Universidade Presbiteriana Mackenzie Controle II

Universidade Presbiteriana Mackenzie

Curso de Engenharia Eletrica

Controle II

Notas de Aula

Prof. Marcio Eisencraft

Segundo semestre de 2004



Controle II

TEORIA



Controle 2 – Aula 1T – Professor Marcio Eisencraft – julho 2004

1


Controle 2

Professor Marcio Eisencraft ([email protected])

2º. Semestre 2004

1. Objetivos

O objetivo da disciplina é ampliar o conhecimento na área de controle

de sistemas lineares, com estudo de aplicações voltadas principalmente para

sistemas elétricos e mecânicos. Será usada intensamente a linguagem Matlab

para simulação de sistemas.

O conteúdo envolve estudo de técnicas de projeto de sistemas de contro-

le como o Lugar Geométrico das Raízes, resposta em freqüência além de uma

introdução às técnicas de controle digital.

2. Aulas de Teoria e Prática

Nas aulas de prática serão vistas aplicações dos assuntos abordados nas

aulas de teoria. Em todas as aulas de práticas será utilizada a ferramenta

computacional Matlab, principalmente seu ferramental (toolbox) para a á-

rea de controle. Será utilizado também o kit didático de levitação ECP.

3. Avaliação

Serão realizadas três avaliações versando sobre o conteúdo visto nas aulas

de teoria e de prática.


2

O aluno estará aprovado caso consiga média maior ou igual a 7,0 e estará

reprovado caso consiga média inferior a 5,5. Se a média ficar entre 5,5 e

6,9 o aluno será aprovado caso possua mais de 80% de presença em aula,

caso contrário estará reprovado.

Cada avaliação será constituída de duas notas:

o Nota da Prova – 0,0 a 9,0

o Nota de Relatórios da Aula Prática – 0,0 a 2,0

Nas aulas de prática os alunos formarão grupos de um ou dois alunos. Ao

final de todas as aulas será passada uma atividade a ser entregue pelo grupo

no início da aula prática seguinte. A tolerância para entrega desta atividade

é de 10 minutos.

Importante: O relatório deve ser entregue em folha de papel A4 cons-

tando dos nomes, números de matrículas e número da aula à qual a a-

tividade se refere. FORA DESSAS CONDIÇÕES, O RELATÓRIO

NÃO SERÁ ACEITO.

Eventualmente, o professor poderá exigir a entrega de uma atividade du-

rante a aula.

Para que o grupo tenha presença nas aulas de prática é indispensável que

pelo menos um dos componentes tenha a apostila da aula. Será considerado

presente o aluno que estiver em sala no momento em que é realizada a

chamada. Não serão abonadas faltas (exceto os casos previstos em lei). A

tolerância para entrada em sala é de 30 minutos.


3

As provas serão realizadas no horário das aulas de teoria nos seguintes di-

as:

PROVA Turma F (6ª feira) Peso

P1 10/09 Peso 1

P2 15/10 Peso 1

P3 A ser definida Peso 2

4. Conteúdo Programático

O curso é formado por três tópicos principais muito importantes no projeto e

análise de sistemas de controle moderno:

1. Técnicas do Lugar das Raízes [NISE, pp. 305-323].

2. Técnicas de Resposta em Freqüência [NISE, pp. 417-458].

3. Sistemas de Controle Digital [NISE, p.558-579].

5. Bibliografia

A cada aula (de teoria e de prática) serão disponibilizadas na Internet no

site http://meusite.mackenzie.com.br/marcioft/ notas de aula. Além disso,

serão fornecidas listas de exercícios.

A principal referência que será utilizada durante todo o curso é:

[NISE] NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª edição, LTC,

2002.


4

Outras referências disponíveis em vários exemplares na biblioteca:

[OGATA] OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição,

Prentice-Hall do Brasil, 2003.

[DORF] DORF, R.C. Sistemas de controle modernos. 8ª edição, LTC,

2001.

[HAYKIN] HAYKIN, S. S. Sinais e sistemas. 1ª edição, Bookman, 2000.

[PHILLIPS] PHILLIPS, C. L.; HARBOR, R. D. Sistemas de Controle e

Realimentação, 1ª edição, Makron Books, 1997.

[OPPENHEIM] OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S. Signals & Sys-

tems. 2ª edição, Prentice-Hall, 1997.

[LATHI] LATHI, B. P. Signal Processing & Linear Systems. Berkeley-

Cambridge, 1998.

[CHAPMAN] CHAPMAN, S. J. Programação em Matlab para Engenhei-

ros, 2ª edição, Thompson, 2003.

6. Horários preferenciais para atendimento

5ª feira – 20h – 21h25min


1

Aula 1T - Técnicas do Lugar das Raízes

Introdução Bibliografia

NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. 3ª. Edição, LTC, 2002. Páginas 301-305.

OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição, Prentice-Hall do Brasil, 2003. Páginas 276-

277.

1. Técnicas do Lugar das Raízes

1.1. Introdução

Como foi visto em Controle 1, os pólos de uma função de transferência de-

terminam várias características qualitativas da resposta de um sistema de

controle. Por exemplo, para um sistema de 2ª ordem temos:

o Estabilidade: o sistema é estável se todos os pólos têm parte real

negativa.

o Resposta transitória: subamortecida se os pólos são complexos

conjugados, superamortecida se os pólos são reais e diferentes e

com amortecimento crítico de os pólos são reais e iguais.

Lugar das raízes: representação gráfica dos pólos a malha fechada em função

da variação de um parâmetro do sistema.

Assim, o lugar das raízes, tratado neste capítulo, fornece a descrição

qualitativa do desempenho de um sistema de controle em função da variação

de um parâmetro e também serve como uma poderosa ferramenta quantitativa

fornecedora de mais informações do que os métodos já estudados.

Antes de estudá-lo vamos revisar dois conceitos fundamentais:

o O problema do sistema de controle e


2

o Números complexos e suas representações como vetores.

1.1.1. O problema dos sistemas de controle

Problema sério dos sistemas de controle: enquanto os pólos da função de

transferência em malha aberta são facilmente determinados (comumente são

conhecidos por inspeção e não se alteram com mudanças no ganho do siste-

ma), os pólos da função de transferência a malha fechada são mais difíceis de

determinar (normalmente não podem ser encontrados sem fatorar o polinômio

característico do sistema, o denominador da função de transferência). Além

disso, os pólos a malha fechada se alteram quando se muda o ganho.

Lembrando:

Figura 1 – Sistema de controle com realimentação [NISE]

Função de transferência em malha aberta: ( ) ( )sHsKG


3

Função de transferência em malha fechada: ( ) ( )( )

( )( ) ( )sHsKG

sKGsRsCsT

+==

1

Exercício:

1. Seja ( ) ( )21++

=ssssG e ( )

43

++

=sssH .

(a) Calcule os pólos e zeros do sistema em malha aberta.

(b) Determine a função de transferência em malha fechada. Determine seus

zeros.

(c) Verifique que os pólos do sistema em malha fechada são mais difíceis de

calcular e dependem do ganho K .

1.1.2. Representação vetorial de números complexos

Número complexo, θωσ ∠=+= Mjs pode ser sempre descrito como um

vetor.

Figura 2 – Plano complexo [NISE]

Quando o número complexo é substituído em uma função complexa

( )sF , resulta outro número complexo. Por exemplo, se ( ) ( )assF += , substitu-


4

indo então o número complexo ωσ js += resulta ( ) ( ) ωσ jasF ++= , outro nú-

mero complexo. Este número é mostrado a seguir.

Figura 3 - ( ) ( ) ωσ jasF ++= [NISE]

Observe que ( )sF apresenta um zero em a− . Se deslocarmos o vetor de

a unidades para a esquerda, como a seguir, teremos uma representação alter-

nativa do número complexo que se origina no zero de ( )sF e termina no ponto

ωσ js += .

Figura 4 – Representação alternativa para ( ) ( ) ωσ jasF ++= [NISE]


5

Concluímos que ( )as + é um número complexo e pode ser representado por

um vetor traçado a partir do zero da função ao ponto s .

Por exemplo, ( ) ( )7+= ssF calculada no ponto 25 js += vale

( ) 21225 jjF +=+ e pode ser obtido traçando a partir do zero da função, -7, um

vetor até 25 js += como mostrado a seguir.

Figura 5 – ( ) ( )7+= ssF calculada em 25 js += [NISE]

Seja então

( )( )

( )( )( ) ( )( )( ) ( )n

mn

jj

m

ii

pspspszszszs

ps

zssF

++++++

=+

+=

∏

∏

=

=

……

21

21

1

1.

Uma vez que cada fator complexo pode ser visto como um vetor, a magnitude

M de ( )sF em cada ponto s é:

( )

( )∏

∏

=

=

+

+= n

jj

m

ii

ps

zsM

1

1


6

em que izs + é a magnitude do vetor traçado a partir do zero de ( )sF em iz−

ao ponto s e jps + é a magnitude do vetor traçado a partir do pólo de ( )sF

em jp− ao ponto s .

O argumento, θ , de ( )sF em qualquer ponto s é:

( ) ( )∑∑∑∑==

+∠−+∠=−=n

jj

m

ii pszs

11

pólos dos ânguloszeros dos ângulosθ

em que o argumento do zero é o ângulo, medido no sentido trigonométrico, a

partir do eixo real, de um vetor traçado do zero de ( )sF em iz− ao ponto s e o

argumento do pólo é o ângulo, medido no sentido trigonométrico a partir do

eixo real, de um vetor traçado do pólo de ( )sF em jp− ao ponto s .

Exercícios:

2. Dado ( ) ( )( )2

1++

=ssssF , obter ( )sF no ponto 43 js +−= usando a abordagem ge-

ométrica vista acima.

3. Dado ( ) ( )( )( )( )63

42++++

=ssssssF obter ( )sF no ponto 97 js +−= nas seguintes for-

mas:

(a) substituindo diretamente o ponto em ( )sF ;

(b) Calculando o resultado usando vetores.

Resp: oj 7,110096,00899,00339,0 −∠=−−


1

Aula 2T - Definindo o Lugar das Raízes

Propriedades do Lugar das Raízes Bibliografia



279.

1.2. Definindo o Lugar das Raízes

Vamos definir o que é o lugar das raízes a partir do seguinte exercício.

Exercício

1. Um sistema de câmara de vídeo, semelhante ao mostrado na figura a se-

guir, pode acompanhar automaticamente um objeto. O sistema de rastrea-

mento consiste em um sensor duplo e um transmissor, em que um compo-

nente é montado sobre a câmara e o outro usado pelo objeto. Uma diferen-

ça entre as saídas dos dois sensores que recebe energia do transmissor faz

com que o sistema gire a câmara para eliminar a diferença e seguir a fonte

de energia.

Figura 1 – Câmara de vídeo do Exercício Um [NISE]


2

Admita a representação em diagrama de blocos deste sistema apresentada a

seguir.

Figura 2 – Diagrama de blocos do sistema do Exercício Um [NISE].

Pede-se:

(a) Encontre a função de transferência em malha fechada ( ) ( )( )sRsCsT = em fun-

ção de 21KKK = .

(b) Os pólos da função de transferência encontrada em (a) variam com K .

Preencha a tabela a seguir com o valor destes pólos.

K Pólo 1 Pólo 2

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50


3

(c) Localize estes pólos no plano complexo para cada valor de K .

(d) Com relação ao item (c), retire a localização dos pólos individuais e repre-

sente seu percurso por linhas cheias.

Esta é a representação do percurso dos pólos a malha fechada à medida que o

ganho é modificado que chamamos de lugar das raízes.

O lugar das raízes mostra a mudança na resposta transitória resultante da vari-

ação do ganho K .

(e) Baseado no lugar das raízes obtido no item (d), determine o intervalo de

valores de K para o qual o sistema é:

i) superamortecido.

ii) criticamente amortecido

iii) subamortecido

iv) estável

1.3. Propriedades do Lugar das Raízes

No Exercício Um, chegamos ao lugar das raízes encontrando as raízes do

polinômio de segunda ordem no denominador da função de transferência.

Considere o que aconteceria se aquele polinômio fosse de quinta ou décima

ordem. Encontrar as raízes do polinômio para um número elevado de valo-

res de ganho, sem o uso de um computador seria um grande problema.

Vamos analisar as propriedades do lugar das raízes. A partir dessas propri-

edades, seremos capazes de fazer um esboço rápido do lugar das raízes pa-

ra sistemas de ordem superior sem ter que encontrar as raízes do denomi-

nador da função de transferência a malha fechada.

Seja o sistema de controle geral a seguir:


4

Figura 3 – Sistema de controle a malha fechada [NISE]

Já sabemos que

( ) ( )( )

( )( ) ( )sHsKG

sKGsRsCsT

+==

1 .

Com base nesta equação, vemos que existe um pólo, s , quando o polinô-

mio característico no denominador se anula, ou seja,

( ) ( ) ( ) omsHsKG 1801211 ⋅+∠=−= , …,2,1,0 ±±=m

ou,

( ) ( )( ) ( ) ( ) omsHsKG

sHsKG

18012

1

⋅+=∠

=

Desta forma, se quisermos saber se um ponto s está no lugar das raízes de

um dado sistema, substituímos s em ( ) ( )sHsKG o que resulta num número

complexo.


5

Se o ângulo do número complexo for um múltiplo ímpar de 180°, este va-

lor de s é um pólo do sistema para um valor particular de K .

Qual valor de K ? Uma vez que o critério do ângulo seja atendido, tudo o

que resta a satisfazer é o critério da magnitude. Por conseguinte,

( ) ( )sHsGK 1=

Vamos fazer alguns exercícios.

Exercícios

2. Considere o sistema a seguir:

Figura 4 - Sistema de controle do Exercício Dois [NISE]


6

Seja o ponto 32 j+− . Verifique se ele pertence ao lugar das raízes para algum

valor de K .

Resposta: Se este ponto for um pólo em malha fechada, então devemos ter

( ) ( ) ( ) omsHsKG 18012 ⋅+=∠ ou ( ) ( ) ( ) omsHsG 18012 ⋅+=∠ já que K é real.

Vimos na aula passada que ( ) ( )sHsG∠ pode ser calculado como a diferença

entre os ângulos dos zeros e os ângulos dos pólos. Da figura seguinte,

Figura 5 - Contribuição dos pólos e zeros no ponto 32 j+− [NISE]

ooooo 55,7043,1089057,7131,564321 −=−−+=−−+ θθθθ

Por conseguinte, 32 j+− não é um ponto sobre o lugar das raízes ou, alternati-

vamente, 32 j+− não é um pólo em malha fechada para nenhum valor do ga-

nho.


7

3. Repita o Exercício 2 para 222 js +−= . Caso ele seja um ponto do lugar

das raízes, determine para qual valor de K .

4. Para um sistema com retroação unitária com função de transferência no

canal direto

( ) ( )( )134

22 ++

+=

sssKsG ,

faça o seguinte:

(a) Calcule o ângulo de ( )sG no ponto ( )03 j+− encontrando a soma algébrica

dos ângulos dos vetores desenhados a partir dos zeros e pólos de ( )sG para o

ponto dado.

(b) Determine se o ponto especificado em (a) está sobre o lugar das raízes.

(c) Se o ponto especificado em (a) estiver sobre o lugar das raízes, encontre o

ganho K , usando os comprimentos dos vetores.

Resp: (a) Soma dos ângulos = 180°

(b) O ponto está sobre o lugar das raízes

(c) 10=K .


1

Aula 3T - Esboçando o Lugar das Raízes Bibliografia



294.

1.4. Esboçando o Lugar das Raízes

Como vimos na aula passada, podemos obter o lugar das raízes de um sis-

tema buscando no plano complexo pontos s que satisfaçam:

( ) ( ) ( ) omsHsG 18012 ⋅+=∠

Este procedimento pode ser bastante trabalhoso. Veremos nesta aula, como

montar um esboço rápido do lugar das raízes praticamente sem fazer contas.

Nas próximas aulas, aprenderemos a refinar este esboço e a usar uma fer-

ramenta computacional (Matlab) para obter um gráfico preciso.

A. Número de ramos.

Ramo é o caminho que o pólo percorre. Existe um ramo para cada pólo a

malha fechada.

O número de ramos do lugar das raízes iguala o número de pólos a malha

fechada.

O lugar das raízes do sistema discutido na aula passada (reproduzido a se-

guir) apresenta dois ramos, um começando em 0 e o outro em -10.

Figura 1 – Diagrama de blocos de um sistema com realimentação [NISE].


2

Figura 2 - Lugar das Raízes do sistema da Figura 1 [NISE].

B. Simetria

Cada ponto do lugar das raízes representa um pólo, ou seja, uma raiz do

polinômio característico do sistema de controle a malha fechada.

Ora, sabemos que um polinômio com coeficientes reais ou tem raízes reais

ou complexo conjugadas.

Assim, concluímos que:

O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real.

Novamente, o sistema analisado na aula passada ilustra esta simetria.

Figura 3 - Simetria no Lugar das Raízes do sistema da Figura 1 [NISE].


3

C. Segmentos sobre o eixo real.

Façamos uso da propriedade do ângulo para determinar onde existem seg-

mentos do eixo real que fazem parte do lugar das raízes.

A figura a seguir mostra pólos e zeros de um sistema a malha aberta gené-

rico

Figura 4 – Determinação dos segmentos sobre o eixo real [NISE]

Se tentarmos calcular a contribuição angular dos pólos e zeros em cada

ponto 321 ,, PPP e 4P sobre o eixo real, observaremos o seguinte: (1) em

cada ponto, a contribuição de um par de pólos e zeros complexos a malha

aberta é zero; (2) a contribuição dos pólos e zeros a malha aberta à esquer-

da do ponto respectivo é zero.

A conclusão é que a única contribuição de ângulo em qualquer dos pontos

sobre o eixo real vem dos pólos e zeros em malha aberta que existem à di-

reita do respectivo ponto.

Se calcularmos o ângulo em cada ponto usando apenas os pólos e zeros a

malha aberta sobre o eixo real, à direita de cada ponto, notamos o seguinte:

(1) os ângulos do eixo real alternam entre 0° e 180° e (2) o ângulo é 180°

para regiões do eixo real em que existem à esquerda de um número ímpar

de pólos e/ou zeros.

A regra seguinte resume o que foi descoberto:


4

No eixo real, para 0>K , o lugar das raízes existe à esquerda de um número

ímpar de pólos e/ou zeros finitos a malha aberta sobre o eixo real.

Exercício

1. Encontre o LGR sobre o eixo real do sistema de controle mostrado a se-

guir (já discutido, em parte, na aula passada).

Figura 5 – Sistema com realimentação do Exercício Um [NISE]

D. Pontos de início e término

Onde se inicia (ganho zero) e onde termina (ganho infinito) os ramos do

lugar das raízes?

Para o sistema padrão,

Figura 6 – Sistema com realimentação negativa padrão


5

fazendo ( ) ( )( )sDsN

sGG

G= , ( ) ( )( )sDsN

sHH

H= e ( ) ( )( ) ( )sHsKG

sKGsT+

=1

, temos:

( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )sNsKNsDsD

sDsDsDsN

KsT

sDsDsNsKN

sDsN

KsT

HGHG

HGG

G

HG

HG

G

G

+=⇒

+=

1 e

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )sNsKNsDsD

sDsKNsT

HGHG

HG

+= .

O lugar das raízes é então definido pelas raízes da equação

( ) ( ) ( ) ( ) 0=+ sNsKNsDsD HGHG (I)

Fazendo 0→K , a equação (I) torna-se:

( ) ( ) 0=sDsD HG

e vemos que os pólos do sistema a malha fechada nos ganhos pequenos ten-

dem aos pólos combinados de ( )sG e ( )sH . Concluímos que o lugar das raízes

se inicia nos pólos de ( ) ( )sHsG , a função de transferência a malha aberta.

Para ganhos altos, em que K está tendendo a infinito,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sNsKNsNsKNsDsD HGHGHG ≈+ .

Assim, percebemos que os pólos do sistema a malha fechada para ganhos ele-

vados tendem aos zeros combinados de ( )sG e ( )sH . Concluímos assim que o

lugar das raízes termina nos zeros de ( ) ( )sHsG , a função de transferência em

malha aberta.

Resumindo:


6

O LGR se inicia nos pólos finitos e infinitos de ( ) ( )sHsG e termina nos zeros

finitos e infinitos de ( ) ( )sHsG .

Exercício

2. Baseado na regra acima, tente esboçar o LGR do sistema do Exercício

1.

E. Comportamento no infinito: Assíntotas.

A regra D diz que os ramos do LGR começam nos pólos e terminam nos

zeros da função de transferência a malha aberta.

Mas o que acontece quando esta função de transferência tem um número

diferente de pólos e zeros finitos? Por exemplo, a função

( ) ( )( )21 ++=

sssKsG tem três pólos (-2, -1 e 0) e nenhum zero finito. E aí?

Na verdade, o problema é que não estamos levando em conta os pólos e

zeros infinitos. Toda função de s tem um número igual de pólos e zeros se

incluirmos os pólos e zeros infinitos bem como os pólos e zeros finitos.

Assim, a função ( )sG acima tem três zeros infinitos.

Estes zeros no infinito aparecem no lugar das raízes como assíntotas, que

são retas para as quais os ramos tendem quando ∞→K . Assim,

O número de assíntotas num LGR é sempre a diferença entre o número de pó-

los finitos e o número de zeros finitos.

A seguinte regra, cuja demonstração pode ser encontrada, por exemplo, na

página 284 do [OGATA] resume como encontrar as assíntotas num LGR.


7

O lugar das raízes tende a retas assintóticas quando o lugar tende ao infinito.

Além disso, a equação das assíntotas é dada pelo ponto de intersecção sobre

o eixo real, aσ , e o ângulo aθ da seguinte forma:

( )finitos zeros num.finitos pólos num.

18012finitos zeros num.finitos pólos num.

finitos zerosfinitos pólos

−⋅+

=

−

−= ∑∑

o

a

a

kθ

σ

em que …,3,2,1,0 ±±±=k e o ângulo é dado em graus no sentido anti-

horário a partir do eixo real positivo.

Vejamos os exercícios a seguir.

Exercícios

3. Esboce o lugar das raízes para o sistema mostrado a seguir.

Figura 7 – Sistema do Exercício Três [NISE]

4. Esboce o lugar das raízes e suas assíntotas para um sistema com retroa-

ção unitária que tenha a função de transferência direta dada a seguir:

( ) ( )( )( )642 +++=

sssKsG .


1

Aula 4T - Refinando o esboço do Lugar das Raízes Bibliografia


OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª edição, Prentice-Hall do Brasil, 2003. Páginas

279-294.

