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Lógica? É lógico
Valéria Lanna [email protected]
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RACIOCÍNIO LÓGICO Prof. Valéria Lanna
ÍNDICE
INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 2 1. TIPOS DE LÓGICA ................................................................................................... 4 2. NOÇÕES DE CONJUNTOS ........................................................................................ 5 3. ESTRUTURAS LÓGICAS............................................................................................24 4. PARTES DA LÓGICA ............................................................................................ 248 5. CONECTIVOS LÓGICOS ......................................................................................... 32 6. ANÁLISE COMBINATÓRIA ..................................................................................... 75 7. PROBABILIDADE ................................................................................................... 95 ANEXOS ................................................................................................................. 108 EXERCÍCIOS ............................................................................................................ 111 RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO: Esta prova visa a avaliar a habilidade do candidato em entender a estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios; deduzir novas informações das relações fornecidas e avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. Os estímulos visuais utilizados na prova, constituídos de elementos conhecidos e significativos, visam a analisar as habilidades dos candidatos para compreender e elaborar a lógica de uma situação, utilizando as funções intelectuais: raciocínio verbal, raciocínio matemático, raciocínio seqüencial, orientação espacial e temporal, formação de conceitos, discriminação de elementos. Em síntese, as questões da prova destinam-se a medir a capacidade de compreender o processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas.
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INTRODUÇÃO
Raciocínio Lógico Matemático, embora seja estudado pela Lógica como ramo da Filosofia, suas aplicações vão além de qualquer disciplina isoladamente considerada. Os padrões do raciocínio lógico são aplicáveis a qualquer área de estudo em que o argumento seja empregado, em especial nos raciocínios matemáticos, os quais são o enfoque do nosso trabalho.
O Raciocínio Lógico pode ser empregado em qualquer domínio onde as conclusões presumidamente devam apoiar-se em provas. Isto inclui um sério esforço intelectual, assim como nos casos práticos da nossa vida cotidiana. Por falar em vida cotidiana, esta apostila foi elaborada com o objetivo específico para a provas de concursos. Por se tratar de aplicação prática, na qual a prova versará sobre a habilidade do candidato em entender a estrutura de relações lógicas nas relações arbitrárias entre pessoas, foi explorado o conceito e a dimensão do argumento nestas relações, a fim de atender nosso objetivo.
A lógica vem do grego logos, que significa palavra, pensamento, idéia, argumento, relato, razão lógica.
Já que o pensamento é a manifestação do conhecimento, e que o conhecimento busca a verdade, é preciso estabelecer algumas regras para que essa meta possa ser atingida.
Tradicionalmente, lógica é também a designação para o estudo de sistemas prescritivos de raciocínio, ou seja, sistemas que definem como se "deveria" realmente pensar para não errar, usando a razão, dedutivamente e indutivamente. A forma como as pessoas realmente raciocinam é estudado nas outras áreas, como na psicologia cognitiva.
Dá-se o nome de Lógica aristotélica ao sistema lógico desenvolvido por Aristóteles a quem se deve o primeiro estudo formal do raciocínio. Dois dos princípios centrais da lógica aristotélica são a lei da não-contradição e a lei do terceiro excluído. A lei da não-contradição diz que nenhuma afirmação pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo e a lei do terceiro excluído diz que qualquer afirmação da forma “P ou não ~P” é verdadeira. Esse princípio deve ser cuidadosamente distinguido do “princípio de bivalência”, o princípio segundo o qual para toda proposição (p), ela ou a sua negação é verdadeira. A lógica aristotélica, em particular, a teoria do silogismo, é apenas um fragmento da assim chamada lógica tradicional.
A Lógica é extensivamente usada em áreas como Inteligência Artificial, e Ciência da computação.
Nas décadas de 50 e 60, pesquisadores previram que quando o conhecimento humano pudesse ser expresso usando lógica com notação matemática, supunham que seria possível criar uma máquina com a capacidade de pensar, ou seja, inteligência artificial. Isto se mostrou mais difícil que o esperado em função da complexidade do raciocínio humano. A programação lógica é uma tentativa de fazer computadores usarem raciocínio lógico e a linguagem de programação Prolog é comumente utilizada para isto.
Na lógica simbólica e lógica matemática, demonstrações feitas por humanos podem ser auxiliadas por computador. Usando demonstração automática de teoremas os computadores podem achar e checar demonstrações, assim como trabalhar com demonstrações muito extensas.
Na ciência da computação, a álgebra booleana é a base do projeto de hardware.
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1. TIPOS DE LÓGICA
Complementares da lógica clássica: além dos três princípios da lógica clássica, essas formas de lógica têm ainda outros princípios que as regem, estendendo o seu domínio. Alguns exemplos:
Lógica modal: agrega à lógica clássica o princípio das possibilidades. Enquanto na lógica clássica existem sentenças como: "se amanhã chover, vou viajar", "minha avó é idosa e meu pai é jovem", na lógica modal as sentenças são formuladas como "é possível que eu viaje se não chover", "minha avó necessariamente é idosa e meu pai não pode ser jovem", etc.
Lógica epistêmica: também chamada "lógica do conhecimento", agrega o princípio da certeza, ou da incerteza. Alguns exemplos de sentença: "pode ser que haja vida em outros planetas, mas não se pode provar", "é impossível a existência de gelo a 100°C", "não se pode saber se duendes existem ou não", etc.
Lógica deôntica: forma de lógica vinculada à moral, agrega os princípios dos direitos, proibições e obrigações. As sentenças na lógica deôntica são da seguinte forma: "é proibido fumar mas é permitido beber", "se você é obrigado a pagar impostos, você é proibido de sonegar", etc.
Anticlássicas: são formas de lógica que derrogam pelo menos um dos três princípios fundamentais da lógica clássica. Alguns exemplos incluem:
Lógica paraconsistente: É uma forma de lógica onde não existe o princípio da contradição. Nesse tipo de lógica, tanto as sentenças afirmativas quanto as negativas podem ser falsas ou verdadeiras, dependendo do contexto. Uma das aplicações desse tipo de lógica é o estudo da semântica, especialmente em se tratando dos paradoxos. Um exemplo: "fulano é cego, mas vê". Pelo princípio da lógica clássica, o indivíduo que vê, um "não-cego", não pode ser cego. Na lógica paraconsistente, ele pode ser cego para ver algumas coisas, e não-cego para ver outras coisas. Lógica paracompleta: Esta lógica derroga o princípio do terceiro excluído, isto é, uma sentença
pode não ser totalmente verdadeira, nem totalmente falsa. Um exemplo de sentença que pode ser assim classificada é: "fulano conhece a China". Se ele nunca esteve lá, essa sentença não é verdadeira. Mas se mesmo nunca tendo estado lá ele estudou a história da China por livros, fez amigos chineses, viu muitas fotos da China, etc; essa sentença também não é falsa. Lógica difusa: Mais conhecida como "lógica fuzzy", trabalha com o conceito de graus de
pertinência. Assim como a lógica paracompleta, derroga o princípio do terceiro excluído, mas de maneira comparativa, valendo-se de um elemento chamado conjunto fuzzy. Enquanto na lógica clássica supõe-se verdadeira uma sentença do tipo "se algo é quente, não é frio" e na lógica paracompleta pode ser verdadeira a sentença "algo pode não ser quente nem frio", na lógica difusa poder-se-ia dizer: "algo é 30% quente, 25% morno e 45% frio". Esta lógica tem grande aplicação na informática e na estatística, sendo inclusive a base para indicadores como o coeficiente de Gini e o IDH.
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A B
2. NOÇÕES DE CONJUNTOS
Conjunto é um agrupamento de elementos. Se um elemento compõe um conjunto, dizemos que ele pertence a este conjunto, indicamos com o
símbolo . por exemplo: seja A o conjunto dos múltiplos de 3, escrevemos:
6 A (6 pertence a A) e 8 A (8 não pertence a A). Embora os elementos de um conjunto podem ser qualquer coisa (mesmo outros conjuntos), representamos os conjuntos por letras maiúsculas e os elementos por letras minúsculas. Representação: POR ENUMERAÇÃO: Conjunto dos ímpares maiores que 10 e menores que 20 A = { 11, 13, 15, 17, 19} POR PROPRIEDADE A = { x / x é par 3 < x < 11} que corresponde ao conjunto A = { 4, 6, 8, 10 } POR DIAGRAMA A = { 0, 1, 3, 4 } Conjunto Vazio
Denomina-se CONJUNTO VAZIO o conjunto que não possui elementos. Indica-se por ou por { }, mas não
ambos { } Exemplos: O conjunto de números que são pares e ímpares aos mesmo tempo. O conjunto de números inteiros entre 1 e 2. Igualdade de Conjuntos Sejam conjuntos que possuem os mesmos elementos. SUBCONJUNTOS OU PARTES DE UM CONJUNTO
Sejam os conjuntos A e B, onde os elementos de B estão contidos em A, então dizemos que
B A (B está contido em A) ou que A B (A contém B). O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto.
A
. 0 . 3 .
1 . 4
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Obs.: Número de Subconjuntos é dado por 2n, onde n é número de elementos do conjunto. Exemplo 01: A = { 1,2,3} o número de subconjuntos será 23 = 8 subconjuntos, ou seja,
P(A)={ , {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} Exemplo 02: Um conjunto possui 512 subconjuntos, ao retirarmos 3 elementos desse conjunto, quantos subconjuntos terá o novo conjunto? Resolução: 512 = 2n, logo ao fatorarmos 512 = 29, ou seja, teremos n = 9, menos 03 elementos sobram 06 elementos e então o novo conjunto ficará com 26 = 64 subconjuntos.
TRIÂNGULO DE PASCAL
Agora faremos uma pausa para recordarmos de um instrumento muito útil para explicar o porque do número de partes de um conjunto ser 2n , além de ser uma ferramenta muito útil no estudo de Análise Combinatória. O triângulo de Pascal é de Pascal?
Qualquer pessoa que tenha um pouco de leitura e bom senso deve no mínimo estar suspeitando que o triângulo aritmético não seja uma descoberta ou invenção de Pascal. Por exemplo: a denominação desse triângulo varia muito ao longo do mundo. Com efeito, se bem que os franceses o chamem de triângulo de Pascal, os chineses o chamam de triângulo de Yang Hui, os italianos o chamam de triângulo de Tartaglia e encontramos outras denominações como triângulo de Tartaglia-Pascal ou simplesmente triângulo aritmético ou triângulo combinatório.
Conforme descobriu Tartaglia, cerca de cem anos antes de Pascal, o triângulo aritmético também é bastante útil no cálculo de probabilidades. Com efeito, é fácil vermos que os coeficientes das expansões binomiais tem um significado combinatorial e, então, probabilístico.
Para construir o triângulo, Pingala , na Índia( 2000 anos antes de Pascal) descreve a seguinte regra: Desenhe um quadradinho; abaixo dele desenhe dois outros, de modo que juntem-se no ponto médio da base dele; abaixo desses dois, desenhe outros três e assim por diante. A seguir, escreva 1 no primeiro quadradinho e nos da segunda linha. Na terceira linha escreva 1 nos quadradinhos dos extremos, e no do meio escreva a soma dos numeros acima dele. Prossiga fazendo o mesmo nas demais linhas.Nessas linhas, a segunda dá as combinações com uma sílaba; a terceira dá as combinações com duas sílabas e assim por diante. Os livros indianos eram escritos em folhas de palmeira o que fêz com que poucos deles chegassem aos nossos dias.
China: 1 700 anos antes de Pascal O uso que os antigos chineses faziam do triângulo aritmético centrava-se no cálculo aproximado de raízes quadradas, cúbicas e etc. Os chineses não tinham uma álgebra literal e todo seu envolvimento com problemas algébricos era baseado em uma notação e procedimentos apropriados para o emprego de varetas de cálculo (instrumento que precedeu o conhecido suan pan, o ábaco chinês). O triângulo aritmético, que denominavam sistema de tabulação para descobrir coeficientes binomiais, encaixava-se perfeitamente bem nesse esquema. E assim por diante.
O triângulo de Pascal (alguns países, nomeadamente em Itália, é conhecido como Triângulo de Tartaglia) é um triângulo numérico infinito formado por números combinatórios.
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Triângulo de Pascal
n = 0 1
n = 1 1 1
n = 2 1 2 1
n = 3 1 3 3 1
n = 4 1 4 6 4 1
n = 5 1 5 10 10 5 1
n = 6 1 6 15 20 15 6 1
n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1
n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
p = 0 p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 p = 8
No exemplo 01em que consideramos o conjunto A = { 1,2,3} e que o número de subconjuntos será 23 = 8 subconjuntos ( soma das linhas) ,ou seja,
P(A)={ ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}. PROPRIEDADES DO TRIÂNGULO DE PASCAL a) Toda linha começa e termina com o número 1. b) Relação de Stifel : Cada número do triângulo de Pascal é igual à soma do número imediatamente acima e do antecessor do número de cima. c) Simetria : O triângulo de Pascal apresenta simetria em relação à altura. d) Asoma das linhas é sempre 2n, onde n é o número da linha. e)Os números naturais aparecem na segunda diagonal.
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f) Números Triângulares : a terceira diagonal é formada por números triângulares, que representam a soma dos números naturais : 1; 1 + 2 = 3 ; 1 + 2 + 3 = 6 ; 1 + 2 + 3 + 4 = 10; 1+ 2 + 3 + 4 + 5 = 15; ...
Generalizando : 2
)1(...321
nnn
h) Sequência de Fibonacci "as somas dos números dispostos ao longo das diagonais do triângulo geram a Sucessão de Fibonacci".Na tentativa de visualizar melhor as diagonais em questão, façamos uma reorganização dos elementos do Triângulo de Pascal:
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OPERAÇÕES
INTERSEÇÃO: Se dois conjuntos quaisquer possuem elementos em comum, estes formam a
INTERSEÇÃO destes conjuntos. A B = {x / x A e x B}
Exemplos: Propriedades
UNIÃO: Dados dois conjuntos quaisquer, a UNIÃO destes conjuntos é agrupar em um só
conjunto os elementos de ambos os conjuntos. A B = { x / x A ou x B}
Exemplos: Propriedades
DIFERENÇA: Dados dois conjuntos quaisquer, a DIFERENÇA entre eles é tirar do primeiro os
elementos comuns aos dois. A - B = { x / x A e x B }
Exemplos: Observação
Propriedade: O número de elementos da união de dois conjuntos A e B é igual à soma do número de
elementos de A mais o número de elementos de B menos o número de elementos de A
B.
nA B = n + n - nA B A B
1) B A então
(A – B) é o conjunto
complementar de B
em relação a A.
CAB = A -B, com B A
1) A A = A
2) A =
3) A B = B A
1) A A = A
2) A = A
3) A B = B A
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01- Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a 3 produtos: A, B e C. Os resultados das pesquisas indicaram que: 210 pessoas compram o produto A 210 pessoas compram o produto B 250 pessoas compram o produto C 20 pessoas compram os 3 produtos 100 pessoas não compram nenhum dos 3 60 pessoas compram os produtos A e B 70 pessoas compram os produtos A e C 50 pessoas compram os produtos B e C Quantas pessoas foram entrevistadas? a) 670 b) 970 c) 870 d) 610 Solução: Primeiramente, vamos solucionar o problema usando o Diagrama de Venn:
Somando tudo 100 + 40 + 20 + 50 + 120 + 30 + 150 + 100 = 610 entrevistados ( letra d). E se perguntássemos o seguinte: Qual a probabilidade de que ao sortearmos uma pessoa aleatoriamente, ela seja: a) Consumidora de apenas um dos produtos?
61
37
610
3701P
b) Consumidora de no mínimo 02 produtos?
61
14
610
1402P
02- Uma escola realizou uma pesquisa sobre os hábitos alimentares de seus alunos. Alguns resultados dessa pesquisa foram: • 82% do total de entrevistados gostam de chocolate; • 78% do total de entrevistados gostam de pizza; e • 75% do total de entrevistados gostam de batata frita. Então, é CORRETO afirmar que, no total de alunos entrevistados, a porcentagem dos que gostam, ao mesmo tempo, de chocolate, de pizza e de batata frita é, pelo menos, de A) 25%. B) 30%. C) 35%. D) 40%.
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Solução: Quando somamos 82% + 78% + 75% = 235%, ou seja passam 135% de um todo( 100%) que é o equivalente às interseções de choc. com pizza e com batata( a flor do centro); porém ao somarmos dois a dois como se os alunos sempre consumissem no mínimo dois tipos de alimento, teremos: 82 + 75 = 157%, passou 57% 82 + 78 = 160%, passou 60% 75 + 78 = 153%, passou 53% Somando agora o que passou obtemos 170% e deveria ser 135%, como achamos acima, logo 35% “estão repetidos”, ou seja, consomem os três alimentos, no mínimo. 03- Em uma escola tem n alunos, sabe-se que 56 lêem o jornal A, 21 lêem o jornal A e B, 106 lêem apenas um dos dois jornais, e 66 não lêem o jornal B. O valor de n, é Solução:
O total de alunos é 35 + 21 + 71 + 31 = 158 04 - Num grupo de pessoas, 6 estão usando relógio, 8 estão usando óculos e 3 não estão usando nem óculos nem relógio. Então, o número de pessoas desse grupo : a) é necessariamente 17; b) é no mínimo igual a 14; c) será igual a 12 se, e somente se, houver 5 pessoas que usam óculos e relógio ao mesmo tempo; d) será 12 se, e somente se, houver 2 pessoas que usam apenas óculos; e) será 12 se, e somente se, houver 2 pessoas que usam apenas relógio. Solução: Podemos ter duas situações extremas: Todos que usam relógio usam óculos ou Ninguém que use óculos, usa relógio.
Portanto, o número de pessoas é no mínimo 11 e no máximo 17.Assim a as letras a e b estão erradas. Para o restante basta vc montar do seu jeito.
O R O R
6 2 3 6 8 3
Jornal A Jornal B 56 – 21=35 21 106 – 35 = 71
66 – 35=31
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05 - Dos 50 desportistas que estão num clube em certo domingo, 17 jogam peteca, 32 jogam tênis de mesa e 25 jogam tênis de mesa mas não jogam peteca. Pode-se afirmar que : a) 49 jogam peteca ou tênis de mesa; b) há 8 desportistas que não jogam peteca nem tênis de mesa; c) há 15 que jogam tênis de mesa mas não jogam peteca; d) há 23 que não jogam peteca; e) somente 8 desportistas não jogam tênis de mesa. Solução: Dos 50 desportistas que estão num clube em certo domingo, 17 jogam peteca, 32 jogam tênis de mesa e 25 jogam tênis de mesa mas não jogam peteca. Pode-se afirmar que : Solução:
a) 49 jogam peteca ou tênis de mesa;(errado , pois a resp é 42) b) há 8 desportistas que não jogam peteca nem tênis de mesa;(certo) c) há 15 que jogam tênis de mesa mas não jogam peteca; (errado , pois a resp é 25) d) há 23 que não jogam peteca; (errado , pois a resp é 33) e) somente 8 desportistas não jogam tênis de mesa;(errado , pois a resp é 18)
06 - Na seqüência de números 1, 2, 3, ..., 100, quantos números não são múltiplos de 3 e nem de 4 ?
a) 50 b) 48 c) 46 d) 44 e) 42
SOLUÇÃO:
Múltiplos de 3 de 1 até 100 , é só dividir por 3 100 ÷ 3 = 33 e resto 1
Múltiplos de 4 de 1 até 100 , é só dividir por 4 100 ÷ 4 = 25
Múltiplos de 12 de 1 até 100 , é só dividir por 12 100 ÷ 12 = 8 e resto 4 O resto não é importante , mas sabemos que os divisores de 3 e 4, são divisíveis por 12, logo:
Peteca Tênis de mesa 17 – 7 = 10 32 – 25 25 = 7
50 – 42 = 8
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Logo temos 50 números que não múltiplos nem de 2 e nem de 4,ok! 07 - No último verão, o professor Délio passou com sua família alguns dias na praia. Houve sol pela manhã em 5 dias e sol à tarde em 8 dias. Em 9 dias houve chuva e se chovia pela manhã, não chovia à tarde. Quantos dias o professor Délio passou na praia? a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 SOLUÇÃO: Sol pela manhã: 05 dias Sol à tarde: 08 dias Chuva: 09 dias( pois se chove pela manhã não chove à tarde) Podemos deduzir que houve dias em deu sol o dia inteiro,Ok!
Sol apenas pela manhã implica em chuva à tarde = 5 – x Sol apenas pela tarde implica em chuva pela manhã = 8 – x
Total de dias com chuva 5 – x + 8 – x = 9 donde 2x = 13 – 9 logo x = 2 dias Ou seja, durante 02 dias deu sol o dia inteiro! Portanto o total de dias que o Prof Délio passou na praia foi : 3 + 2 + 6 = 11 dias
Sol /manhã Sol/tarde
5 – x x 8–x Sol apenas à tarde Sol apenas pela manhã
M(3) M(4)
33 – 8 = 8 25 – 8 =
25 17
100 – (25 + 8 + 17 ) = 50
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E ainda podemos concluir que: durante 03 dias deu sol de manhã e choveu à tarde e durante 06 dias deu sol à tarde e choveu pela manhã.
TESTES I 01. Numa comunidade constituída de 1800 pessoas, há três programas de TV favoritos: Esporte (E), Novela (N) e Humorismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas.
