UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTÁ CATARINA PROGRAMA DE EÕS-GRADUAÇÃO'EM ENGENHARIA MECÂNICA

PROPRIEDADES SECCIONAIS DE PERFIS DE PAREDES FINAS INCLUINDO 0 EFEITO DA FLAMBAGEM LOCAL

DISSJRTAÇAO SUBMETIDA A UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA

CARLSON ANTONIO MENDES VERÇOSA

FLORIANÕPOLIS , DEZEMBRO DE 1981

11

PROPRIEDADES SECCIONAIS DE PERFIS DE PAREDES FINAS INCLUINDO 0EFEITO DA FLAMBAGEM LOCAL

CARLSON ANTONIO MENDES VERÇOSA

ESTA DISSERTAÇÃO FOI JULGADA ADEQUADA PARA A OBTENÇÃO DO TÍTULO DE

"MESTRE EM ENGENHARIA"

ESPECIALIDADE: ENGENHARIA MECÂNICA, ÁREA DE CONCENTRAÇÃO PROJE­TO, E , APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELO PROGRAMA DE PÕS-GRADUAÇÃO.

PROF. EDISON DA ROSA, M.Sc, ORIENTADOR

PROF. ARNO BLASS, Ph.D. COORDENADOR

PROF. EDISON DA ROSA, M.Sc,

7PROF. LUIZ TEIXEIRA lj)0 VALE PEREIRA, M.Sc.

1 1 1

A Helena e Carla.

Aos ir;eus oais.

IV

AGRADECIMENTOS

Ao Professor Arno Blass, na figura de coordenador do curso de Pos-Graduação em Engenharia Mecânica, pela oportunidade;

Em especial ao Professor Edison da Rosa pela orientação téc­nica e pessoal;

Ao engenheiro Vilson V/ronscki Ricardo pela ajuda na parte computacional;

Aos funcionários do NPD da UFSC, em especial aos amigos Luiz Carlos Pereira, Edson Luiz da Silva e Vilton Wronscki, pelo atendimento;

Aos amigos Altamir Dias, João Pedro Quirino e Maurice Boulos Halal, pelo interesse;

A Roberto José Dias pela excelente qualidade dos desenhos;

A Josemar Maso pelo excelente trabalho de datilografia;

A Comissão Nacional de Energia Nuclear (CNEN) e a Universida de Federal de Pernambuco (UFPE), pelo apoio financeiro.

AGRADECIMENTO ESPECIAL

Ao caríssimo Professor Domingos Boechat Alves, mi­nha gratidão. É uma honra tê-lo como m.estre e amigo. Admirá- por sua simplicidade, por seu espírito de luta, dedicação e por seu magnifico trabalho em prol do desenvolvimento científ_i co do país.

E finalmente pela proposição do presente tema de dissertação, sugestões e interesse.

VI

su mArio

SIMBOLOGIA ................................................ viiiRESUMO ..... .............................................. xiCAPÍTULO 1 - introdução .................................. 1

CAPÍTULO 2 - REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ....................... 32.1 - Introdução .......... ................... ........ 3

2.2 - Estabilidade de placas delgadas ............... 72.2.1 - Introdução .... ............................. 72.2.2 - Flambagem de uma placa retangular simples­

mente apoiada. Casos I e II ............... 92.3 - Resistência p5s-flambagem ...................... 192.4 - Largura efetiva ................................. 22

2.4.1 - Elementos enrijecidos em ambas as bordasparalelas ã direção da tensão ............. 22

2.4.2 - Elementos com uma borda enrijecida e outralivre, sendo ambas paralelas ã direção datensão de compressão ....................... 32

2.5 - Membros em compressão axial .................... 41CAPÍTULO 3 - PROCESSO NUMÉRICO COMPUTACIONAL ............ 47

3.1 - Introdução ...... ................ .............. 473.2 - Configuração geométrica do i-êsimo elemento .... 493.3 - Propriedades geométricas do i-ésimo elemento ... 51

3.3.1 - Elemento retilíneo ......................... 513.3.2 - Elemento circular .......................... 52

3.4 - Propriedades seccionais .......... ............. 553.4.1 - Propriedades seccionais - seção plena ..... 563.4.2 - Propriedades seccionais - seção reduzida ... 58

3.5 - Programa condificado em FORTRAN ............... 73

CAPÍTULO 4 - EXEMPLOS E COMPARAÇOES ...................... 74CAPÍTULO 5 - CONCLUSÃO ................................... 86

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÃFICAS ................................ 88APENDICE a ...................................... ......... 91

Vll

APENDICE B - MANUAL DO USUÁRIO ....... ................... 93B.l - Introdução ..................................... 93B.2 - Modelagem da seção transversal ................ 93B 3 - Entrada de dados ............................... 102

APENDICE C ................................................ 118APÊNDICE D ........... ...................... ............. 122APÊNDICE E ................. ............................... 124

V l l l

SIMBOLOGIA

LISTA BASICA de SÍMBOLOS

A, Ag£ - Área e Area efetiva da seção transversal, respec­tivamente (L^) ;

a, b, t - Dimensões da placa (comprimento, largura e espes­sura, respectivamente (L));

a/b - Relação de aspecto;

b^ - Largura efetiva (L);b^ - Largura efetiva para sub-elemento (L);C - Centroide da seção transversal

- Coeficiente de flambagem para coluna- Coeficiente de proporcionalidade;

D - Rigidez flexionai;E - Modulo de elasticidade;f(y) - Função deslocamento na direção transversal ao car

regamento, para elemento apoiado nos lados x=0, x=a e y=0 e livre no lado y=b;

I , I_ - Momentos e Produto de inércia de área - seção ple ç n S n V r _na (L“) ;

^Xg(ef)’ Vg(ef)’I r - Momentos e Produtos de inércia de área - seçãoX' y„(ef)

® ® efetiva (L^) ;K - Coeficiente de flambagem;

L - Comprimento de flambagem (L);M^, My - Momento fletor segundo os eixos x e y, respectiva

mente (FL);M-, , M^ - Momento fletor mãximo obtido com o módulo de re-1

sistência para seção plena e para seção reduzida respectivamente (FL);

M^ - Momento fletor médio máximo na falha (experimen­tal) (FL) ;

IX

- Momento fletor em relação aos eixos x e y, respec tivamente (FL);

N , N , N - Tensões resultantes de membrana;x ’ y xyn - numero de elementos da seção transversal;N - Tensão crítica de flambagem (força por unidade de

Xcomprimento - F/L);

P - Força de compressão (F);

Q - Fator de forma ou de coluna, isto ê, fator deãrea ou fator de tensão;

Rç, - Raio de giração (L) ;Rçp, R^p - Raio de giração mínimo e máximo (L);Sç, - Módulo de resistência - seção plena (L^);

^Ç(ef) ’S rA - Modulo de resistência - seção efetiva (L^); n I e r jVy - Força cisalhante (FL);w - Deflexão de um ponto da superfície de referência

da placa;x, y - Eixos coordenados do sistema de referência global;Xj , y - Coordenadas do centroide da seção;x^, yg - Coordenadas do centro de cisalhamento;Ç, n - Eixos coordenados com centro no centroide C e pa­

ralelos aos eixos x e y;

, Tip - Eixos principais de inércia;V - Coeficiente de Poisson;a - Tensão de trabalho;

- Tensão básica ou de projeto;- Tensão calculada pelas expressões (2.54) e (2.55);- Tensão de flambagem obtida de testes;- Tensão crítica de flambagem;

a - Tensão admissível reduzida;ca

X

Og - Tensão de escoamento;

0^ - Limite de resistência obtido dos testes;o - Tensão máxima de borda;niaX

(Unidade de Tensão - FL

Demais símbolos - Descritos no Texto.

XI

RESUMO

Este trabalho tem por objetivo desenvolver um processo numérico computacional e um programa codificado em FORTRAN, para se obter as propriedades seccionais plenas e efetivas de membros estruturais de paredes delgadas. As propriedades efetivas são de correntes de uma redução na ârea da seção transversal, como con­seqüência da flambagem local.

0 programa está fundamentalmente baseado nas especifi­cações para o projeto de membros estruturais leves, AISI (Ameri­can Iron and Steel Institute) e NB-143 (Norma Brasileira - ABNT) e tem por suporte o programa computacional SEDEL.

São apresentados alguns resultados obtidos com o refe­rido processo.

Xll

ABSTRACT

This work presents the development o£ a numerical proce- dure and the implementation o£ a Computer program for the determi- nation o£ the cross-sectional properties of thin wall members when local buckling is taken into account.

The numerical procedure complies with the Specification for the Design of Light Gage Cold-Formed Steel Structural Members (AISI), the Brazilian Norm NB-143 (ABNT) and has the support of the computational program SEDEL.

Several examples are presented and compared with knownresults.

CAPÍTULO 1

INTRODUÇÃO

A resistência pos-flambagem apresentada ã compiessão por elementos delgados, ê vista como o principal aspecto no cam po de projeto de estruturas leves. Ela, quando considerada, pr£ porciona um melhor aproveitamento na capacidade de carga do ele mento e conseqUente economia de material.

Paralelamente, o efeito da flambagem local ê de fun­damental importância em projetos que envolvem membros estrutu­rais de paredes delgadas, uma vez que seu efeito ê refletido através de uma redução nas propriedades seccionais plenas. Esta redução se torna mais aparente quando os elementos componentes do perfil possuem suas respectivas razões largura-espessura ele vadas e, notadamente, quando sujeitos a níveis elevados de ten­são .

Evidentemente, o conhecimento das propriedades sec­cionais considerando a seção plena e a efetiva ( reduzida }, ê imprescindível a todo e qualquer projeto de estruturas que en­volva tais membros.

Com o proposito de se obter as propriedades seccio­nais plenas e efetivas, desenvolve-se um procedimento numérico computacional e programa codificado em FORTRAN. Os perfis são obtidos por conformação a frio a partir de chapas finas de aço ou de outros materiais.

0 processo numérico, aqui elaborado, baseia-se nas especificações para projeto de membros estruturais leves, NB-143 (Norma Brasileira - ABNT) [17] e AISI (American Iron and Steel Institute) [4], e tem como suporte o programa, com^^utacional SE- DEL [22]. A hipótese fundamental para a elaboração deste proce£ so, ê que os elementos de parede das seções transversais possam ser discretizados em tantos elementos quantos necessários, de tal modo que a seção venha a ser modelada por um conjunto de nos interligados por elementos retilíneos e/ou circulares.

No apêndice B ê apresentado um manual do usuário. Ne­le encontra-se as informações necessárias para a utilização do programa PEPAD. Estas consistem de procedimentos básicos referen­tes a modelagem da seção transversal, bem como da entrada de da dos .

Para verificar a validade da formulação desenvolvida e apresentada no capítulo 3, são determinadas as propriedades ple nas e efetivas para uma variedade de seções transversais de uso corrente. Para efeito comparativo, õs resultados são apresentados no capítulo 4, em tabelas, simultaneamente com resultados conheci^ dos.

No apêndice E são apresentadas tabelas contendo pro­priedades plenas e efetivas de perfis estruturais, de aço, confor mados a frio e, amplamente utilizados em estruturas. As dimensões dos perfis estão em acordo com a Norma Brasileira Registrada - NBR 6355 [24'

CAPITULO 2

REVISÃO bibliográfica

2.1 - INTRODUÇÃO

0 problema da estabilidade de placas delgadas sob com pressão tem sido extremamente investigado por muitos pesquisado­res. Historicamente, a primeira solução deste problema data de 1891, quando Bryan [9] apresentou a análise para uma placa retan­gular simplesmente apoiada em todas as bordas, e sujeita a uma carga compressiva uniformemente distribuída no plano de referên­cia, atuando em dois lados opostos. A solução apresentada provêm da equação diferencial de equilíbrio estático da placa, a qual r£ laciona as forças de contorno com o deslocamento normal da placa.

A contribuição de Timoshenko [2] neste campo foi va­liosa, uma vez que ele obteve resultados simples para a maioria dos casos que são importantes na engenharia. Outra análise deste problema ê vista por Marguerre [15] para varias condições de car­regamento e apoio das placas.

Em estruturas aeronáuticas, entretanto, chapas delga­das são freqüentemente utilizadas alem do limite de estabilidade, e a carga que pode ser suportada pela estrutura ê determinada pe­lo limite de resistência ã compressão. A resistência apresentada por esses elementos para valores de tensão acima da tensão críti­ca, ou tensão de Bryan, foi estudada inicialmente por Von Karman 3] em 1928. Contudo, a complexidade das equações governantes le-

vou-o a introduzir a hipótese de largura efetiva.

Os primeiros testes com finalidade de determinar-se experimentalmente o limite de resistência de placas delgadas, fo­ram realizados por Shuman e Back [11]. Eles observaram que, para placas largas e delgadas, o limite de resistência chegava a ser cerca de trinta vezes maior que a carga crítica de Bryan, e que para placas espessas e estreitas, a carga máxima não excedia a de Bryan. Alem disso, foi observado que para placas largas e delga­

das, a carga máxima torna-se praticamente independente da largura da placa.

A questão da resistência máxima de uma placa delgada, particularmente de placas com reforços na direção da carga, foi nesta êpoca de vital importância para a engenharia aeronáutica. Métodos empíricos [l2j foram, então, propostos, até que Von Kar- man [3j desenvolveu uma formula semi-empírica para a determinação da capacidade plena de uma placa simplesmente apoiada. Sua formu­lação é simplificativa e está baseada na hipótese de que na fa­lha, duas tiras adjacentes as bordas enrijecidas estão sujeitas a tensões de compressão uniformemente distribuídas e iguais a ten­são de escoamento do material; a região central da placa mais energicamente distorcida, pode ser considerada livre de tensão.

Adicionalmente, numerosos testes foram realizados e espressões desenvolvidas para a engenharia aeronáutica, mas que não cobriam outras faixas de interesse. De principal interesse pa ra a engenharia naval, foram os extensivos testes conduzidos atra vés de U. S. Experimental Model Basin, com a finalidade de se de­terminar o limite de resistência de placas retangulares de aço sob compressão. Os testes apresentados na referência [13] foram realizados sob vários aspectos e os resultados criteriosamente a- nalisados. Convém ressaltar que numa série destes testes foi man­tida constante a espessura de 2,77mm, e a largura variou entre 127 e 762mm, inclusive. Já em outro grupo era a espessura a va­riar, num.a faixa entre 1,27 e 2,77mm, inclusive. Os resultados fo ram incisivos para a utilização da formulação proposta por Von Karman [3] uma vez que ela era compatível com os ensaios experi­mentais, mais explicitamente para placas cuja largura excedia 254mm. Para razões largura-espessura maiores que 100, a capacida­de máxima de carga era pouco afetada pela largura da placa. As placas com largura em torno de 762mm apresentam uma resistência insignificante, com relação ãs de 254mm de largura.

0 caminho experimental era evidente, tendo em vista a complexidade matemática da equação diferencial de equilíbrio para placas no campo de grandes deflexões. Esta teoria foi desenvolvi­da por Kirchhoff [18]. A forma final das equações foi dada por Von Karman. A partir daí ficou conhecida como equação diferencial

de Von Karman. Algumas soluções aproximadas desta equação para os casos mais simples, isto ê, placas retangulares e circulares uni­formemente comprimidas, podem ser encontradas em [191.

