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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA - CAMPUS PATOS DE MINAS
ENGENHARIA ELETRÔNICA E DE TELECOMUNICAÇÕES
ANDRESSA CALDAS DE LIMA
M-QAM NÃO QUADRADA CRUZADA EM UM CANAL RUIDOSO
Patos de Minas
2016
ANDRESSA CALDAS DE LIMA
M-QAM NÃO QUADRADA CRUZADA EM UM CANAL RUIDOSO
Orientadora: Prof. Dra. Karine Barbosa Carbonaro
Patos de Minas
2016
Trabalho apresentado como requisito de
aprovação na disciplina Trabalho de Conclusão
de Curso 2 do Curso de Engenharia de Eletrônica
e de Telecomunicações da Universidade Federal
de Uberlândia.
2
M-QAM NÃO QUADRADA CRUZADA EM UM CANAL RUIDOSO
Patos de Minas, 23 de Junho de 2016.
____________________________________________
Prof. Dra. Karine Barbosa Carbonaro
____________________________________________
Prof. Dra. Fabrícia de Matos Oliveira
____________________________________________
Prof. Dr. André Luiz Aguiar da Costa
Patos de Minas
2016
Trabalho apresentado como requisito de
aprovação na disciplina Trabalho de Conclusão
de Curso 2 do Curso de Engenharia de Eletrônica
e de Telecomunicações da Universidade Federal
de Uberlândia.
3
Agradecimento
Agradeço primeiramente a Deus, por me iluminar e dar forças em todos os momentos,
e por me permitir chegar ao final dessa jornada.
Aos meus amados pais e irmão pelo apoio integral ao longo desses anos. Sei o quanto
trabalharam, sacrificando seus sonhos em favor dos meus. Vocês me ajudaram a superar as
minhas decepções e aplaudiram minhas conquistas.
Ao meu namorado, Vinícius, pelo suporte em todos os momentos, e por ter me dito
NÃO quando eu pensei em desistir.
A minha orientadora Karine pela paciência, amparo e incentivo em todos os
momentos.
Aos meus colegas de faculdade, que sempre foram companheiros de estudo e
verdadeiros amigos.
“Deus é sempre maior porque trilha nosso caminho para a vitória sem que a gente se dê
conta.”
4
Resumo
As modulações M-QAM são comumente utilizadas em sistemas que necessitam de uma alta
taxa de transferência de dados, mas elas têm uma elevação na probabilidade de erro de bit
quando ocorre o ruído no canal de transmissão. A presença do ruído no canal sobrepõe-se ao
sinal de informação mascarando este e consequentemente, limita a capacidade do receptor de
detectar o símbolo corretamente. Neste trabalho propõe-se uma avaliação de desempenho da
modulação M-QAM com constelação não quadrada cruzada submetida à presença de dois
ruídos: gaussiano e impulsivo. O ruído branco gaussiano aditivo é uma forma idealizada de
ruído cuja densidade espectral de potência é independente da frequência de operação. Já, o
ruído impulsivo caracteriza-se por ocorrer em manifestações repentinas com impulsos
discretos que interferem no sinal transmitido e este foi modelado com uma distribuição
Poisson-Gaussiana.
Palavras- chave: M-QAM, ruídos gaussiano e impulsivo, probabilidade de erro de
símbolo, relação sinal ruído.
5
Abstract
The M-QAM modulations are commonly used in systems that require a high data transfer
rate, but their bit error probability grows when a noise occurs in the transmission channel. The
presence of noise in the channel overlaps the signal information masking this and
consequently limits the receiver ability to detect the symbol correctly. In this paper, we
propose an evaluation to the performance of the not-square cross M-QAM modulation
constellation, submitted to the presence of two noises Gaussian and impulsive. The additive
white Gaussian noise is an idealized form of noise whose power spectral density is
independent of the frequency operation. .The impulsive noise is characterized by sudden
events in discrete pulses which interfere in the transmitted signal, and it was modeled with a
Poisson - Gaussian distribution.
Key words: M- QAM, Gaussian and impulsive noise, symbol error Probability, ratio signal
noise
6
Lista de Ilustrações
Figura 1 - Densidade espectral do AWGN. .............................................................................. 11
Figura 2 - Função de autocorrelação do AWGN. ..................................................................... 11
Figura 3 - Ruído Impulsivo. ..................................................................................................... 12
Figura 4- Parâmetros temporais do ruído impulsivo. ............................................................... 13
Figura 5 - Sinal digital e modulação ASK binária. ................................................................... 16
Figura 6 - Sinal digital e a modulação FSK binária. ................................................................ 17
Figura 7 - Sinal digital e modulação PSK binária. ................................................................... 19
Figura 8- Comparação de modulações M-ASK. ...................................................................... 21
Figura 9 - Comparação de modulações M-FSK. ...................................................................... 22
Figura 10 - Comparação de modulações M-PSK. .................................................................... 24
Figura 11 - Constelações QAM. ............................................................................................... 25
Figura 12- Comparação de modulações M-QAM constelação quadrada. ................................ 27
Figura 13- Constelação 32-QAM quadrada.............................................................................. 28
Figura 14 - Constelação 32-QAM não quadrada. ..................................................................... 30
Figura 15 - Região de integração dos símbolos com quatro vizinhos. ..................................... 31
Figura 16 - Região de integração do símbolo com dois vizinhos. ............................................ 33
Figura 17- Região de integração do símbolo com três vizinhos............................................... 34
Figura 18 - Comparação de modulações M-QAM constelação não quadrada. ........................ 36
Figura 19 - Comparação das SEP’s da 32-QAM com ruído combinado. ................................. 39
Figura 20- Comparação das SEP’s da 128-QAM com ruído combinado. ................................ 40
Figura 21- Comparação das SEP’s da 512-QAM com ruído combinado. ................................ 41
7
Lista de Siglas
ADSL - Asymmetric Digital Subscriber Line
APK - amplitude and phase keying
ASK - Amplitude Shift Keying
AWGN - Additive White Gaussian Noise
FSK - Frequency Shift Keying
IAT - Inter-Arrival Time
IN - Impulsive Noise
M-QAM - M-ary quadrature amplitude modulation
OOK - On-Off Keying
PAM - Pulse Amplitude Modulation
PDF - Probability Density Function
PLC - Power Line Communication
PSD - Power Spectral Density
PSK - Phase Shift Keying
QAM - Quadrature Amplitude Modulation
RF - Radio Frequency
SEP - Symbol Error Probability
SNR - Signal to Noise Ratio
8
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO....................................................................................................................09
2. DEFINIÇÃO DOS RUÍDOS GAUSSIANO E IMPULSIVO..............................................10
2.1. RUÍDO GAUSSIANO..................................................................................................10
2.2. RUÍDO IMPULSIVO....................................................................................................12
3. CARACTERIZAÇÃO DAS MODULAÇÕES BINÁRIAS.................................................15
3.1 ASK................................................................................................................................15
3.2 FSK.................................................................................................................................17
3.3 PSK.................................................................................................................................18
4. CARACTERIZAÇÃO DAS MODULAÇÕES M-árias.......................................................20
4.1 M-ASK...........................................................................................................................20
4.2 M-FSK............................................................................................................................22
4.3 M-PSK............................................................................................................................23
4.4. MODULAÇÃO QAM...................................................................................................24
4.4.1 MODULAÇÃO M-QAM CONSTELAÇÃO QUADRADA ..............................26
4.4.2 MODULAÇÃO M-QAM CONSTELAÇÃO NÃO QUADRADA CRUZADA.28
5. CANAL COM OS RUÍDOS GAUSSIANO E IMPULSIVO COMBINADOS...................37
6. CONCLUSÃO......................................................................................................................42
ANEXO A.................................................................................................................................43
7. CONSIDERAÇÕES FINAIS................................................................................................44
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................................45
9
1. INTRODUÇÃO
A tendência de novos projetos de sistemas de comunicação tem aumentado
consideravelmente em favor da utilização de técnicas digitais. A comunicação digital oferece
vantagens importantes quando comparada à comunicação analógica, melhora na qualidade de
comunicação e maior segurança na transmissão dos dados.
Em comunicações digitais, utilizando RF (Radio Frequency), considera-se que o ruído
dominante é do tipo gaussiano branco aditivo (AWGN – Additive White Gaussian Noise) e a
probabilidade de erro de bit ou de símbolo é o parâmetro de desempenho mais utilizado para
os sistemas de transmissão digital. Este parâmetro reflete diretamente o grau de
inteligibilidade da informação recuperada pelo receptor (GUIMARÃES; SOUZA,2012).