1.5. Refinando o esboço

Revisão: um ponto s do plano complexo está no LGR se

( ) ( ) 1−=sHsKG , (1)

o que significa que

( ) ( ) ( ) omsHsG 18012 ⋅+=∠

e seu ganho associado é

( ) ( )sHsGK 1=

Na aula passada, aprendemos a esboçar rapidamente o LGR determinan-

do:

o Número de ramos

o Simetria

o Segmentos sobre o eixo real

o Pontos de início e término

o Assíntotas

Na aula de hoje, aprenderemos a refinar este esboço calculando:

o Pontos de saída e de chegada sobre o eixo real

o Pontos de interseção do eixo ωj e

o Ângulos de partida e de chegada

1.5.1. Pontos de saída e de chegada sobre o eixo real

Veja a figura a seguir em que foi esboçado um LGR a partir das regras

vistas na aula passada.


2

Figura 1 – Exemplo de traçado de LGR [NISE]

Este LGR sai do eixo real entre -1 e -2 e retorna a ele entre +3 e +5. O

ponto onde o lugar deixa o eixo real, 1σ− é chamado de ponto de saída

e o ponto onde o lugar retorna ao eixo real, 2σ , é chamado de ponto de

entrada.

Como os dois pólos a malha fechada, os quais estão em -1 e -2 quando

0=K , movem-se de um deles em direção ao outro, o ganho aumenta a

partir do valor zero. Concluímos que o ganho deve ser máximo no eixo

real no ponto onde ocorre a saída, em algum lugar entre -1 e -2. Natu-

ralmente, o ganho aumenta além deste valor quando os pólos se deslo-

cam para o plano complexo. Concluímos que o ponto de partida ocorre

no ponto de ganho máximo sobre o eixo real entre os pólos de malha

aberta.

Usando um raciocínio análogo, podemos concluir que o ganho no ponto

de entrada é o mínimo encontrado no eixo real entre os dois zeros.

Sendo assim, lembrando que da equação (1),


3

( ) ( )sHsGK 1−=

e que nos pontos de chegada e saída σ=s (real) basta derivarmos a equa-

ção

( ) ( )σσ HGK 1−=

com relação a σ e fazermos a derivada igual a zero para encontrar os pon-

tos de ganhos máximos e mínimos e, portanto os pontos de saída e de che-

gada.

Exercício

1. Obter os pontos de saída e chegada para o lugar das raízes da figura

anterior usando o cálculo diferencial.

Uma outra forma de obter os pontos de saída e de chegada sem precisar

de derivadas é o chamado método de transição que não será deduzido

aqui (ver [NISE]). Seu enunciado é:

Os pontos de saída e de entrada satisfazem a relação

∑∑== +

=+

n

i i

m

i i pz 11

11σσ

em que iz e ip são, respectivamente, os negativos dos zeros e dos pólos de

( ) ( )sHssG .

Exercício

2. Repita o Exercício 1 sem uso de derivação.

1.5.2. Pontos de interseção com o eixo ωj

Os pontos de interseção do eixo ωj é um ponto no lugar das raízes que

separa a operação estável do sistema da operação instável.


4

Para encontrar o ponto de interseção no eixo ωj , podemos usar o crité-

rio de Routh-Hurwitz, já estudado em Controle I, como se segue: for-

çando uma linha de zeros na tabela de Routh se obterá o ganho; retor-

nando à linha para a equação de polinômio par e determinando as raízes

resulta a freqüência do ponto de interseção com o eixo imaginário.

Exercício

3. Para o sistema da figura a seguir, cujo esboço do LGR foi obtido na

aula passada, obter a freqüência e o ganho, K , para o qual o lugar das

raízes cruza o eixo imaginário. Para que faixa de valores de K o sistema

é estável?

Figura 2 – Sistema do Exercício três [NISE]


5

1.5.3. Ângulos de partida e chegada

Considere a figura a seguir que mostra os pólos e zeros de um sistema

em malha aberta, alguns dos quais são complexos.

Figura 3 – LGR com zeros e pólos complexos [NISE]

O lugar das raízes se inicia nos pólos a malha aberta e finaliza nos zeros

a malha aberta. Para esboçar o lugar das raízes corretamente, precisa-

mos calcular o ângulo de partida do lugar das raízes a partir dos pólos

complexos e o ângulo de chegada aos zeros complexos.

Se admitirmos um ponto ε no lugar das raízes próximo ao pólo com-

plexo, a soma dos ângulos traçados a partir de todos os pólos e zeros fi-

nitos é um múltiplo ímpar de 180°. Exceto para o pólo próximo ao pon-

to ε , admitimos que todos os ângulos traçados a partir de todos os ou-

tros pólos e zeros são desenhados diretamente ao pólo que está próximo

do ponto ε .

Desta forma, o único ângulo desconhecido na soma é o ângulo desenha-

do a partir do pólo que está próximo a ε . Podemos buscar a solução pa-

ra este ângulo desconhecido, o qual também é o ângulo de partida deste

pólo complexo. Portanto, a partir da figura anterior,

( ) ok 18012654321 ⋅+=+−−++− θθθθθθ


6

ou ( ) ok 18012654321 ⋅+−+−−+= θθθθθθ .

De forma totalmente análoga podemos determinar ângulos de chegada a

zeros complexos.

Exercícios

4. Dado o sistema com retroação unitária da figura seguinte, encontre o

ângulo de partida dos pólos e esboce o lugar das raízes.

Figura 4 – Sistema do Exercício quatro [NISE].

5. [NISE, p.320] Dado um sistema com retroação unitária com função

de transferência do canal direto:

( ) ( )( )134

22 +−

+=

sssKsG

faça o seguinte:

(a) Esboce o lugar das raízes

(b) Determine o ponto de interseção com o eixo imaginário

(c) Determine o ganho, K , no ponto de interseção do eixo ωj .

(d) Determine o ponto de entrada.

(e) Determine o ângulo de partida dos pólos complexos. RESPOSTAS:

(b) 21js ±=

(c) 4=K

(d) Ponto de entrada = -7

(e) Ângulo de partida = -233,1°


1

Aula 5T - Um Exemplo de LGR Bibliografia



294.

1.6. Um Exemplo de LGR

Revisando: lugar das raízes é o caminho percorrido pelos pólos a malha fe-

chada de um sistema à medida que se varia um parâmetro do sistema.

Cada ponto s do LGR satisfaz

( ) ( ) ( ) omsHsG 18012 ⋅+=∠

1.6.1. Regras básicas para esboçar o lugar das raízes

Número de ramos

O número de ramos do LGR é igual ao número de pólos a malha fechada.

Segmentos do eixo real

Sobre o eixo real, o lugar das raízes existe à esquerda de um número ímpar

de pólos e/ou zeros a malha aberta finitos sobre o eixo real.

Pontos de início e de término

O lugar das raízes se inicia nos pólos finitos e infinitos de ( ) ( )sHsG e termi-

na nos zeros finitos e infinitos de ( ) ( )sHsG .

Comportamento no infinito (assíntotas)

Sejam

n = número de pólos em malha aberta


2

m = número de zeros em malha aberta

então valem

• Número de assíntotas = mn −

• Ponto de encontro das assíntotas com o eixo real: mn

zerospólosA −

−= ∑∑σ

• Ângulos das assíntotas: ( )mn

k o

A −⋅+

=18012θ com 1,,1,0 −−= mnk … .

1.6.2. Regras adicionais para refinar o esboço

Pontos de entrada e de saída do eixo real

O LGR sai do eixo real no ponto onde o ganho é máximo e entra no eixo

real no ponto onde o ganho é mínimo.

Cálculo dos pontos de interseção com o eixo ωj

Pode-se usar Routh-Hurwitz para determinar o ponto de interseção com o

eixo ωj .

Ângulos de partida e de chegada

O lugar das raízes sai dos pólos complexos (entra nos zeros complexos) a

malha aberta segundo ângulos que podem ser calculados da seguinte for-

ma: admita um ponto ε próximo ao pólo (zero) complexo. Adicione a este

ponto todos os ângulos desenhados a partir dos pólos e zeros a malha aber-

ta. A soma é igual a ( ) ok 18012 ⋅+ . O único ângulo desconhecido é o do vetor

traçado a partir de ε próximo ao pólo (zero), visto que todos os outros pó-

los e zeros podem ser considerados ligados ao pólo (zero) complexo pró-

ximo ao ponto ε . Calculando o ângulo desconhecido obtém-se o ângulo de

partida (ângulo de chegada).


3

Pontos específicos do LGR

Todos os pontos do LGR satisfazem a relação ( ) ( ) ( ) oksHsG 18012 ⋅+=∠ . O

ganho, K , em qualquer ponto sobre o lugar das raízes é dado por:

( ) ( )sHsGK 1=

Exercícios

1. Esboce o lugar das raízes para o sistema mostrado a seguir e determine

o seguinte:

Figura 1 – Sistema de controle do Exercício Um [NISE]

(a) O ponto e o ganho exatos onde o lugar cruza a reta de relação de amor-

tecimento 0,45.

(b) O ponto e o ganho exato onde o lugar cruza o eixo ωj .

(c) O ponto de saída do eixo real.

(d) A faixa de K na qual o sistema é estável.

2. [NISE, p.322] Dado um sistema com retroação unitária com a seguinte

função de transferência do canal direto,

( ) ( )( )( )256

422 ++

−−=

ssssKsG

faça o seguinte:

(a) Esboce o lugar das raízes.


4

(b) Determine o ponto de interseção com o eixo imaginário.

(c) Determine o ganho, K , no ponto de interseção com o eixo ωj .

(d) Determine o ponto de entrada.

(e) Determine o ponto onde o lugar cruza a reta de relação de amortecimento

0,5.

(f) Determine o ganho onde o lugar cruza a reta de relação de amortecimento

0,5.

(g) Encontre a faixa de ganho, K , para a qual o sistema é estável. RESPOSTAS:

(b) 06,4js ±=

(c) 1=K

(d) Ponto de entrada = +2,89

(e) 18,442,2 js +−=

(f) 108,0=K

(g) 1<K


1

Aula 7T - Técnicas de resposta em freqüência - Introdução Bibliografia


DORF, R.C. Sistemas de Controle Modernos. 8ª edição, LTC, 2001. Páginas 322 – 328.

2. Técnicas de Resposta em Freqüência

2.1. Introdução

• Método mais antigo do que o de lugar das raízes.

• Possui aplicações diferentes; por exemplo, ao se modelar funções de trans-

ferência a partir de dados físicos.

Figura 1 – Analisador de espectro [NISE]


2

• Veremos o conceito da resposta em freqüência, definindo-a, deduzindo ex-

pressões analíticas para a resposta em freqüência, desenvolvendo formas de

esboçar a resposta em freqüência e então aplicar o conceito à análise e ao

projeto de sistemas de controle.

2.1.1. O conceito da resposta em freqüência

• Em regime estacionário, entradas senoidais aplicadas a sistemas lineares

geram respostas senoidais de mesma freqüência.

• Embora a freqüência da entrada e da saída sejam as mesmas, elas diferem

com relação à amplitude e ao ângulo de fase. Estas diferenças são funções

da freqüência.

• Você já sabe que senóides podem ser representadas por números comple-

xos chamados de fasores. A senóide ( )11 cos φω +tM é representada por

11 φ∠M em que a freqüência ω fica implícita.

• Como o sistema provoca alterações tanto na amplitude quanto no ângulo de

fase da entrada, podemos pensar no sistema representado por um número

complexo, definido de tal modo que o produto do fasor pela função de sis-

tema produza a representação do fasor de saída.

• Considere o sistema massa-mola da figura a seguir em que é aplicada uma

força senoidal ( ) ( )ii tMtf φω += cos .

Figura 2 – Sistema massa-mola com entrada senoidal [NISE].


3

• Definimos então o número complexo ( ) ( )ωφω ∠M de forma que

( ) ( )( ) ( )( )ωφωφωφ ∠∠=∠ MMM IIOO ,

ou

( ) ( )( )ωω

ωI

O

MM

M = e ( ) ( ) ( )ωφωφωφ iO −=

• Estas equações constituem nossa definição de resposta em freqüência.

Chamamos ( )ωM de magnitude da resposta em freqüência e ( )ωφ de fase

da resposta em freqüência.

2.1.2. Expressões analíticas da resposta em freqüência

• Consideremos um sistema LIT com função de transferência ( )sG . Supo-

nhamos que o sistema seja estável e que ( )sX e ( )sY representem a trans-

formada dos sinais de entrada e saída respectivamente.

Figura 3 – Sistema LIT no domínio s [NISE].

• Admitamos que ( )sG seja expressa na forma:

( ) ( )( )( ) ( )npspsps

spsG+++

=…21

em que nppp −−− ,,, 21 … são os pólos do sistema supostos distintos por

simplicidade.


4

Consideremos como entrada um sinal senoidal de amplitude A e freqüência

ω , ( ) ( )tAtx ωsin= cuja transformada de Laplace você já deve saber que é:

( ) 22 ωω+

=s

AsX

• Nessas condições, temos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )ωω

ωωω

jsjspspspsAsP

sAsGsXsGsY

n −++++=

+==

…2122

• Esta resposta pode ser decomposta em frações parciais como

( )n

n

psb

psb

psb

jsa

jsasY

+++

++

++

−+

+=

∗

…2

2

1

1

ωω

em que a e ∗a são complexos conjugados dados por ( )

jjGAa

2−−

=ω e ( )

jjGAa

2* ω= .

• Em virtude da estabilidade do sistema, os termos do tipo:

i

i

psb+

, ni ,,2,1 …=

correspondem a funções do tempo que tendem a zero quando este se torna su-

ficientemente grande. Sendo assim, a resposta estacionária ( )ty∞ corresponde

aos dois primeiros termos da expansão:

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

++−

−=∞ ω

ωω

ωjsj

jGjsj

jGAsY 12

12

• Antitransformando, vem:

( ) ( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−−

= −∞

tjtj ejjGe

jjGAty ωω ωω

22

• Fazendo

( ) ( ) ( )ωωω Φ= jejGjG e ( ) ( ) ( )ωωω Φ−=− jejGjG

e lembrando que tj

ee tjtj

αωω

sin2

=− −

, temos:


5

( ) ( ) ( )( )ωωω Φ+=∞ tjGAty sin

• Assim, vemos que ( ) ( ) ωω jssGjG == é a resposta em freqüência que defini-

mos em 2.1.1. Ou seja, para um sistema estável,

Resposta em freqüência = ( ) ( )ω

ωj

sGjG =

2.1.3. Gráficos da resposta em freqüência

• A resposta em freqüência, ( ) GGMjG φω ∠= pode ser representada grafica-

mente de várias maneiras. As principais são:

o através de gráficos separados de magnitude e de fase, em função

da freqüência;

o por meio de um gráfico polar, em que o comprimento do fasor é

a magnitude e o ângulo do fasor é a fase.

• Quando fazemos os gráficos de magnitude e fase separados, a curva de

magnitude geralmente é traçada em decibéis (dB) em função da freqüência

em escala logarítmica. (dB = Mlog20 ). A curva de fase é construída com o

ângulo de fase em função da freqüência em escala logarítmica.

Exercícios

1. Determinar a expressão analítica de magnitude e de fase da resposta em

freqüência de um sistema com função de transferência ( )2

1+

=s

sG . Traçar


6

também ambos os diagramas de magnitude e de fase separados e em gráfi-

co polar. (Use as escalas a seguir para ajudar).

2. [NISE, p. 423] (a) Determinar as expressões analíticas para a magnitude e a

fase da resposta em freqüência de:

( ) ( )( )421

++=

sssG

(b) Construa os gráficos logarítmicos de magnitude e de fase usando a fre-

qüência em rad/s na abscissa.

(c) Construa um gráfico polar da resposta em freqüência.

RESPOSTA:

(a) ( )( ) ( )

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+−

≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

=+−

=8,

86arctan

8,8

6arctan ;

68

1

2

2

222ω

ωωπ

ωωω

ωφωω

ωM


1

Aula 8T - Diagramas de Bode Bibliografia



2.2. Diagramas de Bode

Os diagramas de Bode são gráficos de ganho e defasagem em função da

freqüência, esta marcada em escala logarítmica.

O ganho, freqüentemente é representado como ( )ωjGlog20 . Esta unidade é

chamada de decibel (dB).

Além de permitir, em muitos casos, o traçado de esboços das curvas de res-

posta em freqüência de maneira simples e imediata (através de aproxima-

ções assintóticas), os gráficos logarítmicos têm a vantagem adicional de

transformar produtos e divisões em somas e subtrações, respectivamente.

Veremos a seguir os termos que aparecem com mais freqüência na análise

da resposta em freqüência.

Consideremos inicialmente sistemas que tenham apenas pólos e zeros reais.

Seja, pois, ( )sG da forma:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )P

NM

pspspsszszszsksG

+⋅+⋅++⋅+⋅+⋅

=……

21

21

Para a análise no domínio da freqüência, costuma ser conveniente reescre-

ver ( )sG como:

em que

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )111

111

21

21

++++++

=sTsTsTssssKsG

PN

M

…… τττ


2

P

M

pppzzkz

K……

21

21= ,

ii z

1=τ , ( Mi ,,2,1 …= )

ii p

T 1= , ( Pi ,,2,1 …= )

Fazendo ωjs = e tomando o ganho em dB, temos:

( ) ∑∑==

+−−++=P

ii

M

ii TjjNjKjG

11

1log20log201log20log20log20 ωωωτω

enquanto a fase fica

( ) ( ) ( )∑∑==

+∠−−+∠+∠=∠P

ii

oM

ii TjNjKjG

111901 ωωτω

As expressões acima indicam claramente a existência de três tipos de ter-

mos:

A. Associados ao ganho K ;

B. Associados a pólos e zeros na origem.

C. Associados a pólos e zeros reais fora da origem.

Nossa estratégia será então ver como a resposta em freqüência devido a ca-

da uma dessas parcelas e depois somá-las para obter a resposta em freqüên-

cia do sistema todo.


3

A. Ganho K

A contribuição de K para o gráfico de Bode é uma reta horizontal corres-

pondente a Klog20 .

Figura 1 – Contribuição do ganho K para o diagrama de Bode [DORF].

Em geral, 0>K e, portanto, neste caso, 0=∠K .

Desta maneira, o efeito do ganho K sobre os Diagramas de Bode se resume

em deslocar o gráfico de ganho e manter inalterado o de defasagem.

B. Termos associados a pólos e zeros na origem

Pólos simples na origem correspondem a parcelas de ganho do tipo

ωjlog20− . No gráfico de Bode, este termo representa uma contribuição na

forma de uma reta com declividade -20dB/década (uma década é um par de

freqüências tais que razão entre a maior e a menor é igual a 10).

Para perceber isto, basta considerar duas freqüências 1ω e 2ω separadas por

uma década ( 12 10ωω = ) e notar que:

( ) ( ) ( )112 log202010log20log20 ωωω −−=−=−

Essa reta passa por 0dB quando 1=ω rad/s.


4

A contribuição para a defasagem é de -90° independentemente da freqüên-

cia.

Figura 2 – Contribuição de um pólo na origem [DORF].

Zeros simples na origem correspondem a parcelas de ganho do tipo

ωjlog20+ , ou seja, retas com inclinação de +20dB/década e passando por

0dB quando 1=ω rad/s.

Sua contribuição para a defasagem é de +90, qualquer que seja a freqüên-

cia.

Figura 3 – Contribuição de um zero na origem [DORF].


5

Quando os pólos (zeros) na origem têm multiplicidade N , o gráfico de ga-

nho apresenta declividade N20− dB por década ( N20+ dB por década), en-

quanto o gráfico da defasagem se desloca para oN90− ( oN90+ ).

C. Termos associados a pólos e zeros fora da origem

Consideremos inicialmente o caso de pólos reais simples fora da origem. A

contribuição para o ganho é do tipo Tjω+− 1log20 .

Em baixas freqüências, tem-se:

01log201log20 1 =−≈+−⇒<< TjT ωω dB.

Em altas freqüências:

TjTjT ωωω log201log20 1 −≈+−⇒>>

No gráfico de Bode, este termo representa uma contribuição na forma de

uma reta com declividade -20dB/década.

Por fim, deve-se observar que, para T1

=ω (freqüência de canto), tem-se:

0log20 1 =−⇒= TjT ωω dB

Essas duas retas definem aproximações assintóticas para o gráfico de Bode

de Tjω+− 1log20 , válidas a partir de freqüências uma década acima ou a-

baixo da freqüência de canto.

O valor exato do ganho na freqüência de canto é:

32log201log20 1 −≈−≈+−⇒= TjT ωω dB.

Quanto à defasagem associada a um pólo real simples fora da origem, note

que:

( ) ( )TTj ωω arctan1 −=+∠−

Para freqüências baixas, adotamos a aproximação:


6

( ) 0arctan 1 ≈−⇒<< TT ωω

e, para altas freqüências:

( ) oTT 90arctan 1 −≈−⇒>> ωω

Na freqüência de canto:

( ) oTT 45arctan 1 −=−⇒= ωω .

O erro cometido nas freqüências em que 1,0=Tω e 10=Tω é da ordem de

0,1rad (6°).

Com isso traçamos as aproximações às curvas de ganho e defasagem atra-

vés de trechos de reta, conforme mostra a figura a seguir.

Figura 4 – Contribuição de um pólo fora da origem [DORF].

A análise anterior conduz de imediato às aproximações referentes a zeros

reais fora da origem, conforme os gráficos a seguir.

Figura 5 – Contribuição de um zero fora da origem


7

Para o caso de pólos (zeros) de multiplicidade n , a freqüência de canto con-

tinua sendo T1

=ω . As assíntotas do gráfico são, para baixas freqüências, a

reta 0dB e, para altas freqüências, a reta que passa pelo ponto ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ dB

T0,1 e

tem declividade n20− dB por década ( n20+ dB por década).

A defasagem é dada por n vezes aquela associada a um pólo (zero) simples.

Exercício

1. Esboce os gráficos de Bode para um sistema com ( ) ( )( )213++

+=

sssssG .


8

D. Termos associados a pólos e zeros complexos conjugados

Além dos termos vistos até aqui, correspondentes a pólos e zeros reais, é

necessário considerar fatores associados a pólos e zeros complexos conju-

gados.

Analisemos inicialmente fatores da Função de Transferência do tipo

22

2

2 nn

n

ss ωξωω

++ , 10 << ξ

e, portanto, correspondentes a um par de pólos complexos conjugados. Essa

forma particular de fatores de segunda ordem tem, como se verá adiante, ga-

nho unitário em baixas freqüências.

Podemos reescrevê-la como:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 221

1

nn

ssωω

ξ, 10 << ξ

Substituindo s por ωj e considerando o ganho em dB, temos:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

nn

nn

jjj ω

ωξωω

ωω

ωωξ

21log20

21

1log202

2 , 10 << ξ

As assíntotas do Diagrama de Bode de ganho podem então ser determina-

das.

Em primeiro lugar, consideremos a região de baixas freqüências, em que:

( ) dBjnn

n 01log2021log20 2

=−≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⇒<<

ωωξ

ωωωω

Por outro lado, na região de altas freqüências, tem-se:


9

dBjnnnn

n ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≈⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⇒>>

ωω

ωω

ωωξ

ωωωω log40log2021log20

22

Vemos que esta assíntota tem declividade de -40dB/década e passa pelo 0dB

em nωω = . Esta é a freqüência de canto para o fator de segunda ordem.