Obviamente, a grande variedade de formas existentes e soluções altamente complicadas, levaram Winter e outros a busca­rem relações simples para o problema. Uma nova verificação da hi­pótese apresentada em [3], foi levada a efeito por Sechler [8] e Winter [l,6,7]. A diferença entre os testes realizados por Winter e os apresentados em [8,11], ê que os ültimos trabalharam com pia cas isoladas, enquanto que o primeiro, com flanges, como parte in tegrante de um elemento estrutural, como por exemplo os flanges de uma viga I. Por outro lado, Winter não se limitou a tensões da ordem de escoamento, mas considerou também tensões na faixa elás­tica. A expressão proposta em [s] foi mais uma vez confirmada, mas um coeficiente variável função da geometria e integridade do carregamento pareceu em melhor concordância com os resultados ex­perimentais. A expressão proposta em [3] superestima o valor da largura efetiva para pequenos e médios valores da razão largura- espessura. Ficou, portanto, desenvolvida uma expressão simples e coerente com as evidências experimentais, para a determinação da largura efetiva.

Por outro lado, para placas com uma borda livre para­lela ã direção da tensão, e outra oposta simplesmente apoiada, in teressava de perto o seu comportamento. Uma vez observado [1] que esses elementos diferiam frontalmente dos enrijecidos em ambas as bordas paralelas à direção da tensão, expressões foram desenvolv^ das para o projeto destes elementos. Efetivamente, o projeto des­tes elementos se baseia em tensões admissíveis reduzidas em fun­ção da relação largura-espessura do elemento, conforme é visto nas especificações de projeto [4,17] .

Como resultado do comportamento de p5s-flambagem as propriedades geométricas da seção mudam com o aumento de carga. A ârea da seção transversal é então reduzida e na forma de satisfa­zer a condição de que a força através da seção transversal é, ze­ro, o eixo neutro muda correspondentemente de posição. Em conse- qliência, momentos de inércia, modulos de resistência e outras pro priedades ligadas direta ou indiretamente ã área, tem seus valo­

res plenos reduzidos.Pretende-se, então, desenvolver um processo numérico

computacional e programa em FORTRAN, para calcular estas proprie­dades para os diversos tipos de seçÕes. Uma visão sumária deste procedimento ê apresentada em [23].

Inúmeros são os programas computacionais encontrados na literatura para determinação de propriedades seccionais ple­nas. Por exemplo, o apresentado por Kollbrunner e Basler [20] ba­seado em diferenças finitas, porém limitado a seções abertas, um programa mais geral que o anterior, denominado PROSEC [2l], deter mina as propriedades requeridas na flexão, torção uniforme ou não uniforme de seções de paredes delgadas. Este programa, por sua vez, é limitado ãs seções abertas constituídas por elementos reti líneos em que no mãximo, concorrem quatro elementos a um único n5. Aplica-se também, para seções com apenas uma cavidade lar.

Outro programa mais abrangente é o SEDEL [22_ ele determina-se as mesmas propriedades de [2l] . Contudo, programa supera limitações comuns ã maioria dos trabalhos citados anteriormente e encontrados na literatura. Dentre estas limita­ções pode-se citar, entre outras, a forma da seção transversal, o numero de ramificações a partir de um único nõ e o número de cav^ dades tubulares.

Perfis de paredes delgadas, quando sob ação de forças compressivas, devida a flexão ou compressão axial, podem vir a so frer uma redução nas suas propriedades seccionais plenas. Neste caso, a redução ê reflexo da flambagem local verificada em al­guns elementos que constituem o membro estrutural.

Apesar da importância de se conhecer as propriedades efetivas, nenhum dos processos mencionados considera a flambagem local. Este é, pois, o objetivo desta dissertação.

0 programa que ora se desenvolve tem por base o pro­grama SEDEL [22J , devido a sua generalidade e, ainda, as recomen­dações das normas para o projeto de membros estruturais leves, AISI r 41 e NB-143 [171 .

tubu-

Comeste

2.2 - ESTABILIDADE DE PLACAS DELGADAS

2.2.1 - INTRODUÇÃO

Flanges, almas e outros elementos planos de membros estruturais apresentam boa resistência quando sob tração . Con­trariamente, quando sujeitos a cargas de compressão além de um valor determinado (crítico), diminuem em muito sua resistência, e apresentam uma configuração ondulada caracterizando o que se denomina de flambagem local.

As placas possuem a propriedade, talvez única den­tre os componentes estruturais, de suportarem cargas bem maio­res que a carga inicial de flambagem local, sem no entanto afe­tar o desempenho do componente estrutural.

As investigações sobre a estabilidade de placas del gadas, sujeitas a tensões resultantes de membrana em seu plano de referência, figura 2.1, estão baseadas na seguinte questão; considerando que a distribuição de tensões resultantes de mem­brana na configuração de equilíbrio de flambagem incipiente são mantidas invariáveis, existira uma configuração de equilíbrio alternativa admitindo flexão, que satisfaça as equações de equilíbrio, isto ê:

3N 3N— ^ == 0 (2.1)8x 9y

D + 2..+ Í > ) + (N 2N ^ + N = 09x* 8x’ 3y“ 3y'

onde ;D é a rigidez flexionai da placa definida por

. (2.3)

Et^12(l-v2)

(2.4)

E - Modulo de elasticidade.V - Coeficiente de Poisson.w - Deflexão de um ponto na superfície média da placa.

Figura 2.1 - Placa retangular plana carregada no plano médio.

A equação (2.3) relaciona as forças de contorno com o deslocamento normal da placa. Desta forma, pode-se determinar o menor valor da carga que permite a existência de duas configu rações, isto é, uma plana e uma flambada. Assume-se que as ten­sões N e N nas equações (2.1), (2.2) e (2.3) são compressi-

X y ^vas, conforme e ilustrado na figura 2.1.

Nos itens que se seguem, são apresentados duas apli cações da equação diferencial de equilíbrio, equação (2.3), in­timamente ligada ao comportamento de flanges de membros estrutu rais de paredes delgadas, sujeitos a carregamento compressivo.

2.2.2 - FLAMBAGEM DE UMA PLACA RETANGULAR SIMPLESMENTE APOIADA

- CASO I

Considerar a placa retangular, simplesmente apoiada em todos os lados e sujeita a um carregamento compressivo, uni­formemente distribuído ao longo dos lados x=0 e x=a, atuando no seu plano de referência conforme ê visto através da figura 2.2.

Figura 2.2 - Placa retangular uniformemente comprimida.

Então, para a condição de carregamento da placa, f^ gura 2.2, resulta:

N = N = 0y xy (2.5)

Considerar que a tensão resultante N seja incrementada gradati vãmente até a configuração de flambagem incipiente. Neste esta­gio, denota-se N por N , e a equação diferencial governanteX X(2.3), tendo em vista que N = N , torna-se:

X X

D ( (2 .6 )

10

A configuração da placa pode ser expressa pela se­guinte função deslocamento:

00 00

(2.7)

que alem de satisfazer a equação diferencial (2.6), satisfaz também as condições de contorno para a placa simplesmente apoia da, isto é:

Em x = 0 w(0 ,y) =0 e M^(0,y)=0 (2.8)

y = 0 w ( X , 0) = 0 e My(x,0)=0 (2.9)

x=a w(a,y)=0 e \ ( a ,y) =0 (2.10)

y=b w(x,b)=0 e My(x,b)=0 (2.11)

Substituindo a função deslocamento, w(x,y), na equação diferen­cial (2.6) resulta;

00 00

D I A m=l n=l mn (IBIL)' + 2 ( ^ ) " (í^)' + (íí^)" -

a a b b D a

miT nir „X sen — X sen — y = 0a b

(2.12)

que para uma solução nao trivial, requer

(ini) + 2 (--) (— ) + (— ) ** - — (— ) a a b b D a

= 0 (2.13)

de onde se obtém

11

7T D * '^íí) a m b

(2.14)

ou, tendo em vista a relação (2.4), resulta

N12(l-v2)b- a

, 2

(m b

= K- TT Et12(l-v")b'

(2.15)

onde K, conhecido como coeficiente de flambagem, depende das condições de contorno, da relação de aspecto a/b, e dos inte^ ros m e n. A equação (2.15), através do coeficiente K, expressa a relação entre a carga crítica de flambagem para as varias po^ sibilidades dos inteiros m e n, conforme ê visto através da fi­gura 2.3.

Figura 2.3 - Form.a da superfície defletida da placa para os termos a^^ e a^2 função-de^locamento.

A equação (2.15) é satisfeita para um numero infin^ to de valores de N . Contudo, interessa apenas o menor destes

Xvalores para o qual a forma defletida existe. Evidentemente que o menor valor dos inteiros m e n fornece o menor valor de N ,X

12

que ê de interesse prático. Por simples inspeção na equação (2.15) , ê aparente que o valor de n que produz o menor valor de N ê 1. Uma análise para o inteiro m ê dada através da figura 2.5. Por conseguinte, o coeficiente K, na equação (2.15), fica

K = m(í ) *a m b

(2.16)

Assim, a equação (2.15), com K dado por (2.16), re­presenta a carga crítica mínima de flambagem para a qual a pla­ca flamba em meia onda senoidal através da largura da placa, conforme é visto na figura 2.4.

<r,cr

Figura 2.4 - Flambagem local para o mínima.

Dividindo-se ambos os membros da relação (2.15) por t, obtém-se a tensão crítica de flambagem ou tensão de Bryan, portanto

NOcr = K12(l-v^)(b/t)

(2.17)

0 coeficiente de flambagem K indica a dependência da tensão crítica com a relação de aspecto. Na figura 2.5 estão representadas curvas dos valores de K para os diversos valores de m (m=l, 2, 3, ...) e n=l.

13

6 -

5 -

m=l im= 2 'nn=3 1^=4 ,m = 5 \m=6

Xt 1 1

Nx

\\

rx“ =Q-

y=0

l_» = o

y =b

\\

1 1 1Nx

I 1 I_____ L j ________I j_____ L 1________ I I________ LI 2 / e ’ 3 y iõ ' 4 5 l/ i ? 6

0 / b

Figura 2.5 - Coeficiente de flambagem para a tensão crítica mínima em função da relação de aspecto .

Observa-se, através da figura 2.5, que para cada nu mero de meias ondas senoidais na direção do carregamento, exis­te uma relação de aspecto a/b, para a qual K, e portanto a. assume um valor mínimo.

cr ’

Derivando-se a expressão (2.16) com respeito a rela ção de aspecto, o valor minimizante ê então determinado pela re lação

dK

d(^)0 = 2 a 1 a m(-) + -(-)

b m b _ b m_(2.18)

resultando — = m b

Assim, assume o valor mínimo para a relação deaspecto igual a um numero inteiro positivo, e o valor correspon

14

dente de K é 4. Observa-se também que K tende para o valor mínã mo mencionado, à medida que a relação de aspecto cresce e para­lelamente aumenta o número de meias ondas na direção do carrega mento. As relações a/b correspondentes aos pontos de transição, em que a configuração passa de m para m+1 ondas, ê obtida consi derando-se que K(m)=K(m+l). Então, utilizando a relação (2.16), pode-se escrever:

(m+1)^ + — ± i a (m+1) b

(2.19)

Desta equação resulta

ab

m(m+l)1 / 2

( 2 . 2 0 )

Substituindo m por 1, 2, 3, 4, 5 obtém-se, para a/b, respectiva mente, os valores , /ü” , / U , /lU , /JU conforme ê indica­do na figura 2.5. Para placas longas, m é um numero grande e usando a relação (2.20) pode-se escrever:

a ~— = m (2.21)

isto é, uma placa muito longa flamba em meias ondas longitudi­nais de comprimentos aproximadamente iguais a largura da placa. Assim, a placa fica aproximadamente subdividida em quadrados.

Dentro da faixa elástica, a configuração flambada existe para um valor bem definido dado pela equação (2.17). Es­te ê o valor da tensão crítica mínima de flambagem. Acima do li mite de proporcionalidade, a expressão (2.17) fornece valores exagerados para Para a sua utilização nesta faixa é neces­sário substituirE por E^, dado pela tangente ã curva do diagra­ma compressivo tensão-deformação [2,10].

15

- CASO II

Considerar a placa carregada em seu plano de refe­rência conforme ê visto na figura 2.6, onde os lados x=0, x=a e y=0 são simplesmente apoiados, enquanto o lado y=b ê livre.

Pigura 2.6 - Placa simplesmente apoiada nos lados x=0, x=a e y=0 e livre no lado y=b.

Para este caso, sob a ação da carga compressiva, a placa flamba em meias ondas senoidais na direção do carrega­mento 12,10,14], e a função deslocamento ê dada pela expressão

w(x,y) = f(y) I sen — x m=l a

C2.22)

que satisfaz automaticamente as condiçoes de contorno.

Em x=0 w(0,y)=0 e M (0,y)=0X

x=a w(a,y)=0 e M (a,y)=0X

(2.23)

(2.24)

16

Substituindo (2.22) na equação diferencial de equilíbrio (2.6), resulta na seguinte equação diferencial ordinária;

d ‘f(y) _ 2 (ÍM) d^f(y) dy** a dy^

2 N (BE) _

a D af(y) = 0 (2.25)

cuja solução ê

f(y) = cosh (ay) + senh (ay) + cos (3y) + sen (By)

... (2.26)

onde

a =L a a D

w-

j

6 =1 /2

(2.27)

Levando a equação (2.26) na relação (2.22) obtêm-se

w(x,y) = cosh (ay) + senh (ay) + cos (3y)

sen (By) sen — X (2.28)

Para as faces y=0 e y=b pode-se escrever as seguintes condições de contorno

17

Em y = 0 w(x,0)=0 e M ^ ( x , 0 ) = 0 (2.29)

y = b M^(x,b) = 0 e V^(x,b) = 0 (2.30)

As condições de contorno dadas em (2,29), juntamente com a equa­ção (2.28) fornecem

(2.31)

e a equação (2.28) reduz-se a

w(x,y) = C2 senh (ay) + sen (3y) sen íHIL x (2.32) a

Das condições de contorno dadas em (2.30) vem:

a" - v(— ) senh (ab) - 3" + v(^^)" sen (3b) = 0a a

(2.33)

C^a « 2 _ (2-v)(2í^) a

cosh (ab) - 32 + (2-v)(2^) a

X COS (6b) = 0 (2.34)

Para uma solução não trivial das equações (2.33) e (2.34) é requerido que seu determinante seja nulo, resultando na equação transcendental

3(a - V-----) tgh (ab) - a(e^ + t(?h (3b) = 0a'a

(2.35)

Usando as relações dadas em (2.27), em conjunto com a equa­ção (2.35), determina-se o valor mínimo de N , denotado por N ,

X ^ Xpara cada m. Os cálculos mostram que o menor valor de N ê obti

Xdo quando m=l. Portanto, a placa flamba em meia onda na direção do carregamento.

Timoshenko [2] apresenta, para placas longas, a se­guinte expressão empírica para o coeficiente de flambagem:

K = 0,456 + (-)^ (2.36)

que traçado em função da relação de aspecto fornece da figura 2.7.

o grafico

0 gráfico da figura 2.7 revela que uma placa com uma borda livre paralela ao carregamento e com as outras sim­plesmente apoiadas, flamba em meia onda senoidal independente­mente da relação de aspecto a/b.

0,456

a / b

Figura 2.7 - Coeficiente de flambagem para a tensão crítica mínima em função da relação de aspecto.

19

2.3 - RESISTÊNCIA PÕS-FLAMBAGEM

A teoria clássica de pequena deflexão [2,9,10,19" estabelece que uma placa retangular, sujeita a tensões resultan tes de membrana compressivas ou cisalhantes, flamba para uma tensão dada pela equação (2.17), onde o coeficiente de flamba- gem K depende das condições de contorno e da relação de aspecto a/b. Esta equação é inteiramente anãloga ã equação de Euler pa­ra flambagem de coluna, dada por

onde 0 coeficiente C depende do carregamento e das condições de fixação das extremidades.