A modulação em amplitude e quadratura QAM (Quadrature Amplitude Modulation) é
utilizada nas tecnologias de TV digital, PLC (Power Line Communication), ADSL
(Asymmetric Digital Subscriber Line) e outras que necessitam de alta taxa de transferência de
dados. Assim, nas últimas décadas, a probabilidade de erro de bit da modulação QAM com
constelação quadrada na presença do ruído gaussiano tem sido avaliada. Entretanto, não
existem muitos estudos avaliativos no canal com o ruído impulsivo. Por isso, neste trabalho
propõe-se avaliar a probabilidade de erro de símbolo da modulação M-QAM não quadrada
cruzada em um canal com os ruídos gaussiano e impulsivo.
Apresentam-se, a seguir, a organização de cada uma das seções que compõe este trabalho
de conclusão de curso. Na Seção 2 detalham-se os conceitos dos ruídos gaussiano e
impulsivo. As modulações digitais são apresentadas na Seção 3 e o desenvolvimento das
fórmulas para o cálculo da probabilidade de erro de símbolo da modulação QAM na Seção 4.
Os resultados da probabilidade de erro de símbolo na presença dos ruídos gaussiano e
impulsivo para a modulação M-QAM são discutidos na Seção 5. E por fim, as conclusões.
10
2. DEFINIÇÃO DOS RUÍDOS GAUSSIANO E IMPULSIVO
O termo ruído designa sinais indesejáveis que perturbam a transmissão e o
processamento de sinais em sistemas de comunicação e nos quais se tem um controle
incompleto. Há muitas fontes potenciais de ruído em um sistema de comunicação. As fontes
podem ser externas (por exemplo, ruído atmosférico) ou internas ao sistema. A segunda
categoria inclui um tipo importante de ruído que surge devido a flutuações espontâneas de
corrente ou tensão em circuitos elétricos. Este tipo de ruído representa uma limitação básica à
transmissão ou detecção de sinais em sistemas de comunicação que envolvam à utilização de
dispositivos eletrônicos (HAYKIN, 2004). A presença do ruído sobrepõe-se ao sinal de
informação mascarando o sinal e consequentemente, limita a capacidade do receptor de
detectar o símbolo corretamente.
O ruído pode ser caracterizado no tempo segundo suas propriedades estatísticas. Pode
ser representado pela função de autocorrelação, que é uma medida da regularidade de uma
função. Mais especificamente, é uma medida da similaridade de um sinal e de sua versão
atrasada no tempo. A função autocorrelação, algumas vezes, é usada para diferenciar uma
informação desejada (som, imagem ou dados) de um ruído. Ao longo do tempo, os ruídos se
distribuem segundo a Função Densidade de Probabilidade (PDF – Probability Density
Function). No domínio da frequência, o ruído é caracterizado através da função Densidade
Espectral de Potência (PSD – Power Spectral Density), a qual descreve a distribuição de
potência do ruído por unidade de banda como função da frequência.
2.1. RUÍDO GAUSSIANO
A análise de ruído de sistemas de comunicação baseia-se em uma forma idealizada de
ruído chamado de ruído branco gaussiano aditivo, AWGN, cuja densidade espectral de
potência é independente da frequência de operação (HAYKIN, 2004) conforme Equação (1).
𝑆𝑤(𝑓) =𝑁02,−∞ < 𝑓 < +∞
(1)
em que, 𝑓 é o domínio da frequência.
11
O valor de N0 determinado na Equação (2) é expresso em função da constante de
Boltzmann k com valor igual a 1,38. 10-23
joules por kelvin [J/k], e da temperatura equivalente
de ruído Te no receptor em kelvin. A unidade de medida do N0 é Watts por Hertz [W/Hz].
𝑁0 = 𝑘𝑇𝑒 (2)
Na Figura 1, o eixo x representa a frequência e o eixo y a magnitude da PSD do ruído
(HAYKIN, 2004).
Figura 1 - Densidade espectral do AWGN.
0f
0
2
N
( )wS f
Fonte: A autora.
Aplicando a transformada inversa de Fourier na Equação (1) determina-se a função
autocorrelação mostrada na Equação (3) (XIONG, 2006). A função de autocorrelação indica o
quanto o processo é correlacionado com ele próprio em dois instantes de tempo diferentes.
𝑅𝑤(𝜏) = ∫ [𝑆𝑤(𝑓)exp(𝑗2𝜋𝑓𝜏)]𝑑𝑓 = ∫ [𝑁02𝑒𝑥𝑝(𝑗2𝜋𝑓𝜏)]
+∞
−∞
+∞
−∞
𝑑𝑓 =𝑁02𝛿(𝜏)
(3)
em que,
𝜏- função auxiliar;
δ(τ) - função delta de Dirac.
A Figura 2 ilustra a função autocorrelação do AWGN (HAYKIN, 2004).
Figura 2 - Função de autocorrelação do AWGN.
0
0
2
N
( )WR
Fonte: A autora.
12
Em qualquer instante de tempo, a amplitude do ruído tem a função densidade de
probabilidade mostrada na Equação (4).
𝐺(𝑤,𝑚𝑤, 𝜎𝑤2) =
1
√2𝜋𝜎𝑤2𝑒𝑥𝑝 (−
(𝑤 −𝑚𝑤)2
2𝜎𝑤2)
(4)
em que,
𝜔 - velocidade angular;
mw – média.
σ2
w- variância do processo aleatório.
O AWGN é idealizado para as frequências no intervalo de -∞ a +∞, e sua média é igual
a zero e a variância é determinada conforme a Equação (5) (XIONG, 2006).
𝜎𝑤2 = 𝑣𝑎𝑟[𝑛(𝑡)] = 1 (5)
em que,
𝑛(𝑡)- ruído no domínio do tempo;
𝑣𝑎𝑟 – representação de variância.
2.2. RUÍDO IMPULSIVO
O ruído impulsivo (IN – Impulsive Noise) caracteriza-se por possuir uma pequena
duração e ocorrência aleatória (MA; SO; GUNAWAN, 2005) como ilustrado na Figura 3.
Figura 3 - Ruído Impulsivo.
Fonte: A autora.
13
Esse tipo de ruído ocorre em manifestações repentinas, impulsos discretos que
interferem no sinal transmitido. Vários autores descrevem o IN utilizando parâmetros
temporais e espectrais. Os três principais parâmetros são duração, amplitude e IAT (Inter-
Arrival Time) e são ilustrados na Figura 4.
Figura 4- Parâmetros temporais do ruído impulsivo.
O objetivo da modelagem de um ruído é caracterizar as estruturas e os padrões deste
processo. Para modelar um ruído é necessário uma estrutura de modelagem temporal e
espectral deste ruído. Os modelos de modelagem de ruído são então utilizados para conhecer
o comportamento e as características do ruído dentro de um canal de transmissão.
O modelo “Bernoulli-Gaussiano” é o produto de um processo real Bernoulli e um
processo complexo Gaussiano mostrado na Equação (6). Neste modelo, as sequências
aleatórias são consideradas independentes umas das outras, ou seja, fisicamente cada símbolo
é atingido independentemente por um impulso com probabilidade {p} e com uma amplitude
aleatória.
𝑖𝑘 = 𝑏𝑘. 𝑔𝑘 (6)
em que,
ik - ruído impulsivo;
bk - processo de Bernoulli, representativo da ocorrência do ruído;
gk - processo gaussiano, com média zero e variância 𝜎𝑖2, representativo da amplitude
do ruído.
O processo de Bernoulli considera um experimento com somente dois resultados
possíveis. Se a probabilidade de ocorrer é igual a p e se a esse experimento associou-se uma
14
variável aleatória discreta Bk, cujos valores possíveis são Bk = 1 para o resultado de ocorrer e
Bk = 0 para o resultado de não ocorrer, então Bk segue uma distribuição de Bernoulli. O valor
esperado é E [Bk] = p e a Var [Bk] = p (1 - p) (HAYKIN; MOHER, 2006). O processo
gaussiano é caracterizado com média zero e variância 2σ2
i.
Além do modelo “Bernoulli-Gaussiano” existe o modelo “Poisson-Gaussiano”, em
que o ruído impulsivo é definido matematicamente na Equação (6).