As duas assíntotas estão representadas na figura a seguir.

Figura 6 – Contribuição de um par de pólos complexos [DORF].

Nota-se que elas são independentes do coeficiente de amortecimento ξ .

No entanto, obviamente o Diagrama de Bode de ganho depende de ξ . Se

desenharmos os gráficos com exatidão, perceberemos que os mesmos apre-

sentam um pico de ressonância nas vizinhanças de nωω = e que a amplitude

deste pico depende de ξ , sendo tanto maior quanto menor for ξ (veja a fi-

gura a seguir).


10

Figura 7 – Diagrama de Bode de ganho - pólos complexos - vários ξ [DORF].

Pode-se mostrar que a freqüência de ressonância é

221 ξωω −= nr ( 220 ≤≤ ξ )

sendo que para 122

≤≤ ξ não há ressonância. O valor do ganho rM na fre-

qüência de ressonância é

2121

ξξ −=rM , ( 2

20 ≤≤ ξ )

Note que quando 0→ξ , ∞→rM .

Examinemos agora a defasagem. Temos:


11

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−∠=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∠=Φnn

nn

jjj ω

ωξωω

ωω

ωωξ

21

21

12

2 , 10 << ξ

e, portanto, em baixas freqüências: o

n 01 =∠≈Φ⇒<< ωω

enquanto, em altas freqüências:

o

nn 180

2

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−∠≈Φ⇒>>

ωωωω

e na freqüência de canto

( ) on j 902 −=−∠≈Φ⇒= ξωω

Da mesma forma que o ganho também a defasagem depende de ξ . As cur-

vas de defasagem em função da freqüência normalizada nωω , parametrizada

em ξ são mostradas na figura a seguir.

Figura 8 - Diagrama de Bode de fase - pólos complexos - vários ξ [DORF].


12

Para concluir este tópico, deve-se observar que, para fatores do tipo:

2

22 2

n

nn ssω

ωξω ++

(com 10 << ξ ) correspondentes a zeros complexos conjugados, as curvas de

ganho e defasagem podem ser obtidas de imediato, invertendo o sinal daquelas

associadas a pólos complexos conjugados.

PROCEDIMENTOS PARA CONSTRUÇÃO DOS DIAGRAMAS DE BODE

Uma das principais vantagens de se trabalhar com gráficos em escala loga-

rítmica é que a multiplicação dos módulos é transformada em adição. Além

disso, dispõe-se também de um método simples para esboçar de forma a-

proximada o Diagrama de Bode do ganho utilizando-se assíntotas.

O procedimento para construir os diagramas de Bode é o seguinte:

• Escrever ( )ωjG na forma de um produto de fatores dos tipos apresentados

anteriormente.

• Identificar as freqüências de canto associadas a cada um dos fatores.

• Desenhar as aproximações assintóticas das curvas de ganho em dB para

cada um dos fatores.

• Obter a soma das assíntotas do passo anterior.

• Havendo fatores de segunda ordem, esboçar as curvas de ganho na vizi-

nhança de nωω = .

• Desenhar as curvas de defasagem para cada um dos fatores.

• Obter a soma das curvas do passo anterior.


13

As aproximações assintóticas dos Diagramas de Bode têm duas característi-

cas importantes, a saber: a facilidade de construção e a simplicidade com

que se pode modificá-las.

Exercícios

2. Esboce os gráficos logarítmicos de magnitude e de fase para um sistema

com

( ) ( )( )25223

2 ++++

=sss

ssG

3. [NISE, p. 439] Construa os gráficos logarítmicos de magnitude e de fase

para um sistema com:

( ) ( )( )( )507120

++++

=sss

ssG .


1

Aula 9T - Estabilidade, margem de ganho e de fase. Bibliografia



470.

2.3. Estabilidade, margem de ganho e de fase por intermédio dos gráficos

de Bode.

• A questão da estabilidade de um sistema em malha fechada é uma das mais

importantes na área de Controle. Num projeto, é sempre fundamental assegu-

rar que o sistema realimentado produzirá uma resposta limitada.

• Já estudamos como abordar este problema usando o LGR. Nesta aula, a-

prenderemos a abordar esta questão através dos diagramas de Bode.

2.3.1. Determinação da estabilidade

A base para a determinação da estabilidade a partir dos gráficos de Bode é

o teorema da estabilidade de Nyquist.

Teorema da Estabilidade de Nyquist: Dado um sistema estável em malha

aberta, o sistema em malha fechada com realimentação negativa obtida a

partir dele será estável se a resposta em freqüência do sistema a malha aber-

ta tiver um ganho menor do que a unidade (0dB) quando a fase for 180°.

Este teorema não será demonstrado aqui. Para mais detalhes veja [DORF]

ou [OGATA].


2

Exercício

1. [NISE, p. 453] Use os gráficos de Bode para determinar a faixa de valores

de K para os quais o sistema com retroação unitária mostrado na Figura 1 a

seguir é estável. Seja ( ) ( )( )( )542 +++=

sssKsG .

Figura 1 – Sistema de controle com retroação unitária. [NISE]


3

2.3.2. Calculando as margens de ganho e de fase

As medidas de margem de ganho e de fase nos dão uma idéia de quão está-

vel um sistema é. Suas definições são:

Margem de ganho, MG : A margem de ganho é a mudança no valor do ga-

nho a malha aberta no ponto com fase de 180°, expressa em decibéis (dB)

necessária para tornar instável o sistema com malha fechada.

Margem de fase, MΦ : A margem de fase é a mudança no valor da fase da

malha aberta no ponto com ganho unitário necessária para tornar o sistema

instável o sistema a malha fechada.

A seguir mostraremos como calcular as margens de ganho e fase usando os

gráficos de Bode. Veja a Figura 2 a seguir.

Figura 2 – Margens de ganho e fase nos diagramas de Bode. [NISE].


4

A margem de ganho é obtida usando o gráfico de fase para encontrar a fre-

qüência, MGω em que o ângulo de fase é 180°. Nesta freqüência observe o

diagrama de módulo para determinar a margem de ganho, MG que é o ga-

nho necessário para elevar a curva de magnitude até 0dB.

A margem de fase é obtida usando a curva de magnitude para encontrar a

freqüência MΦω onde o ganho é 0dB. Sobre a curva de fase nessa freqüên-

cia, a margem de fase, MΦ é a diferença entre o valor da fase e 180°.

Exercícios

2. [NISE, p. 454] Encontre as margens de ganho e fase para o sistema do E-

xercício 1 para 40=K .

3. [NISE, p. 454] Repita o problema anterior para 200=K .

4. [NISE, p. 455] Para o sistema mostrado na Figura 1, em que:

( ) ( )( )( )50205 +++=

sssKsG ,

faça o seguinte:

(a) Desenhe os gráficos logarítmicos de Bode de magnitude e fase.

(b) Encontre a faixa de valores de K para estabilidade a partir do diagrama de

Bode.

(c) Calcule a margem de ganho, a margem de fase, a freqüência de zero dB e a

freqüência de 180° a partir do diagrama de Bode para 10000=K .


1

Aula 10T – Relação entre resposta transitória e resposta em freqüência

Bibliografia



470.

2.4. Relação entre resposta transitória e resposta em freqüência

• Vimos na Aula 8T que para um sistema de 2ª ordem da forma

( )( ) ( ) 22

2

2 nn

n

ssT

sRsC

ωζωω

++== , (1)

o gráfico de Bode de amplitude tem o formato mostrado na Figura 1 para

7,0<ζ .

Substituindo s por ωj na Equação (1) e calculando seu módulo chegamos

a uma expressão para ( ) ( )ωω jGM = . Calculando a derivada desta expres-

Bω rω

rM


2

são em relação a 2ω e fazendo a derivada igual a zero, chegamos ao valor

máximo de ( )ωM , rM e o valor em que ela ocorre rω (Esta dedução fica

como exercício). Seus valores são

2121

ζζ −=rM

221 ζωω −= nr .

Pensando no sentido inverso, dado um gráfico de Bode de um sistema, a-

través do seu valor e freqüência de ressonância, podemos obter o amorte-

cimento ζ e sua freqüência natural nω e a partir daí, usando as fórmulas

vistas em Controle 1 e revisadas nas Aulas 4P e 5P, as características de

resposta transitória do sistema.

As fórmulas vistas estão abaixo relacionadas novamente para referência

rápida. Mais informações, veja [DORF], p.183-187.

Figura 2 – Resposta temporal e especificações [FRANKLIN]

U.P.


3

Tempo de subida

(tempo consumido em passar

de 10 a 90% da magnitude do

degrau de entrada)

nRT

ωζ 60,016,2 +

=

Tempo de acomodação

(tempo a partir do qual a res-

posta permanece em torno de

2% do valor final)

nST

ζω4

=

Ultrapassagem porcentual

(porcentagem acima do valor

final alcançado pela resposta

transitória)

21.. ζπζ −−= ePU

Instante de pico

(Instante em que ocorre o má-

ximo da resposta transitória)

21 ζω

π

−=

n

PT

Figura 3 – Relação entre ultrapassagem e amortecimento [FRANKLIN].

U.P. %


4

É importante observar que não haverá pico da resposta em freqüência para

707,0>ζ . Esta limitação de valor de ζ para pico sobre a curva de magni-

tude da resposta em freqüência não deve ser confundida com a ultrapassa-

gem porcentual da resposta ao degrau em que existe a ultrapassagem para

10 << ζ .

A relação entre a ultrapassagem porcentual ..PU e o valor de pico da res-

posta em freqüência PM é dada aproximadamente pela figura a seguir.

Figura 4 – Pico da resposta em freqüência em função da ultrapassagem porcentual [NISE].

2.4.1. Velocidade de resposta e resposta em freqüência

Uma outra relação entre a resposta em freqüência e a resposta no domínio

do tempo é entre a velocidade da resposta no domínio do tempo (medida

pelo tempo de assentamento, pelo instante de pico e pelo tempo de subida)

e a banda passante da resposta de freqüência.

rM


5

Banda passante da resposta em freqüência é definida como a freqüência Bω

em que o valor da curva de magnitude da resposta em freqüência está 3dB

abaixo de seu valor na freqüência zero (veja a Figura 1).

A banda passante de um sistema com dois pólos pode ser obtida determi-

nando a freqüência para a qual 2

1=M (isto é, -3dB). A dedução é deixada

como exercício. O resultado é

( ) 24421 242 +−+−= ζζζωωnB .

Para relacionar Bω ao tempo de assentamento, substituímos ζ

ωS

n T4

= na

Equação acima e obtemos:

( ) 244214 242 +−+−= ζζζζ

ωS

B T

De modo semelhante, como 21 ζ

πω−

=P

nT

,

( ) 244211

242

2+−+−

−= ζζζ

ζπω

P

BT .

Na figura a seguir são mostrados gráficos normalizados das equações aci-

ma e também a relação entre a banda passante pelo tempo de subida e a re-

lação de amortecimento.


6

Figura 5 – Banda passante normalizada em função da relação de amortecimento ζ

Exercícios

1. [NISE, p. 457] Encontre a banda passante a malha fechada necessária para

uma ultrapassagem de 20% e um tempo de assentamento de 2s.

2. [NISE, p. 483] Para cada sistema com as seguintes características de de-

sempenho, encontre a banda passante necessária.

(a) 3 ,2,0 == STζ s

(b) 3 ,2,0 == PTζ s

(c) 2 s,4 == PS TT s

(d) 4 ,3,0 == rTζ s.

RESPOSTAS:

(a) 10,06rad/s; (b) 1,613rad/s; (c) 2,29rad/s; (d) 0,4803 rad/s.


1

Aula 12T - Sistemas de Controle Digital Bibliografia


HAYKIN, S.S. Sinais e sistemas, 1ª. Edição, Bookman Company, 2000. Páginas 445-460

.

3.1. Introdução

Surge com o desenvolvimento dos microcomputadores (década de 60).

Duas funções:

(1) supervisão

(2) Controle – substitui métodos de compensação

Componentes analógicos são substituídos por cálculos do computador

digital que imitam o componente físico.

Vantagens dos computadores digitais

(1) redução de custo.

(2) flexibilidade para realizar mudanças de projeto.

(3) imunidade a ruído.

Configuração Típica

Figura 1 – Configuração típica de um sistema de controle digital [NISE]

Conversão Digital-Analógica

Simples e instantânea.

Exemplo:


2

Figura 2 – Conversor Digital Analógico [NISE]

Exemplo: 1102 = 6V.

Chaves são eletrônicas: transistores.

Conversão Análogo-Digital

Duas etapas: amostragem e quantização.

Figura 3 – Amostragem e quantização [NISE].

Bit menos significativo

Bit mais significativo

Saída analógica


3

3.2. Modelando o computador digital

Amostragem e retenção em intervalos especificados fazem com que o

desempenho do sistema mude com a taxa de amostragem.

Modelando o amostrador

Figura 3 – Modelo do Amostrador [NISE].

( ) ( ) ( )∑∞

=

−=0

*

kkTtkTftf δ (1)

Modelando o extrapolador de ordem zero (ZOH)

( )sesG

Ts−−=

1 ( ( ) ( ) ( )Ttututg −−= )


4

3.3. A Transformada z

Em sistemas digitais, estabilidade e resposta transitória dependem tam-

bém da taxa de amostragem além dos valores dos componentes. A transfor-

mada Z inclui esta informação com a facilidade da Transformada de Laplace.

Aplicando Laplace ao sinal amostrado ideal, temos:

( ) ( )∑∞

=

−∗ =0k

kTsekTfsF

Fazendo Tsez = , podemos reescrever como:

( ) ( )∑∞

=

−=0k

kzkTfzF (2)

Esta equação define a Transformada-z

( ) ( )zFkTf ↔

Exercício

1. Determine a transformada Z de uma rampa unitária amostrada.

As Tabelas a seguir mostram algumas transformadas úteis e proprieda-

des importantes das Transformadas Z.


5

Capítulo 13: Sistemas de Controle Digital

9Copyright © 2003 LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. Copyright © 2000 John Wiley, Inc.

Tabela 13.1Tabela parcial de transformadas z e de Laplace

sen

sen sen

sen

sen

sen

Capítulo 13: Sistemas de Controle Digital

10Copyright © 2003 LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. Copyright © 2000 John Wiley, Inc.

Tabela 13.2Teoremas da transformada z

Teorema Designação

Teorema da linearidade

Teorema da linearidade

Derivação complexa

Translação real

Derivação complexa

Teorema do valor inicial

Teorema do valor final

Nota: na tabela, kT deve ser substituído por t.


1

Aula 13T - Funções de transferência digitais Bibliografia



.

3.3.1. Transformada Z inversa

Com base na tabela anterior, observamos que as funções exponenciais

amostradas se relacionam com suas transformadas Z por:

aTakT

ezze−

↔−

Devemos então usar expansão em frações parciais da forma

( ) +−

+−

=21 zz

Bzzz

AzzF

Assim, primeiro formamos ( )zzF para eliminarmos os termos z do nu-

merador, executamos a expansão em frações parciais de ( )zzF e finalmente

multiplicamos o resultado por z para fazer aparecer os z ’s no numerador das

frações.

Exercício

1. Determine a função no domínio do tempo amostrado tal que a transforma-

da seja

( ) ( )( )7,05,05,0−−

=zzzzF .

3.4. Funções de Transferência

Assim como no caso analógico, podemos obter funções de transferência

relacionando sinais amostrados em sistemas digitais.


2

Figura 1 – Sistemas com dados amostrados: (a) contínuo; (b) entrada amostra-

da; (c) entrada e saída amostrados [NISE].

Dedução da função de transferência pulsada

Dada uma entrada ( )tr , ao passá-la pelo amostrador, temos,

( ) ( ) ( )∑∞

=

∗ −=0n

nTtnTrtr δ

em que ( )tr ∗ é uma soma ponderada de impulsos. A resposta ao impulso de

( )sG é ( )[ ] ( )tgsG =−1 . Assim,

( ) ( ) ( )∑∞

=

−=0n

nTtgnTrtc

Amostrando este sinal, temos:


3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑∑∞

=

∞

=

−=−=00 nn

TnkgnTrnTkTgnTrkTc

Vamos então calcular

( ) ( ) ( ) ( )[ ] k

k nk

k zTnkgnTrzkTczC −∞

=

∞

=

∞

=

− ∑ ∑∑ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−==

0 00

Fazendo nkm −= ou nmk += ,

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )zRzG

znTrzmTg

znTrzmTg

zzmTgnTrzC

n

n

m

m

n

n

nm

m

nm n

nm

=

==

==

==

∑∑

∑∑

∑ ∑

∞

=

−∞

=

−

∞

=

−∞

=+

−

∞

=+

∞

=

−−

00

00

0 0

Assim,

( ) ( ) ( )zRzGzC =

( )zG , a transformada Z de ( )kTg é a chamada função de transferência

pulsada do sistema.

Uma forma de obter ( )zG é começar com ( )sG , determinar ( )tg e então

usar a tabela vista para encontrar ( )zG .


4

Exercícios

2. Dado um z.o.h. em cascata com ( )12

1 ++

=sssG , ou seja,

( ) ( )( )1

21++−

=−

ss

sesG

Ts

determinar a função de transferência de dados amostrados ( )zG se o período

de amostragem, T , for 0,5s.

3. Determine ( )zG para ( )4

8+

=s

sG em cascata com um amostrador e extrapo-

lador de ordem zero. O período de amostragem é 0,25s.


5

Tabela 13.1 Tabela parcial de transformadas z e de Laplace


1

Aula 14T - Redução de diagramas de blocos Bibliografia


OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A.S. Signals & Systems. 2ª edição, Prentice Hall, 1997. Páginas 826-

828.

3.5. Redução de diagramas de blocos

O processo de redução de diagramas de blocos funciona de forma aná-

loga ao já aprendido no domínio contínuo. Só é necessário tomar alguns cui-

dados.

Por exemplo, ( ) ( ){ } ( ) ( )zGzGsGsG 2121 ≠ . Devemos primeiramente multi-

plicar ( ) ( ) ( )sGGsGsG 2121 = e aí obter a transformada

( ) ( ){ } ( ) ( )zGzGsGGzGG 212121 ≠= .

Conversão Básica

Figura 1 – Conversão básica [NISE]

Idéia: Reduzir o diagrama a blocos de conversão básica.

“Truque”: Sempre podemos colocar um amostrador imaginário na saída de

qualquer subsistema que tenha uma entrada amostrada desde que a natureza

do sinal enviado para qualquer outro subsistema não seja mudado.

Exercícios – Exemplos

1. Para o sistema a seguir, encontre ( ) ( )( )zRzCzT = .


2

Figura 2 – Diagrama de blocos do Exercício 1 [NISE].








3

Solução:

Figura 6 – Solução do Exercício 4 [NISE].




1

Aula 15T - Estabilidade em sistemas digitais Bibliografia



832.

3.6.Estabilidade

Já sabemos que a condição de estabilidade para um sistema descrito no

domínio de Laplace é que os pólos da função de transferência que descreve o

sistema tenham parte real negativa.

Qual será a condição equivalente no domínio Z?

A condição de estabilidade para um sistema descrito por as

A+

, com pó-

lo a− é { } 0Re >a . Como sabemos que

aTezz

asA

−−↔

+ ,

o pólo equivalente no domínio Z é aTe− . Como

10Re <⇒> −aTea

concluímos a seguinte condição de estabilidade no plano Z

Condição de estabilidade no plano z: todos os pólos devem ter mó-

dulo menor do que a unidade, ou seja, pertencentes ao interior da

circunferência unitária.


2

Exercícios

1. Determine a faixa de valores do período de amostragem T que fará com

que o sistema mostrado na figura a seguir seja estável.

2. Determine a faixa de valores do período de amostragem, T que fará

com que o sistema da figura seguinte seja estável.

se Ts−−1

110+s

- +

Extrapolador Processo a controlar

C(s) R(s)

C(s) R(s)

se Ts−−1

520+s

- +

Processo a controlar Extrapolador


1

Aula 16T - Exercícios Bibliografia



832.

1. Determine a faixa de valores do período de amostragem, T que fará com

que o sistema da figura seguinte seja estável.

2. Um controlador implementado num computador digital é modelado pela

função de transferência pulsada:

( ) ( )( ) ( )( )5,08,0

4−−

−==

zzz

zCzRzG .

Determine a resposta ao degrau deste sistema, ou seja, determine ( )kTr para

( ) ( )kTukTc = , sendo T o intervalo de amostragem.

3. Use transformada Z para resolver a equação de diferenças:

( ) ( ) ( ) ( )kTuTkTyTkTykTy 222,09,0 =−+−− .

4. Usando a expansão em frações parciais e a tabela dada, determine a trans-

formada Z para cada G(s) a seguir se 5,0=T s.

( ) ( )( )1342272 +++

=sss

sG

C(s) R(s)

se Ts−−1

520+s

- +




Controle II

Laboratorio



Controle 2 – Aula 1P – Professor Marcio Eisencraft - julho 2004

1

Aula 1P - Exemplos da utilização do Matlab na área de controle Bibliografia

DORF, R.C. Sistemas de Controle Moderno, 9ª edição, Prentice Hall, 2001. Páginas 632-644

HAYKIN, S. S. Sinais e sistemas. 1ª edição, Bookman, 2000. Páginas 71-76.

1. Introdução

O Matlab é uma ferramenta muito útil no estudo de problemas e no desenvolvimento de

projetos em Engenharia sendo utilizado em universidades e empresas ao redor do mun-

do.

Na área de Engenharia Elétrica e, mais precisamente, na Engenharia de Controle vem

adquirindo um caráter quase fundamental.

O principal motivo deste sucesso é a utilização maciça de vetores e matrizes para repre-

sentar dados de uma forma simples (Matlab = Matrix Laboratory). Esta forma de repre-

sentação praticamente elimina a necessidade de utilização de laços FOR ou WHILE

simplificando e acelerando muito os programas.

A família de programas Matlab inclui o programa básico mais uma variedade de tool-

boxes que estendem as funcionalidades do programa. Para a área de controle o toolbox

Control System Toolbox é bastante interessante.

Uma sessão típica de utilização do programa utilizará sentenças e variáveis, matrizes,

gráficos e scripts. Desta forma, nesta aula, veremos exemplos de cada um desses obje-

tos.

Lembre-se: sempre que você ficar na dúvida sobre a utilização de um comando, a fun-

ção <help comando> pode lhe ajudar.

2. Sentenças e variáveis

O Matlab utiliza o sinal igual (“=”) para atribuir uma expressão a uma variável. Por

exemplo, o comando:

>> A = [1 2; 4 6]

A =

1 2

4 6


2

atribui uma matriz 2x2 a uma variável de nome A.

A matriz A é automaticamente mostrada na tela quando a sentença é executada. Se a

sentença fosse seguida por um ponto-e-vírgula (;) a exibição seria suprimida. Apesar

disso, a atribuição é feita da mesma forma. Toda vez que você não quiser ver o resulta-

do de uma sentença na tela, simplesmente adicione um ponto-e-vírgula (;) em seu final.

