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Sumário • Probabilidade Variáveis Aleatórias Funções de Uma Variável Aleatória Funções de Várias Variáveis Aleatórias Momentos e Estatística Condicional Teorema do Limite Central Processos Estocásticos Análise Espectral Filtragem e Predição Estocástica Processos Markovianos

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Sumário• Probabilidade

• Variáveis Aleatórias

• Funções de Uma Variável Aleatória

• Funções de Várias Variáveis Aleatórias

• Momentos e Estatística Condicional

• Teorema do Limite Central

• Processos Estocásticos

• Análise Espectral

• Filtragem e Predição Estocástica

• Processos Markovianos

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Variáveis Aleatórias Multidimensionais

• Uma V.A. X para o caso contínuo, é uma variável (domínio da função) pertencente aos reais.

• V.A. mapeia R1 em R1.

S

e

X(e)X(e)

P(X)

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Variáveis Aleatórias Multidimensionais

• Para o caso multidimensional, temos que n V.A.

(contínuas), são o domínio da função distribuição de

probabilidade pertencente aos reais.

• V.A. multidimensional mapeia Rn em R1.

e

X(e)

X(e)

P(X,Y)S

Y(e)

Y(e)

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• Estatística Conjunta de V.A.:

– Interesse de se estudar simultaneamente várias

características num determinado experimento.

– Interesse de estudo da inter-relação dessas

variáveis.

• Definição:

– Sejam X1, X2, ..., Xn v.a. definidas em S, um

ponto nesse conjunto n-dimensional mapeia um

único ponto no espaço unidimensional.

• 0 P(x1,x2, ..., xn) = k 1

Variáveis Aleatórias Multidimensionais

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• Estatística Conjunta de V.A.:

– Exemplos:

• Numa pesquisa de opinião de votos, coleta-se além da

intenção de voto, idade, sexo e renda: tridimensional

f(Idade, Sexo, Renda).

• Experimento de se lançar uma moeda (X) e um dado

(Y) simultaneamente: bidimensional f(X,Y)

– Deseja-se basicamente obter-se as inter-relações

ou independências entre as diversas v.a.

envolvidas no experimento.

Variáveis Aleatórias Multidimensionais

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Variáveis Aleatórias Multidimensionais

• Para o caso de V.A. discretas, temos uma

tabela de n+1 colunas.

............

k2b2a2

k1b1a1

P(X1=x1, X2=x2, ...)...X2X1

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Variáveis Aleatórias Multidimensionais

• Para o caso de V.A. bidimensional:

– X Fx(x) = P(X x)

– Y Fy(y) = P(Y y)

– Fx,y(X,Y) = P(X x; Y y) Probabilidade conjunta de

X e Y.

– P(x1 X x2; y1 Y y2) = ?

Y

X

y1

y2

x2x1

Y

X

y1

y2

x2x1

Volume cuja base

é dada pelos limites

em X e Y.

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Variáveis Aleatórias Multidimensionais

• Para o caso de V.A. bidimensional:

– Caso Discreto:

• Fx,y(x,y) = P(X x; Y y) = !i!j P(X=xi, Y=yj)

– Caso Contínuo:

• Fx,y(x,y) = P(X x; Y y) = "-#,y "-#,x f(x,y) dx dy

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Variáveis Aleatórias Multidimensionais

• Distribuições Marginais:

– Caso bidimensional:

• Dada F(x,y), calcular a distribuição de X, independentemente

do valor de Y Distribuição Marginal de X.

• Fx(x) = Fxy(x,+#) ; {y<+ #}

• FY(y) = Fxy(y,+#) ; {x<+ #}

• Caso discreto: P(Y=yj) = !i P(X=xi, Y=yj)

• Caso contínuo: fx(x) = "-#,+# f(x,y) dy

P[(X,Y)$D] = " "D f(x,y) dxdy

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Variáveis Aleatórias Multidimensionais

• Distribuições Marginais:

– Caso n-dimensional:

• Dada F(x1,x2,...,xn) calcular a distribuição marginal de X1.