𝑖𝑘 = 𝑔𝑘. 𝑏𝑘(6)
em que,
ik - ruído impulsivo;
bk - processo de Poisson, representativo da ocorrência do ruído;
gk - processo gaussiano, com média zero e variância 𝜎𝑖2, representativo da amplitude
do ruído.
A distribuição de Poisson é um processo estocástico amplamente utilizado para
modelar os tempos de chegada de um sistema que descreve a probabilidade de acerto de um
número de ocorrências num dado intervalo, espaço ou campo contínuo (tempo, comprimento,
área, volume, peso etc). Um processo de Poisson pode ser utilizado para modelar o tempo
aleatório de ocorrência de ruído impulsivo, e um processo de Gaussiano pode modelar a
amplitude dos impulsos aleatórios, gerando o modelo “Poisson Gaussiano”. O cálculo da
probabilidade de acerto é mostrado na Equação (7).
𝑃(𝑥) =𝑒−𝜆𝑡(𝜆𝑡)𝑥
𝑥!,𝑥 = 0,1,2, …
(7)
em que:
𝑥 - número de ocorrências;
𝑒 - 2,71828; base dos logaritmos neperianos;
𝜆 - taxa média de ocorrências dos eventos por unidade de medida;
𝑡 - espaço de medida ou número de intervalos ou unidades.
15
3. CARACTERIZAÇÃO DAS MODULAÇÕES BINÁRIAS
A transmissão em banda passante, também conhecida como transmissão passa-faixa, é
aquela em que o espectro do sinal modulado se concentra em torno de uma frequência de
portadora 𝑓𝑐. (GUIMARÃES; SOUZA, 2012). A modulação aparece justamente da
necessidade de se transmitir um sinal por um canal com resposta em frequência em torno de
uma frequência 𝑓𝑐 A transmissão em banda passante é realizada chaveando amplitude,
frequência, fase, ou alguma combinação destas, de uma portadora senoidal de acordo com os
bits a serem transmitidos. As versões binárias dos tipos básicos de modulação digital são:
ASK (Amplitude Shift Keying), FSK (Frequency Shift Keying) e PSK (Phase Shift Keying).
Em termos de hierarquia as modulações digitais são classificadas como modulações
com detecção coerente e com detecção não coerente. Nas modulações com detecção coerente,
além da temporização de símbolo para detecção faz-se necessário o uso da portadora de
recepção de sincronismo de fase (coerência de fase) com a portadora de transmissão, levando
em conta os deslocamentos de fase causados pelo canal. As modulações com detecção não
coerente também necessitam de temporização de símbolo, mas não necessitam de coerência
de fase com a portadora de transmissão para detecção (GUIMARÃES; SOUZA, 2012).
3.1 ASK
Essa modulação tem como principal vantagem a facilidade de modulação e
demodulação, no entanto apresenta baixa imunidade a ruídos. Devido a essas características, a
ASK é indicada nas situações em que exista pouco ruído para interferir na recepção do sinal
ou quando o baixo custo é essencial. Ela é utilizada em aplicações como:
Transmissão de dados por infravermelho, como os usados em algumas calculadoras;
Controle remoto por meio de raios infravermelhos;
Controle remoto por meio de radiofrequência, como os usados para ligar e desligar
alarmes de carros, residências ou abrir portões.
A modulação ASK consiste na alteração da amplitude da onda portadora em função do
sinal digital a ser transmitido. A amplitude da portadora é comutada entre dois valores,
usualmente ligado e desligado originando a OOK (On-Off Keying).
16
O sinal 𝑠(𝑡) no domínio do tempo é descrito na Equação (8) (XIONG, 2006).
𝑠(𝑡) = {√2𝐸𝑏𝑇𝑏
𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑐𝑡)𝑏𝑖𝑡1
0𝑏𝑖𝑡0
(8)
em que,
Tb - período do bit;
Eb - energia do bit;
fc - frequência da portadora.
A onda resultante consiste em pulsos de rádio frequência (RF – Radio Frequency) que
representam o binário "1" e espaços representando o binário "0". A Figura 5 ilustra o resultado
obtido da simulação no MatLab da ASK binária no domínio do tempo. .
Figura 5 - Sinal digital e modulação ASK binária.
Fonte: A autora.
E a sua probabilidade de erro de bit no canal gaussiano para a demodulação coerente é
mostrada na Equação (9). (XIONG, 2006).
𝑃𝑏 = 𝑄.(√𝐸𝑏𝑁0)
(9)
em que,
Eb - energia do bit;
N0 - PSD do ruído gaussiano;
𝑄 - função 𝑄 (A.2-Anexo).
17
3.2 FSK
Esta modulação é utilizada em modens com velocidade de transmissão igual ou menor
que 1200 bps e na telefonia celular para transmissão de controle entre estação rádio base e o
telefone celular.
A modulação por chaveamento da frequência altera somente a frequência da onda
portadora e esta alteração ocorre em função do sinal digital a ser transmitido como descrito na
Equação (10). (XIONG, 2006).
{
𝑠1(𝑡) = √
2𝐸𝑏𝑇𝑏
𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓1𝑡), 𝑏𝑖𝑡1
𝑠2(𝑡) = √2𝐸𝑏𝑇𝑏
𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓2𝑡),𝑏𝑖𝑡0
(10)
em que,
Tb - período do bit;
Eb - energia do bit;
f1, f2 - frequência da portadora.
A Figura 6 ilustra o resultado obtido da simulação utilizando MatLab da FSK binária.
Figura 6 - Sinal digital e a modulação FSK binária.
Fonte: A autora.
O modulador FSK é composto por dois moduladores ASK, um deles produz pulsos
modulados na frequência 1 para cada bit 1, enquanto que o outro produz pulsos modulados na
18
frequência 2 para cada bit 0. Em seguida a saída desses dois moduladores é combinada e
transmitida. Dentre todas as modulações digitais, aquela que ocupa a maior largura de faixa é
o FSK, porque os espectros centrados em f1 e f2 não podem ser sobreposto a fim de que a
informação seja preservada.
A probabilidade de erro de bit no canal gaussiano para a demodulação coerente é
obtida na Equação (11) (XIONG, 2006).
𝑃𝑏 =1
2𝑒𝑟𝑓𝑐 (√
𝐸𝑏2𝑁0
)(11)
em que,
Eb - energia do bit;
N0 - PSD do ruído gaussiano;
𝑒𝑟𝑓𝑐- função erro complementar (A.1-anexo).
3.3 PSK
Na modulação por chaveamento de fase quando ocorre uma transição de nível lógico
do sinal digital a ser transmitido haverá uma mudança de 180º na fase da onda portadora com
relação ao ângulo anterior como mostrado na Equação (12) (XIONG, 2006).
{
𝑠1(𝑡) = √
2𝐸𝑏𝑇𝑏
𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑐𝑡), 𝑏𝑖𝑡1
𝑠2(𝑡) = √2𝐸𝑏𝑇𝑏
𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑐𝑡 + 𝜋), 𝑏𝑖𝑡0
(12)
em que,
Tb - período do bit;
Eb - energia do bit;
fc - frequência da portadora.
Esta modulação utiliza circuitos de recepção mais sofisticados e apresenta melhor
imunidade a ruídos comparável com a modulação FSK. Devido a esse motivo e por possuir
uma velocidade de transmissão alta, ela é largamente utilizada em modens de média
velocidade e em rádios digitais.
19
A transição observada pode ser do nível lógico "0" para "1" ou do nível lógico "1" para
"0". A Figura 7 ilustra o resultado obtido da simulação do PSK binário no MatLab.
Figura 7 - Sinal digital e modulação PSK binária.
Fonte: A autora.
A probabilidade de erro de bit no canal gaussiano para a demodulação coerente é
obtida na Equação (13) (XIONG, 2006).
𝑃𝑏 =1
2𝑒𝑟𝑓𝑐 (√
𝐸𝑏𝑁0)(13)
em que,
Eb - energia do bit;
N0 - PSD do ruído gaussiano.
𝑒𝑟𝑓𝑐- função erro complementar (A.1-anexo)
20
4. CARACTERIZAÇÃO DAS MODULAÇÕES M-árias
As modulações binárias não são eficientes quando se pretende alcançar taxas de
transmissão de dados elevadas. Assim, faz-se necessário codificar mais de um bit
simultaneamente. Nas modulações M-árias origina-se M símbolos distintos conforme a
Equação (14).
𝑀 = 2𝑏(14)
em que,
𝑏 - número de bits;
M - número de símbolos.
