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VANTAGENS DO MODELO BIENGASTADO COM RÓTULA
CENTRAL PARA PROJETOS DE PONTES, VIADUTOS E
PASSARELAS.
Autor: Alessandra Teixeira Reimann ([email protected])
Orientador: Prof. Almir Schäffer ([email protected])
Resumo
Devido ao aquecimento da economia, o mercado da engenharia civil cresce linearmente, requerendo novos investimentos e o bom conhecimento do projeto de pontes e viadutos. Para tanto, pesquisar métodos mais enxutos e práticos faz parte do escopo do engenheiro projetista em sua busca da resolução dos problemas de engenharia. Com auxilio de planilhas de Excel, realizou-se uma programação bastante básica para dimensionar vigas bi engastadas e bi apoiadas, aplicadas a uma passarela, considerando a possibilidade de variar a seção longitudinal. A partir desta comparação, observou-se que a viga bi engastada permitia a variação da seção longitudinal imitando seu gráfico de momentos fletores. Com isso, gerou uma economia de mais de 50% do volume de concreto e consumo de aço. No entanto, concluiu-se que este tipo de modelo só é vantajoso caso o local previsto para a inserção do elemento estrutural forneça condições para que o engaste seja aceito naturalmente. A opção de se construir através de balanços sucessivos facilita ainda mais a construção. Este método é muito utilizado na prática, mas por muitas vezes seu real motivo se torna desconhecido devido ao pouco estudo realizado sobre o assunto.
Palavras-chave: Pontes bi engastadas. Avanços sucessivos. Consumo de aço.
1. Introdução
“Denomina-se ponte a obra destinada a transpor obstáculos à continuidade de uma via,
tais como rios, braços de mar, vales profundos, outras vias, etc.” (PFEIL, 1983)
As pontes são grandes obras da engenharia, nascidas nos primórdios pré-históricos
como simples passarelas de madeira, com tronco de árvores na função de vigas e hoje
promovidas a obras de arte. Seu desenvolvimento e características evoluíram junto com a
população, trazendo à tona a necessidade de vencer vãos maiores, com cargas maiores,
surgiram estruturas treliçadas em madeira.
As estruturas foram progredindo através dos tempos, emergindo através dos etruscos e
romanos a alvenaria de pedra, com seus grandes arcos. Durante a Revolução Industrial,
através do uso em larga escala do ferro fundido e consequentemente o aço, descobriu-se sua
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utilidade para pontes Penseis. O concreto só se fez presente no inicio do século XX, em
substituição as alvenarias de pedra, porém era sabida sua ineficiência em vencer grandes vãos.
Enfim, após a Segunda Guerra Mundial se tornou usual o concreto protendido, um conjunto
de concreto de boa qualidade e aços resistentes que formaram um material que tornou
possível o projeto de grandes elementos. Hoje com tecnologias inovadoras e materiais mais
esbeltos e resistentes, as pontes são além de um mero meio de passagem, uma obra de arte
arquitetônica.
Devido ao aquecimento da economia, o mercado da engenharia civil também cresce a
olhos vistos, requerendo novos investimentos e esforços na busca do conhecimento dos
projetos das grandes obras de arte especiais, como pontes e viadutos. Sendo assim, buscar
refinar os projetos, pesquisar métodos mais enxutos e práticos fazem parte do escopo do
engenheiro projetista em sua busca da resolução dos problemas de engenharia.
O modelo de cálculo apresentado neste trabalho, não é inovador e tão pouco inusitado,
no entanto, por ser tão prático, muito pouco se estudou sobre o assunto, o que traz a este
artigo ainda mais importância na literatura técnica. A pesquisa se desenvolverá sobre o
projeto de uma passarela de concreto armado e não de concreto protendido, usual nestes
casos, com intuito de simplificar o estudo. Serão analisados o consumo de aço, as
consequências da variação da seção transversal da viga e a possibilidade da construção em
balanços sucessivos.
O trabalho terá como objetivo analisar e demonstrar as vantagens, em termos de
economia de material no projeto de vigas de pontes, viadutos e passarelas para pedestres, do
modelo de cálculo bi engastado com rótula central em relação ao modelo bi apoiado.
Por ser um assunto muito abrangente e que envolve muitas variáveis, não estarão
presentes neste projeto a análise dos vínculos, no caso de projeto de execução dos engastes ou
apoios, o modelo da rótula central, os momentos hiperestáticos e vibrações produzidas pela
carga acidental, força cortante para determinação de estribos, flechas e deformações, além do
projeto pluvial e arquitetônico.
