UNIVERSIDADEFEDERALDOAMAZONAS–UFAM …riu.ufam.edu.br/bitstream/prefix/5665/6/TCC-DirleiFerreira.pdf · C825g Grupo de simetria ao quadrado mágico : Contribuição para a aprendizagem

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS – UFAM

INSTITUTO DE SAÚDE E BIOTECNOLOGIA – ISB/COARI

COORDENAÇÃO DO CURSO DE CIÊNCIAS: MATEMÁTICA E FÍSICA

CURSO DE LICENCIATURA EM CIÊNCIAS: MATEMÁTICA E FÍSICA

DIRLEI CORRÊA FERREIRA

GRUPO DE SIMETRIA AO QUADRADO MÁGICO: CONTRIBUIÇÃOPARA O APRENDIZADO DOS ALUNOS DO 9o ANO DO ENSINO

FUNDAMENTAL

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

COARI

2019

DIRLEI CORRÊA FERREIRA

GRUPO DE SIMETRIA AO QUADRADO MÁGICO: CONTRIBUIÇÃOPARA O APRENDIZADO DOS ALUNOS DO 9o ANO DO ENSINO

FUNDAMENTAL

Trabalho de Conclusão de Curso, apresen-tado à disciplina de Defesa de TCC, do Cursode Licenciatura em Ciências: Matemática eFísica da Universidade Federal do Amazonascomo requisito parcial para obtenção do tí-tulo de Licenciatura em Ciências: Matemá-tica e Física.

Orientador: Prof. Ms. Fábio Júnior Pimen-tel da Silva.

COARI

2019

Ficha Catalográfica

C825g Grupo de simetria ao quadrado mágico : Contribuição para aaprendizagem dos alunos do 9º ano do ensino fundamental / DirleiFerreira Corrêa. 2019 43 f.: il. color; 31 cm.

Orientador: Fábio Júnior Pimentel da Silva TCC de Graduação (Licenciatura Plena em Ciências - Matemáticae Física) - Universidade Federal do Amazonas.

1. Grupos. 2. Simetria. 3. Quadrado Mágico. 4. Educação. I. Silva,Fábio Júnior Pimentel da II. Universidade Federal do Amazonas III.Título

Ficha catalográfica elaborada automaticamente de acordo com os dados fornecidos pelo(a) autor(a).

Corrêa, Dirlei Ferreira

Resumo

O Quadrado Mágico tem uma história longa e proporciona uma forma lúdica de desen-volver o raciocínio lógico entre alunos. Por outro lado, a Teoria de Grupos é abstrata mastem manifestações concretas na teoria do quadrado mágico, como por exemplo, o grupo desimetrias do quadrado. Este trabalho tem como objetivo introduzir os conceitos de Grupode Simetria na educação básica por meio do Quadrado Mágico 3× 3. Assim, analisamoso quadrado mágico e sua contribuição para desenvolver o raciocínio lógico dos alunos ealguns aspectos básicos da teoria de grupos. Esse trabalho foi desenvolvido com alunosdo 9o ano do Ensino Fundamental da Escola Estadual Prefeito Alexandre Montoril. Foirealizada uma pesquisa de campo de cunho qualitativo e quantitativo, em que foi avaliadade forma descritiva a evolução dos alunos no aspecto cognitivo em relação ao conteúdoaplicado. Foram aplicados dois questionários, um inicial para avaliar os conhecimentosdos alunos em relação ao conteúdo, e outro após aplicação do trabalho para identificaros resultados da pesquisa. Por fim, observou-se melhorias quanto a participação e de-sempenho dos alunos nas atividades realizadas a partir de uma abordagem metodológicadiferenciada por meio do Quadrado mágico.

Palavras-chave: Grupos; Simetria; Quadrado Mágico; Educação.

Abstract

The Magic Square has a long history and provides a playful way to develop logical thin-king among students. On the other hand, Group Theory is abstract but has concretemanifestations in the magic square theory, such as the square symmetry group. Thispaper aims to introduce the concepts of Symmetry Group in basic education throughthe Magic Square. Thus, we analyze the magic square and its contribution to developstudents’ logical reasoning and some basic aspects of group theory. This work was deve-loped with students of the 9th grade of Elementary School of Prefect Alexandre MontorilState School. A qualitative and quantitative field research was carried out, in which thestudents’ evolution in the cognitive aspect in relation to the applied content was descrip-tively evaluated. Two questionnaires were applied, one initial to evaluate the students’knowledge regarding the content, and another after applying the work to identify theresearch results. Finally, there were improvements regarding the participation and per-formance of students in the activities performed from a different methodological approachthrough the Magic Square.

Keywords: Groups; Symmetry; Magic square; Education.

Sumário

1 Introdução 81.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.1 Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.2 Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Referencial Teórico 112.1 Teoria de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Contexto Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2 Definições Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.1 Operações de Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1.1 Simetria de Rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.1.2 Simetria de Reflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Grupo de Simetria do Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Quadrado Mágico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.1 Forma Geral de um Quadrado Mágico 3× 3 . . . . . . . . . . . . . 272.4.2 Como Aplicar o Grupo de Simetria GSQ ao Quadrado Mágico 3× 3 28

3 Metodologia 32

4 Analise e Discussão dos Resultados 34

5 Considerações Finais 36

Referências 37

Apêndice I 39

Apêndice II 41

Lista de Figuras

1 Diagrama do conjunto A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Imagem simétrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Imagem com simetria de rotação para cada 72o. . . . . . . . . . . . . . . . 164 Triângulo Isósceles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Rotação de 0o ou 360o para o quadrado ABCD. . . . . . . . . . . . . . . . 196 Rotação de 90o para o quadrado ABCD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Rotação de 180o para o quadrado ABCD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Rotação de 270o para o quadrado ABCD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Reflexão vertical para o quadrado ABCD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2110 Reflexão horizontal para o quadrado ABCD. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2111 Reflexão diagonal 1 para o quadrado ABCD. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2212 Reflexão diagonal 2 para o quadrado ABCD. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2213 A tartaruga sagrada e o Lo Shu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2314 Quadrado mágico Lo Shu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2415 A Terra com os quatro elementos principais distribuídos à sua volta distri-

buídos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2416 Quadrado Mágico que está localizado no lado direito superior do quadro