Cada símbolo é representado por um sinal senoidal com duração correspondente ao
respectivo símbolo. Deste modo define-se o valor de tempo de símbolo na Equação (15).
𝑇𝑠 = b. 𝑇𝑏(15)
em que,
Tb – período do bit;
b - número de bits;
Ts – período do símbolo.
A vantagem da modulação M-ária é a redução da largura de banda em relação à
sinalização binária e a desvantagem é que ela requer mais energia por símbolo para que o
desempenho na detecção seja mantido.
4.1 M-ASK
A modulação multi-nível ASK (M-ASK) apresenta vários níveis discretos de
amplitude. Ela aumenta a variabilidade do sinal, porém diminui os intervalos de decisão dos
níveis de amplitude, diminuindo a imunidade aos ruídos e interferências do sistema de
comunicação. O M-ASK é um esquema de PAM (Pulse Amplitude Modulation) de banda
passante com portadora onde os bits de dados são agrupados. O símbolo M-ASK é mostrado
na Equação (16) (XIONG, 2006).
𝑠𝑖(𝑡) = 𝐴𝑖 . 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑐𝑡)0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇𝑠𝑖 = 1,2, … ,𝑀(16)
21
em que,
fc - frequência da portadora;
Ai - amplitude do símbolo que é uniformemente simétrica dada por:
𝐴𝑖 = (2𝑖 − 1 −𝑀)𝐴,𝑖 = 1,2, … ,𝑀(17)
em que, A é a amplitude do símbolo e deve ser maior do que zero.
A probabilidade de erro de símbolo (SEP – Symbol Error Probability) da modulação
M-ASK coerente no canal gaussiano é obtida conforme a Equação (18) (XIONG, 2006).
𝑃𝑠 =2(𝑀 − 1)
𝑀𝑄 (√
6(𝑙𝑜𝑔2𝑀)
𝑀2 − 1
𝐸𝑏𝑁0)(18)
em que,
Eb - energia do bit;
N0 - PSD do ruído gaussiano;
M - número de símbolos.
𝑄 - função 𝑄 (anexo)
A Figura 8 ilustra o resultado obtido da simulação no MatLab da M-ASK com o valor
de M variando de 4, 8, 16 e 64. Observando os resultados obtidos verificou-se que o aumento
do valor de M de 4 para 8 impactou no aumento do valor da relação sinal ruído SNR (Signal
to Noise Ratio) de 11 dB para 16 dB para manter uma SEP de 10−3.
Figura 8- Comparação de modulações M-ASK.
Fonte: A autora.
22
4.2 M-FSK
Na modulação M-FSK o fluxo de dados binários é dividido em n blocos. Todas as M
possibilidades são designadas como M mensagens 𝑚𝑖 = 1, 2, … ,𝑀. Existem M sinais com
diferentes frequências para representar M mensagens. A definição matemática para esses
sinais é apresentada na Equação (19) (XIONG, 2006).
𝑠𝑖(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑖𝑡)𝑘𝑇𝑠 ≤ 𝑡 ≤ (𝑘 + 1)𝑇𝑠𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑖(19)
em que,
Ts - período de símbolo;
𝑘 - número inteiro.
E a probabilidade de erro de símbolo da modulação M-FSK no canal gaussiano é
mostrada na Equação (20) (XIONG, 2006).
𝑃𝑠 =𝑀 − 1
2𝑒𝑟𝑓𝑐 (√
(𝑙𝑜𝑔2𝑀)
2
𝐸𝑏𝑁0)(20)
em que,
Eb - energia do bit;
N0 - PSD do ruído gaussiano;
M - número de símbolos;
𝑒𝑟𝑓𝑐- função erro complementar (A.1-Anexo).
A Figura 9 ilustra o resultado obtido da simulação no MatLab da M-FSK.
Figura 9 - Comparação de modulações M-FSK.
Fonte: A autora.
23
Observou-se que para manter uma SEP de 10−5 houve uma diminuição nos valores
obtidos de SNR 8,6𝑑𝐵para 𝑀 = 4 e 7,2𝑑𝐵 para 𝑀 = 8. A eficência espectral das
modulações M-FSK decresce com o aumento de M, ao contrário do que acontece com as
eficiências espectrais das modulações das famílias M-PSK e M-QAM. Por essa razão a
modulação M-FSK é considerada não eficiente em termos de ocupação de banda
(GUIMARÃES; SOUZA, 2012).
4.3 M-PSK
Neste tipo de modulação usam-se símbolos para representar o sinal de informação a
ser transmitido e esses são definidos na Equação (21) (XIONG, 2006).
𝑠𝑖(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑐𝑡 + 𝜃𝑖)0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇𝑠𝑖 = 1,2, … ,𝑀(21)
𝜃𝑖 =(2𝑖 − 1)𝜋
𝑀(22)
A probabilidade de erro de símbolo da modulação M-PSK coerente no canal gaussiano
é obtida na Equação (23) (XIONG, 2006).
𝑃𝑠 = 2𝑄(√2𝐸𝑠𝑁𝑜
𝑠𝑒𝑛 (𝜋
𝑀))(23)
em que,
𝐸𝑠 - energia do símbolo;
𝑄 - função 𝑄 (A.2-Anexo).
A Figura 10 ilustra o resultado obtido da simulação no MatLab da M-PSK.
Observou-se que para manter uma SEP de 10−5 houve um aumento nos valores
obtidos de 24 dB para M=16 e 28 dB para M=64. Com a utilização do M-PSK obtém-se
maior eficiência na utilização da largura de banda necessária para transmitir informação por
um canal de comunicação.
24
Figura 10 - Comparação de modulações M-PSK.
Fonte: A autora.
4.4. MODULAÇÃO QAM
As modulações da família M-QAM (M-ary Quadrature Amplitude Modulation),
combinam chaveamento de amplitude com chaveamento de fase (APK- Amplitude and Phase
Keying). Elas podem ser agrupadas em duas categorias, de acordo com o aspecto geométrico
das suas constelações: quadrada e não quadrada. O conjunto de símbolos gerado por uma
modulação é chamado de constelação, sendo que cada tipo de modulação gera uma
constelação de símbolos diferentes. No sinal QAM, tem-se várias combinações diferentes de
amplitude e fase gerando constelações de diversos tamanhos. Portanto quanto maior a
constelação maior a taxa de transmissão e melhor a qualidade na recepção dos dados. A maior
distância entre os símbolos dificulta erros de interpretação no receptor quando este detecta um
símbolo.
A modulação M-QAM quadrada caracteriza-se por possuir um número par de bits por
símbolo e, portanto seu diagrama de constelação adquire um formato quadrado e
simetricamente distribuído nos quadrantes. A modulação M-QAM não quadrada é
caracterizada por apresentar um número ímpar de bits por símbolo.
A modulação digital QAM altera simultaneamente as características de amplitude e de
fase de uma portadora e cada ponto na constelação apresenta uma distância específica da
25
origem do diagrama representando a amplitude. Assim, a modulação QAM necessita de
menos energia por símbolo que as modulações em amplitude ou em fase, e desta maneira
apresenta um desempenho superior em relação a estas modulações.
Alguns exemplos de classificações das constelações QAM são ilustradas na Figura 11.
Na constelação do tipo I um número fixo de pontos de sinal está igualmente espaçado em
cada um dos 𝑁 círculos, em que 𝑁 é o número de níveis de amplitude, e os pontos do anel
interno estão mais próximos em distância e são mais vulneráveis a erros. Com o propósito de
solucionar o problema de proximidade dos pontos internos do anel propôs-se a constelação do
tipo II. Nesta constelação, pontos de sinal ainda estão em círculos, mas o número de pontos
no círculo interno é menor que o número de pontos do círculo externo, fazendo a distância
entre dois pontos adjacentes no círculo interno aproximadamente igual à do círculo externo.
Figura 11 - Constelações QAM.
Fonte: XIONG (2006).
Na Constelação do tipo III é empregado o formato de um quadrado, sua análise
mostrou que tem uma pequena melhoria em desempenho sobre o tipo de constelação II, mas a
sua implementação seria mais simples que a do tipo I e II. Devido a isto, o tipo III é a
constelação mais utilizada. A diferença entre a codificação de uma constelação M-QAM
quadrada e uma não quadrada está na formação do arranjo de códigos. Como as constelações
26
M-QAM não quadrada apresentam 2𝑏, onde 𝑏 é ímpar, a codificação destas torna-se um
pouco mais complexa do que a codificação em constelações quadradas.