Contudo, a analogia entre a flambagem de colunas e placas acaba aqui. Experiências com placas comprimidas revela­ram uma diferença fundamental entre o significado pratico da tensão crítica de Euler para colunas, equação (2.37), e a ten­são de Bryan para placas dada pela equação (2.17). Colunas lon­gas falham para a tensão de Euler, ou um valor levemente abaixo dela. Entretanto, para uma placa enrijecida ao longo das bordas paralelas ã direção da tensão, aparece uma leve e gradual ondu­lação quando o valor da tensão dada pela equação (2.17) ê alcan çado, conforme ê visto através da figura 2.8. Isto, absolutamen te, não implica a falha da placa. Ela continua a suportar aumen to de carga, algumas vezes um míáltiplo grande [ll] daquela que causou o aparecimento da primeira onda, escassamente perceptí­vel, notadamente quando a razão largura-espessura (b/t) da pla­ca é grande. Esta capacidade de suportar cargas adicionais apos a flambagem local ê denominada de resistência põs-flambagem.

0 comportamento de placas planas na faixa da pos- flambagem ê explicado através do modelo de grade, uma vez que é difícil visualizar o desempenho de um elemento bidimensional. A placa é substituída, então, pelo modelo que é mostrado na figu­ra 2.9. Este consiste de uma grade onde o material da placa é

20

discretizado em barras longitudinais e transversais. A placa es ta uniformemente comprimida com uma carga P, portanto' cada bar­ra longitudinal representa uma coluna carregada com uma carga P / 5 •

J\ Flombogem

local

Figura 2.8 - Elemento capaz de suportar carga adicional.

Figura 2.9 - Modelo de rrade para placas na faixa de pos-flambagem.

21

Com o aumento gradual da carga, a tensão de compressão em cada uma das colunas ou barras alcança a tensão crítica de flambagem dada pela equação (2.37) e, portanto, todas as cinco colunas flambam simultaneamente. Porém, tal fato não ocorre no modelo de grade da placa. As barras transversais restringem as defle- xões das barras longitudinais. Em conseqüência, não ocorre a £a lha das barras longitudinais e elas defletem em quantidades di­ferentes. 0 efeito das barras transversais é mais efetivo para aquelas colunas (porções da placa) próximas ãs bordas enrijeci­das. Na região central da placa, as deflexões são bem acentua­das. Por essa razão ê que a placa ê capaz de suportar cargas adicionais ap5s ter alcançado a carga crítica de flambagem lo­cal .

A placa não pode suportar cargas adicionais, e fa­lha apenas quando a parte mais solicitada (região adjacente ãs bordas) alcança o limite de resistência do material,

0 modelo da figura 2.9 representa eficazmente o comportamento de elementos planos enrijecidos ao longo das bor­das longitudinais (paralelas ã direção da tensão), como por exemplo, o flange da figura 2.10.

Figura 2.10 - Plambagem do flange em compressão de uma viga de seção cartola.

22

2.4 - LARGURA EFETIVA

2.4.1 - ELEMENTOS ENRIJECIDOS EM AMBAS AS BORDAS PARALELAS A DIREÇÃO DA TENSAO

0 conceito de largura efetiva para o projeto de pia cas em compressão foi introduzido por Von Karman [3] , em 1932. A medida em que a tensão compressiva ê gradualmente aumentada, além da tensão crítica de Bryan, a distribuição uniforme de ten são dá lugar a uma distribuição não uniforme, conforme é visto através da figura 2.11.

Figura 2.11 - Distribuição de tensão e largura efe­tiva no campo da p5s-flambagem.

A distribuição não uniforme de tensão através dalargura da placa ê substituída por uma outra, equivalente, queê uniforme sobre uma porção da placa denominada largura efetivab , de intensidade a - . k figura 2.11 mostra que a largura efe 0 mâ X —

tiva diminui com o aumento da tensão na borda, o - •maxAssim, com apenas duas tiras efetivas de largura

b /2 cada, a placa de largura geométrica b, é equivalente a uma placa estreita totalmente efetiva, de largura equivalente b^.

A expressão analítica derivada por Von Karman para a largura efetiva é:

ou

bg = l , 9 t / E 7 ^ (2.38)

Com este conceito, a parte central da placa, em compressão, é imaginada como removida e a tensão uniforme age através da lar­gura efetiva b .e

Sechler [8], através de experimentos, tentou verifi car o coeficiente 1,9 da equação (2.38) e concluiu que em vez de fixar o valor de 1,9 dever-se-ia considerar um coeficiente, que de acordo com seus testes seria função de J E/a^ (t/b) .

A figura 2.12 apresenta os resultados dos experimen tos realizados por Sechler, onde o coeficiente C é traçado em função do parâmetro (t/b). Também representa-se nesta figura a equação (2.38).

Vê-se que a equação (2.38) super-estima o valor da largura efetiva pois, quase em sua totalidade, os pontos experi mentais estão abaixo da reta dada pela equação (2.38). Somente para valores muito pequenos de / E/a ' (t/b) , o que correspondeV ca placas extremamente largas e delgadas, C torna-se próximo de 1,9.

o

2,2

1,8Ü J

\ I .4

1,0

X X( 2 . 3 8 )

XX

X ^X

Y

............ X "

XX F a l h a

X X X X

XX

x^

XX

X X

0 , 1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , 5 0 , 6 0 , 7 0 , 8

t/b

Figura 2.12 - Determinação experimental de largura efetiva .

Winter [l], imbuído do mesmo objetivo que Sechler, realizou uma extensiva série de experiências. Como resultado, mais uma vez, a hipótese de Von Karman se confirmara. Alem dis­so, Winter não se limitou apenas a tensões da ordem da tensão de escoamento, como Karman e Sechler, mas considerou tensões na faixa elástica. A figura 2.13 apresenta os resultados da serie A, onde a razão largura espessura variou entre 64 e 170, inclu­sive .

2,2

1,8><j '»1.4

1,0

X

X

• o

•

® ' F a i X

X F a I h

a E l ó s l

0

[■ i c a

X ®

X

K

X ^

X

9--... 0

S E R I E1

A

1

® XX %

e o•

0 0 ,1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , 5 0 , 6 ^ _______ 0 , 7 0 , 8

] / Í 7 Õ ^ t / b

Figura 2.13 - Determinaçao experimental da largura efet iva.

25

Os experimentos realizados por Sechler foram feitos com placas individuais e para tensões da ordem de escoamento. Winter, por sua vez, trabalhou com flanges, representando par­tes de componentes estruturais. Contudo, os resultados são seme lhantes. Alem disso, os pontos na figura 2.13 obtidos para ten­sões baixas, estão localizados de forma geral como aqueles obt_i dos para tensõ(;s da ordem da tensão de escoamento. Assim, a equação (2.39) e usada indiferentemente para ambos os tipos de tensão, e portanto resulta

bg = Ct (2.40)

na qual a ê a tensão nominal de compressão que atua no flange, limitada ao valor da tensão de escoamento.

Uma vez determinada a relação entre o coeficiente C e 0 parâmetro (t/b) , ficou estabelecida experimentalmentea expressão para a largura efetiva b . Representando os valoresOmédios de ambos os testes, figura 2.12, 2.13, resulta na seguin te equação para C:

C = 1,9 - 1,09 (t/b) (2.41)

e que substituída em (2.40) resulta na equação de largura equi­valente, comumente denominada de efetiva.

1 - 0,5 74(-)o

(2.42)

Uma representação grafica da equação (2.42), em ter mos dos parâmetros adimensionais b/t e b /b, ê mostrada através da figura 2.14, para o valor particular de E/a = 1000.

26

Figura 2.14 - Razão b^/b em função de b/t.

Observa-se que para médios e altos valores da razão b/t, a relação b /b diminui com o aumento de b/t. Entretanto, o inverso ocorre para pequenos valores de b/t, o que é fisicamen­te impossível. Por conseguinte, a equação (2.42) dâ resultados incorretos para pequenos valores da relação largura-espessura. Portanto, seu campo de aplicação esta restrito ãquela faixa de b/t correspondente aos ensaios. Nestes ensaios, cujos resulta­dos estão representados na figura 2.13, a relação largura-espe£ sura b/t variou de 64 ate 170 [l].

Para investigar o comportamento de flanges em com­pressão, para pequenos valores de b/t, foi idealizado um novo conjunto de experimentos intitulado serie B, onde b/t variou desde 14,3 ate 56. Os resultados dos testes (figura 2.15) estão sumariados na referência [l], e são aqui reproduzidos.

27

b/t TIPO(a) Series B e C

VACol. 5 (b) Series B e C

LARGIJRA. EFET. Col. 4 MÜMbNiü Ivi.AXiMJa ( ^ ) TESTE grAfico e M-1 /M-t M2/Mt

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)14,3 I-l 26300 14,It 14,3t 1,01 35700 0,93 0,9816,3 1-2 27200 16,5t 16,3t 0,99 33100 0,94 0,9416,4 1-3 26600 16,6t 16,4t 0,99 33100 0,93 0,9319,2 1-4 27600 19,2t 19,2t 1,00 35100 0,90 0,9022,0 1-5 27200 21,8t 22,9t 1,05 33100 0,95 0,9523,6 1-6 26300 23,4t 23,6t 1,01 36200 0,95 0,9524,0 1-7 29200 22,6t 24, Ot 1,06 35100 0,95 0,9528,9 1-8 27400 27,4t 27,Ot 0,98 30200 0,98 0,9532,0 1-9 27200 31,7t 29,Ot 0,91 36200 1,06 0,9033,5 I-14a ... • . « • • • 37900 1,07 1,0036,0 1-15 ... o • . . . . 36400 0,84 0,7638,3 I-IO 25600 37,2t 32,5t 0,87 30200 1,02 0,9242,6 I-ll 27400 39,6t 35, Ot 0,88 37300 1,14 1,0245,0 1-12 23500 40,8t 37,Ot 0,90 30300 1,04 0,9249,5 I-16a .. . 37900 1,20 1,0449,9 1-17 ... • • « • • • 36400 0,98 0,8451,6 I-18a . .. • • • • • • 32200 1,08 0,9556,0 1-13 28000 48,8t 41,5t 0,85 37300 1,17 0,9777,7 I~19a . .. a • • • • • 37900 1,55 1,1286,6 I-20a ... • • t • * • 32200 1,47 1,10

Figura 2.15 - Resultados dos testes com viga I para pequenos valores de b/t. Series B e C (a - resultado mêdio de três ensaios)

Na coluna 4 da tabela da figura 2.15 ê visto que flanges com razão largura-espessura na faixa de 14,3 ate 30, são praticamente efetivos, isto é, b =b. Para valores crescen- tes de b/t, a partir de 30, b^ torna-se progressivamente menor que b. Consequentemente, ê razoável obter-se uma curva de tran­sição, linha pontilhada na figura 2.16, a partir do ponto de coordenadas (b/t,b /b) = (25,1), e tangente ã curva representa da pela equação (2.42). Como nesta faixa de b/t, a largura efe­tiva ê igual ou muito pi-'5xima da largura geométrica b, parece

28

razoável [ij representar tal relaçao por uma reta.Com esta proposição a abscissa do ponto de tangên-

cia T, figura 2.16, é determinada pela expressão

A ,1,0906- +

a(1,0906-)^ - 27,265- (1,9 /- - 25)

1,9 /- - 25a

e a correspondente equação da reta ê

(2.43)

a t(2.44)

A obtenção das equações (2.43) e (2.44) é mostrada no apêndice C.

Traçando os valores de b em termos de b/t, obtêm- -se a curva mostrada na figura 2,16, a qual ê constituída de três segmentos denotados por AB, BT e TS.

Assim, utilizando o grafico da figura 2.16, pode-se obter diretamente a largura efetiva para um dado valor da rela­ção b/t. Uma outra forma seria utilizar diretamente as equações correspondentes a cada trecho da curva na figura 2.16, ou seja,

b = b e para (2.45)

1,0906 E^b

■ (-h t

- 25) + 25a t

para 25 < - í: (-)

(2.46)

29

o1,0 - 0,574(^)

b opara ^ > (t)i

t t'(2.47)

onde (—), é dado pela relação (2.43) t

50 100 150 200 250 b/t

Figura 2.16 - Determinação da largura efetiva.

Mais tarde ê apresentado pelo proprio Winter |6 uma pequena correção para o coeficiente C, dado pela equação (2.41). Desta proposição, resulta para C a expressão

C = 1,9 - 0,9025 /Ê/o (2.48)

e, conseqüentemente, para a largura efetiva, a expressão

be - l,9t/i-o

1,0 - 0,475 (-)b o

(2.49)

30

Uma representação da equação (2.49), em_termos dos parâmetros adimensionais b/t e b /b, ê mostrada através da figu ra 2.17, para o valor particular de E/q = 1000.

b/t

Figura 2.17 - Razão b /b em função de b/t.tí

Vê-se que fica perfeitamente definido um valor b/t, que ê função da tensão atuante, abaixo do qual o elemento ê to­talmente efetivo, isto é, a largura efetiva ê igual ã largura geométrica. Acima deste valor particular, a largura efetiva tor na-se progressivamente menor que a largura geométrica, e tanto menor quanto maior for b/t. Este valor particular de b/t ê denominado de (—)lim’

Para se determinar este valor limite de b/t, basta substituir, na relação (2.49), b^ por b e resolver para b. As­sim, resulta:

31

= 0 , 9 5 / ^ (2.50)

Desta forma a largura equivalente fica efetivamente determinada em toda a faixa ütil de b/t apenas por duas equa­ções

para b .b,1 im (2.51)

l,9ta

1,0 - o,475 (^) para lim (2.52)

Estas expressões são utilizadas nas especificações de projeto estrutural de membros leves AISI e NB-143, edições 1961 e 1967, respectivamente. Nesta ultima em unidades do Siste ma Internacional de Unidades.

Para fins práticos, traça-se b em função b/t, quepara o caso particular de E=2,l xlO^ MPa e para os níveis detensão 60, 100, 140 e 210 em MPa, resulta nas curvas A, B, C e D, conforme esta indicado na figura 2.18.

Figura 2.18 - Largura efetiva para vários níveis de tensão em função da relação largura- espessura b/t.

32

Outras curvas podem ser obtidas, para outros ní­veis de tensão, de forma similar. Para outros materiais, utili­zar o correspondente modulo de elasticidade E.

2.4.2 - ELEMENTOS COM UMA BORDA ENRIJECIDA E OUTRA LIVRE, SEN­DO AMBAS PARALELAS À DIREÇAO DA TENSAO DE COMPRESSÃO

- Aspectos Gerais

Elementos deste tipo ocorrem em vigas I, por exem­plo, como mostradas através da figura 2.19.

Figura 2.19 - Formas de seção I onde as bordas ex­ternas dos flanges em compressão não são enrijecidas.

Quando em compressão, este tipo de elemento desen­volve ondas de flambagem de considerável magnitude, imediatamen te apos ter alcançado a tensão crítica de flambagem e mostra pouca resistência p5s-flambagem. Assim, seu comportamento dife­re totalmente daquele apresentado por um elemento em que ambas as bordas longitudinais são enrijecidas. Com o objetivo de in­vestigar este comportamento e traduzí-lo em termos de expres­sões simples, Winter [1] idealizou duas séries de testes D e E, com vigas de forma geral mostradas na figura 2.19, como o fize­

33

ra para elementos enrijecidos.Os resultados experimentais foram expressos, quali­

tativamente, nos seguintes termos;1 - Flanges com razão largura-espessura menor que 12 falham

por escoamento, com pouca ou nenhuma distorção perpendi­cular ao plano do flange;

2 - Flanges com razão largura-espessura na faixa de 12 até30, aproximadamente, permanecem indeformados e resisten­tes ate o momento em que ocorre a flambagem local dos flanges, de forma repentina;

3 - Flanges com razão largura-espessura maior que 30, apre­sentam boa resistência pos-flambagem e são capazes de su portarem cargas bem maiores que a carga crítica. Por ou­tro lado, o não enrijecimento da borda externa permite que o flange fique seriamente distorcido. Assim, nesta faixa, eles não podem ser vistos como estruturalmente aplicáveis, exceto se usados sob tensão extremamente baj xa .