Melancholia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2517 Localização do Quadrado Mágico no quadro Melancholia. . . . . . . . . . . 2518 Rotação θ0 aplicada ao quadrado mágico 3× 3. . . . . . . . . . . . . . . . 2819 Rotação θ1 aplicada ao quadrado mágico 3× 3. . . . . . . . . . . . . . . . 2920 Rotação θ2 aplicada ao quadrado mágico 3× 3. . . . . . . . . . . . . . . . 2921 Rotação θ3 aplicada ao quadrado mágico 3× 3. . . . . . . . . . . . . . . . 2922 Reflexão RV aplicada ao quadrado mágico 3× 3. . . . . . . . . . . . . . . . 3023 Reflexão RH aplicada ao quadrado mágico 3× 3. . . . . . . . . . . . . . . 3024 Reflexão R1 aplicada ao quadrado mágico 3× 3. . . . . . . . . . . . . . . . 3025 Reflexão R2 aplicada ao quadrado mágico 3× 3. . . . . . . . . . . . . . . . 31

Lista de Tabelas

1 Resultados das questões 1, 2, 3, 4 e 5 do questionário de sondagem. . . . . 342 Resultado da questão 6 do questionário de sondagem. . . . . . . . . . . . . 343 Resultado da questão 7 do questionário de sondagem. . . . . . . . . . . . . 344 Resultados do questionário avaliativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1 Introdução

A Teoria dos Grupos se faz presente na Matemática e nas ciências em geral paracapturar a simetria interna de estruturas que apresentam um relacionamento entre duaspropriedades ou operações. Na Matemática, é usada na análise combinatória, onde hánoção de grupo de permutação e o conceito de ação de um grupo são frequentemente uti-lizados para simplificar a contagem de um conjunto de objetos. Na Física, ela é utilizadapara descrever as simetrias que as leis da Física devem obedecer. Na Química, grupos sãoutilizados para classificar estruturas cristalinas e a simetria das moléculas.

Na educação básica, as noção de Grupos de Simetria são vista através do conteúdomatemático de geometria, onde são feitos certos movimentos ou transformações, tais comotranslação, reflexão e rotação, apenas com figuras do plano de modo que suas formas eseus tamanhos sejam conservados.

O presente trabalho propõem instruir os conceitos da teoria de grupos na educaçãobásica por meio do quadrado mágico, buscando não só desenvolver um estudo sobre algunstemas da álgebra em particular simetrias de rotações e reflexões e grupo de simetria deum quadrado, mas também criar uma motivação para os alunos a partir das propriedadesdo quadrado mágico, que além de transmitir o conteúdo específico e explorar a atividade,visa desenvolver as habilidades como estratégias para soluções de problemas de estruturascognitivas. (COSTA, 2008)

Os Quadrados Mágicos são matrizes que obedecem a uma determinada ordem, ondea sequência numérica informada precisa ser distribuída de forma a construir uma somapré-estabelecida nas três possíveis posições: horizontal, vertical e diagonal. Ao longo dosanos, os Quadrados Mágicos vêm sendo aprimorados por interessados no assunto e podemcontribuir como uma ferramenta lúdica no intuito de despertar e aprimorar o raciocíniológico.

O tema Quadrado Mágico pode ser uma atividade de investigação que possui certograu de dificuldade, desafiadora e instigante, pois faz com que educando se envolva naatividade tentando, superar os obstáculos e nesse sentido, favorece a construção do co-nhecimento matemático de maneira natural, espontânea e divertida, funcionando comoum elemento motivador, que estimula o aluno a desenvolver o gosto pela aprendizagemmatemática. (MEDEIROS, 2013)

O uso do quadrado mágico dentro da sala de aula transforma a aula mais dinâmica eprodutiva, estimulando os alunos a pensar e montar estratégia para resolver determinadas

8

situações, dessa forma, pode promover interação social com os mesmos. Pois na medidaem que o meio se modifica oferecendo ao sujeito algo de novo e que lhe sirva de estímulo,ele tem seu equilíbrio cognitivo desestabilizado e é impelido a novas condutas ou esquemaspara buscar novamente seu estado de equilíbrio. (PIAGET, 1995)

Dessa forma, o objetivo deste trabalho é introduzir os conceitos de Grupo de Simetriana educação básica por meio do Quadrado Mágico 3× 3. Em vista disso, foi desenvolvidauma pesquisa de campo de cunho qualitativo e quantitativo na escola Estadual PrefeitoAlexandre Montoril (GM3) com estudantes do 9o ano do ensino fundamental, com intuitode averiguar o grau de conhecimento sobre assunto, através de um questionário de sonda-gem que apresenta questões pontuais sobre os determinados assuntos: conjunto, grupo desimetrias e quadrados mágico. Posteriormente, falaremos sobre alguns pontos importantescomo conceitos de conjunto, grupos, quadrado mágico e suas propriedades em particulardo quadrado mágico 3 × 3. Dessa forma, pretendemos neste trabalho contribuir paraaprendizagem da Teoria de Grupos na educação básica.

O presente trabalho está organizado em quatro capítulos. No primeiro capitulo fa-laremos sobre contextualização do tema em questão da pesquisa. No segundo capítulo,abordaremos o referencial teórico onde apresentaremos os conceitos de conjuntos, grupos,grupo de simetria, quadrado mágico e mostraremos também como aplicar o grupo desimetria ao quadrado mágico 3 × 3. No terceiro capítulo mostraremos a metodologia dapesquisa, onde está dividido da seguinte forma: caracterização do sujeito da pesquisa; co-leta dos dados e análise dos dados da pesquisa. O quarto capítulo refere-se aos resultadosdas discussões da pesquisa bem como, analise da metodologia, as dificuldades dos alunosem relação ao tema e a melhoria que a pesquisa pode oferecer para os mesmos em relaçãoao ensino e aprendizagem da álgebra.

Em última análise, o projeto apresenta uma proposta para os professores ensinaremteoria de grupo em sala de aula por meio do quadrado mágico 3×3. O objetivo aqui não edá uma receita pronta para ensinar álgebra. Por outro lado, defendemos o quadrado má-gico como metodologia onde acredita-se que é uma forma do aluno entender os conteúdosestudados de forma objetiva.

9

1.1 Objetivos

1.1.1 Geral

• Introduzir os conceitos de Grupo de Simetria na educação básica por meio do Qua-drado Mágico 3× 3.