Ao projetar uma constelação QAM, é necessário levar em consideração alguns
requisitos importantes:
A distância mínima entre os fasores deve ser a maior possível.
A diferença de fase entre os fasores deve ser a maior possível uma vez que
determina a imunidade de fase.
A potência média dos fasores deve ser a menor possível.
4.4.1 MODULAÇÃO M-QAM CONSTELAÇÃO QUADRADA
A modulação M-QAM é comumente utilizada para melhorar a eficiência de largura de
faixa de canais com limitações de banda. Essa modulação consiste na combinação da
modulação em fase com a de em amplitude. A maior vantagem que a modulação M-QAM
apresenta com relação a M-PSK é a melhor eficiência de largura de faixa utilizando a mesma
potencia média do sinal. A modulação M-QAM pode ser expressa por:
𝑠𝑖(𝑡) = 𝐴𝑖 cos(𝜔0𝑡) + 𝐵𝑖 sen(𝜔0𝑡)(24)
em que,
𝐴𝑖 - componentes em fase do símbolo transmitido;
𝐵𝑖 – componentes em quadratura do símbolo transmitido;
𝜔0 - frequência angular da portadora modulada.
Um sinal M-QAM pode ser representado geometricamente através de uma constelação
formada por M pontos, onde cada ponto corresponde ao i-ésimo sinal modulado e é composto
pela combinação das componentes em fase e em quadratura. A eficiência espectral do M-
QAM aumenta à medida que se aumenta o número de símbolos por constelação e a sua
probabilidade de erro de símbolo da modulação M-QAM no canal gaussiano é dada pela
Equação (25) a seguir:
𝑃𝑒 = 4(1 −1
√𝑀)𝑄(√
3𝑙𝑜𝑔2𝑀
𝑀 − 1
𝐸𝑏𝑁0)(25)
27
Comparando as expressões de probabilidade de erro de símbolo dadas pelas equações
(23) e (25), temos que o ganho da modulação M-QAM em relação à modulação M-PSK é
dada por:
𝐸𝑏𝑁0𝑀 − 𝑃𝑆𝐾
𝐸𝑏𝑁0𝑀− 𝑄𝐴𝑀
=3𝑀
2𝜋²(26)
Em iguais circunstâncias, o M-QAM tem um melhor desempenho em relação ao M-
PSK. Quanto maior for o valor de M, melhor será o desempenho do M-QAM em termos da
probabilidade de erro de símbolo.
A modulação QAM é uma classe de modulação com esquema não constante de
envoltória, e por isso consegue maior eficiência de largura de banda do que o M-PSK,
utilizando a mesma potência média do sinal.
A Figura 12 ilustra o resultado obtido da simulação no MatLab da M-QAM.
Figura 12- Comparação de modulações M-QAM constelação quadrada.
Fonte: A autora.
Observou-se que para manter uma SEP de 10−5 houve um aumento nos valores
obtidos de 20𝑑𝐵para 𝑀 = 16 e 26𝑑𝐵 para 𝑀 = 64.
28
4.4.2 MODULAÇÃO M-QAM CONSTELAÇÃO NÃO QUADRADA CRUZADA
A constelação M-QAM não quadrada, como o próprio nome sugere, tem forma
geométrica não quadrada. Surge quando o número de bits por símbolo é ímpar, impedindo que
se forme um quadrado ao dispor os símbolos no plano euclidiano (GUIMARÃES; SOUZA,
2012).
Nesta seção descreve-se o método para cálculo da probabilidade de erro de símbolo da
modulação M-QAM com constelação não quadrada cruzada. Inicialmente, definiu-se o
intervalo de variação para a criação do alfabeto.
𝛾 = {±(2𝑚 − 1) ± 𝑗(2𝑚 − 1)}𝑚 ∈ {1,… ,3
4√𝑀
2}(27)
Para exemplificar considere 𝑀 = 32, o seu alfabeto é definido na Equação (28) e a sua
constelação é ilustrada na Figura 13.
𝛾 = {±(2𝑚 − 1) ± 𝑗(2𝑚 − 1)}𝑚 ∈ {1,2,3}(28)
Figura 13- Constelação 32-QAM quadrada.
Fonte: A autora.
O cálculo da energia total desta constelação é mostrado na Equação (29).
𝐸1 = ∑ |(2𝑚 − 1)² + 𝑗(2𝑚 − 1)²|
𝑚=34√𝑀2
𝑚=1
(29)
29
Desenvolvendo a Equação (29) de acordo com a série apresentada na Equação (30)
𝐸1 = 2. ∑ (2𝑚 − 1)² =
𝑚=34√𝑀2
𝑚=1
2. ∑(2𝑚 − 1)² =2
3𝑠(4𝑠2 − 1)(30)
𝑠
𝑚=1
tem-se a energia total de cada símbolo da constelação,
𝐸1 =1
2(√
𝑀
2) . (
9𝑀
8− 1)(31)
Observando a Figura 13 e o quadro que a acompanha verificou-se que cada termo do
alfabeto repete (3√𝑀
2)vezes. Assim, determina-se a energia total da constelação quadrada na
Equação (32).
𝐸1′ =
1
2(√
𝑀
2) . (
9𝑀
8− 1) . (3√
𝑀
2) =
3𝑀
4(9𝑀
8− 1)(32)
Na Figura 13, os símbolos destacados na cor vermelha não pertencem à constelação e
a energia deles é calculada na Equação (33).
𝐸2 = 2 ∑ (2𝑚 − 1)²
𝑚=34√𝑀2
𝑚=12√𝑀2+1
=13
4𝑀 + 4 − 2√
𝑀
2(33)
Os símbolos não pertencentes à constelação repetem-se (√𝑀
2) vezes. Assim,
determinou-se a energia total dos símbolos não pertencentes à constelação na Equação (34).
𝐸2′ = (
13𝑀
4+ 4 − 2√
𝑀
2) .(√
𝑀
2)(34)
Normalizando a Equação (34) obtém-se a Equação (35).
𝐸2′ =
𝑀
128(26𝑀 + 32) − 𝑀√
128
𝑀(35)
30
Depois de determinar as energias nas Equações (31) e (35) obteve-se a energia média
da constelação não quadrada cruzada mostrada na Equação (36).
𝐸𝑀−𝑄𝐴𝑀𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑎
=𝐸1 − 𝐸2𝑀
=1
128(82𝑀 +𝑀√
128
𝑀− 128)(36)
A constelação analisada apresenta os símbolos classificados como:
Símbolos com quatro vizinhos (𝑁4∎): localizados no centro da constelação.
𝑁4 = 𝑀 − 3√2𝑀 + 8(37)
Símbolos com três vizinhos (𝑁3∗): localizados nem no centro e nem no canto.
𝑁3 = 3√2𝑀 − 16(38)
Símbolos com dois vizinhos (𝑁2°): localizados no canto da constelação.
𝑁2 = 8(39)
Novamente, considerando o caso para M=32, tem-se a constelação 32-QAM ilustrada
na Figura 14.
Figura 14 - Constelação 32-QAM não quadrada.
Fonte: A autora.
Na Figura 15 ilustra-se a região de integração dos símbolos com quatro vizinhos. O
sinal é decodificado sem erro quando obedece a condição mostrada na Equação (40).
31
−𝑘√𝐸𝑠 ≤ 𝑛𝑅 ≤ 𝑘√𝐸𝑠𝑒 − 𝑘√𝐸𝑠 ≤ 𝑛𝐼 ≤ 𝑘√𝐸𝑠(40)
A função mostrada na Equação (41) é definida como probabilidade de acerto do
símbolo.
𝑃𝑐 = ∫∫ [1
√𝜋𝑁0𝑒𝑥𝑝 (−
𝑛𝑅2
𝑁0)
1
√𝜋𝑁0𝑒𝑥𝑝 (−
𝑛𝐼2
𝑁0)]
𝑅𝐼
𝑑𝑛𝑅𝑑𝑛𝐼(41)
Aplicando os limites definidos na Equação (40) na Equação (41) resulta na Equação
(42).
𝑃𝑐(𝑁4) = ∫1
√𝜋𝑁0𝑒𝑥𝑝 (−
(𝑛𝑅)2
𝑁0)
+𝑘√𝐸𝑠
−𝑘√𝐸𝑠
𝑑𝑛𝑅∫1
√𝜋𝑁0𝑒𝑥𝑝 (−
(𝑛𝐼)2
𝑁0)
+𝑘√𝐸𝑠
−𝑘√𝐸𝑠
𝑑𝑛𝐼 (42)
Figura 15 - Região de integração dos símbolos com quatro vizinhos.
