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9/15/2016
1
15/09/2016 13:11 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teoria das Probabilidades
Estatística Aplicada I
Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Campus de Belém
Curso de Engenharia Mecânica
15/09/2016 13:11 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
Capítulo VIII
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Análise de Variância
Campus de Belém
Curso de Engenharia Mecânica
9/15/2016
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15/09/2016 13:11 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
Introdução
Planejamento aleatorizado por níveis
VIII – Análise de Variância
15/09/2016 13:11 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
Introdução
Planejamento aleatorizado por níveis
VIII – Análise de Variância
9/15/2016
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15/09/2016 13:11 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
8.1 Introdução
• Análise de Variância (ANOVA) é um método
estatístico, desenvolvido por Fisher, que por meio de
testes de igualdade de médias, verifica se fatores
propostos produzem mudanças sistemáticas em
alguma variável de interesse (varável dependente).
• Os fatores considerados podem ser variáveis
quantitativas ou qualitativas; entretanto, a variável
dependente deve ser quantitativa (intervalar) e é
observada dentro das classes dos fatores, denominados
tratamentos.
Considerações inicias
15/09/2016 13:11 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
8.1 Introdução
• EXEMPLO: No caso de consumo de combustível dos
veículos, pode-se admitir como fatores de influência a
marca, a idade e a potência. A análise de variância
permite verificar se tais fatores, ou uma combinação
deles, produzem efeitos apreciáveis sobre o consumo, ou
se concluir que não têm influência alguma.
• Se for considerado somente a marca do veículo, com
interesse em apenas duas delas, esse experimento
poderia ser planejado e analisado usando os testes t de
hipóteses para duas amostras. Nesse caso, tem-se um
único fator de interesse – marca do veículo – e há
somente dois níveis do fator – duas marcas.
Considerações iniciais
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15/09/2016 13:11 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
8.1 Introdução
• Muitos experimentos com um único fator, no entanto,
requerem que mais de dois níveis do fator sejam
considerados.
• Neste caso, a análise de variância poderá ser usada para
comparar médias, quando houver mais de dois níveis de
um único fator.
• As diversas técnicas de planejamento e análise de
experimentos com vários fatores deverão ser estudadas
em cursos de pós-graduação.
Considerações iniciais
15/09/2016 13:11 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
• Um experimento completamente aleatorizado com um
único fator e quatro níveis (níveis = tratamentos), e
cada tratamento com seis observações (ou réplicas)
vão gerar 24 corridas.
• Fazendo a aleatoriedade da ordem das 24 corridas, o
efeito de qualquer variável perturbadora, que possa
influenciar a variável de estudo (variável dependente),
é aproximadamente balanceado.
Aleatoriedade das corridas experimentais
8.1 Introdução
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15/09/2016 13:11 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
Aleatoriedade das corridas experimentais
• EXEMPLO: Se deseja verificar a influência de uma
certa condição em uma propriedade do material.
Supondo que o aquecimento da máquina de teste possa
influenciar nos resultados, quanto mais tempo a
máquina ficar ligada, maior será a sua temperatura.
Dessa forma, se os testes foram realizadas por níveis
do fator, a temperatura da máquina irá aumentar do
primeiro ao último nível do fator, e as diferenças
observadas nos resultados para cada nível poderão ser
também devidas ao efeito de aquecimento.
8.1 Introdução
15/09/2016 13:11 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
Análise gráfica dos dados de um experimento planejado
• Os diagramas de
caixa, por exemplo,
permitirão visualizar a
variabilidade das
observações dentro
(within) de um
tratamento (nível do
fator) e a variabilidade
entre (between) os
tratamentos.
8.1 Introdução
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15/09/2016 13:11
8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Seja um procedimento experimental onde se realizou
ensaios com a diferentes níveis (ou tratamentos) de uma
única variável de influência (fator simples), com n réplicas
para cada nível, como mostrado a seguir:
Nível (Tratamento)
Observações Totais Médias
1
2
.
.
.
a
y11 y12 ... y1n
y21 y22 ... y2n
. . .
. . .
. . .
ya1 ya2 ... yan
y1.
y2.
.
.
.
ya.
.
.
.
Σ y..
