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Sumário• Probabilidade
• Variáveis Aleatórias
• Funções de Uma Variável Aleatória
• Funções de Várias Variáveis Aleatórias
• Momentos e Estatística Condicional
• Teorema do Limite Central
• Processos Estocásticos
• Análise Espectral
• Filtragem e Predição Estocástica
• Processos Markovianos
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Uma V.A. X para o caso contínuo, é uma variável (domínio da função) pertencente aos reais.
• V.A. mapeia R1 em R1.
S
e
X(e)X(e)
P(X)
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Para o caso multidimensional, temos que n V.A.
(contínuas), são o domínio da função distribuição de
probabilidade pertencente aos reais.
• V.A. multidimensional mapeia Rn em R1.
e
X(e)
X(e)
P(X,Y)S
Y(e)
Y(e)
• Estatística Conjunta de V.A.:
– Interesse de se estudar simultaneamente várias
características num determinado experimento.
– Interesse de estudo da inter-relação dessas
variáveis.
• Definição:
– Sejam X1, X2, ..., Xn v.a. definidas em S, um
ponto nesse conjunto n-dimensional mapeia um
único ponto no espaço unidimensional.
• 0 P(x1,x2, ..., xn) = k 1
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Estatística Conjunta de V.A.:
– Exemplos:
• Numa pesquisa de opinião de votos, coleta-se além da
intenção de voto, idade, sexo e renda: tridimensional
f(Idade, Sexo, Renda).
• Experimento de se lançar uma moeda (X) e um dado
(Y) simultaneamente: bidimensional f(X,Y)
– Deseja-se basicamente obter-se as inter-relações
ou independências entre as diversas v.a.
envolvidas no experimento.
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Para o caso de V.A. discretas, temos uma
tabela de n+1 colunas.
............
k2b2a2
k1b1a1
P(X1=x1, X2=x2, ...)...X2X1
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Para o caso de V.A. bidimensional:
– X Fx(x) = P(X x)
– Y Fy(y) = P(Y y)
– Fx,y(X,Y) = P(X x; Y y) Probabilidade conjunta de
X e Y.
– P(x1 X x2; y1 Y y2) = ?
Y
X
y1
y2
x2x1
Y
X
y1
y2
x2x1
Volume cuja base
é dada pelos limites
em X e Y.
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Para o caso de V.A. bidimensional:
– Caso Discreto:
• Fx,y(x,y) = P(X x; Y y) = !i!j P(X=xi, Y=yj)
– Caso Contínuo:
• Fx,y(x,y) = P(X x; Y y) = "-#,y "-#,x f(x,y) dx dy
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Distribuições Marginais:
– Caso bidimensional:
• Dada F(x,y), calcular a distribuição de X, independentemente
do valor de Y Distribuição Marginal de X.
• Fx(x) = Fxy(x,+#) ; {y<+ #}
• FY(y) = Fxy(y,+#) ; {x<+ #}
• Caso discreto: P(Y=yj) = !i P(X=xi, Y=yj)
• Caso contínuo: fx(x) = "-#,+# f(x,y) dy
P[(X,Y)$D] = " "D f(x,y) dxdy
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Distribuições Marginais:
– Caso n-dimensional:
• Dada F(x1,x2,...,xn) calcular a distribuição marginal de X1.
• Caso discreto: P(X1 = x1) = !x2...!xn P(X1=x1, ..., Xn=xn)
• Caso contínuo: fx1(x1) = "x2... "xn f(x1,...,xn) dx2...dxn
– E[X + Y] = E[X] + E[Y]
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Distribuições Marginais:
– Propriedades:
• Fxy(x,-#) = 0;
• Fxy(-#,y) = 0;
• Fxy(+#,+#) = 1
• P(x1 X x2; Y y) = Fxy(x2,y) - Fxy(x1,y)
• P(X x; y1 Y y2 ) = Fxy(x,y2) - Fxy(x,y1)
• P(x1 X x2; y1 Y y2 ) = Fxy(x2,y2) - Fxy(x2,y1) -Fxy(x1,y2)
+ Fxy(x1,y1)
• fx(x) = "-#,+ #fx,y(x,y)dy
• Distribuições Marginais:
– Exemplo: Determine as distribuições marginais
de X e Y.
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
1P(Y)
0,000,040,200,103
0,190,100,050,082
0,070,020,050,101
P(X)4321X \ Y
• Distribuições Marginais:
– Exemplo: sejam (X,Y) uma v.a. bidimensional cuja
densidade de probabilidade é dada por:
• f(x,y) = (3/80) (x2+xy), 0<x<2 e 0<y<4
• f(x,y) = 0, para as outras regiões
• Determine as densidades marginais de X e Y.
• Calcular a probabilidade de P[X+Y<3]. Resp.=21/80
• Determinar F(x,y).
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
Y
X
4
2 3
3
• Distribuições Marginais:
– Exemplo: sejam (X,Y) uma v.a. bidimensional cuja
densidade de probabilidade é dada por:
• f(x,y) = 8xy, 0<x<y<1
• f(x,y) = 0, para as outras regiões
• Determine as densidades marginais de X e Y.
