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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
PROJETO E DIMENSIONAMENTO DE PAVIMENTOS COM LAJES ALVEOLARES PROTENDIDAS
Jonas Pedro
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal de São Carlos como parte dos requisitos para a conclusão da graduação em Engenharia Civil Orientador: Prof. Dr. Roberto Chust Carvalho
São Carlos 2009
AGRADECIMENTOS
Meus sinceros agradecimentos, primeiramente a Deus, que me deu saúde, força de vontade e as condições necessárias para que eu pudesse desenvolver este trabalho. Aos meus pais, Jamil Pedro Filho e Eliane Hussni Pedro, por me apoiarem ao longo de toda a graduação e me fazerem compreender a importância da conclusão de mais esta etapa dos meus estudos. Aos meu irmãos, Gabriel Pedro e Veridiana Pedro, pelos sábios conselhos e estímulos que me forneceram durante o período universitário. Ao Professor Doutor Roberto Chust Carvalho, que me orientou, com dedicação e paciência incontestáveis, na elaboração deste trabalho. A todos os meus professores, que me ensinaram o conhecimento necessário para que eu chegasse a este momento. Aos meus queridos amigos, tanto os que conheci durante a graduação como os que já conhecia antes desta etapa, que ajudaram – me sempre que precisei e, ao lado dos quais passei muitos momentos felizes e de descontração, momentos estes que contribuíram para diminuir a tensão ocasionada pelas inúmeras atividades de avaliação ao longo de minha jornada universitária.
RESUMO
Neste trabalho é desenvolvido um roteiro de cálculo para o dimensionamento de
pavimentos com lajes alveolares protendidas. Neste modelo de cálculo realiza-se a
verificação isolada dos elementos da laje alveolar. São verificados os esforços de flexão,
cisalhamento e a deformação excessiva. Um ponto importante deste trabalho é o cálculo
detalhado das perdas de protensão mostrando como as mesmas podem afetar a solução
final. Mostra-se também como deve ser feito o estudo da necessidade de utilização de
cabos superiores na laje.
Através de exemplos mostra-se como indicar as melhores situações para modulação
dos painéis, evitando aquelas que podem comprometer estruturalmente a peça ou serem
difíceis de produzir.
Para mostrar a aplicação do roteiro em questão desenvolve-se exemplo numérico em
que todas as passagens e análises necessárias são mostradas. Por fim comenta-se os
resultados obtidos e apresenta-se algumas sugestões sobre trabalhos futuros.
Palavras-chave: lajes alveolares, perdas de protensão, dimensionamento de
armadura, modulação
ABSTRACT
ABSTRACT
In this work it is developed a script for calculating and design of prestressed hollow
core floor. In this model the calculation is made with an isolated element of slab. It is verified
the bending efforts, shear and the excessive deformation. A very important point of this work
is the detailed calculation made of the prestressing losses showing how they can affect the
final solution. It is shown how it should be a study of the need for cables above the slab.
Through examples show how to establish the optimum conditions for modulation of
the panels, avoiding those that may compromise the structural part or are difficult to produce.
To show the application of the script in question is developed numerical example in
which all the passages and necessary tests are shown. Finally we comment the results and
presents some suggestions for future work.
Key-words: hollow corer slabs, prestressing losses, reinforcement sizing, modulation
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 1
1.1 Justificativa ............................................................................................................... 2
1.2 Objetivos .................................................................................................................... 2
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .......................................................................................... 3
3. METODOLOGIA ............................................................................................................ 12
4. EQUAÇÕES PARA DIMENSIONAMENTO ................................................................ 14
4.1 Equações para determinação da quantidade de armadura a utilizar ............... 14
4.2 Equações para determinação das perdas de protensão inicias .......................... 15 4.2.1 Perda por ancoragem da armadura ....................................................................... 15 4.2.2 Perda por relaxação da armadura.......................................................................... 15
4.2.3 Perda por deformação imediata do concreto ........................................................ 16
4.3 Equações para determinação das perdas de protensão diferidas ou ao longo do
tempo considerando cada uma isoladamente ................................................................... 16 4.3.1 Perda por fluência do concreto ............................................................................. 16
4.3.2 Perda por retração do concreto ............................................................................. 17
4.4 Equação para determinação das perdas de protensão considerando-as como
perdas progressivas ............................................................................................................ 17
4.5 Equações para verificações de tensões nas bordas da peça ................................ 18 4.5.1 Verificação no tempo zero .................................................................................... 19 4.5.2 Verificação no tempo infinito ............................................................................... 20
4.6 Equações para verificações de deformações excessivas ...................................... 20
4.7 Equação para determinação do cisalhamento em lajes sem armadura para
força cortante ...................................................................................................................... 21
5. EXEMPLOS ..................................................................................................................... 23
5.1 EXEMPLO NUMÉRICO ...................................................................................... 23 5.1.1 Determinação dos Carregamentos ........................................................................ 24
5.1.2 Pré-Dimensionamento no ELU (t=∞)................................................................... 25 5.1.3 Verificação em vazio (t=0) ................................................................................... 27
5.1.4 Cálculo das perdas ................................................................................................ 31 5.1.5 Determinação das Perdas de Protensão ................................................................ 32
5.1.6 Verificação de fissuração - tempo ∞ .................................................................... 47 5.1.7 Verificação das deformações ................................................................................ 49 5.1.8 Verificação do Cisalhamento................................................................................ 51
5.2 EXEMPLO TEÓRICO 1 – .................................................................................... 54
5.3 EXEMPLO TEÓRICO 2 - ..................................................................................... 55
5.4 EXEMPLO TEÓRICO 3 - ..................................................................................... 56
6. CONSIDERAÇÕES FINAIS .......................................................................................... 57
7. GLOSSÁRIO .................................................................................................................... 61
8. ANEXO ............................................................................................................................ 67
1
1. INTRODUÇÃO
Na bibliografia internacional e nacional é consenso que um pavimento com painéis
alveolares possa ser considerado, para efeito de cálculo e verificação estrutural, com seus
elementos tomados isoladamente. Assim, não são considerados no cálculo dos esforços dos
painéis os deslocamentos verticais dos seus apoios (as vigas) embora, obviamente, estes
deslocamentos devem influenciar na deformação final do pavimento. Desta forma definir um
modelo de cálculo para dimensionamento de pavimentos de lajes alveolares acaba se
reduzindo, em geral, a análise de um elemento, para efeito de esforços, de viga pois as
nervuras estão disposta em uma única direção.
Partindo desta hipótese especula-se neste trabalho qual o roteiro a se seguir: a)
escolha da altura do painel; b) escolha da capa; c) determinação da armadura longitudinal;
d) verificações a serem efetuados para que as condições normativas estejam atendidas, a
saber: ruptura em vazio, verificações de fissuração, verificação no estado limite último para
flexão e cisalhamento e finalmente verificação de deformação excessiva.
Pode-se dizer que as verificações a serem feitas nos painéis de lajes alveolares são
as mesmas que seriam feitos em qualquer peça de concreto protendido e pré-fabricado,
porem há bastante particularidades no seu cálculo, tais como: a) trata-se de um elemento do
tipo “laje” (não tendo comportamento de viga) sem armadura transversal; b) pode exigir a
colocação de armadura de protensão junto à face superior (do elemento pré-moldado) pois
não é possível fazer o isolamento de cordoalha (ou fios); c) o cisalhamento é crítico e
reforços junto ao apoio da laje ainda são de eficiência duvidosa; d) trata-se de uma seção
composta elemento pré-fabricado e capa que precisa ser ensaiado para verificar
comportamento sem deslizamento; e) seu funcionamento depende muito de como são
efetuadas as etapas construtivas (tempo de estocagem, tempo decorrido para entrada de
ações de capa etc).
Inicialmente nesta primeira revisão bibliográfica procura-se identificar os
procedimentos usados para verificações e cálculos fazendo-se a indagação: o elemento é
considerado isolado ou o pavimento é resolvido como um todo? Usa-se sistema isostático
(laje simplesmente apoiado) de laje ou hiperestático (contínuo)? Há uma espessura padrão
para as lajes? Quais são as condições determinantes de projeto: fissuração, cisalhamento,
flexão ou flecha limite?
2
1.1 JUSTIFICATIVA
As lajes alveolares na construção civil mostram-se muito vantajosas, já que reduzem
a quantidade de serviços realizados na obra, apresentam facilidade de transporte, rapidez
na montagem, boa qualidade e também por serem econômicas.
No entanto, apesar de o uso de lajes alveolares protendidas ter crescido no mundo
todo nos últimos anos, no Brasil ainda existem poucas orientações para a criação de um
projeto com esse tipo de laje, bem como sua produção. Dessa maneira, o projeto e a
produção das lajes alveolares no país seguem critérios estrangeiros.
Um dos principais problemas de se utilizar esses critérios estrangeiros na produção
das lajes é que estes são desenvolvidos levando-se em conta fatores característicos de
cada país, tais como agressividade ambiental, clima e atividade sísmica. Por causa disso,
pode haver perda de qualidade na produção, já que nem todos os fatores citados são
equivalentes aos nacionais.
Assim, por meio deste trabalho, pretende-se aumentar o conhecimento sobre este
tipo de estrutura, além de fornecer material para futuros estudos relativos ao assunto.
1.2 OBJETIVOS
Pretende-se definir um modelo de cálculo para dimensionamento de pavimentos de
lajes alveolares considerando-se neste caso suficiente o dimensionamento e verificação
isolada dos elementos de lajes alveolares quanto à esforços de flexão e cisalhamento e à
deformações excessivas conforme NBR 6118:2003. Para isso será apresentado um
exemplo de cálculo.
Apresentar recomendações para detalhamento em projeto, indicando as melhores
situações para modulação dos painéis e evitando aquelas que podem comprometer
estruturalmente a peça, obtendo-se a qualidade final desejada.
3
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
O sistema de piso de laje alveolar protendida foi desenvolvido com a execução de
uma capa estrutural sobre a laje, pois esta promove uma grande melhora no desempenho
do conjunto, uma vez que em função dessa capa as cargas são mais bem distribuídas e as
lajes trabalham de forma mais eficiente.
No entanto, é possível utilizar esse sistema sem a execução da capa estrutural de
concreto. Porém, quando se utiliza esse sistema dessa maneira, deve-se tomar alguns
cuidados no dimensionamento do pavimento, tais como estudo pontual do comportamento
do pavimento, posicionamento e altura da alvenaria e preenchimento das juntas entre as
lajes, já que é por meio dessas ligações que ocorre a transmissão dos esforços cortantes.
Em MELO (2004) estão disponíveis tabelas e gráficos que possibilitam a
determinação das características da laje alveolar a ser utilizada, tais como altura da seção e
quantidade de armadura longitudinal.
De acordo com MELO (2004), há estudos para o caso das lajes sem a capa
estrutural (ver figuras 2 e 3). Para essas lajes, os gráficos fornecem tais características com
base nos limites, para cada caso, em função do vão máximo para cada sobrecarga e vice
versa. Para a criação dos gráficos, considerou-se que as lajes são biapoiadas, a flecha
máxima admitida é de Lx/250, resistência de uma hora em caso de incêndio e força de
protensão nos cabos de 7500 kg/cabo, para os cabos cujo diâmetro = 9,5 mm e
14500kg/cabo para = 12,7mm.
4
Figura 2- Gráfico para laje alveolar de 26,5 cm de altura, sem capa estrutural. MELO (2004).
Figura 3- Gráfico para laje alveolar de 20 cm de altura, sem capa estrutural. MELO (2004).
5
Tabela 1- Tabela de Cargas limites de laje alveolar. MELO (2004).
