UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO

ESCOLA DE MINAS

COLEGIADO DO CURSO DE ENGENHARIA DE

CONTROLE E AUTOMAÇÃO - CECAU

HENRIQUE MOURA FONSECA

MODELAGEM E CONTROLE DA POSIÇÃO ANGULAR DE UM MOTOR CC

ACOPLADO A UMA HASTE FLEXÍVEL

MONOGRAFIA DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA

DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO

Ouro Preto, 2014

2

HENRIQUE MOURA FONSECA

MODELAGEM E CONTROLE DA POSIÇÃO ANGULAR DE UM MOTOR CC

ACOPLADO A UMA HASTE FLEXÍVEL

Monografia apresentada ao Curso de

Engenharia de Controle e Automação da

Universidade Federal de Ouro Preto como

parte dos requisitos para obtenção do Grau

de Engenheiro de Controle e Automação.

Orientador: João Carlos Vilela de Castro

Ouro Preto

Escola de Minas – UFOP

Julho/2014

3

4

AGRADECIMENTOS

Agradeço a primeiramente a Deus por me prover de capacidade e garra para alcançar meus

objetivos. Aos meus pais e ao meu irmão por estar sempre ao meu lado dando apoio e força,

ao meu orientador João Carlos, pela atenção e dedicação durante a realização deste trabalho, a

República Confraria pelos momentos vividos e por eternizar verdadeiras amizades, também

agradeço a UFOP que me possibilitou um ensino de qualidade e oportunidades para me

preparar para o mercado de trabalho e ao CNPq pela oportunidade de estudar no exterior.

5

“Talento é 1% inspiração e 99% transpiração”

(Thomas Edison)

6

RESUMO

Neste trabalho realiza-se a identificação dos parâmetros de um motor de corrente contínua,

através de dois métodos diferentes, método do tipo caixa preta, onde os parâmetros são

obtidos pelo método dos mínimos quadrados e outro do tipo caixa branca, onde os parâmetros

são obtidos via ensaios. Uma vez identificados os parâmetros do motor, projeta-se um

controlador de posição para o eixo do mesmo, utilizando-se para cada uma das plantas

obtidas, de modo que cada resultado possa ser comparado. Os valores de posição e de

velocidade do motor são monitorados em tempo real através de um supervisório criado com o

software LabVIEW, a implementação do controle é realizada através de um microcontrolador

Arduino.

Palavras chave: Controle de motor CC, Caixa Branca, Caixa Preta e Mínimos Quadrados.

7

ABSTRACT

In this work, it’s carried out the identification of the parameters of a direct current motor,

through two different methods, the black box method, where the parameters are obtained

through the method of the least squares, and the white box method, where the parameters are

obtained through tests. Once identified the parameters of the motor, it’s projected a position

controller for the axis using for each of the obtained plants, so that each result may be

compared. The position and engine speed values are monitored in real-time through a

supervisory created with the LabVIEW software, the control implementation is held through

an Arduino microcontroller.

Key words: DC Motor Control, White Box, Black Box and Least Squares.

8

LISTA DE FIGURAS

Figura 2. 1 – Modelo de um Motor CC .................................................................................... 16

Figura 2. 2 - Diagrama de blocos da FTMA da equação 2.11. ................................................. 19

Figura 2. 3 - Diagrama de blocos da FTMA do motor CC considerando a posição angular

como saída ................................................................................................................................ 19

Figura 2. 4 – Resposta de um sistema de segunda ordem a um degrau ................................... 22

Figura 2. 5 – Sistema de controle digital .................................................................................. 24

Figura 3. 1 - Cicuito Elétrico da Plataforma ............................................................................. 26

Figura 3. 2 - Montagem Prática da Plataforma ......................................................................... 27

Figura 3. 3 - Arduino UNO ...................................................................................................... 28

Figura 3. 4 - Ponte H ................................................................................................................ 28

Figura 3. 5 - Sentido da corrente na ponte H ............................................................................ 29

Figura 3. 6 - Funcionamneto do PWM ..................................................................................... 30

Figura 3. 7 - Encoder ................................................................................................................ 30

Figura 3. 8 - Encoder incremental ............................................................................................ 31

Figura 3. 9 - Supervisório ......................................................................................................... 32

Figura 4. 1 -Esquema elétrico para obtenção de La. ................................................................ 34

Figura 4. 2 - Gráfico da entrada (V) e da saída (rad/s) ............................................................. 37

Figura 5. 1 - Malha de controle ................................................................................................ 38

Figura 5. 2 - Resposta ao degrau da função de segunda ordem desejada ................................. 39

Figura 5. 3 - Polos e zeros do controlador K1 .......................................................................... 40

9

Figura 5. 4 - Diagrama de bode de K2 e K3 ............................................................................. 41

Figura 5. 5 - Polos e zeros do controlador K1 .......................................................................... 42

Figura 5. 6 - Polos e Zeros de K2(s) ......................................................................................... 43

Figura 5. 7 - Diagrama de bode de K2 e K3 ............................................................................. 44

Figura 5. 8 - Fluxograma da Programação Arduino ................................................................. 47

Figura 6. 1 - FTMA Real e Estimada ....................................................................................... 48

Figura 6. 2 - FTMA Real e Estimada ....................................................................................... 49

Figura 6. 3 - Resposta do Motor a uma onda quadrada. ........................................................... 50

Figura 6. 4 - Entrada de controle. ............................................................................................. 51

Figura 6. 5 - Resposta do Motor a uma onda quadrada. ........................................................... 52

Figura 6. 6 - Entrada de controle. ............................................................................................. 53

10

LISTA DE TABELAS

Tabela 1- Parâmetros do motor CC obtido através dos ensaios. .............................................. 36