• Caso discreto: P(X1 = x1) = !x2...!xn P(X1=x1, ..., Xn=xn)

• Caso contínuo: fx1(x1) = "x2... "xn f(x1,...,xn) dx2...dxn

– E[X + Y] = E[X] + E[Y]

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Variáveis Aleatórias Multidimensionais

• Distribuições Marginais:

– Propriedades:

• Fxy(x,-#) = 0;

• Fxy(-#,y) = 0;

• Fxy(+#,+#) = 1

• P(x1 X x2; Y y) = Fxy(x2,y) - Fxy(x1,y)

• P(X x; y1 Y y2 ) = Fxy(x,y2) - Fxy(x,y1)

• P(x1 X x2; y1 Y y2 ) = Fxy(x2,y2) - Fxy(x2,y1) -Fxy(x1,y2)

+ Fxy(x1,y1)

• fx(x) = "-#,+ #fx,y(x,y)dy

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• Distribuições Marginais:

– Exemplo: Determine as distribuições marginais

de X e Y.

Variáveis Aleatórias Multidimensionais

1P(Y)

0,000,040,200,103

0,190,100,050,082

0,070,020,050,101

P(X)4321X \ Y

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• Distribuições Marginais:

– Exemplo: sejam (X,Y) uma v.a. bidimensional cuja

densidade de probabilidade é dada por:

• f(x,y) = (3/80) (x2+xy), 0<x<2 e 0<y<4

• f(x,y) = 0, para as outras regiões

• Determine as densidades marginais de X e Y.

• Calcular a probabilidade de P[X+Y<3]. Resp.=21/80

• Determinar F(x,y).

Variáveis Aleatórias Multidimensionais

Y

X

4

2 3

3

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• Distribuições Marginais:

– Exemplo: sejam (X,Y) uma v.a. bidimensional cuja

densidade de probabilidade é dada por:

• f(x,y) = 8xy, 0<x<y<1

• f(x,y) = 0, para as outras regiões

• Determine as densidades marginais de X e Y.

• Calcular a probabilidade de P[0<X<0,5; 0<Y<0,5].

Resp.=0,0625

Variáveis Aleatórias Multidimensionais

Y

X

1

0,5 1

0,5

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Variáveis Aleatórias Multidimensionais

• Função Densidade de Probabilidade Conjunta

– fxy (x,y) = % 2 Fx,y(x,y)/%dx %dy

– % Fx,y(x,y)/%dx = "-#,yfx,y(x,v)dv

– fx1, ...,xn (x1,..., xn) = % n Fx1 ...,xn (x1,..., xn)/%dx1... %dxn

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Variáveis Aleatórias Multidimensionais

• V.A. Independentes:

As v.a. X1, ..., Xn são ditas independentes

se para todos os seus valores tivermos:

– P[X1=x1, ..., Xn=xn] = P[X1=x1] ... P[Xn=xn]

– Se as v.a. são independentes, então a distribuição

conjunta é dada pelo produto das distribuições

marginais.

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Variáveis Aleatórias Multidimensionais

• V.A. Independentes:

Conseqüências:

• Fx,y(x,y) = Fx(x) . Fy(y)

• fx,y(x,y) = fx(x) . fy(y)

• E[XY] = E[X] E[Y]

• Var(X+Y) = Var(X-Y) = Var(X) + Var(Y)

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Variáveis Aleatórias Multidimensionais

• Covariância

– Sejam as v.a. X e Y. As suas variâncias fornecem

uma medida de dispersão em relação às suas

médias.

– A covariância fornece uma medida de dispersão

de uma v.a. bidimensional em relação ao ponto

(E[X], E[Y]).

– Cov(X,Y) = E{ (X-E[X]) (Y-E[Y]) }

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Variáveis Aleatórias Multidimensionais

• Covariância

– Cov(X,Y) = E{ (X-E[X]) (Y-E[Y]) }

– Cov(X,Y) = !i!j (xi-mx) (yi-my) P(X=xi, Y=yj)

– Cov(X,Y) = "y"x (xi-mx) (yi-my) f(x,y) dx dy

– Cov(X,Y) = E[XY] – E[X] E[Y]

– Cx,y = Rx,y - mx.my ;

– Rx,y = "y"x xi yi f(x,y) dx dy Correlação

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Variáveis Aleatórias Multidimensionais

• Covariância

– Conseqüências:

• Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) +2Cov(X,Y)

• Se X e Y são independente Cov(X,Y) = 0

• Se X e Y tendem a variar no mesmo sentido, a

Cov(X,Y) será positiva.

