Universidade Federal do Rio Grande

Engenharia Agroindustrial

Variveis Aleatrias

17

1. Sumrio

1. Sumrio ..................................................................................................... 17

1. Variveis aleatrias.................................................................................. 18

1.1 Tipos de variveis aleatrias ....................................................................................................... 18

1.1.1 Variveis aleatrias discretas ............................................................................................. 18

1.1.2 Variveis aleatrias contnuas ............................................................................................ 19

2. Funo de distribuio acumulada ........................................................ 20

3. Parmetros de Posio ............................................................................ 24

3.1 Mdia ou valor esperado ............................................................................................................. 24

4. Parmetros de disperso ......................................................................... 26

4.1 Varincia ..................................................................................................................................... 26

4.2 Desvio-padro ............................................................................................................................. 26

5. Distribuies de probabilidade especiais ............................................... 30

5.1 Distribuies Discretas de Probabilidade .................................................................................... 30

5.1.1 Distribuio de Bernoulli ..................................................................................................... 30

5.1.2 Distribuio Binomial .......................................................................................................... 31

5.1.3 Distribuio Geomtrica ...................................................................................................... 34

5.1.4 Distribuio Binomial Negativa ........................................................................................... 35

5.1.5 Distribuio Hipergeomtrica .............................................................................................. 37

5.1.6 Distribuio de Poisson ........................................................................................................ 38

5.1.7 Distribuio de Poisson como uma forma limite da binomial ............................................. 41

5.2 Distribuies Contnuas de Probabilidade .................................................................................. 42

5.2.1 Distribuio Uniforme ou Retangular .................................................................................. 42

5.2.2 Distribuio Exponencial ..................................................................................................... 45

5.2.4 Aproximao Normal da Distribuio Binomial ................................................................. 55

5.2.6 Distribuio de Erlang e Gama ........................................................................................... 58

5.2.7 Distribuio de Weibull ...................................................................................................... 61

18

1. Variveis aleatrias

Definio: Funo que associa valores reais aos eventos de um espao amostral. Ou seja, uma

varivel aleatria (V.A) uma representao dos eventos de uma partio de S atravs de nmeros

reais.

Exemplos:

Verificar o n de aes que tiveram queda em um determinado dia, em uma carteira composta

com 5 aes diferentes.

A funo ser dada por:

X = Nmero de aes que tiveram queda em um determinado dia.

Define um v.a discreta que pode assumir os valores: 0, 1, 2, 3,4 e 5.

Y = Tempo gasto por um vendedor para convencer um cliente a adquirir determinado

produto.

Define uma v.a contnua que pode assumir infinitos valores.

X = Nmero de caras obtidas no lanamento de 3 moedas.

Define uma v.a discreta que pode assumir os valores: 0, 1, 2 e 3.

Se uma varivel aleatria X pode assumir os valores 1 2, ,..., nx x x com probabilidades,

respectivamente, iguais a 1 2, ,..., np p p e

1

1n

i

i

p

tem-se definida uma distribuio de probabilidade.

1.1 Tipos de variveis aleatrias

Discreta S finito

Variveis Aleatrias (V.A)

Contnua S infinito

1.1.1 Variveis aleatrias discretas

A distribuio de probabilidade representada pela funo massa de probabilidade (f.m.p) ( )Xp x ,

tal que:

( ) ( )Xp x P X x

(a) ( ) 0X ip x , ix

19

(b) ( ) 1X ii

p x

(c) ( ) ( )i

b

X i

x a

p x P a X b

Ex. Para o exemplo do n de aes da carteira.

X 0 1 2 3 4 5

( )iP X x 110

110

210

310

210

110

1

Ex. Seja X o n de caras obtido no lanamento de trs moedas:

, , , , , , ,S ccc kcc kkc kkk ckc kck cck ckk .

X 0 1 2 3

( )iP X x 18

38

38

18

1.1.2 Variveis aleatrias contnuas

S infinito e a probabilidade de cada resultado individual zero (mas no teoricamente

impossvel). A distribuio de probabilidade representada pela funo densidade de probabilidade

(f.d.p) ( )Xf x .

(a) ( ) 0Xf x

(b) ( ) 1Xf x

(c) ( ) ( )

b

X

a

f x P a X b , b a

20

Ex. Dada a funo , se 0 x 4

( )0, caso contrrio

kxf x

Pede-se:

a) O valor de k para que ( )f x seja uma f.d.p.

b) (2 3)P X

Soluo:

a)

4 4

0 0

( ) 1 1 1f x dx kxdx k xdx

4

2

0

11 8 1

2 8

xk k k

1, se 0 x 4

( ) 8

0, caso contrrio

xf x

b) (2 3)P X

33 2

2 2

1 10,3125

8 8 2

xxdx

ou 31,25%

2. Funo de distribuio acumulada

Representada por ( )XF x , corresponde probabilidade de a varivel aleatria ser menor ou

igual a um determinado valor de x .

( ) ( )XF x P X x < x

21

Propriedades: 1- 0 ( ) 1XF x

2-1 2( ) ( )X XF x F x se 1x < 2x

3- lim ( ) ( ) 1X Xx

F x F

4- lim ( ) ( ) 0X Xx

F x F

5- lim ( ) ( ) ( )X X Xx a

F x F a F a

,

0 0lima a

Determinando probabilidades a partir da f.d.a

( ) ( ) ( )X XP a X b F b F a

( ) 1 ( )XP X a F a

( ) ( )XP X b F b

Ex.1 Experimento: 2 lanamentos independentes de uma moeda,

, , ,S kk kc ck cc

Seja X o nmero de caras nos dois lanamentos:

X 0 1 2

( )X ip x 14

12

14

F.d.a

0, 0

1 , 0 14

( )3 , 1 2

4

1, 2

X

x

xF x

x

x

22

Ex.2 Seja a funo de probabilidade de uma certa varivel aleatria X, dada por

21 , 0 3( ) 9

0, c.c

x xf x

. Ento a funo de distribuio dada por 0

( ) ( )x

XF x f u du .

Ento:

Se 0 ( ) 0Xx F x .

Se 3

2

0 0

10 3 ( ) ( )

9 27

x x

X

xx F x f u du u du .

Se 3

0 33 ( ) ( ) ( )

x

Xx F x f u du f u du 3

32

0 3

31 0 0 19 27

x

u du du

3

0, 0

( ) ,0 327

1, 3

X

x

xF x x

x

Ex.3 Uma empresa tem 4 caminhes de aluguel. Sabendo-se que o aluguel feito por dia e

que a distribuio diria do nmero de caminhes alugados a seguinte,

N DE

CAMINHES

ALUGADOS/ DIA

0

1

2

3

4

PROBABILIDADE

DE ALUGAR

( )X Kp x

0,1

0,2

0,3

0,3

0,1

Determine:

a) Qual a probabilidade de alugar num dia mais de dois caminhes? ( 2)P X

b) Qual a probabilidade de alugar no mnimo 1 caminho? ( 1)P X

c) Qual a probabilidade de alugar no mximo 2 caminhes? ( 2)P X ou ( 3)P X

d) Determine a f.d.a.

e) Qual o valor de (3)XF ? O que significa este resultado.

