 5

1, 40 1,406 6. 8. 6 6. 8. 44,7301,00 1,00

1,404. 1 4. 1 11,8401,00

1,404. . 1 4.1,00

x xy y

xy

x xy y

2 2

2 2

6 7 8 9

4

10 12

11 13

1, 40. 1 23,2061,00

1, 402. 2. 3,9201,00

3,842

1

xy

xy

0 cg h

78

A NBR 6118 (2003) determina que, caso não se conheça o peso específico real, para

efeito de cálculo, adota-se para o concreto armado 325 kNm

.

Assim,

0 20,15 25 3,75 kNg m

- Revestimento 1g :

1 21,00 kNg m

- Sobrecarga acidental q :

23,00 kNq m

Assim, tem-se como carregamento da estrutura:

23,75 1,00 3,00 7,75 kNp m

- Rigidez a flexão da placa D :

3 6 3

2 2

25 10 0,15 732412 1 12 1 0,2

EhD kNm

Com isso, determinando-se o segundo termo da equação (3.1):

4437,75 1, 4

4,0 107324

p x mD

Agora, pode-se montar o sistema de equações lineares (3.3), mostrado na próxima

página, onde apresenta-se o sistema na forma literal (6.2). Este sistema tem como solução os

deslocamentos em cada ponto nodal da malha, sabendo-se que os pontos nodais sobre os

apoios têm deslocamentos nulos.

79

(6.2)

1 10 13 2 11 3 7 12

4 1 10 2 11 8 3 7 12

13 4 1 10 2 8 3 7 12

13 4 1 10 11 8 3 12

5 6 1 13 2 11 3 7 12

9 5 6 4 1 2 11 8 3 7 12

9 5 6 13 4 1 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0

0 0

8 3 7 12

9 5 13 4 1 11 8 3 12

10 5 6 1 13 2 11 3 7

10 9 5 6 4 1 2 11 8 3 7

10 9 5 6 13 4 1 2 8 3 7

10 9 5 13 4 1 11 2 8 3

10 5 6 1 12 13 2 11

1

0 0 00 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

0 9 5 6 4 1 12 2 11 14

10 9 5 6 13 4 1 12 2 15

10 9 5 13 4 1 11 12 16

0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0

wwwwwwwwwwwwwwww

4

= ×

1111111111111111

p xD

39,888 -11,840 1,000 0 -23,206 3,920 0 0 3,842 0 0 0 0 0 0 0-11,840 40,888 -11,840 1,000 3,920 -23,206 3,920 0,000 0,000 3,842 0 0 0 0 0 01,000 -11,840 40,888 -11,840 0 3,920 -23,206 3,920 0 0 3,842 0 0 0 0 0

0 1,000 -11,840 41,888 0 0 3,920 -23,206 0 0 0 3,842 0 0 0 0-23,206 3,920 0 0 43,730 -11,840 1,000 0 -23,206 3,920 0 0 3,842 0 0 03,920 -23,206 3,920 0 -11,840 44,730 -11,840 1,000 3,920 -23,206 3,920 0 0 3,842 0 0

0 3,920 -23,206 3,920 1,000 -11,840 44,730 -11,840 0 3,920 -23,206 3,920 0 0 3,842 00 0 3,920 -23,206 0 1,000 -11,840 45,730 0 0 3,920 -23,206 0 0 0 3,842

3,842 0 0 0 -23,206 3,920 0 0 43,730 -11,840 1,000 0 -23,206 3,920 0 00 3,842 0 0 3,920 -23,206 3,920 0 -11,840 44,730 -11,840 1,000 3,920 -23,206 3,920 00 0 3,842 0 0 3,920 -23,206 3,920 1,000 -11,840 44,730 -11,840 0 3,920 -23,206 3,9200 0 0 3,842 0 0 3,920 -23,206 0 1,000 -11,840 45,730 0 0 3,920 -23,2060 0 0 0 3,842 0 0 0 -23,206 3,920 0 0 47,571 -11,840 1,000 00 0 0 0 0 3,842 0 0 3,920 -23,206 3,920 0 -11,840 48,571 -11,840 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