11

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 13

1.1 Objetivo Geral ............................................................................................................ 14

1.2 Objetivos Específicos ................................................................................................ 14

1.3 Justificativa do Trabalho ................................................................................................. 14

1.4 Metodologia Proposta ..................................................................................................... 14

1.5 Estrutura do Trabalho ..................................................................................................... 15

2 BASE TEÓRICA .............................................................................................................. 16

2.1 Modelo de um Motor CC ........................................................................................... 16

2.2 Método dos Mínimos Quadrados ............................................................................... 19

2.3 Sistema de segunda ordem ......................................................................................... 21

2.4 Controlador IMC (Internal Model Control) ............................................................... 23

2.5 Discretização de sistemas contínuos .......................................................................... 24

3 PLATAFORMA EXPERIMENTAL ................................................................................ 26

3.1 ARDUINO UNO ....................................................................................................... 27

3.2 Ponte H ...................................................................................................................... 28

3.2.1 Modulação por largura de pulso (PWM) ............................................................ 29

3.3 Encoder ...................................................................................................................... 30

3.4 Supervisório ............................................................................................................... 31

4 MODELAGEM DO MOTOR ........................................................................................... 33

4.1 Modelagem Caixa Branca .......................................................................................... 33

4.2 Modelagem Caixa Preta ............................................................................................. 36

5 PROJETO E IMPLEMENTAÇÃO DOS CONTROLADORES ...................................... 38

12

5.1 Modelo Caixa Branca ................................................................................................ 38

5.2 Modelo Caixa Preta ................................................................................................... 41

5.3 Discretização dos Modelos ........................................................................................ 44

5.3.1 Modelo Caixa Branca ......................................................................................... 44

5.3.2 Modelo Caixa Preta ............................................................................................ 45

5.4 Programação do ARDUINO ...................................................................................... 46

6 RESULTADOS ................................................................................................................. 48

6.1 Validação dos Modelos .............................................................................................. 48

6.1.1 Caixa Branca....................................................................................................... 48

6.1.2 Caixa Preta .......................................................................................................... 49

6.2 Respostas dos Controladores a uma Referência ........................................................ 49

6.2.1 Caixa Branca....................................................................................................... 49

6.2.2 Caixa Preta .......................................................................................................... 51

7 CONCLUSÕES ................................................................................................................. 54

13

1 INTRODUÇÃO

Uma forma de agregar conhecimentos práticos e facilitar o aprendizado do aluno são as

atividades laboratoriais, pois permitem ao estudante a oportunidade de realizar experimentos

não virtuais relacionados aos assuntos estudados em aulas teóricas. Desta forma

possibilitando estimular o interesse pelos temas lecionados, neste caso teoria de controle

(Gomes, Araújo e Lima, 2006). Três exemplos de módulos laboratoriais para aulas práticas

são apresentados.

Montagnoli et al (2009) apresenta um módulo didático para o ensino de teoria de controle

utilizando a linguagem C Sharp para a criação de seu software supervisório, uma placa de

aquisição de dados via USB, um controle digital microcontrolado e uma planta de um motor

CC.

Gomes et al (2006) desenvolveu uma plataforma programável baseada em microcontrolador

ADuC como kit didático, para estudo de teoria de controle, com interface com o PC

(utilizando uma placa de aquisição de dados) onde se pode implementar diferentes técnicas de

controle, no estudo de caso do controle de temperatura de um secador de grãos em escala

reduzida.

Gomes et al (2012) projetou um módulo laboratorial baseado em ambiente computacional

FOSS (Free Open Source Software) que possibilita a interatividade do usuário com os

procedimentos de controle digital de um pêndulo amortecido.

O controle ativo de vibrações em estruturas flexíveis tem sido uma área muito estudada e de

grande interesse, pois sistemas mecânicos como aeronaves e estruturas aeroespaciais exigem

ótimo desempenho, com isto se torna importante a construção de modelos estruturais em

escala reduzida para que se possa estudar diferentes métodos de controle na tentativa de se

obter as condições exigidas, aplicando nestes diferentes tipos de controladores (Santos,

Marqui, Bueno e Júnior, 2006).

Geralmente, para se projetar um controlador são utilizados métodos que necessitam de um

modelo matemático da planta a ser controlada, o que em algumas vezes pode ser encontrado

através das leis da física e em outras não, o que torna a área de identificação de sistemas uma

área de grande importância para as engenharias em geral, pois uma vez os parâmetros

identificados, se consegue fazer a representação matemática adequada do processo

(ARAUJO, 2012).

14

1.1 Objetivo Geral

O objetivo geral do trabalho é a realização do controle de posição de um motor de corrente

contínua, com intuito de construir, futuramente, um módulo didático para utilização em aulas

práticas de teoria de controle, este módulo terá um supervisório desenvolvido no software

LabVIEW para a comunicação com o usuário, e o controle será implementado através do

microcontrolador Arduino Uno, o módulo será de um sistema conhecido como Flexible Link,

que consiste no acoplamento de uma fina haste metálica a um motor de corrente contínua a

fim de poder fazer com que esta haste gire em torno deste acoplamento, e que através de um

sistema de controle aplicado ao motor permita que o ângulo da extremidade livre da haste

possa ser definido pelo operador através de um supervisório, visando o mínimo de vibração

possível.

1.2 Objetivos Específicos

Estimação de parâmetros e utilização do método de mínimos quadrados (caixa preta).

Estimação de parâmetros e modelagem fixa (caixa branca).

Controle de um motor DC utilizando um microcontrolador.

Criação de um supervisório.

