Universidade Federal de Viçosa CAMPUS DE FLORESTAL ... · Resolvendo a inequação quociente utilizando os passos da montagem do quadro quociente temos: (1º ) Zerando as funções

Universidade Federal de Viçosa CAMPUS DE FLORESTAL

AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA 1º A - ENSINO MÉDIO

Professor: Ricardo Ferreira Paraizo

1) Determine todos os valores de x ∈ IR que satisfazem simultaneamente às inequações seguintes:

I) 2x(2x - 1)(-3x-2) ≤ 0 II) 14

52≥

−−

+−

x

x

a)]-∞, 3

2− [∪]0,+∞[ b) ]-∞,

3

2− ]∪]0,+∞[

c) ]-∞, 3

2− ]∪[0,+∞[ d) [

3

2− ,

3

1− ] (X)

e) IR

Resolução da questão 1:

Como precisamos dos valores de x ∈ IR que satisfazem simultaneamente às referidas inequações, vamos precisar de encontra suas interseções. Vamos então primeiramente desenvolver as duas inequações separadamente, veja:

Resolvendo a inequação quociente utilizando os passos da montagem do quadro quociente temos: (1º) Zerando as funções f e g com seus gráficos temos:

Resolvendo a interseção das duas inequações temos: -4 -2/3 -1/3 0 1/2 S1 S2

S1 ∩ S2 -4 -2/3 -1/3 0 1/2 Solução final:

S= S1 ∩ S2 = [3

2− ,

3

1− ]

04

26

04

452

04

)4(1)52(

4]1,)4[(

01

1

4

52

:º1/

1

14

52)

≥−−

+

≥−−

+++−

≥−−

−−−+−

−−=−−

≥−−−

+−

≥−−

+−

x

x

x

xx

x

xx

xxMMC

oCalculamos

x

x

membroop

númeroopassarVamos

x

xII

( f )

+

I) 2x(2x - 1)(-3x-2) ≤ 0 f g h (1º) Zerando as funções f , g, h com seus gráficos temos:

( f ) 2x =0 ⇒ x=0 + - 0

( g) 2x -1 = 0 ⇒ x=1/2 + - 1/2

( h) -3x - 2 = 0 ⇒ x=-2/3 + -2/3 -

(2º) Montando o quadro produto:

( f )

( g )

S1

2) Se f a função real cujo gráfico se apresenta abaixo:

Analisando o gráfico, é VERDADEIRO afirmar que:

a) f( 3 ) ≥f(x), para todo x∈IR. b) A imagem é IR c) f(3) = 2. d) f( -3 ) = f( 0 ).. e) f(0) = 2 (x)

Solução

Analisando cada item:

a) Falso, pois f(3) =1,5 f(x) = y

f( 3 ) ≥f(x) implica em dizer 1,5≥y ou seja y≤1,5 o que é falso pois a imagem da função

inicia em 2 e vai para -∞

b) Falso, pois como vimos no item anterior, a imagem é y≤2

c) Falso, pois f(3) = 1,5

d) Falso, pois f(-3) ≠ f(0) f(-3) = 0 e f(0) = 2

e) Verdadeiro, pois f(0) = 2

y

x 3 1 -2 -3 0

2

1

-2

1,5

- 0,5

3) Resolva a inequação no conjunto dos números reais

a) ]-∞,0] ∪ ]1,3[ ∪ ]4,+∞[ (X) b) ]-∞,0] ∪ [1,3[ ∪ ]4,+∞[

c) ]-∞,0] ∪ ]1,3] ∪ ]4,+∞[ d) ]-∞,0[ ∪ [1,3] ∪ [4,+∞[

e) ]-∞,0] ∪ [1,3] ∪ [4,+∞[

Resolução: Vamos resolver a inequação quociente

(1º) Zerando as funções f e g com seus gráficos temos ( f ) x = 0 + - 0 ( g) –x²+4x-3=0 1 + 3 - - ( h) -x + 4 = 0 + 4 - (2º) Montando o quadro quociente: 0 1 3 4 ( f ) ( g ) ( h ) f/g.h 0 1 3 4

S= ]-∞, 0] ∪ ]1 , 3[∪]4,+∞[

0)4)(34( 2

≥−−+− xxx

x

( f )

( g )

+ + - - - - + + -

+ +

0)4)(34( 2

≥−−+− xxx

x

( h )