>> A = [1 2; 4 6];

>>

>> A = [1 2; 4 6]

A =

1 2

4 6

Sem maiores dificuldades o Matlab pode ser usado como uma calculadora científica,

bastando digitar as operações na sua linha de comando. Veja os exemplos a seguir:

>> 12.4/6.9

ans =

1.79710144927536

>> 1+1/3

ans =

1.33333333333333

>> a = 23;

>> b = 10;

>> a+b

ans =

33

>> a-b

ans =

13

>> sin(pi/2)

ans =


3

1

É importante lembrar que o Matlab reconhece diferenças entre letras maiúsculas e mi-

núsculas. Assim, as variáveis M e m são diferentes.

>> M = [1 2];

>> m = [3 5 7];

>> M

M =

1 2

>> m

m =

3 5 7

O Matlab possui algumas variáveis pré-definidas como pi, i, j, Inf, NaN. Veja

os exemplos:

>> z = 3+4*i

z =

3 + 4i

>> 2/0

ans =

Inf

>> 0/0

Warning: Divide by zero.

ans =

NaN

Para ver as variáveis já criadas até aqui, utilize o comando who.

>> who

Your variables are:

A M a ans b m z


4

Informações mais completas sobre as variáveis já definidas podem ser obtidas com o

comando whos.

>> whos

Name Size Bytes Class

A 2x2 32 double array

M 1x2 16 double array

a 1x1 8 double array

ans 1x1 8 double array

b 1x1 8 double array

m 1x3 24 double array

z 1x1 16 double array (complex)

Grand total is 13 elements using 112 bytes

Variáveis podem ser removidas do espaço de trabalho com o comando clear. Utiliza-

do sozinho, ele apaga todas as variáveis definidas. Para apagar somente a variável A uti-

lize

>> clear A

>> who

Your variables are:

M a ans b m z

3. Matrizes

Como já foi dito, o Matlab tem como principal característica a fácil manipulação de

vetores e matrizes.

Uma típica matriz é cercada de colchetes [.]. Os elementos das colunas são separados

por espaços ou vírgulas e as linhas separadas por ponto-e-vírgulas (;) ou retorno de li-

nha (Enter).

Suponha que desejamos entrar uma matriz A dada por

( ) ( ) ( )( ) ( ) ⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=8,08,0cos8,0sin

3cos2sin1log241

eaa

jA ππ .


5

Uma forma de fazer isso é >> A = [1 -4*j sqrt(2); log(-1) sin(pi/2) cos(pi/3);asin(0.5) acos(0.8) exp(0.8)]

A =

1.0000 0 - 4.0000i 1.4142

0 + 3.1416i 1.0000 0.5000

0.5236 0.6435 2.2255

A matriz A pode ser redefinida a qualquer momento como em

>> A = [1 2; 4 5]

A =

1 2

4 5

A operação entre matrizes requer apenas que as dimensões sejam compatíveis. Veja os

exemplos a seguir

>> A = [1 3; 5 9]

A =

1 3

5 9

>> B = [4 -7; 10 0]

B =

4 -7

10 0

>> A+B

ans =

5 -4

15 9

>> b = [1;5]

b =

1

5

>> A*b

ans =


6

16

50

>> A'

ans =

1 5

3 9

As operações matriciais básicas podem ser modificadas para operações elemento a ele-

mento precedendo o operador por um ponto. Veja o seguinte exemplo:

>> A = [5 3 7 9]

A =

5 3 7 9

>> B = [2 1 2 3]

B =

2 1 2 3

>> A*B

??? Error using ==> *

Inner matrix dimensions must agree.

>> A.*B

ans =

10 3 14 27

>> A^2

??? Error using ==> ^

Matrix must be square.

>> A.^2

ans =

25 9 49 81

Uma outra ferramenta importante é a notação : . Esta notação permite gerar uma matriz

linha contendo os números começando em um dado valor inicial, xi até um valor final

xf com um incremento especificado dx. Veja os exemplos:


7

>> a = 0:.5:2

a =

0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000

>> b = 10:-2:2

b =

10 8 6 4 2

>> a+b

ans =

10.0000 8.5000 7.0000 5.5000 4.0000

Podemos gerar facilmente vetores usando a notação : e veremos na próxima sessão que

isto é muito útil para gerar gráficos. Suponha que nosso objetivo seja gerar um gráfico

de ( )xxy sin= versus x para 0,12,01,00 …=x . Nosso primeiro passo será ge-

rar os valores de x e y o que pode ser facilmente feito, como mostrado a seguir:

>> x = 0:0.1:1;

>> y = x.*sin(x);

Podemos visualizar os valores obtidos facilmente usando

>> [x' y']

ans =

0 0

0.1000 0.0100

0.2000 0.0397

0.3000 0.0887

0.4000 0.1558

0.5000 0.2397

0.6000 0.3388

0.7000 0.4510

0.8000 0.5739


8

0.9000 0.7050

1.0000 0.8415

Exercícios

1. Considere as matrizes

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=334

3jj

Aπ

e ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

1536

ππj

B

Escreva uma seqüência de comandos Matlab que permita calcular as seguintes expressões.

Escreva também seus resultados.

(a) BA + (e) 1−B

(b) AB (f) AB ′′

(c) 2A (g) ABBA −+ 22

(d) A′

RESPOSTAS:

4. Gráficos

Os gráficos têm um papel importante no projeto e análise de sistemas de controle. Ve-

remos agora algumas ferramentas gráficas básicas do Matlab.

Os comandos a seguir fazem um gráfico de ( )xxy sin= versus x para

0,12,01,00 …=x . Tente entender o que cada linha faz. Na dúvida use a ajuda

help <comando>.

>> x = 0:0.1:1;


9

>> y = x.*sin(x);

>> plot(x,y)

>> title('Grafico de y = x sin(x) versus x');

>> xlabel('x');

>> ylabel('y');

>> grid on

Múltiplos gráficos podem ser feitos no mesmo eixo utilizando-se a função plot com

múltiplos argumentos. O tipo de linha utilizado também pode ser alterado. Para ver os

tipos de linha admitidos, utilize help plot. Veja um exemplo a seguir e tente enten-

der o que cada linha está fazendo. Lembre-se de usar o help em caso de dúvida!

>> x = 0:0.1:1;

>> y1 = x.*sin(x);

>> y2 = sin(x);

>> plot(x,y1,'b--', x,y2,'r-.');

>> text(0.1,0.85,'y_1 = x sin(x) ---');

>> text(0.1,0.80,'y_2 = sin(x) .-.-');

>> xlabel('x');

>> ylabel('y_1 e y_2');

>> grid on;


10

Exercício

2. Gere um gráfico de

( ) ,sin5,0 xexy x ω−=

em que 10=ω rad/s e 100 ≤≤ x . Utilize a notação : para gerar o vetor x com incre-

mentos de 0,1.

RESPOSTA: (ESCREVA OS COMANDOS NECESSÁRIOS)

5. Scripts

Até este ponto, todas as nossas interações com o Matlab têm sido através da linha de

comando. Entramos comandos ou funções na linha de comando e o Matlab interpreta

nossa entrada e toma a ação apropriada. Este é o modo de operação preferencial quando

nossa sessão de trabalho é curta e não repetitiva.


11

No entanto, o real poder do Matlab para análise e projeto de sistemas de controle vêm

da sua habilidade em executar uma longa seqüência de comandos armazenados num ar-

quivo. Estes arquivos são chamados de arquivos-M porque seus nomes têm a forma

nomearq.m.

Um script é um tipo de arquivo-M. Scripts são arquivos-textos comuns e podem ser

criados usando um editor de texto.

Um script é uma seqüência de comandos e funções comuns usados na linha de coman-

do. Um script é invocado na linha de comando digitando-se o nome do arquivo. Scripts

podem invocar outros scripts. Quando um script é invocado, o Matlab executa os co-

mandos e funções no arquivo como se eles tivessem sido digitados diretamente na linha

de comando.

O script opera sobre as variáveis do espaço de trabalho.

Suponha por exemplo que desejemos fazer um gráfico da função ( ) tty αsin= em que

α é uma variável que queremos variar.

Usando o editor de texto do Matlab (basta ditar edit na linha de comando), podemos

escrever um script chamado plotdata.m como mostrado a seguir.

% Este e um script para fazer um grafico da funcao y = sin(alfa*t)

% O valor de alfa precisa existir no espaco de trabalho antes

% de se chamar este script

t = 0:0.01:1;

y = sin(alfa*t);

plot(t,y);

xlabel ('tempo(s)');

ylabel('y(t) = sin(\alpha t)');

grid on;

É importante salvar o scritpt no mesmo diretório em que se está trabalhando na linha de

comando. Caso contrário, ao tentar executar o script o Matlab não encontrará o arquivo

e exibirá uma mensagem de erro. Este erro é muito comum quando estamos começando

a trabalhar com scripts.

Uma vez digitado e salvo é muito fácil utilizar o script. Veja os exemplos a seguir:

>> alfa = 50;

>> plotdata


12

>> alfa = 10;

>> plotdata

Ao escrever scripts é sempre interessante utilizar comentários, linhas que começam

com %. Se você escrever linhas de comentário antes do começo das instruções do script

Ao utilizar o comando help nomearq o Matlab apresenta estas linhas na tela. Por

exemplo, >> help plotdata

Este e um script para fazer um grafico da funcao y = sin(alfa*t)

O valor de alfa precisa existir no espaco de trabalho antes

de se chamar este script


13

O conjunto de ferramentas que o Matlab oferece a um Engenheiro são muito mais am-

plas do que as mostradas nesta introdução. Durante o curso teremos oportunidade de

trabalhar com muitas outras.

Exercícios

3. Considere a função

( ) ( )xexy x ωcos1 2−+= .

Desenvolva um script para fazer, num mesmo eixo, gráficos para três valores de ω ,

1;5,0;1,0=ω rad/s com 20 ≤≤ x segundos. O gráfico final deve ter os seguintes a-

tributos:

Título ( ) ( )xexy x ωcos1 2−+=

Nome do eixo x tempo(s)

Nome do eixo y ( )xy

Tipo de Linha 1,0=ω : linha sólida

5,0=ω : linha tracejada

1=ω : linha pontilhada

Grade grid on

RESPOSTA: (ESCREVA OS COMANDOS NECESSÁRIOS)


14

4. Resolva o Exercício 1.43 página 84 do [HAYKIN].

5. Resolva o Exercício F4 página 644 do [DORF].


1

Aula 2P - Utilização do pacote de Controle do Matlab

para a representação de sistemas (1ª parte) Bibliografia

DORF, R.C. Sistemas de Controle Moderno, 9ª edição, Prentice Hall, 2001. Páginas 63-67.

HAYKIN, S. S. Sinais e sistemas. 1ª edição, Bookman, 2000. Páginas 436-439.

1. Introdução

As aplicações das ferramentas de projeto e análise das teorias de controle clássico e mo-

derno são baseadas em modelos matemáticos. O Matlab trabalha de forma muito simples

com sistemas descritos por funções de transferência.

Veremos, através de exemplos práticos simples, como o Matlab pode ser útil no projeto

e análise de sistemas de Controle.

2. Polinômios

O Matlab pode ser utilizado para analisar sistemas descritos por funções de transferên-

cia. Como uma função de transferência é uma razão de polinômios, vamos começar in-

vestigando como o Matlab trabalha com polinômios.

No Matlab, polinômios são representados por vetores linhas contendo os coeficientes do

polinômio em ordem decrescente. Por exemplo, o polinômio:

( ) 43 23 ++= sssp

é entrado como

>> p = [1 3 0 4];

Note que mesmo o coeficiente do termo em s seja zero, ele precisa ser colocado na defini-

ção de ( )sp .

Se p é um vetor linha contendo os coeficientes de ( )sp em ordem decrescente, então

roots(p) é um vetor coluna contendo as raízes do polinômio. Por outro lado, se r é

um vetor coluna contendo as raízes do polinômio, então poly(r) é um vetor linha con-

tendo os coeficientes do polinômio em ordem decrescente.


2

Os comandos seguintes calculam as raízes do polinômio ( ) 43 23 ++= sssp e depois

usa o comando poly para obter novamente o polinômio. >> p = [1 3 0 4]; %p(s) = s^3+3s^2+4

>> r = roots(p) %Calcula as raízes de p(s) = 0

r =

-3.3553

0.1777 + 1.0773i

0.1777 - 1.0773i

>> p = poly(r) %Reconstroi o polinômio a partir das raizes

p =

1.0000 3.0000 0.0000 4.0000

A multiplicação de polinômios é feita utilizando-se a função conv. Suponha que quei-

ramos expandir o polinômio ( )sn em que

( ) ( )( )4123 2 +++= ssssn

Os comandos Matlab necessários para fazer esse produto são mostrados a seguir utili-

zando a função conv. >> p = [3 2 1]; q = [1 4];

>> n = conv(p, q) %Multiplica p por q

n =

3 14 9 4

Assim, o polinômio expandido é ( ) 49143 23 +++= ssssn .

A função polyval é usada para calcular o valor de um polinômio para certo valor da

variável. Por exemplo, para calcular ( )5−n :

>> valor = polyval(n,-5) %Calcula n(s) em s=-5

valor =

-66

Exercício

1. Considere os dois polinômios

( )( ) 1

122

+=++=

ssqsssp

Calcule, usando o Matlab:


3

(a) ( ) ( )sqsp

(b) os pólos e zeros de ( ) ( )( )spsqsG =

(c) ( )1−p

Respostas:

(a)

(b)

(c)

3. Funções de Transferência

O pacote Matlab Control System Toolbox trata modelos de sistemas lineares invariantes

no tempo como objetos, permitindo a manipulação desses modelos como entidades úni-

cas.

No caso de funções de transferência, modelos de sistemas podem ser criados utilizando-

se a função tf. Por exemplo, para criar uma função de transferência formada com os

polinômios num e den, ( )dennum

=sG usamos:

sys = tf(num, den)

Baseado nas capacidades de programação orientada a objeto do Matlab, os objetos de

modelagem de sistemas passam a possuir propriedades de objeto que podem ser modifi-

cadas.

Da mesma forma, muitas das funções que operam sobre números podem ser aplicadas

sobre os objetos criados. Por exemplo, se tivermos os dois modelos de sistema:

( )52

1021 ++

=ss

sG e ( )1

12 +

=s

sG ,

podemos somá-los utilizando o operador “+” e obter

( ) ( ) ( )573

151223

2

21 +++++

=+=sss

sssGsGsG .


4

Os comandos Matlab correspondentes estão mostrados a seguir em que sys1 representa

( )sG1 e sys2 representa ( )sG2 .

>> num1 = 10; den1 = [1 2 5];

>> sys1 = tf(num1, den1)

Transfer function:

10

-------------

s^2 + 2 s + 5

>> num2 = 1; den2 = [1 1];

>> sys2 = tf(num2,den2)

Transfer function:

1

-----

s + 1

>> sys = sys1 + sys2

Transfer function:

s^2 + 12 s + 15

---------------------

s^3 + 3 s^2 + 7 s + 5

Para computar os pólos e zeros associados a uma função de transferência basta utilizar

as funções pole e zero como mostrado a seguir >> sys = tf([1 10], [1 2 1])

Transfer function:

s + 10

-------------

s^2 + 2 s + 1

>> p = pole(sys)

p =

-1

-1

>> z = zero(sys)

z =

-10


5

A função pzmap permite obter um gráfico da localização dos pólos e zeros de uma fun-

ção de transferência no plano complexo. No mapa de pólos e zeros, zeros são represen-

tados por um “o” e pólos por um “x”. Seu formato é

[P,Z] = pzmap(sys)

em que

P: pólos colocados num vetor coluna

Z: zeros colocados num vetor coluna

sys: ( )dennum

=sG .

Se utilizarmos somente pzmap(sys)um gráfico com os pólos e zeros é gerado automati-

camente.

Exercício

2. Considere as seguintes funções de transferência

( )133

1623

2

++++

=sss

ssG e ( ) ( )( )( )( )( )322

21+−+

++=

sjsjssssH

Utilizando-se o Matlab, pede-se:

(a) Compute os pólos e zeros de )(sG

(b) Obtenha a equação característica de ( )sH .

(c) Obtenha a função de transferência do sistema ( ) ( )( )sHsGsL = .

(d) Obtenha um gráfico dos pólos e zeros de ( )sL no plano complexo.

Respostas (Escreva os comandos utilizados e os resultados):

(a)

(b)

(c)


6

(d)

4. Modelagem com diagramas de blocos

Suponha que você tenha desenvolvido modelos matemáticos na forma de funções de

transferência para uma planta, representada por ( )sG e um controlador, representado por

( )sGC e possivelmente para vários outros componentes do sistema como sensores e atu-

adores. Nosso objetivo é interconectar estes componentes para formar um sistema de

controle. Utilizaremos as funções do Matlab para fazer transformações nos diagramas de

blocos.

Podemos usar o comando series para cascatear duas funções de transferência como

mostrado a seguir

sys = series(sys1, sys2)

em que

sys1 = ( )sG1

sys2 = ( )sG2

sys = ( ) ( )( )sUsYsT =

Exercício

3. Considere um sistema de controle em malha aberta constituído de um controlador em

série com uma planta como mostrado a seguir.


7

Vamos supor que o processo seja representado pela função de transferência ( )sG dada por

( ) 25001

ssG =

e o controlador ( )sGC seja

( )21

++

=sssGC

Pede-se:

(a) Calcule (usando lápis e papel) a função de transferência global ( )( )sRsY .

(b) Agora use o Matlab para conferir seu resultado.

RESOLUÇÃO

(a)

(b) (Comandos utilizados)

4. Resolver exercício 6.30 página 444 do [HAYKIN].

5. [NISE, p. 170] Use o Matlab para obter os pólos de:

( )2746

22234

2

++++++

=ssss

sssT


1

Aula 3P - Utilização do pacote de Controle do Matlab

para a representação de sistemas (2ª parte) Bibliografia

DORF, R.C. Sistemas de Controle Moderno, 9ª edição, Prentice Hall, 2001. Páginas 68-73.

NISE, N.S. Engenharia de Sistemas de Controle, 3ª edição, LTC, 2002. Páginas 606-610.

4. Modelagem com diagramas de blocos

Diagramas de blocos freqüentemente têm funções de transferência em paralelo. Nestes

casos, a função parallel pode ser bastante útil. A função parallel tem a seguinte

sintaxe:

sys = parallel(sys1, sys2)

em que

sys1 = ( )sG1

sys2 = ( )sG2

sys = ( ) ( )( )sUsYsT =

Podemos introduzir um sinal de realimentação no sistema de controle fechando o laço

com uma realimentação unitária como mostrado a seguir.


2

O sinal ( )sEa é um sinal de erro; o sinal ( )sR é uma entrada de referência. Neste

sistema de controle, o controlador está no caminho direto e a função de transferência de

malha fechada é:

( ) ( ) ( )( ) ( )sGsG

sGsGsTC

C

∓1=

em que o sinal do denominador é definido pelo sinal do sinal realimentado.

A função feedback pode ser utilizada no processo de redução de diagramas de blocos

para computar funções de transferência de malha fechada para sistemas com um ou vá-

rios laços.

É freqüente o caso em que o sistema de controle em malha fechada tem realimentação

unitária. Neste caso, podemos utilizar a função feedback fazendo ( ) 1=sH . O uso da

função feedback para o caso de realimentação unitária é mostrado a seguir:

sys = feedback(sys1,[1], sign)

em que

sys1 = ( ) ( )sGsGC

sign = +1 – realimentação positiva

- 1 – realimentação negativa (default)

sys = ( ) ( )( )sRsYsT =

O caso geral do uso da função feedback é mostrado a seguir


3

sys = feedback(sys1,sys2, sign)

em que

sys1 = ( )sG

sys2 = ( )sH

sign = +1 – realimentação positiva

- 1 – realimentação negativa (default)

sys = ( ) ( )( )sRsYsT =

Exemplo

Calcule a função de transferência do sistema em malha fechada a seguir quando

( )21

++

=sssGC e ( ) 2500

1s

sG = .

Resposta:

Podemos usar, por exemplo, a seguinte seqüência de comandos: >> numg = [1]; deng = [500 0 0]; g = tf(numg, deng);

>> numgc = [1 1]; dengc = [1 2]; gc = tf(numgc, dengc);

>> ggc = series(g,gc);

>> sys = feedback(ggc,[1],-1)


4

Transfer function:

s + 1

--------------------------

500 s^3 + 1000 s^2 + s + 1

e assim, ( )( ) 11000500

123 +++

+=

ssss

sRsY .

Exercício

1. Calcule a função de transferência ( )( )sRsY para o seguinte sistema de controle:

com ( ) 25001

ssG = e ( )

21

++

=sssH . Depois, utilize o Matlab para conferir sua resposta.

RESPOSTA (Cálculos e comandos Matlab):


5

As funções series, parallel e feedback podem ser usadas para ajudar na mani-

pulação de diagramas de blocos em sistemas com vários laços.

A função minreal tem como finalidade simplificar funções de transferência quando

isto é possível. Por exemplo, vamos supor que tenhamos encontrado a função:

( )1

122

+++

=s

sssG

neste caso, claramente, existe um fator 1+s que pode ser cancelado no numerador e no

denominador resultando numa função de transferência mais simples. Isto pode ser obtido

com o comando minreal.

Seu formato é

sys = minreal(sys1)

em que

sys1 = sistemas com possíveis pólos e zeros comuns

sys2 = sistema sem fatores comuns

No nosso exemplo,

>> G = tf([1 2 1], [1 1])

Transfer function:

s^2 + 2 s + 1

-------------

s + 1

>> G1 = minreal(G)

Transfer function:

s + 1

Exemplo prático: Controle de um motor de tração elétrica

Vamos considerar agora um sistema de motor de tração elétrica. O diagrama de blocos é

mostrado a seguir


6

Nosso objetivo é computar a função de transferência em malha fechada e investigar a

resposta ( )sω a uma entrada ( )sdω .

O primeiro passo, como mostrado a seguir, é computar a função de transferência em

malha fechada ( )( ) ( )sTss

d

=ωω .

>> numg1 = 10; deng1 = [1 1]; g1 = tf(numg1,deng1);

>> numg2 = 1; deng2 = [2 0.5]; g2 = tf(numg2, deng2);

>> numg3 = 540; deng3 = 1; g3 = tf(numg3, deng3);

>> numh = 0.1; denh = 1; h = tf(numh, denh);

>> sys1 = series(g1,g2);

>> sys2 = feedback(sys1,h,-1);

>> sys3 = series(sys2,g3);

>> T = feedback(sys3,[1],-1)

Transfer function:

5400

--------------------

2 s^2 + 2.5 s + 5402

O polinômio característico deste sistema é de segunda ordem, da forma 22 2 nn ss ωξω ++ com 52=nω e 012,0=ξ . Como o amortecimento é pequeno, espe-

ramos que a resposta deste sistema seja altamente oscilatória.