1.1.2 Específicos

• Definir Teoria de Grupos, com um breve contexto histórico;

• Aplicar Teoria de Grupos no Quadrado Mágico 3 × 3, com alunos do 9o ano doEnsino Fundamental;

• Descrever a aplicação do Grupo de Simetria ao Quadrado Mágico;

• Comparar os resultados obtidos, através dos questionários aplicados.

10

2 Referencial Teórico

2.1 Teoria de Grupo

Nesta seção apresentaremos uma síntese do conteúdo teórico sobre Grupos, com con-texto histórico e definições básicas.

2.1.1 Contexto Histórico

Teoria de grupos é o ramo que estuda as estruturas algébricas chamadas de grupos.Em Matemática, o conceito de grupo é fundamental para a álgebra abstrata: outras es-truturas algébricas conhecidas, a exemplo dos anéis, campos e espaços vetoriais podemser vistas como grupos, sendo dotadas de operações e axiomas adicionais. (ROCHA, 2015)

Acredita-se que o estudo bem sucedido da teoria dos grupos partiu de um artigo pu-blicado em 1770 pelo matemático Lagrange, neste artigo ele considerava a resolubilidadedas equações por meio das permutações de suas raízes. Posteriormente os matemáticosGalois e Abel provaram que seria impossível resolver, em termos usuais, as equações degrau maior do que quatro. Vale ressaltar que, o termo "grupo"foi usado, de maneiratécnica, a primeira vez por Galois, que em sua teoria procurava descrever as simetrias dasequações satisfeitas pelas soluções de uma equação polinomial. (SANTOS, 2018)

Grupos são usados para capturar a simetria interna de uma estrutura na forma deautomorfismos de grupo. Uma simetria interna está normalmente associada com algumapropriedade invariante, e o conjunto de transformações que preserva este invariante, jun-tamente com a operação de composição de transformações, forma um grupo de simetria.(ROCHA, 2015)

Alguns sistemas físicos como os cristais e o átomo de hidrogênio, podem ser modeladospor grupos de simetria. Assim, a teoria dos grupos e a intimamente relacionada teoria darepresentação têm várias aplicações em física e química. (ROCHA, 2015)

2.1.2 Definições Básicas

Para entendermos o conceito de grupos precisamos, primeiramente, compreender oque são conjuntos e operações binárias.

Definição 1. Um conjunto é uma coleção de elementos. A relação básica entre um objetoe o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos quecompõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A. (KIRILOV, 2017)

A representação de um conjunto depende de determinadas condições.

11

Exemplo 1. O conjunto dos números pares maiores que zero e menores que quinze.

• Representação através de seus elementos:

A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}

• Representação pela propriedade de seus elementos:

A = {x ∈ N | x é par e x < 15}, o símbolo | significa “tal que”.

Lê-se: x pertence aos naturais tal que x é par e x menor que 15.

Outra forma de representação de conjuntos de elementos é a utilização de diagramas.

Figura 1: Diagrama do conjunto A.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Existe conjunto que não possui elementos, denotado por conjunto vazio e é represen-tado por {} ou ∅, porém para o estudo da teoria de grupos utilizaremos apenas conjuntosnão vazios.

Definição 2. Seja A um conjunto não vazio. Uma aplicação binária em A é uma aplica-ção f : A×A→ A. Às vezes, uma operação binária é denominada operação interna, poistomando dois elementos arbitrários em A, o resultado deverá estar dentro do conjunto A.(YARTEY, 2017)

Exemplo 2. A aplicação f : N×N→ N definida por f(m,n) = m ∗ n é uma aplicaçãobinária, onde ∗ é a multiplicação usual.

Exemplo 3. A aplicação f : N × N → N definida por f(m,n) = m ÷ n não é umaaplicação binária, pois nem sempre a divisão m ÷ n está no conjunto N dos númerosnaturais. De fato, 1 e 2 ∈ N mas 1÷ 2 = 0, 5 ∈/ N.

12

A Teoria dos Grupos é baseada em operar elementos de um mesmo conjunto dois a dois,combinar eles de alguma maneira e retornar um terceiro elemento do mesmo conjunto, eé este o papel das operações binárias. Para se qualificar como grupo o conjunto e a ope-ração devem satisfazer algumas condições chamadas axiomas de grupo: associatividade,elemento neutro e elementos inversos.

Definição 3. Um grupo G é um conjunto com uma operação ∗, satisfazendo três propri-edades: (MEDEIROS, 2016)

i. Associativa:

(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), para quaisquer a, b, c ∈ G;

ii. Elemento neutro: existe um elemento em G, denotado simplesmente por 1, quesatisfaz

1 ∗ g = g ∗ 1 = g, para todo g ∈ G;

iii. Inversos: dado g ∈ G, existe h ∈ G tal que

g ∗ h = h ∗ g = 1.

O elemento neutro de G é único. Dado g ∈ G, o inverso de g é único, e é denotadosugestivamente por g−1. Da associatividade, o elemento

gn := g ∗ g ∗ ... ∗ g︸︷︷︸n vezes

(1)

fica bem definido. Se n < 0, tomamos gn := {g−1}−n e, para n = 0, g0 := 1, para todog ∈ G. Com estas convenções,

gn ∗ gm = gn+m ∀n,m ∈ N e g ∈ G. (2)

Exemplo 4. Considere o conjunto dos números inteiros Z com a operação usual de soma+. Temos que (Z,+) é um grupo, pois

• a soma de 2 inteiros é um inteiro, logo + é uma operação binária em Z;

• a soma é associativa, pois

x+ (y + z) = (x+ y) + z, ∀x, y, z ∈ Z; (3)

• o elemento neutro é 0, pois

x+ 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ Z; (4)

13

• o inverso de x é -x, pois

x+ (−x) = (−x) + x = 0 ∀x ∈ Z. (5)

Exemplo 5. Consideremos o conjunto dos números inteiros com a operação de subtração.Este não é um grupo, pois não vale a propriedade de associatividade da operação exigidana Definição 3. De fato, temos que por um lado (1− 2)− 7 = −1− 7 = −8 e, por outro,que 1− (2− 7) = 1− (−5) = 1 + 5 = 6. O que mostra que este não é um grupo.

14

2.2 Simetria

Nesta seção abordaremos um pouco do conteúdo sobre Simetria, tais como, as defini-ções básicas, simetria de rotação e simetria de reflexão.