PROGRAMAS Nº DE TELESPECTADORES
E 400
N 1220
H 1080
E e N 220
N e H 800
E e H 180
E, N e H 100
Através destes dados, verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a nenhum dos três programas: a) 200 b) os dados do problema estão incorretos c) 900 d) 100 02.Num grupo de 30 pessoas, 21 estudam Francês, 14 estudam Inglês, enquanto três não estudam Francês nem Inglês. O número de pessoas que estudam ambas as línguas é: a)3 b)4 c)6 d)8 e)13 03. O quadro abaixo mostra o resultado de uma pesquisa, com 75 estudantes universitários, sobre as revistas que eles costumam ler:
Revistas Nº de leitores
A 34
B 25
C 33
A e B 15
A e C 14
B e C 8
A , B e C 5
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O número de estudantes que não lê nenhuma das revistas é:
a)45 b)10 c)15 d)20
04. Dados os conjuntos: A = { 1, 3, 4, 7, 8 } B = { 2, 4, 6, 7 } e C = { 2, 3, 5, 7 },
Então o conjunto (A C) – B é: a) {1, 3, 5, 8 } b) {2, 3, 4, 6, 8 }
c) {3} d) {3,8}
e)
05. O número de conjuntos X que satisfazem
{ 1, 2 } X { 1, 2, 3, 4 } é : a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 06. Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos lêem o jornal A, 21 lêem os jornais A e B, 106 lêem apenas um dos dois jornais e 66 não lêem o jornal B. O valor de n é: a) 249 b) 137 c) 158 d) 127 e) 183 07. Em exames de sangue realizados em 500 moradores de uma região com péssimas condições sanitárias, foi constatada a presença de três tipos de vírus – A, B e C. O resultado dos exames revelou que o vírus A estava presente em 210 moradores; o vírus B, em 230; os vírus A e B, em 80; os vírus A e C, em 90; e os vírus B e C, em 70. Além disso, em 5 moradores não foi detectado nenhum dos três vírus e o número de moradores infectados pelo vírus C era igual ao dobro dos infectados apenas pelo vírus B. Com base nessa situação, julgue os itens abaixo. I. O número de pessoas contaminadas pelos três vírus simultaneamente representa 9% do total de pessoas examinadas. II. O número de moradores que apresentaram o vírus C é igual a 230. III. 345 moradores apresentaram somente um dos vírus. IV. Mais de 140 moradores apresentaram, pelo menos, dois vírus. V. O número de moradores que não foram contaminados pelos vírus B e C representa de 16% do total de pessoas examinadas. 08. Numa cidade são consumidos três produtos, A, B e C. Feito um levantamento do mercado sobre o consumo desses produtos, obteve-se o resultado disposto na tabela abaixo:
Produtos Nº de consumidores
A 150
B 200
C 250
A e B 70
A e C 90
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B e C 80
A, B e C 60
Nenhum dos três 180
Pergunta-se: a) Quantas pessoas consomem apenas o produto A? B) Quantas pessoas consomem o produto A ou o produto B OU O PRODUTO C? C) Quantas pessoas consomem o produto A ou o produto B? D) Quantas pessoas consomem apenas o produto C? E) Quantas pessoas foram consultadas? 09. Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei; 20 jogam vôlei e xadrez; 22 jogam xadrez e tênis; 18 jogam vôlei e tênis, 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis. a) Quantos esportistas jogam tênis e não jogam vôlei? b) Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei? c) Quantos jogam vôlei e não jogam xadrez? 10. Uma população consome 3 marcas de um certo produto P1, P2 e P3. Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se os resultados abaixo:
Marca Nº de consumidores
P1 62
P2 77
P3 60
P1 e P2 22
P2 e P3 35
P1 e P3 30
P1, P2 e P3 10
Nenhum dos três 50
Perguntas:
a) Qual o número de pessoas consultadas? b) Qual o número de pessoas que só consomem a marca P1? c) Qual o número de pessoas que não consomem as marcas P1 ou P3? d) Qual o número de pessoas que consomem, ao menos, duas marcas? 11. Na cidade de Lavras é consumido leite dos tipos: A, B e C. Feita uma pesquisa de Mercado sobre o consumo deste produto, foram colhidos os resultados da tabela abaixo:
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Leite Nº de consumidores
A 100
B 150
C 200
A e B 20
B e C 40
A e C 30
A , B e C 10
Nenhum dos três 130
a) Quantas pessoas foram consultadas? b) Quantas pessoas consomem só dois tipos de leite? c) Quantas pessoas não consomem o leite B? 12. Uma pesquisa foi feita com um grupo de pessoas que freqüentam, pelo menos, uma das três livrarias, A , B e C. Foram obtidos os seguintes dados:
das 90 pessoas que freqüentam a Livraria A, 28 não freqüentam as demais;
das 84 pessoas que freqüentam a Livraria B, 26 não freqüentam as demais;
das 86 pessoas que freqüentam a Livraria C, 24 não freqüentam as demais;
oito pessoas freqüentam as três livrarias. a) Determine o número de pessoas que freqüentam apenas uma das livrarias. b) Determine o número de pessoas que freqüentam, pelo menos, duas livrarias. c) Determine o número total de pessoas ouvidas 13. Uma escola de idiomas ofere apenas três cursos: um curso de alemão, um curso de francês e um curso de inglês. A escola possui 200 alunos e cada aluno pode matricular-se em quantos cursos desejar. No corrente ano, 50% dos alunos estão matriculados no curso de alemão, 30% no curso de françês e 40% no de inglês. Sabendo-se que 5% dos alunos estão matriculados em todos os três cursos, o numero de alunos matriculados em mais de um curso e igual a: A)30 c)15 d)5 B)10 e)20 14. Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B com 3 elementos, e C com 4 elementos; então, podemos afirmar que:
a) A B tem no máximo 1 elemento.
b) A C tem no máximo 5 elementos.
c) A B tem no máximo 3 elementos.
d) (A B) C tem no máximo 2 elementos.
e) (A B) C tem sempre 9 elementos. 15. Num ensolarado domingo o clube ficou repleto. Contando-se somente as mulheres, são 100, 85 das quais estão próximas da piscina, 80 usam bíquini, 75 tomam algum tipo de bebida e 70 são casadas. Qual o número mínimo delas que apresentam , ao mesmo tempo, todas as características citadas? a) 5 b) 10
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c) 15 d) 20 e) 25 16. Fenelon veste-se apressadamente para um encontro muito importante. Pouco antes de pegar as meias na gaveta, falta luz. vEle calcula que tenha 13 pares de meias brancas, 11 pares de meias cinzas, 17 pares de meias azuis e 7 pares de meias pretas. Como elas estão todas misturadas ele resolve pegar um certo número de meias no escuro e, chegando no carro, escolher duas que tenham cor igual para vestir. Qual é o menor número de meias que Fenelon poderá pegar para ter certeza de que pelo menos duas são da mesma cor? a) 12 b) 10 c) 8 d) 6 e) 5 17. (ESAF/Tec.M.Faz/2009) Em um determinado curso de pós-graduação, 1/4 dos participantes são graduados em matemática, 2/5 dos participantes são graduados em geologia, 1/3 dos participantes são graduados em economia, 1/4 dos participantes são graduados em biologia e 1/3 dos participantes são graduados em química. Sabe-se que não há participantes do curso com outras graduações além dessas, e que não há participantes com três ou mais graduações. Assim, qual é o número mais próximo da porcentagem de participantes com duas graduações? a) 40% b) 33% c) 57% d) 50% e) 25% Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 18 . (UnB/Esp./SEGER/2007) Considere que um conjunto de empregados de uma empresa tenha respondido integralmente ao teste apresentado e tenha sido verificado que 15 deles fizeram uso da opção “às vezes”, 9, da opção “raramente” e 13, da opção “sempre”. Além disso, 4 desses empregados usaram as opções “às vezes” e “raramente”, 8 usaram as opções “às vezes” e “sempre”, 4 usaram as opções “raramente” e “sempre”, e 3 usaram “às vezes”, “sempre” e “raramente”. Nessas situação, é correto afirmar que menos de 30 empregados dessa empresa responderam ao teste. Uma pesquisa envolvendo 85 juízes de diversos tribunais revelou que 40 possuíam o título de doutor, 50 possuíam o título de mestre, 20 possuíam somente o título de mestre e não eram professores universitários, 10 possuíam os títulos de doutor e mestre e eram professores universitários, 15 possuíam somente o título de doutor e não eram professores universitários e 10 possuíam os títulos de mestre e doutor e não eram professores universitários. 19. ( ) (UnB/Téc./STF/2008) Menos de 50 desses juízes possuem o título de doutor ou de mestre mas não são professores universitários. 20. ( ) (UnB/Téc./STF/2008) Mais de 3 desses juízes possuem somente o título de doutor e são professores universitários.
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GABARITO
01.A 02. D 03. C 04. C
05.B 06. C 07. C.E.C.C.E
08. a) 50 b) 420 c) 280 d) 140 e) 600
09. a) 36 b) 59 c) 20
10. a) 172 b) 20
c) 80 d) 67
11. a) 500 b) 60
c) 350
12. a) 78 b) 87 c) 165
13. A 14 . D 15. B 16. E
17. C 18. C 19. C 20. C
FRASE DO DIA "Fala-se tanto da necessidade de deixar um planeta melhor para os nossos filhos e esquece-se da urgência de deixarmos nossos filhos melhores para o nosso planeta." A verdade é que a gente não faz filhos. Só faz o layout. Eles mesmos fazem a arte-final.
Luís Fernando Veríssimo
Desafios 01) Numa brincadeira na escola de Diofanto, ele deve retirar o menor número possível de frutas ( sem ver) de uma das três caixas rotuladas da seguinte maneira: maçã, pera e maçã e pera, onde os rótulos estão todos fora de ordem.Quantas frutas ele deve retirar para colocar os rótulos nas caixas corretas e de qual(ais) caixas ele deve fazê-lo? 02) O agente da UCT , Jack Bauer foi entregue ao terrorista Abu Fayed , e o terrorista disse: “ Diga uma frase para salvar sua vida: Se ela for verdadeira, nos te fuzilamos; porém se for falsa, nos te enforcamos.” Jack Bauer pensou rapidamente, disse a frase e saiu livre e vivo, como sempre... Me diga então: - Qual foi a frase dita por Jack ? 03) O DIA DO JULGAMENTO FINAL Segundo uma antiga lenda, quando morremos nos deparamos com dois guardiões que estão à frente de duas portas : uma nos leva ao céu e a outra ao inferno. Não sabemos qual porta é qual, sabemos apenas que um dos guardiões diz sempre a verdade e outro mente sempre, mas também não sabemos qual é qual? Qual a pergunta (e uma só pergunta) que devemos fazer para que possamos desfrutar de uma vida eterna no céu?
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04) Valéria quis saber do amigo enigmático Fenelon Portilho quais eram as idades de seus três filhos. Ele deu a primeira pista : - O produto de suas idades é 36. - Ainda não é possível saber, disse Valéria. - A soma das idades é o número da casa aí em frente. - Ainda não sei. - Meu filho mais velho é ATLETICANO. - Agora já sei, afirmou Valéria. Qual era o número da casa em frente? 05) Investigando uma fraude bancária, o Detetive Marcelo Carvalho colheu evidências que o convenceram da verdade das seguintes afirmações: 1) Se Henrique é culpado, então Rafael é culpado. 2) Se Henrique é inocente, então Rafael ou Pedro são culpados. 3) Se Pedro é inocente, então Rafael é inocente. 4) Se Pedro é culpado, então Henrique é culpado. As evidências colhidas por Carvalho indicam, portanto, que: a)Henrique, Pedro e Rafael são inocentes. b) Henrique, Pedro e Rafael são culpados. c) Henrique e culpado, mas Rafael e Pedro são inocentes. d) Henrique e Rafael são inocentes, mas Pedro e culpado. e) Henrique e Pedro são culpados, mas Rafael e inocente. 06) A banda U2 tem um concerto que começa daqui a 17 minutos e todos precisam cruzar a ponte para chegar lá. Todos os 4 participantes estão do mesmo lado da ponte. Você deve ajudá-los a passar de um lado para o outro. É noite. Na ponte só pode passar no máximo duas pessoas de cada vez. Só há uma lanterna. Qualquer pessoa que passe, uma ou duas, deve passar com a lanterna na mão. A lanterna deve ser levada de um lado para o outro, e não pode ser jogada, etc. Cada membro da banda tem um tempo diferente para passar de um lado para o outro. O par deve andar junto no tempo do menos veloz: Bono:- 1 minuto para passar Edge:- 2 minutos para passar Adam:- 5 minutos para passar Larry:-10 minutos para passar Por exemplo: se o Bono e o Larry passarem juntos, vai demorar 10 minutos para eles chegarem do outro lado. Se o Larry retornar com a lanterna, 20 minutos terão passados e o show sofrerá um atraso. Como organizar a travessia?
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3. ESTRUTURAS LÓGICAS Definição de Lógica
Lógica é a ciência que estuda as leis do pensamento e a arte de aplicá-las corretamente na investigação e demonstração da verdade dos fatos.
Outra definição interessante é a de Liard, que reconhece a Lógica como “ciência das formas do pensamento”, formas essas que podem ser tomadas em sentido geral ou particular. Em sentido geral, temos a Lógica como ciência, estudando as leis formais do raciocínio, como procede e como pensa o nosso espírito; ao passo que em sentido particular, temos a Lógica estudando o modo de ser dessas leis na atividade do espírito, quando ele se aplica em alguma coisa.
Sócrates foi inovador no método e nos tópicos em que ele abordou. Sua contribuição à filosofia ocidental foi essencialmente de caráter ético. Seus ensinamentos visavam chegar ao entendimento de conceitos com justiça, amor e virtude, procurando definições gerais para tais idéias. Ele acreditava que o vício era o resultado da ignorância e que as pessoas não são más por escolha. A virtude vem do conhecimento; aqueles que tem conhecimento têm virtude e, portanto, agem corretamente e as pessoas que não agem eticamente, o fazem por falta de conhecimento. De acordo com sua teoria, uma pessoa que sabe que algo está errado, não agiria apesar de saber que sua ação não seria correta. Sócrates acreditava que virtude é igual a conhecimento, então virtude pode ser ensinada. Sócrates se concentrou no problema do homem, buscando respostas para origem da essência humana. Sócrates chegou à conclusão que o homem é a sua alma, ou seja, o seu consciente; o que o distingue como homem. O homem é a sua razão, seu intelecto, seus conceitos éticos, sua personalidade intelectual e moral e sua consciência.
A lógica, como toda pesquisa filosófico-científico, gira em torno da verdade. Aliás, Aristóteles criou a Lógica como instrumento que mais seguramente o conduzisse à verdade. Aristóteles foi quem criou a lógica o que ele chamava naquela época de analítica. Pois a palavra lógica só será conhecida no período helenístico.
Para Aristóteles a lógica é um instrumento para o exercício do pensamento e da linguagem, oferecendo – lhes meios para realizar o conhecimento e o discurso e não uma ciência teorética, nem pratica nem produtiva, mas um instrumento para as ciências, para o conhecer.
Ele oferece procedimentos que se referem a todas as coisas das quais possamos ter um conhecimento universal e necessário, seu ponto de partida não é opiniões contrárias, mas princípios, regras e leis necessárias e universais do pensamento.
O objeto da lógica para Aristóteles é a proposição, que exprime, por meio da linguagem, os juízos formulados pelo pensamento. A proposição é a atribuição de um predicado a um sujeito.
A lógica estuda os elementos que constituem uma proposição, os tipos de proposições e de Silogismo e os princípios necessários a que toda proposição e todo Silogismo devem obedece para serem verdadeiros.
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Divisão Da Lógica A verdade pode sofrer uma série de conceituações. Vejamos as conseqüentes: Correspondência entre o conhecimento e o objeto - É o conceito mais antigo e que pode ser expresso como “o acordo do pensamento com seus objetivos”. Coerência lógica - Segundo este conhecido em sua essência, em si, afirmando Kant que a verdade consiste na concordância dos pensamentos entre si e com leis do pensamento. Logo, um juízo será verdadeiro quando se ajustar às normas e leis a do pensamento. Utilidade prática - É o conceito de funcionalidade, de utilidade que vai prevalecer. A verdade como utilidade é defendida pelo pragmatismo (pragma=ação), que diz ser verdadeiro um juízo quando se apresentar conseqüente, isto é, quando se revelar eficaz, não só na vida prática, como na vida espiritual. Uma teoria será verdadeira se por meio dela for possível explicar uma série de fenômenos e agir mais eficientemente sobre o meio. No item anterior foi mencionado o termo verdade, é necessário fazer distinção sobre diferentes tipos de verdade, segundo o conjunto de fatos a que ela se referir: Verdade lógico formal - é a que se refere à coerência na estrutura do raciocínio quanto as conclusões alcançadas, obedecendo a princípios formais do pensamento e segundo enunciados estabelecidos, a partir dos quais se desenvolve o pensamento que expressa uma nova proposição, um novo enunciado ou uma nova verdade. Assim, a verdade lógico-formal é a eu representa acordo com as leis do pensamento, a partir de princípios ou definições anteriormente estabelecidos. Verdade objetiva - é a que se refere à conformidade do conhecimento com a coisa conhecida ou a “conformidade do pensar com o ser”. Se digo que o dia está nublado, é preciso que, no instante que faça tal afirmação o céu esteja, realmente, nublado. Verdade ontológica, metafísica ou do ser - é a que se refere à essência mesma das coisas. Quando digo que a manteiga é pura, quero dizer que não foi acrescido nenhum elemento estranho, mas que só contém a natureza própria da manteiga. Em outras palavras, exprime o ser das coisas, correspondendo exatamente ao nome que se lhe dá. Verdade moral - é a que se refere ao agir, à “conformidade da expressão oral com a mente”, podendo receber o nome também de veracidade. A verdade moral significa a correspondência entre a expressão do pensamento e o pensamento. O espírito com relação a verdade, pode encontrar-se nos seguintes estados: Ignorância - ausência de conhecimento. Dúvida - estado de espírito que não se atreve a afirmar ou negar algo sobre o objeto, a dúvida ainda pode ser:
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Espontânea falta dados.
Refletida dados insuficientes.
Metódica quando existe mais de uma atitude mental e todos os dados são verdadeiros.
Universal é representada por uma posição filosófica, dos céticos.
Opinião - consiste em afirmar ou negar algo com temor de estar equivocado. Trata-se de uma crença incompleta, baseada em razões que se sabe são insuficientes. Certeza - A certeza é um estado psicológico que dá segurança absoluta a uma opinião porque não abriga nenhuma dúvida sobre a sua validade, a certeza ainda pode subdividir-se em: Certeza Subjetiva - é aquela em que o sujeito não pode torná-la evidente nos outros, porque se baseia em razões que não podem ser aceitas por todos ou que podem sofrer reservas dos demais. Certeza Objetiva - é aquela que se estrita em dados impessoais e que se impõe a todos por basear-se em dados decorrentes da observação externa e da experiência. É a certeza científica. Vejamos agora, quais os critérios que podem relevar ao espírito a verdade: Critério da autoridade - utilizando-se o crivo das comprovações, é utilizado pela ciência para seqüência as investigações científicas. Critério da Evidência - para Descartes é o único meio de alcançar conhecimentos verdadeiros. É clareza plena pelo qual o verdadeiro se impõe à adesão da inteligência. Critério do Consenso Universal - “Se todos a aceitam é porque é verdadeira”. “A voz do povo é a voz de Deus”. Critério do Sentido Comum - Seria como um instinto que nos revela certas verdades que seriam a própria base da ciência. Neste critério só é verdadeiro se estiver isento de contradições, é um sentido comum a todos os homens. Critério da Necessidade Lógica - critério específico para o estudo da Lógica e da Matemática, nem sempre eficiente no campo das Ciências Físicas Naturais. Critério das Experiências - a verdade pode ser confirmada pela experiência ou que for impossível apresentar o seu contrário. Decorre ainda na investigação da verdade a necessidade de submeter os conhecimentos científicos aos critérios seguintes: Critério da Coerência - é um critério de verdade importante para as ciências de caráter dedutivo, bem como uma condição de todo sistema de conhecimentos.
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Critério da Cópia - é uma correspondência que pode ir desde á reprodução fiel, detalhe por detalhe, até uma reprodução em linhas gerais, abarcando a totalidade: assim como o retrato de uma pessoa pode ir da fotografia até o quadro futurista ou à caricatura. Critério do Sentido - “Segundo o qual um sistema de juízos é verdadeiro se todo ele está compreendido em uma atmosfera única, em uma estrutura que lhe confere unidade e sentido”. A este critério constituem as chamadas ciências do espírito, das quais, a ciência típica é a Filosofia. Critério do Êxito - é aquele dos conhecimentos técnicos, seu valor êxito ou fracasso. Desde que nos referimos a verdade, será interessante dizer algo a respeito do seu oposto, que é o erro. O erro é o oposto da verdade. “Se a verdade lógica é a conformidade da inteligência com as coisas, o erro, que é o seu contrário, deverá ser definido como não-conformidade do juízo com as coisas”. (Jolivet) Há diferença entre engano e ignorância. Enquanto a ignorância consiste em nada saber, logo, nada afirmar, engano consiste em não saber e afirmar sobre o pressuposto de que sabe. É uma ignorância que se ignora. O erro, em Lógica, chama-se falsidade. Em Moral, quando a pessoa erra conscientemente, chama-se mentira. O erro pode ter causa lógica, psicológica ou moral. Causa Lógica - quando provém da insuficiência de inteligência, que não consegue desenvolver uma atividade crítica, ou da apreensão equívoca do significado de termos: Causa Psicológica - quando provém de insuficiência de atenção, de memória, de intuição ou quando provém de reações motivadas inconscientemente, como no caso de recalques ou conturbações intelectual e emotiva, provocada por paixões; Causa Moral - quando provém de atitudes de vaidade, interesses egoísticos, preguiça mental, etc.
RESUMO DA ESTRUTURA LÓGICA Definição: Lógica é a ciência que estuda as leis do pensamento e a arte de aplicá-las na investigação e demonstração da verdade. Lógica é ciência enquanto estuda as leis gerais do pensamento ou a concordância do pensamento consigo mesmo. Lógica é arte enquanto fornece regras a investigação da verdade dos fatos ou a concordância do pensamento com o objeto. Bom senso é a lógica natural, aptidão inata da inteligência para descobrir a verdade. A Lógica como ciência consta de: Matéria - O que se investiga (leis do pensamento). Forma - Como se investiga ou se aplica (método). Objeto da Lógica: Material - Elementos do pensamento (idéia, juízo e raciocínio). Formal - Uso correto das operações mentais para se chegar ao conhecimento da verdade.
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Divisão da Lógica: Formal - Estuda as leis gerais do pensamento. É a ciência do raciocínio. Aplicada - Estuda a aplicação das leis gerais do pensamento em cada uma das ciências particulares.