1.3 Justificativa do Trabalho

A interação entre o conhecimento teórico e prático das disciplinas de teoria de controle

através de uma plataforma didática é de grande utilidade para facilitar o aprendizado do aluno,

além da grande aplicabilidade do estudo do controle de vibrações em várias áreas da

engenharia, pois vibrações indesejadas danificam e prejudicam o funcionamento de um

sistema.

1.4 Metodologia Proposta

Inicialmente serão utilizados dois métodos diferentes para modelar o motor de corrente

contínua: Um método de identificação de parâmetros através de ensaios (método caixa

branca) e outro de estimação de parâmetros (método caixa preta). Para o método caixa preta

será utilizado o software Labview em conjunto com o microcontrolador Arduino para ler os

dados, depois para realizar a conversão destes para um modelo matemático utilizaremos o

software Matlab.

15

Posteriormente será criado um controlador para cada uma das modelagens utilizando o

software Matlab, após isto será analisada a eficácia de ambos, após analise será escolhido o

que responder melhor.

Posteriormente será feita a integração física entre a haste e o motor.

1.5 Estrutura do Trabalho

Este trabalho foi dividido em cinco partes: Base teórica, plataforma experimental, modelagem

do motor, projeto e implementação dos controladores e resultados.

Na primeira e na segunda parte é feita uma revisão teórica dos componentes e métodos que

serão utilizados para o desenvolvimento do projeto.

Na terceira parte s o motor CC é modelado por duas abordagens distintas.

Na quarta parte são projetados dois controladores utilizando o método IMC para o motor e

estes controladores também são discretizados e programados no microcontrolador.

Na quinta parte são discutidos e comparados os diferentes resultados.

16

2 BASE TEÓRICA

Nesta sessão serão abordados alguns temas relacionados com a base teórica do trabalho,

dentre eles, o modelamento de um motor de corrente contínua com campo excitado

separadamente, o método dos mínimos quadrados, sistemas de segunda ordem, discretização

de sistemas contínuos e o controlador baseado no modelo interno (IMC).

2.1 Modelo de um Motor CC

Alguns tipos de motores CC possuem campos magneticos excitados separadamente, estes são

controlados por armadura com campo fixo, empregam um campo por magneto permanente

fixo e o sinal de controle é aplicado aos terminais da armadura (OGATA, 2011). A figura 2.1

ilustra seu esquema básico.

Figura 2. 1 – Modelo de um Motor CC

Considerando o motor da figura 2.1, temos os parâmetros abaixo.

= Resistência da armadura

= Indutância do enrolamento da armadura

= corrente do enrolamento da armadura

= corrente de campo

= Tensão aplicada na armadura

= força contra eletromotriz

θ = deslocamento angular do eixo do motor

17

T = torque fornecido pelo motor

J = momento de inercia equivalente do motor e da carga referida ao eixo do motor

Constante de torque

Constante de força contra eletromotriz

Pode-se correlacionar as equações mecânicas e elétricas de um motor por meio de uma função

de transferência. A equação elétrica do motor CC no domínio do tempo é definida na equação

2.1.

( ) ( )

( ) ( )

(2.1)

Sendo , e , respectivamente, a resistência da armadura, a corrente de armadura, a

indutância do enrolamento de armadura, a força contra eletromotriz induzida e a tensão de

armadura.

As equações mecânicas de um motor CC no domínio do tempo são:

( ) ( ) ( ) ( )

(2.2)

é o conjugado eletromagnético desenvolvido pelo motor, e representa ao conjugado

devido a inercia do eixo, dado por:

( )

( )

(2.3)

No qual representa o momento de inercia do motor e da carga, referente ao eixo do motor, e

a velocidade angular.

A variável refere-se ao conjugado da carga, e é o conjugado de perdas, sendo

representado por:

( ) ( ) (2.4)

18

A primeira parcela da equação 2.4, é denominada de amortecimento viscoso do motor e da

carga, é linear e proporcional a rotação do motor, já a segunda parcela se refere às

contribuições do atrito na carga e no motor, porém é não linear e de valor bem menor que a

primeira parcela, por isto será desprezada nesta análise.

As equações eletromecânicas que relacionam a parte elétrica com a parte mecânica,

considerando o fluxo magnético constante, são dadas abaixo:

( ) ( ) (2.5)

( ) ( )

(2.6)

Utilizando as transformadas de Laplace, obtêm-se as equações no domínio da frequência:

( ) ( ) ( ) ( ) (2.7)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2.8)

( ) ( ) (2.9)

( ) ( )

(2.10)

Efetuando manipulações matemáticas temos a função em malha aberta do motor,

considerando como entrada a tensão em seus terminais e como saída a velocidade do rotor:

( )

( )

( )

(2.11)

Sua representação em diagrama de blocos é apresentada na figura 2.2.

19

Figura 2. 2 - Diagrama de blocos da FTMA da equação 2.11.

Para se obter como valor de saída, a posição θ, deve-se adicionar um integrador a malha,

como se pode observar no diagrama de blocos da figura 2.3.

Figura 2. 3 - Diagrama de blocos da FTMA do motor CC considerando a posição angular como saída

O que resulta na equação 2.12.

( )

( )

( )

(2.12)

2.2 Método dos Mínimos Quadrados

O método dos mínimos quadrados foi desenvolvido por Gauss, para processar informações

astronômicas de corpos celestes, o método consiste em estimar parâmetros desconhecidos de

um sistema de forma que a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e

os valores calculados seja mínimo (ASTROM; WITTENMARK, 2008).

( ) ( ) ( )

(2.13)

Define-se a função de custo J

20

∑( ( ))

(2.14)

Onde e(K) é o erro, y(K) é o modelo da saída, y’(K) é o modelo estimado da saída, N é o

numero de amostras.

