Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto … · surgir foi o de Derman & Kani (1994). Este modelo usa a função de volatilidade implícita obtida a partir do smile observado

Análise de Performance da Aplicação do Modelo de Árvore de

Volatilidade Implícita em Relação ao Modelo de Black & Scholes

no Mercado Brasileiro

Carlos Eduardo Carneiro Pinto de Magalhães

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Instituto COPPEAD de Administração

Mestrado em Administração

Orientador: Eduardo Facó Lemgruber

Rio de Janeiro - Brasil

Março de 2003

ii


Volatilidade Implícita em Relação ao Modelo de Black & Scholes no

Mercado Brasileiro.

Carlos Eduardo Carneiro Pinto de Magalhães

Dissertação submetida ao corpo docente da COPPEAD da Universidade

Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à

obtenção do grau de Mestre.

Aprovada por:

___________________________________ Presidente da Banca

Prof. Eduardo Facó Lemgruber (COPPEAD/UFRJ)

___________________________________

Prof. Celso Funcia Lemme (COPPEAD/UFRJ)

___________________________________

Prof. Franklin de Oliveira Gonçalves (Banco BBM S.A.)

Rio de Janeiro, RJ

2003

iii

FICHA CATALOGRÁFICA

Magalhães, Carlos Eduardo Carneiro Pinto de.


Volatilidade Implícita em Relação ao Modelo de Black & Scholes no

Mercado Brasileiro /

Carlos Eduardo Carneiro Pinto de Magalhães. - Rio de Janeiro:

UFRJ/COPPEAD, 2003

xx, 170p. il.

Dissertação (Mestrado em Administração)- Universidade Federal do Rio

de Janeiro - UFRJ, Instituto de Pós-Graduação em Administração –

COPPEAD, 2003.

Orientador: Eduardo Facó Lemgruber

1 - Volatilidade Implícita. 2. Árvore Binomial Implícita. 3. Efeito Sorriso

4. Dissertação (Mestrado - UFRJ/COPPEAD). I.Título

iv

Dedicatória

Dedico minha dissertação a meus pais, pelo apoio total que me deram durante o

mestrado e toda a minha vida e pela confiança que sempre tiveram em mim

v

Agradecimentos

Agradeço ao José Saliby a quem tantas vezes recorri para conseguir dados de

mercado.

Ao meu orientador Eduardo Faço Lemgruber que me incentivou a fazer essa

dissertação sobre este tema.

E aos meus amigos de turma que fizeram destes dois anos de mestrado, onde muito

foi aprendido, um período de muita descontração e sobretudo onde novas verdadeiras

amizades surgiram.

vi

RESUMO

MAGALHÃES., Carlos Eduardo Carneiro Pinto de. Análise de Performance da

Aplicação do Modelo de Árvore de Volatilidade Implícita em Relação ao Modelo

de Black&Scholes no Mercado Brasileiro Orientador: Eduardo Facó Lemgruber. Rio

de Janeiro: UFRJ/COPPEAD, 2003. Dissertação.

O mundo ideal, tal qual definido por Black & Scholes (1973), não é observável na

prática. Um dos elementos mais importantes e mais polêmicos para se chegar ao valor

justo do preço de uma opção é a volatilidade. A premissa de que ela é constante não é

verdadeira. Ao se calcular a volatilidade implícita de várias opções com diferentes

preços de exercícios e diferentes vencimentos, constata-se a presença de uma variação

de acordo com ambas variáveis. Costuma-se chamar ambas variações, genericamente,

de efeito smile. Começaram, então, a surgir estudos que buscavam obter informações do

smile para um posterior cálculo do valor de opções, de modo que o preço calculado

fosse compatível com aquela estrutura de volatilidade. Um dos primeiros modelos a

surgir foi o de Derman & Kani (1994). Este modelo usa a função de volatilidade

implícita obtida a partir do smile observado no mercado e, em seguida, usando esta

função, constrói uma árvore de volatilidade implícita que seja compatível com o smile

observado. Neste trabalho, o modelo de Derman & Kani (1994) será aplicado ao

mercado brasileiro, especificamente ao ativo de Telebrás PN, por ser o ativo com maior

volume de negociação de opções no período de estudo. O objetivo é verificar se este

modelo apresenta performance estática e dinâmica superior ao modelo de Black &

Scholes (1973). Como objetivo secundário, buscou-se identificar a melhor função que

fosse capaz de descrever o smile observado no mercado. São testadas, ao total, 20

abordagens distintas. O que se pode constatar, de uma maneira geral, é que a utilização

do modelo de Black & Scholes ainda é justificável quando se ajusta o valor da

volatilidade usada de acordo com uma função de volatilidade implícita que seja capaz

de incorporar o smile, gerando, então, os melhores. Nota-se, entretanto, que a diferença

de performance dinâmica entre as abordagens não foi estatisticamente significativa ao

se realizar seguros dinâmicos de portfólio, onde o parâmetro de hedge era dado pelo

delta de uma opção de venda.

vii

ABSTRACT

MAGALHÃES., Carlos Eduardo Carneiro Pinto de. Análise de Performance da

Aplicação do Modelo de Árvore de Volatilidade Implícita em Relação o Modelo de

Black&Scholes no Mercado Brasileiro Orientador: Eduardo Facó Lemgruber. Rio de

Janeiro: UFRJ/COPPEAD, 2003. Dissertação.

The ideal world, such as defined by Black & Scholes (1973), is in practice not

observed. One of the most important and also most polemic elements needed to achieve

the fair price of an option is the volatility. The assumption that it is constant is not true.

Calculating the implied volatility of various options over the same asset with different

maturities and strikes one can realize the presence of variations according to both

variables. They both are called, generically, by smile effect. So, many studies have

shown up trying to obtain information about the smile for the further pricing of options,

so that the calculated price would be compatible with the volatility structure. One of the

first that came to place was the one developed by Derman & Kani (1994). This model

makes use of a function of implied volatility obtained from option prices observed at the

market while growing an implied volatility tree compatible to the smile. In this

dissertation the model proposed by Derman & Kani (1994) will be applied to the

brazilian market, specifically to Telebras PN asset, for being the asset with the greatest

option volume negotiated during the period of study. The purpose is to assess whether

this model has a higher performance, both static and dynamic, in comparison to the

Black & Scholes (1973) model. As a secondary objective, it tries to identify the best

function capable of describing the observed market smile. Totally, 20 approaches are

tested. In general, it was realized that the use of the Black & Scholes (1973) model is

still justified when the value of the volatility as an input is adjusted according to a

function of volatility consistent with the smile, having then the best results.

Nevertheless, the difference of the dynamic performance among the approaches

obtained through dynamic portfolio insurance, where the hedge ratio is given by the

delta of a put, was not statistically significant.

viii

LISTA DE TABELAS

Tabela 1. Tabela com informações da amostra de opções de compra utilizada. No

Painel A estão apresentadas informações sobre o número de opções de

acordo com o número de dias úteis para o vencimento. No Painel B

procura-se mostrar o número observações em cada dia. ....................... 90

Tabela 2 Pontos utilizados para na regressão polinomial cúbica, visando o cálculo

da volatilidade implícita ATM no dia 24/01/2000. Note que foi usada

uma janela de 5 dias e que a variável explicativa é o moneyness

calculado por ( )1−SK ........................................................................ 100

Tabela 3 Nomes atribuídos a cada uma das 20 diferentes abordagens realizadas

para testar a eficiência dos modelos de Derman & Kani (1994) e Black &

Scholes (1973)................................................................................... 104

Tabela 4 Desenvolvimento da estratégia de Seguro Dinâmico, via compra e venda

do ativo de Telebrás PN, com uma posição inicial de mil lotes de mil

ações durante o período de 07/01/2000 a 14/02/2000, usando a

abordagem DK_F2. ........................................................................... 106

Tabela 5 Média e Desvio Padrão dos coeficientes das regressões bem como dos

indicadores de aderência para o cálculo da volatilidade implícita ATM

usando-se a moneyness ( )1−SK como variável explicativa. Apresenta

ainda a estatística t para testar a hipótese nula (bilateral) de que os

coeficientes e indicadores de aderência sejam igual a zero.

Probabilidades inferiores a 0,05 indicam que não se pode aceitar a

hipótese nula para um nível de significância de 5% ........................... 113

ix

Tabela 6 Média e Desvio Padrão dos coeficientes das regressões de Rosenberg,

bem como dos indicadores de aderência. ........................................... 114

Tabela 7 Comparação das médias dos EARs (Erro Absoluto Relativo) das

volatilidades implícitas ATM para as diferentes janelas utilizadas. O

teste t é feito sob a hipótese nula (unilateral) de que o erro relativo

absoluto médio de cada janela é maior que da janela anterior (as janelas

aparecem ordenadas crescentemente pelo EAR). O campo probabilidade

é a probabilidade de rejeição da hipótese nula para cada janela, onde

valores maiores que 5% indicam que os erros absolutos relativos médios

são estatisticamente iguais para a respectiva janela e a anterior a um nível

de significância de 5%....................................................................... 115

Tabela 8 Estatística t para a diferença entre as médias de EARs entre as diferentes

janelas da regressão da função de Rosenberg. .................................... 115

Tabela 9 Probabilidades associadas às estatísticas t para a diferença entre as

médias de EAR entre as diferentes janelas da regressão da função de

Rosenberg. ........................................................................................ 116

Tabela 10 Probabilidades associadas às estatísticas t para a média das diferenças

entre os EARs, ponto a ponto, para cada janela. Valores maiores que 5%

indicam que não se pode rejeitar a hipótese nula (bilateral) de que a

diferença média entre os EARs ponto a ponto, seja estatisticamente

significativa a um nível de significância de 5%.................................. 116

Tabela 11 Comparação das médias dos ERs e EARs dos preços entre as diferentes

abordagens com número de observações distintos. O teste t é feito sob a

hipótese nula (unilateral) de que o erro relativo absoluto médio de cada

x

abordagem é maior que da abordagem anterior (as abordagens aparecem

ordenadas crescentemente pelo EAR). O campo probabilidade é a

probabilidade de rejeição da hipótese nula para cada abordagem, onde


são estatisticamente iguais para a respectiva abordagem e a anterior a um

nível de significância de 5%. A linha tracejada indica os grupos de

abordagens estatisticamente similares que foram encontrados............ 117

Tabela 12 Comparação das médias dos ERs e EARs das volatilidades implícitas

entre as diferentes abordagens com número de observações distintos. O

teste t é feito sob a hipótese nula (unilateral) de que o erro relativo

absoluto médio de cada abordagem é maior que da abordagem anterior

(as abordagens aparecem ordenadas crescentemente pelo EAR). O

campo probabilidade é a probabilidade de rejeição da hipótese nula para

cada abordagem, onde valores maiores que 5% indicam que os erros

absolutos relativos médios são estatisticamente iguais para a respectiva

abordagem e a anterior a um nível de significância de 5%. A linha

tracejada indica os grupos de abordagens estatisticamente similares que

foram encontrados. ............................................................................ 119

Tabela 13 Média das médias dos ERs e EARs por prazo para o vencimento para

cada abordagem. Os dados estão em ordem decrescente de acordo com a

média do EAR. Em negrito estão os dias que foram deixados de fora. O

quadro abaixo apresenta um resumo para os dias usados no seguro e os

dias não usados.................................................................................. 121

xi

Tabela 14 Comparação das médias dos ERs e EARs dos preços entre as diferentes

abordagens, usando-se o mesmo número de observações. O teste t é feito

sob a hipótese nula (unilateral) de que o erro relativo absoluto médio de

cada abordagem é maior que da abordagem anterior (as abordagens

aparecem ordenadas crescentemente pelo EAR). O campo probabilidade

é a probabilidade de rejeição da hipótese nula para cada abordagem, onde





Tabela 15 Comparação das médias dos ERs e EARs das volatilidades implícitas

entre as diferentes abordagens, usando-se o mesmo número de

observações. O teste t é feito sob a hipótese nula (unilateral) de que o

erro relativo absoluto médio de cada abordagem é maior que da

abordagem anterior (as abordagens aparecem ordenadas crescentemente

pelo EAR). O campo probabilidade é a probabilidade de rejeição da

hipótese nula para cada abordagem, onde valores maiores que 5%

indicam que os erros absolutos relativos médios são estatisticamente

iguais para a respectiva abordagem e a anterior a um nível de

significância de 5%. A linha tracejada indica os grupos de abordagens

estatisticamente similares que foram encontrados. ............................. 124

Tabela 16 Probabilidade associadas à estatística t para a média da diferença dos

EARs do preço, ponto a ponto, para cada par de abordagens. A diferença

de EAR é sempre da abordagem da linha menos a abordagem da coluna.

xii

Valores maiores que 5% indicam que a média da diferença entre os

EARs para o par de abordagens é estatisticamente igual a zero a um nível

de significância de 5%....................................................................... 125

Tabela 17 Probabilidade associadas à estatística t para a média da diferença dos

EARs da volatilidade implícita, ponto a ponto, para cada par de

abordagens. A diferença de EAR é sempre da abordagem da linha menos

a abordagem da coluna. Valores maiores que 5% indicam que a média da

diferença entre os EARs para o par de abordagens é estatisticamente

igual a zero a um nível de significância de 5%................................... 126

Tabela 18 Teste t sobre a hipótese nula (bilateral) de que os ERs médios tanto para

o preço como para a volatilidade implícita são iguais a zero. O campo

Prob é a probabilidade de rejeição da hipótese nula para cada abordagem,

onde valores maiores que 5% indicam que os erros relativos médios são

estatisticamente iguais a zero a um nível de significância de 5%........ 127

Tabela 19 Média das médias dos ERs e EARs por prazo para o vencimento para

cada abordagem. Os dados estão em ordem decrescente de acordo com a

média do EAR. Em negrito estão os dias que foram deixados de fora. O

quadro abaixo apresenta um resumo para os dias usados no seguro e os

dias não usados.................................................................................. 129

Tabela 20 Comparação das médias dos ERs e EARs dos valores do seguro entre as

diferentes abordagens.com diferentes números de seguros por

abordagem. O teste t é feito sob a hipótese nula (unilateral) de que o erro

relativo absoluto médio de cada abordagem é maior que da abordagem

anterior (as abordagens aparecem ordenadas crescentemente pelo EAR).

xiii

O campo probabilidade é a probabilidade de rejeição da hipótese nula

para cada abordagem, onde valores maiores que 5% indicam que os erros

absolutos relativos médios são estatisticamente iguais para a respectiva

abordagem e a anterior a um nível de significância de 5%. A linha

tracejada indica os grupos de abordagens estatisticamente similares que

foram encontrados. ............................................................................ 130

Tabela 21 Comparação das médias dos ERs e EARs dos valores do seguro entre as

diferentes abordagens.com número de seguros iguais. O teste t é feito sob

a hipótese nula (unilateral) de que o erro relativo absoluto médio de cada

abordagem é maior que da abordagem anterior (as abordagens aparecem

ordenadas crescentemente pelo EAR). O campo probabilidade é a

probabilidade de rejeição da hipótese nula para cada abordagem, onde





Tabela 22 Probabilidades associadas à estatística t para a média da diferença dos

EARs do valor do seguro, seguro a seguro, para cada par de abordagens.

A diferença de EAR é sempre da abordagem da linha menos a

abordagem da coluna. Valores maiores que 5% indicam que a média de

diferença entre os EARs para o par de abordagens é estatisticamente

igual a zero a um nível de significância de 5%................................... 132

Tabela 23 Probabilidades associadas à estatística t para a media da diferença de

quantidade operada, seguro a seguro, para cada par de abordagens. A

xiv

diferença de quantidade operada é sempre da abordagem da linha menos

a abordagem da coluna. Valores maiores que 5% indicam que a média da

diferença entre as quantidades para o par de abordagens é

estatisticamente igual a zero a um nível de significância de 5%.As

abordagens aparecem em ordem crescente de quantidade total operada,

de cima para baixo e da esquerda para a direita.................................. 133

xv

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. Esquema ilustrativo da evolução dos modelos de construção de árvore de

volatilidade implícita citados nesta dissertação. ................................... 81

Figura 2. Histograma da distribuição de observações opções de compra sobre o

ativo Telebrás PN de acordo com sua maturidade para o período de

15/08/1994 a 17/04/2000, após os cortes efetuados. ............................. 91

Figura 3. Gráfico com a evolução dos preços de fechamento do ativo Telebrás PN

entre os dias 18/08/1994 e 17/04/2000. Em destaque (de vermelho) estão

marcados os pontos correspondentes às datas de vencimento das opções

da amostra utilizada. ............................................................................ 92

Figura 4. Gráfico com a evolução dos retornos logarítmicos diários do ativo

Telebrás PN entre os dias 15/08/1994 e 17/04/2000. Em destaque (de

vermelho) estão marcados os retornos correspondentes às datas de

vencimento das opções da amostra utilizada. ....................................... 92

Figura 5 Gráfico da proxy taxa de juros livre de risco diária (CDI) no mercado

brasileiro, entre os dias 15/08/1994 e 17/04/2000. Em destaque (em

vermelho) estão marcadas as taxas de juros correspondentes aso dias em

que há vencimentos das opções da amostra utilizada............................ 94

Figura 6 Gráfico com a diferença entre a taxa de juros anual dada pelos contratos

de DI (cenário) e a taxa de juros real dada pelo CDI no mercado

brasileiro, entre os dias 28/08/1996 e 17/04/2000. Em destaque (em

vermelho) estão marcadas as diferenças de taxas de juros

correspondentes aos dias em que há vencimentos das opções da amostra

utilizada............................................................................................... 94

xvi

Figura 7 Esquema ilustrativo da construção da árvore de volatilidade implícita de

acordo com Derman & Kani (1994). Apresentam-se os elementos

necessários para a construção do )1n( + -ésimo nível da árvore. ........... 96

Figura 8 Esquema ilustrativo das correções sugeridas para a subida e descida da

árvore, a partir do centro. Para os nós extremos, em preto, utiliza-se a

correção proposta por Derman & Kani (1994). Nos demais nós, utiliza-se

a correção de Barle & Cakici (1995,1998). .......................................... 97

Figura 9 Visualização gráfica do procedimento de truncamento da função obtida a

partir de uma regressão polinomial cúbica com variável explicativa dada

por ( )1−SK . Note que para valores superiores ao valor máximo e

inferiores ao valor mínimo a função fica constante. Em destaque

(vermelho) está o valor da volatilidade implícita ATM, que é obtida

quando a moneyness for igual a zero. A reta maior em verde aponta para

este valor sobre a curva de ajuste.. ..................................................... 101

Figura 10 Evolução da Volatilidade Implícita ATM ao longo do período de análise,

de 15/08/94 até 14/04/2000. Em destaque (em vermelho) estão marcadas

as volatilidades implícitas ATM correspondentes aos dias em que há

vencimentos das opções da amostra utilizada..................................... 101

Figura 11 Ilustração dos dias usados na regressão com defasagem de 1 dia ou não,

com uma janela de 5 dias, para o caso específico do dia 24/01/2000. . 103

Figura 12. Comparação entre a distribuição de probabilidade livre de risco obtida de

árvores Binomiais Comuns (á esquerda) e árvores de Derman & Kani (á

direita) para diferentes números de passos. Foi escolhido o dia

03/01/2000 (35 dias para o vencimento) para ilustrar estas distribuições.

xvii

A volatilidade constante para a Binomial Comum foi de 53%

(volatilidade ATM)............................................................................ 110

Figura 13. Comparação entre a distribuição de probabilidades livre de risco obtida

de árvores Binomiais Comuns e árvores de Derman & Kani, com o

intuito de mostrar sua assimetria, com 20 e 80 passos. Foi escolhido o dia

03/01/2000 (35 dias para o vencimento) para ilustrar estas distribuições.

A volatilidade constante para a Binomial Comum foi de 53%

(volatilidade ATM)............................................................................ 111

Figura 14. Distribuições de probabilidade livre de risco segundo Derman & Kani

nos dias 04/01/2000 (34 dias para o vencimento) e 05/01/2000 (33 dias

para o vencimento) com diferentes números de passos....................... 111

Figura 15. Árvores de Derman & Kani geradas para o dia 03/01/2000 (35 dias para

o vencimento) com diferentes números de passos (da esquerda para a

direita , 20 – 40 – 60 – 80 passos). ..................................................... 112

Figura 16 Evolução das Médias dos EARs dos preços entre as diferentes

abordagens feitas.Em destaque (verde) está a data, a partir da qual se

dará o início da comparação dos EARs médios entre as diferentes

abordagens. Note que é exatamente a esquerda do traço verde que há

uma grande concentração de erros de maior amplitude. ..................... 122

xviii

ÍNDICE

1 INTRODUÇÃO......................................................................................... 1

2 REVISÃO DE LITERATURA................................................................... 7

2.1 Teoria De Avaliação De Opções..............................................................................................7

2.2 Preço Das Opções Como Fonte De Informação....................................................................11

2.3 Volatilidade Implícita E O Sorriso Da Volatilidade .............................................................12

2.4 Distribuições Implícitas.........................................................................................................33

2.4.1 Estimação da SPD..........................................................................................................34

2.4.1.1 Métodos Paramétricos...........................................................................................35

2.4.1.2 Métodos Não Paramétricos ...................................................................................40

2.5 Árvores Binomiais Implícitas................................................................................................45

2.5.1 Dupire (1993, 1994).......................................................................................................46

2.5.2 Cox, Ross & Rubinstein (1978)......................................................................................49

2.5.3 Derman & Kani (1994) ..................................................................................................50

2.5.4 Barle & Cakici (1995)....................................................................................................56

2.5.5 Chriss (1996) .................................................................................................................58

2.5.6 Hilliard & Schwartz (1996) ............................................................................................59

2.5.7 Rubinstein (1994) ..........................................................................................................60

2.5.8 Jackwerth (1997) ...........................................................................................................64

2.5.9 Derman, Kani & Chriss (1996).......................................................................................66

2.5.10 Rubinstein (1998)......................................................................................................70

2.5.11 Brown & Toft (1999).................................................................................................72

2.5.12 Nagot & Trommsdorff (1999)....................................................................................76

2.5.13 Muzzioli & Torricelli (2001) .....................................................................................77

2.5.14 Derman & Kani (1998)..............................................................................................78

xix

2.5.15 Ledoit & Santa-Clara (1998)......................................................................................79

2.5.16 Britten-Jones & Neuberger (1999) .............................................................................79

2.5.17 Esquema Resumido dos Modelos Supracitados ..........................................................80

2.5.18 Alguns Outros Modelos Que Tentam Incorporara O Smile .........................................81

3 METODOLOGIA.................................................................................... 87

3.1 Tipo de Pesquisa....................................................................................................................87

3.2 Universo e Amostra...............................................................................................................88

3.3 Coleta dos Dados ...................................................................................................................92

3.4 Modelos Utilizados ................................................................................................................95

3.4.1 Árvore de Volatilidade Implícita de Derman & Kani ......................................................95

3.4.2 Modelo Analítico de Black & Scholes (1973) .................................................................98

3.5 Cálculo da Volatilidade Implícita ATM ...............................................................................99

3.6 Determinação da Função de Volatilidade Implícita (IVF) .................................................102

3.7 Estratégia de Seguro Dinâmico de Portfólio.......................................................................104

3.8 Testes de Aderência / Eficiência..........................................................................................107

3.9 Limitações Metodológicas ...................................................................................................108

4 RESULTADOS ....................................................................................110

4.1 Resultados Preliminares .....................................................................................................110

4.2 Resultados Finais ................................................................................................................113

4.2.1 Performance Estática....................................................................................................113

4.2.2 Performance Dinâmica.................................................................................................129

xx

5 CONCLUSÕES E SUGESTÕES .........................................................134

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...................................................142

7 ANEXOS..............................................................................................156

7.1 Anexo I ................................................................................................................................156

7.2 Anexo II...............................................................................................................................157

7.3 Anexo III .............................................................................................................................158

7.4 Anexo IV .............................................................................................................................159

7.5 Anexo V...............................................................................................................................160

7.6 Anexo VI .............................................................................................................................161

7.7 Anexo VII ............................................................................................................................163

7.8 Anexo VIII ..........................................................................................................................165

7.9 Anexo IX .............................................................................................................................166

7.10 Anexo X ..........................................................................................................................167

7.11 Anexo XI.........................................................................................................................169

1

11 IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO

Desde a publicação do artigo de Black & Scholes em 1973 sobre a precificação de

opções houve uma explosão de trabalhos teóricos e empíricos sobre o mesmo assunto.

Enquanto a maioria dos trabalhos procurava seguir a proposta de movimento browniano

geométrico, a possibilidade de hipóteses de distribuições alternativas logo emanou. Isto

se deve principalmente às seguintes condições de mundo ideais assumidas por Black &

Sholes (1973):

a) a taxa de juros de curto prazo é conhecida e constante ao longo do tempo;

b) preço do ativo segue um processo aleatório em tempo contínuo com uma taxa

de variância proporcional ao quadrado do preço do ativo. A distribuição de

possíveis preços do ativo ao final de qualquer intervalo de tempo finito é

lognormal. A taxa de variância (também chamada de desvio padrão) dos

retornos do ativo é constante;

c) ativo não paga dividendo ou qualquer outro tipo de distribuição;

d) a opção é Européia, ou seja, somente pode ser exercida no seu vencimento;

e) não há custos de transação em vender ou comprar tanto o ativo como a opção;

f) é possível captar recursos para comprar um ativo ou simplesmente aplicá-lo, à

taxa de juros de curto prazo;

2

g) não há penalidade em vender a descoberto. Um vendedor que não possua um

ativo irá simplesmente aceitar o preço do ativo do comprador, e irá concordar

em liquidar com o comprador em alguma data futura, pagando a ele uma

quantidade igual ao preço do ativo negociado naquela data.

Como não vivemos em um mundo ideal, tal qual assumido pelos autores, era evidente

a necessidade de se pesquisar novos modelos que fossem capazes, na medida do

possível, de suprir suas deficiências1. Cox & Ross (1976) derivam preços de opções

européias de acordo com várias alternativas, incluindo modelos de difusão absoluta,

puramente saltos, raiz quadrada da elasticidade constante da volatilidade. Merton (1976)

também apresenta um modelo que busca explicar as possíveis falhas de precificação de

Black & Scholes em que questiona a continuidade dos preços, sobretudo quando da

chegada de informações relevantes, podendo ocasionar saltos (descontinuidades).

Assim, ele propõe uma metodologia para precificação de opções quando o movimento

do ativo subjacente é composto de saltos e processos contínuos2. Surgiram ainda

extensões para a taxa de juros estocástica, aparecendo primeiro com Merton (1973),

enquanto os modelos de precificação de opções com volatilidade estocástica surgiram

primeiro com Hull & White (1976)3.

Contudo, testes realizados por Rubinstein (1987) deram suporte à implicação de

Movimentos Brownianos Geométricos (MBG) para o mercado de opções americano.

Todavia, após a crise de 1987, há evidências empíricas diferentes. Usando observações

1 Sobre este assunto veja trabalho de Bates (2001). 2 Para saber mais sobre modelos com saltos veja Bates (1988) e Craine, Lochstoer & Syrtveit (2000). Bates (1996)

aplica um modelos com ambos os componentes . 3 Carr (2001) faz um levantamento de vários modelos com volatilidade estocástica.

3

do índice de opções sobre o S&P500 de 1986 a 1992, Rubinstein (1994) documenta que

as violações do modelo de Black & Scholes são substancialmente maiores após a crise

de 1987 e crescentes ao longo do tempo. Esses mesmos padrões também foram

observados nos mercados de opções do Reino Unido, Alemanha e Japão por Gemmil &

Kamiyama (1997) e por Tompkins (1998).

Neste sentido, a premissa de que a volatilidade é constante ao longo do tempo,

tornou-se ainda mais fraca. A volatilidade pode variar de acordo com o preço de

exercício (strike) das opções de um mesmo ativo objeto, movimento este chamado de

sorriso da volatilidade (smile), bem como de acordo com os diversos vencimentos,

conhecida como a estrutura a termo da volatilidade. Costuma-se, entretanto, usar o

termo smile para ambos movimentos. Assim, o smile passou a ser uma preocupação

cada vez mais importante no mercado de opções. No período que sucedeu a crise de

1987, o índice de opções do S&P500 apresentou um forte smile, caracterizado por

volatilidades implícitas das opções decrescentes e convexas com o preço de exercício,

ao invés de serem constantes, como previstas por Black & Scholes. O tamanho das

violações era tão grande que não poderia ser explicado por imperfeições de mercado.

Muitos estudos sugeriram extensões ao modelo de Black & Scholes visando

incorporar o smile e outras evidências empíricas do modelo original. Estas extensões

podem ser agrupadas em dois grupos principais: modelos de volatilidade determinística

e modelos de volatilidade estocástica. Dentre os modelos de volatilidade determinística

podemos citar Rubinstein (1994), Dupire (1994) e Derman & Kani (1994). Dentre os

modelos de volatilidade estocástica podemos citar os modelos de Hull & White (1987),

Scott (1987) e Avellaneda & Zhu (1997).

4

A escolha de um modelo específico de precificação de opções tem, naturalmente,

implicações importantes em termos de precificação e implementação de estratégias

gerenciais de risco de portfólios de opções e outros derivativos. A utilização dos

parâmetros de hedge derivados dos modelos é de suma relevância para as mais diversas

estratégias implementadas, de modo que sua precisão torna-se crucial. Para o caso, por

exemplo, de opções exóticas, que são freqüentemente travadas com opções européias, é

importante um modelo que reflita bem as opções européias existentes no mercado para

uma precificação futura consistente. Mais recentemente, uma série de metodologias tem

buscado extrair a informação relevante dos preços dos contratos derivativos. Uma boa

parte dos esforços de pesquisa voltou-se a uma classe de modelos que considera os

preços de opções negociadas em mercado como fonte de informação.

Dentre os modelos de volatilidade determinística e que buscam extrair informações

dos preços das opções existentes no mercado, foi escolhido o modelo desenvolvido por

Derman & Kani (1994) como objeto de estudo desta dissertação. Trata-se de um modelo

de construção de árvores implícitas a partir do smile observado no mercado e,

relativamente aos demais, de implementação mais simples, sendo, portanto, um forte

argumento para sua utilização nos testes.

O objetivo deste trabalho é verificar se o modelo proposto por Derman & Kani possui

uma performance estática e dinâmica melhor que o modelo de Black & Scholes,

amplamente utilizado no mercado, por sua familiaridade e facilidade de implementação.

O atingimento desse objetivo será realizado pela comparação dos preços das opções

obtidas com ambos os modelos e sua discrepância em relação aos preços efetivamente

praticados no mercado, no que diz respeito à performance estática, e através da

5

implementação de algumas estratégias de hedge, para avaliar a performance dinâmica,

ou seja, se as taxas de hedge obtidas do modelo são mais afinadas com o mercado real.

Vale lembrar que esta dissertação está delimitada a utilização de somente dois

modelos de avaliação, o de Black & Schole (1973) e o de Derman & Kani (1994), de

modo que o escopo deste trabalho não considera outros que porventura poderiam ter

sido utilizados para o mesmo fim, já que um dos objetivos intermediários deste trabalho

é verificar de maneira representativa se um modelo que incorpore o smile observado no

mercado é mais eficaz que um modelo que assume a variabilidade da volatilidade.

Ressalta-se, ainda, que por se tratar de um modelo de volatilidade determinística,

torna-se relevante uma discussão acerca da melhor função de volatilidade implícita a ser

utilizada. Assim, como conseqüência do objetivo acima descrito, será feita uma análise

minuciosa da função que melhor representa a volatilidade implícita de uma ação, pois a

precisão do modelo utilizado depende significativamente desta função.

O presente trabalho está estruturado da seguinte maneira. No Capítulo 2 é

apresentado o referencial teórico no qual este trabalho se baseou, dando-se enfoque

especial aos modelos que buscam levar em consideração as informações contidas nos

preços das opções observadas no mercado. No capítulo 3 será apresentada a

metodologia desenvolvida pelo autor, desde a modelagem da árvore de volatilidade

implícita, passando pela descrição da função de volatilidade utilizada, até a

determinação das estratégias de hedge utilizadas, bem como dos índices de performance

estática e dinâmica. No quarto capítulo os resultados obtidos serão expostos e

analisados de acordo com os indicadores propostos. No quinto capítulo serão

apresentadas as conclusões e apontadas algumas sugestões para novos trabalhos. No

6

sexto capítulo apresentam-se as referências bibliográficas, as quais são seguidas pelos

Anexos, onde podem ser encontrados dados relevantes da amostra e algumas tabelas

com resultados estatísticos mais detalhados.

7

22 RREEVVIISSÃÃOO DDEE LLIITTEERRAATTUURRAA

2.1 TEORIA DE AVALIAÇÃO DE OPÇÕES

De maneira resumida, um contrato derivativo é um contrato financeiro cujo resultado

(payoff) é definido como sendo uma função do valor futuro de um outro ativo (ou

muitos outros), também chamado de ativo subjacente ou ativo objeto. A teoria de

precificação de opções foca no problema de precificar e hedgiar contratos derivativos

de uma maneira consistente, dado um mercado onde os ativos subjacentes são

representados por processos estocásticos.

Um dos tipos mais simples de contrato derivativo é aquele que dá o direito ao seu

detentor de comprar, se lhe convier, uma ação de um ativo em uma data futura T por

um preço predefinido K , chamado de preço de exercício (strike). Este tipo de contrato é

intitulado de opção de compra européia com preço de exercício K e vencimento em T .

O termo européia refere-se à característica da opção de não poder ser exercida antes da

data de vencimento estipulada no contrato.

Como conseqüência da definição da opção de compra européia, este contrato, no seu

vencimento T , vale exatamente a diferença entre o preço do ativo subjacente ( TS ) e o

preço de exercício ( K ), para o caso de ST ser maior que K . No caso contrário, a opção,

obviamente, não será exercida e o contrato assume valor nulo. Assim, pode-se definir a

função de resultado da opção, também chamada de payoff como sendo:

( ) ( )KS0;MaxSh TT −= 2.1

8

onde o argumento TS é responsável pela incerteza na data de exercício.

Assim, uma opção de compra européia apresentará sempre um payoff positivo em

qualquer situação, de modo que a opção pode ser vista como um seguro contra subida

do preço da ação acima de um determinado valor K , que é precisamente o valor de

exercício. Como qualquer outro contrato de seguro, uma opção deve ter um certo valor.

Fazem-se, então, as seguintes perguntas: (i) Quanto vale este contrato hoje? (ii) Uma

vez que a opção foi vendida, que tipo de estratégia se pode usar para minimizar o risco

de ter que arcar com grandes prejuízos em função da subida do preço do ativo

subjacente? A primeira pergunta se preocupa com o a precificação correta, enquanto

que a segunda se preocupa com hedging.

De acordo com Cont (1997) uma forma ingênua, mas com bastante apelo intuitivo, de

se precificar uma opção seria através do valor presente do valor esperado do payoff da

opção, onde o termo esperado implica em uma densidade de probabilidade p obtida a

partir de análises estatísticas da evolução histórica )Sln()Sln(R 1ttt −−= . Assim o

valor esperado seria:

( ) ( )∫∞

=0

TTt,Tt-Tr- dSpSheE 2.2

Cont (1997) refere-se a esta regra de precificação como “expectation pricing”

(precificação do valor esperado)

Contudo, nada garante que tal regra de precificação seja consistente, no sentido de

que não seja possível encontrar uma estratégia livre de risco capaz de produzir lucro

9

negociando a esses preços. Tal tipo de estratégia é chamada de oportunidade de

arbitragem. A consistência de preços requer que, se duas estratégias dinâmicas tem o

mesmo payoff (com probabilidade um), então elas devem ter o mesmo preço inicial para

que não haja oportunidades de arbitragem. A aplicação da hipótese de não arbitragem é

o cerne do desenvolvimento de muitos modelos.

Assim, particularmente em relação ao modelo de Black & Scholes, onde os preços

dos ativos seguem um MBG (movimento browniano geométrico), a fórmula de

avaliação pelo valor presente do valor esperado do payoff pode gerar oportunidades de

arbitragem com os preços das opções obtidos. Contudo, o modelo baseia-se, de uma

maneira essencial, no fato de que o ativo subjacente segue um MBG do tipo:

( )tBtT eS σµ += 2.3

o que não descreve adequadamente a real dinâmica dos preços dos ativos, onde, tB é

um processo de movimento browniano (processo de wiener).

A metodologia de Black & Scholes foi subseqüentemente generalizada (Merton,

1992; Harrison & Kreps, 1979; Harrison & Pilska, 1981) para processos de difusão

definidos como soluções de equações diferenciais estocásticas do tipo:

( ) ( )( )ttttT dWSdtSSdS σµ += 2.4

onde tdW é um erro (noise) gaussiano (incremento de um processo de Wiener) e µ e

σ são funções determinísticas a partir do preço do ativo tS .

10

Harrison & Kreps (1997) mostraram que é possível representar o preço de uma opção

como valor presente esperado do payoff, entretanto, estes valores esperados não são

mais calculados de acordo com a densidade de probabilidade p real, mas sim com uma

outra densidade q neutra ao risco, diferente da primeira. Mais precisamente, eles

mostram que em um mercado onde os ativos são descritos por processos estocásticos,

verificando-se certas condições de regularidade, a ausência de oportunidades de

arbitragem é equivalente a existência de uma medida de probabilidade Q equivalente a

P , chamada de medida martingale equivalente, tal que todos os preços descontados são

Q -martingales. Isto significa que:

( ) ( )∫∞

=0

TTt,Tt-Tr- dSqSheC 2.5

ou seja, o preço de um derivativo qualquer C é o valor presente do valor esperado do

payoff com relação à densidade de probabilidade Tt,q do preço do ativo subjacente tS

no vencimento T sob a medida q . Isto não implica que os preços reais dos ativos sejam

martingales ou mesmo processos sem um drift (tendência). Na verdade há um drift

positivo na maioria dos casos e algum grau de previsibilidade. De outra forma, S é

normalmente um submartingale: ( ) iijp SFSE > para ij ≥ . Em particular, o preço de

uma opção de compra européia simples pode ser calculado da seguinte forma:

( ) ( ) ( )∫∞

−=0

TTt,Tt-Tr-

t dSqK,0SMaxerT,K,,SC 2.6

11

À densidade q foram dadas várias nomenclaturas na literatura: “probabilidade livre

de risco”, “state price density” (SPD) e “medida martingale equivalente”. Ao longo

desta dissertação estes nomes serão utilizados representando o mesmo conceito.

Do ponto de vista da teoria econômica, pode-se considerar o formalismo introduzido

por Harrison & Kreps como uma extensão do trabalho de Arrow (1964) e Debreu

(1959) para tempo constante. O trabalho destes últimos apresenta o conceito de ativos

elementares que pagam $1 na ocorrência de um evento específico e nada no caso

oposto. Estes ativos, também conhecidos como ativos Arrow-Debreu, definem em um

mundo discreto o que Harrison & Kreps definiram para uma economia contínua no

tempo e no espaço de estados (state space framework). Logo a SPD q é o equivalente

contínuo aos preços Arrow-Deberu.

Esta situação pode ser resumida da seguinte maneira. Em um mercado livre de

arbitragem cada ativo é caracterizado por duas densidades de probabilidade: a densidade

real Tt,p , a qual descreve variações aleatórias do preço do ativo S entre t e T , e a SPD

Tt,q , a qual é usada para a avaliação de opções sobre o ativo adjacente S . Estas duas

densidades são diferentes a priori, e somente em casos especiais tal qual no modelo de

Black & Scholes, argumentos de arbitragem não nos permitem calcular uma a partir da

outra.

2.2 PREÇO DAS OPÇÕES COMO FONTE DE INFORMAÇÃO

Os mercados mudaram drasticamente desde a publicação do famoso artigo de Black

& Scholes em 1973. Hoje, muitas ações são ativos muito volume e número de negócios

12

bastante elevados e seus preços são determinados pela relação entre oferta e demanda.

Dar preços a estas opções não deve mais ser a prioridade dos operadores, já que seus

preços de mercado são observações e não quantidades a serem determinadas por um

procedimento matemático. É natural que, contudo, o monitoramento dos preços das

opções continue sendo realizado, com o intuito de se aproveitar possíveis oportunidades

de arbitragem sobre opções mal avaliadas. Entretanto, a atividade de hedging continua

sendo um ponto de suma relevância mesmo para opções líquidas, uma vez que os

parâmetros de hedge não são observáveis, mas sim gerados pelo modelo utilizado,

deixando clara a significância de seu cálculo. Não obstante, vale ressaltar o caso da

precificação de opções exóticas que devem estar alinhadas com o preços da opções

européias tradicionais, pois estas servem de hedge para as primeiras.

Isto tem levado, em anos mais recentes, à emergência de uma nova direção nas

pesquisas, de acordo com a seguinte pergunta: o quê os preços das ações observados nos

mercados podem nos dizer a respeito das propriedades estatísticas do ativo subjacente?

Ou, nos termos já expostos: o que se pode inferir sobre as densidades p e q dos preços

das ações observado no mercado?

2.3 VOLATILIDADE IMPLÍCITA E O SORRISO DA

VOLATILIDADE

No modelo lognormal de Black & Scholes todas as opções são avaliadas de acordo

com cinco parâmetros:

a) preço do ativo subjacente, S ;

13

b) preço de exercício, K ;

c) taxa de juros livre de risco entre hoje e o vencimento da opção, em termos

anuais e sob capitalização contínua, r ;

d) prazo, medido em anos, entre hoje e a data de vencimento, T ;e

e) volatilidade anual do ativo subjacente entre hoje e o vencimento da opção, σ .