4. PARTES DA LÓGICA
A Lógica Formal trata das leis gerais do pensamento, no que eles tenham de “igual e comum”, o que as torna universais e aplicáveis em todas as operações do intelecto. Podemos identificar, na Lógica Formal, três partes distintas constituindo um todo indissolúvel, que é o pensar humano. Estas três partes são: idéia, juízo e raciocínio, enquanto pensamento. E termo, proposição e argumento, respectivamente enquanto representação sensível, concreta, por sons orais ou por quaisquer símbolos representativos. Em outras palavras, a idéia se manifesta através do termo, o juízo pela proposição e o raciocínio pela argumentação. Assim, o estudo da idéia e termo, juízo e preposição, raciocínio e argumento constituem as preocupações da Lógica Formal. Idéia = Homem, Brasil, Zé, etc Proposição = O homem é um eterno esperançoso. Raciocínio = Toda esperança é vida; eu sou esperança ; logo eu sou vida IDÉIA IDÉIA - é o conceito ou a noção de como a nossa inteligência percebe um objeto, uma situação ou um desejo. É a forma como algo (um objeto) é percebido pela nossa inteligência. Nem todas idéias no entanto são imagens, muitas são puramente intelectuais, fruto de abstração, para os quais não há imagem de objeto algum. Quando pensamos em uma cadeira ou um lápis, realmente fazemos uma representação intelectual desses objetos. Quando, no entanto, pensamos em pátria, existência ou eternidade, não fazemos representação mental alguma. O que dá validade, neste caso, à idéia é o sentido, a significação de que as mesmas são portadores. As idéias podem estar em planos diferentes por exemplo os objetos estão no plano concreto, as desmaterializadas são idéias menos concretas e que permitem o desenvolvimento da Matemática e num terceiro plano as idéia abstratas de pura especulação intelectual. Compreensão da Idéia Não é mais do que a sua significação. A compreensão pode ser identificada com a qualidade. As qualidades que uma idéia reúne formam sua compreensão. Se dizemos homem, compreendemos animal, mamífero, bímano (que tem duas mãos), racional, etc., que são as suas notas compreensivas ou qualitativas. Extensão da Idéia Não é mais que o conjunto de indivíduos aos quais podemos aplicá-la, por se acharem compreendidos nela. A extensão pode ser identificada com a quantidade. Se dizemos animal, reunimos ou somamos os grupos de vertebrados, invertebrados, mamíferos, racionais, irracionais etc. Dizendo homem, só nos referimos aos animais racionais, ao passo que animal, estão subentendidos todos os animais racionais ou não. Toda idéia tem compreensão e extensão determinadas, variando, porém, em ordem inversa. Daí a lei: A compreensão de uma idéia está na ordem inversa de sua extensão. OBS.: A idéia não deve encerrar nenhum elemento contraditório. Todas as idéias tendem para certa realidade. Quando não apresentam objetos da realidade, podem apresentar noções abstratas, sem existência objetiva. Devem se excluir da idéia elementos incompatíveis como: círculo quadrado
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Esfera plana Sol sem luz A contradição muitas vezes existe em uma idéia e passa despercebida. O que nos preserva, no entanto, desse engano, é a definição, que será tratada mais adiante. Divisão das Idéias As idéias podem ser consideradas segundo a perfeição de representar o objeto, a compreensão e a extensão. Idéias quanto à perfeição: Adequada - quando se esgota o que pode ser conhecido da coisa: relâmpago, Zé. A idéia é inadequada quando não se esgota o sentido do ser conhecido, podendo referir-se a mais de uma coisa: clarão, som, vulto. Clara - quando os elementos percebidos são suficientes para distinguí-la das outras: homem, peixe. Será obscura quando não oferecer elementos suficientemente diferenciativos: objeto voador (não sabemos o que é), animal peludo (qual? poderia ser macaco ou um urso, por exemplo). Distinta - quando a idéia se apresenta com todos os seus dados significativos individualizantes: relógio - pulseira de ouro, marca Ômega. Será confusa quando não tiver esses elementos diferenciativos: relógio, veículo. Idéia quanto à compreensão: Superficial - quando consta de um só elemento significativo: ser, ente. Completa - quando consta de mais de um elemento significativo: homem, Brasil, foguete. Idéias quanto à extensão: Superficial - quando designa especificamente um determinado ser: este lápis, o primeiro satélite artificial. Particular - quando designa parte de uma classe ou gênero de seres: muitos soldados, alguns aviões. Universal - quando designa todos os seres de uma mesma espécie ou gênero, por conter a sua compreensão um elemento ou essência comum, ou ainda, quando exprime uma noção despojada de qualquer elemento sensível, obtida pela abstração. As idéias universais distribuem-se pelo gênero, espécie, diferença, próprio e acidente, conforme se segue respectivamente: animal (gênero), homem (espécie), racional (diferença), palavra (próprio) e pobre (acidente). Idéias Universais - Na classificação das idéias, as universais merecem atenção especial. Elas se distribuem, como vimos por gênero, espécie, diferença, próprio e acidente. TERMO É a expressão material da idéia e que permite a sua transmissão de um homem par a outro. O termo segue as mesmas linhas mestras da idéia, e não poderia ser diferente, uma vez que é a sua representação concreta. O termo, como a idéia, pode ser dividido quanto à perfeição de representação, extensão e compreensão.
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Termos quanto à Perfeição na Represen-tação da Idéia: Unívoco - quando se aplica a uma só idéia: homem, Deus. Equívoco - quando se aplica a idéias diversas: manga (parte do vestuário), manga (fruta), gato (animal), gato (elogio). Análogo - quando se aplica a diversas idéias que se relacionam por alguma semelhança: grandeza, riqueza e poderio; doença miséria e pobreza. Termo quanto à Compreensão: Incomplexo - quando o termo é expresso por um só elemento vocabular: rádio, televisão. Complexo - quando o termo é expresso por um só elemento vocabular: homem santo, pedra grande, navio-escola. Termos quanto à Extensão: Singular - quando o termo convém a um só indivíduo: Pelé, Brasil. Particular - quando convém a certo número de indivíduos: alguns livros, muitos satélites artificiais. Universal - quando representa uma idéia universal, convindo a todos ou nenhum indivíduo de uma espécie ou gênero: todo animal, nenhum telefone. Um termo pode também ser considerado em função ao enunciado de um juízo e no papel que desempenha em um silogismo. JUÍZO
O juízo representa o ato em que o pensamento afirma ou nega uma coisa de outra. O pensamento apreende no universo lógico de duas idéias e as aproxima. A seguir, procede a uma comparação, da qual resultará um julgamento de conveniência ou incoveniência entre as duas idéias. Este julgamento do pensamento é a essência do juízo. Nele reside todo o valor deste ato intelectual.
O juízo processa-se em três fases: apreensão das idéias, comparação das mesmas e julgamento da conveniência e incoveniência de uma com a outra.
O juízo em si não é verdadeiro nem falso, mas possível ou impossível. Possível quando as idéias comparadas não são contraditórias e impossível, quando o são. Assim, o juízo “João é inteligente”, é possível e o juízo “O círculo é quadrado”, é impossível.
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PREMISSA Do latim : praemissa Cada uma das duas proposições de um silogismo. SILOGISMO Do latim : syllogismus Dedução formal tal que, postas duas proposições, chamadas premissas, delas se tira uma terceira, nelas logicamente implicada, chamada conclusão. Exemplos de silogismos: 01. Deus ajuda quem cedo madruga... Quem cedo madruga, dorme à tarde... Quem dorme à tarde, não dorme à noite... Quem não dorme à noite, sai na balada!!!!!!! Conclusão: Deus ajuda quem sai na balada!!!! 02. Imagine um pedaço de queijo suíço, daqueles bem cheios de buracos. Quanto mais queijo, mais buracos. Cada buraco ocupa o lugar em que haveria queijo. Assim, quanto mais buracos, menos queijo. Quanto mais queijos mais buracos, e quanto mais buracos, menos queijo. Logo, quanto mais queijo, menos queijo. 03. Toda regra tem exceção. Isto é uma regra. Logo, deveria ter exceção. Portanto, nem toda regra tem exceção. 04. Existem biscoitos feitos de água e sal. O mar é feito de água e sal. Logo, o mar pode ser um biscoitão. 05. Quando bebemos, ficamos bêbados. Quando estamos bêbados, dormimos. Quando dormimos, não cometemos pecados. Quando não cometemos pecados, vamos para o Céu. Então, vamos beber para ir pro Céu! 06. Hoje em dia, os trabalhadores não têm tempo pra nada. Já os vagabundos... têm todo o tempo do mundo. Tempo é dinheiro. Logo, os vagabundos tem mais dinheiro do que os trabalhadores.
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PROPOSIÇÃO “Vem de “propor” que significa submeter à apreciação; requerer em juízo, vem do latim
prõpõnere. Logo proposição é uma frase a ser julgada.” Chama-se proposição ou sentença toda declarativa que pode ser classificada de verdadeira ou de falsa, ou seja, é todo encadeamento de termos, palavras ou símbolos que expressam um pensamento de sentido completo. Toda proposição apresenta três características obrigatórias: sendo oração, tem sujeito e predicado; é declarativa (não é exclamativa nem interrogativa) tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é verdadeira(V) ou é falsa (F). Exemplos: São proposições:
a) 9 5 ( nove é diferente de cinco)
b) 7 3 ( sete é maior que três) c) Hoje é quinta – feira. d) Botafogo é o melhor time do Brasil. e) Todo animal é um vegetal. Não são consideradas proposições as frases: f) 3 . 5 + 1 ( onde falta predicado)
g) x Q ( que é oração interrogativa) h) 3x - 1=11 (não pode ser classificada em verdadeira ou falsa).
i) Quem vai ganhar hoje? Questões de Provas 01.(UNB/2007)Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. 1.“A frase dentro destas aspas é uma mentira.” 2.A expressão X + Y é positiva. 3.O valor de 4 + 3 = 7 . 4.Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. 5.O que é isto? 02. (UnB/Téc./SEGER/ES/2006) Considere a seguinte lista de frases: 1 Rio Branco é a capital do estado de Rondônia. 2 Qual é o horário do filme? 3 O Brasil é pentacampeão de futebol. 4 Que belas flores! 5 Marlene não é atriz e Djanira é pintora. É correto dizer que há exatamente 04 proposições acima.
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PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS.
• Toda proposição que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma é dita simples, caso contrário ela é dita composta.
• Exemplos: a) A afirmação : O sol é uma estrela, é uma proposição, cujo valor lógico é verdadeiro. b) Todo ser vivo é mamífero é uma proposição, cujo valor lógico é falso. c) Todo homem é mortal, é verdadeira.
d) 3+5 8; é uma proposição falsa simples. e) O sol é uma estrela e o gelo é quente, é uma proposição falsa composta. f) A proposição: Se o gato late, então o cachorro mia”, é uma proposição verdadeira.
5. CONECTIVOS LÓGICOS
São expressões que servem para unir duas proposições ou transformar uma proposição formando uma nova proposição. Os conectivos lógicos básicos são: não, e, ou, se, ..., então, e se e somente se. AS TABELAS VERDADE A lógica clássica é governada por três princípios (entre outros) que podem ser formulados como segue:
Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo.
Princípio da Contradição: Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), uma delas é falsa.
Princípio do Terceiro Excluído: Dadas duas proposições contraditórias, uma delas é verdadeira.
Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica clássica é bivalente.
Ao analisarmos uma proposição ela poderá ser verdadeira ou falsa, assim podemos construir o corpo de uma tabela-verdade.
A B
V V
V F
F V
F F
Ou ainda se tivermos julgando três proposições o corpo da tabela-verdade ficaria assim:
A B C
V V V
V V F
V F V
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V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
E continuando se tivermos 04 proposições teríamos uma tabela de 16 linhas pois seriam 2 x 2 x 2 x 2 = 24 = 16 possibilidades de valorações das proposições.
CONJUNÇÃO
A conjunção A B é verdadeira se A e B são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então A
B é falsa. Este critério está resumido na tabela ao abaixo, onde são examinadas todas as possibilidades para A e B.
Este critério está resumido A B A B
Na tabela-verdade ao lado V V F F
V F V F
V F F F
Exemplos: A: O sol é uma estrela (V) B: A lua é uma estrela (F)
A B: O sol é uma estrela e a lua é uma estrela, é uma proposição falsa (F). A: 5>3 (V) B: 3>1 (V)
A B: 5 > 3 e 3 > 1, É uma proposição verdadeira. A : 3 + 4 = 7 B : é “Pedro é magro”
A B: 3 + 4 = 7 e “Pedro é magro” é uma proposição que pode ser verdadeira (V) ou falsa (F) dependendo do valor lógico de q, a qual pode ser verdadeira (V) ou falsa (F).
DISJUNÇÃO
A disjunção p q é verdadeira se ao menos uma das proposições p ou q é verdadeira; se p e q são ambas
falsas, então p q é falsa.
Este critério está resumido A B A B
Na tabela-verdade ao lado V V F F
V F V F
V V V F
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Exemplos: p: “O sol é uma estrela” (V) q: “O gelo é quente” (F)
p q: “O sol é uma estrela ou o gelo é quente” é uma proposição verdadeira. p: 4<3 (F) q: “todo ser vivo é mamífero” (F)
p q: 4>3 ou “todo ser vivo é mamífero” é uma proposição falsa. p: A terra é quadrada (F) q: “João Paulo é especial”
p q: “Altera é quadrada ou João Paulo é especial” pode ser uma proposição verdadeira ou falsa, dependendo do valor lógico de q.
Questões de Prova
03. (Delegado da Polícia Civil/ES) Uma proposição é uma frase afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa, mas não ambos. Uma dedução lógica é uma seqüência de proposições, e é considerada correta quando, partindo-se de proposições verdadeiras, denominadas premissas, obtêm-se proposições sempre verdadeiras, sendo a última delas denominada conclusão. Considerando essas informações, julgue os itens a seguir, a respeito de proposições. Considere verdadeiras as duas premissas abaixo: O raciocínio de Pedro está correto, ou o julgamento de Paulo foi injusto. O raciocínio de Pedro não está correto. Portanto, se a conclusão for a proposição, O julgamento de Paulo foi injusto, tem-se uma dedução lógica correta. 04. (UnB/Analista/TRT-1ªR./2008) Considere que são V as seguintes proposições: - “Se Joaquim é desembargador ou Joaquim é ministro, então Joaquim é bacharel em direito”; - “Joaquim é ministro”. Nessa situação, conclui-se que também é V a proposição a) Joaquim não é desembargador. b) Joaquim não é desembargador, mas é ministro. c) Se Joaquim é bacharel em direito então Joaquim é desembargador. d) Se Joaquim não é desembargador nem ministro, então Joaquim não é bacharel em direito. e) Joaquim é bacharel em direito.
CONDICIONAL
Ainda a partir de proposições dadas podemos construir novas proposições através do emprego de outros dois símbolos lógicos chamados condicionais: o condicional se ... então.... (símbolo:);
e o bicondicional ... se, e somente se ... (símbolo: ).
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O condicional se A, então B (AB) é falso somente quandoA é verdadeira e B é falsa; caso contrário pq é verdadeiro. DICA : “A CONDICIONAL SÓ SERÁ FALSA NO VALÉRIA FALOU TÁ FALADO”
Veja a tabela-verdade A B A B
Correspondente à proposição A B:
V V F F
V F V F
V F V V
Exemplos 01. A: O sol é uma estrela (V) B: A lua é uma estrela (F) A B: O sol é uma estrela então a lua é uma estrela é uma proposição falsa. 02. A: A terra é quadrada (F) B: Miguel é especial A B: A terra é quadrada então Miguel é especial será sempre verdadeira independentemente do valor lógico de B. 03. Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo: a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento. b) Camile e Carla não foram ao casamento. c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou. d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou. e) Vera e Vanderléia não viajaram. Solução: Finalmente, a última conclusão que iremos extrair, com base no nosso quadro-resumo que rege a estrutura em tela, é a seguinte: Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. (F) (F) Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. (F) (F) Se Vanderléia viajou, o navio afundou. (F) (F) Ora, o navio não afundou. (V) Pronto! Agora, resta-nos elencar as conclusões todas do nosso raciocínio. Foram as seguintes: O navio não afundou. (premissa incondicional, “verdade” do enunciado); Vanderléia não viajou. (conclusão da terceira proposição); Carla foi ao casamento. (conclusão da segunda proposição); Vera não viajou. (conclusão da primeira proposição).
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Daí, compararemos nossas conclusões acima com as opções de resposta. E chegamos, enfim, à resposta da questão, que é a opção E (Vera e Vanderléia não viajaram). 04.Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia. Se Beatriz briga com Bia, então Bia vai ao bar. Se Bia vai ao bar, então Beto briga com Bia. Ora, Beto não briga com Bia. Logo: a) Bia não vai ao bar e Beatriz briga com Bia b) Bia vai ao bar e Beatriz briga com Bia c) Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga com Beatriz d) Beatriz briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz e) Beatriz não briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz Já sabemos que esta última premissa (“Beto não briga com Bia”) é a premissa incondicional, a “verdade” do enunciado e ponto de partida da resolução da questão! Nesta resolução, saltaremos os saltos intermediários, e apresentaremos já todo o raciocínio desenvolvido. Ok? Teremos o seguinte: Se Beraldo briga com Beatriz (F), então Beatriz briga com Bia. (F) Se Beatriz briga com Bia (F), então Bia vai ao bar.(F) Se Bia vai ao bar (F) , então Beto briga com Bia.(F) Ora, Beto não briga com Bia. (V) Daí, as conclusões que extrairemos do nosso raciocínio são as seguintes: Beto não briga com Bia. (“premissa incondicional”); Bia não vai ao bar. (conclusão da terceira premissa); Beatriz não briga com Bia. (conclusão da segunda premissa); Beraldo não briga com Beatriz. Em comparação com as opções de resposta, concluímos que a resposta correta será o item C (“Beatriz não briga com Bia e Beraldo não briga com Beatriz”). Analise esta agora... Na música do Engenheiros Do Hawaii ... “Crimes perfeitos não deixam suspeitos”(Humberto Gessinger): é verdadeira, logo:
- Renato cometeu um crime. - Renato é suspeito.
- Logo o crime não foi perfeito.
QUESTÕES DE PROVA 05. (Delegado da Polícia Civil/Es) Uma proposição é uma frase afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa, mas não ambos. Uma dedução lógica é uma seqüência de proposições, e é considerada correta quando, partindo-se de proposições verdadeiras, denominadas premissas, obtêm-se proposições sempre verdadeiras, sendo a última delas denominada conclusão. Considerando essas informações, julgue os itens a seguir, a respeito de proposições. Considere a seguinte seqüência de proposições:
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(1) Se o crime foi perfeito, então o criminoso não foi preso. (2) O criminoso não foi preso. (3) Portanto, o crime foi perfeito. Se (1) e (2) são premissas verdadeiras, então a proposição (3), a conclusão, é verdadeira, e a seqüência é uma dedução lógica correta. (Petrobrás/2008) Considere as seguintes frases. I Todos os empregados da PETROBRAS são ricos. II Os cariocas são alegres. III Marcelo é empregado da PETROBRAS. IV Nenhum indivíduo alegre é rico. Admitindo que as quatro frases acima sejam verdadeiras e considerando suas implicações, julgue os itens que se seguem. 06. ( ) Nenhum indivíduo rico é alegre, mas os cariocas, apesar de não serem ricos, são alegres. 07. ( ) Marcelo não é carioca, mas é um indivíduo rico. 08. ( ) Existe pelo menos um empregado da PETROBRAS que é carioca. 09. ( ) Alguns cariocas são ricos, são empregados da PETROBRAS e são alegres. 10.(ESAF) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim, a) estudo e fumo. b) não fumo e surfo. c) não velejo e não fumo. d) estudo e não fumo. e) fumo e surfo. 11.(ESAF) Se não leio, não compreendo. Se jogo, não leio. Se não desisto, compreendo. Se é feriado, não desisto. Então, a) se jogo, não é feriado. b) se não jogo, é feriado. c) se é feriado, não leio. d) se não é feriado, leio. e) se é feriado, jogo.
Frase do dia: 'Um cigarro encurta a vida em 2 minutos… Uma garrafa de álcool encurta a vida em 4 minutos… Um dia de trabalho encurta a vida em 8 horas' , logo ... Trabalhe menos e divirta-se mais!!!
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NEGAÇÃO: ~A
A proposição ~A tem sempre valor oposto de A, isto é, ~A é verdadeira quando A é falsa e ~A é falsa
quando A é verdadeira. Veja na Tabela-verdade a seguir:
A ~A
V F
F V
Exemplos: A negação da proposição: Todo ser vivo é mamífero, é a proposição: nem todo ser vivo é mamífero ou, Existe, pelo menos, um ser vivo que não é mamífero. A negação da proposição: O sol é uma estrela, é a proposição: O sol não é uma estrela.
A negação da proposição: 3+5=8 é a proposição: 3+5 8. Se p é a proposição: Existe um homem que é mortal, então a negação de p é a proposição: ~p dada por Não existe um homem que seja mortal, ou ainda: Nenhum homem é mortal.
Proposição Negação direta Equivalente da Negação
A e B Não (A e B) Não A ou não B
A ou B Não (A ou B) Não A e não B
Se A então B Não (se A então B) A e não B
A se e somente se B Não (A se e somente se B) (A e não B) ou (B e não A)
Todo A é B Não (Todo A é B) Algum A não é B
Algum A é B Não (Algum A é B) Nenhum A é B
A negação da proposição: Todo ser vivo é mamífero, é a proposição: nem todo ser vivo é mamífero ou, Existe, pelo menos, um ser vivo que não é mamífero; A negação da proposição: Tenho 1,80m de altura e você está pisando no meu pé é: Não tenho 1,80m de altura ou você não está pisando no meu pé;
A negação da proposição: 3+5=8 é a proposição: 3+5 8; Se p é a proposição: Existe um homem que é mortal, então a negação de p é a proposição: ~p dada por Não existe um homem que seja mortal, ou ainda : Nenhum homem é mortal.
A negação de 3 > 1 é 3 1;
A negação de x 2 é x < 2;
A negação de y < 5 é y 5;
A negação de x 6 é x > 6
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QUESTÕES DE PROVA
12. (UnB/Téc./SEGER/ES/2006) A proposição “O estado do Espírito Santo não é produtor de petróleo ou Guarapari não tem lindas praias” corresponde à negação da proposição “O estado do Espírito Santo é produtor de petróleo e Guarapari tem lindas praias.”
13. Considere que P, Q e R sejam proposições lógicas e que os símbolos “ ”, “ ”, “→” e “≦” representem, respectivamente, os conectivos “ou”, “e”, “implica” e “negação”. As proposições são julgadas como verdadeiras – V – ou como falsas – F. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes relacionados a lógica proposicional.
( ) (UnB/Téc./STF/2008) A última coluna da tabela-verdade abaixo corresponde à proposição (P R) Q.
P Q R P R
V V V V
V V F V
V F V F
V F F V
F V V F
F V F V
F F V F
F F F V
14. ( ) (UnB/Téc./STF/2008) A última coluna da tabela-verdade abaixo corresponde à proposição (¬P)
(Q R).
P Q R P Q R
V V V V
V V F F
V F V V
V F F V
F V V V
F V F V
F F V V
F F F V
Vejamos agora outro tipo de raciocínio:
Se Valéria não fala italiano, então Adilson fala alemão. Se Valéria fala italiano, então ou Fenelon fala chinês ou Nestor fala dinamarquês. Se Nestor fala dinamarquês, Leonardo fala espanhol. Mas Leonardo fala espanhol se e somente se não for verdade que Franz não fala francês. Ora, Franz não fala francês e Fenelon não fala chinês. Logo, a) Valéria não fala italiano e Nestor não fala dinamarquês.
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b) Fenelon não fala chinês e Nestor fala dinamarquês. c) Franz não fala francês e Leonardo fala espanhol. d) Adilson não fala alemão ou Valéria fala italiano. e) Adilson fala alemão e Nestor fala dinamarquês. Solução: Observe o aluno que grande argumento, vamos ver quantas são as premissas (afirmações lógicas com sentido completo) (P1) Se Valéria não fala italiano, então Adilson fala alemão. (P2) Se Valéria fala italiano, então ou Fenelon fala chinês ou Nestor fala dinamarquês. (P3) Se Nestor fala dinamarquês, Leonardo fala espanhol. (P4) Mas Leonardo fala espanhol se e somente se não for verdade que Franz não fala francês. (P5) Ora, Franz não fala francês e Fenelon não fala chinês. Logo, (ai vem a conclusão que é uma das alternativas)
Ao todo são cinco premissas, formadas pelos mais diversos conectivos (SE ENTÃO, OU, SE E SOMENTE SE, E).Mas o que importa para resolver este tipo de argumento lógico é que ele só será válido quando todas as premissas forem verdadeiras, a conclusão também for verdadeira.