Na confecção dessas tabelas levou-se em conta os valores da carga permanente
devido ao peso próprio (g1), carga permanente devido ao capeamento (g2), sobrecarga
permanente (g3) e sobrecarga acidental (q). Multiplicados por um coeficiente de majoração,
utiliza-se a combinação (g3 + q) para se obter os valores limites de flexão, fissuração,
deformação e cortante. A partir desses valores, toma-se o menor para que se tenha o
limitante superior da carga limite. Já os momentos fletores de cálculo máximos são
estimados a partir do valor máximo da combinação citada. Em todos os casos considerou-se
uma capa estrutural de 5 cm.
Segundo PETRUCELLI (2009) quando se faz o dimensionamento da peça de laje
alveolar, é necessário também fazer uma verificação da mesma quanto às situações
6
críticas, que são: limite de transporte, de deformação, resistência à cortante, capacidade de
suporte e resistência à flexão. Essas situações são obtidas em função da carga aplicada
sobre a peça e do vão coberto pela mesma.
Tanto para concreto armado, como para concreto protendido, o dimensionamento da
armadura longitudinal de flexão deve atender as condições dos estados limites últimos e de
serviço. Em concreto protendido, além de se dimensionar a armadura de flexão no estado
limite último e verificar as demais condições, também é comum dimensionar a armadura no
estado limite de fissuração e fazer sua verificação na ruptura. O dimensionamento no estado
limite último em concreto protendido pouco difere do concreto armado, de maneira que as
hipóteses que ambos devem seguir estão descritas no item 17.2 da NBR 6118:2003.
Quando se calcula uma peça de concreto armado ou protendido, deve-se garantir a
segurança no estado limite último assim como verificar as condições de utilização. Então,
além das verificações no estado limite último, é preciso verificar a estrutura em seu
funcionamento, ou seja, em serviço ou uso. Essas verificações são correspondentes aos
estados limites de serviço de fissuração e deformação excessiva. Não basta uma estrutura
ter um segurança à ruptura, é preciso que funcione adequadamente e que tenha
durabilidade compatível ao que foi projetada. (PETRUCELLI, 2009)
De acordo com PETRUCELLI (2009), a fissuração excessiva de uma peça de
concreto protendido pode comprometer significativamente sua durabilidade. Mesmo não
sendo a única causa ou condição necessária, pode-se dizer que, quando de sua ocorrência,
há grande risco de haver uma degradação rápida do concreto superficial e da armadura.
Assim, a fim de evitar a fissuração excessiva devida à flexão, deve-se detalhar
adequadamente a armadura na seção transversal, aumentando-a, caso necessário.
Embora tenha se colocado como verificação dos estados limites de serviço, os
estados limites relativos à fissuração podem, no caso de concreto protendido, ser usados
como procedimentos de dimensionamento da armadura longitudinal. (PETRUCELLI, 2009)
Tanto as peças de concreto protendido, como as moldadas in loco, apresentam
comportamento à flexão semelhante. PETRUCELLI (2009) afirma que, no caso das lajes
alveolares, a grande diferença no comportamento se dá devido à complexa geometria, pois
os alvéolos reduzem rapidamente a espessura da alma próxima à linha neutra.
Em serviço a peça está sujeita a um momento fletor que traciona o concreto na face
superior levando-o à ruptura, caso a tensão de tração exceda o módulo de ruptura. Após a
fissuração, a tensão de tração nessa região fica reduzida e quando essa redução se
aproxima da alma, a fissura se estende rapidamente através da seção e a rigidez à flexão
fica com valor muito distante de uma seção retangular. Como grande parte da seção não
7
possui armadura, a fissuração começa a se tornar mais problemática para a resistência ao
cisalhamento, sendo assim a tensão de tração não deve ser excedida. (PETRUCELLI, 2009)
De acordo com ELLIOT (2002), a verificação das condições de serviço também deve
ser feita considerando-se que, para as lajes alveolares, a razão entre o momento de ruptura
e o momento em serviço é cerca de 1,7 a 1,8. Assim, pode-se dizer que a peça trabalha em
condições críticas quando as cargas são majoradas, utilizando-se coeficiente de majoração
de 1,4 para as cargas permanentes e 1,3 para as cargas acidentais.
Então, pode-se utilizar para calcular a armadura longitudinal de flexão tanto a
condição de estado limite último como as condições de verificação no estado limite de
fissuração, de tal forma que uma delas é empregada para determinar a quantidade de
armadura e a outra é utilizada como condição de verificação. Ainda assim é necessário
conhecer as perdas de protensão envolvidas no processo, tais como as que ocorrem logo
na aplicação da protensão como as perdas ao longo do tempo.
Os painéis de laje alveolar não possuem armadura transversal, responsável pela
resistência ao cisalhamento. A ausência dessa armadura é devida ao processo de produção
da laje, mecanizado, que não permite a colocação dos estribos. Por esse motivo, as tensões
de cisalhamento são resistidas pela armadura de protensão (longitudinal) e pelo concreto da
seção.
Diferentemente da flexão, a capacidade ao cisalhamento é determinada sempre pelo
estado limite último, não havendo condições de limitação em serviço. A ruptura se dá de
forma repentina, com a fissuração se estendendo pela alma, sendo esta devido a um
carregamento que a seção não consegue resistir. (PETRUCELLI, 2009)
Para se calcular a capacidade de cisalhamento de uma peça protendida, considera-
se duas condições: a) seção fissurada por flexão e b) seção não fissurada. Nos casos em
que o esforço cortante atuante é maior que o esforço máximo calculado, a NB1:2003
permite o preenchimento dos alvéolos para aumentar a área de concreto da seção da laje,
na região onde tal situação ocorre. Segundo PETRUCELLI (2009), o ganho da resistência
ao cisalhamento ao preencher os alvéolos é proporcional à área do concreto,
desconsiderando a possibilidade de escorregamento da armadura.
Em FUSCO (2008) há uma explicação de como 9 grupos de pesquisas da Europa
conduziram estudos para chegar a formulação contida na NBR6118:2003 que é usada para
verificar o cisalhamento em lajes alveolares.
Para verificar as condições de fissuração (durabilidade) e deformação excessiva,
condições essas utilizadas no dimensionamento das lajes protendidas, é necessário
conhecer os esforços de protensão atuantes ao longo do elemento considerado. Sabe-se
8
que, em função de vários fatores, a força de protensão nos cabos, após a aplicação da
protensão, não é constante ao longo do mesmo.
Há, via de regra, uma diminuição do esforço de protensão ao longo do cabo,
cabendo ao projetista determinar seu valor para que em qualquer seção, combinação de
carregamentos ou época na vida da estrutura, tanto as condições de utilização como as de
estado limite último estejam verificadas. (PETRUCELLI, 2009)
A essa diminuição do esforço de protensão ao longo do cabo dá-se o nome de
perdas de protensão. Essas perdas podem ser classificadas como perdas imediatas ou
perdas ao longo do tempo. As primeiras ocorrem em função das propriedades elásticas do
aço e do concreto e também da forma como se procede a protensão. Já as perdas ao longo
do tempo são devidas às propriedades viscoelásticas tanto do aço como do concreto.
A deformação excessiva em lajes alveolares protendidas, assim como todos os
elementos em concreto armado e protendido, trata-se de valores em que sejam respeitados
os limites estabelecidos para a utilização normal da estrutura. (PETRUCELLI, 2009)
Segundo CARVALHO e FIGUEIREDO FILHO (2003), para a verificação dos estados-
limite de deformações excessivas, devem ser analisados, além das combinações de ações a
serem empregadas, as características geométricas das seções, os efeitos da fissuração e
da fluência do concreto e as flechas limite, estas diretamente ligadas à destinação ou tipo de
elemento estrutural.
PETRUCELLI (2009) afirma que um dos problemas da deformação em lajes é a
contra-flecha excessiva, que traz dificuldades durante a montagem dos painéis e também na
concretagem da capa.
PETRUCELLI (2009) completa ainda dizendo que os deslocamentos excessivos e a
tendência à vibração podem ser indesejáveis por motivos descritos na norma
NBR6118:2003, que aqui se seguem resumidamente:
aceitabilidade sensorial: limita-se a deformação para que não ocorram
vibrações indesejáveis ou efeito visual desagradável;
efeitos específicos: os deslocamentos podem impedir a utilização adequada
da construção;
efeitos em elementos não estruturais: deslocamentos estruturais podem
ocasionar o mau funcionamento de elementos que, apesar de não fazerem
parte da estrutura, estão ligados a ela;
9
efeitos em elementos estruturais: os deslocamentos podem afetar o
comportamento do elemento estrutural, provocando afastamento em relação
as hipóteses de cálculo adotadas. Se os deslocamentos forem relevantes
para o elemento considerado, seus efeitos sobre as tensões ou sobre a
estabilidade da estrutura devem ser considerados, incorporando-os ao
modelo estrutural adotado.
De acordo com PETRUCELLI (2009), o roteiro a seguir deve ser utilizado para
detetrminar a armadura longitudinal do meio do vão de uma laje alveolar pré-fabricada:
1) Obtenção de todos os dados iniciais, dentre eles as características do elemento
(tipo de concreto, aço, seção transversal com e sem capa, etc), carregamentos a serem
considerados, as características geométricas através da seção e as condições ambientais.
As dimensões da seção transversal devem ser obtidas a partir de manuais que apresentam
tabelas que relacionam a espessura com a sobrecarga e vão;
2) Determinação da armadura de protensão Ap no estado limite último no tempo
“infinito”. Aqui ainda se trata de um pré-dimensionamento, por isso devem ser consideradas
decorridas todas as perdas, adotando-se um valor para tal;
3) Verificação do estado limite de serviço no tempo “zero” apenas com peso próprio
(em vazio) e no tempo infinito considerando-se as combinações freqüente e quase
permanente para as cargas acidentais. A força de protensão é dada através do valor de Ap
obtido no item 2. Também se deve estimar um valor para perdas iniciais para cálculo no
tempo zero. Considera-se que nas fibras opostas há inexistência de tensão de tração. Caso
as duas condições de tração e de compressão estejam atendidas ir para o item 5;
4) Verificação de fissuração atendendo os limites de tração e compressão descritos
pela norma. Ocorrendo tração nas fibras superiores, acrescentam-se cordoalhas nas
mesmas para combatê-la. Se necessário, aumentar a resistência de liberação da peça (fcj).
Não sendo possível eliminar a tração e a compressão excessiva, verificar outro elemento de
maior altura;
5) Determinação das perdas de protensão por etapas (estipular pelo menos 4 etapas
em que atuam os carregamentos nas seções simples e composta). Adotar os períodos em
que ocorre cada uma delas, sendo que se iniciam quando é introduzido um novo
carregamento até o momento em que começa atuar o próximo. Devem ser calculadas
sempre considerando que o valor inicial de tensão de uma etapa é a tensão final da etapa
anterior. Assim cada uma terá uma porcentagem característica que pode ser adotada em
outros casos;
10
6) Dimensionamento do valor de Ap como no item 2 e verificação no estado limite de
serviço como no item 3 e 4, com o valor final das perdas já calculado;
7) Verificação do cisalhamento das situações com seção simples (laje sem capa) e
seção composta (laje com capa). Se necessário, introduzir armadura passiva após a
concretagem e/ou preencher os alvéolos para diminuir as tensões;
8) Verificação das deformações, determinado os valores das flechas para cada
etapa, comparando-se o momento total com o momento de fissuração e em seguida
determinando o coeficiente de fluência que atua desde a data inicial do carregamento até a
idade considerada, sendo, portanto variável para cada uma delas. Comparar com os valores
limites descritos na norma.