7

Podemos investigar a resposta ( )tω devida a uma entrada de referência ( )tdω utilizando

a função step. Esta função, cuja descrição é mostrada a seguir, calcula a resposta a um

degrau unitário de um sistema linear.

[y,T] = step(sys,t)

em que

y = vetor contendo a resposta ao degrau

T = vetor contendo os instantes de tempo utilizados na simulação

sys = função de transferência a ser analisada

t = T = vetor de tempos fornecido pelo usuário ou

t = Tfinal = tempo final da simulação

A função step é bastante importante porque as especificações de desempenho de um

sistema de controle são freqüentemente dadas em termos da resposta ao degrau.

Se o único objetivo é fazer um gráfico da saída ( )ty , podemos usar a função step sem

argumentos do lado esquerdo e obter um gráfico automaticamente já com os eixos no-

meados.

Se for necessário ( )ty para qualquer outro propósito além de fazer um gráfico, precisa-

mos usar a step com os argumentos do lado esquerdo. Em seguida usamos o comando

plot para fazer um gráfico de ( )ty .

Definimos t como um vetor linha contendo os tempos em que desejamos o valor da

variável de resposta ( )ty .Podemos também selecionar t = Tfinal o que resulta

numa resposta ao degrau de 0=t a FINALtt = e o número de pontos intermediários é es-

colhido pelo Matlab.

Para o nosso motor de tração elétrica, a resposta ao degrau pode ser obtida executando o

script mresps.m mostrado a seguir.


8

% Este script computa a resposta ao degrau

% de um motor de tração com velocidade controlada

%

num = [5400]; den = [2 2.5 5402]; sys = tf(num, den);

t = 0:0.005:3;

[y,t] = step(sys,t);

plot(t,y); grid;

xlabel('Tempo(s)');

ylabel('Velocidade controlada');

Como esperado, a velocidade controlada dada por ( )ty é altamente oscilatória. Note que

a saída é ( ) ( )tty ω= .

Exercícios

2. Considere o sistema com realimentação mostrado na figura a seguir.


9

(a) Compute a função de transferência em malha fechada usando as funções series e

feedback.

(b) Obtenha a resposta a um degrau unitário deste sistema usando a função step e verifi-

que que o valor final da saída é 52 .

RESOLUÇÃO (Comandos e resultados obtidos):

3. Considere o sistema mecânico mostrado na figura a seguir.

Figura 1 – Sistema massa-mola-atrito [DORF]


10

A entrada é dada por ( )tf e a saída é ( )ty . Determine a função de transferência de ( )tf

para ( )ty e, usando o Matlab, faça um gráfico da resposta do sistema a uma entrada degrau

unitário. Faça 9=m , 2,1=k e 6,0=b . Qual o pico da amplitude da saída?

RESOLUÇÃO:

4. Resolver exercício PM2.3 página 91 do DORF.

5. Resolver exercício PM2.5 Página 91 do DORF.

Controle 2 – Aula 4P – Professor Marcio Eisencraft - agosto 2004

1

Aula 4P - Análise do Lugar das Raízes utilizando o Matlab

(1ª. Parte) Bibliografia



279-294.

Um esboço aproximado do lugar das raízes pode ser obtido pela aplicação ordenada

dos procedimentos vistos nas aulas de teoria. Alternativamente, podemos usar o Ma-

tlab para obter um gráfico do lugar das raízes bem mais preciso.

O comando utilizado para obter um gráfico do lugar das raízes de um sistema é

rlocus(sys)

em que sys é uma descrição do sistema em malha aberta (excluindo o ganho variável

K ). Uma vez obtido o gráfico, um cursor pode ser utilizado para se obter o valor do

ganho K e outros parâmetros conforme caminhamos pelos ramos do LGR.

Vamos aprender a utilizá-lo através de exercícios.

Exercícios

1. Para o sistema mostrado na figura a seguir, pede-se:

(a) Obtenha um esboço do LGR utilizando os procedimentos vistos em aula.

RESOLUÇÃO:


2

(b) Para obter este esboço no Matlab, basta executar os comandos:

>> num = poly([-2 -1]);

>> den = poly([2 1]);

>> sys = tf(num,den);

>> rlocus(sys)

Execute-os e verifique se o resultado coincide com aquilo que você esperava pelo i-

tem (a).

(c) Utilize o cursor do Matlab para obter o que se pede a seguir:

pontos de entrada e saída do eixo real

RESPOSTA:

Faixa de valores de K que torna o sistema estável.

RESPOSTA:

Valor de K que produz um sistema estável com pólos de segunda ordem criti-

camente amortecidos.

RESPOSTA:

Valor de K que conduz a um sistema estável com um par de pólos de segunda

ordem que tenha uma relação de amortecimento ζ de 0,707. (Se você não lem-

bra o que era amortecimento, visto em Controle 1, dê uma olhadinha no Apêndi-

ce).

RESPOSTA:

2. Exemplo de Projeto: Sistema de Controle de um Manipulador Laser

[DORF, p.298] Os lasers podem ser usados para perfurar o colo do fêmur na bacia vi-

sando a inserção apropriada de uma prótese. O uso de lasers na cirurgia requer alta pre-

cisão na resposta de posição e de velocidade. Considere o sistema mostrado na Figura 1

a seguir, que usa um manipulador com um motor CC para o laser. O ganho K do ampli-

ficador deve ser ajustado de modo que o erro estacionário a uma entrada em rampa


3

( ) Attr = (em que 1=A mm/s) seja menor ou igual a 0,1mm, ao mesmo tempo em que é

mantida uma resposta estável.

Para obter o erro estacionário requerido e uma boa resposta, seleciona-se um motor com

constante de tempo no circuito de campo 1,01 =τ s e uma constante de tempo do motor

mais carga 2,02 =τ s. Pede-se:

Figura 1 – Sistema de controle de um manipulador laser [DORF]

(a) Lembrando que o erro estacionário a uma entrada rampa é dado por

KAeSS = ,

determine o intervalo de valores de K que satisfazem a condição de erro estacionário

do problema.

RESOLUÇÃO:

(b) Utilizando o rlocus e o cursor do Matlab determine o intervalo de valores de K

que garantem a estabilidade do sistema.

RESPOSTA:

(c) Qual intervalo de valores de K que satisfazem as duas condições acima?

RESPOSTA:


4

3. [DORF, p. 303] Seja considerar um dispositivo que consiste de uma esfera rolando

na superfície interna de um anel. Este modelo é semelhante ao problema de um

combustível líquido sendo sacudido em um foguete. O anel é livre para girar em

torno do seu eixo principal, como está mostrado na Figura 2. A posição angular do

anel pode ser controlada por meio de um torque T aplicado ao anel por meio de um

motor de torque fixado ao eixo de acionamento do anel. Se for usada retroação ne-

gativa, a equação característica do sistema é:

( ) 022

41 2 =++

++

sssKs .

Figura 2 – Anel acionado por motor

Pede-se:

(a) Esboçar o lugar das raízes.

RESOLUÇÃO:

(b) Obter o lugar das raízes no Matlab usando o rlocus e utilizando o cursor, obter:

o ganho quando ambas as raízes forem iguais.

RESPOSTA:

as duas raízes iguais.

RESPOSTA:


5

o intervalo de estabilidade deste sistema.

RESPOSTA:

4. (1032) Considere um sistema com a configuração mostrada a seguir:

O lugar das raízes para este sistema em função do ganho K é mostrado na seguinte fi-

gura.

Utilizando o Matlab, pede-se:

(a) Determine ( )sG .

(b) Escreva um conjunto de comandos que você poderia utilizar no Matlab para gerar o

gráfico da figura acima.

(c) Determine o valor do ganho K que fará o sistema marginalmente estável.

(d) Determine o valor de ganho para o qual a função de transferência a malha fechada

terá um pólo sobre o eixo real em -10.

5. Resolver com a ajuda do Matlab o exercício E7.22 página 305 do [DORF]


6

Apêndice – Especificações no Domínio do tempo

1. Resposta versus localização dos pólos

Pólos complexos podem ser definidos em termos de suas partes real e imaginária,

tradicionalmente referidas como:

djs ωσ ±−=

Isto significa que um pólo tem parte real negativa se σ é positivo. Como pólos com-

plexos sempre aparecem em pares conjugados, o denominador correspondente a um

par de pólos complexos será:

( ) ( )( ) ( ) 22ddd sjsjssa ωσωσωσ ++=++−+= (1)

Quando encontramos a função de transferência a partir de equações diferenciais, tipi-

camente escrevemos o resultado na forma polinomial:

( ) 22

2

2 nn

n

ssH

ωζωω

++= (2)

Distribuindo os termos da equação (1) e comparando-os com os coeficientes do de-

nominador de ( )sH da equação (2) encontramos a seguinte correspondência entre os

parâmetros:

nζωσ = e 21 ζωω −= nd

em que o parâmetro ζ é a taxa de amortecimento e nω é a freqüência natural não

amortecida.

Os pólos da função de transferência estão localizados a um raio nω e um ângulo

ζθ arcsin= como mostrado na figura a seguir.


7

Figura 3 – Parâmetros da localização de um par de pólos complexos [DORF].

Desta forma, a taxa de amortecimento reflete o nível de amortecimento como uma

fração do amortecimento crítico em que os pólos tornam-se reais.

Em coordenadas retangulares djs ωσ ±−= .

Quando 0=ζ não temos amortecimento, 0=θ e a freqüência natural amortecida

nd ωω = é igual à freqüência natural sem amortecimento.

A antitransformada de Laplace de (2) fornece a resposta impulsiva

( ) ( ) ( )tuteth dtn ω

ζ

ω σ sin1 2

−

−= .

A figura a seguir mostra ( )th para diversos valores de ζ tendo sido o tempo norma-

lizado em relação à freqüência natural não amortecida nω Note que a freqüência real

dω decai suavemente conforme a taxa de amortecimento cresce. Note também que

para amortecimentos muito pequenos a resposta é oscilatória enquanto que para

grandes amortecimentos (ζ próximo de 1) a resposta não mostra oscilação.


8

Figura 4 – Respostas impulsivas subamortecidas de um sistema de ordem dois [DORF].

Algumas destas respostas estão mostradas também na figura a seguir para mostrar

qualitativamente como a mudança nos locais dos pólos no plano-s afeta as respostas

impulsivas.

Figura 5 – Respostas impulsivas em função da localização dos pólos no plano [DORF].


9

É muito importante para um projetista de controle ter na mente a figura acima para

que possa entender instantaneamente como as mudanças na localização de pólos in-

fluenciam na resposta temporal.

Três localizações de pólos são mostradas na Figura a seguir para que se possa com-

parar com as respectivas respostas impulsivas na figura anterior.

Figura 6 – Exemplos de localização de pólos [DORF].

A parte real negativa do pólo, σ , determina a taxa de decaimento da envoltória ex-

ponencial que multiplica a senóide, como mostrado a seguir.

Figura 7 – Resposta subamortecida e envoltórias [DORF].

Note que se 0<σ (e o pólo esta no SPD) então a resposta natural cresce com o tem-

po e como já sabemos o sistema é instável. Se 0=σ a resposta natural nem cresce


10

nem decai e estabilidade não está decidida. Se 0>σ a resposta natural decai e, por-

tanto, o sistema é estável.

Também é interessante examinar a resposta ao degrau de ( )sH , isto é, a resposta do

sistema ( )sH a uma entrada degrau ( )tu . A figura a seguir, que mostra ( )ty para vá-

rios valores de ζ mostra que as características de resposta transiente básicas da res-

posta impulsiva são as mesmas para a resposta em degrau. A diferença entre ambas é

que o valor final da resposta ao degrau é comandado pelo degrau unitário.

Figura 8 – Respostas ao degrau subamortecidas de sistemas de ordem dois. [DORF]

Controle 2 – Aula 5P – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2004

1

Aula 5P - Análise do Lugar das Raízes utilizando o Matlab

(2ª. Parte) Bibliografia



279-294.

A aula de hoje consiste no seguinte problema de projeto.

1. Considerar o sistema com retroação na figura a seguir.

Há três controladores em potencial para o sistema:

(1) ( ) KsGC = < controlador proporcional >

(2) ( )sKsGC = <controlador integral>

(3) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

sKsGC

11 < controlador proporcional, integral (PI) >.

As especificações de projeto são 10≤ST segundos e %10≤PM para uma entrada em

degrau unitário.

(a) Para o controlador proporcional, esboçar o lugar das raízes e utilizando o Matlab

determinar o valor de K tal que as especificações sejam satisfeitas.

Função de transferência a malha aberta:


2

Esboço manuscrito do LGR:

Valor de K obtido no Matlab:

(b) Repetir a parte (a) para o controlador integral.




3


(c) Repetir a parte (a) para o controlador PI.




(d) Traçar, em um mesmo diagrama, os gráficos das respostas ao degrau unitário dos

sistemas a malha fechada com cada um dos controladores projetados nas partes (a) a (c).


4

Comandos Matlab utilizados:

(e) Comparar e contrastar os três controladores obtidos nas partes (a) a (c),

concentrando a discussão nos erros de estado estacionário e desempenho transitório.

2. (1041) Resolver Exercício E7.9 página 304 do [DORF].

3. (1041) Resolver Exercício E7.18 página 304 do [DORF].

APÊNDICE - Especificações no domínio do tempo

Especificações para um projeto de controle freqüentemente envolvem certas

requisições associadas à resposta do sistema. As requisições para uma resposta ao

degrau são expressas em termos de quantidades padrões ilustradas na figura a seguir.



5

O tempo de subida rt é o tempo que o sistema leva para alcançar a vizinhança do

seu novo ponto de equilíbrio.

O tempo de acomodação St é o tempo que o transiente leva para decair.

O sobressinal PM é o tanto que o sistema ultrapassa seu valor final dividido pelo

valor final (geralmente expresso em porcentagem).

O instante de pico Pt é o instante em que o sistema atinge seu ponto de sobressinal

máximo.

Para um sistema de segunda ordem a resposta temporal mostrada anteriormente gera

informações sobre as especificações que são muito complexas para serem lembradas

a menos que sejam convertidas para formas mais simples.

Examinando estas curvas à luz das definições dadas na figura anterior podemos

relacionar as curvas aos parâmetros de localização dos pólos ζ e nω .

Temos os seguintes resultados: [FRANKLIN]

Tempo de subida

nRt

ω8,1

=


σ6,4

=St

Sobressinal

21 ζπζ −−= eM P

Instante de pico

dPt ω

π=


6

As equações acima caracterizam a resposta transiente de um sistema tendo nenhum

zero finito e dois pólos complexos conjugados com freqüência natural não

amortecida nω , taxa de amortecimento ζ e parte real negativa σ .

Em análise e projeto elas são usadas para estimar o tempo de subida, sobressinal e

tempo de acomodação para quase qualquer sistema.

Em síntese de projetos queremos especificar Rt , PM e St e perguntar onde os pólos

precisam estar para que as respostas reais tenham propriedades menores ou iguais a

essas especificações.

Para valores especificados de Rt , PM e St as equações no formato de síntese são

então:

Rn t

8,1≥ω ,

( )PMζζ ≥ (da figura a seguir)

St6,4

≥σ

Figura 2 – Relação entre amortecimento e sobressinal [FRANKLIN]


1

Aula 6P - Introdução ao Levitador Magnético

Bibliografia

[MANUAL] Manual for Model 730 – Magnetic Levitation System, ECP, 1999.

[BURDEN] BURDEN, R. L.; FAIRES, J. D. Análise Numérica, 7ª edição, Thomson, 2003.

O levitador magnético é composto por duas bobinas, uma inferior e outra superior que

geram um campo magnético pela passagem de uma corrente. Essas bobinas interagem

através do campo com um ou dois discos magnéticos que se deslocam em uma barra de

vidro que serve como guia.

Variando-se a magnitude da corrente na bobina inferior, pode-se controlar a posição do

magneto inferior fazendo-o levitar através de uma força magnética repulsiva.

Similarmente, o magneto superior é posicionado através de uma força magnética de

atração, adotando-se um valor adequado de corrente na bobina superior. Com a

proximidade dos discos surge também interação magnética (força de repulsão) entre os

dois magnetos.

Dois sensores ópticos baseados em sensores de laser são utilizados para medir a posição

dos magnetos.

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1 4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0

1 1

1 2

1 3

1 4

1 3

1 2

1 1

1 0

Precision glassguide rod

Upper DriveCoil (Coil #2)

Lower DriveCoil (Coil #1)

Levitatedmagnet

Protectivecoil cover

(2 pl.)

Connector

Sensorconditioningelectronics Magnet

Storage

Glass rod clampscrew (2 pl.)

Laser Sensor(out of view , 2 pl.)

Ruler clampscrew (2 pl.)

Coil currentindicating LED

(2 pl.)

Magnetheight uler

Side View Front View

Uppersupport arm

Lowersupport

arm

Figura 1 - Diagrama do levitador magnético [MANUAL].


2

O diagrama esquemático de um sistema ECP (Educational Control Producs) completo é

mostrado na Figura 2.

ControlEffort(current)

Control Firmware

User/SystemInterfaceProgram("Executive",C language)

Mechanism

Drive Electronics(Also called "Control Box")

PowerSupply

Sensor #3(Feedback Sensor)

Sensor #2

ShieldedCable

ShieldedCable

Actuator

Encoder Pulsesor Analog

Sensor#1

RibbonCable

Aux. DACReadouts

ControlEffort

(a number)ControlEffort

(a voltage)

Digital-to-Analog

Converters(DAC's)

Numerical PlantOutput Positions

Aux. DACReadouts

Ancilliary I/O• Opto Isolation• Limit Switch I/O (if used)

• Trajectory Generation• Data Collection & Storage• Audit safety limits• Aux DAC updates• Watchdog timer support

Clock driven interrupt tosyncronously servicereal-time control routine

Program Flow

Control algorithm parametersExecution commandsTrajectory definitionSafety shutdown commands

Real-t ime data displayUpload acquired dataUpload system status

Inputs From Controller

Off-line FunctionsPlotting, file management, dataimport/export, unit conversions, etc.

Outputs to Controller

EncoderPulse

Decoders

PC bus orRS-232 Interface

Multi-task Routines(Fig. 4.5-2)

(Fig. 4.5-1)

(Fig's 2.1-1Through 2.1-12)

DSP (M56001) Based Controller / Data Acquisition Board

ControlEffort

(torque)

ServoAmplifier

• Current Control• Commutation(Fig's 4.3-2, -3)

Analog-to-Digital

Converters(ADC's)

User-Written Control Algorithm(Compiled to assembly language)

• 48 bit multiplication, 96 bit addition• Up to 1.1 kHz servo closure rates• Parameters downloaded from Executive

+

DAC

• E n co d er # 1

• E n co d er # 2• E n co d er # 3

• E n co d er # 1


• E n co d er # 1


T + T1 z1+ + T7 z

7

So

+S1 -1

+ +S7 -7

- --

K0

K1z + + K

7z

-71 + L 1z + + L 7z

1

1+ R1z

-1+ + R

7 -71

1+ J1

z- 1

1

1 + G zHo + H1 z

-1

o +I 1z-1

E o+ E1 z1

Fo + F1z

- 1

F ee d b ac k

L oo p # 1

F ee d b ac k

L oo p # 2F ee d b ac k

L oo p # 3

N o de

A

N o de C

N o de

B

N o de

D

-7

Figura 2 – Diagrama completo de um sistema ECP [MANUAL].

Para o sistema Levitador Magnético, a informação sobre a posição é fornecida pelo

medidor óptico. A placa DSP é capaz de interpretar comandos de trajetórias e

realizar verificações em variáveis com o objetivo de garantir a segurança na

operação do equipamento.

O acionamento é feito por um sistema eletrônico de potência que gera o sinal de

corrente adequado para a bobina.

O terceiro elemento que compõe e finaliza todos os sistemas ECP é o programa

executivo que roda no PC e dispõe de uma interface gráfica a base de menus, que


3

permite operar o sistema com facilidade. Ele dá suporte à definição de trajetórias,

aquisição de dados, visualização de curvas, especificação de controladores,

execução de comandos do sistemas, etc.

1. Regressão Linear e ajustamento de curvas

Nos equipamentos ECP interessa-nos medir posição, velocidade e aceleração dos

elementos que compõem a planta eletro-mecânica. O MagLev inclue medidores ou

transdutores para esta finalidade na forma de sensores ópticos. De forma geral, se x representa a variável a ser medida e y a sua medida produzida

pelo medidor, tem-se a seguinte relação geral:

( )xgy =

em que a função g representa a transformação produzida pelo medidor.

A técnica de regressão permite obter um modelo matemático que relaciona as

variáveis de entrada com a variável de saída de um processo, o que, no caso dos

medidores significa produzir uma estimativa g do que seria o valor verdadeiro da

relação g .

No caso do MagLev a função g é representada pela seguinte função de calibração

para o sensor óptico:

ya

yayaax 32

10 +++= .

Note que neste caso, estaremos estimando a função inversa 1−g .

1.1. Método dos mínimos quadrados

Pode-se a partir da observação e dos valores medidos, escolher uma função do tipo

polinomial, exponencial, logarítmica, trigonométrica, etc., que se assemelhe, ou que

melhor se ajuste à distribuição dos pontos.

Uma vez escolhida tal função, deve-se então determinar seus parâmetros baseando-

se no critério de que a soma dos quadrados das distâncias das ordenadas dos pontos

medidos até as ordenadas dos pontos da curva de ajuste escolhida para as mesmas

abscissas seja mínima.


4

O passo inicial então, é obter a curva de ajustamento que se adapte ao conjunto de

dados, definindo o que será considerado a função de melhor ajustamento, isto é, se o

ajuste será feito por uma reta, uma parábola, exponencial, etc.

Essa curva é expressa pela função ( )xgy = e é escolhida em geral segundo algum

critério físico.

Considere a Figura 3. Nesta figura, representa-se a diferença entre um dado valor de

x , por exemplo, 1x , haverá uma diferença entre 1y e o valor correspondente

determinado na curva (função g ).

Figura 3 – Pontos experimentais e a curva ajustada. [MANUAL].

Conforme indicado na figura, representa-se esta diferença por 1D , que é chamado de

desvio, erro ou resíduo. Analogamente, para os valores de nxx ,,2 … obtém-se

os desvios ndd ,,2 … .

Uma medida da qualidade do ajustamento da função g aos dados disponíveis é

dada pela quantidade 222

21 nddd +++ … . Se esta quantidade é pequena, o ajuste é

bom, se ele é elevado o ajuste é ruim.

Critério dos Mínimos quadrados: De todas as curvas que se ajustam a um conjunto

de dados, a que tem a propriedade de apresentar o mínimo valor 22

22

1 nddd +++ …


5

é chamada de melhor curva de ajusttamento. Diz-se que uma curva que apresenta essa

propriedade ajusta os dados no sentido dos Mínimos quadrados e é denominada Curva

de Mínimos quadrados.