23

Soluo:

a) 0,3 0,1 0,4

b) 0,2 0,3 0,3 0,1 0,9

c) 0,1 0,2 0,3 0,6

d)

X 0 1 2 3 4

( )X iF x 0,1 0,3 0,6 0,9 1

( ) ( ) ( )K

X X K

x x

F x P X x p x

e) (3) 0,9XF . Probabilidade de alugar no mximo trs caminhes.

Ex.4 A proporo de lcool em um certo composto pode ser considerada uma varivel

aleatria com a seguinte funo de densidade (f.d.p),

320 (1 ),0 1( )

0, .X

x x xf x

c c

Calcule a probabilidade de lcool neste composto entre 0,20 e 0,25.

Soluo:

0,25 0,253

0,2 0,2( ) 20 (1 )Xf x dx x x dx

0,254 5

0,253 4

0,2

0,2

20 ( ) 204 5

x xx x dx

4 5 4 5(0,25) (0,25) (0,2) (0,2)20 0,0089

4 5 4 5

24

3. Parmetros de Posio

3.1 Mdia ou valor esperado

Mdia ou valor esperado de uma varivel aleatria X denotada por X ou ( )E X definida

por:

( )X E X ( )K X KK

x p x para X discreta

( )X E X ( )Xxf x dx

para X contnua

Propriedades a) ( )E K K , se K constante.

b) ( ) ( )E KX KE X

c) ( ) ( ) ( )E X Y E X E Y

d) ( ) ( )E X K E X K

e)Se X e Y so independentes ( . ) ( ). ( )E X Y E X E Y

Momento:

( ) ( )n nK X KK

E X x p x para X discreta

( ) ( )n n XE X x f x dx

para X contnua

3.2 Mediana

Deve satisfazer 1( )2

P X Md e 1( )2

P X Md . o ponto tal que

1( ) ( )2

P X Md P X Md .

Qualquer varivel aleatria contnua tem apenas uma mediana, mas uma discreta poder ter mais do

que uma.

25

3.3 Moda

Moda o ponto de mxima probabilidade ou densidade de probabilidade.

Ex: Um jogador A paga $50,00 a B e joga 3 dados. Se sair 6 em apenas um dos dados, A

ganha $50,00; se sair 6 em dois dados, A ganha $100,00 e se sair nos trs dados, A ganha $200,00.

Calcular o lucro lquido de A em uma jogada.

RECEBE PAGA LUCRO LQUIDO

A: APENAS UMA

FACE 6

50 50 0

B: APENAS DUAS

FACES 6

100 50 50

C: TODAS AS FACES

6

200 50 150

D: NENHUMA FACE

6

0 50 -50

Observamos que:

1 5 5 75( ) 3. . .

6 6 6 216

1 1 5 15( ) 3. . .

6 6 6 216

1 1 1 1( ) . .

6 6 6 216

5 5 5 125( ) . .

6 6 6 216

P A

P B

P C

P D

X -50 0 50 150

( )X ip x 125216

75216

15216

1216

1

( )i X ix p x 6250216

0 750216

150216

5350216

E(X)= - $24,77

26

4. Parmetros de disperso

Indicam a variabilidade da distribuio de probabilidade.

4.1 Varincia

A varincia de uma varivel aleatria X, denotada por 2X ou ( )Var X , definida por:

22( ) ( )X K X X K

K

Var X x p x , para X discreta

2

2( ) ( )X X XVar X x f x dx

, para X contnua

22 2( ) ( ) ( ) ( )Var X E X E X E X E X

Propriedades: a) 2 ( ) 0X K , sendo K = cte.

b) 2 2 2( . ) . ( )X XK X K X .

c) Se X e Y so independentes: 2 2 2( ) ( ) ( )X Y X Y .

d) 2 2( ) ( )X K X .

4.2 Desvio-padro

Denotado por ( )X , a raiz positiva de ( )Var X ,

2

X X

Coeficiente de variao (CV):

X

X

CV

Ex: Dada a distribuio de probabilidade abaixo, pede-se:

X 25 30 35 40 45 50 55 60

( )X ip x 3p 5p 9p 11p 10p 7p 3p 2p

a) O valor de p.

b) As probabilidades: I) (26 45)P X

27

II) (31 59)P X

III) ( 55)P X

IV) ( 40)P X

c) A mdia e a moda.

d) A varincia, o desvio padro e o coeficiente de variao.

Soluo: a) ( ) 1X ip x

3 5 9 11 10 7 3 2 1p p p p p p p p

150 1 0,02

50p p

Assim,

X 25 30 35 40 45 50 55 60

( )X ip x 0,05 0,10 0,18 0,22 0,20 0,14 0,06 0,04

b) I) (26 45)P X ( 30) ( 35) ( 40) 0,10 0,18 0,22 0,5P X P X P X ou 50%

II) (31 59)P X 7

3

( ) ( 35) ( 40) ( 45) ( 50) ( 55)X ii

p x P X P X P X P X P X

00 20 ( ) 0,05 ( )

x

X Xx f x F x ou 80%

III) ( 55)P X 1 ( 60) 1 0,04 0,96P X ou 96%

IV) ( 40)P X ( 45) ( 50) ( 55) ( 60) 0,2 0,14 0,06 0,04 0,44P X P X P X P X ou

44%

28

c) e d)

ix ( )iP x ( )i ix P x 2 ( )i ix P x

25 0,06 1,5 37,5

30 0,10 3,0 90

35 0,18 6,30 220,5

40 0,22 8,80 352

45 0,20 9,0 405

50 0,14 7,0 350

55 0,06 3,3 181,5

60 0,04 2,4 144

1 41,30 1780,50

c) 41,30X , 40Mo .

d) 22 2 2( ) ( ) 1780,5 (41,3) 74,81X i X iVar X x p x X

2 74,81 8,65X X

8,650,1952

41,3

X

X

CV

Ex: Seja X a varivel aleatria (v.a) que denota a corrente medida num fio de cobre fino, em

miliamperes. Assuma que o domnio de X 0,20mA e assuma que a f.d.p. de X ( ) 0,05Xf x para

0 20x . Pede-se:

a)A probabilidade de que a corrente medida seja menor que 10 mA.

b)A f.d.a.

c)A mdia (ou valor esperado, ou esperana).

d)A varincia.

Soluo:

a) 10 10

0 0( 10) ( ) 0,05 0,5XP X f x dx dx

29

b)Se 0x , ( ) 0 ( ) 0X Xf x F x para 0x .

Para 0 20x , ( ) 0,05Xf x

0( ) ( ) 0,05

x

X XF x f u du x para 0 20x

Se 20x , 20

0 20( ) ( ) 0 1

x

X XF x f u du dx

Assim,

0, 0

( ) 0,05 ,0 20

1, 20

X

x

F x x x

x

c)

202

20 20

0 00

0,05( ) ( ) .0,05 10

2X X

xE X xf x dx x dx mA

d)

203

20 202 2 2

0 00

0,05.( 10)( ) ( 10) ( ) ( 10) .0,05 33,33( )

3X

xVar X x f x dx x dx mA

33,33 5,773X mA

5,7730,5773

10CV

10P X

30

5. Distribuies de probabilidade especiais

Como estudamos anteriormente, uma V.A fica completamente caracterizada pela sua funo

de distribuio. No caso discreto podemos usar a funo de probabilidade e no caso contnuo a funo

densidade com o mesmo objetivo.