- Tensão de Flambagem e Tensão Admissível Reduzida

As tensões críticas , para as quais a flambagem local foi inicialmente observada [l], foram computadas e traça­das em função da relação largura-espessura b/t, conforme é vis­to através da figura 2.20. A curva representando a formula

= 0 , 5 -------------- (2.53)12(1-v 2) (b/t) 2

é mostrada pela linha cheia. A equação (2,53) dã a tensão críti^ ca teérica de flambagem local para uma placa onde uma das bor­das paralelas ã direção da tensão de compressão é simplesmente apoiada e a outra livre. (Ver figura 2.6).

Observa-se na figura 2.20 que para valores de b/t a partir de 25, de forma crescente, a flambagem local ocorre pa

34

ra tensões iguais ou maiores que as tensões dadas pela equação(2.53), e que para valores de b/t menores que 25, as tensões deflambagem local são consideravelmente menores que as dadas pela mesma relação.

Para desenvolver um procedimento que determine osvalores da tensão crítica de flambagem na faixa onde b/t ê pe­queno, o valor médio das tensões de escoamento ê computado, ta­bela 4 de fl aqui reproduzida apenas para referência, figura2.21. Os elementos com a^=347 MPa foram excluídos para o valormédio, uma vez esta tensão ê alta comparada com as demais. 0 valor médio de o então obtido é 245 MPa. e

OCL

O

c«>

b/t

Figura 2.20 - Valores observados da tensão crítica plotados em função de b/t, séries D e E.

35

Na tabela da figura 2.21 apresentam-se os resulta­dos dos testes para os especímenes com b/t menor que 33,1, que por sua vez flambaram repentinamente. 0 limite de resistência0^, ê computado para colunas por cr^=P^/A e para vigas porOm^Mj^/s, onde A e S são, respectivamente, a área e o modulo deresistência da seção plena; o ê a tensão de flambagem obtidados testes, computada de forma similar a a ; e a ê a tensãom cccomputada das expressões (2.54)-e (2.55), conforme o valor de b/t.

Uma vez que flanges com b/t menor que 12 falham por escoamento, parece razoável assumir uma linha reta, iniciando em a para b/t = 12 e terminando com a dado pela relação (2.53), Clpara b/t=30, como representando aproximadamente os valores de ^ct° figura 2.20).

Então, pode-se escrever:

a = a cc e para (2.54)

O = o cc ero - o ' e cr

18(- - 12) para t

(2.55)

onde a ê dada pela equação (2.53).C X*

36

TIPO N9 b/tT E N S Ã O (psi)

^cc

^e am ^ct ' cc ^ct

I-S-2 3 9,3 35400 34600 33400 35400 1,06I-S-3 3 10,1 49400 35800 35800 49400 1,38I-B-3 3 10,1 37300 30200 29600 37300 1,26I-B-4 3 17,5 36800 40300 30400 30200 0,99I-S-6 3 18,5 35400 31800 25600 28000 1,09I-S-7 3 19,0 34500 26100 22800 27000 1,18I-S-8 3 19,1 49400 38800 35400 36500 1,03I-B-5 2 20 , 3 37300 29400 23600 27000 1,14I-B-6 3 20,8 34000 29200 26100 24700 0,95I-B-7 3 21,6 32600 28300 23400, 23100 0 ,99I-S-9 3 21,6 34000 25500 23900 23700 0,99I-B-8 3 25,2 38700 30000 21200 21200 1 ,00I-S-10 3 27,1 34500 22900 16700 18000 1 ,08I-S-11 3 27,8 34000 23900 15600 17200 1,10I-S-12 3 27,8 34500 29200 23700 17300 0,73I-S-13 3 2 8,3 49400 29200 17600 18200 1,03I-B-9 1 28,9 29200 26200 19700 15900 0,18I-B-10 3 29,9 32600 24600 15200 15200 1,00I-B-11 3 30,6 34900 25700 17400 14500 0,83I-B-12 2 31,2 37300 28300 14200 13800 0,97I-B-14 3 33,1 34000 23000 15200 12300 0,81

Figura 2.21 - Resultados dos testes com vigas I Series D e ETabela 4 da referência Í1

37

- Largura Efetiva

Conforme ê relatado em [ij , Miller sob orientação de Winter, computou as larguras efetivas para os flanges das v^ gas referenciadas nas séries D e E. Por conseguinte, foi apre­sentada uma expressão similar à equação (2.49) para a largura efetiva b , desses flanges. Ela ê:

1,0 - 0,333(-) b

(2.56)

valida para y E/a' (t/b) em torno de 1,55, e que representa com boa precisão.os valores médios determinados experimentalmente para b . Assim, no dimensionamento de flanges não enrijecidos deve-se tomar b e t, tais que

b - 1 t 1,55

/ e77 (2.57)

Haja visto a considerável dispersão nos resultados experimentais, uma expressão mais conservativa foi desenvolvida, e que com poucas exceções, parece uma boa aproximação para os pequenos valores de b obtidos experimentalmente. A expressão é

be = 0,8t/i^o

1 - 0,20 2(-) /- (2.58)

valida para y4:/a (t/b) em torno de 1,75.Portanto, como no caso anterior, deve-se tomar b e

t, tais que

b ~ 1 t 1,75

/ i 7 7 (2.59)

38

É mostrado em [l] que quando as condições (2.57) e (2.59) são observadas, a redução media máxima da largura do flange é somente 6% e 161, respectivamente. Este fato revela que os cálculos baseados na largura plena do flange são tão pre cisos quanto podem ser esperados, considerando que:

1 - 0 grau de dispersão dos valores experimentais para as tensões de flambagem local torna a alta precisão decalculo ilusória;

2 - Uma redução na largura de 6% ou mesmo 161 resulta numa pequena redução nos valores significantes de A e S , poiso flange representa apenas uma fração muito pequena com respeito à seção transversal como um todo.

Pela discussão anterior, ê-se porque as especifica ções [4,17] de projeto de membros leves, com flanges não enrije cidos, utilizam as propriedades seccionais plenas juntamente com tensões admissíveis reduzidas. As expressões para o cálculo destas tensões são obtidas em conformidade com as curvas a, b, c e d apresentadas na figura 2.22.

1 0 20 25 30 40 50 b/t 60

Figura 2.22 - Tensões admissíveis reduzidas o , emC3-

função da razão largura espessura b/t.

39

Assim, na faixa em que b/t varia de 0 a 25, as orde nadas das linhas A e B são divididas por um coeficiente de segu rança. Em ambas as normas, ou seja, AISI e NB-143, o valor prescrito é 1,65. Desta forma resulta nas linhas a e b (ver fi­gura 2.22) e que são representadas pelas equações:

= (1,667a, - 0,404a^^) - ^(a, - ^ ^ ) ^ ; 10 < ^ < 2515 1,65 t . t

onde... (2.61)

a, = (2.62)

= 0,5 --- — ----- (2.63)12(l-v^)(25)

Para os valores de b/t na faixa de 25 a 60, são apresentadas duas curvas, ou seja, c e d (ver figura 2.22). A reta denotada por c ê dada pela equação:

- 1 25ca. 7r cr/60 cr/25'1 57,75 t 57,75

X (a irr\ - o /or) + ---- O /or ••• (2.64)'' cr/60 cr/25- cr/25 ^

onde e são dadas pela expressão (2.53) com b/tigual a 2 5 e 60, respectivamente, e a curva denotada por d, re­presenta as tensões de compressão admissíveis para cantoneiras em compressão axial, haja visto que nenhuma resistência p5s- flambagem ê verificada em tais membros. Assim, a tensão de com­

40

pressão admissível reduzida ê a própria tensão crítica teórica de flambagem local ou tensão de Bryan, equação (2.53), dividida pelo coeficiente de segurança 1,65, conforme esta indicado na figura 2.22. Desta forma resulta a expressão

= 0,303 -------------- ; 25 < - 60 (2.65)12(l-v")(b/t)^ t

As expressões correspondentes utilizadas nas especã^ ficações de projeto NB-143 [l7] e AISI [4] são:

1 - NB-143 (ed. 1967)

b) a = (1,667a, - 600) - — (a, - 900)- ; 10 < ^ < 2515 t t

... (2.67)

c.l) para cantoneiras em compressão axial

- 570.000 b .0,= ------- ; 25 < - g 60 (2.68)(b/t)2 t

c.2) para outras seções em flexão ou compressão e também para cantoneiras em flexão

a = 1400 - 20 (í-) ; 25 < - $ 60 (2.69)t t

onde a. ê expressa em kgf/cm^.C 3.

41

2 - AISI (ed. 1961)

b) a = (1,667a, - 8640) - — (a, - 12950)- ; 10 < ^ < 2515 ° t t

c.l) para cantoneiras em compressão axial

(2.71)

a = 1 -090‘000 _ 25 < - < 60 (2.72)(b/t) 2 ’ t

c.2) para outras seções em flexão ou compressão e também para cantoneiras em flexão

a = 20.000 - 282 (-) ; 25 < - <: 60 ( 2.73)t t

onde ê expressa em psi.

Em ambas as normas, b/t esta limitado ao valor 60.

2.5- MEMBROS EM COMPRESSÃO AXIAL

Como conseqüência da flambagem local em membros de parede delgada em compressão axial, hâ uma redução de sua resi£ tência. Esta perda de resistência ê considerada através de um fator de forma ou fator coluna Q.

A expressão para o calculo da tensão, para a qual a coluna carregada axialmente começa a flambar por deflexão la­teral, ê dada pela equação (2.37). Entretanto, esta equação é

42

efetivamente representada por outras duas, dependendo do valor do índice de esbeltez L/r. As equações são as que se seguem:

a) para pequenos e médios valores de L/r,

(2.74)

b) para grandes valores de L/r,

(2.75)

onde as tensões admissíveis são obtidas dividindo-se a , dadacracima, por um coeficiente de segurança. Em ambas as normas [4,17o valor prescrito para este coeficiente ê 1,95.

Com o objetivo de considerar o efeito da flambagem local em membros de paredes delgadas em compressão axial, o fa­tor de coluna Q ê introduzido apenas na equação (2.74). Segundo a referência [5], isto ê explicado através do seguinte fato:

"Na faixa de utilização da equação (2.75), isto ê, para grandes valores de índices de esbeltez, as colunas flambam para tensões tão baixas que nenhuma flambagem local ocorre".

0 fator de coluna Q ê definido [4,17] conforme a se ção seja constituída somente de elementos enrijecidos, apenas de elementos não enrijecidos (cantoneiras) ou de ambos os ele­mentos. Desta forma, tem-se a seguinte classificação:

1 - para seções constituídas somente de elementos enrijeci­dos, o fator Q, também denominado fator de ârea, é defi­nido por:

0 = Area plena - Area removida _ ef3- <•Area plena A

(2.76)

43

onde ê a ârea efetiva da seção transversal e A ê aárea plena da seção. 0 termo área removida ê usado para indicar a ãrea hipoteticamente retirada da seção trans­versal, para se obter a ârea efetiva.

2 - para seções constituídas apenas de elementos não enrije­cidos, o fator Q, também denominado fator de tensão, ê definido por:

Q = Tensão admissível reduzida ' ca 7 7 )

Tensão de projeto a

onde a ê dada pelas equações (2.60), (2.61), (2.64) eC 3.

(2.65) conforme o valor de b/t.3 - para seções constituídas de ambos os elementos, ou seja,

enrijecidos e não enrijecidos, o fator'de coluna Q é 0 produto de Q por Q., como calculado nos itens 1 e 2,3. Lrespectivamente. Assim,

(2.78)

As expressões apresentadas para o fator de coluna podem ser justificadas da seguinte forma:Um membro compacto e muito curto, concentricamente comprimido falha por simples escoamento em vez de flambar, para a tensão de escoamento o • Este fato ê perfeitamente explicado através da equação (2.74), considerando pequenos valores de L/r. Assim, quando L/r->-0 a equação (2.74) fornece

(2.79)

Para um membro de parede delgada em compressão, a deformação local excessiva de certos elementos componentes, po

44

de ocorrer para cargas consideravelmente abaixo da máxima carga que o membro como um todo pode suportar. Por essa razão, pa­ra tal membro pode-se escrever:

onde Q ê um fator igual ou menor que a unidade. Se igual à uni­dade, então nenhuma flambagem local ocorre. Ele representa, por tanto, uma redução na resistência da coluna devida a flambagem local.

Para elementos estruturais constituídos apenas de elementos enrijecidos, a carga máxima é:

onde é a ãrea efetiva da seção transversal calculada para atensão o .eDividindo-se ambos os membros da equação (2.81) pela ãrea plena da seção transversal resulta:

Por simples comparação desta ultima equação com a equação (2.79), resulta que para tais membros

A rQa = — (2.83)

É evidente que para um membro constituído inteira­mente de elementos não enrijecidos, como por exemplo uma canto-

45

neira, a carga maxima e:

onde A ê a ârea plena da seção transversal e ê a tensão cr^ tica de flambagem local, correspondente ao elemento da seção com maior razão largura-espessura, dada pelas curvas A, B e C da figura 2.22, conforme o valor de b/t. Contudo, o .=1,650 eC l C3.0 = 1,65oj . Portanto, tem-se:

°e ob

Por simples comparação das equações (2.85) e (2.79) pode-se escrever:

' ca (2.36)

Como ultimo caso, apresenta-se um elemento estrutural constitu^ do de ambos os elementos, isto ê, elementos enrijecidos e não enrijecidos (ver figura B.l, exemplos a e b). Neste caso, o li­mite de resistência ê alcançado quando o elemento não enrijeci­do flamba para a tensão dada pelas curvas A, B e C, confor me explicado anteriormente. Para esta tensão, a área efetiva da seção transversal consiste das ãreas plenas de todos os elemen­tos não enrijecidos e das áreas efetivas de todos os elementos enrijecidos. Esta última parcela é calculada para a tensão de flambagem governante, ou seja, Assim, para uma seção mis­ta, no que diz respeito a elementos constituintes, a máxima car ga é dada por

46

De forma similar aos dois casos precedentes, pode-se escrever:

f2.88)

Comparando a equação (2.88) com a equação (2,79) resulta imedia tamente

ou, = Qa ^t ^2.90)

47

CAPÍTULO 3

PROCESSO NUMHRICO COMPUTACIONAL

3.1 - INTRODUÇÃO

A importância e o grau de dificuldade existente na determinação das propriedades plenas de membros estruturais de paredes delgadas, levaram ao desenvolvimento de processos numé­ricos computacionais tais como os apresentados em |21,22|, como objetivo de se obter estas propriedades.

Um fenômeno comum em membros estruturais de paredes delgadas é a flambagem local de certas partes da seção detais membros. Ela, por sua vez, não significa a falha do mem­bro, mas induz uma redução na área plena daquele membro que flambou localmente. Em conseqUência, há uma redução nas propri^ dades seccionais plenas, sendo estas agora denominadas de pro­priedades seccionais efetivas ou equivalentes.