2. Referencial Teórico
Segundo Pfeil (1983), uma ponte pode ser dividida em partes, que são elas os
encontros, infraestrutura, mesoestrutura e superestrutura. Os encontros são peças que ligam a
ponte ao solo terraplenado com a função de proteger contra a erosão do aterro e absorver os
esforços horizontais presentes no tabuleiro. Em alguns casos, o uso dos encontros se faz
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desnecessário. Quando isto é possível, o vigamento principal apresenta extremidades em
balanço e os pilares das extremidades se sujeitam a empuxos de terra provocados por aterros
de acesso. A infraestrutura é também conhecida como a fundação da obra, com objetivo de
transferir para o solo as cargas da estrutura. A mesoestrutura é formada pelos pilares, servindo
de elemento de transição das cargas recebidas da superestrutura até a fundação. A
superestrutura, que será sobre o que este artigo discorrerá, é a parte que permite à carga útil
vencer o vão da ponte. Pode ser ainda subdividida em duas partes principais, sendo elas
tabuleiro ou estrado, em que se aplicam diretamente as cargas, e o vigamento principal, que
objetiva vencer o vão livre.
“A seleção do tipo de material e da forma estrutural para a superestrutura [...] só pode
ser determinado considerando-se todos os fatores que afetam o projeto de cada ponte. A
escolha é função do vão.” (O’CONNOR, 1975)
Pfeil também subdivide as pontes em algumas outras classificações, como por
exemplo, quanto a sua finalidade, que podem ser divididas em:
a) Rodoviária: destinada ao tráfego rodoviário;
b) Ferroviária: destinada ao tráfego ferroviário;
c) Rodoferroviaria: destinada ao tráfego misto, rodoviário e ferroviário;
d) Aeroviária: destinada ao tráfego de aeronaves, em pistas de aeroportos;
e) Passarela: destinada ao tráfego de pedestres;
f) Ponte Canal: destinada a transposição de um obstáculo por um canal e,
g) Utilitária: destinada ao suporte de utilidades públicas, tais como tubulações para
água, esgoto, óleo, etc.
2.1 Funções das Pontes
De acordo com Pfeil (1983), as pontes possuem inúmeras funções, sendo atribuída a
cada elemento de sua estrutura alguma função mais adequada ou mais atuante.
2.1.1 Funções Viárias
A função viária de uma ponte é dar continuidade à estrada com objetivo de vencer um
obstáculo. Em busca desta meta, as funções viárias são desempenhadas por elementos
bastante ligados aos usuários, sendo eles: pista de rolamento, com ou sem acostamento, linha
férrea, com ou sem lastro, passeios laterais, guarda-corpo, barreiras de proteção, etc. As
funções viárias definem as principais características da geometria das pontes, como: número
de faixas de tráfego, pistas de pedestres, largura e comprimento da obra, etc.
2.1.2 Funções Estáticas
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A função estática tem a finalidade de conduzir as cargas da posição em que se
encontram até o solo. São retratadas pelos principais elementos estruturais da obra, como
lajes, vigamento secundário, vigamento principal, pilares, blocos de transição e fundações. A
laje recebe diretamente as cargas dos veículos passantes no tabuleiro.
Em pontes de concreto armado ou protendido, as lajes também fazem parte das vigas,
colaborando na resistência à flexão das mesmas. O vigamento secundário serve como apoio as
lajes, absorvendo as reações delas e redirecionando estas cargas ao vigamento principal.
Atualmente, as lajes podem ser dimensionadas para grandes vãos, reduzindo a necessidade do
uso deste vigamento. O vigamento principal é o que transpõe obstáculos que determinam o
projeto da obra, repassando as cargas dos vãos para os apoios sobre os pilares. Os pilares
recebem cargas verticais e horizontais da superestrutura, estas que são transferidas para as
fundações, consequentemente transferidas ao terreno.
As funções estáticas são relacionadas com o nível de segurança adotado para a obra.
2.1.3 Funções Estéticas
As funções relacionadas anteriormente são de natureza utilitária, ou seja, estão
relacionadas com o funcionamento da obra na estrada. No projeto de uma ponte também são
considerados os fatores estéticos, representados por geometrias equilibradas e harmoniosas.
Algumas obras urbanas são enriquecidas com decorações arquitetônicas e esculturas.
2.2 Solicitações e Cargas
Pfeil (1983a) cita que uma ponte possui uma gama bastante variável de cargas que
atuam em conjunto. Conforme o tipo de ponte e sua função, estas solicitações podem sofrer
grandes alterações ou até mesmo se tornarem ausentes em alguns casos.
