UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTEarquivos.info.ufrn.br/arquivos/2011105034ef0a776484b3711c2defe9/... · a valores reais, e F o espaço euclidiano R, formado pela determinante

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

Álgebra Linear

AulaTransformações lineares hlcs

Resumo

•Transformações lineares

•Definição

•Núcleo

•Imagem

Transformações Lineares

•Definição

•Relação entre espaços vetoriais

•Preservação de operações*

•Aplicação linear ou Mapa linear


•Definição

•Uma transformação T de um espaço vetorial E em um espaço vetorial F será denotada por

T: E F

v T(v)

Onde u ϵ E, v ϵ E; T(u) ϵ F, T(v) ϵ F.

i) T(u + w) = T(u)+ T(w)

ii) T(.u) = λ.T(u), λ ϵ R


•Exemplo 1

Seja M2x2 o espaço vetorial da matrizes de ordem 2 x2 a valores reais, e F o espaço vetorial euclidiano R4. Seja

a transformação : T: M2x2 R4

Verifique que ela é uma transformação linear

d

c

b

a

dc

baT )(


•Exemplo 2

Seja M2x2 o espaço vetorial da matrizes de ordem 2 x2 a valores reais, e F o espaço euclidiano R, formado pela determinante de qualquer matriz de M2x2.

Seja a transformação : T: M2x2 F

A pertence a M2x2

Verifique que ela é não é transformação linear

)det()( AAT


•Propriedades importantes• Considere A e B duas transformações lineares :

• Então A+B é outra transformação linear.

• λ A é outra transformação linear.

•Definição: Seja T: E E

v T(v), então T é chamado

de operador linear.

Exemplo: I: E E

v I(v)=v; I é operador identidade.


•Exemplo: Seja n, m dois espaços euclidianos

Arbitrários.

A função T: n m é dita uma transformação linear se satisfizer as seguintes condições:

i) T(v + w) = T(v)+ T(w)

ii) T(.v) = .T(v), ϵ

Onde v=(v1,v2,..., vn); w=(w1,w2,..., wn)

e T(v)=z=(z1,z2,..., zm); T(w)=(y1,y2,.., ym)


•Exemplos•T: 2 2 (operador dilatação |k|>0, contração 0<|k|<1)

•T(v)=k.v •T: 2 3

•T(x,y)=(3x,-2y,x-y)•T: 3 2 (projeção)

•T(x,y,z)=(x,y)

•T: 5

•T(x,y,z,w,s)=(x+y-z+w-s)


• Mais exemplos

1. Seja TA : Rn Rm uma operação tal para todo

v ϵ Rn, T(v)= A v, onde Amxn é uma matriz. Provar que ela é uma T.L.

2. Provar que para toda T.L. entre dois espaços vetoriais, T(-u)= - T(u), T(u-v)=T(u)-T(v).

3. Defina geometricamente no plano a seguinte T.L. T: R2

R2 , T(v) = w, v = (x,y), w = (x+α.y,y). V e w são vetores de R2.


• Mais exemplo4.- Seja Pn o e.v. dos polinômios de grau maximo n. Seja

D : Pn Pnum operador derivada. Tal que

D(f) = f’, para todo f de Pn e com as propriedades

usuais de derivação. Mostre que D e linear.

5.- Explique se T: 4 2 , T(x,y,z,w)=(x+y+1,z-w), é uma transformação linear.

6.- Seja E=C0[a,b] Ϲ , o espaço vetorial das funções contínuas f: [a,b] → . Podemos definir a funcional σ: E → , mostre que ela

é funcional linear dxxffb

a )()(


•Continua7. Considere a matriz de rotação R(ϴ), tal que

V´ = R(ϴ) V, onde V´=(x´,y´) ϵ 2 e V=(x,y) ϵ 2

Esta matriz transforma o vetor V no vetor V´ ao realizar uma rotação do vetor V no ângulo ϴ ao redor do eixo “Z”. Sendo a matriz R

Mostre que a matriz de rotação R é uma transformação linear

)cos()sin(

)sin()cos(R


•Observação

Em toda transformação linear T: EF, tem-se que

• T(0) = 0 (provar).

• T(-u)= -T(u)

•T(u - v)=T(u) – T(v) para todo u,v ϵ EExercício 8.- Seja L: 2 , L(x,y) = 2x + 4

é uma transformação linear?