.1y
.2y
.ay
..y
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Onde yij é o j-ésimo elemento obtido no tratamento (nível)
i. Esses elementos podem ser definidos pelo modelo
estatístico linear
aleatórioserrosadevidocomponente
tratamentocadadeefeitoodefinequeparâmetro
geral médiaonde
n,...,2,1j
a...,2,1iy
ij
i
ijiij
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
O objetivo deste estudo é avaliar os efeitos dos
tratamentos e estimá-los através do teste de hipóteses
adequado.
Para esse teste, assume-se que os erros do modelo são
normalmente e independentemente distribuídos com
média zero e variância σ².
Esse modelo é denominado análise de variância de
um fator único e, para que a análise seja objetiva é
necessário que o procedimento experimental seja
completamente aleatorizado.
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise dos efeitos dos tratamentos pode ser feita de duas
maneiras:
• Análise de um modelo de efeitos fixos - Os tratamentos são
escolhidos de forma específica e, desta forma, o teste de
hipóteses refere-se às médias dos tratamentos, e as conclusões
extraídas são aplicáveis somente aos níveis considerados na
análise, não podendo ser estendidos a outros níveis não
analisados.
• Análise de um modelo de efeitos aleatórios - Os tratamentos
analisados representam uma amostra aleatória de uma
população de tratamentos, e as conclusões feitas para essa
amostra podem se estender para todos os outros tratamentos
da população.
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• Efeitos dos tratamentos τi são definidos como
desvios a partir da média geral, de modo que:
0a
1i
i
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• Da tabela anterior, tem-se que
sobservaçõeastodasdegeralmédiay
sobservaçõedetotalnúmeronaNonde
Nyyyy
nyyyy
..
a
1i
....
n
1j
ij..
.ii
n
1j
ij.i
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• A média estimada do i-ésimo tratamento é dada por
)tratamentodoefeitodo
acrescidageralmédia(a,...,2,1i,)y(E
1
iiij
• Faz-se o teste de hipóteses para verificar se as médias dos
tratamentos são iguais
)ijparumparamenospelo(:H
...:H
ji1
a21o
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
Se Ho for verdadeira (todos os tratamentos tem média igual a
μ), a mudança nos níveis do fator não tem efeito na resposta
média.
• Para essa verificação, a análise de variância é a que melhor
se aplica.
• O termo análise de variância deriva da divisão da
variabilidade total em seus componentes.
)iumparamenospelo(0:H
0...:H
i1
a21o
ou
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• A variabilidade total dos resultados é representada pela soma
corrigida dos quadrados SQT (ou soma quadrática total),
mostrada abaixo:
a
1i
n
1j
2
..ijT )yy(SQ
que pode ser reescrita como
a
1i
n
1j
2
.iij...i
a
1i
n
1j
2
..ijT )]yy()yy[()yy(SQ
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
ou
a
1i
n
1j
.iij...i
a
1i
n
1j
2
.iij
2
..
a
1i
.i
a
1i
n
1j
2
..ijT
)yy)(yy(2
)yy()yy(n)yy(SQ
• O último termo da expressão é nulo, pois
0)ny(nyyny)yy( .i.i.i.i
n
1j
.iij
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
EsTratamentoT
a
1i
n
1j
2
.iij
2
..
a
1i
.i
a
1i
n
1j
2
..ijT
SQSQSQ
ou
)yy()yy(n)yy(SQ
• Como se observa, a soma corrigida dos quadrados (que
representa a variabilidade dos dados) é representada pela
somatória dos quadrados das diferenças entre as médias dos
tratamentos e a média geral de todos os elementos, adicionada
à somatória dos quadrados das diferenças entre as observações
e as médias dos tratamentos.
• Assim,
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
onde SQTratamentos denomina-se soma dos quadrados devidos
aos tratamentos (entre tratamentos) e SQE é denominada
soma dos quadrados devidos ao erro (dentro dos
tratamentos).
• SQT apresenta N-1 graus de liberdade, SQTratamentos apresenta
a-1, e SQE, N-a graus de liberdade.
• A razão MQTratamentos = SQTratamentos/a–1, chamada de média
quadrática dos tratamentos, é uma estimativa da variância
entre os tratamentos, e a razão MQE = SQE/N–a, denominada
média quadrática do erro, é uma estimativa da variância
dentro de cada um dos tratamentos.
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
2
Den
2
Num
E
sTratamento
E
sTratamentoo
)aN/(SQ
)1a/(SQ
MQ
MQF
• Considere agora que cada uma da a populações possa ser
modelada como uma distribuição normal.