O objetivo do método é minimizar a função custo J. O modelo de saída ( ) pode ser

expresso na forma de matriz, como mostrado na equação 2.15.

(2.15)

Onde é uma matriz de ordem ( ) sendo n a ordem do modelo, composta pelas

entradas e saídas e é uma matriz de ordem ( ) dos coeficientes estimados do modelo

onde, a primeira metade da equação representa os coeficientes do denominador e a outra

metade representa os coeficientes do denominador, referentes a função de transferência

discreta apresentada na equação 2.16.

( )

(2.16)

[ ]

(2.17)

Reescrevendo-se a equação 2.14 em função dos novos parâmetros temos:

( ) ( )

(2.18)

21

( )

(2.19)

Para se obter a menor soma do quadrado dos erros, se deriva J em relação a e iguala-os a

zero.

(2.20)

Isto implica em:

(2.21)

A coluna da matriz de vetores dos coeficientes estimados será.

( )

(2.22)

Assim, para se estimar os parâmetros usando mínimos quadrados, é necessário conhecer o

número N de amostras da saída do modelo na forma de uma matriz Y e uma matriz de

entradas e saídas .

2.3 Sistema de segunda ordem

O sistema de segunda ordem tem o seu comportamento dinâmico descrito por equações

diferenciais de segunda ordem (SANTOS, J. DOS, [S.d.]).

Os parâmetros dinâmicos são: o fator de amortecimento ( ), a constante de tempo ( ) e a

frequência natural de oscilação ( ). A equação de função de transferência é dada por.

( )

(2.23)

22

A resposta deste sistema a um degrau é mostrada na figura 2.10.

Figura 2. 4 – Resposta de um sistema de segunda ordem a um degrau

Onde a frequência de oscilação amortecida ( ) é dada por:

√

(2.24)

O período de oscilação amortecida ( ) é dado por:

(2.25)

O tempo de subida ( ), é o tempo onde a resposta alcança seu novo estado-estacionário pela

primeira vez, ou seja, é uma medida da velocidade de resposta do sistema ao degrau.

(2.26)

O tempo em que o sistema atinge o primeiro pico é chamado de instante de pico ( ), e é dado

pela equação.

23

(2.27)

A quantidade máxima na qual a resposta ultrapassa o valor do estado-estacionário é chamado

de sobre-sinal ( ), e sua equação é dada por.

√

(2.28)

2.4 Controlador IMC (Internal Model Control)

O método de controle IMC tem como objetivo especificar uma resposta do sistema em malha

fechada desejada e resolver a equação de forma a obter o controlador resultante. O primeiro

passo para se sintonizar um controlador IMC é fatorar a planta em uma parte inversível, ou

seja, uma parte de fase mínima ( ) e uma parte não inversível ( ), (SKOGESTAD e

POSTLETHWAITE, 2007).

Com isto temos a equação da planta G(s), descrita conforme a equação.

( ) ( ) ( )

(2.29)

( )

∏

( )

(2.30)

Onde são os zeros da fase não mínima e é o atraso de tempo.

O segundo passo é especificar a função de transferência desejada em malha fechada (T),

porém não se pode excluir a parte não mínima , então equacionamos T da seguinte forma.

( ) ( ) ( )

(2.31)

Onde f(s) é um filtro passa baixa escolhido pelo projetista, então teremos.

( ) (2.32)

24

Isolando-se o K teremos o controlador desejado.

(2.33)

O problema do projeto pela abordagem IMC é que muitas vezes o controlador resultante é de

ordem elevada ou até mesmo impróprio. Portanto ajustes no controlador devem ser feitos de

maneira a torna-lo realizável, com a cautela de não ocasionar grandes modificações em seu

desempenho.

2.5 Discretização de sistemas contínuos

Como o controlador da planta será implementado em um microcontrolador, será necessário

discretizar a equação do controlador, pois está é obtida na forma continua.

Segundo Lima (2013), um dos elementos introduzidos em um sistema discreto ao se

discretizar um sistema analógico são os seguradores. Considerando-se um sistema de controle

digital, parcialmente representado na figura 2.5, não tem como se evitar a existência de um

bloco que converta sinais discretos em sinais contínuos, entre uma conversão e outra o sinal

de entrada é seguro na saída do bloco. Esta operação de memorização da ultima amostra até

uma nova entrada a ser considerada introduz um novo termo na função discreta resultante do

sistema.

t

PLANTA

Contínua

G(s) Conversor A/D

Conversor D/A

Seqüência Impulso

k

1

uk

Função Resultante

T

1

ut

Figura 2. 5 – Sistema de controle digital

25

Em função da figura 2.5 pode-se escrever.

( )

(2.34)

Ou seja:

( )

(2.35)

Onde a função

é a função transferência do segurador de ordem zero para o tempo

contínuo. Em sua forma discreta, a função de transferência do segurador de ordem zero é dada

por

( ) ( ) [

( )

]

(2.36)

26

3 PLATAFORMA EXPERIMENTAL

Para a realização dos experimentos, foi montada uma plataforma de testes .Nesta plataforma

foi utilizado um pequeno motor de corrente contínua acoplado a um encoder (jga25-371)., um

CI de ponte H (L293), um microcontrolador Arduino Uno e um computador contendo o

supervisório criado utilizando-se o software LabVIEW. A figura 3.1 apresenta o esquema

elétrico e a figura 3.2 mostra a montagem física da plataforma.