5.1 Distribuies Discretas de Probabilidade

5.1.1 Distribuio de Bernoulli

Sucesso: probabilidade 1p X

Experimento aleatrio que s possa ter

dois resultados

Fracasso: probabilidade 1 0q p X

Com X = nmero de sucessos (0 ou 1).

X 0 1

( )Xp x 1 p p

Nestas condies a v.a X tem distribuio de Bernoulli.

1( ) ( ) (1 )x xX iP X x p x p p 0,1x

Mdia = X p

Varincia = . (1 )p q p p

X ( )X ip x ( )i X ix p x 2 ( )i X ix p x

0 q 0 0

1 p p p

31

1 p p

Ex: Uma caixa contm 60 laranjas verdes e 40 maduras. Retira-se uma laranja dessa caixa ao

acaso. Seja X = n de laranjas maduras. Calcular ( )Xp x , X e X .

Soluo:

60 30

100 5

40 21

100 5

q

X

p

12 3

( ) .5 5

x x

Xp x

2( )

5XE X

2 2 3 6 6( ) .5 5 25 5

X XVar X

Ex: A experincia tem mostrado que, durante as vendas de Natal, um cliente que entra em

determinada loja tem 60% de chance de comprar um produto qualquer.

Soluo: X = cliente compra um produto

400

100

601

100

q

X

p

13 2

( ) .5 5

x x

Xp x

5.1.2 Distribuio Binomial

Deve atender s seguintes condies:

So realizadas n repeties (tentativas) independentes, de um experimento aleatrio.

Cada tentativa admite apenas 2 resultados possveis: sucesso com probabilidade p e fracasso

com probabilidade 1-p.

A probabilidade p de sucesso se mantm constante a cada tentativa.

X = n de sucessos obtidos nas n tentativas ter uma distribuio binomial.

32

Notao: ~ ( , )X B n p

Funo de probabilidade: !

( ) (1 )!( )!

x n x x n x

X

n np x p p p q

x x n x

f.d.a: 0

( ) (1 )n

x n x

X

x

nF x p p

x

Mdia = ( ) .X E X n p

Varincia = 2( ) . .XVar X n p q

Desvio padro: . .X n p q

Ex: Considere as pessoas que entram em uma loja no perodo prximo ao dia das Mes. Sabe-

se que a probabilidade de uma pessoa do sexo masculino comprar um presente de 1/3. Se entrarem

quatro pessoas do sexo masculino nesta loja, qual a probabilidade de que 2 venham a comprar

presentes.

Soluo: Se 4 pessoas entram na loja e duas compram, possibilidades: C compra, e NC no

compra.

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

C C NC NC

C NC NC C

C NC C NCS

NC NC C C

NC C NC C

NC C C NC

1 1 2 2 246. . . . 29,63%

3 3 3 3 81p

Ou

2 4 2 24! 1 2 4! 1 2 1 4

(2) 62!(4 2)! 3 3 2!2! 9 3 9 9

Xp

Ex: Cada amostra de gua tem chance de conter um particular poluente orgnico. Assume-se

que as amostras so independentes com respeito presena do poluente. Encontre a probabilidade de

que nas prximas 18 amostras, exatamente duas contenham o poluente.

33

Soluo: Define X = n de amostras que contm o poluente nas prximas 18 amostras analisadas.

Ento X uma v.a binomial com p = 0,1 e n = 18.

2 16 2 16 2 1618 18!

(2) (0,1) (0,9) (0,1) (0,9) 153(0,1) (0,9) 0,2842 2!16!

Xp

Determine a probabilidade de que pelo menos quatro amostras contenham o poluente.

181

4

18!( 4) (0,1) (0,9)

!(18 )!

x x

x

P Xx x

Ou ( 4) 1 ( 4)P X P X

Assim, 13

18

0

18!( 4) (0,1) (0,9)

!(18 )!

x x

x

P Xx x

0 18 17 2 16 3 1518! 18! 18! 18!(0,1) (0,9) (0,1)(0,9) (0,1) (0,9) (0,1) (0,9)0!(18)! 1!17! 2!16! 3!15!

0,15 0,3 0,284 0,168 0,902

( 4) 1 0,902 0,098P X

Determine a probabilidade que 3 7X .

618

3

18!(3 7) (0,1) (0,9) 0,168 0,070 0,022 0,005 0,265

!(18 )!

x x

x

P Xx x

Ex: A probabilidade de se obter exatamente 2 caras em seis lanamentos de uma moeda

equilibrada.

Soluo: X = n de caras obtidas nos 6 lanamentos.

1

2p ,

11 1

2q , 6n e 2x

2 6 26! 1 1 1 15

( 2) 15.2!(6 2)! 2 2 64 64

P X

Ex: Uma prova objetiva composta de 40 questes independentes com uma alternativa cada

uma. Se um aluno chutar as respostas, qual a probabilidade de obter mdia (tirar nota 7)?

Soluo: 40n , 1

5p ,

1 41

5 5q

34

Para que o aluno obtenha mdia necessrio que acerte 70% das questes, isto , 28 questes,

portanto,

28 12 28 12

1140 1 4 40! 1 4

( 28) . . 1,03.1028 5 5 28!12! 5 5

P X

5.1.3 Distribuio Geomtrica

Numa srie de ensaios de Bernoulli (tentativas independentes com probabilidade de sucesso

constante igual a p). Seja X a v.a denotando o n de tentativas necessrias ao aparecimento do primeiro

sucesso. Ento X uma v.a geomtrica com parmetro 0 < p < 1

1( ) (1 )xXp x p p 1,2,....x

1X sucesso (S) na primeira tentativa ( 1)P X p

2X fracasso (F) na primeira e sucesso (S) na segunda ( 2) .P X q p

3X fracasso (F) nos 2 primeiros e sucesso na terceira 2( 3) .P X q p

X n 1( ) .nP X n q p

Mdia: 1

( )X E Xp

Varincia: 22

(1 )( )X

pVar X

p

Ex: A probabilidade de acertar um n em uma loteria de 100 nmeros com um nico de 0,01.

Qual a probabilidade de que seja necessrio jogar 20 vezes para acertar um n pela primeira vez?

Soluo: 0,01p , 20n , 0,99q

19( 20) (0,99) (0,01) 0,0083 0,83%P X

Ex: A probabilidade que um bit transmitido atravs de um canal de transmisso digital seja

recebido com erro 0,1. Assuma que as transmisses so independentes. Seja X a v.a denotando o n

de bits transmitidos at o primeiro erro. Qual a probabilidade de que os primeiros 4 bits sejam

transmitidos corretamente e o quinto bit com erro?

35

Soluo: X uma v.a geomtrica, 0,1p , 0,9q

4( 5) (5) (0,9) 0,1 0,0666XP X p

Qual a mdia de transmisso de bits at o primeiro erro?

Soluo: 1

100,1

X

Qual o desvio padro de transmisso antes do primeiro erro?

Soluo: 2

(1 0,1)9,49

(0,1)

Suponha que 50 bits tenham sido transmitidos. Qual o n mdio de bits at o prximo erro?

Soluo: 1

100,1

X

No depende de n perda de memria.

5.1.4 Distribuio Binomial Negativa

Numa srie de ensaios de Bernoulli (tentativas independentes com probabilidade de sucesso

constante p) seja a v.a X denotando o n de tentativas at se obter r sucessos. Ento X uma v.a

binomial negativa, com parmetros 0 1p e 1,2,3,....r ,

1( ) ( ) (1 )

1

x r r

X

xP X x p x p p

r

, 1, 2,...x r r r

ou ( 1)!