0 programa SEDEL |22| foi desenvolvido para calcu­lar as propriedades seccionais plenas requeridas na analise da flexão, da torção uniforme e não uniforme de membros de paredes delgadas, abertas, fechadas ou mistas. 0 programa PEDAD, por sua vez, considera o efeito da flambagem local em membros estru turais, e utiliza o SEDEL como uma subrotina, Com o PEDAD deter mina-se propriedades seccionais plenas e efetivas. Pode-se ci­tar entre outras, as seguintes propriedades:

a) Momentos e produto de inércia de área, momentos de inércia efetivos;

b) Posição da linha neutra para a seção plena e pa­ra a seção reduzida;

c) Momentos principais de inércia plenos e efetivos;d) Coordenadas do centro de cisalhamento;e) Tensões admissíveis e fatores de coluna.

48

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49

Um fluxo de desenvolvimento do referido processo ê mostrado na figura 3.1.

0 processo ê utilizado para seções transversais su­jeitas às seguintes hip5teses:

1 - Cada seção transversal ê modelada por um conjunto de nósinterconectados por elementos retilíneos e/ou circula- res, definidos pela ordem de seus nos origem e termino;

2 “ Os n5s origem e termino para cada elemento são formadossobre a linha média da seção transversal e a espessura da parede, entre estes dois nós ê considerada constante;

3 - Elementos circulares devem ter arcos, no mãximo, corres­pondentes a 180°. Para arcos maiores, subdividí-lo de tal forma que cada novo elemento satisfaça a restrição anterior ;

4 - Ãreas concentradas são consideradas como elementos reti­líneos de espessura nula e cujos nós origem e término têm as mesmas coordenadas;

5 “ As seções fechadas são tratadas como se fossem abertas.Isto ê conseguido através de cortes hipotéticos e, em ca da corte, formam-se dois nós de mesmas coordenadas.

3.2 - CONFIGURAÇAO GEOMÉTRICA DO I-ÉSIMO ELEMENTO

A configuração geométrica do i-ésimo elemento éapresentada na figura 3.2, onde:

A., B. - nós origem e término, respectivamente, do elemento.0 sentido origem-término é definido de para

I

C^ - Centróide do elemento.M^ - Ponto médio entre A^ e B^.D. - Centro de curvatura (raio de curvatura denotada por

Ri).C - Centróide da seção.0 - Origem do sistema de referência global.

50

X - , y. - Eixos paralelos aos eixos x, y e com origem em C..I I M

Xi, - Eixos paralelos aos eixos x, y e com origem em D^.

(b)

Figura 3.2 - Elementos: (a) retilíneo, (b) circular.

<i

0 .1t .1

Eixos paralelos aos eixos x, y e com origem no cen- troide da seção C. ,Eixos principais de inércia.Direção dos eixos principais de inércia.Ângulo que o segmento de reta orientado fazcom o eixo x.Ângulo que o segmento de reta orientado fazcom o eixo x.Angulo subtendido pelo arco de circunferencia Espessura do elemento.

51

3.3 - PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DO I-ÊSIMO ELEMENTO

3.3.1 - ELEMENTO RETILÍNEO

1 - Distância entre os nos A^ e ou comprimento do elemen­to .

d. = b. = 1 1

2 - Area do elemento.

Ar. = b. t. (3.2)

Em elementos de areas concentradas Ar^ ê dado

3 - Inclinação do segmento de reta A^B^

sen 4) = (7g_ - y^_)/d^ (3.3)1 1

C O S <p. = ( x „ - X . ) / d . (3.4)1 tí. A. 1

4 - Coordenadas do ponto mêdio M^ ou centroide C .

i i i

Xm = (^A >B i i i

52

5 - Momentos de inércia e produto de inércia em relação aosf I

eixos e

Ar.(t? cos^ cf). + b? sen^ c|).)/12 1 1 (3.7)

Ar.(t? sen^ ■ + b? cos^ (j>.)/12 1 1 (3.8)

I ' = Ar. (bi' - t?) sen ( . cos t ./12 x.y. 11^1(3.9)

Em elementos de ãreas concentradas.

I ' = I ' = I ' 'X . y . x.y. 1 1^1(3.10)

3.3.2 - ELEMENTO CIRCULAR

Nas expressões apresentadas a seguir, adota-se a s£ guinte convenção:

"Quando o sentido origem-término no i-ésimo elemen­to é anti-horário, em relação a , toma-se R^ com sinal posit^ vo e caso contrário, negativo".

1 - Distância entre os nos A^ e

d. = 1 1 1 1 1 ^1 / 2

(3.11)

2 - Distância entre os pontos D. e M^

R? - (d./2)* 1 1 (3.12)

3 - Coordenadas do ponto

5 - Inclinação do segmento de reta

1 1

1 1

6 - Coordenadas do centro de' curvatura

1 1

1 1

7 - Inclináçao do segmento de reta

53

1 2.13)

4 - Angulo do arco A B ^

0. = 2 tg“' (d./2h^ ; 0 < 0. < 7T (3.15)

sen (}). = (yg_ - y^,)/d. (3.16)

COS = (Xg_ - x^ _)/d^ (3.17)

^D. " ~ (Õi/2) (3.18)

Yd . = Ym . (0^/2) (3.19)

54

sen d). = (3.20)

COS (j)j = (x^_ - Xj^_) / [R^ (3.21)

8 - Comprimento do elemento

b. = R. 0. 1 1 1 (3.22)

9 - Area do elemento

Ar. = b - t. 1 1 1 (3.23)

Em elementos de âreas concentradas Ar^ e dado.

10 - Momentos de inércia e produto de inércia em relação aos •» »1 eixos x^,

I " = Ar. R?X . 1 11

1 + sen 0£(cos2 (J) - sen^ (j) )/0^

(3.24)

I " = Ar- R? 7i 1 1 1 - sen 0^(cos^ (f) sen2 c() )/0. /2

(3.25)

M M _X - y .1 1

Ar^ R? sen 0 sen (j) cos (3.26)

11 - Raios interno e externo

55

Rli = R. - t./2 (3.27)

RE. = R. -H t./2 (3.28)

12 - Coordenadas do centroide

, RE? - RI?X. = + -(— ------ i) sen (0-/2) sen (})-/0- (3.29) 3 RE? - RI? ^

4 RE? - RI?y. = 7n - -C— sen (0 /2) cos i>./Q. (3.30) 3 RE? - RI? ^

13 - Momentos de inércia e produto de inércia em relação aosI 1eixos X ., y .1 ’ 1

I x ! “ I x ’.' - (> 'i - ( 3 . 31)1 1 1

I ' = I " - Ar. (X. - X )' (3.32)i i i

3.4 - PROPRIEDADES SECCIONAIS

Em se tratando de seções transversais de paredes delgadas, constituídas por n elementos binodais, resulta nas se guintes expressões para a determinação das correspondentes pro­priedades geométricas:

3.4.1 - PROPRIEDADES SECCIONAIS - SECAO PLENA

1 - Area da seção transversal

56

nAREA = y Ar-

i = l, ^(3.34)

2 - Centroide da seção

(3.35)

ny. = ( ); Ar y.)/AREA i=l ^

(3.36)

3 - Momentos de inércia e produto de inércia em relação aos eixos do centróide Ç, n

- Ar. y? - Arj y ,) (5.37)

ny (I,/ + Ar. y? - Ar. x. x^) n " y^ 1-^1 1 1 C (3.38)

4 - Direção dos eixos principais

= 0,5 tg-i (3.40)

57

5 - Momentos principais de inércia

cos^ d) + I sen^ ò - 2 1 sen ò cos ó Çp Ç P n P P P

(3.41)

I = Ir sen^ Cp + I cos^ cj> + 2 1^ sen é cos (p np ç ^ p n ^p Çn ^p ^p

... (3.42)

6 - Módulos de resistência (seção plena)

Sç = Iç/Dç (3.43)

S = I /D (3.44)n ri' n ^

onde Dç - distância da linha neutra ã fibra mais afasta­da com respeito ao eixo Ç.

D - distância da linha neutra ã fibra mais afasta- nda com respeito ao eixo n •

7 - Raios de giração com respeito aos eixos Ç e n

= (Iç/AREA)'^^ (3.45)

R^ = ( I ^ / A R E A ) (3.46)

- Raios de giração com respeito aos eixos principais

58

Rçp = (Içp/AREA)'^' (3.47)

3.4,2 - PROPRIEDADES SECCIONAIS-SEÇÃO REDUZIDA

Os elementos que constituem um membro estrutural le ve, obtido por conformação a frio, são denominados, do ponto de vista de projeto, de elementos enrijecidos e não enrijecidos. A partir de tais conceitos, são instituídos procedimentos básicos para o projeto de tais elementos, quando em compressão, confor me esta explícito no capítulo 2.

Para seções onde os elementos em compressão, e por­tanto sujeitos a flambarem localmente, são enrijecidos, deter­minam-se propriedades tais como momento de inércia efetivo, mo­dulo de resistência efetivo e nova posição da linha neutra, en­tre outras. Estas estão baseadas unicamente numa redução de ãrea da seção plena. Para seções onde os elementos em compres­são, e portanto sujeitos a flambarem localmente, não são enrij£ cidos, determinam-se tensões de compressão admissíveis e momen­tos máximos admissíveis [l]. Estes, ao contrário de seções con_s tituídas de elementos enrijecidos, estão baseados na ãrea plena da seção.

- Elementos Enrijecidos em Compressão

1 - Tensão bãsica de projeto ou máxima tensão de trabalho

Esta atuará na fibra mais afastada da linha neutra, podendo ser de compressão ou de tração. Segundo as especifica­ções de projeto AISI [4] e NB-143 [l7], esta tensão corresponde ao limite de escoamento mínimo especificado para o material di­vidido por 1,65.

= ZGMA = ZGMAE/1,65 , (3.49)

59

onde ZGMAE corresponde ao limite de escoamento mínimo especifi­cado ,

2 - Tensão de compressão no elemento mais distante da linhaneutra e sujeito a flambar localmente

0 calculo desta tensão de compressão envolve os se­guintes elementos:

a) Posição da linha neutra;b) Distância da linha neutra ao elemento comprimido,

passível de flambar, mais distante (Dl);c) Metade da altura da seção transversal (HS2);d) Distância da linha neutra às fibras mais afasta­

das dela (ALT2, ALTl).Assim, dependendo de comparações entre os fatores

citados em a), b), c) e d) resulta as seguintes expressões:a.l) TCMAX = ZGMA Dl/ALTl (3.50)

se ALT2 > Dl e ALT2 < HS2

a.2) TCMAX = ZGMA D1/ALT2 (3.51)se ALT2 > Dl e ALT2 HS2

a.3) TCMAX = ZGMA ALT2/ALT1 (3.52)se ALT2 = Dl e ALT2 < HS2

a.4) TCMAX = ZGMA (3.5 3)se ALT2 = Dl e ALT2 HS2

A figura 3.3, (a.l), (a.2), (a.3) e (a.4), descreve claramente a situação.

3 - Tensão de compressão

Uma vez conhecida a tensão de compressão bãsica, item anterior, pode-se obter as tensões de compressão nos de-

60

(Tjj (Compressão 1

(a.l) (a.2)

(a.3) Ca.4)

Figura 3.3 - Configurações para o calculo da tensão compressiva mãxima no elemento passí­vel de flambar.

61

mais elementos passíveis de flambarem (caso existam) pela rela­ção :

ZG. = TCMAX - T q I + TES./2)/Dl ; i = 1, NEFX

... (3.54)

e para o elemento determinado no item anterior, tem-se:

ZG^ = TCMAX (3.55)

onde i - número de ordem do elemento passível de flambar.

Yce “ ordenada do centroide do elemento de numero de or- dem i.

TES^ - espessura do elemento de número de ordem i.

4 - Razão largura-espessura e razão largura-espessura1 im i t e

A razão largura-espessura do elemento ê determinada pela expressão:

BST^ = COMP^/TES^ (3.56)

onde COMP^ - comprimento do elemento de numero de ordem i.A razão largura-espessura limite ê determinada em função de ten são (compressão) atuante, em conformidade com a equação (2.50), e que resulta nas expressões:

a) para o calculo das deformações

62

BSTLF. = 0,95 (E/ZG^)1/2

(3.57)

b) para o calculo da resistência

BSTLS. = 0,7396 (E/ZG.)1 / 2

(3.58)

5 - Largura efetiva ou largura útil

De conformidade coin as equações (2.51) e (2.52) re­sulta nas seguintes expressões para a largura efetiva do i-êsi- mo elemento passível de flambar:

a) para o cálculo das deformações

BE = COMP. quando BST. í: BSTLF. (3.59)1 1 1 ^

F ■ V BE = 1,9 (-£-) 'ZG,

F 1/2 11 - 0,4 75 (-^)ZG. BST.

1 1-'

TES.1

quando BST^ > BSTLF^

b) para o calculo dà resistência... (3.60)

BE = COMPj quando BST^ < BSTLS. (3.61)

F 1/2 BE = 1,479 (-^)ZG.

1ZG. BST.1 1-1

TESj,

quando BST^ > BSTLSj, ... (3.62)

6 - Comprimento descontado

63

= COMP. - BE (3.63)

7 - Area hipoteticamente removida

BB^ = B^.TES^ (3.64)

8 - Momentos de inércia das áreas consideradas removidas, emt frelação aos eixos centroidais x^,

= B. (TES.)V12 ' (3.65)i

1^; = B| (TES.)/12 ' (3.66)

9 - Primeira parcela de correção para o tensor de inércia (ver apêndice D)

NEFXIo ■= l K ' (3-68)°x i = l

NEFX" .1, ly! (3.69)y 1 = 1 1

10 - Area total hipoteticamente removida

NEFXAREAD = I BB^ (3.70)

i = l

64

11 - Parcela correspondente a transferencia de eixos (Teorema de Stein)

= BB. (3.71)

1^; = BB. (x j,_ - (3.72)

^^i * CE. ^^CE. (3.73)1^1 1 1

12 - Segunda parcela de correção para o tensor de inércia (ver apêndice D)

NEFX _

^ i=l ^i

NEFX._ly = I I ' (3.75)^ i=l

NEFX _I = y I ’ ’ (3.76)xy . , X . y . ^ 1 = 1 1^1

13 - Tensor de inércia corrigido, todavia, relativo aos eixos baricêntricos da seção plena

V ' 'ç " * 'x) (3.77)L. X

65

- ’xy .

14 - Area efetiva ou área equivalente da seção

AREF - AREA - AREAD (3.80)

15 - Deslocamento do eixo neutro em relação a sua posição orj ginal, isto ê, correspondente a seção plena

Xi = Q^/AREF ' (3.81)

= Q^^/AREF ' (3.82)

onde e são cs momentos de primeira ordem, calculados como segue:

a) para elementos passíveis de flambarem localmente

NEFX(COMP. TES. - BB.)(y^g_ - y^) (3.83)

NEFXQy = (COMP. TES. - BB.)(x^g_ - x^) (3.84)

onde Xq e y^ são as coordenadas do centroide da seçao.b) para elementos que não sofrem redução de area

N-NEFX^x " (COMP^ (3.85)

66

N-NEFX^ - xg) (3.86)

16 - Nova posição da linha neutra com respeito ao sistema de referência global x-y

(3.87)

(3.88)

17 - Tensor de inércia corrigido, relativo a nova posição dos eixos baricêntricos (seção efetiva)

(3.89)

(3.90)

’x y g^g (ef) ~ ~ * 1

(3.91)

18 - Direção dos eixos principais de inércia

1.1; = 0,5 tg"

(3.92)

19 - Momentos principais de inércia (seção efetiva)

67

- 2 Ix y (ef) *p -fp (3.93)

(- -c-1 “ I r s e n ^ ip + 1 r r-, c o s ^ énp(e£) X (e£) y (e£)

+ 2 I sen fp COS ih (3.94)^gXgCef) ^p ^p ^

20 - Para a obtenção do modulo de resistência efetivo, o pro­cedimento desde o item 3.4.2 (1) até 3.4.2 (17) é repet_i do, uma vez que agora a expressão que dã o comprimento efetivo é a (3.62) e não a (3.60) e o modulo de resistên cia ê dado pela expressão

Sx(ef) " 'x (ef)/ALTl (3.95)

onde ALTl ê a distância desde a nova posição do eixo neutro ate a fibra mais afastada.