Fonte: A autora.
Observando a Equação (42) notou-se que o intervalo das partes real e imaginária são
iguais e, portanto, definiu-se uma única integral (𝐼1) mostrada na Equação (43).
𝐼1 = ∫1
√𝜋𝑁0𝑒𝑥𝑝 (−
(𝑛𝑅)2
𝑁0)
+𝑘√𝐸𝑠
−𝑘√𝐸𝑠
𝑑𝑛𝑅 = ∫1
√𝜋𝑁0𝑒𝑥𝑝 (−
(𝑛𝐼)2
𝑁0)
+𝑘√𝐸𝑠
−𝑘√𝐸𝑠
𝑑𝑛𝐼 (43)
Seguindo o desenvolvimento, a Equação (44) mostra uma mudança de variável.
𝑥2 =(𝑛𝑅)
2
𝑁0∴ 𝑥 =
𝑛𝑅
√𝑁0(44)
Observando a Equação (43) tem-se que 𝑛𝑅 = 𝑘√𝐸𝑠 e 𝑛𝐼 = 𝑘√𝐸𝑠. Aplicando esse
valor na Equação (44) obtém-se a Equação (45)
32
𝑥 =𝑘√𝐸𝑠
√𝑁0(45)
e derivando esta obtém-se a Equação (46).
𝑑𝑥 =𝑘√𝐸𝑠
√𝑁0(46)
A Equação (47) mostra a aplicação das Equações (45) e (46) na integral mostrada na
Equação (43).
𝐼1 = ∫1
√𝜋𝑒𝑥𝑝(−𝑥²)𝑑𝑥
+𝑘√𝐸𝑠
−𝑘√𝐸𝑠
(47)
Aplicando a definição mostrada no Anexo na Equação (47) obtém-se a Equação (48).
𝐼1 =1
√𝜋∫ exp(−𝑥²)𝑑𝑥+𝑎
−𝑎
= 1 − 𝑒𝑟𝑓𝑐(𝑎)(48)
em que, a variável 𝑎 é definida como 𝑘√𝐸𝑠.
O resultado mostrado na Equação (48) é aplicado na Equação (42) e, então, obtém-se a
Equação (49), probabilidade de acerto dos símbolos com quatro vizinhos.
𝑃𝑐(𝑁4) = 𝐼12 = [1 − 𝑒𝑟𝑓𝑐(𝑎)]2 = 1 − 2𝑒𝑟𝑓𝑐(𝑎) + 𝑒𝑟𝑓𝑐2(𝑎)(49)
Assim, a probabilidade de erro dos símbolos com quatro vizinhos é mostrada na
Equação (50).
𝑃𝑒(𝑁4) = 1 − 𝑃𝑐(𝑁4) = 2𝑒𝑟𝑓𝑐(𝑎) + 𝑒𝑟𝑓𝑐2(𝑎)(50)
Reescrevendo a Equação (50) com o valor da variável 𝑎, tem-se a Equação (51).
𝑃𝑒(𝑁4) = 2𝑒𝑟𝑓𝑐 (𝑘√𝐸𝑠𝑁0) − 𝑒𝑟𝑓𝑐2 (𝑘√
𝐸𝑠𝑁0)(51)
A Figura 16 ilustra a região de integração dos símbolos com dois vizinhos adjacentes e
a decodificação do sinal acontecerá sem erro se o símbolo pertence a região delimitada pela
condição mostrada na Equação (52).
−𝑘√𝐸𝑠 ≤ 𝑛𝑅 ≤ ∞𝑒 − 𝑘√𝐸𝑠 ≤ 𝑛1 ≤ ∞(52)
33
Os limites mostrados na Equação (52) são aplicados no intervalo de integração da
função mostrada na Equação (41) resultando na Equação (53).
𝑃𝑐(𝑁2) = ∫1
√𝜋𝑁𝑜𝑒𝑥𝑝 (−
(𝑛𝑅)²
𝑁𝑜)𝑑𝑛𝑅
∞
−𝑘√𝐸𝑠
∫1
√𝜋𝑁𝑜𝑒𝑥𝑝 (−
(𝑛𝐼)2
𝑁𝑜)𝑑𝑛𝐼
∞
−𝑘√𝐸𝑠
(53)
Figura 16 - Região de integração do símbolo com dois vizinhos.
Fonte: A autora.
Observando a Equação (53) verificou-se que o intervalo das partes real e imaginária
são iguais e, portanto, definiu-se uma única integral 𝐼2, Equação (54).
𝐼2 = ∫1
√𝜋𝑁𝑜𝑒𝑥𝑝 (−
(𝑛𝑅)²
𝑁𝑜)𝑑𝑛𝑅
∞
−𝑘√𝐸𝑠
∫1
√𝜋𝑁𝑜𝑒𝑥𝑝 (−
(𝑛𝐼)2
𝑁𝑜)𝑑𝑛𝐼(54)
∞
−𝑘√𝐸𝑠
Os equacionamentos (44), (45) e (46) são refeitos para determinar a Equação (55).
𝐼2 = ∫1
√𝜋𝑁0𝑒𝑥𝑝(−𝑥2)𝑑𝑥
∞
−𝑘√𝐸𝑠
(55)
Novamente, aplica-se a definição mostrada no Anexo na Equação (55) e obtém-se a
Equação (56).
𝐼2 =1
√𝜋∫ exp(−𝑥²)𝑑𝑥+𝑎
−𝑎
= 1 −1
2𝑒𝑟𝑓𝑐(𝑎)(56)
em que, a variável 𝑎 é definida como 𝑘√𝐸𝑠.
Aplicando o resultado da Equação (56) na Equação (53) obtém-se a Equação (57).
𝑃𝑐(𝑁2) = 𝐼22 = [1 −
1
2𝑒𝑟𝑓𝑐(𝑎)]
2
= 1 − 𝑒𝑟𝑓𝑐(𝑎) +1
4𝑒𝑟𝑓𝑐2(𝑎)(57)
34
Sabe-se que a probabilidade de erro é definida como:
𝑃𝑒(𝑁2) = 1 − 𝑃𝑐(𝑁2) = 𝑒𝑟𝑓𝑐(𝑎) +1
4𝑒𝑟𝑓𝑐2(𝑎)(58)
Assim, tem-se a probabilidade de erro dos símbolos com dois vizinhos mostrada na
Equação (59).
𝑃𝑒(𝑁2) = 𝑒𝑟𝑓𝑐 (𝑘√𝐸𝑠𝑁0) −
1
4𝑒𝑟𝑓𝑐²(𝑘√
𝐸𝑠𝑁0)(59)
A Figura 17 ilustra a região de integração dos símbolos com três vizinhos.
Figura 17- Região de integração do símbolo com três vizinhos.
Fonte: A autora.
Para a decodificação correta do sinal a região deve ser delimitada de acordo com a
Equação (60).
−𝑘√𝐸𝑠 ≤ 𝑛𝑅 ≤ ∞𝑒 − 𝑘√𝐸𝑠 ≤ 𝑛𝐼 ≤ 𝑘√𝐸𝑠(60)
Os limites são aplicados no intervalo de integração da função mostrada na Equação
(41) resultando na Equação (61).
𝑃𝑐(𝑁3) = ∫1
√𝜋𝑁𝑜𝑒𝑥𝑝 (−
(𝑛𝑅)²
𝑁𝑜)𝑑𝑛𝑅
∞
−𝑘√𝐸𝑠
∫1
√𝜋𝑁𝑜𝑒𝑥𝑝 (−
(𝑛𝐼)2
𝑁𝑜)𝑑𝑛𝐼
+𝑘√𝐸𝑠
−𝑘√𝐸𝑠
(61)
Observando a Equação (61) constatou-se que o intervalo da parte real e da imaginária
são diferentes e, por isso utilizam-se as duas integrais definidas nas Equações (48) e (56).
Estas equações são aplicadas na Equação (61) resultando na Equação (62).