( ) ( ) (1 )( 1)!( )!

x r r

X

xP X x p x p p

r x r

, 1, 2,...x r r r

Ex: No exemplo anterior, seja X denotando o n de bits transmitidos at o quarto erro.

Soluo: X tem uma distribuio binomial negativa com 4r

Mdia: ( )Xr

E Xp

Varincia: 22

(1 )( )X

r pVar X

p

36

Ex: Um site da web possui trs servidores idnticos. Um utilizado para operar o site e os

outros dois so reservas que devem ser ativados no caso do sistema falhar. A probabilidade de falha do

computador principal (ou reserva) na requisio de um servio 0,0005.

Supondo que cada requisio representa uma amostragem independente, qual o n mdio de

requisies at que acontea uma falha dos trs servidores?

Soluo: X = n de requisies at que os trs servidores falhem, 0,0005p , 3r .

1 2 3X X X X

3

( ) 60000,0005

rE X

p

Qual a probabilidade de que os trs servidores falhem em cinco requisies?

Soluo: 1

( ) ( ) (1 )1

r x r

X

xP X x p x p p

r

( 5) ( 3) ( 4) ( 5)P X P X P X P X

5

3 3 8

3

1( 5) (0,0005) (1 0,0005) 0,1249062.10

3 1

x

x

xP X

Ex: A probabilidade de se encontrar um elevador vazio, em determinado prdio, 0,28. Qual

a probabilidade de que seja necessrio chegar ao hall do edifcio 12 vezes, para encontrar o elevador

vazio pela quinta vez?

Soluo: 12n , 5r , 0,28p .

5 7

11(12) (0,28) (0,72) 0,057 5,7%

4Xp

Ex: A probabilidade de se encontrar o sinal de trnsito aberto em uma esquina 0,20. Qual a

probabilidade de que seja necessrio chegar ao local 15 vezes, para encontrar o sinal aberto, pela 6

vez?

Soluo: 15n , 6r , 0,2 0,8p q .

6 9

14( 15) (0,2) (0,8) 0,0172 1,72%

5P X

37

Ex: Considere um carro esperando numa rampa de acesso a uma auto estrada. Suponha que

ele o 5 da fila esperando para entrar na auto estrada e que os espaos entre os carros na estrada so

tais que existe a probabilidade de 0,4 de que esses espaos sejam grande o suficiente para permitir a

entrada de um carro na estrada. Qual o tempo mdio de espera?

Soluo: X = tempo de espera antes de entrar na estrada medida em termos do n de espaos. X uma

varivel binomial negativa com 5r e 0,4p .

5

12,5 espaos0,4

X E X

5.1.5 Distribuio Hipergeomtrica

Uma srie de N objetos contm:

K objetos classificados como sucesso

N K objetos classificados como falhas

Uma amostra com n objetos selecionada aleatoriamente (sem repeties) a partir de N

objetos, em que K N e n N .

Seja a v.a X o nmero de sucessos na amostra. Ento X uma varivel aleatria

hipergeomtrica e

.

( )X

K N K

x n xp x

N

n

, onde max 0, ( ) min ,n N K x n K

A mdia e a varincia de uma distribuio hipergeomtrica so,

.

.Xn K

E X n pN

, onde K

pN

22

. ( )( ) . . (1 )

1 1X

n K N K N n N nVar X n p p

N N N

Ex: Uma caixa contm 16 peas boas e 4 defeituosas. Retirando-se, sem reposio, 4 peas

desta caixa qual a probabilidade de que sejam 2 de cada tipo?

Soluo: Seja X = n de peas defeituosas, 20N , 4n , 2x , 4K .

38

4 16.

2 2( 2) (2) 0,1486

20

4

XP X p

Ex: Um lote contm 100 partes de um fornecedor brasileiro e 200 partes de um fornecedor

chins. Se 4 partes so selecionadas aleatoriamente, sem substituio, qual a probabilidade de que

sejam todas elas de um fornecedor brasileiro?

Soluo: X = n de partes de um fornecedor brasileiro,

100 200.

4 4 4( 4) 0,0119

300

4

P X

Qual a probabilidade de que 2 ou mais partes na amostra sejam de um fornecedor brasileiro?

Soluo:

4

2

100 200.

4( 2) ( 2) ( 3) ( 4) 0,408

300

4

x

x xP X P X P X P X

Qual a probabilidade de que pelo menos uma parte seja de um fornecedor brasileiro?

Soluo:

100 200.

0 4 0( 1) 1 ( 0) 1 0,804

300

4

P X P X

5.1.6 Distribuio de Poisson

adequada para descrever situaes onde existe uma probabilidade de ocorrncia em um

campo ou intervalo contnuo, geralmente tempo ou rea (regio). Por exemplo, o nmero de acidentes

por ms, o nmero de consultas a uma biblioteca durante uma semana, o nmero de erros tipogrficos

numa pgina de um livro, etc.

Note que no h como determinar a probabilidade de ocorrncia de um sucesso, mas sim a

frequncia de sua ocorrncia, como por exemplo, 100 acidentes por ms, que denominaremos de .

39

A funo de probabilidade da distribuio de Poisson ,

( )!

x

Xp x ex

Notao: ~ ( )X P ou ( ; )P X

Mdia: ( )X X E X

Varincia: 2 ( )X Var X

Ex: Num livro de 200 pginas h 400 erros de impresso. Qual a probabilidade de que a

pgina contenha?

a)Trs erros?

b)Pelo menos 3 erros?

c)Qual a probabilidade de que 5 pginas contenham 8erros de impresso?

Soluo: 400

2 2200

erros por pgina

a)2 3.2

( 3) 0,1804 18,04%3!

eP X

b) ( 3) 1 ( 3) 1 ( 0) ( 1) ( 2)P X P X P X P X P X

2 0 2 1 2 22.2 .2 .21 1 5 0,3233 32,33%

0! 1! 2!

e e ee

c) 10 erros por 5 pginas,

10 8.10

( 8) 0,1126 11,26%8!

eP X

Ex: Considere que o corpo de bombeiros de determinada cidade recebe em mdia, trs

chamadas por dia. Queremos saber, ento, qual a probabilidade de o corpo de bombeiros receber:

a)Quatro chamadas em um dia.

b)Nenhuma chamada em um dia.

c)Vinte chamadas em uma semana.

40

Soluo:

a) 3

3 4.3( 4) (4) 0,1680 16,8%

4!X

eP X p

b)3 0.3

( 0) (0) 0,0498 4,98%0!

X

eP X p

c) 21 chamadas por semana,

21 20.21

( 20) (20) 0,0867 8,67%20!

X

eP X p

Ex: Chegam a um depsito caminhes com uma frequncia de 2,8 caminhes/hora, seguindo

uma distribuio de Poisson. Determine a probabilidade de chegarem dois ou mais caminhes:

a)Num perodo de 30 minutos.

b)Num perodo de 1 hora.

c)Num perodo de 2 horas.