Assim, ficamos com a seguinte função:

( )σT,r,K,S,fCBS = 2.7

De todos os argumentos desta função, apenas a volatilidade não é observada

diretamente no mercado, podendo, assim, haver divergências entre os preços obtidos

para as opções por pessoas diferentes, uma vez que existe uma infinidade de maneiras

de se calcular a volatilidade, ficando a critério dos operadores a escolha da metodologia

a ser utilizada para a sua estimação. Para os demais fatores não há divergências, de

modo que somente a volatilidade, de acordo com o modelo de Black & Scholes, é

responsável pelas diferenças de precificação. Logo, o conhecimento de um dos dois

fatores, ou o preço ou a volatilidade, permite que se calcule o outro parâmetro. Na

prática, dado que a volatilidade não é observável, mas sim o preços P das opções,

inverte-se a fórmula de precificação da opção para determinar com qual volatilidade

uma determinada opção está sendo avaliada. Esta é, então, chamada de volatilidade

implícita.

14

Tradicionalmente, a volatilidade implícita tem sido calculada ou através da fórmula

de Black & Scholes ou pelo modelo binomial de Cox-Ross-Rubinstein (CRR).

Matematicamente:

( ) ( )( )( )PTK,T,r,K,SCTK, BStBSBS == σσσ , 2.8

Desta forma, os valores de volatilidade implícita podem ser obtidos a partir da

solução da equação acima. As fórmulas de precificação de opções freqüentemente não

podem ser invertidas, fazendo-se necessária a utilização de processos numéricos de

cálculo. Em geral, esses cálculos são implementados pela convergência da diferença

entre o preço da opção através da fórmula com uma determinada volatilidade inicial e o

preço P observado no mercado para o valor de zero. Vários algoritmos podem ser

utilizados. A escolha entre eles envolve um tradeoff entre robustez e velocidade de

convergência.

Na realidade, os operadores de mercado têm utilizado a equação de Black & Scholes

muito mais como uma forma de transformar preços em volatilidades, ou seja,

informações importantes para a precificação de outros derivativos, do que para a

precificação de opções propriamente dita.

Note que, contudo, os valores de volatilidade implícita não são necessariamente

iguais à volatilidade dos retornos estimada a partir de dados históricos do ativo

subjacente. Em geral os dois valores são diferentes. Tem sido debatido que a

volatilidade implícita é um bom previsor da volatilidade futura do ativo subjacente.

Argumenta-se que as volatilidades implícitas, por estarem olhando à frente, dado que

são formadas de expectativas de mercado sobre a previsão futura de preços e

15

volatilidade, seriam melhores previsores da volatilidade. Os estudos a respeito deste

tema dependem profundamente do tipo de dado utilizado e do período utilizado para

calcular a volatilidade (Chiras & Manaster,1978; Schmalensee & Trippi, 1978; Latané

& Rendleman, 1976; Beckers, 1981, Jackwerth & Rubinstein, 2001).

No mundo de Black & Scholes, a volatilidade implícita é constante e igual a

volatilidade do ativo subjacente. Porém, ao longo dos anos tornou-se claro que o

mercado não precifica todas as opções de um mesmo ativo subjacente de acordo com o

modelo de Black & Scholes. A opinião consensual é que o modelo serve razoavelmente

bem para opções dentro do dinheiro (at the money – ATM), com um ou dois meses para

o vencimento. Para outras opções, contudo, as discrepâncias entre o mercado e os

preços de Black & Scholes são grandes e sistemáticas. Estudos empíricos mostram uma

dependência sistemática das volatilidades implícitas com o preço de exercício e com o

tempo para o vencimento (Dumas, Fleming & Whaley 1996, 1998; Jackwerth, 1996;

Bates, 1996). A variação da volatilidade implícita com o vencimento é chamada de

estrutura a termo da volatilidade implícita, enquanto que a variação da volatilidade

implícita com o preço de exercício é referenciada como sorriso (smile) da volatilidade,

termo este que é às vezes usado para fazer referência a ambos padrões de

comportamento.

Sequer falar sobre sorriso da volatilidade é algo que pode parecer um absurdo. Em

primeiro, uma volatilidade constante é premissa do modelo; então, calculam-se várias

diferentes volatilidades para um mesmo ativo subjacente. Uma vez que o modelo de

Black & Scholes é rejeitado, volatilidades implícitas calculadas a partir dele não têm

significado real e, naturalmente, não deveriam mais ser interpretadas como verificação

16

de volatilidade do ativo subjacente. O fenômeno verdadeiro a respeito do sorriso da

volatilidade é que ou (i) imperfeições de mercado sistematicamente previnem os preços

de se adequarem a seus verdadeiros valores de acordo com Black & Scholes ou (ii) o

processo de preços do ativo subjacente difere de um processo de difusão com

distribuição neutra ao risco lognormal, assumido pelo modelo de Black & Scholes.

O sorriso da volatilidade é simplesmente um modo conveniente de ilustrar essa

observação que provavelmente desenvolveu-se por acidente histórico, motivado pelo

fato de que os operadores de opções cresceram acostumados a pensar em negociar em

termos de volatilidades implícitas de Black & Scholes.

Dentre os estudos que documentam o sorriso da volatilidade, o mais sistemático e

completo foi o realizado por Rubinstein (1985). Seu resultado mais robusto é que para

ações bem fora do dinheiro (out-of-the-money – OTM) a volatilidade implícita é

sistematicamente mais elevada para opções com vencimento mais próximo. Seus outros

resultados são estatisticamente significativos, mas mudam de acordo com o sub-período

analisado. Ele dividiu a amostra em dois sub-períodos: Período I de 23/08/1976 a

21/10/1977, e Período II de 24/10/1977 a 31/08/1978. Para calls (opções de compra) ele

observou que no Período I as volatilidades implícitas de opções com menores prazos

para o vencimento eram mais elevadas que as mais distantes do vencimento, mas o

resultado foi oposto no Período II. Além disso, no Período I, as volatilidades implícitas

eram mais elevadas para opções com preços de exercício menores, mas mais uma vez o

resultado foi o oposto no Período II. Assim, desvios sistemáticos do modelo de Black &

Scholes parecem existir, mas os padrões de desvios variam com o tempo.

17

Estudos subseqüentes feitos por Sheikh (1991) e por Heynen (1994) usam os testes

não paramétricos de Rubinstein para examinar padrões de volatilidade implícita em

opções de índice. Sheik encontrou efeito sorriso usando dados de calls do OEX de

março de 1983 a março de 1987. Ele observou que smiles constituem evidências contra

o modelo de Black & Scholes e a favor de um modelo de precificação de opções que

incorpore volatilidade estocástica. Heyken examinou a volatilidade implícita de opções

sobre o índice EOE, que são opções européias sobre um índice de 25 ativos bem

negociados na Amesterdam Stock Exchange. Usando a abordagem de Rubinstein e

dados de negociação de 23/01/1989 a 31/10/1989, ele encontrou efeitos sistemáticos do

smile, incluindo uma forma em U da estrutura a termo da volatilidade implícita.

Muitos outros autores acharam evidências de sorriso da volatilidade e estrutura a

termo das volatilidades implícitas nonflat (não constante), como Hodges (1996) e

Avallenda & Zhu (1995). Em muitos casos a volatilidade implícita apresenta um

mínimo no valor ATM (quando KSt = ) e tem uma forma convexa, justificando o nome

“smile” (Jackwerth, 1996; Potters, Cont & Bouchaud, 1998). Contudo, este não é

sempre o caso. A volatilidade implícita em gráfico como função do preço de exercício

K assume várias formas. Alguns destes padrões alternativos, bem conhecidos pelos

operadores de mercado, são documentados por Dumas, Flemig & Whaley (1996, 1998).

Alguns autores procuram entender a existência das variações da volatilidade com o

vencimento e preço de exercício. Dennis & Mayhew (1998) investigam a importância

relativa de vários fatores que possam explicar a existência do smile nos preços de

opções sobre ativos individuais na CBOE. Em primeiro eles verificam que, na média, o

coeficiente angular do sorriso da volatilidade é ligeiramente negativo, mas não tão

18

acentuado quanto do smile observado no índice de opções sobre o S&P500. Em

segundo, eles percebem que ações que têm betas maiores tendem a ter smiles mais

acentuados, bem como ações pequenas. Em terceiro, o smile tende a ser mais

negativamente inclinado para as ações mais negociadas. Em quarto, a profundidade do

smile sobre o índice S&P500 é significativamente relacionada ao índice put/call

volume, e não a qualquer outra medida de sentimento de mercado. Em quinto, eles

percebem que o índice put/call deve exercer algum papel em explicar o sorriso da

volatilidade sobre ações individuais, mas o sinal estimado do efeito não é robusto em

toda a amostra. Por último, ao contrário de previsões de modelos baseados em

alavancagem, empresas com mais alavancagem parecem apresentar smiles mais suaves.

Ederington & Guan (2000), usando dados de opções sobre índices, testam e rejeitam a

hipótese de que o smile sobre índice de opções é totalmente causado por premissas de

distribuições desapropriadas dado o modelo de Black & Scholes. Se o verdadeiro smile

é plano, então uma estratégia de negociação, na qual se compram opções com baixa

volatilidade implícita e se vendem opções com alta volatilidade implícita, não deveria

ser lucrativa, mesmo sem se levar em consideração custos de transação. Contudo, eles

constatam que tal estratégia gera ganhos substanciais, sem considerar custos de

transação. Além do mais, esses lucros variam de acordo com a previsão do modelo de

Black & Scholes, enquanto eles não deveriam, se o verdadeiro smile fosse plano. Seus

cálculos sugerem que, grosso modo, metade do efeito sorriso observado no mercado de

opções sobre índice de ativos é devido a um verdadeiro efeito sorriso. Eles argumentam

que o verdadeiro sorriso persiste apesar dos lucros substanciais antes dos custos de

transação, porque ao se manter o nível de risco do portfólio original, necessitam-se de

constantes rebalanceamentos, os quais consomem boa parte dos lucros.

19

Conseqüentemente, os autores alegam que o efeito sorriso não é uma evidência de

ineficiência de mercado.

Dumas, Fleming & Whaley (DFW) (1996, 1998) testam a performance predicativa e

de hedge de modelos que assumem a volatilidade como uma função determinística. Em

seu artigo, eles aplicam esta abordagem para precificar opções sobre o índice S&P500

durante o período de junho de 1988 a dezembro de 1993.

Dumas, Fleming & Whaley (1996,1998) propõem o uso de uma simplificação que

conserva a essência dos modelos de árvores implícitas e evita as dificuldades empíricas

destes modelos. As quatro especificações testadas pelos autores são as seguintes:

( );a%,1Max 0=σ 2.9

( )2210 KaKaa%,1Max ++=σ 2.10

( )KTaTaKaKaa%,1Max 432

210 ++++=σ 2.11

( )KTaTaTaKaKaa%,1Max 52

432

210 +++++=σ 2.12

Os autores especificam diretamente formas funcionais simples para a função de

volatilidade implícita sobre as variáveis preço de exercício K e maturidade T . Nesta

20

especificação o modelo de Black & Scholes é um caso particular em que os coeficientes

das funções são nulos com exceção da constante4.

Da mesma forma, coeficientes significativos permitem o ajuste ao smile e à estrutura

a termo da volatilidade, caso existam. Os autores mostram que especificações

relativamente parcimoniosas são capazes de gerar preços bastante próximos aos

observados. Uma diferença na proposta de DFW é que ao invés de estimar os

parâmetros destas equações através da minimização da soma dos erros ao quadrado

entre os preços gerados com esta função na árvore e os valores observados no mercado,

estas funções serão estimadas de acordo com o sorriso da volatilidade implícita, bem

como sua estrutura a termo, caso exista, observadas a cada dia.

Eles chegam às seguintes conclusões: em primeiro, embora haja uma flexibilidade

ilimitada em se especificar uma função para a volatilidade que seja sempre capaz de

descrever exatamente a estrutura observada dos preços das opções, seus resultado

indicam que um modelo mais parcimonioso funciona melhor de acordo com seu índice

de ajuste; em segundo, quando a função de volatilidade ajustada é usada para precificar

as opções na semana seguinte, os erros de previsão dos modelos de função de

volatilidade determinística tornam-se maiores na medida em que a função de

volatilidade torna-se menos parcimoniosa; e em terceiro, os índices de hedge

determinados pelo modelo de Black & Scholes parecem ser mais confiáveis que aqueles

obtidos a partir de modelos com funções de volatilidade determinística.

4 A especificação da função como o “máximo entre 1% e uma função determinística” é sugerida pelos autores apenas para assegurar volatilidades positivas. O 1% é arbitrário.

21

Tompkins (1998) olha para as funções de volatilidade implícita de uma maneira

diferente, separando os impactos do nível de volatilidade implícita e concentrando-se

em formas relativas das superfícies de volatilidade implícita. Este autor argumenta que

Dumas, Fleming & Whaley (1996,1998) devem estar corretos ao dizer que os níveis de

volatilidade implícita hoje (e de acordo com os strikes) não fornecem informações

relevantes sobre o futuro nível da volatilidade implícita. Contudo, segundo sua pesquisa,

Tompkins (1998) demonstra que este resultado pode estar ocorrendo devido a processos

de volatilidade estocástica. A partir do exame de superfícies de volatilidade implícita de

dezesseis mercados de opções diferentes (índice de ações, bonds, câmbio e contratos

futuros), ele demonstra a existência de consistência na forma de superfícies de

volatilidade para opções de mesma classe de ativo subjacente. De acordo com sua

abordagem, a maior parte (de 80 a 97%) da variância nas superfícies de volatilidade

implícita nos dezesseis mercados de opções foi explicada. A consistência entre os

modelos e a estabilidade ao longo do tempo devem sugerir que os participantes do

mercado estão usando algoritmos similares para ajustar os preços das opções

diferentemente dos valores sugeridos pelo modelo de Black & Scholes, e também

devem estar usando algoritmos similares para diferentes mercados de opções.

Em outro trabalho, Tompkins (2001) examina a natureza de processos de dispersão,

os quais podem ser observados em contratos futuros em quatro índices de ações.

Visando capturar as formas não normais e a interdependência dos processos de

dispersão empíricos, o autor identifica sete atributos. Com esses atributos para cada um

dos quatro mercados são examinados dois modelos alternativos de volatilidade

estocástica. Ele percebe que os mercados são melhor compreendidos com um modelo

que assuma que o processo do preço siga um processo gaussiano normal inverso

22

(“Normal Inverse Gaussian” – NIG) e que o processo estocástico da volatilidade seja

negativamente correlacionado com o processo NIG.

Baseado em uma parametrização ótima desse modelo, Tompkins (2001) calcula

numericamente os preços das opções em cada um dos mercados. Para todos os

mercados esse modelo de precificação tende a aumentar os preços de opções com

preços de exercício mais baixo e diminuir os valores de opções ATM e com altos

strikes.

Em seguida o autor expressa os preços das opções consistentes com seu modelo de

acordo com uma superfície de volatilidade implícita e compara com a verdadeira

superfície de volatilidade implícita de acordo com os preços observados no mercado.

Enquanto a superfície de volatilidade implícita simulada apresenta alguns pontos

similares com a real, observam-se algumas diferenças que são similares para os quatro

mercados. Para todas as superfícies os preços reais têm volatilidades implícitas maiores

do que os preços de opções consistentes com o modelo. Assim, o autor rejeita a hipótese

de que os modelos de volatilidade estocástica propostos sejam capazes de explicar a

existência do smile.

De maneira similar, Papanicolaou & Sircar (1998) estudam os problemas de

precificação e hedging de opções sobre ativos cujas volatilidades sejam estocásticas.

Novas fórmula assintóticas, válidas quando a volatilidade tem um pequeno componente

estocástico ou flutua em diferentes escalas de tempo, fornecem descrições detalhadas da

geometria das curvas de volatilidade implícita e são efetivas para a interpolação de

volatilidades implícitas observadas, ou como uma ferramenta para identificação de

parâmetros.

23

A utilidade de se separar as escalas de tempo nas quais os processo distintos do preço

e da volatilidade flutuam, permitem aos autores apresentar uma nova abordagem para a

modelagem de volatilidade estocástica, partindo-se de uma PDE, tal qual em Black &

Scholes (1973), com um coeficiente de volatilidade aleatório. Isso leva a uma

aproximação, que é o preço de acordo com Black & Scholes (1973) mais uma variável

gaussiana aleatória, que quantifica o risco da incerteza sobre a volatilidade. Eles

caracterizam, em particular, o risco ao precificar e hedgiar certas bandas que satisfazem

uma PDE e dependem somente da média e poder do espectro da densidade do processo

de volatilidade. A robustez em relação a outros modelos foi medida de acordo com o

ajuste ao smile observado no mercado.

Dando continuidade ao estudo de Dumas, Fleming & Whaley (1996,1998), os quais

fornecem evidências de que a função de volatilidade determinística muda

semanalmente, Rosenberg (2000) propõe uma nova classe de funções – Funções de

Volatilidade Implícita Dinâmica (DIVF)5 – que buscam contornar os problemas das

funções de volatilidade implícita, propiciando avaliação e hedging consistentes na

presença de funções de volatilidade implícita variantes no tempo. Em outras palavras, a

DIVF busca conciliar o ajuste das IVF com uma estrutura de dependência temporal para

as volatilidades. Assim, a DIVF modela separadamente (i) uma função de volatilidade

implícita relativa invariante no tempo e (ii) um processo para as volatilidades implícitas

ATM que governam as variações do nível da função relativa (i).

5 Do inglês Dynamic Implied Volatility Function.

24

A função da volatilidade implícita relativa usada por Rosenberg (2000), e definida

anteriormente por Tompkins (1995), onde o subscrito i refere-se ao ponto do cross

section dos preços de exercício para uma determinada data, foi a seguinte:

−=

T

1SK

fATMt

treli σ

σ 2.13

Esta equação faz uso de uma definição de moneyness em desvios padrão, a qual será

referida como moneyness padronizada. Esta definição tem a vantagem de normalizar a

moneyness tanto de acordo com o tempo para o vencimento, como para a volatilidade,

simultaneamente.

Quanto ao processo que rege a volatilidade implícita da “at-the-money”, a

especificação proposta pelo autor inclui uma constante, que capta a volatilidade de

longo prazo à qual o processo reverte, a primeira defasagem da volatilidade implícita e

um termo que capta o efeito assimétrico dos retornos negativos sobre a volatilidade. O

termo do efeito assimétrico, como cita o autor, é sugerido pelo trabalho de Engle & Ng

(1993), que encontraram nesta especificação uma performance superior na modelagem

da volatilidade. Assim, tem-se o segundo componente da função:

)r,0(Max tATM

1tATMt −++= − γασωσ 2.14

Finalmente, a volatilidade implícita ajustada pela DIVF será calculada através do re-

escalonamento da previsão de volatilidade ATM para as características específicas do

contrato e do momento pela função de volatilidade relativa (2.13). Chega-se, então, a

função de volatilidade dinâmica:

25

( )1relt,i

ATMit,i += σσσ 2.15

Seus testes, baseados na história das opções sobre o futuro de S&P500, mostram que

as funções de volatilidade implícita dinâmicas superam os modelos com funções de

volatilidade implícita determinística constante. A performance é ligeiramente superior

aos modelos que atualizam continuamente as funções de volatilidade implícita

deteminística. Contudo, uma significativa vantagem dos modelos de função de

volatilidade implícita dinâmica é que ele explica o comportamento dos preços das

opções de uma maneira internamente consistente. Isto é especialmente válido dado a

natureza parcimoniosa do modelo de função de volatilidade implícita dinâmica.

Buraschi & Jackwerth (1997) também estudam as implicações dinâmicas dos

modelos que usam funções de volatilidade determinística. De uma maneira geral os

autores alegam que seus achados indicam que uma importante dimensão da dinâmica

dos preços de opções, que é relevante para estratégias de hedge dinâmico, não é

capturada por modelos com função de volatilidade determinística. Como uma

implicação prática, eles sugerem que os modelos necessitam incorporar fatores de risco

adicionais para precificar opções exóticas, formar portfólios e construir estratégias de

gerenciamento de portfólio de maneira eficiente.

Coleman, Kim, Li & Verma (1999) comparam a performance de hedge dinâmicos,

em um mercado que apresenta smile, entre o método de volatilidade constante, o

método de volatilidade implícita e o método de função de volatilidade, função esta

determinada de acordo com o nível do ativo subjacente e do tempo de acordo com

Coleman, Li & Verma (1998). Com o exemplo sintético de uma opção européia, eles

26

demonstram que o método de função de volatilidade gera parâmetros de hedge

significativamente mais acurados, bem como menores erros de hedge. Usando dados do

mercado de opções sobre o índice futuro S&P500 e protegendo-se contra movimentos

do preços futuros, o método de função de volatilidade foi mostrado como o de melhor

performance, quando comparado com os métodos de volatilidade constante e implícita.

Carr & Madan (1997)6 discutem três estratégias de negociação envolvendo o risco da

volatilidade. O primeiro é de uma posição estática em opções, o segundo é uma

estratégia de delta-hedging e a terceira é a aposta direta na volatilidade com auxílio de

swaps. Eles alegam que, de acordo com certas premissas, pode-se precificar e hedgiar

determinados contratos de volatilidade sem especificar o processo da volatilidade.

Visando entender melhor a dinâmica das superfícies de volatilidade implícita, Cont &

Fonseca (2002) usam séries temporais de preços de opções sobre os índices S&P500 e

FTSE. Eles estudam as deformações de suas superfícies de volatilidade e mostram que

elas podem ser representadas por uma superfície aleatória flutuante definida por um

pequeno número de fatores ortogonais aleatórios. Eles identificam e interpretam a forma

de cada um destes fatores, estudam sua dinâmica e sua correlação com o índice

subjacente. Sua abordagem é baseada em uma decomposição de Karhunen-Loève das

variações diárias da volatilidade implícita obtidas de dados de mercado. Assim, eles

propõem um modelo de fator simples e ilustram como esta abordagem modela e

melhora as regras já conhecidas e utilizadas pelos operadores de opções para atualizar a

volatilidade implícita. Sua abordagem ainda dá justificativas para o uso do Vega para

6 Veja também Carr, Levis & Madan (2000)

27

medir o risco de volatilidade e fornece uma decomposição do risco de volatilidade como

a soma da contribuição de fatores empiricamente identificáveis.

Reisman (2001) assume que a volatilidade implícita das opções com um determinado

vencimento é uma função quadrática da moneyness. Os coeficientes desta função

quadrática (o smile) são dependentes do tempo e estocásticos. Em seu trabalho, o autor

deriva parâmetros de exposição do preço da opção para uma mudança local em cada um

dos coeficientes do smile, bem como um fórmula aproximada para seu valor ajustado ao

risco. Ambos são importantes ao se gerenciar a exposição do preço de um portfólio de

opções a mudanças nos coeficiente do smile.

Uma vez que se tem a superfície de volatilidade implícita, pode-se obter a superfície

de volatilidade local. Derman, Kani & Zou (1995) apresentam em seu trabalho uma

excelente explicação sobre o conceito de volatilidade local, fazendo uso, por exemplo,

da uma analogia com a estrutura a termo da taxa de juros. Além disso, eles dão

exemplos práticos de sua aplicação e propõem três heurísticas para se entender a relação

entre volatilidade local e volatilidade implícita. Em essência, seu modelo permite a

extração da volatilidade local de um índice em todas as datas futuras e níveis de

mercado, através de informações obtidas no mercado. Eles usam essas volatilidades

locais em mercados com smile acentuado para medir o sentimento (tendência) do

mercado de opções, para calcular a evolução das volatilidades implícitas de opções

padrões, para precificar opções sobre índices e para precificar e hedgiar opções

exóticas. Os autores mostram que, em mercados com efeito sorriso acentuado, todos

seus resultados apresentam grandes discrepâncias dos resultados obtidos pela

abordagem de Black & Scholes.

28

Crouhy & Galai (1995) também lidam com a questão de se hedgiar com a presença

de uma estrutura a termo de volatilidade. A questão levantada pelos autores é se os

parâmetros de hedge deveriam refletir a variância instantânea, a variância média durante

a vida da opção como no modelo de Black & Scholes (1973), ou uma combinação de

duas medidas de volatilidade. Em seu artigo, os autores mostram que, para opções cujo

ativo subjacente siga um processo com independência de caminho, os valores das

opções dependem somente da volatilidade média, enquanto que os parâmetros de hedge

dependem também do caminho da volatilidade futura. A sensibilidade dos parâmetros

de hedge da volatilidade de curto prazo depende do grau de moneyness da opção. Eles

mostram que isso é um problema mais sério para opções de curto prazo do que para as

de longo prazo. Embora estes autores não tenham lidado diretamente com a questão da

volatilidade local, seu entendimento acerca da sensibilidade da volatilidade é muito

similar aos apresentados por Derman, Kani & Zou (1995).

Um dos métodos de se obter a superfície de volatilidade local é através da construção

de árvores implícitas. Derman & Zou (1996) apresentam um método pseudo-analítico

para se extrair a superfície de volatilidade local a partir dos preços de opções negociadas

que apresentem o efeito sorriso. Eles mostram que a superfície de volatilidade local

obtida via simulação de Monte Carlo reproduz com razoável acurácia os preços das

opções que forneceram o smile.

Uma outra metodologia para a obtenção da superfície de volatilidade local é proposta

por Carr & Madan (1998). Fazendo uso somente do efeito sorriso observado em uma

única data de vencimento T e a premissa de independência de caminho, os autores

determinam analiticamente o processo do preço do ativo neutro ao risco, bem como a

29

superfície de volatilidade local para um horizonte arbitrário T'T ≥ . Sua premissa de

independência de caminho requer que cada valor futuro do preço do ativo St seja uma

função somente do tempo t e do nível tW , movimento browniano padrão (“Standard

Brownian Motion” – SBM) para todo )'T,0(t ∈ . Usando os preços de opções com

vencimento em T , Carr & Madan (1998) identificam essa função do preço da ação e

com isso determinam analiticamente o processo neutro ao risco para o preço do ativo

subjacente. Sua premissa de independência de caminho também implica que a

volatilidade local é uma função do preço do ativo e do tempo, a qual pode ser

representada explicitamente em termos da função conhecida de precificação do ativo

subjacente. Por fim, os autores desenvolvem fórmulas de precificação analíticas tanto

para opções simples, bem como para opções exóticas que sejam consistentes com o

smile observado no vencimento T .

Laurent & Leisen (1998) também partem dos preços das opções negociadas no

mercado para inferir o processo de evolução do ativo neutro ao risco. Eles consideram a

questão de que somente dados discretos de preços de opções são observados no

mercado e assumem que os preços dos ativos descontados seguem uma cadeia de

Markov. Eles provam que a existência de tal cadeia de Markov é equivalente à condição

de que os preços das opções são decrescentes e convexos com o preço de exercício e

crescentes com a data de vencimento.

Mais uma vez, fazendo uso de um modelo de precificação de opções de volatilidade

determinística e de diferença finita, Bodurtha & Jermakyan (1996) propõem um método

não paramétrico para a estimação da superfície de volatilidade implícita. Uma condição

30

que eles impõem, é que esta superfície seja suave. Para tal, entretanto, os autores

reconhecem que seu modelo tem um custo computacional bastante elevado.

Uma abordagem bastante interessante para lidar com a questão da incerteza acerca da

volatilidade, é a proposta por Avellaneda, Levy & Parás (1995). Eles apresentam um

modelo de precificação e hedge de derivativos onde a volatilidade não é conhecida

precisamente, mas, entretanto, assume-se que ela esteja compreendida entre dois valores

extremos minσ e maxσ . Esta banda pode ser inferida a partir de valores extremos de

volatilidade implícita de opções líquidas, ou dos picos para cima e para baixo de

volatilidade histórica do ativo ou de volatilidade implícita, que pode ser interpretada

como se estivesse definindo um intervalo de confiança para volatilidades futuras. Os

autores mostram que este modelo captura a importância da diversificação em se

gerenciar posições de derivativos. O modelo também pode ser usado sistematicamente

para construir hedges eficientes, usando-se outros derivativos conjuntos com o ativo

subjacente.

Paralelamente ao surgimento de tantos modelos que tentaram considerar uma

volatilidade não constante, apareceram na literatura trabalhos que procuram verificar

sua performance. Bates (1995), discute as técnicas empíricas empregadas ao se testar os

mais diversos modelos de precificação, e resume as principais conclusões encontradas

na literatura. Seu artigo dá especial foco a três categorias de opções financeiras: opções

sobre ações, opções sobre índices de ações e seus futuros, e opções sobre moeda e seu

futuro. Os testes de consistência entre séries de opções e tempo são divididos pelo autor

em duas categorias: aquelas que estimam parâmetros da distribuição a partir de séries

temporais e examinam as implicações para os preços das opções, e aquelas que estimam

31

parâmetros específicos ao modelo, implícitos nos preços das opções, e testam a previsão

da distribuição para a série de tempo subjacente. Eles concluem que estes tipos de

estudos ainda são muito recentes e que os preços das opções indicam um surgimento de

um fenômeno interessante que vale a pena ser modelado e testado contra a série

temporal dos preços do ativo subjacente. Mudanças na volatilidade esperada e

fenômenos de maior ordem estão implícitos nos preços das opções; se eles são

subseqüentemente realizados pelo ativo subjacente carece de mais investigações.

Flutuações nos vieses de moneyness ao longo do tempo sugerem a necessidade por

modelos com assimetria variável no tempo.

Corrado & Su (1997) usam o modelo de Hull & White (1988) de volatilidade

estocástica para analisar o processo estocástico do índice S&P500 dados os preços de

opções sobre o mesmo. Eles mostram que os parâmetros obtidos pela estimação do

processo de volatilidade estocástica podem ser usados para gerar previsões confiáveis

um dia à frente da relação entre preços das opções e o nível do índice.

Bakshi, Cao & Chen (1997) desenvolvem um modelo de precificação de opções que

admite volatilidade estocástica, taxa de juros estocástica e saltos aleatórios. Eles

mostram que esta fórmula fechada de precificação de opções é implementável na

prática, levando a taxas de hedge analíticas, contendo, ainda, muitas fórmulas de opções

como caso especial. Esta última característica tornou viável o estudo empírico de

performance relativa entre vários modelos.

De acordo com suas evidências empíricas, Bakshi, Cao & Chen (1997) apontam a

volatilidade estocástica como sendo o primeiro fator a ser levado em consideração para

se obter uma melhora em relação ao modelo de Black & Scholes (1973). Ao adicionar-

32

se saltos ao modelo, bem como taxa de juros estocástica melhoram-se as precificações

de opções com vencimento de curto e longo prazo, respectivamente. Objetivando-se

taxas de hedge, entretanto, a incorporação tanto de saltos como de taxa de juros

estocástica não parece melhorar ainda mais o modelo de volatilidade estocástica.

Arnold (2001), usando um procedimento de estimação de método generalizado de

momentos (“Generalized Method of Moments” – GMM) e fazendo cuidadosas

considerações sobre viéses existentes em literaturas anteriores, estima parâmetros para

um modelo de precificação de opções baseado em um processo estocástico de difusão

de saltos. Quando comparado a um modelo de volatilidade estocástica, o modelo de

saltos é mais robusto, mas nem sempre é o modelo superior.

Um pouco diferente fizeram Joundeau & Rockinger (1997). Em vez de analisarem

diferentes modelos, eles analisam as SPD obtidas por diferentes metodologias. Para tal,

eles implementam vários métodos para obter as densidades neutras ao risco. Estes

métodos variam dos não estruturais (como o caso de mistura de lognormais) aos

modelos totalmente estruturados (modelos de difusão de saltos e volatilidade

estocástica). Os autores também implementam métodos baseados em expansões de

Gram-Charlier e Edgeworth.

Como primeiro passo, eles comparam estes vários métodos em duas datas. A primeira

data corresponde a um mercado calmo, enquanto que segunda a um mercado mais

turbulento. Jondeau & Rockinger (1997) percebem que todos os modelos geram SPD

que diferem significativamente da lognormalidade usada como referência. Em relação à

estabilidade e velocidade de estimação, eles notam que os modelos de mistura de

lognormais e volatilidade estocástica requerem certo nível de correção/adaptação de

33

alguns parâmetros para continuar a estimar os demais, o que resulta em um

procedimento bem mais lento. Os demais métodos convergem rapidamente e geram

resultados mais estáveis.

Esses autores ainda vêem que os modelos diferem no que diz respeito à habilidade de

capturar as grandes assimetrias existentes nos dados. Em particular, os modelos de

aproximações polinomiais e volatilidade estocástica têm dificuldades com esta questão.

Em seguida, eles comparam os vários métodos ao longo do tempo, usando como critério

o erro relativo absoluto. Constatam, então, que o modelo de mistura de lognormais atua

bem em opções de curto prazo e que os modelos de difusão de saltos superam todos os

demais modelos para opções de longo prazo.

2.4 DISTRIBUIÇÕES IMPLÍCITAS

A evidência empírica dos pontos mencionados anteriormente aponta para uma

refutação do modelo de precificação de opções de Black & Scholes, exigindo uma

explicação satisfatória. Se a SPD não é lognormal, então não há razão para crer que um

único parâmetro, a volatilidade implícita, seja capaz de representar adequadamente toda

a informação contida nos preços das opções.

O acesso a grande bancos de dados de preços de opções de mercados organizados

adiciona uma dimensão complementar aos dados obtidos a partir de pesquisas empíricas

em finanças. Enquanto séries de informação no tempo fornecem apenas uma observação

por data, os preços de opções contêm toda uma gama de preços para cada vencimento e

cada preço de exercício, permitindo uma visão mais rica das variáveis de mercado.

34

Em teoria, a informação contida nos preços das opções reflete-se totalmente na

compreensão e especificação de toda a SPD q 7. Isso tem levado ao desenvolvimento de

novas metodologias que, a partir de uma base de dados de preços de opções, pesquisam

uma SPD q tal que a equação (2.6) seja válida no mercado. Tal distribuição q é

chamada de distribuição implícita, por analogia com a volatilidade implícita. Se for

considerada a premissa de ausência de possibilidades de arbitragem, a noção de

distribuição implícita coincide com o conceito de SPD definido acima. Mas mesmo que

não se adote este ponto de vista, a distribuição implícita ainda contem importantes

informações sobre o mercado.

2.4.1 Estimação da SPD

Dado que todos os preços de opções podem ser expressos em termos de uma única

função, a SPD q , pode-se imaginar procedimentos estatísticos para extrair q a partir de

uma base dados suficientemente grande de preços de opções. Diferentes métodos,

alguns bastante sofisticados, têm sido propostos para alcançar este objetivo. Cont (1997)

fornece a base para o contexto de classificação destes diferentes métodos em: expansão,

não paramétricos e paramétricos. Porém será usada uma categorização ligeiramente

diferente, sugerida por Jackwerth (1999), dado que as duas extensões básicas de

distribuições lognormais visam ou achar distribuições paramétricas mais flexíveis ou

tentar métodos não paramétricos.

7 Veja Bahra (1997) para maiores detalhes

35

Cada um destes métodos será analisado um pouco melhor a seguir, fazendo-se

distinção entre as possíveis subramificações

2.4.1.1 Métodos Paramétricos

Os métodos paramétricos podem ser divididos em três grupos:

1 - métodos de expansão: começam com uma distribuição básica e adicionam

correções, visando tornar o modelo mais flexível.

2 - métodos de distribuição generalizada: apresentam distribuições mais

flexíveis com parâmetros adicionais além dos dois parâmetros das

distribuições normal e lognormal.

3 - métodos de mistura: criam novas distribuições a partir da mesclagem de

distribuições mais simples.

Os métodos de expansão são, em conceito, relacionados à expansão de uma função de

uma série de Taylor ao redor de um ponto. Esses métodos aproximam a SPD através de

uma expansão em série que é truncada a partir de uma determinada ordem em que a

contribuição marginal possa ser considerada desprezível. Então, calibram-se os

parâmetros da expansão aos preços das opções observados no mercado.

De maneira geral, a aproximação pode ser escrita da seguinte forma:

( ) ( ) ( )∑∞

=+=≤−

1kkk0tT xPxPxSSP µ 2.16

36

O primeiro termo da expansão 0P corresponde ou à distribuição lognormal ou à

normal. Os termos seguintes podem então ser considerados como correções sucessivas

às aproximações lognormal ou normal, visando prover o modelo de maior flexibilidade.

A série é então truncada, resultando em uma aproximação paramétrica da SPD, a qual,

caso seja tratada analiticamente, permite a obtenção de expressões explícitas para preços

de opções.

A vantagem deste modelo reside no fato de sua maior flexibilidade possibilitar a

incorporação dos fatos já mencionados. Por outro lado, há uma grande preocupação com

esta classe de modelos. Algumas aproximações finitas podem levar à obtenção de

probabilidades negativas nas caudas extremas. Este fato não faz com que o modelo se

torne dispensável. Ele apenas não é apropriado para a precificação de opções muito fora

ou dentro do dinheiro (OTM ou ITM). Nestes casos o modelo precisa ser recalibrado.

Abadir & Rockinger (1997) usam funções hipergeométricas confluentes como base

para sua densidade neutra ao risco e derivam uma fórmula fechada para o preço de

opções que incorpore o smile. Abken, Madan & Ramaumurtie (1996) usam polinômios

de Hermite com quatro parâmetros. Esses polinômios são relacionados a sucessivos

derivativos observados na SPD e fornecem quatro termos de correção para a

distribuição normal.

Usando os mesmos polinômios, mas com restrições a alguns dos coeficientes,

Jondeau & Rockinger (1998) e Corrado & Su (1997) restringem sua atenção à classe de

expansão de Gram-Charlier. Jondeau & Rockinger (1998) ainda fornecem um algoritmo

37

que força os coeficientes, que são baseados nos momentos da distribuição normal, a

permanecerem dentro da região que garanta probabilidades positivas.

Brenner e Eom (1997) usam polinômios de Laguerre, que são correções à distribuição

gama. Como um benefício principal, os autores notam que a SPD aproximada tem

momentos não viesados.

Jarrow & Rudd (1982), Corrado & Su (1996), Longstaff (1995), e Rubinstein (1998)

usam expansões de Edgeworth. Aqui, a distribuição base (lognormal, lognormal,

normal, e binomial, respectivamente) é acrescida de termos de correções que

sucessivamente alcançam os quatros primeiros momentos. Esses momentos” são

fortemente relacionados com os momentos da distribuição implícita. Os autores, então,

procuram por um conjunto de momentos que proporcione o melhor ajuste entre os

preços de opções observados e os preços de opções baseados na SPD expandida.

Quem também usa a expansão de Edgeworth são Flamouris & Giamouridis (2000) e

Giamouridis & Tamvakis (2001). Eles apresentam uma nova metodologia para extrair

distribuições implícitas dos preços de opções americanas. É a primeira vez que se usa a

expansão de Edgenworth para obter informações de opções americanas. Este método

pode gerar distribuições com forma bimodais, uma típica característica das distribuições

que pertencem à família de mistura de duas distribuições lognormais. O método

proposto, contudo, é mais parcimonioso, exigindo a estimação de apenas quatro

parâmetros, quando no caso de mistura de duas lognormais seriam necessários seis. Essa

vantagem mostra-se significativa em mercados onde o número de opções com strikes

diferentes, negociadas com razoável liquidez, é relativamente pequeno.

38

Potters, Cont & Bouchaud (1998) usam expansão “cumulant” para adicionar um

simples termo de correção à distribuição normal, o qual busca ajustar a curtose da SPD.

Trata-se de uma escolha de certa forma atípica, uma vez que a maioria dos autores

busca corrigir pelo menos a assimetria. Eles são capazes de expressar sua correção

através da adição de um termo quadrático à função de volatilidade implícita que

incorpore o smile.

O método de distribuições generalizadas usa distribuições que sejam capazes de

incorporar mais flexibilidade, as quais tendem a ter um ou dois parâmetros adicionais

além dos dois parâmetros das distribuições normal e lognormal. Distribuições

generalizadas freqüentemente incorporam diferentes distribuições mais comuns, dado

um conjunto específico de entrada para seus parâmetros.

Aparicio & Hodges (1998) usam funções de beta generalizado de segunda ordem.

Esta família de distribuição, com quatro parâmetros, foi explorada primeiramente por

Bookstaber & McDonald (1987) e incorporam vários tipos de distribuições, tais como

lognormal, gama, exponencial, diversos tipos de distribuições de Burr e outras.

Sherrick, Garcia & Tirupattur (1996) usaram a distribuição de Burr III em contratos

futuros de olho de soja de 1988 a 1991 obtidos da CBT. Posner e Milevsky (1998) usam

a família das distribuições de Johnson.

O método de mistura obtém grande flexibilidade ao lidar com diferentes

probabilidades de diversas distribuições simples, cada qual com uma parametrização

distinta. Um problema com misturas é que o número de parâmetros cresce rapidamente.

Por exemplo, ao misturar três distribuições lognormais, fica-se com oito parâmetros.

Dois parâmetros são usados para cada uma das distribuições e duas outras

39

probabilidades são adicionadas, com a restrição de que elas somem um. Para o caso

específico de mistura de distribuições lognormais pode-se escrever:

( ) ∑=

−=N

1k k

ktktT

T

SLNwSt,T,Sq

σµ

, ∑=

=N

1kk 1w 2.17

onde ( )xLN é um distribuição lognormal com variância unitária e média r , a taxa de

juros livre de risco. A vantagem de tal procedimento é que o preço de uma opção é

simplesmente obtido como a média de preços de Black & Scholes para diferentes

volatilidades kσ , ponderadas com seus respectivos pesos kw de cada uma das

distribuições da mistura.