Até bem pouco tempo, a simetria, um tipo especial de transformação que, emboramovendo um objeto, permite que ele permaneça o mesmo, era uma busca indecifrável nocampo da matemática. No entanto, no século XX, emergiu como elemento central dasnoções mais essenciais da física e da cosmologia e está por trás da teoria da relatividade,da mecânica quântica, da atualíssima teoria das cordas e da moderna interpretação sobrea origem do Universo. (STEWART, 2012)

Quando algo pode ser dividido em duas partes iguais, dizemos que é simétrico, ouseja, que tem simetria. Esse conceito é utilizado na matemática, na geometria, na arte eaté em nosso cotidiano ou na natureza. Uma borboleta ou uma folha podem apresentarsimetria.

Definição 4. Um objeto exibe simetria se parece o mesmo depois de uma transformação,como reflexão ou rotação. A simetria é o princípio matemático por trás de todos os padrõese é importante na arte, matemática, biologia, química e física. (COSTA; SOUZA, 2014)

Na simetria as duas partes de um elemento são iguais, podendo ser sobrepostas, deforma que coincidam. Algumas formas geométricas, objetos artísticos, itens presentes nanatureza ou mesmo corpos humanos são simétricos. No caso do corpo ou rosto humano,a simetria é associada à harmonia das formas e, portanto, à beleza. (CELI, 2019)

Figura 2: Imagem simétrica.

Fonte: https://www.significados.com.br/simetria/

Embora seja fácil reconhecer e compreender simetrias inativamente, é um pouco mais

15

difícil defini-la em termos matemáticos mais precisos. No entanto, no plano, a ideia bá-sica é bastante clara: uma figura no plano é simétrica se podemos dividi-la em partes dealguma maneira, de tal modo que as partes resultantes desta divisão coincidam perfeita-mente, quando sobrepostas.

Um objeto ou forma exibe partes equivalentes quando submetida a uma operaçãosimétrica específica. A simetria é deste modo, uma operação que mantém uma formaque não se altera e as suas operações particulares são denominadas operações simétricasou operadores simétricos. Têm-se as operações simétricas simples e as combinadas, asquais serão estudadas detalhadamente a seguir. São as seguintes: rotação e reflexão.(TEIXEIRA, 2003)

2.2.1 Operações de Simetria

A compreensão de operações de simetria requer a definição de elementos de simetria,e vice-versa. Consequentemente, na falta de um significado independente ambas devemser consideradas em conjunto.

2.2.1.1 Simetria de Rotação

Simetria de rotação é também conhecida como “simetria rotatória” ou como “simetriacíclica”. Na rotação, tudo gira a mesma quantidade em torno de um ponto fixo, o qualé chamado de centro de rotação. Para termos uma rotação, define-se qual o ponto a serfixado e a quantidade pela qual o todo gira em torno desse ponto, sendo indiferente osentido do giro. Há várias maneiras diferentes de medir a quantidade de uma rotação;trabalharemos com frações de uma volta completa. (TEIXEIRA, 2003).

Figura 3: Imagem com simetria de rotação para cada 72o.

Fonte: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/Penrose_star_0.svg

16

O centro da Figura 3 é o ponto fixo que atua como um eixo de rotação e os cincosegmentos, que partem do centro até as extremidade, funcionam como se fossem os raiosde um círculo. Assim, a cada rotação de 72o as distância entre as extremidades e o centrode rotação é a mesma.

2.2.1.2 Simetria de Reflexão

No uso geral, a simetria geralmente se refere à simetria reflexiva ou do espelho; istoé, uma linha pode ser desenhada através de um objeto de tal forma que as duas metadessejam imagens especulares umas das outras. (COSTA; SOUZA, 2014)

Um triângulo isósceles é um exemplo de simetria reflexiva. Matematicamente, um ob-jeto que exibe a simetria do espelho é considerado “invariante sob a reflexão”, significandoque refletir o objeto de uma certa maneira não muda sua aparência. (COSTA; SOUZA,2014)

Figura 4: Triângulo Isósceles.

Fonte: https://escolaeducacao.com.br/o-que-e-simetria/

Observe que os dois lados da Figura 4 são como “imagens de espelho”, ela é simetriareflexiva, pois, se dobrássemos a figura ao longo do eixo de simetria (espelho), a figuraoriginal e a sua imagem irão se sobrepor.

Portanto, essas simetrias ou movimentos permitidos são todas as maneiras possíveisde deslocar uma figura, ou seja, para cima/baixo, para a esquerda/direita, ou algumascombinações dessas direções, de modo que a figura pareça exatamente a mesma antes e

17

depois do movimento. A maneira aleatória de mover todos os pontos do plano de modoque a distância e a posição relativa dos pontos permaneçam a mesma é chamada de mo-vimento rígido.

Logo, têm-se os movimentos rígidos e suas combinações de simetrias, combinaçõesestas, identificadas como composição de funções, devido ao fato de se aplicar primeirouma simetria e depois a outra e também pelo fato das simetrias serem identificadas comofunções que deslocam pontos no plano seguindo um padrão definido. (TEIXEIRA, 2003).

18

2.3 Grupo de Simetria do Quadrado

Nesta seção mostraremos as operações simétricas de rotação e reflexão do quadrado,que constituem o Grupo de Simetria do Quadrado.

O grupo de simetria do quadrado apresenta quatro simetrias rotacionais e quatro si-metrias reflexivas, como veremos a seguir.

Consideremos o quadrado ABCD, então ele possui a cada rotação de 90o as seguintessimetrias rotacionais:

• Rotação θ0 : ABCD → ABCD, representa uma rotação de 0o ou 360o;

Figura 5: Rotação de 0o ou 360o para o quadrado ABCD.


• Rotação θ1 : ABCD → DABC, representa uma rotação de 90o;

Figura 6: Rotação de 90o para o quadrado ABCD.


19

• Rotação θ2 : ABCD → CDAB, representa uma rotação de 180o;



• Rotação θ3 : ABCD → BCDA, representa uma rotação de 270o.



Consideremos o quadrado ABCD, então ele possui as seguintes simetrias reflexivas:

• Reflexão RV : ABCD → BADC, corresponde a uma reflexão vertical;

20

Figura 9: Reflexão vertical para o quadrado ABCD.