1.2. Exemplo de aplicação

Utilizando-se o Maglev obteve-se os seguintes dados em que x é a distância do

magneto à bobina (em cm) e y é a saída do medidor (em counts). Estes dados são

apenas a título de exemplo não sendo valores reais.

Encontre os parâmetros que ajustem estes dados pelo critério dos mínimos quadrados.

ya

ya

yaax 3210 +++= .

O seguinte programa Matlab resolve o problema. % Este script encontra os coeficientes para a

% aproximacao y=g(x) utilizada no MagLev

Y = [1 2 4 4 5 7 8 9]'; %Saida do sensor

X = [1 3 4 6 8 9 11 14]'; % Valores a serem medidos

U = [ones(size(Y)) Y 1./Y 1./sqrt(Y)];

A = U\X; %Vetor contendo parametros do modelo [a0 a1 a2 ...]

%Cria um vetor de pontos a serem avalidados pela funcao de correcao

Y_eval = linspace(Y(1), Y(end),100)';

%Calcula a funcao nesses pontos

X_eval = [ones(size(Y_eval)) Y_eval 1./Y_eval 1./sqrt(Y_eval)]*A;

%Faz o grafico

plot(X,Y,'o',X_eval,Y_eval,'-');

grid;

axis([min(X_eval) max(X_eval) min(Y_eval) max(Y_eval)]);

Exercícios

1. Rode o programa anterior e obtenha os valores dos parâmetros ia .

2. Repita o problema para a seguinte tabela de valores:

X 0 1 1,2 1,9 2,5 3 3,2 3,8 4 4,2 5,5

Y 700 1000 1200 2000 2700 3300 3400 3960 4050 4400 5600


6

2. Procedimento Experimental

2.1. Determinação da curva característica dos medidores

O levitador magnéico utiliza como sensor um sistema de mediçã de distância

baseado num emissor e detector laser de luz incidente no disco. A curva

característica para esses medidores adotada pelo fabricante tem a forma

ya

yayaax 32

10 +++=

convencionando y saída do medidor em counts e x posição a ser medida em cm.

1. Utilize a montagem com um único magneto, em repouso sobre a bobina inferior.

Atenção: Esteja de mãos limpas e evite tocar na superfície branca do magneto. Não

toque na haste de vidro para não prejudicar o funcionamento do sistema.

2. Ligue o PC e execute o aplicativo ECP USR-MV Executive. Entre no Setup Sensor

Calibration através do menu Setup. Selecione Use Raw Sensor Counts e Apply Thermal

Compensation. Selecione OK e em seguida Abort Control. Ligue o Módulo de Potência

para ativar o sensor.

3. Faça as medidas de y (em counts) versus posição x (em cm), utilizando a medida na

tela principal do software ECP para leitura em counts e os valores de posição:

X (cm) 0 0,5 1 2 3 4 5 6

Y (counts)

4. Obtenha os parâmetros 0a , 1a , 2a , 3a do ajuste por mínimos quadrados.

2.2. Demonstração auto-guiada

Um primeiro contato com as funções do programa executivo do sistema pode ser

realizado seguindo-se os passos da seção 3.2 do manual do equipamento

correspondente. Caso haja tempo, siga as instruções do manual colocadas a seguir.

Step 2: Implementing A Controller. Enter the Setup menu and choose Control Algorithm. You should see the sampling time Ts = 0.001768 seconds, and the controller “SISO Comp Lower.alg” loaded. (The file name and its path should appear in the “User Code” field of the dialog box.) If this algorithm is not loaded you should find it via “Load From Disk…“. This controller was designed to compensate for the sensor and actuator nonlinearities, then close a simple linear control loop about the linearized plant of the lower sensor/coil system.

Within the Setup Control Algorithm dialog box, select Implement Algorithm. The control law is now downloaded to the Real-time Controller and immediately implemented. You should see the magnet


7

levitate approximately 2 cm.. If so congratulations! You have implemented closed loop magnetic levitation. Use a ruler or clean eraser end of a pencil to lightly perturb the magnet and verify that the control is stable. (see Sect. 2.3.3, "Safety Checking The Controller") If the magnet has not levitated, click on the Implement Algorithm button again until it is.

You may wish to view the real-time algorithm at this point. It contains a nonlinear actuator inversion function, the control law, and output formatting statements and follows the syntax and formatting protocols of the Executive USR routines as described in Section 2.1.5. You may do so by scrolling the viewer within Setup Control Algorithm. In order to get a closer view you may select Edit Algorithm. This brings you inside the editor in which you will later write real-time routines. If you have entered the editor, select Cancel in the File menu to exit (do not select Save Changes and Quit in case some inadvertent change has been made that would adversely affect the routine).

Step 3: Setting Up Data Acquisition. Enter the Data menu and select Setup Data Acquisition. In this box make sure that the following four items are selected: Commanded Position 1 & 2, and Variables Q10 & Q12. Data sample period should be 5 which means that data will be collected every fifth servo cycle (in this case every 5*0.001768=0.00884 seconds).

Step 4: Executing A Step Input Trajectory & Plotting. Enter the Command menu and select Trajectory 1. In this box verify that Unidirectional moves is not checked; select Step and then Setup. You should see Step Size = 15000, Dwell Time =1000 ms and Number of Repetitions = 2. If not, change the values to correspond to this parameter set. Exit this box and go to the Command menu. This time select Execute and with Normal Data Sampling and Execute Trajectory 1 Only selected, “Run” the trajectory. You should see a step move of approximately 1.5 cm, a dwell of 1 second, a return to nominal position, then a negative–going step of 1 second duration. Wait for the data to be uploaded from the Real-time Controller to the Executive program running on the PC. Now enter the Plotting menu and choose Setup Plot. Select Commanded Position 1 and Variable Q10 as data to be plotted on the left axis, then select Plot Data.

You should see a plot similar to the one shown in Figure 3.2-1. There may be some differences in the details of the response for your particular system due to the use of nominal rather than unit–specific sensor and actuator nonlinearity compensation.

Figure 3.2-1 Step Response at Lower Magnet (Repulsive levitation)

Controle 2 – Aula 8P – Professor Marcio Eisencraft - setembro 2004

1

Aula 8P -Projetos usando LGR e Diagrama de Bode com o Simulink

Bibliografia



294.

Atividade 1

Um sistema com realimentação unitária é mostrado na figura a seguir.

(a) Utilizando o comando rlocus encontre os intervalos de valores de K para os quais:

a1) o sistema é estável e tem resposta não-oscilatória (amortecimento supercrítico).

a2) o sistema é estável e tem resposta oscilatória (amortecimento subcrítico).

a3) o sistema é instável

(b) Simule o seu sistema utilizando o Simulink e verifique o comportamento da resposta ao

degrau para os seguintes valores de K:

b1) K = 1;

b2) K = 4;

b3) K = 10;

b4) K = 50;

b5) K = 70;

b6) K = 100;

Os resultados estão de acordo com o esperado?


2

Atividade 2

Um diagrama de Bode pode ser obtido no Matlab com a função bode mostrada a seguir.

bode(sys,w)


w = vetor contendo os valores de freqüência a serem analisados (opcional)

Um filtro analógico tem função de transferência dada por:

( )1002

1002 ++

=ss

sH

(a) Obtenha o diagrama de Bode deste sistema usando o Matlab.

(b) Implemente este sistema utilizando o simulink e verifique a saída ( ) ( )φω += tAty sin

para uma entrada do tipo ( ) ( )ttx ωsin= . Preencha a tabela a seguir e faça um gráfico de ω

x Alog20 .

ω A Alog20

0,1

0,5

1

5

10

50

100

500

1000

Compare o gráfico obtido com o diagrama de Bode gerado pelo Matlab.


3

Exercícios

1. (2041) O aumento da densidade de trilhas em acionamento de disco de computador

requer o projeto cuidadoso dos sistemas de controle de posicionamento das cabeças. A

função de transferência é

( )( )21+

=s

KsG .

Para 4=K , calcule a magnitude e a fase da resposta em freqüência deste sistema para

∞= ;10;5;1;5,0;1,0;0ω e trace um diagrama polar.

2. Resolver, com a ajuda do Matlab, o Exercício P8.5 da página 358 do [DORF].

Controle 2 – Aula 9P – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2004

1

Aula 9P - Gráficos de Bode utilizando Matlab DORF, R.C. Sistemas de Controle Modernos. 8ª edição, LTC, 2001. Páginas 347 – 352.


427.

Nesta aula trabalharemos com duas funções bastante importantes do Matlab: bode e

logspace. A função bode é usada para gerar um diagrama de Bode e a função

logspace gera um vetor de freqüências espaçadas de forma logarítmica e que pode ser

utilizado com a função bode.

Considere a função de transferência

( ) ( )

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛++

+=

2250

150

6,015,01

1,015

ssss

ssG

O diagrama de Bode correspondente a este sistema é mostrado na figura a seguir.


2

O diagrama consiste do ganho logarítmico em dB por ω em um gráfico e o gráfico da

fase ( )ωφ num segundo gráfico. Assim como no gráfico do lugar das raízes é tentador

confiar exclusivamente no Matlab para obter seus diagramas de Bode.

Trate o Matlab como uma ferramenta num conjunto que pode ser usada para projetar e

analisar sistemas de controle. É essencial desenvolver a capacidade de obter diagramas

de Bode aproximados manualmente. Não há substituto a um claro entendimento da teo-

ria.

Um diagrama de Bode é obtido com a função bode mostrada a seguir.

[mag,phase,w] = bode(sys,w)


w = vetor contendo os valores de freqüência a serem analisados (opcional)

mag = ganho

phase = fase obtida

O diagrama é automaticamente gerado se a função bode é utilizada sem nenhum ar-

gumento à esquerda.

Caso contrário, as características de módulo e fase são passadas para o workspace atra-

vés das variáveis mag e phase. Um diagrama de Bode é obtido com as funções plot

ou semilogx usando mag, phase e w. O vetor w contém o valor das freqüências

em rad/s nas quais o diagrama de Bode foi calculado. Se w não é especificado o Matlab

automaticamente escolherá os valores de freqüência colocando mais pontos nas regiões

em que a resposta em freqüência muda rapidamente.

Se você escolher especificar as freqüências explicitamente é desejável gerar o vetor w

usando a função logspace mostrada a seguir.

w = logspace(a,b,n)

a = expoente inicial (ponto inicial = 10a)

b = expoente final (ponto final = 10b)

n = número de pontos entre 10a e 10b


3

Exemplo

Gere um vetor com 200 pontos espaçados de forma logaritmica 0,1 e 1000.

>> w = logspace(-1,3,200);

O diagrama de Bode da figura anterior pode ser gerado utilizando-se o seguinte script.

%Diagrama de Bode para o exemplo da pagina 1

%

num = 5*[0.1 1];

f1= [1 0]; f2 = [0.5 1]; f3 = [1/2500 .6/50 1];

den = conv(f1, conv(f2, f3));

%

sys = tf(num, den);

bode(sys);

Neste caso a função bode automaticamente selecionou o intervalo de freqüências. Este

intervalo pode ser escolhido pelo usuário utlizando-se a função logspace.

Exercícios

1. [NISE, p. 480] Encontre expressões analíticas para a magnitude e para a resposta de

fase do sistema:

( ) ( )( )( )42

5++

+=

ssssG .

RESPOSTA:


4

2. [NISE, p. 480] Para o sistema do Exercício 1, construa um gráfico logarítmico da mag-

nitude e da fase usando a freqüência em rad/s como abscissa. Não use aproximações as-

sintóticas. Use o Matlab para gerar os gráficos.

RESPOSTA: (comandos Matlab utilizados).

3. [NISE, p. 480] Para o sistema do Exercício 1, esboçar os gráficos assintóticos de Bode

de magnitude e de fase. Compare com os do Exercício 2.

RESPOSTA:


5

4. Obtenha os diagramas de Bode no Matlab usando o comando bode e compare com os

gráficos obtidos nos Exercícios 2 e 3.

RESPOSTA: (comandos Matlab utilizados):

5. [DORF, p.356] Um braço robótico possui uma função de transferência a malha aberta

do controle de uma junta:

( ) ( )( )( )4010

100300++

+=

sssssG

Obtenha o diagrama de Bode com ajuda do Matlab e obtenha a freqüência para a qual a

fase de ( ) ojG 180−=ω . Determinar a magnitude de ( )ωjG nesta freqüência.

RESPOSTA:

6. (2031) A aeronave de Asa Oblíqua (OWA – Oblique Wing Aircraft) experimental pos-

sui uma asa que pivota em torno de um eixo como mostrado na figura a seguir. A asa

permanece em posição normal não oblíqua nas velocidades baixas e pode se deslocar

para a posição oblíqua em vôo supersônico. O sistema de controle possui ( ) 1=sH e

( ) ( )

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

+=

1208

12

15,042 ssss

ssG .

Esboce o diagrama de Bode assintótico deste sistema.


6

7. (2031) (2,0) A resposta em freqüência ( )ωjG de um filtro passa-baixas é mostrada nos

gráficos de Bode a seguir.


7

A entrada do sistema é a senóide ( )ot 30cos20 +ω . Encontre a saída em regime estacionário

para cada freqüência de entrada:

(a) 2,0=ω

(b) 2=ω

(c) 20=ω .

Controle 2 – Aula 10P – Professor Marcio Eisencraft – abril 2004

1

Aula 10P - Margem de ganho e de fase com o Matlab e ltiview

Bibliografia



1. Estabilidade através dos diagramas de Bode

Na Aula 9T, discutimos o Teorema da Estabilidade de Nyquist que permite determinar

se certo sistema em malha fechada será estável conhecendo o diagrama de Bode do sis-

tema em malha aberta.

Teorema da Estabilidade de Nyquist: Dado um sistema estável em malha aberta, o siste-

ma em malha fechada com realimentação negativa obtida a partir dele será estável se a

resposta em freqüência do sistema a malha aberta tiver um ganho menor do que a uni-

dade (0dB) quando a fase for 180°.

Usando este critério, podemos determinar facilmente a estabilidade de um sistema a

malha fechada usando o comando Matlab margin(sys). Seja por exemplo, resolver o

Exercício 1 resolvido na Aula 9T.

Exercício Exemplo

1. [NISE, p. 453] Use os gráficos de Bode para determinar a faixa de valores de K para os

quais o sistema com retroação unitária mostrado na Figura 1 a seguir é estável. Seja

( ) ( )( )( )542 +++=

sssKsG .

Figura 1 – Sistema de controle com retroação unitária. [NISE]


2

Resposta:

Montamos a função de transferência ( )sG supondo 1=K e usamos o comando

margin(G):

>> G = tf(1, poly([-2 -4 -5]));

>> margin(G)

O gráfico mostra que no ponto em que a fase vale -180° (em 16,6=ω rad/s), a resposta em

freqüência em magnitude vale -51,5dB. Assim, K poderia ser aumentado em 51,5dB (ou

multiplicado por 8,37510 205,51

= ) que o sistema ainda permaneceria estável pelo teorema de

Nyquist.

Assim, o sistema em malha fechada será estável para 8,3750 << K .

2. Calculando as margens de ganho e de fase

Também na Aula 9T estudamos as definições de margem de fase e de ganho:


3

Margem de ganho, MG : A margem de ganho é a mudança no valor do ganho a malha

aberta no ponto com fase de 180°, expressa em decibéis (dB) necessária para tornar ins-

tável o sistema com malha fechada.

Margem de fase, MΦ : A margem de fase é a mudança no valor da fase da malha aberta

no ponto com ganho unitário necessária para tornar o sistema instável o sistema a malha

fechada.

Figura 2 – Margens de ganho e fase nos diagramas de Bode. [NISE].

Para calcular as margens de ganho e de fase, podemos usar o comando margin como

fizemos no Exercício 1. Porém, a título de ilustração, usaremos a ferramenta ltiview

do Matlab para resolver o Exercício 3 da Aula 9T.

Exercício Exemplo

2. [NISE, p. 454] Encontre as margens de ganho e fase para o sistema do Exercício 1 para

200=K .

Resposta:

Primeiramente, criamos a função de transferência em questão na linha de comando.

>> G = tf(200, poly([-2 -4 -5]));


4

Em seguida, executamos os seguintes passos para utilizar o ltiview:

A. Acessar a janela: A janela LTI Viewer, pode ser acessada digitando ltiview na

janela de comando do Matlab.

B. Selecionar funções de transferência LIT para o LTI Viewer: Escolha a opção

Import no Menu File do LTI Viewer e selecione o objeto LIT cujas respostas você

quer analisar com o LTI Viewer.

C. Selecionar o objeto LIT para obter o próximo gráfico: Clique com o botão direito

do mouse em qualquer parte da área do gráfico do LTI Viewer para obter um menu

instantâneo. Na opção Systems, selecione ou desmarque os objetos cujos gráficos

você quer ou não mostrar no LTI Viewer.

Em seguida, use o menu obtido com o clique do botão direito do mouse e selecione Bode

na opção Plot Type.

Para achar as margens de ganho e de fase, bem como as freqüências de margem de ganho e

de margem de fase, use o menu obtido com o clique do botão direito do mouse e selecione

Stability (All Crossing) na opção Characteristics.

Use o menu obtido com o clique do botão direito do mouse e selecione Grid. A figura a

seguir mostra o resultado da janela LTI Viewer juntamente com as margens de ganho e

fase.

Assim, para este sistema temos 53,5=MG dB e oM 5,23=Φ .


5

Exercícios

3. [NISE, p.487] O movimento de rolamento de um navio pode ser estabilizado com um

sistema de controle. Uma tensão aplicada aos atuadores de superfícies hidrodinâmicas

cria um torque de rolamento que é aplicado ao navio. O navio, em resposta ao torque de

rolamento, produz um ângulo de rolamento. Admitindo o diagrama de blocos para o sis-

tema de controle de rolamento mostrado na Figura 3 a seguir, determine as margens de

ganho e de fase para o sistema.

Figura 3 – Diagrama de blocos do sistema de estabilização de rolamento de navio [NISE].

RESOLUÇÃO: (Comandos utilizados, comentários e respostas).

4. [DORF, p. 422 - modificado] Uma aeronave de pouso e decolagem verticais (VTOL) é

um veículo inerentemente instável e requer um sistema automático de estabilização.

Projetou-se um sistema de estabilização de altitude para a aeronave VTOL K-16B do

Exército dos Estados Unidos, mostrado sob forma de diagrama de blocos na Figura 4 a

seguir. Na velocidade de 40 nós (cerca de 74km/h), a dinâmica do veículo pode ser re-

presentada aproximadamente pela função de transferência:

( ) ( )36,001,010

2 ++=

sssG .

O atuador e o filtro podem ser representados pela função de transferência


6

( ) ( )( )3

711 +

+=

ssKsG

(a) Obter os diagramas de Bode da função de transferência de malha ( ) ( ) ( )sHsGsG1 quan-

do o ganho for 21 =K .

(b) Determine as margens de ganho e de fase deste sistema.

Figura 4 – Sistema de estabilização de uma nave VTOL [DORF].

RESOLUÇÃO: (Comandos utilizados, comentários e respostas).

5. Resolver o Exercício P9.8 da página 422 do [DORF].


Altitude C(s)

Controle 2 – Aula 11P – Professor Marcio Eisencraft – outubro 2004

1

Aula 11P - Resposta em freqüência usando o kit ECP

Bibliografia


[MANUAL] Manual for Model 730 – Magnetic Levitation System, ECP, 1999.

1. Objetivo

Modelar o sistema levitador magnético por uma função de transferência de 2ª ordem a

partir de sua resposta em freqüência.

2. Preparação para experiência

Vimos nas últimas aulas que a resposta em freqüência de um sistema de 2ª ordem com

pólos complexos tem o aspecto mostrado na Figura 1 a seguir.

Figura 1 – Resposta em freqüência de um sistema de 2ª ordem com pólos complexos [NI-

SE].

Para um sistema cuja função de transferência é:

( )( ) ( ) 22

2

2 nn

n

ssT

sRsC

ωζωω

++== ,


2

temos:

2121

ζζ −=rM

221 ζωω −= nr .

Assim, a partir da resposta em freqüência de módulo, pode-se obter a fun-

ção de transferência em malha fechada ( )sT .

Exercícios

1. A partir das expressões acima, deduza fórmulas para o cálculo de nω e ζ a

partir de rM e rω .


3

2. Um sistema de 2ª ordem tem um diagrama de Bode de módulo mostrado a

seguir:

Utilizando as fórmulas deduzidas no Exercício 1, determine a função de trans-

ferência ( )sT deste sistema.


4

3. Procedimento Experimental

O procedimento experimental consiste nos seguintes passos:

1. Ligue o computador e a alimentação do sistema Levitador Magnético (Ma-

gLev) como discutido na Aula 6P.

2. Carregue o controle controle211p.alg e implemente-o como discuti-

do na Aula 6P. O magneto deverá levitar a uma altura em torno de 2cm.

3. Para obter a resposta em freqüência, colocaremos como entrada do sistema

um “Sine sweep” que é um seno com freqüência crescente no tempo.


1

Aula 12P – Projeto da resposta transitória a partir da resposta em freqüência

Bibliografia



470.

Lembrando a Aula 10T, vimos que a ressonância para um sistema de 2ª ordem ocorre

em:

2121

ζζ −=rM

221 ζωω −= nr .

A partir daí podemos obter as características da resposta transitória.


Tempo de subida

(tempo consumido em passar de 10

a 90% da magnitude do degrau de

entrada)

nRT

ωζ 60,016,2 +

=

U.P.


2


(tempo a partir do qual a resposta

permanece em torno de 2% do valor

final)

nST

ζω4

=

Ultrapassagem porcentual

(porcentagem acima do valor final

alcançado pela resposta transitória)

21.. ζπζ −−= ePU

Instante de pico

(Instante em que ocorre o máximo

da resposta transitória)

21 ζω

π

−=

n

PT

Figura 2 – Relação entre ultrapassagem e amortecimento [FRANKLIN].

• Vimos também a seguinte definição:

Banda passante da resposta em freqüência é definida como a freqüência Bω em que o va-

lor da curva de magnitude da resposta em freqüência está 3dB abaixo de seu valor na fre-

qüência zero (veja a Figura 1).

U.P. %


3

( ) 24421 242 +−+−= ζζζωωnB .

1. [NISE, p. 486] Um acionador de disco flexível tem o diagrama de blocos mostrado na

Figura 3 a seguir. Use as técnicas de resposta em freqüência para determinar o seguinte:

(a) Margem de ganho, margem de fase, freqüência de 0dB, freqüência de 180° e a banda

passante a malha fechada.

(b) Percentual de ultrapassagem, tempo de assentamento e o instante de pico.

(c) Usando a função step ou o ltiview simule a resposta ao degrau a malha fechada e

compare os resultados com os obtidos em (b).

Figura 3 – Diagrama de blocos do acionador de disco flexível [NISE].