9) Detalhamento da peça com os valores finais encontrados e já verificados.
FERNANDES (2007) apresenta alguns resultados experimentais de PACPs (painel
alveolar de concreto protendido), obtidos na empresa CASSOL PREFABRICADOS, na
unidade de Curitiba - Paraná, e que fazem parte de um programa de estudo que vem sendo
desenvolvida pelo autor principal do referido documento.
São mostrados os resultados dos ensaios de cisalhamento efetuados naquela
empresa, bem como a forma de realização dos ensaios já padronizada. Trata-se de painéis
(PACPs) de seis alvéolos, com quatro metros de comprimento, um metro e vinte e cinco
centímetros de largura e vinte centímetros de espessura, com distância entre os apoios
(rótulas) para ensaio de três metros e noventa centímetros.
A aplicação de força se dá na transversal, a 2,0h ou 2,5h de um dos apoios, sendo h
a altura do painel, com uma taxa de aplicação de força de 40 kN/min, de acordo com
recomendações do manual da FIP. Além dos resultados dos ensaios dos PACPs acima
destacados, também serão apresentados os resultados de PACPs com as mesmas
características de fabricação (tais como altura, comprimento, número de alvéolos,
composição etc), porém com acréscimo de capa de concreto (com ou sem fibras de aço) ou
com 2 ou 4 dos alvéolos preenchidos com concreto reforçado com fibra de aço (CRFA).
Serão relacionadas, também, as possíveis configurações de fissuras para este tipo
de ensaio, comparando-as com o apresentado na literatura internacional do assunto. A partir
de todos os resultados obtidos, realizar-se-á uma comparação destes com o que é
apresentado na Norma EN 1146:2005, norma inglesa para lajes alveolares protendidas,
para melhor avaliação do comportamento dessas lajes ao cisalhamento.
11
BOIÇA e SANTOS FILHO (2005) verificam, de maneira quantitativa e qualitativa, a
partir de um estudo de caso, a influência da utilização, tanto na fase de concepção como na
fase de projeto estrutural, de resistência à compressão do concreto mais elevadas.
MONTEDOR (2006) apresenta alguns resultados de ensaios de apoio padrão de
lajes alveolares protendidas, bem como as possíveis configurações de fissuras para esses
ensaios.
FERREIRA (2003) aborda, com ênfase nos aspectos relativos a projeto, as peças de
concreto protendido de um modo geral.
Consultou-se o endereço eletrônico da empresa TATU Pré-Moldados com o objetivo
de verificar os tipos possíveis de painéis de laje alveolar e sua disponibilidade no mercado.
A norma NBR 14861 (2002) que está sendo revisada no momento, caracteriza os
painéis alveolares e indica algumas condições de execução. No novo formato serão
acrescentadas algumas condições de cálculo e verificações segundo as informações do
professor FERREIRA, que é o presidente da comissão desta norma.
A parte de fundamentação teórica é fornecida de forma didática em CARVALHO
(2007) que será usado como referência nos cálculo e verificações relativos à protensão.
No livro pioneiro de EL DEBS, (2000) são apresentadas algumas das características
destas lajes e feitos alguns comentários sobre o procedimento de projeto e de cálculo
embora não conste nenhum exemplo numérico.
12
3. METODOLOGIA
O trabalho será desenvolvido em etapas distintas, de modo a organizar as atividades
e proporcionar um encadeamento lógico. Será feito 1 exemplo representativo com vão de
8m e com cargas usuais de edificação escolar. Assim neste exemplo serão usadas
dimensões das lajes fabricadas no Brasil e disponíveis no mercado de São Paulo como as
apresentadas na figura 4.
Figura 4- Fotografia de lajes alveolares da Fábrica Tatu em Limeira SP (consultado em 5/05/2006 http://www.tatu.com.br/lajes_alveolares.asp)
O trabalho constará, em princípio, das seguintes fases:
Estudo bibliográfico das lajes alveolares;
Modelo de cálculo no estado limite último de lajes alveolares na flexão e no
cisalhamento;
Cálculo no estado limite último de lajes alveolares na flexão e no
cisalhamento usando concreto protendido;
Verificação do estado limite de serviço de fissuração para lajes alveolares em
concreto protendido;
Verificação do estado limite de serviço de deformação excessiva para lajes
alveolares em concreto protendido;
Exemplo numérico de cálculo e verificação de lajes alveolares.
Como os resultados poderão ser usados posteriormente em outras pesquisas, e para
que o número de variáveis não seja muito elevado, será abordado inicialmente apenas
13
sistema isostático, simplesmente apoiado, que inclusive é o mais empregado, na prática, em
sistemas de lajes alveolares.
Os resultados serão analisados de forma criteriosa, avaliando-se: sua consistência;
efeitos das principais variáveis; eventuais necessidades de abordar novas situações não
previstas inicialmente. Sempre que possível os resultados serão apresentados em tabelas e
gráficos para que facilitem a visualização e compreensão.
Com as conclusões, espera-se auxiliar projetistas, calculistas, construtores e mesmo
fabricantes de lajes alveolares a desenvolver projetos mais corretos e seguros, e que os
mesmos possam orientar de maneira adequada os usuários quanto ao projeto e utilização,
visto que esse sistema tem tido emprego crescente.
14
4. EQUAÇÕES PARA DIMENSIONAMENTO
Para o dimensionamento da peça de laje alveolar protendida define-se um modelo de
cálculo respeitando-se a NBR 6118:2003 e a NBR 9062:2006 e usando os procedimentos
básicos de concreto armado e protendido que estão contidos em CARVALHO (2009). Neste
capítulo são mostradas e explicadas as equações utilizadas neste modelo de cálculo.
4.1 EQUAÇÕES PARA DETERMINAÇÃO DA QUANTIDADE DE ARMADURA A UTILIZAR
Para o estado limite último (no tempo infinito - tempo após todas as perdas terem
ocorrido)
1,4
f*d²*wb
MKMD
cd
d (4.1)
Onde:
Md – momento máximo resistente;
bw – largura da seção;
d – altura útil;
fcd – resistência de cálculo do concreto (geralmente o da capa, pois considera-se x <
hcapa).
pd
d
pσ*d*KZ
MA (4.2)
Onde:
Ap – área total de cabos;
Md – momento máximo resistente;
15
KZ – coeficiente obtido pela tabela 3.1 de Carvalho e Figueiredo Filho (2004), dada
também no anexo A;
d – altura útil;
pdσ – tensão na armadura de protensão no tempo infinito devido o pré-alongamento e
a deformação da seção para que seja obtido o equilíbrio na flexão.
4.2 EQUAÇÕES PARA DETERMINAÇÃO DAS PERDAS DE PROTENSÃO INICIAS
4.2.1 PERDA POR ANCORAGEM DA ARMADURA
*panc E (4.3)
Onde:
L
– deformação decorrente do aço conforme a pista de protensão e sistema de
ancoragem;
– acomodação ou recuo característico da ancoragem (valor que pode ser medido
nas fábricas);
L – comprimento da pista de protensão;
pE – módulo de elasticidade do aço.
4.2.2 PERDA POR RELAXAÇÃO DA ARMADURA
),( 0* ttpir (4.4)
Onde:
15,0
01000),(
67,41*
0
tttt – coeficiente adimensional;
16
1000 – coeficiente obtido pela tabela 8.3 da NBR6118:2003, fazendo-se a relação
entre a tensão no instante t0 e a tensão última de protensão no aço;
pi – tensão do aço no instante considerado.
4.2.3 PERDA POR DEFORMAÇÃO IMEDIATA DO CONCRETO
*cgcabopd (4.5)
onde:
I
eM
I
eN
A
N pp
cgcabo
*²* – tensão no centro de gravidade dos cabos;
c
p
E
E - relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto;
M – soma dos momentos fletores na seção devido às ações atuantes;
Np – esforço normal de protensão;
e – excentricidade do cabo na seção;
A – área da seção transversal de concreto;
I – inércia da seção.
4.3 EQUAÇÕES PARA DETERMINAÇÃO DAS PERDAS DE PROTENSÃO DIFERIDAS OU AO LONGO DO TEMPO CONSIDERANDO CADA UMA ISOLADAMENTE
4.3.1 PERDA POR FLUÊNCIA DO CONCRETO
*,, ccgcabocp (4.6)
Onde:
17
),(**
),(**
00, ttI
eMtt
I
eM
A
N pp
ccgcabo
– tensão no centro de gravidade
dos cabos;
),( 0tt – coeficiente de fluência dado pelo período do carregamento considerado,
calculado em A.2.2.3 – Anexo A da NBR6118:2003. No caso da expressão anterior os
valores dos momentos permanentes devem ser multiplicados pelo coeficiente de fluência
correspondente que depende da data em que a ação atua;
Mp – momento devido à força de protensão na seção;
M – soma dos momentos fletores na seção devido às ações atuantes;
Np – esforço normal de protensão;
e – excentricidade do cabo na seção;
A – área da seção transversal de concreto;
I – inércia da seção.
4.3.2 PERDA POR RETRAÇÃO DO CONCRETO
psscs Ett *)]()([*Δσ 0scg, (4.7)
Onde:
),( 0ttcs – coeficiente de retração obtido em A.2.3 – Anexo A da NBR6118:2003;
)(ts e )( 0ts – coeficientes obtidos através da figura A.3, item A.2.3.2 da
NBR6118:2003.
4.4 EQUAÇÃO PARA DETERMINAÇÃO DAS PERDAS DE PROTENSÃO CONSIDERANDO-AS COMO PERDAS PROGRESSIVAS
ppcp
pgpcppcs
p
ttttEtttt
***
),(*),(***),(),(
0000,0
0
(4.8)
18
Onde:
pcs Ett *),( 0 – parcela relativa à retração do concreto, calculada pela equação 4.7;
),(** 00, ttgpcp – parcela referente à fluência do concreto, obtida pela equação
4.3;
0p – tensão inicial, considerando-se que já ocorreram as perdas iniciais;
)],(1ln[),( 00 tttt - com ),( 0tt calculado no item A.3.3;
),(1 0ttp ;
),(*5,01 0ttc - neste caso usa-se o valor inicial de ),( 0tt ;
c
cp
I
Ae *1
2 ;
c
p
pA
A ;
pe – excentricidade do cabo na seção;
cA – área da seção transversal de concreto;
cI – inércia da seção de concreto;
pA – área total dos cabos de protensão.
4.5 EQUAÇÕES PARA VERIFICAÇÕES DE TENSÕES NAS BORDAS DA PEÇA
Neste trabalho utiliza-se a seguinte convenção de sinais:
TENSÃO TRAÇÃO – SINAL NEGATIVO
TENSÃO COMPRESSÃO – SINAL POSITIVO
19
4.5.1 VERIFICAÇÃO NO TEMPO ZERO
A ser realizada na seção onde ocorre a regularização da protensão.
W
M
W
e*N
A
Nσ
gpp (4.9)
Onde:
– tensões normais no concreto junto à borda inferior ou superior;
Np – esforço normal de protensão na data da liberação da protensão;
e – excentricidade do cabo na seção;
A – área da seção transversal inicial de concreto;
W – módulo de resistência da seção inicial em relação ao bordo inferior ou superior
dependendo da fibra a ser considerada;
gM – momento fletor devido à ação de peso próprio da seção do painel.
bpt
2
bpt
2
bpd 0,6h lll (4.10)
Onde:
bpdl – distância de regularização das tensões;
bptl – comprimento de transferência da protensão, calculado pela equação 4.11;
h – altura do elemento.
bpd
pi
bptf
l*36
**5,0*0,7 (4.11)
Onde:
20
pi – tensão do aço no instante considerado;
– diâmetro do aço;
bpdf – resistência de aderência de cálculo entre a armadura e o concreto na
ancoragem da armadura de protensão (pré-tração), obtido no item 9.3.2.2 da
NBR6118:2003.