A determinação das propriedades efetivas, quando os elementos em compressão são paralelos ao eixo dos y, ê feita de forma inteiramente análoga a descrita nos itens 3,4.2 (1) a3.4.2 (20). Desta maneira, para a reutilização do processo na direção y, ê requerido uma inversão de eixos. Portanto, o que se referia ao eixo x, passa agora a se referir ao eixo dos y.

Em se tratando de seções com reforços intermediá­rios, a largura efetiva ou comprimento efetivo a determinado com as expressões usuais, isto ê, com as equações (3.59),(3.60), (3.61) e (3.62), conforme a razão largura-espessura do sub-elemento, quando comparada com a razão largura-espessura 1^ mite (função da tensão), equação (3.57) ou (3.58). Porém, quan­do a razão largura-espessura de um sub-elemento é maior que 60,

68

0 comprimento efetivo ê determinado através da relação

BE = BE - 0,10 (BST^ - 60) (3.96)

onde BST^ - razão largura-espessura do sub-elemento.BE - comprimento efetivo determinado com as equações

(3.59), (3.60), (3.61) e (3.62) conforme for o caso,

Para membros de paredes delgadas em compressão axial, 0 efeito da flambapem. local é considerado através do fa­tor de coluna Q. Sua obtenção é efetivada através dos seguintes itens;

Para o i-ésimo elemento passível de flambagem local.

1 - Tensão de compressão

ZGMA^ = ZGMJVE/1,65 (3.97)

1 - Razão largura-espessura

BST^ = COMP^/TES^ (3.98)

3 - Razão largura-espessura lim.ite, em função da tensão atu­ante ZGMA^

BSTQ. = 0,7396 (— -— )^^" (3.99) Z GMA.1

4 - Largura efetiva ou largura ütil

69

a) BE = COMP. quando BST^ BSTQ^ (3.100)

ZGMA- ZGMA. BST^JTES .

1

quando BST. > BSTO. 1 '1 ... (3.101)

c) existindo reforços intermediários, o comprimento efetivo dos sub-elemento ê dado por

BE = BE para BST^ < 60 (3.102)

BE = BE - 0,10 (BST^ - 60) para BST^ > 60 (3.103)

5 - Comprimento descontado

= COMP. - BE (3.104)

6 - Area hipoteticamente removida

BB. = B. TES. 1 1 1 (3.105)

7 - Area total removida

NTEX+NTEY AREAD = y BB.

i = l ^(3.106)

onde NTEX - número de elementos paralelos ao eixo x e passí­veis de flambagem local.

70

NTEY - numero de elementos paralelos ao eixo y e passl' veis de flambagem local.

8 - Area efetiva da seção transversal

AREF = AREA - AREAD (3.107)

9 - Fator de coluna

Q = (3.108)AREA

- Elementos não Enrijecidos em Compressão

Em se tratando de seções constituídas apenas de ele mentos não enrijecidos, e em função do comportamento apresenta­do por tais elementos quando em compressão, determinam-se pro­priedades seccionais plenas, bem como tensões de compressão ad­missíveis e momento admissível, por razões descritas no item2.4.2 do capítulo 2.

Propriedades Seccionais

1 - 0 procedimento para a obtenção das propriedades seccio­nais plenas, encontra-se descrito no item 3.4.1 deste ca pítulo.

2 - Tensões de compressão admissíveis - Para cada elemento determina-se a correspondente tensão de compressão admi£ sível. Esta tensão, que é função da razão largura-espes- sura, ê obtida através das expressões:

a) ^ca. ^b para — <; 10 (3.109)

71

b) a = (1,667a - 0,404a ) - a^^)^''''i 15 1,65 t

para 10 < - < 25 ... (3.110)t

onde a^ = a^/1,65 (3.111)

a^^ = 0,5 — ----- (3.112)12(l-v")(25)2

, I r .b 25ca. 57^75 cr/60 cr/25^^ 57^75

^^cr/60 ^cr/25^ 1 65 (?.H3)

onde e sao dádas pela expressão (2.53) com b/tigual a 25 e 60, respectivamente.

Estas expressões podem ser utilizadas para membros em flexão ou compressão axial, com exceção da equação c que não se aplica para cantoneiras em compressão axial. Assim, apresen­ta-se a seguinte expressão

d) o = 0,303 ----- --------- para 25 < — <: 60" i 12(l-v^) (b/t) 2 t

... (3.114)

3 - Momento admissível - Sua obtenção é feita com a expres­são

72

onde a - ê a tensão governante, podendo ser de tração oucompressão a A tensão o corresponde'a do ele-

i _mento em compressão na flexao.

4 - - fator de coluna - De acordo com as recomendações das Normas AIvSI e NB--143, ele ê a relação entre a tensão de compressão admissível e a tensão básica de proje­to, . Assim,

1

onde - e a menor das tensões de compressão admissíveis,i

- Seções Constituídas de Elementos Enrijecidos e não Enrijeci­dos

Para estas seções, devido a presença de elementos enrijecidos e não enrijecidos, fica implícita a possibilidade de serem determinadas, além das propriedades plenas, proprieda­des considerando a seção efetiva bem como tensões de compressão admissíveis e momento admissível. Um exemplo esclarecedor desta situação pode ser visto no capítulo 4, exemplos e comparações, para a seção C com flanges não enrijecidos.

Propriedades Seccionais

1 - 0 procedimento para a obtenção das propriedades seccio­nais plenas, encontra-se descrito no item 3.4.1 deste ca pitulo.

2 - As propriedades seccionais efetivas são obtidas com aformulação apresentada no item 3.4.2 com subtítulo - Ele mentos enrijecidos em compressão.

3 - Na forma em que se tenha elementos não enrijecidos em.compressão, as propriedades seccionais são obtidas con­

73

forme os procedimentos apresentados no item 3.4.2 com subtítulo - Elementos não enrijecidos em compressão.

4 - Fator de coluna - Em conformidade com a equação (2.90) pode-se escrever;

^m " ^t (3.117)

onde Q e Q sao dados pelas equações (3.108) e (3.116), res-3. L

pectivamente.

3.5 - PROGRAMA CODIFICADO EM FORTRAN

Para a solução numérica da formulação apresentada neste capítulo, foi codificado um programa em FORTRAN. Um fluxo grama geral ê apresentado no apêndice A.

74

CAPÍTULO 4

EXEMPLOS E COMPARACOES

A seguir, são apresentados alguns exemplos com a fi­nalidade de demonstrar a flexibilidade e validade da formulação numérica desenvolvida e apresentada no capítulo 3.

As seções transversais selecionadas para as quais as propriedades seccionais plenas e efetivas são calculadas, foram extraídas do manual de especificação para o projeto de membros estruturais leves, AISI [4] com a finalidade exclusiva de compa ração de resultados. A razão desta limitação reside no fato de que não se dispõe de outra referência que apresente propriedades seccionais levando em conta o efeito da flambagem local.

Como primeiro exemplo ilustrativo, considera-se uma seção C modelada de acordo com o exposto no apêndice B, e mostra da na figura 4.1.

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3.0

0,6

0,06

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109

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(5)

(9)

^(8) (6)^

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(7)CR 2

109

(9)

'(8)

Figura 4,1 - Exemplo de seção ITIPO = 1 Dimensões em polegadas.

75

Quando em flexão pura em relação ao eixo x , depen-- Sdendo do sentido do momento fletor, o elemento de numero de or­

dem. 3, ou o de numero de ordem 7, pode se encontrar sob compre^ são, e portanto, dependendo do nível de tensão atuante poderã ha ver uma redução em sua área plena, como conseqüência da flamba- gem local. Este fato, evidencia a existência de duas soluções distintas, com respeito ao mesmo eixo. Aqui, naturalmente, devi­do a simetria em relação a este eixo, x ê necessário conside- rar apenas um sentido para o momento fletor, e determinar então, as propriedades seccionais efetivas. No que diz respeito ao eixoy , pode-se ver que, dependendo do sentido do momento fletor, B’ ^tanto o elemento de numero de ordem 5 quanto os elementos de nu­

mero de ordem 1 e 9 podem estar em compressão. Poder-se-ia pen­sar em determinar as propriedades seccionais efetivas para as du as situações distintas, contudo segundo as referências [4,17] os elementos de número 1 e 9 funcionam como reforço, isto é, enr^ jecedores de borda e portanto são dimensionados de tal form.a que mesmo sujeito a maior tensão admissível, isto é, tensão básica de projeto não flambam localmente. Assim, é desnecessário a-nalisar esta situação ou similar. Isto significa que as proprie­dades efetivas, neste caso, são as próprias propriedades plenas. Portanto, deve ser verificada alguma redução nas propriedadesplenas, com respeito ao eixo y , quando o elemento com.primidoSfor 0 de numero de ordem 5.

Para efeito comparativo apresenta-se uma tabela (ver figura 4.2} demonstrativa dos resultados obtidos para a seção em apreço, correspondendo a aços com tensão de escoamento da ordem de 232 MPa (33000 psi) e 348 MPa (49500 psi).Nota: Algumas propriedades efetivas não estão disponíveis na re­

ferência [4]. Nas tabelas que se seguem, é colocado um tra ço no local das referidas propriedades.

Uma situação onde as propriedades seccionais plenas são utilizadas em conjunto com tensões de compressão admissíveis, pode ser vista utilizando-se a cantoneira da figura 4.3, modela­da conforme os requisitos do apêndice B.

76

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77

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(2)

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Figura 4.3 - Exemplo de seção ITIPO = 3 Dimensões em polegadas.

Para esta seção, duas situações distintas podem ocor rer com respeito ao mesmo eixo. Tome-se como exemplo o eixo bar^ cêntrico x^. Dependendo do sentido do momento pode-se ter o ele­mento de numero de ordem 1 ou o elemento de ordem 3 em compres­são. No primeiro caso tém-se que a tensão de trabalho (compres­são) ê determinada em conformidade com o gráfico da figura 2.22 ou com as equações correspondentes àqueles segmentos em função da razão largura-espessura b/t. Aqui, no caso, deve-se tomar b/t do elemento de número de ordem 1. 0 momento mãximo admissível é portanto, determinado em função desta tensão de trabalho reduzi­da. No segundo caso, o momento mãximo admissível pode ser dado diretamente em função da tensão bãsica de projeto atuando nafibra tracionada, ou em função de uma tensão de tração reduzida. Esta ültima dada por uma relação linear envolvendo a tensão de compressão admissível do elemento. Para o caso em questão, esta tensão corresponde a do elemento de número de ordem 3.

Para efeito comparativo apresenta-se uma tabela (ver figura 4.4) demonstrativa dos resultados obtidos para a seção em apreço, correspondendo a aços com tensão de escoamento da ordem de 232 MPa (.33000 psi) e 348 MPa (49500 psi) .

Um tratamento similar ao utilizado para a cantoneira, (ver figura 4.3) pode ser usado para a seção mostrada no apêndi­ce B (figura B.l (c) ) onde todos os elementos constituintes são não enrijecidos. Portanto, tem-se para esta seção ITIPO = 3. Pa-

78

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80

ra efeito de validação dos resultados, apresentam-se as proprie­dades seccionais determinadas pelo programa PEPAD em ‘ confronto direto com aquelas apresentadas na referência [4]. ( ver figura4.5 ).

Dando continuidade a esta serie exemplo-comparação, apresenta-se agora uma seção constituída de ambos os elementos, isto é, elementos enrijecidos e não enrijecidos, conforme ê vis­to na figura 4.6. Esta seção ê a mesma da figura B.l (b) do apên dice B, aqui reproduzida apenas por comodidade.

8p

0,135

ms

1,97

( 2 ),( I )

Í3 )

(4 )( 5)

CR 1

(3 )

( I)

S 6

(5 )

CR 2

Figura 4.6 - Exemplo de seçao ITIPO = 2 ou ITIPO = 1.Dimensões em polegadas.

Esta seção apresenta uma singularidade no que diz respeito ao eixo y . Dependendo do sentido do momento fletor ha- verá um elemento enrijecido ou dois elementos não enrijecidos em compressão.

0 programa PEPAD determina as propriedades secciona­is efetivas para uma ünica situação, ou sentido do momento fle­tor com respeito a um dos eixos, x ou y . Então, para o caso em que se deseja obter as propriedades seccionais efetivas, relati­va aos outros sentidos do momento fletor, ê necessário apenas, introduzir um outro deck de dados, uma vez que o programa prevê a possibilidade de execução consecutiva. Justamente esta situa­ção se aplica para a seção da figura 4.6, cujos resultados são apresentados nas tabelas da figura 4.7.

81

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82

Os exemplos apresentados até o momento mostram a va­lidade da formulação desenvolvida e também, de forma sucinta, co­mo se deve analisar uma seção para se trabalhar eficazmente com o programa, para a obtenção das propriedades seccionais efetivas. Os exemplos que se seguem são especificamente para efeito compa­rativo. Assim, os resultados do perfil indicado na figura 4.8 são apresentados na tabela da figura 4.9.

9 .0

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1 1 , 4 7

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(7 )

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(5)

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7

(S)

(7 )

9 10

Figura 4.8 - Exemplo de seção ITIPO = 1 Dimensões em polegadas.

Um outro perfil amplamente utilizado em estruturas é indicado na figura 4.10, e os resultados apresentados na figura 4.11

Os exemplos acima apresentados usam as tçnsões bási­cas de projeto O| = 140 MPa(20000 psi) e (30000 psi), ünica e exclusivamente para comparação com os resultados exis­tentes na referência [4

0 programa pode ser utilizado para qualquer material com propriedades mecânicas dadas em qualquer sistema coerente de unidade.

83

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84

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CR2

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86

CAPÍTULO 5

CONCLUSÃO

0 processo numérico computacional e programa codifi­cado em FORTRAN, elaborados neste trabalho, permitem a determi­nação das propriedades seccionais plenas e efetivas de membros estruturais de paredes delgadas, utilizados como viga ou coluna.

A partir da apresentação e comparação dos resulta­dos, fica demonstrada a concordância entre os valores obtidos e os de referência. Além disso, o programa se apresenta como uma ferramenta de grande utilidade, uma vez que suplanta as formas comuns de calculo através do uso de tabelas e gráficos em muitos aspectos, tais como:

1 - Tempo requerido para o calculo das propriedades plenase efetivas - Esta é uma consideração muito importante em seções de paredes delgadas, devido as mais variadas formas de seções transversais e principalmente porque para muitas seções, as propriedades efetivas são deter­minadas através de processo iterativo.

2 - Largura efetiva - Nível de tensão - As tabelas e gráfi­cos permitem, determinar a largura efetiva em função da razão largura-espessura, somente para níveis discretos de tensão de trabalho, acarretando portanto, para ou­tros níveis, aproximações.

3 - Obtenção de propriedades seccionais para outros materi­ais e níveis básicos de tensão - Geralmente as proprie­dades tabeladas são para um material e no máximo para dois níveis básicos de tensão, (ver AISI - tabelas). Pa ra outros níveis, as propriedades são obtidas por inter polação e extrapolação, originando portanto, erros.

Uma das aplicações para o programa, de maior inte­resse prático, é a confecção de tabelas contendo todas as propr^ edades seccionais plenas e efetivas, para as mais variadas for­

mas de seções transversais e os diversos tipos de materiais usa­dos na fabricação de perfis estruturais. Estas tabelàs são de grande valia para o meio industrial. A exemplo, ver tabelas no volume II.