Dado que normalmente há apenas alguns poucos preços de opções observáveis para

diferentes preços de exercício, o método de mistura pode facilmente sobrepor os dados.

Mesmo assim, esta metodologia tende a ser ligeiramente mais flexível e é capaz de

gerar uma mais extensa variedade de formas para as distribuições de probabilidade que

as distribuições generalizadas.

Melick & Thomas (1997) usam a mistura de três distribuições lognormais. Eles

aplicam seu método a opções americanas sobre futuro de petróleo. Richey (1990) dá

exemplos de preços de opções onde a SPD dos retornos logaritmos é uma mistura de

distribuições normais.

40

2.4.1.2 Métodos Não Paramétricos

Uma das maiores limitações do modelo de Black & Scholes é que ele se baseia na

forte hipótese de que a distribuição de preços do ativo subjacente assume a forma

lognormal. Os modelos não paramétricos nos permitem evitar este tipo de problema ao

usar métodos estatísticos baseados em poucas premissas sobre o processo que regem os

dados.

Estes modelos tentam obter maior flexibilidade, ajustando a SPD aos preços das

opções observados no mercado. Em vez de demandar uma forma de distribuição

paramétrica, eles permitem funções mais gerais. Mais uma vez, de acordo com

Jackwerth (1999), pode-se dividir estes métodos em três grupos:

1 - regressão por kernel: são, em conceito, relacionados à regressões, nas quais

eles tentam ajustar uma função a dados observados. A grande diferença é que

regressões de kernel não especificam a forma dos parâmetros da função.

2 - métodos de máxima entropia: encontram uma distribuição de probabilidade

não paramétrica, a qual é o mais próximo possível, em termos de conteúdo, a

uma distribuição anterior, ao mesmo tempo em que satisfaz certas restrições,

tais como a precificação correta das opções observadas no mercado.

3 - método de ajuste de curva: trata-se de um método fracamente associado a

métodos que tentam ajustar a volatilidade implícita ou a SPD o melhor

possível com funções bem flexíveis. Uma medida de ajuste comumente

usada é a soma dos quadrados das diferenças entre preços de opções

41

observados no mercado e os preços sugeridos pelo método de ajuste de

curva.

Os métodos de kernel baseiam-se no conceito de que cada ponto (digamos, a

volatilidade implícita para determinado preço de exercício) deveria ser visto como o

centro de uma região onde a função verdadeira poderia estar passando. Quanto mais

longe um ponto está de um ponto observado, tão menos se torna provável que a função

verdadeira passe por aquele ponto distante. Um kernel [ ( )xk ], que freqüentemente é

assumido como sendo uma distribuição normal ( ( ) ( ) 2-0.5xe21/xn π= ), mede a

correspondente queda na semelhança quando se afasta do ponto observado.

Assim, caso se observam as volatilidades implícitas para diferentes preços de

exercício ( )ii Kσ , a regressão de kernel em uma dimensão é da forma:

( )∑

∑

=

=

=n

1i

i

n

1ii

i

h

K-Kh

K-K

K

σσ 2.18

onde h é a banda, a qual rege a precisão da regressão de kernel. Regressões de kernel

costumam requerer muitos dados, limitando seu uso. Além disso, elas tendem a

preencher dados ausentes de uma maneira não intuitiva.

Ait-Sahalia & Lo (1998) desenvolvem uma metodologia que faz uso de regressões de

kernel. Eles se baseiam em um resultado poderoso observado por Breeden &

Litzenberger (1978): se r)T,K,C(St , denota o preço de uma opção de compra, então sua

42

SPD pode ser obtida diretamente através da segunda derivada desta função com relação

ao preço de exercício:

( )2

2t)-r(T

TTt, K

CeSq

∂∂= 2.19

Através de regressões de kernel, Ait-Sahalia & Lo, estimam uma função C do preço

da opção e mostram que, sob algumas condições de regularidade, a segunda derivada

desta função converge para ( )TSq em grandes amostras. Contudo, a convergência é

lenta, tanto pela diferenciação, quanto pelo grande número de parâmetros na função C .

Mais tarde Aït-Sahalia, Wang & Yared (2001) usam este modelo para verificar se os

preços de opções observado no mercado refletem corretamente as probabilidades de

evolução do ativo subjacente. Eles mostram resultados empíricos aplicados sobre o

contrato futuro do índice S&P 500 e notam que as densidades estimadas são bastante

diferentes da Lognormal, apresentando significativa assimetria e curtose

Os métodos de máxima entropia tentam, efetivamente, maximizar a quantidade de

informação insuficiente, dadas as restrições. Ou seja, eles visam o menor prejuízo

possível, tendo em vista a falta de informações. No sentido de implementar tais idéias -

e de certa forma parecido com o ambiente bayesiano - escolhe-se uma distribuição ( iO )

a priori, e em seguida obtém-se a SPD ( iP ) ao maximizar-se a seguinte entropia cruzada

(cross-entropy):

∑

−

i i

ii O

PlnP 2.20

43

sujeita à restrições, tais como probabilidades positivas, soma das probabilidades igual a

um, e correta precificação das opções e do ativo subjacente. Se a distribuição ( iO ),

escolhida a priori, por acaso for a distribuição uniforme, então a entropia cruzada se

reduz a uma simples entropia:

ii

i PlnP∑− 2.21

Buchen & Kelly (1996) usam as distribuições uniforme e lognormal como

distribuições a priori e mostram alguns resultados. Stutzer (1996) deriva a SPD usando

distribuições históricas do retorno do ativo subjacente como distribuição a priori. Ele

restringe a SPD para que somente precifique o ativo subjacente corretamente. Então,

precificando as opções encontra evidências de uma assimetria da volatilidade, a qual

depende principalmente do tamanho da amostra de dados históricos usados para gerar a

distribuição histórica.

Os métodos de ajuste de curva são muito extensos, na medida em que tanto a função

da volatilidade implícita com os preços de exercício, quanto a SPD propriamente é

aproximada por uma função geral. A função envolvida tende a ser flexível e suave.

Dentre os métodos que tentam incorporar o smile, pode-se citar Shimko (1993) como

sendo pioneiro, ao ajustar o smile a um polinômio quadrático. Ele traduziu as

volatilidades implícitas em preços de opções e consegue gerar a SPD a partir da segunda

derivada com relação aos preços de exercício, de acordo com Breeden & Litzenberger

(1978). Ele finalmente incorpora caudas lognormais à SPD.

44

Malz (1997) propõem uma variação deste método, no qual um polinômio quadrático é

ajustado às volatilidades implícitas com seus deltas, ao invés de seus preços de

exercício. Os deltas são as derivadas, de acordo com Black & Scholes, do preço da

opção com o preço do ativo subjacente. O benefício é evitar a presença de caudas na

distribuição. A abordagem de Shimko é aplicada por Brown & Toft (1999) que usam

“splines” de sétima ordem.

Campa, Chang & Reider (1998) usam “splines” cúbicos para incorporar o sorriso da

volatilidade. Rosenberg & Engle (1997) usam um polinômio que se ajusta ao logaritmo

do smile, prevenindo automaticamente volatilidades implícitas negativas. Rosenberg

(1996) estende este método para o caso bivariado. Jackwerth (1999) maximiza a

suavidade do smile, conseguindo, assim, controlar o tradeoff entre ajuste de preço de

opção e suavidade explícita.

Os cálculos envolvidos em ajustar o smile não requerem iterações e podem ser

computados em um passo e em fórmulas fechadas. Eles não garantem, contudo, que as

probabilidades resultantes sejam positivas, condição esta que deve ser checada

separadamente.

O segundo grupo de métodos de ajuste de curva tenta obter diretamente a SPD.

Rubinstein (1994) minimiza a distância de probabilidades discretas para uma

distribuição lognormal definida a priori, sujeita a precificação correta tanto do ativo

subjacente como das opções. Jackwerth & Rubinstein (1996) mostram que as diferentes

maneiras de medir esta distância, tais como, calculando desvios quadrados ou absolutos,

ou mesmo “cross-entropy”, não afetam muito no resultado da SPD, desde que se

observem mais do que poucos preços opções. Jackwerth & Rubinstein (1996) ainda

45

introduzem um novo método que não necessita de uma distribuição a priori. Eles

maximizam a suavidade da SPD, de modo que ela precifique corretamente as opções.

Mayhew (1995) usa a mesma idéia de maximizar a suavidade da distribuição e

aproxima a densidade com “splines” cúbicos.

2.5 ÁRVORES BINOMIAIS IMPLÍCITAS

Uma vez encontrada a distribuição neutra ao risco, a SPD do ativo subjacente, fica a

questão de como o ativo chegou àquela distribuição. Em outras palavras, procura-se

encontrar um modelo de processo estocástico para o preço do ativo que resulte na

mesma distribuição terminal que é implícita a partir dos preços das opções.

Infelizmente, não existe um processo estocástico tão preciso. Além disso, mesmo que

fosse possível saber todas as SPD para as infinitas datas de vencimento futuro, não

haveria um único processo estocástico. A razão para isso é que o preço do ativo evolui

de acordo com ou um processo de difusão, um processo com saltos, ou muitos outros

processos alternativos, que podem incorporar saltos ou ainda outros fatores estocásticos,

tais como taxas de juros estocástica ou volatilidade estocástica.

Neste sentido, a construção de árvores implícitas, as quais se baseiam exclusivamente

em preços de opções observados no mercado, é uma boa metodologia a ser

implementada. Essa abordagem tem a capacidade de criar processo de evolução do

preço do ativo consistente com o smile observado no mercado, sendo, desta maneira,

uma solução mais adequada para a precificação de opções exóticas e extração de

parâmetros de hedge.

46

Neste trabalho será dado enfoque especial para os modelos de construção de árvores

implícitas, apresentando, ainda, alguns outros modelos que procuram incorporar o smile

ao dar preço para as opções. Os modelos serão apresentados respeitando-se até certo

ponto seu surgimento na literatura bem como suas características. De uma maneira geral

podemos classificar o surgimento destes modelos em duas etapas, de acordo com

Skiadopoulos (2001). Em primeiro vieram modelos de volatilidade determinística que

se ajustavam aos preços das opções européias existentes no mercado, foco desta

dissertação. Em seguida, vieram modelos de volatilidade estocástica que eram capazes

de precificar as opções de maneira consistente com o smile observado através da

evolução livre de arbitragem da superfície de volatilidade. Este segundo tipo de

modelos é mais genérico e engloba o primeiro.

Assim, esses modelos buscam identificar mais precisamente se, dado um conjunto de

preços de opções européias para todos os vencimentos e strikes, era possível encontrar

um processo de difusão neutro ao risco para o preço do ativo subjacente do tipo,

ttt

t t)dW,(Sr(t)dtS

dS σ+= 2.22

onde a volatilidade instantânea σ é uma função determinística do tempo e do preço do

ativo.

2.5.1 Dupire (1993, 1994)

O primeiro modelo de volatilidade determinística consistente com o smile,

desenvolvido para o caso de tempo contínuo, foi apresentado por Dupire (1994).

47

Define-se ( )TK,C como o preço de uma opção européia com preço de exercício K e

vencimento em T ; assume-se que exista um contínuo de todas as opções ( )( ) TK,TK,C

sendo negociadas e que seus preços hoje são consistentes com a condição de não

arbitragem. Breeden & Litzenberger (1978) mostraram que os preços das opções

européias observados diretamente no mercado nos levam a SPD terminal como função

do preço de exercício K , ou seja:

( ) ( )2

2t)-r(T-

T K

TK,CeK

∂∂=Φ 2.23

onde ( )KTΦ é a SPD terminal de TS condicional às informações na presente data t , e

r é a taxa de juros. Em geral a conversão não é verdadeira. A partir da SPD terminal

não se consegue chegar a um processo único que reja o preço do ativo hoje. Contudo,

Dupire (1994) prova que existe uma exceção. Dentro de algumas condições de

regularidade técnica, pode-se chegar a um processo único a partir da SPD terminal

implícita, caso seja feita a restrição de processos de difusão com volatilidade

determinística e livre de risco. Isto é provado por meio de uma equação de Komolgorov.

Logo, dado o seguinte processo:

t)dWb(x,t)dta(x,dx += 2.24

Assim, a equação de Komolgorov é dada por:

T

f

x

(af)

x

f)(b

2

12

2

∂∂=

∂∂−

∂∂ 2

2.25

48

onde (x) T)f(x, TΦ≡ . Em outras palavras, em geral a equação de Komolgorov é usada

para derivar as distribuições condicionais, partindo-se de um dado processo. Contudo,

neste caso, lida-se com o problema oposto: f é conhecida e b é desconhecida.

Restringindo-se à SPD (e assumindo, sem perda de generalidade, que a taxa de juros é

zero) a equação (2.15) torna-se:

T

f

x

f)(b

2

12

2

∂∂=

∂∂ 2

2.26

Como f pode ser escrita como 2

2

x

C

∂∂

( x equivale ao preço de exercício K ), Dupire

mostra que:

T

C

K

Cb

2

12

22

∂∂=

∂∂

2.27

Ambas derivadas são positivas por arbitragem. Assim,

2

2

K

T)C(K,T

T)C(K,2

T)b(x,

∂∂

∂∂

= 2.28

A equação (2.21) pode ser usada para determinar b , uma vez que tanto 2

2

K

T)C(K,

∂∂

e

T

T)C(K,

∂∂

são conhecidos do smile observado no mercado. Pode-se, então, inferir a

volatilidade instantânea no tempo T para um ativo com preço igual a K a partir do

conhecimento de preços de opções com vencimentos e strikes ao redor de T e K .

49

Voltando-se ao processo do ativo dado pela equação (2.15), obtém-se, de fato, a

volatilidade instantânea por:

t

tt S

t)b(St)(S

,, =σ 2.29

A equação (2.20) apresenta a questão da precificação de opções de uma maneira

diferente da equação diferencial parcial de Black & Scholes. Ela torna o problema de

precificação de opções em um problema sobre strikes e vencimentos com o preço do

ativo e o tempo fixo, e não um problema sobre o preço do ativo e tempo com strike e

vencimentos fixos. Contudo a abordagem feita por Dupire (1994) restringe-se

exclusivamente a opções européias.

Outra grande contribuição de Dupire (1994) foi o esboço feito para a representação

do processo através da construção de uma árvore trinomial. Entretanto, ele não

desenvolve essa metodologia tão detalhadamente como outros autores o farão.

2.5.2 Cox, Ross & Rubinstein (1978)

O primeiro modelo a descrever o processo de evolução do preço de um ativo através

da construção de árvores, no caso binomial, foi o desenvolvido por Cox, Ross &

Rubinstein (1978). O processo de evolução do preço do ativo, como no caso de Black &

Scholes, para o tempo contínuo é descrito pela equação diferencial estocástica:

dZdtS

dS σµ += 2.30

50

Cox, Ross & Rubinstein (1978) introduzem uma abordagem matemática bem mais

simples, a qual é um caso específico do modelo de Black & Scholes (1973), por estar

lidando com tempo discreto e não contínuo. Assim, dada sua construção, esta

metodologia dá espaço para um procedimento numérico simples e eficiente, inclusive

para o caso de exercício antecipado (opções americanas). Entretanto, na implementação

do processo descrito na equação (2.23), a ação evolui ao longo de uma árvore binomial

neutra ao risco com espaçamento logarítmico entre os preços constante, ou seja, a

volatilidade é constante bem como as probabilidades de transição, de modo que a árvore

é a mesma para todas as opções sobre o ativo subjacente, independente de seu preço de

exercício e vencimento. Este não é mais o caso quando se lida com árvores implícitas.

2.5.3 Derman & Kani (1994)

No mesmo ano em que Dupire (1994) divulgou seu trabalho, Derman & Kani (1994)

apresentaram um modelo para a construção de uma árvore binomial implícita

recombinativa, fazendo uso simultaneamente de indução para frente e para trás (forward

and backward induction, respectivamente), porém o processo de evolução que eles

pretendiam gerar deveria corresponder àquele observado na equação (2.15). Assim, o

modelo desenvolvido por Derman & Kani (1994) pode ser visto como a implementação

discreta da idéia de Dupire (1994).

A árvore de Derman & Kani (DK) tem intervalos de tempo uniformes que são

distantes em t∆ . Para construí-la, eles assumem que já têm os nós implícitos e suas

probabilidades de transição até o nível n . O preço do ativo conhecido no nó i e no

nível n , is , pode evoluir para um nó superior com preço 1iS + , ou para um nó inferior

51

com preço iS , no nível 1)(n + . O valor a termo do ativo is , já conhecido no nível n , é

igual a itr

i seF ∆= . A probabilidade (desconhecida) de se fazer uma transição para o nó

superior é denotada por ip . Chama-se de iλ o preço Arrow-Debreu no nó i)(n, , o qual

é computado através de indução para frente, como a soma, por todos os caminhos a

partir da raiz da árvore até o nó i)(n, , do produto das probabilidades de transição

descontadas a taxa livre de risco em cada nó de cada caminho que leve até o nó i)(n, .

Todo iλ no nível n é conhecido, pois os nós anteriores e suas probabilidades de

transição já foram obtidos até o nível n . De maneira resumida, podem-se expressar os

preços Arrow-Debreu da seguinte maneira:

=≤≤++=

=Λ −∆

nipara )p-(1

ni2para )p-(1p

1nipara p

e

1

i1-i

ntr

i

1

i1i

n

λλλ

λ 2.31

onde iΛ representa o preço Arrow-Debreu para o nó i no nível 1)(n + e iλ é o preço

Arrow-Debreu já conhecido no nó i do n -ésimo nível

O objetivo é determinar os nós do 1)(n + -ésimo nível no instante 1nt + e as

correspondentes probabilidades de transição. No total, há 12n + parâmetros que

definem a transição do nível n para o nível 1)(n + da árvore. Esses parâmetros são os

1n + preços de ativo iS e as n probabilidades de transição ip . Derman & Kani as

define usando o smile.

A distribuição de iS e as probabilidades de transição ip são obtidas usando os

valores teóricos dos n contratos a termo (forwards) e n opções européias, todas

52

vencendo em 1nt + . Eles requerem que esses valores teóricos se enquadrem nos valores

observados (interpolados) no mercado. Isso fornece 2n equações para os 12n +

parâmetros, assegurando que haja um ajustamento ao smile do dia. Eles usam o grau de

liberdade que falta para fazer com que o centro de sua árvore coincida com o centro da

árvore padrão de CRR, que tem volatilidade constante. Neste caso o centro da árvore

será sempre igual ao valor do preço da ação hoje, caso o número de nós em um

determinado nível seja ímpar. No caso do número de nós ser par, faz-se, então, com que

a média do logaritmo natural dos preços do ativo nos dois nós centrais (superior e

inferior, up e down, respectivamente) seja igual ao logaritmo do preço do ativo

observado hoje. Ou seja, a condição central usada no modelo pode ser expressa

matematicamente da seguinte forma::

))) hojedownup log(Slog(Slog(S =+

)log(S)Slog(S hoje

1

downup =× 2

2hojedownup SSS =× 2.32

A árvore implícita é neutra ao risco. Conseqüentemente, o valor esperado, um período

à frente, do ativo no nó i)(n, tem que ser igual a seu preço a termo, levando à equação:

ii1ii )Sp-(1SpF += + 2.33

onde iF é conhecido. Existem n equações destas, uma para cada i .

53

Assuma )t,C(s 1ni + e )t,P(s 1ni + , respectivamente, como os valores interpolados e

conhecidos dos valores de mercado de uma call e uma put com strike isK = e

vencimento em 1ntT += . Conhecem-se estes valores a partir da interpolação da curva do

smile com opções vencendo em 1nt + . Assim, o valor teórico de uma opção de compra

européia com preço de exercício em K e vencimento em 1nt + é dado pela soma, em

todos os nós i no 1)(n + -ésimo nível, da probabilidade descontada de se chegar em

cada nó j)1,(n + , multiplicada pelo payoff da opção de compra naquele nível, ou:

{ }∑=

+++∆

+ ×+=n

1j1jj K,0)-Max(S)p-(1pe)tC(K, 1j1jj

tr-1n λλ 2.34

Quando o strike K é igual a is , a contribuição da transição para o primeiro nó

superior pode ser separada das outras contribuições, a qual, usando a equação (2.26)

pode ser reescrita em termos dos preços Arrow-Debreu, dos preços dos ativos is e dos

contratos a termo itr

i seF ∆= , todos já conhecidos, de modo que se fica com:

∑+=

++∆ +=

n

ji1ij

iji1ii1nitr )s-(F)s-(Sp)t,C(se λλ 2.35

O primeiro termo depende do valor desconhecido de ip e do valor do nó superior

1iS + . O segundo termo é uma soma de quantidades já conhecidas.

Uma vez que se sabe tanto iF quanto )t,C(s 1ni + a partir do smile, podem-se resolver

simultaneamente as equações (2.26) e (2.28) e obter a probabilidade de transição ip em

termos de iS , ficando com:

54

[ ][ ] )S-(F-)t,C(se

)S-(Fs-)t,C(seSS

ii1nitr

iii1nitr

1ii

i

λλ

−∑−∑=

+∆

+∆

+ 2.36

i1i

iii S-S

S-Fp

+

= 2.37

onde ∑ expressa o termo somatório da equação (2.28).

Logo, podem-se usar estas equações para encontrar os valores de iS e

ip ,iterativamente, para os nós acima do centro da árvore, caso se saiba iS em um nó

inicial. Se o número de nós no 1)(n + -ésimo nível (ou seja, n é par), pode-se atribuir a

iS o valor do ativo hoje, de acordo com a condição central. Então, calcula-se o valor do

ativo 1iS + no nó acima pela equação (2.29), e se usa a equação (2.30) para achar ip .

Repete-se este processo, movendo-se do centro para cima, um nó de cada vez, até que se

chegue no nó mais alto de um determinado nível. Assim, infere-se a metade superior da

árvore em cada nível.

Se o número de nós no 1)(n + -ésimo nível for par, ou seja n é ímpar, inicia-se o

processo em primeiro lugar, identificando-se os valores iniciais de iS e 1iS + , para

1)/2(ni += , exatamente o nós logo abaixo e acima, respectivamente, do centro do

nível. Utilizando-se mais uma vez a condição central com 1ii SSS += , onde isS = é

igual ao preço do ativo hoje, e substituindo esta relação na equação (2.29), obtém-se a

fórmula para o nó superior (up) do centro da árvore no nível 1)(n + com n ímpar.

Matematicamente:

55

[ ]∑+∑+=

+∆

+∆

+ )t,C(se-F

-S)t,C(seSS

1nitr

i

1nitr

1ii

i

λλ

2.38

21)(nipara +=

Uma vez que se tem este nó inicial com o preço do ativo, pode-se continuar a calcular

os demais nós superiores de acordo com o procedimento já explicado.

De maneira similar podem-se calcular os nós abaixo do nó central em um

determinado nível, usando, entretanto, valores de puts ao invés de calls. A fórmula

análoga que define um preço de ativo em um nó inferior é a seguinte:

[ ][ ] )S-(F-)t,P(se

)S-(Fs-)t,P(seSS

1ii1nitr

1iii1nitr

i++

∆++

∆

+∑+∑=

i

i

λλ

2.39

onde o termo ∑ denota a soma ∑=

1-i

1jji )F-(sjλ de todos os nós abaixo daquele com preço

is , no qual a put tem seu strike. Sabendo-se o valor do preço do ativo no nó central,

pode-se usar as equações (2.32) e (2.30) para encontrar, nó por nó, os valores dos preços

do ativo e as probabilidades de transição dos nós inferiores.

Repetindo-se este processo em cada nível, pode-se usar o smile para achar as

probabilidades de transição e os valores dos nós de toda a árvore. Se isto for feito com

uma distância bem pequena entre os sucessíveis níveis da árvore e, usando-se valores de

calls e puts interpolados a partir do smile, pode-se obter uma boa aproximação discreta

do processo implícito neutro ao risco de evolução do ativo.

56

Ressalta-se o fato de que a probabilidade de transição ip em cada nó deve ficar entre

um e zero, para que se respeite a condição de não arbitragem. Por esta razão, ao mover-

se pela árvore, nó por nó, deve-se fazer a restrição de que o valor de cada novo preço de

ativo recém calculado fique entre os valores dos contratos a termo dos ativos vizinhos

no nível anterior, ou seja,

1i1ii FSF ++ << 2.40

Se o preço do ativo em um certo nó violar a inequação acima, deve-se substituir este

valor. Neste caso, escolhe-se um valor para o ativo naquele nó que mantenha a distância

logarítmica entre este nó e seu nó adjacente, a mesma que é observada em nós

correspondentes no nível anterior.

A grande vantagem do algoritmo de Derman & Kani é que ele fornece a evolução do

preço do ativo e as probabilidades de transição ao incorporar tanto a estrutura a termo

bem como o smile da volatilidade. Eles ainda mencionam o fato de que este

procedimento permite também a incorporação da estrutura a termo da taxa de juros.

2.5.4 Barle & Cakici (1995)

Por outro lado, Barle & Cakici (1995) percebem que o algoritmo de Derman & Kani é

falho ao tentar reproduzir o smile adequadamente quando a taxa de juros é elevada. A

razão é que, com altas taxas de juros, encontram-se probabilidades de transição

negativas mais freqüentemente, o que implica na substituição destes valores, de modo

que a árvore construída não incorpora de maneira completa a informação contida no

57

smile. Visando corrigir este problema Barle & Cakici (1995) propõem três modificações

principais ao modelo de Derman & Kani.

Em primeiro, eles sugerem que seja usado como strike no cálculo das opções o valor

do contrato a termo iF , em vez de is . Em segundo, em vez de fixar o centro da árvore

ao valor do ativo hoje S , ele sugere que se permita que seja deixado este valor variar de

acordo com a taxa de juros, logo, em um nível n , com um número ímpar de nós, o

centro da árvore seria igual a nrtSe De acordo com esta mudança, a condição central

observada na equação (2.25), para um número de nós impar em um nível, passaria a ser:

2idownup FSS =× 2.41

Em terceiro, quando há a necessidade de se corrigir algum valor de preço de ativo,

por ter violado a condição de não arbitragem, simplesmente substitua-o pela média dos

valores dos contratos a termo dos ativos nos nós vizinhos do nível anterior, ou seja:

2

FFS 1ii

1i+

++= 2.42

Eles sugerem esta modificação após terem experimentado toda uma gama de valores

entre os dois valores no numerador da equação acima e não terem notado grande

melhora do modelo entre qualquer valor adotado. Estas modificações de Barle & Cakici

são equivalentes a se trabalhar com os futuros do que com o preço do ativo hoje.

Um outro ponto que Barle & Cakici (1995) abordam é a questão da interpolação dos

preços das opções. Barle & Cakici sugerem que sejam interpoladas as volatilidades

58

implícitas e que se use a fórmula de Black & Scholes para precificar as opções

européias.

Ainda assim, seu método modificado embora eficaz para altas taxas de juros (eles

usaram um exemplo de 40% a.a.), tende a perder poder de ajustamento quando se

aumenta ainda mais a taxa de juros e quando o smile é muito acentuado.

2.5.5 Chriss (1996)

Dando continuidade ao modelo de Derman & Kani, Chriss (1996) descreve um

método único para a construção de árvores implícitas que seja capaz de lidar com a

entrada de dados (inputs) tanto de opções européias como de opções americanas.

Quando limitado à entrada somente de dados de opções européias, este método dá uma

abordagem ligeiramente diferente, mas essencialmente equivalente, a árvore de

volatilidade implícita de Derman & Kani, que lida com opções européias.

Em geral, o procedimento para a construção de árvores a partir de opções americanas

é muito mais lento que o método correspondente para opções européias. Enquanto

somente uma simples fórmula é necessária para o cálculo dos nós no último caso, no

caso de opções americanas requer-se a utilização de processos iterativos, em que se têm

que calcular o preço de uma opção americana em uma árvore binomial. Chriss (1996)

escolhe, neste sentido, o método iterativo da posição falsa, o qual converge rapidamente

para o valor correto da opção.

De acordo com Chriss (1996) seu método, além de ser uma ferramenta de

precificação de opções, resolve um problema sugerido por Rubinstein (1994).

59

Rubinstein discute vários métodos para se inferir a distribuição de preços neutra a risco

e volatilidades locais de um ativo a partir de preços de opções européias sobre aquele

ativo. Na época em questão, não havia um método que fizesse a mesma coisa para

opções americanas. Assim, o método proposto por Chriss (1996) permite que se infira

facilmente distribuições para o caso de opções americanas.

Os preços Arrow-Debreu de uma árvore de volatilidade implícita em cada passo da

árvore formam uma expressão da SPD implícita do ativo subjacente naquele passo, o

que é gerado por construção. Desta maneira, as árvores construídas por este método,

também levam a distribuições implícitas

2.5.6 Hilliard & Schwartz (1996)

Outro artigo que também apresenta uma abordagem que sirva para a precificação

consistente de opções tanto européias e americanas, via a construção de uma árvore

binomial recombinativa é o divulgado por Hilliard & Schawartz (1996). Contudo, este

método vai um pouco mais além, considerando, ainda, um processo de evolução do

ativo subjacente com volatilidade estocástica, assim como Hull & White (1987). Porém,

neste caso, o preço do ativo e a volatilidade podem ter correlação diferente de zero,

possibilitando o modelo precificar opções de maneira consistente com o sorriso da

volatilidade.

A base de seu algoritmo de precificação é a árvore binomial bivariada, requerendo-se

tanto que a função do payoff não dependa do caminho, de modo que esta metodologia

não serve para opções asiática e lookback, como que o processo estocástico siga certas

formas funcionais. De acordo com simulações feitas pelos autores, eles concluem que,

60

em geral, os resultados obtidos pelo modelo binomial bivariado são completamente

consistentes com o conceito de smile, podendo este modelo também ser usado para

produzir o smile de opções americanas.

2.5.7 Rubinstein (1994)

Rubinstein (1994) constrói uma árvore binomial implícita, usando somente indução

para trás e não indução para frente. Neste sentido sua árvore é uma extensão da árvore

de CRR. O input principal deste algoritmo é a distribuição implícita terminal de

probabilidade neutra ao risco do ativo subjacente. A partir desta distribuição infere-se

um processo estocástico único para o ativo subjacente, com o qual se pode calcular

parâmetros de hedge, por exemplo.

Rubinstein extrai a SPD a partir dos preços de opções européias observadas no

mercado com vencimento em T . Rubinstein propõem três abordagens para o cálculo

desta distribuição. Em primeiro ele sugere uma versão ligeiramente modificada para o

método de Longstaff (1990). Porém, ao testar este método, ele encontra diversos

problemas, caracterizados por probabilidades negativas, levantando um problema crítico

no mercado de opções, no qual somente se observam preços de exercício em intervalos

discretos.

Em segundo, Rubinstein apresenta o método proposto por Shimko (1993), que

fornece uma metodologia para implementar a idéia de Breeden & Litzenberger (1978),

mencionada anteriormente nesta dissertação. Shimko (1993) desenha primeiro o smile e

ajusta uma curva que passe pelo valor de opção com os strikes mais alto e mais baixo.

Isto lhe fornece volatilidades implícitas de Black & Scholes interpoladas. Usando a

61

fórmula de Black & Scholes, ele inverte a volatilidade implícita, resolvendo para o

preço da opção como uma função contínua do preço de exercício. Então, pegando a

segunda derivada desta função, ele determina a SPD implícita entre os strikes mais alto

e mais baixo. Embora Shimko use a fórmula de Black & Scholes, seu método não exige

que ela seja verdadeira. Ele simplesmente a usou como um mecanismo de tradução que

o permite interpolar volatilidades implícitas em vez de interpolar-se os próprios preços

das opções. Este método passou pelo teste que ele aplicou ao método de Longstaff

(1990).

Contudo, Rubinstein propõem um outro método, que vai acabar sendo usado pelo

autor. Em primeiro, estabelece-se uma estimativa a priori da SPD. Ele usa como

estimativa a priori a SPD observada pela construção de uma árvore de CRR com n

passos, tendo como parâmetro de volatilidade a média entre as volatilidades implícita

das duas opções de compra mais perto do dinheiro (“near-the-money”). Denotam-se os

valor do ativo em cada nó ao final da árvore, do mais baixo ao mais alto por jS , para

n0,...,j = . Denotam-se as probabilidades finais neutras ao risco por 'jP , onde

1Pj

'j =∑ . Para um número de passos n suficientemente grande, esta distribuição vai

ser aproximadamente lognormal. As constantes r e δ representam, respectivamente, a

taxa de juros livre de risco e a taxa de retorno em cada passo da árvore. Assume-se,

ainda, bS ( aS ) como os preços correntes de compra (venda) do ativo subjacente e biC

( aiC ) os preços de compra e venda observados simultaneamente sobre as opções de

compra européias m1,...,i = , vencendo no final da árvore. Escolhe-se mn >> .

62

As probabilidades implícitas neutra ao risco posteriores, jP , são obtidas pela solução

da seguinte programação quadrática:

( )∑j

2'jj

PP-PMin

j

, sujeita a : 2.43

∑ =j

j 1P e 0Pj ≥ para n0,...,j =

ab SSS ≤≤ onde n

jjj

n r)SP(S ∑= δ

aii

bi CCC ≤≤ onde [ ] n

jijji rK-S0,MaxPC

= ∑ para m1,...,i =

Tomando-se, então, como exógena a SPD em uma data futura em T, Rubinstein segue

adiante, dando início ao processo de construção da árvore implícita por indução para

trás. Para tanto ele estabelece cinco premissas:

1 - o retorno do ativo subjacente segue um processo binomial;

2 - a árvore binomial é recombinativa;

3 - os valores dos nós ao final da árvore são ordenados do menor para o maior;

4 - o taxa de juros é constante; e

5 - todos os caminhos que levem a um mesmo nó final têm a mesma

probabilidade neutra ao risco.

63

Levando-se em consideração estas premissas, pode-se construir toda a árvore

seguindo quatro passos bem simples:

1 - para cada nó j , calculam-se as probabilidades terminais de caminho

correspondendo ao nível T , a partir das probabilidades terminais;

2 - a partir das probabilidades de caminho no nível T , calculam-se as

probabilidades de caminho no nível 1T − ;

3 - a partir das probabilidades de caminho no nível 1T − , calculam-se as

probabilidades de transição do nível 1T − para o nível T ;

4 - usam-se as probabilidades de transição para calcular os retornos para os j -

ésimos nós no nível 1T − .

A repetição deste procedimento para cada nível da árvore leva a completa construção

da mesma. Então, o valor e parâmetros de hedge de qualquer instrumento derivativo

vencendo junto, ou antes, das opções européias podem ser calculados. Contudo, a árvore

só serve para opções européias com vencimento em T . Isto acontece porque se usa

como input somente opções européias com vencimento em T , de modo que a estrutura

a termo da volatilidade implícita não é capturada, o que pode ser considerada uma

limitação da técnica proposta por Rubinstein (1994).

A árvore binomial implícita se aplica somente a opções européias cujos vencimentos

sejam idênticos ao nível final da árvore. Por outro lado, o modelo de Derman & Kani

incorpora vencimentos intermediários, mas a construção da árvore depende do método

de interpolação e extrapolação escolhido. Além do mais, encontram-se freqüentemente

64

probabilidades de transição negativas, sinalizando que o modelo permite arbitragem.

Mesmo que o modelo seja modificado para excluir probabilidades neutras ao risco

negativas, mínimas perturbações das entradas de dados as reintroduziriam.

2.5.8 Jackwerth (1997)

Como solução para estes problemas, Jackwerth (1997) desenvolve uma árvore

binomial implícita generalizada. Ela é generalizada no sentido de que a simplicidade da

árvore implícita de Rubinstein é preservada, mas relaxa-se a premissa de que todos os

caminhos que levem ao mesmo nó final sejam igualmente prováveis. Isto permite que se

ajuste a árvore a preços de opções européias com vencimentos intermediários, ou seja,

com vencimentos que não coincidam com o final da árvore. Além do mais, as

probabilidades de transição são restringidas por construção a permanecerem no

intervalo entre zero e um, como é o caso das árvores implícitas de Rubinstein.

Sejam n,...,1,0i = os passos da árvore, igualmente distantes no tempo, e i,...,1,0j = ,

os nós em cada passo, começando com menor preço de ativo na base do passo. No

intuito de ajustar a árvore a preços de opções com vencimentos intermediários,

Jackwerth lida com probabilidades do nó (nodal probabilities), ao invés de lidar com

probabilidades de caminho (path probabilities), e ele usa uma função peso j,iw (weight

function), a qual tem uma interpretação particular. j,iw pode ser interpretada como a

parcela da probabilidade do nó no nó superior que vai para o nó que o antecede no passa

anterior. Para uma árvore binomial padrão, tal qual a árvore de CRR, i

jw j,i = , ou seja,

é uma função linear. Em uma árvore binomial implícita generalizada, j,iw é uma função

65

arbitrária. Esta função é determinada de modo que ela permita que a árvore se adeqüe à

opções com vencimentos intermediários. Jackwerth reporta que funções peso côncavas

explicam os preços de opções européias sobre o índice S&P500 melhor que, tanto

funções peso linear, quanto convexa. Uma função peso côncava indica que um caminho,

que primeiro desce e depois sobe, é mais provável de ser percorrido do que um caminho

que primeiro suba e depois desça.

Dadas as probabilidades dos nós e os preços dos ativos no tempo i , podem-se

encontrar, usando-se estes dois conjunto de dados, as probabilidades dos nós e os preços

do ativo no passo anterior seguindo-se três passos:

1 - ( ) nodal1j,i1j,i

nodalj,ij,i

nodalj,1i PwPw-1P ++− += 2.44

2 - nodal

j,1i

nodal1j,i

1j,ij,1i P

PwPp

−

++− == 2.45

3 - ( )[ ]

δr

SPSP1S 1j,ij,1ij,ij,1i

j,1i+−−

−

+−= 2.46

onde r e δ são, respectivamente, a taxa de juros e a taxa de dividendo por passo, e p é

a probabilidade de transição. Note-se, que desde que os pesos estejam entre 0 e 1, as

probabilidades de transição também permanecerão neste intervalo, evitando a

possibilidade de arbitragem.

A técnica de Jackwerth reconhece que a evolução das probabilidades de nó ao longo

de qualquer árvore é governada por um peso de probabilidade de transição. Mudando-se

a forma da função de peso, mudam-se as probabilidades de nó, isto é, mudam-se as

66

probabilidades de transição e as volatilidades locais. Ajustando-se a forma desta função

peso de acordo com opções européias, podem-se mudar as probabilidades de nó, de

modo que a precificação de opções com vencimento mais curto na árvore ficam

consistentes com os preços de opções com vencimento tanto longo quanto curto.

2.5.9 Derman, Kani & Chriss (1996)

Como solução para o problema de probabilidades de transição não aceitáveis, que

ocorrem no modelo de Derman & Kani (1994), Derman, Kani & Chriss (1996) propõem

a utilização de árvores trinomiais implícitas. Além disso, árvores trinomiais fornecem

uma aproximação bem melhor para o processo contínuo no tempo do que a árvore

binomial, para o mesmo número de passos. Isso é verdade pois há três possibilidades de

movimentos futuros de um passo para outro, em vez de somente dois8.

Um outro aspecto importante nas árvores trinomiais é que elas têm mais parâmetros

que as binomiais, de modo que estes parâmetros adicionais podem ser usados para se

escolher convenientemente o estado inicial (state space) de todos os preços dos nós na

árvore trinomial, deixando-se somente que as probabilidades de transição sejam

definidas pelos preços de opções observados no mercado. A “liberdade” que se tem em

fixar o state space permite que se obtenham probabilidades de transição aceitáveis. Por

outro lado, deve-se escolher cuidadosamente o state space de modo que a árvore seja

consistente com o smile.

8 Holland (2001) e Rubinstein (2000) discutem a questão da construção de árvores muitinomiais e trinomiais, respectivamente.

67

Derman, Kani & Chriss debatem a questão da determinação do state space em um

cenário onde a volatilidade varia significativamente com o vencimento e o strike,

gerando uma assimetria. Neste caso, a distância entre os nós tem que mudar de maneira

significativa com o tempo e o strike. O método que eles propõem para a determinação

do state space consiste de dois passos:

1 - assuma que a taxa de juros e a taxa de dividendos seja igual a zero, e

construa o state space que corresponda a uma árvore trinomial com

volatilidade constante (isto também é sugerido por Dupire (1994), quando

ele esquematiza a construção de uma árvore trinomial). Então, modifique o

intervalo de tempo entre os passos e, subseqüentemente, o espaçamento entre

os nós, de modo que se capture tanto a estrutura a termo da volatilidade

implícita como sua variação com o strike, ambos observados no mercado.

2 - então, se houver qualquer violação da condição de não arbitragem em

qualquer um dos nós, multiplicam-se todos os nós pelo fator de crescimento

it)r(e δ− . Isto é equivalente a trabalhar com preços futuros, ao invés de preços

a vista, como proposto por Barle & Cakici (1995), e irá, de fato, remover

todas as violações de probabilidades de transição.

Tendo-se, de antemão, o state space, o problema de construção da árvore implícita

fica reduzido ao cálculo de probabilidades de transição consistentes com o smile. Dupire

(1993,1994) esboça uma maneira para calculá-las. Sua técnica pode ser resumida da

seguinte maneira. Os preços Arrow-Debreu são implícitos pelos preços de mercado de

calls e puts européias. Então, as probabilidades de transição implícitas são calculadas,

ajustando as ao smile através de indução para frente e para trás simultaneamente.