• Se X e Y tendem a variar em sentidos opostos, a

Cov(X,Y) será negativa.

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Variáveis Aleatórias Multidimensionais

• Covariância e Coeficiente de Correlação

– Sejam duas V.A. X e Y. Se X’= aX e Y’= bY:

• Cov(X’,Y’) = ab Cov(X,Y)

– Cov(X,Y) = E[XY] – E[x] E[Y]

• Então, a covariância depende das escalas das v.a.

• Seria interessante se trabalhar com uma

medida de dispersão independente de escala!

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Variáveis Aleatórias Multidimensionais

• Coeficiente de Correlação

– &(X,Y) = Cov(X,Y)/ ( '(X) '(X) )

– | &(X,Y) | 1 normalização da covariância

– Se X’= aX e Y’= bY:

• Cov(X’,Y’) = ab Cov(X,Y)

• &(X’,Y’) = ab Cov(X,Y)/ ( a '(X) b'(X) )

= &(X,Y)

– Se Y = aX + b &(X,Y) = signal(a) . 1

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Variáveis Aleatórias Multidimensionais

• Descorrelação

– Cov(X,Y) = Cx,y = 0 &(X,Y) = 0;

– E[XY] = E[X] E[Y]

• Ortogonalidade:

– E[XY] = 0 X e Y são ortogonais.

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• X = [X1,X2,...,Xn]

• Rn = (R11 ... R1n ) ! Matriz de Correlação

...

*Rn1 ... Rnn+

• Cn= (C11 ... C1n ) ! Matriz de Covariância

...

*Cn1 ... Vnn+• Cn=Rn – ,x,x

t ; Nxt = [-x1 -x2 ... -xn]

Variáveis Aleatórias Multidimensionais

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• Distribuição n-dimensional conjutamente

normal:• f(x1, ...,xn) = (2.)-n/2 |[Cx]

-1|1/2 exp{-0.5 [x-X]t [Cx]-1[x-X]}

• Exemplo para o caso bidimensional.

• f(x,y) = (2.)-1 ('x'y)-1 (1-r2)-1/2 .

exp{-0.5 (1-r2)-1/2 [(x--x)2 /'x

2 +(y--y)2 /'y

2 +

- 2r(x--x)(y--y)/ 'x 'y] }

Variáveis Aleatórias Multidimensionais

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Variáveis Aleatórias Multidimensionais

• Distribuições de Funções de V. A.

– Sejam X e Y com distribuição conjunta dada por

F(x,y) e densidade de probabilidade f(x,y).

• F(x,y) ! f(x,y) ?

– Outra questão importante:

• Dado f(x,y) e se Z= g(X,Y) f(z)?

• G(Z) = P[Z z] = P[(X,Y) $ Dz];

– Dz = {(x,y):g(x,y) z}

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Variáveis Aleatórias Multidimensionais

• Distribuições de Funções de V. A.

– Caso 1: Z=X+Y

• Dz = {(x,y): x+y z}

• Gz(Z) = ""Dzf(x,y)dxdy

= "-#, # {"- #,z-x f(x,y)dy}dx

• Fz(Z) = "-#, # {"- #,z f(x,u-x)du}dx

– u=x+y y = u - y

• Fz(Z) = "- #,z {"-#, # f(x,u-x)dx}du ! integrando não negativo

• fz(z) = {"-#, # f(x,z-x)dx}

• Se X e Y forem independentes: fz(z) = fx(x) . fy(y)

– fz(z) = "-#, # fx(x) fy(z-x)dx Integral de Convolução

X

Y

z=x+y

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Variáveis Aleatórias Multidimensionais

• Distribuições de Funções de V. A.

– Caso 1: Z=X+Y

• Se X e Y forem independentes: fz(z) = fx(x) . fy(y)

– fz(z) = "-#, # fx(x) fy(z-x)dx Integral de Convolução.

• Exemplo 1: fz(z) = fx(x) / fy(y)

a X

f(x)

a Y

f(y)

a Z

f(z)1/a

2a

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Variáveis Aleatórias Multidimensionais

• Distribuições de Funções de V. A.

– Caso 1: Z=X+Y

• Se X e Y forem independentes: fz(z) = fx(x) . fy(y)

– fz(z) = "-#, # fx(x) fy(z-x)dx Integral de Convolução.