A tendência atual, em estruturas leves, ê o uso de vigas conformadas a frio. Uma vez que perfis desta natureza pre­enchem os dois requisitos básicos de projeto, isto ê, economia e segurança, sugere-se, então, desenvolver uma pesquisa com o objetivo ünico de otimizar ou de apresentar expressões que deter mine com grande precisão a largura equivalente de componentes e^ truturais em compressão.

88

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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5] - WINTER, George, Light Gage Cold-Formed^Steel Design Manu­al, "Commentary on The 1961 Edition".

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89

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16] - DEWOLF, John T., PEOKOZ, Teoman and WINTER, George, "Localand Overall Buckling of Cold-Formed Members", Journal of The Structural Division.

17] - NB-143 ( ABNT - Norma Brasileira) ed. 196 7.

18] - KIRCHHOFF, G. R., Mechanik, 2nd ed., p 450, 1877.

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21] - ALVES, D. B., PROSEC - Propriedades Seccionais de Vigas Retas de Paredes Delgadas. Centro Tecnológico da UFSC, 1976.

22] - ANDERSON, Volnei, "determinação de Propriedades Seccionasnâ Flexão, na Torção Uni£orme e Não Uniforme de Seções dè Paredes Delgadas, "Dissertação de Mestrado", CTC- UFSC, 1978.

90

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24] - NBR 6355 ( ABNT - Norma Brasileira Registrada } ed. 1980.

91

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92

A.2 ~ PEPAD - FLUXOGRAMA GEIUL

93

APÊNDICE B

B.l - INTRODUÇÃO

Este apêndice tem por objetivo ilustrar a correta u tilização do programa PEPAD. As instruções compreendem duas eta pas a saber; modelagem da seção e entrada de dados.

B.2 - MODELAGEM DA SEÇAO TPJVNSVERSAL

A seção transversal deve ser modelada por nos, ele­mentos retilíneos e curvilíneos e cavidades tubulares, segundo os seguintes procedimentos;

1 - Em caso de seção fechada ou m.ista (figura B.l (e)), cor­tar as cavidades tubulares de forma que a seção seja con siderada aberta. Os cortes podem ser realizados em quai£ quer pontos sem, no entanto, subdividir a seção.

(a) (b)

Figura B.l - Exemplos de seções diversas

94

(c)

i-- -V

\ />

Krrrzzi

(d)

(e)

Figura B.l - Exemplos de seções diversas (continuaçao)

95

2 - Desenhar dois croquis da seção, modelada por um conjunto de elementos binodais (linha media da parede); Denominaros croquis por CRI e CR2, conforme é visto na figura B.2

lA modelagem da seção requerida pelo processo numêr^

co é feita considerando a contribuição dos fluxos de cisalhamen to e empenamento, ao longo da seção. Tal fato, em geral, impli­ca em duas configurações de fluxos distintas originando, por­tanto, dois croquis.

V.

CRI (a) CR2

V

CRI (a) c r:

Figura B.2 - Modelagem da seçao por elementos binodais

96

3 - Areas concentradas são tratadas como elementos retilí-neos cujos nos, origem e término, têm as mesmas coordena das.

4 - Elementos circulares têm seus arcos limitados a 180°,5 - Nenhuma cavidade deve estar contida em outra.

6 - Numerar as cavidades tubulares em CRI e CR2 de 1 a NCT,onde NCT ê o numero de cavidades da seção. Figura B.3.

7 - Numerar os n5s em CRI e CR2 de 1 a NN, onde NN ê o núme­ro de nós da seção.- Figura B.3.

8 - Em CRI, representar as setas indicativas do sentido ori-gem-têrmino, tomando extremidades livres como origem, exceto no elemento considerado como "ultimo" e assumindo que, de cada no sai apenas uma seta. Figura B.4.

9 - Em CR2, representar as setas indicativas do sentido ori-gem-término, tomando extremidades livrès como término, exceto no elemento considerado como "primeiro" e que es­te não devera coincidir com o elemento considerado "últ_i mo" em CRI. As demais setas são representadas assumindo que em cada no chega apenas uma seta.

10 - Numerar os elementos da seção de 1 a N, onde N é o núme­ro de elementos em que a seção transversal ê discretiza- da.

Em geral, as numerações dos elementos em CRI e CR2 não coincidem, com exceção do elemento de número de ordem um (1), que devera ser o mesm.o nos dois croquis. Para numerar os demais elementos, é indiferente recomeçar em CRI ou CR2.

10.1 - EM CRI

1 - Numerar em ordem crescente (2, 3, 4, ...) todos os eler mentos cujos nõs origens são extremidades livres, esco­lhendo-os arbitrariamente.

2 - 0 último elemento, isto é , o de número de ordem N é aqu£ le cujo n5 término coincide com uma extremidade livre.

97

44

CRI(a)

CR2

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17

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CRI(b)

CR2

Figura B.3 - Identificação de cavidades e nos

98

CRICa)

CR2

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17

1519 14

10

12I 3

CRI(b)

CR2

Figura B.4 - Representação das setas indicativas do sentido origem-término.

99

3 -■ Os elementos restantes sao numerados como segue:- Procurar um n5 onde todos os elementos, cujas setas

chegam, estão numerados e continuar a numeração no el£ mento cuja seta tem origem no referido no.

- Repetir este procedimento até que todos os elementos da seção estejam numerados. Figura B.5.

10.2 - Em CR2 a numeração ê governada pelo seguinte procedi­mento :

1 - 0 elemento de numero de ordem (2) tem como origem o tér­mino do elemento de número de ordem (1); o elemento de nümero de ordem (3) tem como origem o termino do elemen­to de nümero de ordem (2) e assim sucessivamente para os elementos seguintes até alcançar uma extremidade livre. Caso exista elementos sem nümero de ordem, reiniciar a seqüência a partir de um elemento que se liga a, pelo me nos, um elemento já numerado. Figura B.5.

( 3 )

(4(5 )

(3 )

(4)V^( 5 )

CRI(a)

c r:

Figura B.5 - Identificação de nos, cavidades e elemento.s .

1 0 0

>12) ( I )

( 3 )

I (4 )X (5)

Az) (n

(3)

VK) -ilL

CRI(b)

' CR2

(I)(4 )

(3^3

(7 )

(6J

6

( 2 )

7 I

( I )

( 3 )

( 7 )

(4 )

( 2 V ) 3 4 5 ( S )

CRI(c)

CR2

Figura B.5 - Identificaçao de nos, cavidades e elementos, (continuação-)

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B .3 - ENTRADA DE DADOS

- PARTE I

Para cada seção transversal são fornecidas as lis­tas de variáveis e respectivos formatos que devem ser obedeci­dos na perfuração dos cartões de dados.

A seguir, relaciona-se a seqüência de cartões de da dos correspondente a parte I.

1 - Cartões Tituladores

São cartões utilizados para cabeçalho na impressão dos resultados de cada seção testada. As informações contidas nestes cartões devem ser perfuradas dentro do limite das colu­nas 2 a 80. Todos os cartões com informações devem ter um intei ro na coluna um. Um cartão branco indicará a finalização do ca­beçalho. Não havendo cabeçalho, um cartão em branco deve ser in serido.

2 - Informações Gerais

LISTA N, NN, NC, IFLAG, ISEC, ITOR, ALFA, XP, YPFORMAT (615, 3F10.5)

onde N - numero de elementos da seção transversal.NN - número de nos.NC - numero de areas concentradas.

IFLAG - se IFLAG=1, o programa calcula os momentos de inê^ cia CIU, CIV e CIUV em relação a um sistema de ref£ rência UV com origem no centrõide C e paralelo a um outro sistema de referência com centro em P , cu jo eixo Xp faz um ângulo ALFA(a) graus com o eixo X de referência da seção. Alem disso-, o programa calcula a distância d entre C e P, bem como o ângu lo agudo 6 que o segmento de reta CP faz com o ei­xo de coordenadas y (figura B.6). Se IFLAGrl, es­sas grandezas não são determinadas.

103

ISEC - se ISEC<1, a seção ê fechada ou mista. ISEC = 1 indica seção aberta. ISEC> 1, indica seção aberta constituída de um elemento retilíneo ou múltiplos elementos retilíneos e colineares, ou ainda, seção composta de mem.bros formados de elementos retilí­neos e colineares de tal modo que esses membros te nham um ponto comum (figura B.7).

ITOR - indica o tipo de torção que o programa considera.Se ITOR> 0, o programa considera que a seção esta submetida ã torção não uniforme, caso contrário, torção uniforme.

ALFA - dado em graus e corresponde a a (figura B.6).XP, YP - coordenadas de um ponto P (figura B.6).

U

Figura B.6 - Posição dos sistemas de referênciaUV e X y .P P

104

Figura B.7 - Modelo de seção tipo ISEC>1.

3 - Coordenadas dos Nos

LISTA (XNA(I), YNA(I), 1 = 1,NN)FORMAT (8 FIO.5)

onde XNA(I), YNA(I) são as coordenadas (x^,y^), respectivamentedo i-ésimo no.

OBSERVAÇÃO: cada cartão conterá quatro pares de coordenadas, ex ceto o último, que poderã conter menos. Os pares de coordenadas dos n5s deverão ser fornecidos ordenada mente de 1 a NN, em relação ao sistema global de re ferência (figura 3.2).

4 - Identificação dos Elementos

LISTA (NOELI(I), lEPA(I), lEPB(I), L(I), NOEMP(I), IS(I), IPA(I), T(I), R(I), 1=1,N)

FORMAT (715, 2F10.5)

onde NOELI(I) - numero de ordem do i-ésimo elemento em CRI. De­vera ser fornecido ordenadamente de 1 a N.

lEPA(I) - numero de ordem do no origem do i-ésimo elemen­to em CRI.

lEPB(I) - idem para o no término.L(I) - numero de elementos cujas setas indicativas do

sentido origem-término "chegam" no no origem do i-ésimo elemento em CRI. Como verificação, ob-

105

serva-se que L(I)+1 ê o numero de elementos li­gados ao referido no.

NOEMP(I) - numero de ordem do i-êsimo elemento em CR2 e corresponde a NOELI(I).

IS(I) - IS(I)=1 significa que as setas indicativas do sentido origem-término dos correspondentes ele­mentos, em CRI e CR2, têm o mesmo sentido. Se IS(I)=-1, sentido contrario.

IPACI) - numero de ordem do elemento cuja seta indicati­va do sentido origem-têrmino "chega" no no ori­gem do i-êsimo elemento, em CR2.

T(I) - espessura do i-êsimo elemento. Se o elementofor de ãrea concentrada fazer T(I)'=0.

R(I) - corresponde ao raio de curvatura para elementoscurvos, em CRI. Toma o sinal positivo se, em r£ lação ao centro de curvatura, tomado como polo, as setas indicativas do sentido origem-têrmino apontam rotação anti-horãria. Caso contrário, negativo. Em elementos retilíneos fazer R(I)=0.

Os nümeros NOELI(I) devem ser fornecidos ordenada­mente de 1 a N .

Para os exemplos (a) e (e) da figura B.5,-os seguin tes cartões de dados são fornecidos:

a)

NOELI(I) lEPA(I) lEPB(I) L(I) NOEMP(I) IS(I) IPA(I) T(I) R(I)1 1 2 0 1 1 0 2. 00 0.02 2 3 1 2 1 1 2.00 -3.03 3 4 1 3 1 9i-. 2.00 0.04 4 5 1 4 1 3 2.00 3.005 5 6 1 5 1 4 2 . 00 0.0

e) 1 1 2 0 1 1 0 2. 00 0.02 7 6 0 6 -1 5 4.00 0.03 17 16 0 16 -1 15 4. 00 0.0

106

45678 9

101112

131415161718 13 20

2

3456 8

910

111213141516 181920

56 8 9

10111213141516 181920

21

1

1112111111112111

34578 9

10

11121314151718 19 2-0

1 2. 00 -3,. 002 '2.00 0..03 2.00 -3.. 004 0.0 0,.05 0.0 0,.07 2.00 -3,.008 2.00 0 ,.09 2 . 00 -3 .00

10 2.00 0,,011 2 .00 -3,.0012 2 . 00 0,.013 2.00 -3,. 0014 0.0 0,. 0

' 15 0.0 0,. 017 2. 00 -3., 0018 2 . 00 0 ,.0

' 19 2.00 -3..00

5 - Areas Concentradas

Se NC> 0, os seguintes dados devem ser fornecidos

LISTA (NOEAC(Nl), AA(Nl), N1=1,NC)FORMAT (5(15,FIO.5))

onde NOEAC(Nl) - numero de ordem do elemento considerado deárea concentrada, em CRI.

AA(Nl) - área do elemtno.OBS.: cada cartão contara cinco pares desses valores, exceto o

ultimo que poderã conter menos.

6 - Nümero de ordem dos elem.entos cujas setas indicativas dosentido origem-término "chegam" na origem do i-ésimo ele mento, em CRI.

Devem ser perfurados cartões contendo esses nümeros para cada elemento da seção para o qual JL = L(I)7 0. Em caso a- firmativo, os seguintes dados são fornecidos:

107

LISTA NOELI(I), (LPI(IL), IL=1,JL)FORMAT (1615,/,(5X,1515))

onde LPI(IL) - nümero de ordem dos elementos cujas setas indicativas do sentido origem-término "chegam" na ori­gem do i-ésimo elemento.

OBSERVAÇÕES:1) Quando o espaço no cartão não £or suficiente para in­

formar todos os números LPI(IL), deve-se continuar em outro cartão, excluindo-se as cinco primeiras colunas.

2) Os cartões devem ser perfurados na mesma ordem dos nú­meros NOELI(I) do item 4.

Continuando o exemplo da figura B.5, (a) e (e), tem -se os seguintes cartões de dados:

a) NOELI(I) LPI(IL), IL=1,JL2 1

3 24 35 4

e) 4 15 46 57 68 29 8

10 911 1012 1113 1214 1315 1416 15

108

17 3 1618 1719 1820 19

Para seções abertas, ISEC> 1, os dados de entrada são os indicados nos itens 1 a 6. Quando ISEC< 1, devem ser for necidos os seguintes dados adcionais

7 - Numero de cavidades e elementos adicionais de seçãoaberta.

LISTA NCT, NA FORMAT (215)

onde NCT - número de cavidades tubulares.NA - numero de elementos adicionais de s'eção aberta.

Para o exemplo da figura B.5 (e), tem-se uma cavida de e dois elementos adicionais de seção aberta.

8 - Nümero de elementos e cavidades vizinhas à j-ésimacavidade

LISTA (NNCT(J), NT(J), NCC(J), J=1,NCT)FORMAT (1515)

onde NNCT(J) - nümero de ordem da j-esima cavidade.NT(J) - nümero de elementos que compõem a j-ésima cavida

de.NCC(J) - nümero de cavidades vizinhas ã j-ésima cavidade.

Cada cartão conterá 15 nümeros, ou seja, dados correspon dentes a cinco cavidades. Para um maior nümero de cavida des, usar tantos cartões quantos necessários.Os nümeros NNCT(J) devem ser fornecidos, ordenadamente , de 1 a NCT.

109

Para o exemplo da figura B.5 (e) os dados são forne cidos como segue;

1 2 0 0

9 - Especificação dos elementos constituintes da j-êsima ca­vidade e orientação das setas indicativas do sentido or^ gem-têrmino desses elementos, em CR2.Para cada cavidade devem ser informados os seguintes da­dos :

LISTA NNCT(J), (IPJII[JP), IHI (JP) ,, JP = 1,NTJ) FORMAT (1515,/,(5X,1415))

onde IPJII(JP) - numero de ordem do jp-êsimo elemento constitu­inte da j-êsima cavidade. Os números IPJII(JP) podem ser fornecidos sem obedecer qualquer or­dem.