+ -

+ + + + - - +

4 ) Obter os números inteiros não negativos que são múltiplos de 3 na solução da

inequação -x2 + 6x + 16 > 0 a) {0, 3, 6, 9, 12} b) {0, 3, 6, 9} c) {0, 3, 6}(X) d) {3, 6}

e) φ Resolução: (1º) Zerando a função do 2º grau -x2 + 6x + 16 = 0 x' = -2 x” = 8 (2º) Representação gráfica da função do 2º grau: Solução em IN 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Múltiplos de 3 não negativo da solução são os números 0, 3, 6 Resposta: {0, 3, 6}

-2 8 +

- -

5) O número de soluções em IN da inequação abaixo é:

02

4>

−

−

x

x

a) 0 b) 1 (x) c) 2 d) 3 e) 4 Resolução:

02

4>

−

−

x

x


( f ) -x+4=0 ⇒x = 4

( g ) x-2 = 0 ⇒ x = 2 (2º) Montando o quadro quociente: 2 4 ( f ) ( g ) f/g 2 4

S= {x∈IN/2<x<4} = {3} Solução em IN 0 1 2 3 4 Resposta: Solução única

6) A solução da inequação 02

<x

é:

a) {x∈IR/x<2}

b) {x∈IR/x>2} c) IR d) IR+* e) IR-* (X)

Resolução:

02

<x

−=−

+

x<0 0 Resposta: R-*

4 -

2 +

-

+ - +

+ + - + - -

+

( f )

( g )

7) A solução da inequação x² ≤ 8 é:

22)

}2222/{)}2222/{)

}22/{)}2424/{)

±≤

≥−≤∈=≤≤−∈=

≤≤−∈=≤≤−∈=

xe

xouxIRxSdxIRxSc

xIRxSbxIRxSa

Resposta: C Resolução: x² -8 ≤ 0 (1º) Zerando a função do 2º grau x²-8 = 0

x' = -2 2 x” = 2 2 (2º) Representação gráfica da função do 2º grau:

}2222/{ ≤≤−∈= xIRxS

2 2 -2 2

+

-

+

<+−

≥−=

44

44)(

xsex

xsexxf

Desenvolvendo as tabelas para as funções I e II temos: I

f(x) = x-4 x≥4

II

f(x) = -x+4 x<4

x y x y 4 0 4 0 5 1 3 1 6 2 2 2 7 3 1 3

IR. em4)( função da gráfico oEsboçar )8 −= xxf

( II )

( I )

x

y

9) Esboçar o gráfico de:

>+

≤<−

−≤

=

24

21

13

)( 2

xsex

xsex

xse

xf

Solução: Desenvolvendo as tabelas para as funções I e II III temos:

I

f(x) = 3 x≤ -1

II

f(x) = x² -1<x≤2

III

f(x) = x +4 x>2

x y x y x y -1 3 -1 1 2 6 -2 3 0 0 3 7 -3 3 1 1 4 8 -4 3 2 4 5 9 -5 . . .

-∞

3 . . . 3

6 . . .

+∞

10 . . .

+∞ Gráfico NOTA: Criação do gráfico pelo Software Geogebra: Digitamos na caixa de entrada: Se[x ≤ -1, 3, Se[-1<x≤2, x², Se[x >2, x+4]]]. ENTER. O gráfico já sai pronto.

Para colocar intervalo aberto e fechado no gráfico desta função pelo Geogebra procedemos da seguinte maneira:

Na segunda função criamos o ponto A=(-1 , 1) (pela caixa de entrada) que deve aparecer na cor azul, daí é só mudar para cor branca. Na segunda função criamos da mesma forma o ponto final B=(2 , 4). Clicamos com o mouse direito neste ponto e em propriedade mudamos o ponto B para cor vermelha (ou preta) para que o intervalo fique fechado no ponto B.

Para não aparecer o rótulo A ou B clique com o mouse direito no referido ponto e clique em Exibir Rótulo.