Figura 3. 1 - Cicuito Elétrico da Plataforma

27

Figura 3. 2 - Montagem Prática da Plataforma

3.1 ARDUINO UNO

Consiste em uma plataforma de prototipagem eletrônica desenvolvido com objetivo de poder

fazer o controle de sistemas iterativos, de baixo custo, uma de suas vantagens é o fato de ser

open-source, ou seja, pode ser produzido e utilizado sem a necessidade de se pagar direitos

autorais. Ela tem como cérebro o microcontrolador ATmega328, tensão de alimentação de

5V, possui 14 portas de I/O digital sendo que 6 delas podem ser utilizadas como portas

PWMs, 6 entradas analógicas, um cristal de 16 MHz, 32 KB de memória flash, 2KB de

SRAM, 1 KB de EEPROM e uma conexão USB. O software utiliza uma linguagem de

programação própria baseada em C, e é executado na própria placa (Luís, Gomes e Tavares,

2013).

28

Figura 3. 3 - Arduino UNO

3.2 Ponte H

É um importante circuito na elaboração de sistemas automatizados, muito utilizado para

controlar um motor DC a partir de sinais gerados na saída de um microcontrolador. Devido à

disposição dos componentes, permite ao motor uma operação nos 4 quadrantes, ou seja, o

sentido de rotação do motor pode ser invertido através da inversão da polaridade dos

terminais do motor. Uma ponte H básica é composta por 4 chaves eletrônicas ou mecânicas

posicionadas na forma da letra “H”, com o motor posicionado no meio e uma chave em cada

extremidade, conforme mostra figura 3.4.

Figura 3. 4 - Ponte H

Para o funcionamento do motor, basta acionar um par de chaves diagonalmente opostas, o que

faz com que a corrente circule do polo positivo para o negativo, alimentando os enrolamentos

da armadura do motor, o que resulta em um torque em determinado sentido e,

consequentemente, em um firo do eixo no mesmo sentido. Para que o sentido da rotação seja

invertido, desliga-se as chaves acionadas e aciona-se as chaves diagonalmente opostas às

29

mesmas, fazendo com que a corrente invertera o seu sentido e consequentemente o motor

também (A. Luís e Patsko, 2006). A figura 3.5 exemplifica seu funcionamento.

Figura 3. 5 - Sentido da corrente na ponte H

3.2.1 Modulação por largura de pulso (PWM)

PWM (Pulse Width Modulation) que em português significa, Modulação por largura de

pulsos, consiste em um sinal de frequência e período fixos e variar o tempo que o sinal fica

em nível lógico alto, conhecido como ciclo da onda ativa, é muito utilizado no controle de

potência de equipamentos de corrente contínua. Sendo T o período do sinal, o período

ativo do sinal, o período em que a carga é mantida desativada e DC o ciclo de trabalho

da onda, a figura 3.6 apresenta graficamente o funcionamento do PWM (FAMBRINI, [S.d.]).

(3.1)

(3.2)

30

Figura 3. 6 - Funcionamneto do PWM

3.3 Encoder

É um equipamento muito utilizado em automação industrial, com ele conseguimos converter

movimentos angulares em uma série de pulsos elétricos, que podem ser facilmente lidos e

contados por circuitos lógicos como microcontroladores. Seu sistema de leitura é baseado em

um disco (encoder rotativo), formado por janelas radiais transparentes e opacas, de maneira

alternada, que é iluminado perpendicularmente por uma fonte de luz infravermelha, quando

então, as imagens das janelas transparentes são projetadas no receptor. O receptor converte

essas janelas de luz em pulsos elétricos conforme apresentado na figura 3.7.

Figura 3. 7 - Encoder

O encoder incremental em quadratura, do tipo que é usado neste trabalho, nos fornece dois

pulsos quadrados defasados em 90o, o que é utilizado para saber o sentido de rotação do

motor, (“Como funcionam os Encoders,” 2005), como visto na figura 3.8.

31

Figura 3. 8 - Encoder incremental

3.4 Supervisório

O LabVIEW (Laboratory Virtual Instrument Engineering Workbench) é uma linguagem de

programação gráfica originária da Nacional Instruments, seus mais usuais campos de

aplicação são na realização de medições e automação, a programação é feita com base no

modelo de fluxo de dados. Os programas em LabVIEW são nomeados de instrumentos

virtuais(VI), são compostos de um painel frontal, que contém a interface, e pelo diagrama de

blocos, que contém o código gráfico do programa (SOUZA, [S.d.]).

No trabalho o software é utilizado para fazer a interface gráfica com o usuário, fazendo o

papel de um sistema supervisório. O sistema supervisório desenvolvido apresenta a

possibilidade de se escolher uma forma de referência para que o motor siga, de maneira que o

usuário possa escolher entre uma onda quadrada, uma sinal de rampa ou um degrau, também

se liga e desliga o motor através de um botão. O supervisório apresenta em tampo real ao

usuário gráficos do valor da referência, posição angular do motor e do seu eixo, velocidade de

giro motor e a tensão aplicada a armadura do motor. O programa se comunica com o

microcontrolador através de comunicação serial, recebendo e enviando dados ao mesmo de

maneira recursiva. O supervisório pode ser visto na figura 3.9.

32

Figura 3. 9 - Supervisório

33

4 MODELAGEM DO MOTOR

Nesta sessão será mostrada a modelagem de um motor CC utilizando-se dois métodos

distintos, modelagem caixa branca e modelagem caixa preta.

4.1 Modelagem Caixa Branca

A modelagem em caixa branca, também conhecida como modelagem pela física ou

modelagem conceitual, consiste em modelar o sistema partindo do equacionamento dos

fenômenos físicos envolvidos, e das leis físicas que descrevem o sistema (AGUIRRE, 2007).