• Reflexão RH : ABCD → DCBA, corresponde a uma reflexão horizontal;

Figura 10: Reflexão horizontal para o quadrado ABCD.


• Reflexão R1 : ABCD → CBAD, corresponde a uma reflexão na diagonal 1;

21

Figura 11: Reflexão diagonal 1 para o quadrado ABCD.


• Reflexão R2 : ABCD → ADCB, corresponde a uma reflexão na diagonal 2;

Figura 12: Reflexão diagonal 2 para o quadrado ABCD.


Assim, obtemos o grupo de simetria do quadrado:

GSQ = {θ0, θ1, θ2, θ3, RV , RH , R1, R2}.

22

2.4 Quadrado Mágico

Nesta seção discorreremos o conteúdo dos Quadrado Mágico, mostraremos desde ocontexto história e definições básicas até sua manipulação por meio do Grupo de Simetria.

Os chamados Quadrados Mágicos consistem em uma tabela quadrada de lado n emque as somas das linhas, das colunas e das duas diagonais principais são as mesmas.

Os Quadrados Mágicos constituem, desde épocas remotas, um desafio que fascina atodos. Existem diversas versões sobre a sua origem, no entanto, pensa-se que tenha vindoda China e da Índia, há cerca de 3000 anos. O nome Quadrado Mágico foi dado poisna época achava-se que esses tipos de quadrados tivessem poderes especiais, fazendo comque muitos usassem gravados em metal ou em pedra, em forma de amuletos ou talismãs.(CONTADOR, 2008)

A história destes quadrados pode encontrar-se no livro chinês Yih King, conta a lendaque, há cerca de 2200 a.C., o imperador-engenheiro Yu, estaria a observar o rio Lo quandoviu emergir uma tartaruga divina (era na altura considerado um animal sagrado), comestranhas marcas no casco, o símbolo que hoje em dia é conhecido pelo nome de Lo Shu.(LOPES, 2011)

Figura 13: A tartaruga sagrada e o Lo Shu.

Fonte: http://www.mat.uc.pt/∼mat0717/public_html/Cadeiras/1Semestre/O%20que%20%C3%A9%20um%20quadrado%20m%C3%A1gico.pdf

Yu percebeu que as marcas na forma de nós, feitos num tipo de barbante, podiam sertransformadas em números e que todos eles somavam quinze em todas as direções, comose fossem algarismos mágicos. (LOPES, 2011)

Foi usado no Oriente para praticar magia e, na Europa, para trazer boa sorte e afastar

23

Figura 14: Quadrado mágico Lo Shu.

Fonte: http://www.ipg.pt/user/∼mateb1.eseg/doc/16semana/Quadrados_m%C3%A1gicos.pdf

doenças. Os números pares simbolizavam o princípio feminino, o Yin; os números ímparessimbolizavam o princípio masculino, o Yang; o número 5 representava a Terra e à sua voltaestão distribuídos os quatro elementos principais: a água 1 e 6, o fogo 2 e 7, a madeira 3e 8 e os metais 4 e 9. (EVES, 1997)

Figura 15: A Terra com os quatro elementos principais distribuídos à sua volta distribuí-dos.

Fonte: http://www.mat.uc.pt/∼mat0717/public_html/Cadeiras/1Semestre/O%20que%20%C3%A9%20um%20quadrado%20m%C3%A1gico.pdf

Os Quadrados Mágicos chegaram ao ocidente através dos árabes, que os conhecerampor influência da cultura hindu. No século XVI na Europa já os conheciam. Muitosacreditavam que eles eram amuletos que protegiam as pessoas dos perigos da era dastrevas. E foi em 1514 Dürer produziu seu quadro Melancholia contendo o quadradodestacado abaixo onde a data 1514 esta explicita na última linha. (BOYER, 1996)

24

Figura 16: Quadrado Mágico que está localizado no lado direito superior do quadroMelancholia.

Fonte: https://www.ime.unicamp.br/∼rmiranda/palestra-oficina-omu-quadrado-magico.pdf

Este Quadrado Mágico encontra-se localizado no lado direito superior, como mostra afigura abaixo:

Figura 17: Localização do Quadrado Mágico no quadro Melancholia.

Fonte: http://www.ipg.pt/user/∼mateb1.eseg/doc/16semana/Quadrados_m%C3%A1gicos.pdf

O Quadrado Mágico é considerado um tema fascinante do ponto de vista da mate-mática. Ele permite múltiplas explorações e conexões com diversas áreas da matemática,desde e composição Numérica até Análise Combinatória. (MEDEIROS, 2013)

Eles despertaram também interesse em alguns matemáticos, pelos problemas difíceisque originaram, em relação à construção, classificação e enumeração dos quadrados de

25

uma dada ordem. Bernard Frénicle de Bessy (1602-1675), Claude-Gaspar Bachet (1581-1638), Pierre de Fermat (1601-1665) e Leonhard Euler (1707-1783) estudaram quadradosmágicos e cubos mágicos.

O tema Quadrado Mágico pode ser uma atividade de investigação que possui certo graude dificuldade, desafiadora e instigante, pois faz com que aluno se envolva na atividadetentando, superar os obstáculos e nesse sentido, favorece a construção do conhecimentomatemático de maneira natural, espontânea e divertida, funcionando como um elementomotivador, que estimula o aluno a desenvolver o gosto pela aprendizagem matemática.(MEDEIROS, 2013)

Definição 5. Uma matriz n × n chama-se um quadrado mágico de ordem n quando asoma dos elementos de cada uma de suas linhas, de cada coluna, da diagonal principal eda diagonal secundária (ao todo 2n + 2 somas) são iguais. Essa soma será chamada deconstante mágica ou soma mágica. (MACHADO, 2013)

A definição acima de quadrado mágico pode ter variações, existem também quadradosmágicos imperfeitos ou defeituosos, quadrados mágicos hipermágicos e quadrados mágicosdiabólicos. Os quadrados mágicos imperfeitos ou defeituosos não obedecem a todas asregras de um quadrado mágico, por exemplo, um quadrado mágico em que a soma de todasas linhas e todas as colunas são iguais, mas nas diagonais já não é. Os quadrados mágicoshipermágicos por sua vez têm certas propriedades adicionais, além de obedecer às regrasbásicas, por exemplo, um quadrado mágico onde se troca duas colunas de lugar e se formaoutro quadrado mágico. Os quadrados mágicos diabólicos são quadrados hipermágicoscom muitas propriedades ou com propriedades muito complexas, o nome diabólico vemda dificuldade de formá-los. (JANUARIO, 2008) No entanto, neste trabalho utilizaremosapenas o quadrado mágico normal.