,0000 0 0 0 0 0 3,842 0 0 3,920 -23,206 3,920 1,000 -11,840 48,571 -11,8400 0 0 0 0 0 0 3,842 0 0 3,920 -23,206 0 1,000 -11,840 49,571

wwwwwwwwwwwwwwww

-3=4,0×10 ×

1111111111111111

80

6.3.1.3 Solução da equação de diferenças

Tem-se como solução do sistema (6.2) as flechas elásticas iw . Os índices fazem

referência aos pontos nodais:

(6.3)

6.3.1.4 Cálculo dos esforços

Conhecidos os deslocamentos, podem-se determinar os momentos fletores pelas

equações (3.4) e (3.6), e, os esforços cortantes pelas equações (3.10) e (3.12). Serão

mostrados os cálculos para os esforços do ponto nodal 4. Para encontrar os esforços nos

outros pontos nodais deve-se fazer o mesmo procedimento.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

=

1,2511,8121,6960,9711,8472,6792,5031,4211,6302,3482,1931,2510,7951,1221,0490,612

wwwwwwwwwwwwwwww

310 m

81

Os esforços considerados são mostrados na figura abaixo (Fig.6.41):

Fig.6.41 – Momentos fletores e esforços cortantes em um elemento da malha.

- Momento fletor ,4xM :

O momento fletor ,4xM , em que o índice 4 significa que estará sendo determinado o

momento xM no ponto nodal 4, é encontrado pela equação (3.4), que é aqui , mais uma vez

apresentada:

25

31

12 1.i i x

iw M

Eh

Sendo,

1 2 2 2 2

2 4 2 2

3 5 2 2

2 2 2 2(0, 2) 1,4201, 4 1,0

1 1 0,5101,40, 2 0, 2001,0

x y

x

y

=

82

Com a seguinte numeração local para determinação dos momentos fletores (Fig.6.42):


determinação dos momentos fletores.

Expandindo a equação (3.4) para o ponto nodal 4:

3

,4 1 4 2 23 3 8 4 3 5 21212 1xEhM w w w w w

3,4 1, 420 0,971 0,510 0, 200 1, 421 0,510 0, 200 07337,1 0 1,696 10xM

,4 2,685xM kNm

- Esforço cortante ,4xQ

O esforço cortante ,4xQ , em que o índice 4 significa que estará sendo determinado o

cortante xQ no ponto nodal 4, é encontrado pelo somatório (3.10):

13

1

xi i

i

QwD

83

Sendo,

1 3 5 10 12

2 4 3 2 3 2

6 7 8 9 2

11 13 3 3

02 2 2 2 1, 443

2 1,4 2 1,4 1,01 0,357

2 1,4 1,01 1 0,364

1,4

x x y

x

Com a seguinte numeração local para determinação dos esforços cortantes (Fig6.43):

Fig.6.43 – Numeração local para os esforços cortantes.

Expandindo a equação (3.10) para o ponto nodal 4:

3

,4 2

5 71 4 2 23 3 8 4 3 21 6 22 24

78 9 20 10 4 11 4 12 12 13 212 1x

w w w w w w wEhQw w w w w w

,437337,1 0 0 0 1, 443 1,696 0 0 0 0,357 2,503 0 0 0,364 0,971 0 0,364 1,812 10xQ

,4 9,154xQ kNm

84

Demonstrado como obter as deflexões, os momentos fletores e os esforços cortantes, a

tabela (6.2) mostra um resumo dos resultados obtidos para todos os pontos nodais da malha da

laje L1.