68

Visando deixar a descrição de Dupire mais concreta, Skiadopoulos (2001) explica o

modelo de uma maneira mais simples. Assuma que é possível observar o preço de

opções de compra e venda européias para qualquer vencimento e strike. Então, o valor

teórico de uma opção de compra européia com preço de exercício K e vencimento na

data tn∆ , em um mercado completo, é dado por:

∑−=

−=n

njj,nj,n )0,KS(MaxQ)K,tn(C ∆ 2.47

Considerando )K,tn(C ∆ como observado no mercado, deve-se inverter, de alguma

maneira, a equação (2.47), para obter-se j,nQ (implied state prices). Assumindo que se

deseja computar a SPD implícita no passo n , começando-se no nó mais alto no passo

n , o preço de uma opção de compra européia com strike 1n,nS − e vencimento em tn∆ é

dado por:

)SS(Q)S,tn(C 1n,nn,nn,n1n,n −− −=∆ 2.48

Fórmula esta que pode ser rearrumada para dar n,nQ no nó )n,n( . Podem-se calcular

estes preços para os nós abaixo do centro da árvore de uma maneira similar, isto é, para

o nó )k,n( calcula-se k,nQ , escolhendo-se 1k,nSK −= .

Então, calculam-se os Qs para a metade inferior da árvore, começando do nó mais

abaixo da árvore e usando opções de venda. Este processo é repetido em cada passo da

árvore, completando o cômputo de j,nQ para todo )j,n( . Note que para a valorização

de opções européias, de maneira consistente com o smile, não se necessita das

69

probabilidades de transição neutras ao risco, mas somente os implied state prices.

Contudo, as probabilidades de transição tornam-se necessárias para a valorização de

opções mais complexas.

Assim, uma vez que já se possuem todos os Qs , pode-se calcular as probabilidades

de transição. Considere-se no nó )j,n( e já com as probabilidades de transição e os Qs

de todos os nós acima calculados. Deseja-se calcular as probabilidades de transição

j,npu , j,npm , j,npd do nó )j,n( para o nó superior, médio e inferior, respectivamente,

no próximo passo 1n + . Têm-se três variáveis desconhecidas, de modo que se tornam

necessárias três equações para resolver este problema. As três equações são dadas por:

(a) a indução para frente dos Qs :

j,nj,n1j,n1j,n2j,n2j,ntr

1j,1n QpuQpmQpd(eQ ++= ++++−

++∆ 2.49

(b) a indução para trás do preço do ativo:

1j,1nj,nj,1nj,n1j,1nj,ntr

j,n SpuSpmSpd(eS +++−+− ++= ∆ 2.50

(c) o preço a termo de um período:

)pupmpd(1 j,nj,nj,n ++= 2.51

A primeira equação pode ser rearrumada para dar j,npu diretamente. Resolve-se,

então, a segunda e terceira equações para j,npm e j,npd . Este procedimento é repetido

em cada passo da árvore até que todas a probabilidades de transição tenham sido

70

calculadas, as quais são obtidas por meio de indução para frente e para trás, o que

permite que a árvore trinomial construída se ajuste ao smile observado.

Este procedimento, apresentado de acordo com Skiadopoulos (2001), é, em essência,

o mesmo que o Derman, Kani & Chriss (1996) apresentaram. Estes últimos usaram

equações que eram muito similares àquelas que Derman & Kani (1994) usaram para a

construção de sua árvore binomial implícita.

2.5.10 Rubinstein (1998)

Rubinstein (1998) apresenta uma nova abordagem para a construção de árvores de

volatilidade implícita. Ele usa uma expansão de Edgeworth para transformar uma

densidade binomial padrão em uma densidade discreta padronizada unimodal, com

distância entre os pontos iguais. Essa distribuição tem a capacidade de se ajustar

aproximadamente tanto a curtose quanto a assimetria, previamente especificadas. Esta

densidade é ajustada para ter uma média igual a taxa livre de risco (corrigida para o caso

de pagamento de dividendo, se houver) e uma volatilidade previamente especificada.

Para sua construção começa-se, em primeiro, ajustando-se uma distribuição binomial

padronizada )x(b . Esta pode ser interpretada como uma forma discreta de uma função

de densidade contínua, na qual seus pontos são igualmente distantes um dos outros. Se

1n + é o número de pontos, então em cada passo n,...,0j = a variável aleatória x é

igual a [ ]n

n)j2( − com probabilidade )x(b associada igual a ( )2

21

)!jn(!j!n

−

Por exemplo, se 1n = , então, x é igual a 1− ou1 com probabilidades iguais a 21 Se

71

4n = , então x é igual a 1,0,1,2 −− ou 2 com probabilidades )x(b de 161 , 4

1 ,

83 , 4

1 e 161 . Note que esta distribuição tem média zero e variância de um.

Dada uma assimetria ξ e curtose κ , previamente especificadas, pode-se transformar

a densidade binomial padronizada )x(b em )x(f , uma densidade padronizada

aproximada com assimetria e curtose aproximadamente equivalentes às desejadas. Esta

transformação ocorre ao efetuar-se o seguinte cálculo:

)x(b

)15x45x15x(72

1

)3x6x)(3(24

1

)x3x(6

1

1

)x(f

2462

24

3

×

−+−+

+−−+

−+=

ξ

κ

ξ 2.52

Note que se a assimetria 0=ξ e a curtose 3=κ , então o fator de multiplicação é

igual a 1 , de modo que )x(b)x(f = .

Infelizmente, essa expansão é somente uma aproximação. Geralmente, ∑ ≠j

j 1)x(f

e os momentos são ligeiramente errados. Para corrigir isso, após a expansão, procede-se

uma mudança de escala nas probabilidades de modo a somarem um, substituindo

)x(f j por ∑j

j

j

)x(f)x(f

. Então, usando-se esta densidade re-escalada, calculam-se

sua média ∑≡j

jj x)x(fM e sua variância ao redor daquela média

∑ −≡j

2jj

2 )Mx)(x(fV . Finalmente, substituem-se os jx pela variável padronizada

72

de média zero e variância um V)Mx( j −

. Note que isto mantém que as variáveis jx

sejam igualmente distantes, já que 1jjj1j xxxx −+ −=− para 1n,...,1j −= .

Enquanto que esta modificação faz com que as probabilidades somem um, levando a

uma distribuição com média zero e variância um, a assimetria e curtoses resultantes

serão somente aproximadamente iguais às desejadas ),( κξ . Felizmente, na prática,

estes erros são bem pequenos e a aproximação tende a ser melhorada na medida em que

se escolhe um n bem grande, de modo que )x(b fique mais parecida com uma

distribuição normal.

Assim, Rubinstein (1998) mostra que a partir de uma distribuição de probabilidade

final do tipo previamente mostrado, pode-se aplicar a metodologia de Rubinstein (1994)

para construção de árvores binomiais implícitas, de modo a se obter o processo de

evolução do ativo, servido para a precificação de opções européias com datas de

vencimento mais próximas, bem como opções americanas e exóticas.

2.5.11 Brown & Toft (1999)

Brown & Toft (1999) apresentam um modelo de construção de árvores binomiais

implícitas a partir de múltiplas distribuições de probabilidade implícitas. Dupire

(1993,1994), Derman & Kani (1994), Derman, Kani & Chriss (1996) derivam processos

de preços de ativos que sejam consistentes com todos os preços de opções observados

no mercado. Seus métodos se baseiam, entretanto, no conhecimento de todos os valores

de opções para todos os possíveis vencimentos de preços de exercício. Já que tanto o

número de datas de vencimento como de strikes é limitado, esses autores assumem que

73

todos os outros valores de opções podem ser obtidos através de interpolação e

extrapolação dos preços de opções observados.

Neste sentido, Browm & Toft (1999) propõem um método alternativo que identifica

um processo binomial a partir dos preços de opções com datas de vencimento

disponíveis. Diferentemente de Dupire (1993,1994) e Derman & Kani (1994) eles não

assumem a existência de uma função do tipo )T,K(C , que incorpore todos os

vencimentos e preços de exercício. Eles somente consideram que esta função é válida

para datas de vencimento discretas, n21 T,...,T,T . O restante da estrutura é imposta ao se

fazer restrições econômicas, de natureza similar àquelas feitas por Rubinstein (1994).

Este método consiste de três etapas. Em primeiro lugar, determinam-se as SPDs para

todos os vencimentos disponíveis, podendo-se usar os mais diversos métodos existentes,

como o desenvolvido por Shimko (1993), Rubinstein (1994), Buchen & Kelly(1996), ou

Corrado & Su (1997). Ainda se usa o procedimento desenvolvido por Rubinstein (1994)

para determinar uma árvore binomial implícita entre a data atual e a primeira data de

vencimento disponível, 1T .

A principal contribuição da pesquisa de Brown & Toft reside no seu segundo passo

de seu procedimento. Neste ponto, determinam-se um conjunto de distribuições

condicionais (condicionais ao preço do ativo subjacente na data 1T ) que sejam

consistentes com os preços das opções vencendo tanto em 1T como em 2T , onde 2T é a

data de vencimento do segundo grupo de opções.

74

As distribuições de probabilidade condicionais devem satisfazer várias restrições

estatísticas e econômicas. Em primeiro, as probabilidades condicionais devem ser

positivas e somar um. Em segundo, elas devem ser neutras ao risco. Em terceiro, as

probabilidades de transição condicionais devem ser consistentes com a distribuição

incondicional dos retornos nas datas 1T e 2T . E, em quarto, restringem-se certas

distribuições condicionais a serem idênticas.

Na maioria dos casos, estas quatro restrições não levam a um único conjunto de

distribuições de probabilidade condicional. Por isso, escolhe-se uma distribuição

condicional que minimize a soma ponderada do quadrado dos desvios de um conjunto

de distribuições condicionais definidas anteriormente.

A terceira etapa do procedimento usa as distribuições condicionais entre 1T e 2T para

construir uma árvore “semi-recombinativa”. Brown & Toft (1999) usam o método de

Rubinstein (1994) para determinar uma árvore binomial única entre as duas datas de

vencimento para cada uma das distribuições condicionais. Eles combinam estas árvores

implícitas (uma para cada nó em 1T ) de modo que se obtém um processo binomial

implícito pelas distribuições condicionais. O processo binomial é semi-recombinativo

porque, embora as árvores implícitas compartilhem dos nós em 1T e 2T , elas não se

sobreporão geralmente entre as datas de vencimento.

Repetem-se as etapas dois e três até que todas as datas de vencimento tenham sido

incorporadas. O produto final deste procedimento é um processo binomial, obtido a

partir de opções com um número limitado de datas de vencimento, que pode ser usado

para precificar e hedgiar outros tipos de opções.

75

Brown & Toft (1999) usaram seu modelo para construir árvores implícitas usando os

índices de opções sobre o marco alemão e S&P500. De acordo com sua análise eles

mostram que estruturas de volatilidade implícita similares às observadas por Ait-Sahalia

& Lo (1998) e Jackwerth & Rubinstein (1996), para opções sobre o índice S&P500, e

Taylor & e Xu (1993), para opções sobre futuro de câmbio, eram consistentes com uma

forma interessante e intuitiva de dependência de caminho (path-dependency).

Em ambos os mercados, seu modelo prevê que um mercado flat seguido por uma

queda resulta em uma volatilidade local implícita maior que a observada quando há uma

queda seguida por um mercado flat. De maneira similar, o modelo prevê que uma queda

no mercado seguida por uma recuperação resulta em mais altas volatilidades locais

implícitas do que quando o mercado não se mexe. Para o índice S&P500, o modelo

ainda prevê que duas quedas consecutivas no índice levam a uma maior volatilidade

local implícita do que uma queda seguida por uma recuperação de mercado, ou seja, a

volatilidade local implícita responde assimetricamente aos retornos realizados.

Interessantemente, a dependência de caminho inerente ao modelo é consistente com a

evidência observada na literatura de GARCH assimétrico. Este modelo é o primeiro

modelo de árvore implícita que permite este tipo de dependência de caminho. Outros

tipos de modelos de construção de árvores que precificam as opções corretamente

aceitam somente que a volatilidade local dependa exclusivamente do preço do ativo e

do tempo, ignorando, assim, a evidência de importantes séries de tempo.

Este modelo engloba outros modelos existentes como casos especiais. Em primeiro,

se todas as opções em uma única data de vencimento são precificadas de acordo com a

árvore binomial de Cox, Ross & Rubinstein (1979), então este modelo assume a forma

76

da árvore padrão de CRR. Em segundo, se houver preços mais genéricos, mas ainda

livres de arbitragem, para uma única data de vencimento, então o procedimento de

Browm & Toft (1999) se reduzem aos de Rubinstein (1994). Finalmente, eles obtêm o

modelo trinomial de Dupire (1994) e Derman, Kani & Chriss (1996), caso eles juntem

dois passos binomiais em um único passo trinomial e assumam a existência de

distribuições implícitas em cada passo trinomial.

2.5.12 Nagot & Trommsdorff (1999)

Nagot & Trommsdorff (1999) propõem mais um modelo de construção de árvore

implícita. Seu modelo pertence a classe dos modelos de construção de árvores que

partem de uma SPD, estipulada a priori, tal qual os modelos de Rubinstein (1994) e

Jackwerth (1997). Eles alegam que estes modelos requerem grande quantidade de

informação. Em contraste a estes modelos, eles buscam por um modelo que seja de fácil

controle e manuseio, e que necessite de poucos parâmetros.

Uma vez que eles não pretendem assumir qualquer processo particular para a

evolução do preço do ativo, eles optam por aproximar numericamente o processo

implícito neutro ao risco por um processo trinomial flexível com quatro parâmetros

livres, o que é suficiente para abranger os quatro momentos centrais do processo

desconhecido.

Eles calibram sua árvore de acordo com os preços observados no mercado, de modo

que os quatro parâmetros livres )d,u,p,p( 21 são obtidos pela minimização da soma

dos desvios ao quadrado entre os valores observados e calculados, ou seja:

77

−+−∑ ∑

= =

j

1i

2l

1k

kITT

kmarket

2iITT

imarket

d,u,p,p)PutPut()CallCall(Min

mu

2.53

Ressalta-se, ainda, o fato de que a construção de sua árvore também é válida para o

caso de opções americanas, com vencimento antecipado. Isto pode ser obtido,

construindo-se a árvore de trás para frente.

2.5.13 Muzzioli & Torricelli (2001)

Mais recentemente, Muzzioli & Torricelli (2001) sugerem uma nova abordagem para

o modelo de Derman & Kani (1994) em mercados com problemas de liquidez. Um dos

pontos levantados pelos autores é o fato de ser considerada a paridade entre opções de

compra e venda (put and call parity – PCP) como verdadeira. O modelo de Derman &

Kani (1994) constrói uma árvore binomial implícita usando preços de opções de compra

para a parte superior da árvore e preços de opções de venda para a parte inferior,

assumindo, implicitamente, que a PCP é verdadeira. Contudo, em mercados ilíquidos,

nos quais a PCP não é necessariamente verdadeira, as árvores implícitas baseadas em

preços de opções de compra são diferente daquelas baseadas em preços de opções de

venda.

O efeito de precificar calls e puts com a mesma estimativa de volatilidade leva

geralmente a um fenômeno de má precificação. Isso nos leva a conclusão de que em

mercados ilíquidos, preços de calls e puts, focando em diferentes aspectos do processo

do ativo subjacente, carregam informações diferenciadas sobre a volatilidade do último.

Levando-se em consideração somente o preço de um tipo de opção e admitindo-se a

78

vigência da PCP, resulta em uma perda de informação sobre o processo de ativo

subjacente.

Assim, no seu artigo, Muzzioli e Torricelli (2001) estendem o modelo de Derman &

Kani (1994) para levar em consideração o risco de liquidez, permitindo, assim,

violações da PCP. Eles desenvolvem uma árvore que incorpora e reflete o risco de

liquidez, o efeito sorriso e a estrutura a termo da volatilidade. Para este fim, Construiu-

se uma árvore implícita, usando como parâmetros em cada nó valores do ativo e

probabilidades implícitas artificiais, adquiridas tanto de preços de opções de compra

como de venda.

Paralelamente ao desenvolvimento de modelos paramétricos de precificação de

opções, as árvores implícitas foram estendidas para múltiplos fatores, de modo a levar

em consideração tanto a volatilidade estocástica, como as estrutura a termo da

volatilidade implícita e o efeito sorriso.

2.5.14 Derman & Kani (1998)

Derman & Kani (1998) começaram ajustando uma árvore trinomial aos preços de

opções observados no mercado. As probabilidades de transição são corrigidas nesta

etapa. Visando incorporar volatilidade estocástica, eles permitem que as probabilidades

de transição variem de acordo com um processo estocástico, o qual deve ser

especificado exogeneamente. Conceitualmente, sua nova árvore está relacionada ao

modelo de taxa de juros de Heath, Jarrow & Morton (1992), e sofre de seus mesmos

problemas. O processo resultante é geralmente não markoviano já que a evolução da

79

superfície de volatilidade depende do caminho. Assim, os preços das opções devem ser

calculados através de uma exaustiva simulação de Monte Carlo.

2.5.15 Ledoit & Santa-Clara (1998)

Similar na essência, mas computacionalmente bem mais simples é a abordagem de

Ledoit & Santa-Clara (1998), que modelam volatilidades implícitas estocásticas como

opostas às volatilidades locais estocásticas de Derman & Kani (1998). Eles conseguem,

assim, obter as condições sobre as quais o processo conjunto do preço e da superfície de

volatilidade não permite arbitragem. Este processo conjunto pode ser calibrado aos

preços de opções observados no mercado. Opções exóticas ou ilíquidas podem ser

calculadas por meio de simulação de Monte Carlo.

2.5.16 Britten-Jones & Neuberger (1999)

Em um outro artigo, Britten-Jones & Neuberger (1999) são capazes de descrever um

conjunto de processos estocásticos que é compatível com os preços de opções

observadas no mercado. Em particular, esses processos compartilham as mesmas

previsões de volatilidade. Similar a Derman & Kani (1998), eles também fazem o uso

de árvores trinomiais implícitas, mas eles restringem o componente estocástico da

volatilidade a ser uma seqüência de Markov ao tornar a volatilidade discreta. As

probabilidades de transição são determinadas ao mover-se de um estado de volatilidade

para o próximo. Finalmente, eles ajustam as probabilidades de transição, de modo que

ao ajustar a árvore aos preços observados no mercado. Embora seja perdida um pouco

da generalidade de Derman & Kani (1998), esta árvore é mais rápida de ser processada,

e não precisa de simulações para precificar opções.

80

2.5.17 Esquema Resumido dos Modelos Supracitados

Com o objetivo de tentar agrupar os diversos modelos citados nesta parte do

referencial teórico foi feito um esquema, como pode ser observado na figura a seguir.

Este esquema tenta, de uma maneira aproximada, indicar a seqüência da evolução destes

modelos no tempo, bem como diferenciá-los de acordo com a abordagem adotada.

De uma maneira mais genérica, podemos observar três grandes grupos. Aquele que

está mais a direita tem por característica principal partir de uma SPD definida a partir de

alguma metodologia, para, então, proceder a construção da árvore. O grupo central

iniciado por Derman & Kani (1994), tem uma evolução bastante particular, lidando com

árvores binomiais com estrutura de volatilidade implícita adquirida de maneira exógena.

Note que o modelo de Brown & Toft (1999) foi considerado um misto entre estes dois

grandes grupos já mencionados. O terceiro grupo lida com os modelos que lidam com

árvores trinomiais e buscam, ainda, levar em consideração um componente de

volatilidade estocástica. A abordagem de Hilliard & Schwartz (1996) foi considerada

como estando entre o terceiro e o segundo grupo.

81

Figura 1. Esquema ilustrativo da evolução dos modelos de construção de árvore de volatilidade implícita citados nesta dissertação.

CRRBreeden &

Litzenbeerger

Dupire

Derman, Kani & Chriss

Derman & Kani

Barle & Cakici

Chriss

Muzzioli & Torricelli

Rubinstein

Jackwerth

Rubinstein

Nagot & Tromsdorf

Derman

& Kani

Ledoit &

Santa Clara

Britten Jones & Neuberger

Brown

& Toft

1978

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2001

Hilliard & Schwartz

CRRBreeden &

Litzenbeerger

Dupire


Derman & Kani

Barle & Cakici

Chriss


Rubinstein

Jackwerth

Rubinstein

Nagot & Tromsdorf

Derman

& Kani

Ledoit &

Santa Clara


Brown

& Toft

1978

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2001

Hilliard & Schwartz

CRRBreeden &

Litzenbeerger

Dupire


Derman & Kani

Barle & Cakici

Chriss


Rubinstein

Jackwerth

Rubinstein

Nagot & Tromsdorf

Derman

& Kani

Ledoit &

Santa Clara


Brown

& Toft

1978

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2001

Hilliard & Schwartz

2.5.18 Alguns Outros Modelos Que Tentam Incorporara O Smile

Carr, Tari & Zariphopoulou (1999) desenvolvem uma forma de precificar opções

através de fórmula fechada. O objetivo de seu trabalho é caracterizar toda a classe de

funções de volatilidade que permita que o preço do ativo seja transformado em um

movimento browniano padrão por, exclusivamente, mudança de escala. Uma vez que se

conhecem muitos resultados para o movimento browniano padrão, esses resultados

podem ser utilizados para se obter soluções de fórmula fechada para o preço de opções

com smile. Eles mostram que a classe de funções de volatilidade que permite esse tipo

de transformação é caracterizada por equação diferencial parcial totalmente linear.

Como resultado, eles obtêm muitas novas funções de volatilidade que levam a soluções

82

fechadas para o preço de opções, as quais envolvem somente distribuições ou funções

de densidade normais.

Sua abordagem envolve a especificação de uma função de payoff, a qual tem a

propriedade chave de que a função de precificação do ativo pode ser explicitamente

calculada e invertida. Eles ilustram seus resultados com três exemplos. Todos os três

exemplos podem ser generalizados.

Dempster & Richards (2000), após pesquisarem sobre a abordagem de programação

linear para a valorização de opções, aplicam um algoritmo de programação linear

acurado e, sobretudo, rápido para a precificação de opções americanas exóticas e

normais, ajustando seus preços ao smile observado no mercado dado os preços de

opções de compra européias comuns. Eles demonstram, primeiro, que o método básico

de diferença finita de Crank-Nocolson apresenta pouco erro e que as opções européias

observadas no mercado são precificadas com bastante acurácia, ajustando-se ao smile

observado. Em seqüência, eles constatam que, em função dos efeitos de volatilidade

local na fronteira ótima de exercício, os preços das opções americanas ajustados ao

smile diferem significativamente daqueles com volatilidade constante. Além disso, eles

também observaram efeitos similares para opções americanas exóticas, representadas

por opções asiáticas com preços de exercício fixos e discretos.

Mirfendereski & Rebonato (2001) apresentam uma abordagem paramétrica para a

modelagem de preços de opções na presença do efeito sorriso. Eles ajustam uma

distribuição beta generalizada de segunda ordem (GB2) ao minimizar as discrepâncias

ao quadrado entre os preços do modelo e os observados no mercado. Logo, ao expressar

83

a função de densidade em termos de m parâmetros, eles lidam com o problema em

termos de uma otimização m-dimensional, buscando minimizar 2χ , definido como:

[ ] [ ]{∑=

−+−

=n

1ii

fiti

marketPj

2

ifit

imarket

Cj

2

)|T,K(P)T,K(Pw)|T,K(C)T,K(Cw ΘΘ

χ

2.54

onde os pesos Cjw e Pjw devem ser escolhidos de modo a contemplar a liquidez ou

qualquer outro critério qualitativo, )T,K(C imarket e )T,K(P i

market são os preços de

opções de compra e venda, respectivamente, observados no mercado para um dado

vencimento T , )|T,K(C ifit Θ e )|T,K(P i

fit Θ são dados por:

∫∞

+−=0

fitTii

fit dx)|x()Kx()|T,K(C ΘϕΘ 2.55

∫∞

+−=0

fitTii

fit dx)|x()xK()|T,K(P ΘϕΘ 2.56

e )|x(fitT Θϕ é a função de densidade neutra ao risco ajustada. Note que Θ representa

uma dependência dos parâmetros da função de distribuição Θ .

Assim, os autores escolheram como função de densidade uma distribuição de

probabilidade da família de funções com quatro parâmetros, a GB2. Esta escolha é

motivada pelas seguintes razões:

84

(i) a densidade GB2, além de ser flexível, pode acomodar facilmente caldas

largas, (o que resulta no típico formato de volatilidades implícitas observadas

no mercado);

(ii) ela se degenera em uma distribuição lognormal quando são usadas certas

combinações dos quatro parâmetros, permitindo, assim, uma transição

conveniente, consistente, e suave para modelos de volatilidade constante; e

(iii) ela permite soluções analíticas que fazem com que a abordagem seja

tanto prática como eficiente.

A função GB2 é definida da seguinte maneira:

[ ] 0x,)bx(1)q,p(Bb

x|a|)x(

qpaap

1ap

≥+

= +

−

ϕ 2.57

onde p,b,a e q são os quatro parâmetros livres, e ),(B •• é a função beta, definida em

termos de função gama, como:

)qp(

)q()p()q,p(B

+=

ΓΓΓ

2.58

Eles, então, derivam fórmulas analíticas para o preço de opções de compra e venda,

as quais podem ser expressas de tal maneira que lembrem a aparência da fórmula de

Black & Scholes (1973). Eles ainda mostram que as estatísticas delta e gama podem ser

expressas em termos de expressões simples de fórmula fechada, o que também faz parte

do ambiente de Black & Scholes. A PCP é preservada, assim como a identidade do

gama de uma call e uma put.

85

Andersen & Andreasen (1999a, b) criticam a utilização de funções de volatilidade

determinísticas, dada a dinâmica da volatilidade ao longo do tempo. Em Andersen &

Andreasen (1999a, b) os autores apresentam uma estrutura para adicionar saltos de

Poisson aos modelos de difusão para o preço do ativo com funções de volatilidade

determinísticas. Eles desenvolvem uma equação integral diferencial parcial (“Partial

Integro-Differential Equation” – PIDE) para a evolução de preços de opções de compra

em função do strike e vencimento, e mostram como esta equação pode ser usada para

calibrar eficientemente os preços de opções observados no mercado. Para poder usar seu

modelo para precificar várias opções exóticas, os autores desenvolvem uma eficiente

técnica de diferença finita com estabilidade e propriedades de convergência atrativas.

Ao aplicar-se o algoritmo de calibragem ao índice S&P500 observam uma difusão

com volatilidade constante sobreposta a um significativo componente de saltos. Para

este índice eles encontram volatilidades entre 15 e 20% e uma chance de 9% (ao ano) de

que o índice caia aproximadamente 50%. Os autores alegam que embora seja possível

que o mercado realmente perceba tamanha possibilidade de crise, é mais provável que a

natureza extrema do parâmetro de salto seja reflexo da impossibilidade de se hedgiar

saltos e, como tal, incluí-los como um prêmio de risco em relação aos parâmetros

históricos. Numericamente, ajustar um modelo de difusão de saltos ao índice S&P500

parece ser mais robusto e mais fácil do que ajustar um modelo de função de volatilidade

determinística.

Eles ainda mostram que a evolução do sorriso da volatilidade em um modelo de

função de volatilidade deteminística ajustado ao dados observados do S&P500 é

86

altamente não estacionário e freqüentemente contra-intuitivo. O modelo de difusão de

saltos, por outro lado, produz quase que perfeita assimetria da volatilidade.

Em um outro trabalho os mesmos autores, Andersen & Andreasen (1998) discutem a

aplicação de funções de volatilidade não lineares ao mercado de Libor. Diferentemente

dos modelos lognormais, a abordagem proposta pelos autores é capaz de produzir

efeitos sorriso e assimetria consistentes com aqueles observados em muitos mercados de

caps e swaptions.

87

33 MMEETTOODDOOLLOOGGIIAA

3.1 TIPO DE PESQUISA

Quanto aos fins, a pesquisa será metodológica e aplicada.

É metodológica em virtude de buscar instrumentos de manipulação da realidade

(modelos de avaliação) que objetivem capturar as oscilações dos preços das opções em

função do comportamento da volatilidade ao longo do tempo.

É aplicada por ter como objetivo testar a eficiência de um modelo relativamente novo

ainda pouco usado no mercado financeiro, mas muito promissor (Modelo de Árvores de

Volatilidade Implícita) em relação ao modelo de avaliação utilizado como padrão, mas

com uma série de limitações importantes para sua validade (Modelo de Black &

Scholes, 1973).

Quanto aos meios de investigação a pesquisa será bibliográfica e experimental.

É bibliográfica por se basear em instrumental analítico desenvolvido em material

publicado em livros, revistas e na World Wide Web. Tais fontes estão descritas nas

Referências Bibliográficas.

É experimental por se tratar de uma investigação empírica na qual se busca

contemplar as influências das variações de volatilidade de acordo com o vencimento e

com o preço de exercício existentes no mercado, quando se for avaliar uma opção, bem

como extrair seus parâmetros de hedge.

88

Esta parte da dissertação está dividida em sete enfoques. Em primeiro, serão descritos

dados da amostra utilizados na pesquisa, suas fontes e alguns tratamentos que tiverem

que ser realizados. Em segundo, será explicado o modelo de construção de árvore de

volatilidade implícita utilizado, e as correções que lhe foram implantadas, assim como

apresentado o modelo benchmark de Black & Scholes. Em terceiro será explicado o

procedimento para o cálculo da volatilidade implícita, com enfoque especial a ATM.

Em quarto, serão descritas algumas funções de volatilidade implícita que serão

utilizadas, no intuito de se descobrir qual gera melhores resultados. Em quinto, será

apresentada a estratégia de seguro dinâmico para a análise dinâmica do modelo. Em

sexto, serão apresentados os indicadores de aderência e eficiência dos modelos em

relação aos dados observados no mercado e os gerados pelos modelos. E, finalmente,

serão citadas algumas limitações decorrentes da metodologia usada.

3.2 UNIVERSO E AMOSTRA

A pesquisa desta dissertação será aplicada sobre as opções de compra de Telebrás PN

no período que vai de 15/08/1994 a 17/04/2000.

As opções da Telebrás PN foram escolhidas em função de sua elevada liquidez na

Bovespa, tendo, assim, o perfil mais próximo possível do descrito por Black & Scholes

em seu artigo original. O período escolhido incorpora uma conjuntura econômica

interessante, existente a partir da criação do Plano Real, o que deu maior estabilidade e

eficiência ao mercado de capitais no Brasil. Incorpora, ainda, situações de choque

econômico, tal como as crises do México (1995), Sudeste Asiático, Rússia (1998) e

Brasil (1999), com a desvalorização do Real.

89

Vale ressaltar que foram eliminadas em cada dia as opções cujo número de negócio

fosse inferior a 10. Caso isso não fosse feito haveria um número substancialmente maior

de observações, porém a qualidade dos dados seria muito inferior. Ao proceder esse

tratamento, procura-se minimizar o problema da falta de simultaneidade entre as

cotações de fechamento do ativo subjacente e das séries de opções. Além deste corte foi

feito um segundo corte, que usou a volatilidade implícita como parâmetro. Para as

opções que sobraram, eliminaram-se aquelas cujas volatilidades implícitas deveriam ser

negativas, ou seja, mesmo com volatilidade praticamente igual a zero seu valor ficou

superior ao que deveria ser. Isto só pode ter ocorrido em função de assincronismo dos

inputs para o cálculo da opção. Logo, estes pontos também foram eliminados. Por fim,

optou-se, em cada dia, em utilizar a série de opções com o vencimento mais próximo.

Isso se deu pelo fato de que em apenas muito poucos dias, em aproximadamente 10%,

observou-se opções para o segundo vencimento, totalizando 252 observações, o que

contribuiria muito pouco.

A amostra final utilizada nos testes é formada por 7.618 observações de preços de

fechamento de opções de compra de Telebrás PN negociadas na Bovespa entre os dias

15/08/1994 e 17/04/2000, totalizando 1400 dias. Os preços de exercício da amostra têm

valores mínimo e máximo de R$18,00 e R$330,00. Na Tabela 1 podem ser encontradas

algumas informações sobre a amostra das opções.

Uma questão que não pode passar despercebida é que há uma grande concentração do

número de observações com distância para o vencimento de 11 a 30 dias, 49,62%,

enquanto que ao se aproximar do vencimento e se distanciar do vencimento o número

90

de observações diminui bem, sobre tudo no primeiro caso, representando somente

22,03% da amostra.

Tabela 1. Tabela com informações da amostra de opções de compra utilizada. No Painel A estão apresentadas informações sobre o número de opções de acordo com o número de dias úteis para o vencimento. No Painel B procura-se mostrar o número observações em cada dia.

Painel ANo de Observações de Acordo com o No de Dias de Úteis para o Vencimento

1 a 10 Dias 11 a 30 Dias 31 a 46 Dias Total17/10/94 47 88 54 18919/12/94 64 143 104 31120/02/95 58 120 67 24517/04/95 33 88 27 14819/06/95 37 67 37 14121/08/95 25 44 52 12116/10/95 35 59 29 12318/12/95 31 84 52 16712/02/96 24 81 23 12815/04/96 38 97 33 16817/06/96 51 104 45 20019/08/96 60 136 79 27521/10/96 35 117 116 26816/12/96 40 121 68 22917/02/97 39 104 54 19722/04/97 49 119 96 26416/06/97 62 138 44 24418/08/97 91 176 116 38320/10/97 45 110 90 24515/12/97 74 179 77 33018/02/98 32 106 74 21220/04/98 35 92 48 17515/06/98 49 107 48 20417/08/98 50 93 72 21519/10/98 58 136 80 27421/12/98 47 91 71 20908/02/99 49 108 0 15719/04/99 44 102 88 23421/06/99 64 124 79 26716/08/99 54 117 54 22518/10/99 41 104 76 22120/12/99 42 122 73 23721/02/00 86 178 86 35017/04/00 89 125 48 262

34 VencimentosResumo 0 a 10 Dias 11 a 30 Dias 31 a 50 Dias Total

Soma 1.678 3.780 2.160 7.618Percentual 22,03% 49,62% 28,35% 100,00%

Média 49 111 64 224Desvio Padrão 17 30 27 63

Painel BPercentual de Observações por Dia

Resumo 2 a 4 5 a 6 7 a 11 Total1.400 Dias 29,43% 46,79% 23,79% 100,00%

Vencimentos

Um outro ponto que deve ser percebido na amostra é que em 29,43% dos dias

observam-se no máximo 4 e no mínimo 2 pontos. A pequena quantidade de dados por

dia é um problema quando se deseja fazer regressões polinomiais diárias. Com 4 pontos,

por exemplo, uma regressão polinomial do 3º Grau terá sempre um R-2 de 100%

91

embora não apresente coeficientes estatisticamente robustos. A figura 2 apresenta um

histograma para o número de observações em cada dia da amostra.

Figura 2. Histograma da distribuição de observações opções de compra sobre o ativo Telebrás PN de acordo com sua maturidade para o período de 15/08/1994 a 17/04/2000, após os cortes efetuados.

3,86%

10,00%

15,57%

24,14%22,64%

11,43%

6,36%

3,79%

1,71%0,50%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

2 3 4 5 6 7 8 9 10 110%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

Ao longo da amostra foram acompanhados 34 diferentes vencimentos de opções com

várias séries de opções. Vale lembrar que as opções, aqui utilizadas, são protegidas

contra o pagamento de dividendos, ou seja, o valor do preço de exercício, K , de uma

determinada série de opção é reduzido do valor do dividendo, D , anunciado, de modo

que a partir da data-ex o preço de exercício daquela série passa a ser DK − . A

evolução do preço da ação subjacente às opções de compra pode ser vista no gráfico da

Figura 3, e na Figura 4 pode ser vista a evolução dos retornos logarítmicos diários,

durante o período de análise.

92

Figura 3. Gráfico com a evolução dos preços de fechamento do ativo Telebrás PN entre os dias 18/08/1994 e 17/04/2000. Em destaque (de vermelho) estão marcados os pontos correspondentes às datas de vencimento das opções da amostra utilizada.

0

50

100

150

200

250

300

350

15/08/94 15/02/95 15/08/95 15/02/96 15/08/96 15/02/97 15/08/97 15/02/98 15/08/98 15/02/99 15/08/99 15/02/00

Figura 4. Gráfico com a evolução dos retornos logarítmicos diários do ativo Telebrás PN entre os dias 15/08/1994 e 17/04/2000. Em destaque (de vermelho) estão marcados os retornos correspondentes às datas de vencimento das opções da amostra utilizada.

-30%

-20%

-10%

0%

10%

20%

30%

40%

15/08/94 15/02/95 15/08/95 15/02/96 15/08/96 15/02/97 15/08/97 15/02/98 15/08/98 15/02/99 15/08/99 15/02/00

3.3 COLETA DOS DADOS

Para a realização da pesquisa necessita-se de determinadas informações:

1. preço do ativo subjacente;

93

2. preços das opções de compra e suas características, tais como preço de

exercício e tempo para o vencimento, e

3. taxa de juros livre de risco.

Para o preço do ativo foram utilizadas as cotações de fechamento em todo o período

de análise, 15/08/1994 a 17/04/2000, série esta obtida do Sistema Economática. Os

preços das opções de compra, bem como seus preços de exercício e datas de vencimento

foram obtidos diretamente da Bovespa para todo o período de análise.

Como melhor estimativa para a taxa de juros optou-se pela taxa de juros implícita nos

contratos futuros de DI. As séries de cotações de ajuste do DI foram obtidas no site da

BM&F9, calculando-se o cenário para o vencimento das opções. Na grande maioria das

situações, apenas um contrato de DI futuro é necessário para o cálculo do cenário,

porém, no caso de opções com vencimento mais longo, utiliza-se a estrutura a termo da

taxa de juros para extrair o cenário. Como não foi possível conseguir o cenário para

todo o período de análise, somente a partir do dia 28/08/96, nas datas anteriores foi

usado o próprio CDI como proxy do cenário.Por outro lado, para as correções dos saldos

de caixa no Seguro Dinâmico de Portfólio, que será explicado mais adiante, trabalhou-

se, como a melhor proxy para o valor da taxa de juros livre de risco, com o valor da taxa

de juros real do CDI, cujos valores também foram obtidos do Sistema Economática. A

Figura 5 apresenta a evolução desta taxa ao longo do período de análise. A figura 6

apresenta a diferença entre o cenário e o CDI. Nota-se que ela aumenta muito em dias

9 O site da BM&F pode ser encontrado na Internet em www.bmf.com.br

94

de grandes choques, evidenciando o nervosismo do mercado com relação às taxas de

juros futuras.

Figura 5 Gráfico da proxy taxa de juros livre de risco diária (CDI) no mercado brasileiro, entre os dias 15/08/1994 e 17/04/2000. Em destaque (em vermelho) estão marcadas as taxas de juros correspondentes aso dias em que há vencimentos das opções da amostra utilizada.

0,00%

0,05%

0,10%

0,15%

0,20%

0,25%

0,30%

15/08/94 15/02/95 15/08/95 15/02/96 15/08/96 15/02/97 15/08/97 15/02/98 15/08/98 15/02/99 15/08/99 15/02/00

Figura 6 Gráfico com a diferença entre a taxa de juros anual dada pelos contratos de DI (cenário) e a taxa de juros real dada pelo CDI no mercado brasileiro, entre os dias 28/08/1996 e 17/04/2000. Em destaque (em vermelho) estão marcadas as diferenças de taxas de juros correspondentes aos dias em que há vencimentos das opções da amostra utilizada.

-10%

-5%

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

28/08/96 28/02/97 28/08/97 28/02/98 28/08/98 28/02/99 28/08/99 28/02/00

95

3.4 MODELOS UTILIZADOS

3.4.1 Árvore de Volatilidade Implícita de Derman & Kani

A construção da árvore de volatilidade implícita se deu de acordo com a metodologia

apresentada por Derman & Kani (1994). Para tanto, foi utilizada a fórmula (2.36) para o

cálculo dos nós acima do centro da árvore, quando o número de nós no passo é ímpar e

a fórmula (2.38) quando o número de passos é par. A condição central [vide

fórmula(2.32)], estabelecida pelos autores é que faz a diferença entre as fórmulas (2.36)

e (2.38), como já descrito na revisão de literatura. Para os nós abaixo do centro da

árvore utilizou-se a fórmula (2.39). Usando-se as fórmulas (2.37) e (2.31) calculam-se

as probabilidades de transição e os preços Arrow-Debreu. Vale lembrar que no nó

inicial (0,1) o preço Arrow-Debreu é igual a um. A Figura 7 apresenta um esquema de

como se procede a construção da árvore.

96

Figura 7 Esquema ilustrativo da construção da árvore de volatilidade implícita de acordo com Derman & Kani (1994). Apresentam-se os elementos necessários para a construção do

)1n( + -ésimo nível da árvore.

(n,i) si Strike

Si+1

Si

λi

pi

(n,2) s2

(n,1) s1

(n,n) sn

(n,n-1) Sn-1

Sn+1

Sn

Sn-1

λn

pn

λn-1

pn-2

S3

S2

S1

λ2

p2

λ1

p1

nó

nível

tempo

n n + 1

tn tn+1

Notação

r = taxa futura de juros conhecida emdeterminado nível.

si = preço do ativo conhecido no nó(n,i) no nível n; nó i; também é ostrike para as opções vencendo nonível n + 1.

Fi = preço futuro conhecido no níveln + 1 do preço do ativo conhecido si

no nível n.

Si = preço desconhecido do ativo nonó (n + 1, i).