Uma boa dica é sempre começar pela premissa formada com o conectivo E, pois é este conectivo tem uma regra interessante, vamos lembrar: Uma proposição composta pelo conectivo E, só vai ser verdadeira quando todas as proposições que a formarem também forem verdadeiras, então, por exemplo:
“Ana foi à praia E Paulo foi dormir, só será verdadeiro quando Ana realmente for à praia e Paulo realmente for dormir”.
Na premissa 5 tem-se: Franz não fala francês e Fenelon não fala chinês. Logo para esta proposição composta pelo conectivo E ser verdadeira as premissas simples que a compõe deverão ser verdadeiras, ou seja, sabemos que:
Franz não fala francês Fenelon não fala chinês
Na premissa 4 temos:
Leonardo fala espanhol se e somente se não for verdade que Franz não fala francês. Temos uma proposição composta formada pelo se e somente se, neste caso, esta premissa será verdadeira se as proposições que a formarem forem de mesmo valor lógico, ou ambas verdadeiras ou ambas falsas, ou seja, como se deseja que não seja verdade que Franz não fala francês e ele fala, isto já é falso e o antecedente do SE E SOMENTE SE também terá que ser falso, ou seja:
Leonardo não fala espanhol
Da premissa 3 tem-se: Se Nestor fala dinamarquês, Leonardo fala espanhol. Uma premissa composta formada por outras duas simples conectadas pelo SE ENTÃO (veja que a vírgula subentende que existe o ENTÃO), pois é, a regra do SE ENTÃO é que ele só vai ser falso se o seu antecedente for verdadeiro e o seu conseqüente for falso, da premissa 4 sabemos que Leonardo não fala espanhol, logo, para que a premissa seja verdadeira só poderemos aceitar um valor lógico possível para o
antecedente, ou seja, ele deverá ser falso, pois F F = V, logo:
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Nestor não fala dinamarquês
Da premissa 2 temos: Se Valéria fala italiano, então ou Fenelon fala chinês ou Nestor fala dinamarquês. Vamos analisar o conseqüente do SE ENTÃO, observe: ou Fenelon fala chinês ou Nestor fala dinamarquês. (temos um OU EXCLUSIVO, cuja regra é, o OU EXCLUSIVO, só vai ser falso se ambas forem verdadeiras, ou ambas falsas), no caso como Fenelon não fala chinês e Nestor não fala dinamarquês, temos: F ou exclusivo F = F.
Se o conseqüente deu falso, então o antecedente também deverá ser falso para que a premissa seja verdadeira, logo:
Valéria não fala italiano
Da premissa 1 tem-se: Se Valéria não fala italiano, então Adilson fala alemão.
Ora ocorreu o antecedente, vamos reparar no conseqüente........Só será verdadeiro quando V V = V pois se o primeiro ocorrer e o segundo não teremos o Falso na premissa que é indesejado, desse modo:
Adilson fala alemão.
Observe que ao analisar todas as premissas, e tornarmos todas verdadeiras obtivemos as seguintes afirmações:
Franz não fala francês Fenelon não fala chinês Leonardo não fala espanhol Nestor não fala dinamarquês Valéria não fala italiano Adilson fala alemão. Resposta alternativa A.
Frase do dia:
Feliz é aquele que é tão bonito quanto a mãe acha que é. Tem tanto
dinheiro quanto o filho dele acha que tem. Tem tantas mulheres quanto a mulher dele acha que ele tem.
E é tão bom de cama como ele acha que é.
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BICONDICIONAL
O condicional A se e somente se B (A B) é verdadeiro somente quando A e B são ambas verdadeiras ou
ambas falsas; se isso não acontecer o condicional é falso.
Exemplos:
• A: 4<3 (F) • B: 5<2 (F)
• A B : 4<3 se, e somente, se 5<2 é verdadeira. • A : O sol é uma estrela (V) • B : A lua é uma estrela (F)
• A B: O sol é uma estrela, se, e somente se, a lua é uma estrela, é uma proposição falsa.
“Um homem de 40 anos é um homem de meia idade, pois o trabalho já não dá muito prazer e o prazer dá muito trabalho!” ...entenderam? Vice-versa.....
Palavras do Prof. Fenelon Portilho
TAUTOLOGIAS São formas proposicionais cujos exemplos de substituição são sempre proposições verdadeiras, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que as compõem. ‘‘A negação de uma tautologia é sempre uma contradição, enquanto, a negação de uma contradição é sempre uma tautologia.’’
Exemplo 01: (p ~p) (q p) é uma tautologia pois:
p q ~p p ~p q p (p ~p) (q p)
V V F F V V
V F F F V V
F V V F V V
F F V F V V
Exemplo 02. ~(p q) (~p ~q) é uma tautologia pois:
BICONDICIONAL A se e somente se B A B
A B A B
V V V
V F F
F V F
F F V
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p q p q ~(p q) ~p ~q ~p ~q ~(p q) (~p ~q)
V V V F F F F V
V F F V F V V V
F V F V V F V V
F F F V V V V V
REDUNDÂNCIAS Explore as seguintes tautologias, recorrências, pleonasmos e redundâncias: Ele fez uma previsão antecipada: se é previsão só pode ser antecipada. Uma previsão que fosse feita após o acontecido seria uma constatação, que nem por este motivo precisa ser posterior, no máximo pode ser tardia ou passar despercebida. Toda previsão já é fadada ao fracasso. Uma que não fosse antecipada sequer seria previsão. Descobriu-se o elo de ligação: sempre suspeitei que todo elo só pode ser algo com que liga outro algo a alguma coisa. Portanto, todo elo só existe se for elemento de ligação. Dado que um objeto que se parece com um elo, mas que está fora de uma cadeia não subsiste por falta de suporte, chamamos o elo de outro nome. Nada é perfeito: Nem poderia ser já que nada, por definição, é ... nada. Para corrigir essa afirmação que confunde a cabeça e não diz nada, temos de mudar agora para: tudo é imperfeito. Essa afirmação sim tem consistência e diz algo.
CONTRADIÇÕES São formas proposicionais cujos exemplos de substituição são sempre proposições falsas, independente dos valores lógicos das proposições simples que as contém. Exemplo: p e ~p é uma contradição, pois como uma proposição p e sua negação ~p não podem ser ambas verdadeiras, temos que a proposição p e ~p é sempre falsa, independentemente do valor lógico de p. Logo a forma proposicional p e ~p é uma contradição.
Veja a tabela-verdade ao lado p ~p p ~p
V F
F V
F F
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QUESTÕES DE PROVA
Texto para os itens de 25 a 34 Proposições são afirmações que podem ser julgadas como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não ambos.
Proposições simples são denotadas, por exemplo, pelas letras iniciais maiúsculas do alfabeto: A, B, C etc. A
partir das proposições simples, são construídas proposições compostas, simbolizadas pelas formas A B,
que é lida como “A e B”, e que é V quando A e B são V, caso contrário é F; A B, que é lida como “ou A ou B”, e que é F quando A e B são F, caso contrário é V; A→B, que é lida como “se A então B”, e que é F quando A é V e B é F, caso contrário é V; e ainda ≦A, que é lida como “não A”, que é V; se A é F e é F se A é V. Parênteses podem ser usados para delimitar as proposições. As letras maiúsculas P, Q, R serão usadas para representar proposições compostas quaisquer. Considerando as definições apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. 15) ( ) (UnB/Esp./SEGER/2007) Na lista de afirmações abaixo, há exatamente 3 proposições. • Mariana mora em Piúma. • Em Vila Velha, visite o Convento da Penha. • A expressão algébrica x + y é positiva. • Se Joana é economista, então ela não entende de políticas públicas. • A SEGER oferece 220 vagas em concurso público. 16 ( )(UnB/Esp./SEGER/2007) Existem exatamente 8 combinações de valorações das proposições simples A,
B e C para as quais a proposição composta (A B) (¬C) pode ser avaliada, assumindo valoração V ou F.
17) ( )(UnB/Esp./SEGER/2007) Toda proposição da forma (P→Q) (¬Q→¬P) é uma tautologia, isto é, tem somente a valoração V.
18) ( ) (UnB/Esp./SEGER/2007) Se P→Q é F, então ¬P Q é V. 19) ( ) (UnB/Esp./SEGER/2007) Existem, no máximo, duas combinações de valoração das proposições P e Q
para as quais a proposição ¬P ¬Q assume valoração V Uma seqüência de três proposições – I, II e III –, em que as duas primeiras – I e II – são hipóteses e verdadeiras, e a terceira – III – é verdadeira por conseqüência das duas hipóteses serem verdadeiras, constitui um raciocínio lógico correto. De acordo com essas informações e considerando o texto, julgue os itens que se seguem acerca de raciocínio lógico. 20) ( ) (UnB/Esp./SEGER/2007) Considere a seguinte seqüência de proposições: I - Ou Penha não é linda ou Penha vencerá o concurso. II - Penha não vencerá o concurso. III- Penha não é linda. Nessa situação, a seqüência de proposições constitui um raciocínio lógico correto. 21) ( ) (UnB/Esp./SEGER/2007) Considere a seguinte seqüência de proposições: I - Ou Josélia é ótima estagiária ou Josélia tem salário baixo. II - Josélia é ótima estagiária. III - Josélia tem salário baixo.
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Nessa situação, essa seqüência constitui um raciocínio lógico correto. No teste a seguir, elaborado com base em uma pesquisa internacional sobre auto-estima, o entrevistado deve marcar a opção que mais se aplica ao seu caso, em cada tópico. Considere que um entrevistado tenha assinalado as opções especificadas abaixo
A partir dessas informações, julgue os itens seguintes. 22) ( ) (UnB/Esp./SEGER/2007) A proposição “Se o referido entrevistado às vezes se ofende ao receber críticas, então ele raramente costuma exagerar seus defeitos e minimizar suas qualidades” é verdadeira. 23) ( ) (UnB/Esp./SEGER/2007) A proposição “Sempre que o referido entrevistado passa por períodos de estresse, sua saúde fica debilitada e ele acaba doente e, além disso, ele raramente costuma exagerar seus defeitos e minimizar suas qualidades” é falsa. 24) ( ) (UnB/Esp./SEGER/2007) Considere que um conjunto de empregados de uma empresa tenha respondido integralmente ao teste apresentado e tenha sido verificado que 15 deles fizeram uso da opção “às vezes”, 9, da opção “raramente” e 13, da opção “sempre”. Além disso, 4 desses empregados usaram as opções “às vezes” e “raramente”, 8 usaram as opções “às vezes” e “sempre”, 4 usaram as opções “raramente” e “sempre”, e 3 usaram “às vezes”, “sempre” e “raramente”. Nessas situação, é correto afirmar que menos de 30 empregados dessa empresa responderam ao teste.
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RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA
Quando p é equivalente a q, indicamos: p q. • Obs.:
• a)Notemos que p equivale a q quando o condicional p q é verdadeiro. • b)Todo teorema, cujo recíproco também é verdadeiro, é uma equivalência.
• Hipótese tese.
EXEMPLO 01. (p q) ( ~q ~p)
p q p q ~q ~p ~q ~p
V V V F F V
V F F V F F
F V V F V V
F F V V V V
DICAS: Equivalências que mais caem em prova !
p q ~q ~p
p q ~p q
Professora Valéria lanna
119
VVFVVFVVVVFF
VFVVVVFVFVVF
FVVVVVVFVFFV
VVVFFVVVFFVV
~B
~A
~A
~B
~B
A
A ~BB ~A~A BB AA B~B~ABA
BRINCANDO COM A TABELA:
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Proposições Logicamente Equivalentes
1. (A B) C A ( B C )
Leis de Morgan
2. (A B) C A ( B C )
3. A ( B C ) ( A B ) ( A C)
4. A ( B C ) ( A B ) ( A C)
5. ~~A A
6. A B ~A B
7. A B ~B ~A
TESTES II 01) Duas grandezas “x” e “y” são tais que “se x=3, então, y = 7”. Pode-se concluir que:
a) Se x 3, então y 7. b) Se y = 7, então x = 3.
c) Se y 7, então x 3. d) Se x = 5, então y = 5. e) Nenhuma das conclusões acima é válida. 02) Sejam p e q duas proposições. A negação de p ~q equivale a: a) ~p ~q b) ~p ~q c) ~p q d) ~p q e) p ~q 03) A negação de “Hoje é segunda-feira e amanhã não choverá” é: a) Hoje não é segunda-feira e amanhã choverá. b) Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá. c) Hoje não é segunda-feira, então, amanhã choverá. d) Hoje não é segunda-feira nem amanhã choverá. e) Hoje é segunda-feira ou amanhã não choverá. 04) A negação de “O gato mia e o rato chia” é: a) “O gato não mia e o rato não chia”. b) “O gato mia ou o rato chia”. c) “O gato não mia ou o rato não chia”. d) “O gato e o rato não chiam nem miam”.
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05) A negação de “x -2” é:
a) x 2
b) x -2 c) x < -2
d) x 2 06) Uma equivalência da proposição: “Se Melício joga futebol, então, Thábata toca violino” é: a) Melício joga futebol se, e somente se, Thábata toca violino. b) Se Melício não joga futebol, então, Thábata não toca violino. c) Se Thábata não toca violino, então, Melício não joga futebol. d) Se Thábata toca violino, então, Melício joga futebol. e) Se Melício toca violino, então Thábata joga futebol. 07) (ESAF/AFC/96) Se Beto briga com Glória, então, Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então, Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla, logo: a) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória. b) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema. c) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema. d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória. e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória. 08) Uma sentença logicamente equivalente a “Se X é Y, então Z é W” é: a) X é Y ou Z é W. b) X é Y ou Z não é W. c) se Z é W, X é Y. d) se X não é Y, então Z não é W. e) se Z não é W, então X não é Y. 09) (ESAF/AFC/96) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma idade. Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então, João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então, Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria, então: a) Carlos não é mais velho do que Júlia e João é mais moço do que Pedro. b) Carlos é mais velho do que Pedro e Maria e Júlia têm a mesma idade. c) Carlos e João são mais moços do que Pedro. d) Carlos é mais velho do que Pedro e João é mais moço do que Pedro. e) Carlos não é mais velho do que Pedro e Maria e Júlia não têm a mesma idade. 10) Se X não é igual a 3, então Y é igual a 5. Se X é igual a 3, então Z não é igual a 6. Ora, Z é igual a 6. Logo, a) Y é igual a 5. b) X é igual a 3. c) X é igual a 3, ou Z não é igual a 6. d) X é igual a 3, e Z é igual a 6. e) X não é igual a 3, Y não é igual a 5. 11) (ESAF/AFC/96) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala, logo: a) Nestor e Júlia disseram a verdade.
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b) Nestor e Lauro mentiram. c) Raul e Lauro mentiram. d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade. e) Raul e Júlia mentiram. 12) (ESAF/AFC/97) Ou Celso compra um carro, ou Ana vai à África, ou Rui vai a Roma. Se Ana vai à África, então Luís compra um livro. Se Luís compra um livro, então Rui vai a Roma. Ora, Rui não vai a Roma, logo: a) Celso compra um carro e Ana não vai à África. b) Celso não compra um carro e Luís compra o livro. c) Ana não vai à África e Luís compra um livro. d) Ana vai à África ou Luís compra um livro. e) Ana vai à África e Rui não vai a Roma. 13) Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo: a) seu esforço é condição suficiente para vencer. b) seu esforço é condição necessária para vencer. c) se você não se esforçar, então não irá vencer. d) você vencerá só se esforçar. e) mesmo que se esforce, você não vencerá. 14) O paciente não pode estar bem e ainda ter febre. O paciente está bem. Logo, o paciente: a) tem febre e não está bem. b) tem febre ou não está bem. c) tem febre. d) não tem febre. e) não está bem. 15) (ESAF/AFTN/96) José quer ir ao cinema assistir ao filme “Fogo contra Fogo”, mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luís e Júlio têm opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está enganado. Se Luís estiver enganado, então o filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo: a) o filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido. b) Luís e Júlio não estão enganados. c) Júlio está enganado, mas não Luís. d) Luís está enganado, mas não Júlio. e) José não irá ao cinema. 16) (ESAF/TFC) Ou Anaís será professora, ou Anelise será cantora, ou Anamélia será pianista. Se Ana for atleta, então Anamélia será pianista. Se Anelise for cantora, então Ana será atleta. Ora, Anamélia não será pianista. Então: a) Anais será professora e Anelise não será cantora. b) Anais não será professora e Ana não será atleta. c) Anelise não será cantora e Ana será atleta. d) Anelise será cantora ou Ana será atleta. e) Anelise será cantora e Anamélia não será pianista.
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17) (ANPAD) Numa Vila afastada, chamada Vila 51, tem-se que “se um homem não é inteligente, então é bonito” e que “se é inteligente, então é preguiçoso”. Com base nessas afirmações, pode-se concluir que a) homens inteligentes não são bonitos. b) homens que não são bonitos não são inteligentes. c) homens bonitos são preguiçosos. d) homens que não são bonitos são preguiçosos. e) homens bonitos não são inteligentes. 18) Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo: a) se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu. b) Rodrigo é culpado. c) se Rodrigo não mentiu, então ele não é culpado. d) Rodrigo mentiu. e) se Rodrigo é culpado, então ele mentiu. 19) Se Rubens estudar, então passará no concurso. Deste modo, é correto afirmar que a) se Rubens não passar no concurso, então não terá estudado. b) o estudo de Rubens é condição necessária para que ele passe no concurso. c) se Rubens não estudar, não passará no concurso. d) Rubens passará no concurso só se estudar. e) mesmo que Rubens estude, ele não passará no concurso. 20) Sejam as proposições p: Luísa é bancária. q: Luísa é fumante.
Então,a proposição ~(q ~p), em linguagem corrente é a) “Luísa não é bancária e não é fumante.” b) “Luísa é bancária e não é fumante.” c) “Luísa é fumante, mas não é bancária.” d) “Luísa não é bancária ou é fumante.” e) “Luísa é bancária ou é fumante.” 21) Se Felipe toca violão, ele canta. Se Felipe toca piano, então ele não canta. Logo a) se Felipe não toca violão, então ele não toca piano. b) se Felipe toca violão, então ele não toca piano. c) se Felipe toca violão, então ele não canta. d) se Felipe canta, então ele não toca violão. e) se Felipe toca piano, então ele canta.
22) A proposição p ~q é equivalente a
a) p q.
b) p ~q.
c) ~p q.
d) ~q p.
e) ~p ~q.
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23) Sejam as proposições p: 32 = 6 q: Rio de Janeiro é a capital do Brasil. Então, a proposição verdadeira é
a) (p ~q) q.
b) ~(p q) q.
c) (p ~q) q.
d) (~p ~q) q.
e) ~(p q) q. 24) Se Verônica disse a verdade, Roberto e Júlio mentiram. Se Júlio mentiu, Regina falou a verdade. Se Regina falou a verdade, Minas Gerais é banhada pelo mar. Ora, Minas Gerais não é banhada pelo mar, logo: a) Verônica e Roberto disseram a verdade. b) Verônica e Regina mentiram. c) Júlio e Regina mentiram. d) Júlio mentiu ou Regina disse a verdade. e) Júlio e Roberto mentiram. 25) Três amigos (João, Marcelo e Rafael) trabalham num hotel de categoria internacional, desempenhando funções diversas. Um deles é porteiro, o outro é carregador e, por fim, há um telefonista. Sabendo-se que:
se Rafael é o telefonista, Marcelo é o carregador;
se Rafael é o carregador, Marcelo é o porteiro;
se Marcelo não é o telefonista, João é o carregador;
se João é o porteiro, Rafael é o carregador.
Portanto, a atividade profissional de João, Marcelo e Rafael (nessa ordem), observadas as restrições acima, é:
a) porteiro, telefonista, carregador. b) telefonista, porteiro, carregador. c) carregador, telefonista, porteiro. d) porteiro, carregador, telefonista. e) carregador, porteiro, telefonista. 26) Quatro carros estão parados ao longo do meio fio, um atrás do outro: Um Fusca atrás de outro Fusca. Um carro branco na frente de um carro prata. Um Uno na frente de um Fusca. Um carro prata atrás de um carro preto. Um carro prata na frente de um carro preto. Um Uno atrás de um Fusca. Do primeiro (na frente) ao quarto carro (atrás), temos então: a) Uno branco, Fusca preto, Fusca prata e Uno prata. b) Uno preto, Fusca prata, Fusca preto e Uno branco. c) Uno branco, Fusca prata, Fusca preto e Uno Prata. d) Uno prata, Fusca preto, Fusca branco e Uno preto.
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e) Uno branco, Fusca prata, Uno preto e Fusca prata. 27) Ou A = B, ou B = C, mas não ambos. Se B = D, então A = D. Ora, B = D. Logo: a) B ≠ C b) B ≠ A c) C = A d) C = D e) D ≠ A 28) Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. Logo: a) Pedro é português e Frederico é francês. b) Pedro é português e Alberto é alemão. c) Pedro não é português e Alberto é Alemão. d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês. e) Se Alberto é Alemão, Frederico é francês. 29) Se Luís estuda História, então Pedro estuda Matemática. Se Helena estuda Filosofia, então Jorge estuda Medicina. Ora, Luís estuda História ou Helena estuda Filosofia. Logo, segue-se necessariamente que: a) Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina. b) Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina. c) Se Luís não estuda História, então Jorge não estuda Medicina. d) Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemática. e) Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia. 30) Se Pedro é inocente, então Lauro é inocente. Se Roberto é inocente, então Sônia é inocente. Ora, Pedro é culpado ou Sônia é culpada. Segue-se logicamente, portanto, que: a) Lauro é culpado e Sônia é culpada. b) Sônia é culpada e Roberto é inocente. c) Pedro é culpado ou Roberto é culpado. d) se Roberto é culpado, então Lauro é culpado. e) Roberto é inocente se, e somente se, Lauro é inocente. Considere as informações do texto abaixo para responder às questões 31 e 32. Os sobrenomes de Ana, Beatriz e Carla são Arantes, Braga e Castro, mas não necessariamente nesta ordem. A de sobrenome Braga, que não é Ana, é mais velha que Carla e a de sobrenome Castro é a mais velha das três. 31) Os sobrenomes de Ana, Beatriz e Carla são, respectivamente: a) Arantes, Braga e Castro. b) Arantes, Castro e Braga. c) Castro, Arantes e Braga. d) Castro, Braga e Arantes. e) Braga, Arantes e Castro. 32) Nomeando-as em ordem crescente de idade, teremos:
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a) Ana, Beatriz e Carla. b) Carla, Ana e Beatriz. c) Beatriz, Carla e Ana. d) Ana, Carla e Beatriz. e) Carla, Beatriz e Ana. 33) Três rivais, Ana, Bia e Cláudia, trocam acusações: A Bia mente - diz Ana. A Cláudia mente - Bia diz. Ana e Bia mentem - diz Cláudia. Com base nestas três afirmações, pode-se concluir que a) apenas Ana mente. b) apenas Cláudia mente. c) apenas Bia mente. d) Ana e Cláudia mentem. e) Ana e Bia mentem. Considere a situação descrita abaixo para resolver as questões de números 34, 35 e 36. Ao ver o estrago na sala, mamãe pergunta zangada: Quem quebrou o vaso da vovó? Não fui eu - disse André. Foi o Carlinhos - disse Bruna. Não fui eu não, foi a Duda - falou Carlinhos. A Bruna está mentindo! - falou Duda. 34) Sabendo que somente uma das crianças mentiu, pode-se concluir que a) André mentiu e foi ele quem quebrou o vaso. b) Bruna mentiu e Duda quebrou o vaso. c) Carlinhos mentiu e foi ele quem quebrou o vaso. d) Duda mentiu e Carlinhos quebrou o vaso. e) Bruna mentiu e foi ela quem quebrou o vaso. 35) Sabendo que somente uma das crianças disse a verdade, pode-se concluir que a) André falou a verdade e Carlinhos quebrou o vaso. b) Bruna falou a verdade e Carlinhos quebrou o vaso. c) Duda falou a verdade e André quebrou o vaso. d) Carlinhos falou a verdade e Duda quebrou vaso. e) Duda falou a verdade e foi ela quem quebrou o vaso. 36) Sabendo que somente duas crianças mentiram, pode-se concluir que a) Carlinhos mentiu e André não quebrou o vaso. b) André mentiu e foi ele quem quebrou o vaso. c) Bruna mentiu e foi ela quem quebrou o vaso. d) quem quebrou o vaso foi Bruna ou André. e) Duda mentiu e Carlinhos não quebrou o vaso. 37) Vovó Marina procura saber quem comeu o bolo que havia guardado para o lanche da tarde.