Tabela 6.2 – Resultados dos esforços e deformação da laje L1: Ponto nodal

( ) x m ( ) y m ( ) w mm ( ) xM kNm ( ) yM kNm ( ) xQ kN ( ) yQ kN

1 1,40 1,00 1,251 3,549 5,328 4,283 -7,867 2 2,80 1,00 1,812 3,917 7,437 0,391 -10,677 3 4,2 1,00 1,696 3,584 6,979 -2,257 -9,890 4 5,6 1,00 0,971 1,689 4,012 -9,154 -5,184 5 1,40 2,00 1,847 4,995 6,726 5,835 -0,134 6 2,80 2,00 2,679 5,531 9,545 0,502 -0,009 7 4,2 2,00 2,503 5,029 8,873 -3,303 0,074 8 5,6 2,00 1,421 2,179 4,803 -12,947 0,275 9 1,40 3,00 1,630 4,319 5,214 4,683 7,285

10 2,80 3,00 2,348 4,585 7,224 0,232 10,693 11 4,2 3,00 2,193 4,168 6,705 -2,630 9,903 12 5,6 3,00 1,251 1,842 3,668 -10,976 5,057 13 1,40 4,00 0,795 1,693 0,056 0,796 17,903 14 2,80 4,00 1,122 1,344 -0,466 -0,420 24,669 15 4,2 4,00 1,049 1,225 -0,422 -0,401 22,982 16 5,6 4,00 0,612 0,613 -0,069 -3,998 12,991 17 0 0 0 0 0 0 0 18 1,40 0 0 0 0 0 -7.867 19 2,80 0 0 0 0 0 -10.677 20 4,20 0 0 0 0 0 -9.890 21 5,60 0 0 0 0 0 -5.184 22 7,00 0 0 0 0 0 0 23 7,00 1,00 0 -7,272 -1,454 -7.594 0 24 7,00 2,00 0 -10,639 -2,128 -19.321 0 25 7,00 3,00 0 -9,363 -1,873 -22.592 0 26 7,00 4,00 0 -4,580 -0,916 -16.047 0 27 7,00 5,00 0 0 0 0 0 28 5,60 5,00 0 -1,795 -8,976 0 20.925 29 4,20 5,00 0 -3,079 -15,394 0 36.062 30 2,80 5,00 0 -3,293 -16,464 0 38.645 31 1,40 5,00 0 -2,333 -11,665 0 28.522 32 0 5,00 0 0 0 0 0 33 0 4,00 0 0 0 8.175 0 34 0 3,00 0 0 0 11.167 0 35 0 2,00 0 0 0 9.134 0 36 0 1,00 0 0 0 2.012 0

85

6.3.2 Dimensionamento

O dimensionamento será feito no estado limite ultimo que, corresponde ao encontro

das solicitações majoradas (valor de cálculo) com as resistências minoradas (valores de

cálculo). Para que se garanta a segurança estrutural deve-se ter:

d dS R

Em que: dS são as ações solicitantes de cálculo que, correspondem às ações

características multiplicadas pelos coeficientes de majoração das ações.

dR são as resistências de cálculo que, correspondem às resistências

características dos materiais divididas pelos coeficientes de minoração das

resistências.

Conhecidos os esforços solicitantes, dimensiona-se uma armadura para combater os

momentos fletores. Como visto no capítulo 4, o primeiro passo é fazer uma verificação quanto

ao domínio que se encontra a laje, portanto tem-se que verificar a condição lim .

2100d

cd

Md f

e 0,376lim para o aço CA-50

Se a condição lim for estabelecida, podem-se calcular as áreas de aço por metro

sA , necessárias para resistir os momentos fletores, conforme visto no capítulo 4:

100 1 1 2 cds

yd

fA df

Em que: sA é área de armadura longitudinal por metro, em 2cm .

2100d

cd

Md

, momento solicitante reduzido.

d é altura útil da laje, em cm .

86

cdf é tensão de compressão de cálculo do concreto, em 2kN

cm

.

fyd é tensão de tração de cálculo do aço, em 2kN

cm

.