35
𝑃𝑐(𝑁3) = 𝐼1. 𝐼2 = [1 − 𝑒𝑟𝑓𝑐(𝑎)]. [1 −1
2𝑒𝑟𝑓𝑐(𝑎)] = 1 −
3
2𝑒𝑟𝑓𝑐(𝑎) +
1
2𝑒𝑟𝑓𝑐2(𝑎)(62)
Sabe-se que a probabilidade de erro é definida como:
𝑃𝑒(𝑁3) = 1 − 𝑃𝑐(𝑁3) =3
2𝑒𝑟𝑓𝑐(𝑎) −
1
2𝑒𝑟𝑓𝑐2(𝑎)(63)
Assim, tem-se que a probabilidade de erro do símbolo com três vizinhos é mostrada na
Equação (64).
𝑃𝑒(𝑁3) = 𝑒𝑟𝑓𝑐 (𝑘√𝐸𝑠𝑁0) −
1
4𝑒𝑟𝑓𝑐²(𝑘√
𝐸𝑠𝑁0)(64)
A Equação (65) mostra a lógica utilizada para determinar a equação geral para o
cálculo da probabilidade de erro de símbolo da modulação M-QAM não quadrada cruzada no
canal gaussiano (𝑃𝑒𝑤).
𝑃𝑒𝑤 =[𝐸𝑞. (37) ∗ 𝐸𝑞. (51)] + [𝐸𝑞. (38) ∗ 𝐸𝑞. (64)] + [𝐸𝑞. (39) ∗ 𝐸𝑞. (59)]
𝑀(65)
Após a substituição dos valores obtém-se a Equação (66).
𝑃𝑒𝑤 = (2 −3
2√2
𝑀)𝑒𝑟𝑓𝑐 (𝑘√
𝐸𝑠𝑁0) − (1 +
2
𝑀−3
2√2
𝑀)𝑒𝑟𝑓𝑐2(𝑘√
𝐸𝑠𝑁0)(66)
A Figura 18 ilustra o resultado da simulação da modulação M-QAM constelação não
quadrada cruzada no canal com o ruído gaussiano.
Pode-se verificar na Figura 18 que para o valor desejado da SEP igual à 10-5, a
modulação 32-QAM precisou de uma relação de 23,07 dB, a modulação 128-QAM de 29,26
dB e a modulação 512-QAM de 35,34 dB. Analisando o resultado obtido verificou-se que
quanto maior o valor de (M), maior será a relação necessária para se atingir um valor de SEP
pequeno.
36
Figura 18 - Comparação de modulações M-QAM constelação não quadrada.
Fonte: A autora.
0 5 10 15 20 25 30 35 4010
-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
M-QAM constelação não quadrada com AWGN
SNR [dB]
SE
P -
Pro
babili
dade d
e e
rro d
o s
ímbolo
M=32
M=128
M=512
37
5. CANAL COM OS RUÍDOS GAUSSIANO E IMPULSIVO COMBINADOS
Na literatura não se encontrou nenhum estudo avaliando o desempenho da modulação
M-QAM constelação não quadrada cruzada em um canal com ruído impulsivo modelado com
a distribuição de Poisson. Então, neste trabalho propõe-se um modelo matemático detalhado
do ruído combinado, impulsivo e gaussiano, e aplica-se esse modelo no equacionamento da
probabilidade de erro de símbolo da modulação M-QAM não quadrada com constelação
cruzada apresentada anteriormente.
Inicialmente, definiu-se a Equação (67) que considera a probabilidade de ocorrência
do ruído impulsivo e a probabilidade de ocorrência do ruído gaussiano.
𝑃𝑒 = 𝑃𝑖𝑃𝑒𝑖 + 𝑃0𝑃𝑒𝑤(67)
em que,
𝑃𝑖- probabilidade de ocorrência do ruído impulsivo;
𝑃0 = 1 − 𝑃𝑖 – probabilidade de ocorrência do ruído gaussiano;
𝑃𝑒𝑤 - probabilidade de erro da modulação M-QAM com ruído gaussiano;
𝑃𝑒𝑖 - probabilidade de erro da modulação M-QAM com ruído gaussiano e impulsivo.
O Quadro 1 mostra a caracterização do ruído impulsivo em três cenários distintos
(MA; SO; GUNAWAN, 2005).
Quadro 1 – Parâmetros do ruído impulsivo.
Ruído impulsivo λ
(segundos)
𝑻𝒓𝒖í𝒅𝒐
(milisegundos)
Distúrbio pesado 0,0196 0,0641
Distúrbio médio 0,9600 0,0607
Distúrbio leve 8,1967 0,1107
Fonte: MA; SO; GUNAWAN (2005).
O ruído impulsivo considerado como um distúrbio pesado foi capturado durante a
noite em uma substação em uma área industrial. Já o ruído considerado distúrbio médio foi
gravado em uma subestação em uma área residencial com moradias isoladas. E o ruído
impulsivo, distúrbio leve, foi gravado durante a noite em um apartamento localizado em um
grande edifício.
Na literatura existem dois modelos para representar o ruído impulsivo: “Bernoulli-
Gaussiano” e “Poisson-Gaussiano”. O primeiro modelo não considera as caracterísiticas
38
especificas do ruído enquanto que o segundo modelo as considera. Assim, justifica-se a
escolha do modelo de Poisson no desenvolvimento deste trabalho.
A probabilidade de ocorrência do ruído impulsivo mostrada na Equação (68) é
definida como o resultado do valor médio de duração do ruído impulsivo 𝑇𝑟𝑢í𝑑𝑜 durante um
período 𝑇 (MA; SO; GUNAWAN, 2005).
𝑃𝑖 = 𝜆𝑇𝑟𝑢í𝑑𝑜(68)
em que,
𝑇𝑟𝑢í𝑑𝑜 - tempo médio de duração do ruído impulsivo;
λ - taxa de ocorrência em unidade por segundos.
Reescrevendo a Equação (67) com a definição mostrada na Equação (68) tem-se:
𝑃𝑒 = 𝜆𝑇𝑟𝑢í𝑑𝑜𝑃𝑒𝑖 + (1 − 𝜆𝑇𝑟𝑢í𝑑𝑜)𝑃𝑒𝑤(69)
A Equação (66) foi definida apenas para o ruído gaussiano e, assim neste ponto do
desenvolvimento esta equação será reescrita considerando a PSD do ruído combinado como
𝑁0 + 𝑁𝑖.
𝑃𝑒𝑖 = (2 −3
2√2
𝑀)𝑒𝑟𝑓𝑐 (𝑘√
𝐸𝑠𝑁0 + 𝑁𝑖
) − (1 +2
𝑀−3
2√2
𝑀)𝑒𝑟𝑓𝑐 (𝑘√
𝐸𝑠𝑁0 + 𝑁𝑖
)(70)
A Equação (71) apresenta a relação (µ) entre as PSDs dos ruídos (MA; SO;
GUNAWAN, 2005).
𝜇 =𝑁𝑖𝑁0 ∴ 𝑁𝑖 = 𝜇𝑁0(71)
em que,
0N - PSD do ruído gaussiano;
iN - PSD do ruído impulsivo.
E a variância deste ruído combinado ( 2
n ) é mostrada na Equação (72).
𝜎𝑛2 = 𝜎𝑤
2+𝜎𝑖2 =
𝑁0
2+𝑁𝑖
2=
𝑁0
2(1 + µ)(72)
em que,
𝜎𝑛2 – variância do ruído combinado;
39
𝜎𝑤2 - variância do ruído gaussiano;
𝜎𝑖2 - variância do ruído impulsivo;
µ - relação entre as PSDs.
As definições matemáticas das equações de probabilidade erro (𝑃𝑒𝑤𝑒𝑃𝑒𝑖)e as
equações da probabilidade de ocorrência (𝑃0𝑒𝑃𝑖) são aplicadas na Equação (67) para se
obter a Equação (73).
𝑃𝑒 = 𝜆𝑇𝑟𝑢í𝑑𝑜 [(2 −3
2√2
𝑀)𝑒𝑟𝑓𝑐 (𝑘√
𝐸𝑠
𝑁0(1+𝜇)) − (1 −
2
𝑀−
3
2√2
𝑀)𝑒𝑟𝑓𝑐2 (𝑘√
𝐸𝑠
𝑁0(1+𝜇))]+
(1-𝜆𝑇𝑟𝑢í𝑑𝑜) [(2 −3
2√2
𝑀)𝑒𝑟𝑓𝑐 (𝑘√
𝐸𝑠
𝑁0) − (1 −
2
𝑀−
3
2√2
𝑀)𝑒𝑟𝑓𝑐2 (𝑘√
𝐸𝑠
𝑁0)]
(73)
A Figura 19 ilustra o gráfico da SEP obtida da simulação da 32-QAM em um canal
com ruído combinado, gaussiano e impulsivo com a relação µ= 10 (GHOSH, 1996) e fator de
escala 𝑘 =1
√20.