Definição 6. Um quadrado mágico de ordem n é dito normal quando os elementos, dis-tintos entre si, pertencem ao conjunto {1, 2, 3, ..., n2}. (MACHADO, 2013)

Proposição 1. Seja um quadrado mágico normal de ordem n, então a constante k dependede única e exclusivamente de n.

Demonstração. Se somarmos todos os elementos do conjunto {1, 2, 3, ..., n2} temos:

1 + 2 + ...+ n2 =n2(n2 + 1)

2. (6)

Dividindo o resultado (6) por cada uma das n linhas, obtemos a constante mágica

k =n(n2 + 1)

2. (7)

26

2.4.1 Forma Geral de um Quadrado Mágico 3× 3

Iremos agora elaborar uma forma geral para os quadrados mágicos de ordem 3.

Proposição 2. O quadrado mágico de ordem 3 possui uma forma geral.

Demonstração. Seja o quadrado mágico de ordem 3 abaixo, com elementos {a, b, c, d, e, f, g, h, i}quaisquer e k como sendo sua constante mágica.

a b c

d e f

g h i

Então, pela Definição 5, temos que a soma de duas linha é igual a soma das duas diagonais

a+ b+ c+ g + h+ i = a+ e+ i+ c+ e+ g (8)

⇒ b+ h = 2e (9)

Também temos que a soma da segunda coluna

b+ e+ h = (b+ h) + e = 2e+ e = 3e (10)

⇒ e =k

3. (11)

Assim, podemos estabelecer a forma geral para o quadrado mágico de ordem 3 em funçãode três valores fixos. Fixaremos a, b do quadrado mágico e k o valor mágico. Logo,

c = k − a− bh = k − b− e = k − b− k

3= 2

3k − b

g = k − c− e = k − k + a+ b− k3= a+ b− k

3

d = k − a− a− b+ k3= 4

3k − 2a− b

f = k − 43k + 2a+ b− k

3= 2a+ b− 2

3k

i = k − a− k3= 2

3k − a.

(12)

Portanto, podemos entender que o quadrado mágico abaixo, ou qualquer outro quadradomágico obtido a partir do grupo de simetria do mesmo, é a forma geral de um quadradomágico de ordem 3.

a b k − a− b43k − 2a− b k

32a+ b− 2

3k

a+ b− k3

23k − b 2

3k − a

Agora, mostraremos que o valor central de um quadrado mágico normal de ondem 3

27

é sempre 5.

Proposição 3. O valor central e de um quadrado mágico normal de ondem 3 é sempreiqual a 5.

Demonstração. Pela forma geral de um quadrado mágico de ordem 3,

e =k

3

e pela Proposição 1, temos que

k =n(n2 + 1)

2.

Como o quadrado mágico normal é ondem 3, então n=3. Logo,

k =3(32 + 1)

2= 15. (13)

Portanto,

e =15

3= 5. (14)

2.4.2 Como Aplicar o Grupo de Simetria GSQ ao Quadrado Mágico 3× 3

Mostraremos como aplicar cada elemento do grupo de simetria {θ0, θ1, θ2, θ3, RV , RH , R1, R2}ao quadrado mágico 3× 3.

• Rotação θ0:

Figura 18: Rotação θ0 aplicada ao quadrado mágico 3× 3.


28

• Rotação θ1:



• Rotação θ2:



• Rotação θ3:



29

• Reflexão RV :

Figura 22: Reflexão RV aplicada ao quadrado mágico 3× 3.


• Reflexão RH :

Figura 23: Reflexão RH aplicada ao quadrado mágico 3× 3.


• Reflexão R1:

Figura 24: Reflexão R1 aplicada ao quadrado mágico 3× 3.


30

• Reflexão R2:

Figura 25: Reflexão R2 aplicada ao quadrado mágico 3× 3.


31

3 Metodologia

A aplicação desse trabalho tem como objetivo introduzir os conceitos de Grupo Sime-tria na educação básica por meio do Quadrado Mágico 3× 3. Além disso, essa pesquisa éclassificada como uma pesquisa de campo de cunho qualitativo e quantitativo. Tendo emvista que, a pesquisa de campo é aquela utilizada com o objetivo de conseguir informaçõese/ou conhecimentos acerca de um problema, para o qual se procura uma resposta, ou deuma hipótese, que se queira comprovar, ou, ainda, de descobrir novos fenômenos ou asrelações entre eles. (MARCONI; LAKATOS, 2010)

Os Grupos de Simetrias podem ser trabalhados por meios dos Quadrados Mágicos. Edessa forma, espera-se que os alunos aprendam as noções de Grupo de Simetria, comotambém, consigam desenvolver o raciocino lógico durante a aplicação deste trabalho.

A pesquisa foi desenvolvido na Escola Estadual Prefeito Alexandre Montoril (GM3),onde o público alvo foram os estudantes do 9o ano do ensino fundamental, na qual utilizou-se três aulas de 50 minutos cada.

Na primeira aula, foi desenvolvida uma pesquisa de campo de cunho qualitativo equantitativo, com intuito de averiguarmos o grau de conhecimento dos alunos sobre as-sunto, através de um questionário de sondagem que apresenta sete questões pontuaisdiscursivas e objetivas, onde as objetivas foram questões de múltipla escolha, que nãorequer um conhecimento tão aprofundado sobre o assunto e as discursivas foram ques-tões abertas, que exige um grau de conhecimento maior, assim pode-se analisar tambémqualidade do conhecimento dos alunos. Nesse questionário as questões foram dividida daseguinte forma: uma questão discursiva sobre conjunto, pois conjunto é a base para oaprendizado de Grupos; quatro questões sobre Grupo de Simetrias, sendo duas objetivase duas discursiva, para averiguarmos o grau de conhecimento dos alunos sobre as sime-trias; duas questões sobre o quadrados mágico, para sabermos a familiaridade deles como mesmo.