O modelo matemático do motor CC foi apresentado no segundo capítulo, onde se encontrou a

equação 4.1, para a função em malha aberta:

( )

( )

( )

(4.1)

Para se encontrar os parâmetros da equação 4.1, foram realizados ensaios que serão descritos

neste capítulo.

Para se obter o valor de foi ligado 12 V de uma fonte externa de corrente contínua e um

resistor de 100 Ω em serie com o motor com o eixo travado, e depois utilizando um

multímetro digital foi mensurada a voltagem no resistor, utilizando a equação 4.2 foi obtido o

valor da corrente do circuito e através dela a do motor.

(4.2)

Posteriormente para se encontrar , alimentou-se o motor com corrente alternada, utilizando

um circuito que consiste em um transformador ligado a alimentação de rede de 127 V de

corrente alternada no seu primário e se liga na saída de seu secundário de 6 V a um resistor de

100 Ω e o motor CC que queremos mensurar, como visto na figura 4.1.

34

Figura 4. 1 -Esquema elétrico para obtenção de La.

Se utiliza um multímetro para medir a tensão no resistor de 110 ohms e como ele esta em

serie com o motor se obtêm , com isto, para se obter o valor de utiliza-se as relações

físicas de 4.3 a 4.7.

(4.3)

(4.4)

√ (4.5)

(4.6)

(4.7)

Posteriormente acionou-se o motor a vazio e se obteve a velocidade média do motor (ωm), e

se obteve o valor da constante da força contra-eletromotriz ( ) através da equação 4.8.

(4.8)

Calculou-se a força contra-eletromotriz, utilizando a equação 4.9.

(4.9)

35

A equação que fornece o torque a vazio aproximado, se levando em conta atrito e ventilação é

a equação 4.10.

(4.10)

O torque devido ao atrito viscoso é dado pela equação 4.11.

(4.11)

Com o motor funcionando a vazio temos que , então relacionando as equações 4.10 e

4.11 é obtida a equação 4.12.

(4.12)

(4.13)

Pode-se provar que, quando escritas em unidades do S.I., em que a velocidade angular é

dada em [rad/s], as constantes e são dadas por:

em que Z é o número de condutores ativos do enroalmento de armadura, é o número de

pólos e a é o número de percurso em paralelo para a corrente no enrolamento da armadura do

motor. Sendo assim, quando usadas as unidades do SI, e são iguais.O momento de

inercia J é obtido, através do teste chamado “run down test”, que consiste em alimentar um

motor em vazio, e obter sua velocidade ω0, depois se retira a tensão de armadura e se mede o

tempo do sistema mecânico (τm), tempo para a velocidade angular do motor seja

( – ) .

Então com o valor τm se encontra J através da razão matemática abaixo:

(4.14)

36

Os valores encontrados através dos ensaios são mostrados na tabela 1:

Tabela 1- Parâmetros do motor CC obtido através dos ensaios.

Parâmetro Valor Unidade

4.2 Modelagem Caixa Preta

O termo “caixa preta” é um nome que se dáa algumas técnicas alternativas a modelagem caixa

branca, que é caracterizada por não ser necessário o conhecimento prévio do sistema. O que

se visa descrever com este tipo de modelo são as relações de causa e efeito entre as variáveis

de entrada e de saída do sistema (AGUIRRE, 2007).

Para se obter os valores de entrada e saída do motor realizou-se a medição dos pulsos de saída

do encoder pelo microcontrolador e estes valores foram enviados via comunicação serial

através da porta usb do PC executando o programa supervisório desenvolvido no software

LabVIEW. No programa supervisório, os dados são convertidos em valores de posição e de

velocidade do motor e também através do LabVIEW são definidos os valores tensão que

serão aplicados na armadura do motor.

Para fazer a estimação dos parâmetros, variou-se a tensão aplicada na armadura do motor de

2.4 V a 6.3 V em intervalos aleatórios e mediu-se a velocidade do motor ao longo do tempo,

utilizando um intervalo de amostragem de 20 milisegundos, obtendo-se o gráfico mostrado na

figura 4.2.

37

Figura 4. 2 - Gráfico da entrada (V) e da saída (rad/s)

Com os dados de entrada e saída da planta, utiliza-se o algoritmo dos mínimos quadrados para

se estimar a planta. No próprio algoritmo é definido o número de polos e zeros da planta. O

número de polos e zeros que apresentou resultado mais próximo ao real foi de 3 polos e 2

zeros. O modelo matemático da planta estimada G é:

( )

( )( )

(4.15)

38

5 PROJETO E IMPLEMENTAÇÃO DOS CONTROLADORES

5.1 Modelo Caixa Branca

Como visto no na sessão 4.1, é igual a , então podemos reescrever a equação 4.1 da

seguinte forma:

( )

( )

( )

( )

(5.1)

Pretende-se sintonizar um controlador K(s) para a planta G(s), o diagrama que representa o

sistema é mostrado na figura 5.1.

Figura 5. 1 - Malha de controle

A função de transferência em malha fechada (FTMF) do diagrama de blocos da figura 5.1 é

apresentada na equação 5.2.

( ) ( )

( ) ( )

(5.2)

Como estratégia para sintonização do controlador, pretende-se utilizar a modelagem IMC, o

comportamento desejado para o sistema é o de um sistema de segunda ordem T(s). Note que,

para o sistema em questão, não existe parte de fase não mínima na função transferência e o

atraso de tempo pode ser desconsiderado. Desta maneira, tem-se

39

( )

(5.3)

Trocando-se T(s) por FTMF para encontrarmos o controlador temos.

( )

( ) ( )

( ) ( )

(5.4)

Isolando K(s) teremos.

