UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ

Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos em Engenharia

GRADUAÇÃO BAYESIANA DE TAXAS DE MORTALIDADE E PROJEÇÃO DAS

TAXAS DE MORTALIDADE DOS PARTICIPANTES DA FUNDAÇÃO COPEL

Aluno: Guerino Pirollo Junior

Orientadora: Prof. PhD Paulo Justiniano Ribeiro Junior

Objetivo Geral

Obter com base nos dados da população exposta ao risco de morte da Fundação Copel, probabilidades de morte que melhor reflitam a mortalidade do grupo, auxiliando na adoção de Hipóteses de Mortalidade a serem usadas.

Objetivos Específicos

Graduar as taxas de mortalidade da população exposta ao risco através de um modelo Bayesiano não paramétrico, comparando-as com tábuas de mortalidade usuais.

Projetar as taxas de mortalidade futuras do grupo, utilizando o método de Lee-Carter e modelos Spline penalizados (P-spline).

Conceitos Iniciais

Estatística Bayesiana: trata-se de estimação de parâmetros desconhecidos, agregando aos dados conhecimentos iniciais (distribuição a priori) sobre os parâmetros.

MCMC: simulação estocástica de Monte Carlo via Cadeias de Markov.

JAGS: Just Another Gibbs SamplerBootstrap: geração de amostras aleatórias com

reposição a partir de uma amostra inicialForça de Mortalidade:

µx,t = P(x<X<x+∆x | X>x) = [F(x+∆x)-F(x)]/1-F(x)

Tábua de Mortalidade

É o instrumento destinado a medir as probabilidades de vida e de morte (George King).

Deve refletir a mortalidade da população exposta ao risco (aderência);

É utilizada nos cálculos atuariais - calculo de provisões, contribuições e prêmios;

Pode ser estática ou “geracional”, incorporando as melhorias na mortalidade (Retangularização e Expansão de s(x)).

Retangularização e Expansão

Graduação Taxas de Mortalidade

É o processo de suavização das taxas brutas de mortalidade (rx=dx/lx);

Normalmente feito através de modelos (paramétricos) – ajuste de rx ou µx a um modelo matemático: deMoivre, Gompertz, Makeham e Weibull.

Torna as probabilidades de mortes (qx) monotonicamente crescentes em relação às idades.

Graduação Taxas de Mortalidade

Graduação Bayesiana

Atribui-se distribuição de probabilidade (priori) aos parâmetros desconhecidos µx,t;

Taxas brutas graduadas em função de µx,t ;

Considera-se μx,t constante nos intervalos de idades, onde: qx = 1-exp(-µx,t) ou µx,t=-ln(1-qx) (Bowers,1997);

Assume-se que os indivíduos com mesma idade morrem independentemente e com mesma probabilidade;

O modelo Bayesiano adotado é não paramétrico.

Graduação Bayesiana

Verossimilhança Poisson:

(dx,t|µx,t) ~Poisson (lx,t.µx,t), com lx,t conhecido

Distribuição a priori do Parâmetro μx,t:

(µx,t|α,β) ~Gama(α,β) I(µx-1,t;µx,t)(µx,t), com α=β=0,001 e idades x=xl,...,xu

Distribuição a posteriori:

(µx,t|dx,t,α,β) α Gama(µx,t|α*,β*) I(µx-1,t;µx,t)(µx,t)

OBS:IR(µ) é a função indicadora, assumindo o valor 1 se µR e zero caso contrário.

Graduação Bayesiana

Dificuldade: restrição imposta pelo sub conjunto R ao vetor de parâmetros µ:

µ R = {µ:0<µ1<µ2<...<µk<B}

Especificação da priori viável computacionalmente (MCMC) – evita integração numérica complexa na estimação dos parâmetros µi.

Alteração em R e suposição para os µi:

1. µ R = {µ:0<µ1<µ2<...<µk<1};

2. µ1,µ2,...,µk i.i.d. Gama (α,β), com α conhecido e constante e β um hiperparâmetro ~ Gama (a,b).