- Altura útil d :

2longd h cob

Como ainda não se conhece o diâmetro da armadura longitudinal, será feito uma

estimativa para o valor de d . Sendo próximos os valores de adotadod e reald . Em geral, o erro

cometido é pequeno. Portanto, com uma espessura de 15 cm e um cobrimento de 2 cm, pode-

se adotar a altura útil igual a 12 cm.

- Tensão de compressão de cálculo do concreto cd :

A NBR 6118 (2003) estabelece resistência à compressão de cálculo do concreto cdf ,

como sendo a resistência característica do concreto à compressão, minorada por um

coeficiente de segurança c . Para se levar em consideração a perda de resistência do

concreto comprimido para cargas de longa duração (efeito Rüsch), adota-se:

2200,85 0,85 0,85 12,14 1, 2141,4cd cd

c

fck kNf MPa cm

Onde o coeficiente 0,85 representa uma estimativa do efeito Rüsch.

- Tensão de escoamento de cálculo do aço fyd :

A NBR 6118 (2003) estabelece a tensão de escoamento de cálculo do aço sd .

Sendo a tensão característica de escoamento do aço, minorada por um coeficiente de

segurança s .

2500 434,78 43, 481,15

ykyd

c

f kNf MPacm

87

- Majoração dos esforços solicitantes:

No dimensionamento feito no estado limite ultimo as cargas devem ser majoradas,

obtendo-se os correspondentes esforços de cálculo. Sendo as cargas permanentes majoradas

pelo coeficiente g e as cargas acidentais pelo coeficiente q . Como os esforços foram

obtidos com o carregamento resultante, podem-se multiplicar os coeficientes por porcentagens

do carregamento total.

Porcentagem das cargas acidentais:

0 1 3,75 1,0100 100 100 61,3%

7,75g gg

p p

Porcentagem das cargas permanentes:

3,0100 100 38,7%7,75

qp

Coeficiente de majoração proporcional p :

1,4 1,5 1,4 0,613 1,5 0,387p g q

1,44p

Agora, podem-se dimensionar as armaduras para os maiores momentos solicitantes da

laje L1 (ver tabela 6.2).

Tabela 6.3 – Armaduras de flexão da placa Momentos M (kNm) dM (kNm)

lim sA (cm²)

xM 5,531 7,96 0,039 0,376 1,56

yM 9,545 13,74 0,067 0,376 2,75

xM -10,639 -15,32 0,075 0,376 3,08

yM -16,464 -23,71 0,115 0,376 4,90

88

O espaçamento das armaduras é calculado pela seguinte fórmula:

100

s

As

A

Em que: s é o espaçamento.

A é a área de aço correspondente a uma barra.

sA é a área de aço calculada.

Assim, têm-se as seguintes opções de armaduras para os momentos fletores

solicitantes:

- Momentos positivos

5.0 /12.56.3 /198.0 / 3210.0 / 5012.5 / 78

x

mm c cmmm c cm

M mm c cmmm c cmmm c cm

5.0 / 76.3 /118.0 /1810.0 / 2812.5 / 44

y

mm c cmmm c cm


- Momentos negativos

5.0 / 6.56.3 /108.0 /1610.0 / 2512.5 / 40

x

mm c cmmm c cm


5.0 / 4.16.3 / 6.38.0 /1010.0 /1612.5 / 25

y

mm c cmmm c cm


6.3.2.1 Verificação quanto ao cisalhamento

Conforme visto no capítulo 4, caso a força cortante solicitante de cálculo SdV for

menor a força cortante resistente de cálculo 2RdV , a laje não necessita de armadura

transversal. Ou seja,

89

2Sd RdV V

Em que: 2RdV é a força cortante resistente de cálculo para laje sem armadura transversal

sdV é a força cortante solicitante de cálculo.

Sendo,

32 1 50 1,6 100Rd qV fck l d d


l é o comprimento do menor lado da laje.

d é espessura útil da laje.