λi = preço Arrow-Debreu conhecidono nó (n +1, i).

pi = probabilidade de transição neutraao risco desconhecida do nó (n, i)para o nó (n +1, i)

Em um primeiro momento, foram utilizadas as fórmulas exatamente como previstas

pelo modelo de Derman & Kani para a construção da árvore binomial implícita. Esse

procedimento foi implementado no Excel, fazendo uso da linguagem VBA. Ao testar a

árvore, constatou-se a sua já esperada instabilidade, evidenciada pela presença constante

de probabilidades de transição negativas ou maiores que a unidade. Seguindo a sugestão

dos próprios autores, quando da presença de condições de arbitragem, atribuiu-se ao

valor do ativo no nó em questão o valor que mantém a distância logarítmica entre ele e

seu nó adjacente igual à distância logarítmica dos nós correspondentes no passo

anterior. Esta correção, entretanto, não foi suficiente para evitar os problemas de

97

arbitragem, de modo que continuaram a existir probabilidades de transição fora do

intervalo apropriado10.

Assim, no intuito de solucionar este grave empecilho, procedeu-se uma das correções

sugeridas por Barle & Cakici (1995,1998). Estes autores propõem a substituição do

valor do ativo no nó que permite arbitragem, simplesmente pela metade da soma dos

valores dos futuros dos ativos no passo anterior, que estejam acima e abaixo do mesmo.

Este procedimento foi então aplicado em todos os casos. Porém não é claro qual medida

deve ser tomada para os extremos da árvore, ou seja, quando 1=i ou 1+= ni , já que

nestes casos não existem, no passo anterior, nós acima e abaixo dos mesmos,

respectivamente. A solução encontrada foi a de utilizar as correções de Barle & Cakici

(1995,1998) para os nós internos e para os nós extremos a correção de Derman & Kani

(1994). A figura 8 resume estes procedimentos.

Figura 8 Esquema ilustrativo das correções sugeridas para a subida e descida da árvore, a partir do centro. Para os nós extremos, em preto, utiliza-se a correção proposta por Derman & Kani (1994). Nos demais nós, utiliza-se a correção de Barle & Cakici (1995,1998).

Legenda:

1+is

11

−+ ×=

i

iii F

FSS

11

++ ×=

i

iii F

FSS

21

1+

++= ii

i

FFS

21−+= ii

i

FFS

1+is

1−is

is1+iS

iS

is

1−is

1+iS

iS

s i =valor conhecido do ativo no passo n e nó i

S i =valor desconhecido do ativo no passo n+1 e nó i

F i =valor futuro conhecido

no passo n+1 do valor s i no passo n

Derman & Kani [1994] Barle & Caciki [1995]

n n + 1Passo

10 Veja a fórmula (33) na Revisão de Literatura desta dissertação.

98

Uma segunda alteração que foi feita ao modelo original de Derman & Kani (1994) foi

a precificação das opções internas, necessárias para a construção progressiva da árvore,

de acordo com a fórmula analítica de Black & Scholes (1973) ao invés de se precificar

através da construção de uma árvore binomial simples de acordo com Cox, Ross &

Rubinstein (1978). Como, na medida em que se aumenta o número de passos da árvore

de CRR, esta converge para o valor obtido pelo modelo de BS, isto não leva a questões

conceituais do modelo e já havia sido sugerido também por Barle e Cakici (1995,1998).

Além disso, esta mudança torna o modelo computacionalmente bem mais rápido, o que

é uma grande vantagem, visto a necessidade de preços justos para as opções a todo

instante.

Através do modelo é possível precificar as opções, obter a distribuição de

probabilidade neutra ao risco, SPD, dada pelos valores dos preços Arrow-Debreu no

último passo da árvore, bem como calcular suas gregas. Uma outra ferramenta que foi

implementada foi o desenho da árvore binomial implícita, onde é possível perceber sua

assimetria ao longo de sua evolução.

Nesta dissertação foi usada uma árvore de volatilidade implícita com 150 passos.

3.4.2 Modelo Analítico de Black & Scholes (1973)

Como o modelo de Black & Scholes (1973) será usado como benchmark para o

modelo de construção de árvore de volatilidade implícita, cabe, neste momento, para

99

não deixar dúvidas quanto às fórmulas usadas, apresentar as mesmas11. Assim, o preço

de uma opção de compra com preço de exercício K é dado por:

)d(N)K(VP)d(NSC 21 ×−×= 3.1

onde:

( ) ( )t

t2RKSln

d

2

f

1 σ

σ++= 3.2

( ) ( )t

t2RKSln

d

2

f

2 σ

σ−+= 3.3

com fR 12 sendo a taxa de juros anual livre de risco; t sendo a fração anual do prazo de

vencimento da opção; 1d e 2d sendo as áreas sob a curva normal; e (.)VP a função do

valor presente, com taxa de desconto fR .

3.5 CÁLCULO DA VOLATILIDADE IMPLÍCITA ATM

A conta para a volatilidade implícita será feita pela simples inversão da fórmula de

Black & Scholes, tal qual sugerido pela fórmula (2.8). Contudo, a obtenção do valor da

volatilidade implícita ATM tornou-se uma tarefa mais elaborada em função da pequena

quantidade de dados observados em cada dia, fato este já mencionado. Como solução,

11 No caso de maiores dúvidas veja Lemgruber (1995) 12 Vale lembrar que trata-se de juros contínuos, logo no nosso caso que lidamos com juros discretos, deve-se

efetuar a seguinte transformação: ( )dcf RRR +== 1ln , onde cR é o juros contínuo e dR é o juros discreto.

100

em vez de usar somente o próprio dia para calcular a volatilidade implícita ATM, foi

usada uma janela de 5 dias, aumentando o número de pontos observados. A esses pontos

será ajustada uma curva polinomial do terceiro grau. Porém, como não se está utilizando

somente dados de um dia específico, em vez de usar o strike como variável explicativa,

será usada a moneyness ( )1−SK . Esta curva, entretanto, será travada em seus extremos,

de modo que para valores que fujam dos valores máximo e mínimo de moneyness, o

valor da volatilidade implícita ATM será igual ao valor da volatilidade implícita obtida

com os coeficientes da regressão e com moneyness igual a moneyness máxima ou

mínima, dependendo para que lado a moneyness original estava. A tabela 2 apresenta os

pontos usados para a regressão do dia 24/01/2000. A figura 9 ilustra o procedimento de

truncamento da função para o dia 24/01/2000 e a figura 10 apresenta a evolução da

volatilidade implícita ATM para todo o período de análise.

Tabela 2 Pontos utilizados para na regressão polinomial cúbica, visando o cálculo da volatilidade implícita ATM no dia 24/01/2000. Note que foi usada uma janela de 5 dias e que a

variável explicativa é o moneyness calculado por ( )1−SK

Volatilidade Implícita

227,09 237,09 247,09 257,09 267,09 277,09 287,09 297,09 310 320

18/01/00 55,50% 50,33% 48,82% 50,86% 48,55% 50,98% 50,32% 48,55% 48,13% 45,12% 257,6

19/01/00 - 61,48% 56,29% 54,45% 52,03% 52,69% 52,18% 51,55% 53,18% 49,56% 246,8

20/01/00 - 50,98% 51,04% 54,54% 51,20% 50,17% 48,40% 48,63% 51,28% 51,31% 242,0

21/01/00 - 55,34% 54,43% 57,30% 54,37% 52,75% 51,87% 51,63% 50,92% 53,23% 240,0

24/01/00 69,27% 58,25% 59,90% 56,96% 57,46% 55,64% 53,58% 52,56% 50,66% 52,11% 236,0

Data Moneyness

18/01/00 -0,118 -0,080 -0,041 -0,002 0,037 0,076 0,114 0,153 0,203 0,242

19/01/00 - -0,039 0,001 0,042 0,082 0,123 0,163 0,204 0,256 0,297

20/01/00 - -0,020 0,021 0,062 0,104 0,145 0,186 0,228 0,281 0,322

21/01/00 - -0,012 0,030 0,071 0,113 0,155 0,196 0,238 0,292 0,333

24/01/00 -0,038 0,005 0,047 0,089 0,132 0,174 0,216 0,259 0,314 0,356

Mínimo -0,118 Máximo 0,356

SpotData

101

Figura 9 Visualização gráfica do procedimento de truncamento da função obtida a partir de uma

regressão polinomial cúbica com variável explicativa dada por ( )1−SK . Note que para

valores superiores ao valor máximo e inferiores ao valor mínimo a função fica constante. Em destaque (vermelho) está o valor da volatilidade implícita ATM, que é obtida quando a moneyness for igual a zero. A reta maior em verde aponta para este valor sobre a curva de ajuste..

Max = 0,356Min = -0,118

y = 3,7696x3 - 1,1787x2 - 0,1321x + 0,5532R2 = 0,2041

30%

35%

40%

45%

50%

55%

60%

65%

70%

75%

-0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Figura 10 Evolução da Volatilidade Implícita ATM ao longo do período de análise, de 15/08/94 até 14/04/2000. Em destaque (em vermelho) estão marcadas as volatilidades implícitas ATM correspondentes aos dias em que há vencimentos das opções da amostra utilizada

0%

20%

40%

60%

80%

100%

120%

15/08/94 15/02/95 15/08/95 15/02/96 15/08/96 15/02/97 15/08/97 15/02/98 15/08/98 15/02/99 15/08/99 15/02/00

102

3.6 DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO DE VOLATILIDADE

IMPLÍCITA (IVF)13

Uma das questões mais importantes do modelo de construção de árvores de

volatilidade implícita é a determinação da função de volatilidade que deve ser usada,

cujo valor servirá de input para o cálculo dos valores das opções dentro da árvore.

Serão testadas as seguintes funções principais de acordo com um ajuste polinomial

cúbico:

Função 1: ( )it,i Kf=σ 3.4

Função 2:

−= 1S

Kfi

it,iσ 3.5

Função 3:

−

=T

SK

fRATM

i

i

i

ti σσ

1

, 3.6

Função 4: ATMiti σσ =, 3.7

As Funções 1 e 2 serão utilizadas, ora com as volatilidades implícitas observadas até

o mesmo dia e, ora com defasagem de 1 dia, ou seja até o dia anterior. Ressalta-se, que

em função da pequena quantidade de pontos será utilizada uma janela de 5 dias para a

13 Do inglês Implied Volatility Function.

103

regressão, procedimento idêntico ao usado para o cálculo da volatilidade implícita ATM

com função truncada entre os valores extremos. A Figura 11 ilustra os dias que serão

usados para as regressões com uma janela de cinco dias em ambos os casos.

Figura 11 Ilustração dos dias usados na regressão com defasagem de 1 dia ou não, com uma janela de 5 dias, para o caso específico do dia 24/01/2000.

DataNão

DefasadoDefasado 1

Dia

17/01/00 -5 -5

18/01/00 -4 -4

19/01/00 -3 -3

20/01/00 -2 -2

21/01/00 -1 -1

24/01/00 0 0

A função 3, por necessitar de uma prévia estimação da volatilidade implícita ATMR14

de acordo com a fórmula (2.14), terá 5 variações, dependendo do tamanho da janela

utilizada para a estimação de seus coeficientes. As janelas utilizadas serão de

21,63,126,252 e 1400 dias. A janela de 1400 dias foi feita, para replicar o procedimento

adotado por Rosenberg (2000), que fez a estimação com toda a sua amostra. Estes

modelos já são defasados de um dia por definição.

Para cada uma destas 9 funções serão feitos os cálculos dos preços das opções pela

construção da árvore de volatilidade implícita de Derman & Kain (1994), tal como

mencionada anteriormente, bem como usando-se a fórmula de Black & Scholes (1973).

Neste segundo caso ainda será feita a conta usando-se a função 4 e sua versão defasada

um dia, ou seja, com a volatilidade implícita ATM do dia anterior. Logo, serão testadas

14 O R ao lodo de ATM serve para diferenciar a volatilidade implícita ATM calculada pela regressão sugerida por Rosenberg da volatilidade implícita ATM estimada pelo procedimento explicado anteriormente. Note que a segunda é fonte de informação para o cálculo da primeira.

104

ao total 20 abordagens diferentes. A tabela 3 apresenta a nomenclatura que foi dada par

cada um dos casos. O campo de data início indica o primeiro dia em que foi feita a

precificação com aquela abordagem, em função da janela usada nas regressões.

Tabela 3 Nomes atribuídos a cada uma das 20 diferentes abordagens realizadas para testar a eficiência dos modelos de Derman & Kani (1994) e Black & Scholes (1973).

Nome Função Modelo Defasado 1 Dia Janela Data Início

DK F_1 1 Derman & Kani Não - 19/08/94

DK F_1 Def 1 Derman & Kani Sim - 22/08/94

DK F_2 2 Derman & Kani Não - 19/08/94

DK F_2 Def 2 Derman & Kani Sim - 22/08/94

DK F_3 R_21 3 Derman & Kani - 21 14/09/94

DK F_3 R_63 3 Derman & Kani - 63 17/11/94

DK F_3 R_126 3 Derman & Kani - 126 16/02/95

DK F_3 R_252 3 Derman & Kani - 252 23/08/95

DK F_3 R_1400 3 Derman & Kani - 1400 19/08/94

BS F_1 1 Black & Scholes Não - 19/08/94

BS F_1 Def 1 Black & Scholes Sim - 22/08/94



BS F_3 R_21 3 Black & Scholes - 21 14/09/94







3.7 ESTRATÉGIA DE SEGURO DINÂMICO DE PORTFÓLIO

Serão aplicadas estratégias de Seguro Dinâmico de Portfólio15 durante 25 dias úteis

para cada vencimento, logo, perfazendo um total de 34 seguros realizados. Foi

escolhido o intervalo entre os dias 30 e 6 do vencimento para a realização do seguro por

razões que serão explicadas mais adiante, nos resultados. Vale lembrar que ao se tomar

15 Para maiores detalhes veja Lemgruber, E.F., J.L. Becker, e R.F. Felício (1990)

105

esta medida é necessário recalcular os cenários, pois os tempos para o vencimento

ficaram diferentes. Esta estratégia objetiva segurar o valor de determinado portfólio de

acordo com a venda fictícia de uma opção de venda sobre o ativo que se deseja segurar,

implicando em uma necessidade de aporte de capital no valor desta opção. Através do

delta desta opção são realizadas operações de ajuste de posição com a finalidade de

evitar perdas.

De uma maneira geral esta estratégia faz com que a posição em risco do ativo tenda a

diminuir com uma queda do preço do mesmo, aumentando a posição em caixa, que é

corrigida pelo CDI, e tenda aumentar quando o preço do ativo está subindo, reduzindo,

naturalmente a posição em caixa.

Serão utilizadas as cotações de fechamento do ativo para efeito de ajuste de posição

via cálculo do delta da opção de venda utilizada no seguro. O preço de exercício será

determinado de acordo com o preço de fechamento do dia em que o seguro teve início.

Estes seguros serão realizados para cada uma das funções de volatilidade implícita

sugeridas na etapa anterior, para cada um dos 34 vencimentos. A tabela 4 ilustra a

realização deste seguro.

106

Tabela 4 Desenvolvimento da estratégia de Seguro Dinâmico, via compra e venda do ativo de Telebrás PN, com uma posição inicial de mil lotes de mil ações durante o período de 07/01/2000 a 14/02/2000, usando a abordagem DK_F2.

Quantidade de Lotes Posição

Inicial Operada Final de Risco de CaixaTotal

($)Valor Custo

07/01/00 25 215,99 (0,47) 1.000 -466 534 115.371 114.861 230.232 215.990 14.24210/01/00 24 228,90 (0,33) 534 136 670 153.428 83.780 237.208 222.956 14.25211/01/00 23 223,00 (0,37) 670 -44 627 139.710 93.601 233.311 219.049 14.26212/01/00 22 223,00 (0,39) 627 -14 613 136.653 96.724 233.377 219.105 14.27213/01/00 21 242,02 (0,24) 613 151 764 184.946 60.153 245.099 230.817 14.28214/01/00 20 251,00 (0,09) 764 147 911 228.713 23.290 252.003 237.711 14.29217/01/00 19 263,00 (0,11) 911 -17 895 235.302 27.651 262.953 248.652 14.30118/01/00 18 257,60 (0,12) 895 -19 875 225.486 32.655 258.141 243.830 14.31119/01/00 17 246,80 (0,17) 875 -49 826 203.824 44.885 248.709 234.389 14.32120/01/00 16 242,00 (0,19) 826 -14 812 196.398 48.378 244.776 230.445 14.33121/01/00 15 240,00 (0,22) 812 -36 775 186.111 57.075 243.186 228.846 14.34124/01/00 14 236,00 (0,21) 775 16 792 186.887 53.237 240.124 225.773 14.35126/01/00 13 239,00 (0,20) 792 6 798 190.750 51.786 242.536 228.176 14.36027/01/00 12 240,40 (0,18) 798 20 818 196.747 46.942 243.689 229.319 14.37028/01/00 11 235,00 (0,23) 818 -49 770 180.865 58.437 239.302 224.922 14.38031/01/00 10 229,50 (0,30) 770 -66 704 161.520 73.589 235.110 220.719 14.39001/02/00 9 232,50 (0,25) 704 51 755 175.458 61.814 237.271 222.871 14.40002/02/00 8 241,49 (0,12) 755 128 882 213.035 31.063 244.098 229.688 14.41003/02/00 7 249,50 (0,04) 882 73 955 238.387 12.799 251.186 236.766 14.42004/02/00 6 260,00 (0,01) 955 39 994 258.510 2.717 261.227 246.797 14.43007/02/00 5 265,50 (0,00) 994 5 999 265.309 1.388 266.697 252.258 14.43908/02/00 4 275,50 (0,00) 999 -1 999 275.103 1.588 276.691 262.241 14.44909/02/00 3 267,99 (0,00) 999 -3 996 266.846 2.347 269.193 254.734 14.45910/02/00 2 272,99 (0,00) 996 4 1.000 272.897 1.276 274.173 259.704 14.46911/02/00 1 265,01 (0,00) 1.000 0 1.000 265.005 1.192 266.197 251.718 14.47914/02/00 0 261,00 0,00 1.000 0 1.000 261.000 1.187 262.187 247.709 14.479

SeguroTaxa de Hedge

( ∆∆∆∆)Data Prazo

Preço Lote de mil

A quantidade final de lotes a cada dia é igual a um menos a taxa de hedge (1+∆)

multiplicado pela quantidade total de lotes que se deseja proteger, neste caso mil lotes.

Logo, a quantidade operada em determinado dia será igual a diferença entre a

quantidade final deste dia e a do dia anterior. Repare que a quantidade final de lotes de

Telebrás PN tendeu aos mil lotes originais, pois o preço do lote ficou acima do preço de

exercício da opção de venda européia, o que fez com que a taxa de hedge tendesse a

zero, forçando o investidor a recomprar o ativo. A posição de risco a cada dia é o valor

financeiro da posição no ativo, ou seja, é igual a quantidade final de lotes multiplicado

pelo seu preço. Já a posição em caixa equivale ao valor financeiro em caixa no dia

anterior corrigido pelo CDI somado ao saldo da operação com o ativo no dia. Quando

ocorre compra do ativo há saída de caixa e quando se realiza venda há entrada de caixa.

Desde o primeiro dia a posição em caixa já está acrescida do custo do seguro. Logo a

posição total é obtida pela soma das posições em risco e em caixa. O custo do seguro é

107

o valor da opção de venda européia corrigido a cada dia. O valor do seguro é a posição

de risco somado à posição de caixa subtraído o custo do seguro.

3.8 TESTES DE ADERÊNCIA / EFICIÊNCIA

A performance estática dos modelos para as diferentes funções de volatilidade

implícita será analisada de acordo com dois indicadores muito parecidos,

matematicamente, entretanto, com significados bem distintos. O primeiro indicador é o

erro relativo, dado por:

merc

merc

C

CCER mod−

= 3.8

onde mercC é o preço da opção de compra observado no mercado e modC é o preço da

opção calculado pelo modelo. Este indicador fornece o valor relativo do tanto que o

modelo está se distanciando do mercado, deixando claro ainda para que lado é este

desvio, ou seja, se é para mais ou para menos. Logo, valores positivos indicam que o

modelo tende a subestimar o mercado, enquanto que valores negativos sugerem uma

superestimação do mercado.

Necessita-se saber, entretanto, se no total o tamanho destes desvios em relação ao

valor observado no mercado é significativo. Para tanto, será usado o erro absoluto

relativo, dado por:

−=

merc

merc

C

CCABSEAR mod 3.9

108

Serão calculadas as médias dos dois erros para todos os pontos para cada uma das

abordagens. Aquela que apresentar a menor média de EAR será considerada a melhor

dentre aquelas aqui sugeridas.

Para a análise da performance dos Seguros Dinâmicos de Portfólios serão

comparados os desvios em relação ao valor teórico esperado, dado pelo valor máximo

entre o valor segurado e o valor do ativo no dia do vencimento, e o valor obtido pela

abordagem utilizada, com fórmulas similares às citadas anteriormente.

3.9 LIMITAÇÕES METODOLÓGICAS

O estudo apresenta uma série de limitações listadas a seguir:

• o estudo se limitou a analisar os modelos a partir de performances estáticas e

dinâmica em condições que não refletem a realidade de operações de arbitragem no

mercado, tal como a falta de simultaneidade entre as cotações das séries de opções e

do ativo objeto, o que pode distorcer os valores aferidos no estudo caso fossem

efetivamente realizados pelos operadores nos mercados de opções;

• este estudo partiu do pressuposto de que todas as opções de Telebrás PN são calls

européias, isto é, opções de compra que não podem ser exercidas antes do

vencimento;

• este estudo considerou que os ajustes decorrentes do Seguro Dinâmico de Portfólio

foram feitos de uma só vez ao final do dia de cada dia de negócio ao longo do

período estudado;

109

• os ajustes foram feitos pelos preços diários de fechamento dos ativos;

• não serão consideradas fricções de mercado (custos de transação, impostos,

depósitos de margem em garantia e impossibilidade de vendas a descoberto).

Quando inseridos, tais fatores podem modificar os valores absolutos aferidos por

cada um dos modelos;

• o estudo considerará que os investidores são neutros ao risco;

• na realização das operações se considerará que a liquidez do mercado não exerce

nenhuma influência nos preços das operações (inexistência de prêmios ou descontos

por liquidez).

110

44 RREESSUULLTTAADDOOSS

Nesta etapa da dissertação serão apresentados e discutidos os resultados encontrados

através da metodologia exposta anteriormente.

4.1 RESULTADOS PRELIMINARES

Uma questão bastante relevante do modelo de Derman & Kani é a quebra da

lognormalidade da distribuição de probabilidade livre de risco do ativo. As figuras que

seguem procuram ilustrar esta questão.

Figura 12. Comparação entre a distribuição de probabilidade livre de risco obtida de árvores Binomiais Comuns (á esquerda) e árvores de Derman & Kani (á direita) para diferentes números de passos. Foi escolhido o dia 03/01/2000 (35 dias para o vencimento) para ilustrar estas distribuições. A volatilidade constante para a Binomial Comum foi de 53% (volatilidade ATM)

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

18%

20%

0 100 200 300 400 500

Valores do Ativo

Pro

bab

ilid

ad

e

20 Pas s os 40 Pass os 60 Pas s os 80 Pas s os

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

18%

20%

0 100 200 300 400 500

Valores do Ativo

Pro

ba

bili

da

de

20 Pas s os 40 Pas s os 60 Pas s os 80 Pas s os

111

Figura 13. Comparação entre a distribuição de probabilidades livre de risco obtida de árvores Binomiais Comuns e árvores de Derman & Kani, com o intuito de mostrar sua assimetria, com 20 e 80 passos. Foi escolhido o dia 03/01/2000 (35 dias para o vencimento) para ilustrar estas distribuições. A volatilidade constante para a Binomial Comum foi de 53% (volatilidade ATM)

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

18%

20%

0 100 200 300 400 500

Valores do Ativo

Pro

ba

bili

dad

e

Im plícita Binom ial Com um

0%

2%

4%

6%

8%

10%

12%

14%

16%

18%

20%

0 100 200 300 400 500

Valores do Ativo

Pro

bab

ilid

ad

e

Im plícita Binom ial Com um

Como pode ser notado, o processo de achatamento das probabilidades livre de risco, a

medida em que se aumenta o número de passos, está presente em ambos os casos. Outro

fato observado é que o desenho de ambas as distribuições também não se modifica

significativamente. As distribuições de Derman & Kani apresentam uma certa

assimetria para a direita e tem um formato ligeiramente bi-modal para este dia. Porém,

não se pode afirmar que o formato da distribuição obtida por Derman & Kani será

sempre igual. A figura abaixo apresenta outras distribuições.

Figura 14. Distribuições de probabilidade livre de risco segundo Derman & Kani nos dias 04/01/2000 (34 dias para o vencimento) e 05/01/2000 (33 dias para o vencimento) com diferentes números de passos.

0%

5%

10%

15%

20%

25%

0 100 200 300 400 500

Valores do Ativo

Pro

ba

bili

da

de


0%

5%

10%

15%

20%

25%

0 100 200 300 400 500

Valores do Ativo

Pro

ba

bili

da

de


112

Pode-se perceber que a distribuição de probabilidade livre de risco é função da

estrutura da volatilidade de cada dia e da construção da árvore com seus ajustes

internos.

Um outro ponto importante a ser abordado é o formato das árvores geradas por

Derman & Kani. Uma vez que a volatilidade não é constante, as probabilidades de

transição também não o serão, de modo que o espaçamento entre os nós difere bastante

ao longo da árvore, principalmente se comparados com os de uma Binomial Comum.

Abaixo estão ilustrados alguns exemplos.

Figura 15. Árvores de Derman & Kani geradas para o dia 03/01/2000 (35 dias para o vencimento) com diferentes números de passos (da esquerda para a direita , 20 – 40 – 60 – 80 passos).

221,02

28,87

573,87

4,6

782,9

0,02

1064,36

7,25

221,02

984,47

Em geral as árvores de Derman & Kani apresentam valores extremos superiores

menores que as árvores Binomiais Comuns e valores extremos inferiores menores. Isto

é um reflexo da redução da volatilidade para valores maiores do ativo e aumento da

volatilidade para valores menores, de modo que o espaçamento na subida (descida) da

árvore de Derman & Kani tenda a ser menor (maior). Adicionalmente, em função dos

ajustes que são necessários serem realizados nas árvores de Derman & Kani, pode

acontecer, em algumas circunstâncias, dos valores extremos superiores tenderem ao

infinito. Contudo, esta instabilidade não parece prejudicar a precificação das opções

113

como será visto mais adiante, pois as probabilidades atribuídas a esses valores extremos

são muito pequenas.

4.2 RESULTADOS FINAIS

4.2.1 Performance Estática

Como uma das primeiras regressões que se fez necessária foi aquela para calcular as

volatilidades implícitas ATM a cada dia, a qual será considerada como aquela que foi

observada no mercado, cabe uma análise dos coeficientes destas regressões, tal qual

apresentados na tabela 5.

Tabela 5 Média e Desvio Padrão dos coeficientes das regressões bem como dos indicadores de aderência para o cálculo da volatilidade implícita ATM usando-se a moneyness

( )1−SK como variável explicativa. Apresenta ainda a estatística t para testar a hipótese

nula (bilateral) de que os coeficientes e indicadores de aderência sejam igual a zero. Probabilidades inferiores a 0,05 indicam que não se pode aceitar a hipótese nula para um nível de significância de 5%

Coeficientes Aderênciaa0 a1 a2 a3 R-2 R-2 Ajust

Média 0,438 -0,351 4,190 -6,368 0,605 0,549Desvio Padrão 0,153 0,834 8,259 33,666 0,249 0,285Número de Dias 1.396 1.396 1.396 1.396 1.396 1.396Estatísitica t 106,6 -15,7 19,0 -7,1 90,6 72,1Probabilidade 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Como pode ser notado, podemos considerar, na média, que os coeficientes destas

regressões são estatisticamente diferentes de zero, bem como os indicadores de

aderência. Para cada dia o valor da volatilidade implícita ATM é igual ao coeficiente a0,

que equivale a assumir o valor de K igual a S. Note que na média, a volatilidade

implícita ATM calculada foi de 43,8%. Uma questão que é importante de ser frisada é

que na média o R-2 Ajustado, indicador de aderência, foi de 54,9%. Embora este valor

114

não tenha sido tão elevado, a quantidade e a qualidade dos dados não permitiu a

obtenção de resultados melhores.

Em segundo lugar, apresento os dados relativos às regressões de Rosenberg com as

diferentes janelas. Estes dados podem ser vistos na tabela que segue.

Tabela 6 Média e Desvio Padrão dos coeficientes das regressões de Rosenberg, bem como dos indicadores de aderência.

Médias

Coeficientes Aderência

ωωωω αααα γγγγ R-2 R-2 Ajust

21 0,058 0,859 0,253 0,744 0,716

63 0,027 0,927 0,249 0,866 0,861

126 0,015 0,954 0,276 0,921 0,919

252 0,011 0,962 0,295 0,940 0,940

1400 0,007 0,976 0,302 0,972 0,972

Desvio Padrão

Coeficientes Aderência

ωωωω αααα γγγγ R-2 R-2 Ajust

21 0,078 0,173 0,447 0,194 0,215

63 0,027 0,065 0,193 0,101 0,104

126 0,011 0,029 0,129 0,048 0,049

252 0,007 0,023 0,082 0,048 0,049

1400 - - - - -

Janela

Janela

Conforme aumenta-se o número de dias da janela há uma tendência de que os

coeficientes α e γ aumentem e o coeficiente ω diminua. Como se tratam apenas de

dados descritivos, uma vez que estes valores têm uma dinâmica particular mudando

todos os dias, não julgo relevante uma comparação mais profunda entre suas médias, ou

até mesmo, testar, como no caso anterior, se seus valores podem se considerados

diferentes de zero. Contudo, como se tratam de equações que buscam prever a

volatilidade implícita ATM para o dia seguinte, acredito que uma análise dos EAR entre

115

a volatilidade implícita ATMR e a volatilidade implícita ATM observada16, torna-se

relevante. A tabela 7 apresenta esses valores.

Tabela 7 Comparação das médias dos EARs (Erro Absoluto Relativo) das volatilidades implícitas ATM para as diferentes janelas utilizadas. O teste t é feito sob a hipótese nula (unilateral) de que o erro relativo absoluto médio de cada janela é maior que da janela anterior (as janelas aparecem ordenadas crescentemente pelo EAR). O campo probabilidade é a probabilidade de rejeição da hipótese nula para cada janela, onde valores maiores que 5% indicam que os erros absolutos relativos médios são estatisticamente iguais para a respectiva janela e a anterior a um nível de significância de 5%.

Erro Absoluto Relativo

Média Desvio PadrãoNúmero de

Observações

1400 3,565% 5,907% 1.396252 3,669% 6,238% 1.148 0,564 28,63%126 3,763% 6,244% 1.274 0,535 29,65%63 3,802% 6,170% 1.337 0,231 40,87%21 4,136% 6,383% 1.379 1,943 2,61%

Rosenberg Estatística t Probabilidade

Para a expansão desta análise entre cada uma das janelas com todas as demais, veja as

tabelas 8 e 9 com as estatísticas t e suas probabilidades associadas, respectivamente.

Tabela 8 Estatística t para a diferença entre as médias de EARs entre as diferentes janelas da regressão da função de Rosenberg.

Estatística t

Janela 1400 252 126 63 21

1400252 0.564

126 1.129 0.535

63 1.401 0.785 0.23121 3.319 2.715 2.170 1.943

16 Vale lembrar, mais uma vez, que o que chamo de volatilidade implícita observada é na verdade aquela obtida através de regressões como descrito anteriormente.

116

Tabela 9 Probabilidades associadas às estatísticas t para a diferença entre as médias de EAR entre as diferentes janelas da regressão da função de Rosenberg.

Probabilidade Associada

Janela 1400 252 126 63 21

1400252 28,63%126 12,96% 29,65%63 8,07% 21,62% 40,87%21 0,05% 0,34% 1,51% 2,61%

Logo, aparentemente, todas as previsões são estatisticamente iguais, com exceção da

última, feita com janela de 21 dias. Entretanto, se consideramos que os dados estão

emparelhados e fizermos uma comparação entre a média da diferença de erros de cada

janela ponto a ponto, nota-se que podemos considerar as previsões de cada modelo

distintas, como pode ser observado na tabela 10.

Tabela 10 Probabilidades associadas às estatísticas t para a média das diferenças entre os EARs, ponto a ponto, para cada janela. Valores maiores que 5% indicam que não se pode rejeitar a hipótese nula (bilateral) de que a diferença média entre os EARs ponto a ponto, seja estatisticamente significativa a um nível de significância de 5%.

Janela 1400 252 126 63 211400 -252 0,02% -126 0,00% 3,61% -63 0,00% 0,29% 3,61% -21 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% -

De acordo com os dados acima17, constata-se que podemos considerar a utilização de

diferentes janelas para a regressão das equações de Rosenberg como elemento gerador

de diferenças entre as previsões de volatilidade implícita ATM.

17 No Anexo I encontram-se as tabelas com as correlações, médias, desvios-padrão e estatísticas t para a diferença de médias de EARs, ponto a ponto, para cada tamanho de janela utilizado.

117

Entrando, agora, na análise dos resultados das abordagens, a tabela 11, que segue,

apresenta os resultados dos erros relativos referentes ao preço das opções, bem como

seus desvios padrões e uma estatística t par testar a hipótese (unilateral) de que os

incrementos de EAR médio de uma abordagem para a outra são estatisticamente

significativos.

Tabela 11 Comparação das médias dos ERs e EARs dos preços entre as diferentes abordagens com número de observações distintos. O teste t é feito sob a hipótese nula (unilateral) de que o erro relativo absoluto médio de cada abordagem é maior que da abordagem anterior (as abordagens aparecem ordenadas crescentemente pelo EAR). O campo probabilidade é a probabilidade de rejeição da hipótese nula para cada abordagem, onde valores maiores que 5% indicam que os erros absolutos relativos médios são estatisticamente iguais para a respectiva abordagem e a anterior a um nível de significância de 5%. A linha tracejada indica os grupos de abordagens estatisticamente similares que foram encontrados.

Erro Relativo Erro Absoluto Relativo

MédiaDesvio Padrão


BS F_3 R_252 -2,20% 29,59% 15,08% 25,55% 6.456BS F_3 R_1400 -2,62% 42,95% 15,68% 40,08% 7.600 1,308 9,55%DK F_3 R_252 -0,37% 38,86% 15,79% 35,51% 6.456 0,256 39,89%BS F_3 R_126 -2,95% 45,81% 15,80% 43,10% 6.884 0,016 49,37%

BS F_3 R_21 -2,68% 43,45% 15,87% 40,53% 7.524 0,159 43,69%BS F_3 R_63 -2,69% 44,03% 15,92% 41,15% 7.269 0,089 46,47%DK F_3 R_21 -0,23% 38,71% 16,14% 35,19% 7.524 0,558 28,84%DK F_3 R_1400 -0,58% 45,84% 16,39% 42,82% 7.600 0,498 30,94%DK F_3 R_126 -1,15% 56,66% 16,73% 54,15% 6.884 0,519 30,20%

DK F_3 R_63 -1,27% 55,83% 17,20% 53,13% 7.269 0,768 22,13%

BS F_2 -3,91% 71,95% 22,35% 68,51% 7.600 6,546 0,00%BS F_1 -2,07% 64,36% 23,22% 60,06% 7.600 1,266 10,28%

DK F_2 -6,63% 228,32% 27,09% 226,81% 7.600 1,488 6,84%

BS F_4 -1,51% 55,50% 30,66% 46,29% 7.600 6,710 0,00%DK F_2 Def -7,25% 190,64% 32,40% 188,00% 7.595 0,809 20,92%

BS F_4 Def -1,68% 57,46% 32,78% 47,23% 7.595 0,692 24,44%DK F_1 -10,23% 284,78% 32,81% 283,07% 7.600 0,009 49,63%DK F_1 Def -6,28% 216,85% 33,09% 214,40% 7.595 0,115 45,43%

BS F_2 Def 74,25% 4785,09% 191,40% 4781,84% 7.595 2,885 0,20%BS F_1 Def 139,34% 5446,69% 201,48% 5444,74% 7.595 0,161 43,59%

Abordagem Observações Estatística t Probabilidade

Matematicamente, dados dois modelos M1 e M2 o teste t é feito sobre a hipótese nula

de que o incremento de erro absoluto de M1 para M2 é não significativo. A estatística

do teste, para uma amostra de n observações é a seguinte:

118

nDP

EARMEARMt

M

MM

2

21 −= 4.1

De acordo com a tabela acima podemos identificar 8 conjuntos de abordagens cujos

elementos podem ser considerados estatisticamente similares18. Dentre as abordagens

que usam o modelo de Derman & Kani (1994), o que se saiu melhor foi o DK_F3_R252

sendo somente o terceiro melhor. Dentre as seis melhores, todos usaram o modelo de

Black & Scholes (1973), com exceção da abordagem citada anteriormente. Contudo, o

que fica muito claro é a predominância da função 3, que faz uso da estimação de

Rosenberg, na medida em que elas ocuparam todas as primeiras posições.

A tabela 12 apresenta as mesmas informações que a tabela 11, porém em relação às

volatilidades implícitas.

119

Tabela 12 Comparação das médias dos ERs e EARs das volatilidades implícitas entre as diferentes abordagens com número de observações distintos. O teste t é feito sob a hipótese nula (unilateral) de que o erro relativo absoluto médio de cada abordagem é maior que da abordagem anterior (as abordagens aparecem ordenadas crescentemente pelo EAR). O campo probabilidade é a probabilidade de rejeição da hipótese nula para cada abordagem, onde valores maiores que 5% indicam que os erros absolutos relativos médios são estatisticamente iguais para a respectiva abordagem e a anterior a um nível de significância de 5%. A linha tracejada indica os grupos de abordagens estatisticamente similares que foram encontrados.




BS F_3 R_1400 -0,77% 11,10% 7,20% 8,49% 7.600BS F_3 R_21 -0,79% 11,14% 7,23% 8,50% 7.524 0,321 37,39%BS F_3 R_63 -0,79% 11,21% 7,26% 8,58% 7.269 0,323 37,32%BS F_3 R_252 -0,83% 11,38% 7,30% 8,76% 6.456 0,349 36,35%BS F_3 R_126 -0,89% 11,35% 7,32% 8,72% 6.884 0,166 43,42%

DK F_3 R_1400 0,44% 11,81% 7,77% 8,90% 7.600 4,457 0,00%DK F_3 R_21 0,47% 11,79% 7,78% 8,87% 7.524 0,072 47,14%DK F_3 R_252 0,41% 12,10% 7,87% 9,19% 6.456 0,807 20,99%DK F_3 R_63 0,39% 12,11% 7,89% 9,19% 7.269 0,144 44,28%DK F_3 R_126 0,35% 12,15% 7,92% 9,23% 6.884 0,260 39,75%

DK F_2 0,15% 15,54% 9,52% 12,27% 7.600 11,404 0,00%BS F_2 -1,67% 19,06% 9,71% 16,49% 7.600 0,990 16,12%

BS F_1 -1,05% 18,19% 9,95% 15,26% 7.600 1,375 8,46%DK F_1 0,59% 16,60% 10,07% 13,21% 7.600 0,782 21,72%

DK F_2 Def 0,34% 19,36% 12,46% 14,82% 7.595 14,060 0,00%

DK F_1 Def 0,86% 19,79% 12,83% 15,09% 7.595 2,131 1,66%

BS F_4 2,87% 21,61% 14,42% 16,35% 7.600 8,474 0,00%

BS F_4 Def 2,85% 23,07% 15,79% 17,06% 7.595 7,013 0,00%

BS F_2 Def -1,26% 120,40% 18,76% 118,94% 7.595 2,172 1,49%BS F_1 Def -0,79% 133,96% 19,44% 132,55% 7.595 0,449 32,67%

ProbabilidadeAbordagem Observações Estatística t

Os resultados para as volatilidades implícitas não foram muito diferentes uma vez que

decorrem dos preços obtidos. Houve, entretanto uma maior quantidade de conjuntos

estatisticamente iguais. Neste caso, o que também ficou evidente, foi uma nítida

distinção entre os dois primeiros grupos, ambos empregando funções de Rosenberg,

sendo que o primeiro utiliza o modelo de Black & Scholes e o segundo Derman & Kani.

Um fato que pôde ser observado é que para determinados dias com prazo de

vencimento distintos, as médias dos erros médios por abordagem eram bastante

18 Veja em no Anexo II a tabela com a matriz de estatísticas t entre todas a médias de EARs de preço de cada uma das abordagens, bem como a probabilidade relacionada a cada estatística t.O Anexo III apresenta esses valores

120

diferentes. Esta observação influenciou na escolha do intervalo entre os dias 30 e 6 para

o vencimento como intervalo de realização do seguro para cada vencimento. A tabela 13

apresenta os valores das médias dos erros médios entre as abordagens para cada prazo.

Nota-se que ao escolher o intervalo entre os dias 30 e 6 para o vencimento, há uma

grande diminuição do erro que se estaria incorrendo.

referentes a diferença entre as médias de EARs da volatilidade implícita.

121

Tabela 13 Média das médias dos ERs e EARs por prazo para o vencimento para cada abordagem. Os dados estão em ordem decrescente de acordo com a média do EAR. Em negrito estão os dias que foram deixados de fora. O quadro abaixo apresenta um resumo para os dias usados no seguro e os dias não usados.