2.2.1 Cargas Permanentes
São chamadas cargas permanentes aquelas constituídas pelo peso próprio dos
elementos portantes e alguns outros materiais colocados sobre a ponte como fixos, sendo eles:
pavimentação, guarda-corpo, lastro, dormentes e trilhos, postes, canalizações, etc.
As estruturas das pontes devem suportar, mais que cargas externas, o seu peso próprio.
No entanto, sua real importância no total da estrutura depende do material usado e do vão
livre da ponte. Em estruturas metálicas e pequenos vãos, o peso próprio tem pequena
influência, em casos contrários, como estruturas de concreto e grandes vãos, esta carga é
predominante.
2.2.2 Cargas Acidentais
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As cargas acidentais são aquelas que não estão afixadas a estrutura, porém, de acordo
com a função da estrutura, serão cargas presentes em grande parte do tempo. Necessitando
assim, serem consideradas quando em sua solicitação máxima.
Cargas úteis são aquelas geradas pelos pesos dos veículos. Seu movimento e as
irregularidades das pistas acrescem os pesos atuantes, ocasionando efeitos de impacto vertical.
Os veículos levam a atuação de cargas horizontais longitudinais, devido à frenagem e
aceleração. Em obras curvas, o deslocamento dos veículos produz esforços horizontais
transversais, por causa da força centrifuga.
Os elementos naturais, como o ar, água ou terra, também geram pressões sobre a
estrutura, dando origem a solicitações que devem ser levadas em conta na estrutura. Em
pontes com pilares altos, as solicitações do vento têm grande relevância. No caso de rios
sujeitos a enchentes, a pressão que a água gera sobre os pilares da estrutura ocasionam
solicitações normalmente agravadas por impactos de objetos trazidos pela enxurrada.
Empuxos de terra são promovidos pelos aterros de acesso à obra, originando esforços
horizontais nas fundações.
2.3 Balanços Sucessivos
Segundo Thomaz [2009 – 2010], o método construtivo de balanços sucessivos é muito
utilizado em pontes metálicas e em pontes de concreto protendido, em que não se podem usar
apoios intermediários. A ponte sobre o rio do Peixe é reconhecida mundialmente como a
primeira ponte de concreto construída em balanços sucessivos, sem escoramentos ou apoios
no terreno. Ela foi construída em 1930, pelo engenheiro Emilio H. Baumgart, ligando as
cidades de Joaçaba e Herval do Oeste, realizando a conexão entre os estados do Rio Grande
do Sul e Santa Catarina. Possuidora de um vão livre de 68m e com altura do vigamento
variável, suas dimensões básicas criaram tendências, a serem seguidas por pontes em balanços
sucessivos ao longo dos anos.
O engenheiro Arthur Eugênio Jermann, também professor que trabalhava com o eng.
Emilio Baumgart na época chegou à seguinte conclusão: “Sobre os apoios, onde os momentos
fletores são grandes, as vigas devem ter grandes alturas. Nos vãos as alturas devem ser
pequenas, para reduzir o peso e os momentos fletores”, ou seja, as vigas das pontes devem
seguir o diagrama dos momentos fletores. Nascendo o ponto de partida para a realização deste
trabalho.
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Figura 1 – Primeira Ponte em Concreto por Balanços Sucessivos
3. Metodologia de Pesquisa
“Pesquisa é um conjunto de ações, propostas para encontrar a solução para um
problema, que têm por base procedimentos racionais e sistemáticos. A pesquisa é realizada
quando se tem um problema e não se têm informações para solucioná-lo.” (SILVA E
MENEZES, 2005, p.20)
Do ponto de vista de sua natureza, as pesquisas podem ser descritas como básica e
aplicada. Silva e Menezes (2000) dizem que uma pesquisa básica objetiva gerar
conhecimentos novos e úteis para a evolução da ciência sem aplicação prática prevista.
Envolvendo verdades e interesses universais. Já a pesquisa aplicada objetiva gerar
conhecimentos para aplicação prática e dirigidos à solução de problemas específicos,
envolvendo verdades e interesses locais. O que traz a este trabalho o conceito de pesquisa
aplicada, já que possui o foco do trabalho em um objetivo especifico.
De acordo com a abordagem do problema, esta pode ser classificada como quantitativa
ou qualitativa. Para Silva e Menezes (2000), uma pesquisa quantitativa deve considerar tudo o
que pode ser mensurado, ou seja, interpretar as opiniões e informações em números a fim de
classificá-las e analisá-las, requerendo o uso de recursos e de técnicas estatísticas.