Soluo:

a) 1,4

( 2) 1 ( 2) 1 ( 0) ( 1)P X P X P X P X

1,4 0 1,4 11,4.(1,4) (1,4)1 1 2,4 0,4081

0! 1!

e ee

b) 2,8

( 2) 1 ( 2) 1 ( 0) ( 1) 0,7689P X P X P X P X

c) 5,6

( 2) 1 ( 2) 1 ( 0) ( 1) 0,97559P X P X P X P X

Hipteses do modelo de Poisson:

41

H1 A probabilidade de um sucesso em um intervalo t constante e proporcional ao tamanho do

intervalo.

H2 A probabilidade de mais de uma ocorrncia (sucesso) em um intervalo igual a zero.

H3 O nmero de ocorrncias (sucesso) constitui variveis aleatrias independentes.

5.1.7 Distribuio de Poisson como uma forma limite da binomial

Com base nos trs princpios do processo de Poisson, deve ter ficado evidente que a

distribuio de Poisson est relacionada com a distribuio binomial. Embora a Poisson encontre

aplicaes em problemas de tempo e espao, ela pode ser vista como uma forma limite da distribuio

binomial. No caso da binomial, se n for muito grande e p for pequeno, as condies comeam a

simular as implicaes de regio do espao ou do tempo contnuos do processo de Poisson. A

independncia entre as tentativas de Bernoulli no caso binomial consistente com a hiptese 1 do

processo de Poisson. Permite que o parmetro p esteja prximo de zero est relacionada com a

hiptese 2 do processo de Poisson. De fato, se n grande e p prximo de 0, a distribuio de Poisson

pode ser utilizada, com .n p para aproximar as probabilidades binomiais.

Teorema: Seja X uma v.a binomial com distribuio de probabilidade ~ ( , )B n p . Quando n ,

0p , e np permanece constante,

( , ) ( )B n p P

*Na prtica 50n e 5np .

Ex: A probabilidade de as peas produzidas por uma mquina apresentarem padres fora das

especificaes 0,5%. Para uma produo diria de 1000 peas, qual a probabilidade de apresentarem-

se fora da especificao:

a)3 peas.

b)No mximo 2 peas.

c)Entre 3 e 6 peas, inclusive.

Soluo:

a) 0,5

0,5% 0,005100

p

42

. 1000.0,005 5n p

Usando a binomial: 3 997

1000( 3) .0,005 (1 0,005) 0,140302

3P X

Usando a Poisson: 5 3.5

( 3) 0,1403743!

eP X

b) ( 2) ( 0) ( 1) ( 2)P X P X P X P X

0 1000 1 999 2 9981000 1000 1000

.0,005 .(1 0,005) .0,005 .(1 0,005) .0,005 .(1 0,005)0 1 2

Ou 5 0 5 1 5 2.5 .5 .5

( 2) 0,1247 12,47%0! 1! 2!

e e eP X

c) (3 6) ( 3) ( 4) ( 5) ( 6)P X P X P X P X P X

3 4 5 6

5 5 5 5 5 0,6375 63,75%3! 4! 5! 6!

e

5.2 Distribuies Contnuas de Probabilidade

- Distribuio uniforme ou retangular.

- Distribuio exponencial.

- Distribuio normal.

5.2.1 Distribuio Uniforme ou Retangular

Uma v.a contnua X tem distribuio uniforme de probabilidades no intervalo [a, b] se sua

funo densidade de probabilidade for da forma:

, ( )

0, .X

k a X bf x

c c

43

Valor de k: ( ) 1 1 1bb

Xa a

f x dx kdx kx

1k

b a

Portanto,

1,

( )

0, .X

a X bf x b a

c c

Funo de distribuio acumulada:

a x b

1( )

( )

x

Xa

x a x aF x du

b a b a b a b a

0x a

1x b

Assim,

0, 0

( ) ,

1,

X

x

x aF x a x b

b a

b x

44

Mdia: 20,5 ( )

[ ]2

bb

Xa

a

x x a bE X dx

b a b a

[ ]2

X

a bE X

Varincia:

2

2

( )

2( )

b

Xa

a bx

Var X dxb a

2

( )

( )2

3( ) 12

b

a

a bx

b a

b a

22 ( )( )

12X

b aVar X

Ex: O volume de vendas dirio de uma loja de departamentos , em mdia, de $50.000,00 com

um mnimo de $28.000,00. Supondo adequada a distribuio uniforme, pede-se:

a)Qual o volume dirio mximo de vendas?

b)Qual a porcentagem do nmero de dias em que as vendas excedem $35.000,00?

c)Qual a porcentagem do nmero de dias em que as vendas no ultrapassem a $68.000,00?

Soluo:

a) 28000

50000 [ ] $72000,002 2

X

a b bE X b

1,28000 72000

( ) 72000 28000

0, .X

xf x

c c

b)

7200072000

3500035000

1 37( 35000) 0,8409 84,09%

44000 44000 44

xP X dx

c)

6800068000

2800028000

1 10( 68000) 0,9091 90,91%

44000 44000 11

xP X dx

45

Ex: Seja a v.a contnua X denotando a corrente medida em um fio de cobre fino em miliamperes.

Assume que o domnio de X [0, 20 mA] e assume que a funo densidade de probabilidade :

0,05;0 20( )

0, .X

xf x

c c

Qual a probabilidade de que a corrente medida esteja entre 5 e 10 mA?

Soluo:

10

5(5 10) ( ) 5.(0,05) 0,25P X f x dx

A mdia medida :

0 20[ ] 10

2X E X

2 2

2 2( ) 20( ) 33,33 33,33 5,7712 12

b aVar X mA mA mA

5.2.2 Distribuio Exponencial

Se uma distribuio de Poisson tem mdia de ocorrncias durante um intervalo de tempo, o

espao entre as ocorrncias naquele intervalo de 1

. Uma v.a contnua ter distribuio

exponencial com 0 , se sua f.d.p. for da forma:

0, 0( )

. , 0X t

tf t

e t

46

Mdia: 1

( )X E X

Varincia: 2

2

1( )X Var X

Ex: Sabe-se que o tempo mdio entre o pedido e o atendimento em uma loja de peas uma

v.a com distribuio exponencial com mdia de 15 minutos. Pede-se a probabilidade de um cliente ter

de esperar:

a)por mais de 15 minutos.

b)por menos de 15 minutos.

Soluo: 1

151 1 1

( ) 15 ( )15 15

t

E X f t e

para t>0

a)1 1 1

.15115 15 15

1515

1( 15) 0 ( ) 0,3679 36,79%

15

t t

P X e e e e

b) 1( 15) 1 ( 15) 1 0,6321P X P X e

Ex: Os defeitos em um tecido seguem a distribuio de Poisson, com mdia de um defeito a

cada 60 metros. Qual a probabilidade de que o intervalo entre 2 defeitos consecutivos seja:

a)no mnimo 150 metros?

b)entre 90 e 110 metros?

c)no mximo 50 metros?

Soluo: 1 1

( ) 6060

X E X

1

60

0, 0

( ) 1, 0

60

xX

x

f xe x

a)1 1

2,560 60

150150

1( 150) 0,0821

60

x x

P X e dx e e

47

b)1

110 3 1160 62

90

1(90 110) 0,0632

60

x

P X e dx e e

c)

501 1

5060 60

00

1( 50) 0,5654

60

x

P X e dx e

OBS: Seja um componente com distribuio de tempo de vida exponencial. Se o componente

durou at o instante t, ento a probabilidade de ele durar mais x unidades de tempo, alm das que j

durou, a mesma que um componente novo durar x unidades de tempo.