Médias Médias

Erro Relativo

Erro Relativo Absoluto

Erro Relativo


45 1129,88% 1629,14% 37 -7,62% 19,71%

43 105,45% 277,18% 33 -5,46% 18,96%

42 5,85% 250,80% 26 0,45% 18,28%

44 17,14% 172,00% 11 4,64% 18,20%

39 118,56% 155,26% 24 -1,66% 17,46%

38 107,81% 148,16% 15 -5,05% 16,82%

35 -51,61% 69,71% 29 -6,11% 16,77%

46 -51,92% 52,26% 25 3,85% 16,63%

1 28,43% 48,53% 32 -3,44% 15,93%

41 -25,96% 43,05% 14 -4,25% 15,89%

2 23,09% 39,95% 16 -0,51% 15,89%

5 2,84% 35,03% 13 -3,20% 15,88%

3 23,24% 33,59% 23 -1,54% 15,63%

4 12,66% 33,07% 22 1,09% 15,14%

40 -11,23% 30,61% 18 -1,98% 15,08%

36 -11,57% 27,51% 12 -0,50% 14,88%

9 2,67% 24,54% 28 -2,71% 14,71%

30 -14,81% 24,28% 21 0,85% 14,02%

6 8,82% 23,35% 27 2,78% 14,00%

10 -3,08% 22,92% 17 -3,16% 13,67%

8 1,00% 22,31% 19 1,26% 13,58%

7 2,77% 21,33% 20 0,44% 12,04%

34 -6,98% 19,91% 31 -2,27% 11,83%

Médias

Erro Relativo


Dias Não Usados

66,52% 149,15%

Dias Usados -0,72% 17,33%

Prazo Prazo

Resumo

Uma questão que surgiu, foi se a diferença de pontos observados em cada modelagem

estaria influenciando nos resultados, uma vez que a abordagem DK_F2 trabalha com

7.600 observações, enquanto que a abordagem DK_F3_R252 usa somente 6.456

122

observações. A figura 16 apresenta a evolução das médias dos EARs dos preços entre as

diferentes abordagens. Note que se compararmos todas as abordagens a partir do dia

23/08/1995, primeiro dia da abordagem que começa mais tarde, estaremos tirando

grande parte de erros das demais abordagens melhorando a comparação. Sendo assim,

serão feitas a seguir as comparações das abordagens todas começando no dia

23/08/1995, logo, com a mesma quantidade de observações.

Figura 16 Evolução das Médias dos EARs dos preços entre as diferentes abordagens feitas.Em destaque (verde) está a data, a partir da qual se dará o início da comparação dos EARs médios entre as diferentes abordagens. Note que é exatamente a esquerda do traço verde que há uma grande concentração de erros de maior amplitude.

0%

5000%

10000%

15000%

20000%

25000%

30000%

35000%

19/08/94 19/02/95 19/08/95 19/02/96 19/08/96 19/02/97 19/08/97 19/02/98 19/08/98 19/02/99 19/08/99 19/02/00

23/08/1995

As tabelas 14 e 15 são análogas as tabelas 12 e 13, com a única diferença que todas as

abordagens têm o mesmo número de observações.

123

Tabela 14 Comparação das médias dos ERs e EARs dos preços entre as diferentes abordagens, usando-se o mesmo número de observações. O teste t é feito sob a hipótese nula (unilateral) de que o erro relativo absoluto médio de cada abordagem é maior que da abordagem anterior (as abordagens aparecem ordenadas crescentemente pelo EAR). O campo probabilidade é a probabilidade de rejeição da hipótese nula para cada abordagem, onde valores maiores que 5% indicam que os erros absolutos relativos médios são estatisticamente iguais para a respectiva abordagem e a anterior a um nível de significância de 5%. A linha tracejada indica os grupos de abordagens estatisticamente similares que foram encontrados.




BS F_3 R_126 -2,20% 29,51% 15,06% 25,47% 6.456BS F_3 R_1400 -2,19% 29,57% 15,08% 25,53% 6.456 0,047 48,12%BS F_3 R_252 -2,20% 29,59% 15,08% 25,55% 6.456 0,002 49,92%BS F_3 R_63 -2,22% 29,60% 15,11% 25,55% 6.456 0,103 45,89%BS F_3 R_21 -2,25% 29,89% 15,21% 25,82% 6.456 0,323 37,34%DK F_3 R_21 -0,08% 29,31% 15,49% 24,88% 6.456 0,905 18,29%

DK F_3 R_252 -0,37% 38,86% 15,79% 35,51% 6.456 0,673 25,03%DK F_3 R_1400 -0,45% 40,08% 15,91% 36,78% 6.456 0,258 39,83%DK F_3 R_126 -0,68% 50,37% 16,14% 47,72% 6.456 0,393 34,71%DK F_3 R_63 -1,20% 51,47% 16,62% 48,72% 6.456 0,778 21,82%

BS F_2 -3,03% 55,65% 20,92% 51,66% 6.456 6,692 0,00%DK F_2 -1,16% 89,01% 21,06% 86,49% 6.456 0,128 44,90%BS F_1 -1,44% 53,02% 21,70% 48,39% 6.456 1,077 14,07%

DK F_2 Def -3,34% 90,86% 27,71% 86,60% 6.456 5,577 0,00%DK F_1 Def -2,88% 80,42% 28,79% 75,14% 6.456 1,146 12,59%DK F_1 -7,52% 212,40% 29,22% 210,51% 6.456 0,166 43,40%

BS F_4 -3,83% 56,51% 30,90% 47,46% 6.456 2,848 0,22%

BS F_4 Def -4,00% 59,12% 33,18% 49,09% 6.456 3,725 0,01%

BS F_2 Def 51,23% 2321,49% 107,24% 2319,57% 6.456 2,566 0,52%BS F_1 Def 56,40% 2347,49% 108,45% 2345,66% 6.456 0,041 48,35%


124

Tabela 15 Comparação das médias dos ERs e EARs das volatilidades implícitas entre as diferentes abordagens, usando-se o mesmo número de observações. O teste t é feito sob a hipótese nula (unilateral) de que o erro relativo absoluto médio de cada abordagem é maior que da abordagem anterior (as abordagens aparecem ordenadas crescentemente pelo EAR). O campo probabilidade é a probabilidade de rejeição da hipótese nula para cada abordagem, onde valores maiores que 5% indicam que os erros absolutos relativos médios são estatisticamente iguais para a respectiva abordagem e a anterior a um nível de significância de 5%. A linha tracejada indica os grupos de abordagens estatisticamente similares que foram encontrados.




BS F_3 R_126 -0,82% 11,36% 7,30% 8,74% 6.456BS F_3 R_252 -0,83% 11,38% 7,30% 8,76% 6.456 0,025 48,99%BS F_3 R_1400 -0,83% 11,38% 7,30% 8,77% 6.456 0,032 48,74%BS F_3 R_63 -0,83% 11,37% 7,31% 8,74% 6.456 0,053 47,88%BS F_3 R_21 -0,83% 11,39% 7,33% 8,76% 6.456 0,194 42,32%

DK F_3 R_21 0,41% 12,03% 7,86% 9,11% 6.456 4,651 0,00%DK F_3 R_126 0,37% 12,11% 7,87% 9,21% 6.456 0,092 46,35%DK F_3 R_1400 0,39% 12,11% 7,87% 9,20% 6.456 0,022 49,14%DK F_3 R_252 0,41% 12,10% 7,87% 9,19% 6.456 0,007 49,71%DK F_3 R_63 0,33% 12,25% 7,93% 9,34% 6.456 0,452 32,57%

DK F_2 0,33% 14,73% 9,32% 11,42% 6.456 9,810 0,00%BS F_2 -1,62% 18,82% 9,61% 16,26% 6.456 1,419 7,80%

BS F_1 -1,01% 17,83% 9,77% 14,95% 6.456 0,884 18,84%DK F_1 0,58% 16,41% 9,97% 13,05% 6.456 1,247 10,62%

DK F_2 Def 0,46% 18,72% 12,25% 14,17% 6.456 12,905 0,00%DK F_1 Def 0,94% 19,17% 12,59% 14,48% 6.456 1,876 3,03%

BS F_4 2,34% 21,87% 14,45% 16,58% 6.456 9,008 0,00%

BS F_4 Def 2,34% 23,36% 15,85% 17,31% 6.456 6,508 0,00%BS F_2 Def -1,89% 102,60% 17,71% 101,08% 6.456 1,478 6,97%BS F_1 Def -2,00% 128,21% 18,71% 126,85% 6.456 0,636 26,24%


A evidência de que a precificação por Black & Scholes, fazendo-se uso da função 3

com os coeficientes de Rosenberg, é superior às demais foi mais uma vez reafirmada,

formando um primeiro grupo19. Há neste grupo a primeira abordagem com o modelo de

Derman & Kani, porém em último lugar. Em seguida vêem as abordagens que usam o

modelo de Derman & Kani com a função 3. Note, todavia, que o verdadeiro conceito de

Black & Scholes com volatilidade constante para todas os strikes, representada pelas

abordagens BS_F4 e BS_F4_Def ocupam sempre as piores posições, ficando na frente

19 Veja em no Anexo IV a tabela com a matriz de estatísticas t entre todas a médias de EARs de preço de cada uma das abordagens, bem como a probabilidade relacionada a cada estatística t.O Anexo V apresenta esses valores referentes à diferença entre as médias EARs da volatilidade implícita.

125

somente das abordagens BS_F2_Def e BS_F1_Def, que tentam incorporar o simle,

porém com os coeficientes do dia anterior.

Assim como os EARs das equações de Rosenberg para diferentes janelas podem ser

considerados emparelhados, os EARs das diferentes abordagens, usando-se o mesmo

número de pontos observados, também o podem. Embora esta análise não vise alterar a

classificação das abordagens, ela retorna uma compreensão mais detalhada das

diferenças entre as abordagens. A tabela a seguir apresenta as probabilidades associadas

à estatística t feita sob a hipótese nula (bilateral) de que a média da diferença dos EARs

dos preços, ponto a ponto, entre as abordagens é igual a zero20.

Tabela 16 Probabilidade associadas à estatística t para a média da diferença dos EARs do preço, ponto a ponto, para cada par de abordagens. A diferença de EAR é sempre da abordagem da linha menos a abordagem da coluna. Valores maiores que 5% indicam que a média da diferença entre os EARs para o par de abordagens é estatisticamente igual a zero a um nível de significância de 5%.

AbordagemBS F_3 R_126

BS F_3 R_1400

BS F_3 R_252

BS F_3 R_63

BS F_3 R_21

DK F_3 R_21

DK F_3 R_252

DK F_3 R_1400

DK F_3 R_126

DK F_3 R_63

BS F_2 DK F_2 BS F_1DK F_2

DefDK F_1

DefDK F_1 BS F_4

BS F_4 Def

BS F_2 Def

BS F_1 Def

BS F_3 R_126 -BS F_3 R_1400 13,0% -BS F_3 R_252 15,3% 93,8% -BS F_3 R_63 0,0% 3,8% 6,7% -BS F_3 R_21 0,0% 0,0% 0,0% 0,1% -DK F_3 R_21 0,1% 0,1% 0,1% 0,2% 2,6% -DK F_3 R_252 3,9% 4,4% 4,4% 5,4% 10,5% 35,2% -DK F_3 R_1400 2,2% 2,5% 2,5% 3,1% 6,3% 22,0% 3,9% -DK F_3 R_126 4,1% 4,4% 4,4% 5,1% 8,0% 19,4% 6,7% 19,2% -DK F_3 R_63 0,4% 0,4% 0,4% 0,5% 0,9% 3,1% 17,7% 25,0% 51,7% -BS F_2 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% -DK F_2 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 88,9% -BS F_1 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,6% 51,8% -DK F_2 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% -DK F_1 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 25,3% -DK F_1 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,1% 0,3% 0,3% 58,1% 86,9% -BS F_4 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,2% 1,9% 52,1% -BS F_4 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 13,2% 0,0% -BS F_2 Def 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,2% 0,2% 0,2% 0,2% 0,3% 0,3% 0,3% 0,6% 0,6% 0,7% 0,8% 1,0% -BS F_1 Def 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,2% 0,2% 0,2% 0,3% 0,2% 0,3% 0,5% 0,6% 0,7% 0,8% 1,0% 91,9% -

Pode-se perceber, que ao assumir-se os EARs dos preços emparelhados, há uma

maior diferenciação de uma abordagem para a outra. Entre as três primeiras, que fazem

20 Veja no Anexo VI as tabelas com as correlações dos EARs do preço entre as diferentes abordagens, bem como a média da diferença entre os EARs do preço, ponto a ponto, para cada par de abordagens, seus desvios-padrão e estatística t.

126

uso das equações de Rosenberg, sugere-se, então utilizar aquela com a menor janela, ou

seja 126, que já é a primeira de qualquer forma. A tabela a seguir apresenta o mesmo

tipo de análise, realizado, entretanto, para as volatilidades implícitas21.

Tabela 17 Probabilidade associadas à estatística t para a média da diferença dos EARs da volatilidade implícita, ponto a ponto, para cada par de abordagens. A diferença de EAR é sempre da abordagem da linha menos a abordagem da coluna. Valores maiores que 5% indicam que a média da diferença entre os EARs para o par de abordagens é estatisticamente igual a zero a um nível de significância de 5%.


BS F_3 R_252

BS F_3 R_1400

BS F_3 R_63

BS F_3 R_21

DK F_3 R_21

DK F_3 R_126

DK F_3 R_1400

DK F_3 R_252

DK F_3 R_63

DK F_2 BS F_2 BS F_1 DK F_1DK F_2

DefDK F_1

DefBS F_4

BS F_4 Def

BS F_2 Def

BS F_1 Def

BS F_3 R_126 -BS F_3 R_252 24,1% -BS F_3 R_1400 0,5% 2,8% -BS F_3 R_63 0,3% 7,2% 20,7% -BS F_3 R_21 0,0% 0,0% 0,0% 0,1% -DK F_3 R_21 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% -DK F_3 R_126 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 70,1% -DK F_3 R_1400 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 57,0% 88,2% -DK F_3 R_252 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 53,7% 83,2% 95,2% -DK F_3 R_63 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 2,7% 12,7% 9,5% 11,3% -DK F_2 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% -BS F_2 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 1,5% -BS F_1 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 4,6% -DK F_1 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 2,7% 12,5% -DK F_2 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% -DK F_1 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,1% -BS F_4 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% -BS F_4 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% -BS F_2 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,9% 13,3% -BS F_1 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,6% 6,7% 20,3% -

De uma maneira geral, as abordagens que apresentam similaridade na precificação

são as mesmas que apresentam similaridade nas volatilidades implícitas.

Cabe, agora, uma análise dos ERs, para verificar se existe uma tendência de

subprecificação ou superprecificação. A tabela 18 apresenta as estatísticas t para a

hipótese nula de que os ERs médios para cada abordagem sejam iguais a zero, e as

probabilidades associadas.

21 Veja no Anexo VII as tabelas com as correlações dos EARs da volatilidade implícita entre as diferentes abordagens, bem como a média da diferença entre os EARs da volatilidade implícita, ponto a ponto, para cada par de abordagens, seus desvios-padrão e estatística t

127

Tabela 18 Teste t sobre a hipótese nula (bilateral) de que os ERs médios tanto para o preço como para a volatilidade implícita são iguais a zero. O campo Prob é a probabilidade de rejeição da hipótese nula para cada abordagem, onde valores maiores que 5% indicam que os erros relativos médios são estatisticamente iguais a zero a um nível de significância de 5%

Erro Relativo Erro Relativo

Preço Volatilidade Impl.

Média Est t Prob Média Est t Prob

BS F_3 R_126 -2,196% -5,981 0,00% BS F_3 R_126 -0,824% -5,833 0,00%

BS F_3 R_1400 -2,191% -5,954 0,00% BS F_3 R_252 -0,828% -5,846 0,00%

BS F_3 R_252 -2,201% -5,976 0,00% BS F_3 R_1400 -0,828% -5,845 0,00%

BS F_3 R_63 -2,219% -6,024 0,00% BS F_3 R_63 -0,830% -5,867 0,00%

BS F_3 R_21 -2,255% -6,062 0,00% BS F_3 R_21 -0,833% -5,872 0,00%

DK F_3 R_21 -0,081% -0,222 82,40% DK F_3 R_21 0,410% 2,735 0,62%

DK F_3 R_252 -0,373% -0,771 44,05% DK F_3 R_126 0,372% 2,468 1,36%

DK F_3 R_1400 -0,452% -0,906 36,52% DK F_3 R_1400 0,387% 2,571 1,02%

DK F_3 R_126 -0,681% -1,086 27,74% DK F_3 R_252 0,406% 2,697 0,70%

DK F_3 R_63 -1,198% -1,871 6,14% DK F_3 R_63 0,334% 2,192 2,84%

BS F_2 -3,032% -4,377 0,00% DK F_2 0,333% 1,818 6,92%

DK F_2 -1,162% -1,049 29,42% BS F_2 -1,620% -6,916 0,00%

BS F_1 -1,437% -2,178 2,94% BS F_1 -1,008% -4,540 0,00%

DK F_2 Def -3,341% -2,954 0,31% DK F_1 0,584% 2,861 0,42%

DK F_1 Def -2,875% -2,873 0,41% DK F_2 Def 0,459% 1,969 4,90%

DK F_1 -7,517% -2,844 0,45% DK F_1 Def 0,945% 3,962 0,01%

BS F_4 -3,828% -5,444 0,00% BS F_4 2,340% 8,597 0,00%

BS F_4 Def -3,996% -5,431 0,00% BS F_4 Def 2,343% 8,059 0,00%

BS F_2 Def 51,235% 1,773 7,62% BS F_2 Def -1,889% -1,479 13,91%

BS F_1 Def 56,402% 1,931 5,36% BS F_1 Def -2,000% -1,254 21,00%

Abordagem Abordagem

Note que as melhores abordagens de acordo com o EAR médio do preço apresentam

um viés de superprecificação da opção. De uma maneira geral as funções 3 ao serem

usadas com o modelo de Black & Scholes tendem a gerar valores maiores que o

mercado, enquanto que esta mesma função com o modelo de Derman & Kani não

apresenta nenhuma tendência estatisticamente significativa. Para as demais funções não

foi possível identificar um padrão. Entretanto, ao expandir-se esta análise para o ER

médio das volatilidades implícitas para cada abordagem constata-se que praticamente

todos apresentam uma certa tendência a gerar volatilidades implícitas maiores ou

menores que as observadas no mercado. Concomitantemente com a tabela 14 percebe-se

que a função 3 juntamente com o modelo de Black & Scholes tende a gerar

volatilidades implícitas maiores que as observadas no mercado enquanto que esta

128

mesma função junto com o modelo de Derman & Kani tende para o lado oposto,

contudo, com amplitude aproximadamente igual a metade do caso anterior.

No que diz respeito à realização dos seguros dinâmicos, repare na tabela a seguir, que

a média das médias dos EARs por prazo nos dias não usados no seguro caiu bastante,

enquanto que a dos dias usados praticamente não se alterou.

129

Tabela 19 Média das médias dos ERs e EARs por prazo para o vencimento para cada abordagem. Os dados estão em ordem decrescente de acordo com a média do EAR. Em negrito estão os dias que foram deixados de fora. O quadro abaixo apresenta um resumo para os dias usados no seguro e os dias não usados.

Médias Médias

Erro Relativo


Erro Relativo


43 145,06% 304,56% 26 0,63% 18,41%

44 24,97% 180,84% 29 -7,93% 18,04%

39 137,79% 175,05% 24 -0,60% 17,77%

45 -108,07% 111,46% 37 -6,31% 17,54%

42 -42,87% 52,87% 15 -6,64% 17,33%

46 -51,92% 52,26% 25 3,96% 16,59%

1 24,92% 47,63% 23 -1,05% 16,16%

2 20,15% 38,47% 16 -1,05% 16,03%

41 -29,04% 38,08% 33 -2,02% 16,01%

5 -0,31% 34,86% 14 -4,21% 16,01%

3 22,31% 33,08% 34 -1,84% 15,67%

4 11,25% 32,39% 22 1,80% 15,24%

40 -10,24% 31,00% 12 -0,57% 14,95%

36 -13,34% 29,89% 18 -3,35% 14,94%

30 -17,04% 26,59% 13 -2,32% 14,73%

9 1,04% 25,69% 28 -4,15% 14,63%

10 -3,10% 23,71% 32 -1,44% 14,32%

35 -3,11% 22,54% 21 -0,23% 13,81%

6 6,69% 22,46% 27 2,22% 13,68%

8 -1,24% 22,36% 17 -2,57% 13,24%

7 1,91% 19,83% 19 -0,62% 13,20%

38 -10,25% 18,74% 31 -2,28% 11,78%

11 4,75% 18,44% 20 -0,80% 11,45%

Médias

Erro Relativo


Dias Não Usados

4,92% 60,91%

Dias Usados -1,38% 17,41%

Prazo Prazo

Resumo

4.2.2 Performance Dinâmica

As tabelas 20 e 21 apresentam os resultados dos erros em relação ao valor teórico e

observado do seguro para cada uma das abordagens, sendo que a primeira considera

números diferentes de seguros (em função da data início de cada uma das abordagens),

130

enquanto que a segunda leva em consideração a mesma quantidade de seguros,

estabelecida por aquele que tem a menor quantidade, uniformizando a comparação.

Tabela 20 Comparação das médias dos ERs e EARs dos valores do seguro entre as diferentes abordagens.com diferentes números de seguros por abordagem. O teste t é feito sob a hipótese nula (unilateral) de que o erro relativo absoluto médio de cada abordagem é maior que da abordagem anterior (as abordagens aparecem ordenadas crescentemente pelo EAR). O campo probabilidade é a probabilidade de rejeição da hipótese nula para cada abordagem, onde valores maiores que 5% indicam que os erros absolutos relativos médios são estatisticamente iguais para a respectiva abordagem e a anterior a um nível de significância de 5%. A linha tracejada indica os grupos de abordagens estatisticamente similares que foram encontrados.

Erro Relativo Erro Absoluto Relativo Quatidade Total Operada

Média Desvio Padrão Média Desvio Padrão Média Desvio Padrão

BS F_3 R_252 0,312% 2,135% 1,507% 1,517% 1.982 740 28

DK F_3 R_252 0,392% 2,235% 1,576% 1,606% 2.067 655 28 0,225 41,17%BS F_2 Def 0,676% 2,388% 1,630% 1,853% 2.099 788 34 0,172 43,22%BS F_4 Def 0,677% 2,448% 1,644% 1,919% 2.112 803 34 0,040 48,43%BS F_2 0,671% 2,381% 1,648% 1,826% 2.091 779 34 0,013 49,50%BS F_1 0,665% 2,376% 1,648% 1,818% 2.114 764 34 0,001 49,98%BS F_3 R_126 0,508% 2,436% 1,653% 1,838% 2.037 739 31 0,015 49,39%BS F_3 R_21 0,591% 2,412% 1,666% 1,821% 2.088 750 33 0,041 48,37%BS F_1 Def 0,706% 2,407% 1,671% 1,852% 2.122 770 34 0,015 49,39%BS F_4 0,692% 2,463% 1,672% 1,919% 2.110 795 34 0,003 49,89%BS F_3 R_1400 0,637% 2,389% 1,680% 1,794% 2.108 749 34 0,027 48,92%BS F_3 R_63 0,598% 2,450% 1,706% 1,835% 2.076 759 32 0,080 46,85%DK F_2 0,721% 2,471% 1,708% 1,907% 2.129 722 34 0,005 49,79%DK F_3 R_1400 0,669% 2,485% 1,723% 1,892% 2.172 670 34 0,048 48,11%DK F_3 R_126 0,576% 2,571% 1,737% 1,959% 2.109 661 31 0,038 48,50%DK F_2 Def 0,677% 2,510% 1,738% 1,913% 2.135 752 34 0,004 49,83%DK F_3 R_63 0,648% 2,536% 1,748% 1,926% 2.149 673 32 0,030 48,80%DK F_3 R_21 0,658% 2,544% 1,752% 1,937% 2.142 679 33 0,010 49,60%DK F_1 0,830% 2,621% 1,768% 2,088% 2.219 743 34 0,045 48,23%DK F_1 Def 0,817% 2,678% 1,822% 2,107% 2.220 780 34 0,150 44,10%

ProbabilidadeObservaçõesAbordagem Estatística t

Não foi possível notar diferença estatisticamente significativa entre as abordagens. Na

verdade são todas muito parecidas. A probabilidade entre a primeira e a última, de que

suas médias sejam estaticamente iguais é de 19,5%22.

131

Tabela 21 Comparação das médias dos ERs e EARs dos valores do seguro entre as diferentes abordagens.com número de seguros iguais. O teste t é feito sob a hipótese nula (unilateral) de que o erro relativo absoluto médio de cada abordagem é maior que da abordagem anterior (as abordagens aparecem ordenadas crescentemente pelo EAR). O campo probabilidade é a probabilidade de rejeição da hipótese nula para cada abordagem, onde valores maiores que 5% indicam que os erros absolutos relativos médios são estatisticamente iguais para a respectiva abordagem e a anterior a um nível de significância de 5%. A linha tracejada indica os grupos de abordagens estatisticamente similares que foram encontrados.

Erro Relativo Erro Absoluto Relativo Quatidade Total Operada

Média Desvio Padrão Média Desvio Padrão Média Desvio Padrão

BS F_4 Def 0,325% 2,091% 1,433% 1,534% 1.981 795 28

BS F_2 Def 0,352% 2,088% 1,439% 1,530% 1.970 780 28 0,020 49,20%BS F_1 Def 0,354% 2,034% 1,465% 1,429% 1.995 759 28 0,096 46,21%BS F_4 0,334% 2,103% 1,468% 1,518% 1.977 785 28 0,010 49,62%BS F_1 0,327% 2,047% 1,472% 1,433% 1.988 754 28 0,016 49,38%BS F_2 0,348% 2,111% 1,478% 1,523% 1.963 771 28 0,021 49,18%BS F_3 R_63 0,312% 2,135% 1,506% 1,518% 1.983 740 28 0,099 46,10%BS F_3 R_21 0,311% 2,136% 1,506% 1,520% 1.983 739 28 0,000 49,99%BS F_3 R_126 0,311% 2,134% 1,507% 1,517% 1.982 740 28 0,002 49,93%BS F_3 R_1400 0,312% 2,134% 1,507% 1,517% 1.982 740 28 0,001 49,97%BS F_3 R_252 0,312% 2,135% 1,507% 1,517% 1.982 740 28 0,001 49,94%DK F_2 Def 0,423% 2,260% 1,564% 1,660% 2.017 741 28 0,180 42,94%DK F_2 0,458% 2,273% 1,573% 1,678% 2.018 718 28 0,030 48,81%DK F_3 R_252 0,392% 2,235% 1,576% 1,606% 2.067 655 28 0,008 49,68%DK F_3 R_63 0,399% 2,277% 1,579% 1,662% 2.076 662 28 0,012 49,54%DK F_1 0,505% 2,269% 1,588% 1,672% 2.102 732 28 0,026 48,96%DK F_3 R_1400 0,410% 2,318% 1,600% 1,701% 2.069 673 28 0,037 48,54%DK F_1 Def 0,461% 2,311% 1,607% 1,698% 2.089 757 28 0,023 49,09%DK F_3 R_126 0,407% 2,320% 1,609% 1,693% 2.065 666 28 0,006 49,78%DK F_3 R_21 0,423% 2,338% 1,616% 1,716% 2.053 674 28 0,020 49,19%

ProbabilidadeAbordagem Observações Estatística t

Mais uma vez não foi possível notar diferença estatisticamente significativa entre as

abordagens, havendo até mesmo um aumento do grau de similaridade. A probabilidade

entre a primeira e a última, de que suas médias sejam estaticamente iguais é de 28,9%23.

Porém, mais uma vez será feita a análise dos seguros considerando seus dados

emparelhados. A tabela 22 apresenta as probabilidades associadas à estatística t feita

sob a hipótese nula (bilateral) de que a média da diferença dos EARs dos valores do

seguro, seguro a seguro, entre as abordagens é igual a zero24.

22 Veja em no Anexo VIII a tabela com a matriz de estatísticas t entre todas a médias de EARs de valor do seguro de cada uma das abordagens, bem como a probabilidade relacionada a cada estatística t

23 Veja em no Anexo IX a tabela com a matriz de estatísticas t entre todas a médias de EARs de valor do seguro de cada uma das abordagens, bem como a probabilidade relacionada a cada estatística t

24 Veja no Anexo X as tabelas com as correlações dos EARs do valor do seguro entre as diferentes abordagens, bem como a média da diferença entre os EARs do valor do seguro, seguro a seguro, para cada par de abordagens, seus desvios-padrão e estatística t

132

Tabela 22 Probabilidades associadas à estatística t para a média da diferença dos EARs do valor do seguro, seguro a seguro, para cada par de abordagens. A diferença de EAR é sempre da abordagem da linha menos a abordagem da coluna. Valores maiores que 5% indicam que a média de diferença entre os EARs para o par de abordagens é estatisticamente igual a zero a um nível de significância de 5%.

AbordagensBS F_4

DefBS F_2

DefBS F_1

DefBS F_4 BS F_1 BS F_2

BS F_3 R_63

BS F_3 R_21

BS F_3 R_126

BS F_3 R_1400

BS F_3 R_252

DK F_2 Def

DK F_2DK F_3 R_252

DK F_3 R_63

DK F_1DK F_3 R_1400

DK F_1 Def

DK F_3 R_126

DK F_3 R_21

BS F_4 Def -

BS F_2 Def 88,61% -

BS F_1 Def 41,70% 58,09% -

BS F_4 44,52% 68,79% 95,27% -

BS F_1 47,51% 63,12% 81,89% 90,64% -

BS F_2 34,66% 37,44% 75,36% 82,69% 90,01% -

BS F_3 R_63 17,00% 16,38% 35,01% 47,99% 47,78% 24,88% -

BS F_3 R_21 17,43% 16,91% 35,17% 47,98% 47,47% 26,50% 98,09% -

BS F_3 R_126 16,71% 15,99% 34,30% 47,46% 47,11% 24,02% 53,19% 79,48% -

BS F_3 R_1400 16,27% 15,44% 33,72% 47,15% 46,75% 23,62% 55,27% 72,87% 82,89% -

BS F_3 R_252 16,11% 15,25% 33,26% 46,66% 46,18% 22,83% 33,04% 56,82% 43,99% 46,08% -

DK F_2 Def 29,11% 16,63% 41,26% 49,98% 49,67% 42,20% 57,72% 57,75% 58,06% 58,17% 58,41% -

DK F_2 24,74% 13,25% 33,88% 42,78% 41,73% 31,59% 47,57% 47,64% 47,90% 48,06% 48,25% 84,31% -

DK F_3 R_252 24,91% 14,55% 31,85% 41,85% 38,70% 31,95% 43,84% 43,71% 44,16% 44,31% 44,53% 82,32% 94,73% -

DK F_3 R_63 21,20% 11,01% 30,29% 39,51% 37,80% 28,58% 39,10% 39,06% 39,42% 39,51% 39,76% 78,05% 88,53% 90,36% -

DK F_1 13,78% 5,20% 21,43% 31,35% 29,83% 19,38% 32,89% 33,13% 33,20% 33,41% 33,50% 71,18% 74,61% 84,66% 88,71% -

DK F_3 R_1400 19,69% 10,49% 27,11% 35,37% 33,64% 25,12% 33,61% 33,54% 33,86% 33,99% 34,15% 44,87% 48,80% 40,51% 38,91% 84,02% -

DK F_1 Def 10,64% 3,52% 17,23% 25,07% 25,03% 14,81% 26,04% 26,15% 26,30% 26,46% 26,51% 40,90% 51,97% 65,26% 69,48% 60,98% 90,96% -

DK F_3 R_126 17,16% 8,81% 23,32% 31,64% 29,40% 21,35% 28,13% 28,02% 28,36% 28,47% 28,62% 39,67% 37,03% 18,95% 16,22% 73,30% 42,34% 97,96% -

DK F_3 R_21 17,06% 8,49% 22,96% 31,22% 28,92% 21,64% 28,60% 28,48% 28,82% 28,90% 29,03% 30,17% 28,51% 16,96% 20,09% 64,35% 34,57% 89,90% 71,23% -

Só houve um par de abordagens (DK_F1_Def e BS_F2_Def) cujas médias podem ser

consideradas estatisticamente distintas. Logo, a constatação anterior de que todos as

abordagens são estatisticamente iguais permanece válida, com apenas uma exceção.

Fica, então a pergunta se a quantidade total de lotes operados entre as abordagens

pode ser considerada um ponto relevante para a escolha entre as abordagens, visto que

ela influencia diretamente no custo (corretagens e emolumentos não considerados na

análise) de realização do seguro. A tabela 23 apresenta as probabilidades associadas à

estatística t feita sob a hipótese nula (bilateral) de que a média da diferença de

quantidades operadas, seguro a seguro, entre as abordagens é igual a zero25.

25 Veja no Anexo XI as tabelas com as correlações das médias de quantidades operadas entre as diferentes abordagens, bem como a média da diferença entre as quantidades médias operadas, seguro a seguro, para cada par de abordagens, seus desvios-padrão e estatística t

133

Tabela 23 Probabilidades associadas à estatística t para a media da diferença de quantidade operada, seguro a seguro, para cada par de abordagens. A diferença de quantidade operada é sempre da abordagem da linha menos a abordagem da coluna. Valores maiores que 5% indicam que a média da diferença entre as quantidades para o par de abordagens é estatisticamente igual a zero a um nível de significância de 5%.As abordagens aparecem em ordem crescente de quantidade total operada, de cima para baixo e da esquerda para a direita.

Abordagens BS F_2BS F_2

DefBS F_4

BS F_4 Def

BS F_3 R_1400

BS F_3 R_126

BS F_3 R_252

BS F_3 R_21

BS F_3 R_63

BS F_1BS F_1

DefDK F_2

DefDK F_2

DK F_3 R_21

DK F_3 R_126

DK F_3 R_252

DK F_3 R_1400

DK F_3 R_63

DK F_1 Def

DK F_1

BS F_2 -

BS F_2 Def 37,23% -

BS F_4 23,87% 53,04% -

BS F_4 Def 14,22% 26,45% 50,36% -

BS F_3 R_1400 17,55% 48,69% 81,42% 96,75% -

BS F_3 R_126 17,75% 48,84% 81,24% 96,48% 84,31% -

BS F_3 R_252 17,19% 48,33% 81,08% 96,43% 63,53% 98,17% -

BS F_3 R_21 17,34% 47,62% 79,50% 94,54% 49,87% 51,89% 56,22% -

BS F_3 R_63 15,95% 46,57% 79,00% 94,33% 30,51% 24,64% 35,28% 96,86% -

BS F_1 1,80% 15,63% 29,33% 58,68% 72,21% 72,68% 72,51% 75,67% 75,25% -

BS F_1 Def 1,41% 5,01% 9,09% 21,69% 50,63% 51,07% 50,82% 53,66% 52,86% 18,95% -

DK F_2 Def 1,13% 1,14% 3,61% 7,39% 18,09% 18,29% 18,13% 19,29% 18,81% 10,15% 15,38% -

DK F_2 0,80% 3,52% 8,74% 14,66% 12,28% 12,26% 12,24% 13,04% 12,50% 10,93% 22,42% 95,72% -

DK F_3 R_21 0,51% 1,35% 3,57% 5,30% 0,75% 0,73% 0,75% 0,76% 0,75% 3,06% 5,41% 16,55% 5,84% -

DK F_3 R_126 0,43% 1,04% 2,50% 3,85% 0,63% 0,61% 0,63% 0,63% 0,63% 2,01% 3,50% 9,24% 2,44% 8,92% -

DK F_3 R_252 0,84% 1,86% 3,53% 5,31% 1,26% 1,23% 1,26% 1,31% 1,27% 2,87% 4,67% 13,08% 4,52% 33,14% 90,26% -

DK F_3 R_1400 0,32% 0,82% 2,13% 3,24% 0,48% 0,47% 0,48% 0,48% 0,48% 1,84% 3,21% 7,94% 2,04% 12,03% 66,41% 87,53% -

DK F_3 R_63 1,40% 2,52% 4,03% 5,50% 2,46% 2,41% 2,45% 2,53% 2,47% 3,44% 4,80% 10,73% 4,32% 28,84% 57,56% 50,51% 75,42% -

DK F_1 Def 0,04% 0,10% 0,04% 0,12% 0,43% 0,42% 0,43% 0,47% 0,43% 0,03% 0,03% 0,72% 0,71% 28,46% 47,17% 49,88% 56,22% 68,15% -

DK F_1 0,02% 0,03% 0,01% 0,02% 0,17% 0,17% 0,17% 0,18% 0,17% 0,00% 0,00% 0,06% 0,31% 15,08% 28,41% 31,44% 36,15% 45,14% 51,97% -

Note que, genericamente, pode-se considerar que as abordagens que utilizam o

modelo de Black & Scholes formam um grupo enquanto que as que usam o modelo de

Derman & Kani outro, havendo uma preferência pelo primeiro dado que existe uma

menor quantidade de lotes a ser operada.

134

55 CCOONNCCLLUUSSÕÕEESS EE SSUUGGEESSTTÕÕEESS

Pode-se notar que o mundo ideal previsto por Black & Scholes, baseado em

premissas bem amarradas, não é, de fato, observado no mercado de açõe,s tanto

americano, quanto brasileiro, bem como em muitos outros países. Visando corrigir

algumas imperfeições de seu modelo, diversos autores seguiram caminhos diferentes,

mas sempre com o mesmo propósito de tentar encontrar um modelo que fosse capaz de

melhor refletir o comportamento do mercado e, conseqüentemente, gerasse preços mais

fidedignos com a realidade observada.

Dentre os cinco parâmetros para a precificação de uma opção de acordo com Black &

Scholes, o que gera e continuará a gerar grande polêmica será a volatilidade. Ela é fruto

tanto do comportamento passado do ativo subjacente como da expectativa de

comportamento futuro, ou ainda uma mescla de ambos.

Contudo, além de haver divergências entre os operadores a respeito do valor

volatilidade que servirá de input para precificação de uma opção, gerando os spreads de

compra e de venda, esta volatilidade não permanece constante para qualquer strike e

qualquer maturidade, contrariando as premissas peculiares ao modelo de Black &

Scholes, onde a volatilidade é constante para estas duas variáveis.

Este comportamento, mais conhecido como smile e estrutura a termo da volatilidade,

respectivamente, tornou-se muito evidente no mercado de ações americano desde a crise

de 1987. A partir de então, procurou-se entender melhor esse efeito, para saber suas

causas, bem como entendê-las de modo a auxiliar no desenvolvimento de um novo

modelo de precificação que fosse capaz de contemplar esse efeito.

135

Outros autores partem simplesmente do princípio de que esse efeito existe e procuram

lidar com o mesmo da melhor maneira possível. Houve início, então, dos modelos que

procuravam extrair dos preços das opções observadas no mercado informações

relevantes para a precificação futura de uma outra opção, que fosse condizente com o

quê o mercado estava pensando. Um outro ponto importante destes novos modelos era a

precificação de opções exóticas que pudessem ser travadas com opções normais de

maneira consistente.

Ressalta-se que todo o conceito básico por trás desses modelos advem do que é

chamado de volatilidade implícita. A volatilidade implícita, por sua vez, é obtida pela

inversão da fórmula proposta por Black & Scholes, onde o que se deseja calcular é a

volatilidade que levou àquele preço específico. Calculam-se, assim, várias volatilidades

implícitas sobre um mesmo ativo para diferentes strikes e vencimentos, obtendo a

superfície de volatilidade implícita. O modelo de Black & Scholes, entretanto, assume a

existência de somente uma única volatilidade, havendo, assim, um confronto de idéias.

O mercado parte, então, para a procura de um modelo que tenha aquela estrutura de

volatilidade, simplesmente ou desconsiderando a existência de tal dilema, ou, então, o

que pode ser também provável, ignorando-o. Logo, parte-se de uma premissa

conceitualmente equivocada para a elaboração de um modelo que seja capaz de levá-la

em consideração.

O que parece estar acontecendo é que o mercado, como um todo, aceitou aquela

premissa como verdadeira, e assim, sentiu-se mais confortável em partir para modelos

que, em vez de questioná-la, tomaram-na como entrada fundamental do modelo.

136

Derman & Kani (1994) foram um dos primeiros autores a desenvolver um modelo de

precificação de opções que tinha como input informações sobre o comportamento da

volatilidade observadas no mercado. Trata-se de um modelo discreto via construção de

uma árvore de volatilidade implícita. A SPD observada no último nó da árvore sugere

uma distribuição diferente da normal para os retornos do ativo, adequando-se conforme

o smile do ativo.

Uma questão que é muito importante neste modelo é a função de volatilidade

implícita utilizada, pois é ela que descreve a forma de comportamento da volatilidade de

acordo tanto com o strike quanto com o tempo.

O objetivo deste trabalho foi comparar o modelo de Derman & Kani (1994) no

mercado brasileiro, fazendo-se uso de algumas formas de funções de volatilidade

implícita que fossem capazes de refletir o comportamento da volatilidade, ou seja, o

smile, com o modelo de Black & Scholes (1973) e algumas adaptações ao mesmo. Foi

efetuada uma comparação tanto estática, visando a precificação propriamente dita de

uma opção, bem como do parâmetro de hedge Delta, aplicado a uma estratégia de

Seguro Dinâmico de Portifólio.

Em um primeiro momento se fez necessária a estimação das volatilidades implícitas

ATM, as quais serviriam de input para futuros cálculos. Em virtude da quantidade

limitada de observações diárias foi necessário utilizar um método que levava em

consideração uma janela de 5 dias. Tentou-se trabalhar com uma janela menor, mas

havia algumas seqüências de 4 dias, por exemplo, com número muito pequeno de

observações, comprometendo a estimação da volatilidade implícita ATM.