Já a pesquisa qualitativa considera que há uma relação dinâmica entre o mundo real e
o sujeito, isto é, um vínculo inseparável entre a objetividade e a subjetividade do que não
podem ser traduzidas em números. A interpretação dos fenômenos e a atribuição de
significados são básicas no processo de pesquisa qualitativa.
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Este trabalho discorrerá sobre uma abordagem qualiquantitativa, pois vincula o
problema do consumo de aço e materiais com uma relação entre dois tipos de sistemas
estruturais distintos.
Em termos de objetivos, a pesquisa pode ser classificada tanto como exploratória,
descritiva ou explicativa. Sendo de acordo com Gil (1991), a pesquisa exploratória tende
proporcionar maior familiaridade com o problema, visando torná-lo explícito ou a construir
hipóteses. Envolve levantamento de bibliografia, entrevistas com pessoas que tiveram
experiências práticas com o problema pesquisado e análise de exemplos para auxiliar a
compreensão. A descritiva busca descrever as características de determinada população ou
fenômeno ou o estabelecimento de relações entre variáveis, assume, em geral, a forma de
levantamento. E a pesquisa explicativa apresenta uma maior preocupação em identificar os
fatores que determinam ou contribuem para a ocorrência dos fenômenos. Detalha com maior
clareza o fenômeno porque explica a razão das coisas.
Este trabalho traz como objetivo a pesquisa exploratória e explicativa, dado que
realiza experimento para buscar variáveis com intuito de desenvolver relações entre dados e
retirar conclusões.
Como procedimento técnico, Gil (1991) divide a pesquisa em Bibliográfica,
Documental, Experimental, Levantamento, Estudo de Caso, Expost-Facto, Pesquisa-Ação e
Participante. Como bibliográfica entende-se aquela elaborada a partir de materiais já
publicados, sendo eles livros, artigos de periódicos e até mesmo material disponível na
internet. Documental quando elaborada a partir de materiais que não obtiveram tratamento
analítico. É classificada como experimental quando após o objeto de estudo determinado, são
escolhidas variáveis capazes de influenciá-lo, podendo de alguma forma controlar as variáveis
e observar os efeitos no objeto. Levantamento é adotado quando a pesquisa envolve
interrogação de pessoas de quem quer se conhecer o comportamento.
Já o Estudo de Caso, envolve um estudo à exaustão de algo que se deseja conhecer
profundamente e em detalhes. A pesquisa Expost-Facto, é um experimento realizado após os
fatos consumados. A Pesquisa-Ação é a relação entre uma ação com um problema coletivo.
Pesquisadores e representantes do problema estão envolvidos cooperativos ou
participativamente. E a Participante é desenvolvida a partir da interação entre pesquisadores e
membros envolvidos.
Como procedimento técnico utilizado, escolheu-se a pesquisa bibliográfica e
experimental. Se mostraram os mais adequados dado o estudo realizado na elaboração de um
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projeto de uma passarela bi engastada que serviu de modelo para embasar a bibliografia
aplicada.
4. Aplicação
“As vigas continuas são estruturalmente mais eficientes do que as vigas simplesmente
apoiadas, uma vez que a continuidade diminui os momentos no meio do vão” (PFEIL, 1983,
p.83)
Para facilitar o entendimento e exemplificar o estudo, usaremos o projeto de uma
passarela de 36 metros de vão. Com a possibilidade de seção variável e considerando duas
alternativas: vigas bi engastadas ou bi apoiadas. A adoção de um modelo de passarela serve
somente para simplificar a análise, dado que não será necessário considerar as cargas de
veículos. Será considerada a hipótese de um local com possibilidade de engastamento na
superfície, para não onerar a estrutura como um todo.
Para ambos os casos, será considerada uma seção transversal com largura de 3 metros,
com altura da viga variável e indeterminada, guarda corpo em ambos os lados e uma
espessura de revestimento de 2cm.
4.1 Determinação das Cargas
Na elaboração de um projeto de uma obra de arte, como, por exemplo, uma passarela,
é necessário determinar as cargas e os esforços sobre o vigamento principal. Em pontes de
grande porte, são eles:
a) Cargas Permanentes: que são nada além do seu peso próprio. No entanto, no caso de
estruturas de concreto, é uma carga que não pode ser deixada de lado devido a sua
magnitude.
b) Cargas Úteis: correspondem ao peso dos veículos passantes e acréscimo de efeitos do
impacto vertical.
c) Elementos Naturais: elementos tais como ar, água e terra que, quando em contato com
a ponte, exercem pressões sobre a estrutura. Solicitações provocadas pela força do
vento têm grande importância para o dimensionamento da estrutura.
d) Deformações Internas: produzidas pela variação térmica, retração do concreto, entre
outros. São esforços que geram custos à obra sem benefícios.