Figura 19 - Comparação das SEP’s da 32-QAM com ruído combinado.
Fonte: A autora.
Comparando as curvas ilustradas na Figura 19 verificou-se que para uma SEP de 10-12
a relação SNR aumentou aproximadamente 7 dB, ou seja, quando no canal tinha apenas ruído
0 10 20 30 40 50 6010
-12
10-10
10-8
10-6
10-4
10-2
100
32-QAM
SNR [dB]
SE
P -
Pro
babili
dade d
e e
rro d
o s
ímbolo
Ruído gaussiano
Ruídos gaussiano e impulsivo leve
Ruídos gaussiano e impulsivo médio
Ruídos gaussiano e impulsivo pesado
40
gaussiano essa relação era igual a 27,12 dB, e com a adição do ruído impulsivo leve a relação
atingiu o valor de 34,40 dB. Quando se comparou com o ruído impulsivo pesado, a relação
SNR aumentou aproximadamente 9 dB, foi de 27,12 dB para 36,21 dB.
A Figura 20 ilustra o gráfico da SEP obtida da simulação da 128-QAM em um canal
com ruído combinado, gaussiano e impulsivo com a relação µ= 10 (GHOSH, 1996) e fator de
escala 𝑘 =1
√82.
Figura 20- Comparação das SEP’s da 128-QAM com ruído combinado.
Fonte: A autora.
Comparando as curvas ilustradas na Figura 20 verificou-se que para uma SEP de 10-12
a relação SNR aumentou aproximadamente 7 dB, ou seja, quando no canal tinha apenas ruído
gaussiano essa relação era igual a 33,27 dB, e com a adição do ruído impulsivo leve a relação
atingiu o valor de 40,56 dB. Quando se comparou com o ruído impulsivo pesado, a relação
SNR aumentou aproximadamente 9 dB, foi de 33,27 dB para 42,34 dB.
A Figura 21 ilustra o gráfico da SEP obtida da simulação da 512-QAM em um canal
com ruído combinado, gaussiano e impulsivo com a relação µ= 10 (GHOSH, 1996) e fator de
escala 𝑘 =1
√330.
0 10 20 30 40 50 6010
-12
10-10
10-8
10-6
10-4
10-2
100
128-QAM
SNR [dB]
SE
P -
Pro
babili
dade d
e e
rro d
o s
ímbolo
Ruído gaussiano
Ruídos gaussiano e impulsivo leve
Ruídos gaussiano e impulsivo médio
Ruídos gaussiano e impulsivo pesado
41
Figura 21- Comparação das SEP’s da 512-QAM com ruído combinado.
Fonte: A autora.
Comparando as curvas ilustradas na Figura 21 verificou-se que para uma SEP de 10-12
a relação SNR aumentou aproximadamente 7 dB, ou seja, quando no canal tinha apenas ruído
gaussiano essa relação era igual a 39,30 dB, e com a adição do ruído impulsivo leve a relação
atingiu o valor de 46,63 dB. Quando se comparou com o ruído impulsivo pesado, a relação
SNR aumentou aproximadamente 9 dB, foi de 39,30 dB para 48,42 dB.
0 10 20 30 40 50 6010
-12
10-10
10-8
10-6
10-4
10-2
100
512-QAM
SNR [dB]
SE
P -
Pro
babili
dade d
e e
rro d
o s
ímbolo
Ruído gaussiano
Ruídos gaussiano e impulsivo leve
Ruídos gaussiano e impulsivo médio
Ruídos gaussiano e impulsivo pesado
42
6-CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste trabalho foram apresentados os conceitos básicos de modulações digitais
binárias e M-árias. As técnicas de modulação buscam aumentar cada vez mais as taxas de
transmissão utilizando uma menor largura de banda, a fim de obter a máxima eficiência do
canal de comunicação. Cada técnica de modulação apresenta as suas particularidades e é
utilizada para um tipo específico de transmissão. A modulação M-QAM, abordado com
detalhe neste trabalho, é utilizado em sistemas que necessitam de altas taxas de transmissão de
dados.
O ruído é um sinal indesejável que perturba a transmissão e o processamento de sinais
em sistemas de comunicação e nos quais se tem um controle incompleto. A presença do ruído
sobrepõe-se ao sinal de informação mascarando o sinal e consequentemente, limita a
capacidade do receptor de detectar o símbolo corretamente. O ruído afeta de modo decisivo a
recepção dos sinais porque o receptor deve ter a capacidade de distinguir o sinal útil e filtrar
todos os outros.
Existem vários estudos sobre a influência do ruído gaussiano, mas não existem estudos
sobre a influência do ruído impulsivo sobre o desempenho das modulações digitais. Assim,
optou-se por avaliar o efeito do ruído impulsivo modelado com a distribuição de Poisson no
desempenho da modulação M-QAM constelação não quadrada cruzada.
43
7. CONCLUSÃO
Neste trabalho verificou-se a interferência de ruídos gaussiano e impulsivo leve, médio
e pesado nas modulações 32-QAM, 128-QAM e 512-QAM. De acordo com os resultados
obtidos nas simulações observou-se que quando o sistema está contaminado com o ruído
combinado, gaussiano e impulsivo pesado, ele necessita de uma relação sinal ruído maior para
manter a mesma taxa de erro de símbolo. Analisando os resultados verificou-se que o sistema
precisa aumentar a potência de sinal informação porque o parâmetro relação sinal ruído indica
a razão entre a potência do sinal informação dividida pela potência de ruído presente no canal
de comunicação.
Sugestão de trabalho futuro:
Avaliar a utilização do sistema de múltiplas portadoras em conjunto com a modulação
M-QAM para melhorar o desempenho do sistema em um canal ruidoso, gaussiano e
impulsivo.
44
Anexo A
Nos problemas que verificam a probabilidade, que envolve uma variável aleatória
gaussiana, demandam cálculos de área da cauda da função densidade de probabilidade, nos
deparamos com um obstáculo: o cálculo dessa área não tem solução analítica exata. Nestes
casos são utilizadas as funções 𝑒𝑟𝑓𝑐(𝑥)e 𝑄(𝑥), cujo objetivo é permitir um cálculo numérico
da área em questão. Tais funções são definidas por meio das expressões
(GUIMARÃES;SOUZA, 2012).
𝑒𝑟𝑓𝑐(𝑥) =2
√𝜋∫ 𝑒𝑥𝑝(−𝑢2)𝑑𝑢∞
𝑥
(𝐴. 1)
𝑄(𝑥) =1
√2∫ 𝑒𝑥𝑝 (−
𝑢2
2)
∞
𝑥
𝑑𝑢(A. 2)
As funções 𝑒𝑟𝑓𝑐(𝑥)e 𝑄(𝑥) se relacionam da seguinte forma:
𝑒𝑟𝑓𝑐(𝑥) = 2𝑄(𝑥√2)(A. 3)
𝑄(𝑥) =1
2𝑒𝑟𝑓𝑐 (
𝑥
√2)(A. 4)
45
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
GHOSH, M. Analysis of the effect of impulsive noise and multicarrier and single carrier [2]
QAM systems. IEEE Transactions on Communications, vol. 44, no. 2, fevereiro 1996.
HAYKIN, S. Sistemas de comunicação: analógicos e digitais. 4. ed. Porto Alegre: Bookman,
2004. 837 p.
HAYKIN, S.; MOHER, M. Communication systems. 5. ed. Wiley, 2009. 440 p.
MA, Y. H.; SO, P. L.; GUNAWAN, E. Performance analysis of OFDM systems for broad-
band power line communications under impulsive noise and multipath effects. IEEE Transac-
tions on Power Delivery, vol. 20, no. 2, abril 2005.
XIONG, F. Digital modulation techniques. 2. ed, Artech house, 2006.
VASEGHI,V.SAEED, Advanced Digital Signal Processing and Noise Reduction. 3 ed. 2006.
GUIMARÃES, D.; SOUZA, R., Transmissão Digital. 1. ed. São Paulo: 2012.
PAPOULIS, A. Probability Random Variables and Stochastic Processes, 3 ed, Polytechinic
Institute of New York,1991.