Resolução (comandos utilizados e resultados obtidos):


4

2. [NISE, p.487] O dispositivo de carga acoplada (CCD) usado em câmaras de vídeo para

converter a imagem em sinais elétricos pode ser usado como parte de um sistema de fo-

co automático em câmaras fotográficas de 35mm. A focalização automática pode ser

implementada focalizando o centro da imagem em uma matriz CCD através de duas

lentes. A separação das duas imagens no CCD é relacionada com o foco. A câmara sen-

te a separação e um computador aciona as lentes e focaliza a imagem. O sistema de fo-

co automático é um controle de posicionamento, onde a posição desejada das lentes é

uma entrada selecionada apontando a câmara para o objeto. A saída é a posição real das

lentes. A câmara Nikon na Figura 4(a) a seguir usa um sistema automático de focaliza-

ção CCD. A Figura 4(b) mostra o recurso automático de focalização representado como

um sistema de controle de posicionamento. Admitindo o modelo simplificado mostrado

na Figura 4(c), desenhe os diagramas de Bode e estime a ultrapassagem percentual para

uma entrada em degrau.

Figura 4 - Vista em corte de uma câmara fotográfica Nikon 35mm mostrando partes do sistema CCD de foca-

lização automática; (b) diagrama de blocos funcional; (c) diagrama de blocos [NISE].


5

Para fazer este exercício, você precisa usar o seguinte fato [NISE]: existe uma relação entre

a margem de fase do sistema em malha aberta e o amortecimento em malha fechada. Ela é

dada pela fórmula:

42 412

2arctanζζ

ζ

++−=ΦM .

A Figura 5 a seguir mostra um gráfico desta relação.

Figura 5 – Margem de fase em malha aberta em função da relação de amortecimento em malha fechada

[NISE].



6

3. [OGATA, p. 496] Considere o sistema mostrado na Figura 6 a seguir. Obter o diagrama

de Bode (amplitude e fase) da função de transferência a malha aberta e determinar o va-

lor de K para que a margem de fase seja de 50°. Qual a margem de ganho para este va-

lor de K ?

Figura 6 – Sistema de controle do Exercício 3.


4. [DORF, p. 429] O controle de uma máquina de fabricar papel é bastante complexo. O

objetivo é depositar a quantidade adequada de fibra em suspensão (polpa) na velocidade

correta e de modo uniforme. Desidratação, deposição da fibra, prensagem e secagem

ocorrem então em seqüência. O controle do peso do papel por unidade de área é muito

importante. Escolher K de modo que no sistema de controle mostrado na Figura 7 a

margem de fase seja o40≥ e a margem de ganho 10≥ dB. Traçar a resposta ao degrau

para o valor escolhido. Determinar a banda passante do sistema a malha fechada.

Figura 7 – Controle da máquina para fabricar papel [DORF]


7


5. Resolver o exercício E.9.10 da página 418 do [DORF].

6. Resolver o exercício E.9.15 da página 418 do [DORF].


1

Aula 13P - Exercícios sobre Transformada Z Bibliografia


LATHI, B. P. Signal Processing & Linear Systems. Berkeley-Cambridge, 1998. Páginas 668-680.

1. Deduza as transformadas Z das funções de tempo listadas a seguir. Não utilize tabelas.

(a) ( )tue at−

(b) ( )tu

Resolução:

2. Deduza a transformada Z de ( ) ( )tuttf ⋅= ωsin .

Resolução:


2

3. Determine ( )kTf se ( ) ( )( )( )( )( )9,07,05,0

21−−−

++=

zzzzzzzF .

Resolução:

4. Para cada ( )zF , obtenha ( )kTf usando expansão em frações parciais:

(a) ( ) ( )( )( )( )( )8,06,04,0

53−−−

++=

zzzzzzzF

(b) ( ) ( )( )( )( )( )9,05,01,0

4,02,0−−−

++=

zzzzzzF

Resolução:


3

5. Para cada ( )zF no problema 4, faça o seguinte:

(a) Obtenha ( )kTf utilizando expansão em séries de potência.

(b) Verifique os resultados contra as respostas do exercício 4.

Resolução:


4

6. [DiSTEFANO, p. 90] Encontre a transformada Z inversa de ( ) ( )( )211

++=

zzzF .

7. [LATHI, p. 672] Deduza a transformada Z de ( ) ( )kTukTβcos sem usar a tabela.

Controle 2 – Aula 14P – Professor Marcio Eisencraft - outubro 2004

1

Aula 14P - Funções de Transferência Digital usando o Matlab

Bibliografia



Exercício preliminar

Dado um z.o.h. (zero order holder) em cascata com ( )12

1 ++

=sssG , ou seja,

( ) ( )( )1

21++−

=−

ss

sesG

Ts

determinar a função de transferência de dados amostrados ( )zG se o período de amostra-

gem, T , for 0,5s.

Resolução:

Atividade 1

O seguinte script Matlab converte ( )sG em cascata com um extrapolador de ordem zero em

( )zG . Este programa resolve o Exercício preliminar acima usando o Matlab.

Podemos converter ( )sG1 em cascata com um extrapolador de ordem zero (z.o.h.) em ( )zG

usando o comando do MATLAB

G = c2d(G1,T,'zoh'),

em que G1 é um objeto de sistema contínuo LIT e G é um objeto de sistema amostrado LIT.

T é o intervalo de amostragem e 'zoh' é um método de transformação que supõe ( )sG1 em


2

cascata com um z.o.h. Colocamos simplesmente ( )sG1 no comando (o z.o.h. é levado em

conta automaticamente) e o comando retorna ( )zG . Apliquemos o conceito ao Exemplo

feito na Aula 13T em que ( )12

1 ++

=sssG .

Você entrará com o valor de T através do teclado.

T=input('Digite o valor de T '); % Entra com o intervalo de amostragem.

numg1s=[1 2]; % Define o numerador de G1(s).

deng1s=[1 1]; % Define o denominador de G1(s).

'G1(s)' % Exibe título.

G1=tf(numg1s,deng1s) % Cria e mostra G1(s).

'G(z)' % Exibe título.

G=c2d(G1,T,'zoh') % Converte G1(s) em cascata com

% um z.o.h. em G(z) e mostra o resultado.

pause

Utilize o script acima e compare o resultado obtido no exercício preliminar.

Comentários:

Atividade 2 Nesta atividade utilizaremos o Matlab para converter ( )sG em ( )zG quando ( )sG não está

em cascata com um extrapolador de ordem zero. Isto é o mesmo que determinar a transfor-

mada z de ( )sG .

Também podemos utilizar o MATLAB para converter G(s) em G(z) quando G(s) não está

em cascata com um z.o.h. O comando H = c2d(F,T,'zoh') transforma F(s) em cas-

cata com um z.o.h. em H(z), onde H(z) = ((z - 1)/z)*Z{F(s)/s}.

Se fizermos F(s) = sG(s), o comando resolve H(z), onde H(z) = ((z - 1)/z)*Z{G(s)}. Portan-

to, Z{G(s)} = (z/[z - 1])*H(z).

Em resumo, entre com F(s) = sG(s) e multiplique o resultado de H = c2d(F,T,'zoh')

por (z/[z -1]). Este processo é equivalente a obter a transformada z.


3

Vamos converter

( )136

32 ++

+=

ssssG

em G(z).

Entraremos com o valor de T, intervalo de amostragem, via teclado. T é usado para formar

H(z).

Usamos um intervalo de amostragem não especificado, T =[], para formar z/(z -1).

T=input('Digite o valor de T'); % Entra com o intervalo de amostragem. numgs=[1 3]; % Define o numerador de G(s). dengs=[1 6 13]; % Define o denominador de G(s). 'G(s)' % Exibe título. Gs=tf(numgs,dengs) % Cria e mostra G(s). Fs=Gs*tf([1 0],1); % Cria F(s)=sG(s). Fs=minreal(Fs); % Cancela pólos e zeros comuns. Hz=c2d(Fs,T,'zoh'); % Converte F(s) em H(z) supondo o % a presença de um z.o.h. Gz=Hz*tf([1 0],[1 -1],[]); % Forma G(z)=H(z)*z/(z-1). 'G(z)' % Exibe título. Gz=minreal(Gz) % Cancela pólos e zeros comuns. pause Responda: Qual o ( )zG que você obteve? Utilize 5,0=T s.

Atividade 3 Nesta atividade você aprenderá a criar funções de transferência digitais diretamente.

Método Vetorial, Forma Polinomial:

Uma função de transferência digital pode ser expressa como um polinômio em numerador

dividido por um polinômio em denominador, isto é, F(z) = N(z)/D(z). O numerador, N(z), é

representado por um vetor, numf, que contém os coeficientes de N(z). De modo semelhan-

te, o denominador, D(z), é representado por um vetor, denf, que contém os coeficientes de

D(z).

Formamos F(z) com o comando

F = tf(numf,denf,T)


4

em que T é o intervalo de amostragem. F é chamado um objeto linear e invariante no tempo

(LIT).

Este objeto, ou a função de transferência, pode ser usado com entidade em outras opera-

ções, como adição ou multiplicação. Mostramos isto com

( ) ( )02,03,072150

2

2

+−++

=zz

zzzF

Usamos um intervalo de amostragem não especificado, T = []. Observe que depois de exe-

cutar o comando tf, o MATLAB imprime na tela a função de transferência. 'Método Vetorial, Forma Polinomial' % Exibe título. numf=150*[1 2 7] % Armazena 150(z^2+2z+7) em numf e % mostra o resultado na tela. denf=[1 -0.3 0.02 ] % Armazena (z^2-0.3z+0.02) em denf e % mostra o resultado na tela. 'F(z)' % Exibe título. F=tf(numf,denf,[]) % Cria e mostra F(z). clear % Apaga variáveis anteriores da área de trabalho.

Responda:

Você obteve o resultado desejado?

Método Vetorial, Forma Fatorada

Também podemos criar funções de transferência digitais LIT se o numerador e o denomi-

nador estiverem representados na forma fatorada. Fazemos isto usando os vetores que con-

têm as raízes do numerador e do denominador.

Assim, G(z) = K*N(z)/D(z) pode ser expresso como um objeto LIT, usando o comando

G = zpk(numg,deng,K,T)

em que numg é um vetor contendo as raízes de N(z) e deng é um vetor contendo as raízes

de D(z), K é o ganho e T é o intervalo de amostragem. A expressão zpk significa zeros

(raízes do numerador), pólos (raízes do denominador) e ganho, K.

Mostramos isto com

( ) ( )( )( )( )( )8,07,05,0

4220−−−

++=

zzzzzzG

e um intervalo de amostragem não especificado T = []. Observe que ao executar o comando

zpk, o MATLAB imprime, na tela, a função de transferência.


5

'Método Vetorial, Forma Fatorada' % Exibe título. numg=[-2 -4] % Armazena (s+2)(s+4) em numg e % mostra o resultado na tela. deng=[0.5 0.7 0.8] % Armazena (s-0.5)(s-0.7)(s-0.8) em deng e % mostra o resultado na tela. K=20 % Define K. 'G(z)' % Exibe título. G=zpk(numg,deng,K,[]) % Cria e mostra G(z). clear % Apaga variáveis anteriores da área de trabalho.

Responda:

Você obteve o resultado desejado?

Método da Expressão Racional em z, Forma Polinomial.

Este método permite que você digite a função de transferência como a escreveria normal-

mente. A instrução

z = tf('z')

deve preceder a função de transferência se você quiser criar uma função de transferência

LIT na forma polinomial equivalente usando G = tf(numg,deng,T).

Método da Expressão Racional em z, Forma Fatorada

Este método permite que você digite a função de transferência como a escreveria normal-

mente. A instrução

z = zpk('z')

deve preceder a função de transferência se você quiser criar uma função de transferência

LIT na forma fatorada equivalente usando G = zpk(numg,deng,K,T).

Em ambos os métodos da expressão racional a função de transferência pode ser digitada

sob qualquer forma independentemente de se usar z = tf('z') ou z = zpk('z'). A

diferença está na função de transferência LIT criada. Usamos os mesmos exemplos anterio-

res para demonstrar os métodos da expressão racional em z.

'Método da Expressão Racional, Forma Polinomial' % Exibe título.


6

z=tf('z') % Define z como um objeto LTI na forma polinomial. F=150*(z^2+2*z+7)/(z^2-0.3*z+0.02) % Forma F(z) como uma função de transferência LIT % na forma polinomial. G=20*(z+2)*(z+4)/[(z-0.5)*(z-0.7)*(z-0.8)] % Forma G(z) como uma função de transferência LIT % na forma polinomial. clear % Apaga variáveis anteriores da área de trabalho. 'Método da Expressão Racional, Forma Fatorada' % Exibe título. z=zpk('z') % Define z como um objeto LIT na forma fatorada. F=150*(z^2+2*z+7)/(z^2-0.3*z+0.02) % Forma F(z) como uma função de transferência LIT % na forma fatorada. G=20*(z+2)*(z+4)/[(z-0.5)*(z-0.7)*(z-0.8)] % Forma G(z) como uma função de transferência LIT % na forma fatorada. pause Responda:

Você obteve os resultados esperados?

Atividade 4 Nesta Atividade veremos como utilizar o Matlab para converter ( )zG em ( )sG quando

( )sG não estiver em cascata com um extrapolador de ordem zero. Isto é o mesmo que de-

terminar a transformada de Laplace de ( )zG .

Também podemos utilizar o MATLAB para converter G(z) em G(s) quando G(s) não esti-

ver em cascata com um z.o.h. Primeiro criamos uma função de transferência amostrada

LIT, como discutido na Atividade anterior. O comando

F = d2c(H,T,'zoh')

transforma H(z) em F(s) em cascata com um z.o.h., onde H(z) = ((z - 1)/z)*Z{F(s)/s}. Se

considerarmos F(s) = sG(s), o comando resolve para sG(s), dado H(z). Finalmente sG(s)/s =

G(s) conduz ao resultado final.

Em resumo, forme H(z), em que H(z)= ((z - 1)/z)*G(z). Use F = d2c(H,T,'zoh') para obter

F(s) = sG(s). Divida o resultado por s e obtenha G(s).

Convertemos

( )3,0−

=z

zzG

em G(s). Entraremos com o valor de T, intervalo de amostragem, através do teclado.


7

T=input('Digite o valor de T'); % Entra com o intervalo de amostragem. numgz=[1 0]; % Define o numerador de G(z). dengz=[1 -.3]; % Define o denominador de G(z). 'G(z)' % Exibe título. Gz=tf(numgz,dengz,T) % Cria e mostra G(z). Hz=Gz*tf([1 -1],[1 0],T); % Cria H(z)=((z-1)/z)*G(z). Hz=minreal(Hz); % Cancela pólos e zeros comuns. Fs=d2c(Hz,'zoh'); % Converte H(z) em F(s)=sG(s). Gs=Fs*tf(1,[1 0]); % Cria G(s)=F(s)(1/s). 'G(s)' % Exibe título. Gs=minreal(Gs) % Cancela pólos e zeros comuns. pause

Responda:

Qual G(s) você obteve? Utilize 2,0=T s Exercícios 1. Usando a expansão em frações parciais e a tabela dada, determine a transformada Z

para cada G(s) a seguir se 5,0=T s. Use o Matlab para conferir seus resultados.

(a) ( ) ( )( )( )52

4++

+=

ssssG

(b) ( ) ( )( )( )( )43

21++++

=sss

sssG

RESOLUÇÃO:


8

2. (3032) Considerando um período de amostragem 1=T segundo, pede-se:

(a) Obtenha a Transformada z de ( ) ( )ttf sin= usando a definição.

(b) Obtenha a função de transferência pulsada ( )zG para ( ) ( )( )( )43

1++

+=

sssssG .

(c) Escreva uma seqüência de comandos Matlab que você pode usar para resolver o item

anterior.


1

Aula 15P - Simulação de sistemas digitais no Simulink Bibliografia



Exercícios de preparação

1. Dada o seguinte sistema, determine a sua resposta ao degrau, ou seja, calcule ( )tc para

( ) ( )tutr = . Determine os valores de ( )tr nos instantes =t 0; 0,5; 1; 1,5 e 2 segundos.

Resolução:

2. A entrada e a saída do sistema do Exercício 1 é agora amostrada com período de amos-

tragem 5,0=T segundo. Obtemos assim, o seguinte diagrama de blocos. Obtenha

( ) ( )( )zRzCzG = .

Resolução:


2

3. Obtenha a saída amostrada do sistema anterior para uma entrada degrau amostrada. Ou

seja, determine ( )kTc para ( ) ( )kTukTr = . Determine o valor de ( )kTr nos instantes

TeTTT 43,2,,0 . Compare com os resultados do Exercício 1.

Resolução:

Simulação

Simule no Simulink os sistemas dos Exercícios 1 e 2. Obtenha a resposta ao degrau em

cada caso e compare com os resultados teóricos obtidos. Não esqueça de acertar o intervalo

de amostragem sampling time nos blocos digitais.

Resultados e comentários


3

4. Resolver Exercício 8(a) da página 599 do [NISE].

5. Resolver Exercício 8(b) da página 599 do [NISE].

Figura 5 - Tabela de Transformadas [NISE].

Controle 2 – Aula 16P – Professor Marcio Eisencraft - novembro 2004

1

Aula 16P - Exemplo de estabilidade em sistemas digitais


DiSTEFANO, J. J.; STUBBERUD, A. R.; WILLIAMS, I. J. Feedback and Control Systems. 2ª edição,

McGrawHill, 1995. Páginas 117-118.

Exercício (Exemplo 13.6 – Nise) O míssil mostrado na figura a seguir pode ser controlado aerodinamicamente por meio de

torques criados pela deflexão de superfícies de controle sobre o seu corpo.

Figura 1 – Míssil analisado [NISE].

Os comandos para defletir estas superfícies de controle vêm de um computador que usa

dados de rastreamento juntamente com as equações de guiamento programadas para deter-

minar se o míssil segue a trajetória. A informação proveniente das equações de guiamento é

usada para desenvolver comandos de controle de vôo para o míssil. Um modelo simplifica-

do é mostrado a seguir.

Figura 2 – Diagrama de blocos do sistema de controle do míssil [NISE].


2

Aqui o computador executa a função de controlador usando a informação de guiamento

para desenvolver comandos de entrada para o míssil. Um acelerômetro no míssil detecta a

aceleração real, a qual é enviada ao computador. Determine a função de transferência digi-

tal a malha fechada para este sistema e determine se o sistema é estável para 20=K e

100=K com um período de amostragem 1,0=T s. Determine também o intervalo de valo-

res de K para o qual o sistema é estável.

Solução A entrada para o sistema de controle é um comando de aceleração desenvolvido pelo com-

putador. O computador pode ser modelado por um amostrador e retentor. O modelo do pla-

no s é mostrado a seguir.

Figura 3 - Modelo no domínio s. [NISE].

O primeiro passo na obtenção do modelo no plano z é encontrar ( )zG , a função de transfe-

rência do percurso direto. A partir da figura anterior,

( ) ( )assKa

sesG

sT

+−

=−1

em que 27=a . A transformada z, ( )zG é ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+− −

assKaz 2

11 .

O termo ( )assKa+2 é expandido primeiramente em frações parciais, após o que determina-

mos a transformada Z de cada um dos termos com base na Tabela passada. Portanto,


3

( ) ( )

( )

( )( )

( )( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

−−−

−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

−−

−=

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

++−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+

−

−

−

aT

aT

aT

ezzaze

zTzK

ezaz

zaz

zTzK

asa

sa

sK

assaK

assKa

11

1

11

111

2

2

222

Portanto,

( )( ) ( )

( )( )⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−−

= −

−−

aT

aTaT

ezzaezezT

KzG1

11

Fazendo 1,0=T e 27=a , obtemos:

( ) ( )( )( )0672,01

02783,00655,0−−+

=zzzKzG

Finalmente, obtemos a função de transferência a malha fechada, ( )zT , do sistema com re-

troação unitária:

( ) ( )( )

( )( ) ( )0672,002783,00672,10655,0

02783,00655,01 2 ++−+

+=

+=

KzKzzK

zGzGzT

A estabilidade do sistema é obtida determinando-se as raízes do denominador. Para

20=K , as raízes do denominador são 78,012,0 j± . O sistema é, portanto, estável para

20=K uma vez que os pólos estão no interior do círculo unitário. Para 100=K , os pólos

estão em -0,58 e -4,9. Como um dos pólos está fora do círculo unitário, o sistema é instável

para 100=K .

Para encontrar o intervalo de valores de K para o qual o sistema é estável devemos encon-

trar os valores de K para os quais as raízes da equação

( ) ( ) 00672,002783,00672,10655,02 =++−+ KzKz


4

tem módulo menor do que 1. A solução analítica deste problema não é muito simples. Va-

mos explorá-lo numericamente. O programa Matlab a seguir fornece o maior módulo entre

as raízes deste polinômio para valores de K entre 0,1 e 100 com passo de 0,1.

clear all; numgas=27; % Define o numerador de Ga(s). dengas=[1 27 0]; % Define o denominador de Ga(s). rm =[]; Ga=tf(numgas,dengas) % Cria e mostra Ga(s). Gz=c2d(Ga,0.1,'zoh') % Obtém e mostra G(z) supondo Ga(s) em % cascata com um z.o.h.. for K=0.1:0.1:100 % Define a faixa de valores de K para investigar % a estabilidade. Tz=feedback(K*Gz,1); % Obtém T(z). r=pole(Tz); % Obtém os pólos para este valor de K. rm=[rm max(abs(r))]; % Determina o pólo com o maior valor absoluto % para este valor de K. end; % Fim de for. K = 0.1:0.1:100; % Valores utilizados plot(K,rm); %faz um gráfico de rm X K grid; yabel('Maior modulo de polo'); xlabel('K'); % Linha para marcar transicao de estabilidade hold on; plot([0.1 100], [1 1], 'r-'); hold off;

O gráfico obtido é o seguinte:


5

Vemos então que aproximadamente para 330 << K temos um sistema estável, o que bate

com os resultados obtidos anteriormente.

Este problema pode também ser visto como um problema de LGR em que queremos deter-

minar os pólos em malha fechada do sistema ( )zGz . O comando rlocus(Gz) pode tam-

bém ser utilizado para obtermos o mesmo resultado. >> rlocus(Gz)

>> rlocfind

>> rlocfind(Gz)

Select a point in the graphics window

selected_point =

-0.5573 + 0.8270i

ans =

33.3341

1. (3041) [PHILIPS, p.572] A Figura 3 a seguir é o diagrama de blocos de um sistema de

controle que controla a temperatura de um líquido em um contêiner, sendo K um nú-

mero real.


6

Figura 3 – Sistema de controle de temperatura [PHILIPS].

(a) Determine o conjunto de valores de K para o qual o sistema é estável.

(b) Para 1=K , determine a função de transferência ( ) ( )( )zRzCzT = .

(c) Ainda para 1=K determine a resposta ao degrau deste sistema.

(d) Se o amostrador e o extrapolador fossem removidos resultando num sistema de tempo

contínuo, qual seria o conjunto de valores de K que garantiriam a estabilidade?