Distribuio exponencial no tem memria

( )[( ) ( )] ( )( / 1)

( ) ( )

t xx

t

P X t x X t P X t x eP X t x X e

P X t P X t e

Portanto: ( / ) ( )P X t x X t P X x

Ex: Seja X uma v.a exponencial, tal que E(X)=5. Calcule:

a) (5 8)P X

b) ( 5)P X

c) ( 10 / 5)P X X

Soluo: 1 1

55

X

15

0, 0

( ) 1, 0

5

xX

x

f xe x

a)1

85

5

1(5 8) 0,1660

5

x

P X e dx

b)1

5

5

1( 5) 0,3679

5

x

P X e dx

c)

1

52

10

1 1

5

5

1

[( 10) ( 5)] ( 10) 5( 10 / 5) 0,3679( 5) ( 5) 1

5

x

x

e dxP X X P X e

P X XP X P X e

e dx

5.2.3 Distribuio Normal (Gauss, Laplace ou Laplace Gauss)

48

Se X uma v.a contnua e sua f.d.p for da forma:

21

21( )2

x

Xf x e

( )x

Notao: 2( , )X N X uma varivel com distribuio normal de mdia X e varincia

2

X .

Caractersticas:

1. Cada distribuio fica completamente especificada por sua mdia e seu desvio padro, ou seja,

existe uma nica distribuio para cada combinao de mdia e desvio padro.

2. A curva simtrica em relao a mdia. (mdia=mediana=moda)

3. O afastamento entre a mdia e o ponto de inflexo o desvio padro da distribuio.

4. A rea abaixo da curva entre dois pontos a e b (a

49

5. A rea total sob a curva 1.

Varivel Normal Padronizada

Devido ao que foi comentado anteriormente, recorre-se a uma mudana de varivel,

transformando a v.a X para Z atravs da relao:

a b

( )P a X b

2 1

1

2 1 1

1 2 1

1 2

50

XZ

A f.d.p da nova varivel ser: 21

21

( ) .2

Z

Z Z e

( )Z

( ) 0Z E Z

( ) 1Var Z

f.d.a: ( )Z P Z z

Assim, para 0X Z

1X Z

2 2X Z

3 3X Z

Portanto,

Uso da tabela da f.d.a Normal Padronizada

De posse do valor de Z entra-se na primeira coluna esquerda da tabela com a parte inteira e o

primeiro decimal de Z e, em seguida na 1 linha com o segundo decimal de Z. O cruzamento da linha

com a coluna fornece ( )Z P Z z .

Ex: Calcule ( 1,5)P Z .

51

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 .....

0 0,5 0,50399 0,50398 0,51197 ....

0,1 .... ..... ..... ..... ....

.... .... .... .... .... ....

.... .... .... .... .... ....

1,5 0,93317 0,93448 0,93574 0,93699 ....

.... .... .... .... .... ....

Pela tabela, ( 1,5) 0,93317 0,9332P Z

As probabilidades que no esto na forma ( )P Z z so encontradas atravs do uso das regras

bsicas de probabilidades e da simetria da distribuio normal.

Ex: Calcule:

1) ( 1,26)P Z 2) ( 0,86)P Z

3) ( 1,37)P Z 4) ( 1,25 0,37)P Z

5) ( 4,6)P Z 6)Encontre z tal que ( ) 0,05P Z z

7)Encontre z tal que ( ) 0,99P z Z z

Soluo:

1) ( 1,26) 1 ( 1,26) 1 0,89616 0,10384P Z P Z

( 1,5) (1,5)ZP Z

= rea hachurada

52

2) ( 0,86) 0,19490P Z

3) ( 1,37) ( 1,37) 0,914657P Z P Z

4) ( 1,25 0,37) ( 0,37) ( 1,25) 0,644309 0,105650 0,53866P Z P Z P Z

53

5) ( 4,6)P Z no tem na tabela, porm, da tabela sabemos que ( 3,99) 0,000033P Z . Como

( 4,6) ( 3,99)P Z P Z , ento ( 4,6) 0P Z .

6) ( ) 0,05P Z z equivalente a ( ) 1 0,05 0,95P Z z

( ) 0,95 1,6z P Z z z

54

7) ( ) 1 0,005 0,995 2,58P Z z z

Ex: Suponha que a corrente medida em um fio fino segue uma distribuio normal, com

mdia de 10mA e varincia de 4mA2 . Qual a probabilidade de que a medida no exceda 13mA?

Soluo: X denota a corrente em mA. ( 13) ?P X

Seja ( 10)

2

XZ

(13 10) 313 1,5

2 2X Z

13 1,5X Z

( 13) ( 1,5) 1 ( 1,5) ( 13) 1 0,93319 0,06681P X P Z P Z P X

Ou 10 13 10

( 13) ( 1,5) 0,066812 2

XP X P P Z

0,05

0,005

55

Suponha que X uma v.a normal com mdia e varincia 2 . Ento,

( ) ( )X x

P X x P P Z z

Onde Z a v.a normal padronizada e ( )x

z

o valor obtido padronizando X.

Ex: Continuando o exemplo anterior, calcule a probabilidade de que a corrente medida esteja

entre 9 e 11 Ma.

Soluo: 9 10 10 11 10

(9 11) ( 0,5 0,5)2 2 2

XP X P P Z

( 0,5) ( 0,5) 0,69146 0,30854 0,38292P Z P Z

Determine o valor para qual a probabilidade que a corrente medida esteja abaixo desse valor

0,98.

Soluo: 10 10 10

( ) 0,982 2 2

X x xP X x P P Z

( ) 0,98 2,05P Z z z pois ( 2,05) 0,97982P Z

( 10)

2,05 2.(2,05) 10 14,12

xx mA

5.2.4 Aproximao Normal da Distribuio Binomial

Ex: Em um canal de comunicao digital, assume-se que o n de bits recebido com erro pode

ser modelado por uma varivel aleatria binomial. A probabilidade que um bit seja transmitido com

erro 51.10 . Se 16 milhes de bits so transmitidos, qual a probabilidade de que mais de 150 erros

ocorram?

Soluo: X = n de erros, 16000000n , 51.10p , ( ) . 160E X n p

1505 5 16000000

0

16000000( 150) 1 ( 150) 1 (10 ) (1 10 )x x

x

P X P xx

Se X uma v.a binomial,

56

(1 )

X npZ

np p

aproximadamente a v.a normal padronizada. A aproximao boa para

5np e (1 ) 5n p

De modo a aproximar uma probabilidade binomial por uma distribuio normal, uma correo

de continuidade aplicada como segue:

0,5( ) ( 0,5)

(1 )

x npP X x P X x P Z

np p

0,5

e ( ) ( 0,5 )(1 )

x npP x X P x X P Z

np p

Ex: Em um canal digital de comunicao, suponha que o nmero de bits recebidos com erro

possa ser modelado por uma varivel aleatria binomial. Suponha que a probabilidade de um bit ser

recebido com erro seja de 51.10 . Se 16 milhes de bits forem transmitidos, qual ser a probabilidade

de se ter 150 ou menos erros?