• Usando essa suposição, pode-se mostrar que se a hipótese
nula for verdadeira, isto é, não há diferença entre as médias
dos tratamentos, a razão
terá uma distribuição F com a–1 e N–a graus de
liberdade.
15/09/2016 13:11
8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• No caso da hipótese nula ser verdadeira, tanto o numerador
quanto o denominador da expressão são estimadores
confiáveis de σ². No entanto, se a hipótese for falsa, então o
valor esperado do numerador será maior do que σ².
• Por conseguinte, se o valor esperado para o numerador é
maior que o valor esperado para o denominador, deve-se
rejeitar Ho para valores do teste de hipóteses que sejam
muito grandes, ou seja, a hipótese nula será rejeitada se
aN,1a,o FF
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• A análise da variância pode ser feita construindo-se a
tabela a seguir:
Fonte de variação
Soma dos quadrados
Graus de liberdade
Média dos quadrados
Fo
Entre
tratamentos SQTratamentos a – 1 MQTratamentos
Erro
(dentro dos
tratamentos)
SQE N – a MQE
Total SQT N – 1
E
sTratamento
MQ
MQ
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• Quando o número de observações não pode ser mantido
constante em todos os tratamentos, tem-se nessa situação
a
1i
inN
onde ni é o tamanho da amostra para cada tratamento i,
e as expressões das somas ficam:
N
y
n
ySQe
N
yySQ
2
..a
1i i
2
.isTratamento
2
..a
1i
n
1j
2
ijT
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• Deve-se preferir o uso de tratamentos com amostras do
mesmo tamanho, pois a hipótese de que as variâncias
sejam iguais para todos os tratamentos é mais facilmente
verificada quando ni = n e também porque a capacidade
do teste é maximizada nessa situação.
COMPARAÇÃO DAS MÉDIAS INDIVIDUAIS DOS
TRATAMENTOS:
• O método anterior permite verificar se as médias de
diversos tratamentos são diferentes ou não, mas não
possibilita dizer quais delas divergem.
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• Para tanto, há necessidade de se comparar as
somatórias das observações de cada tratamento (yi.) ou
de suas médias ( ).
• Essas comparações são feitas através dos denominados
métodos de comparação múltipla.
• Muitos desses métodos usam o conceito de contraste.
Que são comparações de médias de tratamentos ou das
somatórias das observações de cada tratamento por
G.L. individuais na análise de variância.
.iy
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• Contraste é comparação, enquanto ortogonal, neste
caso, quer dizer independente. Assim, o contraste
ortogonal é uma forma de estudar os tratamentos em
uma série de comparações.
• A ortogonalidade indica que a variação de um
contraste é inteiramente independente da variação de
outro qualquer que lhe seja ortogonal.
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• O ponto chave dos contrastes é que se consegue
“juntar” todos os tratamentos em apenas dois grupos, e
com isto o teste de F já é completamente satisfatório.
• Pode-se fazer tantas comparações quanto se desejar,
até o limite de graus de liberdade dos tratamentos, já
que este é o máximo de informação que existe sobre
os tratamentos.
• A soma dos vetores deve ser nula para ser um
contraste. No entanto, para ser ortogonal, deve-se
multiplicar um pelo outro e sua soma deve ser zero.
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• Contraste C ou comparação é uma função linear dos
totais de tratamentos yi. (ou de suas médias) do tipo:
se
.aa.22.11
a
1i
.ii yc...ycycycC
diferentesncomstratamentopara0cn
iguaisncomstratamentopara0c
a
1i
ii
a
1i
i
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• Os contrastes
são ortogonais (independentes entre si) se
a
1i
.ii
a
1i
.ii ybBeycC
diferentesncomstratamentopara0cbn
iguaisncomstratamentopara0cb
a
1i
iii
a
1i
ii
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• EXEMPLOS:
.3.2.14
.3.2.1.3.2.1
3
.3.12
.2.11
yyyCcontrasteéNão
y2yyy2
yyC
yyC
yyC
contrastesSão
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• EXEMPLOS:
03)2)(1()1)(0()1)(1(pois,CeC
01)1)(0()0)(1()1)(1(pois,CeC
:ortogonaissãoNão
0)2)(1()1)(0()1)(1(pois,CeC
:ortogonaisSão
32
21
31
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
a soma dos quadrados para qualquer contraste é dada por
diferentesncomstratamentopara
cn
yc
SQ
iguaisncomstratamentopara
cn
yc
SQ
a
1i
2
ii
2a
1i
.ii
C
a
1i
2
i
2a
1i
.ii
C
15/09/2016 13:11
8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• Um contraste é testado comparando-se SQC/1 com
SQE/(N–a), que deve ser distribuído como Fα,1,N-a caso
a hipótese nula seja verdadeira, ou seja, com
)aN/(SQ
1/SQF
E
Co
Ho será rejeitada se
aN,1,o FF
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• Exemplo 01: Um engenheiro está interessado em
maximizar a resistência à tração de uma nova fibra sintética
que será usada na confecção de roupas. Ele conhece de
situações anteriores que a resistência à tração é afetada pela
porcentagem de algodão na fibra. Além disso, ele suspeita
que o aumento do conteúdo de algodão eleva a resistência.