1

Aula 17P - Exercício 1. A figura a seguir representa dois computadores ligados entre si por um canal analógico

( )sGC , um cabo coaxial, por exemplo.

O sinal r*(t) gerado no Computador A é uma seqüência de impulsos de valor 1 ou -1. Este

sinal passa por um extrapolador de ordem zero (z.o.h.) e é enviado através do canal analó-

gico ( )sGC . No Computador B, a seqüência c*(t) é uma versão distorcida da seqüência ori-

ginal r*(t). Considere que os amostradores estão sincronizados e tem um período de amos-

tragem 0>T . Supondo um canal do tipo ( )as

sGC +=

1 sendo a um número real, pede-se:

(a) Determine a função de transferência pulsada do sistema ( ) ( )( )zRzCzG = em função de T e

a .

(b) Determine o intervalo de valores de a para o qual este sistema é estável.

(c) Considerando 125,0=T segundos e 1=a , determine c*(t) nos instantes

TTTTt 4,3,2,,0= quando r*(t) for uma seqüência infinita de 1’s começando em

0=t .

(d) Considerando ainda a seqüência r*(t) do item anterior, depois de quantos segundos a

diferença entre c*(t) e r*(t) é menor do que 1%?

Extrapolador GC(s) RX T T

r*(t) c*(t)

Computador A Computador B Canal

TX

Controle 2 - Lista de Exercícios Suplementares 1 – Professor Marcio Eisencraft – agosto 2004

1

Controle 2

Lista de Exercícios Suplementares 1 – 2°semestre 2004

1. Para cada lugar das raízes na figura a seguir, diga se o esboço pode ser ou não de um

lugar das raízes. Se o esboço não pode ser um lugar das raízes, explique o porquê. For-

neça todos os motivos.

Figura 1 – Exercício um [NISE]

2. Esboce a forma geral do lugar das raízes para cada um dos diagramas de pólos e zeros a

malha aberta mostrados a seguir.


2

Figura 2 – Exercício dois [NISE]


3

3. Esboce o lugar das raízes para o sistema com retroação unitária mostrado na figura a

seguir para as seguintes funções de transferência:

(a) ( ) ( )( )258

622 ++

++=

ssssKsG

(b) ( ) ( )( )1

42

2

++

=ssKsG

(c) ( ) ( )2

2 1ssKsG +

=

(d) ( )( ) ( )41 3 ++

=ss

KsG

4. Para o diagrama de pólos e zeros a malha aberta mostrado a seguir, esboce o lugar das

raízes e encontre o ponto de saída.

5. Esboce o lugar das raízes do sistema com retroação unitária mostrado na figura a seguir

em que


4

( ) ( )( )( )( )65

21++++

=ssssKsG

e encontre os pontos de entrada e de saída.

6. O polinômio característico de um sistema de controle com retroação, que é o denomi-

nador da função de transferência a malha fechada, é dado por

( ) KsKss 1023 23 ++++ . Esboce o lugar das raízes para este sistema.

7. A figura a seguir mostra os pólos e zeros a malha aberta. Esboce cada uma das duas

possibilidades. Esteja ciente de que pode existir apenas um único lugar verdadeiro das

raízes para pólos e zeros a malha aberta específicos.

8. Construa o lugar das raízes para o sistema com retroação unitária mostrado na figura a

seguir em que

( ) ( )( )( )( )33

21 2

−+++

=ssssKsG


5

Para que faixa de K os pólos estarão no semiplano s da direita?

9. Para o sistema com retroação unitária da figura a seguir, em que:

( ) ( )( )1

12

2

−+

=ssKsG

esboce o lugar das raízes e diga para que valores de K o sistema é estável e instável.

10. Esboce o lugar das raízes para o sistema com retroação unitária da figura a seguir em

que

( ) ( )( )( )43

22

+++

=ss

sKsG

Dê os valores para todos os pontos críticos de interesse. O sistema é sempre instável? Se

não, para que faixa de valores de K ?

11. (1032) Considere um sistema com a configuração mostrada a seguir:


6

O lugar das raízes para este sistema em função do ganho K é mostrado na seguinte figura.

Pede-se:

(a) Determine ( )sG .

(b) Escreva um conjunto de comandos que você poderia utilizar no Matlab para gerar o

gráfico da figura acima.

(c) Determine o valor do ganho K que fará o sistema marginalmente estável.

(d) Determine o valor de ganho para o qual a função de transferência a malha fechada terá

um pólo sobre o eixo real em -10.

RESP: (a) ( ) ( )( )( )2461

+++=

ssssG ; (c) 480; (d) 192.

12. (1032) Dado o sistema com retroação unitária da figura a seguir:


7

em que

( ) ( )( )( )( )432

1+++

+=

sssssKsG ,

pede-se:

(a) Esboce o lugar das raízes.

(b) Determine o intervalo do ganho K que torna o sistema estável.

(c) Determine o valor do ganho para o qual a função de transferência a malha fechada terá

um pólo sobre o eixo real em -5.

RESP: (b) 79,1400 ≤≤ K ; (c) 7,5.

13. (1032) Para o sistema com retroação unitária da figura a seguir:

em que ( ) ( )( )( )1

21+

−−=

ssssKsG , pede-se:

(a) Esboce o lugar das raízes;

(b) Determine os pontos de intersecção com o eixo ωj

(c) Determine a faixa de ganho para manter o sistema estável.

(d) Encontre o valor de K para produzir um sistema estável com pólos complexos de se-

gunda ordem com uma relação de amortecimento de 0,5.

RESP: (b) 22

22;0 jsjss −=== ; (c)

310 << K ; (d) 0,1428.

14. (1032) Os lugares das raízes são normalmente traçados em função de variações no ga-

nho. Algumas vezes estamos interessados na variação dos pólos a malha fechada à me-


8

dida que outros parâmetros são modificados. Para o sistema mostrado na figura a se-

guir, esboce o lugar das raízes à medida que a é variado. Considere 0>a .

Dica (uma possibilidade): Determine os pólos do sistema a malha fechada em função de a

e monte uma tabela [ a x pólos]. Depois é só localizar as raízes no plano complexo. Lem-

bre-se que algumas propriedades do lugar das raízes ainda valem.

15. (1031) Um sistema de controle em malha fechada da velocidade de rotação de um mo-

tor elétrico tem a configuração mostrada no diagrama a seguir:

(a) Escreva uma seqüência de comandos Matlab que permita obter este LGR.

(b) Este sistema em malha aberta é estável? Justifique.

(c) Calcule os pontos de início e término do LGR deste sistema.

(d) Obtenha o LGR sobre o eixo real.

(e) Obtenha os ângulos e o ponto de encontro das assíntotas.

(f) Obtenha os pontos de partida e chegada sobre o eixo real.

(g) Obtenha os ângulos de partida dos pólos complexos.

(h) Calcule os pontos de intersecção com o eixo imaginário.

(i) Determine o intervalo de valores de K para o qual o sistema em malha fechada é está-

vel.


9

(j) Com os resultados obtidos nos itens anteriores, faça um esboço do LGR para este siste-

ma.

RESP: (c) pontos de início: 14;4;1;1 321 =−=−−=+−= ppjpjp ; pontos de término: 21 −=z . (e)

.300;180;60 111ooo === ααα 10 −=s . (f) não há. (g)

o13,3231 =θ e o87,362 =θ . (h)

7782,07782,0;0 jsjss −=== ; (i) 0278,54 << K .

16. (1041) Resolver Exercício E7.18 da página 304 do [DORF].

17. (1041) Resolver Exercício E7.9 da página 304 do [DORF].

RESP: (b) o5651,26±=θ ; (c) 10.

18. (1041) Resolver o Exercício B-6-5 da página 332 do [OGATA].

19. (1041) Resolver o Exercício PM2.5 da página 91 do [DORF].

Controle 2 - Lista de Exercícios Suplementares 2 – Professor Marcio Eisencraft – setembro 2004

1

Controle 2

Lista de Exercícios Suplementares 2 – 2°semestre 2004

1. Desenhe um gráfico polar a partir das curvas de magnitude e de fase mostradas a seguir.

Figura 1 – Diagramas de Bode do Exercício 1 [NISE]

2. Desenhe as curvas separadas de magnitude e de fase a partir do gráfico polar mostrado

na figura a seguir.


2

Figura 2 – Diagrama polar do Exercício 2 [NISE]

3. Usando o Teorema da Estabilidade de Nyquist, determine a faixa de valores de K para

estabilidade cada sistema das figuras a seguir.

(a) (b)

Figura 3 – Sistemas do Exercício 3.

4. Considere o sistema cuja função de transferência de malha fechada é:

( )( )

( )11

1

2

++

=sTsTK

sRsC


3

Obtenha a resposta em regime permanente do sistema quando submetido a um sinal de en-

trada ( ) tRtr ωsin= .

5. Esboce os diagramas de Bode das três seguintes funções de transferência:

(a) ( )11

2

1

++

=sTsTsG , ( 021 >> TT )

(b) ( )11

2

1

+−

=sTsTsG , ( 021 >> TT )

(c) ( )11

2

1

++−

=sTsT

sG , ( 021 >> TT ).

6. Desenhe o diagrama de Bode de

( ) ( )( )98,0

14,0102

2

++++

=ssssssG

7. Dada

( ) 22

2

2 nn

n

sssG

ωζωω

++=

mostre que

( )ζ

ω21

=njG

8. A resposta em freqüência ( )ωjG de um filtro passa-baixas é mostrada nos gráficos de

Bode a seguir.


4

A entrada do sistema é a senóide ( )ot 30cos20 +ω . Encontre a saída em regime estacionário

para cada freqüência de entrada:

(a) 2,0=ω

(b) 2=ω

(c) 20=ω .

RESP: (a) ( )ot 8,112,0cos8,48 + ; (b) ( )ot 902cos58,15 − ; (c) ( )ot 20520cos1140,0 − .

9. O aumento da densidade de trilhas em acionamento de disco de computador requer o

projeto cuidadoso dos sistemas de controle de posicionamento das cabeças. A função de

transferência é

( )( )21+

=s

KsG .

Para 4=K , calcule a magnitude e a fase da resposta em freqüência deste sistema para

∞= ;10;5;1;5,0;1,0;0ω e trace um diagrama polar.

10. Um sistema com retroação unitária negativa possui uma função de transferência do pro-

cesso a controlar


5

( )1+

−=

−

sKesG

sT

,

em que 1,0=T s. Mostra-se que uma aproximação para o tempo de retardo é

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=−

sT

sTe sT

2

2

. Usando esta aproximação, obter um esboço do lugar das raízes do sistema

para 0>K . Determine a faixa de valores de K para a qual o sistema é estável.

11. A aeronave de Asa Oblíqua (OWA – Oblique Wing Aircraft) experimental possui uma

asa que pivota em torno de um eixo como mostrado na figura a seguir. A asa permanece

em posição normal não oblíqua nas velocidades baixas e pode se deslocar para a posi-

ção oblíqua em vôo supersônico. O sistema de controle possui ( ) 1=sH e

( ) ( )

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+

+=

1208

12

15,042 ssss

ssG .

Esboce o diagrama de Bode assintótico deste sistema.


6



14. Resolver o Exercício P8.20 da página 363 do [DORF]. RESP: (b) 30dB em 25rad/s com fase -22,5º.

15. Resolver o Exercício PM8.2 da página 368 do [DORF].

16. Resolver o Exercício PM8.5 da página 368 do [DORF].

17. Resolver o Exercício E9.21 da página 419 do [DORF].

18. Resolver o Exercício 11.27(a) e (c) da página 873 do [OPPENHEIM]. RESP: (c) 6.

19. Resolver o Exercício B8.1. da página 502 do [OGATA].

RESP: (a) ( )ot 81,24sin9,0 + ; (b) ( )ot 30,552cos789,1 − ;

(c) ( ) ( )oo tt 30,552cos789,181,24sin9,0 −−+ .

20. Resolver o Exercício de Avaliação 10.6 da página 455 do [NISE]. RESPOSTAS NO LIVRO.

Controle 2 - Lista de Exercícios Suplementares 3 – Professor Marcio Eisencraft – novembro 2004

1

Controle 2

Lista de Exercícios Suplementares 3 OBS: Estes exercícios são SUPLEMENTARES. Para se preparar para a prova é im-

portante também ler e resolver os exercícios das notas de aula teórica e prática.

Quando for o caso, a referência de onde o exercício foi retirado está indicada. Faça

também os exercícios das listas anteriores!

1. [FRANKLIN, p.652] Use transformadas Z para resolver a equação de diferenças:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )TkTuTkTuTkTyTkTykTy 222223 −−−=−+−−

em que

( )⎩⎨⎧

<≥

=0,0

0,k

kkTkTu

e as condições iniciais são nulas.

2. Um controlador implementado num computador digital é modelado pela função de

transferência pulsada:

( ) ( )( ) ( )( )7,05,0

1−−

−==

zzz

zCzRzG .

Determine a resposta ao degrau deste sistema, ou seja, determine ( )kTr para

( ) ( )kTukTc = , sendo T o intervalo de amostragem.

RESP: ( ) ( ) ( )kkkTr 7,055,05 +−= .

3. Um sistema de controle digital é implementado pelo seguinte diagrama de blocos.

se Ts−−1

5+sK

- +


T=0,1s

C(s) R(s)


2

Determine o conjunto de valores de K real para o qual este sistema é estável.

RESP: 4145,205 <<− k .

4. A Figura a seguir apresenta o diagrama de blocos de um sistema de controle em que

0>K .

Pede-se:

(a) Determine a função de transferência do sistema em malha fechada.

(b) Escreva uma seqüência de comandos que você poderia utilizar no Matlab para obter o

LGR deste sistema.

Executando a seqüência do item (b), você obtém o gráfico a seguir:

(c) Calcule o valor do ganho K para que, em malha fechada, o sistema apresente pólos

complexos conjugados com parte real igual a -20,0.

(d) Obtenha a faixa dos valores de K para que o sistema com a malha fechada seja estável.

RESP: (a) ( )Ksss

KsT+++

=130060 23 ; (c) 10000; (d) 780000 << K


3

5. O circuito da figura representa um amplificador com desacoplamento DC, implementa-

do com um amplificador operacional.

Os Diagramas de Bode em módulo e fase representam a resposta em freqüência, obtida em

ensaio de laboratório, para a função ( ) ( )( )sVsV

sG O

i

= . A partir desses Diagramas, calcule a

tensão de saída quando a tensão de entrada for:

( ) ( )oi ttv 4010cos10 2 += .

RESP: ( ) ( )oS ttv 80100cos12,50 −= .

-


4

6. Um sistema de controle em malha fechada da velocidade de rotação de um motor elé-

trico tem a configuração mostrada no diagrama a seguir:

(a) Escreva uma seqüência de comandos Matlab que permita obter este LGR.

(b) Este sistema em malha aberta é estável? Justifique.

(c) Calcule os pontos de início e término do LGR deste sistema.

(d) Obtenha o LGR sobre o eixo real.

(e) Obtenha os ângulos e o ponto de encontro das assíntotas.

(f) Obtenha os pontos de partida e chegada sobre o eixo real.

(g) Obtenha os ângulos de partida dos pólos complexos.

(h) Calcule os pontos de intersecção com o eixo imaginário.

(i) Determine o intervalo de valores de K para o qual o sistema em malha fechada é está-

vel.

(j) Com os resultados obtidos nos itens anteriores, faça um esboço do LGR para este siste-

ma.

RESP: (c) início: -1+j; -1-j; -4; 1. término: -2. (e) 10 −=s ; ooo

i 300;180;60=θ . (f) Não há; (g) 323,13° e 36,87°; (h) 0; j0,

7782 e –j0, 7782; (i) 0287,54 ≤≤ K .

7. A figura a seguir mostra um motor CC e sua modelagem em termos de função de trans-

ferência.


5

Nesta figura, ( )tea é a tensão aplicada à armadura em volts e ( )tmθ é a posição angular do

rotor em radianos.

Pode-se mostrar que um bom modelo para ( )sG é

( ) ( )α+=ssKsG

em que K e α são constantes que dependem dos outros parâmetros do circuito. Para

215

=α e 201

=K , pede-se:

(a) Considerando ( ) ( )ttea π2cos10= , determine ( )tmθ em regime permanente.

(b) Esboce o diagrama de Bode de módulo e fase para este sistema. Use as escalas a seguir

para ajudá-lo.

RESP: (a) ( ) ( ) 31099,1292cos1333,8 −⋅−= om tt πθ


6

8. A figura a seguir representa dois computadores ligados entre si por um canal analógico

( )sGC , um cabo coaxial, por exemplo.

O sinal r*(t) gerado no Computador A é uma seqüência de impulsos de valor 1 ou -1. Este

sinal passa por um extrapolador de ordem zero (z.o.h.) e é enviado através do canal analó-

gico ( )sGC . No Computador B, a seqüência c*(t) é uma versão distorcida da seqüência ori-

ginal r*(t). Considere que os amostradores estão sincronizados e tem um período de amos-

tragem 0>T . Supondo um canal do tipo ( )as

sGC +=

1 sendo a um número real, pede-se:

(a) Determine a função de transferência pulsada do sistema ( ) ( )( )zRzCzG = em função de T e

a .

(b) Determine o intervalo de valores de a para o qual este sistema é estável.

(c) Considerando 125,0=T segundos e 1=a , determine c*(t) nos instantes

TTTTt 4,3,2,,0= quando r*(t) for uma seqüência infinita de 1’s começando em

0=t .

(d) Considerando ainda a seqüência r*(t) do item anterior, depois de quantos segundos a

diferença entre c*(t) e r*(t) é menor do que 1%?

RESP: (a) ( ) ( )aT

aT

ezaezG −

−

−−

=1

; (b) 0>a ;

(c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3935,04;3127,03;2212,02;1175,0;00 ===== ∗∗∗∗∗ TcTcTcTcc

(d) 625,4>t s

9. A Figura 1 apresenta o diagrama de blocos de um sistema de controle, e a Figura 2, o

seu lugar das raízes para K > 0. Com base nas duas figuras, resolva os itens abaixo.

a) Determine a função de transferência do sistema em malha fechada.

Extrapolador GC(s) RX T T

r*(t) c*(t)

Computador A Computador B Canal

TX


7

b) Determine o intervalo de valores de K no qual o sistema apresenta resposta superamor-

tecida, ou seja, todos os seus pólos são reais, negativos e diferentes entre si.

c) Obtenha a faixa dos valores de K para que o sistema com a malha fechada seja estável.

Figura 2

RESP: (a) ( )Ksss

KsT+++

=112560 23 ; (b) 67506250 << K ; (c) 67500<K .

10. Considerando um período de amostragem 1=T segundo, pede-se:

(a) Obtenha a Transformada z de ( ) ( )ttf sin= usando a definição.

(b) Obtenha a função de transferência pulsada ( )zG para ( ) ( )( )( )43

1++

+=

sssssG .

(c) Escreva uma seqüência de comandos Matlab que você pode usar para resolver o item

anterior.


8

RESP: (a) ( ) ( )( ) 1cos2

sin2 +−

=zTz

TzzF ; (b) ( ) ( )( )( )( )01832,0049787,01

2438,010275,0−−−

−=

zzzzzzG .

11. [PHILIPS, p. 268] Considere o sistema da Figura 1 a seguir. Note que o ganho do sen-

sor não é unitário.

Figura 1 – Sistema de controle [PHILIPS].

(a) Faça um esboço do lugar das raízes para este sistema.

(b) Encontre o intervalo de valores de K para o qual o sistema é estável.

(c) Encontre o(s) valor(es) de K para os quais o sistema é estável e criticamente amorteci-

do.

RESP: (b) 4>k ; (c) 491,31=k .

12. [PHILLIPS, p. 342] Considere o sistema de terceira ordem com função de transferência:

( ) ( )( ) ( )( )( )1021

50+++

==ssssR

sCsG

A resposta em freqüência ( )ωjG foi calculada num computador, fornecendo os resulta-

dos da tabela a seguir:


9

(a) Verifique os valores para 2=ω e 10=ω .

(b) Definimos a banda passante de um sistema como a freqüência na qual o ganho do

sistema ( ) ( )0707,0 GjG ⋅=ω . Calcule aproximadamente a banda de passagem deste

sistema usando a tabela acima.

(c) Escreva uma seqüência de comandos Matlab para traçar o diagrama de Bode deste

sistema.

(d) A entrada do sistema é ( ) ( )ttr ωcos10= . Escreva a resposta em regime permanente

para cada uma das seguintes freqüências de entrada (não é preciso nenhum cálculo):

(i) 2,0=ω ; (ii) 2=ω ; (iii) 20=ω .

(e) Repita o item (d) para uma entrada ( ) ( )ttr ωcos100= . RESP: (b) 0,85rad/s;

(d) (i) ( ) ( )ottc 16629,182,0cos388,24 −= (ii) ( ) ( )ottc 7449,1192cos7522,7 −= (iii)

( ) ( )ottc 862,23420cos0556,0 −= ;

(e) (i) ( ) ( )ottc 16629,182,0cos88,243 −= (ii) ( ) ( )ottc 7449,1192cos522,77 −= (iii)

( ) ( )ottc 862,23420cos556,0 −=

13. [FRANKLIN, p.652] Um filtro de tempo discreto com freqüência de amostragem 1Hz

tem função de transferência pulsada:


10

( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

31

21

21

zz

zzzH .

(a) Sejam ( )kTr e ( )kTc respectivamente a entrada e a saída deste filtro. Escreva uma e-

quação de diferenças relacionando ( )kTr e ( )kTc .

(b) Este filtro é estável? Justifique.

RESP: (a) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )TkrkTrTkcTkckTc 1212

611

61

−−=−−−− .

14. [PHILIPS, p.572] A Figura 3 a seguir é o diagrama de blocos de um sistema de controle

que controla a temperatura de um líquido em um contêiner, sendo K um número real.

Figura 3 – Sistema de controle de temperatura [PHILIPS].

(a) Determine o conjunto de valores de K para o qual o sistema é estável.

(b) Para 1=K , determine a função de transferência ( ) ( )( )zRzCzT = .

(c) Ainda para 1=K determine a resposta ao degrau deste sistema.

(d) Se o amostrador e o extrapolador fossem removidos resultando num sistema de tempo

contínuo, qual seria o conjunto de valores de K que garantiriam a estabilidade?

RESP: (a) 1639,21 <<− K ; (b) ( )2642,0

6321,0+

=z

zT ; (c) ( ) ( )( ) ( )kTutc k2642,015,0 −−= ; (d)

1−>K .

15. Resolver Exercício 6(d) página 599 do [NISE].

RESP: ( ) ( )( )( )( )( )0024788,0079773,036788,01

0442205,0513314,00354852,0 2 ++−−++

=zzzz

zzzzG .

16. Resolver Exercício 11 página 599 do [NISE].


11




20. Resolver Exercício E9.5 página 417 do [DORF].

RESP: (a) 4=GM dB; o

G 16=φ ; (b) 12dB.

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Universidade Presbiteriana Mackenzie Controle II