Soluo:

1505 5 16000000

0

16000000( 150) (10 ) (1 10 )x x

x

P Xx

Claramente a probabilidade difcil de calcular. Felizmente, a distribuio normal pode ser usada para

prover uma excelente aproximao:

5 5

160 150,5 160( 150) ( 150,5) ( 0,75) 0,227

160(1 10 ) 160(1 10 )

XP X P X P P Z

Porque 6 5(16.10 ).(1.10 ) 160np e (1 )n p muito maior, espera-se que a aproximao funcione

bem nesse caso.

Suponha agora que somente 50 bits devem ser transmitidos ( 50)n e que a probabilidade de

um erro seja 0,1p . A probabilidade exata de que 2 ou menos erros ocorram ,

57

50 49 2 4850 50 50

( 2) 0,9 0,1(0,9) 0,1 (0,9) 0,1120 1 2

P X

Baseado na aproximao normal,

5 2,5 5( 2) ( 1,8) 0,119

50(0,1)(0,9) 50(0,1)(0,9)

XP X P P Z

Mesmo para uma amostra to bem pequena quanto 50 bits, a aproximao normal razovel.

5.2.5 Aproximao Normal da Distribuio de Poisson

Se X uma v.a de Poisson com [ ]E X e ( )Var X ,

XZ

aproximadamente a v.a normal padronizada. A aproximao boa para 5 .

Ex: Suponha que o n de partculas de amianto em um metro quadrado de poeira sobre uma

superfcie segue a distribuio de Poisson com mdia 1000. Se um metro quadrado de poeira

analisado, qual a probabilidade que menos de 950 partculas sejam encontradas?

Soluo: 1000950

0

.1000( 950)

!

x

x

eP X

x

Aproximando pela normal

950 1000

( ) ( 1,58) 0,0571000

P X x P Z P Z

Exerccio 1: gua de Fnix fornecida para aproximadamente 1,4 milho de pessoas, que so

servidas atravs de mais de 362.000 contas. Todas as contas so medidas e cobradas mensalmente. A

probabilidade de uma conta conter um erro em um ms 0,001 e contas podem ser consideradas

independentes.

(a) Quais so a mdia e o desvio padro do nmero de contas com erro em cada ms?

(b) Aproxime a probabilidade de menos de 350 erros em um ms.

(c) Aproxime um valor de modo que a probabilidade de o nmero de erros exceder esse valor

seja 0,05.

58

(d) Aproxime a probabilidade de mais de 400 erros por ms nos prximos 2 meses. Considere

que os resultados entre os meses sejam independentes.

Exerccio 2: Uma impressora de alta capacidade imprime pginas com pequenos erros de

qualidade de impresso, em um teste de 1000 pginas de texto, de acordo com uma distribuio de

Poisson, com mdia de 0,4 por pgina.

(a) Porque o nmero de erros em cada pgina uma varivel independente?

(b) Qual o nmero mdio de pginas com erros (um ou mais)?

(c) Aproxime a probabilidade de mais de 350 pginas conterem erros (um ou mais).

5.2.6 Distribuio de Erlang e Gama

Uma varivel exponencial descreve o comprimento at que a primeira contagem seja obtida em um

processo de Poisson. Uma generalizao da distribuio exponencial o comprimento at que r

contagens ocorram em um processo de Poisson. Considere o seguinte exemplo:

Exemplo (Falha em um processador):

As falhas das unidades de um processador central de grandes sistemas computacionais so

frequentemente modeladas como um processo de Poisson. Tipicamente, falhas no so causadas por

componentes desgastados, mas por falhas mais aleatrias do grande nmero de circuitos de

semicondutores nas unidades. Suponha que as unidades que falhem sejam reparadas imediatamente e

considere que o nmero mdio de falhas por hora seja 0,0001. Seja X o tempo at que quatro falhas

ocorram em um sistema. Determine a probabilidade de X exceder 40.000 horas.

Seja a varivel aleatria N o nmero de falhas em 40.000 horas de operao. O tempo at que

quatro falhas ocorram exceder 40.000 horas se, e somente se, o nmero de falhas em 40.000 horas for

trs ou menos. Assim,

40.000 3P X P N

A suposio de que falhas seguem um processo de Poisson implica que N tenha uma distribuio de

Poisson com

40.000 0,0001 4 falhas por 40.000 horas.E N

Logo

43

0

440.000 3 0,433.

!

k

k

eP X P N

k

O exemplo anterior pode ser generalizado para mostrar q1ue se X o tempo at o -simor evento

em um processo de Poisson, ento

59

1

0 !

kxr

k

e xP X x

k

Uma vez que 1 ,P X x F x a funo densidade de probabilidade de X iguala a derivada

negativa do lado direito da equao prvia. Depois de uma simplificao algbrica intensa, a funo

densidade de probabilidade de X igual

1

1 !

r r xx ef x

r

para 0x e 1,2,...r . Essa funo densidade de probabilidade define uma distribuio de Erlang.

Claramente uma varivel aleatria de Erlang com 1r uma varivel aleatria exponencial.

conveniente generalizar a distribuio de Erlang para permitir r ser qualquer valor no-

negativo. Ento, a distribuio der Erlang e algumas outras comuns se tornam casos especiais dessa

distribuio generalizada. de modo a completar essa etapa, a funo fatorial 1 !r tem de ser

generalizada para ser aplicada a qualquer valor no negativo ou a r ; porm, a funo generalizada

deveria ainda ser igual a 1 !r quando r for um inteiro positivo.

Funo Gama

A funo gama

10

, para 0.r xr x e dx r

Pode ser mostrado que a integral na definio de r finita. Alm disso, integrando por partes,

pode ser mostrado que

1 1r r r

Assim, se r for um inteiro positivo (como na distribuio de Erlang)

1 !r r

Tambm, 1 0! 1 e pode ser mostrado que 1

21 2 . A funo gama pode ser interpretada

como uma generalizao para valores no inteiros de r do termo 1 !r que usado na funo

densidade de probabilidade de Erlang. Agora, a distribuio de Erlang pode ser generalizada.

A varivel aleatria X com funo de densidade de probabilidade

1

, para 0r r xx e

f x xr

60

uma varivel aleatria gama, com parmetros 0 e 0r . Se r for um inteiro, ento X ter

uma distribuio de Erlang.

Os parmetros e r so frequentemente chamados de parmetros de escala e forma,

respectivamente. No entanto devem-se verificar as definies usadas nos programas computacionais

comerciais. Por exemplo, o Minitab define o parmetro de escala como 1 . Esboos da distribuio

gama para vrios valores de e r so mostrados na figura abaixo.

Lembre-se que uma distribuio exponencial, com parmetro , a mdia e a varincia so

1 e 21 , respectivamente. Uma varivel aleatria de Erlang o tempo at o -simor evento em um

processo de Poisson e o tempo entre eventos sejam independentes. Por conseguinte, plausvel que a

mdia e a varincia de uma varivel aleatria gama sejam multiplicadas pelo resultado da exponencial,

ou seja, por r . Logo, se X for uma varivel aleatria gama com parmetros e r ,

2 2 e r r

E X Var X

.

Exemplo: O tempo para preparar uma transparncia sobre microarranjo para um estudo de

genes em alta produo um processo de Poisson, com mdia de duas horas por transparncia. (a)

Qual a probabilidade de 10 transparncias necessitarem de mais de 25 horas para serem preparadas?