100As

d é taxa de geométrica de armadura longitudinal de tração que chega

ao apoio.

q é um coeficiente que depende da natureza do carregamento, que vale

Sendo 2Rd sdV V , a laje não precisa de armadura de cisalhamento.

32

32

2

1 50 1,6 100

1,5620 1 50 1,6 0,12 0,17 100 12100 12

816 1 0,0417 87,6

Rd q

Rd

Rd s

V fck l d d

V

V A kN

38,645sdV kN

90

6.3.3 Detalhamento da laje L1

Como visto no capítulo 4 o detalhamento das lajes maciças deve respeitar os critérios

da NBR 6118(2003).

6.3.3.1 Armadura mínima para lajes

Como visto no capítulo 4:

(5.29)

Para lajes armadas em duas direções é permitido reduzir a armadura inferior

longitudinal mínima nas duas direções. Neste caso adota-se min 0,10% .

Todas as áreas de armadura longitudinal atendem a armadura mínima.

6.3.3.2 Diâmetro máximo das barras longitudinais


max

max

15 1,8758 816.0

h cm

mm

min min

min2

min

1000,0015 100 152, 25

As hAsAs cm

2min 1,5As cm

91

6.3.3.3 Espaçamento máximo das armaduras longitudinais


max

max

2 3020

20

h cms

cms cm

Com as prescrições da NBR 6118 (2003) sobre o detalhamento, e não adotando um

espaçamento menor que 5 cm, são passiveis as seguintes opções:

- Momentos positivos

5.0 /12.56.3 /19x

mm c cmM

mm c cm

5.0 / 76.3 /118.0 /18

y

mm c cmM mm c cm

mm c cm

- Momentos negativos

5.0 / 6.56.3 /108.0 /16

x

mm c cmM mm c cm

mm c cm

6.3 / 6.38.0 /10.010.0 /16.0

y

mm c cmM mm c cm

mm c cm

Das opções acima foram adotadas as seguintes bitolas e espaçamentos:

6.3 /19

6.3 /11

8 /16

10.0 /16

x

y

x

y

M mm c cm

M mm c cm

M mm c cm

M mm c cm

92

6.3.3.4 Ancoragem necessária

- Armaduras inferiores:

A rigor, os comprimentos de ancoragem das armaduras positivas devem ser calculados

como comprimentos de ancoragens na região de apoio de extremidade, porém, em virtude das

barras usadas em lajes terem pequenos diâmetros, é usual levar as barras até a extremidade

menos um cobrimento. Pode-se ainda fazer um gancho de comprimento igual à espessura da

laje descontando duas vezes o cobrimento. Porém, quando a largura do apoio for pequena ou

as lajes apresentarem reações de apoio elevadas, o comprimento de ancoragem deve ser

calculado.

- Armaduras superiores:

Para armaduras superiores as barras devem ser acrescidas de um comprimento de

ancoragem necessário, visto no capítulo 4.

,, 1 ,min

,

s calcb nec b b

s ef

Al l l

A

4bfydlfbd

231 2 3

0, 21 202, 25 0,7 1,0

1, 4

1,74

bd ctd

bd

f f

f MPa

5001,15 63

4 1,74bl

93

Como as barras vão ser levadas até o ponto de momento nulo, o comprimento de

ancoragem necessário ,b necl é o comprimento de ancoragem mínimo ,minbl , pois a área de

aço calculada ,s calcA , é nula.

,min

0,3 0,3 631010

b

b

ll

cm

6.3,

8.0,

12

15b nec

b nec

l cm

l cm

6.3.3.5 Decalagem do diagrama de momentos fletores

Como visto no capítulo 4, deve-se adicionar um comprimento a armadura negativa

igual ao comprimento de decalagem que, para lajes pode-se assumir como sendo igual ao

valor da altura útil da laje d .