Exercício 9.- F(u) = |u|2 é uma transformação linear?,

u é um vetor de Rn


Transformações do plano no planoVamos apresentar uma visão geométrica das transformações lineares, dando alguns exemplos de transformações do plano no plano.•Expansão ou contração uniforme:

T : R2 R2, R tal que T(u) = .u(x,y) (x,y)

• Reflexão em torno do eixo x:T: R2 R2

(x,y) (x, -y)• Reflexão na origem:

T: R2 R2

(x,y) (-x, -y)•Rotação de um ângulo t no sentido anti horário:

R: R2 R2 , R(x,y) (x cos t – y sen t, y cos t + x sen t)


Continua...• Reflexão em relação ao eixo y = x:

T : R2 R2, (x,y) (y,x) (verificar que é uma reflexão)

• Dilatação na direção x:T: R2 R2

(x,y) (α x, y) , 1< α, α é número real.• O cisalhamento do exercício 3

T: R2 R2

(x,y) (x + α y, y)Rotação no espaço euclidiano R3

•Rotação de um ângulo ϴ no sentido anti horário ao redor do eixo +z:R(ϴ): R3 R3 , R(x, y, z) (x cos ϴ – y sen ϴ, y cos ϴ + x sen ϴ,z)


•Teorema

•Se T:EF é uma transformação linear, {e1,e2,...,en} é base de E e 1, 2,..., n são números reais, então:

T(1 e1+ 2 e2+... n en)=

1 T(e1)+ 2 T(e2)+…+ nT(en);

Provar que:

{T(e1),T(e2),...,T(em)} é L.I. em F


•Exemplo

1. Seja T: 3 2 uma transformação linear e B={v1,v2,v3} uma base do 3 , onde v1=(0,1,0), v2=(1,0,1) e v3=(1,1,0); determine T(V) sabendo que

V=(5,3,-2), T(v1)=(1,-2),T(v2)=(3,1) e T(v3)=(0,2).


•Exemplo

2. Encontre, caso exista, T: 2 3 tal que T(1,1)=(3,-2,1) e T(0,-2)=(0,1,0).

Rpta: T(x,y)=(3x, -(3x+y)/2 , x)


•Núcleo


•Núcleo: Definição• Seja T:EF, o núcleo de uma transformação linear esta formado pelos vetores de E tal que T(V)=0.

• N(T)=Ker(T)={v E; T(v)=0}

• O núcleo de T também e chamado de Kernel de T.

Importante:

• N(T) é um subespaço vetorial de E (provar)

•Exemplo: calcule o núcleo de T: R2 R2

T(x,y) = (x+y, 2x-y)


•Imagem


•Imagem

•Seja T:EF

Imagem de uma transformação linear: conjunto de vetores w F que são imagens de pelo menos um vetor v E.

•Im(T)= {w F; T(v)=w, para algum v E}

•Provar que Im(T) é subespaço de F.


•Teorema

•Sejam E e F espaços vetoriais de dimensão finita e T:EF uma transformação linear, tem-se:

dim(E) = dim(N(T)) + dim(Im(T)),

Dim(N(T)) = nulidade da transformação linear.

Dim(Im(T))= Posto da transformação linear


•Exemplos1.- Seja T: 3 3 , uma transformação linear

(x,y,z) T(x,y,z)=(x,y,0)

2.- Seja T: 2 , uma transformação linear(x,y) T(x,y)=x+y,

3. Seja a transformação linear T: 3 3 , onde T(x,y,z)=(x-y+2z , 2x+y-z , 3x+z).a) Determine o núcleo e a imagem de T em cada casso.

b) Determine a dimensão do núcleo e da imagem em cada casso.


•Exemplo: Seja a transformação linear T:

M2x2()M2x2(), definida por: T(x)=A x – x A. Encontre o núcleo e a Imagem de T. A matriz A é dada por :

•Observe que x é uma matriz de M2x2()

10

21A


•Solução:

Núcleo={x / T(x)=0}, ou seja A x – x A = 0

A x = x A

Considerando

dc

bax

10

21

10

21

dc

ba

dc

ba

dcc

baa

dc

dbca

2

222


•continuação:

•Núcleo de T é o subespaço de M2x2() gerado pela base:

ad

badb

c

aca 22

0

2

00

10

10

01

0ba

a

bax

00

10,

10

01


•continuação:

Imagem: Im(T)={ y / Y=T(x)}, y=A x – x A. para algum x.

10

21

10

21

43

21

dc

ba

dc

ba

yy

yy

dcc

baa

dc

dbca

yy

yy

2

222

43

21

c

adc

yy

yy

20

222

43

21

00

20

20

02

00

20

43

21dca

yy

yy


•Segue...

Como existem apenas dois vetores LI, a base da Imagem é:

O conjunto imagem esta formado pelo espaço gerado por estes 2 “vetores”

10

01

00

10

b

abba

010

01

00

10.I


• Dim(E= M2x2())= 4

Dim(N(T))=2,

Dim(Im(T))=2, logo se verifica que

Dim(E)= 4= Dim((N(T))+ Dim(Im(T))


•Exercícios importanteSeja T uma transformação linear de R3 em R3

tal que T: v T3x3 v (multiplicação matricial da matriz de T pelo vetor coluna v ). v’= T v

Ou seja

a) Determine a núcleo e a imagem de Tb) Determine a dimensão do cada um deles.Resposta: Dim(N(T)) = 1, Dim(Im(T)) = 2

z

y

x

z

y

x

602

031

110

'

'

'


•Exercícios Anton

•Pag. 262

•3-10, 12-14, 16

•Pag. 266

•1-8, 11

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

www.ect.ufrn.br

Documents

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTEarquivos.info.ufrn.br/arquivos/2011105034ef0a776484b3711c2defe9/... · a valores reais, e F o espaço euclidiano R, formado pela determinante