No caso da passarela em questão, serão levadas em conta apenas as cargas
permanentes e úteis.
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4.1.1 Cargas Úteis (Móveis)
De acordo com a NBR 7188, a carga móvel a ser considerada no dimensionamento de
passarelas é de:
� = 5,00 ��/² (1.1)
�� = � × � (1.2)
Onde:
• q’ – Carga Móvel – por unidade de comprimento de passarela;
• q – Carga móvel segundo a norma por m²;
• b – Largura da passarela.
4.1.2 Cargas Permanentes
As cargas permanentes que serão utilizadas neste dimensionamento são:
a) Peso Próprio
O peso próprio da estrutura é uma dado por:
� = � × � (2.1)
� = � × ℎ (2.2)
� = � × � × ℎ (2.3)
Onde:
• g – Peso Próprio da estrutura, por unidade de comprimento;
• γ – Peso Específico do concreto;
• A – Área de Concreto;
• b – Largura da Passarela;
• h – Altura da Viga.
b) Revestimento
O peso do revestimento sobre a estrutura é dado por:
� = � × � × � (2.4)
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Onde:
• r – Peso do Revestimento, por unidade de comprimento;
• γ – Peso Específico do concreto;
• b – Largura da Passarela;
• e – Espessura do Revestimento.
c) Guarda-Corpos
Dimensionamento estimado com base em parâmetros médios do peso do aço:
� = 2 × 0,25 = 0,50��/ (2.5)
4.2 Dimensionamento
Para o dimensionamento da passarela, após a determinação das cargas, serão utilizadas
tabelas em Excel destinadas exclusivamente para este trabalho. Através delas, após a
determinação de algumas variáveis, é possível encontrar as alturas necessárias das vigas para
cada tipo de modelo estrutural e depois realizar uma relação entre o consumo de aço de ambos
os casos e as vantagens e desvantagens da seção variável em cada caso.
4.2.1 Viga Bi Engastada
Para a elaboração da planilha em Excel, partiu-se do pressuposto de que uma viga bi
engastada com rótula central é simétrica. Portanto, considerou-se apenas uma metade da viga
para o cálculo. Para uma melhor análise, a partir de estudos, se chegou à conclusão de que
seria necessário obter os momentos em várias seções da viga, para então se determinar a área
de aço (As) em cada seção.
Figura 2 – Planilha Excel – Viga Bi Engastada
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Também serão encontrados os esforços cortantes e a altura da viga. Já que no caso da
viga bi engastada considerou-se a seção transversal variável, pois de acordo com Pfeil (1983),
“As vigas com altura variável são mais eficientes do que as de altura constante, pois o
aumento de inércia nos apoios reduz os momentos atuantes no meio do vão.”
Figura 3 – Passarela Bi Engastada Esquemática
4.2.1.1 Dados de Entrada
Para o inicio desta análise, foram arbitradas como fixas algumas variáveis:
Figura 4 – Esquema das variáveis analisadas pela planilha.
a) Esforço Cortante Inicial (Qo) – Qo = 15kN
Poderia ser considerado zero, mas considerando a rótula, poderiam existir alguns
esforços nesta região;
b) Momento Fletor Inicial (Mo) – Mo = 0kN.m
No caso de vigas bi engastadas o momento no centro do vão é nulo;
c) Altura Útil Mínima (do) – do = 0,15m
Na teoria, em uma aplicação ótima do estudo, a altura mínima da viga com seção
variável tenderia a zero acompanhando o gráfico dos momentos. No entanto, não é
viável que uma viga possua uma seção com altura nula. Para tanto, considera-se uma
espessura mínima;
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d) Espaçamento (∆x) – ∆x = 0,50m
O espaçamento entre cada seção foi arbitrado em 50cm (0,50m), para uma análise
bastante detalhada.
Além disso, utilizaram-se as cargas previamente calculadas, sendo elas distribuídas ao
longo da viga. Para uma simplificação da análise, optou-se por concentrá-las no centro do vão
de cada trecho:
�� = �17,0 + 75 × ℎ� (3.1)
�� = �� × ∆� (3.2)
Dando continuação à análise, para a elaboração da planilha foi utilizada a tabela do
anexo A. Alguns outros elementos foram determinados através desta tabela e de conceitos
estruturais conhecidos como:
e) Altura Total (h)
Determinada através da altura útil da viga, sendo sempre 5 cm maior.