Ele também sabe que o conteúdo de algodão deve estar
entre 10% e 40% para que as roupas tenham no final uma
qualidade desejável. O engenheiro decide testar fibras com
cinco níveis de porcentagem de algodão: 15, 20, 25, 30 e
35%. Ele também decide testar cinco corpos de prova para
cada nível de conteúdo de algodão.
15/09/2016 13:11
8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• Solução: Este é um exemplo de um planejamento de um
único fator com a = 5 níveis e n = 5 réplicas. Os 25 ensaios
devem ser feitos em ordem aleatória, como por exemplo:
Porcentagem de algodão
Número de ensaios
15 20 25 30 35
1 6 11 16 21
2 7 12 17 22
3 8 13 18 23
4 9 14 19 24
5 10 15 20 25
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
Sequência do ensaio
Nº do ensaio
% algodão
Sequência do ensaio
Nº do ensaio
% algodão
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
8 18 10 23 17 5 14 6 15 20 9 4 12
20 30 20 35 30 15 25 20 25 30 20 15 25
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 -
7 1 24 21 11 2 13 22 16 25 19 3 -
20 15 35 35 25 15 25 35 30 35 30 15 -
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
% de
algodão
Tensões de escoamento observadas
(lb/pol²) Totais
yi.
Médias
yi 1 2 3 4 5
15
20
25
30
35
7
12
14
19
7
7
17
18
25
10
15
12
18
22
11
11
18
19
19
15
9
18
19
23
11
49
77
88
108
54
9,8
15,4
17,6
21,6
10,8
y.. = 376
.iy
04,15y..
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
% de
algodão
Tensões de escoamento observadas
(lb/pol²) Totais
yi.
Médias
yi. 1 2 3 4 5
15
20
25
30
35
-8
-3
-1
4
-8
-8
2
3
10
-5
0
-3
3
7
-4
-4
3
4
4
0
-6
3
4
8
-4
-26
2
13
33
-21
-5,2
0,4
2,6
6,6
-4,2
y.. = 1
.iy
04,0y..
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
20,16176,47596,636
SQSQSQ
76,47525
)376(
5
)54(...)49(
25
)376(
5
y
N
y
n
ySQ
96,63625
)376()11(...)7()7(
25
)376(y
N
yySQ
sTratamentoTE
222
25
1i
2
.i
2
..a
1i
2
.isTratamento
2222
25
1i
5
1j
2
ij
2
..a
1i
n
1j
2
ijT
9/15/2016
22
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8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
Fonte da
variação
Soma dos
quadrados
Graus de
liberdade
Média dos
quadrados
Fo
% de algodão
Erro
Total
475,76
161,20
636,96
4
20
24
118,94
8,06
14,76*
* Significativo ao nível de 1% (F0.01,4,20 = 4,43)
aN,1a,o FF
• Uma vez que Fo > F0,01;4;20, rejeita-se Ho, concluindo-se
que ao nível de 1% a porcentagem de algodão na fibra afeta
significativamente a sua resistência à tração.
15/09/2016 13:11
8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
54321454312o
54321331o
5432125431o
54321154o
y1y1y1y4y1C4:H
y0y0y1y0y1C:H
y1y1y1y0y1C:H
y1y1y0y0y0C:H
ContrastesHipóteses
• Pode-se verificar, pela condição abaixo, que todos os pares
de contrastes são ortogonais.