OBS.: se a liberação da protensão é considerado como não gradual, o resultado da
equação deve ser considerado 25% maior.
4.5.2 VERIFICAÇÃO NO TEMPO INFINITO
A ser realizada preferencialmente na seção do meio do vão
i
ipp
W
M
W
e*N
A
Nσ (4.12)
Onde:
pN – esforço normal de protensão no tempo infinito;
iW – módulo de resistência da seção em relação ao bordo inferior e superior que
deve ser considerado para a etapa i;
iM – Momentos fletor na seção devido a ação i.
e – excentricidade do cabo na seção;
A – área da seção transversal inicial de concreto.
4.6 EQUAÇÕES PARA VERIFICAÇÕES DE DEFORMAÇÕES EXCESSIVAS
Valores de flecha
21
**8
* 2
IE
lMa
p
p (4.13)
**384
**5 4
IE
lvav (4.14)
Onde:
pa – flecha devido ao efeito da protensão;
pM – momento devido à força de protensão;
va – flecha devido à intensidade considerada;
v – intensidade considerada;
l - vão do elemento considerado;
E – módulo de elasticidade do concreto;
I – inércia da seção de concreto correspondente a etapa considerada.
(OBS.: a flecha deve ser calculada multiplicando-se cada uma delas pelo coeficiente
de fluência respectivo para cada etapa estipulada)
4.7 EQUAÇÃO PARA DETERMINAÇÃO DO CISALHAMENTO EM LAJES SEM ARMADURA PARA FORÇA CORTANTE
dbkV wcptrdrd **]*15,0)*402,1(**[ (4.15)
Onde:
ctdrd f*25,0 – resistência de projeto ao cisalhamento;
c
ctk
ctd
ff
inf, – resistência à tração obtido no item 8.2.5 da NBR6118:2003;
02,0*
1 db
A
w
st – coeficiente adimensional;
22
1sA – área da seção transversal de concreto do elemento;
bw – largura da seção;
d – altura útil;
c
sdcp
A
N – tensão na seção de concreto;
sdN – força de protensão total na seção;
cA – área da seção de concreto;
16,1 dk – coeficiente adimensional (situação em que mais de 50% da
armadura inferior chega aos apoios, caso contrário 1k ).
A partir disto, desenvolve-se, no próximo capítulo, o modelo de cálculo para
dimensionar as peças de laje alveolar protendida.
23
5. EXEMPLOS
Neste capítulo são apresentados quatro exemplo. O primeiro aqui referido como
exemplo numérico trata numericamente do dimensionamento da armadura longitudinal de
uma laje alveolar além de apresentar as verificações numéricas pertinentes. Nos três
posteriores designados como exemplos teóricos apresenta-se o estudo de como realizar o
projeto dos painéis alveolares para um trecho de pavimento, indicando as vantagens e
desvantagens na escolha dos painéis.
5.1 EXEMPLO NUMÉRICO
Dimensionar e verificar a laje alveolar de altura h=200 mm com seção simples e
composta, juntamente com as características geométricas dados na tabela 5.1, para um vão
livre de 8 m sendo simplesmente apoiada, concreto com fcj =30 MPa (sendo j=20 horas –
introdução da protensão) e fck=50 MPa, capa de 5 cm com fck=30 MPa, aço CP190RB e
Ep=2,05*105 MPa. Considerar sobrecarga de revestimento de 2 kN/m² e sobrecarga
acidental de 5 kN/m². Dados complementares: Ψ1 =0,6, Ψ2 =0,4, cimento do tipo ARI (α=3
para fluência), CAA II, umidade relativa do ar U=70% e temperatura ambiente média
T=20ºC. As equações necessárias utilizadas encontram-se no capítulo 4 deste trabalho.
24
Tabela 5.1: Seções genéricas de uma laje alveolar de 200 mm e propriedades geométricas.
Seção genérica de uma laje de 200 mm de altura Propriedades Geométricas
Seção Simples
Área = 0,1427 m²
Perímetro = 5,87 m
I = 0,0007 m4
ys = 0,0995 m
Ws = 3
007,00995,0
0007,0m
Wi = 3
0069,01005,0
0007,0m
es = 0,11005-0,031=
= 0,069 m
Seção Composta
Área = 0,2017 m²
Perímetro = 5,97 m
I = 0,0013 m4
ys = 0,1131 m
Ws = 3
0115,01131,0
0013,0m
Wi = 3
0095,01369,0
0013,0m
ec = 0,1369-0,031=
= 0,1059 m
5.1.1 DETERMINAÇÃO DOS CARREGAMENTOS
Os carregamentos que são considerados para o dimensionamento da laje são:
Peso próprio – g1 = 0,1427*25 = 3,57 kN/m
Capa – g2 = 0,05*1,25*25 = 1,56 kN/m
25
Revestimentos – g3 = 2*1,25 = 2,5 kN/m
Sobrecarga Acidental – q = 5*1,25 = 6,25 kN/m
Pode-se, a partir desses valores, considerar a tabela 5.2 com os dados a serem
usados para tais carregamentos.
Tabela 5.2: Carregamentos e momentos a considerar para a laje de 200 mm.
Ação Sigla Intensidade
(kN/m)/peça
Momento Máximo
(kN.m)/peça
Peso próprio g1 3,57 28,56
Capa g2 1,56 12,48
Revestimento g3 2,50 20,00
Acidental q 6,25 50,00
Acidental quase permanente 0,4*q 2,50 20,00
Acidental frequente 0,6*q 3,75 30,00
5.1.2 PRÉ-DIMENSIONAMENTO NO ELU (T=∞)
Para o pré-dimensionamento no ELU, considera-se que a seção trabalha no tempo
infinito (t=∞) com a seção composta e a peça na condição de simplesmente apoiada.
Levando-se em conta que em estruturas pré-moldadas utiliza-se o valor de 1,3 para
coeficientes de majoração de cargas permanentes e 1,4 para cargas acidentais, chega-se
ao seguinte valor:
Momento Máximo: mkNM d .60,152)00,5000,2048,12(*4,156,28*3,1
Supondo que a linha neutra passe na capa e fazendo uso da equação 4.1 dos dados
do capítulo 4, tem-se:
26
119,0
30000*²031,025,0*25,1
60,152*4,1
4,1*²*
cd
w
d
fdb
MKMD
KX = 0,1911
KZ = 0,9236
εs = 10‰ – domínio 2
Verificando a posição da linha neutra:
x = KX*d = 0,1911*0,219 = 4,18cm < 5,00cm => a linha neutra passa na capa!
Determinação de εt:
Para determinar o valor de εt é necessário adotar as perdas de protensão totais.
Nesse caso são adotados 25%.
De acordo com o item 9.6.1.2.1 da NB1:2003 ,o valor da tensão inicial para o caso de
pré-tração (aço com relaxação baixa – RB) é dado por:
MPa1453MPa14531710*85,0f85,0
MPa14631900*77,0f77,0p
pyk
ptk
p
MPapt 109075,0*1453
Interpolando a tabela A.2 de Vasconcelos (1980) dada no anexo A: εp = 5,60‰
Então, tem-se que: pst = 10‰ + 5,60‰ = 15,6‰ pst
Novamente interpolando a tabela A.2 do anexo A:
²cm/kN9,150MPa1509pd
27
Determinação de Ap:
Com isso é possível determinar a quantidade de armadura necessária para atender o
Estado Limite Último (t=∞), com a equação 4.2:
²00,59,150*219,0*9236,0
60,152
**cm
dKZ
MA
pi
dp
Considerando a área da cordoalha de 9,5 mm (3/8”) = 0,55 cm²
Ou seja, são necessárias 9 cordoalhas de 9,5 mm. A partir deste valor são
calculadas as perdas de protensão.
5.1.3 VERIFICAÇÃO EM VAZIO (T=0)
Anteriormente ao cálculo das perdas de protensão é necessário verificar a peça em
vazio, pois neste caso a força de protensão tem seu valor máximo e nem todas as cargas
estão atuando (atua apenas o peso próprio), assim como a geometria da seção ainda não
conta com o trabalho da capa. Com isso, pode ocorrer tração excessiva na peça, sendo
preciso acrescentar cordoalhas nas fibras superiores.
Os valores das tensões nas fibras inferior e superior são limitados por
ckct ff 7,02,1 (caso em que se permite tração) ou ckf7,00 (caso em que não
se permite tração). Neste exemplo não será permitida a tração, obtendo-se
MPafck 2107,00 .
A tensão atuante é obtida após adotar um valor para as perdas inicias, sendo aqui
igual a 5%. Os esforços de protensão podem ser calculados com:
MPapi 138095,0*1453
mmn 5,990,955,0
00,5
28
kNN p 10,683138*55,0*9
mkNMeN pp .13,47069,0*10,683*
mkNM g .56,281
Inicialmente a verificação é feita para o meio do vão, mas posteriormente é mostrado
que a seção crítica é aquela onde se completa o efeito da transferência da força de
protensão. Destaca-se aqui que a convenção de sinais adotada é: sinal positivo –
compressão; sinal negativo – tração. Utilizando a equação 4.8:
a)Efeito da protensão:
MPa62,110,0069
47,13
0,1427
683,10
W
e*N
A
Nσ
i
spp
i
MPa-1,950,007
47,13
0,1427
683,10
W
e*N
A
Nσ
s
spp
s
b)Verificação no meio do vão:
Considerando a ação do peso próprio:
MPaW
M
i
g
i 14,40069,0
56,281
MPaW
M
s
g
s 08,4007,0
56,281
29
Somando-se os efeitos:
)(2148,714,462,11 OKMPaMPai
)(013,208,495,1 OKMPas
Assim as duas condições estão atendidas.
c)Verificação próxima aos apoios:
Como o momento da laje varia, a seção mais crítica para a tensão de tração na
borda superior deve ser onde ocorre a transferência da protensão, que é dada pela equação
4.11, considerando que a situação de liberação da protensão é não gradual:
m92,0737,1*36
1380*0095,0*375,4
f*36
**25,1*5,0*0,7l
bpd
pi
bpt
Utilizando-se agora a expressão 4.10 da distância de regularização:
bptbptbpd l)²*6,0(²hl
m59,0)²92,0*6,0(²20,0lbpd
Assim: mll bptbpd 92,0
Ou seja, os esforços de protensão na seção vão crescendo linearmente de zero ao
valor total que se encontra a 92 cm do apoio, tendo para valor do momento de peso próprio:
30
mkNx
xpxp
M bpt .63,112
92,0*92,0*57,392,0*
2
8*57,3
2***
2
*
E as tensões referentes ao peso próprio:
MPai 68,10069,0
63,11
MPas 66,1007,0
63,11
Resultando finalmente nas tensões (considerando agora também a protensão):
)(2194,968,162,11 OKMPaMPai
029,066,195,1 MPas São necessárias cordoalhas superiores
Para determinar a quantidade de armadura superior (Ap‟), acrescentam-se as
parcelas referentes a essas cordoalhas superiores na mesma equação de verificação,
porém com o valor da tensão sσ já igual a zero. Então os valores de Np e Mp para as duas
bordas são:
kNN p 10,683138*55,0*9
kNMeN psp 13,47069,0*10,683*
'*138'*' ppp AAN
'*14,8059,0'**138'''* pppsp AAMeN
31
0W
M
W
'M
A
'N
W
M
A
Nσ
s
bpt
s
pp
s
pp
s
²13,0'A00,007
11,63
0,007
'A*8,14
0,1427
'A*138
0,007
47,13
0,1427
683,10p
ppcm
Considerando a área da cordoalha de 9,5 mm (3/8”) = 0,55 cm²
mmn 5,9224,055,0
13,0 (Número mínimo de cordoalhas)
Portanto, são necessárias duas cordoalhas de 9,5 mm para combater a tração
excedente nas fibras superiores. Com esses dados segue o cálculo das perdas de
protensão.