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Julinho diz: 1) Não fui eu. 2) Eu nem sabia que havia um bolo. 3) Foi o Maurício. Maurício diz: 4) Não fui eu. 5) O Julinho mente quando diz que fui eu. 6) Foi o tio Rogério. Rogério diz: 7) Não fui eu. 8) Eu estava lá embaixo consertando a minha bicicleta. 9) Foi o Zezinho Zezinho diz: 10) Não fui eu. 11) Eu nem estava com fome. 12) Não foi o Luiz Antônio. Luiz Antônio diz: 13) Não fui eu. 14) Eu estava com o Rogério na praia. 15) Foi o Maurício. Vovó Marina, que não é boba, percebe que cada um deles mentiu sobre uma única das afirmações que fez e encontrou o comilão. Quem comeu o bolo? a) Julinho. b) Maurício. c) Rogério. d) Zezinho. e) Luiz Antônio. GABARITO 01) C 02) C 03) B 04) C 05) C 06) C 07) A 08) E 09) E 10) A 11) B 12) A 13) A 14) D 15) E 16) A 17) D 18) A 19) A 20) B 21) B 22) E 23) C 24) B 25) C 26) C 27) A 28) B 29) A 30) C 31) D 32) E 33) D 34) B 35) C 36) A 37) D
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ESTRUTURAS LÓGICAS: LÓGICA DOS QUANTIFICADORES
Sentenças que contêm variáveis são chamadas funções proposicionais ou sentenças abertas. Tais sentenças não são proposições pois seu valor lógico (V ou F) é discutível, dependem do valor dado às variáveis. Há duas maneiras de transformar sentenças abertas em proposições: atribuir valor às variáveis utilizar quantificadores. Funções Proposicionais e Quantificadores A linguagem das proposições não é suficiente para fazermos todas as afirmações, nem na matemática nem na linguagem corrente. Também necessitamos de afirmações que não são proposições, tais como: x = 5, x
y ou x + y = z (na matemática) ou, ele é cearense, ela é loura ou nós somos gordos (na linguagem corrente). Tais afirmações, que não são proposições, pois não podemos decidir se elas são verdadeiras ou falsas, são chamadas de funções proposicionais, predicados ou sentenças abertas.
Função proposicional em uma variável Dado um conjunto A, uma função proposicional em uma variável ou uma sentença aberta definida em A (ou simplesmente função proposicional em A) é uma expressão, denotada por p (x), tal que p(a) é uma
proposição para cada a . Conjunto A é chamado conjunto universo de p(x) ou, simplesmente, universo do discurso. Exemplos: A expressão p(x): x + e = 9 é uma função proposicional no conjunto N dos números naturais. a expressão p(x) : x é loura é uma função proposicional em uma variável, no conjunto M de todas as mulheres do planeta Terra. A expressão q(x): x é casado é uma função proposicional no conjunto C de todas as pessoas casadas.
Conjunto verdade de p(x)
É o conjunto Vp de todos os elementos a A tais que p(a) é uma proposição verdadeira.
Assim, Vp = a a A e p(a) é verdadeiro
ou ainda Vp = a p(a) . Exemplo: Dada a função proposicional p(x): x é um dia da semana cujo nome começa pela letra s, definida no conjunto A dos dias da semana, termos que Vp = {segunda-feira, sexta-feira, sábado} Dos exemplos anteriores podemos perceber que, se p(x) é uma função proposicional em uma variável, definida em um conjunto A, então p(x) pode ser verdadeira para: algum elemento x de A; todo elemento de x de A; nenhum elemento x de A .
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Quantificadores Dada uma função proposicional em uma variável, podemos obter uma proposição de duas maneiras. A primeira consiste em atribuir valores (constantes) à variável. Exemplo: Na funções proposicional p(x): x é um dia da semana cujo nome começa pela letra s, se substituirmos a variável “x” pela constante “segunda-feira” temos a proposição verdadeira (V) “segunda-feira é um dia da semana cujo nome começa pela letra s.” Se substituirmos “x” por “terça-feira” temos a proposição falsa (F) “terça-feira é um dia da semana cujo nome começa pela letra s”. Na função proposicional p(x): x é um número natural tal que x + 5 > 1, se substituirmos a variável “x” pela constante “3” temos a proposição verdadeira (V) “3 é um número natural tal que 3 + 5 > 1”. A segunda maneira consiste em quantificar sua variável. As formas mais comuns de quantificação de uma variável são a quantificação universal e a quantificação existencial.
Quantificador universal ( ) Se p(x) é uma função proposicional na variável x, a afirmação “Para todo x (no universo do discurso), p(x) é
uma proposição verdadeira,” que escrevemos, na forma simbólica, x p(x), é uma proposição na qual a variável x é dita estar universalmente quantificada.
O valor verdade da proposição x p(x) é uma proposição verdadeira (V) se Vp é todo o universo do discurso (ou conjunto universo);
x p(x) é uma proposição verdadeira (V) se Vp é todo o universo do discurso, (ou conjunto universo);
x p(x) é uma proposição falsa (F) se Vp não é todo o universo do discurso, isto é , se existe um elemento a no universo de p(x), tal que p(a) é uma proposição falsa.
Quantificador existencial ( ) Se p(x) é uma função proposicional na variável x, a afirmação “Existe x (no universo do discurso) tal que
p(x) é uma proposição verdadeira”, que escrevemos simbolicamente, x p(x) é uma proposição na qual a
variável x é dita estar existencialmente quantificada. O valor verdade da preposição x p(x), depende do conjunto verdade de p(x), da seguinte maneira:
x p(x) é uma proposição verdadeira (V), se Vp é diferente do conjunto vazio,
x p(x) é uma proposição falsa (F), se Vp é o conjunto vazio. Exemplos:
A afirmação x [x < x + 1] (que se lê: para todo x, c é menor do que x mais 1) é uma proposição formada por quantificação universal da variável da função proposicional p(x); x < x + 1. Se o conjunto universo ( ou universo do discurso) de p(x) é o conjunto Z dos números inteiros, então a reposição dada é uma proposição verdadeira (V), uma vez que todo número inteiro x é tal que x < x + 1.
A afirmação x [ x + 2 = 3] (que se lê: para todo x, x mais 2 é igual a 3) é uma proposição formada por quantificação universal da variável da função proposicional p(x): x + 2 = 3. Se o conjunto universo (ou
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universo do discurso) de p(x) é o conjunto Z dos números inteiros então a proposição dada é falsa (F) pois p(2): 2 + 2 = 3 é uma proposição falsa , por exemplo.
A afirmação x [x é um homem casado] (que se lê: para todo x, x é um homem casado é uma proposição formada por quantificação universal da variável da função proposicional p(x); x é um homem casado. Se o conjunto universo de p(x) é o conjunto de todos os homens do planeta, então a proposição dada é falsa (F), uma vez que existem homens no planeta que não são casados. Se o universo do discurso é o conjunto de todos os homens casados do planeta, então a proposição dada é verdadeira (V).
Quantificador ! Uma terceira forma de quantificação pode ser usada para afirmar que existe um único elemento r, do conjunto universo de uma função proposicional p(x), tal que p é uma proposição verdadeira. Este
quantificador é denotado por !, e a proposição ! x p(x) se lê: “Existe um único x tal que p(x) é uma proposição verdadeira”.
valor verdade da proposição !x p(x) é verdadeira (V) se Vp é um conjunto com um único elemento;
!x p(x) é falsa (F) se Vp ou é vazio ou possui mais do que um elemento. Exemplo:
( !x)(x+1=7) que se lê: “existe um só elemento x tal que x + 1 = 7”é verdadeira.
Negação de proposições contendo quantificadores.
Negação da proposição xp(x) A negação da proposição: “Para todo x a proposição p(x) é verdadeira”, é a proposição: “Existe um x tal que a proposição p(x) não é verdadeira”.
Negação da proposição xp(x) A negação da proposição: “Existe um x tal que p(x) é verdadeira”, é a proposição: “Para todo x a proposição p(x) é falsa”. Exemplos: A negação da proposição: “Todo número x é tal que x + 1 > 2”, é a proposição: “Existe um número x tal que
x + 1 2”. A negação da proposição: “Todos os homens são mortais”, é a proposição: “Existe um homem que não é mortal”. A negação da proposição: “Existe um planeta habitável” é a proposição: “Todo planeta é não habitável” ou, equivalente, “Nenhum planeta é habitável”. A negação da proposição: “Existe um político que não é sério”, é a proposição “Todos os políticos são sérios”.
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LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO Argumentos Chamamos de argumento toda afirmação de que uma seqüência finita de proposições p1, p2, p3, ..., pn
(n 1) tem como conseqüência ou acarreta uma proposição q. Em um argumento as proposições p1, p2, .... pn são premissas e a proposição q é chamada conclusão do argumento. Exemplos: Um homem casado é infeliz. Um homem infeliz morre cedo. Logo um homem casado morre cedo. É um argumento de premissas: um homem casado é infeliz e um homem casado morre cedo, e conclusão: um homem casado morre cedo. Nenhum homem rico é vagabundo. Todos os médicos são ricos. Portanto, nenhum médico é vagabundo. É um argumento de premissas: Nenhum homem rico é vagabundo e todos os médicos são ricos, e conclusão: Nenhum médico é vagabundo. Algumas cobras não são animais perigosos, mas todas as cobras são répteis, portanto, alguns animais perigosos não são répteis. É um argumento. Suas premissas são: Algumas cobras não são animais perigosos e Todas as cobras são répteis, e sua conclusão é: Alguns animais perigosos não são répteis. NOTAÇÃO p1,p2,...,pn ├ q, lê-se: “p1, p2, .... pn acarretam em q”, ou “q decorre de p1, p2, ..., pn”. É importante lembra que a validade ou não de um argumento depende de sua forma e não do conteúdo de suas premissas e conclusão. Exemplos: O argumento: Paris é a capital da França. Logo Paris é a capital da França ou Brasília é a capital do Brasil é um argumento válido. De fato, argumento dado é da forma p ├ (p ou q), onde p é a proposição: Paris é a capital da França e q é a proposição do Brasil. Assim, como a proposição: Paris é a capital da França é uma proposição verdadeira temos que a proposição: Paris é a capital da França ou Brasília é a capital do Brasil é, sempre, uma proposição verdadeira. Logo o argumento dado é válido. O argumento: Fortaleza é a capital da França. Logo Fortaleza é a capital da França ou Crato é a capital do Ceará é, ainda um argumento válido. De fato, trata-se ainda de um argumento da forma p ├ 9p ou q) onde p é a proposição (falsa): Fortaleza é a capital da França e q é a proposição (falsa): Crato é a capital do Ceará. Note que sua conclusão, a proposição “p ou q, Fortaleza é a capital da França ou Crato é a capital do Ceará, será verdadeira sempre que a proposição p, Fortaleza é a capital da França, for verdadeira. É importante lembrar que em um argumento suas premissas devem sempre ser consideradas como proposições verdadeiras. Um argumento é dito INCONSISTENTE se suas premissas não podem ser simultaneamente verdadeiras.
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O argumento: João é pobre e João é feliz. Se João é feliz então João canta. João é pobre e não é feliz. Portanto, João canta. É um argumento inconsistente. De fato, neste argumento temos as três premissas p1: João é feliz então João canta; p2: Se João é feliz então João canta; p3: João é pobre e não é feliz. Na premissa p1, afirma-se que João é feliz e na premissa p3, afirma-se que João não é feliz. Assim, estas premissas são contraditórias, isto é, não podem ser simultaneamente verdadeira. Logo o argumento e inconsistente. É importante lembrar que argumento inconsistente é diferente de argumento não válido. O argumento: Se canto, não assobio. Assobio ou chupo cana. Assobiei. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Logo, chupei cana. não é um argumento válido. De fato, a premissa 2 é a conjunção das proposições Assobio e Chupo cana. Como a premissa 3 afirma que es assobiei, então a proposição: chupo cana pode ser verdadeira ou falsa, isto é, posso ou não ter chupado cana, não se pode garantir que chupei cana. Logo, o argumento não é válido. O argumento: Se penso, existo. Penso. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Logo, existo. é um argumento válido. De fato, argumento é formado das duas premissas: p1: Se penso então existo e p2: Penso e da conclusão Existo. Como as premissas devem se verdadeira, a proposição: Penso é verdadeira e, assim, para que p1 seja verdadeira, a proposição: Existo deve ser verdadeira. Conseqüentemente, o argumento é válido. Retomemos o argumento do exemplo 4 anterior: Se um homem é traído, ele é infeliz. Se um homem é infeliz, ele é mau humorado. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Logo, os traídos são mau humorados. A validade deste argumento poderia ser analisada de outra forma.
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As premissas e a conclusão deste argumento envolvem três categorias de homens: os que são infelizes e os que morrem cedo. Argumentos deste tipo são chamados argumentos categóricos. Em linguagem da teoria dos conjuntos a primeira premissa afirma que o conjunto dos traídos está contido no conjunto dos infelizes e que este último está contido no conjunto dos que morrem cedo. Usando diagramas (diagramas de Venn) para representar esta situação teremos: UNIVERSO DAS PESSOAS MAU HUMORADOS INFELIZES BEM HUMORADOS TRAÍDOS Portanto analisando o diagrama acima concluímos que o argumento é válido. Vamos usar diagramas de Venn para mostrar a validade do seguinte argumento: Nenhum estudante é preguiçoso. João é um artista. Todos os artistas são preguiçosos. João não é um estudante. Analisando o argumento dado, podemos perceber que ele é formado por três premissas: P1: Nenhum estudante é preguiçoso. P2: João é um artista; P3: Todos os artistas são preguiçosos. e uma conclusão: C: João não é um estudante. Por P3: O conjunto dos artistas está contido no conjunto das pessoas preguiçosas. Por P1: O conjunto das pessoas preguiçosas e o conjunto dos estudantes são disjuntos. Por P2, João pertence ao conjunto dos artistas. UNIVERSO DAS PESSOAS PESSOAS PREGUIÇOSAS ESTUDANTES ARTISTAS JOÃO
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Logo, observando os diagramas de Venn, temos que a conclusão C: João não é um estudante, é verdadeira e o argumento é valido.
Desafios: Verdade ou Mentira? Exemplo 01.(FGV) – Os habitantes de certo país podem ser classificados em políticos e não-políticos. Todos os políticos sempre mentem e todos os não-políticos sempre falam a verdade. Um estrangeiro, em visita ao referido país, encontra-se com 3 nativos, I, II e III. Perguntando ao nativo I se ele é político, o estrangeiro recebe uma resposta que não consegue ouvir direito. O nativo II informa, então, que I negou ser um político. Mas o nativo III afirma que I é realmente um político. Quantos dos 3 nativos, são políticos?
a. Zero b. Um . c. Dois d. NDA
Exemplo02. Eu tenho três bolas: A, B e C. Pintei uma de vermelho, uma de branco e outra de azul, não
necessariamente nessa ordem. Somente uma das seguintes afirmações é VERDADEIRA.
a) A é vermelha.
b) B não é vermelha.
c) C não é azul.
Qual é a cor de cada bola?
Exemplo 03. CHARADA DE EINSTEIN
Dizem – não há prova disso – que o próprio Einstein bolou o enigma abaixo, em 1918, e que pouca
gente, além dele, conseguiria resolvê-lo. Então, esta é a sua chance de se comparar à genialidade do
mestre. Queime a cuca!
Numa rua há cinco casas de cinco cores diferentes e em cada uma mora uma pessoa de uma
nacionalidade. Cada morador tem sua bebida, seu tipo de fruta e seu animal de estimação. A questão é:
quem é que tem um peixe?
Siga as dicas abaixo:
Sabe-se que o inglês vive na casa vermelha; o suíço tem cachorros; o dinamarquês bebe chá.
A casa verde fica a esquerda da casa branca; quem come goiaba cria pássaros; o dono da
casa amarela prefere laranja.
O dono da casa verde bebe café; o da casa do centro bebe leite; e o norueguês vive na
primeira casa.
O homem que gosta de abacate vive ao lado do que tem gatos; o que cria cavalos vive ao
lado do que come laranja; e o que adora abacaxi bebe cerveja.
O alemão só compra maçã; o norueguês vive ao lado da casa azul; e quem traz abacate da
feira é vizinho do que bebe água.
Exemplo 04: Um lógico quis saber da enigmática senhora ao seu lado quais eram as idades de seus três
finlhos. Ela deu a primeira pista :
- O produto de suas idades é 36.
- Ainda não é possível saber, disse o lógico.
- A soma das idades é o número da casa aí em frente.
- Ainda não sei.
- O filho mais velho toca piano.
- Agora já sei, afirmou o lógico.
Quais são as idades dos três filhos ?
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Exemplo 05. Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Henrique, um especialista em Inteligência Artificial, está examinando um grupo de cinco andróides – rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon –, fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde mas Dr. Henrique, distraído, não ouve a resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações: Beta: “Alfa respondeu que sim”. Gama: “Beta está mentindo”. Delta: “Gama está mentindo”. Épsilon: “Alfa é do tipo M”. Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Henrique pôde, então, concluir corretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. Exemplo 06. Três amigos, Pedro, Henrique e Rafael, juntamente com suas namoradas, sentaram-se, lado a lado, em um teatro, para assistir um grupo de dança. Um deles é carioca, outro é nordestino, e outro catarinense. Sabe-se, também que um é médico, outro é engenheiro, e outro é professor. Nenhum deles sentou-se ao lado da namorada, e nenhuma pessoa sentou-se ao lado de outra do mesmo sexo. As namoradas chamam-se, não necessariamente nesta ordem, Tina, Nina e Carol. O médico sentou-se em um dos dois lugares do meio, ficando mais próximo de Tina do que de Rafael ou do que do carioca. O catarinense está sentado em uma das pontas, e a namorada do professor está sentada à sua direita. Pedro está sentado entre Carol, que está à sua esquerda, e Nina. As namoradas de Henrique e de Rafael são, respectivamente: a) Carol e Nina b) Nina e Carol c) Tina e Nina d) Tina e Carol e) Carol e Tina Exemplo 07. Investigando uma fraude bancária, um famoso detetive colheu evidências que o convenceram da verdade das seguintes afirmações: a) Se Henrique é culpado, então João é culpado. b) Se Henrique é inocente, então João ou Astrubal são culpados. c) Se Astrubal é inocente, então João é inocente. d) Se Astrubal é culpado, então Henrique é culpado. As evidências colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto, que: a) Henrique, João e Astrubal são inocentes.
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b) Henrique, João e Astrubal são culpados. c) Henrique é culpado, mas João e Astrubal são inocentes. d) Henrique e João são inocentes, mas Astrubal é culpado. e) Henrique e Astrubal são culpados, mas João é inocente. Exemplo 08. Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se durmo, não estou furioso. Se não estou furioso, não bebo. Logo, a) não durmo, estou furioso e não bebo b) durmo, estou furioso e não bebo c) não durmo, estou furioso e bebo d) durmo, não estou furioso e não bebo e) não durmo, não estou furioso e bebo Exemplo 09. Cinco amigos vão a uma festa, mas um deles não foi convidado. Uma amiga pergunta quem era o penetra. – É o João – responde Gabriel. – Eu não sou – responde Rodrigo. – É o Fernando – diz Tiago. – Eu não sou – responde João. Se só um deles falou mentira, o penetra da festa era (A) Gabriel. (B) João. (C) Rodrigo. (D) Tiago. (E) Fernando. Exemplo 10. Cinco aldeões foram levados à presença de um velho rei, acusados de haver roubado laranjas do pomar real. Abelim, o primeiro a falar, falou tão baixo que o rei - que era um pouco surdo - não ouviu o que ele disse. Os outros quatro acusados disseram: Bebelim: "Cebelim é inocente". Cebelim: "Dedelim é inocente". Dedelim: "Ebelim é culpado". Ebelim: " Abelim é culpado". O mago Merlim, que vira o roubo das laranjas e ouvira as declarações dos cinco acusados, disse então ao rei: " Majestade, apenas um dos cinco acusados é culpado e ele disse a verdade; os outros quatro são inocentes e todos os quatro mentiram". O velho rei, que, embora um pouco surdo, era muito sábio, logo concluiu corretamente que o culpado era: a) Abelim b) Bebelim c) Cebelim d) Dedelim e) Ebelim Exemplo 11. Em uma repartição púb. que funciona de 2ª a 6ª, 11 novos funcionários foram contratados. Em relação aos contratados é necessariamente verdade que: a) Todos fazem aniversário em meses diferentes. b) Ao menos dois fazem aniversário no mesmo mês. c) Ao menos dois começaram a trabalhar no mesmo dia do mês. d) Algum começou a trabalhar em alguma 2ª feira.