(b) Quais so a mdia e o desvio padro do tempo para preparar 10 transparncias? (c) Em que tempo

as transparncias sero completadas com uma probabilidade de 0.95?

Soluo:

(a) Seja X o tempo para preparar 10 transparncias. Por causa da suposio de um processo de

Poisson, X tem uma distribuio gama, com 1 2 e 10r e a probabilidade requerida

25P X . A probabilidade pode ser obtida atravs de um programa computacional que fornea as

probabilidades cumulativas de Poisson ou as probabilidades de gama. Para probabilidades cumulativas

de Poisson, tem-se

1086420

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

X

f(x)

1 1

8,3 0,5

7,5 0,2666

Forma 1/escala

Distribuio Gama

61

12,59

0

12,525

!

k

k

eP X

k

No Minitab, estabelecemos a mdia=12,5 e a entrada =9 para obter 25 0,2014P X .

Como uma verificao, usamos a funo de probabilidade cumulativa gama no Minitab. Estabelea o

parmetro de forma igual a 10 e o parmetro de escala igual a 2, visto que o Minitab usa o inverso de

nossa definio e a entrada igual a 25. A probabilidade calculada 25 0,7986P X e, quando

ela for subtrada de um, encontraremos o resultado prvio, 25 0,2014P X .

(b) O tempo mdio

10

200,5

rE x

A varincia do tempo

2 2

1040

0,5

rVar X

de modo que o desvio padro 40 6,32 horas.

(c) A pergunta quer saber o valor de x , de tal modo que

0,95P X x

em que X gama com 1 2 e 10r . No Minitab usamos a funo de probabilidade acumulada

inversa gama e estabelecemos parmetro de forma igual a 10, o parmetro de escala igual a 2 e a

probabilidade igual a 0,95. A soluo calculada

31,41 0,95P X

5.2.7 Distribuio de Weibull

A tecnologia moderna nos permite criar muitos sistemas complexos cuja operao, e talvez a

segurana, depende da confiabilidade de vrios componentes que os formam. Um fusvel pode

queimar, uma coluna de ao pode entortar ou um componente de deteco de calor pode falhar.

Componentes idnticos submetidos a condies ambientais idnticas falharo em momentos diferentes

e imprevisveis. Uma distribuio que tem sido usada para lidar com tais problemas a distribuio de

Weibull, introduzida pelo fsico sueco Waloddi Weibull, em 1939. Os parmetros dessa distribuio

fornecem uma grande flexibilidade para modelar sistemas em que o nmero de falhas aumenta com o

tempo (desgaste de rolamento), diminui com o tempo (alguns semicondutores) ou permanecem

constantes com o tempo (falhas causadas pelos choques externos ao sistema). Uma varivel aleatria

contnua X tem uma distribuio de Weibull, com parmetros e , se sua funo de densidade for

dada por

62

1 , 0

; ,0, caso contrrio,

xx e xf x

onde 0 e 0 .

Os grficos da distribuio de Weibull para 1 e para vrios valores do parmetro so

ilustrados na figura abaixo

Vemos que as curva mudam consideravelmente de forma para diferentes valores do parmetro . Se

considerarmos 1 , a distribuio Weibull se reduz a uma distribuio exponencial. Para valores de

1 , as curvas tomam a forma de sino, e lembram as curva normais, apesar de mostrarem certa

assimetria. A mdia e a varincia da distribuio de Weibull so:

Mdia: 11

1 .

Varincia:

2

2 2 2 11 1 .

Como a distribuio exponencial, a distribuio de Weibull tambm aplicada em problemas de

confiabilidade e testes de vida til, tais como tempo at a falha ou tempo de vida de um componente,

medida de um tempo especfico at a falha. Vamos representar esse tempo at a falha pela varivel

aleatria contnua T , com funo de densidade de probabilidade f t , onde f t uma distribuio

de Weibull. Essa distribuio tem a flexibilidade inerente de no requerer a propriedade da falta de

memria da distribuio exponencial. A funo de distribuio acumulada (fda) para a Weibull pode

ser escrita da forma fechada e certamente til para clculos de probabilidades e dada por:

1 , para 0, 0 e 0.xF x e x

3,02,52,01,51,00,50,0

1,4

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

X

f(x)

3,5

2

1

.

Distribuio de Weibull

63

Exemplo: O tempo de vida X , em horas, de um item de uma oficina de usinagem tem

distribuio de Weibull com 0,01 e 2 . Qual a probabilidade de que esse item falhe antes de

8 horas de uso?

Soluo: 20,01 8

8 8 1 1 0,527 0,473.P X F e

Taxa de falha para a distribuio de Weibull

Quando a distribuio de Weibull se aplica, ela til para determinarmos a taxa de falha (algumas

vezes chamada de taxa de risco) e percebermos o desgaste ou deteriorao do componente. Primeiro,

vamos definir a confiabilidade de um componente ou produto como a probabilidade de que ele

funcionar apropriadamente por, pelo menos, um tempo determinado, sob condies experimentais

especficas. Ento, se R t definido como sendo a confiabilidade de certo componente em um

tempo t , podemos escrever

1 ,t

R t P T t f t dt F t

onde F t a funo de distribuio acumulada de T . A probabilidade condicional de que o

componente falhe em um intervalo de tempo de T t a T t t , dado que ele sobreviveu at o

tempo t ,

.

F t t t

R t

Dividindo essa razo por t e tomando o limite 0t , temos a taxa de falha, denotada por Z t .

Assim,

0

1lim

,1

t

F t t F tZ t

t R t

F t f t f t

R t R t F t

que expressa a taxa de falha em funo da distribuio do tempo at a falha. J que

1Z t f t F t , ento a taxa de falha dada como segue:

1, 0.Z t t t

Interpretao da taxa de falha

A quantidade Z t apropriadamente chamada de taxa de falha, j que quantifica a taxa de mudana,

ao longo do tempo, da probabilidade condicional de que o componente dure um tempo t adicional,

dado que o componente durou at o tempo t . A taxa de reduo (ou aumento) com o tempo

importante. Os pontos a seguir so cruciais:

(a) Se 1, a taxa de falha igual a , ou seja, constante. Isso, como indicado antes, o caso

especial da distribuio exponencial na qual a falta de memria prevalece.

64

(b) Se 1, Z t uma funo crescente de t , que indica que o componente se desgasta com o

tempo.

(c) Se 1, Z t uma funo decrescente do tempo e, ento, o componente se fortalece ou se

solidifica com o tempo.

Por exemplo, o item na oficina de usinagem do exemplo anterior tem 2 e, portanto, se desgasta

com o tempo. De fato, a funo de taxa de falha dada por 0,02 .Z t t Por outro lado, suponha que

os parmetros sejam 3 4 e 2 . Neste caso, 41,5Z t t , e, ento, o componente se fortalece

com o tempo.

Exemplo: Suponha que o tempo de vida de uma certa espcie de bateria de backup de emergncia (em

horas) uma varivel aleatria X tendo uma distribuio de Weibull com 0,1 e 0,5.

Encontre:

(a) o tempo de vida mdio dessas baterias

(b) a probabilidade de que tais baterias durem mais do que 300 horas.

Soluo:

(a) Substituindo na frmula da mdia temos

2

0,1 3 200 horas

(b) 0,50,5 0,1 3000,5 0,1

300

300 0,05 0,177xP X x e dx e