• Calcular a probabilidade de P[0<X<0,5; 0<Y<0,5].
Resp.=0,0625
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
Y
X
1
0,5 1
0,5
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Função Densidade de Probabilidade Conjunta
– fxy (x,y) = % 2 Fx,y(x,y)/%dx %dy
– % Fx,y(x,y)/%dx = "-#,yfx,y(x,v)dv
– fx1, ...,xn (x1,..., xn) = % n Fx1 ...,xn (x1,..., xn)/%dx1... %dxn
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• V.A. Independentes:
As v.a. X1, ..., Xn são ditas independentes
se para todos os seus valores tivermos:
– P[X1=x1, ..., Xn=xn] = P[X1=x1] ... P[Xn=xn]
– Se as v.a. são independentes, então a distribuição
conjunta é dada pelo produto das distribuições
marginais.
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• V.A. Independentes:
Conseqüências:
• Fx,y(x,y) = Fx(x) . Fy(y)
• fx,y(x,y) = fx(x) . fy(y)
• E[XY] = E[X] E[Y]
• Var(X+Y) = Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y)
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Covariância
– Sejam as v.a. X e Y. As suas variâncias fornecem
uma medida de dispersão em relação às suas
médias.
– A covariância fornece uma medida de dispersão
de uma v.a. bidimensional em relação ao ponto
(E[X], E[Y]).
– Cov(X,Y) = E{ (X-E[X]) (Y-E[Y]) }
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Covariância
– Cov(X,Y) = E{ (X-E[X]) (Y-E[Y]) }
– Cov(X,Y) = !i!j (xi-mx) (yi-my) P(X=xi, Y=yj)
– Cov(X,Y) = "y"x (xi-mx) (yi-my) f(x,y) dx dy
– Cov(X,Y) = E[XY] – E[X] E[Y]
– Cx,y = Rx,y - mx.my ;
– Rx,y = "y"x xi yi f(x,y) dx dy Correlação
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Covariância
– Conseqüências:
• Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) +2Cov(X,Y)
• Se X e Y são independente Cov(X,Y) = 0
• Se X e Y tendem a variar no mesmo sentido, a
Cov(X,Y) será positiva.
• Se X e Y tendem a variar em sentidos opostos, a
Cov(X,Y) será negativa.
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Covariância e Coeficiente de Correlação
– Sejam duas V.A. X e Y. Se X’= aX e Y’= bY:
• Cov(X’,Y’) = ab Cov(X,Y)
– Cov(X,Y) = E[XY] – E[x] E[Y]
• Então, a covariância depende das escalas das v.a.
• Seria interessante se trabalhar com uma
medida de dispersão independente de escala!
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Coeficiente de Correlação
– &(X,Y) = Cov(X,Y)/ ( '(X) '(X) )
– | &(X,Y) | 1 normalização da covariância
– Se X’= aX e Y’= bY:
• Cov(X’,Y’) = ab Cov(X,Y)
• &(X’,Y’) = ab Cov(X,Y)/ ( a '(X) b'(X) )
= &(X,Y)
– Se Y = aX + b &(X,Y) = signal(a) . 1
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Descorrelação
– Cov(X,Y) = Cx,y = 0 &(X,Y) = 0;
– E[XY] = E[X] E[Y]
• Ortogonalidade:
– E[XY] = 0 X e Y são ortogonais.
• X = [X1,X2,...,Xn]
• Rn = (R11 ... R1n ) ! Matriz de Correlação
...
*Rn1 ... Rnn+
• Cn= (C11 ... C1n ) ! Matriz de Covariância
...
*Cn1 ... Vnn+• Cn=Rn – ,x,x
t ; Nxt = [-x1 -x2 ... -xn]
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Distribuição n-dimensional conjutamente
normal:• f(x1, ...,xn) = (2.)-n/2 |[Cx]
-1|1/2 exp{-0.5 [x-X]t [Cx]-1[x-X]}
• Exemplo para o caso bidimensional.
• f(x,y) = (2.)-1 ('x'y)-1 (1-r2)-1/2 .
exp{-0.5 (1-r2)-1/2 [(x--x)2 /'x
2 +(y--y)2 /'y
2 +
- 2r(x--x)(y--y)/ 'x 'y] }
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Distribuições de Funções de V. A.
– Sejam X e Y com distribuição conjunta dada por
F(x,y) e densidade de probabilidade f(x,y).
• F(x,y) ! f(x,y) ?
– Outra questão importante:
• Dado f(x,y) e se Z= g(X,Y) f(z)?
• G(Z) = P[Z z] = P[(X,Y) $ Dz];
– Dz = {(x,y):g(x,y) z}
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Distribuições de Funções de V. A.
– Caso 1: Z=X+Y
• Dz = {(x,y): x+y z}
• Gz(Z) = ""Dzf(x,y)dxdy
= "-#, # {"- #,z-x f(x,y)dy}dx
• Fz(Z) = "-#, # {"- #,z f(x,u-x)du}dx
– u=x+y y = u - y
• Fz(Z) = "- #,z {"-#, # f(x,u-x)dx}du ! integrando não negativo
• fz(z) = {"-#, # f(x,z-x)dx}
• Se X e Y forem independentes: fz(z) = fx(x) . fy(y)
– fz(z) = "-#, # fx(x) fy(z-x)dx Integral de Convolução
X
Y
z=x+y
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Distribuições de Funções de V. A.