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Exemplo 12. Se Francisco desviou dinheiro da campanha assistencial então ele cometeu um grave delito. Mas Francisco não desviou dinheiro da campanha assistencial. Logo: a) Francisco desviou dinheiro da campanha assistencial b) Franciscco não cometeu um grave delito c) alguém desviou dinheiro da campanha assistencial. d) alguém não desviou dinheiro da campanha assistencial. Exemplo 13. Raquel,Julia, Rita, Carolina, Fernando, Paulo, Gustavo e Antônio divertem-se em uma festa.Sabe-se que essas pessoas formam 4 casais e Carolina não é esposa de Paulo.Em um dado momento observa-se que a mulher de Fernando está dançando com o marido de Raquel, enquanto Fernando, Carolina, Antonio, Paulo e Rita estão sentados conversando.Então, é correto afirmar que a esposa de Antônio é: a)Carolina, b)Júlia, c)Raquel, d)Rita Exemplo 14. Dois irmãos gêmeos, José Francisco e Francisco José, vestiram-se e foram sentar-se em frente ao clube:
“Sou Zé Francisco”, disse o que estava de sapatos pretos e luvas brancas. “Sou Chico José”, disse o que estava de sapatos brancos e luvas pretas. Se um deles está mentindo, quem é José Francisco?
TESTES III 01) Dadas as proposições: I. Todos os homens são bons administradores. II. Nenhum homem é bom administrador. III. Todos os homens são maus administradores. IV. Pelo menos um homem não é bom administrador. V. Toda mulher é boa administradora. A(s) negação(ões) da proposição I é(são) a(s) proposição(ões) a) II. b) III. c) IV. d) V. e) II e IV. 02) Todo cavalo é um animal. Logo: a) toda cabeça de animal é cabeça de cavalo. b) toda cabeça de cavalo é cabeça de animal. c) todo animal é cavalo. d) nem todo cavalo é animal.
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e) nenhum animal é cavalo. 03) Todos os animais são seres vivos. Assim: a) o conjunto dos animais contém o conjunto dos seres vivos. b) o conjunto dos seres vivos contém o conjunto dos animais. c) todos os seres vivos são animais. d) alguns animais não são seres vivos. e) nenhum animal é um ser vivo. 04) Se a proposição “Nenhum A é B” for verdadeira, então também será verdade que: a) todos não A são não B. b) alguns não B são A. c) nenhum A é não B. d) nenhum B é não A. e) nenhum não B é A. 05) Se “Alguns professores são matemáticos” e “Todos matemáticos são pessoas alegres”, então, necessariamente, a) toda pessoa alegre é matemático. b) todo matemático é professor. c) algum professor é uma pessoa alegre. d) nenhuma pessoa alegre é professor. e) nenhum professor não é alegre. 06) Das premissas “Nenhum X é Y”, “Alguns Z são Y” seguese, necessariamente, que: a) alguns X são Z. b) alguns Z são X. c) nenhum X é Z. d) alguns Z não são X. e) nenhum Z é X. 07) Para que a afirmativa “Todo matemático é louco” seja falsa, basta que: a) todo matemático seja louco. b) todo louco seja matemático. c) algum louco não seja matemático. d) algum matemático seja louco. e) algum matemático não seja louco. 08) Para que a proposição “todos os homens são bons cozinheiros” seja falsa, é necessário que: a) todas as mulheres sejam boas cozinheiras. b) algumas mulheres sejam boas cozinheiras. c) nenhum homem seja bom cozinheiro. d) todos os homens sejam maus cozinheiros. e) ao menos um homem seja mau cozinheiro. 09) Todos os marinheiros são republicanos. Assim sendo: a) o conjunto dos marinheiros contém o conjunto dos republicanos.
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b) o conjunto dos republicanos contém o conjunto dos marinheiros. c) todos os republicanos são marinheiros. d) algum marinheiro não é republicano. e) nenhum marinheiro é republicano. Para resolver as questões de 10 a 15, considere: • Em cada questão apresentam-se duas premissas. • Identificar, em relação a tais premissas, qual a conclusão que resulte em um argumento válido. Marque a alternativa correta. 10) Todos os artistas são ególatras. Alguns artistas são indigentes. a) Alguns indigentes são ególatras. b) Alguns indigentes não são ególatras. c) Todos os indigentes são ególatras. d) Todos os indigentes não são ególatras. e) Nenhum indigente é ególatra. 11) Todo cristão é teísta. Algum cristão é luterano. a) Todo teísta é luterano. b) Algum teísta é luterano. c) Algum luterano não é cristão. d) Nenhum teísta é cristão. e) Nenhum luterano é teísta. 12) Nenhum M é K. Algum R é K. a) Algum R não é M. b) Todo R é M. c) Nenhum R é M. d) Algum R é M. e) Todo R não é M. 13) Todo professor é graduado. Alguns professores são pós-graduados. a) Alguns pós-graduados são graduados. b) Alguns pós-graduados não são graduados. c) Todos pós-graduados são graduados. d) Nenhum pós-graduado é graduado. 14) Todos os fanáticos são atleticanos. Existem fanáticos inteligentes. a) Existem atleticanos inteligentes. b) Todo atleticano é inteligente. c) Nenhum atleticano é inteligente. d) Todo inteligente é atleticano.
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e) Existe atleticano coerente. 15) Em um grupo de amigas, todas as meninas loiras são, também, altas e magras, mas nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos, e algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis. Como nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra, e como neste grupo de amigas não existe nenhuma menina que tenha cabelos crespos, olhos azuis e seja alegre, então: a) pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis. b) pelo menos uma menina loira tem olhos azuis. c) todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras. d) todas as meninas de cabelos crespos são alegres. e) Nenhuma menina alegre é loira. 16) Assinale a alternativa que apresenta uma contradição. a) Todo espião não é vegetariano e algum vegetariano é espião. b) Todo espião é vegetariano e algum vegetariano não é espião. c) Nenhum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano. d) Algum espião é vegetariano e algum espião não é vegetariano. e) Todo vegetariano é espião e algum espião não é vegetariano. 17) A proposição “é necessário que todo acontecimento tenha causa” é equivalente a: a) é possível que algum acontecimento não tenha causa. b) não é possível que algum acontecimento não tenha causa. c) é necessário que algum acontecimento não tenha causa. d) não é necessário que todo acontecimento tenha causa. e) é impossível que algum acontecimento tenha causa. 18) Utilizando-se de um conjunto de hipóteses, um cientista deduz uma predição sobre a ocorrência de um certo eclipse solar. Todavia, sua predição mostra-se falsa. O cientista deve, logicamente, concluir que a) todas as hipóteses desse conjunto são falsas. b) a maioria das hipóteses desse conjunto é falsa. c) pelo menos uma hipótese desse conjunto é falsa. d) pelo menos uma hipótese desse conjunto é verdadeira. e) a maioria das hipóteses desse conjunto é verdadeira. 19) Assinale a alternativa em que ocorre uma conclusão verdadeira (que corresponde à realidade) e o argumento inválido (do ponto de vista lógico). a) Sócrates é homem, e todo homem é mortal, portanto Sócrates é mortal. b) Toda pedra é um homem, pois alguma pedra é um ser, e todo ser é homem. c) Todo cachorro mia, e nenhum gato mia, portanto cachorros não são gatos. d) Todo pensamento é um raciocínio, portanto, todo pensamento é um movimento, visto que todos os raciocínios são movimentos. e) Toda cadeira é um objeto, e todo objeto tem cinco pés, portanto algumas cadeiras têm quatro pés. 20) Assinale a alternativa que contém um argumento válido. a) Alguns atletas jogam xadrez. Todos os intelectuais jogam xadrez.
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Conclusão: Alguns atletas são intelectuais b) Todos os estudantes gostam de Lógica. Nenhum artista é um estudante. Conclusão: Ninguém que goste de Lógica é um artista. c) Se estudasse tudo, eu passaria. Eu não passei. Conclusão: Eu não estudei tudo. d) Se estudasse tudo, eu passaria. Eu não estudei tudo. Conclusão: Eu não passei. 21) (ESAF/AFC/96) Os dois círculos abaixo representam, respectivamente, o conjunto S dos amigos de Sara e o conjunto P dos amigos de Paula.
Sabendo que a parte sombreada do diagrama não possui elemento algum, então: a) todo amigo de Paula é também amigo de Sara. b) todo amigo de Sara é também amigo de Paula. c) algum amigo de Paula não é amigo de Sara. d) nenhum amigo de Sara é amigo de Paula. 22) Chama-se tautologia à toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo. b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo. c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo. d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo. e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo. 23) Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Z e P são conjuntos não vazios): Premissa 1: “X está contido em Y e em Z, ou X está contido em P”. Premissa 2: “X não está contido em P”. Pode-se, então, concluir que, necessariamente: a) Y está contido em Z. b) X está contido em Z. c) Y está contido em Z ou em P. d) X não está contido nem em P nem em Y. e) X não está contido nem em Y e nem em Z.
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24) Uma sentença equivalente a “Não é verdade que todos os promotores de justiça não são competentes”, é a) todos os promotores de justiça são competentes. b) nenhum promotor de justiça é competente. c) alguns promotores de justiça são competentes. d) alguns promotores de justiça não são competentes. e) nenhum promotor de justiça não é competente. 25) A negação de “Não é verdade que não irei ao cinema ou ao teatro”, é: a) irei ao cinema e ao teatro. b) irei ao cinema ou ao teatro. c) não irei ao cinema e não irei ao teatro. d) não irei ao cinema ou não irei ao teatro. e) não irei ao cinema ou irei ao teatro. 26) Assinale a alternativa que contém um argumento válido. a) Joana comprou um televisor ou uma geladeira. Joana não comprou um televisor. Logo, Joana não comprou uma geladeira. b) Pedro foi para o trabalho de carro ou de metrô. Pedro foi de carro ao trabalho. Logo, Pedro não foi de metrô. c) Todos os políticos são honestos. Nenhum cachorro é honesto. Logo, alguns políticos são cachorros. d) Passarei ou não me esforçarei. Eu não passei. Logo, eu não me esforcei. e) Se o galo canta, o gato mia. O galo não cantou. Logo, o gato não miou. 27) A negação de “nenhum pedreiro é bom bombeiro”, é: a) todos os pedreiros são bons bombeiros. b) alguns pedreiros são maus bombeiros. c) alguns pedreiros são bons bombeiros. d) todos os pedreiros são maus bombeiros. e) alguns pedreiros às vezes são bons pedreiros. 28) Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco.
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2) ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul. 3) ou o Fiesta é azul, ou Corsa é azul. 4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respectivamente, a) branco, preto, azul. b) preto, azul, branco. c) azul, branco, preto. d) preto, branco, azul. e) branco, azul, preto. 29) Três colegas - João, Paulo e Pedro - estão em uma fila esperando para serem atendidos. João sempre fala a verdade, Paulo nem sempre e Pedro sempre mente. O que está na frente diz “João é quem está entre nós”. O que está no meio afirma “eu sou o Paulo”. Finalmente, o que está atrás informa “Pedro é quem está entre nós”. O primeiro, o segundo e o terceiro na fila são, respectivamente: a) João, Paulo e Pedro. b) João, Pedro e Paulo. c) Paulo, Pedro e João. d) Paulo, João e Pedro. e) Pedro, Paulo e João 30) Três amigos - Luís, Marcos e Nestor - são casados com Teresa, Regina e Sandra (não necessariamente nesta ordem). Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas, os três fizeram as seguintes declarações: Nestor: “Marcos é casado com Teresa”. Luís: “Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina”. Marcos: “Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra”. Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade, segue-se que as esposas de Luís, Marcos e Nestor são, respectivamente: a) Sandra, Teresa, Regina. b) Sandra, Regina, Teresa. c) Regina, Sandra,Teresa. d) Teresa, Regina, Sandra. e) Teresa, Sandra, Regina.
31) Três amigas encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o da outra é branco. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três cores, mas somente Ana está com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Marisa está com sapatos azuis. Desse modo, a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto. b) o vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos. c) os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos. d) os sapatos de Ana são pretos e os vestido de Marisa são azuis. e) o vestido de Ana é preto e os sapatos de Marisa são azuis.
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32) João e Maria têm, cada um, quatro noites livres toda semana, quando aproveitam para ir ao cinema. Considere como semana todos os dias de segunda-feira a domingo, inclusive. Nesse caso, é correto afirmar que, em uma semana, eles podem ir juntos ao cinema a) apenas uma noite. b) no mínimo uma noite e no máximo quatro. c) no mínimo duas noites e no máximo três. d) sempre quatro noites. e) sempre cinco noites. 33) Assinale a assertiva incorreta. a) A negação de “2 é par e 3 é ímpar” é “2 não é par ou 3 não é ímpar”. b) A negação de “5 é primo ou 7 é par” é “5 não é primo e 7 não é par”. c) A negação de 2 ≥ 5 é 2 ≤ 5. d) A negação de “existe um número primo par” é “qualquer número primo não é par”. e) A negação de “nenhum número é inteiro” é “algum número é inteiro”. 34) Ramirez aprontou uma baita confusão: trocou as caixas de giz e as papeletas de aulas dos professores Júlio, Márcio e Roberto. Cada um deles ficou com a caixa de giz de um segundo e com a papeleta de aulas de um terceiro. O que ficou com a caixa de giz do professor Márcio está com a papeleta de aulas do professor Júlio. Portanto: a) quem está com a papeleta de aulas do Roberto é o Márcio. b) quem está com a caixa de giz do Márcio é o Júlio. c) quem está com a papeleta de aulas do Márcio é o Roberto. d) quem está com a caixa de giz do Júlio é o Roberto. e) o que ficou com a caixa de giz do Júlio está com a papeleta de aulas do Márcio. 35) (ESAF/AFC/96) Três irmãs - Ana, Maria e Cláudia – foram a uma festa com vestidos de cores diferentes. Uma vestiu azul, a outra branco, e a terceira preto. Chegando à festa, o anfitrião perguntou quem era cada uma delas. A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”. A de branco falou: “Eu sou Maria”. E a de preto disse: “Cláudia é quem está de branco”. Como o anfitrião sabia que Ana sempre diz a verdade, que Maria às vezes diz a verdade, e que Cláudia nunca diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente quem era cada pessoa. As cores dos vestidos de Ana, Maria e Cláudia eram, respectivamente: a) preto, branco, azul. b) preto, azul, branco. c) azul, preto, branco. d) azul, branco, preto. e) branco, azul, preto. 36) (ESAF/AFC/97) Seis pessoas - A, B, C, D, E, F – devem sentar-se em torno de uma mesa redonda para discutir um contrato. Há exatamente seis cadeiras em torno da mesa, e cada pessoa senta-se de frente para o centro da mesa numa posição diametralmente oposta à pessoa que está do outro lado da mesa. A disposição das pessoas à mesa deve satisfazer às seguintes restrições: • F não pode sentar-se ao lado de C. • E não pode sentar-se ao lado de A. • D deve sentar-se ao lado de A. Então, uma distribuição aceitável das pessoas em torno da mesa é
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a) F, B, C, E, A, D b) A, E, D, F, C, B c) A, E, F, C, D, E d) F, D, A, C, E, B e) F, E, D, A, B, C 37) (ESAF/Auditor-Recife) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição: a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta. 38) (ESAF/AFC) Os cursos de Márcia, Berenice e Priscila são, não necessariamente nesta ordem, Medicina, Biologia e Psicologia.Uma delas realizou seu curso em Belo Horizonte, a outra em Florianópolis, e a outra em São Paulo. Márcia realizou seu curso em Belo Horizonte. Priscila cursou Psicologia. Berenice não realizou seu curso em São Paulo e não fez Medicina. Assim, os cursos e os respectivos locais de estudo de Márcia, Berenice e Priscila são, pela ordem: a) Medicina em Belo Horizonte, Psicologia em Florianópolis, Biologia em São Paulo. b) Psicologia em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Medicina em São Paulo. c) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Psicologia em São Paulo. d) Biologia em Belo Horizonte, Medicina em São Paulo, Psicologia em Florianópolis. e) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em São Paulo, Psicologia em Florianópolis. 39) (ESAF/TTN/96) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Denis, obtiveram os quatro primeiros lugares em um concurso de oratória julgado por uma comissão de três juízes. Ao comunicarem a classificação final, cada juiz anunciou duas colocações, sendo uma delas verdadeira e a outra falsa: Juiz 1: “André foi o primeiro; Beto foi o segundo” Juiz 2: “André foi o segundo; Dênis foi o terceiro” Juiz 3: “Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto”. Sabendo-se que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocado foram, respectivamente, a) André, Caio, Beto, Dênis. b) Beto, André, Dênis, Caio. c) André, Caio, Dênis, Beto. d) Beto, André, Caio, Dênis. e) Caio, Beto, Dênis, André. 40) (AFTN) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que: • se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada. • ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois.
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• o mordomo não é inocente. Logo: a) a governanta e o mordomo são os culpados. b) o cozinheiro e o mordomo são os culpados. c) somente a governanta é culpada. d) somente o cozinheiro é inocente. e) somente o mordomo é culpado. 41) Um líder criminoso foi morto pelos seus comparsas: Adão, Bosco, Chicão e Doca. Durante o interrogatório, esses indivíduos fizeram as seguintes declarações: • Adão afirmou que Chicão matou o líder. • Bosco afirmou que Doca não matou o líder. • Chicão disse que Doca estava jogando cartas com Adão quando o líder foi morto e, por isso, não tiveram participação no crime. • Doca disse que Chicão não matou o líder. Sabendo que três dos comparsas mentiram em suas declarações, enquanto um deles falou a verdade, é correto afirmar que a) a declaração de Chicão é verdadeira. b) Chicão ou Doca matou o líder. c) Chicão matou o líder. d) Doca não matou o líder. 42) “É suficiente o Brasil não se classificar para a Copa do Mundo, para o técnico ser demitido e os torcedores ficarem infelizes.” A negação da proposição em destaque é: a) se o Brasil se classificar para a Copa do Mundo, nem o técnico será demitido nem os torcedores ficarão infelizes. b) Brasil não se classificou para a Copa do Mundo e o técnico não foi demitido ou os torcedores não ficaram infelizes. c) Brasil se classificou para a Copa do Mundo e nem o técnico foi demitido nem os torcedores ficaram infelizes. d) é suficiente o Brasil se classificar para a Copa do Mundo para o técnico não ser demitido ou os torcedores ficarem felizes. e) Brasil não se classificou para a Copa do Mundo, o técnico foi demitido e os torcedores ficaram infelizes. 43) Num país há apenas dois tipos de habitantes: os verds, que sempre dizem a verdade, e os falcs, que sempre mentem. Um professor de Lógica, recém-chegado a este país, é informado por um nativo que glup e plug, na língua local, sim e não, mas o professor não sabe se o nativo que o informou é verd ou falc. Então, ele se aproxima de três outros nativos que estavam conversando juntos e faz a cada um deles duas perguntas: 1a) Os outros dois são verds? 2a) Os outros dois são falcs? A primeira pergunta é respondida com glup pelos três, mas à segunda pergunta os dois primeiros responderam glup e o terceiro respondeu plug. Assim, o professor pode concluir que a) todos são verds. b) todos são falcs. c) somente um dos três últimos é falc e glup significa não.
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d) somente um dos três últimos é verd e glup significa sim. e) há dois verds e glup significa sim. GABARITO 01) C 02) B 03) B 04) B 05) C 06) D 07) E 08) E 09) B 10) A 11) B 12) A 13) A 14) A 15) E 16) A 17) B 18) C 19) E 20) C 21) A 22) A 23) B 24) C 25) D 26) B 27) C 28) E 29) C 30) D 31) C 32) B 33) C 34) A 35) B 36) D 37) C 38) C 39) C 40) B 41) B 42) B 43) C
6. ANÁLISE COMBINATÓRIA
A ANÁLISE COMBINÁTORIA é uma parte da matemática que estuda os agrupamentos de elementos sem precisar de enumerá-los.
A origem desse assunto está ligado ao estudo dos jogos de azar, tais como: lançamento de dados, jogos de carta, etc. Atualmente, a estimativa de acertos em jogos populares como: loteria esportiva, loto, loteria federal, etc. além de utilizações mais específicas, como confecções de horários, de planos de produção, de números de placas de automóveis, etc. FATORIAL Definição:
n! = n (n -1) (n - 2) ... 3 . 2 . 1 para n N e n 1 O símbolo n! lê-se fatorial de n ou n fatorial. Ex.: 2! = 2 x 1 Convenção: 4! + 4 x 3 x 2 x 1 0! = 1. 1! = 1 Observação: n! = n (n - 1) ! Ex.: 8! = 8 . 7! 10 = 10 . 9! EXERCÍCIOS Simplificar as expressões:
42!5
!5.6.7
!5
!7
7!68
!678
!68
!8
x
xx
x
Resolva as equações (n R):
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(n - 5)! = 120 (n - 5)! = 5 n - 5 = 5 n = 5 + 5 n = 10
n7!1n
!n!1n
nn
nnnnn7
!1
!1!11
nn
nnnn7
!1
1!1
n [(n + 1) - 1] = 7n
n + 1 – 1 = 7 n = 7
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM Exemplos: 01. Uma moça possui 5 camisas e 4 saias, de quantas maneiras ela poderá se vestir? A escolha de uma camisa poderá ser feita de cinco maneiras diferentes. Escolhida a primeira camisa poderá escolher uma das quatro saias. Portanto, o número total de escolhas será: 4 x 5 = 20. 02. Uma moeda é lançada três vezes. Qual o número de seqüências possíveis de cara e coroa? Indicaremos por C o resultado cara e K o resultado coroa.
Queremos o número de triplas ordenadas (a,b,c) onde a {C,K},b {C,K} e c {C,K}, logo, o resultado procurado é 2.2.2 = 8
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K
C
K
C
C
K
C
K
C
K
C
K
C
K
C – C – C
C – C – K
C – K – C
C – K – K
K – C – C
K – C – K
K – K – C
K – K - K
Pelo o Diagrama da
Árvore
03. Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos significativos (1 a 9)?
1o 2o 3o
9 x 9 x 9 = 729 números
E se fossem com algarismos distintos? 9 x 8 x 7 = 504 números 04. Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar no sistema de numeração decimal? Resolução: Algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 9 x 9 x 8 x 7 O número não começar por 0 (zero), logo: 9 . 9 . 8. 7 = 4.536 Resposta: 4.536 números 05. Em uma corrida de 6 carros, quantas são as possibilidades do 1o , 2o e 3o lugares?
1o lugar 2o lugar 3o lugar
6 x 5 x 4 = 120 possibilidades 06. Quantos são os divisores de 72? Os divisores de 72 são do tipo 2x 3y (pois 72=23.32) onde:
x {0, 1, 2, 3} e y {0, 1, 2} Logo teremos: 4 possibilidades para x e 3 possibilidades para y. Total: 4 x 3 = 12
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07. Quantos resultados podemos obter na loteria esportiva? Como são 14 jogos, e para cada um dos jogos temos: coluna 1, coluna do meio e coluna 2. Pelo P. F. C., teremos: Jogo 1 Jogo 2 ... Jogo 14
C1 Cm
C2 C1 Cm
C2 C1 Cm
C2
3 x 3 x...x 3 = 314 resultados
EM RESUMO: 1º) Quantas escolhas devem ser feitas. 2º) Quantas opções cada escolha tem. 3º) Multiplicar tudo!