5.1.4 CÁLCULO DAS PERDAS
Após o pré-dimensionamento no ELU, segue-se a obtenção das perdas de protensão
totais ao longo do tempo e confere-se o cálculo inicial, onde essas perdas foram adotadas.
Inicialmente é preciso caracterizar bem como será procedida a fabricação e montagem da
laje. Isto pode ser visto na tabela 5.3, em que se indica a seção a se considerar e as ações
que atuam a cada etapa e principalmente a data em dias desde o início da fabricação do
painel alveolar. Resta ainda discutir como será considerada a área de concreto e o
perímetro da peça em contato com ar. Também é bom lembrar que existem dois tipos de
concreto na peça: o concreto do painel e o da capa. Todas estas considerações são feitas
no item correspondente às perdas ao longo do tempo.
32
Tabela 5.3: Seqüência considerada para determinação das perdas de protensão em etapas de acordo com a introdução de um novo tipo de carregamento.
Etapa Tempo decorrido
da concretagem Ação Seção Perdas
1
t=20 horas
(aplicação da
protensão)
p+g1 Simples
Deformação imediata,
Deformação por
ancoragem e
Relaxação da armadura
2 t= 15 dias p+g1+g2 Simples
Retração e fluência do
concreto e Relaxação da
armadura
3 t= 45 dias p+g1+g2+g3 Composta
(laje+capa)
Retração e fluência do
concreto e Relaxação da
armadura
4 t= 60 dias p+g1+g2+g3+
Ψ2*q
Composta
(laje+capa)
Retração e fluência do
concreto e Relaxação da
armadura
5 t= ∞ dias p+g1+g2+g3+
Ψ2*q
Composta
(laje+capa)
Retração e fluência do
concreto e relaxação da
armadura
Obs.: p – protensão; g1 – peso próprio; g2 – carga devida à capa de concreto; g3 – sobrecarga permanente; q – utilização; t0 – tempo inicial; t∞ - tempo final; Ψ2 – fator de redução de combinação quase permanente.
5.1.5 DETERMINAÇÃO DAS PERDAS DE PROTENSÃO
Neste caso são três perdas a considerar: por ancoragem da armadura, por relaxação
da armadura durante a cura do concreto e, finalmente, por deformação imediata do
concreto. A seguir é feito o cálculo de cada uma delas.
5.1.5.1 Determinação das Perdas Iniciais – Cabos Inferiores
33
a)Deformação por ancoragem da armadura:
Supondo uma pista de protensão de 150 m e considerando um = 0,6 cm, tem-se
através da equação 4.3:
00004,0150
006,0
L
De acordo com a Lei de Hooke:
*Ep
MPaanc 810*05,2*00004,0 5
b)Relaxação da armadura:
Aqui o correto é já utilizar a tensão com a perda anterior. Sabendo-se que a perda
por ancoragem da armadura foi de 8 MPa e com a relação abaixo entre tensão inicial e
última do aço, é possível achar o valor de Ψ1000 através da tabela 5.4:
76,01900
81453
R
34
Tabela 5.4: Valores de Ψ1000, em %.
Cordoalhas Fios Barras
Tensão inicial RN RB RN RB
0,5 fptk 0 0 0 0 0
0,6 fptk 3,5 1,3 2,5 1,0 1,5
0,7 fptk 7 2,5 5 2 4
0,8 fptk 12 3,5 8,5 3 7
Interpolando os valores, tem-se para RB que Ψ1000 = 3,1% (equação 4.4):
%72,167,41
083,0*1,3
67,41*
15,015,0
0
1000),( 0
tttt
Com isso, MPar 25100
72,1*1453
c)Perda imediata do concreto:
A tensão é utilizada já com as perdas anteriores e o cálculo é feito apenas para a
seção no meio do vão.
MPa14202581453
MPaN p 10,859142*55,0*2142*55,0*9
mkNM p .28,39059,0*2*55,0*142069,0*9*55,0*142
².71,2069,0*28,39* mkNeM sp
35
².97,1069,0*56,28*1 mkNeM sg
Com esses valores calcula-se a tensão no cg das cordoalhas:
MPamkNI
eMe
I
M
A
N sg
s
pp
cgcabo 08,7²/70770007,0
97,1
0007,0
71,2
1427,0
10,859**
1
MPafE ckc 2607130*5600*85,0*5600*85,0
MPaip 5467,7*08,7,
Assim, a perda de protensão dos cabos inferiores chega a:
MPaht 875425820
Então, a tensão final é de:
MPahpt 136687145320
E o valor referente à perda imediata, ou seja, apenas da etapa 1 é de:
% Perda Etapa 1 %0,6060,01453
13661453
67,726071
10*05,2 5
c
p
E
E
36
5.1.5.2 Determinação das Perdas Iniciais – Cabos Superiores
Como em 5.1.5.1, os valores das perdas por ancoragem da armadura e relaxação da
armadura iguais a 8 MPa e 25 MPa, respectivamente.
a)Perda imediata do concreto:
Para efetuar o cálculo da tensão no cg do cabo, têm-se:
MPa14202581453
MPaN p 10,859142*55,0*2142*55,0*9
mkNM p .28,39059,0*2*55,0*142069,0*9*55,0*142
².32,2059,0*28,39'* mkNeM sp
².68,1059,0*56,28'*1 mkNeM sg
Com esses valores é calculada a tensão no cg das cordoalhas:
MPamkNI
eMe
I
M
A
N sg
s
pp
cgcabo 5²/51060007,0
68,1
0007,0
32,2
1427,0
10,859'*'*
1
MPapdi 3867,7*5
Assim, a perda de protensão dos cabos superiores chega a:
37
MPat 71382581
Então, a tensão final é de:
MPahpt 138271145320
O valor referente à perda imediata é de:
% Perda Etapa 1 %9,4049,01453
13821453
5.1.5.3 Determinação das Perdas Diferidas (Etapas 2, 3, 4 e 5) – Cabos
Inferiores e Superiores
A partir da etapa 2 as perdas já são consideradas „perdas ao longo do tempo‟, ou
seja, são determinadas as perdas por fluência do concreto, retração do concreto e relaxação
da armadura, conforme a idade adotada na tabela 5.3.
Existem dois processos de cálculo, sendo um deles considerando os fenômenos
isoladamente e o outro considerando a simultaneidade entre eles, conhecido como cálculo
de perdas progressivas. São feitos os dois métodos para fins comparativos.
Para aplicar as formulações é preciso definir a área da seção e o perímetro de
concreto em contato com ar. Como se trata de uma seção composta em que há mudanças
durante a utilização da mesma, é preciso adotar um critério, mesmo que simplificado, para
avaliar estas duas variáveis. Com a seqüência da tabela 5.5, pode-se considerar que:
Na segunda etapa a área da seção a considerar é a média da área do painel (seção
simples) com a seção com a capa (composta), ou seja, m²0,1722=A . O perímetro do
concreto em contato com o ar é bem grande, considerando inclusive os alvéolos e
resultando em m87,5 .
Na terceira etapa a seção já pode ser considerada com a capa (mesmo que ainda
não tenha endurecido já faz parte da seção) e, portanto, m² 0,2050=A . Para o perímetro
não se consideram as partes laterais da peça que já devem estar preenchidas e considera-
38
se agora que o ar do alvéolo está bem saturado. Assim, considera-se para o perímetro a
largura da peça (em cima e embaixo) e metade do perímetro dos alvéolos chegando-se em
m 3,866 2
0,145)*π*(61,25*2=μ .
Na quarta etapa a seção recebe o revestimento superior que provavelmente torna a
superfície superior isolada do ar (por causa do piso), entrando no cálculo do perímetro
apenas a parte inferior. Considera-se ainda que o ar do alvéolo esteja bem saturado e
soma-se metade do perímetro dos alvéolos chegando-se a
m2,616 2
0,145)*π*(61,25=μ .
Na quinta e última etapa, em geral, o alvéolo é tampado e neste caso o ar do mesmo
já deve estar totalmente saturado, como demonstram relatos em ensaios de CATOIA (2009)
no NETPRÉ. Desta maneira, tem-se em m1,25=μ e m² 0,2050=A .
Assim, para fazer um cálculo racional é considerada para ação da protensão e peso
próprio (g1) a média dos valores da área e para o perímetro é feita a média de todas etapas.
Para a ação da capa, a média dos valores característicos da terceira fase em diante e da
mesma forma para as outras ações resultando na tabela 5.5.
Tabela 5.5: Valores de área e perímetro a considerar no cálculo das perdas para cada ação.
Ação Descrição Área da
seção (m2)
Perímetro em contato com o ar (m)
g1 Peso próprio 0,1722 40,34
25,1616,2866,387,5
g2 Capa 0,2050 58,23
25,1616,2866,3
g3 Revestimento 0,2050 93,12
25,1616,2
q Carga acidental 0,2050 25,1
Nos próximos itens são calculadas as perdas usando os valores mostrados na tabela
5.5.
Nesse item serão calculadas as perdas diferidas tanto para os cabos inferiores
quanto para os cabos superiores simultaneamente.
39
a) Perda por fluência do concreto:
Através dos dados da tabela 5.5 e das equações no capítulo 4 (item 4.3.1), chega-se
a valores de coeficiente de fluência resumidos na tabela 5.6 a seguir:
Tabela 5.6: Coeficientes de fluência determinados de acordo com o período estabelecido.
Etapa Período (dias) Área (m²) Perímetro (cm) )t(t, 0
2 1 - ∞ 0,1722 340 3,04
3 15 - ∞ 0,2050 258 1,85
4 45 - ∞ 0,2050 193 1,44
5 60 - ∞ 0,2050 125 1,38
Com os valores dos coeficientes de fluência é possível determinar o valor da perda
por fluência:
kNN p 11,8362,138*55,0*22,138*55,0*9
mkNM p .23,38059,0*55,0*2*2,138069,0*55,0*9*2,138
mkNM g .56,281 , mkNM g .48,122 , mkNM g .203 e mkNM q .204,0
40
- Cabos Inferiores:
)45,(**
)15,(**
)1,(**)( 321
I
eM
I
eM
I
eMM
A
N cgsgsgpp
cgcabo
86,1*0007,0
069,0*48,1202,3*
0007,0
069,0*)56,2823,38(
1427,0
11,836)60,(*
*4,0
I
eMc
q
²/1367539,1*0013,0
1059,0*2044,1*
0013,0
1059,0*20mkN
A perda por fluência para os cabos inferiores fica: MPa85,10467,13*67,7 cp,
- Cabos Superiores:
)45,(*I
'e*M)15,(*
I
'e*M)1,(*
I
'e*)MM(
A
N c3gs2gs1gpp
cgcabo
86,1*0007,0
059,0*48,1202,3*
0007,0
059,0*)56,2823,38(
1427,0
11,836)60,(*
'*4,0
I
eMc
q
²/971139,1*0013,0
0190,0*2044,1*
0013,0
0190,0*20mkN
A perda por fluência para os cabos superiores fica: MPa48,7471,9*67,7 cp,
41
b)Perda por retração do concreto:
A perda por retração pode ser considerada igual para os cabos superiores e
inferiores e é calculada como se mostra a seguir:
A perda por retração é obtida pela expressão 4.7:
psscs Ett *)]()([*Δσ 0scg,
O coeficiente de retração é dado pela equação:
sscs tt 210 *),( , onde:
4
1 10*5,275,0*))1590/²()484/(16,6( UUs
95,019,15*38,20
19,15*233
*38,20
*2332
fic
fic
sh
h
Em que: mA
h fic 1519,040,3
1722,0*2*5,1
2*
Através da figura A.3, item A.2.3.2 da NBR6118:2003, obtém-se:
10,0)3( tf
00,1)10000( tf
MPa43,8210*2,05*0,10)(1,00*0,95*10*2,5Δσ 54
sp,
42
c)Perda por relaxação da armadura:
-Cabos inferiores:
72,01900
1366R
Interpolando os valores da tabela 4.4, tem-se para RB que Ψ1000 = 2,7% (equação
4.4)
%14,667,41
010000*7,2
67,41*
15,015,0
0
1000),( 0
tttt
Com isso, MPar 84100
14,6*1366
-Cabos superiores:
73,01900
1382R
Interpolando os valores da tabela 5.4, tem-se para RB que Ψ1000 = 2,8%:
%37,667,41
010000*8,2
67,41*
15,015,0
0
1000),( 0
tttt
Com isso, MPar 88100
37,6*1382
43
d)Perdas totais considerando cada uma delas isoladamente:
Considerando as perdas isoladas chega-se a:
- Cabos Inferiores:
MParscp 2338482,4385,104,
- Cabos Superiores:
MParscp 2068882,4348,74,
E as tensões finais ficam:
- Cabos Inferiores:
MPapt 11332331366
- Cabos Superiores:
MPapt 11762061382
A porcentagem das perdas é de:
- Cabos Inferiores:
% Perdas Total %0,22220,01453
11331453
44
- Cabos Superiores:
% Perdas Total %1,19191,01453
11761453
Para este exemplo as perdas totais variam de 19 a 22%. O item a seguir mostra o
cálculo das perdas como progressivas, ainda para os cabos inferiores.