6.3.3.6 Comprimento das armaduras

- Inferiores:

Como visto anteriormente, como as lajes, normalmente, são detalhadas com barras de

pequeno diâmetro, essas, podem ser levadas até a extremidade do apoio menos um

cobrimento. Pode-se ainda adotar um gancho de comprimento igual à altura da laje menos

duas vezes o cobrimento. Para lajes com continuidade, levam-se as barras até a face oposta ao

vão, da viga de apoio.

Assim, têm-se o seguinte detalhamento para as armaduras inferiores (Fig.6.44):

94

Fig.6.44 – Detalhe dos comprimentos das armaduras inferiores.

- Superiores:

O comprimento das armaduras superiores deve ser igual à distância entre os pontos de

momentos nulos nas duas lajes adjacentes, acrescidas em cada extremidade de um

comprimento de ancoragem, um comprimento de decalagem do digrama de momentos

fletores e um gancho para melhorar a aderência. Sendo os dois primeiros calculados nas

seções (6.8.4) e (6.8.5) deste capítulo. Por se tratar de um engastamento perfeito a distância

entre os pontos de momentos nulos é igual ao dobro da distancia retirada diretamente na

tabela de resultados dos esforços (Tabela 6.2).

95

Direção x:

O ponto nodal da malha (fig.6.39), que possui o maior momento negativo yM é o

de n° 30, no seu alinhamento na direção y o momento passa a ficar positivo no ponto nodal de

n° 10, sendo a distância entre eles igual a 2 metros 2 y

Direção y:

O ponto nodal da malha (fig.6.39), que possui o maior momento negativo xM é o de

n° 24, no seu alinhamento na direção x, o momento passa a ficar positivo no ponto nodal de n°

8, sendo a distância entre eles igual a 1,4 metros 2 x .

Assim, têm-se o seguinte detalhamento para as armaduras superiores (Fig.6.45):

Fig.6.45 – Detalhe dos comprimentos das armaduras superiores.

96

6.3.3.7 Armadura de fissuração

Nas extremidades da laje simplesmente apoiadas em vigas, será adicionada uma

armadura de fissuração, de área de aço igual:

2, 0,9s fiss

cmA m

Com comprimento de 20% do menor vão teórico mais os ganchos, sendo igual a 1

metro mais 11 cm em cada gancho. Portanto, a armadura de fissuração adotada, será igual a

5.0 / 22 122mm c comp cm - -

Nas figuras (6.46) e (6.47) são apresentados os detalhamentos das armaduras

inferiores e superiores, respectivamente.

,

,

²0, 25 0,25 2,75 0,69

²0,9

1, 21 ²1,8 1,8 15 0,7543, 48

s pos

s fiss

cmA mcmA mfcd cmh mfyd

97

- Detalhamento das armaduras inferiores:

Fig.6.46 – Detalhamento das armaduras inferiores.

98

- Detalhamento das armaduras superiores:

Fig.6.47 – Detalhamento das armaduras superiores.

99

CONCLUSÃO

Com o exposto no capítulo 6, verifica-se a validade do método numérico adotado. O

programa desenvolvido é uma eficiente ferramenta de cálculo de placas retangulares, aliada

ao fato de servir como material didático a ser utilizado em cursos de resistência dos materiais,

concreto armado e mecânica dos sólidos.

Existem vários caminhos para ampliar a utilização do programa computacional, como

por exemplo, a análise simultânea de um conjunto de placas, o estudo de placas não

retangulares, outros tipos de cargas (concentradas, não uniformemente distribuídas), etc.

Além de não ter sido levado em consideração a deformação e a rigidez à torção das vigas. Isto

afeta diretamente as condições de contorno adotadas, pois foram analisadas placas apoiadas

sobre elementos indeformáveis.

Fica, no entanto, a percepção de que o estudo realizado cumpriu os objetivos

inicialmente propostos, fazendo uma conexão interessante entre a teoria das placas, método

numérico de análise e aplicações práticas em lajes de concreto armado.