– Caso 1: Z=X+Y
• Se X e Y forem independentes: fz(z) = fx(x) . fy(y)
– fz(z) = "-#, # fx(x) fy(z-x)dx Integral de Convolução.
• Exemplo 1: fz(z) = fx(x) / fy(y)
a X
f(x)
a Y
f(y)
a Z
f(z)1/a
2a
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Distribuições de Funções de V. A.
– Caso 1: Z=X+Y
• Se X e Y forem independentes: fz(z) = fx(x) . fy(y)
– fz(z) = "-#, # fx(x) fy(z-x)dx Integral de Convolução.
• Exemplo 2: fz(z) = fx(x) / fy(y)
b X
f(x)
c Y
f(y)
a+c Z
f(z)
b+d
a
d
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Distribuições de Funções de V. A.
– Caso 1: Z=X+Y
• Se X e Y forem independentes: fz(z) = fx(x) . fy(y)
– fz(z) = "-#, # fx(x) fy(z-x)dx Integral de Convolução.
• Exemplo 3: fz(z) = fx(x) / fy(y)
a X
f(x)
a Z
f(z)
2a
a Y
f(y)1/a
2a
3a
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Distribuições Condicionais
– Caso Bidimensional: Sejam X e Y v.a. conjuntas.
– P[Y=y|X=x] = P[X=x,Y=y] / P[X=x]
– P[Y y|x<X x+0x] =
P[x<X x +0x,Y=y] / P[x<X x+0x]
– f(y/x) = f(x,y) / f(x) f(x,y) = f(y/x) . f(x)
– Exemplo: f(x,y) = 21x2.y3 para 0<x<y<1 e 0 para outros valores.
Determine f(x), f(y), f(x|y) e f(y|x).
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Distribuições Condicionais
– Caso Bidimensional: Esperança condicional
• E[Y|X=x] = 1y y. P[Y=y|X=x] para cada x há uma
esperança correspondente.
• E[Y|X=x] = "-2,+2 y. f(y|x)dy
• Exemplo: Obter E[Y|X=x] pra a exemplo anterior.
– f(y|x) = 4y3 / (1-x4) ; para 0<x<y<1.
– E[Y|X=x] = ?
Variáveis Aleatórias Multidimensionais
• Distribuições Condicionais
– Caso N-dimensional:
– f(xn|xn-1,...,x1) = f(xn,xn-1,...,x1) / fxn-1,...,x1 (xn-1,...,x1)
– f(xn,xn-1 |xn-2,...,x1)= f(xn,xn-1,...,x1) / fxn-2,...,x1(xn-2,...,x1)
– E[Xn|Xn-1=xn-1..., X1=x1] = "-2,+2 xn . f(xn|xn-1,...,x1)dxn
Teorema do Limite Central
• Se as v.a. Xi são independentes, então sob
condições gerais, a densidade f(x) da sua
soma (x = x1+x2+ ...+xn) normalizada
apropriadamente, tende para a curva normal
quando n tende a infinito.
• Se n é suficientemente grande:
f(x) 3 (1/'42.) . exp{-(x--)2/2'2}
Teorema do Limite Central
• Se as v.a. forem independentes:
– Se x = x1 + x2 +... +xn
– Então, f(x) = f1(x1) / f2(x2) / ... fn(xn)
– Para n suficientemente grande, f(x) tende a uma
distribuição normal.
– Se xi’s têm média - e desvio padrão ':
• E[x] = n. -
• Var[x] = n. '
Teorema do Limite Central
• Exemplo:
– Um dado é lançado 2.500 vezes. Calcular a
probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja
menor que 8.850.
• Como n = 2.500 é muito grande aproximação normal.
• X = X1+X2+ ...+ X2500
• P(Xj=i) = 1/6 ; i é a número da face no j-ésimo lançamento.
• E[Xj] = 1/6=3,5 ; Var[Xj] = 2,92 '(Xj) = 1,71
• E[X] = 2.500 * 3,5 = 8.750; Var[X] = 2.500 * 2,92 =7.310
'(X) = 85,5
• P[X<8.850] = P[Z< (8.850-8.750)/85,5] = P[Z<1,17] = 0,879
Z = (X –médiax)/ ' ! normalização para N(0,1).
Teorema do Limite Central
• Exemplo:
– X = X1 + X2 +... +Xn
– Xi’s são independentes entre si.
– Xi’s têm distribuição uniforme entre 0 e T.
• E[Xi] = - = T/2
• '2[Xi] = E[(Xi- -)] = T2/12 '[Xi] = T/ (12)1/2
• E[X] = n. E[Xi] = n . - = n . T/2
• '2[X] = n . E[(Xi- -)] = n . T2/12
• Para o caso de T = 1 e n = 12
– E[X] = 6 e '2[X] = 1.