137

Estas volatilidades serviram de base para a estimação das volatilidades futuras, de

acordo com a equação de Rosenberg. Foram utilizados 5 diferentes tamanhos de janelas,

visando verificar se o tamanha da janela geraria resultados estatisticamente

significativos nos testes de performance estática e dinâmica. Em um primeiro momento,

pode-se notar que as previsões de volatilidade implícita ATM para cada tamanho de

janela podem ser consideradas estatisticamente diferentes, de acordo com um teste de

diferença de médias, considerando-se os dados emparelhados, contudo, o seu emprego

na precificação de opções gera diferenças muito pequenas e em estratégias de Seguro

Dinâmico não parece gerar resultados estatisticamente significativos.

Ao proceder-se uma análise de performance estática entre as 20 abordagens

apresentadas foi possível notar uma clara predominância das abordagens que faziam uso

das funções de Rosenberg associadas ao modelo de Black & Scholes. Logo em seguida

aparecem as abordagens que faziam uso do modelo de Derman & Kani com essas

mesmas funções. As funções 1 e 2 defasadas foram as que apresentaram os piores

resultados em ambos os modelos.

Foram feitas análises utilizando-se tamanhos diferentes de dados para cada

abordagem, em função da peculiaridade de cada uma e em seguida optou-se por analisar

todas com as mesmas quantidades de dados. Esta diferença de quantidade de

observações, entretanto, não implicou em qualquer mudança radical da performance das

abordagens utilizadas, permanecendo o que já fora dito.

O tamanho da janela para a estimação dos parâmetros da equação de Rosenberg

parece exercer alguma influência na performance, porém não é possível afirmar que

aquela que gera uma melhor previsão de volatilidade implícita ATM, será a que

138

precificará melhor as opções. Entretanto, as diferenças, embora estatisticamente

significativas, são muito pequenas para se justificar a utilização de uma em detrimento

de outra. Fato importante é que o tamanho da janela não exerce grande impacto nos

resultados obtidos, pelo menos para o ativo analisado, que foi Telebrás PN. Caso fossem

feitas essas mesmas análises com outros ativos nada garante que o tamanho da janela

continue a não influenciar os resultados finais.

Este trabalho ainda tentou testar a performance dinâmica das diversas abordagens via

construção de estratégias de Seguro Dinâmico de Portfólio, onde o emprego do Delta de

uma opção de venda é utilizado para o balanceamento diário. O que se pôde constatar

foi que não houve diferença estatisticamente significativa entre as 20 abordagens

analisadas, com exceção de uma, porém muito pequena, ao se comparar as diferenças

entre os EARs emparelhados. Logo, o parâmetro de hedge calculado por qualquer

modelo implicou em resultados estatisticamente iguais. Note, entretanto, que na

ordenação as abordagens que utilizaram o modelo de Black & Scholes ocuparam as

primeiras posições.

Dando continuidade à análise de performance dinâmica e visando tentar diferenciar as

abordagens comparou-se a quantidade de lotes operada entre as 20 abordagens, uma vez

que quanto menor o número de lotes operados, menor seriam os custos de

balanceamento. Neste caso, considerando-se os dados emparelhados e com o mesmo

número de observações contatou-se que as abordagens que empregavam o modelo de

Black & Scholes tendiam a superar o modelo de Derman & Kani.

De uma maneira geral pode-se dizer que o modelo de Derman & Kani (1994) supera

de fato o modelo de Black & Scholes (1973) tradicional. Porém, ao se fazer um ajuste

139

da volatilidade usada como input de acordo com a função sugerida por Rosenberg

(2000), a precificação por Black & Scholes parece superar o modelo de Derman & Kani

em todos os casos. No que diz respeito aos seguros dinâmicos, não foi possível constatar

diferenças de resultados entre qualquer abordagem efetuada. Acredito que isto tenha

ocorrido porque o Delta é calculado logo no início da árvore, ou seja, seus primeiros

nós, justamente onde as árvores de volatilidade implícita e binomial comum (que pode

vir a ser uma excelente aproximação do modelo de Black & Scholes) mais se

assemelham.

Vale lembrar que a relativa melhor performance do modelo de Black & Scholes em

relação ao Derman & Kani pode ter ocorrido em função dos erros inerentes à construção

da árvore. Enquanto que a utilização do modelo de Black & Scholes ajustado pelas

equações de volatilidade implícita apresenta erros cada vez maiores quanto menor for o

R-2 ajustado da equação que procura descrever o smile, o modelo de Derman & Kani

ainda pode errar ao não conseguir gerar uma estrutura de volatilidade equivalente àquela

usada como entrada para a sua construção. Isto se deve aos ajustes que são necessários

para evitar a existência de probabilidades de transição negativas ou maiores que um.

Barle e Cakici sugerem uma modificação que busca reduzir esses erros, o que levaria a

uma melhor replicação da função de volatilidade implícita usada. Acredito que, em

trabalhos futuros, a adoção de tais mudanças deva ser considerada.

Uma questão que não pode passar desapercebida, todavia, é que, de acordo com o

modelo de Derman & Kani, através da construção de apenas uma árvore de volatilidade

implícita para um ativo é possível precificar todas as opções sobre aquele ativo em um

determinado dia, enquanto que o modelo de Black & Scholes exige o cálculo separado

140

para cada opção individual. Em outras palavras, seria necessária a construção de uma

árvore binomial tradicional para cada strike com sua volatilidade associada, dada pela

função de volatilidade implícita escolhida.

Em termos práticos ainda é mais rápido usar o modelo de Black & Scholes ou CRR

que o Derman & Kani, porém, no caso da precificação de opções exóticas o modelo de

Derman & Kani pode ser mais indicado

Sugiro, assim, que trabalhos futuros avaliem a performance estática e dinâmica do

modelo de Derman & Kani com a utilização de opções exóticas, onde os passos finais

da árvore possam exercer maior influência. Sabe-se que no mercado brasileiro tais

opções são muito escassas, contudo, poder-se-ia criar uma opção exótica, precificá-la

por Derman & Kani e fazer o hedge com as opções observadas no mercado, que

também foram fonte de informação para a precificação da opção exótica. No seu

vencimento seria verificado a discrepância entre as duas abordagens.

Um dos grandes obstáculo com o qual este estudo teve que lidar foi a escassez de

dados e sua qualidade. Em primeiro lugar havia poucas opções sobre o ativo de Telebrás

PN negociadas com liquidez suficiente por dia, o que limitou bastante a amostra. Em

segundo, mesmo fazendo-se os cortes necessários, acredita-se ter incorrido em erros em

função do assincronismo dos dados, ou seja, valor de fechamento da opção com o valor

do ativo subjacente. Visando uma minimização deste erro, sugiro que se tente obter os

dados relativos ás opções de uma maneira mais consistente, tentando evitar que haja um

grande número de cortes da base de dados original. Isso poder ser conseguido,

observando-se os preços das opções em uma hora específica do dia e não no

141

fechamento. Uma alternativa ainda melhor seria a utilização de dados intraday, o que

praticamente eliminaria todo o tratamento que foi necessário ser dado aos dados.

Neste trabalho foram citados vários outros modelos mais recentes que parecem ter

uma performance superior. Neste sentido acredito que seu teste no mercado brasileiro

também seja valioso.

Por fim, sugiro que se tente empregar esta técnica com outros ativos e não somente no

que foi utilizado neste trabalho, bem como testar o modelo de Derman & Kani em

estratégias que possam usar as volatilidades locais como informação..

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SCHAMALENSE, R.; TRIPPI, R. Common Stock Volatility Expectations Implied by

Option Premia. The Journal of Finance, 33, No.3 (1978), p. 129 – 147.

SHEERRICK, B.J.; GARCIA, P.; TIRUPATTUR, V. Recovering Probabilistic Information

from Option Markets: Tests of Distributional Assumptions. Journal of

Futures Markets, 6, No. 5 (1996), p. 545 – 562.

155

SHEIKH, A. Transaction Data Tests of S&P 100 Call Option Pricing. Journal of

Financial and Quantitative Analysis, 26, No.4 (1991), p. 727 – 752.

SHIMKO, D. Bounds on Probability. Risk, 6 (1993), p. 33 – 37.

SKIADOPOULOS, G. Volatility Smile Consistent Option Models: A Survey. Journal of

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Paper, Frankfurt MathFinance Institute, 1999.)

156

77 AANNEEXXOOSS

7.1 ANEXO I

Correlações

Janela 1400 252 126 63 211400 1,000252 0,994 1,000126 0,989 0,992 1,00063 0,976 0,973 0,978 1,00021

Médias

Janela 1400 252 126 63 211400 0,000252 0,001 0,000126 0,001 0,000 0,00063 0,002 0,001 0,001 0,00021 0,005 0,005 0,004 0,003 0,000

Desvios-Padrão

Janela 1400 252 126 63 211400 0,000252 0,007 0,000126 0,009 0,008 0,00063 0,014 0,015 0,013 0,00021 0,027 0,028 0,027 0,025 0,000

Estatística t

Janela 1400 252 126 63 211400 -252 3,717 -126 4,401 2,099 -63 4,995 2,988 2,099 -21 6,703 5,643 5,195 4,656 -

157

7.2 ANEXO II

Estatísticas t

BS F_3 R_252

BS F_3 R_1400 1,308DK F_3 R_252 1,617 0,256BS F_3 R_126 1,391 0,234 0,016BS F_3 R_21 1,705 0,419 0,177 0,159BS F_3 R_63 1,740 0,494 0,260 0,243 0,089DK F_3 R_21 2,628 1,146 0,867 0,847 0,664 0,558DK F_3 R_1400 2,668 1,444 1,214 1,197 1,046 0,959 0,498DK F_3 R_126 2,527 1,606 1,432 1,419 1,306 1,240 0,893 0,519DK F_3 R_63 3,414 2,449 2,267 2,254 2,135 2,066 1,703 1,311 0,768BS F_2 9,253 8,488 8,344 8,334 8,239 8,185 7,897 7,586 7,155 6,546BS F_1 11,821 10,948 10,784 10,772 10,664 10,602 10,273 9,919 9,427 8,733 1,266DK F_2 4,618 4,387 4,344 4,340 4,312 4,295 4,208 4,115 3,984 3,801 1,823 1,488BS F_4 29,337 28,205 27,992 27,976 27,836 27,756 27,329 26,869 26,232 25,331 15,643 14,000 6,710DK F_2 Def 8,030 7,752 7,699 7,695 7,661 7,641 7,536 7,423 7,266 7,044 4,660 4,255 2,461 0,809BS F_4 Def 32,659 31,550 31,341 31,326 31,189 31,110 30,692 30,241 29,616 28,734 19,241 17,632 10,488 3,913 0,692DK F_1 5,460 5,275 5,240 5,238 5,215 5,201 5,132 5,056 4,952 4,805 3,221 2,952 1,760 0,663 0,125 0,009DK F_1 Def 7,321 7,077 7,031 7,028 6,997 6,980 6,888 6,789 6,651 6,457 4,366 4,011 2,437 0,989 0,280 0,127 0,115BS F_2 Def 3,213 3,203 3,200 3,200 3,199 3,198 3,194 3,190 3,183 3,175 3,081 3,065 2,995 2,930 2,898 2,891 2,890 2,885BS F_1 Def 2,984 2,974 2,972 2,972 2,971 2,970 2,967 2,963 2,957 2,950 2,867 2,853 2,791 2,734 2,706 2,700 2,700 2,695 0,161

BS F_3 R_252

BS F_3 R_1400

AbordagemDK F_3 R_252

BS F_3 R_126

BS F_3 R_21

BS F_3 R_63

DK F_3 R_21

DK F_3 R_1400

DK F_3 R_126

DK F_3 R_63

BS F_2 BS F_1 DK F_2 BS F_4DK F_2

DefBS F_4

DefDK F_1

DK F_1 Def

BS F_2 Def

BS F_1 Def

Probabilidades Associadas

BS F_3 R_252

BS F_3 R_1400 9,6%DK F_3 R_252 5,3% 39,9%BS F_3 R_126 8,2% 40,8% 49,4%BS F_3 R_21 4,4% 33,8% 43,0% 43,7%BS F_3 R_63 4,1% 31,1% 39,8% 40,4% 46,5%DK F_3 R_21 0,4% 12,6% 19,3% 19,9% 25,3% 28,8%DK F_3 R_1400 0,4% 7,4% 11,2% 11,6% 14,8% 16,9% 30,9%DK F_3 R_126 0,6% 5,4% 7,6% 7,8% 9,6% 10,7% 18,6% 30,2%DK F_3 R_63 0,0% 0,7% 1,2% 1,2% 1,6% 1,9% 4,4% 9,5% 22,1%BS F_2 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%BS F_1 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 10,3%DK F_2 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 3,4% 6,8%BS F_4 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%DK F_2 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,7% 20,9%BS F_4 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 24,4%DK F_1 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,1% 0,2% 3,9% 25,4% 45,0% 49,6%DK F_1 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,7% 16,1% 39,0% 44,9% 45,4%BS F_2 Def 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,2% 0,2% 0,2% 0,2% 0,2%BS F_1 Def 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,2% 0,2% 0,2% 0,2% 0,2% 0,2% 0,3% 0,3% 0,3% 0,3% 0,3% 0,4% 43,6%

BS F_3 R_252


DK F_3 R_252

BS F_3 R_126

BS F_3 R_21

BS F_3 R_63

DK F_3 R_21

DK F_3 R_1400

DK F_3 R_126

DK F_3 R_63

BS F_2 BS F_1 DK F_2DK F_1

DefBS F_2

DefBS F_1

DefBS F_4

DK F_2 Def

BS F_4 Def

DK F_1

158

7.3 ANEXO III

Estatísticas t

BS F_3 R_1400

BS F_3 R_21 0,321BS F_3 R_63 0,637 0,323BS F_3 R_252 0,936 0,647 0,349BS F_3 R_126 1,137 0,837 0,528 0,166DK F_3 R_1400 5,628 5,319 5,000 4,627 4,457DK F_3 R_21 5,690 5,382 5,063 4,691 4,521 0,072DK F_3 R_252 5,890 5,615 5,330 4,997 4,845 0,871 0,807DK F_3 R_63 6,394 6,102 5,800 5,447 5,285 1,068 1,000 0,144DK F_3 R_126 6,460 6,177 5,884 5,542 5,385 1,296 1,230 0,399 0,260DK F_2 16,505 16,282 16,050 15,780 15,656 12,427 12,375 11,719 11,609 11,404BS F_2 13,279 13,112 12,940 12,739 12,647 10,242 10,203 9,715 9,633 9,480 0,990BS F_1 15,721 15,541 15,355 15,138 15,038 12,440 12,398 11,871 11,782 11,617 2,444 1,375DK F_1 18,936 18,728 18,513 18,262 18,147 15,147 15,099 14,490 14,387 14,197 3,604 2,369 0,782DK F_2 Def 30,943 30,757 30,566 30,342 30,240 27,565 27,522 26,979 26,887 26,717 17,273 16,173 14,757 14,060DK F_1 Def 32,507 32,325 32,137 31,918 31,817 29,191 29,149 28,616 28,526 28,359 19,088 18,008 16,618 15,934 2,131BS F_4 38,485 38,317 38,144 37,941 37,848 35,424 35,385 34,893 34,810 34,656 26,096 25,099 23,816 23,184 10,441 8,474BS F_4 Def 43,894 43,733 43,567 43,372 43,283 40,960 40,922 40,451 40,372 40,224 32,021 31,065 29,836 29,231 17,019 15,133 7,013BS F_2 Def 8,468 8,445 8,421 8,393 8,380 8,047 8,042 7,974 7,963 7,941 6,765 6,628 6,452 6,365 4,613 4,343 3,178 2,172BS F_1 Def 8,047 8,027 8,005 7,980 7,969 7,670 7,665 7,604 7,594 7,575 6,519 6,396 6,238 6,160 4,588 4,346 3,301 2,398 0,449

BS F_3 R_63

BS F_3 R_252

BS F_3 R_126

DK F_3 R_1400

BS F_2 BS F_1 DK F_1DK F_3 R_21

DK F_3 R_252

DK F_3 R_63

DK F_3 R_126

BS F_2 Def

BS F_1 Def

BS F_3 R_1400

BS F_3 R_21

DK F_2 Def

DK F_1 Def

BS F_4BS F_4

DefDK F_2Abordagem


BS F_3 R_1400

BS F_3 R_21 37,4%BS F_3 R_63 26,2% 37,3%BS F_3 R_252 17,5% 25,9% 36,4%BS F_3 R_126 12,8% 20,1% 29,9% 43,4%DK F_3 R_1400 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%DK F_3 R_21 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 47,1%DK F_3 R_252 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 19,2% 21,0%DK F_3 R_63 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 14,3% 15,9% 44,3%DK F_3 R_126 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 9,8% 10,9% 34,5% 39,7%DK F_2 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%BS F_2 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 16,1%BS F_1 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,7% 8,5%DK F_1 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,9% 21,7%DK F_2 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%DK F_1 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 1,7%BS F_4 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%BS F_4 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%BS F_2 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,1% 1,5%BS F_1 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,8% 32,7%

BS F_3 R_1400

BS F_3 R_21

BS F_3 R_63

BS F_3 R_252

BS F_3 R_126

DK F_3 R_1400

DK F_3 R_21

DK F_2 Def

DK F_3 R_252

DK F_3 R_63

DK F_3 R_126

DK F_2AbordagemBS F_1

DefDK F_1

DefBS F_4

BS F_4 Def

BS F_2 Def

BS F_2 BS F_1 DK F_1

159

7.4 ANEXO IV

Estatísticas t

BS F_3 R_126

BS F_3 R_1400 0,047BS F_3 R_252 0,049 0,002BS F_3 R_63 0,152 0,105 0,103BS F_3 R_21 0,474 0,427 0,425 0,323DK F_3 R_21 1,396 1,348 1,346 1,240 0,905DK F_3 R_252 1,652 1,618 1,617 1,542 1,307 0,673DK F_3 R_1400 1,852 1,819 1,818 1,746 1,520 0,908 0,258DK F_3 R_126 1,821 1,796 1,795 1,739 1,565 1,093 0,592 0,393DK F_3 R_63 2,562 2,537 2,536 2,482 2,311 1,849 1,358 1,163 0,778BS F_2 9,108 9,085 9,084 9,033 8,871 8,436 7,973 7,789 7,426 6,692DK F_2 5,568 5,554 5,553 5,523 5,427 5,166 4,890 4,780 4,563 4,125 0,128BS F_1 11,030 11,005 11,004 10,949 10,777 10,312 9,818 9,622 9,234 8,450 1,306 1,077DK F_2 Def 11,740 11,726 11,726 11,695 11,599 11,339 11,063 10,953 10,737 10,299 6,307 6,179 5,577DK F_1 Def 14,676 14,660 14,659 14,624 14,513 14,214 13,895 13,769 13,520 13,015 8,414 8,267 7,573 1,146DK F_1 5,405 5,399 5,399 5,386 5,347 5,240 5,126 5,081 4,992 4,812 3,170 3,117 2,870 0,575 0,166BS F_4 26,819 26,794 26,793 26,737 26,562 26,087 25,584 25,384 24,989 24,190 16,906 16,673 15,575 5,400 3,585 2,848BS F_4 Def 29,657 29,632 29,631 29,577 29,407 28,949 28,462 28,269 27,886 27,114 20,072 19,846 18,784 8,946 7,191 6,478 3,725BS F_2 Def 3,193 3,193 3,193 3,191 3,188 3,178 3,168 3,164 3,156 3,139 2,990 2,986 2,963 2,755 2,718 2,703 2,644 2,566BS F_1 Def 3,199 3,198 3,198 3,197 3,194 3,184 3,174 3,170 3,162 3,146 2,998 2,994 2,971 2,765 2,729 2,714 2,656 2,578 0,041

BS F_3 R_126

BS F_3 R_1400


BS F_3 R_63

BS F_3 R_21

DK F_3 R_21

DK F_3 R_252

DK F_3 R_1400

DK F_3 R_126

DK F_3 R_63


DefDK F_1

DefDK F_1 BS F_4

BS F_4 Def

BS F_2 Def

BS F_1 Def


BS F_3 R_126

BS F_3 R_1400 48,1%BS F_3 R_252 48,0% 49,9%BS F_3 R_63 43,9% 45,8% 45,9%BS F_3 R_21 31,8% 33,5% 33,5% 37,3%DK F_3 R_21 8,1% 8,9% 8,9% 10,8% 18,3%DK F_3 R_252 4,9% 5,3% 5,3% 6,2% 9,6% 25,0%DK F_3 R_1400 3,2% 3,4% 3,5% 4,0% 6,4% 18,2% 39,8%DK F_3 R_126 3,4% 3,6% 3,6% 4,1% 5,9% 13,7% 27,7% 34,7%DK F_3 R_63 0,5% 0,6% 0,6% 0,7% 1,0% 3,2% 8,7% 12,2% 21,8%BS F_2 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%DK F_2 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 44,9%BS F_1 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 9,6% 14,1%

DK F_2 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%DK F_1 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 12,6%DK F_1 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,1% 0,1% 0,2% 28,3% 43,4%BS F_4 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,2%BS F_4 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%BS F_2 Def 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,2% 0,3% 0,3% 0,3% 0,4% 0,5%BS F_1 Def 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% 0,3% 0,3% 0,3% 0,4% 0,5% 48,4%

BS F_3 R_126


BS F_3 R_252

BS F_3 R_63

BS F_3 R_21

DK F_3 R_21

DK F_3 R_252

DK F_3 R_1400

DK F_3 R_126

DK F_3 R_63

BS F_2 DK F_2 BS F_1BS F_4

DefBS F_2

DefBS F_1

DefDK F_2

DefDK F_1

DefDK F_1 BS F_4

160

7.5 ANEXO V

Estatísticas t

BS F_3 R_126

BS F_3 R_252 0,025BS F_3 R_1400 0,057 0,032BS F_3 R_63 0,110 0,085 0,053BS F_3 R_21 0,304 0,278 0,247 0,194DK F_3 R_21 4,943 4,919 4,888 4,837 4,651DK F_3 R_126 4,985 4,961 4,931 4,880 4,696 0,092DK F_3 R_1400 5,008 4,984 4,954 4,903 4,719 0,113 0,022DK F_3 R_252 5,022 4,997 4,967 4,917 4,732 0,121 0,029 0,007DK F_3 R_63 5,395 5,371 5,341 5,291 5,110 0,571 0,480 0,459 0,452DK F_2 14,224 14,204 14,180 14,139 13,991 10,277 10,203 10,186 10,180 9,810BS F_2 11,406 11,392 11,375 11,346 11,242 8,634 8,583 8,570 8,566 8,307 1,419BS F_1 13,286 13,271 13,253 13,221 13,108 10,273 10,216 10,203 10,198 9,916 2,426 0,884DK F_1 16,474 16,457 16,436 16,400 16,270 13,020 12,956 12,940 12,935 12,612 4,028 2,260 1,247DK F_2 Def 28,075 28,059 28,039 28,006 27,887 24,894 24,835 24,821 24,816 24,518 16,614 14,986 14,054 12,905DK F_1 Def 29,343 29,328 29,308 29,276 29,159 26,232 26,174 26,160 26,155 25,864 18,131 16,538 15,626 14,502 1,876BS F_4 34,631 34,618 34,601 34,573 34,471 31,915 31,864 31,852 31,848 31,593 24,840 23,450 22,653 21,672 10,647 9,008BS F_4 Def 39,682 39,669 39,653 39,626 39,528 37,080 37,031 37,019 37,016 36,772 30,303 28,971 28,208 27,268 16,707 15,137 6,508BS F_2 Def 8,275 8,272 8,270 8,265 8,248 7,829 7,820 7,819 7,818 7,776 6,668 6,440 6,309 6,148 4,339 4,071 2,593 1,478BS F_1 Def 7,230 7,228 7,226 7,222 7,209 6,874 6,868 6,866 6,866 6,832 5,950 5,768 5,664 5,535 4,094 3,880 2,702 1,814 0,636

BS F_3 R_126

BS F_3 R_252


BS F_3 R_63

BS F_3 R_21

DK F_3 R_21

DK F_3 R_126

DK F_3 R_1400

DK F_3 R_252

DK F_3 R_63


DefDK F_1

DefBS F_4

BS F_4 Def

BS F_2 Def

BS F_1 Def


BS F_3 R_126

BS F_3 R_252 49,0%BS F_3 R_1400 47,7% 48,7%BS F_3 R_63 45,6% 46,6% 47,9%BS F_3 R_21 38,1% 39,0% 40,3% 42,3%DK F_3 R_21 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%DK F_3 R_126 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 46,4%DK F_3 R_1400 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 45,5% 49,1%DK F_3 R_252 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 45,2% 48,8% 49,7%DK F_3 R_63 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 28,4% 31,6% 32,3% 32,6%DK F_2 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%BS F_2 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 7,8%BS F_1 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,8% 18,8%DK F_1 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 1,2% 10,6%DK F_2 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%DK F_1 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 3,0%BS F_4 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%BS F_4 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0%BS F_2 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,5% 7,0%BS F_1 Def 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,0% 0,3% 3,5% 26,2%

BS F_3 R_126


BS F_3 R_1400

BS F_3 R_63

BS F_3 R_21

DK F_3 R_21

DK F_3 R_126

DK F_3 R_1400

DK F_3 R_252

DK F_3 R_63

DK F_2 BS F_2 BS F_1BS F_4

DefBS F_2

DefBS F_1

DefDK F_1

DK F_2 Def

DK F_1 Def

BS F_4

161

7.6 ANEXO VI

Correlações


BS F_3 R_1400

BS F_3 R_252

BS F_3 R_63

BS F_3 R_21

DK F_3 R_21

DK F_3 R_252

DK F_3 R_1400

DK F_3 R_126

DK F_3 R_63


DefDK F_1

DefDK F_1 BS F_4

BS F_4 Def

BS F_2 Def

BS F_1 Def

BS F_3 R_126 1,000BS F_3 R_1400 1,000 1,000BS F_3 R_252 0,999 1,000 1,000BS F_3 R_63 0,999 0,999 0,998 1,000BS F_3 R_21 0,994 0,994 0,994 0,995 1,000DK F_3 R_21 0,919 0,916 0,916 0,921 0,921 1,000DK F_3 R_252 0,610 0,608 0,608 0,610 0,604 0,691 1,000DK F_3 R_1400 0,593 0,592 0,591 0,594 0,587 0,673 0,993 1,000DK F_3 R_126 0,461 0,460 0,460 0,462 0,457 0,540 0,974 0,975 1,000DK F_3 R_63 0,474 0,471 0,471 0,473 0,465 0,519 0,355 0,361 0,265 1,000BS F_2 0,519 0,518 0,517 0,519 0,517 0,540 0,374 0,364 0,280 0,279 1,000DK F_2 0,442 0,442 0,441 0,441 0,444 0,462 0,321 0,313 0,243 0,238 0,437 1,000BS F_1 0,422 0,422 0,421 0,422 0,426 0,459 0,324 0,318 0,250 0,260 0,895 0,398 1,000DK F_2 Def 0,564 0,563 0,562 0,564 0,551 0,592 0,414 0,402 0,304 0,474 0,648 0,336 0,483 1,000DK F_1 Def 0,381 0,380 0,380 0,381 0,382 0,412 0,297 0,292 0,223 0,319 0,581 0,300 0,598 0,574 1,000DK F_1 0,125 0,125 0,125 0,125 0,126 0,116 0,080 0,076 0,063 0,065 0,154 0,080 0,195 0,101 0,147 1,000BS F_4 0,496 0,494 0,494 0,496 0,495 0,512 0,348 0,348 0,265 0,288 0,373 0,271 0,354 0,368 0,365 0,109 1,000BS F_4 Def 0,542 0,539 0,540 0,542 0,539 0,559 0,387 0,384 0,297 0,312 0,390 0,286 0,353 0,412 0,374 0,107 0,950 1,000BS F_2 Def 0,071 0,072 0,070 0,077 0,074 0,067 0,044 0,041 0,035 0,034 0,049 0,160 0,038 0,163 0,140 0,041 0,063 0,068 1,000BS F_1 Def 0,115 0,118 0,116 0,122 0,120 0,116 0,078 0,073 0,059 0,057 0,030 0,431 0,030 0,137 0,124 0,023 0,079 0,083 0,916 1,000

Médias


BS F_3 R_1400

BS F_3 R_252

BS F_3 R_63

BS F_3 R_21

DK F_3 R_21

DK F_3 R_252

DK F_3 R_1400

DK F_3 R_126

DK F_3 R_63


DefDK F_1

DefDK F_1 BS F_4

BS F_4 Def

BS F_2 Def

BS F_1 Def

BS F_3 R_126 0,00%

BS F_3 R_1400 0,01% 0,00%

BS F_3 R_252 0,02% 0,00% 0,00%

BS F_3 R_63 0,05% 0,03% 0,03% 0,00%

BS F_3 R_21 0,15% 0,14% 0,14% 0,10% 0,00%

DK F_3 R_21 0,43% 0,42% 0,42% 0,38% 0,28% 0,00%

DK F_3 R_252 0,73% 0,71% 0,71% 0,68% 0,58% 0,30% 0,00%

DK F_3 R_1400 0,85% 0,83% 0,83% 0,80% 0,70% 0,42% 0,12% 0,00%

DK F_3 R_126 1,08% 1,07% 1,07% 1,03% 0,93% 0,65% 0,35% 0,23% 0,00%

DK F_3 R_63 1,55% 1,54% 1,54% 1,50% 1,40% 1,12% 0,82% 0,71% 0,47% 0,00%

BS F_2 5,86% 5,84% 5,84% 5,81% 5,70% 5,42% 5,13% 5,01% 4,77% 4,30% 0,00%

DK F_2 5,99% 5,98% 5,98% 5,95% 5,84% 5,56% 5,26% 5,15% 4,91% 4,44% 0,14% 0,00%

BS F_1 6,64% 6,63% 6,63% 6,59% 6,49% 6,21% 5,91% 5,79% 5,56% 5,09% 0,79% 0,65% 0,00%

DK F_2 Def 12,65% 12,64% 12,64% 12,60% 12,50% 12,22% 11,92% 11,81% 11,57% 11,10% 6,80% 6,66% 6,01% 0,00%

DK F_1 Def 13,72% 13,71% 13,71% 13,68% 13,57% 13,29% 13,00% 12,88% 12,64% 12,17% 7,87% 7,73% 7,08% 1,07% 0,00%

DK F_1 14,16% 14,15% 14,14% 14,11% 14,01% 13,73% 13,43% 13,31% 13,08% 12,61% 8,30% 8,17% 7,52% 1,51% 0,44% 0,00%

BS F_4 15,84% 15,83% 15,83% 15,79% 15,69% 15,41% 15,11% 14,99% 14,76% 14,29% 9,99% 9,85% 9,20% 3,19% 2,12% 1,68% 0,00%

BS F_4 Def 18,12% 18,10% 18,10% 18,07% 17,97% 17,69% 17,39% 17,27% 17,04% 16,56% 12,26% 12,12% 11,48% 5,47% 4,39% 3,96% 2,28% 0,00%

BS F_2 Def 92,18% 92,17% 92,17% 92,13% 92,03% 91,75% 91,45% 91,33% 91,10% 90,63% 86,33% 86,19% 85,54% 79,53% 78,46% 78,02% 76,34% 74,06% 0,00%

BS F_1 Def 93,39% 93,37% 93,37% 93,34% 93,23% 92,95% 92,66% 92,54% 92,31% 91,83% 87,53% 87,39% 86,74% 80,73% 79,66% 79,23% 77,54% 75,27% 1,21% 0,00%

162

Desvio-Padrão


BS F_3 R_1400

BS F_3 R_252

BS F_3 R_63

BS F_3 R_21

DK F_3 R_21

DK F_3 R_252

DK F_3 R_1400

DK F_3 R_126

DK F_3 R_63


DefDK F_1

DefDK F_1 BS F_4

BS F_4 Def

BS F_2 Def

BS F_1 Def

BS F_3 R_126 0,00%

BS F_3 R_1400 0,79% 0,00%

BS F_3 R_252 0,88% 0,67% 0,00%

BS F_3 R_63 1,08% 1,30% 1,44% 0,00%

BS F_3 R_21 2,81% 2,87% 2,81% 2,61% 0,00%

DK F_3 R_21 10,12% 10,32% 10,33% 10,04% 10,11% 0,00%

DK F_3 R_252 28,40% 28,46% 28,47% 28,39% 28,64% 25,68% 0,00%

DK F_3 R_1400 29,84% 29,89% 29,91% 29,82% 30,06% 27,22% 4,60% 0,00%

DK F_3 R_126 42,48% 42,52% 42,53% 42,47% 42,63% 40,19% 15,44% 14,39% 0,00%

DK F_3 R_63 42,98% 43,05% 43,06% 42,99% 43,25% 41,64% 49,06% 49,32% 58,48% 0,00%

BS F_2 44,19% 44,21% 44,23% 44,17% 44,23% 43,58% 50,57% 51,36% 59,73% 60,33% 0,00%

DK F_2 78,63% 78,61% 78,63% 78,65% 78,51% 78,17% 82,29% 82,73% 88,06% 88,61% 79,05% 0,00%

BS F_1 44,15% 44,17% 44,18% 44,17% 44,10% 43,08% 49,87% 50,63% 58,87% 59,06% 23,16% 80,56% 0,00%

DK F_2 Def 75,25% 75,23% 75,26% 75,20% 75,51% 74,60% 78,82% 79,31% 85,22% 76,62% 66,13% 99,76% 76,10% 0,00%

DK F_1 Def 69,56% 69,58% 69,56% 69,55% 69,50% 68,73% 72,96% 73,37% 79,53% 75,40% 61,66% 96,08% 60,32% 75,31% 0,00%

DK F_1 208,86% 208,87% 208,86% 208,86% 208,83% 209,09% 210,66% 210,92% 212,91% 212,99% 208,87% 221,13% 206,62% 219,35% 212,85% 0,00%

BS F_4 41,26% 41,33% 41,31% 41,26% 41,30% 40,78% 48,38% 48,91% 57,70% 57,41% 55,62% 86,64% 54,47% 82,04% 72,75% 210,69% 0,00%

BS F_4 Def 41,28% 41,34% 41,33% 41,27% 41,35% 40,79% 48,18% 48,73% 57,39% 57,36% 55,70% 86,37% 55,46% 80,03% 72,80% 210,99% 15,37% 0,00%

BS F_2 Def 2317,9% 2317,9% 2317,9% 2317,7% 2317,8% 2318,0% 2318,3% 2318,4% 2318,4% 2318,4% 2317,6% 2307,3% 2318,3% 2307,1% 2310,3% 2320,6% 2317,1% 2316,8% 0,0%

BS F_1 Def 2342,9% 2342,8% 2342,8% 2342,7% 2342,7% 2342,9% 2343,2% 2343,3% 2343,3% 2343,4% 2344,7% 2309,7% 2344,7% 2335,4% 2337,6% 2350,2% 2342,4% 2342,1% 954,7% 0,0%

Estatística t


BS F_3 R_1400

BS F_3 R_252

BS F_3 R_63

BS F_3 R_21

DK F_3 R_21

DK F_3 R_252

DK F_3 R_1400

DK F_3 R_126

DK F_3 R_63


DefDK F_1

DefDK F_1 BS F_4

BS F_4 Def

BS F_2 Def

BS F_1 Def

BS F_3 R_126 -BS F_3 R_1400 1,515 -BS F_3 R_252 1,430 0,078 -BS F_3 R_63 3,590 2,070 1,834 -BS F_3 R_21 4,354 3,839 3,909 3,189 -DK F_3 R_21 3,433 3,249 3,240 3,071 2,227 -DK F_3 R_252 2,065 2,018 2,016 1,929 1,621 0,931 -DK F_3 R_1400 2,283 2,239 2,236 2,154 1,859 1,227 2,063 -DK F_3 R_126 2,046 2,015 2,014 1,954 1,751 1,298 1,829 1,304 -DK F_3 R_63 2,904 2,871 2,869 2,813 2,603 2,163 1,349 1,149 0,648 -BS F_2 10,647 10,615 10,609 10,564 10,361 10,000 8,145 7,834 6,423 5,730 -DK F_2 6,125 6,111 6,109 6,074 5,978 5,717 5,140 4,997 4,482 4,026 0,140 -BS F_1 12,088 12,056 12,051 11,996 11,826 11,583 9,525 9,196 7,590 6,923 2,729 0,647 -DK F_2 Def 13,511 13,497 13,492 13,468 13,301 13,163 12,155 11,960 10,911 11,640 8,259 5,364 6,346 -DK F_1 Def 15,854 15,832 15,836 15,801 15,692 15,539 14,312 14,101 12,774 12,970 10,255 6,466 9,435 1,144 -DK F_1 5,448 5,442 5,441 5,429 5,390 5,275 5,123 5,071 4,936 4,756 3,195 2,967 2,924 0,552 0,164 -BS F_4 30,850 30,773 30,782 30,759 30,524 30,364 25,099 24,633 20,554 19,997 14,428 9,134 13,571 3,124 2,339 0,642 -BS F_4 Def 35,263 35,183 35,192 35,179 34,907 34,837 28,998 28,479 23,853 23,206 17,688 11,280 16,627 5,487 4,849 1,507 11,893 -BS F_2 Def 3,195 3,195 3,195 3,194 3,190 3,180 3,170 3,165 3,157 3,141 2,993 3,001 2,965 2,770 2,729 2,701 2,647 2,569 -BS F_1 Def 3,203 3,202 3,202 3,201 3,198 3,188 3,177 3,173 3,165 3,149 3,000 3,040 2,973 2,778 2,738 2,709 2,660 2,582 0,101 -

163

7.7 ANEXO VII

Correlações


BS F_3 R_252

BS F_3 R_1400

BS F_3 R_63

BS F_3 R_21

DK F_3 R_21

DK F_3 R_126

DK F_3 R_1400

DK F_3 R_252

DK F_3 R_63


DefDK F_1

DefBS F_4

BS F_4 Def

BS F_2 Def

BS F_1 Def

BS F_3 R_126 1,000BS F_3 R_252 1,000 1,000BS F_3 R_1400 1,000 1,000 1,000BS F_3 R_63 0,999 0,999 0,999 1,000BS F_3 R_21 0,998 0,998 0,998 0,998 1,000DK F_3 R_21 0,919 0,919 0,919 0,919 0,920 1,000DK F_3 R_126 0,906 0,906 0,906 0,906 0,905 0,971 1,000DK F_3 R_1400 0,911 0,911 0,911 0,910 0,909 0,980 0,989 1,000DK F_3 R_252 0,910 0,910 0,910 0,909 0,908 0,981 0,991 0,993 1,000DK F_3 R_63 0,896 0,896 0,896 0,896 0,895 0,966 0,950 0,962 0,959 1,000DK F_2 0,649 0,648 0,648 0,648 0,649 0,722 0,714 0,717 0,718 0,707 1,000BS F_2 0,645 0,645 0,645 0,644 0,644 0,625 0,615 0,619 0,619 0,608 0,823 1,000BS F_1 0,562 0,562 0,562 0,561 0,562 0,565 0,557 0,560 0,560 0,553 0,786 0,914 1,000DK F_1 0,472 0,471 0,472 0,472 0,475 0,559 0,549 0,550 0,553 0,546 0,720 0,606 0,722 1,000DK F_2 Def 0,592 0,591 0,591 0,592 0,592 0,674 0,661 0,666 0,667 0,669 0,844 0,716 0,697 0,684 1,000DK F_1 Def 0,491 0,491 0,491 0,492 0,495 0,588 0,581 0,584 0,585 0,584 0,761 0,608 0,701 0,736 0,836 1,000BS F_4 0,424 0,423 0,423 0,425 0,425 0,566 0,552 0,556 0,556 0,556 0,549 0,399 0,415 0,498 0,552 0,536 1,000BS F_4 Def 0,458 0,457 0,456 0,458 0,459 0,590 0,576 0,579 0,579 0,578 0,559 0,409 0,423 0,498 0,586 0,571 0,950 1,000BS F_2 Def 0,123 0,123 0,123 0,126 0,123 0,138 0,137 0,134 0,135 0,133 0,204 0,169 0,154 0,173 0,301 0,257 0,156 0,184 1,000BS F_1 Def 0,078 0,080 0,079 0,083 0,079 0,094 0,093 0,091 0,093 0,089 0,159 0,106 0,116 0,120 0,255 0,253 0,126 0,152 0,869 1,000