( )

( )

( ) ( ) ( )

(5.5)

Definiu-se aqui uma percentagem de 3% de sobressalto e instante de pico de 0.2 segundos

para a função T(s), o que resulta na resposta ao degrau mostrada na figura 5.2.

Figura 5. 2 - Resposta ao degrau da função de segunda ordem desejada

A partir da equação 5.5 encontramos um controlador K1(s), porém ele apresenta alguns zeros

e alguns polos sobrepostos o que pode ser visto analisando o mapa de polos e zeros do

controlador, que é apresentado na figura 5.3.

40

Figura 5. 3 - Polos e zeros do controlador K1

Realizando-se os devidos cancelamentos, o obtém-se o controlador de ordem mínima K2(s),

apresentado na equação 5.6.

( )

(5.6)

Como pode ser observado, o controlador resultante contem mais zeros que polos, ou seja, é

impróprio. Controladores impróprios causam instabilidade interna ao sistema, o que é

indesejável. Uma solução é reduzir a ordem do sistema através da eliminação do zero menos

dominante. O zero é eliminado tomando-se o cuidado de manter o ganho em regime

permanente do controlador inalterado, de modo que a ordem do numerador seja a mesma do

denominador no controlador final, dado por K3(s).

( )

(5.7)

Na figura 5.4 se pode observar o diagrama de bode dos controladores K2 e K3.

Pole-Zero Map

Real Axis (seconds -1)

Imag

inary

Axi

s (

seco

nd

s-1)

-600 -500 -400 -300 -200 -100 0-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

41

Figura 5. 4 - Diagrama de bode de K2 e K3

Para a banda passante considerada a dinâmica do controlador K2 e K3 muda pouco.

5.2 Modelo Caixa Preta

A estratégia para sintonização do controlador será a modelagem IMC, para que se possa

comparar com as respostas do controlador da sessão 5.1. Então o comportamento desejado

para o sistema em malha fechada será o mesmo de um sistema de segunda ordem T(s).

( )

(5.8)

Isolando-se o controlador K pretendido tem-se.

( )

( )

( ) ( ) ( )

(5.9)

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

Mag

nitud

e (

dB

)

100

101

102

103

104

-45

0

45

90

Pha

se

(d

eg

)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

K2

K3

42

Da mesma forma que na seção 5.1, definiu-se uma percentagem de 3% de sobressalto e

instante de pico de 0.2 segundos para a função T(s), este sistema obtendo uma resposta a um

degrau mostrado anteriormente na figura 5.2.

Utilizando-se a equação 5.9 encontra-se um controlador K1, porem este apresenta alguns

zeros e alguns polos sobrepostos o que pode ser visto analisando o mapa de polos e zeros do

controlador, que é apresentado na figura 5.5.

Figura 5. 5 - Polos e zeros do controlador K1

Com intuito de sintonizar um controlador de menor ordem, retiram-se zeros e polos

sobrepostos, obtendo-se um controlador K2.

( )

( )( )

(5.10)

O controlador K2 é improprio, e seus zeros e polos são mostrados na figura 5.6.

43

Figura 5. 6 - Polos e Zeros de K2(s)

Na figura 3.10 observa-se que o zero dominante é o zero localizado em . Assim,

como estratégia para abaixamento de ordem de K2, manteve-se o zero dominante e o ganho

do sistema e retirou-se os outros zeros, resultando no controlador K3.

( )

( )

(5.11)

Na figura 5.7 se pode observar o diagrama de bode dos controladores K2 e K3.

Pole-Zero Map

Real Axis (seconds -1)

Imag

inary

Axi

s (

seco

nd

s-1)

-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

System: K2

Pole : -35.1

Damping: 1

Overshoot (%): 0

Frequency (rad/s): 35.1

System: K2

Zero : -23.8 + 31.3i

Damping: 0.605

Overshoot (%): 9.21

Frequency (rad/s): 39.4System: K2

Zero : -12

Damping: 1

Overshoot (%): 0

Frequency (rad/s): 12

System: K2

Zero : -23.8 - 31.3i

Damping: 0.605

Overshoot (%): 9.21

Frequency (rad/s): 39.4

44

Figura 5. 7 - Diagrama de bode de K2 e K3

Pode-se observar que K2 e K3 apresentam uma grande diferença de fase ao aumentar a

frequência.

5.3 Discretização dos Modelos

Para que possa se implementar os controladores obtidos nas secções anteriores no Arduino é

necessário se discretizar as equações dos controladores obtidos nas seções 5.1 e 5.2, esta

discretização tem que ser realizada utilizando um tempo de amostragem, neste caso foi

utilizado o tempo de 1 ms.

5.3.1 Modelo Caixa Branca

Para se executar o controle do motor é necessário programar este no Arduino e para tal é

necessário discretizar a equação do controlador encontrada no item anterior, para isto se

utiliza um segurador de ordem zero.

A função contínua do controlador é dada por:

( )

(5.12)

-20

0

20

40

60

80M

ag

nitud

e (

dB

)

10-1

100

101

102

103

0

45

90

135

180

Pha

se

(d

eg

)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

K2

K3

45

Utilizando o segurador de ordem zero a função é dada por:

( )

(5.13)

Para se programar o controlador no arduino o escrevemos na forma de equação das

diferenças.

( ) ( ) ( ) ( )

(5.14)

Onde y(k) é o sinal de saída, e(k) é o sinal de erro e k é a constante de tempo.

5.3.2 Modelo Caixa Preta

Como na sessão 5.3.1 é necessário dicretizar o controlador obtido.

A função do controlador em domínio contínuo é dada por:

( )

(5.15)

Utilizando o segurador de ordem zero a função é dada por:

( )

(5.16)

Para se programar o controlador no arduino o escrevemos na forma de equaçẽos diferenças.