5.1.5.4 Perdas Progressivas – Cabos Inferiores
Utilizando a equação 4.8:
ppcp
00p0g0p,cpp0cs
0p***
)t,t(*)t,t(**E*)t,t()t,t(
Com:
pcs Ett *),( 0 - calculado no item 5.1.5.3 b
),(** 00, ttgpcp - calculado no item 5.1.5.3 a
MPap 13660
0645,0]0625,01ln[)]t,t(1ln[)t,t( 00
0645,1)t,t(1 0p
51,2),(*5,01 0 ttc (neste caso usa-se o valor inicial de 02,3),( 0 tt )
45
97,10007,0
1427,0*069,01*1 22
c
cs
I
Ae
310*2,41427
55,0*255,0*9
c
p
pA
A
O valor das perdas progressivas é de:
MPattp 19410*2,4*97,1*67,7*51,20645,1
0645,0*136685,10482,43),(
30
E a tensão final fica sendo:
MPapt 11721941366
Com isso, tem-se o valor final das perdas:
%34,191934,01453
11721453
Perdas
Aqui os valores das perdas pelos dois processos de cálculo também são muito
próximos. Assim sendo, pode-se considerar que há uma perda de protensão para os cabos
inferiores de 19 a 22%. No item a seguir são determinadas as perdas nas fibras superiores.
5.1.5.5 Perdas Progressivas – Cabos Superiores
Utilizando a equação 4.8:
46
ppcp
00p0g0p,cpp0cs
0p***
)t,t(*)t,t(**E*)t,t()t,t(
Com:
pcs Ett *),( 0 - calculado no item 5.1.5.3 b
),(** 00, ttgpcp - calculado no item 5.1.5.3 a
MPap 13820
0645,0]0625,01ln[)],(1ln[),( 00 tttt
0645,1),(1 0 ttp
51,2),(*5,01 0 ttc (neste caso usa-se o valor inicial de 02,3),( 0 tt )
71,10007,0
1427,0*059,01*'1 22
c
cp
I
Ae
310*2,41427
55,0*255,0*9
c
p
pA
A
O valor das perdas progressivas é de:
MPattp 47,17210*2,4*71,1*67,7*51,20645,1
0645,0*138248,7482,43),(
30
47
E a tensão final fica sendo:
MPapt 121047,1721382
Com isso tem-se o valor final das perdas:
%0,1717,01453
12101453
Perdas
Para os cabos superiores, a perda resultou em valores de 17 a 19%. Para este valor
não há alteração significativa e a área de cabos continua praticamente a mesma, ou seja,
ainda são usados 9 cabos de 9,5 mm.
5.1.6 VERIFICAÇÃO DE FISSURAÇÃO - TEMPO ∞
Com os valores das perdas já calculados, é possível calcular o efeito da protensão
no tempo infinito com maior precisão.
Considerando os maiores valores das perdas obtidas para cada fibra, chega-se a:
kNN p 20,6906,117*55,0*23,113*55,0*9
kNeNeNM spspp 06,31059,0*6,117*55,0*2069,0*3,113*55,0*9''**
mkNM gg .04,4121
mkNM qg .00,404,03
mkNM qg .00,506,03
48
a)Para combinação quase permanente ( MPa35σ00,7fσ0 ck ):
- Fibras Inferiores:
)(019,8200,0095
40
0,0069
41,04
0,0069
31,06
0,1427
690,20
W
M
W
M
A
Nσ
ii
pp
i nãoOK
Utilizando mais um cabo inferior:
kNN p 51,7526,117*55,0*23,113*55,0*10
mkNeNeNM spspp .36,35059,0*6,117*55,0*2069,0*3,113*55,0*10''**
)(024,00,0095
40
0,0069
41,04
0,0069
35,36
0,1427
752,51
W
M
W
M
A
Nσ
ii
pp
i OK
- Fibras Superiores:
)y- (h*I
M
W
e*N
A
Nσ
compostaseçãossimples seção
compostaseçãos
spp
s
)1131,025,0(*0,0013
40
0,007
41,04
0,007
35,36
0,1427
752,15
W
M
W
M
A
Nσ
ss
pp
s
)(3530,10σs OKMPaMPa
b)Para combinação freqüente ( MPa35σ3,420,7fσ1,2f ckct ):
Como no item a:
- Fibras Inferiores:
49
)(42,3813,0/8130,0095
50
0,0069
41,04
0,0069
35,36
0,1427
752,15σ 2
i OKMPaMPamkN
- Fibras Superiores:
)(3535,11)1131,025,0(*0,0013
50
0,007
41,04
0,007
35,36
0,1427
752,15σs OKMPaMPa
Utilizando-se 10 cabos na borda inferior, para as verificações no tempo infinito, as
tensões também não ultrapassaram os valores limites, estando, portanto, de acordo com as
prescrições da Norma.
5.1.7 VERIFICAÇÃO DAS DEFORMAÇÕES
Após o dimensionamento da laje alveolar e feita todas as verificações, é necessário
também verificar se as deformações estão de acordo com os limites descritos pela norma.
Para isso, faz-se o cálculo da flecha por etapas, já que os coeficientes de fluência são
diferentes para cada uma delas, pois esta varia conforme a idade em que foi introduzido o
carregamento em questão até a idade que está sendo analisada.
Assim, o momento total de cada etapa é dado pelos carregamentos atuantes, sendo
que este deve ser menor que o momento de fissuração. Observa-se também que, pela
verificação de fissuração na situação quase permanente não ode ocorrer fissuração pois a
protensão limitada estabelece que só haverá fissuração a partir da combinação freqüente.
As flechas são calculadas para a ação imediata e depois com a consideração da fluência,
além também da flecha proveniente da “perda” de protensão.
5.1.7.1 Determinação das Deformações
Na etapa 1 a força de protensão a ser considerada é de:
kNN p 32,9032,138*55,0*26,136*55,0*10
mkNM p .87,42059,0*55,0*2*2,138069,0*55,0*10*6,136
50
Sabendo-se que a perda de protensão nos cabos inferiores é de 320 MPa e nos
cabos superiores é de 277 MPa:
kN.m10,35=0,059*27,7*0,55*2-0,069*32,0*0,55*10=Mp
Com esses dados é possível chegar aos valores da tabela 5.7 a seguir:
Tabela 5.7: Flechas imediatas para as diversas ações.
Ação Símbolo Intensidade
(v) )t(t, 0
I (m4) a (mm)
Protensão p 42,87 kN.m 3,04 0,0007 -18,79
Perda de protensão p 10,35 kN.m (3,04/2)=1,52 0,0007 3,51
Peso próprio g1 3,57 kN/m 3,04 0,0007 10,43
Capa g2 1,56 kN/m 1,85 0,0007 4,56
Revestimento g3 2,50 kN/m 1,44 0,0013 3,93
Acidental quase
permanente 0,4q 2,50 kN/m 1,38 0,0013 3,93
A flecha inicial para este exemplo é de:
mm36,8-=10,43+-18,79gp=a 10=t
A contra-flecha inicial não deve ser superior a mm86,22350/8000350/ , e
assim, este valor atende aos limites prescritos pela norma.
5.1.7.2 Determinação das Deformações: Etapas 2, 3, 4 e 5
O valor da flecha final considerando a fluência é dado por:
)1(*)1(*)1(*)1(*)( ),60(4,0),45(3),15(2),1(1tota qgggpl aaaaaa
51
)2
1(a),1(
p
)38,11(*93,3)44,11(*93,3)85,11(*56,4)04,31(*)43,1079,18( totala
)52,11(*51,3
mma 25,784,839,959,900,1377,33total
E a flecha limite é dada por:
mmmm 25,732250/8000250/
Portanto, o valor de deformação está dentro do limite prescrito pela Norma.
5.1.8 VERIFICAÇÃO DO CISALHAMENTO
O cisalhamento em lajes alveolares é calculado pela expressão da NBR6118:2003, e
neste caso deve ser verificada tanto para a seção simples, que é a situação em que as
peças ficam no estoque das fábricas, quanto para a seção composta, quando a laje trabalha
junto com a capa após a montagem.
5.1.8.1 Cálculo para Seção Simples
Esta verificação cabe para efeito de montagem, ou seja, imagina-se que a peça ao
ser montada está sem capa e o concreto com resistência de saque de 30 MPa. Destaca-se
que devem ser descontados os diâmetros dos alvéolos para determinação da largura bw.
Utilizando a equação dada no capítulo 4, item 4.7:
dbkV wcptrdrd **]*15,0)*402,1(**[
Em que:
52
²/3621448*25,0*25,0 mkNfctdrd
²/14481000*30*15,0*15,04,1
*3,0*7,0 3/23/2
3/2
inf,mkNf
fff ck
ck
c
ctk
ctd
02,00113,022*5,26
55,0*255,0*10
*
1
db
A
w
st
²/63301427,0
55,0*2*2,13855,0*10*6,136mkN
A
N
c
sdcp
138,122,06,16,1 dk
Então:
22,0*265,0*]6330*15,0)0113,0*402,1(*38,1*362[ rdV
kNVrd 5,103
A força resistente Vrd deve ser maior que a força solicitante de cálculo Vsd,m:
msdrd VV ,
!73,284,1*2
8*13,54,1*
2
*OKVkN
lpV rdsd
Como a força de cisalhamento se apresentou menor que a máxima permitida, a peça
está verificada.