Tendo em vista os resultados obtidos no questionário de sondagem, na segunda aulafoi necessário fazermos uma rápida revisão sobre conjunto para então adentrarmos nosconteúdo do trabalho. Posteriormente, apresentamos os conteúdos sobre Grupo de Sime-tria e Quadrado Mágico onde foram abordados os respectivos contexto histórico, conceitose definições básicas com exemplos. Em seguida, mostramos como aplicar o Grupo de Si-metria ao Quadrado Mágico manipulando-o através das rotações e reflexões.

Na terceira aula, aplicamos o questionário avaliativo de cunho qualitativo e quanti-

32

tativo, também com sete questões discursivas e objetivas, na qual procurou-se analisar aquantidade e qualidades, que os alunos aprenderam sobre Grupo de Simetria por meio doQuadrado Mágico 3 × 3, para isso, elaboramos o questionário com o grau de dificuldademaior que a pesquisa de sondagem. Nele as questões foram dividida da seguinte forma:uma questão discursiva sobre conjunto; duas questões objetivas e duas discursiva sobreGrupo de Simetrias; uma questões discursiva sobre o Quadrados Mágico; e um desafioenvolvendo Grupo de Simetria e Quadrados Mágico 3× 3.

Enfim, a ideia do trabalho é criar uma relação que possa estimular os alunos a procu-rarem novos caminhos para resolverem problemas matemáticos e analisar as contribuiçõesque uma proposta baseados nos Quadrados Mágicos podem contribuir para o ensino doGrupo de Simetria, pois o aluno que exercita continuamente seu raciocínio está mais habi-litado a construir um texto e a desenvolver estratégias pessoais para resolver um problemamatemático. (BRASIL, 1998)

33

4 Analise e Discussão dos Resultados

A pesquisa de sondagem foi realizada com 36 alunos do 9o ano 2 da Escola EstadualPrefeito Alexandre Montoril, onde foi perceptível que há pouco conhecimento por partedos alunos sobre os assuntos apresentados no questionário, como mostra as Tabelas 1, 2e 3.

QUESTÕES ERROS ACERTOS01 33 302 22 1403 18 1804 35 105 34 2

Tabela 1: Resultados das questões 1, 2, 3, 4 e 5 do questionário de sondagem.

A Questão 01, que é discursiva sobre Conjunto, apenas 8,33% dos alunos responderama questão de forma correta (aceitável). Isso demostra algo preocupante, pois conjunto éa base para o estudo de Grupos e a grande maioria não domina o conteúdo.

As Questões 02 e 03, que são objetivas sobre Grupo de Simetria, apresentam respecti-vamente 14,78% e 50% de acertos. Isso mostra que uma pequena parte dos alunos conheceao menos um pouco sobre o assunto.

As Questões 04 e 05, que são discursivas sobre Grupo de Simetria, apresentam respec-tivamente 2,78% e 5,56% de acertos. Isso mostra que a grande maioria dos alunos nãodominam o assunto.

QUESTÃO SIM NÃO06 7 29

Tabela 2: Resultado da questão 6 do questionário de sondagem.

A Questão 06, que foi feito para medir o conhecimento dos aluno sobre o QuadradoMágico, apenas 19,44% disseram conhecer o desafio do Quadrado Mágico.

QUESTÃO RESOLVEU NÃO RESOLVEU07 0 36

Tabela 3: Resultado da questão 7 do questionário de sondagem.

Sete alunos responderam SIM na Questão 06, mas nenhum conseguiu resolver o Qua-drado Mágico da Questão 07. Por outro lado, os que não conheciam o mesmo tambémtentaram solucionar, mas não tiveram sucesso.

34

O questionário avaliativo, foi realizado na terceira aula, contou com a participação de34 alunos. Durante a aplicação do mesmo foi possível perceber que os alunos apresentarammaior interesse em aprender a matemática usando com essa nova metodologia e, com isso,tiveram um melhor desempenho, como mostra a Tabela 4.

QUESTÕES ERROS ACERTOS01 4 3002 6 2803 5 2904 3 3105 4 3006 6 2807 5 29

Tabela 4: Resultados do questionário avaliativo.

A Questão 01, que é discursiva sobre Conjunto, o percentual de alunos responderam deforma correta ou aceitável subiu de 8,33% para 88,23%. Isso mostra uma grande melhoriacom relação ao entendimento sobre assunto, tendo em vista que é essencial para entenderos conceitos de Grupos.

As Questões 02, 03, 04 e 05, que são objetivas e discursivas sobre Grupo de Simetria,com um grau de dificuldade mais elevado, apresentam respectivamente 82,35%, 85,29%,91,18% e 88,24% de acertos. Isso mostra que a grande maioria dos alunos conseguiramcompreender de maneira mais consistente os conceitos e as noções de simetria através donovo método.

A Questão 06, foi feito para medir o conhecimento dos aluno sobre o Quadrado Má-gico, onde 82,35% conseguiram defini-lo corretamente.

A Questão 07, que propõe a manipulação do Quadrado Mágico, o percentual de acertodos alunos que conseguiram manipula-lo usando o grupo de simetria de maneira corretafoi de 85,29%.

Percebe-se que as aulas de matemática em especial no Ensino Fundamental devem sermarcadas por momentos lúdicos, assim a criança passa a gostar e se divertir nas aulas, ouso de atividades diferenciadas traz muitos benefícios tanto para os alunos quanto paraos professores.

35

5 Considerações Finais

Tendo em vista a aplicação desta pesquisa aqui apresentada, que foi desenvolvida comos estudantes do 9o ano do Ensino Fundamental, percebe-se que há um grande desafiopara nós futuros professores de matemática para superar a dificuldade dos alunos em re-lação ao aprendizado dos conteúdos. Daí surge à importância de buscar novas formas deensinar matemática, procurando pelos diferentes métodos de ensino que ajudem a desper-tar a curiosidade nos alunos, fazendo com que em seguida possam sentir-se seguros emestudar a matemática de maneira satisfatória ajudando na aprendizagem.

Este trabalho proporcionou aos discentes não só estudar um conteúdo de grande rele-vância para álgebra, mas também pôde-se trabalhar um conteúdo matemático de maneiralúdica em sala de aula, com uma metodologia simples de aplicar, porém, estimula o racio-cínio lógico e que favorece a construção do conhecimento matemático de maneira natural,espontânea e divertida.

Pode-se apresentar como uma vantagem desta monografia o fato de poder transmitirum conteúdo de álgebra com uma linguagem voltada para a educação básica, através doquadrado mágico 3 × 3 que é uma ferramenta lúdica simples que desperta e aprimora oraciocínio lógico.