5
1i
ii 0cb
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23
15/09/2016 13:11
8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
81,0)20(5
)9(SQ9)54(1)108(1)88(1)77(4)49(1C
10,152)2(5
)39(SQ39)54(0)108(0)88(1)77(0)49(1C
25,31)4(5
)25(SQ25)54(1)108(1)88(1)77(0)49(1C
60,291)2(5
)54(SQ54)54(1)108(1)88(0)77(0)49(0C
2
4C4
2
C3
2
C2
2
C1
3
2
1
15/09/2016 13:11
8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
Fonte da variação Soma dos
quadrados
Graus de
liberdade
Média dos
quadrados
Fo
% de algodão
Contrastes ortogonais
C1 :μ4 = μ5
C2 :μ1 + μ3 = μ4 + μ5
C3 :μ1 = μ3
C4 :4μ2 = μ1 + μ3 + μ4 + μ5
Erro
Total
475,76
(291,60)
(31,25)
(152,10)
(0,81)
161,20
636,96
4
1
1
1
1
20
24
118,94
291,60
31,25
152,10
0,81
8,06
Fo =14,76
36,18*
3,88
18,87*
0,10
* Significativo ao nível de 1% (F0.01,4,20 = 4,43)
• Conclusão: Há uma significante diferença entre as porcentagens de
algodão 4 e 5 e 1 e 3, mas as médias de 1 e 3 não diferem das médias
de 4 e 5, e 2 não difere das médias das outras quatro porcentagens.
9/15/2016
24
15/09/2016 13:11
8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• Exemplo 02: Deseja-se verificar se a modificação das condições
de tratamento térmico influem na tensão limite de escoamento de
uma liga metálica. Foram ensaiadas quatro condições distintas,
obtendo-se os resultados mostrados na tabela a seguir:
Condição de tratamento
Tensão limite de escoamento (MPa)
1 2 3 4
312,9 300,0 286,5 289,0 320,0 330,0 297,5 315,0 280,0 290,0 298,5 305,0 260,0 270,0 260,0 276,5
A modificação das condições de tratamento afeta a propriedade
mecânica da liga metálica? (use α = 0,05)
15/09/2016 13:11
8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• Quadro de análise de variâncias
Tratamentos TLE (MPa) Totais Médias
1 2 3 4
312,9 300,0 286,5 289,0 320,0 330,0 297,5 315,0 280,0 290,0 298,5 305,0 260,0 270,0 260,0 276,5
1188,4 1262,5 1173,5 1066,5
297,1 315,6 293,3 266,6
4690,6 293,2
N = n.a = 16
SQT = 6436,5 SQTrat /(a-1) = 1632,5 SQTrat = 4897,4 SQE /(N-a) = 128,3 SQE =1539,1 Fo = 12,7 F0,05;3;12 = 3,49
9/15/2016
25
15/09/2016 13:11
8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• Como Fo > F0,05;3;12 tem-se que a hipótese nula é rejeitada, ou
seja, ao nível de 5% os tratamentos afetam a tensão limite de
escoamento da liga metálica
• Para comparar as médias dos diversos tratamentos serão
verificadas as seguintes hipóteses nulas:
43215312o
432144231o
4321342o
4321231o
4321121o
y0y1y2y1C2:H)5
y1y1y1y1C:H)4
y1y0y1y0C:H)3
y0y1y0y1C:H)2
y0y0y1y1C:H)1
15/09/2016 13:11
8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• Verifica-se se a condição abaixo é satisfeita para todos os
contrastes
a
1i
i 0c
00121:C
01111:C01010:C
00101:C00011:C
5
43
21
Portanto, todos os contrastes propostos satisfazem o
critério.
9/15/2016
26
15/09/2016 13:11
8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• Dos cinco contrastes propostos, quatro pares são
ortogonais, ou seja, independentes entre si.
• Analisando-se a primeira hipótese Ho:μ1 = μ2 , tem-se:
43524232 C.C,C.C,C.C,C.C
35,686)2(4
)1,74(SQ
1,74)5,1066(0)5,1173(0)5,1262(1)4,1188(1C
2
C
1
1
15/09/2016 13:11
8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• Portanto, como SQC1 = 686,35 e SQE /(N–a) = 128,3.:
• Como F0,05;1; 12 = 4,75, tem-se que Fo > F0,05; 1; 12 ,
assim, pode-se concluir que, ao nível de 5%, existe
diferença significativa entre as médias dos tratamentos 1
e 2.