( ) ( ) ( ) ( )

(5.17)

Onde y(k) é o sinal de saída, e(k) é o sinal de erro e k é a constante de tempo.

46

5.4 Programação do ARDUINO

O microcontrolador arduino recebe os pulsos vindos do encoder incremental, como os pulsos

são defasados um do outro em 900 na programação se consegue saber se o motor esta girando

no sentido horário ou anti-horário, se faz isto analisando qual porta digital é acionada

primeiro, caso o motor esteja no sentido horário é somada uma unidade a posição do motor,

caso esteja no sentido anti-horário é subtraída uma unidade.

Tanto o valor de posição como o de posição desejada são multiplicados por uma constante

( ) para alterar sua unidade de numero de pulsos para radianos, posteriormente o valor da

posição é subtraído do valor da posição desejada assim se obtendo o valor do erro. Esta

constante é obtida pela equação 5.18.

(5.18)

A constante é obtida devido ao fato de que quando o motor realiza uma volta completa, 2 em

radianos, o encoder emite 334 pulsos.

O valor de erro e o valor da saída são utilizados como parâmetros no controlador do item

anterior, e este tem como saída um valor em volts que varia de 0 a 10 V, para aplicar esta

voltagem no motor é necessário utilizar um PWM, porém este tem o valor que varia de 0 a

1023 (10 bits), para resolver este problema se utiliza a função map do arduino, esta função faz

uma correlação (regra de três) entre os valores setados ao PWM de 0 a 10 e os valores

realmente utilizados no PWM de 0 a 1023.

O Arduino também faz a comunicação com o supervisório criado no LabVIEW através de

uma porta serial, a porta serial do microcontrolador recebe o valor da posição desejada que foi

setado no supervisório e envia o valor da posição atual ao mesmo.

Na figura 5.8 é apresentado o fluxograma do processo ocorrido no microcontrolador.

47

Figura 5. 8 - Fluxograma da Programação Arduino

48

6 RESULTADOS

6.1 Validação dos Modelos

Nesta sessão serão comparados os resultados reais e simulados de resposta do motor a um

mesmo sinal de entrada em malha aberta.

6.1.1 Caixa Branca

O modelo matemático do motor é apresentado na equação 6.1.

( )

( )

( )

(6.1)

Substituindo as constantes encontradas na tabela 1 na equação 6.1 e aplicando-se o mesmo

sinal de entrada na planta real observa-se através da figura 6.1 que o comportamento da saída

(rad/s) é semelhante, mostrando-se válida a estimação caixa branca.

Figura 6. 1 - FTMA Real e Estimada

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-50

0

50

100

150

200

250

300

350

400

Linear Simulation Results

Time (seconds)

Saíd

a (

rad

/s)

Modelo real

Modelo estimado

49

6.1.2 Caixa Preta

A equação 6.2 mostra a equação do motor CC estimada pelo método dos mínimos quadrados,

o gráfico da figura 6.2 apresenta a resposta a um mesmo sinal de entrada da planta estimada e

da planta real em malha aberta.

( )

( )( )

(6.2)

Figura 6. 2 - FTMA Real e Estimada

6.2 Respostas dos Controladores a uma Referência

6.2.1 Caixa Branca

A figura 6.3 mostra a resposta real do motor a uma referência utilizando-se o controlador

obtido a partir da planta estimada pelo modelo caixa branca.

0 10 20 30 40 50 60 70 800

20

40

60

80

100

120

140

resposta da planta real

resposta da planta estimada

50

Figura 6. 3 - Resposta do Motor a uma onda quadrada.

Observa-se que há um sobressalto, porém não apresenta erro em regime permanente.

Na figura 6.4 é apresentado o gráfico da entrada de controle.

25 30 35 40 45 50 55-150

-100

-50

0

50

100

150G

rau

s

Referência

Posição

51

Figura 6. 4 - Entrada de controle.

Através da figura 6.4 observa-se que o motor apresenta saturação quando alcança 10 volts a

entrada de controle.

6.2.2 Caixa Preta

A figura 6.5 mostra a resposta real do motor a uma referência utilizando-se o controlador

obtido a partir da planta estimada pelo modelo caixa preta.

25 30 35 40 45 50 55

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10T

en

sã

o (

V)

Tensão (V)

52

Figura 6. 5 - Resposta do Motor a uma onda quadrada.

Observa-se que não há um sobressalto e também não apresenta erro em regime permanente.

Na figura 6.6 é apresentado o gráfico da entrada de controle.

53

Figura 6. 6 - Entrada de controle.

Através da figura 6.6 observa-se que o motor apresenta saturação quando a entrada de

controle alcança 10 volts.

25 30 35 40 45 50 55

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Tensão (V)

54

7 CONCLUSÕES

Observou-se que ambos os métodos utilizados para estimar os parâmetros do motor obtiveram

respostas satisfatórias quando comparados com o motor real.

Os controladores criados apresentaram bons resultados, porém o obtido através da planta

estimada pelo método caixa preta não apresentou sobressalto, o que poderá tornar melhor caso

se acople uma haste a saída da caixa de redução do motor.

Como proposta para continuidade do projeto sugere-se finalizar a criação da plataforma

didática. Para isto será necessário projetar um controlador para a haste flexível e construir

uma bancada fixa.

Também pode-se melhorar o supervisório, acrescentando-se a ele possibilidade de alterar em

tempo real parâmetros do controlador, como as constantes proporcional, derivativa e integral

do controlador, o que permitirá o aluno a compreender melhor o que foi aprendido nas aulas

teóricas de teoria do controle.

55

REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS

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