ℎ = + 0,05 (3.3)
f) Área de Aço (As)
A área de aço (As) vem de uma fórmula básica da tabela do anexo A:
�! = " # × $% (3.4)
Sendo:
" = 1,4 × " (3.5)
Onde,
• Momento em kN.m
# = �# × (3.6)
• kz – Fator da tabela de flexão;
• d – Altura útil em m.
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$% = $%��! (3.7)
Onde,
• fyk – 500Mpa;
• γs – 1,15.
Desmembrando esta fórmula, obtemos que:
�! = " �# × × $% (3.8)
Usando o kz da tabela como o máximo para o aço CA-50A, temos:
�! = " 0,75 × × 435 × 10( (3.8a)
Realizando as simplificações possíveis:
�! = "233657 × (3.9)
Para a obtenção dos dados da tabela, foram estipulados os dados dos materiais fixos,
como segue:
g) Concreto:
• fck – 40MPa;
• γ – 25kN/m³;
h) Aço:
• fyk – 500MPa.
A partir destes resultados encontrados na primeira parte da planilha, elabora-se a
segunda parte. Na segunda linha da planilha, alguns elementos que eram dados, são
transformados em fórmulas como:
i) Esforço cortante (Q1)
*+ = *, + �, (3.10)
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Sendo,
• Qo – Esforço Cortante Inicial;
• Go – Carga concentrada inicial da Seção.
j) Momento Fletor (M1)
"+ = ", + *, × ∆� + �, × ∆�2 (3.11)
Sendo:
• Mo – Momento Fletor Inicial;
• Qo – Esforço Cortante Inicial;
• ∆x – Espaçamento Padrão;
• Go – Carga Concentrada Inicial por seção.
k) Altura Útil (d1)
A altura útil a partir da pré determinada como mínima, é calculada com o auxílio da
tabela de flexão com a fórmula:
� = " �- × ² × $. (3.12)
Isolando d,
= / " � × �- × $. (3.13)
Usando km no limite do CA50A, segundo a tabela,
= / 1,4 × "0,317 × 3,00 × 40 × 10³ (3.13a)
Com as simplificações realizadas,
= / "19408 (3.14)
Sendo:
• Md – M x 1,4 (Momento de projeto);
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• bw – Largura da base da viga;
• km – coeficiente da tabela de flexão;
• fcd – $.�/1,4.
As cargas distribuídas e concentradas p1 e G1 e as conseguintes serão as mesmas já
citadas anteriormente.
A partir deste ponto, cada elemento da planilha é obtido por processo de interação,
utilizando sempre as mesmas fórmulas ao longo da seção longitudinal da viga.
4.2.1.2 Resultados
A partir da planilha, observou-se que o momento fletor e o esforço cortante cresceram
do centro da passarela para os engastes. A área de aço foi estipulada de acordo com o a área
do gráfico dos momentos, chegando aos seguintes resultados:
a) Esforço Cortante Máximo: Qmáx – 782,90kN
Foi obtido no engaste conforme o esperado. Se desenvolvendo quase linearmente
durante as seções.
b) Momento Fletor Máximo: Mmáx – 6269,75kN.m
Encontrado no engaste, conforme o esperado. O desenvolvimento pode ser
aproximado por uma hipérbole do 3º grau.
A forma geral de uma hipérbole de grau “n” é:
3%456 − 3��56 = 1 (4.1)
Com os parâmetros predefinidos como:
• Grau “n” = 3
• Altura a = 0,2m
Teremos b como incógnita. Sendo assim, a condição de contorno para o cálculo de “b”
deve-se ter:
% = 0,63
Para que isso ocorra tem de se considerar:
� = 18,00
Resolvendo a equação (4.4)
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80,630,2 9( − 818,00� 9( = 1 (4.1a)
� = 5,7765
Com a definição de “b”, é possível encontrar “y” para cada seção de 0,5m, conforme
segue:
% = 4 × /1 + 3��5(: (4.2)
Que através de aproximações da planilha em Excel, chegou-se ao resultado final que
observamos abaixo:
Gráfico 1 – Relação Seção Aproximada (Hipérbole) x Seção Calculada
c) Altura Útil Máxima: dmáx – 0,57m
No apoio engastado, gerando uma altura real de 0,62m.
d) Área de Aço Máxima – Asmáx – 0,047210m² �472,10cm²
Se desenvolve de acordo com a área do gráfico dos momentos, sendo máxima
quando a seção é a máxima.