( III )

x

y

10) Seja f(x)= 4x –1. Esboçar os gráficos de f(x) e f-1(x) num mesmo plano cartesiano. f-1(x)= função inversa de f(x) Solução: Para obter a função inversa de y 1º Passo: trocamos o y por x na função f(x) y = 4x-1 x = 4y -1 2º Passo: Isolamos o y (que será a nova função, ou seja, a função inversa pedida) 4y -1 = x 4y = x+1

4

1)(

4

1

1 +=

+=

− xxf

xy

A reta f é simétrica de f-1 em relação á bissetriz dos quadrantes ímpares

x

y

Universidade Federal de Viçosa CAMPUS DE FLORESTAL

AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA 1º E – ENSINO MÉDIO

Professor: Ricardo Ferreira Paraizo

1) Os valores de x ∈ IR que satisfazem simultaneamente às inequações seguintes:

é:

a) 1 <x≤ 2 b) 1 <x< 2

c) 1 ≤x≤ 2

d) -1 <x≤ 2

e) x≤-4 ou x≥2 (X)

023)11

32) 2 ≤−+−≥

−

+xxII

x

xI

Resolução da questão 1:

Como precisamos dos valores de x ∈ IR que satisfazem simultaneamente às referidas inequações, vamos precisar de encontra suas interseções. Vamos então primeiramente desenvolver as duas inequações separadamente, veja:


( f ) x+4=0 ⇒x = -4

( g ) x-1 = 0 ⇒ x = 1 (2º) Montando o quadro quociente: -4 1 ( f ) ( g ) f/g -4 1 Resolvendo a interseção das duas inequações temos: -4 1 2 S1 S2

S1 ∩ S2 -4 1 2 Solução final:

S= S1 ∩ S2 ={x∈IR/ x≤-4 ou x≥ 2}

01

4

01

132

01

)1(1)32(

1]1,)1[(

01

1

1

)32(

:º1/

1

11

32)

≥−

+

≥−

+−+

≥−

−−+

−=−

≥−−

+

≥−

+

x

x

x

xx

x

xx

xxMMCoCalculamos

x

x

membroop

númeroopassarVamos

x

xI

( f )

( g )

-4 +

-

1 +

-

+ + -

- + - - + +

S1

023) 2 ≤−+− xxII

Resolvendo a inequação do 2ª grau: (1º) Zerando a função -x²+3x-2 = 0 x' = 1 x” =2 (2º) Representação gráfica da função do 2º grau: 1 + 2 S2 - -

2) Se f a função real cujo gráfico se apresenta abaixo:

Analisando o gráfico, é VERDADEIRO afirmar que:

b) f( -2 ) ≥f(x), para todo x∈IR. (X) b) A imagem é IR c) f(3) = 2. e) f(0) = -2. e) f( -3 ) = f( 0 ).

Solução

Analisando cada item:

a) Verdadeiro, pois f(-2) =2 f(x) = y

f( -2 ) ≥f(x) implica em dizer 2≥y ou seja y≤2 o que é verdade pois a imagem da função

inicia em 2 e vai para -∞

b) Falso, pois como vimos no item anterior, a imagem é y≤2

c) Falso, pois f(3) = 1,5

d) Falso, pois f(0) = 2

e) Falso, pois f(-3) = 0 e f(0) = 2, portanto f(-3)≠f(0)

y

x 3 1 -2 -3 0

2

1

-2

1,5

- 0,5


62 2

≤−

−−

x

xx é:

a) (-∞,2

3− [∪[2,5[ b) (-∞,

2

3− ]∪[2,5[ (X)

c) (-∞,2

3− ]∪[2,5] d) (-∞,

2

3− ]∪]2,5[

e) (-∞,2

3− [∪]2,5[

Resolução: Vamos resolver a inequação quociente

05

62 2

≤−

−−

x

xx

(1º) Zerando as funções f e g com seus gráficos temos ( f ) 2x² -x - 6 = 0 + + -3/2 - 2 ( g) x - 5 = 0 + - 5 (2º) Montando o quadro quociente: -3/2 2 5 ( f ) ( g ) f/g -3/2 2 5

S= ]-∞, -3/2] ∪ [2 , 5[

( f ) ( g )

- + + - + - + - +

+ - -

4) O número de soluções naturais ( x∈IN ) que sejam soluções da inequação

(x – 4).(-x+3).(x - 6) ≥ 0 é

a) 1 b) 2 c) 4 d) 7 (X) e) 12

Resolução: Vamos resolver a inequação produto

(x – 4).(-x+3).(x - 6) ≥ 0 é

f g h (1º) Zerando as funções f , g, h com seus gráficos temos:

( f ) x-4 =0 ⇒ x=4 + - 4

( g) -x + 3 = 0 ⇒ x=3 + 3 -

( h) x - 6 = 0 ⇒ x=6 + - 6

(2º) Montando o quadro quociente: 3 4 6 ( f ) ( g ) ( h ) f.g.h 3 4 6

S={x∈IN/0≤x≤3 ou 4≤x≤6} IN 0 1 2 3 4 5 6 Total de números naturais da solução: 7

- + - - - + - - +

+ - -

+ + - -

5) O(s) número(s) inteiro(s) positivo(s) que é/são múltiplo(s) de 4 na solução da

inequação - x2 + 2

3.x +12 ≥ 0 é/são:

Use 25,50 =7

a) {0, 4, 8, 12} b) {0, 4, 8} c) {0, 4} d) {0, 12} e) {4} (X) Resolução: (1º) Zerando a função do 2º grau

-x²+2

3x+12 = 0

x' ≅ -2,79 x” ≅ 4,29 (2º) Representação gráfica da função do 2º grau: Solução em IN* 1 2 3 4 Múltiplo de 4 da solução é somente o número 4 Resposta: {4}


1<

+x é:

a) IR b) φ

c) (-∞,-2[ (X) d) (-∞,-2]∪]2, +∞[

e) (-∞,-2[∪]2, +∞[ Resolução:

02

1<

+x

−=−

+

x+2<0⇒ x<-2 -2

S= (∞ , -2 [

-2,79 4,29 +

- -

7) A solução da inequação x² ≤ 32 é:

24)

}2424/{)}22/{)

}2222/{)}2424/{)

±≤

≥−≤∈=≤≤−∈=

≤≤−∈=≤≤−∈=

xe

xouxIRxSdxIRxSc

xIRxSbxIRxSa

Resposta: A Resolução: x² -32 ≤ 0 (1º) Zerando a função do 2º grau x²-32 = 0

x' = -4 2 x” = 4 2 (2º) Representação gráfica da função do 2º grau:

}2424/{ ≤≤−∈= xIRxS

8) Esboçar o gráfico de f(x) = Ix – 4I.

<+−

≥−=

44

44)(

xsex

xsexxf

Desenvolvendo as tabelas para as funções I e II temos: I

f(x) = x-4 x≥4

II

f(x) = -x+4 x<4

x y x y 4 0 4 0 5 1 3 1 6 2 2 2 7 3 1 3

4 2 -4 2

+

-

+

( II )

( I )

x

y

9) Esboçar o gráfico de

Solução: Desenvolvendo as tabelas para as funções I e II III temos:

I

f(x) = 2 x≤ -1

II

f(x) = x² -1<x≤2

III

f(x) = x +3 x>2

x y x y x y -1 2 -1 1 2 5 -2 2 0 0 3 6 -3 2 1 1 4 7 -4 2 2 4 5 8 -5 . . .

-∞

2 . . . 2

6 . . .

+∞

9 . . .

+∞ Gráfico NOTA: Criação do gráfico pelo Software Geogebra: Digitamos na caixa de entrada: Se[x ≤ -1, 2, Se[-1<x≤2, x², Se[x >2, x+3]]]. ENTER. O gráfico já sai pronto.

Para colocar intervalo aberto e fechado no gráfico desta função pelo Geogebra procedemos da seguinte maneira:

Na segunda função criamos o ponto A=(-1 , 1) (pela caixa de entrada) que deve aparecer na cor azul, daí é só mudar para cor branca. Na segunda função criamos da mesma forma o ponto final B=(2 , 4). Clicamos com o mouse direito neste ponto e em propriedade mudamos o ponto B para cor vermelha (ou preta) para que o intervalo fique fechado no ponto B.

Para não aparecer o rótulo A ou B clique com o mouse direito no referido ponto e clique em Exibir Rótulo.

>+

≤<−

−≤

=

23

21

12

)( 2

xsex

xsex

xse

xf ( II )

( I )

( III )

x

y

10) Seja f(x)= 5x +1. Esboçar os gráficos de f(x) e f-1(x) num mesmo plano cartesiano. f-1(x)= função inversa de f(x) Solução: Para obter a função inversa de y 1º Passo: trocamos o y por x na função f(x) y = 5x+1 x = 5y +1 2º Passo: Isolamos o y (que será a nova função, ou seja, a função inversa pedida) 5y +1 = x 5y = x-1

5

1)(

5

1

1 −=

−=

− xxf

xy

A reta f é simétrica de f-1 em relação á bissetriz dos quadrantes ímpares.

x

y

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