De acordo com dados coletados nesta pesquisa podemos afirmar, de modo geral, queos objetivos deste trabalho foram alcançados de maneira satisfatória, pois os discentesprogrediram bastante no aprendizado das simetrias, no qual apresetaram maior interesseem aprender a matemática com esse novo método de ensino.

Portanto, considerando o método utilizado nesta pesquisa, temos a certeza de que pu-demos colaborar com o ensino da matemática, alcançando resultados satisfatórios. Diantedisso podemos afirmar que o uso de material concreto nas aulas de matemática contribuipara a melhoria do aprendizado dos discentes, e que os principais objetivos desta pesquisaforam alcançados.

36

Referências

BOYER, C. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher, 1996.

BRASIL. MEC. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática: Arte. Brasília,1998.

CELI, R. O que é simetria?. 2019. Disponível em: <https://www.stoodi.com.br/blog/2019/03/07/o-que-e-simetria/> Acesso em: 11/03/2019.

CONTADOR, P. Matemática, uma breve história. São Paulo: Livraria da Física,2008.

COSTA, R.; SILVA, E. Os diferentes papéis do computador na educação: algu-mas classificações e diretrizes – Material de Estudo. 2008.

COSTA, W; SOUZA, F. Construindo o Conceito de Simetria na Educação de Jo-vens e Adultos. 2014. Disponível em: <http://publicacoes.unigranrio.edu.br/index.php/recm/article/download/2489/1262> Acesso em: 11/03/2019.

EVES, H. Introdução à História da Matemática. Campinas: UNICAMP, 1997.

JANUARIO, G. Quadrados Mágicos: Uma Proposta de Aprendizado com Enfo-que Etnomatemático. 2008. Disponível em: <http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MATEMATICA/Artigo_Gilberto_02.pdf>Acessoem: 17/03/2019.

KIRILOV, A. Introdução a Teoria de Conjuntos. 2017. Disponível em: <https://docs.ufpr.br/∼akirilov/ensino/2017/docs/itc01-UFPR-2017.pdf>Acesso em: 08/02/2019.

LOPES, T.A História dos Quadrados Mágicos. 2011. Disponível em: <http://www.mat.uc.pt/∼mat0717/public_html/Cadeiras/1Semestre/O%20que%20%C3%A9%20um%20quadrado%20m%C3%A1gico.pdf> Acesso em: 16/03/2019.

MACHADO, J. Quadrados Mágicos com Aplicações. 2013. 27f. Dissertação deMestrado – Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2013.

MARCONI, M.; LAKATOS, E. Fundamentos de Metodologia Científica. 7 ed. SãoPaulo: Atlas, 2010.

37

MEDEIROS, N.Teoria dos Grupos. 2016. Disponível em: <http://www.professores.uff.br/nmedeiros/wp-content/uploads/sites/88/2017/08/Algebra-III-2015_2-grupos.pdf>Aces-so em: 10/02/2019.

MEDEIROS. M. O quadrado mágico como processo de ensino/aprendizagem.2013. Disponível em: <http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/.../2013_unioeste_mat_pdp_marcel_medeiros.pdf> Acesso em: 17/03/2019.

PIAGET, J. Seis estudos de psicologia. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 1995.

ROCHA, G. Grupos Solúveis. 2015. Disponível em: <https://www.ime.unicamp.br/∼ftorres/ENSINO/MONOGRAFIAS/Gabriela1_EA_2015.pdf> Acesso em: 07/02/2019.

SANTOS, F.Uma Introdução à Teoria dos Grupos. 2018. Disponível em: <https://monografias.ufrn.br/jspui/bitstream/123456789/8551/1/Introdu%C3%A7%C3%A3oteoriagrupos_Santos_2018.pdf> Acesso em: 07/02/2019.

STEWART, I. Uma história da simetria na matemática. 1 ed. Rio de Janeiro:Zahar, 2012.

TEIXEIRA, G. Ornamentos de Grupos. 2003. 60f. Monografia. Universidade Federalde Santa Catarina, Florianópolis, 2003.

YARTEY, J. Álgebra II. Salvador: UFBA, Instituto de Matemática e Estatística, 2017.

38

Apêndice I

QUESTIONÁRIO DE SONDAGEM

1. O que você entende sobre conjunto?

2. Marque a alternativa correta para a simetria de rotação de 90o para o quadradoabaixo:

(A) (B) (C) (D)

3. Marque a alternativa correta para a simetria de reflexão diagonal AC para o qua-drado abaixo:

(A) (B) (C) (D)

4. O que é uma simetria de rotação? Explique da melhor forma possível.

5. O que é uma simetria de reflexão? Explique da melhor forma possível.

39

6. Você já viu algum desafio do Quadrado Mágico?

( ) Sim ( ) Não

7. Caso tenha respondido SIM na questão anterior, tente resolver o Quadrado Mágico3×3, com os algarismos de 1 à 9, sem repetir número, onde a soma de cada linha, colunae das diagonais sejam iguais a 15.

40

Apêndice II

QUESTIONÁRIO AVALIATIVO

1. Descreva a definição de conjunto.

2. Para quais ângulos o Grupo de Simetria do Quadrado admite simetria rotacional?

3. Quais são as operações de simetria do quadrado?

4. Quais desses conjuntos abaixo representa o Grupo de Simetria do Quadrado:

(A) N = {1, 2, 3, 4, ...}

(B) Z = {...,−2,−1, 0, 1, 2, . . . }

(C) GSM = {θ0, θ1, θ2, θ3, RV , RH , R1, R2}

(D) A = {a, b, c, d}

5. Marque a alternativa correta para a simetria de reflexão horizontal para o QuadradoMágico abaixo:

(A) (B) (C) (D)

6. O que é um quadrado mágico?

41

7. Tente resolver o Quadrado Mágico 3×3, com os algarismos de 1 à 9, sem repetirnúmeros, onde a soma de cada linha, coluna e das diagonais sejam iguais a 15.

42

Documents

UNIVERSIDADEFEDERALDOAMAZONAS–UFAM …riu.ufam.edu.br/bitstream/prefix/5665/6/TCC-DirleiFerreira.pdf · C825g Grupo de simetria ao quadrado mágico : Contribuição para a aprendizagem