100

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] Araújo, J. M.; Curso de Concreto Armado, Ed.Dunas, 2 a Ed., Rio Grande,

2003.

[2] Associação Brasileira de Normas Técnicas. Projeto de Estruturas de Concreto.

NBR-6118 (2003).

[3] Associação Brasileira de Normas Técnicas. Cargas para o cálculo de estruturas.

NBR-6120 (1980).

[4] Cholfe, L.; Dissertação de mestrado. Resolução de Lajes pelo MDF com

aplicações de técnicas de transformação de coordenadas. Engenharia de

estruturas, Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, USP.

[5] Ghali, A. and Neville, A. M.; Structural Analysis – A Unified Classical and

Matrix Approach, 2nd Ed., London, 1978.

[6] Timoshenko, S. P.; J.N.; Teoria da elasticidade. Ed. Guanabara Dois, 3 a Ed.,

Riode Janeiro, 1980.

[7] Timoshenko, S. P.; Woinowsky-Krieger, S. – Theory of Plates and Shells.

McGraw-Hill, 1970. ko, S. P.; Woinowsky-Krieger, S. – Theory of Plates and

Shells. McGraw-Hill, 1970.

[8] Villaça, S. F. e Taborda Garcia, L. F. - Introdução a teoria da elasticidade, 2 a

Ed., Rio de Janeiro: COPPE/UFRJ,1996.

101

APÊNDICE I

- Entrada de dados da placa principal:

Figura A.1 – Entrada de dados do programa.

Na figura acima (A.1), tem-se a entrada de dados do programa, deve-se informar os

seguintes itens:

a) Dimensões:

102

- Espessura da placa, necessária para a determinação dos esforços e dimensionamento.

- Dimensões, necessárias para determinação dos deslocamentos, esforços e

detalhamento da placa.

- Largura do apoio, necessária para o detalhamento da placa.

b) Carregamento:

- Sobrecarga: é a carga acidental em que a placa esta submetida, é utilizada na

determinação dos esforços.

- Revestimento: é a carga de revestimento que esta sobre a placa, é considerada como

carga permanente e utilizada na determinação dos esforços.

c) Condições de bordo:

- Engastado: considera a placa com continuidade no bordo selecionado, sua escolha

implica na entrada de dados referente à placa adjacente.

- Apoiado: considera a placa simplesmente apoiada no bordo selecionado.

d) Dados para o dimensionamento:

- fck: é a resistência característica do concreto à compressão, é utilizado para se

determinar o módulo de elasticidade do concreto, necessário para a determinação dos esforços

e utilizado no dimensionamento das armaduras.

- Cobrimento: é a distância que a armadura deve estar protegida do meio ambiente, é

utilizado no dimensionamento e no detalhamento.

- Entrada de dados das placas adjacentes:

Quando se tem um bordo engastado é necessário inserir os dados da placa adjacente a

este bordo, para determinar as condições de contorno da placa principal. Estes dados são

inseridos na seguinte janela do programa (Figura A.2).

103

Figura A.2 – Entrada de dados da placa adjacente.

Onde os dados inseridos têm os mesmos significados dos dados da placa principal.

Confirmando a etapa de entrada de dados, têm-se os resultados para os deslocamentos,

esforços, e opções de armaduras. Conforme a figura abaixo (figura A.3).

104

Figura A.3 – Resultados para os deslocamentos e esforços.

Escolhendo as armaduras, pode-se detalhá-las, isso é feito clicando-se no botão

“Detalhar (DXF)”. Com isso é criado um arquivo DXF, formato lido pelo software AutoCAD.

Conforma a figura abaixo (Figura A.4).

105

Figura A.4 – Detalhamento no software AutoCAD.

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA FACULDADE DE ... · equilíbrio de placas delgadas, também conhecida como equação de Lagrange, obtida pelo ... considerações pode-se estabelecer