53
5.1.8.2 Cálculo para Seção Composta
Aqui é considerada a situação final, onde já estão atuando todos os carregamentos
na laje.
dbkV wcptrdrd **]*15,0)*402,1(**[
Em que:
²/5092036*25,0*25,0 mkNfctdrd
²/20361000*50*15,0*15,04,1
*3,0*7,0 3/23/2
3/2
inf,mkNf
fff ck
ck
c
ctk
ctd
02,00113,022*5,26
55,0*255,0*10
*
1
db
A
w
st
²/52731427,0
55,0*2*6,11755,0*10*3,113mkN
A
N
c
sdcp
138,122,06,16,1 dk
Então:
kNVrd 76,11322,0*265,0*]5273*15,0)0113,0*402,1(*38,1*509[
Como no item 5.1.8.1:
sdrd VV
54
!7,774,1*2
8*88,134,1*
2
*OKVkN
lpV rdsd
Como a força de cisalhamento se apresentou menor que a máxima permitida, a peça
está verificada.
A seguir serão mostrados alguns exemplos de modulações com lajes alveolares
protendidas que mostram situações aconselháveis e outras não recomendadas.
5.2 EXEMPLO TEÓRICO 1
Analisar a solução adotada para o trecho de pavimento dado na figura 5.1 usando
pavimento alveolar.
Figura 5.1 – Modulação de pavimento com escada
No exemplo de modulação acima, os painéis de laje alveolar protendida possuem
módulo de 1,20 m. No entanto, um deles possui, por causa da geometria, precisa ter largura
de 0,6 m, inferior ao valor do módulo, ou seja, este painel deve passar por um processo de
corte longitudinal, processo que deve ser evitado. Nos casos em que é necessário realizar
tal corte, o mesmo deve ser feito no alvéolo e de maneira que a laje apresente cordoalhas
simétricas.
É aconselhável que o trecho do pavimento que compreende a escada seja
executado com trilho pré-moldado, já que, como o vão é relativamente pequeno, não seria
55
possível utilizar laje alveolar, já que ocorreriam problemas na execução de uma peça para
tal vão.
5.3 EXEMPLO TEÓRICO 2
Analisar a solução adotada para o trecho de pavimento dado na figura 5.2 usando
painéis alveolares.
Figura 5.2 – Modulação de pavimento com corte na diagonal
Neste exemplo de pavimento com laje alveolar protendida utiliza-se também
modulação de 1,20 m. Entretanto, por motivos arquitetônicos, foi necessário executar uma
faixa de laje com largura inferior a 1/3 do módulo. Neste caso, o recomendado seria
executar este trecho com concreto moldado in loco.
Observa-se também nesta modulação a necessidade de se utilizar painéis com
cortes na diagonal. Existe grande dificuldade para se fabricar uma peça com tal corte, uma
vez que, nas fábricas, as máquinas de corte são projetadas para trabalhar no sentido
longitudinal ou transversal, sem possibilidade de girá-los em determinada angulação. Dessa
maneira, os fabricantes necessitam adquirir máquinas de corte que realizem tal
procedimento (corte diagonal) ou empregar outros equipamentos, o que proporciona um
produto de qualidade inferior. Além disso, no transporte das peças com cortes na diagonal
ocorrem problemas de torção.
56
5.4 EXEMPLO TEÓRICO 3
Analisar a solução adotada para o trecho de pavimento dado na figura 5.3 usando
painéis alveolares.
Figura 5.3 – Modulação de pavimento com planta retangular usual
Para a modulação deste pavimento utilizou-se, além das peças de laje alveolar
protendida com módulo de 1,20, peças com largura inferior a esta medida (0,80 e 1,00 m). É
importante observar neste exemplo que as peças que foram cortadas longitudinalmente não
estão posicionadas lado a lado, seguindo as recomendações da Norma.
Outro fato a se destacar neste exemplo é que foi necessário fazer cortes nos painéis
para adequar os pilares, e tais cortes foram feitos nas peças que não passaram pelo
processo de corte longitudinal, solução esta que é a mais adequada.
57
6. CONSIDERAÇÕES FINAIS
O exemplo numérico 1 apresenta o dimensionamento de uma laje alveolar de 20 cm
de altura, com vão livre de 8 m, considerada simplesmente apoiada, com sobrecarga total
de 7 KN/m2.
A partir desses dados, foram necessários 9 cordoalhas de 9,5 mm (totalizando uma
área de aço de 5,00 cm2) para combater a tração nas fibras inferiores. Porém, quando foi
feita a verificação em vazio da peça, obteve-se tração nas fibras superiores no valor de 0,29
MPa, o que fez com que fosse necessário colocar armadura próxima as fibras superiores.
Apesar de a área de aço necessária ser de apenas 0,13 m², foram colocadas 2 cordoalhas
também de 9,5 mm, já que este é o número mínimo possível, em função da simetria
necessária. No final verificou-se que considerando todas as perdas (de forma mais precisa)
na condição de descompressão da combinação quase permanente foi necessário aumentar
o número de cabos para 10, ou seja, a condição de verificação de fissuração acabou sendo
determinante e não as do ELU, como é visto em Petrucelli (2009). Desta forma verifica-se
como é importante seguir o roteiro proposto por Petrucelli, pois não há como saber
inicialmente qual é a condição determinante na obtenção da armadura longitudinal.
Através deste exemplo, pôde-se perceber que a tensão crítica para verificar se é
necessário o uso de cabo superior se dá próximo aos apoios, onde se completa a
transferência de protensão, isto porque nesse ponto o momento devido ao peso próprio
(Mg1), que contribui para o combate do excesso de tração, é muito pequeno. Conclui-se
assim que, para lajes com bastante protensão, a condição limitante para colocação de
cordoalhas superiores é a verificação, no tempo zero, em seção próxima aos apoios.
Já sobre as perdas de protensão, os cabos inferiores apresentaram perdas inicias no
valor de 6,0% e os cabos superiores, de 4,9%. Partindo-se destes valores, chegou-se a
perdas finais de 22,0% para os cabos inferiores e 19,1% para os superiores, o que mostra
que houve uma diferença entre o valor adotado no pré-dimensionamento (25%) e os valores
obtidos. Não ocorreu neste exemplo diferença entre a área de cabos necessária e a
determinada no dimensionamento, de maneira que foi mantida a quantidade inicial.
Para o dimensionamento das lajes alveolares protendidas pode-se utilizar dois
procedimentos de cálculo que são: o que se considera as parcelas de perdas isoladamente
e o processo em que se aplica a simultaneidade dos efeitos, conhecido como perdas
58
progressivas. Este último apresenta resultados menores de perdas e como não é muito
mais trabalhoso usá-lo recomenda-se a aplicação deste processo.
No exemplo feito, obteve-se uma contra-flecha inicial de 8,36 mm e, posteriormente
ao acréscimo dos carregamentos no tempo t , obteve-se uma flecha de 7,25 mm.
Comparando-se estes resultados com os obtidos no exemplo numérico 1 de Petrucelli
(2009), que apresenta laje com mesmas propriedades e submetida ao mesmo
carregamento, pode-se chegar a algumas conclusões. A contra-flecha inicial é quase 3
vezes maior que a obtida por Petrucelli (2009) porque a laje do exemplo do presente
trabalho possui muito mais protensão que a de Petrucelli (2009). Essa protensão foi
necessária porque o vão coberto era maior que o do exemplo referido contido em Petrucelli
(2009). Já no exemplo desenvolvido aqui, chegou-se a um valor positivo para a flecha da
laje com todos os carregamentos atuantes, diferentemente do que se vê no exemplo
numérico 1 em Petrucelli (2009), onde se obtém um valor negativo para a flecha final
(contra-flecha). Isso porque, no exemplo do atual trabalho, a parcela relativa ao momento
devido a perda de protensão, que contribui para a flecha, é muito grande (4,81 vezes maior),
em comparação com a mesma parcela do exemplo de Petrucelli (2009).
A verificação do cisalhamento é feita para as seções simples e composta. No caso
da seção simples, a verificação tem como objetivo conferir a peça em estoque e durante a
montagem, etapas em que atua sobre a peça apenas o peso próprio. Já a verificação para a
seção composta possui grande importância, pois se considera que a peça recebe todos os
carregamentos previstos no projeto. É importante destacar que na verificação do
cisalhamento deve-se descontar da largura da peça o valor do diâmetro dos alvéolos
multiplicado pelo número de alvéolos da seção, isto porque, na laje alveolar, apenas a
resistência do concreto contribui para o combate ao cisalhamento. Neste caso mostra que
esta verificação é atendida facilmente. Problemas com cisalhamento devem ocorrem para a
atuação de cargas concentradas próximas ao apoio ou vãos pequenos com grandes
intensidade de ações (ver tabelas de pré-dimensionamento de lajes Melo (2004))..
Por fim fica mais claro o comportamento deste tipo de lajes quando se compara os
resultados aqui obtidos com os de Petrucelli (2009) e apresentados na tabela 5.8.
Como sugestão para trabalhos futuros recomenda-se o estudo de situações em que
há continuidade da laje (colocação de armadura negativa na capa) e outras situações de
carregamento, como o caso de cargas verticais de grande intensidade (concentradas ou
não).
59
Tabela 5.8 – Resultados dos exemplos numéricos
Resultados Exemplo Numérico 1
Petrucelli (2009) Exemplo Numérico
Vão (m) 6 8
Sobrecarga total (kN/m²) 7 7
h (cm) 20 20
Verificação em
vazio
Inferior Atendida Atendida
Superior Atendida Não atendida
Acréscimo de cordoalhas
superiores - 2 φ 9,5 mm
Perdas isoladas
Inferior 15% 22,0%
Superior - 19,1%
Perdas
progressivas
Inferior 13,28 19,34%
Superior - 17,0%
Dimensionamento
Inferior 5 φ 9,5 mm 9 φ 9,5 mm*
Superior - 2 φ 9,5 mm
Verificação no
tempo infinito
Inferior Atendida Não atendida
Superior Atendida Atendida
Acréscimo de cordoalhas
inferiores - 1 φ 9,5 mm
Flecha inicial -3,22 -8,36
Flecha final -1,09 7,25
Cisalhamento Atendida Atendida
*É preciso depois acrescentar uma cordoalha
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REFERÊNCIAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 9062: Projeto e execução de estruturas de concreto pré-moldado, Rio de Janeiro, 2006. 42p.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 14861: Laje Pré-Fabricada – Painel Alveolar de Concreto Protendido – Requisitos, Rio de Janeiro, 2002. 5p.
BOIÇA, S. M. R.; SANTOS FILHO, M. L. Análise da Performance de Elementos Pré- Fabricados de Concreto. In. ENCONTRO NACIONAL DE PESQUISA-PROJETO-PRODUÇÃO EM CONCRETO PRÉ-MOLDADO, 1., 2005, São Carlos. Anais... Disponível em <www.set.eesc.usp.br>. Acesso em: 11 abr. 2009.
CARVALHO, R. C. Introdução ao Concreto Protendido. São Carlos: UFSCar / Departamento de Engenharia Civil, 2009. 183 p. Apostila.
EL DEBS, M. K. Concreto Pré-Moldado: Fundamentos e Aplicações. 1ª ed. São Carlos: EESC – USP, 2000. 456 p.
ELLIOT, Kim S. Precast Concrete Structures. Oxford: ELSEVIER, 2002.
FERNANDES, N. S. Cisalhamento em Lajes Alveolares Pré Fabricadas em Concreto Protendido: Ensaio Padrão de Apoio para Controle de Qualidade. Dissertação de Mestrado. São Carlos. EDUFSCAR, 2007.
FERREIRA, M. A. Manual de sistemas pré-fabricados de concreto (tradução). Autor do texto original: Arnold Van Acker, (FIP-2002). Associação Brasileira de Construção Industrializada de Concreto – ABCIC: São Paulo, 2003.
FUSCO, P.B. Estruturas de concreto – Solicitações tangenciais. 1° edição. São Paulo: Pini, 2008.