Na planilha também foram encontrados os Volumes de Aço e Concreto utilizados para
a possível construção da passarela.
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Seção
Calculada
Seção
Hiperbólica
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e) Volume de Aço – Vaço – 0,815m³ � 6398kg
f) Volume de Concreto – Vconc – 36,703m³
Figura 5 – Passarela Bi Engastada
De acordo com O’Connor, 1975:
Tipicamente, a superestrutura é construída como um par de balanços
independentes a partir de um pilar. Embora o desequilíbrio de momentos
seja mantido em um mínimo, é necessário prever a forma de resistir a
momentos no pilar. Isto pode ser obtido por meio de um pilar robusto,
monolítico com o tabuleiro [...]. (O’CONNOR, 1975, P.122)
Neste caso, conforme pré-estabelecido, o terreno proporciona as boas condições para a
instalação do elemento estrutural desta forma.
4.2.2 Viga Bi Apoiada
“As vigas de altura constante apresentam maior simplicidade de formas, sendo
recomendadas para vãos pequenos e médios.” (PFEIL, 1983, p.83)
No caso da viga bi apoiada se desconsiderou a hipótese de alterar a seção transversal,
dado que nos casos gerais de vigas bi apoiadas com carga distribuída, seu momento fletor
máximo ocorre no centro do vão, o que tornaria incoerente uma redução na seção mais
solicitada do elemento.
Figura 6 – Passarela Bi Apoiada Esquemática
Neste caso, a planilha do Excel foi elaborada para considerar o vão inteiro dado que se
faz necessário a consideração de ambos os apoios. Além disso, a análise realizada para a viga
bi apoiada foi diferente da do caso anterior. Como não há variação da seção, a altura seria a
mesma para toda a extensão da passarela. Assim, os esforços necessários seriam apenas o
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momento fletor máximo e o cortante máximo. No entanto, eles só poderiam ser analisados a
partir da definição de uma altura ótima para a viga. Sendo esta o principal objetivo da
planilha.
Figura 7 – Planilha do Excel - Viga Bi Apoiada
4.2.2.1 Dados de Entrada
Para o início desta análise, foi somente arbitrada uma altura (h) qualquer, no caso h =
0,50m, para que a planilha através do comando “Atingir Meta” possa solucionar o problema.
O momento pré determinado pela fórmula:
" = � × ;²8 (5.1)
Além disso, foi utilizada a mesma consideração de carga que na planilha anterior, só
que desta vez, apenas considerando a carga distribuída como na fórmula (3.1).
Para a obtenção dos dados da tabela, foram estipulados os dados dos materiais fixos,
como segue:
a) Concreto:
• fck – 40MPa;
• γ – 25kN/m³;
b) Aço:
• fyk – 500MPa.
4.2.2.2 Resultados
Analisando os resultados da planilha, obtém-se os valores do momento máximo,
esforços cortantes, área de aço e volumes de aço e concreto que seguem:
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a) Altura: h = 0,88m
b) Momento Fletor Máximo: Mmáx =13504,51kN.m
c) Área de Aço Máxima: Asmax = 0,069287m² �692,87cm²
d) Esforço Cortante: Qmax = 1500,5kN
e) Volume de Concreto: VConc = 95,56m³
f) Volume de Aço: Vaço= 1,66m³ �13031kg
Figura 8 - Passarela Bi Apoiada
5. Considerações Finais
De acordo com o estudo realizado, analisando ambas as situações
qualiquantitativamente, concluiu-se que a solução bi engastada é a melhor opção em todas as
variáveis analisadas. No entanto, se a localização da implantação da passarela não possuir um
terreno propício para realizar um engaste, o gasto com as fundações da obra será muito maior
do que a economia que é obtida utilizando o modelo bi engastado em relação ao biapoiado.
Neste caso, a viga bi apoiada pode ser a melhor solução, conforme O’Connor, 1975:
Se as extremidades de uma viga contínua são engastadas, o projeto ótimo
tem vãos iguais. Uma extremidade engastada geralmente corresponde a
custos excessivos na infra-estrutura. Entretanto, uma situação aproximada
pode ocorrer quando as condições locais obrigam à colocação de um vão
pequeno adjacente e contínuo aos vão principais maiores. O mesmo sucede
se a extremidade do elemento é ligada a um montante vertical curto [...].
Através dos dados analisados, foi realizada uma relação entre os volumes de aço e
concreto encontrados para ambos os casos. No caso do consumo de aço a economia do
modelo bi engastado foi maior que 50%. Já no volume de concreto, a economia é ainda maior,
chega aos 60%.