IHI(JP) - representa a orientação da seta indicativa do sentido origem-término do j^-êsimo elemento. Quando, em relação à própria cavidade, a seta estiver orientada em sentido anti-horário, IHI (JP)=1 e, em sentido horário, IHI(JP)=-1,

NTJ=NT(J) - numero de elementos que compõem a j-ésima cav^ dade.

Os números de ordem NNCT(I) das cavidades devem ser for­necidos ordenadamente de 1 a NCT.Se NTJ > 7, usar tantos cartões quantos necessários para informar todos os pares de números IPJII(JP) e IHI(JP).

Para o exemplo da figura B.5 (e), os seguintes da­dos são fornecidos:

1 1 -1 4 -1 5 -1 6 -1 7 -1 2 - 1 8 110 -1 11 -1 12 -1 13 -1 14 -1 15 -1 16 -13 -1 17 -1 18 -1 19 -1 20 -1

1 10

No caso da seção ser constituída de mais de uma cavidade tubular e se existirem cavidades vizinhas, os seguintes dados adicionais devem ser fornecidos:

10 - Especificação das cavidades vizinhas e dos elementos que as separam.

Para cada cavidade que tiver cavidades vizinhas, d£ ve ser informado o numero de ordem das cavidades vizinhas, o nu mero de elemento que separam cada cavidade vizinha da cavidade considerada, bem como o número de ordem desses elementos.

LISTA NNCT(J), NNCC(J?.), NECC(J2)FORMAT (315)

onde NNCT(J) - número de ordem da j-êsima cavidade. ■NNCC(J2) - número de ordem da j2-êsima cavidade vizinha.

te número pode ser fornecido em qualquer ordem» NECC(J2) - número de elementos que separam a j^-ésima cavi-

dade vizinha da j-êsima cavidade considerada.

Imediatamente após cada cartão com esses três núme­ros, segue a lista:

LISTA (ICJLI (J3) J3 = l ,NECCJ)FORMAT (5X,15I5)

onde ICJLI(J3) - número de ordem do j^-êsimo elemento em CR2,pertencente ao conjunto de elementos que se­param as duas cavidades vizinhas considera - das. Os números ICJLI(J3) podem ser forneci­dos sem obedecer qualquer ordem.

NECCJ=NECC(J2) - ê o número de elementos que separam as cavi­dades consideradas.

A ordem em que devem ser fornecidas as listas ê a mesma dos números de ordem NNCT(J) das cavidades consideradas e estes,- por sua vez, são fornecidos ordenadamente de 1

1 1 1

a NCT. No entanto, quando a cavidade considerada nao ti­ver vizinhas, nada deverá ser informado.Os nümeros de ordem NNCT(J) das cavidades consideradas, deverão ser repetidos tantas vezes quantas forem as cavj dades vizinhas.

- PARTE II

Este conjunto de dados, cuja seqüência de cartões ê dada a seguir, permite que o efeito da flambagem local seja con siderado. Não havendo necessidade de incluir o efeito da flamba gem local, um cartão em branco deve ser inserido.

LISTA ITIPO, LNT, BMO, SNI FORMT (215, F12.2, F7.4)

ITIPO - conforme ITIPO assuma os valores 1,3 ou 2, tem-se seções constituídas apenas de elementos enrijeci­dos, apenas de elementos não enrijecidos e de am­bos os elementos, respectivamente.

OBSERVAÇÕES:1) Esta classificação ê independente da denominação usual

de seções abertas, fechadas ou mistas.2) Aba ou virada de borda não deve ser levada em. conta

quanto a classificação de ITIPO.

LNT - número de tensões de escoamento para as quais se deseja determinar as propriedades seccionais efet^ vas.

EMO - modulo de elasticidade do material.SNI - coeficiente de Poisson.

Para os exemplos da figura B.5, os seguintes car­tões devem ser fornecidos, um^para cada seção.

a) 2 *2 * **

1 1 2

c) 3d) 1 e) 1 *

* a critério do usuário ** característica do material

12 - Tensão de escoamento do material

LISTA (ZGMAE(I), 1=1,LNT)FORMAT (11F7.2)

13 - Informações gerais

LISTA NEFX, NEFY, NDA, NTEX, NTEY, NET FORMAT (615)

NEFX - numero de elementos enrijecidos e paralelos ao eixo dos X , passíveis de flambarem localmente por com­pressão na flexão.

NEFY - numero de elementos enrijecidos e paralelos ao eixo dos y, passíveis de flambarem localmente por com­pressão na flexão.

NDA - numero de reforços principais da (s) subseção (es), isto é, dos elementos que funcionam como almas. Ca­so não existam subseções, fazer NDA=0.Entenda-se por subseção qualquer elemento plano de um perfil, enrijecido por um ou vãrios reforços in­termediários. Para melhor entendimento, ver figuraB.l (d) no apêndice B.

NTEX - número de elementos enrijecidos e paralelos ao eixo dos X , passíveis de flambarem localmente por com­pressão axial.

NTEY - numero de elementos enrijecidos e paralelos ao eixo dos y, passíveis de flambarem localmente por com­pressão axial.

NET - número de elementos não enrijecidos. Para seções de ITIPO igual a 1, informar NET=0.

113

OBSERVAÇÃO: tratando-se de seção tipo 3, isto ê, seção não enrj jecida, as variáveis NEFX e NEFY indicam apenas ele mentos não enrijecidos paralelos aos eixos x e y, respectivamente. Para cada direção indicar apenas um elemento (ver exemplo B.5 (c)).

Caso NEFX seja igual a zero, as propriedades efeti­vas com respeito ao eixo x não serão determinadas. Caso contrá­rio, os seguintes dados deveia ser informados:

LISTA (NELF(1,I), NDE(1,I), ND1(1,I), 1=1,NEFX) FORMAT (1515)

NELF(1,I) - número de ordem do i-êsimo elemento passível de flambar, em CRI. Devera ser fornecido orde­nadamente de 1 a NEFX.

NDE(1,I) - indica se o elemento comprimido é simples ou se pertence a uma subseção. No primeiro caso informar NDE(1,I)=0. No segundo, NDE(1,I)=1.

ND1(1,I) - indica se o elemento comprimido ê de espessura simples ou dupla. ND1(1,I)=0 espessura simples- ND1(1,I)=1 espessura dupla.

Caso NEFY seja igual a zero, as propriedades efeti­vas com respeito ao eixo dos y não serão determinadas. Caso con trãrio, os seguintes dados devem ser informados:

LISTA (NELF(2,I), NDE(2,I), ND1(2,I), 1=1,NEFY) FORMAT (1515)

NELF(2,I) - numero de ordem do i-êsimo elemento passível de flambar em CRI. Devera ser fornecido ordena damente de 1 a NEFY.

114

NDE(2,I) - indica se o elemento comprimido é simples ou se pertence a uma subseção. No primeiro caso, informar NDE(2,I)=0. No segundo, NDE(2,I)=1.

ND1(2,I) - idem ao que estã exposto em ND1(1,I).

Se NDA> 0, deverá ser fornecido o seguinte dado:

LISTA (NEDA(I), 1=1,NDA)FORMAT (1615)

NEDA(I) - representa o número de ordem dos elementos que são os reforços principais de uma subseção, nom^ nalmente os que são almas.

Se NTEX ê igual a zero, nada deve ser informado. Quando maior que zero, devem ser dadas as seguintes informa­ções:

LISTA (NEL(1,I), NDEF(1,I), NC0D(1,I), ND2(1,I), 1=1,NTEX)

FORMAT (1615)

NEL(1,I)

NDEF(1,I)

numero de ordem do i-êsimo elemento passível de flambar e paralelo ao eixo dos x.indica se o elemento e simples ou se pertence a uma subseção. NDEF(1,I)=0, elemento simples. No segundo caso, NDEF(1,I)=1.

NC0D(1,I) - indica a forma pela qual o i-êsimo elemento em compressão esta enrijecido.

1 - NC0D(1,I) < 0, significa elemento enrijecidopor virada de borda.

2 - NC0D(1,I) =0, significa elemento enrijecidopor outro reforço significante.

3 - NC0D(1,I) >0, significa elemento enrijecidopor almas.

115

ND2(1,I) - indica se o elemento comprimido ê de espessura dupla ou simples. No ultimo caso, fazer ND2(1.1)=0, e no primeiro, ND2(1,I)=1.

Se NTEY ê igual a zero, nada deve ser in£oi<.mado. Quando maior que zero, devem ser fornecidas as seguintes infor­mações :

LISTA (NEL(2,I), NDEF(2,I), NC0D(2,I), ND2(2,I), 1=1,NTEY)

FORMAT (1615)

NEL(2,I) - número de ordem do i-ésimo elemento passível de flambar e paralelo ao eixo dos y.

NDEF(2,I) - indica se o elemento ê simples ou se pertence a uma subseção. NDEF(2,I)=0, elemento simples. No segundo caso, NDEF(2,I)=1.

NC0D(2,I) - indica a forma pela qual o i-êsimo elemento em compressão ê enrijecido.

1 - menor que zero, significa elemento enrijecidopor virada de borda.

2 - igual a zero, significa elemento enrijecidopor reforço significante, porém menos eficien­te que uma alma.

3 - maior que zero, significa elemento enrijecidopor almas.

ND2(2,I) - indica se o elemento comprimido ê de espessura dupla ou simples. No ultimo caso, fazer ND2(2.1)=0, e no primeiro, ND2(2,I)=1.

Se NET e igual a zero, nada a ser informado. Quando maior que zero, devem ser fornecidas as seguintes informações:

LISTA (NEM(I), ND3(I), 1 = 1,NET)FORMAT (1615)

116

NEM(I) - número de ordem do i-ésimo elemento nao enrijeci­do em CRI.

ND3(I) - indica se o i-ésimo elemento e de espessura dupla ou simples. No último caso, fazer ND3(I)=0, e no primeiro, ND3(I)=1.

Continuando com os exemplos da figura B.5 tem-se os seguintes cartões de dados:

- Informações Gerais :

a) 0 0 0 0 1 2b) 0 0 0 0 1 2c) 1 1 0 0 0 3d) n 1 2 2 2 0c) 7 1 0 1 n 0

Informações Específicas

a) 31

00

- 1 0

5 0Cartão 1 Cartão 2

b) 31

00

-15

00

Cartão 1 Cartão 2

c) 0 0 Cartão 1

OBSERVAÇÃO: para o cartão 1, o elemento de número de ordem 2 poderia ser informado ao invés do elemento de núme­ro de ordem 1.

7 0 1 0 0 7

Cartão 2 Cartão 3

d) 5 1 0 11 1 013 0 0

Cartão 1 Cartão 2

117

OBSERVAÇÃO: para o cartão 2, o elemento de numero de ordem 3 po deria ser informado ao invês do elemento de número de ordem 13.

3 13 Cartão 35 1 -1 0 11 1 - 1 0 Cartão 43 0 -1 0 13 0 - 1 0 Cartão 5

e) 5 0 0 1 0 0 0 Cartão 112 0 0 Cartão 2

OBSERVAÇÃO: para o cartão 2, o elemento de numero de ordem 1 po deria ser informado ao invés do elemento de numero de ordem 12. Também poderia ser 14 e 19 ao invés de5 e 10.

5 0 -1 0 10 0 -1 0 14 0 -1 0 19 0 -1 0 Cartão 3■ 1 0 1 0 12 0 1 0 Cartão 4

14 - Apos os cartões de dados, correspondentes a todas as se­ções, vêm a seguir dois cartões em branco. Estes indicamo término do programa.

118

apêndice c

Considere o ponto P de coordenadas (Xg,7 ) conheci­das e a curva indicada por £(x), conforme se vê na figura C.l.

Figura C.l - Grafico para a determinação analítica da equação (2.43).

Seja g(x) uma reta que passa pelo ponto P e ê tangente a curva £(x) no ponto 0. Ver figura C.l.

Da geometria analítica tem-se que a inclinação de uma reta é dada pela expressão

m =X - X,

(C.l)

119

A função £(x) representa a equação (2.42), aqui transcrita

p p 1 / 2 F 1£(x) = — = 1,9 (-) - 1,0906 - -í—t a o b/t

(C.2)

e levando-se em conta que Xq=25 e yg=25, resulta param em (C.l) a expressão

p 1 / 2 -p1,9 (-) - 1,0906 ^ -25

a b/t (C.3)

Por outro lado, a condição de tangência permite quese escreva

df(x) . dx

d(-^)

d(^)m = 1,0906 - (b/t)"* (C.4)

Assim, igualando as expressões dadas por (C-3) e (C.4) e resolvendo para b/t, obtém-se a exnressão (2.42)

(Ê)1,.0906 - +

a

F 2 F F ^(1,0906 -) - 27,265 - (1,9(-) - 25)o

1 / 2

o (C.5)

Para se obter a equação (2.44), reta tangente £(x) no ponto Q, faz-se uso da expressão

y = mx + c (C.6)

1 20

0 coeficiente angular m, dado em (C.4), torna-se c£ nhecido desde que se substitua nesta o valor b/t por (b/t)^. 0 coeficiente c, que representa a ordenada do ponto de intersec- ção do eixo y com a função g(x), ê dado pela expressão

c = Vq - mxg (C.7)

conforme estã indicado na figura C.2.Desta maneira, a equação (C.6) torna-se

y = m(x - Xq) + y, (C.8)

Levando em conta que y=b^/t, x=b/t, Xg=25 e yQ=25, obtêm-se en­tão, a expressão (2.44), ou seja,

(C.9)

1 2 1

Figura C.2 - Grafico para a determinação analítica da equação (2,44).

? 9

APENDICE D

Considere um elemento da seção transversal cuja in­fluência geométrica deve ser removida. Figura D.l.

Vc

Xe

CliTESi

Figura D.l - Sistemas de referências e elemento típico .

Os momentos de inércia deste elemento, em relaçãot Iaos eixos e , sao:

I 'X .1

B. TES?/12 1 1 (D.l)

B? TES./12 1 i' (D.2)

123

Utilizando o teorema de Stein obtém-se respectivos momentos com respeito aos eixos centroidais e Assim, pode-se escrever

V = 'x'. (y,3 - y,)' (D. 3)Cj

I - I ; * BB. (x^g - x^)' (D.41i ^

Extendendo a todos os elementos sujeitos ã flàmbagem local, po- de-se escrever

NEFX NEFX NEFX 2I = I I BB (y - y ) (D.6)

i = l ^C. i = l ^i i=l i ^

NEFX NEFX NEFX 2I = I ’ I BB (X - X ) (D.7)

i = l i = l ^i i = l ^

NEFX NEFX^x. y. = J., ^®i > CE. - f^CE. -i = l i = l

(D.8)

As parcelas das expressões (D.6), (D.7) e (D.8) cor respondem às equações (3.68), (3.69), (3. 74), (3.75) e (3j.76).

124

APÊNDICE E

TABELAS

r

o a

OQh—IUW'-3I—IDíZwutuítSwPh

■p > =trr M

CO<2wkJPULOKH<oI—IuuwCOwwQ<QWl-HDip-toce;

COwoCO2wsH-1Q

t/5X

10xi

X

o

o

>>CO

X

KCO

<wDí

Eu

Oí4-JT3eqQ

eo

6u

SO

Eu

K)So

6O

eu

Klu

Eu

Eo

eEE'EE_g_I

O ,«4 <Tí ;n »-»f»*- CO >x> CO <x> CO

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PROPRIEDADES SECCIONAIS EFETIVAS

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