Se o problema não depender da ordem (por exemplo: comissões, escolhas, jogos, equipes, urnas, jogo da sena, aperto de mão, casais, grupos, etc.) dividimos o resultado pelo fatorial das escolhas.
08. Existem 3 linhas de ônibus ligando a cidade A à cidade B, e 4 outras ligando B à cidade C. Uma pessoa deseja viajar de A a C, passando por B. De quantos modos diferentes a pessoa poderá fazer essa viagem? Resolução:
de A para B = 3 possibilidades de B para C = 4 possibilidades Logo, pelo princípio fundamental de contagem, temos: 3 . 4 = 12 Resposta: 12 modos 09. A placa de um automóvel é formada por duas letras seguidas por um número de quatro algarismos. Com as letras A e R e os algarismos ímpares, quantas placas diferentes podem ser constituídas, de modo que o número não tenha algarismo repetido? Resolução:
Placa
2 . 2 . 5 . 4 . 3 . 2 Pelo princípio fundamental da contagem, temos: 2 . 2 . 5 . 4 . 3 . 2 = 480 Resposta: 480 placas 10. Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 2, 3, 4, 5, e 7 ?
A B C
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Resolução: algarismos : 2, 3, 4, 5 e 7
5 x 4 x 3 5 x 4x 3 = 60 Resposta: 60 números 11. Com os algarismos de 1 a 9, quantos números de telefone podem formar-se com 6 algarismos, de maneira que cada número tenha prefixo 51 e os restantes sejam números todos diferentes, incluindo-se os números que formam o prefixo? Resolução: algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9
Prefixo 5 1
7 x 6 X 5 x 4 colocando-se o prefixo 51, restam 7 algarismos, logo:
7 . 6 . 5 . 4 = 840 Resposta: 840 números 12. Um tabuleiro especial de xadrez possui 16 casas dispostas em 4 linhas e 4 colunas. Um jogador deseja colocar 4 peças no tabuleiro, de tal forma que, em cada linha e cada coluna, seja colocada apenas uma peça. De quantas maneiras as 4 peças poderão ser colocadas? Resolução: Para se colocar 1 (uma) peça temos 16 maneiras.
Para se colocar a 1ª peça temos 16 maneiras:
Para colocar a 2ª peça temos 9 maneiras:
Para a 3a e 4 a peças temos, respectivamente, 4 e 1 maneiras. Logo: 16 . 9 . 4 . 1 = 576 Resposta : 576 maneiras 13. Um torneio esportivo entre duas escolas será decidido numa partida de duplas mistas de tênis. A Escola E inscreveu nesta modalidade 6 rapazes e 4 moças. A equipe de tenistas da Escola F conta com 5 rapazes e 3 moças. Calcule de quantas maneiras poderemos escolher os quatro jogadores que farão a partida decisiva, sabendo que uma das jogadoras da equipe E não admite jogar contra seu namorado, que faz parte da equipe F. Resolução:
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Cálculo da quantidade de maneiras de formação das equipes:
escola E 6 . 4 = 24 maneiras
escola F 5 . 3 = 15 maneiras Assim, os quatro jogadores podem ser escolhidos de: 24 . 15 = 360 maneiras Excluindo os casos nos quais os namorados jogam entre si, que são em números de: (6 . 1) . (1 . 3) = 18, temos: 360 - 18 = 342 Resposta: 342 maneiras 14. De quantos modos pode-se pintar as faces laterais de uma pirâmide pentagonal regular, utilizando-se oito cores diferentes, sendo cada face de uma única cor? Resolução: Supondo-se que todas as cinco faces laterais da pirâmide sejam pintadas com cores diferentes duas a duas, e que a pirâmide esteja fixa, o número de modos de pintar suas faces laterais, utilizando 8 cores diferentes, será dado por: 8 . 7 . 6 . 5 . 4 = 6.720 Resposta: 6.720 modos 15. (Cesgranrio/2005) A senha de certo cadeado é composta por 4 algarismos ímpares, repetidos ou não. Somando-se os dois primeiros algarismos dessa senha, o resultado é 8; somando-se os dois últimos, o resultado é 10. Uma pessoa que siga tais informações abrirá esse cadeado em no máximo n tentativas, sem repetir nenhuma. O valor de n é igual a: a) 9 b) 15 c) 20 d) 24 e) 30 Resolução: Algarismos ímpares: 1, 3, 5, 7 e 9 Soma 8 : 1 e 7; 3 e 5 ; 5 e 3 ; 7 e 1, ou seja, 04 opções; Soma 10 : 1 e 9; 3 e 7; 5 e 5; 7 e 3; 9 e 1, ou seja, 05 opções. Total de tentativas : 04 x 05 = 20 Portanto n = 20 tentativas.
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16. Observe o diagrama
O número de ligações distintas entre X e Z é: a) 39 b) 41 c) 35 d) 45 Resolução: Possíveis caminhos XRZ = 3.1 = 3 XRYZ = 3.3.2 = 18 XYZ = 1.2 = 2 XSYZ = 3.2.2 = 12 XSZ = 3.2 = 6 TOTAL = 41 17. A quantidade de números de três algarismos, maiores que 500, que podem ser formados com os algarismos 3, 5, 6, 7 e 9, com repetição, é igual a: a) 10 b) 20 c) 48 d) 52 e) 100 Resolução: é um problema em que o português é quem manda, a maioria das pessoas cometeu o erro de fazer o cálculo: 4 x 5 x 5 = 100(errado!) Porém, quando o problema fala com repetição, os algarismos devem ser repetidos,assim: Nº com algarismos repetido mais nº com algarismos distintos é igual ao total de nº que podem ser formados. Usando o P.F.C. teremos: Nº com algarismos repetidos = x Nº com algarismos distintos = 4x4x3 = 48 Total de nº formados = 4x5x5 = 100 Portanto, x + 48 = 100 x = 52 Resposta : Letra D.
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18. Duas das cinqüenta cadeiras de uma sala serão ocupadas por dois alunos. O número de maneiras distintas possíveis que esses alunos terão para escolher duas das cinqüenta cadeiras, para ocupá-las, é: a) 1225 b) 2450 c) 250 d) 49! Resolução: 50 x 49 = 2450 19. Com relação a palavra BRASIL, quantos anagramas podemos formar: a) No total ? Resolução: 6! = 720 b) Começados por BR ?
Resolução: 4! = 24 |BR| 4.3.2.1 c) Começando por vogal e terminando em consoante ? Resolução: 2 . 4.3.2.1. 4 = 192 d) Com as letras BR juntas nesta ordem? Resolução:BR juntas significa que formarão uma única letra, logo o anagrama será composto de 5 letras, portanto a resposta é 5! = 120 e) Com as letras BR juntas em qualquer ordem ? Resolução: Em qualquer ordem, teremos 5! . 2 = 240 f) Quantos anagramas podemos formar com a palavra ARARA?
102.6
120
!2!3
!5
g) E com a palavra ITATIAIA ?
!2!3!3
!8
20. Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 amarelas.Elas são extraídas uma a uma sem reposição. Quantas seqüências de cores podemos observar? Resolução:É como se fosse uma seqüência de bolas em fileira, do tipo: VVVAA, em qualquer ordem faremos como se fosse um anagrama com repetição, ou seja,
10!2!.3
!5
21. Uma cidade é formada por 12 quarteirões segundo a figura abaixo. Uma pessoa sai do ponto P e dirigi-se para o ponto Q pelo caminho mais curto, isto é movendo–se da esquerda para direita, ou de baixo para cima. Nessas condições, quantos caminhos diferentes ele poderá fazer, se existem 2 ruas “horizontais” e 3 “verticais”?
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Idem solução anterior, é uma anagrama com repetição do tipo: DDDDCCC, ou seja:
35!3!.4
!7
22.O número de anagramas que podem ser formados com as letras da palavra APOSTA e que não apresentam as letras A juntas é: a) 120 b) 240 c) 360 d) 480 e) 600 Resolução: TOTAL – A juntas = A separadas
240120360
1202
720
!5!2
!6
23.O jogo da Sena consiste em acertar 6 dezenas sorteadas entre 60. O número de possíveis resultados está entre: a) 15.000.000 e 25.000.000 b) 25.000.000 e 35.000.000 c) 35.000.000 e 45.000.000 d) 45.000.000 e 55.000.000 Resolução:
50.063.8601
55
2
56
3
57
4
58
5
59
6
60
24.Um indivíduo possui 5 discos dos Beatles, 8 discos dos Rolling Stones e 4 discos do U2. Ele foi convidado para ir a uma festa e, ao sair, levou 2 discos dos Beatles, 2 dos Rolling Stones e 3 do U2. O número de modos distintos de se escolherem os discos é: a) 12 b) 42 c) 160 d) 1.120 e) 1.200 Resolução:
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Beatles x Rolling Stones x U2
11201
2
2
3
3
4
1
7
2
8
1
4
2
5xx
25.Se existem 11 pessoas em uma sala e cada pessoa cumprimenta todas as outras uma única vez, o número de apertos de mão dados será igual a: a) 55 b) 65 c) 110 d) 121 Resolução: Precisamos de 2 mãos :
551
10
2
11
26.Um fisioterapeuta recomendou a um paciente que fizesse, todos os dias, três tipos diferentes de exercícios e lhe forneceu uma lista contendo sete tipos diferentes de exercícios adequados a esse tratamento. Ao começar o tratamento, o paciente resolve que, a cada dia, sua escolha dos três exercícios será distinta das escolhas feitas anteriormente. O número máximo de dias que o paciente poderá manter esse procedimento é: a) 35 b) 38 c) 40 d) 42 Resolução:
351
5
2
6
3
7
27. De quantas maneiras distintas podemos distribuir 10 alunos em 2 salas de aula, com 7 e 3 lugares, respectivamente? a) 120 b) 240 c) 14.400 d) 86.400 e) 3.608.800 Resolução: Basta escolhermos 3 e os outros irão para a outra sala;
1201
8
2
9
3
10
28.O número de múltiplos de 10, compreendidos entre 100 e 9999 e com todos os algarismos distintos é: a) 250 b) 321 c) 504 d) 576 Resolução: Para ser múltiplo de 10 o zero tem que estar fixo na casa das unidades, portanto:
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576 total
504 0 789
72 0 89
29.Uma sala tem 6 lâmpadas com interruptores independentes. O número de modos de iluminar essa sala, acendendo pelo menos uma lâmpada é: a) 63 b) 79 c) 127 d) 182 e) 201 Resolução: Sabemos que a condição para iluminar a sala é que pelo menos uma lâmpada esteja acesa.As opções de cada lâmpada são: acesa e apagada, logo: 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 64 – 1 (todas apagadas) = 63 30. O código Morse usa “palavras” contendo de 1 a 4 “letras”. As “letras” são representadas pelo ponto (.) ou pelo traço (-). Deste modo, a quantidade de “palavras” possíveis através do código Morse é: a) 16 b) 64 c) 30 d) 8 e) 36 Resolução: Pode-se formar palavras de uma, duas, três ou quatro letras e as opções por letra são duas (ponto ou traço), logo:
30 total
) letras 4 ( 162.2.2.2
) letras 3 ( 82.2.2
) letras 2 ( 42.2
) letra 1 ( 2
31. O número de maneiras de se distribuir 10 objetos diferentes em duas caixas diferentes, de modo que nenhuma caixa fique vazia, é: a) 45 b) 90 c) 1022 d) 101 Resolução: São 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 =1024 – 2 = 1022 (opções de apenas a caixa A ou apenas a caixa B)
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QUESTÕES DE PROVA (PF/2004) Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso de loucura, matou sua família. Para expiar seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que lhe apresentou uma série de provas a serem cumpridas por ele, conhecidas como Os doze trabalhos de Hércules. Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o leão de Neméia, capturar a corça de Cerinéia e capturar o javali de Erimanto. Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em ordem os doze trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além disso, considere que somente um trabalho seja executado de cada vez. Com relação ao número de possíveis listas que Hércules poderia preparar, julgue os itens subseqüentes. 25.( ) (UnB/Agente/PF/2004) O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a 12 × 10!. 26.( ) (UnB/Agente/PF/2004) O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar o leão de Neméia” na primeira posição é inferior a 240 × 990 × 56 × 30. 27.( ) (UnB/Agente/PF/2004) O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” na primeira posição e “capturar o javali de Erimanto” na terceira posição é inferior a 72 × 42 × 20 × 6. 28. ( ) (UnB/Agente/PF/2004) “ O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” e “capturar o javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em qualquer ordem, é inferior a 6! × 8!. 29. (BB/2007) Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha, também, que a quantidade total de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada inserção da propaganda na TV, sempre apareçam somente dois nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70. 30. (BB/2007)Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas 31. Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 funcionários de um banco em 3 agências, de modo que cada agência receba 4 funcionários. 32. Se 6 candidatos são aprovados em um concurso público e há 4 setores distintos onde eles podem ser lotados, então há, no máximo, 24 maneiras de se realizarem tais lotações. 33. (ufmg) A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão constituída de quatro integrantes. Nesse grupo,incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses dois,juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão? a) 70
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b) 35 c) 45 d) 55 34. (ufrj)"Num posto policial trabalham 5 policiais do sexo feminino e 10 policiais do sexo masculino devendo ficar de plantão sempre 1 policial do sexo feminino e 3 do sexo masculino. Quantos grupos de trabalho podem ser formados, sabendo-se que o policial Emerson e a policial Karla não podem trabalhar juntos?" a)240 b)564 c)480 d)1200 35. Um automóvel comporta dois passageiros nos bancos da frente e três no detrás. Calcule o número de alternativa distintas para lotar o automóvel com pessoas escolhidas dentre sete, de modo que uma dessas pessoas nunca ocupe um lugar nos bancos da frente. Resolução: O número total de pessoas é igual a 7, logo:
A
Fixando a pessoa A no banco detrás, restam 6 pessoas para os quatro lugares restantes, isto é: A6,4. Como a pessoa A pode ser colocada em três lugares no banco detrás, temos: 3 . A6,4
080.13.4.5.6.3!2
!6.3
Resposta: 1.080 alternativas 36. Sobre uma circunferência tomam-se 7 pontos distintos. Calcule o número de polígonos convexos que se pode obter com vértices no pontos dados. Resolução:
número de triângulo C7,3 = 35
número de quadriláteros C7,4 = 35
número de pentágonos C7,5 = 21
número de hexágonos C7,6 = 7
número de heptágonos C7,7 = 1 Logo, o número total de polígonos é: 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 99 Resposta: 99 polígonos 37. Uma empresa é formada por 6 sócios brasileiros e 4 japoneses. De quantos modos podemos formar uma diretoria de 5 sócios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses?
B
A
C
G D
F E
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Resolução:
Diretoria
Brasileiros Japoneses
C6,3 C4,2
Logo: 120
!2!.2
!4.
!3!.3
!6. 2,43,6 CC
Resposta: 120 modos 38. Um agrônomo quer comprar 3 caminhões e 4 tratores de uma firma que possui 6 caminhões e 8 tratores, todos de modelos diferentes. Quantas escolhas ele tem? Resolução: Como não importa a ordem de escolha dos caminhões e dos tratores, o problema é de combinação, logo:
caminhões C6.3 maneiras diferentes
tratores C8,4 maneiras diferentes. Utilizando o princípio fundamental da contagem, temos:
400.170.20!4 !4
!8.
!3 !3
!6. 4,83.6 Cc
Resposta: 1.400 escolhas 39. Seis tijolos, cada um de uma cor, são empilhados. De quantos modos se pode fazer isto, de forma que o verde e o amarelo estejam sempre juntos? Resolução:
5
VERDE 2
AMARELO
O número de modos é dado por: P5 . P2 = 5! . 2! = 120 . 2 = 240 Resposta: 240 modos 40. De quantos modos podemos ordenar 2 livros de Matemática, 3 de Português e 4 de Física, de modo que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos e, além disso, os de Física fiquem, entre si, sempre na mesma ordem?
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Resolução:
Matem. Português Física
F1 F2 F3 F4
P2 P3
P3 Logo, devemos ter: P2 . P3 . P3 = 2 . 6 .6 = 72 Resposta: 72 modos
SOLUÇÕES INTEIRAS NÃO NEGATIVAS DE UMA EQUAÇÃO LINEAR Ex.: Considere a equação linear x + y = 5, quantas soluções inteiras não negativas podemos obter: (0,5);(1,4);(2,3);(3,2);(4,1);(5,0), portanto teremos 6 soluções inteiras não negativas. Considere agora a equação x + y + z = 7, resolvendo por tentativa, o trabalho será muito grande , e corremos o risco de esquecer alguma solução. Temos que dividir 7 unidades em 3 partes ordenadas, de modo que fique em cada parte um número maior ou igual a zero. Indicaremos cada unidade por uma bolinha e usaremos a barra para fazer a separação, que corresponde aos sinais de adição:
Logo teremos uma permutação com elementos repetidos( como em ARARA), assim:
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36!2!7
!9
Portanto existem 36 soluções inteiras positivas para a equação. RESUMO: FATORIAL A) n! = n fatorial
1!0
1!1
1!n0n
1!n1n
.1.2.3......2n.1n.n!n1n
e Nn
B) Propriedade
nn
nn
n
n
!1
!1.
!1
!
ANÁLISE COMBINATÓRIA SIMPLES A) Arranjo Simples:
!pn
!nA p.n
agrupamentos que diferem pela ordem e natureza B) Permutação simples: Pn = n! agrupamentos que diferem pela ordem (Anagramas) C) Combinação simples:
!p!.pn
!nC p,n
agrupamentos que diferem pela natureza
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TESTES IV 01) Cinco pessoas encontram-se sentadas em volta de uma mesa redonda. De quantas maneiras
diferentes elas podem trocar de lugar entre si de modo que pelo menos uma delas termine com pelo menos um de seus vizinhos sentado em outra posição? a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 02) Fisc. Trab/1998 - Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se os cinco, lado a
lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a: a) 2 b) 4 c) 24 d) 48 e) 120 03) O número de equações do 5º grau que se pode formar, tendo os números 5, 6, 7, 8, 9 e 10 como coeficientes, sem repetição, é igual a: a) 120 b) 720 c) 750 d) 830 04) Sejam P, Q, R e S quatro pontos distintos sobre uma reta r e sejam T,U e V, X e Z cinco pontos distintos sobre uma reta s, paralela a r e distinta desta. Nessas condições, o total de triângulos possíveis com vértices em três desses nove pontos é: a) 30 b) 35 c) 70 d) 84 e) 504 05) Os clientes de um banco contam com um cartão magnético e uma senha pessoal de quatro algarismos distintos entre 1000 e 9999. A quantidade dessas senhas, em que o módulo da diferença positiva entre o primeiro algarismo e o ultimo algarismo é 3, é igual a: a) 936 b) 896 c) 784 d) 768 e )728
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06) Segundo Aurélio B. de Holanda, PALÍNDROMO “Diz-se de frase ou palavra que, ou se leia da esquerda para a direita, ou da direita para a esquerda, tem o mesmo sentido.” (Por exemplo: SUBI NO ONIBUS, ARARA).Um número inteiro é um “número palíndromo” quando seu valor não se altera ao invertermos a ordem de seus algarismos. (Por exemplo: 3003, 19491). Quantos números palíndromos de 4 algarismos podemos formar com os algarismos de 1 a 9? a) 9 b) 36 c) 72 d) 81 e) 126
07) Uma CPI (Comissão Parlamentar de Inquérito) será formada por 5 membros: três da base governista e dois da base oposicionista. Caberá ao governo indicar o presidente, o vice e o relator. A oposição indicará as duas vagas restantes. Se o governo dispões de 4 candidatos para os cargos e a oposição 3, o número de comissões que podem ser formadas é:
a) 24 b) 72 c) 144 d) 288 Em cada um dos itens a seguir, é apresentada uma situação, seguida de uma assertiva a ser julgada. 08) ( ) Com os símbolos 0 e 1, um programador deseja gerar códigos cujos comprimentos (número de símbolos) variem de 1 a 10 símbolos. Nessa situação, o número de códigos diferentes que poderão ser gerados não passa de 2.046. 09) ( ) Em um centro de pesquisas onde atuam 10 pesquisadores, deverá ser formada uma equipe com 5 desses pesquisadores para desenvolver determinado projeto. Sabe-se que 2 dos 10 pesquisadores só aceitam participar do trabalho se ambos forem escolhidos; caso contrário, não participam. Nessa situação, há menos de 250 maneiras diferentes de se montar a equipe. 10) Em uma sala de aula há 20 alunos, sendo 11 homens e 9 mulheres. Elegeu-se um homem como representante de turma e uma mulher para vice-representante. O número de possíveis chapas vencedoras é: a) menor que 100 b) maior que 100 e menor que 1.000 c) maior que 1000 e menor que 10.000 d) maior que 10.000 11) Uma classe tem 10 alunos e 5 alunas. Formam-se comissões de 4 alunos e 2 alunas. O número de comissões em que participa o aluno X e não participa a aluna Y é: a) 1.260 b) 2.100 c) 840
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d) 504 Em cada um dos itens a seguir, é apresentada uma situação, seguida de uma assertiva a ser julgada. 12) ( ) Deseja-se formar uma cadeia de símbolos com os números 0, 1 e 2, de modo que o 0 seja usado três vezes, o número 1 seja usado duas vezes e o número 2, quatro vezes. Nessa situação, o número de cadeias diferentes que podem ser formadas é maior que 1.280. 13) O número de anagramas da palavra GUILHERME é:
a) 9!