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Figura 9 – Ponte sobre o Rio Pelotas
Se for escolhida uma viga de seção constante, a seção será a mesma nos dois casos
porque o momento máximo é o mesmo. A armadura para uma viga de concreto armado, no
entanto, para a viga bi apoiada será o dobro da armadura para a viga bi engastada com rótula
central porque a armadura é proporcional à área do diagrama de momentos fletores.
Na viga bi apoiada não é conveniente variar a seção porque a seção necessária no
centro do vão, para o momento máximo, é semelhante à seção necessária no apoio para a
força cortante máxima. Momento e força cortante crescem em sentidos contrários.
Para uma análise do emprego do método construtivo de balanços sucessivos, não há
muito sobre o que possa descrever. Primeiramente não é usual a realização de balanços
sucessivos em pontes de concreto armado. Os avanços sucessivos são muito mais comuns em
pontes de concreto protendido, pontes pré-moldadas e pontes metálicas. Muito utilizadas em
locais onde não se podem usar escoramento. No caso do modelo bi apoiado observa-se que
não é o método mais indicado, já que para iniciar o processo é preciso um engaste perfeito no
pilar de partida, o que uma viga bi apoiada não possui.
Já no caso da viga bi engastada, o modelo dos balanços sucessivos é bastante possível
de ser aplicado. No entanto, as armaduras ficam penduradas e expostas durante a evolução da
concretagem em alguns projetos, o que é um ponto negativo.
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Figura 10 – Evolução da construção por Balanços Sucessivos
6. Sugestões para Próximos Trabalhos
Dado as limitações deste trabalho, não foram abordadas algumas complementações
interessantes sobre o estudo da aplicação do método bi engastado em pontes, viadutos e
passarelas. Por isso, sugere-se que estes itens possam ser apresentados em estudos futuros,
como, por exemplo, a análise dos vínculos, discorrendo sobre os possíveis locais de execução
deste engaste perfeito necessário ao bom desempenho deste elemento estrutural, os tipos de
rótulas adequadas ao projeto. O mesmo modelo em concreto protendido, como é usual, e os
momentos hiperestáticos e/ou vibrações produzidas pelas cargas acidentais e esforços
cortantes para determinação e dimensionamento de estribos e deformações.
Referências
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2008.
SILVA, E. L.; MENEZES, E. M. Metodologia da pesquisa e elaboração de dissertação. 4ª
ed. Rev. Atual, Florianópolis, Laboratório de Ensino a Distância da UFSC, 2005.
PROCESSOS de Construção Disponível em:
<http://www.ctec.ufal.br/ees/disciplinas/ec2/PROCESSOS%20DE%20CONSTRUCAO.pdf>.
Acesso em: 01 jun. 2011
22
PFEIL, Walter. Pontes: Curso Básico: Projeto, Construção e Manutenção. Rio de Janeiro:
Campus, 1983. 627 p.
PFEIL, Walter. Pontes em Concreto Armado. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1983. 2 v.
O’CONNOR, Colin. Pontes: Superestruturas; tradutor: Maria de Lourdes Campos
Campello, revisor técnico: Pedro Paulo Barreto. Rio de Janeiro: LTC; São Paulo: Editora da
Universidade de São Paulo, 2 v.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 7188: Carga móvel em
pontes rodoviárias e passarelas de pedestres. Rio de Janeiro, 1984
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118: Projeto de estruturas
de concreto - Procedimento. Rio de Janeiro, 2007
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 7187: Projeto de pontes de
concreto armado e de concreto protendido - Procedimento. Rio de Janeiro, 2003
THOMAZ, Eduardo C. S.. Ponte em Balanços sucessivos: Eng. Emilio Baumgart.
Disponível em: <http://www.deecc.ufc.br/Download/TB803_Pontes%20I/Baumgart.pdf>.
Acesso em: 01 jun. 2011
OLIVEIRA, Elias Monteiro de. Execução de Superestruturas em Balanço Sucessivo: Ponte
Sobre a Represa Billings. 2009. 67 f. Dissertação (Trabalho de Conclusão) - Curso de
Engenharia Civil, Universidade Anhembi Morumbi, São Paulo, 2009. Disponível em:
<http://cursos.anhembi.br/tcc-09/civil-09.pdf>. Acesso em: 01 jun. 2011.
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Anexos
ANEXO A
24
Apêndices
APÊNDICE A
25
APÊNDICE B
26
APÊNDICE C