MELO, C. E. E.; Manual Munte de Projetos em Pré-Fabricados de Concreto. 1. ed. São Paulo:Pini, 2004. 492 p.
MONTEDOR, L. C. Ensaio de cisalhamento em lajes alveolares. Caderno de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 8, n. 32, p. 41-44, 2006.
PETRUCELLI, N. S. Considerações sobre Projeto e Fabricação de Lajes Protendidas. 2009. 83 p. Qualificação de Dissertação (Mestrado em Construção Civil) – Departamento de Engenharia Civil, Universidade Federal de São Carlos, São Carlos, 2009.
TATU PRÉ-MOLDADOS. Laje Alveolar Protendida. Disponível em: <www.tatu.com.br/Paineis%20Alveolares%20Tatu.pdf>. Acesso em 11 mai. 2009.
61
7. GLOSSÁRIO
M – momentos fletores na seção devidos às ações atuantes
Md – momento máximo resistente
Mp – momento devido à força de protensão na seção tensão no concreto adjacente
ao cabo inferior resultante
Mp‟ – momento devido à força de protensão na seção tensão no concreto adjacente
ao cabo superior resultante
Mg1 – momento fletor devido à ação de peso próprio
Mg2 – momento fletor devido à ação do peso da capa
Mg3 – momento fletor devido à ação da carga de revestimento
Mq – momento fletor devido à ação da carga acidental
M0,4q – momento fletor devido à ação da carga acidental minorada por 4,02
M0,6q – momento fletor devido à ação da carga acidental minorada por 6,02
Mbpt – momento fletor devido à ação de peso próprio dado pela distância bptl
Np – esforço normal de protensão dos cabos inferiores
Np‟ – esforço normal de protensão dos cabos superiores
sdN – força normal solicitante de cálculo
Ap – área dada pela quantidade total de armadura inferior de protensão
Ap‟ – área dada pela quantidade total de armadura superior de protensão
A ou Ac ou As1 – área da seção transversal de concreto
bw – largura da seção
d – altura útil
h – altura da seção
62
x – posição da linha neutra
n – número de cabos da seção
p – carga aplicada
cg – centro de gravidade
fcd – resistência de cálculo do concreto
fck – resistência característica à compressão do concreto
fcj – resistência à compressão do concreto
fptk – resistência à tração do aço de armadura ativa
fpyk – resistência ao escoamento do aço de armadura ativa
bpdf – resistência de aderência de cálculo entre a armadura e o concreto na
ancoragem da armadura de protensão (pré-tração)
ctdf – resistência à tração do concreto
KMD – coeficiente para determinação da armadura de Carvalho e Figueiredo Filho
(2004)
KX – coeficiente obtido pela tabela 3.1 de Carvalho e Figueiredo Filho (2004)
KZ – coeficiente obtido pela tabela 3.1 de Carvalho e Figueiredo Filho (2004)
g1 – ação de peso próprio
g2 – ação de peso da capa
g3 – ação devido à carga de revestimento
q – ação devido à carga acidental
s – deformação específica do aço da armadura passiva
p – deformação específica da armadura ativa
t – deformação total do aço, dada pela soma de s e p
1 – fator de redução de combinação frequente
2 – fator de redução de combinação quase permanente
U – umidade relativa do ar
T – temperatura média ambiente
63
- perímetro da seção
iσ ou
sσ – tensão na borda inferior e superior, respectivamente
pdσ – tensão da armadura ativa de cálculo
ancσ – perda de protensão devida à ancoragem da armadura
ip,σ – perda de protensão devida à perda imediata do concreto
20hptσ
– perda de protensão no instante t=20h
iσ – tensão inicial no tempo considerado
pi – tensão do aço no instante inicial de cálculo.
20hptσ
– tensão final no instante t=20h
caboccg,σ – tensão no centro de gravidade dos cabos
gpc 0, – valor final de tensão para determinação da parcela relativa à fluência do
concreto (depois de calculada a perda)
scg,σ – tensão no centro de gravidade dos cabos para determinação da perda por
fluência
cp,σ – perda de protensão devida à fluência do concreto
sp,σ – perda de protensão devida à retração do concreto
rp,σ – perda de protensão devida à relaxação da armadura
rscp,σ
– soma das perdas de protensão devidas à fluência e retração do concreto
e ancoragem da armadura
ptσ – perda de protensão no instante t
ptσ – tensão de protensão no instante t
t0)p(t,σ – perda de protensão considerando-as como perdas progressivas
64
pσ – tensão na armadura de protensão no tempo infinito devido o pré-alongamento e
a deformação da seção para que seja obtido o equilíbrio na flexão
cp – tensão na seção de concreto
s1 – coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente e da consistência do
concreto
s2 – coeficiente dependente da espessura fictícia
hfic– espessura fictícia
– coeficiente dependente da umidade relativa do ambiente
– deformação decorrente do aço conforme a pista de protensão e sistema de
ancoragem
– acomodação ou recuo característico da ancoragem (valor que pode ser medido
nas fábricas)
L – comprimento da pista de protensão
pE – módulo de elasticidade do aço de armadura ativa
cE – módulo de elasticidade do concreto
),( 0tt – coeficiente adimensional
1000 – coeficiente obtido pela tabela 8.3 da NBR6118:2003, fazendo-se a relação
entre a tensão no instante t0 e a tensão última de protensão no aço
ou p - relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto
es – excentricidade do cabo inferior na seção simples
ec – excentricidade do cabo inferior na seção composta
ec‟ – excentricidade do cabo superior na seção composta
),( 0tt – coeficiente de fluência
),( 0ttcs – coeficiente de retração
)(ts e )( 0ts – coeficiente relativo à retração no instante t ou t0
),( 0tt – coeficiente de fluência do aço
65
p - taxa geométrica da armadura de protensão
cI ou I – inércia da seção de concreto
Wi ou Ws – módulo de resistência da seção inicial em relação ao bordo inferior ou
superior, respectivamente
bpdl – distância de regularização das tensões
bptl – comprimento de transferência da protensão
– diâmetro das barras de armadura
pa – flecha devida ao efeito da protensão
pa – flecha devida ao efeito da perda de protensão
va – flecha devida à intensidade „v‟ considerada
1ga – flecha devida ao efeito do peso próprio
2ga – flecha devida ao efeito da carga da capa
3ga – flecha devida ao efeito da carga de revestimento
4,0 qa – flecha devida ao efeito da carga acidental minorada por 4,02
0ta – flecha no instante t=0
totala – flecha total no instante t
p – tensão devida à perda de protensão
dVr – valor de cálculo da força cortante resistente ao cisalhamento
,s mdV – força cortante de cálculo
v – intensidade considerada
l - vão do elemento considerado
rd – tensões de cisalhamento resistentes de cálculo
t – coeficiente adimensional
66
16,1 dk – coeficiente adimensional (situação em que mais de 50% da
armadura inferior chega aos apoios, caso contrário 1k )
67
8. ANEXO
ANEXO A
Tabelas
68
Tabela A.1: Valores para cálculo de armadura longitudinal de seções retangulares (tabela 3.1 de Carvalho e Figueiredo Filho (2004)).
KMD KX KZ c s KMD KX KZ c s 0,0100 0,0148 0,9941 0,1502 10,000 0,2050 0,3506 0,8597 3,5000 6,4814 0,0200 0,0298 0,9881 0,3068 10,000 0,2100 0,3609 0,8556 3,5000 6,1971 0,0300 0,0449 0,9820 0,4704 10,000 0,2150 0,3714 0,8515 3,5000 5,9255 0,0400 0,0603 0,9759 0,6414 10,000 0,2200 0,3819 0,8473 3,5000 5,6658 0,0500 0,0758 0,9697 0,8205 10,000 0,2250 0,3925 0,8430 3,5000 5,4170
0,0550 0,0836 0,9665 0,9133 10,000 0,2300 0,4033 0,8387 3,5000 5,1785 0,0600 0,0916 0,9634 1,0083 10,000 0,2350 0,4143 0,8343 3,5000 4,9496 0,0650 0,0995 0,9602 1,1056 10,000 0,2400 0,4253 0,8299 3,5000 4,7297 0,0700 0,1076 0,9570 1,2054 10,000 0,2450 0,4365 0,8254 3,5000 4,5181 0,0750 0,1156 0,9537 1,3077 10,000 0,2500 0,4479 0,8208 3,5000 4,3144
0,0800 0,1238 0,9505 1,4126 10,000 0,2550 0,4594 0,8162 3,5000 4,1181 0,0850 0,1320 0,9472 1,5203 10,000 0,2600 0,4711 0,8115 3,5000 3,9287 0,0900 0,1403 0,9439 1,6308 10,000 0,2650 0,4830 0,8068 3,5000 3,7459 0,0950 0,1485 0,9406 1,7444 10,000 0,2700 0,4951 0,8020 3,5000 3,5691 0,1000 0,1569 0,9372 1,8611 10,000 0,2750 0,5074 0,7970 3,5000 3,3981
0,1050 0,1654 0,9339 1,9810 10,000 0,2800 0,5199 0,7921 3,5000 3,2324 0,1100 0,1739 0,9305 2,1044 10,000 0,2850 0,5326 0,7870 3,5000 3,0719 0,1150 0,1824 0,9270 2,2314 10,000 0,2900 0,5455 0,7818 3,5000 2,9162 0,1200 0,1911 0,9236 2,3621 10,000 0,2950 0,5586 0,7765 3,5000 2,7649 0,1250 0,1998 0,9201 2,4967 10,000 0,3000 0,5721 0,7712 3,5000 2,6179
0,1300 0,2086 0,9166 2,6355 10,000 0,3050 0,5858 0,7657 3,5000 2,4748 0,1350 0,2175 0,9130 2,7786 10,000 0,3100 0,5998 0,7601 3,5000 2,3355 0,1400 0,2264 0,9094 2,9263 10,000 0,3150 0,6141 0,7544 3,5000 2,1997 0,1450 0,2354 0,9058 3,0787 10,000 0,3200 0,6287 0,7485 3,5000 2,0672 0,1500 0,2445 0,9022 3,2363 10,000 0,3300 0,6590 0,7364 3,5000 1,8100
0,1550 0,2536 0,8985 3,3391 10,000 0,3400 0,6910 0,7236 3,5000 1,5652 0,1600 0,2630 0,8948 3,5000 9,8104 0,3500 0,7249 0,7100 3,5000 1,3283 0,1650 0,2723 0,8911 3,5000 9,3531 0,3600 0,7612 0,6955 3,5000 1,0983 0,1700 0,2818 0,8873 3,5000 8,9222 0,3700 0,8003 0,6799 3,5000 0,8732 0,1750 0,2913 0,8835 3,5000 8,5154 0,3800 0,8433 0,6627 3,5000 0,6506
0,1800 0,3009 0,8796 3,5000 8,3106 0,1850 0,3106 0,8757 3,5000 7,7662 0,1900 0,3205 0,8718 3,5000 7,4204 0,1950 0,3305 0,8678 3,5000 7,0919 0,2000 0,3405 0,8638 3,5000 6,7793
Tabela A.2: Tensão no aço σsd (MPa) – adaptado de Vasconcelos (1980).
(‰) 5,250 6,794 7,438 8,167 9,000 9,962 10,00 12,50 15,00 17,50
CP175 1025 1264 1316 1344 1365 1368 1368 1378 1388 1397
CP190 1025 1314 1411 1459 1482 1486 1486 1496 1507 1517
(‰) 20,00 22,50 25,00 27,50 30,00 32,50 35,00 37,50 40,00
CP175 1407 1416 1426 1436 1445 1455 1464 1474 1484
CP190 1527 1538 1548 1559 1569 1579 1590 1600 1611
69