• Exemplo 2: fz(z) = fx(x) / fy(y)

b X

f(x)

c Y

f(y)

a+c Z

f(z)

b+d

a

d

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Variáveis Aleatórias Multidimensionais

• Distribuições de Funções de V. A.

– Caso 1: Z=X+Y

• Se X e Y forem independentes: fz(z) = fx(x) . fy(y)

– fz(z) = "-#, # fx(x) fy(z-x)dx Integral de Convolução.

• Exemplo 3: fz(z) = fx(x) / fy(y)

a X

f(x)

a Z

f(z)

2a

a Y

f(y)1/a

2a

3a

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Variáveis Aleatórias Multidimensionais

• Distribuições Condicionais

– Caso Bidimensional: Sejam X e Y v.a. conjuntas.

– P[Y=y|X=x] = P[X=x,Y=y] / P[X=x]

– P[Y y|x<X x+0x] =

P[x<X x +0x,Y=y] / P[x<X x+0x]

– f(y/x) = f(x,y) / f(x) f(x,y) = f(y/x) . f(x)

– Exemplo: f(x,y) = 21x2.y3 para 0<x<y<1 e 0 para outros valores.

Determine f(x), f(y), f(x|y) e f(y|x).

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Variáveis Aleatórias Multidimensionais

• Distribuições Condicionais

– Caso Bidimensional: Esperança condicional

• E[Y|X=x] = 1y y. P[Y=y|X=x] para cada x há uma

esperança correspondente.

• E[Y|X=x] = "-2,+2 y. f(y|x)dy

• Exemplo: Obter E[Y|X=x] pra a exemplo anterior.

– f(y|x) = 4y3 / (1-x4) ; para 0<x<y<1.

– E[Y|X=x] = ?

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Variáveis Aleatórias Multidimensionais

• Distribuições Condicionais

– Caso N-dimensional:

– f(xn|xn-1,...,x1) = f(xn,xn-1,...,x1) / fxn-1,...,x1 (xn-1,...,x1)

– f(xn,xn-1 |xn-2,...,x1)= f(xn,xn-1,...,x1) / fxn-2,...,x1(xn-2,...,x1)

– E[Xn|Xn-1=xn-1..., X1=x1] = "-2,+2 xn . f(xn|xn-1,...,x1)dxn

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Teorema do Limite Central

• Se as v.a. Xi são independentes, então sob

condições gerais, a densidade f(x) da sua

soma (x = x1+x2+ ...+xn) normalizada

apropriadamente, tende para a curva normal

quando n tende a infinito.

• Se n é suficientemente grande:

f(x) 3 (1/'42.) . exp{-(x--)2/2'2}

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Teorema do Limite Central

• Se as v.a. forem independentes:

– Se x = x1 + x2 +... +xn

– Então, f(x) = f1(x1) / f2(x2) / ... fn(xn)

– Para n suficientemente grande, f(x) tende a uma

distribuição normal.

– Se xi’s têm média - e desvio padrão ':

• E[x] = n. -

• Var[x] = n. '

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Teorema do Limite Central

• Exemplo:

– Um dado é lançado 2.500 vezes. Calcular a

probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja

menor que 8.850.

• Como n = 2.500 é muito grande aproximação normal.

• X = X1+X2+ ...+ X2500

• P(Xj=i) = 1/6 ; i é a número da face no j-ésimo lançamento.

• E[Xj] = 1/6=3,5 ; Var[Xj] = 2,92 '(Xj) = 1,71

• E[X] = 2.500 * 3,5 = 8.750; Var[X] = 2.500 * 2,92 =7.310

'(X) = 85,5

• P[X<8.850] = P[Z< (8.850-8.750)/85,5] = P[Z<1,17] = 0,879

Z = (X –médiax)/ ' ! normalização para N(0,1).

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Teorema do Limite Central

• Exemplo:

– X = X1 + X2 +... +Xn

– Xi’s são independentes entre si.

– Xi’s têm distribuição uniforme entre 0 e T.

• E[Xi] = - = T/2

• '2[Xi] = E[(Xi- -)] = T2/12 '[Xi] = T/ (12)1/2

• E[X] = n. E[Xi] = n . - = n . T/2

• '2[X] = n . E[(Xi- -)] = n . T2/12

• Para o caso de T = 1 e n = 12

– E[X] = 6 e '2[X] = 1.