35,53,128
1/35,686
)aN/(SQ
1/SQF
E
Co
9/15/2016
27
15/09/2016 13:11
8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• Exemplo 03: Um fabricante de televisores está interessado
no efeito de quatro diferentes tipos de recobrimentos para
tubos catódicos sobre a condutividade desses tubos. Após o
planejamento experimental, obtiveram-se os seguintes
resultados:
Tipo de recobrimento
Condutividade
1 2 3 4
143 152 134 129
141 149 136 127
150 137 132 132
146 143 127 129
15/09/2016 13:11
8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• a) O tipo de recobrimentos dos tubos afeta a
condutividade nos mesmos?
b) Estime a média geral e os efeitos dos tratamentos.
c) Determine o intervalo de confiança de 95% ao estimar
a média do tipo de recobrimento 4.
d) Assumindo que o tipo 4 está atualmente em uso, quais
suas recomendações para o fabricante que deseja reduzir
a condutividade?
9/15/2016
28
15/09/2016 13:11
8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• Solução: Trata-se de um planejamento
aleatorizado por níveis, que apresenta níveis
completos (balanceados), modelo de efeitos
fixos. A variável de influência é o tipo de
recobrimento para tubos catódicos, e a variável
de resposta é a condutividade, não existindo
fontes de variabilidade.
15/09/2016 13:11
8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
Tipo de recobrimento
Condutividade y.
ȳ.
1 2 3 4
143 152 134 129
141 149 136 127
150 137 132 132
146 143 127 129
580 581 529 517
145,00 145,25 132,25 129,25
y.. = 2207,00
ȳ.. = 137,94
9/15/2016
29
15/09/2016 13:11
8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
Tipo de
recobrimento Condutividade y. ȳ.
1 2 3 4
3 12 -6
-11
1 9
-4 -13
10 -3 -8 -8
6 3
-13 -11
20
21
-31
-43
5,00
5,25
-7,75
-10,75
y.. = -33 ȳ.. = -2,06
15/09/2016 13:11
8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
25,23669,84494,1080
SQSQSQ
69,84416
)33(
4
)43(...)20(
N
y
n
ySQ
94,108016
)33()11(...)1()3(
N
yySQ
sTratamentoTE
222
2
..a
1i
2
.isTratamento
2222
2
..a
1i
n
1j
2
ijT
9/15/2016
30
15/09/2016 13:11
8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
49,3FF
3,1412/25,236
3/69,844
)aN(SQ
)1a(SQF
12;3;05,0aN;1a;
E
Trato
a) Como Fo > F0,05;3;12 , rejeita-se Ho para o nível de
significância de 5%, concluindo-se que o tipo de
recobrimento dos tubos afeta a condutividade nos
mesmos.
b) ȳ.. = 137,94 SQTratamentos = 844,69
15/09/2016 13:11
8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
c)
182,3t
ns
yt
3141n
062,2s
25,129y
3;025,0
95% 2,5% 2,5%
? ?
φ = 3
129,25 t
95% 2,5% 2,5%
-3,182 t α/2;φ = 3,182 t
9/15/2016
31
15/09/2016 13:11
8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
%95)8,1322,126(P
%95182,34
062,225,129182,3
4
062,225,129P
Ou seja, o intervalo [126,2; 132,8] contém a verdadeira
média do recobrimento 4, com 95% de confiança.
1t
n
Syt
n
SyP
1n;2
1n;2
15/09/2016 13:11
8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
d)
4321141o y1y0y0y1C:H
125,496])1()1[(4
)]43.(120.1[
cn
yc
SQ22
2
a
1i
2
i
2a
1i
.ii
C
75,4FF
20,2512/25,236
1/12,496
)aN(SQ
1SQF
12;1;05,0aN;1a;
E
Co
9/15/2016
32
15/09/2016 13:11
8.2 Planejamento aleatorizado por níveis
Análise de um modelo de efeitos fixos
• Conclusão: Como Fo > F0,05;1;12 , rejeita-se Ho para o
nível de significância de 5%, concluindo-se que que
existe diferença significativa entre as médias dos
tratamentos 1 e 4.
15/09/2016 13:11 ESTATÍSTICA APLICADA I - Teste de Hipóteses
FIM
VIII – Análise de variância