2!
b) 9! c) 2! 9! d) 9! + 2! 14) Se uma pessoa gasta exatamente 1 hora para escrever cada grupo de 672 anagramas da palavra PARAGUAI, quanto tempo levará para escrever todos, se houver um intervalo de 30 minutos entre um grupo e outro, para descansar? a) 13h 30min b) 14h c) 14h 30min d) 15h e) 15h 30 min 15) O número de anagramas da sigla FEPAM que começam com vogal e terminam com consoante é igual ao quadrado do dobro da quantidade de faculdades mantidas por essa Fundação. O número de anagramas e o número de faculdades mantidas são, respectivamente: a) 16 e 2 b) 48 e 3 c) 36 e 3 d) 64 e 4 e) 36 e 2 16) Quer-se formar um grupo de danças com 6 bailarinas, de modo que três delas tenham menos de 18 anos, que uma delas tenha exatamente 18 anos, e que as demais tenham idade superior a 18 anos. Apresentaram-se, para a seleção, doze candidatas, com idades de 11 a 22 anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas é igual a a) 85. b) 220. c) 210. d) 120. e) 150. 17) Cada um dos quatro países do mapa de certa região deve ser colorido com uma cor diferente da dos outros três. Dispondo de seis lápis de cores distintas, é possível colorir o mapa de N maneiras. O valor de N é: a) 24
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b) 90 c) 120 d) 360 e) 720 18) O número de placas com três letras, repetidas ou não, e sem a letra A no início, que o DETRAN pode formar com as letras A, B, C, D, E e F, é igual a: a) 100 b) 120 c) 160 d) 170 e) 180 19) Se M = { 1, 2, 3, … 7}; o número de subconjuntos de M, com 3 elementos, é igual a: a) 6 b) 21 c) 35 d) 49 e) 210 20) O total de números inteiros, com todos os algarismos distintos, compreendidos entre 11 e 1000 é: a) 576 b) 648 c) 728 d) 738 21) O número de múltiplos de 10, compreendidos entre 100 e 9999 e com todos os algarismos distintos é: a) 250 b) 321 c) 504 d) 576 22) Formam-se comissões de três professores escolhidos entre os sete de uma escola. O número de comissões distintas que podem, assim, ser formadas é: a) 35 b) 45 c) 210 d) 73 23) Quatro equipes (A, B, C e D) estão classificadas para o quadrangular final do campeonato de futebol. Um apostador deve preencher uma cartela indicando a classificação dos quatro times após o término da disputa. O número de maneiras distintas que o apostador tem de preencher a cartela é: a) 4 b) 6 c) 12 d) 24 e) 32
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24) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente, a) 1112 e 1152. b) 1152 e 1100. c) 1152 e 1152. d) 384 e 1112. e) 112 e 384. 25) Para numerar os m armários dos vestiários de um clube, foram usados todos os números formados com três algarismos distintos do conjunto A = { 2, 3, 4, 7, 8 }. O valor de m é: a) 10 b) 60 c) 80 d) 100 e) 120 26) Considere nove barras de metal que medem, respectivamente: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 metros. Quantas combinações de cinco barras, ordenadas em ordem crescente de comprimento, podem ser feitas de tal forma que a barra de 5 metros ocupe sempre a quarta posição? a) 32 b) 16 c) 20 d) 18 e) 120 27) Vinte quatro pessoas são separadas em três grupos diferentes: o primeiro composto por 10 meninas; o segundo composto por 8 meninos; e o terceiro composto por 6 adultos. Deve-se escolher duas pessoas pertencentes a grupos diferentes, dentre os citados acima. Nessas condições, o número de maneiras que se pode escolher essas duas pessoas é: a) 188 b) 276 c) 460 d) 552 28) Com um grupo de 3 administradores e 6 arquitetos, o número de comissões de 5 pessoas que se pode formar, sendo que em cada uma haverá, pelo menos, um administrador é: a) 150 b) 136 c) 120 d) 56 e) 28 29) Marina possui em seu closed 90 pares de sapatos, todos devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Marina quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido
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da amiga, Marina retira do closed quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a: a) 681384 b) 382426 c) 43262 d) 7488 e) 2120 30) Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de Portinari e quer expô-los em uma mesma parede, lado a lado. Todos os seis quadros são assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qualquer ordem, desde que os de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem cronológica, da esquerda para a direita. O número de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos é igual a a) 20. b) 30. c) 24. d) 120. e) 360. 31) O número de frações diferentes entre si e diferentes de 1 que podem ser formadas com os números 3, 7, 11, 13, 17, 23, 29 e 31 é: a) 64 b) 56 c) 49 d) 48 e) 16 GABARITO
A 10,13,22,27,29
B 3, 7,25,26,31
C 4, 8, 9, 14,15,16, 19,20,24,28,
D 2,6,11,17,21,23,30
E 1,5,12,18,
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7. PROBABILIDADE
A probabilidade está associada ao estudo da Genética( exemplo visto anteriormente); jogos de azar; estatísticas e etc. Moivre foi o mais importante devoto da Teoria das Probabilidades, em sua obra “doutrina das Probabilidades”, publicada em 1718, ele apresenta mais de 50 problemas, além da lei dos erros ou curvas de distribuição.
Há três ramos principais da estatística: estatística descritiva, que envolve a organização e a sumarização de dados; a teoria da probabilidade, que proporciona uma base racional para lidar com situações influenciadas por fatores relacionados com o acaso, assim como estimar erros; e a teoria da inferência, que envolve análise e interpretação de amostras.
O ponto central em todas as situações onde usamos probabilidade é a possibilidade de quantificar quão provável é determinado EVENTO.
As probabilidades são utilizadas para exprimir a chance de ocorrência de determinado evento. ESPAÇO AMOSTRAL
Chamamos de espaço amostral (S) um conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Chama-se Evento (E) todo subconjunto de (S), associado a um experimento aleatório a qualquer. PROBABILIDADE DE UM EVENTO ELEMENTAR Vejamos as situações seguintes: 1. Lançamento de uma moeda e observação da face superior. Seja S = { k, c } o espaço amostral, onde c representa “cara” e k, “coroa”. Os números ½ e ½ podem representar as chances de ocorrência dos eventos elementares {k} e {c}. É razoável esperar que, num grande número de lançamentos, em aproximadamente metade deles ocorra cara e na outra metade ocorra coroa. Indicamos então: PK = ½ E PC = 1/2 Generalizando, sendo S = {e1, e2, e3, . . ., en} , Um espaço amostral finito, a cada evento elementar {e1} associamos um número real p({ei}), chamado probabilidade do evento elementar{ei}, que satisfaz as seguintes condições:
p({ei}) é um número não-negativo: p({ei}) 0;
A soma das probabilidades de todos os eventos elementares é 1: p({e1}) + p({e2}) + . . . + p({en}) = 1 Consequentemente, para qualquer evento elementar {ei} temos:
10 iep
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Probabilidade de um evento qualquer
No lançamento de uma moeda defeituosa, qual a probabilidade de sair cara, sabendo-se que esta é o dobro da probabilidade de sair coroa? SOLUÇÃO: Temos p(c) = 2p(k) e p(c) + p(k) = 1. Portanto:
3
2)( :Portanto
3
112
cp
kpkpkp
Ainda no exemplo anterior, se jogássemos 03 vezes consecutivas este dado, qual a probabilidade de
sair 02 caras e 01 coroa? Resolução: As possíveis maneiras são: CCK, CKC ou KCC, portanto teremos:
9
4
3
2
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
2xxxxxx
Eventos Complementares
O evento “ ” é complementar do evento “E”, quando constituído por todos os elementos do espaço amostra que não pertencem ao evento “E”.
Exemplo: No lançamento de um dado honesto, o evento número ímpar {1, 3, 5} é o evento complementar do evento número par {2, 4, 6}. Então: E = {2, 4, 6} = {1, 3, 5} Eventos Mutuamente Exclusivos
Os eventos exclusivos jamais ocorrem simultaneamente. Ex.: A = {2, 4, 5} e B = {1, 3, 6} são mutuamente exclusivos porque jamais ocorrem simultaneamente. Probabilidade Amostrais Equiprováveis
Um espaço amostral é chamado eqüiprovável quando seus eventos elementares têm iguais probabilidades de ocorrência. Observamos a seguinte situação:
No lançamento de um dado não-viciado e observação da face superior, temos as seguintes possibilidades:
Como o dado não é viciado, consideramos essas possibilidades equiprováveis, ou seja, têm a mesma probabilidade de ocorrer.
Utilizando um raciocínio semelhante ao de Fermat, observamos que temos uma possibilidade favorável de que ocorra o evento desejado,
Por exemplo, o aparecimento do número 5 na face superior do dado - num total de 6 possibilidades. Diremos então que a probabilidade de que o referido evento ocorra é 1/6.
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Generalizando, se num fenômeno aleatório as possibilidades são equiprováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento E, que indicaremos por p(E), será dada por:
P(E) = número de possibilidades favoráveis
Número total de possibilidades
Ex.:Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a 3 produtos: A, B e C. Os resultados das pesquisas indicaram que: 210 pessoas compram o produto A; 210 pessoas compram o produto B; 250 pessoas compram o produto C; 20 pessoas compram os 3 produtos; 100 pessoas não compram nenhum dos 3; 60 pessoas compram os produtos A e B; 70 pessoas compram os produtos A e C; 50 pessoas compram os produtos B e C. Solução: Primeiramente, vamos solucionar o problema usando o Diagrama de Venn:
Somando tudo 100 + 40 + 20 + 50 + 120 + 30 + 150 + 100 = 610 entrevistados. Qual a probabilidade de que ao sortearmos uma pessoa aleatoriamente, ela seja: a) Consumidora de apenas um dos produtos?
61
37
610
3701P
b) Consumidora de no mínimo 02 produtos?
61
14
610
1402P
Probabilidade Condicional Analisemos a seguinte situação:
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Retirando-se sucessivamente, e sem reposição, 3 cartas de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de ocorrerem 3 de espada? SOLUÇÃO: Chamemos de E o evento ”ocorrerem 3 cartas de espadas”. Na 1ª retirada, a probabilidade de ocorrer carta de espadas é 13/52 (num baralho de 52 cartas, há 13 de espadas; tendo sido obtida 1 carta de espadas, a probabilidade de ocorrer outra é12/51; obtidas 2 cartas de espadas nas duas primeiras retiradas, a probabilidade de ocorrer outra na 3ª retirada é 11/50. Usando a fórmula da probabilidade condicional, temos:
850
11
50
11.
51
12.
52
13Ep
CURIOSIDADE: Num jogo de Pôquer , qual a probabilidade de ocorrer uma trinca e uma dupla?( considerando que um jogador recebe as cinco cartas de uma só vez) Solução: A 1ª carta é aleatória: 52/52 A 2ª carta terá probabilidade: 3/51 A 3ª carta terá probabilidade: 2/50 A probabilidade da 4ª: 48/49 E a da 5ª: 3/48 Daí teremos o seguinte: NNNPP em qualquer ordem, ou seja:
10!2!.3
!5
10 maneiras diferentes disto acontecer. Logo a probabilidade desejada será:
165.4
610
48
3
49
48
50
2
51
3
52
52xxxxx
Que corresponde a 0,00144 = 0,1%!!!
Eventos Independentes Dizemos que n eventos E1, E2, E3, ..., En são independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de terem ou não ocorrido os outros. Para n eventos independentes temos: p(E1 e E2 e E3 e ... e En) = p(E1) . p(E2) . p(E3) . ... . p(En) EXEMPLO No lançamento de 2 moedas não viciadas, qual é a probabilidade de ocorrerem 2 caras? SOLUÇÃO Vamos chamar de E1 o evento “ocorrer cara na 1ª moeda” e de E2 o evento “ocorrer cara na 2ª moeda”. Aplicando fórmula da probabilidade dos eventos independentes, temos
4
1
2
1.
2
1. e 2121 EpEpEEp
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Até mesmo a Famosa lei de MURPHY: Ao tentarmos abrir uma porta temos em mãos uma penca com 05 chaves e não sabemos qual delas abrirá a porta. Então tentamos a 1ª e se não conseguirmos (separamos esta), tentamos a segunda, e assim por diante até chegar na última, sempre separando a que já tentamos. Segundo MURPHY a probabilidade de acertarmos a chave na última tentativa é maior que na primeira e ele está certo ou errado? Responda você. Ele está errado, pois é a mesma probabilidade: Temos que analisar o problema da seguinte maneira: P(a) = acertar a chave = 1/5 e P(e) = errar a chave 4/5 1ª tentativa: 1/5
2ª tentativa: 5
1
4
1.
5
4
3ª tentativa: 5
1
3
1.
4
3.
5
4
4ªtentativa: 5
1
2
1.
3
2.
4
3.
5
4
5ªtentativa: 5
1
1
1.
2
1.
3
2.
4
3.
5
4
Probabilidade de ocorrer a união de eventos Na representação deste item, vamos analisar dois exemplos: Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de essa carta ser uma figura (valete, dama ou rei)? Chamemos de E1, o evento “a carta retirada ser de um valete”, de E2 o evento “a carta retirada ser de uma dama”, e de E3 o evento “a carta retirada ser de um rei”. Aplicando a fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos, temos: = p(E1 e E2 e E3) = p(E1) . p(E2) . p(E3)
13
3
13
1
13
1
13
1
52
4
52
4
52
4
Probabilidade de não ocorrer um evento 1.Dois prêmios iguais são sorteados entre 5 concorrentes, sendo 3 brasileiros e 2 italianos. Admitindo que a mesma pessoa não possa ganhar os dois prêmios, qual é a probabilidade de ser premiado pelo menos um brasileiro? Ser premiado pelo menos um brasileiro implica não serem premiados 2 italianos. Chamemos de E o evento “serem premiados 2 italianos”. Usando a fórmula da probabilidade condicional, verificamos que a probabilidade de serem premiados 2 italianos é:
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10
1
4
1.
5
2Ep
Aplicando agora a fórmula da probabilidade de não ocorrer o evento E, obtemos a probabilidade de ser premiado pelo menos um brasileiro:
10
9
10
11p(E)1Ep
QUESTÕES DE PROVA (TRT/2004) Um juiz deve analisar 12 processos de reclamações trabalhistas, sendo 4 de médicos, 5 de professores e 3 de bancários. Considere que, inicialmente, o juiz selecione aleatoriamente um grupo de 3 processos para serem analisados. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 41.( ) A probabilidade de que, nesse grupo, todos os processos sejam de bancários é inferior a 0,005. 42. ( ) As chances de que, nesse grupo, pelo menos um dos processos sejam de professor é superior a 80%. 43. ( ) O número de possíveis grupos contendo 1 processo de bancário,1 processo de professor e 1 processo de médico é inferior a 55. 44.( UFMG ) Leandro e Heloísa participam de um jogo em que se utilizam dois cubos. Algumas faces desses cubos são brancas e as demais, pretas. O jogo consiste em lançar, simultaneamente, os dois cubos e em observar as faces superiores de cada um deles quando param:
se as faces superiores forem da mesma cor, Leandro vencerá; e
se as faces superiores forem de cores diferentes, Heloísa vencerá. Sabe-se que um dos cubos possui cinco faces brancas e uma preta e que a probabilidade de Leandro vencer o jogo é de 11/18. Então é correto afirmar que o outro cubo tem: A)Quatro faces brancas. B)Uma face branca C)Duas faces brancas. D)Três faces brancas. 45. (Cesgranrio/Téc. Adm./MP-RO/2005) Pedro e Paulo estavam brincando com dados perfeitos. Um dos meninos lançava dois dados e o outro tentava adivinhar a soma dos pontos obtidos nas faces voltadas para cima. Pedro lançou os dados sem que Paulo visse e disse: “Vou te dar uma dica: a soma dos pontos é maior que 7”. Considerando que a dica de Pedro esteja correta, Paulo terá mais chance de acertar a soma se disser que esta vale: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
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46. (Cesgranrio/Controlador/Aeronáutica/2007) Há duas urnas sobre uma mesa, ambas contendo bolas distinguíveis apenas pela cor. A primeira urna contém 2 bolas brancas e 1 bola preta. A segunda urna contém 1 bola branca e 2 bolas pretas. Uma bola será retirada, aleatoriamente, da primeira urna e será colocada na segunda e, a seguir, retirar-se-á, aleatoriamente, uma das bolas da segunda urna. A probabilidade de que esta bola seja branca é: a) 1/12 b) 1/6 c) 1/4 d) 1/3 e) 5/12
47. Quando Lígia para em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível do óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos é 0,04. Portanto, a probabilidade de Ligia parar em um posto de gasolina e não pedir pra verificar nem o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é de:
A - 0,25
B – 0,35
C – 0,45
D – 0,15
E – 0,65
Solução;
Distribuição Binominal Generalizando, se em cada uma das n tentativas de um fenômeno aleatório a probabilidade de ocorrer um evento é sempre P(E), a probabilidade de que esse evento ocorra em apenas K das n alternativas é dada por:
Óleo Pneu 0,24 0,04 0,07
1- ( 0,11 + 0,04 + 0,24) = 0,65
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kP
nk
n P-1..k
nP
Exemplo 01. Um casal tem 8 filhos, sendo que não há gêmeos entre eles. Qual é a probabilidade de esses filhos serem: a) 8 homens? b) 7 homens e 1 mulher? c) 4 homens e 4 mulheres? SOLUÇÃO
a) Aplicando a fórmula da distribuição binominal, temos: A probabilidade de que ocorram 8 homens é:
256
1
2
1.
2
1.
8
808
8P
b) A probabilidade de que ocorram 7 homens e 1 mulher é:
256
8
2
1.
2
1.
7
817
7P
C) outra maneira: HHHHMMMM que é o mesmo que um anagrama com 8 letras, sendo 4 Hs e 4Ms, portanto usando o da ARARA, teremos:
70!4!.4
!8 possíveis resultados.
Agora sabemos que temos duas opções de sexo: homem ou mulher, e como são 08 filhos , o total de possibilidades será 2.2.2.2.2.2.2.2= 256 Assim a probabilidade desejada, será:
128
35
256
70P
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TESTES V 1 - De um total de 100 alunos que se destinam aos cursos de Matemática, Física e Química, sabe-se que: I. 30 destinam-se à Matemática e, destes, 20 são do sexo masculino; II. total de alunos do sexo masculino é 50, dos quais 10 destinam-se à Química; III. existem 10 moças que se destinam ao curso de Química.
Nestas condições, sorteando-se um aluno ao acaso, do grupo total e sabendo-se que é do sexo feminino, a probabilidade de que ele se destine ao curso de Matemática vale:
a) 5
1 b)
4
1 c)
3
1 d)
2
1 e) 1
2 - O número da chapa de um carro é par. A probabilidade de o algarismo das unidades ser zero é:
a) 10
1 b)
2
1 c)
9
4 d)
9
5 e)
5
1
3 - Um colégio tem 400 alunos. Destes:
I. 100 estudam Matemática; II. 80 estudam Física; III. 100 estudam Química; IV. 20 estudam Matemática, Física e Química; V. 30 estudam Matemática e Física; VI. 30 estudam Física e Química; VII. 50 estudam somente Química; A probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, estudar Matemática e Química é:
a) 10
1 b)
8
1 c)
5
2
d) 3
5
4 - Dois jogadores, A e B, vão lançar um par de dados. Eles combinam que, se a soma dos números dos
dados for 5, A ganha, e se essa soma for 8, B é quem ganha. Os dados são lançados. Sabe-se que A não ganhou. Qual a probabilidade de B ter ganhado?
a) 36
10 b)
32
5 c)
36
5 d)
35
5
5 - Jogando-se dois dados, a probabilidade de obtermos a soma dos pontos menor ou igual a 7 é:
a) 2
1 b)
36
1 c)
12
7 d)
36
3 e)
4
1
6 - Três moedas, não-viciadas, são lançadas simultaneamente. A probabilidade de se obter duas caras e
um coroa é:
a) 8
1 b)
4
1 c)
16
5 d)
8
3 e)
2
1
7 - Os 240 cartões de um conjunto são numerados consecutivamente de 1 a 240. Retirando-se ao acaso um cartão desse conjunto, a probabilidade de se obter um cartão numerado com um múltiplo de 13 é:
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a) 240
13 b)
40
3 c)
26
1 d)
13
1 e)
6
1
8 - João lança um dado sem que Antônio veja. João diz que o número mostrado pelo dado é par. A
probabilidade agora de Antônio acertar é:
a) 2
1 b)
6
1 c)
6
4 d)
3
1 e)
36
3
9 - Num jogo com um dado, o jogador X ganha se tirar, no seu lance, um número de pontos maior ou igual
ao lance do jogador Y. A probabilidade de X ganhar é:
a) 2
1 b)
3
2 c)
12
7 d)
24
13 e)
36
19
10 - Qual a probabilidade de se obter um número divisível por 5, na escolha ao acaso de uma das
permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5? :
a) 5 b) 5
1 c) 1 d) 4 e)
4
1
11 - Seis pessoas, A, B, C, D, E e F, vão atravessar um rio em 3 barcos. Distribuindo-se ao acaso as pessoas,
de modo que fiquem duas em cada barco, a probabilidade de A atravessar junto com B, C junto com D e E junto com F é:
a) 5
1 b)
10
1 c)
15
1 d)
20
1 e)
25
1
12 - Numa sala, estão reunidos um brasileiro, um italiano, um alemão, um inglês e um belga. Chama-se ao
acaso uma das pessoas, anota-se a sua nacionalidade e pede-se que retorne à sala. Repetindo-se a operação mais 4 vezes, a probabilidade de serem registradas nacionalidades diferentes é:
a) 625
24 b)
25
1 c)
625
12 d)
25
24 e)
625
4
13 - Numa gaiola estão 9 camundongos rotulados 1, 2, 3, ..., 9. Selecionando-se conjuntamente 2
camundongos ao acaso (todos têm igual possibilidade de serem escolhidos), a probabilidade de que na seleção ambos os camundongos tenham rótulo ímpar é:
a) 0,3777... b) 0,47 c) 0,17 d) 0,2777 e) 0,1333 14 - Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos
ocupados. A probabilidade de que cada um dos três andares tenha exatamente um apartamento ocupado é:
a) 5
2 b)
5
3 c)
2
1 d)
3
1 e)
3
2
Lógica? É lógico
Valéria Lanna [email protected]
(31) 9149 1462 103
GABARITO
1-A 2-E 3-A 4-B 5-C 6-D 7-B 8-D
9-C 10-B 11-C 12-A 13-D 14-A 15-D
GABARITO DAS QUESTÕES DE PROVA
01. E 24. C 02. E 25. C 03. C 26. C 04. E 27. E 05. E 28. C 06. C 29. C 07. C 30. C 08. E 31. E 09. E 32. E 10. E 33. D 11. A 34. B 12. C 35. 1080 13. E 36. 99 14. C 37. 120 15. C 38. 1400 16. C 39. 240 17. E 40. 72 18. E 41. C 19. E 42. C 20. C 43. E 21. E 44. A 22. E 45. A 23. C 46. E
Lógica? É lógico
Valéria Lanna [email protected]
(31) 9149 1462 104
RESUMO DE RLM
Somente às sentenças declarativas pode-se atribuir valores de verdadeiro ou falso, o que ocorre quando a sentença é,
respectivamente, confirmada ou negada. CONECTIVOS LÓGICOS: “não”, “e”, “ou”, “se ...então “ e “se e somente se “
CONJUNÇÃO A e B A B A B A B V V V
V F F
F V F
F F F
CONDICIONAL Se A então B A B ( A B) A B A B V V V
V F F
F V V
F F V
‘‘A negação de uma tautologia é sempre uma contradição, enquanto, a negação de uma contradição é sempre uma
tautologia.’’
Proposição Negação direta Equivalente da Negação
A e B Não ( A e B ) Não A ou não B
A ou B Não ( A ou B ) Não A e não B
Se A então B Não ( se A então B ) A e não B
A se e somente se B Não (A se e somente se B) (A e não B) ou (B e não A )
Todo A é B Não (Todo A é B) Algum A não é B
Algum A é B Não (Algum A é B) Nenhum A é B
DISJUNÇÃO A ou B A B A B A B V V V
V F V
F V V
F F F
NEGAÇÃO Não A
A ~ A
V F
F V
BICONDICIONAL A se e somente se B A B
A B A B V V V
V F F
F V F
F F V
Contradição
A ~ A A ~ A V F F
F V F
Tautologia
A B A e B A ou B (A e B) (A ou B)
V V V V V V F F V V
F V F V V
F F F F V