Implementação Modelo - JAGS

Dados: população de assistidos (aposentados)Restrições:

1. Idade inicial x=48 anos, com intervalos de idade x+i-1 para i=1,...,37

2. Utilizou-se a quantidade de expostos ao risco (lx) em cada idade x, no inicio do ano;

lx Data lx Data lx Data

4425 01/2003 4425 01/2005 4569 01/2007

4437 01/2004 4432 01/2006 4606 01/2008

Implementação Modelo - JAGS

Obtenção das estimativas µi(r) e qx

(r), a partir de distribuição preditiva do número de mortes (di

(r)|µi)~Poisson(li.µi), i=1,...,37 e x=48, onde:

37,...,1),exp(1.2

37,...,1,.1

)()(1

)(

)()(

iq

il

d

ri

rix

ri

rir

i

Implementação Modelo - JAGS

Valores iniciais:

1. Valores iniciais (µ1(0),µ2

(0),...,µ37(0)) dos par. µi’s

restrito a R, calculados a partir das tábuas AT2000, AT83 e AT49, com µi=-ln(1-qx+i-1), i=1,...,37

2. 120.000 simulações (60.000 – burn in)

3. Intervalo entre observações (6 em 6)

4. 3 cadeias paralelas (para os µi’s das 3 tábuas)

5. Estimadores pontuais das probabilidades:

n

mr

rix

rix inmq

mnq

1

)(1

)(1 37,...,1,000.120,000.60,

1ˆ

Diagnóstico - CODA

Resultados e Comparação

Projeção Taxas de Mortalidade

Modelo de Lee-Carter:

log μx,t = a(x)+b(x)k(t)+ε(x,t)

a(x):descreve a forma geral do perfil de mortalidade por idade;

b(x):descreve o padrão de desvios do perfil da idade conforme o parâmetro k(t) varia;

k(t):descreve a mudança na mortalidade como um todo;

ε(x,t):termo de erro aleatório

Modelos P-spline

Spline: mecanismo usado para traçar curvas, é uma função polinomial que aproxima pontos em um determinado espaço.

Ajusta os pontos de forma “local”.Podem ser ajustadas usando-se qualquer modelo

de regressão (linear, sobrevivência, logístico etc).Nos modelos P-spline combina-se suavidade e

bondade de ajuste através de penalidades: Grande - preferência por suavidade nos coef. βi; Pequena – preferência por bondade de ajuste.

Modelos P-spline

Modelo proposto - variável preditora é Ex,t e a Variável resposta é Dx,t, com Dx,t~Poisson(Ex,t.Dx,t).

Para descrever a relação entre μx e as variáveis x e t, uma possibilidade é escolher um número de funções polinomiais base b1(x,t),b2(x,t),...,bn(x,t), representando μx como uma combinação linear:

μx ≈ β1b1(x,t)+β2b2(x,t)+...+βnbn(x,t)

BIBLIOGRAFIA

[1] BOWERS, N.L. el al. Actuarial Mathematics. The Society of Actuaries, 1997.

[2] EHLERS, R.S. Métodos Computacionalmente Intensivos em Estatísitca. Notas de Aula, Universidade Federal do Paraná, 2004.

[3] LEE, R.D.; CARTER, L. Modeling and Forecasting the Time Series of US Mortality. Journal of the American Statistical Association, v87, 419: 659-671, 1992.

BIBLIOGRAFIA

[4] NEVES, C.R. Graduação Bayesiana de Taxas de Mortalidade. Funenseg, Caderno de Seguros – Teses, v.10, 28, 2005.

[5] SANTOS, R.R Técnicas de modelagem do improvement para construção de tábuas geracionais. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Dissertação de Mestrado, 2007.

[6] SPIEGELHALTER, D.J. et al. Markov Chain Monte Carlo in Practice. Chapman & Hall, London, 1997.

AGRADECIMENTOS

Orientador: Prof. PhD. Paulo Justiniano Ribeiro Junior;Coordenador(a) do curso: Dra Liliana Madalena

Gramani Cumin;A todos os professores do PPGMNE