Médias


BS F_3 R_252

BS F_3 R_1400

BS F_3 R_63

BS F_3 R_21

DK F_3 R_21

DK F_3 R_126

DK F_3 R_1400

DK F_3 R_252

DK F_3 R_63


DefDK F_1

DefBS F_4

BS F_4 Def

BS F_2 Def

BS F_1 Def

BS F_3 R_126 0,00%

BS F_3 R_252 0,00% 0,00%

BS F_3 R_1400 0,01% 0,00% 0,00%

BS F_3 R_63 0,01% 0,01% 0,01% 0,00%

BS F_3 R_21 0,03% 0,03% 0,03% 0,02% 0,00%

DK F_3 R_21 0,56% 0,56% 0,55% 0,55% 0,53% 0,00%

DK F_3 R_126 0,57% 0,57% 0,57% 0,56% 0,54% 0,01% 0,00%

DK F_3 R_1400 0,57% 0,57% 0,57% 0,56% 0,54% 0,01% 0,00% 0,00%

DK F_3 R_252 0,57% 0,57% 0,57% 0,56% 0,54% 0,01% 0,00% 0,00% 0,00%

DK F_3 R_63 0,63% 0,62% 0,62% 0,62% 0,59% 0,07% 0,06% 0,05% 0,05% 0,00%

DK F_2 2,02% 2,02% 2,01% 2,01% 1,99% 1,46% 1,45% 1,45% 1,45% 1,39% 0,00%

BS F_2 2,31% 2,31% 2,30% 2,30% 2,27% 1,75% 1,74% 1,73% 1,73% 1,68% 0,29% 0,00%

BS F_1 2,47% 2,47% 2,47% 2,46% 2,44% 1,91% 1,90% 1,90% 1,90% 1,85% 0,45% 0,16% 0,00%

DK F_1 2,67% 2,67% 2,67% 2,66% 2,64% 2,11% 2,10% 2,10% 2,10% 2,05% 0,65% 0,37% 0,20% 0,00%

DK F_2 Def 4,95% 4,95% 4,94% 4,94% 4,92% 4,39% 4,38% 4,38% 4,38% 4,32% 2,93% 2,64% 2,48% 2,28% 0,00%

DK F_1 Def 5,29% 5,29% 5,28% 5,28% 5,26% 4,73% 4,72% 4,72% 4,71% 4,66% 3,27% 2,98% 2,82% 2,61% 0,34% 0,00%

BS F_4 7,15% 7,15% 7,14% 7,14% 7,12% 6,59% 6,58% 6,57% 6,57% 6,52% 5,13% 4,84% 4,68% 4,47% 2,20% 1,86% 0,00%

BS F_4 Def 8,55% 8,55% 8,54% 8,54% 8,52% 7,99% 7,98% 7,98% 7,98% 7,92% 6,53% 6,24% 6,08% 5,88% 3,60% 3,26% 1,40% 0,00%

BS F_2 Def 10,41% 10,41% 10,40% 10,40% 10,38% 9,85% 9,84% 9,84% 9,84% 9,78% 8,39% 8,10% 7,94% 7,73% 5,46% 5,12% 3,26% 1,86% 0,00%

BS F_1 Def 11,41% 11,41% 11,41% 11,40% 11,38% 10,85% 10,84% 10,84% 10,84% 10,79% 9,39% 9,11% 8,94% 8,74% 6,46% 6,13% 4,27% 2,86% 1,00% 0,00%

164

Desvios-Padrão


BS F_3 R_252

BS F_3 R_1400

BS F_3 R_63

BS F_3 R_21

DK F_3 R_21

DK F_3 R_126

DK F_3 R_1400

DK F_3 R_252

DK F_3 R_63


DefDK F_1

DefBS F_4

BS F_4 Def

BS F_2 Def

BS F_1 Def

BS F_3 R_126 0,00%

BS F_3 R_252 0,19% 0,00%

BS F_3 R_1400 0,18% 0,13% 0,00%

BS F_3 R_63 0,33% 0,41% 0,37% 0,00%

BS F_3 R_21 0,55% 0,59% 0,58% 0,52% 0,00%

DK F_3 R_21 3,61% 3,62% 3,62% 3,62% 3,59% 0,00%

DK F_3 R_126 3,91% 3,92% 3,92% 3,93% 3,94% 2,20% 0,00%

DK F_3 R_1400 3,81% 3,82% 3,81% 3,83% 3,85% 1,83% 1,33% 0,00%

DK F_3 R_252 3,83% 3,83% 3,84% 3,86% 3,87% 1,80% 1,25% 1,13% 0,00%

DK F_3 R_63 4,16% 4,17% 4,17% 4,16% 4,18% 2,41% 2,94% 2,57% 2,66% 0,00%

DK F_2 8,79% 8,80% 8,80% 8,79% 8,79% 7,94% 8,07% 8,02% 8,01% 8,18% 0,00%

BS F_2 12,55% 12,54% 12,54% 12,56% 12,56% 12,74% 12,85% 12,80% 12,79% 12,92% 9,45% 0,00%

BS F_1 12,38% 12,37% 12,37% 12,38% 12,37% 12,35% 12,45% 12,42% 12,42% 12,50% 9,25% 6,61% 0,00%

DK F_1 11,79% 11,80% 11,80% 11,79% 11,76% 10,97% 11,09% 11,08% 11,05% 11,15% 9,28% 13,33% 10,60% 0,00%

DK F_2 Def 11,42% 11,43% 11,43% 11,42% 11,43% 10,47% 10,64% 10,57% 10,55% 10,54% 7,61% 11,63% 11,37% 10,87% 0,00%

DK F_1 Def 12,72% 12,72% 12,73% 12,71% 12,68% 11,73% 11,81% 11,78% 11,77% 11,79% 9,40% 13,70% 11,38% 10,10% 8,22% 0,00%

BS F_4 15,11% 15,13% 15,13% 15,11% 15,11% 13,68% 13,83% 13,79% 13,78% 13,79% 14,06% 18,01% 17,11% 15,15% 14,71% 15,07% 0,00%

BS F_4 Def 15,41% 15,43% 15,43% 15,41% 15,40% 14,02% 14,18% 14,14% 14,14% 14,14% 14,45% 18,27% 17,44% 15,66% 14,60% 14,94% 5,40% 0,00%

BS F_2 Def 100,4% 100,4% 100,4% 100,4% 100,4% 100,2% 100,2% 100,3% 100,3% 100,3% 99,4% 99,6% 99,9% 99,7% 97,8% 98,4% 99,8% 99,4% 0,0%

BS F_1 Def 126,5% 126,5% 126,5% 126,4% 126,5% 126,3% 126,3% 126,4% 126,3% 126,4% 125,5% 126,2% 126,0% 126,0% 124,0% 124,0% 125,8% 125,4% 63,4% 0,0%

Estatística t


BS F_3 R_252

BS F_3 R_1400

BS F_3 R_63

BS F_3 R_21

DK F_3 R_21

DK F_3 R_126

DK F_3 R_1400

DK F_3 R_252

DK F_3 R_63


DefDK F_1

DefBS F_4

BS F_4 Def

BS F_2 Def

BS F_1 Def

BS F_3 R_126 -BS F_3 R_252 1,174 -BS F_3 R_1400 2,799 2,198 -BS F_3 R_63 2,964 1,797 1,263 -BS F_3 R_21 4,832 4,156 3,732 3,285 -DK F_3 R_21 12,468 12,370 12,303 12,175 11,820 -DK F_3 R_126 11,745 11,667 11,595 11,445 10,978 0,384 -DK F_3 R_1400 12,088 12,024 11,955 11,774 11,287 0,569 0,149 -DK F_3 R_252 12,043 11,980 11,906 11,721 11,247 0,617 0,213 0,060 -DK F_3 R_63 12,114 12,025 11,971 11,872 11,406 2,212 1,528 1,670 1,586 -DK F_2 18,473 18,425 18,390 18,356 18,174 14,776 14,436 14,495 14,504 13,698 -BS F_2 14,775 14,771 14,747 14,684 14,554 11,019 10,861 10,887 10,886 10,453 2,440 -BS F_1 16,051 16,041 16,018 15,966 15,847 12,433 12,271 12,288 12,278 11,859 3,920 1,998 -DK F_1 18,234 18,193 18,175 18,151 18,046 15,483 15,242 15,235 15,271 14,755 5,661 2,212 1,535 -DK F_2 Def 34,818 34,774 34,754 34,732 34,583 33,689 33,074 33,266 33,314 32,968 30,933 18,260 17,518 16,825 -DK F_1 Def 33,409 33,385 33,347 33,360 33,293 32,397 32,099 32,172 32,192 31,766 27,946 17,480 19,883 20,802 3,307 -BS F_4 38,002 37,952 37,923 37,942 37,846 38,704 38,214 38,315 38,322 38,003 29,301 21,590 21,955 23,718 12,006 9,911 -BS F_4 Def 44,573 44,523 44,495 44,523 44,430 45,792 45,224 45,327 45,331 45,016 36,296 27,457 27,998 30,154 19,816 17,543 20,883 -BS F_2 Def 8,332 8,330 8,328 8,324 8,306 7,895 7,886 7,882 7,883 7,839 6,782 6,534 6,386 6,236 4,487 4,183 2,625 1,504 -BS F_1 Def 7,251 7,250 7,248 7,246 7,231 6,903 6,896 6,893 6,894 6,859 6,011 5,799 5,702 5,575 4,188 3,970 2,724 1,835 1,272 -

165

7.8 ANEXO VIII

Estatísticas t

BS F_3 R_252

DK F_3 R_252 0,225BS F_2 Def 0,387 0,172BS F_4 Def 0,414 0,206 0,040BS F_2 0,447 0,229 0,054 0,013BS F_1 0,450 0,231 0,055 0,013 0,001BS F_3 R_126 0,440 0,233 0,067 0,028 0,016 0,015BS F_3 R_21 0,499 0,284 0,111 0,070 0,058 0,057 0,041BS F_1 Def 0,514 0,299 0,127 0,085 0,073 0,072 0,056 0,015BS F_4 0,499 0,291 0,125 0,085 0,073 0,073 0,057 0,018 0,003BS F_3 R_1400 0,561 0,339 0,161 0,118 0,106 0,105 0,089 0,046 0,030 0,027BS F_3 R_63 0,612 0,401 0,232 0,192 0,180 0,179 0,164 0,123 0,108 0,106 0,080DK F_2 0,612 0,403 0,236 0,196 0,184 0,183 0,168 0,128 0,113 0,110 0,084 0,005DK F_3 R_1400 0,665 0,454 0,286 0,245 0,233 0,233 0,217 0,177 0,162 0,159 0,133 0,053 0,048DK F_3 R_126 0,651 0,457 0,301 0,264 0,253 0,252 0,238 0,201 0,187 0,184 0,161 0,087 0,082 0,038DK F_2 Def 0,702 0,494 0,327 0,288 0,276 0,275 0,260 0,220 0,205 0,202 0,176 0,098 0,092 0,045 0,004DK F_3 R_63 0,707 0,506 0,346 0,307 0,296 0,295 0,280 0,242 0,228 0,225 0,200 0,124 0,119 0,074 0,034 0,030DK F_3 R_21 0,724 0,521 0,359 0,320 0,309 0,308 0,293 0,254 0,240 0,237 0,212 0,136 0,131 0,084 0,045 0,041 0,010DK F_1 0,726 0,536 0,383 0,346 0,335 0,335 0,321 0,284 0,271 0,268 0,245 0,173 0,168 0,124 0,087 0,083 0,054 0,045DK F_1 Def 0,870 0,681 0,529 0,493 0,482 0,482 0,468 0,431 0,418 0,415 0,392 0,321 0,316 0,273 0,236 0,232 0,203 0,194 0,150

DK F_1DK F_1

DefDK F_3 R_126

DK F_2 Def

DK F_3 R_63

DK F_3 R_21

BS F_3 R_1400

BS F_3 R_63

DK F_2DK F_3 R_1400

BS F_3 R_126

BS F_3 R_21

BS F_1 Def

BS F_4BS F_2

DefBS F_4

DefBS F_2 BS F_1

BS F_3 R_252

DK F_3 R_252

Abordagem


BS F_3 R_252

DK F_3 R_252 41,2%BS F_2 Def 35,1% 43,2%BS F_4 Def 34,1% 41,9% 48,4%BS F_2 32,9% 41,0% 47,8% 49,5%BS F_1 32,8% 41,0% 47,8% 49,5% 50,0%BS F_3 R_126 33,2% 40,9% 47,3% 48,9% 49,4% 49,4%BS F_3 R_21 31,0% 38,9% 45,6% 47,2% 47,7% 47,7% 48,4%BS F_1 Def 30,5% 38,4% 45,0% 46,6% 47,1% 47,1% 47,8% 49,4%BS F_4 31,1% 38,6% 45,1% 46,6% 47,1% 47,1% 47,7% 49,3% 49,9%BS F_3 R_1400 28,9% 36,8% 43,7% 45,3% 45,8% 45,8% 46,5% 48,2% 48,8% 48,9%BS F_3 R_63 27,3% 34,6% 40,9% 42,5% 42,9% 42,9% 43,6% 45,1% 45,7% 45,8% 46,9%DK F_2 27,2% 34,5% 40,8% 42,3% 42,8% 42,8% 43,4% 45,0% 45,5% 45,7% 46,7% 49,8%DK F_3 R_1400 25,5% 32,6% 38,9% 40,4% 40,9% 40,9% 41,5% 43,0% 43,6% 43,7% 44,8% 47,9% 48,1%DK F_3 R_126 26,0% 32,6% 38,3% 39,7% 40,1% 40,1% 40,7% 42,1% 42,6% 42,7% 43,7% 46,6% 46,8% 48,5%DK F_2 Def 24,4% 31,2% 37,3% 38,8% 39,2% 39,3% 39,8% 41,4% 41,9% 42,1% 43,1% 46,1% 46,4% 48,2% 49,8%DK F_3 R_63 24,2% 30,8% 36,6% 38,0% 38,5% 38,5% 39,1% 40,5% 41,1% 41,2% 42,1% 45,1% 45,3% 47,1% 48,6% 48,8%DK F_3 R_21 23,7% 30,3% 36,1% 37,5% 38,0% 38,0% 38,6% 40,0% 40,6% 40,7% 41,7% 44,6% 44,8% 46,7% 48,2% 48,4% 49,6%DK F_1 23,6% 29,8% 35,2% 36,6% 37,0% 37,0% 37,5% 38,9% 39,4% 39,5% 40,4% 43,2% 43,4% 45,1% 46,6% 46,7% 47,8% 48,2%DK F_1 Def 19,5% 25,0% 30,0% 31,3% 31,6% 31,7% 32,2% 33,4% 33,9% 34,0% 34,9% 37,5% 37,7% 39,3% 40,8% 40,9% 42,0% 42,4% 44,1%

DK F_3 R_21

DK F_1DK F_1

DefDK F_3 R_1400

DK F_3 R_126

DK F_2 Def

DK F_3 R_63

BS F_4BS F_3 R_1400

BS F_3 R_63

DK F_2BS F_1BS F_3 R_126

BS F_3 R_21

BS F_1 Def

DK F_3 R_252

BS F_2 Def

BS F_4 Def

BS F_2BS F_3 R_252

Abordagem

166

7.9 ANEXO IX

Estatísticas t

BS F_4 Def

BS F_2 Def 0,020BS F_1 Def 0,118 0,096BS F_4 0,121 0,100 0,010BS F_1 0,143 0,122 0,026 0,016BS F_2 0,156 0,135 0,045 0,035 0,021BS F_3 R_63 0,255 0,234 0,144 0,134 0,120 0,099BS F_3 R_21 0,255 0,234 0,144 0,134 0,120 0,099 0,000BS F_3 R_126 0,257 0,237 0,146 0,136 0,122 0,101 0,002 0,002BS F_3 R_1400 0,258 0,237 0,147 0,137 0,122 0,102 0,003 0,003 0,001BS F_3 R_252 0,259 0,239 0,148 0,139 0,124 0,103 0,004 0,004 0,002 0,001DK F_2 Def 0,416 0,398 0,315 0,306 0,293 0,274 0,183 0,183 0,182 0,181 0,180DK F_2 0,442 0,424 0,342 0,333 0,320 0,301 0,212 0,211 0,210 0,209 0,208 0,030DK F_3 R_252 0,470 0,451 0,365 0,356 0,342 0,323 0,229 0,229 0,227 0,227 0,225 0,040 0,008DK F_3 R_63 0,466 0,447 0,365 0,356 0,342 0,323 0,233 0,233 0,231 0,231 0,229 0,050 0,020 0,012DK F_1 0,489 0,471 0,389 0,380 0,367 0,348 0,258 0,258 0,256 0,256 0,254 0,076 0,046 0,038 0,026DK F_3 R_1400 0,518 0,500 0,419 0,411 0,398 0,379 0,291 0,291 0,289 0,288 0,287 0,112 0,082 0,075 0,063 0,037DK F_1 Def 0,542 0,524 0,443 0,435 0,421 0,403 0,314 0,314 0,313 0,312 0,311 0,135 0,105 0,098 0,086 0,060 0,023DK F_3 R_126 0,549 0,531 0,450 0,441 0,428 0,410 0,321 0,321 0,319 0,318 0,317 0,141 0,111 0,104 0,092 0,066 0,029 0,006DK F_3 R_21 0,563 0,545 0,465 0,456 0,443 0,425 0,337 0,337 0,335 0,335 0,334 0,160 0,130 0,123 0,111 0,086 0,049 0,026 0,020

DK F_3 R_126

DK F_3 R_21

DK F_3 R_63

DK F_1DK F_3 R_1400

DK F_1 Def

BS F_3 R_252

DK F_2 Def

DK F_2DK F_3 R_252

BS F_3 R_63

BS F_3 R_21

BS F_3 R_126

BS F_3 R_1400

BS F_1 Def

BS F_4 BS F_1 BS F_2BS F_4

DefBS F_2

DefAbordagem


BS F_4 Def

BS F_2 Def 49,2%BS F_1 Def 45,4% 46,2%BS F_4 45,2% 46,0% 49,6%BS F_1 44,4% 45,2% 49,0% 49,4%BS F_2 43,9% 44,7% 48,2% 48,6% 49,2%BS F_3 R_63 40,0% 40,8% 44,3% 44,7% 45,3% 46,1%BS F_3 R_21 40,0% 40,8% 44,3% 44,7% 45,3% 46,1% 50,0%BS F_3 R_126 40,0% 40,7% 44,2% 44,6% 45,2% 46,0% 49,9% 49,9%BS F_3 R_1400 39,9% 40,7% 44,2% 44,6% 45,2% 46,0% 49,9% 49,9% 50,0%BS F_3 R_252 39,9% 40,7% 44,2% 44,5% 45,1% 45,9% 49,8% 49,8% 49,9% 49,9%DK F_2 Def 34,0% 34,7% 37,8% 38,1% 38,6% 39,3% 42,8% 42,8% 42,9% 42,9% 42,9%DK F_2 33,1% 33,8% 36,8% 37,1% 37,6% 38,3% 41,7% 41,7% 41,8% 41,8% 41,8% 48,8%DK F_3 R_252 32,1% 32,8% 35,9% 36,2% 36,7% 37,5% 41,0% 41,0% 41,1% 41,1% 41,2% 48,4% 49,7%DK F_3 R_63 32,3% 32,9% 35,9% 36,2% 36,7% 37,4% 40,9% 40,9% 40,9% 41,0% 41,0% 48,0% 49,2% 49,5%DK F_1 31,4% 32,1% 35,0% 35,3% 35,8% 36,5% 39,9% 39,9% 40,0% 40,0% 40,1% 47,0% 48,2% 48,5% 49,0%DK F_3 R_1400 30,4% 31,1% 33,9% 34,2% 34,7% 35,4% 38,7% 38,7% 38,7% 38,8% 38,8% 45,6% 46,8% 47,1% 47,5% 48,5%DK F_1 Def 29,6% 30,2% 33,1% 33,4% 33,8% 34,5% 37,8% 37,8% 37,8% 37,9% 37,9% 44,7% 45,8% 46,1% 46,6% 47,6% 49,1%DK F_3 R_126 29,4% 30,0% 32,8% 33,1% 33,6% 34,3% 37,5% 37,5% 37,6% 37,6% 37,7% 44,4% 45,6% 45,9% 46,4% 47,4% 48,9% 49,8%DK F_3 R_21 28,9% 29,5% 32,3% 32,6% 33,1% 33,7% 36,9% 36,9% 37,0% 37,0% 37,1% 43,7% 44,9% 45,2% 45,6% 46,6% 48,1% 49,0% 49,2%

DK F_1 Def

DK F_3 R_126

DK F_3 R_21

DK F_3 R_252

DK F_3 R_63

DK F_1DK F_3 R_1400

BS F_3 R_1400

BS F_3 R_252

DK F_2 Def

DK F_2BS F_2BS F_3 R_63

BS F_3 R_21

BS F_3 R_126

BS F_2 Def

BS F_1 Def

BS F_4 BS F_1BS F_4

DefAbordagem

167

7.10 ANEXO X

Correlações

AbordagensBS F_4

DefBS F_2

DefBS F_1


BS F_3 R_63

BS F_3 R_21

BS F_3 R_126

BS F_3 R_1400

BS F_3 R_252

DK F_2 Def

DK F_2DK F_3 R_252

DK F_3 R_63

DK F_1DK F_3 R_1400

DK F_1 Def

DK F_3 R_126

DK F_3 R_21

BS F_4 Def 1,000BS F_2 Def 0,990 1,000BS F_1 Def 0,993 0,988 1,000BS F_4 0,988 0,970 0,988 1,000BS F_1 0,984 0,973 0,994 0,994 1,000BS F_2 0,987 0,989 0,991 0,987 0,988 1,000BS F_3 R_63 0,984 0,987 0,990 0,982 0,987 0,996 1,000BS F_3 R_21 0,984 0,986 0,990 0,982 0,987 0,996 1,000 1,000BS F_3 R_126 0,984 0,987 0,990 0,982 0,987 0,996 1,000 1,000 1,000BS F_3 R_1400 0,984 0,987 0,990 0,982 0,987 0,996 1,000 1,000 1,000 1,000BS F_3 R_252 0,984 0,987 0,990 0,982 0,987 0,997 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000DK F_2 Def 0,922 0,961 0,928 0,894 0,906 0,942 0,946 0,946 0,946 0,947 0,947 1,000DK F_2 0,928 0,963 0,941 0,910 0,924 0,957 0,958 0,958 0,958 0,958 0,958 0,989 1,000DK F_3 R_252 0,918 0,954 0,934 0,902 0,922 0,948 0,957 0,957 0,957 0,957 0,957 0,986 0,994 1,000DK F_3 R_63 0,931 0,964 0,941 0,911 0,926 0,956 0,965 0,965 0,965 0,965 0,965 0,984 0,991 0,996 1,000DK F_1 0,948 0,975 0,958 0,929 0,942 0,967 0,968 0,967 0,968 0,968 0,968 0,979 0,990 0,981 0,983 1,000DK F_3 R_1400 0,920 0,956 0,932 0,900 0,917 0,948 0,957 0,957 0,957 0,957 0,957 0,989 0,993 0,998 0,998 0,983 1,000DK F_1 Def 0,947 0,974 0,955 0,930 0,938 0,965 0,964 0,964 0,964 0,964 0,965 0,987 0,987 0,977 0,976 0,993 0,980 1,000DK F_3 R_126 0,920 0,955 0,934 0,902 0,919 0,948 0,958 0,959 0,959 0,959 0,959 0,987 0,993 0,998 0,998 0,982 0,999 0,976 1,000DK F_3 R_21 0,917 0,955 0,931 0,897 0,916 0,944 0,953 0,954 0,953 0,953 0,954 0,989 0,993 0,998 0,997 0,983 0,999 0,979 0,999 1,000

Médias

AbordagensBS F_4

DefBS F_2

DefBS F_1


BS F_3 R_63

BS F_3 R_21

BS F_3 R_126

BS F_3 R_1400

BS F_3 R_252

DK F_2 Def

DK F_2DK F_3 R_252

DK F_3 R_63

DK F_1DK F_3 R_1400

DK F_1 Def

DK F_3 R_126

DK F_3 R_21

BS F_4 Def 0,00%

BS F_2 Def 0,006% 0,00%

BS F_1 Def 0,032% 0,026% 0,00%

BS F_4 0,035% 0,029% 0,003% 0,00%

BS F_1 0,039% 0,033% 0,007% 0,004% 0,00%

BS F_2 0,045% 0,039% 0,013% 0,010% 0,006% 0,00%

BS F_3 R_63 0,073% 0,067% 0,041% 0,039% 0,034% 0,028% 0,00%

BS F_3 R_21 0,073% 0,067% 0,041% 0,039% 0,034% 0,028% 0,000% 0,00%

BS F_3 R_126 0,074% 0,068% 0,042% 0,039% 0,035% 0,029% 0,001% 0,001% 0,00%

BS F_3 R_1400 0,074% 0,068% 0,042% 0,039% 0,035% 0,029% 0,001% 0,001% 0,000% 0,00%

BS F_3 R_252 0,074% 0,068% 0,043% 0,040% 0,035% 0,030% 0,001% 0,001% 0,001% 0,000% 0,00%

DK F_2 Def 0,131% 0,125% 0,099% 0,096% 0,092% 0,086% 0,058% 0,057% 0,057% 0,057% 0,056% 0,00%

DK F_2 0,140% 0,134% 0,108% 0,106% 0,101% 0,095% 0,067% 0,067% 0,067% 0,066% 0,066% 0,010% 0,00%

DK F_3 R_252 0,143% 0,137% 0,111% 0,108% 0,104% 0,098% 0,070% 0,069% 0,069% 0,069% 0,068% 0,012% 0,002% 0,00%

DK F_3 R_63 0,146% 0,141% 0,115% 0,112% 0,108% 0,102% 0,073% 0,073% 0,073% 0,072% 0,072% 0,016% 0,006% 0,004% 0,00%

DK F_1 0,155% 0,149% 0,123% 0,120% 0,116% 0,110% 0,082% 0,082% 0,081% 0,081% 0,080% 0,024% 0,014% 0,012% 0,008% 0,00%

DK F_3 R_1400 0,167% 0,161% 0,135% 0,132% 0,128% 0,122% 0,093% 0,093% 0,093% 0,093% 0,092% 0,036% 0,026% 0,024% 0,020% 0,012% 0,00%

DK F_1 Def 0,174% 0,168% 0,142% 0,139% 0,135% 0,129% 0,101% 0,101% 0,100% 0,100% 0,100% 0,043% 0,034% 0,031% 0,028% 0,019% 0,007% 0,00%

DK F_3 R_126 0,176% 0,170% 0,144% 0,141% 0,137% 0,131% 0,103% 0,103% 0,102% 0,102% 0,102% 0,045% 0,036% 0,033% 0,029% 0,021% 0,009% 0,002% 0,00%

DK F_3 R_21 0,182% 0,177% 0,151% 0,148% 0,144% 0,138% 0,109% 0,109% 0,109% 0,109% 0,108% 0,052% 0,042% 0,040% 0,036% 0,028% 0,016% 0,008% 0,007% 0,00%

168

Desvios-Padrão

AbordagensBS F_4

DefBS F_2

DefBS F_1


BS F_3 R_63

BS F_3 R_21

BS F_3 R_126

BS F_3 R_1400

BS F_3 R_252

DK F_2 Def

DK F_2DK F_3 R_252

DK F_3 R_63

DK F_1DK F_3 R_1400

DK F_1 Def

DK F_3 R_126

DK F_3 R_21

BS F_4 Def 0,00%

BS F_2 Def 0,214% 0,00%

BS F_1 Def 0,204% 0,246% 0,00%

BS F_4 0,236% 0,375% 0,246% 0,00%

BS F_1 0,283% 0,359% 0,160% 0,188% 0,00%

BS F_2 0,247% 0,228% 0,216% 0,243% 0,248% 0,00%

BS F_3 R_63 0,274% 0,249% 0,230% 0,285% 0,252% 0,127% 0,00%

BS F_3 R_21 0,277% 0,252% 0,231% 0,285% 0,251% 0,132% 0,009% 0,00%

BS F_3 R_126 0,275% 0,248% 0,230% 0,285% 0,253% 0,128% 0,005% 0,011% 0,00%

BS F_3 R_1400 0,272% 0,246% 0,228% 0,285% 0,252% 0,127% 0,007% 0,011% 0,005% 0,00%

BS F_3 R_252 0,273% 0,246% 0,228% 0,285% 0,252% 0,127% 0,006% 0,010% 0,004% 0,003% 0,00%

DK F_2 Def 0,642% 0,464% 0,628% 0,743% 0,705% 0,557% 0,539% 0,540% 0,539% 0,539% 0,538% 0,00%

DK F_2 0,627% 0,458% 0,589% 0,694% 0,651% 0,494% 0,491% 0,491% 0,490% 0,490% 0,490% 0,253% 0,00%

DK F_3 R_252 0,641% 0,483% 0,577% 0,696% 0,625% 0,511% 0,468% 0,466% 0,467% 0,467% 0,467% 0,282% 0,195% 0,00%

DK F_3 R_63 0,606% 0,450% 0,577% 0,684% 0,635% 0,494% 0,444% 0,444% 0,444% 0,444% 0,443% 0,295% 0,223% 0,159% 0,00%

DK F_1 0,535% 0,387% 0,511% 0,619% 0,578% 0,437% 0,434% 0,436% 0,434% 0,435% 0,433% 0,341% 0,234% 0,326% 0,308% 0,00%

DK F_3 R_1400 0,666% 0,507% 0,635% 0,740% 0,691% 0,550% 0,505% 0,504% 0,505% 0,505% 0,504% 0,248% 0,199% 0,150% 0,123% 0,310% 0,00%

DK F_1 Def 0,551% 0,401% 0,537% 0,629% 0,609% 0,459% 0,464% 0,465% 0,464% 0,465% 0,464% 0,274% 0,274% 0,364% 0,369% 0,198% 0,342% 0,00%

DK F_3 R_126 0,662% 0,508% 0,625% 0,732% 0,677% 0,544% 0,494% 0,493% 0,494% 0,494% 0,494% 0,277% 0,207% 0,130% 0,109% 0,324% 0,060% 0,368% 0,00%

DK F_3 R_21 0,686% 0,523% 0,649% 0,760% 0,703% 0,576% 0,532% 0,530% 0,531% 0,531% 0,531% 0,260% 0,205% 0,149% 0,146% 0,314% 0,087% 0,348% 0,094% 0,00%

Estatística t

AbordagensBS F_4

DefBS F_2

DefBS F_1


BS F_3 R_63

BS F_3 R_21

BS F_3 R_126

BS F_3 R_1400

BS F_3 R_252

DK F_2 Def

DK F_2DK F_3 R_252

DK F_3 R_63

DK F_1DK F_3 R_1400

DK F_1 Def

DK F_3 R_126

DK F_3 R_21

BS F_4 Def -

BS F_2 Def 0,145 -

BS F_1 Def 0,824 0,559 -

BS F_4 0,775 0,406 0,060 -

BS F_1 0,724 0,486 0,231 0,119 -

BS F_2 0,958 0,903 0,317 0,221 0,127 -

BS F_3 R_63 1,410 1,431 0,951 0,716 0,720 1,179 -

BS F_3 R_21 1,395 1,413 0,948 0,717 0,725 1,138 0,024 -

BS F_3 R_126 1,420 1,445 0,965 0,725 0,731 1,201 0,633 0,263 -

BS F_3 R_1400 1,435 1,465 0,977 0,730 0,737 1,212 0,601 0,350 0,218 -

BS F_3 R_252 1,441 1,472 0,987 0,738 0,747 1,233 0,991 0,578 0,784 0,748 -

DK F_2 Def 1,077 1,422 0,832 0,684 0,689 0,815 0,564 0,564 0,559 0,558 0,554 -

DK F_2 1,182 1,551 0,974 0,805 0,824 1,022 0,723 0,722 0,718 0,715 0,712 0,200 -

DK F_3 R_252 1,178 1,499 1,016 0,822 0,879 1,014 0,786 0,789 0,781 0,778 0,775 0,226 0,067 -

DK F_3 R_63 1,278 1,652 1,050 0,864 0,896 1,089 0,872 0,873 0,866 0,864 0,860 0,281 0,146 0,122 -

DK F_1 1,529 2,033 1,272 1,027 1,060 1,333 0,994 0,989 0,988 0,984 0,982 0,373 0,327 0,195 0,143 -

DK F_3 R_1400 1,323 1,678 1,123 0,944 0,979 1,173 0,979 0,981 0,974 0,972 0,968 0,769 0,703 0,846 0,875 0,204 -

DK F_1 Def 1,670 2,218 1,402 1,174 1,175 1,489 1,150 1,147 1,143 1,139 1,138 0,839 0,652 0,455 0,397 0,516 0,115 -

DK F_3 R_126 1,404 1,769 1,219 1,021 1,070 1,274 1,099 1,102 1,094 1,091 1,088 0,861 0,911 1,346 1,437 0,345 0,813 0,026 -

DK F_3 R_21 1,408 1,789 1,229 1,030 1,081 1,266 1,088 1,091 1,083 1,082 1,079 1,053 1,091 1,411 1,311 0,468 0,960 0,128 0,373 -

169

7.11 ANEXO XI

Correlações


DefBS F_4

BS F_4 Def

BS F_3 R_1400

BS F_3 R_126

BS F_3 R_252

BS F_3 R_21

BS F_3 R_63

BS F_1BS F_1

DefDK F_2

DefDK F_2

DK F_3 R_21

DK F_3 R_126

DK F_3 R_252

DK F_3 R_1400

DK F_3 R_63

DK F_1 Def

DK F_1

BS F_2 1,000BS F_2 Def 0,999 1,000BS F_4 0,997 0,997 1,000BS F_4 Def 0,997 0,998 0,999 1,000BS F_3 R_1400 0,996 0,994 0,990 0,991 1,000BS F_3 R_126 0,996 0,994 0,990 0,991 1,000 1,000BS F_3 R_252 0,996 0,994 0,990 0,991 1,000 1,000 1,000BS F_3 R_21 0,996 0,993 0,990 0,990 1,000 1,000 1,000 1,000BS F_3 R_63 0,996 0,994 0,990 0,991 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000BS F_1 0,998 0,997 0,998 0,998 0,994 0,994 0,994 0,993 0,994 1,000BS F_1 Def 0,997 0,997 0,998 0,998 0,992 0,991 0,992 0,991 0,992 0,999 1,000DK F_2 Def 0,991 0,994 0,994 0,994 0,984 0,983 0,984 0,983 0,984 0,993 0,995 1,000DK F_2 0,993 0,992 0,991 0,990 0,987 0,987 0,987 0,987 0,987 0,993 0,993 0,993 1,000DK F_3 R_21 0,985 0,984 0,980 0,980 0,987 0,988 0,987 0,987 0,988 0,984 0,984 0,986 0,993 1,000DK F_3 R_126 0,981 0,980 0,977 0,976 0,983 0,984 0,983 0,983 0,984 0,981 0,981 0,984 0,991 0,999 1,000DK F_3 R_252 0,976 0,975 0,972 0,971 0,979 0,979 0,979 0,979 0,979 0,977 0,978 0,979 0,988 0,995 0,996 1,000DK F_3 R_1400 0,980 0,979 0,975 0,975 0,982 0,982 0,982 0,982 0,983 0,978 0,978 0,982 0,990 0,997 0,998 0,994 1,000DK F_3 R_63 0,961 0,959 0,958 0,958 0,962 0,963 0,962 0,962 0,963 0,965 0,967 0,971 0,982 0,987 0,989 0,994 0,985 1,000DK F_1 Def 0,977 0,975 0,982 0,981 0,971 0,971 0,971 0,971 0,971 0,985 0,987 0,985 0,986 0,977 0,978 0,980 0,974 0,980 1,000DK F_1 0,977 0,978 0,985 0,984 0,970 0,970 0,970 0,969 0,970 0,986 0,989 0,988 0,982 0,973 0,972 0,971 0,967 0,971 0,991 1,000

Médias


DefBS F_4

BS F_4 Def

BS F_3 R_1400

BS F_3 R_126

BS F_3 R_252

BS F_3 R_21

BS F_3 R_63

BS F_1BS F_1

DefDK F_2

DefDK F_2

DK F_3 R_21

DK F_3 R_126

DK F_3 R_252

DK F_3 R_1400

DK F_3 R_63

DK F_1 Def

DK F_1

BS F_2 0

BS F_2 Def 7 0

BS F_4 14 7 0

BS F_4 Def 18 12 4 0

BS F_3 R_1400 19 13 5 1 0

BS F_3 R_126 19 13 5 1 0 0

BS F_3 R_252 19 13 5 1 0 0 0

BS F_3 R_21 20 13 6 2 1 1 1 0

BS F_3 R_63 20 13 6 2 1 1 1 0 0

BS F_1 25 18 11 7 6 6 6 5 5 0

BS F_1 Def 32 25 18 14 13 13 13 12 12 7 0

DK F_2 Def 54 47 40 36 35 35 35 34 34 29 22 0

DK F_2 55 48 41 37 36 36 36 35 35 30 23 1 0

DK F_3 R_21 90 84 76 72 71 71 71 70 70 65 58 36 35 0

DK F_3 R_126 102 95 88 84 83 83 83 82 82 77 70 48 47 12 0

DK F_3 R_252 104 97 89 85 84 84 84 84 84 78 72 49 48 13 1 0

DK F_3 R_1400 106 99 92 87 87 86 86 86 86 81 74 52 51 15 4 2 0

DK F_3 R_63 113 106 99 94 94 93 93 93 93 88 81 59 58 22 11 9 7 0

DK F_1 Def 126 119 112 108 107 107 107 106 106 101 94 72 71 36 24 23 20 13 0

DK F_1 139 132 125 121 120 120 120 119 119 114 107 85 84 49 37 36 33 26 13 0

170

Desvios-Padrão


DefBS F_4

BS F_4 Def

BS F_3 R_1400

BS F_3 R_126

BS F_3 R_252

BS F_3 R_21

BS F_3 R_63

BS F_1BS F_1

DefDK F_2

DefDK F_2

DK F_3 R_21

DK F_3 R_126

DK F_3 R_252

DK F_3 R_1400

DK F_3 R_63

DK F_1 Def

DK F_1

BS F_2 0

BS F_2 Def 40 0

BS F_4 62 61 0

BS F_4 Def 65 54 33 0

BS F_3 R_1400 74 94 115 117 0

BS F_3 R_126 74 95 115 118 2 0

BS F_3 R_252 73 94 114 117 1 2 0

BS F_3 R_21 76 96 117 120 5 5 5 0

BS F_3 R_63 73 94 115 117 3 3 3 4 0

BS F_1 53 66 54 64 85 85 85 87 85 0

BS F_1 Def 64 65 54 57 99 100 99 101 99 27 0

DK F_2 Def 105 92 96 102 134 135 134 136 134 91 80 0

DK F_2 102 115 122 130 119 118 118 119 117 96 98 89 0

DK F_3 R_21 157 167 182 188 130 130 130 129 129 151 154 134 95 0

DK F_3 R_126 174 183 196 204 148 147 148 147 147 165 167 146 105 36 0

DK F_3 R_252 193 204 213 223 167 166 167 167 166 180 182 168 122 70 57 0

DK F_3 R_1400 173 184 198 205 149 148 149 148 148 170 173 150 109 51 43 75 0

DK F_3 R_63 227 237 242 249 208 207 208 208 206 208 207 186 144 110 99 73 117 0

DK F_1 Def 165 172 147 157 181 181 181 182 180 130 122 131 129 173 173 174 183 170 0

DK F_1 167 166 142 149 182 182 181 182 181 124 115 117 137 174 179 184 190 182 105 0

Estatística t


DefBS F_4

BS F_4 Def

BS F_3 R_1400

BS F_3 R_126

BS F_3 R_252

BS F_3 R_21

BS F_3 R_63

BS F_1BS F_1

DefDK F_2

DefDK F_2

DK F_3 R_21

DK F_3 R_126

DK F_3 R_252

DK F_3 R_1400

DK F_3 R_63

DK F_1 Def

DK F_1

BS F_2 -

BS F_2 Def 0,907 -

BS F_4 1,205 0,636 -

BS F_4 Def 1,512 1,139 0,678 -

BS F_3 R_1400 1,391 0,705 0,237 0,041 -

BS F_3 R_126 1,385 0,702 0,240 0,044 0,200 -

BS F_3 R_252 1,403 0,711 0,242 0,045 0,480 0,023 -

BS F_3 R_21 1,398 0,722 0,262 0,069 0,686 0,654 0,587 -

BS F_3 R_63 1,447 0,740 0,269 0,072 1,045 1,185 0,946 0,040 -

BS F_1 2,518 1,458 1,072 0,550 0,359 0,353 0,355 0,313 0,319 -

BS F_1 Def 2,625 2,051 1,753 1,264 0,674 0,667 0,671 0,626 0,638 1,346 -

DK F_2 Def 2,719 2,715 2,206 1,859 1,373 1,367 1,372 1,335 1,350 1,696 1,467 -

DK F_2 2,866 2,218 1,773 1,495 1,593 1,594 1,595 1,560 1,583 1,656 1,244 0,054 -

DK F_3 R_21 3,046 2,645 2,211 2,024 2,893 2,901 2,892 2,883 2,890 2,283 2,013 1,425 1,977 -

DK F_3 R_126 3,119 2,756 2,373 2,176 2,964 2,973 2,964 2,960 2,964 2,470 2,221 1,745 2,384 1,763 -

DK F_3 R_252 2,844 2,505 2,216 2,023 2,672 2,683 2,672 2,657 2,670 2,311 2,085 1,558 2,100 0,989 0,124 -

DK F_3 R_1400 3,231 2,853 2,446 2,256 3,075 3,084 3,076 3,073 3,072 2,509 2,260 1,823 2,465 1,604 0,439 0,158 -

DK F_3 R_63 2,628 2,370 2,154 2,006 2,381 2,390 2,382 2,368 2,379 2,228 2,071 1,666 2,122 1,083 0,567 0,676 0,316 -

DK F_1 Def 4,039 3,676 4,033 3,622 3,116 3,124 3,121 3,082 3,115 4,125 4,096 2,905 2,915 1,092 0,730 0,686 0,587 0,415 -

DK F_1 4,401 4,209 4,657 4,279 3,492 3,489 3,493 3,463 3,484 4,854 4,937 3,856 3,248 1,479 1,093 1,025 0,928 0,764 0,652 -

Documents

Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto … · surgir foi o de Derman & Kani (1994). Este modelo usa a função de volatilidade implícita obtida a partir do smile observado